2019_2020学年高中数学第三章统计案例章末综合检测(三)(含解析)新人教A版选修2_3
章末综合检测(三)(时间：120分钟，满分：150分)一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．在吸烟与患肺病是否有关的研究中，下列属于两个分类变量的是( ) A ．吸烟，不吸烟 B ．患病，不患病 C ．是否吸烟，是否患病 D ．以上都不对解析：选C.“是否吸烟”是分类变量，它的两个不同取值：吸烟和不吸烟；“是否患病”是分类变量，它的两个不同取值：患病和不患病．可知A ，B 都是一个分类变量所取的两个不同值．故选C.2．已知回归方程y ^＝b ^x ＋a ^，其中a ^＝3，且样本点的中心为(1，2)，则回归直线方程为( ) A ．y ^＝x ＋3 B ．y ^＝－2x ＋3 C ．y ^＝－x ＋3 D ．y ^＝x －3解析：选C.因为回归方程一定经过样本点的中心，所以只需将样本点的中心坐标代入方程，用待定系数法求出即可．3．每一吨铸铁成本y (元)与铸件废品率x %建立的回归方程y ^＝56＋8x ，下列说法正确的是( )A ．废品率每增加1%，成本每吨增加64元B ．废品率每增加1%，成本每吨增加8%C ．废品率每增加1%，成本每吨增加8元D ．如果废品率增加1%，则每吨成本为56元解析：选C.根据回归方程知y 是关于x 的单调递增函数，并且由系数知x 每增加一个单位，y 平均增加8个单位．4．观察下列各图，其中两个分类变量之间关系最强的是( )解析：选D.在四幅图中，D 图中两个阴影条的高相差最明显，说明两个分类变量之间关系最强．5．在一次独立性检验中，得出列联表如下：( ) A ．200 B ．720 C ．100D ．180解析：选B ．由表得K 2的观测值k ＝（1 180＋a ）×（200a －180×800）2380×（800＋a ）×（180＋a ）×1 000，当a ＝200时，k ＝（1 180＋200）×（200×200－180×800）2380×（800＋200）×（180＋200）×1 000≈103.37>2.706，此时两个变量A 和B 有关联；当a ＝720时，k ＝（1 180＋720）×（200×720－180×800）2380×（800＋720）×（180＋720）×1 000＝0，由k ≤2.706知此时没有充分的证据显示两个变量A 和B 有关联，则a 的可能值是720. 6．下列关于K 2的说法正确的是( )A ．K 2在任何相互独立问题中都可以用来检验有关还是无关 B ．K 2的值越大，两个事件的相关性就越大C ．K 2是用来判断两个分类变量是否有关系的，只对于两个分类变量适合D ．K 2的观测值k 的计算公式为k ＝n （ad －bc ）（a ＋b ）（c ＋d ）（a ＋c ）（b ＋d ）解析：选C ．K 2是用来判断两个分类变量是否有关的，故A 错；K 2的值越大，只能说明有更大地把握认为二者有关系，却不能判断相关性的大小，B 错；D 中(ad －bc )应为(ad －bc )2.7.以下关于线性回归的判断，正确的个数是( )①若散点图中所有点都在一条直线附近，则这条直线为回归直线；②散点图中的绝大多数点都线性相关，个别特殊点不影响线性回归，如图中的A ，B ，C 三点；③已知回归直线方程为y ^＝0.50x －0.81，则x ＝25时，y 的估计值为11.69； ④回归直线方程的意义是它反映了样本整体的变化趋势． A ．0 B ．1 C ．2D ．3解析：选D ．能使所有数据点都在它附近的直线不止一条，而据回归直线的定义知只有按最小二乘法求得回归系数a ^，b ^得到的直线y ^＝b ^x ＋a ^才是回归直线，所以①不对；②正确；将x ＝25代入y ^＝0.50x －0.81，得y ^＝11.69，所以③正确；④正确．故选D ．8．根据一组样本数据(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )的散点图分析存在线性相关关系，求得其回归方程y ^＝0.85x －85.7，则在样本点(165，57)处的残差为( )A ．54.55B ．2.45C ．3.45D ．111.55解析：选B ．把x ＝165代入y ^＝0.85x －85.7，得y ＝0.85×165－85.7＝54.55，故残差为57－54.55＝2.45.9．在第29届北京奥运会上，中国健儿取得了51金、21银、28铜的好成绩，稳居金牌榜榜首，由此许多人认为中国进入了世界体育强国之列，也有许多人持反对意见，有网友为此进行了调查，在参加调查的2 548名男性中有1 560名持反对意见，2 452名女性中有1 200名持反对意见，在运用这些数据说明性别对判断“中国进入了世界体育强国之列”是否有关系时，用什么方法最有说服力( )A．平均数与方差B．回归直线方程C．独立性检验D．概率解析：选C．根据所学内容以及此题所提供的数据可知，要想回答性别对判断“中国进入了世界体育强国之列”是否有关系时，用独立性检验最有说服力．10．某人研究中学生的性别与成绩、视力、智商、阅读量这4个变量的关系，随机抽查52名中学生，得到统计数据如表1至表4，则与性别有关联的可能性最大的变量是( )表1A．成绩C．智商D．阅读量解析：选D ．结合各列联表中数据，得K 2的观测值分别为k 1，k 2，k 3，k 4. 因为k 1＝52×（6×22－14×10）216×36×32×20＝52×8216×36×32×20，k 2＝52×（4×20－16×12）216×36×32×20＝52×112216×36×32×20，k 3＝52×（8×24－12×8）216×36×32×20＝52×96216×36×32×20，k 4＝52×（14×30－6×2）216×36×32×20＝52×408216×36×32×20，则k 4＞k 2＞k 3＞k 1，所以阅读量与性别有关联的可能性最大．11．某学校开展研究性学习活动，某同学获得一组实验数据如下：(1.99，1.5)，(3，4.04)，(4，7.5)，(5.1，12)，(6.12，18.01)．对于这组数据，现在给出以下拟合曲线，其中拟合程度最好的是( )A ．y ＝2x －2B ．y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12xC ．y ＝log 2xD ．y ＝12(x 2－1)解析：选D ．本题若求R 2或残差来分析拟合效果，运算将很烦琐，计算量太大，可以将各组数据代入检验，发现D 最接近．故选D ．12．已知x 与y 之间的几组数据如下表：假设根据上表数据所得线性回归方程y ＝b x ＋a ，若某同学根据上表中的前两组数据(1，0)和(2，2)求得的直线方程为y ＝b ′x ＋a ′，则以下结论正确的是( )A ．b ^＞b ′，a ^＞a ′ B ．b ^＞b ′，a ^＜a ′ C ．b ^＜b ′，a ^＞a ′D ．b ^＜b ′，a ^＜a ′解析：选C ．法一：b ′＝2，a ′＝－2， 由公式b ^＝∑6i ＝1（x i －x —）（y i －y —）∑6i ＝1 （x i －x —）2求得， b ^＝57，a ^＝y —－b ^x —＝136－57×72＝－13，所以b ^＜b ′，a ^＞a ′.法二：过(1，0)和(2，2)的直线方程为y ＝2x －2，画出六点的散点图，回归直线的大概位置如图所示，显然b ′＞b ^，a ^＞a ′.二、填空题：本题共4小题，每小题5分．13．下表是降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x (吨)与相应的生产能耗y (吨标准煤)的几组对应数据，根据表中提供的数据，求出y 关于x 的线性回归方程y ^＝0.7x ＋0.35，那么表中m 的值为________．x —＝3＋4＋5＋64＝4.5，y —＝2.5＋m ＋4＋4.54＝11＋m 4， 因为这组数据的样本点的中心在线性回归直线上， 所以11＋m4＝0.7×4.5＋0.35，所以m ＝3.答案：314．图书馆工作人员想知道每天到图书馆的人数x (百人)与借出的图书本数y (百本)之间的关系，已知上个月图书馆共开放25天，且得到资料：∑i ＝125x i ＝200，∑i ＝125y i ＝300，∑i ＝125x 2i ＝1 660，∑i ＝125y 2i ＝3 696，∑i ＝125x i y i ＝2 436，则y 对x 的回归直线方程为________．解析：将已知量代入回归直线方程可得a ^＝7.2，b ^＝0.6.答案：y ^＝7.2＋0.6x15．某高校“统计专业”课程的教师随机调查了选该课的一些学生情况，具体数据如表：K 2的观测值 k ＝50×（13×20－10×7）223×27×20×30≈4.844>3.841.因此，判定主修统计专业与性别有关系，那么这种判断出错的概率不超过________． 