江西省南昌市2020届高三下学期一模(文科)数学试卷(答案)
— 高三文科数学（模拟一）答案第1
页—
C
NCS20200607项目第一次模拟测试卷
文科数学参考答案及评分标准
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一
13．1 14．0 15．1
3
16．13;2n
三．解答题：共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 第17题-21
题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22题、23题为选考题，考生根据要求作答．
17.【解析】（Ⅰ）2=3
CBD ABD
，所以
11sin 2sin 2326
BC BD BA BD
……2分 所以
sin sin 3BC A BA C ；
………5分 （Ⅱ）11
sin 22sin 22
BC BD BA BD ，
所以42sin cos 2cos 2
， ………8分
所以4 ，334
ABC
，
………10分
所以2
16824(402
AC ，所以边AC . ………12分
18.【解析】（Ⅰ）如图，取1BB 的中点E ，连接CE 交1BC 于点O ， 则点O 为1BCB 的重心，连接AO ，设1BC 交C B 1于点F .
依题意点A 在底面的投影为1BCB 的重心，即 AO 平面11B BCC ,所以1BB AO .………2分 因为1BCB 是正三角形，所1BB CE ，则 1BB 平面AEC ， ………4分 则AC BB 1，所以AC CC 1.
………6分 （Ⅱ）由1A BCB 是棱长为2 的正四面体， 所以233CO CE
2,3
AC AO
…8因为112,120BC CC BCC
，
得323
2221sin 21111
BCC CC BC S BCC
…10分
— 高三文科数学（模拟一）答案第2页—
所以3
2
236233111
BCC A ACC B V V . ………12分
19. 【解析】（Ⅰ）依题意知1234567
47
x
，
58810141517117y ，77
211140,364i i i i i x x y ， ………2分
7
1
7
22
1
73647411
2140716
7i i
i i
i x y x y
b
x
x
，11243a y bx , ………4分
则y 关于x 的线性回归方程23y x . 令9x 得： 29321y ，
故预测2021年该市新能源汽车大约有2100台. ………6分 （Ⅱ）设一拖四群充，双枪同充分别安装m 台，600m 台，每天的利润为z 元，
则 426002100m m ，即450m ………9分
4050600300001030000450025500z m m m
所以当450m 时，z 取最大值25500.
故当双枪同充安装150台，一拖四群充安装450台时，每天的利润最大，最大利润为25500元.
………12分
20.【解析】（Ⅰ）32111
()ln 3222
x f x x
2'()f x x x ，则()f x 在(,0) 递增，在(0,1)递减，在 (1,) 上递增， ………3分
所以1()(0)ln 22f x f
=极大值,2
()(1)ln 23
f x f =极小值. ………5分 （Ⅱ）2'()2(2)f x x mx x x m
①当0m 时，2
'()0f x x ，3
()3
x f x 只有一个零点0，符合题意； ………6分
②当0m 时，()f x 在(,2)m 单调递增，在(2,0)m 单调递减，在(0,) 单调递增,(0)ln(1)f m m ，令()ln(1)g m m m ，（0m ）， 显然()g m 单调递减，有()(0)0g m g ，即(0)0f ，
则()f x 只有一个零点，符合题意； ………9分 ③当01m 时，()f x 在(,0) 单调递增，在(0,2)m 单调递减，在(2,)m 单调递增， (0)ln(1)f m m ，（01m ），由②构造的函数知，(0)ln(1)0f m m ， 则()f x 只有一个零点，符合题意.
综上所述，1m 时，函数()f x 有且只有一个零点. ………12分
21.【解析】（Ⅰ）由题意知12a ，24a ，221b b ，
— 高三文科数学（模拟一）答案第3页—
则2222
1111
2144a b b e a ，222
2
22222
21616a b b e a ， ………2分 而2211242
2114(4)441647==+e b e b b ，解得21233=b b ，， ………4分 故椭圆221:143x y E ，椭圆222:1169
x y E . ………5分
（Ⅱ）①联立椭圆与直线方程，1122
1122
14336124014
3x x y y
x x x y x y ， 点A 在椭圆22
1:143x y E 上，有221134120x y ，
所以2222
11113612(124)12(3412)0x y x y ，即直线与椭圆相切.
所以过点A 的切线方程为11143
x x y y
. ………8分
② 由①知，过点B 的切线方程为22143
x x y y
，
设00(,)P x y ，则2200
1169
x y ，即2200916144x y ，
两条切线都经过点P ，则满足方程组1010
2020143
14
3x x y y x x y y .
那么点A 和点B 都在直线00143x y
x y 上， ………10分
则直线AB 的方程为00143
x y
x y ，即003412x x y y
假设存在一定点(,)C C C x y 到直线AB 的距离为定值，
即距离00|3412|
12C C x x y y d
为定值，则0C C x y ，1d ， 故存在一定点(0,0)C 到直线AB 的距离为定值1. ………12分
22.【解析】（Ⅰ）曲线1C 的极坐标方程为2cos 0 ， ………3分
2C 的极坐标方程为22222cos 3sin 60 ………5分
（Ⅱ）令=(0)6 ，则12(,),(,66A B
，
则2222222cos 3sin 6066 即22924
，所以2||3
OB ， ………7分
— 高三文科数学（模拟一）答案第4
页—
1||2cos
6
OA
………9分
故||||||3
AB OA OB
. ………10分
23.（Ⅰ）
11111114((1)][2]131313b a a b a b a b a b ………3分 当且仅当21
a b a b ，即31,22a b 时，111a b 的最小值为4
3. ………5分
（Ⅱ）要证明2
a b
，由0,0a b ，也即证222a b .
………7分
因为2a b a b 1 ，
即222a b ，当1a b 时等号成立. ………10分。
江西省南昌市2020届高三下学期一模(理科)数学试卷(答案)
………6 分 ………9 分
— 高三理科数学（模拟一）答案第 3 页—
（3）下一轮得
1分并最终获胜，概率为
1 3
Pi41
；
所以
Pn
1 3
Pn1
1 3
Pn
1 3
Pn1
2Pn
Pn1
Pn1 ，（ n
2, 3, 4,5, 6, 7 ）
所以{Pn} 是等差数列，则 P4
P0
2
P8
1 2
，即决赛甲获胜的概率是
所以 f (x) 的极大值为 f (x1) ex1 x12 (ex1 2x1)x1 (1 x1)ex1 x12 ，
………9 分
因为1 x1 0 ， ex1 1 x1 ，所以 f (x1) (1 x1)(1 x1) x12 1.
即函数 f (x) 的极大值不小于1.
………12 分
………2 分
设公共点为 P ，因此 PF1 | | PF2 4 ，所以 P 点的轨迹 E 是以 F1(1, 0) ，F2 (1, 0) 为焦点的椭圆，
所以 2a 4, c 1 a 2,b 3 ，即轨迹 E 的方程为 x2 y2 1 . 43
………5 分
（Ⅱ）过 F2 点且斜率为 k 的直线方程为 y k(x 1) ，设 M (x1, y1), N (x2 , y2 )
x ln 2 时， g(x) 0 , g(x) 单调递增， g(x) (2 2 ln 2, ) ，
………5 分
由题意，方程 g(x) k 有两个不同解，所以 k (2 2 ln 2, ) ；
………6 分
（Ⅱ）解法一：由（Ⅰ）知， f (x) 在区间 (, ln 2) 上存在极大值点 x1 ，且 k ex1 2x1 ，
2020年4月江西省南昌市普通高中2020届高三毕业班下期第一次高考模拟测试数学(文)试题(解析版)
【解析】
分析】
根据点 的纵坐标的范围，可得其横坐标的范围，然后根据抛物线的定义，可知 的范围，然后根据充分、必要条件的概念，可得结果.
【详解】由题可知： ，设
由点 的纵坐标 ，则其横坐标
由 ，所以
可知 是 的充分条件
若 ，则
则 或
所以 不是 的必要条件
故 是 的充分不必要条件
故选：A
【点睛】本题考查抛物线的定义以及充分、必要条件的概念，对抛物线问题经常要联想到焦点和准线，简单计算，属基础题.
则 ，又
所以
由 ，且
所以
故选：B
【点睛】本题主要考查等差数列的性质，在等差数列中，若 ，则 ，熟练使用性质，以及对基本公式的记忆，属基础题.
6.己知抛物线C：y2=4x的焦点为F，抛物线上一点的M的纵坐标y0，则y0>2是|MF|>2的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
5.己知{an}是等差数列，且a3+a4=-4，a7+a8=-8，则这个数列的前10项和等于（ ）
A. -16B. -30C. -32D. -60
【答案】B
【解析】
【分析】
计算 ，然后根据等差数列的性质，可得 ，最后根据等差数列的前 项公式，计算 ，并结合 ，可得结果.
【详解】由题可知：
数列{an}是等差数列且
3.一个正三棱柱的正（主）视图如图，则该正三棱柱的侧面积是（ ）
A. 16B. 12C. 8D. 6
【答案】B
【解析】
【分析】
根据正三棱柱的主视图，以及长度，可知该几何体的底面正三角形的边长，然后根据矩形的面积公式，可得结果.
【附加15套高考模拟试卷】江西省南昌一中、南昌十中2019-2020下学期高三数学(文科)5月联考考试试卷含答案
江西省南昌一中、南昌十中2019-2020下学期高三数学（文科）5月联考考试试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知()lg(10)lg(10)f x x x =++-，则()f x 是（ ） A ．偶函数，且在(0,10)是增函数B ．奇函数，且在(0,10)是增函数C ．偶函数，且在(0,10)是减函数D ．奇函数，且在(0,10)是减函数2．设1a >，若仅有一个常数c ，使得对于任意的3,x a a ⎡⎤∈⎣⎦，都有31log 2,2a y a a ⎡⎤∈+--⎣⎦满足方程x y a a c =，则a 的取值集合为（ ）A ．{}4B ．3,22⎧⎫⎨⎬⎩⎭ C ．{}2 D ．32⎧⎫⎨⎬⎩⎭3．我们可以用随机数法估计π的值，如图，所示的程序框图表示其基本步骤（函数RAND 是产生随机数的函数，它能随机产生()0,1内的任何一个实数），若输出的结果为784，则由此可估计π的近似值为( )A ．3.119B ．3.124C ．3.136D ．3.1514．若函数，则下列结论正确的是( )A ．函数的最小正周期为B ．对任意的，都有C ．函数在上是减函数 D ．函数的图象关于直线对称5．已知圆22220x y x y a +-++=截直线40x y +-=所得弦的长度小于6，则实数a 的取值范围为（ ）A ．(217,217B ．()217,2C ．()15,-+∞D ．()15,2-6．已知函数()sin23cos2f x x x =，给出下列四个结论： ①函数()f x 的最小正周期是π ②函数()f x 在区间,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是减函数 ③函数()f x 的图像关于点,03π⎛⎫⎪⎝⎭对称 ④函数()f x 的图像可由函数2sin2y x =的图像向左平移3π个单位得到 其中正确结论的个数是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．47．在ABC ∆中，,,a b c 分别为内角,,A B C 的对边，若2sin sin sin B A C =+，3cos 5B =，且6ABC S ∆=，则b =（ ） A ．2B ．3C ．4D ．58．已知,R a b ∈则33log log a b >是“1122ab⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭”的（ ） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件9．若函数2()ln f x ax x x =--存在极值，且这些极值的和不小于4ln 2+，则a 的取值范围为（ ） A ．[2,)+∞ B ．[22,)+∞C ．[23,)+∞ D ．[4,)+∞10．已知,A B 是圆22:16O x y +=的两个动点，524,33AB OC OA OB ==-u u u v u u u v u u u v，若M 分别是线段AB 的中点，则·OC OM =u u u v u u u u v（ ）A ．83+B ．83-C ．12D ．411．下列说法正确的是A ．命题“0,sin x x x ∀>≤”的否定是“0,sin x x x ∃≤>”B ．命题“y sin sin x x y ≠≠若，则”的逆否命题是真命题C ．两平行线222102230x y x y +-=+-=与之间的距离为D ．已知直线1212:10,:20,l ax y l x ay l l ++=+-=⊥的充要条件是=1a ±12．如图，是民航部门统计的某年春运期间12个城市出售的往返机票的平均价格以及相比上年同期变化幅度的数据统计图表，根据图表，下面叙述不正确的是（ ）A ．深圳的变化幅度最小，北京的平均价格最高.B ．深圳和厦门的平均价格同去年相比有所下降.C ．平均价格从高到低居于前三位的城市为北京、深圳、广州.D ．平均价格的涨幅从高到低居于前三位的城市为天津、西安、厦门. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
江西省南昌市2020届高三第一次模拟测试文科数学试题(含答案)
3
2
32
6
所以 BC
2
sin A
2
2
3
；
BA 3 sin C 3 3
………5 分
（Ⅱ） 1 BC BD sin 2 2 1 BA BD sin ，
2
2
所以 4 2 sin cos 2 2 2 sin cos
2
，
2
所以 ， ABC 3 3 ，
4
4
………8 分 ………10 分
所以 AC2 16 8 2 4 2 2 ( 2 ) 40 ，所以边 AC 2 10 . 2
f (0) m ln(1 m) ，（ 0 m 1），由②构造的函数知， f (0) m ln(1 m) 0 ，
则 f (x) 只有一个零点，符合题意.
