高中数学 第二章 《平面向量》测试题B卷 新人教A版必修4
高中数学必修4 第二章 《平面向量》测试题B 卷考试时间：100分钟，满分：150分一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内（每小题5分，共50分）.1．化简AB →＋BD →－AC →－CD →等于 ( ) A.AD → B ．0 C.BC → D.DA →2．已知MA →＝(－2,4)，MB →＝(2,6)，则12AB →＝ ( )A ．(0,5)B ．(0,1)C ．(2,5)D ．(2,1) 3．下列说法正确的是( )A ．(a ·b )c ＝a (b ·c )B ．a ·c ＝b ·c 且c ≠0，则a ＝bC ．若a ≠0，a ·b ＝0，则b ＝0D ．|a ·b |≤|a |·|b |4．设向量a ＝(1,0)，b ＝(12，12)，则下列结论中正确的是 ( )A ．|a |＝|b |B ．a ·b ＝22C ．a －b 与b 垂直D ．a ∥b 5．如图，正方形ABCD 中，点E 、F 分别是DC 、BC 的中点，那么EF →＝ ( )A.12AB →＋12AD → B ．－12AB →－12AD → C ．－12AB →＋12AD → D.12AB →－12AD 6．已知△ABC 中，AB →＝a ，AC →＝b ，a ·b <0，S △ABC ＝154，|a |＝3，|b |＝5，则a 与b 的夹角为( )A ．30°B ．－150°C ．150°D ．30°或150°7．已知a 、b 、c 是共起点的向量，a 、b 不共线，且存在m 、n ∈R 使c ＝m a ＋n b 成立，若a 、b 、c 的终点共线，则必有( )A ．m ＋n ＝0B ．m －n ＝1C ．m ＋n ＝1D ．m ＋n ＝－18．已知点A (－1,1)、B (1,2)、C (－2，－1)、D (3,4)，则向量AB →在CD →方向上的投影为( )A.322B.3152 C ．－322D ．－31529．设向量a ，b ，c 满足|a |＝|b |＝1，a ·b ＝－12，〈a －c ，b －c 〉＝60°，则|c |的最大值等于 ( )A ．2 B. 3 C. 2D ．110．设A 1，A 2，A 3，A 4是平面直角坐标系中两两不同的四点，若A 1A 3→＝λA 1A 2→(λ∈R )，A 1A 4→＝μA 1A 2→(μ∈R )，且1λ＋1μ＝2，则称A 3，A 4调和分割A 1，A 2，已知点C (c,0)，D (d,0)，(c ，d∈R )调和分割点A (0,0)，B (1,0)，则下面说法正确的是( )A ．C 可能是线段AB 的中点 B ．D 可能是线段AB 的中点C ．C ，D 可能同时在线段AB 上 D ．C ，D 不可能同时在线段AB 的延长线上 二、填空题（每小题6分，共计24分）.11．已知向量a 、b ，且AB →＝a ＋2b ，BC →＝－5a ＋6b ，CD →＝7a －2b ，则A 、B 、C 、D 四点中一定共线的三点是____________．12．已知向量a ＝(1,1)，b ＝ (2，－3)，若k a －2b 与a 垂直，则实数k 等于________． 13．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(1,0)，c ＝(3,4)．若λ为实数，(a ＋λb )∥c ，则λ的值为____________．14．正三角形ABC 边长为2，设BC →＝2BD →，AC →＝3AE →，则AD →·BE →＝________.三、解答题（共76分）.15.（本题满分12分）已知向量a ＝(1,2)，b ＝(x,1) (1)若〈a ，b 〉为锐角，求x 的范围； (2)当(a ＋2b )⊥(2a －b )时，求x 的值．16.（本题满分12分）设e 1、e 2是正交单位向量，如果OA →＝2e 1＋m e 2，OB →＝n e 1－e 2，OC →＝5e 1－e 2，若A 、B 、C 三点在一条直线上，且m ＝2n ，求m 、n 的值． 17.（本题满分12分）已知a 和b 是两个非零的已知向量，当a ＋t b (t ∈R )的模取最小值时． (1)求t 的值；(2)已知a 与b 成45°角，求证：b 与a ＋t b (t ∈R )垂直．18.（本题满分12分）已知向量a ＝(3，－1)，b ＝(12，32)．(1)求证：a ⊥b ；(2)是否存在不等于0的实数k 和t ，使x ＝a ＋(t 2－3)b ，y ＝－k a ＋t b ，且x ⊥y ？如果存在，试确定k 和t 的关系；如果不存在，请说明理由．19.（本题满分14分）已知A (3,0)，B (0,3)，C (cos α，sin α)．(1)若AC →·BC →＝－1，求sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4的值； (2)若|OA →＋OC →|＝13，且α∈(0，π)，求OB →与OC →的夹角．20.（本题满分14分）如图，已知△ABC 的三个顶点坐标为A (0，－4)，B (4,0)，C (－6,2)．(1)求△ABC 的面积；(2)若四边形的ABCD 为平行四边形，求D 点的坐标．高中数学必修4 第二章 《平面向量》测试题B 卷参考答案一、 选择题1. 【答案】B.【解析】 AB →＋BD →－AC →－CD →＝AD →－(AC →＋CD →)＝AD →－AD →＝0. 2. 【答案】D.【解析】∵AB →＝MB →－MA →＝(4,2)，∴12AB →＝(2,1)．3. 【答案】D.【解析】对于A ：向量的数量积不满足结合律；对于B ：向量的数量积不满足消去律；对于C ：只要a 与b 垂直时就有a ·b ＝0；对于D ：由数量积定义有|a ·b |＝||a ||b |cos θ|≤|a ||b |，这里θ是a 与b 的夹角，只有θ＝0或θ＝π时，等号成立． 4. 【答案】C.【解析】 a ＝(1,0)，b ＝(12，12)，∴|a |＝1，|b |＝14＋14＝22，∴A 错误；∵a ·b ＝1×12＋0×12＝12，∴B 错误；∵a －b ＝(12，－12)，∴(a －b )·b ＝12×12－12×12＝0，∴C 正确；∵1×12－0×12＝12≠0，∴D 错误．5. 【答案】 D【解析】 EF →＝12DB →＝12(AB →－AD →)．6.【答案】 C【解析】由a ·b <0可知a ，b 的夹角θ为钝角，又S △ABC ＝12|a |·|b |sin θ，∴12×3×5×sin θ＝154，∴sin θ＝12⇒θ＝150°. 7.【答案】 C【解析】设OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，∵a 、b 、c 的终点共线，∴设AC →＝λAB →，即OC →－OA →＝λ(OB →－OA →)，∴OC →＝(1－λ)OA →＋λOB →， 即c ＝(1－λ)a ＋λb ，又c ＝m a ＋n b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧1－λ＝m ，λ＝n ，∴m ＋n＝1.8. 【答案】 A【解析】本题考查向量数量积的几何意义及坐标运算． 由条件知AB →＝(2,1)，CD →＝(5,5)，AB →·CD →＝10＋5＝15. |CD →|＝52＋52＝52，则AB →在CD →方向上的投影为|AB →|cos 〈AB →，CD →〉＝AB →·CD →|CD →|＝1552＝322，故选A.9. 【答案】A.【解析】如图，设OA →＝a ， OB →＝b ，OC →＝c ，则CA →＝a －c ，CB →＝b －c .∵|a |＝|b |＝1，∴OA ＝OB ＝1. 又∵a ·b ＝－12， ∴|a |·|b |·cos∠AOB ＝－12， ∴cos∠AOB ＝－12.∴∠AOB ＝120°.又∵〈 a －c ，b －c 〉＝60°，而120°＋60°＝180°，∴O 、A 、C 、B 四点共圆．∴当OC 为圆的直径时，|c |最大，此时∠OAC ＝∠OBC ＝90°，∴Rt △AOC ≌Rt △BOC ，∴∠ACO ＝∠BCO ＝30°，∴|OA |＝12|OC |，∴|OC |＝2|OA |＝2.10. 【答案】D.【解析】依题意，若C ，D 调和分割点A ，B ，则有AC →＝λAB →，AD →＝μAB →，且1λ＋1μ＝2.若C是线段AB 的中点，则有AC →＝12AB →，此时λ＝12.又1λ＋1μ＝2，所以1μ＝0，不可能成立．因此A 不对，同理B 不对．当C ，D 同时在线段AB 上时，由AC →＝λAB →，AD →＝μAB →知0<λ<1,0<μ<1，此时1λ＋1μ>2，与已知条件1λ＋1μ＝2矛盾，因此C 不对．若C ，D 同时在线段AB 的延长线上，则AC →＝λAB →时，λ>1，AD →＝μAB →时，μ>1，此时1λ＋1μ<2，与已知1λ＋1μ＝2矛盾，故C ，D 不可能同时在线段AB 的延长线上．二、 填空题11.【答案】A ，B ，D【解析】 BD →＝BC →＋CD →＝(－5a ＋6b )＋(7a －2b )＝2a ＋4b ＝2(a ＋2b )＝2AB →. 12.【答案】 －1【解析】 (k a －2b )·a ＝0，[k (1,1)－2(2，－3)]·(1,1)＝0，即(k －4，k ＋6)·(1,1)＝0，k －4＋k ＋6＝0， ∴k ＝－1. 13.【答案】 12【解析】 a ＋λb ＝(1,2)＋λ(1,0)＝(1＋λ，2)，∵(a ＋λb )∥c ，∴4(1＋λ)－3×2＝0，解得λ＝12.14. 