解析：根据k >3.841，可判断在犯错误的概率不超过0.05的前提下，认为主修统计专业与性别有关系．故出错的概率不超过0.05.答案：0.0516．某小卖部为了了解热茶销售量y (杯)与气温x (℃)之间的关系，随机统计了某4天卖出的热茶的杯数与当天气温，并制作了对照表：由表中数据算得线性回归方程y ＝b x ＋a 中的b ≈－2，预测当气温为－5℃时，热茶销售量为________杯．解析：根据表格中的数据可求得x —＝14×(18＋13＋10－1)＝10，y —＝14×(24＋34＋38＋64)＝40.所以a ^＝y —－b ^x —＝40－(－2)×10＝60，所以y ^＝－2x ＋60，当x ＝－5时，y ^＝－2×(－5)＋60＝70.答案：70三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(本小题满分10分)冶炼某种金属可以用旧设备和改造后的新设备，为了检验用这两种设备生产的产品中所含杂质的关系，调查结果如表所示．解：由已知数据得到如下2×2列联表：K 2的观测值k ＝158×224×59×323≈13.11，由于13.11>10.828，故有99.9%的把握认为含杂质的高低与设备改造是有关的．18．(本小题满分12分)2018年某市开展了“寻找身边的好老师”活动，市六中积极行动，认真落实，通过微信关注评选“身边的好老师”，并对选出的五位“好老师”的班主任的工作年限和被关注数量进行了统计，得到如下数据：(1)方程y ^＝b ^x ＋a ^，并就此分析：“好老师”的班主任工作年限为15年时被关注的数量；(2)若用y i x i(i ＝1，2，3，4，5)表示统计数据时被关注数量的“即时均值”(四舍五入到整数)，从“即时均值”中任选2组，求这2组数据之和小于8的概率．解：(1)x —＝8，y —＝36， b ^＝40＋120＋320＋600＋600－5×8×3616＋36＋64＋100＋144－5×64＝6，a ^＝36－48＝－12，所以y ^＝6x －12，当x ＝15时，y ^＝6×15－12＝78(百人)．(2)这5次统计数据，被关注数量的“即时均值”分别为3，3，5，6，4.从5组“即时均值”任选2组，共有C 25＝10种情况，其中2组数据之和小于8为(3，3)，(3，4)，(3，4)共3种情况，所以这2组数据之和小于8的概率为310.19．(本小题满分12分)某手机生产企业为了解消费者对某款手机功能的认同情况，通过销售部随机抽取50名购买该款手机的消费者，并发出问卷调查(满分50分)，该问卷只有30份给予回复，这30份的评分如表：(2)若大于40分为“满意”，否则为“不满意”，完成2×2列联表，并判断是否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为消费者对该款手机的“满意度”与性别有关．，其中n＝a＋b＋c＋d 参考公式：K2＝（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）参考数据：解：(1)由图可知男消费者评分的中位数是45.5， 女消费者评分的平均值为114×(38＋35＋37＋48＋47＋36＋38＋45＋39＋29＋49＋28＋44＋33)＝39.(2)由已知数据得2×2列联表如表，K 2的观测值k ＝16×14×16×14≈3.274<3.841，所以不能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为消费者对该款手机的“满意度”与性别有关．20．(本小题满分12分)在统计学中，偏差是指个别测定值与测定的平均值之差，在成绩统计中，我们把某个同学的某科考试成绩与该科班平均分的差叫某科偏差，班主任为了了解个别学生的偏科情况，对学生数学偏差x (单位：分)与物理偏差y (单位：分)之间的关系进行学科偏差分析，决定从全班56位同学中随机抽取一个容量为8的样本进行分析，得到他们的两科成绩偏差数据如表：(2)若这次考试该班数学平均分为118分，物理平均分为90.5，试预测数学成绩126分的同学的物理成绩．参考数据：∑8i ＝1x i y i ＝324，∑8i ＝1x 2i ＝1 256. 解：(1)由题意得， x —＝20＋15＋13＋3＋2＋（－5）＋（－10）＋（－18）8＝52，y —＝6.5＋3.5＋3.5＋1.5＋0.5＋（－0.5）＋（－2.5）＋（－3.5）8＝98，b ^＝∑8i ＝1x i y i －8x — y —∑8i ＝1x 2i －8x —2＝324－8×52×981 256－8×⎝ ⎛⎭⎪⎫522＝14， 所以a ^＝y —－b ^x —＝98－14×52＝12，故线性回归方程为y ^＝14x ＋12.(2)由题意，设该同学的物理成绩为ω，则物理偏差为ω－90.5 而数学偏差为126－118＝8，则(1)的结论可得，ω－90.5＝14×8＋12，解得ω＝93，所以，可以预测这位同学的物理成绩为93分．21．(本小题满分12分)孝汉城铁开通后，C5302、C5321两列车乘务组工作人员为了了解乘坐两列车的乘客每月的需求情况，分别在两个车次各随机抽取了100名旅客进行调查，下面是根据调查结果，绘制了乘车次数的频率分布直方图和频数分布表．C5321次乘客月乘坐次数频数分布表(1)的“老乘客”较多，简要说明理由．(2)已知在C5321次列车随机抽到的50岁以上人员有35名，其中有10名是“老乘客”，由条件完成下面2×2列联表，并根据资料判断，能否在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为年龄与乘车次数有关，并说明理由．附：K 2＝（a ＋b ）（c ＋d ）（a ＋c ）（b ＋d ）(其中n ＝a ＋b ＋c ＋d 为样本总量)解：(1)10.5， C5321次“老乘客”的概率为P 2＝24＋11＋5100＝0.4，因为P 1>P 2，所以C5302次老乘客较多． (2)填写列联表如下：计算K 2的观测值k ＝35×65×40×60≈2.93>2.706，所以能够在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为年龄与乘车次数有关．22．(本小题满分12分)国家政府工作报告明确提出，要坚决打好蓝天保卫战，加快解决燃煤污染问题，全面实施散煤综合治理．实施煤改电工程后，某县城的近六个月的月用煤量逐渐减少，6月至11月的用煤量如下表所示：(1) 3.5，求出丢失的数据．(2)请根据6至9月份的数据，求出y 关于x 的线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^.(3)现在用(2)中得到的线性回归方程中得到的估计数据与10月、11月的实际数据的误差来判断该地区的改造项目是否达到预期，若误差均不超过0.3，则认为该地区的改造已经达到预期，否则认为改造未达预期，请判断该地区的煤改电项目是否达预期？(参考公式：线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^，其中b ^＝∑ni ＝1 （x i －x —）（y i －y —）∑n i ＝1 （x i －x —）2＝∑ni ＝1x i y i－n x — y —∑ni ＝1x 2i －n x —2解：(1)设丢失的数据为m ，则4.5＋m ＋3＋2.5＝3.5×4得m ＝4，即丢失的数据是4. (2)由数据求得x —＝7.5，由公式求得b ^＝∑ni ＝1（x i －x —）（y i －y —）∑ni ＝1 （x i －x —）2＝－3.55＝－0.7， 所以a ^＝y —－b ^x —＝8.75，所以y 关于x 的线性回归方程为y ^＝－0.7x ＋8.75.(3)当x ＝10时，y ^＝1.75，|1.75－2|＝0.25<0.3，同样，当x ＝11时，y ^＝1.05，|1.05－1.2|＝0.15<0.3，所以，该地区的煤改电项目已经达到预期．。
