北师大版高中数学选修2-2：第四章 定积分 复习课件
则称������(������), ������(������)为区间[−1,1]上的一组正交函数. 给出三组函数:
①f(x)=sin
1 2
������,
������(������)
=
cosBiblioteka 1 2������;②������(������)
=
������
+
1, ������(������)
=
������
第四章 定积分 复习课件
定积分的背景——面积和路程问题 定积分的概念
定积分 微积分基本定理 定积分的简单应用 平面图形的面积
简单几何体的体积
专题一 专题二 专题三
专题一：定积分的概念。 用分割、近似代替、求和、取极限来求曲边梯形的面积
和变速运动物体在某段时间内的路程体现了无限细分和无穷累 积的思维方法。
4(2015·湖南高考)
2 0
(������ − 1)d������ = ______.
解析：
2 0
(������ − 1)d������ =
1 2
������
2-������
2
= 0.
0
答案：0
1 2 3 4 567 8
5(2015·天津高考)曲线 y=x2 与直线 y=x 所围成的封闭图形的面积
������=1
2(������-1) ������
3
·���2���
=
������
∑
������=1
���2���44·(i-1)3=
16 ������4
×
[03
+
13
+
⋯+(n-1)3]=
16 ������4
×
1 4
������2(������
−
1)2
=
4
1-
1 ������
2
.
③取极限:当 n→+∞时,S1→4,s1→4,所以 S=4,
即 2S=8.故所求面积为 8.
专题一 专题二 专题三
专题二：微积分基本定理。 微积分基本定理揭示了导数和定积分之间的内
在联系，同时也提供了计算定积分的一种有效方法。
但当运用公式不能直接求积分时，需考虑用定积分
的意义来求解。
专题一 专题二 专题三
应用 1 求正弦曲线 y=sin ������
������∈
)
A.-1
B.−
1 3
C.
1 3
D.
1
1
1
1
1
解析： ∵ ������(������)d������ = ������2d������ + 2 ������ (������)d������ d������
0
0
0
0
=
1 3
������3|10
+
2
1
������ (������)d������
0
������|10
(������ − ������2)d������ =
1 2
������2-
1 3
������3
1 0
=
16.
答案： 1
6
1 2 3 4 567 8
6（2015·福建高考）
如图，点A的坐标为（1，0），点C的坐标为(2，
4)，函数f(x)=x2.若在矩形ABCD内随机取一点，则
此点取自阴影部分的概率等于
1 2
sin
xdx
|1
=
1 2
1 -1
sin
xdx=
1 2
(−cos
x)
-1
=
1 2
{−cos
1-[-cos(-1)]}
=
1 2
(−cos
1+cos
1)=0,
故①为一组正交函数。
1 2 3 4 567 8
对于②，
1 -1
(������ + 1)(������ − 1)d������ =
1 -1
(������2 − 1)d������
即������
=
2π 3
−
������
+
2������π(������∈Z)或
φ=−
2π 3
-������
+
2������π(������∈Z),解得
φ=nπ+
π 3
(������∈Z)或
0=−
2π 3
+
2������π(������∈Z)(舍去),所以 f(x)=sin
������-������π-
①分割:在区间[0,2]上等间隔地插入 n-1 个分点,将区间分成
n 个小区间
2(������-1) , 2������
������ ������
(������ = 1,2, …,n),每个小区间的长度为 Δx=xi-
xi-1= ���2���.
②近似代替,求和:取
ξi=
2������ ������
| =
1 3
������
3-������
1 -1
=
1 3
−
1
−
-
1 3
+
1
=
2 3
−
2
=
−
43≠0，
故②不是一组正交函数；
| 对于③,
1 -1
������·x2dx=
1 -1
������3d������ =
1 4
������
4
1
= 0，
-1
故③为一组正交函数，故选 C.
答案：C
1 2 3 4 567 8
量使被积函数简单。
专题一 专题二 专题三
解:如图,由
������ ������
= =
3, ������,
得
������ = 3, ������ = 3.
由
������ = 3, ������������ = 1,
得
1 ������ = 3 ,
������ = 3.
