离散型随机变量的数学期望

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66Biblioteka X x1 x2 ··· xi ··· xn P p1 p2 ··· pi ··· pn
E( X ) x1 p1 x2 p2 xi pi xn pn
思考：
设Y＝aX＋b，其中a，b为常数，则Y也是随机变 量． （1） Y的分布列是什么？ （2） E(Y)=？
X
x1
x2 ··· xn
aE(X ) b
一、离散型随机变量取值的均值
X x1 x2 ··· xi ··· xn P p1 p2 ··· pi ··· pn EX x1 p1 x2 p2 xi pi xn pn
二、随机变量数学期望的性质（线性性质）
E(aX b) aEX b
即时训练：
1、随机变量X的分布列是
0.7
0.3
2
2
3
C
2 3
0.7
2
0.3
0.73
EX
0 0.33
1
C
1 3
0.7
0.3
2
2
C
2 3
0.7
2
0.3
3 0.73
2.1 3 0.7
三、例题讲解
变式2.篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，罚不中得0
例1.篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，罚不中得0分．已知某运动员罚球命中
概念
期望的概念
步骤
求期望的三个步骤
方法
求期望的三种方法
应用
期望为我们提供了实际问题 决策的理论依据。
随机变量的均值与样本平均值有何区别 和联系？
• 区别：随机变量的均值是一个常数，而样本 平均值随着样本的不同而变化的，是一个随 机变量。
• 联系：随着样本容量的增加，样本平均值越 来越接近于总体均值（随机变量的均值）。
的分概．率已为0知.7某，则运他动罚员球1罚次球的得命分中X的的均概值率是多为少p？，则他连续罚球n次的得分 X的均值是多少？
分析： X～B（n，p） X的分布列如下：
x 0 1… k … n
p … … Cn0
p0qn
C
1 n
p1q n1
Cnk pk qnk
Cnn pnq0
则 EX np .
证明：若X～B(n，p)，则EX＝np
次数的数学期望是 3 .
4，随机变量X~B（8，p），已知X的均值E(X)=2，则P （x=3)= .
超几何分布的数学期望
例2.一个袋子里装有大小相同的3 个红球和2个黄球， 从中摸出3个球.
（1）求得到黄球个数ξ的分布列；
（2）求ξ的期望。
小结：
一般地,如果随机变量X服从参数为N,M,n的超几何分布,
得经济效益为X万元，则X的分布列为
X
10
－4
E X = 10×0.6＋(－4) ×0.4 = 4.4万元 ＞2万元,
P 0.6 0.4 故应选择在商场外搞促销活动。
例4：一次单元测验由20个选择题构成，每个选择题有4 个选项.其中仅有一个选项正确，每题选对得5分.不选或 选错不得分，满分100分.学生甲选对任一题的概率为0.9， 学生乙则在测验中对每题都从各选项中随机地选择一个. 分别求学生甲和学生乙在这次测验中的成绩的均值.
期望的计算是从概率分布出发，因而它是概率意义下 的平均值。随机变量X取每个值时概率不同导致了期望不同 于初中所学的算术平均数。
问题4：离散型随机变量X的期望与X可能取值的算术平均数何 时相等？
例1：随机抛掷一个骰子，求所得骰子的点数X的期望。
X 123456
p
11
1
1
1
1
66
6
6
6
6
EX 1 1 2 1 3 1 4 1 5 1 6 1 7 6 6 6 6 6 62
P
p1
p2 ··· pn
X
Y＝aX＋b
P
x1
x2
ax1 b ax2 b
p1
p2
··· xn ·· axn b
··· pn
E(Y ) (ax1 b) p1 (ax2 b) p2 (axn b) pn
a( x1 p1 x2 p2 xn pn ) b( p1 p2 pn )
问题1：混合后，每1kg糖的平均价格为多少？
平均价格为18 3 24 2 36 1 23(元 / kg)
6
6
6
问题2：若在混合糖果中任取一粒糖果，用随机变量
X表示这颗糖果的单价（元/kg），写出X的
分布列。
X 18 24 36
P
3
2
1
6
6
6
合理价格：18 P(X 18) 24 P(X 24) 36 P(X 36)
甲射手
击中环数 8 9 10
概率
0.3 0.1 0.6
乙射手
击中环数 8 9 10
概率
0.2 0.5 0.3
试问哪个射手技术较好?