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第三章 3.1【基础练习】1．对两个变量y 与x 进行回归分析，得到一组样本数据：(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )，则下列说法不正确的是( )A ．若求得相关系数r ＝－0.89，则y 与x 具备很强的线性相关关系且为负相关B ．同学甲根据这组数据得到的回归模型1的残差平方和E 1＝1.8，同学乙根据这组数据得到的回归模型2的残差平方和E 2＝2.4，则模型1的拟合效果更好C ．用相关指数R 2来刻画回归效果，模型1的相关指数R 21＝0.48，模型2的相关指数R 22＝0.91，则模型1的拟合效果更好 D ．该回归分析只对被调查样本的总体适用 【答案】C2．设有一个线性回归方程y ^＝2－3.5x ，则变量x 增加1个单位时( ) A ．y 平均增加3.5个单位 B ．y 平均增加2个单位 C ．y 平均减少3.5个单位 D ．y 平均减少2个单位【答案】C3．在对两个变量y 与x 进行回归分析时，分别选择了4个不同模型，它们的相关指数R 2如下，其中拟合效果最好的模型是( )A ．模型1，相关指数R 2为0.98B ．模型2，相关指数R 2为0.80C ．模型3，相关指数R 2为0.50D ．模型4，相关指数R 2为0.25 【答案】A4．设某大学的女生体重y (单位：kg)与身高x (单位：cm)具有线性相关关系，根据一组样本数据(x i ，y i )(i ＝1,2，…，n )，用最小二乘法建立的回归方程为y ^＝0.85x －85.71，则下列结论中不正确的是( )A ．y 与x 具有正的线性相关关系B ．回归直线过样本点的中心(x ，y )C ．若该大学某女生身高增加1 cm ，则其体重约增加0.85 kgD ．若该大学某女生身高为170 cm ，则可断定其体重必为58.79 kg 【答案】D5．已知x 与y 之间的一组数据如下，则y 与x 的线性回归方程为y ^＝bx ＋a 必过点________.x134【答案】(2,4)6．某次测量发现一组数据(x i ，y i )具有较强的相关性，并计算得y ^＝x ＋1，其中数据(1，y 0)因书写不清，只记得y 0是[0,3]上任意一个值，则该数据对应的残差的绝对值不大于1的概率为________．(残差＝真实值－预测值)【答案】23【解析】由题意，其预测值为1＋1＝2，该数据对应的残差的绝对值不大于1时，1≤y 0≤3，其概率可由几何概型求得，即该数据对应的残差的绝对值不大于1的概率p ＝3－13＝23. 7．(2017年烟台期中)下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x (吨)与相应的生产能耗y (吨标准煤)的几组对照数据．(1)(2)已知该厂技术改造前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤，试根据(1)求出的线性回归方程预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低了多少吨标准煤．参考公式：b ^＝∑i ＝1nx i y i －n x y∑i ＝1nx 2i －n x2，a ^＝y －b ^x .【解析】(1)x ＝14×(3＋4＋5＋6)＝4.5，y －＝14×(2.5＋3＋4＋4.5)＝3.5，∑i ＝14x i y i ＝3×2.5＋4×3＋5×4＋6×4.5＝66.5，∑i ＝14x 2i ＝32＋42＋52＋62＝86，b ^＝66.5－4×4.5×3.586－4×4.52＝66.5－6386－81＝0.7，a ^＝y －－b ^x ＝3.5－0.7×4.5＝0.35， 所以所求的回归方程为y ＝0.7x ＋0.35. (2)x ＝100时，y ＝100×0.7＋0.35＝70.35，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低了90－70.35＝19.65(吨标准煤)． 8．某运动员训练次数与成绩之间的数据关系如下：(1)(2)求出回归方程； (3)作出残差图； (4)计算相关指数R 2.【解析】(1)作出该运动员训练次数(x )与成绩(y )之间的散点图如图所示，由散点图可知，它们之间具有线性相关关系．(2)x ＝39.25，y ＝40.875，∑i ＝18x 2i ＝12 656，∑i ＝18y 2i ＝13 731，∑i ＝18x i y i ＝13 180，∴b ^＝∑i ＝18x i y i －8x y∑i ＝18x 2i －8x2≈1.041 5.∴a ^＝y －b ^x ≈－0.003 02. ∴回归方程为y ^＝1.041 5x －0.003 02. (3)作残差图如图所示，由图，可知残差点比较均匀地分布在水平带状区域中，说明选用的模型比较合适． (4)计算得相关指数R 2＝0.985 5，说明了该运动员的成绩的差异有98.55%是由训练次数引起的．【能力提升】9.(2019年天津期末)某研究机构在对具有线性相关的两个变量x,y 进行统计分析时，得到如下数据，由表中数据求得y 关于x 的回归方程为^y=0.7x+a ，则在这些样本点中任取一点，该A.14B.12C.34D.0【答案】B【解析】由题意得_x=6,_y=3，所以3=0.7×6+a ，解得a=-1.2,则^y=0.7x-1.2.四个样本点中，(3,1)，假设根据上表数据所得线性回归直线方程为y ＝b x ＋a ，若某同学根据上表中的前两组数据(1,0)和(2,2)求得的直线方程为y ′＝b ′x ＋a ′，则以下结论正确的是( )A.b ^>b ′，a ^>a ′ B.b ^>b ′，a ^<a ′ C.b ^<b ′，a ^>a ′ D.b ^<b ′，a ^<a ′【答案】C【解析】计算得x ＝3.5，y －＝136，画出散点图，并根据各个点和回归中心画出回归直线的大致图形如图所示，由图易知b ^<b ′，a ^>a ′.故选C.11．(2018年珠海阶段性测试)从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i 个家庭的月收入x i (单位：千元)与月储蓄y i (单位：千元)的数据资料，计算得∑i ＝110x i ＝80，∑i ＝110y i ＝20，∑i ＝110x i y i＝184，∑i ＝110x 2i ＝720.已知家庭的月储蓄y 关于月收入x 的线性回归方程为y ^＝b ^x ＋a ^，则变量y与x________(填“正相关”或“负相关”)；若该居民区某家庭月收入为8千元，预测该家庭的月储蓄是________千元．【答案】正相关 2【解析】由题意知x＝110∑i＝110x i＝8，y－＝110∑i＝110y i＝2，∴b^＝184－10×8×2720－10×82＝0.3，a^＝2－0.3×8＝－0.4，∴y^＝0.3x－0.4.∵0.3>0，∴变量y与x正相关．当x＝8时，y^＝0.3×8－0.4＝2(千元)．12．(2016年唐山二模)二手车经销商小王对其所经营的某一型号二手汽车的使用年数x(0＜x≤10)与销售价格y(单位：万元/辆)进行整理，得到如表的对应数据：(1)试求y关于x(2)已知每辆该型号汽车的收购价格为w＝0.05x2－1.75x＋17.2万元，根据(1)中所求的回归方程，预测x为何值时，小王销售一辆该型号汽车所获得的利润z最大．【解析】(1)由表中数据得，x＝15×(2＋4＋6＋8＋10)＝6，y＝15×(16＋13＋9.5＋7＋4.5)＝10，所以b^＝2×16＋4×13＋6×9.5＋8×7＋10×4.5－5×6×1022＋42＋62＋82＋102－5×62＝－1.45，a^＝10－(－1.45)×6＝18.7.所以y关于x的回归直线方程为y＝－1.45x＋18.7.(2)z＝y－w＝(－1.45x＋18.7)－(0.05x2－1.75x＋17.2)＝－0.05x2＋0.3x＋1.5，当x＝－0.32×(－0.05)＝3时，二次函数z取得最大值，即预测x＝3时，小王销售一辆该型号汽车所获得的利润z最大．。
2019_2020年高中数学第三章统计案例3.1回归分析的基本思想及其初步应用学案新人教A版选修2_3
3．1 回归分析的基本思想及其初步应用[教材研读]预习教材P 80～88，思考以下问题 1．什么是回归分析？2．什么是线性回归模型？ [要点梳理] 1．回归分析 (1)回归分析回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法． (2)回归方程的相关计算对于两个具有线性相关关系的变量的一组数据(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )．设其回归直线方程为y ^＝b ^x ＋a ^，其中a ^，b ^是待定参数，由最小二乘法得b ^＝∑i ＝1nx i －xy i －y∑i ＝1nx i －x2＝∑i ＝1nx i y i －n xy∑i ＝1nx 2i －n x 2，a ^＝y －b ^x .(3)线性回归模型线性回归模型⎩⎪⎨⎪⎧y ＝bx ＋a ＋e ，E e ＝0，D e ＝σ2，其中a ，b 为模型的未知参数，通常e 为随机变量，称为随机误差．x 称为解释变量，y 称为预报变量．2．线性回归分析(1)残差：对于样本点(x i ，y i )(i ＝1,2，…，n )的随机误差的估计值e ^i ＝y i －y ^i 称为相应于点(x i ，y i )的残差，∑i ＝1n(y i －y ^i )2称为残差平方和．(2)残差图：利用图形来分析残差特性，作图时纵坐标为残差，横坐标可以选为样本编号，或身高数据，或体重的估计值等，这样作出的图形称为残差图．