北师大版八年级数学下册知识点归纳：第四章因式分解
北师大版八年级数学下册知识点归纳
第四章 因式分解
1. 因式分解
2. 提公因式法
3. 公式法
一. 因式分解
※1. 把一个多项式化成几个整式的积的形式,这种变形叫做把这个多项式分解因式.
※2. 因式分解与整式乘法是互逆关系.
因式分解与整式乘法的区别和联系:
(1)整式乘法是把几个整式相乘,化为一个多项式;
(2)因式分解是把一个多项式化为几个因式相乘.
二. 提公共因式法
※1. 如果一个多项式的各项含有公因式,那么就可以把这个公因式提出来,从而将多项式化成两个因式乘积的形式.这种分解因式的方法叫做提公因式法.
如: )(cbaacab
※2. 概念内涵:
(1)因式分解的最后结果应当是“积”;
(2)公因式可能是单项式,也可能是多项式;
(3)提公因式法的理论依据是乘法对加法的分配律,即: )(cbammcmbma
※3. 易错点点评:
(1)注意项的符号与幂指数是否搞错;(2)公因式是否提“干净”;
(3)多项式中某一项恰为公因式,提出后,括号中这一项为+1,不漏掉.
三. 公式法
※1. 如果把乘法公式反过来,就可以用来把某些多项式分解因式.这种分解因式的方法叫做运用公式法.
※2. 主要公式:(1)平方差公式: ))((22bababa
(2)完全平方公式: 222)(2bababa
222)(2bababa
¤3. 易错点点评:因式分解要分解到底.如))((222244yxyxyx就没有分解到底.
※4. 运用公式法:
(1)平方差公式:
①应是二项式或视作二项式的多项式;
②二项式的每项(不含符号)都是一个单项式(或多项式)的平方;③二项是异号.
(2)完全平方公式:
①应是三项式;②其中两项同号,且各为一整式的平方;
③还有一项可正负,且它是前两项幂的底数乘积的2倍.
※5. 因式分解的思路与解题步骤:
(1)先看各项有没有公因式,若有,则先提取公因式;
(2)再看能否使用公式法;
(3)用分组分解法,即通过分组后提取各组公因式或运用公式法来达到分解的目的;
(4)因式分解的最后结果必须是几个整式的乘积,否则不是因式分解;
(5)因式分解的结果必须进行到每个因式在有理数范围内不能再分解为止.
（补充）
分组分解法:
※1. 分组分解法:利用分组来分解因式的方法叫做分组分解法.
如: ))(()()(nmbanmbnmabnbmanam
※2. 概念内涵:
分组分解法的关键是如何分组,要尝试通过分组后是否有公因式可提,并且可继续分解,分组后是否可利用公式法继续分解因式.
※3. 注意: 分组时要注意符号的变化.
十字相乘法:
※1.对于二次三项式cbxax2,将a和c分别分解成两个因数的乘积,21aaa , 21ccc, 且满足1221cacab,往往写成c2a2c1a1 的形式,将二次三项式进行分解.
如: ))((22112cxacxacbxax
※2. 二次三项式qpxx2的分解:
))((2bxaxqpxx abqbap
※3. 规律内涵:
(1)理解:把qpxx2分解因式时,如果常数项q是正数,那么把它分解成两个同号因数,它们的符号与一次项系数p的符号相同.
(2)如果常数项q是负数,那么把它分解成两个异号因数,其中绝对值较大的因数与一次项系数p的符号相同,对于分解的两个因数,还要看它们的和是不是等于一次项系数p.
※4. 易错点点评:
(1)十字相乘法在对系数分解时易出错;
(2)分解的结果与原式不等,这时通常采用多项式乘法还原后检验分解的是否正确.
