2016版高考真题(2012-2014)分类汇编：2012年 专题七 平面解析几何
专题七平面解析几何1.(2012·高考课标全国卷)设F1、F2是椭圆E：
x2a2＋y2
b2
＝1(a>b>0)的左、右焦点，P为直
线x＝3a2上一点，△F2PF1
是底角为30°的等腰三角形，则E的离心率为()
A.12B.23
C.34D.45
2.(2012·高考山东卷)已知双曲线C1：x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的离心率为2.若抛物线C2：
x2
＝2py(p>0)的焦点到双曲线C
1的渐近线的距离为2，则抛物线C2
的方程为()
A．x2＝833yB．x2
＝
163
3y
C．x2＝8yD．x2
＝16y
3.(2012·高考福建卷)直线x＋3y－2＝0与圆x2＋y2
＝4相交于A，B两点，则弦AB的
长度等于()A．25B．23C.3D．14.(2012·高考浙江卷)如图，中心均为原点O的双曲线与椭圆有公共焦点，M，N是双
曲线的两顶点．若M，O，N将椭圆长轴四等分，则双曲线与椭圆的离心率的比值是()
A．3B．2C.3D.25.(2012·高考辽宁卷)已知P，Q为抛物线x2
＝2y上两点，点P，Q的横坐标分别为4，
－2，过P，Q分别作抛物线的切线，两切线交于点A，则点A的纵坐标为()A．1B．3C．－4D．－8
6.(2012·高考江西卷)椭圆
x2a2＋y2
b2
＝1(a>b>0)的左、右顶点分别是A，B，左、右焦点分别
是F1，F2.若|AF1|，|F1F2|，|F1
B|成等比数列，则此椭圆的离心率为()
A.14B.55
C.12D.5－27.(2012·高考江苏卷)在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2＋y2
－8x＋15＝0，若
直线y＝kx－2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值是________．8.(2012·高考江西卷)过直线x＋y－22＝0上点P作圆x2＋y2
＝1的两条切线，若两条切
线的夹角是60°，则点P的坐标是__________．
9.(2012·高考天津卷)已知椭圆
x2a2＋y2
b2
＝1(a>b>0)，点P5a5，22a在椭圆上．
(Ⅰ)求椭圆的离心率；(Ⅱ)设A为椭圆的左顶点，O为坐标原点，若点Q在椭圆上且满足|AQ|＝|AO|，求直线OQ的斜率的值．
10.(2012·高考江苏卷)如图，建立平面直角坐标系xOy，x轴在地平面上，y轴垂直于地
平面，单位长度为1千米．某炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程y＝kx－120·(1＋k2)x2(k＞0)表示的曲线上，其中k与发射方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标．
(1)求炮的最大射程；(2)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小)，其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标a不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由．
11.(2012·高考安徽卷)如图，F1，F2分别是椭圆C：
x2a2＋y2
b2
＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，
A是椭圆C的顶点，B是直线AF2与椭圆C的另一个交点，∠F1AF2＝60°.
(Ⅰ)求椭圆C的离心率；(Ⅱ)已知△AF1B的面积为403，求a，b的值．
12.(2012·高考陕西卷)已知椭圆C1：x24＋y2＝1，椭圆C2以C1的长轴为短轴，且与C1有
相同的离心率．(Ⅰ)求椭圆C2的方程；(Ⅱ)设O为坐标原点，点A，B分别在椭圆C1和C2上，OB→＝2OA→，求直线AB的方程．
13.(2012·高考上海卷)在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C：2x2－y2
＝1.
(1)设F是C的左焦点，M是C右支上一点，若|MF|＝22，求点M的坐标；(2)过C的左顶点作C的两条渐近线的平行线，求这两组平行线围成的平行四边形的面积；(3)设斜率为k(|k|<2)的直线l交C于P、Q两点，若l与圆x2＋y2
＝1相切，求证：OP⊥OQ.
14.(2012·高考重庆卷)如图，设椭圆的中心为原点O，长轴在x轴上，上顶点为A，左、
右焦点分别为F1，F2，线段OF1，OF2的中点分别为B1，B2，且△AB1B2
是面积为4的直角
三角形．
(Ⅰ)求该椭圆的离心率和标准方程；(Ⅱ)过B1作直线交椭圆于P，Q两点，使PB2⊥QB2，求△PB2Q的面积．
专题七平面解析几何1.C由题意可知∠PF2x＝60°，|PF2|＝
（3a2－c）
cos60°＝3a－2c，由
|PF2|＝|F1F2|，得3a－2c＝2c，∴e＝34，故选C.