(3)R 2＝1－∑i ＝1ny i －y ^i2∑i ＝1ny i －y2越接近1，表示回归的效果越好．[自我诊断]判断(正确的打“√”，错误的打“×”)1．残差平方和越小，线性回归方程的拟合效果越好．( )2．在画两个变量的散点图时，预报变量在x 轴上，解释变量在y 轴上．( ) 3．R 2越小，线性回归方程的拟合效果越好．( ) [答案] 1.√ 2.× 3.×题型一 求线性回归方程思考：求线性回归方程的步骤是什么？ 提示：①列表表示x i ，y i ，x i y i ，x 2i ；②计算x ，y ，∑i ＝1nx 2i ，∑i ＝1nx i y i ；③代入公式计算a ^，b ^的值； ④写出线性回归方程．某研究机构对高三学生的记忆力x 和判断力y 进行统计分析，得下表数据(1)(2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^； (3)试根据求出的线性回归方程，预测记忆力为9的同学的判断力．⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫相关公式：b ^＝∑i ＝1nx i y i －n x ·y∑i ＝1nx 2i－n x 2，a ^＝y －b ^ x[思路导引] 先画散点图，再求回归系数a ^，b ^写出方程． [解] (1)如图：(2)∑i ＝1nx i y i ＝6×2＋8×3＋10×5＋12×6＝158，x ＝6＋8＋10＋124＝9，y ＝2＋3＋5＋64＝4， ∑i ＝1nx 2i ＝62＋82＋102＋122＝344， b ^＝158－4×9×4344－4×92＝1420＝0.7，a ^＝y －b ^x ＝4－0.7×9＝－2.3， 故线性回归方程为y ^＝0.7x －2.3.(3)由(2)中线性回归方程当x ＝9时，y ^＝0.7×9－2.3＝4，预测记忆力为9的同学的判断力约为4.求线性回归方程的三个步骤(1)画散点图：由样本点是否呈条状分布来判断两个量是否具有线性相关关系． (2)求回归系数：若存在线性相关关系，则求回归系数．(3)写方程：写出线性回归方程，并利用线性回归方程进行预测说明． 【温馨提示】 对回归直线的四点说明 (1)回归直线过点(x －，y －)．(2)回归直线的截距a 和斜率b 都是通过样本估计而得的，存在着误差，这种误差可能导致预报结果的偏差．(3)线性回归方程y ＝a ＋bx 中的b 表示x 增加1个单位时，y 的平均变化量为b ，而a 表示y 不随x 的变化而变化的部分．(4)可以利用线性回归方程y ＝a ＋bx 预报在x 取某个值时，y 的估计值． [跟踪训练](链接教材P 81—例1)某种产品的广告费用支出x 与销售额y (单位：百万元)之间有如下的对应数据：(1)(2)求线性回归方程；(3)试预测广告费用支出为10百万元时的销售额． [解] (1)散点图如图所示：(2)列出下表，并用科学计算器进行有关计算：所以，x －＝255＝5，y －＝2505＝50，∑i ＝15x 2i ＝145，∑i ＝15x i y i ＝1380.于是可得b ^＝∑i ＝15x i y i －5x －y－∑i ＝15x 2i －5x－2＝1380－5×5×50145－5×52＝6.5，a ^＝y －－b ^x －＝50－6.5×5＝17.5.所以所求的线性回归方程为y ^＝6.5x ＋17.5.(3)根据(2)中求得的线性回归方程，当广告费用支出为10百万元时， y ^＝6.5×10＋17.5＝82.5(百万元)，即广告费用支出为10百万元时，销售额大约为82.5百万元． 题型二 线性回归分析思考：如何用残差图、残差平方和、相关指数R 2分析模型拟合效果？提示：残差图的带状区域的宽度越窄，模型拟合精度越高；残差平方和越小，模型拟合效果越好；R 2越接近于1，模型拟合效果越好．假定小麦基本苗数x 与成熟期有效穗y 之间存在相关关系，今测得5组数据如下：(1)以x (2)求y 与x 之间的回归方程，对于基本苗数56.7预报有效穗； (3)计算各组残差，并计算残差平方和；(4)求R 2，并说明残差变量对有效穗的影响占百分之几？ [解] (1)散点图如下．(2)由(1)中散点图看出，样本点大致分布在一条直线的附近，有比较好的线性相关关系，因此可以用线性回归方程刻画它们之间的关系．设回归方程为y ^＝b ^x ＋a ^，x －＝30.36，y －＝43.5，∑i ＝15x 2i ＝5101.56，∑i ＝15y 2i ＝9511.43.x －y －＝1320.66，x －2＝921.7296，∑i ＝15x i y i ＝6746.76.则b ^＝∑i ＝15x i y i －5x －y －∑i ＝15x 2i －5x－2≈0.29，a ^＝y －－b ^x －≈34.70.故所求的回归直线方程为y ^＝0.29x ＋34.70. 当x ＝56.7时，y ^＝0.29×56.7＋34.70＝51.143. 估计成熟期有效穗为51.143.(3)由于y ^i ＝b ^x i ＋a ^，可以算得e ^i ＝y i －y ^i 分别为e ^1＝0.35，e ^2＝0.718，e ^3＝－0.5，e ^4＝－2.214，e ^5＝1.624，残差平方和：∑i ＝15e ^2i ≈8.43.(4)∑i ＝15(y i －y －)2＝50.18，故R 2＝1－8.4350.18≈0.832.所以解释变量小麦基本苗数对总效应约贡献了83.2%，残差变量贡献了约1－83.2%＝16.8%.(1)利用残差分析研究两个变量间的关系时，首先要根据散点图来判断它们是否线性相关，是否可以用线性回归模型来拟合数据，然后通过残差e ^1，e ^2，…，e ^n 来判断模型拟合的效果．(2)若残差点比较均匀地分布在水平带状区域中，带状区域越窄，说明模型拟合度越高，回归方程预报精确度越高．[跟踪训练]为研究质量x (单位：克)对弹簧长度y (单位：厘米)的影响，对不同质量的6个物体进行测量，数据如表所示：(1)(2)求出R 2. (3)进行残差分析．[解] (1)作出散点图如图所示：x －＝16×(5＋10＋15＋20＋25＋30)＝17.5.y －＝16×(7.25＋8.12＋8.95＋9.90＋10.9＋11.8)≈9.487，∑i ＝16x 2i ＝2275，∑i ＝16x i y i ＝1076.2，计算得，b ^≈0.183，a ^≈6.285， 所求回归直线方程为y ^＝6.285＋0.183x . (2)列表如下：所以∑i ＝16(y i －y ^i )2≈0.01318，∑i ＝16(y i －y －)2＝14.6784.所以，R 2＝1－0.0131814.6784≈0.9991.所以回归模型的拟合效果较好．(3)由残差表中的数值可以看出第3个样本点的残差比较大，需要确认在采集这个数据的时候是否有人为的错误，如果有的话，需要纠正数据，重新建立回归模型；由表中数据可以看出残差点比较均匀地落在不超过0.15的狭窄的水平带状区域中，说明选用的线性回归模型的精度较高，由以上分析可知，弹簧长度与质量具有线性关系．题型三 非线性回归分析(链接教材P 86—例2)某地区六年来轻工业产品利润总额y 与年次x 的试验数据如下表所示：0为正数，求y 关于x 的回归方程．[思路导引] 解答此题可根据散点图选择恰当的拟合函数，而本题已经给出，只需将其转化为线性函数，利用最小二乘法求得回归直线方程，再将其还原为非线性回归方程即可．[解] 对y ＝ab xe 0两边取自然对数，得ln y ＝ln ae 0＋x ln b ，令z ＝ln y ，则z 与x 的数据如下表：由z 0ln b ≈0.0477，ln ae 0＝2.378，即z ^＝2.378＋0.0477x ，故y ^＝10.8×1.05x .非线性回归问题的处理方法一般地，有些非线性回归模型通过变换可以转化为线性回归模型，即借助于线性回归模型研究呈非线性回归关系的两个变量之间的关系：(1)如果散点图中的点分布在一个直线状带形区域，可以选用线性回归模型来建模； (2)如果散点图中的点分布在一个曲线状带形区域，要先对变量作适当的变换，再利用线性回归模型来建模．(3)非线性回归方程的求法： ①根据原始数据(x ，y )作出散点图； ②根据散点图，选择恰当的拟合函数；③作恰当的变换，将其转化成线性函数，求线性回归方程； ④在③的基础上通过相应的变换，即可得非线性回归方程． (4)非线性相关问题常见的几种线性变换：在实际问题中，常常要根据一批实验数据绘出曲线，当曲线类型不具备线性相关关系时，可以根据散点分布的形状与已知函数的图象进行比较，确定曲线的类型，再作变量替换，将曲线改为直线．