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八年级数学下册第四章因式分解1因式分解讲义新版北师大版
1 因式分解
因式分解在整个初中学习中占有很重要的地位，它是解方程与不等式的基础，更是许多综合题目的重点，因此，今日和大家共享如何啃下因式分解这个骨头。
【基础学问查漏补缺】
首先我们关于因式分解的基础学问肯定要了然于胸，否则一切都是空谈。基础学问有：
1. 因式分解的定义：把一个多项式化成几个整式积的形式。
因式分解与整式乘法是互逆的恒等变形；
因式分解的结果必需是几个整式乘积的形式。
2. 整式乘法的特点：
单项式乘以多项式：m（a+b+c）=ma+mb+mc；
多项式乘以多项式：（m+n）(a+b)=ma+mb+na+na，特别状况（x+a）(x+b)=x2+(a+b)x+ab
【因式分解的基础方法】
1.提取公因式法
顾名思义，就是将多项式中各项相同的因式（公因式）提取出来，例如（x+1）a+（x+1）b-（x+1）c=（x+1）（a+b-c）；
判据（多项式具备什么特征选取这个方法）：多项式的每一项有相同的因式；
2.公式法
说白了，就是套公式；
平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b)，完全平方公式：(a±b)2=a2±2ab+b2,主要就是这两个公
判据：多项式的项数为2或3项
3.十字相乘法
就是类似形式x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b);
判据： a）多项式的项数为3项；
b）看常数项分解成两个数乘积后，这两个数相加是否等于x项前面的系数；
举例如下图：
2
4.分组分解法
简而言之，就是将多项式分成二或三组，分别分解，在提取公因式，如xy-x-y+1=(xy-x)-(y-1)=x(y-1)-(y-1)=(y-1)(x-1);
判据：多项式项数在4项或以上
留意：肯定要理解并记住每一种方法的判据，它是我们确定解题方法的关键！
【解题思路】
当我们拿到一道因式分解题目的时候，有这么多方法，我们究竟选哪一种呢?
留意，这里我们千万不能碰运气式的随机尝试方法，我们选取方法是有先后依次的，如下图：
最新新编八年级数学下册第四章因式分解知识点归纳新版北师大
1 第四章 因式分解
1. 因式分解
2. 提公因式法
3. 公式法
一. 因式分解
※1. 把一个多项式化成几个整式的积的形式,这种变形叫做把这个多项式分解因式.
※2. 因式分解与整式乘法是互逆关系.
因式分解与整式乘法的区别和联系:
(1)整式乘法是把几个整式相乘,化为一个多项式;
(2)因式分解是把一个多项式化为几个因式相乘.
二. 提公共因式法
※1. 如果一个多项式的各项含有公因式,那么就可以把这个公因式提出来,从而将多项式化成两个因式乘积的形式.这种分解因式的方法叫做提公因式法.
如: )(cbaacab
※2. 概念内涵:
(1)因式分解的最后结果应当是“积”;
(2)公因式可能是单项式,也可能是多项式;
(3)提公因式法的理论依据是乘法对加法的分配律,即:
)(cbammcmbma
※3. 易错点点评:
(1)注意项的符号与幂指数是否搞错;(2)公因式是否提“干净”;
(3)多项式中某一项恰为公因式,提出后,括号中这一项为+1,不漏掉.
三. 公式法
※1. 如果把乘法公式反过来,就可以用来把某些多项式分解因式.这种分解因式的方法叫做运用公式法.
※2. 主要公式:(1)平方差公式: ))((22bababa
(2)完全平方公式: 222)(2bababa
222)(2bababa
¤3. 易错点点评:因式分解要分解到底.如))((222244yxyxyx就没有分解到底.
※4. 运用公式法:
(1)平方差公式:
①应是二项式或视作二项式的多项式;
②二项式的每项(不含符号)都是一个单项式(或多项式)的平方;③二项是异号.
(2)完全平方公式:
①应是三项式;②其中两项同号,且各为一整式的平方;
③还有一项可正负,且它是前两项幂的底数乘积的2倍.