由
������������ = 1, ������ = ������,
得
������ ������
= =
1, 1
或
������ = -1, ( ������ = -1
舍去).
所以所求面积为 S=
1
1
3
3-
1 ������
d������ +
3 1
(3 − ������)d������ = (3������ −
ln|������|)|11 +
3
3������-
1 2
������2
−
1; ③������(������) = ������, ������(������) = ������2.
其中为区间[-1,1]上的正交函数的组数是( )
A.0
B.1
C.2
D.3
1 2 3 4 567 8
解析：对于①,
1 -1
sin
1 2
������·cos
1 2
������d������
=
1 -1
0,
3π 2
和直线������
=
3π 2
及������轴所围成的平面图形的面积。
提示:如图,当 x∈[0,π]时,曲线 y=sin x 位于 x 轴上方,而当
x∈
π,
3π 2
时,曲线 y=sinx 位于 x 轴下方,因此所求面积应该为两
部分面积的和。
3π
解:所求面积为 S=
2 0
|sin x|dx
=
(������
=
1,2,
…,n),
������
则 S1= ∑ ������
������=1
2i n
n
Δ������ = ∑
i=1
2������ ������
3
·���2���
=
������
∑
������=1
24 ������4
������3
=
1������64·(13+23+…+n3)=
16 ������4
解:由F(x)=kx(k≠0)，知4x=0.01kx，解得
k=400 N/m，
| ∴F(x)=400x.
0.05
∴所求功 W=
0.05 0
400������d������ = 200������2
0
= 0.5(J).
专题一 专题二 专题三
应用2 求由抛物线y=-x2+4x-3及其在点A(1，0)和点 B(3，0)处的切线所围成的图形的面积。
π2
(−cos 2������)d������
4
=π·12
sin
π
2������|04
−
π
·12
sin
π
2������|π2
4
=
π 2
+
π 2
=
π.
1 2 3 4 567 8
1(2014·江西高考)若 f(x)=x2+2
1 0
������(������)d������, 则
1 0
������(������)d������ = (
×
1 4
������2(������
+
1)2
=
4
1
+
1 ������
2
.
专题一 专题二 专题三
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最新北师大版高中数学选修2-2第四章《定积分》微积分基本定理1ppt课件
2
(
2
)
2
sin
xdx
-2
(3
)
2
0
sin
xdx
0
10
练习：
( 1 )
1
1d x
=
_ _ 1_ _ _ _
0
1
( 2 )0 xd x
=
_ _1_/2_ _ _
( 3 ) 1 x 3 d x 0
=
_1_ /_4_ _ _
( 4 ) 2 x 3 d x = _1_5_ /_4_ _ -1
11
练习：
课本练习第 85 页答案:
计算下列定积分:
⑴
5
4 xdx
=50
⑵ 5 ( x2 2x)dx = 50
0
⑶
2
(
1
x
1)dx =
4
2 3
5 3⑷
0
3 (3 x2 2 x 1)dx
1
3 =24
⑸
2
(x
1
)dx
1
x
= 3 ln 2 2
⑹
21 1 x2 dx
=1 2
⑺
cos xdx
=0
( 1 )
1
(
-
3
t
2
+ 2)dt
_1_ _ _ _ _
0
( 2 )
2
(x +
1 )2 d x
=
_2_3_/_6_ _
1
x
( 3 ) 2 ( 3 x 2 + 2 x - 1 )d x = _ _9_ _ _ _ -1
( 4 ) 2 ( e x 1)d x = _e_2_-_e_+_1 1
最新北师大版高中数学选修2-2第四章《定积分》定积分的简单应用二定积分在物理中的应用课件05301精