下面是几种容易通过变量替换转化为直线的函数模型：①y ＝a ＋b x，令y ′＝y ，x ′＝1x，则有y ′＝a ＋bx ′；②y ＝ax b，令y ′＝ln y ，x ′＝ln x ，a ′＝ln a ，则有y ′＝a ′＋bx ′； ③y ＝a e bx ，令y ′＝ln y ，x ′＝x ，a ′＝ln a ，则有y ′＝a ′＋bx ′； ④y ＝a e b x，令y ′＝ln y ，x ′＝1x，a ′＝ln a ，则有y ′＝a ′＋bx ′；⑤y ＝a ＋b ln x ，令y ′＝y ，x ′＝ln x ，则有y ′＝a ＋bx ′； ⑥y ＝bx 2＋a ，令y ′＝y ，x ′＝x 2，则有y ′＝bx ′＋a .[跟踪训练]某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x (单位：千元)对年销售量y (单位：t)和年利润z (单位：千元)的影响，对近8年的年宣传费x i 和年销售量y i (i ＝1,2，…，8)数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．表中w i ＝x i ，w －＝18∑i ＝18w i .(1)根据散点图判断，y ＝a ＋bx 与y ＝c ＋d x 哪一个适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程类型？(给出判断即可，不必说明理由)(2)根据(1)的判断结果及表中数据，建立y 关于x 的回归方程．(3)已知这种产品的年利润z 与x ，y 的关系为z ＝0.2y －x .根据(2)的结果回答下列问题：①年宣传费x ＝49时，年销售量及年利润的预报值是多少？ ②年宣传费x 为何值时，年利润的预报值最大？附：对于一组数据(u 1，v 1)，(u 2，v 2)，…，(u n ，v n )，其回归线v ＝α＋βu 的斜率和截距的最小二乘估计分别为：β^＝∑i ＝1nu i －u－v i －v－∑i ＝1nu i －u－2，α^＝v －－β^u －.[解] (1)由散点图的变化趋势可以判断，y ＝c ＋d x 适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程类型．(2)令w ＝x ，先建立y 关于w 的线性回归方程．由于d ^＝∑i ＝18w i －w－y i －y－∑i ＝18w i －w－2＝108.81.6＝68， c ^＝y －－d ^w －＝563－68×6.8＝100.6，所以y 关于w 的线性回归方程为y ^＝100.6＋68w ，因此y 关于x 的回归方程为y ^＝100.6＋68x .(3)①由(2)知，当x ＝49时，年销售量y 的预报值y ^＝100.6＋6849＝576.6， 年利润z 的预报值z ^＝576.6×0.2－49＝66.32. ②根据(2)的结果知，年利润z 的预报值 z ^＝0.2(100.6＋68x )－x ＝－x ＋13.6x ＋20.12.11 所以当x ＝13.62＝6.8，即x ＝46.24时，z ^取得最大值． 故年宣传费为46.24千元时，年利润的预报值最大．1.本节课的重点是线性回归方程的求法及线性回归分析，难点是残差分析和非线性回归分析．2．本节课要重点掌握的规律方法(1)求线性回归方程，见典例1；(2)线性回归分析，见典例2；(3)非线性回归分析，见典例3.3．对线性回归模型的三点说明(1)线性回归模型y ＝bx ＋a ＋e 与确定性函数y ＝a ＋bx 相比，它表示y 与x 之间是统计相关关系(非确定性关系)，其中的随机误差e 提供了选择模型的准则以及在模型合理的情况下探求最佳估计值a ，b 的工具．(2)线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^中a ^，b ^的意义是：以a ^为基数，x 每增加1个单位，y 相应地平均增加b ^个单位．(3)线性回归模型中随机误差的主要来源①线性回归模型与真实情况引起的误差；②省略了一些因素的影响产生的误差；③观测与计算产生的误差．。
2019-2020学年高中数学人教A版选修2-3课件：第3章 统计案例本章整合提升
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回归分析是对两个变量进行线性相关强弱的判断及由 回归直线方程，根据一个变量的值，预测或控制另一个变量 的值．判断两个变量是否相关常用的方法有两种：一种是画 散点图，二是计算 R2 的值．若两个变量具有相关性，可求回 归直线方程．
在一段时间内，某种商品价格 x 和需求量 y 之 间的一组数据为
有人发现一个有趣的现象，中国人的邮箱名称 里含有数字比较多，而外国人邮箱名称里含有数字比较少， 为了研究国籍和邮箱名称里含有数字的关系，他收集了 124 个邮箱名称，其中中国人的 64 个，外国人的 60 个，中国人 的邮箱中有 43 个含数字，外国人的邮箱中有 27 个含数字．
(1)根据以上数据建立 2×2 列联表； (2)他发现在这组数据中，外国人邮箱里含数字的也不 少，他不能断定国籍和邮箱名称里含有数字是否有关，你能 帮他判断一下吗？
－x ＝15×9＝1.8，－y ＝15×37＝7.4， b^＝621－6.65－×51×.8×1.872.4＝－11.5，a^＝7.4＋11.5×1.8＝28.1， 所以 y 关于 x 的回归直线方程为^y＝a^＋b^x＝28.1－11.5x. (3)当 x＝1.9 时，y＝28.1－11.5×1.9＝6.25，所以价格定 为 1.9 万元，需求量大约是 6.25 t.
【解】 (1)2×2 的列联表
中国人 外国人 总计
有数字 43
27 70
无数字 21
33 54
总计 64
60 124
(2)假设“国籍和邮箱名称里是否含有数字无关”． 由表中数据得 k＝124×70×435×4×336－4×276×0 212≈6.201. 因为 k>5.024，所以有理由认为假设“国籍和邮箱名称 里是否含有数字无关”是不合理的，即在犯错误的概率不超 过 0.025 的前提下认为“国籍和邮箱名称里是否含有数字有 关”．
2019_2020学年高中数学第三章统计案例3.2独立性检验的基本思想及其初步应用课件新人教A版选修2_3
的准确度，准确代数、准确计算、准确比较、准确下结论．
1．所谓独立性检验，就是根据采集样本的数据，先利用 等高条形图粗略判断两个分类变量是否有关系，再利用公式计 算K2的值，比较与临界值的大小关系，来判定事件x与y是否无 关的问题．
2 ． 根 据 事 件 的 相 互 独 立 检 验 ， 可 用 公 式 P(AB) ＝ P(A)·P(B)进行检验两分类变量没有关系．
8
在2×2列联表独立性检验中，随机变量K2的观测值可以确 定“两个分类变量有关系”的可信度．如果K2的值很大，说明 关系很大；如果K2的值比较小，则说明二者之间关系不明显．
2．某大型企业人力资源部为了研究企业员工工作态度和 对待企业改革态度的关系，经过调查得到如下列联表：
态度
工作积极 工作一般 总计
4．在 2×2 列联表独立性检验中，随机变量 K2 的观测值 k ＝a＋bcn＋add－ab＋cc2b＋d可以确定“x 与 y 有关系”的可信程 度．
1．下列关于 K2 统计量的说法正确的是( )
①可以为负值；
②K2 的值越大，两个事件的相关性越强；
③K2 可以用来判断两个事件是否相关；
④K2＝a＋bcn＋add－ab＋ccb＋d.
积极支持 企业改革
54 32 86
不太支持 企业改革
40 63 103
总计
94 95 189
根据列联表，能否在犯错误的概率不超过0.005的前提下 认为工作态度与对待企业改革态度之间有关系？
【解析】由列联表中的数据，得 K2 的观测值为 k＝1899×4×549×5×638－6×401×03322≈10.759>7.879， 而 P(K2≥7.879)≈0.005， 因此，在犯错误的概率不超过 0.005 的前提下，认为工作 态度与对待企业改革态度之间有关系．
2019-2020学年高中数学人教A版选修2-3课件：第3章 统计案例3.2
福指数与租住的小区”有关.
“推迟退休”问题备受关注，调查
机构对某小区的 100 位居民进行了调查，得到如下的列联表：
支持推迟退休 不支持推迟退休 合计
年龄不大于 45 岁
20
60
80
年龄大于 45 岁
10
10
20
合计
30
70
100
(1)请画出列联表的等高条形图，并通过图形判断两个分 类变量是否有关系；
色盲 不色盲 合计
男 38 442 480
女6 合计 44
514 520 956 1 000
∵38＋38442＝43880＝21490，6＋6514＝5620＝2630，
显然21490>2630且两个比例的值相差较大，故可以粗略地 估计患不患色盲与性别有关．
[名 师 点 拨] 利用 2×2 列联表中满足条件 X＝x1 的个体中具有 Y＝y1 的个体所占的比例a＋a b，与满足条件 X＝x2 的个体中具有 Y ＝y1 的个体所占的比例c＋c d，两个比例的值相差越大，X 与 Y 有关的可能性就越大.