综上所述， m 1时，函数 f (x) 有且只有一个零点.
………12 分
21.【解析】（Ⅰ）由题意知 a1 2 ， a2 4 ， b2 b12 ，
增, f (0) m ln(1 m) ，令 g(m) m ln(1 m) ，（ m 0 ），
显然 g(m) 单调递减，有 g(m) g(0) 0 ，即 f (0) 0 ，
则 f (x) 只有一个零点，符合题意；
………9 分
③当 0 m 1 时， f (x) 在 (, 0) 单调递增，在 (0, 2m) 单调递减，在 (2m, ) 单调递增，
NCS20200607 项目第一次模拟测试卷
文科数学参考答案及评分标准
一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的．
题号1
2
3
4
5
6
江西省稳派教育2020届高三下学期调研考试(三)数学(文科)试题(含答案)
2019-2020学年高三年级调研考试(三)数学(文)卷一、选择题1.若集合A =x ,y x 2-2x =0,y ∈R ，B =x ,y y 2=2x ，则A ∩B 中元素的个数为()A.1B.2C.3D.4【答案】C【解析】因为A =x ,y x =0 或x =2,y ∈R ，B =x ,y y 2=2x ，所以A ∩B =0,0 ,2,2 ,2,-2 ，故选C .2.已知a +2i 2a ∈R 是纯虚数，则a +i =()A.3 B.5 C.3D.5【答案】B【解析】a +2i 2=a 2-4+4a i ，因为a +2i 2a ∈R 是纯虚数，所以a 2-4=04a ≠0，所以a =±2，由a +i =±2+i =5 ，故选B .3.若a <b <1且ab ≠0，则下列结论恒成立的是()A.a <12B.ab <b 2C.1a >1b>1D.ab +1>a +b【答案】D【解析】取a =23 ，b =34 ，可排除A ，取a =-2，b =-12 ，可排除B ，取a =-2，b =12，可排除C ，由a <b <1可得a -1 b -1 >0，展开得ab +1>a +b ，故选D .4.已知圆x 2+y 2-2x +4y =0关于双曲线C :x 22m -y 2m +1=1m >0 的一条渐近线对称，则m =()A.12B.13C.15D.17【答案】D【解析】圆x 2+y 2-2x +4y =0关于双曲线C :x 22m-y 2m +1=1m >0 的一条渐近线对称，则圆心1,-2 在渐近线y =-m +12mx 上，所以m +12m =2，m =17，故选D .5.已知a ,b 是单位向量，且a +b =2,-1 ，则a -b =()A.1B.2C.3D.2【答案】A【解析】因为a ,b 是单位向量，a +b =2 ,-1 ，两边平方得2a ⋅b =1，所以a -b =a 2-2a ⋅b +b 2=1，故选A .6.已知等差数列a n 的前n 项和为S n ，若a 6=2，a 2+a 10 2a 3+a 9 =12，则S 5=()A.5B.3C.-3D.-5【答案】D【解析】由题意得a 2+a 10 2a 3+a 9 =2a 6a 3+a 3+a 9 =2a 6a 3+2a 6 =4a 3+4 =12，可得a 3=-1，所以S 5=5a 3=-5，故选D .7.新冠肺炎病毒可以通过飞沫方式传染，已知甲通过检测确诊为新冠肺炎，经过追踪发现甲有A ,B ,C ,D ,E 5名密切接触者，现把这5人分为2组(一组2人，一组3人)，分别送到2个医院进行隔离观察，则A ,B 在同一个医院的概率为()A.15B.310C.25D.12【答案】C【解析】把A ,B ,C ,D ,E 分为2组(一组2人，一组3人)，结果有：AB ,CDE ，AC ,BDE ，AD ,BCE ，AE ,BCD ，BC ,ADE ，BD ,ACE ，BE ,ACD ，CD ,ABE ，CE ,ABD ，DE ,ABC ，共10种，A ,B 在同一个医院的结果有：AB ,CDE ，CD ,ABE ，CE ,ABD ，DE ,ABC ，共4种，所以所求概率P =410 =25 ，故选C .8.已知函数f x =1,x >00,x =0-1,x <0，g x =sinπx ，则下列结论错误的是()A.g f x =0B.f f x =f xC.f x g x =sinπxD.f g x +2 =1【答案】C【解析】由f x =1,x >00,x =0-1,x <0，g x =sinπx ，可得当x >0时，g f x =g 1 =sinπ=0，当x =0时，g f x =g 0 =sin0=0，当x <0时g f x =g -1 =sin -π =0，所以A 正确；当x >0时，f x =1，f f x =f 1 =1，f f x =f x 成立，当x =0时，f 0 =0，f f 0 =f 0 =0，f f x =f x 成立，当x <0时，f x =-1，f f x =f -1 =-1，f f x =f x 成立，所以B 正确，由f 32 g 32 =-1，可知C 错误，由g x ≥-1，g x +2≥1，可知f g x +2 =1正确，故选C .9.已知函数f x =x 3+ax 2-3x +b 满足f x +f -x =2，则f x 的图象在x =1处的切线方程为()A.y =-1B.y =0C.y =x -1D.y =-x +1【答案】A【解析】由f x +f-x=2可得2ax2+2b=2，所以a=0，b=1，f x =x3-3x+1，f x =3x2-3，f1 =-1，f 1 =0，所以f x 的图象在x=1处的切线方程为y=-1，故选A.10.《算法统宗》全称《新编直指算法统宗》，共17卷，是中国古代数学名著，明朝数学家程大位著.书中有这样一道著名的题目：“一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大、小和尚各几丁？”现给出该问题中求小僧人数的算法的程序框图，则图中①②可分别填入()A.s=3m+n3 ；n=100B.s=3n+m3 ；n=100C.s=3n+m3 ；s=100D.s=3m+n3 ；s=100【答案】D【解析】由程序框图可知，n表示小僧人数，m表示大僧人数，根据“大僧三个更无争，小僧三人分一个”，设馒头数为s，则s=3m+n3 ，所以①中填入s=3m+n3，当s=100时结束程序，输出n，故选D.11.如图，正三角形ABC为圆锥的轴截面，D为AB的中点，E为弧BC的中点，则直线DE与AC所成角的余弦值为()A.13B.12C.22D.34【答案】C【解析】取BC 中点O ，BO 中点F ，连接OD ,OE ,FE ,DF ，则∠ODE 就是直线DE 与AC 所成角.设AB =4，则OD =2，OF =1，OE =2，DF =3 ，EF =OE 2+OF 2 =5 ，DE =DF 2+EF 2 =22 ，所以∠ODE =π4 ，即直线DE 与AC 所成角的余弦值为22，故选C .12.已知椭圆C :x 2a 2 +y 2b2 =1a >b >0 的右焦点为F ，设c =a 2-b 2 ，直线x c +y b =1与椭圆C 在第四象限交于点A ，点A 在x 同上的射影为B ，若AB ⋅AF =49b 2，则椭圆C 的离心率为()A.15B.5 5C.25D.10 5【答案】B【解析】由AB ⊥x 轴可得AB ⋅AF =AB 2，所以AB =2b 3，又AB FB=tan ∠BFA =b c ，所以FB =2c 3 ，所以A 5c 3 ,-2b3，代入椭圆C 的方程得25c 29a 2+49 =1，所以e =5 5，故选B .二、填空题13.若函数f x =x 2,x ≥1a x +1 ,x <1的值域为R ，则a 的取值范围是______.【答案】12 ,+∞ 【解析】当x ≥1时，f x =x 2≥1，若a =0，x <1时，f x =0，f x 的值域不是R ；若a <0，x <1时，f x >2a ，f x 的值域不是R ，若a >0，x <1时，f x <2a ，所以当2a ≥1时，f x 的值域为R ，所以a 的取值范围是12,+∞ .14.正项数列a n 满足a 2=1，a 2n +1a n=2a n +a n +1，则使a n >100的最小的n 值为______.【答案】9【解析】由a 2n +1a n=2a n +a n +1得a 2n +1-a n a n +1-2a 2n =0，即a n +1+a n a n +1-2a n =0，因为a n >0，所以a n +1-2a n =0，a n +1=2a n ，a n =a 2⋅2n -2=2n -2，a 8=64，a 9=128，所以使a n >100的最小的n 值为9.15.已知f x =sin x +π3 ，若方程f x =a 在0,5π3上只有4个不同实根x 1,x 2,x 3,x 4x 1<x 2<x 3<x 4 ，则a x 1+2x 2+2x 3+x 4 的最小值为______.【答案】23π【解析】画出f x 的图象，由图象可知3 2≤a <1，x 1+x 2=2×π6 =π3 ，x 2+x 3=2×2π3 =4π3 ，x 3+x 4=2×7π6 =7π3，相加得x 1+2x 2+2x 3+x 4=4π，所以a x 1+2x 2+2x 3+x 4 的最小值为23 π.16.在△ABC 中，AB =AC =3，BC =3，点D 在BC 上，且BD =2DC ，将△ABD 沿AD 折起，使点B 到达点P 位置，且AP ⊥AC ，则三棱锥P -ACD 的外接球半径为______.【答案】7 2【解析】由题意可得AD =DC =1，AB ⊥AD ，因为AP ⊥AC ，所以三棱锥P -ACD 中，AP ⊥底面ADC ，把三棱锥P -ACD 补成三棱柱，则该三棱柱的外接球就是三棱锥P -ACD 的外接球，球心是三棱柱上下底面外接圆圆心连线的中点，底面外接圆半径r =12 ⋅3 sin120°=1，又AP =3，所以三棱锥P -ACD 外接球半径R =12+3 22 =72.三、解答题17.2020年上半年，随着新冠肺炎疫情在全球蔓延，全球超过60个国家或地区宣布进人紧急状态，部分国家或地区直接宣布“封国”或“封城”，随着国外部分活动进入停摆，全球经济缺乏活力，一些企业开始倒闭，下表为2020年第一季度企业成立年限与倒闭分布情况统计表：企业成立年份20192018201720162015企业成立年限x 12345倒闭企业数量(万家) 5.28 4.72 3.58 2.70 2.15倒闭企业所占比例y %21.4%19.1%14.5%10.9%8.7%(1)由所给数据可用线性回归模型拟合y 与x 的关系，请用相关系数加以说明；(2)建立y 关于x 的回归方程，预测2014年成立的企业中倒闭企业所占比例.参考数据：5i =1y i =74.6 ，5i =1x i y i =190.2 ，5i =1y i-y 2≈10.70，10 ≈3.16，相关系数r =ni =1x i y i -nx yn i =1x i -x 2ni =1y i -y2，样本x i ,y i i =1,2,...,n 的最小二乘估计公式为b =ni =1x i y i -nx yni =1x 2i -nx2 ，a =y -b x .【答案】(1)用线性回归模型拟合y 与x 的关系;(2)4.84%【解析】(1)由表中数据及参考数据可得x =3，5i =1x i -x 2=10 ，5i =1y i -y 2≈10.70，由5i =1x i =15 ，5i =1y i =74.6 ，可得x =3，y =14.92，所以5i =1x i y i -5x y=190.2-5×3×14.92=-33.6 ，所以r ≈-33.610.70×3.16≈-0.99，因为y 与x 的相关系数近似为-0.99，说明y 与x 的相关程度相当高，从而可以用线性回归模型拟合y 与x 的关系.(2)b =5i =1x i y i -5x y5i =1x 2i -5x 2 =-33.655-5×9 =-3.36，则a =y -b x=14.92+3.36×3=25，所以y 关于x 的回归方程y=-3.36x +25.当x =6时，y=-3.36×6+25=4.84，所以预测2014年成立的企业中倒闭企业所占比例为4.84%.18.已知△ABC 中，角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ，且满足c tan A tan C+1 -9b =0.(1)求cos A 的值；(2)若点D 在边BC 上，AD 平分角A ，且AD =5 ，求1b+1c 的值.【答案】(1)19 ;(2)23【解析】(1)由c tan Atan C+1 -9b =0及正弦定理可得sin C ⋅sin A cos C +sin C cos Asin C cos A-9sin B =0，即sin A +Ccos A-9sin B =0，因为sin A +C =sin π-B =sin B ，且sin B ≠0，所以cos A =19.(2)因为cos A =19 ，所以sin A =1-cos 2A =459 ，因为AD 平分角A ，所以sin ∠BAD =sin ∠CAD =1-cos A 2=1-19 2=23，由S △ABC =S △ADB +S △ADC ，可得12 bc sin A =12 c ⋅AD sin ∠BAD +12b ⋅AD sin ∠CAD ，12 bc ⋅459 =12 c ⋅5 ⋅23 +12 b ⋅5 ⋅23 ，整理得23bc =b +c ，所以1b+1c =23 .19.如图，在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AA 1⊥底面ABC ，点D 为BB 1中点，点E 为点B 关于直线AC 的对称点，AB =BC =AA 1=2，AC =22.(1)求证：平面AC 1D ⊥平面ACC 1A 1；(2)求三棱锥E -ADC 1的体积.【答案】(1)见解析;(2)三棱锥E -ADC 1的体积为23【解析】(1)设AC 1的中点为F ，连接BE 与AC 交于G ，则点G 为AC 中点，连接DF ,FG ，则FG ∥CC 1，且FG =12CC 1.又D 为BB 1的中点，所以DB ∥FG ，且DB =FG ，所以四边形BDFG 为平行四边形，所以BG ∥DF ，因为AA 1⊥底面ABC ，所以平面ABC ⊥平面ACC 1A 1，因为AB =BC ，G 为AC 中点，所以BG ⊥平面ACC 1A 1，所以DF ⊥平面ACC 1A 1.