10.04.2021
作业：
1、如果1N能拉长弹簧1cm,为了将弹簧拉
长6cm,需做功（A）
A. 0.18J B. 0.26J C. 0.12J D. 0.28J
略解：设 Fkx则由题可得 。
k 100
所以做功就是求定积分
0.06
100xdx0.18
0
说明：物体在变力F(x)的作用下做直线运动，
并且物体沿着与F(x)相同的方向从x=a点移动到x=
b点，则变力F(x) 所做的功为:
10.04.2021
W＝
b
F(x)dx
a
2、物体 A 以速度 v 3t 2 1在一直线上运动， 在此直线上与物体 A 出发的同时，物体 B 在
物体 A 的正前方 5m 处以 v 10t 的速度与 A 同 向运动，问两物体何时相遇：s，速
进 入 夏 天 ，少 不了一 个热字 当头， 电扇空 调陆续 登场， 每逢此 时，总 会想起 那一把 蒲 扇 。 蒲 扇 ，是记 忆中的 农村， 夏季经 常用的 一件物 品。 记 忆 中 的故 乡，每 逢进入 夏 天 ， 集 市 上最常 见的便 是蒲扇 、凉席 ，不论 男女老 少，个 个手持 一把， 忽闪忽 闪个不 停 ， 嘴 里 叨 叨着“ 怎么这 么热” ，于是 三五成 群，聚 在大树 下，或 站着， 或随即 坐在石 头 上 ， 手 持 那把扇 子，边 唠嗑边 乘凉。 孩子们 却在周 围跑跑 跳跳， 热得满 头大汗 ，不时 听 到 “ 强 子 ，别跑 了，快 来我给 你扇扇 ”。孩 子们才 不听这 一套， 跑个没 完，直 到累气 喘 吁 吁 ， 这 才一跑 一踮地 围过了 ，这时 母亲总 是，好 似生气 的样子 ，边扇 边训， “你看
B站,电车开出t s后到达途中C点,这一段速
作业：
1、如果1N能拉长弹簧1cm,为了将弹簧拉
长6cm,需做功（A）
A. 0.18J B. 0.26J C. 0.12J D. 0.28J
略解：设 Fkx则由题可得 。
k 100
所以做功就是求定积分
0.06
100xdx0.18
0
说明：物体在变力F(x)的作用下做直线运动，
并且物体沿着与F(x)相同的方向从x=a点移动到x=
b点，则变力F(x) 所做的功为:
10.04.2021
W＝
b
F(x)dx
a
2、物体 A 以速度 v 3t 2 1在一直线上运动， 在此直线上与物体 A 出发的同时，物体 B 在
物体 A 的正前方 5m 处以 v 10t 的速度与 A 同 向运动，问两物体何时相遇：s，速
进 入 夏 天 ，少 不了一 个热字 当头， 电扇空 调陆续 登场， 每逢此 时，总 会想起 那一把 蒲 扇 。 蒲 扇 ，是记 忆中的 农村， 夏季经 常用的 一件物 品。 记 忆 中 的故 乡，每 逢进入 夏 天 ， 集 市 上最常 见的便 是蒲扇 、凉席 ，不论 男女老 少，个 个手持 一把， 忽闪忽 闪个不 停 ， 嘴 里 叨 叨着“ 怎么这 么热” ，于是 三五成 群，聚 在大树 下，或 站着， 或随即 坐在石 头 上 ， 手 持 那把扇 子，边 唠嗑边 乘凉。 孩子们 却在周 围跑跑 跳跳， 热得满 头大汗 ，不时 听 到 “ 强 子 ，别跑 了，快 来我给 你扇扇 ”。孩 子们才 不听这 一套， 跑个没 完，直 到累气 喘 吁 吁 ， 这 才一跑 一踮地 围过了 ，这时 母亲总 是，好 似生气 的样子 ，边扇 边训， “你看
B站,电车开出t s后到达途中C点,这一段速
2018版数学北师大版选修2-2课件：第四章 定积分 3-1~3
3.1 平面图形的面积 3.2 简单几何体的体积
学习目标
1.会应用定积分求两条或多条曲线围成的图形的面积. 2.会求简单几何体的体积.
内容索引
ห้องสมุดไป่ตู้
问题导学 题型探究 当堂训练
问题导学
知识点 定积分在几何中的应用
思考
怎样利用定积分求不分割型图形的面积？
答案
求由曲线围成的面积，要根据图形，确定积分上、下限，
转一周得到的几何体的体积. 解 由a>0，各曲线围成的平面图形如图中阴影部分所示，
2 2 a 4 V＝ʃ a π(2 x ) d x ＝ 4π ʃ 0 0x dx
1 5a 4 5 ＝4π· x |0＝ πa . 5 5
解答
反思与感悟
求旋转体的体积的步骤
(1)建立平面直角坐标系.