【答案】 －2【解析】 ∵AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋12BC →，BE →＝AE →－AB →＝13AC →－AB →，∴AD →·BE →＝(AB →＋12BC →)·(13AC →－AB →)＝13AB →·AC →＋16BC →·AC →－12BC →·AB →－AB →2＝13×2×2×12＋16×2×2×12＋12×2×2×12－22＝－2.三、 解答题15. 解： (1)若〈a ，b 〉为锐角，则a ·b >0且a 、b 不同向．a ·b ＝x ＋2>0，∴x >－2当x ＝12时，a 、b 同向．∴x >－2且x ≠12(2)a ＋2b ＝(1＋2x,4)，(2a －b )＝(2－x,3) (2x ＋1)(2－x )＋3×4＝0 即－2x 2＋3x ＋14＝0 解得：x ＝72或x ＝－2.16. 解： 以O 为原点，e 1、e 2的方向分别为x ，y 轴的正方向，建立平面直角坐标系xOy ， 则OA →＝(2，m )，OB →＝(n ，－1)，OC →＝(5，－1)， 所以AC →＝(3，－1－m )，BC →＝(5－n,0)，又因为A 、B 、C 三点在一条直线上，所以AC →∥BC →， 所以3×0－(－1－m )·(5－n )＝0，与m ＝2n 构成方程组⎩⎪⎨⎪⎧mn －5m ＋n －5＝0m ＝2n ，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－1n ＝－12或⎩⎪⎨⎪⎧m ＝10，n ＝5.17. 解： (1)设a 与b 的夹角为θ，则|a ＋t b |2＝|a |2＋t 2|b |2＋2t ·a ·b ＝|a |2＋t 2·|b |2＋2|a |·|b |·t ·c os θ＝|b |2(t ＋|a ||b |cos θ)2＋|a |2(1－cos 2θ)．∴当t ＝－|a ||b |cos θ时，|a ＋t b |取最小值|a |sin θ.(2)∵a 与b 的夹角为45°，∴cos θ＝22，从而t ＝－|a ||b |·22，b ·(a ＋t b )＝a ·b ＋t ·|b |2＝|a |·|b |·22－22·|a ||b |·|b |2＝0，所以b 与a ＋t b (t ∈R )垂直，即原结论成立． 18. 解： (1)a ·b ＝(3，－1)·(12，32)＝32－32＝0，∴a ⊥b .(2)假设存在非零实数k ，t 使x ⊥y ，则[a ＋(t 2－3)b ]·(－k a ＋t b )＝0， 整理得－k a 2＋[t －k (t 2－3)]a ·b ＋t (t 2－3)b 2＝0. 又a ·b ＝0，a 2＝4，b 2＝1.∴－4k ＋t (t 2－3)＝0，即k ＝14(t 2－3t )(t ≠0)，故存在非零实数k 、t ，使x ⊥y 成立， 其关系为k ＝14(t 3－3t )(t ≠0)．19. 解：(1)∵AC →＝(cos α－3，sin α)，BC →＝(cos α，sin α－3)， ∴AC →·BC →＝(cos α－3)cos α＋sin α(sin α－3)＝－1，得cos 2＋sin 2α－3(cos α＋sin α)＝－1，∴cos α＋sin α＝23，∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝23. (2)∵|OA →＋OC →|＝13，∴(3＋cos α)2＋sin 2α＝13，∴cos α＝12，∵α∈(0，π)，∴α＝π3，sin α＝32，∴C ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，∴OB →·OC →＝332，设OB →与OC →的夹角为θ，则cos θ＝OB →·OC →|OB →|·|OC →|＝3323＝32.∵θ∈[0，π]，∴θ＝π6即为所求的角.20. 解：如图，(1)作BC 边上的高为AE ，设E (x ，y )，∴AE →＝(x ，y ＋4)，BE →＝(x －4，y )，BC →＝(－10,2)， 由AE →⊥BC →，则－10x ＋2(y ＋4)＝0①由于BE →与BC →共线，则2(x －4)＋10y ＝0② 由①②解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1213y ＝813，因此S △ABC ＝12|BC →|·|AE →|＝12·104·122＋602132＝26×122613＝24. (2)设D (x ，y )，则AD →＝(x ，y ＋4)，BC →＝(－10,2)，由题意可知AD →＝BC →，∴(x ，y ＋4)＝(－10,2)， 即⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－10y ＋4＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－10y ＝－2， 所以，所求点D 的坐标为(－10，－2)．。
高中数学 第二章 平面向量 2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角练习 新人教A版必修4
2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角一、选择题(本大题共7小题，每小题5分，共35分) 1．已知向量a ＝(3，1)，b ＝(－1，3)，那么( ) A ．a ⊥b B ．a ∥bC ．a>bD ．|a|>|b |2．若向量AB →＝(3，－1)，n ＝(2，1)，且n ·AC →＝7，那么n ·BC →等于( ) A ．－2 B ．0 C ．－2或2 D ．23．已知点A(－1，1)，B(1，2)，C(－2，－1)，D(3，4)，则向量AB →在CD →方向上的投影为( )A.322 B.3152C ．－322D ．－31524．已知向量a ＝(2，1)，b ＝(－1，k)，若a ⊥(2a －b )，则k 等于( ) A ．6 B ．－6 C ．12 D ．－125．设点A(4，2)，B(a ，8)，C(2，a)，O 为坐标原点．若四边形OABC 是平行四边形，则向量OA →与OC →之间的夹角为( )A.π3B.π4C.π6 D.π26．已知向量a ＝(3，1)，b 是不平行于x 轴的单位向量，且a ·b ＝3，则b 等于( ) A.⎝⎛⎭⎪⎫32，12 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，334 D ．(1，0) 7．已知x ，y ∈R ，向量a ＝(x ，1)，b ＝(1，y)，c ＝(2，－4)，若a ⊥c ，b ∥c ，则|a ＋b |＝( )A. 5B.10 C ．2 5 D ．10二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)8．已知向量a ＝(cos θ，sin θ)，b ＝(3，－1)，则|3a ＋b |的最大值为________． 9．已知向量a ＝(2，4)，b ＝(1，1)．若b ⊥(a ＋λb )，则实数λ的值是__________． 10．已知a ＝(λ，2)，b ＝(－3，5)． (1)若a 与b 的夹角是钝角，则λ∈________________________________________________________________________.(2)若a 与b 的夹角是锐角，则λ∈________________________________________________________________________.11．设函数f(x)＝1x ＋1，点A 0表示坐标原点，点A n (n ，f(n))(n ∈N *)．若向量a n ＝A 0A 1→＋A 1A 2→＋…＋A n －1A n ，θn 是a n 与i 的夹角(其中i ＝(1，0))，则tan θn ＝________．12．(12分)已知O 为平面直角坐标系的原点，设OA →＝(2，5)，OB →＝(3，1)，OC →＝(6，3)，则在线段OC 上是否存在点M ，使MA ⊥MB ？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．13．(13分)已知向量a ＝(1，3)，b ＝(－2，0)． (1)求a －b 的坐标以及a －b 与a 之间的夹角； (2)当t ∈[－1，1]时，求|a －t b |的取值范围．14．(5分)在△ABC 中，G 是△ABC 的重心，边AB ，AC 的长分别为2，1，∠BAC ＝60°，则AG →·BG →＝( )A ．－89B ．－109C.5－39 D ．－5－3915．(15分)已知平面内向量OA →＝(1，7)，OB →＝(5，1)，OP →＝(2，1)，点Q 是直线OP 上的一个动点．(1)当QA →·QB →取最小值时，求OQ →的坐标； (2)当点Q 满足(1)时，求cos ∠AQB.1．A [解析] ∵3×(－1)＋1×3＝0，∴a ⊥b .2．D [解析] ∵n ·AC →＝n ·(AB →＋BC →)＝n ·AB →＋n ·BC →＝7，∴n ·BC →＝7－n ·AB →＝7－[2×3＋(－1)×1]＝7－5＝2.故选D.3．A [解析] 依题意AB →＝(2，1)，CD →＝(5，5)．向量AB →在CD →方向上的投影为2×5＋552＝322. 4．C [解析] 2a －b ＝(5，2－k)．∵a ⊥(2a －b )，∴a ·(2a －b )＝2×5＋(2－k)×1＝0，即k ＝12.5．B [解析] ∵四边形OABC 是平行四边形，∴OA →＝CB →，即(4－0，2－0)＝(a －2，8－a)，∴a ＝6.