课堂互动探究
归纳透析 触类旁通
题型一 2×2 列联表 在调查的 480 名男性中有 38 名患有色盲，520
名女性中有 6 名患有色盲，请根据题目的条件列出 2×2 列 联表并由列联表估计色盲与性别是否有关．
【思路探索】 根据性别与患不患色盲列出列联表．
【解】 根据题目所给的数据作出如下列联表：
答案：C
2．为考察高中生的性别与喜欢数学课程之间的关系， 运用 2×2 列联表进行检验，经计算 K2＝7.069，参考临界
值表，则认为“性别与喜欢数学有关”犯错误的概率不超过
() A．0.1% C．99%
2019_2020年高中数学第三章统计案例3_1回归分析的基本思想及其初步应用随堂达标验收新人教A版选修2_3
3-1 回归分析的基本思想及其初步应用1．设某大学的女生体重y (单位：kg)与身高x (单位：cm)有线性相关关系，根据一组样本数据(x i ，y i )(i ＝1,2，…，n )，用最小二乘法建立的回归方程为y ^＝0.85x －85.71，下列结论中不正确的是( )A ．y 与x 具有正的线性相关关系B ．回归直线过样本点的中心(x －，y －)C ．若该大学某女生身高增加1 cm ，则其体重约增加0.85 kgD ．若该大学某女生身高为170 cm ，则可断定其体重必为58.79 kg[解析] 由y ^＝0.85x －85.71可知该大学某女生身高为170 cm ，则可断定其体重约为58.79 kg ，故选D.[答案] D2．四名同学根据各自的样本数据研究变量x ，y 之间的相关关系，并求得回归直线方程，分别得到以下四个结论：①y 与x 负相关且y ^＝2.347x －6.423；②y 与x 负相关且y ^＝－3.476x ＋5.648；③y 与x 正相关且y ^＝5.437x ＋8.493；④y 与x 正相关且y ^＝－4.326x －4.578.其中一定不正确的结论的序号是( )A ．①②B ．②③C ．③④D ．①④[解析] ①③为正相关，②④为负相关．故选D.[答案] D3．已知回归直线方程y ^＝b ^x ＋a ^中的a ^的估计值为0.2，样本点的中心为(4,5)，则回归直线方程为( )A.y ^＝1.2x －0.2B.y ^＝1.2x ＋0.2C.y ^＝0.2x ＋1.2D.y ^＝0.2x －0.2[解析] 将a ^＝0.2代入y ^＝b ^x ＋a ^＝b ^x ＋0.2，又∵回归直线方程必过样本点的中心(4,5)，∴5＝b ^×4＋0.2，∴b ^＝1.2.∴回归直线方程为y ^＝1.2x ＋0.2，故选B.[答案] B4．已知x 与y 之间的一组数据如下表：已求得y 关于x 的线性回归方程为y ＝2.1x ＋0.85，则m 的值为( )A ．1B ．0.85C ．0.7D ．0.5[解析] ∵x －＝0＋1＋2＋34＝32，y －＝m ＋3＋5.5＋74＝m ＋15.54，∴这组数据的样本中心点是⎝ ⎛⎭⎪⎫32，m ＋15.54.∵y 关于x 的线性回归方程为y ^＝2.1x ＋0.85，∴m ＋15.54＝2.1×32＋0.85，解得m ＝0.5.∴m 的值为0.5.[答案] D。
2019-2020学年高中数学人教A版选修2-3课件：第3章 统计案例3.1
n
xi－ x yi－ y
i＝1
参考公式：b^＝
，a^＝ y －b^ x .
n
xi－ x 2
i＝1
【解】 (1)由散点图知，z 与 x 具有的线性相关性较强． (2)由条件，得
6
xi－ x zi－ z
i＝1
b^＝
6
xi－ x 2
＝－1177550.5≈－0.10，
i＝1
a^＝ z －b^ x ＝11.55－(－0.10)×35＝15.05≈15，
所以^z＝－0.10x＋15， 又 z＝2ln y，得 2ln ^y＝－0.10x＋15， 故 y 关于 x 的回归方程为^y＝e－0.102x＋15. (3)设年销售额为 P 元， 设 P＝f(x)＝x^y＝xe－0.102x＋15，x∈(0，＋∞)， f′(x)＝(1－0.05x)e－0.102x＋15，
n
yi－^yi2
i＝1
线方程．用 R2＝1－
的值来判断拟合效果．
n
yi－－y 2
i＝1
【解】 由题意得 －x ＝15(14＋16＋…＋22)＝18， －y ＝15(12＋10＋…＋3)＝7.4，
5
x2i ＝142＋162＋…＋222＝1 660，
i＝1
5
y2i ＝122＋102＋…＋32＝327，
课堂互动探究
归纳透析 触类旁通
题型一 求线性回归方程 在我国某地的一个县城，近期发现了好几个癌
症村．政府部门十分震惊，马上组成调查组调查病因，经调 查发现致癌的罪魁祸首是水源中的金属砷，它们来自附近的 几家化工厂，化工厂排出的废水中含有金属砷，废水污染了 水源，人食用了这种水就会致癌．下面就是调查组对几个癌 症村水源中的砷超标的倍数和患癌症的人数统计的数据：
(必考题)高中数学高中数学选修2-3第三章《统计案例》检测(含答案解析)
一、选择题1．以模型kx y ce =去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设ln z y =，其变换后得到线性回归方程0.53z x =+，则c =（ ） A ．3B ．3eC ．0.5D ．0.5e2．已知两个统计案例如下：①为了探究患肺炎与吸烟的关系，调查了339名50岁以上的人，调查结果如下表：②为了解某地母亲与女儿身高的关系，随机测得10对母女的身高如下表：则对这些数据的处理所应用的统计方法是（ ） A ．①回归分析，②取平均值 B ．①独立性检验，②回归分析 C ．①回归分析，②独立性检验D ．①独立性检验，②取平均值3．假设有两个分类变量X 和Y 的22⨯列联表为：对同一样本，以下数据能说明X 与Y 有关系的可能性最大的一组为参考公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．A ．5,35b d ==B ．15,25b d ==C ．20,20b d ==D ．30,10b d ==4．为了解高中生作文成绩与课外阅读量之间的关系，某研究机构随机抽取了60名高中生，通过问卷调查，得到以下数据：2()P K k≥0.0500.0250.0100.0050.001k 3.841 5.024 6.6357.87910.828由以上数据，计算得到K2的观测值k≈9.643，根据临界值表，以下说法正确的是() A．没有充足的理由认为课外阅读量大与作文成绩优秀有关B．有0.5%的把握认为课外阅读量大与作文成绩优秀有关C．有99.9%的把握认为课外阅读量大与作文成绩优秀有关D．有99.5%的把握认为课外阅读量大与作文成绩优秀有关5．某中学共有5000人，其中男生3500人，女生1500人，为了了解该校学生每周平均体育锻炼时间的情况以及该校学生每周平均体育锻炼时间是否与性别有关，现在用分层抽样的方法从中收集300位学生每周平均体育锻炼时间的样本数据（单位：小时），其频率分布直方图如下：附：22()=()()()()n ad bcKa cb d a d b c-++++，其中n a b c d=+++.2()P K k≥0.100.050.010.005k 2.706 3.841 6.6357.879已知在样本数据中，有60位女生的每周平均体育锻炼时间超过4小时，根据独立性检验原理，我们（）A．没有理由认为“该校学生每周平均体育锻炼时间与性别有关”B．有95%的把握认为“该校学生每周平均体育锻炼时间与性别有关”C．有95%的把握认为“该校学生每周平均体育锻炼时间与性别无关”D ．有99.5%的把握认为“该校学生每周平均体育锻炼时间与性别有关”6．通过随机询问100名性别不同的居民是否能做到“光盘”行动，得到如下的列联表：做不到“光盘” 能做到“光盘” 男 45 10 女3015则有（ ）以上的把握认为“该市民能否做到‘光盘’与性别有关”，附表及公式()20P K k ≥0.100 0.050 0.010 0.001 0k 2.7063.8416.63510.828()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++A ．90%B ．95%C ．99%D ．99.9%7．为了普及环保知识，增强环保意识，随机抽取某大学30名学生参加环保知识测试，得分如图所示，若得分的中位数为m e ，众数为m 0，平均数为x -，则( )A ．m e ＝m 0＝x -B ．m 0＜x -＜m e C ．m e ＜m 0＜x -D ．m 0＜m e ＜x -8．某科研机构为了研究中年人秃发与心脏病是否有关，随机调查了一些中年人的情况，具体数据见下表：心脏病 无心脏病 秃发 20 300 不秃发5450根据表中数据得到()277520450530015.96820750320455k ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯，因为K 2≥10.828，则断定秃发与心脏病有关系，那么这种判断出错的可能性为( ) A ．0.1B ．0.05C ．0.01D ．0.0019．给出以下四个说法：①绘制频率分布直方图时，各小长方形的面积等于相应各组的组距；②在刻画回归模型的拟合效果时，R2的值越大，说明拟合的效果越好；③设随机变量ξ服从正态分布N(4,22)，则P(ξ>4)＝12；④对分类变量X与Y，若它们的随机变量K2的观测值k越小，则判断“X与Y有关系”的犯错误的概率越小．其中正确的说法是()A．①④B．②③C．①③D．②④10．在一项中学生近视情况的调查中，某校男生150名中有80名近视，女生140名中有70名近视，在检验这些中学生眼睛近视是否与性别有关时用什么方法最有说服力（）A．平均数与方差 B．回归分析C．独立性检验 D．概率11．某中学学生会为了调查爱好游泳运动与性别是否有关，通过随机询问110名性别不同的高中生是否爱好游泳运动得到如下的列联表：由()()()()()22n ad bcka b c d a c b d-=++++并参照附表，得到的正确结论是A．在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为“爱好游泳运动与性别有关”B．在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为“爱好游泳运动与性别无关”C．有99.9%的把握认为“爱好游泳运动与性别有关”D．有99.9%的把握认为“爱好游泳运动与性别无关”12．