(2)确定旋转曲线函数f(x).
x0 0
1 1 3 ∴ x0＝ x 2 3
即 2
1 3 ＝ x0， 3
3 2 x0＝ 或 2 x0＝0(舍去)，
3 3 x0＝ x0，得
6 解得 x0＝± 2 ，
6 ∵x0>0，∴x0＝ 2 .
2 2 根据图形可得，S＝ʃ 2 ( － x ＋ 2)d x － ʃ ( x －4)dx －3 －3
1 2 2 1 3 25 25 125 2 ＝(2x－2x )|－3－(3x －4x)|－3＝ 2 －(－ 3 )＝ 6 .
解答
命题角度2 分割型图形面积的求解
例2 1 (1)求由曲线 y＝ x，y＝2－x，y＝－3x 所围成的图形的面积.
跟踪训练1
求由抛物线y＝x2－4与直线y＝－x＋2
所围成的图形的面积.
解
2 y ＝ x －4， 由 y＝－x＋2，
学习目标
1.会应用定积分求两条或多条曲线围成的图形的面积. 2.会求简单几何体的体积.
内容索引
ห้องสมุดไป่ตู้
问题导学 题型探究 当堂训练
问题导学
知识点 定积分在几何中的应用
思考
怎样利用定积分求不分割型图形的面积？
答案
求由曲线围成的面积，要根据图形，确定积分上、下限，
转一周得到的几何体的体积. 解 由a>0，各曲线围成的平面图形如图中阴影部分所示，
2 2 a 4 V＝ʃ a π(2 x ) d x ＝ 4π ʃ 0 0x dx
1 5a 4 5 ＝4π· x |0＝ πa . 5 5
解答
反思与感悟
求旋转体的体积的步骤
(1)建立平面直角坐标系.
(2)确定旋转曲线函数f(x).
x0 0
1 1 3 ∴ x0＝ x 2 3
即 2
1 3 ＝ x0， 3
3 2 x0＝ 或 2 x0＝0(舍去)，
3 3 x0＝ x0，得
6 解得 x0＝± 2 ，
6 ∵x0>0，∴x0＝ 2 .
2 2 根据图形可得，S＝ʃ 2 ( － x ＋ 2)d x － ʃ ( x －4)dx －3 －3
1 2 2 1 3 25 25 125 2 ＝(2x－2x )|－3－(3x －4x)|－3＝ 2 －(－ 3 )＝ 6 .
解答
命题角度2 分割型图形面积的求解
例2 1 (1)求由曲线 y＝ x，y＝2－x，y＝－3x 所围成的图形的面积.
跟踪训练1
求由抛物线y＝x2－4与直线y＝－x＋2
所围成的图形的面积.
解
2 y ＝ x －4， 由 y＝－x＋2，
高中数学第四章定积分4.3定积分的简单应用课件北师大版选修2_2
2.函数f(x),x∈[a,b]的图像围绕x轴旋转一周,所得到的几何体的体 积V= ������ π[f(x)]2dx .
������
名师点拨
Hale Waihona Puke ������ ������
f(x)dx,
������ ������
|f(x)|dx 与
������ ������
������ ������
������(������) d������ 的异同.
B.V=π D.V=π
1 0 1 0
[12-(x2)2]dx (12-x2)dx
思考辨析 判断下列说法是否正确,正确的在题后的括号内画“√”,错误的画 “×”. (1)任何曲线 y=f(x)及 x=a,x=b 与 x 轴围成的平面图形的面积都 可 ������ 以表示为 ������ f(x)dx. ( × )
直线y=x-4与x轴的交点为(4,0), 因此,所求图形的面积为S=S1+S2
8 4 8 = 0 √2������ dx+ 4 √2������d������- (������-4) d������ 4 2√2 3 4 2√2 3 8 1 40 = ������ 2 |0 + ������ 2 |4 − (x-4)2|8 = . 4 3 3 2 3
§4.3 定积分的简单应用
学 习 目 标 思 维 1.能用求定积分的方法 求 由已知曲线所围成的 平面图形的面积. 2.能用 求定积分的方法 求简单的几何体的体积. 3.注意 平面图形的面积 及几何体的体积与定积 分的内在联系与区别. 4.要学会 使用数形结合 和转化思想解决问题.