又DF ⊂平面AC 1D ，所以平面AC 1D ⊥平面ACC 1A 1.(2)由(1)知BE ∥DF ，所以点E ,B 到平面ADC 1的距离相等，所以V 三棱锥E -ADC 1=V 三棱锥B -ADC 1=V 三棱锥A -BDC 1.由AB =BC =2，AC =22，可得AB ⊥BC ，因为平面ABC ⊥平面BCC 1B 1，AB ⊥平面BCC 1B 1，又△BDC 1的面积S =12 ×1×2=1，所以V 三棱锥A -BDC 1=13 ×AB ×S =13 ×2×1=23，所以三棱锥E -ADC 1的体积为23.20.已知抛物线C :y 2=2px p >0 与直线y =x +1只有一个公共点，点A ,B 是抛物线C 上的动点.(1)求抛物线C 的方程；(2)①若k OA +k OB =1，求证：直线AB 过定点；②若P x 0,y 0 是抛物线C 上与原点不重合的定点，且k PA +k PB =0，求证：直线AB 的斜率为定值，并求出该定值.【答案】(1)y 2=4x ;(2)①见解析;②见解析,定值为-2y 0 .【解析】(1)y 2=2px 与y =x +1联立得y 2-2py +2p =0因为抛物线C 与直线y =x +1只有一个公共点，所以△=2p 2-8p =0，p =2，所以抛物线C 的方程为y 2=4x .(2)①设A y 214 ,y 1 ，B y 224 ,y 2，则k OA +k OB =4y 1 +4y 2=1，所以y 1y 2y 1+y 2 =4，又k AB =y 1-y 2y 214 -y 224=4y 1+y 2 ，所以直线AB 的方程为y -y 1=4y 1+y 2x -y 214，即y =4y 1+y 2 x +y 1-y 21y 1+y 2 =4y 1+y 2 x +y 1y 2y 1+y 2 =4y 1+y 2x +4，当x =0时y =4，所以直线AB 过定点0,4 .②设A y 214 ,y 1 ，B y 224 ,y 2，则k PA +k PB =y 1-y 0y 214 -y 204 +y 2-y 0y 224 -y 204=4y 1+y 0 +4y 2+y 0 =0，所以y 1+y 0+y 2+y 0=0，y 1+y 2=-2y 0，所以直线AB 的斜率k AB =y 1-y 2y 214 -y 224=4y 1+y 2 =-2y 0 .即直线AB 的斜率为定值-2y 0 .21.已知函数f x =ax 2ln x +12-x ln x +1.(1)若a <e2，讨论f x 的单调性；(2)若a =1，x ≥1，求证：f x >32 x 2-2x +1+sin x .【答案】(1)当a ≤0时，f x 在0,1e 上单调递增，在1e,+∞ 上单调递减；当0<a <e 2 时，f x 在0,1e 和12a ,+∞ 上单调递增，在1e ,12a上单调递减;(2)见解析【解析】(1)因为f x =ax 2ln x +12-x ln x +1，所以f x =2ax ln x +2ax -ln x -1=2ax -1 ln x +1 x >0 ，①若a ≤0，则2ax -1<0，当x ∈0,1e时，f x >0，f x 是增函数，当x ∈1e,+∞ 时，f x <0，f x 是减函数；②若0<a <e 2 ，即12a >1e ，当x ∈0,1e 和x ∈12a ,+∞ 时，f x >0，f x 是增函数，当x ∈1e ,12a时，f x <0，f x 是减函数.综上可得，当a ≤0时，f x 在0,1e 上单调递增，在1e,+∞ 上单调递减；当0<a <e 2 时，f x 在0,1e 和12a ,+∞ 上单调递增，在1e ,12a上单调递减.(2)当a =1时，要证f x >32x 2-2x +1+sin x ，只需证f x ≥32 x 2-2x +2，即证x 2-x ln x -1+1x≥0，因为x ≥1，所以x 2-x ≥0，设g x =ln x -1+1x，则g x =1x -1x 2 =x -1x2 ≥0，所以g x 在1,+∞ 上是增函数，g x ≥g 1 =0，ln x -1+1x≥0，所以x 2-x ln x -1+1x≥0，因此f x >32x 2-2x +1+sin x 成立22.平面直角坐标系xOy 中，点A 的坐标为3,3 ，在以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为ρ2=2+22 ρsin θ+π4.(1)求曲线C 的参数方程；(2)若P ,Q 是曲线C 上的不同两点，且AP 2+AQ 2=40，求证：线段PQ 的中点M 恒在一条直线上，并求出此直线的直角坐标方程.【答案】(1)曲线C 的参数方程x =1+2cos φy =1+2sin φ(φ为参数);(2)x +y =0【解析】(1)ρ2=2+22 ρsin θ+π4=2+2ρcos θ+2ρsin θ，由ρ2=x 2+y 2，ρcos θ=x ，ρsin θ=y ，得曲线C 的直角坐标方程为x 2+y 2=2+2x +2y ，即x -1 2+y -1 2=4，设x -1=2cos φ，y -1=2sin φ，得曲线C 的参数方程x =1+2cos φy =1+2sin φ(φ为参数).(2)设P 1+2cos φ1,1+2sin φ1 ，Q 1+2cos φ2,1+2sin φ2 ，设M x ,y ，则x =1+cos φ1+cos φ2，y =1+sin φ1+sin φ2，由AP 2+AQ 2=40，得2cos φ1-2 2+2sin φ1-2 2+2cos φ2-2 2+2sin φ2-2 2=40，整理得1+cos φ1+cos φ2+1+sin φ1+sin φ2=0，即x +y =0，所以点M 恒在直线x +y =0上，所以此直线的直角坐标方程为x +y =0.23.已知函数f x =x -m -x -2m .(1)若m =2，求不等式f x >1的解集；(2)若对满足a >b >0的任意实数a ,b ，关于x 的方程f x =a +1a -b b的解集∅，求m 的取值范围.【答案】(1)72,+∞ ;(2)m 的取值范围是-3,3【解析】解：(1)当m =2时，f x =x -2 -x -4 =-2,x <22x -6,2≤x ≤42,x >4，当x <2时，-2>1不成立，当2≤x ≤4时，由2x -6>1，得72<x ≤4，当x >4时，2>1成立，所以不等式f x >1的解集为72,+∞ .(2)因为f x =x -m -x -2m ≤x -m -x -2m =m ，所以-m ≤f x ≤m ，又a +1a -b b =a -b +b +1a -b b ≥33a -b b ⋅1a -b b=3，当a -b =b =1a -b b，即a =2，b =1时取等号，若对满足a >b >0的任意实数a ,b ，关于x 的方程f x =a +1a -b b的解集为∅，则m <3，所以m 的取值范围是-3,3 .。
南昌市2020届一模试卷及答案
2020年江西省南昌市高考数学一模试卷（文科）一.选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合{0A =，1，2)，{|2}B x N x A =∈∈，则(B =)A ．{0}B ．{0，2}C ．{0，12，2}D ．{0，2，4}2．（5分）在复平面内，复数z i =对应的点为Z ，将向量OZ 绕原点O 按逆时针方向旋转23π，所得向量对应的复数是()A ．1322i-+B ．3122i -+C ．1322i--D ．3122i --3．（5分）一个正三棱柱的正（主)视图如图，则该正三棱柱的侧面积是()A ．16B ．12C ．8D ．64．（5分）《聊斋志异》中有：“挑水砍柴不堪苦，请归但求穿墙术”．在数学中，我们称形如以下形式的等式具有“穿墙术”：222233=333388=44441515=，则按照以上规律，若m mmm n n=具有“穿墙术”，则m ，n 满足的关系式为()A ．2n m l =-B ．2(1)n m =-C ．2(1)n m =-D ．21n m =-5．（5分）已知{}n a 是等差数列，且344a a +=-，788a a +=-，则这个数列的前10项和等于()A ．16-B ．30-C ．32-D ．60-6．（5分）已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，抛物线上一点的M 的纵坐标0y ，则02y >是||2MF >的()A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7．（5分）2013年至2019年我国二氧化硫的年排放量（单位：万吨）如表，则以下结论中错误的是()年份2013201420152016201720182019排放量2217.921182043.91974.41859.11102.861014.6A ．二氧化硫排放量逐年下降B ．2018年二氧化硫减排效果最为显著C ．2017年至2018年二氧化硫减排量比2013年至2016年二氧化硫减排量的总和大D ．2019年二氧化硫减排量比2018年二氧化硫减排量有所增加8．（5分）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点为F ，过原点O线交C 的右支于点A ，若||||OA OF =，则双曲线的离心率为()A B C ．2D l+9．（5分）函数cos 1(),1(),1x ln xx fx xex π⎧->⎪=⎨⎪⎩ 的图象大致是()A ．B ．C ．D ．10．（5分）台球是一项国际上广泛流行的高雅室内体育运动，也叫桌球（中国粤港澳地区的叫法）、撞球（中国台湾地区的叫法）．控制撞球点、球的旋转等控制母球走位是击球的一项重要技术，一次台球技术表演节目中，在台球桌上，画出如图正方形ABCD ，在点E ，F 处各放一个目标球，表演者先将母球放在点A 处，通过击打母球，使其依次撞击点E ，F 处的目标球，最后停在点C 处，若30AE cm =，40EF cm =，30FC cm =，60AEF CFE ∠=∠=︒，则该正方形的边长为()A ．40cmB ．156cmC ．202cmD ．1014cm11．（5分）已知0x y >>，1x ≠，1y ≠，则()A ．(,0)aax y a R a >∈≠B ．x xe e y x>C ．y xx y >D ．132x y l-->12．（5分）如图，点E 是正方体1111ABCD A B C D -的棱1DD 的中点，点F ，M 分别在线段AC ，1BD （不包含端点）上运动，则()A ．在点F 的运动过程中，存在1//EF BCB ．在点M 的运动过程中，不存在1B M AE ⊥C ．四面体EMAC 的体积为定值D ．四面体11FA C B 的体积不为定值二.填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）已知向量3)b = ，且a在b 方向上的投影为12，则?a b 等于．14．（5分）已知函数31()f x x x =-，则1(2)(2f lg f lg '-'=．15．（5分）已知1sin()43x π+=，则5cos()4x π-=．16．（5分）如图，一列圆222:()(0n n n n C x y a r a +-=>，0)n r >逐个外切，且所有的圆均与直线22y x =±相切，若1r l =，则1a =，n r =．三.解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答；第22、23题为选考题，考生根据要求作答．．（一）必考题：共60分．17．（12分）如图，D 是在ABC ∆边AC 上的一点，BCD ∆面积是ABD ∆面积的2倍，22CBD ABD θ∠=∠=．（Ⅰ）若6πθ=，求sin sin AC的值；（Ⅱ）若4BC =，AB =，求边AC 的长．18．（12分）如图，三棱柱11l ABC A B C -中，1A BCB -是棱长为2的正四面体．（Ⅰ）求证：1AC CC ⊥；（Ⅱ）求三棱锥1B ACC -的体积．19．（12分）某市2013年至2019年新能源汽车y （单位：百台）的数据如表：年份2013201420152016201720182019年份代号x1234567新能源汽车y58810141517（Ⅰ）求y 关于x 的线性回归方程，并预测该市2021年新能源汽车台数；（Ⅱ）该市某公司计划投资600台“双枪同充”（两把充电枪）、“一拖四群充”（四把充电枪）的两种型号的直流充电桩．按要求，充电枪的总把数不少于该市2021年新能源汽车预测台数，若双枪同充、一拖四群充的每把充电枪的日利润分别为25元，10元，问两种型号的充电桩各安装多少台时，才能使日利润最大，求出最大日利润．721(140ii x ==∑，71364)i i i x y ==∑附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为1221ˆniii nii x ynxy bxnx ==-=-∑∑，ˆˆay bx =-．20．（12分）已知函数，32()(1)3x f x mx m ln m =--+-，(1)m <．（Ⅰ）当12m =时，求()f x 的极值：（Ⅱ）证明：函数()f x 有且只有一个零点．21．（12分）定义：平面内两个分别以原点和两坐标轴为对称中心和对称轴的椭圆1E ，2E ，它们的长短半轴长分别为1a ，1b 和2a ，2b ，若满足21k a a =，21(,2)k b b k Z k =∈ ，则称2E 为1E 的k 级相似椭圆，已知椭圆22121:4x y E l b +=，2E 为1E 的2级相似椭圆，且焦点共轴，1E 与2E 的离心率之比为2．（Ⅰ）求2E 的方程；（Ⅱ）已知P 为2E 上任意一点，过点P 作1E 的两条切线，切点分别为1(A x ，1)y 、2(B x ，2)y ．①证明：1E 在(l A x ，1)y 处的切线方程为112114x x y yb +=；②是否存在一定点到直线AB 的距离为定值，若存在，求出该定点和定值；若不存在，说明理由．