又∵OA →＝(4，2)，OC →＝(2，6)，∴cos 〈OA →，OC →〉＝OA →·OC →|OA →|·|OC →|＝4×2＋2×642＋22×22＋62＝22. 又〈OA →，OC →〉∈[0，π]，∴OA →与OC →的夹角为π4.6．B [解析] 令b ＝(x ，y)(y≠0)，则⎩⎨⎧x 2＋y 2＝1①，3x ＋y ＝3②，将②代入①，得x 2＋(3－3x)2＝1，即2x 2－3x ＋1＝0，∴x ＝1(舍去，此时y ＝0)或x ＝12，∴y ＝32.故选B. 7．B [解析] 因为a ⊥c ，所以a ·c ＝0，即2x －4＝0，解得x ＝2.由b ∥c ，得－4＝2y ，解得y ＝－2.所以a ＝(2，1)，b ＝(1，－2)，所以a ＋b ＝(3，－1)，所以|a ＋b |＝32＋（－1）2＝10.8．5 [解析] |a |＝cos 2θ＋sin 2θ＝1，|b |＝（3）2＋（－1）2＝2，∴|3a ＋b|≤3|a|＋|b |＝5.9．－3 [解析] ∵a ＝(2，4)，b ＝(1，1)，b ⊥(a ＋λb )，∴b ·(a ＋λb )＝b·a ＋λb 2＝0，即2＋4＋2λ＝0，∴λ＝－3.10．(1)(103，＋∞) (2)(－∞，－65)∪(－65，103) [解析] (1)∵a ，b 的夹角为钝角，∴a·b ＝(λ，2)·(－3，5)＝－3λ＋10<0，∴λ>103.又当a ，b 反向时，λ不存在，∴λ∈(103，＋∞)．(2)当a ，b 的夹角为锐角时，a·b ＝|a|·|b|·cos 〈a ，b 〉>0，∴－3λ＋10>0，∴λ<103.又当λ＝－65时，〈a ，b 〉＝0°不合题意，∴λ的取值范围为(－∞，－65)∪(－65，103)．11.1n （n ＋1） [解析] 因为A 0(0，0)，A n ⎝ ⎛⎭⎪⎫n ，1n ＋1(n ∈N *)，所以a n ＝A 0A 1→＋A 1A 2→＋…＋A n －1A n ＝A 0A n →＝(n ，1n ＋1)．又因为i ＝(1，0)，所以tan θn ＝1n ＋1n ＝1n （n ＋1）.12．解：假设存在点M ，且OM →＝tOC →，t ∈[0，1]，则OM →＝(6t ，3t)，即M(6t ，3t)． ∴MA →＝OA →－OM →＝(2－6t ，5－3t)，MB →＝OB →－OM →＝(3－6t ，1－3t)．∵MA ⊥MB ，∴MA →·MB →＝(2－6t)(3－6t)＋(5－3t)(1－3t)＝0，即45t 2－48t ＋11＝0，得t ＝13或t ＝1115.∴存在点M ，使MA ⊥MB ，M 点的坐标为(2，1)或⎝ ⎛⎭⎪⎫225，115. 13．解：(1)因为向量a ＝(1，3)，b ＝(－2，0)，所以a －b ＝(1，3)－(－2，0)＝(3，3)，所以cos 〈a －b ，a 〉＝（a －b ）·a |a －b|·|a|＝643＝32.因为〈a －b ，a 〉∈[0，π]，所以向量a －b 与a 之间的夹角为π6.(2)|a －t b|2＝a 2－2t a·b ＋t 2b 2＝4t 2＋4t ＋4＝4(t ＋12)2＋3.易知当t ∈[－1，1]时，|a－t b |2∈[3，12]，所以|a －t b |的取值范围是[3，23]．14．A [解析] 由AB ＝2，AC ＝1，∠BAC ＝60°，得BC ＝3，∠ACB ＝90°.以C 为坐标原点，CB →，CA →的方向分别为x 轴、y 轴的正方向建立平面直角坐标系，则A(0，1)，B(3，0)，所以重心G ⎝ ⎛⎭⎪⎫33，13，所以AG →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫33，－23，BG →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－233，13，所以AG →·BG →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫33，－23·⎝ ⎛⎭⎪⎫－233，13＝－89.15．解：(1)设OQ →＝(x ，y)．∵Q 在直线OP 上，∴OQ →∥OP →， 又OP →＝(2，1)，∴x －2y ＝0，即OQ →＝(2y ，y)． 又QA →＝OA →－OQ →＝(1－2y ，7－y)，QB →＝OB →－OQ →＝(5－2y ，1－y)， ∴QA →·QB →＝5y 2－20y ＋12＝5(y －2)2－8，∴当y ＝2时，QA →·QB →取得最小值－8，此时OQ →的坐标为(4，2)．(2)由(1)可知QA →＝(－3，5)，QB →＝(1，－1)，QA →·QB →＝－8，故cos ∠AQB ＝cos 〈QA →，QB →〉＝QA →·QB →|QA →|·|QB →|＝－834×2＝－41717.。
高一数学必修4第二章平面向量测试题(含答案)
必修4第二章平面向量基础练习1．以下说法错误的是（ ）A ．零向量与任一非零向量平行 B.零向量与单位向量的模不相等C.平行向量方向相同D.平行向量一定是共线向量2．下列四式不能化简为AD 的是（ ）A ．；）＋（B ．）；＋＋（MC ．；－＋BM AD M B D ．；＋－CD OA OC3．已知a =（3，4），b =（5，12），则a 与b 夹角的余弦为（ ）A ．6563B ．65C ．513D ．134． 已知a 、b 均为单位向量,它们的夹角为60°,那么|a + 3b | =（ ）A ．7B ．10C ．13D ．45．设→1e 与→2e 是不共线的非零向量，且k →1e ＋→2e 与→1e ＋k →2e 共线，则k 的值是（） （A ） 1 （B ） －1 （C ） 1± （D ） 任意不为零的实数6．在四边形ABCD 中，−→−AB ＝−→−DC ，且−→−AC ·−→−BD ＝0，则四边形ABCD 是（ ）（A ） 矩形 （B ） 菱形 （C ） 直角梯形 （D ） 等腰梯形7．已知→a ＝（1，2），→b ＝（－2，3），且k →a +→b 与→a －k →b 垂直，则k ＝（ ）（A ） 21±-（B ） 12±（C ） 32±（D ） 23±8、若平面向量(1,)a x =和(23,)b x x =+-互相平行，其中x R ∈.则a b -=（）A. 2-或0；B.C. 2或D. 2或10.9．若),4,3(=Ａ点的坐标为（－２，－１），则Ｂ点的坐标为 ．10．已知(3,4),(2,3)=-=a b ，则2||3-⋅=a a b ．11、ΔABC 中，A(1,2),B(3,1),重心G(3,2)，则C 点坐标为________________。
12、设平面三点A （1，0），B （0，1），C （2，5）．（1）试求向量2＋的模； （2）试求向量与的夹角；（3）试求与BC 垂直的单位向量的坐标．13．如图， =(6,1), ，且 。
2021年高中数学 第二章 平面向量《2.2 平面向量的线性运算》同步测试题 新人教A版必修4
2021年高中数学第二章平面向量《2.2 平面向量的线性运算》同步测试题新人教A版必修4一、选择题1.(xx湖南)若O、E、F是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是( ).A. B. C. D.考查目的：考查平面向量的减法运算及其几何意义.答案：B.解析：根据平面向量的加法和减法意义可知，答案应为B.2.已知平行四边形ABCD，设，而是一非零向量，则下列结论：①；②；③；④，其中正确的是( ).A.①③B.②③C.②④D.①②考查目的：考查向量的加法运算、零向量的概念和平行向量的性质.答案：A.解析：∵在平行四边形ABCD中，，，∴为零向量，零向量和任何向量都平行，零向量和任意向量的和等于这个向量本身，∴①③正确.3.已知向量与反向，且，则的值等于( ).A. B. C. D.考查目的：考查平面向量的数乘运算及其几何意义.答案：C.解析：∵，∴.又∵与反向，∴.二、填空题4.已知，，则=________.考查目的：考查平面向量加法的三角形法则.答案：.解析：∵，且，是以为两邻边的矩形的对角线的长，∴.5.已知是实数，向量不共线，若，则_______，_______.考查目的：考查平面向量的数乘运算和相等向量的综合应用.答案：.解析：由已知得，解得.6.(xx浙江宁波十校)在平行四边形ABCD中，，，，，则________(用表示)．考查目的：考查平面向量的加、减法运算及其综合应用能力.答案：.解析：∵，∴.∵，，∴，∴.三、解答题7.若都是非零向量，在什么条件下向量与共线？考查目的：考查平面向量共线定理的向量形式及其运算.解析：因为都是非零向量，向量与中至少有一个不为零向量，不妨设，则由与共线知，存在实数使，∴，∵且，∴，∴，∴.由上可知，当时，与共线.8.已知平行四边形ABCD的边BC、CD的中点分别是M、N，设，，试用表示.考查目的：考查共线向量的性质与平面向量的加、减法运算.解析：在平行四边形ABCD中，M、N分别是边BC、CD的中点，∴，，∴，，∴，解得.28317 6E9D 溝&23321 5B19 嬙26977 6961 楡40288 9D60 鵠