脉
络
1.一般地,设由曲线 y=f(x),y=g(x)以及直线 x=a,x=b 所围成的平面 ������ ������ 图形(如图)的面积为 S,则 S= ������ f(x)dx- ������ g(x)dx.
������
名师点拨
Hale Waihona Puke ������ ������
f(x)dx,
������ ������
|f(x)|dx 与
������ ������
������ ������
������(������) d������ 的异同.
B.V=π D.V=π
1 0 1 0
[12-(x2)2]dx (12-x2)dx
思考辨析 判断下列说法是否正确,正确的在题后的括号内画“√”,错误的画 “×”. (1)任何曲线 y=f(x)及 x=a,x=b 与 x 轴围成的平面图形的面积都 可 ������ 以表示为 ������ f(x)dx. ( × )
直线y=x-4与x轴的交点为(4,0), 因此,所求图形的面积为S=S1+S2
8 4 8 = 0 √2������ dx+ 4 √2������d������- (������-4) d������ 4 2√2 3 4 2√2 3 8 1 40 = ������ 2 |0 + ������ 2 |4 − (x-4)2|8 = . 4 3 3 2 3
§4.3 定积分的简单应用
学 习 目 标 思 维 1.能用求定积分的方法 求 由已知曲线所围成的 平面图形的面积. 2.能用 求定积分的方法 求简单的几何体的体积. 3.注意 平面图形的面积 及几何体的体积与定积 分的内在联系与区别. 4.要学会 使用数形结合 和转化思想解决问题.
脉
络
1.一般地,设由曲线 y=f(x),y=g(x)以及直线 x=a,x=b 所围成的平面 ������ ������ 图形(如图)的面积为 S,则 S= ������ f(x)dx- ������ g(x)dx.
2018版数学北师大版选修2-2课件：第四章 定积分 1-2 精品
解答
引申探究
2 1.将本例(3)改为利用定积分的几何意义求 ʃ 1 1 － x dx. 0
解
2 ʃ1 1 － x dx 表示的是图④中阴影部分所示半径为 1 的 0
1 π 圆的4的面积，其值为4，
∴ʃ 1 0 π 1－x dx＝ . 4
2
解答
2 2.将本例(3)改为利用定积分的几何意义求 ʃ 1 1 － x － 1 dx. 0
解 ʃ2 由于这个梯形的 1xdx 表示的是图②中阴影部分所示的梯形的面积，
3 3 2 面积为2，所以 ʃ 1xdx＝2.
解答
2 (3)ʃ 1 1 － x dx. －1
解
2 ʃ1 1 － x dx 表示的是图③中阴影部分所示的半径为 1 的半圆的面 －1
π π 1 2 积，其值为2，所以 ʃ －1 1－x dx＝2.
f(ξ1)Δx1＋f(ξ2)Δx2＋…＋f(ξi)Δxi＋…＋f(ξn)Δxn.在这个小区间上取一点ζi，
使f(ζi)在区间[xi－1，xi]上的值最大，设s＝f(ζ1)Δx1＋f(ζ2)Δx2＋…＋
f(ζi)Δxi＋…＋f(ζn)Δxn.如果每次分割后，最大的小区间的长度趋于0，S
与s的差也趋于0，此时S与s同时趋于某一点固定的常数A，容易验证，
a<c<b).
题型探究
类型一 利用定积分的几何意义求定积分
例1 说明下列定积分所表示的意义，并根据其意义求出定积分的值.
(1)ʃ 1 02dx；
解 ʃ1 由于这个长方 02dx 表示的是图①中阴影部分所示的长方形的面积， 形的面积为 2，所以 ʃ 1 02dx＝2.