（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第-题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系；曲线1C 的普通方程为22(1)1x y -+=，曲线2C 的参数方程为(x y θθθ⎧=⎪⎨=⎪⎩为参数）．（Ⅰ）求曲线1C 和2C 的极坐标方程：（Ⅱ）设射线(0)6πθρ=>分别与曲线1C 和2C 相交于A ，B 两点，求||AB 的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知0a >，0b >，2a b +=．（Ⅰ）求111a b ++的最小值；（Ⅱ）证明：2a b b a ab+ ．2020年江西省南昌市高考数学一模试卷（文科）一.选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合{0A =，1，2)，{|2}B x N x A =∈∈，则(B =)A ．{0}B ．{0，2}C ．{0，12，2}D ．{0，2，4}【解答】解： 集合{0A =，1，2)，{|2}B x N x A =∈∈，{0B ∴=，2}．故选：B ．2．（5分）在复平面内，复数z i =对应的点为Z ，将向量OZ 绕原点O 按逆时针方向旋转23π，所得向量对应的复数是()A ．1322i-+B ．3122i -+C ．1322i --D ．3122i--【解答】解： 由题意知复数z i =对应的向量OZ 按逆时钟方向旋转23π，∴旋转后的向量对应的复数为221331(cossin )()332222i i i i i ππ+=-+=--．故选：D ．3．（5分）一个正三棱柱的正（主)视图如图，则该正三棱柱的侧面积是()A ．16B ．12C ．8D ．6【解答】解：根据正三棱柱图的正视图，可以转换出几何体为：如图所示：所以该几何体的底面边长为2b ==，所以正三棱柱体的侧面积为32212S =⨯⨯=．故选：B ．4．（5分）《聊斋志异》中有：“挑水砍柴不堪苦，请归但求穿墙术”．在数学中，我们称形如以下形式的等式具有“穿墙术”：===，则按照以上规律，若=具有“穿墙术”，则m ，n 满足的关系式为()A ．2n m l =-B ．2(1)n m =-C ．2(1)n m =-D ．21n m =-【解答】解： =，∴=，3mn m m ∴+=，21n m ∴+=，21n m ∴=-．故选：D ．5．（5分）已知{}n a 是等差数列，且344a a +=-，788a a +=-，则这个数列的前10项和等于()A ．16-B ．30-C ．32-D ．60-【解答】解：344a a +=- ，788a a +=-，347812a a a a ∴+++=-，11038476a a a a a a ∴+=+=+=-，1101010()302a a S +∴==-，故选：B ．6．（5分）已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，抛物线上一点的M 的纵坐标0y ，则02y >是||2MF >的()A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【解答】解：设抛物线上一点的M 的纵坐标0y ，0||1MF x =+，若||2MF >，则01x >，则2044y x =>，解之得02y >，或02y <-，02y ∴>是02y >，或02y <-充分不必要条件，02y ∴>是||2MF >的充分不必要条件，故选：A ．7．（5分）2013年至2019年我国二氧化硫的年排放量（单位：万吨）如表，则以下结论中错误的是()年份2013201420152016201720182019排放量2217.921182043.91974.41859.11102.861014.6A ．二氧化硫排放量逐年下降B ．2018年二氧化硫减排效果最为显著C ．2017年至2018年二氧化硫减排量比2013年至2016年二氧化硫减排量的总和大D ．2019年二氧化硫减排量比2018年二氧化硫减排量有所增加【解答】解：2013年至2019年我国二氧化硫的年减排放量分别为：99.9；75；68.6；115.5；756.24；88.26；由表格可知二氧化硫排放量逐年下降，A 正确；2018年二氧化硫减排效果最为显著，正确；2017年至2018年二氧化硫减排量比2013年至2016年二氧化硫减排量的总和大，正确；2019年二氧化硫减排量比2018年二氧化硫减排量有所增加，不正确；故选：D ．8．（5分）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点为F ，过原点O线交C 的右支于点A ，若||||OA OF =，则双曲线的离心率为()ABC ．2Dl+【解答】解：||||OA OF c == ，直线OA()22c A ∴．由A 到左右焦点(,0)c -，(,0)c 的距离差为2a ，∴2a +=．1)2c a=则双曲线的离心率为1c e a ==．故选：D．9．（5分）函数cos 1(),1(),1x ln x x f x xex π⎧->⎪=⎨⎪⎩ 的图象大致是()A ．B ．C．D．【解答】解：根据题意，函数cos 1(),1(),1x ln x x f x xex π⎧->⎪=⎨⎪⎩ ，当1x >时，有1()()f x ln x x =-，x →+∞时，1x x -→+∞，有1()()f x ln x x=-→+∞，排除BC ，当1x =时，f （1）cos 1e eπ==，排除D ，故选：A ．10．（5分）台球是一项国际上广泛流行的高雅室内体育运动，也叫桌球（中国粤港澳地区的叫法）、撞球（中国台湾地区的叫法）．控制撞球点、球的旋转等控制母球走位是击球的一项重要技术，一次台球技术表演节目中，在台球桌上，画出如图正方形ABCD ，在点E ，F 处各放一个目标球，表演者先将母球放在点A 处，通过击打母球，使其依次撞击点E ，F 处的目标球，最后停在点C 处，若30AE cm =，40EF cm =，30FC cm =，60AEF CFE ∠=∠=︒，则该正方形的边长为()A ．40cmB ．156cmC ．202cmD ．1014cm 【解答】解：如图，连接AC 交EF 于点G ，由对称性可知，1202EG EF ==，在AEG∆中，由余弦定理有，22212cos 900400230207002AG AE EG AE EG AEG =+-∠=+-⨯⨯⨯= ，∴107AG =，∴2207AC AG ==∴2cos 457142AB AC =︒== ．故选：D ．11．（5分）已知0x y >>，1x ≠，1y ≠，则()A ．(,0)aax y a R a >∈≠B ．x xe e y x>C ．y xx y >D ．132x y l-->【解答】解：由0x y >>，1x ≠，1y ≠，取4x =，2y =，则可排除CD ；取12a =，则可排除A ，故选：B ．12．（5分）如图，点E 是正方体1111ABCD A B C D -的棱1DD 的中点，点F ，M 分别在线段AC ，1BD （不包含端点）上运动，则()A ．在点F 的运动过程中，存在1//EF BCB ．在点M 的运动过程中，不存在1B M AE ⊥C ．四面体EMAC 的体积为定值D ．四面体11FA C B 的体积不为定值【解答】解：连接1AD ，由正方体的对角面为矩形可得11//AD BC ，取AD 的中点N ，连接EN ，可得EN 与EF 相交，且1//EN BC ，则EF 与1BC 异面，故A 错误；以A 为坐标原点O ，AB ，AD ，1AA 所在的直线为x ，y ，z 轴，设正方体的边长为2，可得(0E ，2，1)，(2B ，0，0)，1(0D ，2，2)，1(2B ，0，2)，设1BM tBD = ，可得1()OM OB t OD OB =+- (2=，0，0)(2t +-，2，2)(22t =-，2t ，2)t ，则(0AE = ，2，1)，1(2B M t =- ，2t ，22)t -，由14220AE B M t t =+-= ，可得13t =，可得在点M 的运动过程中，存在1B M AE ⊥，故B 错误；四面体EMAC 的体积为13EAC S h ∆，(h 为M 到平面AEC 的距离），连接AC ，交BD 于H ，连接EH ，可得1//EH BD ，EH ⊂平面EAC ，1BD ⊂/平面EAC ，可得1//BD 平面EAC ，则1BD 到平面EAC 的距离为h ，显然h 为定值，EAC ∆的面积也为定值，故四面体EMAC 的体积为定值，故C 正确；四面体11FA C B 的体积为1113A CB S h ' ，(h '为F 到平面11AC B 的距离），由11//AC A C ，AC ⊂/平面11A C B ，11A C ⊂平面11A C B ，可得//AC 平面11A C B ，AC 到平面11A C B 的距离为h '，显然h '为定值，△11A C B 的面积也为定值，故四面体11FA C B 的体积为定值，故D 错误．故选：C ．二.填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）已知向量b = ，且a 在b 方向上的投影为12，则?a b 等于1．【解答】解：因为向量b = ，且a在b 方向上的投影为12，所以：||2b ==；∴a在b 方向上的投影为：122||a b a b b == ；∴?1a b =；故答案为：1．14．（5分）已知函数31()f x x x =-，则1(2)(2f lg f lg '-'=0．【解答】解：31()f x x x =-，则221()3f x x x'=+，则()f x '为偶函数，1(2)((2)(2)(2)(2)02f lg f lg f lg f lg f lg f lg ∴'-'='-'-='-'=，故答案为：0．15．（5分）已知1sin()43x π+=，则5cos()4x π-=13-．【解答】解：因为1sin()cos )43x x x π+==+，则51cos()cos[()]cos()(cos sin )444223x x x x x ππππ-=+-=--=-+=-；故答案为：13-．16．（5分）如图，一列圆222:()(0n n n n C x y a r a +-=>，0)n r >逐个外切，且所有的圆均与直线y =±相切，若1r l =，则1a =3，n r =．【解答】解：因为一列圆222:()(0n n n n C x y a r a +-=>，0)n r >逐个外切，且所有的圆均与直线y =±相切，所以圆心到直线的距离为圆的半径，所以3nn a r ==，所以3n n a r =，因为11r =，所以13a =，由题意可得：11n n n n a a r r ++-=+，所以1133n n n n r r r r ++-=+，整理可得：124n n r r +=，即12n nr r +=，所以{}n r 为等比数列，首项11r =，公比2q =，所以通项12n n r -=；故答案分别为：3，12n -．三.解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答；第22、23题为选考题，考生根据要求作答．．（一）必考题：共60分．17．（12分）如图，D 是在ABC ∆边AC 上的一点，BCD ∆面积是ABD ∆面积的2倍，22CBD ABD θ∠=∠=．（Ⅰ）若6πθ=，求sin sin AC的值；（Ⅱ）若4BC =，AB =，求边AC的长．【解答】解：()I 因为1223CBD ABD θπ∠=∠==，所以111sin 2sin 2326BC BD BA BD ππ=⨯ ，所以sin 23sin 3BC A BA C ===；()II 因为11sin 22sin 22BC BD BA BD θθ=⨯ ，即42sin cos 2θθθ⨯=⨯，所以cos 2θ=，所以4πθ=，334ABC πθ∠==，所以216824()402AC =+-⨯⨯-=，所以AC =．18．（12分）如图，三棱柱11l ABC A B C -中，1A BCB -是棱长为2的正四面体．（Ⅰ）求证：1AC CC ⊥；（Ⅱ）求三棱锥1B ACC -的体积．【解答】解：（Ⅰ）证明：如图，取1BB 的中点E ，连结CE ，交1BC 于点O ，则点O 为1BCB ∆的重心，连结AO ，设11BC B C 于点F ，依题意点A 在底面的投影为1BCB ∆的重心，即AO ⊥平面11BCC B ，1AO BB ∴⊥，1BCB ∆ 是正三角形，1CE BB ∴⊥，CE AO O = ，1BB ∴⊥平面AEC ，1BB AC ∴⊥，1AC CC ∴⊥．（Ⅱ）解：由1A BCB -是棱长为2的正四面体，233CO CE ∴==，2AC =，3AO =，12BC CC == ，1120BCC ∠=︒，∴11111sin 2222BCC S BC CC BCC =⨯⨯⨯∠=⨯⨯⨯ ，∴三棱锥1B ACC -的体积为：111333B ACC A BCC V V --==⨯=．19．（12分）某市2013年至2019年新能源汽车y （单位：百台）的数据如表：年份2013201420152016201720182019年份代号x1234567新能源汽车y58810141517（Ⅰ）求y 关于x 的线性回归方程，并预测该市2021年新能源汽车台数；（Ⅱ）该市某公司计划投资600台“双枪同充”（两把充电枪）、“一拖四群充”（四把充电枪）的两种型号的直流充电桩．按要求，充电枪的总把数不少于该市2021年新能源汽车预测台数，若双枪同充、一拖四群充的每把充电枪的日利润分别为25元，10元，问两种型号的充电桩各安装多少台时，才能使日利润最大，求出最大日利润．721(140ii x ==∑，71364)i i i x y ==∑附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为1221ˆniii nii x ynxy bxnx ==-=-∑∑，ˆˆay bx =-．