※5. 因式分解的思路与解题步骤: 2 (1)先看各项有没有公因式,若有,则先提取公因式;
北师大版数学八年级下册：第四章、第五章知识点复习
北师大版八年级数学下册第四章、第五章知识点总结
一、因式分解
1、因式分解：把一个多项式化为几个整式积的形式（把加减化为乘的形式）
2、方法
（1）提公因式法：把每一项的公因式提出来然后剩下的用括号括起来（当遇到第一项为负数的特殊情况，要先提负号）
（2）平方差公式法：满足平方差公式 用平方差公式进行分解。
（3）完全平方公式法：满足完全平方公式 用完全平方公式进行分解
二、分式
（1）分式：分母含有未知数的分数叫分式
（2）分式的基本性质：分式的分子分母同时乘或除以一个不为零的整式，分式值不变。
（3）分式的化解：分别对分子和分母进行因式分解然后把分子分母的公因式约去化为最简分式。
（4）分式的乘除法：分式的乘除法和分数的乘除法一样，能够进行因式分解的先进行因式分解然后再乘除，相乘时分子乘分子作为分子，分母乘分母作为分母，相除时除以一个数等于乘以这个数的倒数，不管是相乘还是相除最后都要化为最简分式。
（5）分式的加减法：同分母分式相加分母不变分子相加，特别注意当分式的分母只相差一个负号时提出负号变成同分母然后相加。异分母分式相加减能因式分解的先进行因式分解然后通分变为同分母分式相加减。
三、分式方程
（1）分式方程：分母含有未知数的等式叫分式方程
（2）方式方程的解法：（1）方程两边同时乘公分母得（也就是去分母）（2）解这个方程得（也就是系数化为1）（3）检验（将结果带入原方程，原方程分母不为零则为方程的解，如果分母为零则为增根即原方程无解）
特别注意：不管是单独的解分式方程还是做分式方程的应用题都要进行检验！
北师大版八年级数学下册第四章-分解因式-(基础+提高)
1 第四章 分解因式
考点一：分解因式的概念
1、下列变形中，从左向右是因式分解的是（ ）
A．x2﹣9+6x=（x+3）（x﹣3）+6x B．x2﹣8x+16=(x﹣4）2
C．（x﹣1)2=x2﹣2x+1 D．x2+1=x（x+）
考点二:因式分解
1、下列分解因式中，正确的个数为（ ）
x2+2xy+x=x(x2+2y)；x2+4x+4=（x+2）2；—x2+y2=（x+y）（x—y)
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
2、下列多项式中,能运用公式法进行因式分解的是（ ）
A．a2+b2 B．x2+9 C．m2﹣n2 D．x2+2xy+4y2
3、小强是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：a﹣b，x﹣y,x+y，a+b，x2﹣y2,a2﹣b2分别对应下列六个字:昌、爱、我、宜、游、美，现将（x2﹣y2）a2﹣（x2﹣y2)b2因式分解,结果呈现的密码信息可能是( ）
A．我爱美 B．宜晶游 C．爱我宜昌 D．美我宜昌
4、若分解因式x2＋mx－24＝（x＋3)(x＋n)，则m的值为 。
已知二次三项式2x2+3x﹣k有一个因式是（2x﹣5），另一个因式为 。
5、甲、乙两个同学分解因式x2+ax+b时，甲看错了b,分解结果为（x+2）(x+4）；乙看错了a,分解结果为（x+1）(x+9），则a+b=_______
6、因式分解
9a2（x－y）＋4b2(y－x) x2＋2xy＋y2－4
(m+1）（m﹣9)+8m．
2 x2+4xy﹣5y2
4x2+4xy+y2﹣4x﹣2y﹣3．
北师大数学八年级下册第四章-因式分解经典讲义
1
第01讲_因式分解
知识图谱
因式分解
知识精讲
一．因式分解的概念
概念 （1）把一个多项式化成几个整式的积的形式，这样的式子变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式，
（2）因式分解与整式乘法是互逆过程 2222()2()aabaabxyxyxy（√）（√）
注意事项 （1）分解的对象必须是多项式；
（2）分解的结果一定是几个整式的乘积的形式；
（3）要分解到不能分解为止 2323623xyxy（×）
2(1)(2)2xxxx（×）
3229633(32)aaaaaa（×）
二．提公因式法
概念 （1）多项式()ambmcmmabc，其中m叫做这个多项式各项的公因式
（2）m既可以是一个单项式，也可以是一个多项式 （1）多项式15m3n2+5m2n﹣20m2n3的公因式是5m2n
（2）m(n-2) -m2(2-n)
可化简为m(n-2)＋m2(n-2)，
公因式是m (n-2)
分解因式得 m(n-2) (m＋1) 2 步骤 （1）公因式的系数——找各因式系数的最大公约数
（2）公因式的字母——各因式中相同的字母
（3）相同字母指数——取各字母指数的最低次幂
三．公式法
平方差公式 （1）22ababab
即两个数的平方差，等于这两个数的和与这个数的差的积 22249232323xxxx
新北师大版八年级数学下册第四章分解因式的知识点归纳
分解因式及其应用
一、知识点归纳
1、因式分解的定义：
定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式叫做把这个多项式分解因式．
因式分解和整式的乘法互为逆运算.