解答
(2)ʃ 2 1xdx；
第四章 §1 定积分的概念
高中数学第四章 定积分 章末小结课件北师大版选修2
b a b a
1 dx = b - a k f（x）dx =
k∫
b a
f（x）dx （定积分的线性性质）
（其中 k是不为0的常数）
性质 3
b
a b
a b a
［f（x）± g（x）］dx f（x）dx ±
∫
b a c a
g（x）dx （定积分的线性性质） f（x）dx +
性质 4
f（x）dx =
∫
∫
b
位移为 s = s（t），速度为 υ=υ（t）， 加速度为 α=α（t） ′ t）= υ（t）， υ（ ′ t）=α（t）= 2√t + 1 则有 s（ 3 又 s（0）= 0 ，υ（0）= 1 t 4 2 t υ（t）- υ（0）= α（t）dt = 0 （ 2√t + 1 ）dt= 3 t + t 0 3 ∴ υ（t）= 4 t2 + t + 1 3 3 t t 4 2 s（t）- s（0）= （ t + t + 1 ）dt υ（t）dt = 0 3 0 5 5 1 2 8 2 1 2 8 2 = t + t + t 也即 s（t）= 15 t + 2 t + t 15 2 t∈［0，+∞）
2. 定积分的几何意义
从几何上看，如果在区间 [a ，b]上函数 f（x）≥ 0 ，那么定 b 积分 ∫ a f（x）dx 表示由直线 x = a ，x = b（a ≠ b），y = o 和 曲线 y = f（x）所围成的曲边梯形的面积.
主要性质和定理
3. 定积分的简单性质 性质 1 性质 2
∫ ∫ ∫ =∫ ∫
∫
1
点击考点
2. 定积分在几何中的应用
北师大版高中数学选修2-2第四章《定积分》微积分基本定理(1)
0
0
( 6 ) s i n x d x
-2
2.求下列定积分,并说明它几何意义:
(1
)
0
sin
xdx
2
(2
) 2
sin
xdx
-2
(3
)
2
0
sin
xdx
0
练习：
( 1 ) 1 1 d x = _ _ _1_ _ _ 0
1
( 2 )0 xd x
=
_ _1_/_2_ _
( 3 ) 1 x 3 d x 0
一、教学目标：了解牛顿-莱 布尼兹公式 二、教学重难点：牛顿-莱布 尼兹公式
三、教学方法：探析归纳， 讲练结合 四、教学过程
定积分的概念：
b
n
f ( x)dx lim f
a
n i1
i △xi
定义求定积分：
分割→近似代替→求和→取极限（得定积分
b
a
f
( x)dx
）
即①分割： n 等分区间a , b ；
由定积分的定义得
b
b
Sav(t)d tas'(t)d ts(b ) s(a )
（二）、牛顿—莱布尼茨公式
定理 （微积分基本定理）
如果f(x)是区间[a,b]上的连续函数,
并且F’(x)=f(x),则
b
f(x)dxF(b)F(a)
或 a bf(x)dxF (x)|b aF a(b)F (a)
( F ( x ) 叫 做 f ( x ) 的 原 函 数 , f ( x ) 就 是 F ( x ) 的 导 函 数 )
a bf(x)dxF (x)|b aF (b)F (a)
1.求下列定积分:
高中数学 第四章 定积分 4.2 微积分基本定理课件1 北师大版选修22
所以 s(b) s(a) v(t0 )t1 v(t1 )t2 v(tn1 )tn
当 ti 0 (i 0,1,, n) 时，
v(t0 )t1 v(t1 )t2 v(tn1 )tn→ s(b) s(a)
积分表示为
b
s(b) s(a) v(t)dt
解析
例3 求定积分 cos xdx ，并解释其意义。 0 解析
例4 求定积分： 2 (ex 3x)dx 1 解析
总结概括
计算定积分的关键是什么？
b
微积分基本定理表明，计算定积分 a f (x)dx