【解答】解：（Ⅰ）依题意知，123456747x ++++++==，58810141517117y ++++++==，721140ii x==∑，71364i i i x y ==∑，所以71722173647411ˆ21407167iii ii x yxybxx ==--⨯⨯===-⨯-∑∑，ˆˆ11243a y bx =-=-⨯=，所以y 关于x 的回归方程为ˆ23y x =+．当9x =时，ˆ29321y=⨯+=，故预测2021年该市新能源汽车大约有2100台．（Ⅱ）设一拖四群充、双枪同充分别安装m 台，600m -台，每天的利润为z 元，则42(600)2100m m +- ，即450m ，4050(600)300001030000450025500z m m m =+-=--= ，所以当450m =时，z 取得最大值25500．故当双枪同充安装150台，一拖四群充安装450台时，每天的利润最大，最大利润为25500元．20．（12分）已知函数，32()(1)3x f x mx m ln m =--+-，(1)m <．（Ⅰ）当12m =时，求()f x 的极值：（Ⅱ）证明：函数()f x 有且只有一个零点．【解答】解：（1）当12m =时，32111()3222x f x x ln =--+，2()(1)f x x x x x '∴=-=-，∴当(,0)x ∈-∞时，()0f x '>，函数()f x 单调递增；当(0,1)x ∈时，()0f x '<，函数()f x 单调递减；当(1,)x ∈+∞时，函数()0f x >，∴函数()f x 的极大值为1(0)22f ln =--，极小值为f （1）223ln =--；（Ⅱ）证明：2()2(2)f x x mx x x m '=-=-，①当0m =时，2()0f x x '= ，3()3x f x =只有一个零点0，符合题意，②当0m <时，()f x 在(,2)m -∞上单调递增，在(2,0)m 上单调递减，在(0,)+∞上单调递增，(0)(1)f m ln m =-+- ，0m <，设()(1)g m m ln m =-+-(0)m <，显然()g m 单调递减，()(0)0g m g ∴>=，即(0)0f >，()f x ∴只有一个零点，符合题意，③当01m <<时，()f x 在(,0)-∞上单调递增；在(0,2)m 上单调递减；在(2,)m +∞上单调递增，(0)(1)f m ln m =-+- ，01m <<，由②构造的函数知，()(0)0g m g <=，即(0)0f <，则()f x 只有一个零点，符合题意，综上所述，1m <时，函数()f x 有且只有一个零点．21．（12分）定义：平面内两个分别以原点和两坐标轴为对称中心和对称轴的椭圆1E ，2E ，它们的长短半轴长分别为1a ，1b 和2a ，2b ，若满足21k a a =，21(,2)k b b k Z k =∈ ，则称2E 为1E 的k 级相似椭圆，已知椭圆22121:4x y E l b +=，2E 为1E 的2级相似椭圆，且焦点共轴，1E 与2E的离心率之比为2．（Ⅰ）求2E 的方程；（Ⅱ）已知P 为2E 上任意一点，过点P 作1E 的两条切线，切点分别为1(A x ，1)y 、2(B x ，2)y ．①证明：1E 在(l A x ，1)y 处的切线方程为112114x x y yb +=；②是否存在一定点到直线AB 的距离为定值，若存在，求出该定点和定值；若不存在，说明理由．【解答】解：（Ⅰ）由题意可知12a =，24a =，221b b =，则222211112144a b b e a --==，22222222221616a b b e a --==，而22112222114(4)441647e b e b b -===-+，解213b =，23b =，故椭圆221:143x y E +=上，椭圆222:1169x y E +=．（Ⅱ）①联立椭圆与直线方程，11221122143361240143x x y yx x x y x y ⎧+=⎪⎪⇒-+-=⎨⎪+=⎪⎩，点A 在椭圆221:143x y E +=上，有221134120x y +-=，所以△22211113612(124)12(3412)0x y x y =--=+-=，即直线与椭圆相切，所以过点A 的切线方程为11143x x y y+=，②由①知，过点B 的切线方程为22143x x y y+=，设0(P x ，0)y ，则22001169x y +=，则220916144x y +=，两条切线都经过点P ，则满足方程组10102020143143x x y y x x y y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩那么点A 和点B 都在直线00143x y yx +=上，则直线AB 的方程为00143x y yx +=上，即003412x x y y +=，假设存在一定点(C C x ，)C y 到直线AB 的距离为定值．即距离00|3412|12C C x x y y d +-==为定值，则0C C x y ==，1d =，故存在一定点(0,0)C 到直线AB 的距离为1．（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第-题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系；曲线1C 的普通方程为22(1)1x y -+=，曲线2C的参数方程为(x y θθθ⎧=⎪⎨=⎪⎩为参数）．（Ⅰ）求曲线1C 和2C 的极坐标方程：（Ⅱ）设射线(0)6πθρ=>分别与曲线1C 和2C 相交于A ，B 两点，求||AB 的值．【解答】解：（Ⅰ）曲线1C 的普通方程为22(1)1x y -+=，整理得222x y x +=，转换为极坐标方程为2cos ρθ=．曲线2C的参数方程为(x y θθθ⎧=⎪⎨=⎪⎩为参数），转换为直角坐标方程为22132x y +=，转换为极坐标方程为22222cos 3sin 60ρθρθ+-=．第21页（共21页）（Ⅱ）由（Ⅰ）得：2cos 6ρθπθ=⎧⎪⎨=⎪⎩，解得12cos 6πρ==．22222cos 3sin 606ρθρθπθ⎧+-=⎪⎨=⎪⎩，解得22924ρ=，即2ρ=所以12||||3AB ρρ=-=．[选修4-5：不等式选讲]23．已知0a >，0b >，2a b +=．（Ⅰ）求111a b ++的最小值；（Ⅱ）证明：2a b b a ab + ．【解答】解：（Ⅰ）0a >，0b >，2a b +=．所以111111114((1))[2(21313133b a a b a b a b a b ++=+++=+++=+++ ，当且仅当32a =，12b =时，取等号．111a b ++的最小值为：43．（Ⅱ）证明：要证明2a b b a ab+ ，由0a >，0b >，即证明222a b + ，因为2a b +，所以当且仅当a b =1，即222a b + 成立，所以：2a b b a ab+ ．。
江西省南昌市2020届高三模拟考试数学（文）试题
南昌市第二次模拟测试卷文科数学本试卷共4页，23小题，满分150分．考试时间120分钟． 注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填涂在答题卡上，并在相应位置贴好条形码．2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案信息涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案．3．非选择题必须用黑色水笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来答案，然后再写上新答案，不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答无效． 4．考生必须保证答题卡整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．一．选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．复数11z =，2z i ，12z z z =⋅，则z =（ ）A B ．2 C ． D ．42．集合{A x y ==，{B y y ==，则A B =（ ）A ．∅B ．[]2,2-C ．[]0,2D ．{}23．已知空间内两条不同的直线a ，b ，则“//a b ”是“a 与b 没有公共点”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 4．已知()l 11n 1,,x x f x x x -≤⎧=⎨>⎩，则不等式()1f x >的解集是（ ）A ．(),e +∞B ．()2,+∞C ．()1,eD ．()2,e 5．已知函数()()xxf x e aea R -=+∈的图象关于原点对称，则()f a =（ ）A ．1e e- B ．1 C ．1e e -D ．1e e+ 6．已知ABC 中角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若2a c =，sin 2cos2A C =，则角A 等于（ ） A ．6π B ．3π C ．2π D ．23π7．已知a 、b 为不共线的两个单位向量，且a 在b 上的投影为12-，则2a b -=（ ）A ．3B ．6C ．5D ．78．直线2sin 0x y θ⋅+=被圆222520x y y +-+=截得最大弦长为（ ）A ．25B ．23C ．3D ．22 9．函数()ln xx f x xe =的图象大致为（ ） A ．B ．C ．D ．10．已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，(),A A A x y 是抛物线上一点，过A 作抛物线准线的垂线，垂足为B ，若32AF BF =，则A y =（ ） A ．3 B ．32 C ．4 D ．4211．春秋以前中国已有“抱瓮而出灌”的原始提灌方式，使用提水吊杆——桔槔，后发展成辘轳．19世纪末，由于电动机的发明，离心泵得到了广泛应用，为发展机械提水灌溉提供了条件．图形所示为灌溉抽水管道在等高图上的垂直投影，在A 处测得B 处的仰角为37度，在A 处测得C 处的仰角为45度，在B 处测得C 处的仰角为53度，A 点所在等高线值为20米，若BC 管道长为50米，则B 点所在等高线值为（参考数据3sin 375︒=）A ．30米B ．50米C ．60米D ．70米 12．已知函数()()sin 06f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭在区间()0,π上有且仅有2个最小值点，下列判断： ①()f x 在()0,π上有2个最大值点；②()f x 在()0,π上最少3个零点，最多4个零点；③333,7ω⎛⎫∈ ⎪⎝⎭；④()f x 在50,33π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减．其中所有正确判断的序号是（ ） A ．④ B ．③④ C ．②③④ D ．①②③ 二．填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．若变量x ，y 满足约束条件1310y x y x y ⎧≥-⎨-+≥⎩，则目标函数z x y =+的最大值为________．14．已知函数()ln f x x =，()()1f a f b +=，则a b +的最小值为________．15．已知1F ，2F 分别是双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点，以21F F 为直径的圆与双曲线的渐近线的一个公共点为P ，若122PF PF =，则双曲线的离心率为________．16．已知四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是边长为3的正方形，PD ⊥平面ABCD ，6PD =，E 为PD 中点，过EB 作平面α分别与线段P A 、PC 交于点M ，N ，且//AC α，则PMPA=________，四边形EMBN 的面积为________．三．解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答；第22，23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分17．（12分）甲、乙两位战士参加射击比赛训练．从若干次预赛成绩中随机抽取8次，记录如下： 甲82 81 79 78 95 88 93 84 乙92 95 80 75 83 80 90 85（Ⅰ）用茎叶图表示这两组数据，并分别求两组数据的中位数；（Ⅱ）现要从中选派一人参加射击比赛，从统计学的角度考虑，你认为选派哪位战士参加合适？请说明理由．18．（12分）已知等差数列{}n a 的公差为()0d d ≠，前n 项和为n S ，且满足________（从①()101051S a =+﹔②1a ，2a ，6a 成等比数列；⑧535S =，这三个条件中任选两个．．补充到题干中的横线位置，并根据你的选择解决问题）． （Ⅰ）求n a ﹔ （Ⅱ）若12n n b =，求数列{}n n a b 的前n 项和n T ． 19．（12分）如图所示，四棱柱1111ABCD A B C D -，底面ABCD 是以AB ，CD 为底边的等腰梯形，且24AB AD ==，60DAB ∠=︒，1AD D D ⊥．（Ⅰ）求证：平面11D DBB ⊥平面ABCD ；（Ⅱ）若112D D D B ==，求三棱锥1D CC B -的体积． 20．（12分）已知函数()()()1x f X e x a a R =-∈-． （Ⅰ）讨论()f x 在区间[]1,2上的单调性； （Ⅱ）若()af x e≥恒成立，求实数a 的最大值．（e 为自然对数的底） 21．（12分）已知椭圆22:1124y x E +=，过点()0,2P -的两条不同的直线与椭圆E 分别相交于A ，B 和C ，D 四点，其中A 为椭圆E 的右顶点． （Ⅰ）求以AB 为直径的圆的方程：（Ⅱ）设以AB 为直径的圆和以CD 为直径的圆相交于M ，N 两点，探究直线MN 是否经过定点，若经过定点，求出定点坐标；若不经过定点，请说明理由．