2、分解因式的四种方法
（1）提公因式法需要注意三点：
①公因式要提尽；②首项是负时，要提出负号；③防止漏项．
（2）公式法两项通常考虑平方差公式，三项通常考虑完全平方公式．
运用公式法的时候需要注意两点：
①能提公因式的先提公因式；②找准公式中的a和b．
（3）分组分解法
多项式项数比较多常考虑分组分解法，首先找公因式，然后再考虑平方差公式或者完全平方公式．
（4）十字相乘法
十字相乘法常用于二次三项式，其原理是：
2()()()xpqxpqxpxq
分解因式是有顺序的，记住口诀：“_一提二套三分四查”；分解因式是有范围的，目前我们是在有理数范围分解因式．
3、分解因式的应用
分解因式结果的形式要求：
没有大括号和中括号；每个因式不能含有同类项，如果有需要合并的同类项，合并后要注意能否再分解；单项式的因式写在多项式因式的前面；每个因式第一项系数一般不为负数；形式相同的因式写成幂的形式。
分解因式应用的核心原则是简化运算，主要有以下几种情况：
①复杂多项式的化简；
②简化方程；
③多项式除以多项式；
④几何拼图．
题型一：基本概念及因式分解
1、下列由左到右的变形，是分解因式的是________________．
①222233xyxy； ②2(3)(3)9aaa；
③22+1()()1ababab； ④222()mRmrmRr；
⑤2()xxyxxxy； ⑥24(2)(2)mmm；
⑦2244(2)yyy．
2、分解因式（提公因式法）： （1）32aaa； （2）()(1)()(1)abmban；
（3）22()()xxyyyx；
3、分解因式（公式法）：
北师大版八年级下册第四章：分解因式常用方法+知识点总结+经典例题+变式训练(无答案)
第四章 分解因式
分解因式常用方法
方法一：分解因式
知识点一：分解因式概念
例1：下列从左到右变形中，是分解因式的是 （ ）
A 1)1)(12xxx（ B ))(())(mnabnmba（
B )1)(1(1babaab D )32(322mmmmm
挑战自我，勇攀高分
1.下列从左到右的变形，是分解因式的为（ ）
A )1(2xxxx B ababaa2)(
C 9)3)(3(2aaa D 1)2(122xxxx
知识点二：分解因式与整式乘法的关系
例1：下列各式从左到右的变形中，哪些是整式乘法？哪些是分解因式？哪些两都不是？
（1）mxcbamcxbxax)(；
（2）22)1(2xmmmxmx； （3）acabacbaa224)(24；
（4）)3)(3()3)(3xxxx（；
（5）1))((122yxyxyx；
方法二：提公因式法
例1：把下列多项式的公因式分别写在后面的括号内。
（1）cabba332128（ ） （2）kykx84（ ）
（3）aaa23-（ ） （4）)()(abybax( )
（5）22)()(abbax（ ） （6）22)3()(3bbax（ ）
例2：把下列各式分解因式
（1）)(4)(6yxyyxx；（2）))(())(banmbanm（；
（3）2)())((yxxyxyxx（4）)(5)(102xybyxa；
（5）yxxyyyxx)()(。
利用提公因式法分解因式简化计算 例3：（1）2001199920003-363； （2）10010198992-22-2；
北师大版八年级数学下册第四章因式分解知识点归纳复习总结
因式分解
一、 什么是因式分解
把一个多项式化成几个整式积的形式，这种变化叫做因式分解。如
例1、下列各式中，哪些是因式分解？
（1）22)2(44aaa
（2）)1)(1(3xxxxx
（3）)11(1aaa
（4）1))((122bababa
（5）)13(3392xxxx
二、提公因式法
（一）公因式
多项式各项都含有的相同因式，叫做这个多项式各项的公因式。
★确定一个多项式的公因式时，应从系数和字母进行分别考虑
对于系数：如果各项系数都是整数，取各项系数的最大公约数作为公因式的系数；如果各项系数中有分数时，则公因式的系数为分数，分母取各项系数分母的最小公倍数，分子取各项系数分子的最大公约数。