通过随机询问2016名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到2 6.023K=，则根据这一数据查阅表，则有把握认为“爱好该项运动与性别有关”的可信程度是（）2()P K k≥…0.250.150.100.0250.0100.005…k… 1.323 2.072 2.706 5.024 6.6357.879…A．90%B．95%C．97.5%D．99.5%二、填空题13．给出下列结论：①在回归分析中，可用相关指数2R的值判断模型的拟合效果，2R越大，模型的拟合效果越好；②某工厂加工的某种钢管，内径与规定的内径尺寸之差是离散型随机变量；③随机变量的方差和标准差都反映了随机变量的取值偏离均值的平均程度，它们越小，则随机变量偏离均值的平均程度越小；④甲、乙两人向同一目标同时射击一次，事件A：“甲、乙中至少一人击中目标”与事件B：“甲、乙都没有击中目标”是相互独立事件.其中结论正确的是______.14．新闻媒体为了了解观众对央视某节目的喜爱与性别是否有关，随机调查了观看该节目的观众110名，得到如下的2×2列联表：试根据样本估计总体的思想，估计约有________的把握认为“喜爱该节目与否和性别有关”．参考附表：(参考公式：K2＝()()()()()2n ad bca b c d a c b d-++++，其中n=a+b+c+d)15．某市电信宽带私人用户月收费标准如下表：假定每月初可以和电信部门约定上网方案.若某用户每月上网时间为66小时，应选择__________方案最合算.16．下列是某厂1～4月份用水量（单位：百吨）的一组数据，由其散点图可知，用水量y与月份x 之间有较好的线性相关关系，其线性回归方程是=﹣0.7x+，则= ． 月 份x 1 2 3 4 用水量y4.5432.517．为了判断高中二年级学生是否喜欢足球运动与性别的关系，现随机抽取50名学生，得到22⨯列联表:喜欢 不喜欢 总计 男 15 10 25 女520 25 总计 203050（参考公式22()()()()()n ad bc k a b c d a c b d -=++++，()n a b c d =+++）20()P K k ≥ 0.010 0.005 0.0010k 6.635 7.879 10.828则有___________以上的把握认为“喜欢足球与性别有关”．18．为了判断高中三年级学生选修文理科是否与性别有关，现随机抽取50名学生，得到2×2列联表：理科 文科 总计 男 13 10 23 女 7 20 27 总计203050已知P (K 2≥3.841)≈0.05，P (K 2≥5.024)≈0.025.根据表中数据，得到≈4.844，则认为选修文理科与性别有关系出错的可能性约为________． 19．下列说法：①分类变量A 与B 的随机变量2K 越大，说明“A 与B 有关系”的可信度越大.②以模型kx y ce =去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设ln z y =，将其变换后得到线性方程0.34z x =+，则,c k 的值分别是4e 和0.3.③根据具有线性相关关系的两个变量的统计数据所得的回归直线方程为y a bx =+中，1,1,3b x y ===则1a =.正确的序号是________________.20．已知下列命题：①从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每30分钟从生产流水线中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样方法是系统抽样；②两个变量的线性相关程度越强，则相关系数的值越接近于1；③两个分类变量X 与Y 的观测值2k ，若2k 越小，则说明“X 与Y 有关系”的把握程度越大；④随机变量X ～(0,1)N ，则(1)2(1)1P X P X <=<-. 其中为真命题的是__________．三、解答题21．为研究男、女生的身高差异，现随机从高三某班选出男生、女生各10人，并测量他们的身高，测量结果如下（单位：厘米）： 男：173 178 174 185 170 169 167 164 161 170 女：165 166 156 170 163 162 158 153 169 172（1）根据测量结果完成身高的茎叶图（单位：厘米），并分别求出男、女生身高的平均值；（2）请根据测量结果得到20名学生身高的中位数h （单位：厘米），将男、女生身高不低于h 和低于h 的人数填入下表中，并判断是否有90%的把握认为男、女生身高有差异？ 人数 男生 女生身高h ≥ 身高h <参照公式：()()()()()22n ad bc k a b c d a c b d -=++++()20P K k ≥ 0.100.05 0.025 0.010 0.005 0.001 0k2.7063.8415.0246.6357.87910.828175厘米为偏高.采用分层抽样的方法从以上男生中抽取5人作为样本.若从样本中任取2人，试求恰有1人身高属于正常的概率.22．某实验学校为提高学习效率，开展学习方式创新活动，提出了完成某项学习任务的两种新的学习方式.为比较两种学习方式的效率，选取40名学生，将他们随机分成两组，每组20人，第一组学生用第一种学习方式，第二组学生用第二种学习方式.40名学生完成学习任务所需时间的中位数40min m =，并将完成学习任务所需时间超过min m 和不超过min m 的学生人数得到下面的列联表：（Ⅰ）估计第一种学习方式且不超过m 的概率、第二种学习方式且不超过m 的概率； （Ⅱ）能否有99%的把握认为两种学习方式的效率有差异？附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，23．某科研小组为了验证一种治疗新冠肺炎的新药的效果，选60名患者服药一段时间后，记录了这些患者的生理指标x 和y 的数据，并统计得到如下的22⨯列联表（不完整）：在生理指标 1.8x >的人中，设A 组为生理指标65y ≤的人，B 组为生理指标65y >的人，将他们服用这种药物后的康复时间（单位：天）记录如下： A 组：10，11，12，13，14，15，16，17，19． B 组：12，13，14，15，16，17，20，21，25．（1）填写上表，并判断是否有95%95%的把握认为患者的两项生理指标x 和y 有关系； （2）从A ，B 两组人中随机各选1人，A 组选出的人记为甲，B 组选出的人记为乙，求乙的康复时间比甲的康复时间长的概率．附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．)20k0.2524．在第十五次全国国民阅读调查中，某地区调查组获得一个容量为200的样本，其中城镇居民150人，农村居民50人，在这些居民中，经常阅读的城镇居民100人，农村居民24人.（1）完成上面2×2列联表，并判断是否有95%的把握认为经常阅读与居民居住地有关？（2）从该地区居民城镇的居民中，随机抽取5位居民参加一次阅读交流活动，记这5位居民中经常阅读的人数为X，若用样本的频率作为概率，求随机变量X的分布列和期望.附：K2＝2()()()()()n ad bca b c d a c b d-++++，其中n＝a+b+c+d.25．某足球运动员进行射门训练，若打进球门算成功，否则算失败.已知某天该球员射门成功次数与射门距离的统计数据如下：（1）请问是否有90%的把握认为该球员射门成功与射门距离是否超过30米有关？参考公式及数据：22(),()()()()n ad bc K n a b c d a b c d a c b d -==+++++++.（2）当该球员距离球门30米射门时，设射门角（射门点与球场底线中点的连线和底线所成的锐角或直角）为([0,])2πθθ∈，其射门成功率为2+3()cos sin 4f θθθθθ=+⋅-，求该球员射门成功率最高时射门角θ的值.26．已知某种新型病毒的传染能力很强，给人们生产和生活带来很大的影响，所以创新研发疫苗成了当务之急.为此，某药企加大了研发投入，市场上这种新型冠状病毒的疫苗A 的研发费用x （百万元）和销量y （万盒）的统计数据如下：（1）根据上表中的数据，建立y 关于x 的线性回归方程y bx a =+（用分数表示）； （2）根据所求的回归方程，估计当研发费用为1600万元时，销售量为多少？参考公式：()()()1122211nniii i i i nniii i x x y y x y nx yb x x xnx====---==--∑∑∑∑，a y bx =-.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】根据指对数互化求解即可. 【详解】解：因为0.53z x =+，ln z y =，所以0.53ln x y +=，所以0.5330.5x x y e e e +==⨯，故3c e=.故选：B.【点睛】本题考查非线性回归问题的转化，是基础题.2．B解析：B【分析】根据独立性检验和回归分析的概念，即可作出判定，得到答案．【详解】由题意，独立性检验通常是研究两个分类变量之间是否有关系，所以①采用独立性检验，回归分析通常是研究两个具有相关关系的变量的相关程度，②采用回归分析，综上可知①是独立性检验，②是回归分析，故选B．【点睛】本题主要考查了独立性检验和回归分析的概念及其判定，其中解答中熟记独立性检验和回归分析的概念是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．3．D解析：D【解析】【分析】根据公式()()()()()22n ad bcKa b c d a c b d-=++++，分别利用4个选项中所给数据求出2K的值，比较所求值的大小即可得结果.【详解】选项A：22160(535155)3204010502K⨯⨯-⨯==⨯⨯⨯，选项B:22260(5251515)152040204016K⨯⨯-⨯==⨯⨯⨯，选项C：22360(5201520)24204025357K⨯⨯-⨯==⨯⨯⨯，选项D：22 460(5101530)96 204035257K⨯⨯-⨯==⨯⨯⨯，可得222431K K K>>22K>，所以由选项D中的数据得到的2K值最大，说明X与Y有关系的可能性最大，故选D．【点睛】本题主考查独立性检验的基本性质，意在考查对基本概念的理解与应用，属于基础题.解答独立性检验问题时，要注意应用2K越大两个变量有关的可能性越大这一性质.4．D解析：D【解析】【分析】由题意结合独立性检验的结论和临界值表给出结论即可.