第二章测评(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.(2016•山东淄川一中阶段性检测)若|m|=4,|n|=6,m与n的夹角是135°,则m·n=()A.12B.12C.-12D.-12解析:m·n=|m||n|cos 135°=4×6×cos 135°=-12,故选C.答案:C2.已知平面内不共线的四点O,A,B,C满足,则||∶||=()A.1∶3B.3∶1C.1∶2D.2∶1解析:由,得)=),即,所以||=2||.故||∶||=2∶1.答案:D3.已知a=(1,-2),b=(-3,4),c=(3,2),则(a+b)·(2a-c)=()A.10B.14C.-10D.-14解析:∵a+b=(-2,2),2a-c=(2,-4)-(3,2)=(-1,-6),∴(a+b)·(2a-c)=-2×(-1)+2×(-6)=-10.答案:C4.向量=(4,-3),向量=(2,-4),则△ABC的形状为()A.等腰非直角三角形B.等边三角形C.直角非等腰三角形D.等腰直角三角形解析:∵=(-2,-1),∴=(-2)×2+(-1)×(-4)=0,∴.又||≠||,∴△ABC是直角非等腰三角形.答案:C5.(2016•河南郑州高一期末)平面向量a=(1,-2),b=(-2,x),若a∥b,则x等于()A.4B.-4C.-1D.2解析:∵平面向量a=(1,-2),b=(-2,x),且a∥b,∴1·x-(-2)·(-2)=0,解得x=4.故选A.答案:A6.若a=(2,-3),b=(1,2),c=(9,4),且c=m a+n b,则m,n的值分别是()A.2,5B.-2,-5C.2,-5D.-2,5解析:∵c=m a+n b,∴(9,4)=m(2,-3)+n(1,2)=(2m+n,-3m+2n).∴答案:A7.平面向量a与b的夹角为60°,|a|=2,b=,则|a+2b|=()A. B.2 C.4 D.12解析:∵b=,∴|b|=1.由已知得ab=|a||b|cos θ=2×1×=1.∴|a+2b|==2.答案:B8.(2016·辽宁实验中学分校段考)若|a+b|=|a-b|=2|a|,则向量a+b与a的夹角为()A. B. C. D.解析:∵|a+b|=|a-b|=2|a|,∴|a+b|2=|a-b|2,两边平方可得a2+2a·b+b2=a2-2a·b+b2,化简可得a·b=0.设向量a+b与a的夹角为θ,则可得cos θ=,又θ∈[0,π],故θ=.答案:B9.已知=(-2,1),=(0,2),且,则点C的坐标是()A.(2,6)B.(-2,-6)C.(2,-6)D.(-2,6)解析:设C(x,y),则=(x+2,y-1),=(x,y-2),=(2,1).由解得∴点C的坐标为(-2,6).答案:D10.如图,过点M(1,0)的直线与函数y=sin πx(0≤x≤2)的图象交于A,B两点,则·()等于() A.1 B.2C.3D.4解析:设N(2,0),由题意知,∴·()==(1,0)·(2,0)=2.答案:B11.已知向量a=(x,3),b=(-3,x),则下列叙述中正确的个数是()①存在实数x,使a∥b;②存在实数x,使(a+b)∥a;③存在实数x,m,使(m a+b)∥a;④存在实数x,m,使(m a+b)∥b.A.0B.1C.2D.3解析:m a+b=m(x,3)+(-3,x)=(mx-3,x+3m),又b=(-3,x),∴-3(x+3m)=x(mx-3),即m(x2+9)=0,∴存在m=0,对任意的实数x,使(m a+b)∥b.答案:B12)设O是平面上一定点,A,B,C是平面上不共线的三点,动点P满足+λ,λ∈[0,+∞),则点P的轨迹经过△ABC的()A.外心B.内心C.重心D.垂心解析:∵+λ,∴=λ.又=-||+||=0,∴与λ垂直,即,∴点P在BC的高线上,即P的轨迹过△ABC的垂心,故选D.答案:D二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中的横线上)13.(2016•陕西渭南阶段性测试)已知向量a,b满足|a|=2,|b|=1,且a与b的夹角为,则a在b方向上的投影为.解析:根据数量积的几何意义可知,a在b方向上的投影为|a|与向量a,b夹角的余弦值的乘积,∴a在b方向上的投影为|a|·cos=2×=-1,∴a在b方向上的投影为-1.答案:-114.(2016·山东临沂期中联考)设x,y∈R,向量a=(x,1),b=(1,y),c=(2,-4),且a⊥c,b∥c,则|a+b|=.解析:∵向量a=(x,1),c=(2,-4),且a⊥c,∴x×2+1×(-4)=0,解得x=2,得a=(2,1),又b=(1,y),c=(2,-4),且b∥c,∴1×(-4)=y×2,解得y=-2,得b=(1,-2),由此可得a+b=(2+1,1+(-2))=(3,-1).∴|a+b|=.答案:15.若平面向量α,β满足|α|=1,|β|≤1,且以向量α,β为邻边的平行四边形的面积为,则α与β的夹角θ的取值范围是.解析:根据题意得|α||β|sin θ=.又|α|=1,|β|≤1,∴≤sin θ≤1,∴≤θ≤.答案:16.已知梯形ABCD中,AD=1,AB=2,∠DAB=,DC∥AB,若=λ,则当=-时,λ=.解析:由已知得+λ,∴·()==-,由已知得1-1+λ-2λ=-,∴-λ=-,∴λ=.答案:三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分10分)(2016•山西曲沃中学高一期末)已知a=(2,1),b=(-3,-4),c⊥(a-b).(1)求2a+3b,|a-2b|;(2)若c为单位向量,求c的坐标.解:(1)∵a=(2,1),b=(-3,-4),∴2a+3b=(-5,-10),a-2b=(8,9),∴|a-2b|=.(2)设c=(x,y),则x2+y2=1,①∵a=(2,1),b=(-3,-4),∴a-b=(5,5).又c⊥(a-b),∴5x+5y=0,∴y=-x,②解得∴c=或c=.18.(本小题满分12分)设向量a,b满足|a|=|b|=1及|3a-2b|=.(1)求a,b的夹角θ;(2)求|3a+b|的值.解:(1)由已知得(3a-2b)2=7,即9|a|2-12a·b+4|b|2=7,又|a|=1,|b|=1,代入得a·b=.∴|a||b|cos θ=,即cos θ=.∵θ∈[0,π],∴θ=.∴向量a,b的夹角θ=.(2)由(1)知,(3a+b)2=9|a|2+6a·b+|b|2=9+3+1=13,∴|3a+b|=.19.(本小题满分12分)已知a=(1,1),b=(0,-2),当k为何值时,(1)k a-b与a+b共线;(2)k a-b与a+b的夹角为120°.解:∵a=(1,1),b=(0,-2),∴k a-b=k(1,1)-(0,-2)=(k,k+2).a+b=(1,1)+(0,-2)=(1,-1).(1)∵k a-b与a+b共线,∴k+2-(-k)=0,解得k=-1.(2)∵|k a-b|=,|a+b|=,(k a-b)·(a+b)=(k,k+2)·(1,-1)=k-k-2=-2,而k a-b与a+b的夹角为120°,∴cos 120°=,即-,化简,整理得k2+2k-2=0,解之得k=-1±.20.(本小题满分12分)已知O为坐标原点,点A(1,0),点B(x,2).(1)求||;(2)设函数f(x)=||2+,求函数f(x)的最小值及相应的x的值.解:(1)由已知条件得:||=.(2)∵f(x)=||2+=x,∴f(x)=x2-2x+5+x=x2-x+5=,∴当x=时,函数f(x)取最小值.21.(本小题满分12分)已知线段PQ过△OAB的重心G,且P,Q分别在OA,OB上,设=a,=b,=m a,=n b.求证:=3.证明:如图所示,∵)=(a+b),∴(a+b).∴(a+b)-m a=a+b.=n b-m a.又P,G,Q三点共线,∴存在一个实数λ,使得=λ.∴a+b=λn b-λm a,∴a+b=0.∵a与b不共线,∴由①②消去λ得:=3.22本小题满分12分)已知正方形ABCD,E,F分别是CD,AD的中点,BE,CF交于点P.求证:(1)BE⊥CF;(2)AP=AB.证明:如图建立平面直角坐标系xOy,其中A为原点,不妨设AB=2,则A(0,0),B(2,0),C(2,2),E(1,2),F(0,1).(1)=(1,2)-(2,0)=(-1,2),=(0,1)-(2,2)=(-2,-1),∵=(-1)×(-2)+2×(-1)=0,∴,即BE⊥CF.(2)设P(x,y),则=(x,y-1),=(-2,-1).∵,∴-x=-2(y-1),即x=2y-2.同理由,得y=-2x+4,代入x=2y-2,解得x=,∴y=,即P.∴=4=,∴||=||,即AP=AB.。
高中数学 必修四 第二章 平面向量综合检测题 新人教A版必修4
高中数学 第二章 平面向量综合检测题本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。
满分150分。
考试时间120分钟。