的关键是找到满足 f (x) F(x)的函数 F (x) ，通常 我们可以运用基本初等函数的求导公式和导数的 四则运算法则从反方向上求出 F (x)。
（2）__13_x_03__的导数是 x2，根据微积分基本定理
得：
1 x2dx 1 13 1 03 1
0
33
3
（3）根据微积分基本定理得： (sin x) cos x
2
cos
xdx
sin
sin 0
1
0
2
（4）由牛顿-莱布尼茨公式得： (ex ) ex
时间段 [t1, t2 ]内，物体走过路程 s(t2 ) s(t1) …… 时间段 [tn1, tn ]内，物体走过路程 s(tn ) s(tn1 )
则 s(b) s(a)
[s(t1 ) s(t0 )] [s(t2 ) s(t1 )][s(tn ) s(tn1 )]
1 0
xdx
2 3
3
x2
1 0
2 3
例题3
当 ti 0 (i 0,1,, n) 时，
v(t0 )t1 v(t1 )t2 v(tn1 )tn→ s(b) s(a)
积分表示为
b
s(b) s(a) v(t)dt
解析
例3 求定积分 cos xdx ，并解释其意义。 0 解析
例4 求定积分： 2 (ex 3x)dx 1 解析
总结概括
计算定积分的关键是什么？
b
微积分基本定理表明，计算定积分 a f (x)dx
的关键是找到满足 f (x) F(x)的函数 F (x) ，通常 我们可以运用基本初等函数的求导公式和导数的 四则运算法则从反方向上求出 F (x)。
（2）__13_x_03__的导数是 x2，根据微积分基本定理
得：
1 x2dx 1 13 1 03 1
0
33
3
（3）根据微积分基本定理得： (sin x) cos x
2
cos
xdx
sin
sin 0
1
0
2
（4）由牛顿-莱布尼茨公式得： (ex ) ex
时间段 [t1, t2 ]内，物体走过路程 s(t2 ) s(t1) …… 时间段 [tn1, tn ]内，物体走过路程 s(tn ) s(tn1 )
则 s(b) s(a)
[s(t1 ) s(t0 )] [s(t2 ) s(t1 )][s(tn ) s(tn1 )]
1 0
xdx
2 3
3
x2
1 0
2 3
例题3
高中数学北师大版选修2-2 4.3定积分的简单应用 课件(28张)
1
如图． 问题1：图中阴影部分是由哪些曲 线围成？ 提示：由直线x＝a，x＝b和曲线 y＝f(x)和y＝g(x)围成． 问题2：你能求得其面积吗？如何求？
2
提示：能，先求由 x＝a，x＝b 和 y＝f(x)围成的 曲边梯形面积 S1＝∫baf(x)dx，再求由 x＝a，x＝b 和 y ＝g(x)围成的曲边梯形面积 S2＝∫abg(x)dx，则所求阴 影部分面积为 S1－S2.
[分析] 这是一道综合性较强的题目，条件(1)可利用导 数表示，条件(2)可利用定积分的几何意义表示．
21
[解析] ∵f′(x)＝(x3＋ax2＋bx＋c)′＝3x2＋2ax＋b，
∴f′(0)＝b＝0，f(0)＝c＝2.
∴f(x)＝x3＋ax2＋2.
∵f′(x)＝3x2＋2ax，f′(0)＝0，
∴f(x)在点(0,2)处的切线即为y＝2，平行于x轴．
＝－13x3－12x2＋2x|
1 －2
＝92.
13
3．计算由曲线y2＝x，y＝x3所围成的图形的面积S. 解：作出曲线y2＝x，y＝x3的草图， 所求面积为如图中的阴影部分的面积． 解方程组yy2＝＝xx3， 得交点的横坐标 x＝0，x＝1，因此所求图形面积为 S＝∫01 xdx－∫01x3dx＝23x32 |10－14x4 |10＝23－14＝152.
由
y＝x2， y＝2x，
得B(2，4)，如图所示所求面
积为S＝∫102xdx－∫10xdx＋∫212xdx－∫21x2dx
＝∫10(2x－x)dx＋∫21(2x－x2)dx
＝∫10xdx＋∫21(2x－x2)dx
＝12x2|10＋x2－13x3|21＝76.