对于字母：首先取各项相同字母（或因式），之后取各项相同字母（或因式）的指数取其次数最低的。
注意：（1）公因式的系数的“+”“－”，一般由首相来决定。
（2）在因式分解时，经常应用下列关系：
)(abba 22)()(abba 33)()(abba
偶偶)()(abba 奇奇)()(abba 例2、指出下列各式的公因式
（1）mx2，mx3
（2）xyz12，zyx329，226zx
（3）2)(3yx，3)(6-yx，)(9yx
（4）2)(nm，2)(3mn
（5）2278xy，yz94
（二）提公因式法
如果一个多项式的各项式含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种因式分解的方法叫作提公因式法。
例3、把下列各式因式分解
（1）)1()1(xbxa=
（2）mmm24164-23=
北师大版八年级数学下册 第四章因式分解的四种方法(讲义及答案)
因式分解的四种方法（讲义）
➢ 课前预习
1. 平方差公式：___________________________；
完全平方公式：_________________________；
_________________________．
2. 探索新知：
（1）39999能被100整除吗？
小明是这样做的：
3229999999999199(991)99(991)(991)9998009998100
所以39999能被100整除．
（2）38989能被90整除吗？你是怎样想的？
（3）3mm能被哪些整式整除？
➢ 知识点睛
1. __________________________________________叫做把这个多项式因式分解．
2. 因式分解的四种方法
（1）提公因式法
需要注意三点：①_____________；②_______________；③_________________．
（2）公式法
两项通常考虑_____________，三项通常考虑_____________．
（3）分组分解法
如果一个多项式适当分组，使分组后各组之间有公因式或可应用公式，那么这个多项式就可以用分组的方法分解因式。
多项式项数比较多常考虑分组分解法，首先找 ，然后再考虑 或者_______．
（4）十字相乘法
十字相乘法常用于二次三项式的结构，其原理是：2()()()xpqxpqxpxq
因式分解是有顺序的，记住口诀：“ 竖分常数交叉验，横写因式不能乱 ”；
➢ 精讲精练
1. 下列由左到右的变形，是因式分解的是________________．
①222233xyxy； ②2(3)(3)9aaa；
③22+1()()1ababab； ④222()mRmrmRr；
北师大八年级数学下册第四章 因式分解
初中数学试卷
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第四章 因式分解
知识点一：分解因式概念:
例1.下列式子从左到右的变形中是分解因式的为（ ）。
A.
11(1))(()21(4414)3(4322222xxxyxyxyxxxxyyyy B.11(1))(()21(4414)3(4322222xxxyxyxyxxxxyyyy
C.11(1))(()21(4414)3(4322222xxxyxyxyxxxxyyyy D.)11(1))(()21(4414)3(4322222xxxyxyxyxxxxyyyy
知识点二：利用提公因式法分解因式
例2.把下列各式分解因式
⑴ ⑵
知识点三：利用公式法分解因式
例3.把下列各式分解因式
⑴ ⑵ ⑶
练一练：把下列各式分解因式
（1）（a2+4）2–16a2 （2）
知识点四：综合运用多种方法分解因式
例4.把下列各式分解因式
⑴xx43 ⑵)1(4)(2baba mnmnnm189272223)1(2)1(4bbb22)()(nmnm4932xx25)(10)(2yxyx44222yxyx
⑶)1()1(2)1(2222yyxyx ⑷xzzyx449222
知识点五：运用分解因式进行计算和求值
例5.利用分解因式计算：
⑴ ⑵ ⑶（–2）101+（–2）100