第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1．下列等式成立的是( ) A ．MN →＝NM →B ．a ·0＝0C ．(a ·b )c ＝a (b ·c )D ．|a ＋b |≤|a |＋|b |[答案] D2．如果a 、b 是两个单位向量，那么下列四个结论中正确的是( ) A ．a ＝b B ．a ·b ＝1 C ．a ＝－b D ．|a |＝|b |[答案] D[解析] 两个单位向量的方向不一定相同或相反，所以选项A 、C 不正确；由于两个单位向量的夹角不确定，则a ·b ＝1不成立，所以选项B 不正确；|a |＝|b |＝1，则选项D 正确．3．如右图，a －b 等于( ) A ．2e 1－4e 2 B ．－4e 1－2e 2 C ．e 1－3e 2 D ．3e 1－e 2[答案] C[解析] a －b ＝e 1－3e 2.4．如图，正方形ABCD 中，点E 、F 分别是DC 、BC 的中点，那么EF →＝( )A ．12AB →＋12AD → B ．－12AB →－12AD →C ．－12AB →＋12AD →D ．12AB →－12AD [答案] D[解析] EF →＝12DB →＝12(AB →－AD →)．6．已知a 、b 、c 是共起点的向量，a 、b 不共线，且存在m 、n ∈R 使c ＝m a ＋n b 成立，若a 、b 、c 的终点共线，则必有( )A ．m ＋n ＝0B ．m －n ＝1C ．m ＋n ＝1D ．m ＋n ＝－1[答案] C[解析] 设OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ， ∵a 、b 、c 的终点共线，∴设AC →＝λAB →，即OC →－OA →＝λ(OB →－OA →)， ∴OC →＝(1－λ)OA →＋λOB →，即c ＝(1－λ)a ＋λb ，又c ＝m a ＋n b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧1－λ＝m ，λ＝n ，∴m ＋n ＝1.6．与向量a ＝(1,1)平行的所有单位向量为( ) A ．(22，22) B ．(－22，－22) C ．(±22，±22) D ．(22，22)或(－22，－22) [答案] D[解析] 与a 平行的单位向量为±a|a |.7．已知点A (－1,1)、B (1,2)、C (－2，－1)、D (3,4)，则向量AB →在CD →方向上的投影为( ) A ．322B ．3152C ．－322D ．－3152[答案] A[解析] 本题考查向量数量积的几何意义及坐标运算． 由条件知AB →＝(2,1)，CD →＝(5,5)，AB →·CD →＝10＋5＝15. |CD →|＝52＋52＝52，则AB →在CD →方向上的投影为 |AB →|cos 〈AB →，CD →〉＝AB →·CD →|CD →|＝1552＝322，故选A ．8．已知C 为△ABC 的一个内角，向量m ＝(2cos C －1，－2)，n ＝(cos C ，cos C ＋1)．若m ⊥n ，则∠C 等于( )A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π6[答案] C[解析] ∵m ⊥n ，∴2cos 2C －3cos C －2＝0， ∴(2cos C ＋1)(cos C －2)＝0，∴cos C ＝－12，又C 为△ABC 的一个内角，∴C ＝2π3.9．设四边形ABCD 为平行四边形，|AB →|＝6，|AD →|＝4.若点M ，N 满足BM →＝3MC →，DN →＝2NC →，则AM →·NM →＝( )A ．20B ．15C ．9D ．6[答案] C[解析] 选择AB →，AD →为基向量．∵BM →＝3MC →，∴AM →＝AB →＋BM →＝AB →＋34BC →＝AB →＋34AD →，又DN →＝2NC →，∴NM →＝NC →＋CM →＝13AB →－14AD →，于是AM →·NM →＝(AB →＋34AD →)·(13AB →－14AD →)＝14(4AB →＋3AD →)·112(4AB →－3AD →)＝148(16|AB →|2－9|AD →|2)＝9，故选C ．10．(2012·全国高考浙江卷)设a 、b 是两个非零向量( ) A ．若|a ＋b |＝|a |－|b |，则a ⊥b B ．若a ⊥b ，则|a ＋b |＝|a |－|b |C ．若|a ＋b |＝|a |－|b |，则存在实数λ，使得a ＝λbD ．若存在实数λ，使得a ＝λb ，则|a ＋b |＝|a |－|b | [答案] C[解析] 利用排除法可得选项C 是正确的，∵|a ＋b |＝|a |－|b |，则a 、b 共线，即存在实数λ，使得a ＝λB ．如选项A ：|a ＋b |＝|a |－|b |时，a 、b 可为异向的共线向量；选项B ：若a ⊥b ，由正方形得|a ＋b |＝|a |－|b |不成立；选项D ；若存在实数λ，使得a ＝λb ，a ，b 可为同向的共线向量，此时显然|a ＋b |＝|a |－|b |不成立．11．已知△ABC 中，AB →＝a ，AC →＝b ，a ·b <0，S △ABC ＝154，|a |＝3，|b |＝5，则a 与b 的夹角为( )A ．30°B ．－150°C ．150°D ．30°或150°[答案] C[解析] 由a ·b <0可知a ，b 的夹角θ为钝角，又S △ABC ＝12|a |·|b |sin θ，∴12×3×5×sin θ＝154，∴sin θ＝12⇒θ＝150°.12．已知点O 为△ABC 所在平面内一点，且OA →2＋BC →2＝OB →2＋CA →2＝OC →2＋AB →2，则点O 一定为△ABC 的( )A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心[答案] D[解析] ∵OA →2＋BC →2＝OB →2＋CA →2， ∴OA →2－OB →2＝CA →2－BC →2，∴(OA →－OB →)·(OA →＋OB →)＝(CA →＋BC →)·(CA →－BC →)， ∴BA →·(OA →＋OB →)＝BA →·(CA →－BC →)， ∴BA →·(OA →＋OB →－CA →＋BC →)＝0， ∴BA →·(OA →＋AC →＋OC →)＝0， ∴BA →·OC →＝0， ∴BA →⊥OC →.同理可得：CA →⊥OB →，CB →⊥OA →. ∴O 为△ABC 的垂心．第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上) 13．已知向量a 、b ，且AB →＝a ＋2b ，BC →＝－5a ＋6b ，CD →＝7a －2b ，则A 、B 、C 、D 四点中一定共线的三点是____________．[答案] A ，B ，D[解析] BD →＝BC →＋CD →＝(－5a ＋6b )＋(7a －2b )＝2a ＋4b ＝2(a ＋2b )＝2AB →.14．已知向量a ＝(1,1)，b ＝(2，－3)，若k a －2b 与a 垂直，则实数k 等于________． [答案] －1[解析] (k a －2b )·a ＝0，[k (1,1)－2(2，－3)]·(1,1)＝0，即(k －4，k ＋6)·(1,1)＝0，k －4＋k ＋6＝0，∴k ＝－1.15．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(1,0)，c ＝(3,4)．若λ为实数，(a ＋λb )∥c ，则λ的值为____________．[答案] 12[解析] a ＋λb ＝(1,2)＋λ(1,0)＝(1＋λ，2)， ∵(a ＋λb )∥c ，∴4(1＋λ)－3×2＝0，解得λ＝12.16．如图，正三角形ABC 边长为2，设BC →＝2BD →，AC →＝3AE →，则AD →·BE →＝________.[答案] －2[解析] ∵AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋12BC →，BE →＝AE →－AB →＝13AC →－AB →，∴AD →·BE →＝(AB →＋12BC →)·(13AC →－AB →)＝13AB →·AC →＋16BC →·AC →－12BC →·AB →－AB →2＝13×2×2×12＋16×2×2×12＋12×2×2×12－22＝－2. 三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本题满分10分)已知向量a ＝(1,2)，b ＝(x,1)． (1)若〈a ，b 〉为锐角，求x 的范围； (2)当(a ＋2b )⊥(2a －b )时，求x 的值．[解析] (1)若〈a ，b 〉为锐角，则a ·b >0且a 、b 不同向．a ·b ＝x ＋2>0，∴x >－2当x ＝12时，a 、b 同向．∴x >－2且x ≠12(2)a ＋2b ＝(1＋2x,4)，2a －b ＝(2－x,3) (2x ＋1)(2－x )＋3×4＝0 即－2x 2＋3x ＋14＝0 解得：x ＝72或x ＝－2.18．(本题满分12分)设e 1、e 2是正交单位向量，如果OA →＝2e 1＋m e 2，OB →＝n e 1－e 2，OC →＝5e 1－e 2，若A 、B 、C 三点在一条直线上，且m ＝2n ，求m 、n 的值．[解析] 以O 为原点，e 1、e 2的方向分别为x ，y 轴的正方向，建立平面直角坐标系xOy ， 则OA →＝(2，m )，OB →＝(n ，－1)，OC →＝(5，－1)， 所以AC →＝(3，－1－m )，BC →＝(5－n,0)，又因为A 、B 、C 三点在一条直线上，所以AC →∥BC →， 所以3×0－(－1－m )·(5－n )＝0，与m ＝2n 构成方程组⎩⎪⎨⎪⎧mn －5m ＋n －5＝0m ＝2n ，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－1n ＝－12或⎩⎪⎨⎪⎧m ＝10，n ＝5.19．(本题满分12分)已知a 和b 是两个非零的已知向量，当a ＋t b (t ∈R )的模取最小值时．(1)求t 的值；(2)已知a 与b 成45°角，求证：b 与a ＋t b (t ∈R )垂直．[解析] (1)设a 与b 的夹角为θ，则|a ＋t b |2＝|a |2＋t 2|b |2＋2t ·a ·b ＝|a |2＋t 2·|b |2＋2|a |·|b |·t ·cos θ＝|b |2(t ＋|a ||b |cos θ)2＋|a |2(1－cos 2θ)． ∴当t ＝－|a ||b |cos θ时，|a ＋t b |取最小值|a |sin θ.(2)∵a 与b 的夹角为45°，∴cos θ＝22，从而t ＝－|a ||b |·22，b ·(a ＋t b )＝a ·b ＋t ·|b |2＝|a |·|b |·22－22·|a ||b |·|b |2＝0，所以b 与a ＋t b (t ∈R )垂直，即原结论成立．