20
考点三：综合应用
[例 3]设函数 f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c 满足下列条件： (1)在 x＝0 处取极值 2； (2)曲线 y＝f(x)与其上一点(0,2)处的切线所围成的图形的 面积为247，求 a、b、c 的值．
如图． 问题1：图中阴影部分是由哪些曲 线围成？ 提示：由直线x＝a，x＝b和曲线 y＝f(x)和y＝g(x)围成． 问题2：你能求得其面积吗？如何求？
2
提示：能，先求由 x＝a，x＝b 和 y＝f(x)围成的 曲边梯形面积 S1＝∫baf(x)dx，再求由 x＝a，x＝b 和 y ＝g(x)围成的曲边梯形面积 S2＝∫abg(x)dx，则所求阴 影部分面积为 S1－S2.
[分析] 这是一道综合性较强的题目，条件(1)可利用导 数表示，条件(2)可利用定积分的几何意义表示．
21
[解析] ∵f′(x)＝(x3＋ax2＋bx＋c)′＝3x2＋2ax＋b，
∴f′(0)＝b＝0，f(0)＝c＝2.
∴f(x)＝x3＋ax2＋2.
∵f′(x)＝3x2＋2ax，f′(0)＝0，
∴f(x)在点(0,2)处的切线即为y＝2，平行于x轴．
＝－13x3－12x2＋2x|
1 －2
＝92.
13
3．计算由曲线y2＝x，y＝x3所围成的图形的面积S. 解：作出曲线y2＝x，y＝x3的草图， 所求面积为如图中的阴影部分的面积． 解方程组yy2＝＝xx3， 得交点的横坐标 x＝0，x＝1，因此所求图形面积为 S＝∫01 xdx－∫01x3dx＝23x32 |10－14x4 |10＝23－14＝152.
由
y＝x2， y＝2x，
得B(2，4)，如图所示所求面
积为S＝∫102xdx－∫10xdx＋∫212xdx－∫21x2dx
＝∫10(2x－x)dx＋∫21(2x－x2)dx
＝∫10xdx＋∫21(2x－x2)dx
＝12x2|10＋x2－13x3|21＝76.
20
考点三：综合应用
[例 3]设函数 f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c 满足下列条件： (1)在 x＝0 处取极值 2； (2)曲线 y＝f(x)与其上一点(0,2)处的切线所围成的图形的 面积为247，求 a、b、c 的值．
最新北师大版高中数学选修2-2第四章《定积分》定积分的简单应用三利用定积分求简单几何体的体积课件05
五、教后反思：
10.04.2021Fra bibliotek10.04.2021
结束语
谢谢大家聆听！！！
12
V
b a
f
2
xdx，即可求旋转体体积的值。
（三）、课堂小结：求体积的过程就是对定
积分概念的进一步理解过程，总结求旋转体
体积公式步骤如下：1．先求出
y f x
的表达式；2．代入公式 V b f 2 x dx
，即可求旋转体体积的值。
a
（四）、作业布置：课本P90页练习题中2；习题
4-3中6、7
北师大版高中数学选修2-2第四 章《定积分》定积分的简单应用 三利用定积分求简单几何体的体
积课件05184
一、教学目标 1、理解定积分概念形成过程的思想；2、会根据该思想 求简单旋转体的体积问题。 二、 学法指导
本节内容在学习了平面图形面积计算之后的更深层次的 研究，关键是对定积分思想的理解及灵活运用，
建立起正确的数学模型，根据定积分的概念解决体积问 题。 三、教学重难点：
重点：利用定积分的意义和积分公式表解决一些简单的 旋转体的体积问题； 难点；数学模型的建立及被积函数的确定。 四、教学方法：探究归纳，讲练结合 五、教学10.过04.2程021
归纳总结：求旋转体的体积和侧面积
由曲线 y f (x)，直线
xa,xb及 x
x 轴所围成的曲边梯形绕
轴旋转而成的旋转体体积为
V
b
[
f
(x)]2d.x其侧面积为
a
求S侧 体 积2 的a 过bf程(x就)1 是对[f定'(x积)]2分dx概念的进一步理解过
程，总结求旋转体体积公式步骤如下：1．先求