【详解】根据临界值表，9.643>7.879，在犯错误的概率不超过0.005的前提下，认为课外阅读量大与作文成绩优秀有关，即有99.5%的把握认为课外阅读量大与作文成绩优秀有关．本题选择D选项.【点睛】本题主要考查独立性检验的思想及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.5．B解析：B【解析】分析：根据题设收集的数据，得到男生学生的人数，进而得出22⨯的列联表，利用计算公式，求解2K的值，即可作出判断.详解：由题意得，从5000人中，其中男生3500人，女生1500人，抽取一个容量为300人的样本，其中男女各抽取的人数为35003002105000⨯=人，1500300905000⨯=人，又由频率分布直方图可知，每周体育锻炼时间超过4小时的人数的频率为0.75，所以在300人中每周体育锻炼时间超过4小时的人数为3000.75225⨯=人，又在每周体育锻炼时间超过4小时的人数中，女生有60人，所以男生有22560165-=人，可得如下的22⨯的列联表：结合列联表可算得22300(456016530)4.762 3.8412109075225K⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，所以有95%的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”，故选B.点睛：本题主要考查了独立性检验的基础知识的应用，其中根据题设条件得到男女生的人数，得出22⨯的列联表，利用公式准确计算是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力.6．A解析：A【解析】分析：根据列联表中数据代入公式计算k 的值，和临界值表比对后即可得到答案. 详解：将列联表中数据代入公式可得()210045153010 3.030 2.70675255545k ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，所以有0090的把握认为“该市居民能否做到‘光盘’”与性别有关.点睛：独立性检验的一般步骤：（1）根据样本数据制成22⨯列联表；（2）根据公式()()()()()22n ad bc K a b a d a c b d -=++++计算2K 的值；(3) 查表比较2K 与临界值的大小关系，作统计判断.（注意：在实际问题中，独立性检验的结论也仅仅是一种数学关系，得到的结论也可能犯错误.）7．D解析：D 【解析】由条形图知，30名学生的得分情况依次为2个人得3分，3个人得4分，10个人得5分，6个人得6分，3个人得7分，2个人得8分，2个人得9分，2个人得10分，中位数为第15,16个数(分别为5,6)的平均数，即m e ＝5.5,5出现的次数最多，故众数为m 0＝5，平均数为x ＝130(2×3＋3×4＋10×5＋6×6＋3×7＋2×8＋2×9＋2×10)≈5.97，故m 0＜m e ＜x . 故答案为D.点睛：这个题目考查的是条型分布直方表的应用，以及基本量：均值，平均数的考查；一般在这类图中平均数就是将数据加到一起除以数据的个数即可，在频率分布直方表中是取每个长方条的中点乘以相应的频率并相加即可.8．D解析：D 【解析】010.828,10.0010.99999.90k ≥∴-==，则有0099.9以上的把握认为秃发与患心脏病有关，故这种判断出错的可能性为10.9990.001-=，故选D.【方法点睛】本题主要考查独立性检验的实际应用，属于难题.独立性检验的一般步骤：（1）根据样本数据制成22⨯列联表；（2）根据公式()()()()()22n ad bc K a b a d a c b d -=++++计算2K 的值；(3) 查表比较2K 与临界值的大小关系，作统计判断.（注意：在实际问题中，独立性检验的结论也仅仅是一种数学关系，得到的结论也可能犯错误.）9．B解析：B 【解析】①中各小长方形的面积等于相应各组的频率；②正确，相关指数R 2越大，拟合效果越好，R 2越小，拟合效果越差；③随机变量ξ服从正态分布N (4,22)，正态曲线对称轴为x ＝4，所以P (ξ>4)＝；④对分类变量X 与Y ，若它们的随机变量K 2的观测值k 越小，则说明“X 与Y 有关系”的犯错误的概率越大．故选B.10．C解析：C【解析】判断两个分类变量是否有关的最有效方法是进行独立性检验，故选C. 考点：独立性检验的意义.11．A解析：A 【解析】()22110403020207.8 6.63560506050k ⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯,所以有99%的把握认为“爱好游泳运动与性别有关”,所以在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为“爱好游泳运动与性别有关”12．C解析：C 【解析】因为2 6.023K =，且5.024 6.023 6.635≤≤，所以有把握认为“爱好该项运动与性别有关”的可信度P 满足10.02510.010P -≤≤-，即0.9750.99P ≤≤，应选答案C 。
高中数学 第三章 统计案例综合训练学案 新人教A版选修2-3-新人教A版高二选修2-3数学学案
第三章统计案例（综合训练1）一、学习要求1．通过典型案例的探究，了解统计学中对两个变量统计分析的思想方法和步骤；2．能综合运用概率、统计的知识解决有关问题。
二、问题探究■合作探究例1．【10新课标（文19）】为调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了500位老年人，结果如下：性别是否需要志愿者男女需要40 30不需要160 270（1）估计该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人比例；（2）能否有的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关？（3）根据（2）的结论，能否提出更好的调查方法来估计该地区的老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例？说明理由.附：0.050 0.010 0.0013.841 6.635 10.828。
【解析】（1）样本中，该地区的老年人需要志愿者提供帮助的有：403070+=（人），∴估计该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人比例为：707 50050=。
（2）根据表中数据，得到：，∵，∴有的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关。
（3）根据（2）的结论可知，地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关，所以可按性别进行分层抽样调查，从而能更好地估计该地区的老年人中需要志愿者提供帮助的老年人的比例。
■自主探究1．为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关，对本班50人进行了问卷调查，得到了如下的列联表：喜爱打篮球不喜爱打篮球合计男生 5女生10合计50已知在全部50人中随机抽取1人，抽到喜爱打篮球的学生的概率为。
（Ⅰ）补充完整上面的列联表，并判断是否有的把握认为喜爱打篮球与性别有关？（Ⅱ）若采用分层抽样的方法从喜爱打篮球的学生中随机抽取3人，则男生和女生抽取的人数分别是多少？解：（Ⅰ）这50人中喜爱打篮球的人数为:（人）。
列联表补充如下：喜爱打篮球不喜爱打篮球合计男生20 5 25女生10 15 25合计30 20 50，∵，∴有的把握认为喜爱打篮球与性别有关。
2020学年高中数学第三章统计案例单元质量测评新人教A版选修2-3(最新整理)
第三章 单元质量测评本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题)两部分．满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷 （选择题,共60分)一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分) 1．下列属于相关关系的是( ） A ．利息与利率B ．居民收入与储蓄存款C ．电视机产量与苹果产量D ．某种商品的销售额与销售价格 答案 B解析 A 与D 是函数关系，C 中两变量没有关系，B 中居民收入与储蓄存款是相关的,但不具有函数关系．2．已知一个线性回归方程为y ^＝1.5x ＋45，其中x 的取值依次为1，7，5,13,19，则错误!＝（ )A ．58。
5B ．46.5C ．60D ．75答案 A解析 错误!＝错误!＝9，因为回归直线必过样本点的中心（错误!，错误!），所以错误!＝1.5×9＋45＝13.5＋45＝58。
5.故选A 。
3．利用独立性检验来考察两个分类变量X 和Y 是否有关系时，通过查阅下表来确定“X 与Y 有关系”的可信程度．如果k ≥5.024，那么就有把握认为“X 与Y 有关系”的百分比为（ ）A ．25%B ．75％C ．2.5％D ．97。
5％答案 D解析 k ＝5。
024对应的0.025是“X 和Y 有关系"不合理的程度，因此两个分类变量有关系的可信程度约为97.5％.4．工人月工资（元）依劳动生产率（千元)变化的回归方程为y ^＝50＋80x ，下列判断正确的是（ ）①劳动生产率为1000元时，则工资为130元；②劳动生产率提高1000元时，则工资提高80元；③劳动生产率提高1000元时,则工资提高130元;④当月工资210元,劳动生产率为200元．A ．①B ．②C ．③D ．④答案 B解析 ∵回归直线斜率为80，∴x 每增加1千元,错误!增加80，即劳动生产率提高1000元时，工资提高80元．5．如图,5个（x ，y )数据，去掉D （3,10)后，下列说法错误的是（ )A ．相关系数r 变大B ．残差平方和变大C ．R 2变大D ．解释变量x 与预报变量y 的相关性变强 答案 B解析 由散点图知，去掉D 后，x ，y 的相关性变强，且为正相关，所以r 变大，R 2变大,残差平方和变小．6．如图所示的是一组观测值的四个线性回归模型对应的残差图,则对应的线性回归模型的拟合效果最好的残差图是( )答案A解析因为残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明选用的模型比较合适．故选A.7．已知方程错误!＝0。