20．(本题满分12分)已知向量a 、b 不共线，c ＝k a ＋b ，d ＝a －b ， (1)若c ∥d ，求k 的值，并判断c 、d 是否同向；(2)若|a |＝|b |，a 与b 夹角为60°，当k 为何值时，c ⊥D ． [解析] (1)c ∥d ，故c ＝λd ，即k a ＋b ＝λ(a －b )． 又a 、b 不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧k ＝λ，1＝－λ.得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－1，k ＝－1.即c ＝－d ，故c 与d 反向． (2)c ·d ＝(k a ＋b )·(a －b ) ＝k a 2－k a ·b ＋a ·b －b 2＝(k －1)a 2＋(1－k )|a |2·cos60° 又c ⊥d ，故(k －1)a 2＋1－k 2a 2＝0.即(k －1)＋1－k2＝0.解得k ＝1.21．(本题满分12分)在平面直角坐标系xOy 中，已知向量m ＝(22，－22)，n ＝(sin x ，cos x )，x ∈(0，π2)．(1)若m ⊥n ，求tan x 的值；(2)若m 与n 的夹角为π3，求x 的值．[解析] (1)∵m ⊥n ，∴m ·n ＝0. 故22sin x －22cos x ＝0，∴tan x ＝1. (2)∵m 与n 的夹角为π3，∴m ，n＝m ·n |m |·|n |＝22sin x －22cos x 1×1＝12， 故sin(x －π4)＝12.又x ∈(0，π2)，∴x －π4∈(－π4，π4)，x －π4＝π6，即x ＝5π12，故x 的值为5π12.22．(本题满分12分)已知向量a ＝(3，－1)，b ＝(12，32)．(1)求证：a ⊥b ；(2)是否存在不等于0的实数k 和t ，使x ＝a ＋(t 2－3)b ，y ＝－k a ＋t b ，且x ⊥y ？如果存在，试确定k 和t 的关系；如果不存在，请说明理由．[解析] (1)a ·b ＝(3，－1)·(12，32)＝32－32＝0，∴a ⊥B ．(2)假设存在非零实数k ，t 使x ⊥y ，则[a ＋(t 2－3)b ]·(－k a ＋t b )＝0， 整理得－k a 2＋[t －k (t 2－3)]a ·b ＋t (t 2－3)b 2＝0. 又a ·b ＝0，a 2＝4，b 2＝1.∴－4k ＋t (t 2－3)＝0，即k ＝14(t 2－3t )(t ≠0)，故存在非零实数k 、t ，使x ⊥y 成立， 其关系为k ＝14(t 3－3t )(t ≠0)．。
2021秋高中数学第二章平面向量2.3.1平面向量基本定理练习(含解析)新人教A版必修4
2.3.1 平面向量根本定理A 级 根底稳固一、选择题1．设e 1，e 2是平面内所有向量的一组基底，那么以下四组向量中，不能作为基底的是( )A ．e 1＋e 2和e 1－e 2B ．3e 1－4e 2和6e 1－8e 2C ．e 1＋2e 2和2e 1＋e 2D ．e 1和e 1＋e 2解析：B 中，因为6e 1－8e 2＝2(3e 1－4e 2)， 所以(6e 1－8e 2)∥(3e 1－4e 2)，所以3e 1－4e 2和6e 1－8e 2不能作为基底． 答案：B2．在菱形ABCD 中，∠A ＝π3，那么AB →与AC →的夹角为( )A.π6B.π3C.5π6D.2π3解析：由题意知AC 平分∠BAD ，所以AB →与AC →的夹角为π6.答案：A3．在△ABC 中，点D 在BC 边上，且BD →＝2DC →，设AB →＝a ，AC →＝b ，那么AD →可用基底a ，b 表示为( )A.12(a ＋b ) B.23a ＋13b C.13a ＋23b D.13(a ＋b ) 解析：因为BD →＝2DC →， 所以BD →＝23BC →.所以AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋23BC →＝AB →＋23(AC →－AB →)＝13AB →＋23AC →＝13a ＋23b .答案：C4．如图，在△OAB 中，P 为线段AB 上一点，OP →＝xOA →＋yOB →，且BP →＝3PA →，那么( )A ．x ＝23，y ＝13B ．x ＝13，y ＝23C ．x ＝14，y ＝34D ．x ＝34，y ＝14解析：由BP →＝3PA →，得OP →－OB →＝3(OA →－OP →)，整理，得OP →＝34OA →＋14OB →，故x ＝34，y ＝14.答案：D5．(2021·全国卷Ⅰ)在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，那么EB →＝( ) A.34AB →－14AC → B.14AB →－34AC → C.34AB →＋14AC → D.14AB →＋34AC → 答案：A 二、填空题6．假设OP 1→＝a ，OP 2→＝b ，P 1P →＝λPP 2→(λ≠－1)，那么OP →＝________．解析：因为OP →＝OP 1→＋P 1P →＝OP 1＋λPP 2→＝OP 1→＋λ(OP 2→－OP →)＝OP 1→＋λOP 2→－λOP →， 所以(1＋λ)OP →＝OP 1→＋λOP 2→.所以OP →＝11＋λOP 1→＋λ1＋λOP 2→＝11＋λa ＋λ1＋λb .答案：11＋λa ＋λ1＋λb 7．|a |＝1，|b |＝2，且a －b 与a 垂直，那么a 与b 的夹角为________．解析：如图，作向量OA →＝a ，OB →＝b ，那么BA →＝a －b .由，得OA ＝1，OB ＝2，OA ⊥AB ，所以△OAB 为等腰直角三角形，所以∠AOB ＝45°，所以a 与b 的夹角为45°.答案：45°8．如果3e 1＋4e 2＝a ，2e 1＋3e 2＝b ，其中a ，b 为向量，那么e 1＝________，e 2＝________． 解析：由⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3e 1＋4e 2，b ＝2e 1＋3e 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧e 1＝3a －4b ，e 2＝3b －2a .答案：3a －4b 3b －2a 三、解答题9．如下图，平面内有三个向量OA →，OB →，OC →，其中OA →与OB →的夹角为120°，OA →与OC →的夹角为30°，且|OA →|＝|OB →|＝1，|OC →|＝23，假设OC →＝λOA →＋μOB →(λ，μ∈R)．求λ＋μ的值．解：如下图，以OA ，OB 所在射线为邻边，OC 为对角线作平行四边形ODCE ，那么OC →＝OD →＋OE →.在直角△OCD 中，因为|OC →|＝23，∠COD ＝30°，∠OCD ＝90°，所以|OD →|＝4，|CD →|＝2，故OD →＝4OA →，OE →＝2OB →，即λ＝4，μ＝2，所以λ＋μ＝6.10．如下图，▱ABCD 中，E ，F 分别是BC ，DC 的中点，G 为DE ，BF 的交点，假设AB →＝a ，AD →＝b ，试以a ，b 为基底表示DE →，BF →，CG →.解：DE →＝AE →－AD →＝AB →＋BE →－AD →＝a ＋12b －b ＝a －12b .BF →＝AF →－AB →＝AD →＋DF →－AB →＝b ＋12a －a ＝b －12a .如下图，连接DB ，延长CG ，交BD 于点O ，点G 是△CBD 的重心，故CG →＝CE →＋EG →＝12CB →＋EG →＝12CB →＋13ED →＝－12b －13⎝ ⎛⎭⎪⎫a －12b ＝－13a －13b .B 级 能力提升1．如果e 1，e 2是平面α内两个不共线的向量，那么以下说法中不正确的选项是( ) ①λe 1＋μe 2(λ，μ∈R)可以表示平面α内的所有向量；②对于平面α内任一向量a ，使a ＝λe 1＋μe 2的实数对(λ，μ)有无穷多个；③假设向量λ1e 1＋μ1e 2与λ2e 1＋μ2e 2共线，那么有且只有一个实数λ，使得λ1e 1＋μ1e 2＝λ(λ2e 1＋μ2e 2)；④假设存在实数λ，μ使得λe 1＋μe 2＝0，那么λ＝μ＝0.A ．①②B ．②③C ．③④D ．②解析：由平面向量根本定理可知，①④是正确的；对于②，由平面向量根本定理可知，一旦一个平面的基底确定，那么任意一个向量在此基底下的实数对是唯一的；对于③，当两向量的系数均为零，即λ1＝λ2＝μ1＝μ2＝0时，这样的λ有无数个．答案：B2．如图，向量BP →＝14BA →，假设OP →＝xOA →＋yOB →，那么x －y ＝________．解析：因为OP →＝OB →＋BP →＝OB →＋14BA →＝OB →＋14(BO →＋OA →)＝14OA →＋34OB →，所以x ＝14，y ＝34.所以x －y ＝－12.答案：－123．设e 1，e 2是不共线的非零向量，且a ＝e 1－2e 2，b ＝e 1＋3e 2. (1)证明：a ，b 可以作为一组基底；(2)以a ，b 为基底，求向量c ＝3e 1－e 2的分解式； (3)假设4e 1－3e 2＝λa ＋μb ，求λ，μ的值．(1)证明：假设a ，b 共线，那么存在λ∈R ，使a ＝λb ， 那么e 1－2e 2＝λ(e 1＋3e 2)．由e 1，e 2不共线得，⎩⎪⎨⎪⎧λ＝1，3λ＝－2，⇒⎩⎪⎨⎪⎧λ＝1，λ＝－23. 所以λ不存在，故a 与b 不共线，可以作为一组基底．(2)解：设c ＝ma ＋nb (m ，n ∈R)，得3e 1－e 2＝m (e 1－2e 2)＋n (e 1＋3e 2)＝(m ＋n )e 1＋(－2m ＋3n )e 2.所以⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝3，－2m ＋3n ＝－1，⇒⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，n ＝1.所以c ＝2a ＋b .(3)解：由4e 1－3e 2＝λa ＋μb ，得4e 1－3e 2＝λ(e 1－2e 2)＋μ(e 1＋3e 2)＝(λ＋μ)e 1＋(－2λ＋3μ)e 2.所以⎩⎪⎨⎪⎧λ＋μ＝4，－2λ＋3μ＝－3，⇒⎩⎪⎨⎪⎧λ＝3，μ＝1.故所求λ，μ的值分别为3和1.。