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分． 22．（10分）选修4-4：坐标系与参数方程平面直角坐标系xOy 中，抛物线E 顶点在坐标原点，焦点为()1,0．以坐标原点为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求抛物线E 的极坐标方程；（Ⅱ）过点()3,2A 倾斜角为α的直线l 交E 于M ，N 两点，若2AN AM =，求tan α． 23．（10分）选修4-5：不等式选讲已知()1af x ax x x x=-+-，()()22g x x a x a R =---∈． （Ⅰ）当1a =时，求不等式()()3f x g x <+的解集； （Ⅱ）求证：()()f x g x ≥．参考答案一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案DCAAACDDCDBA二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分． 13．3 14．2e 15．53 16．23；36 三．解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17题-21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22题、23题为选考题，考生根据要求作答． 17．【解析】（Ⅰ）作出茎叶图如下：从茎叶图中得出甲的中位数为8284832+=， 而乙的中位数为8385842+=； （茎叶图3分) 5分 （Ⅱ）()170280490289124835858x =⨯+⨯+⨯++++++++=甲， ()170180490350035025858x =⨯+⨯+⨯++++++++=乙， ()()()()()()()()2222222221788579858185828584858885938595858S ⎡⎤=-+-+-+-+-+-+-+-⎣⎦甲35.5=，()()()()()()()()2222222221758580858085838585859085928595858S ⎡⎤=-+-+-+-+-+-+-+-⎣⎦乙41=， （均值各1分，方差各1.5分) 10分x x =甲乙，22s s <甲乙，∴甲的成绩较稳定，派甲参赛比较合适．注：本小题的结论及理由均不唯一，如果考生能从统计学的角度分析，给出其他合理回答，同样给分，如派乙参赛比较合适，理由如下：从统计的角度看，甲获得85以上（含85分）的概率138p =，乙获得85分以上（含85分）的概率24182P ==，21P P >，所以派乙参赛比较合适． 12分 18．【解析】（Ⅰ）①由()101051S a =+，得()11109105912a d a d ⨯+=++，即11a =；②由1a ，2a ，6a 成等比数列，得2216a a a =，222111125a a d d a a d ++=+，即13d a =﹔③由535S =，得()15355352a a a +==，即3127a a d =+=； （每个条件转化1.5分） 选择①②、①③、②③条件组合，均得13a =、3d =，即32n a n =-﹔ 6分 （Ⅱ）234147103222222n n n T -=+++++， 2345111471035322222222n n n n n T +--=++++++， 两式相减得：23411111113232222222n nn n T +-⎛⎫=+++++- ⎪⎝⎭， 9分 得23111111321323413131422222222n n n n n nn n n T ----+⎛⎫⎛⎫=+++++-=+--=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭12分19．【解析】（Ⅰ）ABD 中，4AB =，2AD =，60DAB ∠=︒，得BD = 2分 则222AD BD AB +=，即AD BD ⊥， 4分 而1AD D D ⊥，故AD ⊥平面11D DBB ，又AD ⊂面ABCD ，所以平面11D DBB ⊥平面ABCD ． 6分 （Ⅱ）取BD 的中点O ，由于11D D D B =，所以1D O BD =， 由（Ⅰ）可知平面11D DBB ⊥面ABCD ，故1D O ⊥面ABCD ．因为12D D =，DO =11D O =， 因为11//D C 平面ABCD ， 9分 所以111113D CC B C DCB D DCB BCDV V V O D S ---=⋅==11133sin 22326BC D C CB D ⋅∠=⨯=⨯⨯⨯=． 12分20．【解析】（Ⅰ）()()x f x e x a '=-，(),x a ∈-∞时，()0f x '<﹔(),x a ∈+∞时，()0f x '>． ①当1a ≤时，()f x 在[]1,2上单调递增；②当12a <<时，()f x 在[]1,a 上单调递减，(],2a 上递增；③当2a ≥时，()f x 在[]1,2的单调递减； （每段讨论1.5分) 6分 （Ⅱ）()()10x ag x e x a e=---≥，即()min 0g x ≥， 由（Ⅰ）知：()g x 在(),x a ∈-∞上递减，在(),x a ∈+∞上递增， 则()()min 0g x g a =≥，即10a e a ++≤， 9分 令()1x h x ex +=+，()110x h x e +'=+>，即()1x h x e x +=+在R 单调递增， 而()11110h e-+-=-=，()()101a h a e a h +=+≤=-，所以1a ≤-，即a 的最大值为1-． 12分 21．【解析】（Ⅰ）由已知()2,0A ，则()02120ABk --==-，故AB 方程：2y x =-，联立直线AB 与椭圆方程，消去y 可得：24120y y +=，得3B y =-，即()1,3B --， 从而以AB 为直径的圆方程为：()()()()21030x x y y -++-+=， 即22320x y x y +-+-=． 4分（Ⅱ）（1）当CD 斜率存在时，并设CD 方程：2y kx =-，设()11,C x y ，()22,D x y由2211242y x y kx ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，消去y 得：()223480k x kx +--=，故12243k x x k +=+，1283x x k-=+，从而()121221243y y k x x k -+=+-=+， ()()()()2212121212212122243k y y kx kx k x x k x x k-=--=-++=+， 7分而以CD 为直径的圆方程为：()()()()12120x x x x y y y y --+--=， 即()()22121212120x y x x x y y y x x y y +-+-+++=， ① 且以AB 为直径的圆方程为22320x y x y +-+-=， ②将两式相减得直线()()12121212:1320MN x x x y y y x x y y +-+++---=， 即()()()22243331010k k x k y k -+-+-+-=，可得：()()()()13331010k k x k y k ⎡⎤⎣-++++⎦-=，两条直线互异，则1k ≠， 即()()33103100x y y x k +++-+=， 9分令331003100x y y x ++=⎧⎨-+=⎩，解得0103x y =⎧⎪⎨=-⎪⎩，即直线MN 过定点100,3⎛⎫- ⎪⎝⎭； 10分（2）当CD 斜率不存在时，CD 方程：0x =，知(0,C -，(0,D ， 则以CD 为直径的圆为2212x y +=，而以AB 为直径的圆方程22320x y x y +-+-=， 两式相减得MN 方程：3100x y --=，过点100,3⎛⎫-⎪⎝⎭； 综上所述，直线MN 过定点100,3⎛⎫-⎪⎝⎭． 12分 22．【解析】（Ⅰ）由题意抛物线E 的焦点为()1,0，所以标准方程为24y x =， 故极坐标方程为2sin 4cos 0ρθθ-=﹔ 4分（Ⅱ）设过点A 的直线l 参数方程为3cos 2sin x t y t αα=+⎧⎨=+⎩（t 为参数），代入24y x =，化简得()22sin 4sin 4cos 80t t ααα+--=，1224sin 4cos sin t t ααα-++=，1228sin t t α=-⋅， 且()224sin 4cos 32sin0ααα∆=-+> 6分由2AN AM =，A 在E 内部，知212t t =-，2121282sin t t t α=-=-⋅ 得122sin 2sin t t αα⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩或122sin 4sin t t αα⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 所以，当1224sin 4cos 2sin sin t t αααα-++==-时，解得tan 2α=， 所以，当1224sin 4cos 2sin sin t t αααα-++==时，解得2tan 3α=（每个结果1.5分） 所以tan 2α=或2tan 3α=． 10分23．【解析】（Ⅰ）当1a =时，不等式为123x x -<，平方得224489x x-+<， 则4241740x x -+<，得2144x <<，即122x -<<-或122x <<， 所以，所求不等式的解集112,,222⎛⎫⎛⎫--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； 5分 （Ⅱ）因为()1111a a f x ax x ax x a x x x x x x⎛⎫⎛⎫=-+-≥---=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 1121a x a x ⎛⎫=-+≥- ⎪ ⎪⎝⎭， 又()()()222221g x x a x x a x a =---≤---=-， 所以，不等式()()f x g x ≥得证．。
江西省南昌市第三中学2020届高三第一次模拟测试卷(Word版,答案解析)
江西省南昌市第三中学2020届高三第一次模拟测试卷理科数学本试卷共4页,23小题,满分150分.考试时间120分钟 注意事项：答卷前,考生务必将自已的姓名、准考证号填涂在答题卡上,并在相应位置贴好条形码； 2.作答选择题时,选出每小题答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案信息涂黑:如 需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案；3.非选择题必须用黑色水笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上:如需改 动,先划掉原来答案,然后再写上新答案,不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答无效；4.考生必须保证答题卡整洁.考试结束后,将试卷和答题卡一并交回。
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A ＝{x ∈N |0≤x ≤4}，则下列说法正确的是( ) A ．0∉A B ．1⊆A C.2⊆AD ．3∈A2.在复平面内，向量AB →对应的复数是2＋i ，向量CB →对应的复数是－1－3i ，则向量CA →对应的复数是( )A.1－2iB.－1＋2iC.3＋4iD.－3－4i3.已知α，β均为第一象限角，那么“α>β”是“sin α>sin β”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4.已知幂函数f (x )＝k ·x α的图象过点⎝⎛⎭⎫12，22，则k ＋α等于( )A.12 B ．1 C.32D ．25.高为H ，满缸水量为V 的鱼缸的轴截面如图所示，其底部破了一个小洞，满缸水从洞中流出，若鱼缸水深为h 时水的体积为v ，则函数v ＝f (h )的大致图象是( )6.如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的是一个几何体的三视图，则这个几何体是( )A.三棱锥B.三棱柱C.四棱锥D.四棱柱7.设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤2，0≤y ≤2表示的平面区域为D ，在区域D 内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是( )A.π4B.π－22C.π6 D.4－π4 8.执行如图所示的程序框图，则输出S 的值为( )A ．－32 B.32 C ．－12 D.129.已知(x ＋1)10＝a 1＋a 2x ＋a 3x 2＋…＋a 11x 10.若数列a 1，a 2，a 3，…，a k (1≤k ≤11，k ∈N ＋)是一个单调递增数列，则k 的最大值是( )A ．5B ．6C ．7D ．8 10.已知函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4－2x ，则函数f (x )的单调递减区间为( ) A.⎣⎡⎦⎤3π8＋2k π，7π8＋2k π(k ∈Z ) B.⎣⎡⎦⎤－π8＋2k π，3π8＋2k π(k ∈Z ) C.⎣⎡⎦⎤3π8＋k π，7π8＋k π(k ∈Z ) D.⎣⎡⎦⎤－π8＋k π，3π8＋k π(k ∈Z ) 11.函数f (x )＝x 3－3x －1，若对于区间[－3,2]上的任意x 1，x 2，都有|f (x 1)－f (x 2)|≤t ，则实数t 的最小值是( )A ．20B ．18C ．3D ．012.设点P (x ，y )是曲线a |x |＋b |y |＝1(a >0，b >0)上的动点，且满足x 2＋y 2＋2y ＋1＋x 2＋y 2－2y ＋1≤22，则a ＋2b 的取值范围为( ) A ．[2，＋∞) B ．[1,2] C ．[1，＋∞)D ．(0,2]二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