解 设甲、乙射手击中的环数分别为 X1, X2 . E( X1) 8 0.3 9 0.1 10 0.6 9.3(环), E( X2 ) 8 0.2 9 0.5 10 0.3 9.1(环),
EX1＝20×0.9＝18， EX2＝20×0.25＝5． 由于答对每题得5分，学生甲和学生乙在这次测验中的 成绩分别是5X1和5X2。所以，他们在测验中的成绩的期 望分别是
E(5X1)＝5EX1＝5×18＝90，
E(5X2)＝5EX2＝5×5＝25．
谁的技术比较好? 甲、乙两个射手 , 他们射击的分布律分别为
一般地，如果随机变量X服从两点分布，
X
1
0
P
p
1－p
则 EX 1 p 0 (1 p) p
三、例题讲解
变式1.篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，罚不中得0 分．已知某运动员罚球命中的概率为0.7，则他连续罚球3次的 得分X的均值是多少？
分析： X～B（3，0.7）
X0
1
P
0.33
C
1 3
则
EX nM
N
例3. 假如你 是一位商场经理，在五一那天想举行促 销活动，根据统计资料显示，若在商场内举行促销活 动，可获利2万元；若在商场外举行促销活动，则要 看天气情况:不下雨可获利10万元，下雨则要损失4万 元。气象台预报五一那天有雨的概率是40%，你应选 择哪种促销方式？
解：设商场在商场外的促销活动中获
离散型随机变量的数学期望
A赌徒
实力相当
B赌徒
A, B两人赌技相同，各押赌注32个金币，规定先胜三局者为
胜,赌博进行了一段时间，A赌徒已胜2局，B赌徒胜1局，发生
意外，赌博中断。
两人该如何分这 64金币？
二、互动探索
1、有12个西瓜，其中有4个重5kg，3个重6kg，5个重7kg，求西 瓜的平均质量。
【解】 (1)设“这箱产品被用户接收”为事件A， P(A)= ∴n＝2. (2)X的可能取值为1,2,3. P(X=1)= P(X=2)=
• 【解析】（1）X的所有可能取值有6，2，1，-2；P(X 6) 126 0.63 200
，P( X
2)
50 200
0.25
， P(X
1)
20 200
0.1
,P(X 2) 4 0.02 200
故的分布列为： X 6 2 1 -2
P 0.63 0.25 0.1 0.02
（2） EX 6 0.63 2 0.25 1 0.1 (2) 0.02 4.34
故甲射手的技术比较好.
反思：1、用定义求随机变量均值的一般步骤：
1）找出随机变量的可能取值； 2）求出分布列 3）利用定义（公式）求均值。
反思：2、求随机变量均值的一般方法：
1）利用定义求均值；
2）利用线性性质求均值。
3）两点分布，二项分布直接用公式求均值。
高考链接：
（广东卷17）（本小题满分13分） 随机抽取某厂的某种产品200件，经质检，其中有一 等品126件、二等品50件、三等品20件、次品4 件．已知生产1件一、二、三等品获得的利润分别为6 万元、2万元、1万元，而1件次品亏损2万元．设1件 产品的利润（单位：万元）为X． （1）求X的分布列； （2）求1件产品的平均利润（即X的数学期望）； （3）经技术革新后，仍有四个等级的产品，但次品 率降为1%，一等品率提高为70%．如果此时要求1件 产品的平均利润不小于4.73万元，则三等品率最多是 多少？
证明：
P
(X
k)
C
k n
p
k
q
n
k(k
0
,1,
2,
,n
)
EX
0 Cn0 p0q n
1
C
1 n
p1q
n-1
2 Cn2 p 2q n-2
3
C
3 n
p
3
q
n-3
k
C
k n
pk qnk
n Cnn p nq0
np (Cn01 p0q n1
C1 n1
p1q n2
C2 n1
p
2
q
n3
C p q k 1 k 1 (n1)(k 1) n1
B机床： 次品数Y 0 1 2 3
P
0.8 0.06 0.04 0.1
问：哪一台机床加工质量较好？
3、A, B两人赌技相同，各押赌注32个金币，规定先胜三局 者为胜,赌博进行了一段时间，A赌徒已胜2局，B赌徒胜1局， 发生意外，赌博中断。两人该如何分配这64个金币？
问题3：离散型随机变量X的期望与X可能取值的算术平均数相 同吗？
作业：
(2010·衡阳模拟)一厂家向用户提供的一箱产品共 10件，其中有n件次品，用户先对产品进行抽检以决定是否 接收．抽检规则是这样的：一次取一件产品检查(取出的产 品不放回箱子)，若前三次没有抽查到次品，则用户接收这 箱产品；若前三次中一抽查到次品就立即停止抽检，并且 用户拒绝接收这箱产品． (1)若这箱产品被用户接收的概率是 ，求n的值； (2)在(1)的条件下，记抽检的产品次品件数为X，求X的分布 列和数学期望．