2021年高中数学 第2章《平面向量》单元测试题 新人教A版必修4
2021年高中数学第2章《平面向量》单元测试题新人教A版必修4一、选择题(本大题共8小题,每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的.)1.下列向量组中,能作为表示它们所在平面内所有向量的基底的是（）.A.，B.，C.，D.，4.已知向量，满足，，且，则与的夹角为（）.A．B．C．D．5.若平面向量与向量平行，且，则( ).A．B．C．D．或6.在四边形中，，，，则四边形是（）.A.长方形B.平行四边形Ｃ.菱形Ｄ.梯形7.若非零向量，满足，则（）.A. B. C. D.8.如图，点是△的重心，则为（）.A. B.4 C.4 D.4第Ⅱ卷(非选择题共110分)二、填空题(本大题共7小题，每小题5分，共35分. 把答案填在题中的横线上.)9.已知，，则在上的投影等于___________.10.已知，，若与平行，则.11.在边长为1的等边三角形中，设，，，则等于___________.12.已知，均为单位向量，它们的夹角为，那么___________.三、解答题(本大题共6小题，共75分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.) 16．（本小题满分12分）设向量，，向量，∥，又+=，求.17.（本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy中，已知点A(－1,－2)、B(2,3)、C(－2,－1).（1）求以线段AB、AC为邻边的平行四边形两条对角线的长；（2）设实数t满足()·=0，求t的值.18．（本小题满分12分）已知向量(3,4),(6,3),(5,3) OA OB OC x y =-=-=---．（1）若点能构成三角形，求满足的条件；（2）若△为等腰直角三角形，且为直角，求的值．19.（本小题满分13分）已知，，，.（1）若（为坐标原点），求与的夹角；（2）若，求的值.21.（本小题满分13分）在平面直角坐标系中，为坐标原点，已知向量，又点，，，其中. （1）若且，求向量；（2）若向量与向量共线，当时，且取最大值为4时，求.第二章《平面向量》测试题参考答案一、选择题(本大题共8小题,每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的.)17. （1）（方法一）由题设知，则所以故所求的两条对角线的长分别为、。
人教A版高中数学必修四第二章平面向量单元测试新课程新课标
第二章 平面向量（复习）1、理解和掌握平面向量有关的概念；熟练掌握平面向量的几何运算和坐标运算；2、熟悉平面向量的平行、垂直关系和夹角公式的应用；（预习教材P116—P121）二、新课导学※复习1、平面向量有关的概念：（1）向量；（2）向量模；（3）相等向量；（4）相反向量；（5）零向量；（6）单位向量；（7）平行向量；（8）向量的夹角；（9）向量的坐标。
2、向量的运算：（1）加减法；（2）实数与向量的乘积；（3）向量的数量积。
3、几个重要的结论：设11a (x ,y )=，22b (x ,y )=，λ为一实数。
（1）+a b =________；-a b =__________ ；λa =__________；a b ⋅= .（2）设a=(x,y),则2a =_____________或a _______________； （3）设θ是a 与b 的夹角，则cos θ＝_________＝_______________； （4）a b ⊥⇔a b 0⋅=⇔ ；（5）a //b ⇔存在0λ≠，使得a b =λ⇔※ 典型例题例1、设1e 、2e 是两个不共线的向量，已知AB =122e ke +，123CB e e =+，122CD e e =-，若,,A B D 三点共线，求k 的值.例2、已知向量()()4,3,1,2a b ==-，求⑴求a 与b 的夹角θ；⑵若向量a b λ-与2a b +垂直，求λ的值.例3、向量a (1,1)=-，且a 与a 2b +方向相同，求a b ⋅的取值范围。
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1、已知正方形ABCD 的边长为1，AB a =，BC b =，AC c =，则a b c ++为多少？2、若12,e e 是夹角为60的两个单位向量，则122a e e =+；1232b e e =-+的夹角为多少？3、已知向量()2,2a =-，()5,b k =，若a b +不超过5，则k 的取值范围是多少？1. 已知a ＝(2,3)，b ＝(－4,7)，则b 在a 方向上的投影为________．2. 已知OA →＝(3，－4)，OB →＝(6，－3)，OC →＝(5－m ，－3－m )．若点A 、B 、C 能构成三角形，则实数m 应满足的条件为________．3.已知|a |＝4，|b |＝3，(2a －3b )·(2a ＋b )＝61，求a 与b 的夹角θ.。
高中数学 第二章 平面向量测评 新人教A版必修4(2021年最新整理)
高中数学第二章平面向量测评新人教A版必修4编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（高中数学第二章平面向量测评新人教A版必修4）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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第二章平面向量（时间:120分钟满分:150分）一、选择题(本大题共12小题,每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1。
(2016•山东淄川一中阶段性检测）若｜m|=4，｜n|=6，m与n的夹角是135°,则m·n=(）A.12 B。
12 C.—12 D.-12解析：m·n=|m｜｜n｜cos 135°=4×6×cos 135°=—12，故选C。
答案:C2.已知平面内不共线的四点O，A,B,C满足,则｜|∶｜｜=()A.1∶3B.3∶1 C。
1∶2 D。
2∶1解析:由，得)=)，即,所以||=2||.故|｜∶｜｜=2∶1。
答案:D3.已知a=(1，—2)，b=(-3，4），c=(3,2）,则（a+b)·(2a—c）=()A.10 B。
14 C.—10 D。
-14解析:∵a+b=(—2，2),2a—c=(2,—4)—（3，2）=(-1，—6),∴(a+b）·(2a—c)=-2×（-1）+2×（—6)=—10。
答案:C4.向量=（4,—3）,向量=(2,—4)，则△ABC的形状为(）A。
等腰非直角三角形B。
等边三角形C.直角非等腰三角形D.等腰直角三角形解析：∵=(—2,—1)，∴=(-2）×2+（-1)×(—4)=0，∴。
高中数学 第2章 平面向量 2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角练习 新人教A版必修4-新
2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角课时分层训练‖层级一‖|学业水平达标|1．已知向量a ＝(0，－23)，b ＝(1，3)，则向量a 在b 方向上的投影为( ) A ． 3 B ．3 C ．－ 3D ．－3解析：选D 向量a 在b 方向上的投影为a ·b |b |＝－62＝－3.故选D. 2．设a ＝(1,2)，b ＝(1,1)，c ＝a ＋k b ，若b ⊥c ，则实数k 的值等于( ) A ．－32B ．－53C ．53D ．32解析：选A 因为c ＝(1＋k,2＋k )，b ·c ＝0，所以1＋k ＋2＋k ＝0，解得k ＝－32，故选A ．3．a ，b 为平面向量，已知a ＝(4,3)，2a ＋b ＝(3,18)，则a ，b 夹角的余弦值等于( ) A ．865 B ．－865C ．1665D ．－1665解析：选C 设b ＝(x ，y )，则2a ＋b ＝(8＋x,6＋y )＝(3,18)，所以⎩⎪⎨⎪⎧8＋x ＝3，6＋y ＝18，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－5，y ＝12，故b ＝(－5,12)，所以cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝1665.故选C ． 4．设点A (2,0)，B (4,2)，若点P 在直线AB 上，且|AB →|＝2|AP →|，则点P 的坐标为( ) A ．(3,1)B ．(1，－1)C ．(3,1)或(1，－1)D ．无数多个解析：选C 设P (x ，y )，由|AB →|＝2|AP →|得，AB →＝2AP →或AB →＝－2AP →，AB →＝(2,2)，AP →＝(x －2，y )，即(2,2)＝2(x －2，y )，x ＝3，y ＝1，P (3,1)； 故(2,2)＝－2(x －2，y )，x ＝1，y ＝－1，P (1，－1)．