2020年江西省南昌市高考数学一模试卷(一)(有答案解析)
2020年江西省南昌市高考数学一模试卷（一）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.设集合M={x|x2-4≤0}，N={x|log2x＜1}，则M∩N=（）A. ∅B. （0，2）C. （-2，2）D. [-2，2）2.已知复数z=i（1+2i），则|z|=（）A. B. C. D. 33.已知抛物线方程为x2=-2y，则其准线方程为（）A. y=-1B. y=1C. y=D. y=-4.设函数f（x）=，则f（5）的值为（）A. -7B. -1C. 0D.5.已知平面向量，，||=2，||=1，则||的最大值为（）A. 1B. 2C. 3D. 56.已知a=ln，b=（e是自然对数的底数），c=，则a，b，c的大小关系是（）A. c＜a＜bB. a＜c＜bC. b＜a＜cD. c＜b＜a7.已知r＞0，x，y∈R，p：“x2+y2≤r2”q：“|x|+|y|≤1”，若p是q的充分不必要条件，则实数r的取值范围是（）A. （0，]B. （0，1]C. [）D. [1，+∞）8.如图所示算法框图，当输入的x为1时，输出的结果为（）A. 3B. 4C. 5D. 69.2021年广东新高考将实行模式，即语文数学英语必选，物理历史二选一，政治地理化学生物四选二，共有12种选课模式今年高一的小明与小芳都准备选历A. B. C. D.10.函数f（x）=的图象大致为（）A. B.C. D.11.过双曲线（a＞0，b＞0）的左焦点F1作圆x2+y2=a2的切线交双曲线的右支于点P，且切点为T，已知O为坐标原点，M为线段PF1的中点（M点在切点T的右侧），若△OTM的周长为4a，则双曲线的渐近线的方程为（）A. y=B. y=±C. y=±D. y=12.我国南宋数学家杨辉1261年所著的详解九章算法一书里出现了如图所示的表,即杨辉三角,这是数学史上的一个伟大成就在“杨辉三角”中,第n行的所有数字之和为,若去除所有为1的项,依次构成数列,则此数列的前55项和为.A. 4072B. 2026C. 4096D. 2048二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知{a n}为等差数列，若a2=2a3+1，a4=2a3+7，则a3=______．14.底面边长6，侧面为等腰直角三角形的正三棱锥的高为______．15.已知锐角A满足方程3cos A-8tan A=0，则cos2A=______．16.若对任意t∈[1，2]，函数f（x）=t2x2-（t+1）x+a总有零点，则实数a的取值范围是______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.函数的部分图象如图所示，A（0，），C（2，0），并且ABx∥轴．（Ⅰ）求ω和φ的值；（Ⅱ）求cos∠ACB的值．18.如图，四棱台ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是菱形，CC1⊥底面ABCD，且∠BAD=60°，CD=CC1=2C1D1=4，E是棱BB1的中点．（Ⅰ）求证：AA1⊥BD；（Ⅱ）求三棱锥B1-A1C1E的体积．19.市面上有某品牌A型和B型两种节能灯，假定A型节能灯使用寿命都超过5000小时，经销商对B型节能灯使用寿命进行了调查统计，得到如图频率分布直方图：某商家因原店面需重新装修，需租赁一家新店面进行周转，合约期一年．新店面只需安装该品牌节能灯5支（同种型号）即可正常营业．经了解，A型20瓦和B型55瓦的两种节能灯照明效果相当，都适合安装．已知A型和B型节能灯每支的价格分别为120元、25元，当地商业电价为0.75元/千瓦时，假定该店面一年周转期的照明时间为3600小时，若正常营业期间灯坏了立即购买同型灯管更换．（用频率估计概率）（Ⅰ）根据频率直方图估算B型节能灯的平均使用寿命；（Ⅱ）根据统计知识知，若一支灯管一年内需要更换的概率为p，那么n支灯管估计需要更换np支．若该商家新店面全部安装了B型节能灯，试估计一年内需更换的支数；（Ⅲ）若只考虑灯的成本和消耗电费，你认为该商家应选择哪种型号的节能灯，请说明理由．20.如图，椭圆E：与圆O：x2+y2=1相切，并且椭圆E上动点与圆O上动点间距离最大值为．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）过点N（1，0）作两条互相垂直的直线l1，l2，l1与E交于A，B两点，l2与圆O的另一交点为M，求△ABM面积的最大值，并求取得最大值时直线l1的方程．21.已知函数f（x）=e x（ln x-ax+a+b）（e为自然对数的底数），a，b∈R，直线y=x是曲线y=f（x）在x=1处的切线．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）是否存在k∈Z，使得y=f（x）在（k，k+1）上有唯一零点？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由．22.在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），曲线C的参数方程为（θ为参数），以坐标原点为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系．（1）求C的极坐标方程；（2）设点M（2，1），直线l与曲线C相交于点A，B，求|MA|•|MB|的值．23.已知函数f（x）=|x+m2|+|x-2m-3|．（Ⅰ）求证：f（x）≥2；（Ⅱ）若不等式f（2）≤16恒成立，求实数m的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：【分析】本题考查交集的求法以及不等式的求解，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.先分别求出集合M和N，由此能求出M∩N.【解答】解：∵集合M={x|x2-4≤0}={x|-2≤x≤2}，N={x|log2x＜1}={x|0＜x＜2}，∴M∩N={x|0＜x＜2}=（0，2）．故选B．2.答案：A解析：解：由z=i（1+2i）=-2+i，得|z|=．故选：A．利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式求解．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题．3.答案：C解析：解：由抛物线方程为x2=-2y，可得抛物线的焦点在y轴负半轴上，则其准线方程为y=，∵2p=2，∴p=1，，则抛物线的直线方程为y=．故选：C．直接由抛物线方程可得其准线方程．本题考查抛物线的简单性质，考查抛物线直线方程的求法，是基础题．4.答案：D解析：解：f（5）=f（5-3）=f（2）=f（2-3）=f（-1）=（-1）2．故选：D．根据f（x）的解析式即可得出f（5）=f（2）=f（-1）=．考查分段函数的定义，已知函数求值的方法．5.答案：C解析：解：设平面向量，的夹角为θ∴||≤3故||的最大值为3，故选：C．设平面向量，的夹角为θ，根据向量的数量积公式即可求出．本题考查的向量的数量积和向量的模，以及三角函数的性质，属于基础题．6.答案：A解析：解：构造函数f（x）=，f′（x）=，当0＜x＜e时，f′（x）＞0，当x＞e时，f′（x）＜0，即f（x）在（0，e）为增函数，在（e，+∞）为减函数，又2，所以c＜a＜b，故选：A．构造函数f（x）=，利用导数研究函数的单调性可得：f（x）在（0，e）为增函数，在（e，+∞）为减函数，再比较大小即可本题考查了构造函数，利用函数的单调性比较大小，属中档题．7.答案：A解析：解：知由p：“x2+y2≤r2知p代表的点（x，y）为以原点为圆心，r为半径的圆上和圆内的点；q代表的点（x，y）是直线x+y=1，-x+y=1，x-y=1，-x-y=1围成的正方形内部和边界，因为p是q的充分不必要条件，所以圆的半径最大时为正方形内切圆，r=所以0＜r≤，故选：A．根据条件确定p，q，所代表的图形的大小，从而得到实数r的取值范围．本题考查了集合的包含关系与简易逻辑的联系，属于基础题．8.答案：C解析：解：当x=1时，x＞1不成立，则y=x+1=1+1=2，i=0+1=1，y＜20不成立，x=2，x＞1成立，y=2x=4，i=1+1=2，y＜20成立，x=4，x＞1成立，y=2x=8，i=2+1=3，y＜20成立，x=8，x＞1成立，y=2x=16，i=3+1=4，y＜20成立x=16，x＞1成立，y=2x=32，i=4+1=5，y＜20不成立，输出i=5，故选：C．9.答案：B解析：解：语文数学英语必选，物理历史二选一，政治地理化学生物四选二，共有12种选课模式．今年高一的小明与小芳都准备选历史与政治，假若他们都对后面三科没有偏好，基本事件总数n==9，他们选课相同的概率为m==3，∴他们选课相同的概率为p===．故选：B．先求出基本事件总数n==9，他们选课相同的概率为m==3，由此能求出他们选课相同的概率．本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．10.答案：A解析：解：f（-x）====-=-f（x），即函数f（x）是奇函数，图象关于原点对称，排除C，D，f（1）=＜0，排除B，故选：A．判断函数的奇偶性与图象对称性之间的关系，利用特殊值的对应性是否一致利用排除法进行求解即可．本题主要考查函数图象的识别和判断，判断函数的奇偶性和对称性，利用排除法是解决本题的关键．11.答案：B解析：解：设|PF1|=m，|PF2|=n，由双曲线的定义可得m-n=2a，由MO为△PF1F2的中位线，可得|OM|=n，在直角三角形OTF1中，可得|TF1|==b，|MT|=m-b，由题意可得a+n+m-b=4a，即m+n=6a+2b，解得m=4a+b，n=2a+b，由直角三角形OMT可得（a+b）2=（2a-b）2+a2，化为4a=3b，可得双曲线的渐近线方程为y=±x，即为y=±x．故选：B．设|PF1|=m，|PF2|=n，由双曲线的定义可得m-n=2a，运用三角形的中位线定理和直角三角形的勾股定理，求得m，n，再由勾股定理化简变形可得4a=3b，即可得到所求双曲线的渐近线方程．本题考查双曲线的定义、方程和性质，考查直角三角形的勾股定理和三角形的中位线定理，考查变形能力和运算能力，属于中档题．12.答案：A解析：【分析】本题主要考查数列的求和，结合杨辉三角形的系数公式以及等比数列、等差数列的求和公式是解决本题的关键，属于基础题.利用第n行的所有数字之和为，结合等比数列和等差数列的公式进行转化求解即可．【解答】解：第1行为20，第2行为21，第3行为22，以此类推，即每一行数字和为首项为1，公比为2的等比数列，则杨辉三角形的前n项和为S n==2n-1，每一行的个数为1，2，3，4，……，可以看成构成一个首项为1，公差为1的等差数列，则T n=，可得当n=12，去除所有的“1”可得78-23=55，则此数列前55项的和为S12-23=212-1-23=4072．故选：A．13.答案：-4解析：解：方法一：∵{a n}为等差数列，a2=2a3+1，a4=2a3+7，∴，解得a1=-10，d=3，∴a3=a1+2d=-10+6=-4．方法二：a2=2a3+1，a4=2a3+7，∴a2+a4=4a3+8，∵a2+a4=2a3，∴2a3=4a3+8，∴a3=-4，故答案为：-4．方法一：利用等差数列的通项公式列出方程组，求出首项和公差，由此能求出a3．方法二，根据等差数列的性质a2+a4=2a3，即可求出．本题考查等差数列中第3项的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．14.答案：解析：解：过A向底面BCD做垂线，垂足为O，由正三棱锥知，底面为正三角形，O为三角形ABC的中心，所以OB=2，因为侧面为等腰直角三角形，所以侧棱AB=3，在Rt△OAB中，有勾股定理所以OA=．故答案为．由正三棱锥知，底面为正三角形，得OB长，在直角三角形OAB中得AO即为正三棱锥的高．本题考查正三棱锥的性质，属于简单题．15.答案：解析：解：∵锐角A满足方程3cos A-8tan A=0，可得：3cos2A=8sin A，∵cos2A+sin2A=1，∴3sin2A+8sin x-3=0，解得：sin A=，或-3（舍去），∴cos2A=1-2sin2A=1-2×=．故答案为：．化简已知等式，利用同角三角函数基本关系式可求3sin2A+8sin x-3=0，解得sin A的值，利用二倍角的余弦函数公式即可计算得解．本题考查了一元二次方程的解法，考查了同角三角函数基本关系式的应用，属于基础题．16.答案：（-∞，]解析：解：若对任意t∈[1，2]，函数f（x）=t2x2-（t+1）x+a总有零点，则判别式△=（t+1）2-4at2≥0在t∈[1，2]上恒成立，即4a≤=（+1）2，∵t∈[1，2]，∴∈[，1]，即当=时，（+1）2，取得最小值为（+1）2=，即4a≤，得a≤，即实数a的取值范围是（-∞，]，故答案为：（-∞，]．根据函数恒有零点，转化为判别式△=（t+1）2-4at2≥0在t∈[1，2]上恒成立，利用参数分的最值是解决本题的关键．综合性较强，质量较高．17.答案：解：（Ⅰ）由已知，又，所以，所以………（3分）由f（2）=0，即，所以，k∈Z，解得，k∈Z，而，所以．………（6分）（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，令，得或，k∈Z，所以x=6k或x=6k+1，由图可知，．………（8分）所以，所以，………（10分）所以．……………………………………………（12分）解析：（Ⅰ）根据函数过A，C两点，代入进行求解即可．（Ⅱ）根据条件求出B的坐标，利用向量法进行求解即可．本题主要考查三角函数解析式的求解，以及三角函数余弦值的计算，利用向量法以及待定系数法是解决本题的关键．18.答案：证明：（Ⅰ）因为CC1⊥底面ABCD，所以CC1⊥BD．因为底面ABCD是菱形，所以BD⊥AC．又AC∩CC1=C，所以BD⊥平面ACC1．又由四棱台ABCD-A1B1C1D1，知A1，A，C，C1四点共面．所以BD⊥AA1．解：（Ⅱ）由已知，得===，又因为=•AA1==，所以三棱锥B1-A1C1E的体积：====．解析：（Ⅰ）推导出CC1⊥BD，BD⊥AC．从而BD⊥平面ACC1．由此能证明BD⊥AA1．（Ⅱ）三棱锥B1-A1C1E的体积===．本题考查线线垂直的证明，考查三棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．19.答案：解：（Ⅰ）由图可知，各组中值依次为3100，3300，3500，3700，对应的频率依次为0.1，0.3，0.4，0.2，故B型节能灯的平均使用寿命为：3100×0.1+3300×0.3+3500×0.4+3700×0.2=3440小时．（Ⅱ）由图可知，使用寿命不超过3600小时的频率为0.8，将频率视为概率，每支灯管需要更换的概率为0.8，故估计一年内5支B型节能灯需更换的支数为5×0.8=4．（Ⅲ）若选择A型节能灯，一年共需花费5×120+3600×5×20×0.75×10-3=870元，若选择B型节能灯，一年共需花费（5+4）×25+3600×5×55×0.75×10-3=967.5元．因为967.5＞820，所以该商家应选择A型节能灯．解析：本题考查了频率分布直方图，众数、中位数、平均数和概率的含义，考查运算求解能力、数据处理能力，考查数形结合思想，是基础题．（Ⅰ）根据频率直方图能估算B型节能灯的平均使用寿命．（Ⅱ）使用寿命不超过3600小时的频率为0.8，将频率视为概率，每支灯管需要更换的概率为0.8，由此能估计一年内5支B型节能灯需更换的支数．（Ⅲ）利用概率的含义，若选择A型节能灯，一年共需花费5×120+3600×5×20×0.75×10-3=870元，若选择B型节能灯，一年共需花费（5+4）×25+3600×5×55×0.75×10-3=967.5元．从而该商家应选择A型节能灯．20.答案：解：（Ⅰ）椭圆E与圆O：x2+y2=1相切，知b2=1；……………………………（2分）又椭圆E上动点与圆O上动点间距离最大值为，即椭圆中心O到椭圆最远距离为，得椭圆长半轴长，即；所以椭圆E的方程：…（5分）（Ⅱ）①当l1与x轴重合时，l2与圆相切，不合题意．②当l1⊥x轴时，M（-1，0），l1：x=1，，此时．…（6分）③当l1的斜率存在且不为0时，设l1：x=my+1，m≠0，则，设A（x1，y1），B（x2，y2），由得，（2m2+3）y2+4my-1=0，所以，……………（8分）所以．由得，，解得，…………（9分）所以，所以=，……………（10分）因为，所以，当且仅当时取等号．所以（）综上，△ABM面积的最大值为，此时直线l1的方程为．……………（12分）解析：（Ⅰ）由题意可得b=1，a-1=，即可得到椭圆的方程；（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），根据l2⊥l1，可设直线l1，l2的方程，分别与椭圆、圆的方程联立即可得可得出|AB|、|MN|，即可得到三角形ABC的面积，利用基本不等式的性质即可得出其最大值．本题主要考查了椭圆的几何性质、直线与圆及椭圆的位置关系等基础知识，同时考查了推理能力和计算能力及分析问题和解决问题的能力21.答案：解：（Ⅰ）f（x）=e x（ln x-ax+a+b）的导数为f′（x）=e x（ln x-ax++b），由已知，有f（1）=eb=，f′（1）=e（b-a+1）=，解得a=1，b=；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）=e x（ln x-x+），则f′（x）=e x（ln x-x++），令g（x）=ln x-x++，则g′（x）=-＜0恒成立，所以g（x）在（0，+∞）上单调递减，又因为g（1）=＞0，g（2）=ln2-1＜0，所以存在唯一的x0∈（1，2），使得g（x0）=0，且当x∈（0，x0）时，g（x）＞0，即f′（x）＞0，当x∈（x0，+∞）时，g（x）＜0，即f′（x）＜0，所以f（x）在（0，x0）上单调递增，在（x0，+∞）上单调递减．又因为当x→0时，f（x）＜0，f（1）=＞0，f（2）=e2（ln2-）＞0，f（e）=e e（-e）＜0，所以存在k=0或2，使得y=f（x）在（k，k+1）上有唯一零点．解析：（Ⅰ）求得f（x）的导数，可得切线的斜率和切点，解方程可得所求值；（Ⅱ）求得f（x）的导数，设g（x）=ln x-x++，求得导数，判断单调性，求得g（1），g（2）的符号，判断g（x）的零点范围，可得f（x）的零点范围，即可得到所求k的值．本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调性，考查函数零点存在定理和构造函数法，考查化简运算能力，属于中档题．22.答案：解：（1）由曲线C的参数方程为（θ为参数），得普通方程（x-4）2+（y-3）2=4，所以极坐标方程ρ2-8ρcosθ-6ρsinθ+21=0．（2）设点A、B对应的参数分别为t1、t2，将直线l的参数方程为（t为参数），转换为（t为参数），代入（x-4）2+（y-3）2=4，得到：，所以：t1t2=4．则：|MA||MB|=|t1t2|=4．解析：（1）直接利用参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换求出结果．（2）利用直线的参数方程的转换，利用一元二次方程根和系数关系的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．23.答案：解：（Ⅰ）因为f（x）=|x+m2|+|x-2m-3|≥|（x+m2）-（x-2m-3）|，所以f（x）≥|m2+2m+3|=（m+1）2+2≥2,（Ⅱ）由已知，f（2）=m2+2+|2m+1|，①当m≥-时，f（2）≤16等价于m2+2m+3≤16，即（m+1）2≤14，解得，所以；②当时，f（2）≤16等价于m2-2m+1≤16，解得-3≤m≤5，所以．综上，实数m的取值范围是．解析：本题考查了绝对值不等式的性质，考查不等式的证明以及分类讨论思想，转化思想，是一道中档题．（Ⅰ）根据绝对值不等式的性质证明即可；（Ⅱ）求出f（2），通过讨论m的范围，得到关于m的不等式，解出即可．。
2020年江西高三一模数学试卷(文科)
2020年江西高三一模数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1.已知集合，，则（ ）．A. B. C. D.2.设为虚数单位，，则（ ）．A. B. C. D.3.若，，，则，，的大小关系为（ ）．A. B. C. D.4.斐波那契数列满足：，，．若将数列的每一项按照下图方法放进格子里，每一小格子的边长为，记前项所占的格子的面积之和为，每段螺旋线错.误.与其所在的正方形所围成的扇形面积为，则下列结论的是（ ）．A.B.C.D.5.函数的部分图象大致为（ ）．A.C.D.6.数列，为等差数列，前项的和分别为，，若，则（ ）．A.B.C.D.7.已知 ， ， ，则（ ）．A.B.C.D.，8.如图所示是某多面体的三视图，左上为正视图，右上为侧视图，左下为俯视图，且图中小方格单位长度为，则该多面体的最大面的面积为（）．A.D.9.将一个总体分为甲、乙、丙三层，其个体数之比为，若用分层抽样的方法抽取容量为的样本，则应从丙层中抽取的个体数为（ ）．A.B.C.D.10.在锐角中，内角，，的对边分别为，，，已知，，则的面积取得最小值时有（ ）．A.B.C.D.11.已知双曲线：，过点的直线交双曲线于，两点，交轴于点（点与双曲线的顶点不重合），当，且时，点的坐标为（ ）．A.B.C.D.12.已知函数，当时，不等式恒成立，则整数的最小值为（ ）．A.B.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共60分）13.已知变量、满足约束条件，若，则的取值范围是 ．14.已知向量，的夹角为，且 ，，则．15.四面体中，底面，，，则四面体的外接球的表面积为 ．16.已知数列的前项和为，，，其中为常数，若，则数列中的项的最小值为 ．三、解答题（本大题共5小题，每小题12分，共60分）（1）（2）17.已知数列{}是等比数列，且，．证明：数列{}是等差数列，并求出其通项公式；求数列 的前项和．（1）（2）18.如图在三棱柱中，侧棱垂直于底面，，，，，分别是，的中点．ACBEF 求证：平面平面．求证：平面．（3）求三棱锥的体积．成绩分频率组距（1）（2）19.某学校有名高中生参加足球特长生初选，第一轮测身高和体重，第二轮足球基础知识问答，测试员把成绩（单位：分）分组如下：第组，第组，第组，第组，第组，得到频率分布直方图如图所示．根据频率分布直方图估计成绩的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）．用分层抽样的方法从成绩在第，，组的高中生中抽取名组成一个小组，若再从这人中随机选出人担任小组负责人，求这人来自第，组各人的概率．（1）（2）20.已知为坐标原点，椭圆的下焦点为，过点且斜率为的直线与椭圆相交于，两点．以为直径的圆与相切，求该圆的半径．在轴上是否存在定点，使得为定值，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由．（1）（2）21.已知函数，曲线在点处的切线为．求，的值．若对任意的，恒成立，求整数的最大值．四、选做题（本大题共2小题，选做1小题，共10分）（1）（2）22.在直角坐标系中，曲线（为参数)，在以为极点，轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，曲线．写出曲线，和的普通方程；若曲线上有一动点，曲线上有一动点，求的最小值．【答案】解析:由，得或，∴，∵，∴，故答案选：．解析:方法一：，故，故选．方法二：，故，故选．方法三：，故选．解析:由函数的相关性质可知，（1）（2）23.已知函数．当时，求不等式的解集．设，，且的最小值为．若，求的最小值．A1.D2.D3.，，，∴．故选．解析:，定义域为，，所以函数是偶函数，排除，，又因为且接近时，，且，所以．故选．解析:依题意，．故选．解析:由于， ，∴，∴，，∴C 4.B 5.A 6.B 7.，∴ ．解析:由三视图可知多面体是棱长为的正方体中的三棱锥，故，，，，，，，，∴该多面体的最大面的面积为．故选．解析:因为甲、乙、丙三层，其个体数之比为，所以丙层所占的比例为，所以应从丙层中抽取的个体数为，故本题选．解析:由已知有，根据正弦定理得，又，即，由于，即有，即有，由于，即，解得，当且仅当时取等号，B 8.A 9.D 10.当，，取最小值，又（为锐角），则，则．故选．解析:由题意知直线的斜率存在且不等于零，设的方程为，，，则．又，∴ ，故，得，∵在双曲线上，∴，整理，同理得．若，则直线过双曲线的顶点，不合题意，∴，∴，是方程的两根，∴ ，∴，此时，∴，点的坐标为．解析:由题意知函数为奇函数，增函数，不等式恒成立，等价于，得，即，令，，当时，，单调递增，A 11.A 12.当时，，单调递减，故当时，取极大值也是最大值，最大值为，所以，得，又，则．解析:作出的线性区域，如图所示：x–1123y–11234O 当目标函数经过点时，取得最大值，当目标函数经过点时，取得最小值，∴，，∴的取值范围为：．解析:依题有，，，．解析:∵在三角形中，，，∴，13.14.15.（1）∴三角形为直角三角形，则三角形外接圆半径．又∵底面，，∴四面体的外接球的半径，∴四面体的外接球的表面积．解析:∵，，∴时解得，又①，②，故有，则是以首项，公比的等比数列，故有，又∵，∴，则有，∴当时，中的项为最小值，为，故答案为．解析:因为数列{}是等比数列，设公比为，所以当时，，所以当时，=为常数，因此数列{}是等差数列，设数列{}的公差为，由，，16.（1）证明见解析；．（2）．17.（2）（1）（2）得 ，所以，即数列{}的通项公式为．，所以．解析:证明：在三棱柱中，底面．因为平面，所以．又因为，，所以平面．又平面，所以平面平面．方法一：证明：如图，取中点，连接，．AC BEF G图因为，分别是，的中点，所以，且．因为，且，所以，且，（1）证明见解析．（2）证明见解析．（3）．18.（3）（1）（2）所以四边形为平行四边形，所以．又因为平面，平面，所以平面．方法二：如图，取的中点，连接，．AC BEFH图因为，分别是，的中点，所以，又因为，分别是，的中点，所以，且．所以四边形为平行四边形，所以，又，，所以平面平面，又平面，所以平面．因为，，，所以．所以三棱锥的体积．解析:因为，所以，所以成绩的平均值为：．（1）．（2）．19.（1）（2）第组学生人数为，第组学生人数为，第组学生人数为，所以抽取的人中第，，组的人数分别为，，．第组的人分别记为，，，第组的人分别记为，，第组的人记为，则从中选出人的基本事件共个，记“从这人中随机选出人担任小组负责人，这人来自第，组各人”为事件，则事件包含的基本事件为：，，，，，，共个，所以．解析:由题意可设直线的方程为，，，由消去，得，则恒成立，，，，．，线段的中点的横坐标为，∵以为直径的圆与相切，∴，解得，此时，∴圆的半径为．设，，，由，得，，∴轴上存在定点，使得为定值．（1）圆的半径为．（2）轴上存在定点，．20.（1）（2）（1）解析:由，得，曲线在点处的切线为，所以，，解得，．由（）知，则时，恒成立，等价于时，恒成立，令，，则，令，则，所以，，单调递增，因为，，所以存在，使，且时，，时，，所以，因为，所以，所以，所以，即正整数的最大值为．解析:∵曲线（为参数），∴曲线的普通方程为，∵曲线，（1），．（2）．21.（1）；．（2）．22.（2）（1）（2）∴曲线的普通方程为．∵曲线上有一动点，曲线上有一动点，设，∴的最小值是到直线的距离的最小值，∴，∴，∴的最小值为．解析:当时，，原不等式为，①当时，，解得，②当时，，解得，③当时，，解得，综上所述，原不等式解集为．，由，故，即，故，故，当且仅当时取“”，故的最小值为．（1）．（2）．23.。