P (3,1)或(1，－1)．故选C ．5．已知向量a ＝(2cos θ，2sin θ)，b ＝(0，－2)，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，则向量a ，b 的夹角为( )A ．32π－θ B ．θ－π2C ．π2＋θD ．θ解析：选A ∵cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝－4sin θ2×2＝－sin θ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫32π－θ，∵θ∈⎝⎛⎭⎪⎫π2，π，∴32π－θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，又〈a ，b 〉∈[0，π]∴〈a ，b 〉＝32π－θ.故选A ．6．已知a ＝(1，n )，b ＝(－1，n )，且2a －b 与b 垂直，则|a |等于________． 解析：2a －b ＝(3，n )，∵(2a －b )·b ＝0，∴n 2－3＝0，∴n 2＝3，∴|a |2＝1＋n 2＝4，∴|a |＝2. 答案：27．已知向量a ＝(2，－1)，b ＝(x ，－2)，c ＝(3，y )，若a ∥b ，(a ＋b )⊥(b －c )，M (x ，y )，N (y ，x )，则向量MN →的模为________．解析：∵a ∥b ，∴2×(－2)－(－1)×x ＝0， 解得x ＝4，∴b ＝(4，－2)，∴a ＋b ＝(6，－3)，b －c ＝(1，－2－y )． ∵(a ＋b )⊥(b －c )，∴(a ＋b )·(b －c )＝0， 即6－3(－2－y )＝0，解得y ＝－4，∴MN →＝(y －x ，x －y )＝(－8,8)，∴|MN →|＝8 2. 答案：8 28．(2018·某某某某中学月考)已知向量a ＝(1,2)，b ＝(－2，－4)，|c |＝5，若(a ＋b )·c ＝52，则a 与c 的夹角的大小为________．解析：易得a ＋b ＝(－1，－2)，|a |＝ 5.设c ＝(x ，y )， ∵(a ＋b )·c ＝52，∴x ＋2y ＝－52.设a 与c 的夹角为θ，∴cos θ＝a ·c |a ||c |＝x ＋2y 5＝－525＝－12.又θ∈[0°，180°]∴θ＝120°. 答案：120°9．(2019·某某期末)已知a ＝(1,2)，b ＝(1,1)，且a 与a ＋λb 的夹角为锐角，某某数λ的取值X 围．解：∵a 与a ＋λb 均为非零向量，且夹角为锐角， ∴a ·(a ＋λb )>0，即(1,2)·(1＋λ，2＋λ)>0. ∴(1＋λ)＋2(2＋λ)>0. ∴λ>－53.当a 与a ＋λb 共线时， 存在实数m ，使a ＋λb ＝m a ， 即(1＋λ，2＋λ)＝m (1,2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧1＋λ＝m ，2＋λ＝2m ，解得λ＝0.即当λ＝0时，a 与a ＋λb 共线，综上可知，实数λ的取值X 围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－53，0∪(0，＋∞)．10．在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (－1，－2)，B (2,3)，C (－2，－1)． (1)求以线段AB 、AC 为邻边的平行四边形的两条对角线的长； (2)设实数t 满足(AB →－tOC →)·OC →＝0，求t 的值． 解：(1)由题设知AB →＝(3,5)，AC →＝(－1,1)， 则AB →＋AC →＝(2,6)，AB →－AC →＝(4,4)， 所以|AB →＋AC →|＝210，|AB →－AC →|＝4 2. 故两条对角线的长分别为210、4 2.(2)由题设知OC →＝(－2，－1)，AB →－tOC →＝(3＋2t,5＋t )，由(AB →－tOC →)·OC →＝0，得(3＋2t,5＋t )·(－2，－1)＝0，从而5t ＝－11，故t ＝－115.‖层级二‖|应试能力达标|1．(2019·某某日照一中期中)设向量a ＝(－1,2)，b ＝(m,1)，如果向量a ＋2b 与2a －b 平行，那么a ·b ＝( )A ．－72B ．－12C ．32D ．52解析：选D a ＋2b ＝(－1＋2m,4)，2a －b ＝(－2－m,3)，由题意，得3(－1＋2m )－4(－2－m )＝0，则m ＝－12，所以a ·b ＝－1×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋2×1＝52.故选D.2．(2018·某某某某金山中学期末)已知a ＝(－3,2)，b ＝(－1,0)，若向量λa ＋b 与a －2b 垂直，则实数λ的值为( )A ．17 B ．－17C ．16D ．－16解析：选B 由向量λa ＋b 与a －2b 垂直，得(λa ＋b )·(a －2b )＝0.因为a ＝(－3,2)，b ＝(－1,0)，所以(－3λ－1,2λ)·(－1,2)＝0，即3λ＋1＋4λ＝0，解得λ＝－17.故选B.3．(2019·某某某某中学期末)已知向量a ＝(3，1)，b 是不平行于x 轴的单位向量，且a ·b ＝3，则 b ＝( )A ．⎝⎛⎭⎪⎫32，12 B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32 C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫14，334 D ．(1,0)解析：选B 设b ＝(x ，y )，其中y ≠0，则a ·b ＝3x ＋y ＝3，由⎩⎨⎧x 2＋y 2＝1，3x ＋y ＝3，y ≠0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12，y ＝32，即b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32.故选B.4．已知向量OA →＝(2,2)，OB →＝(4,1)，在x 轴上有一点P ，使AP →·BP →有最小值，则点P 的坐标是( )A ．(－3,0)B ．(2,0)C ．(3,0)D ．(4,0)解析：选C 设点P 的坐标为(x,0)，则 AP →＝(x －2，－2)，BP →＝(x －4，－1)．∴AP →·BP →＝(x －2)(x －4)＋(－2)×(－1) ＝x 2－6x ＋10＝(x －3)2＋1. 当x ＝3时，AP →·BP →有最小值1， 此时点P 的坐标为(3,0)，故选C ．5．(2018·某某七中期末)已知a ＝(1,2)，b ＝(x,4)，且a ·b ＝10，则|a －b |＝________. 解析：由题意，得a ·b ＝x ＋8＝10，∴x ＝2，∴a －b ＝(－1，－2)，∴|a －b |＝ 5. 答案： 56．设m ＝(a ，b )，n ＝(c ，d )，规定两向量m ，n 之间的一个运算“⊕”为m ⊕n ＝(ac－bd ，ad ＋bc )．若已知p ＝(1,2)，p ⊕q ＝(－4，－3)，则q ＝________.解析：设q ＝(x ，y )，则p ⊕q ＝(x －2y ，y ＋2x )＝(－4，－3)，∴⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＝－4，y ＋2x ＝－3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝1.∴q ＝(－2,1)．答案：(－2,1)7．已知向量OA →＝(1,7)，OB →＝(5,1)(O 为坐标原点)，设M 为直线y ＝12x 上的一点，那么MA →·MB →的最小值是________．解析：设M ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ，12x ，则MA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x ，7－12x ，MB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫5－x ，1－12x ，∴MA →·MB →＝(1－x )(5－x )＋⎝ ⎛⎭⎪⎫7－12x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12x ＝54(x －4)2－8，所以当x ＝4时，MA →·MB →取得最小值－8.答案：－88．(2019·某某某某期末)在平面直角坐标系xOy 中，已知A ，B ，C 三点的坐标分别为A (2，－1)，B (3,5)，C (m ，3)．(1)若AB →⊥AC →，某某数m 的值；(2)若A ，B ，C 三点能构成三角形，某某数m 的取值X 围． 解：(1)由题意，有AB →＝(1,6)，AC →＝(m －2,4)， 由AB →⊥AC →，得AB →·AC →＝0， 即(m －2)×1＋4×6＝0， 解得m ＝－22.(2)若A ，B ，C 三点能构成三角形，则A ，B ，C 三点不共线， 即AB →与AC →不平行， 故1×4－6(m －2)≠0，解得m ≠83，即实数m 的取值X 围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，83∪⎝ ⎛⎭⎪⎫83，＋∞.。