2.D
ca＝2
a·p2a2＋b2
＝2，可得p＝8，故选D.
3.B圆心到直线的距离d＝
|0＋0－2|
2＝1，
∴|AB|＝2r2－d2＝24－1＝23.4.B设椭圆、双曲线的长轴和实轴分别为2a1，2a2，则易得a1＝2a2，又∵焦距相等，
∴e2∶e1
＝2.
5.CPA方程为：y－8＝4(x－4)，即y＝4x－8，
同理QA为：y＝－2x－2，解得x＝1，∴y＝－4.6.
B如图|AF1|＝a－c，|F1F2|＝2c，|F1B|＝a＋c，∴4c2＝a2－c2，
∴e＝ca＝55.
7.43根据题意，x2＋y2－8x＋15＝0，将此化成标准形式为(x－4)2＋y2＝1，得到该圆的
圆心为M(4，0)，半径为1，若直线y＝kx－2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，只需要圆心M(4，0)到直线y＝kx－2的距离d≤1＋1＝2即可，所
以有d：|4k－2|k2＋1≤2，化简得k(3k－4)≤0，解得0≤k≤43，所以k的最大值为43.
8.
(2，2)设P(x0，y0)如图|PO|＝2.
∴x20＋y2
0＝4
x0＋y0－22＝0
.
则x20＋(x0－22)2＝4，∴x20－22x0＋2＝0.
∴(x0－2)2＝0，∴x0＝2，y0
＝2.
9.解：(Ⅰ)因为点P55a，22a在椭圆上，故a25a2＋a22b2＝1，可得b2a2＝
5
8.
于是e2＝a2－b2a2＝1－b2a2＝38，所以椭圆的离心率e＝64.
(Ⅱ)设直线OQ的斜率为k，则其方程为y＝kx，设点Q的坐标为(x0，y0)．
由条件得y0＝kx0，
x20a2＋y2
0
b2
＝1.
消去y0
并整理得x20＝a2b2k2a2＋b2.①
由|AQ|＝|AO|，A(－a，0)及y0＝kx0
，
得(x0＋a)2＋k2x20＝a2.整理得
(1＋k2)x20＋2ax0＝0，而x0≠0，故x0＝－2a1＋k2
，代入①，整理得(1＋k2)2＝4k2·a2b2＋4.由(Ⅰ)知a2b2＝85，故(1＋k2)2＝325k2＋4，即5k4－22k2－15＝0，可得k2＝5.所以直线OQ的斜率k＝±5.10.解：(1)令y＝0，得kx－120(1＋k2)x2＝0，由实际意义和题设条件知x＞0，k＞0，
故x＝20k1＋k2＝20k＋1k≤202＝10，当且仅当k＝1时取等号．所以炮的最大射程为10千米．(2)因为a＞0，所以炮弹可击中目标⇔存在k＞0，
使3.2＝ka－120(1＋k2)a2成立⇔关于k的方程a2k2－20ak＋a2＋64＝0有正根⇔判别式Δ＝(－20a)2－4a2(a2＋64)≥0⇔a≤6.所以当a不超过6(千米)时，可击中目标．11.解：(Ⅰ)由题意可知，△AF1F2
为等边三角形，a＝2c，
所以e＝12.
(Ⅱ)法一：因为a2＝4c2，b2＝3c2
，所以bc＝3，
直线AB的方程可为：y＝－3(x－c)，将其代入椭圆方程3x2＋4y2＝12c2，
得B(85c，－335c)，
所以|AB|＝1＋3·|85c－0|＝165c.
由S△AF1B＝12|AF1|·|AB|sin∠F1AB＝12a·165c·32＝235a2＝403，解得a＝10，b＝53.法二：设|AB|＝t.因为|AF2|＝a，所以|BF2
|＝t－a，
由椭圆定义|BF1|＋|BF2|＝2a可知，|BF1
|＝3a－t，
再由余弦定理(3a－t)2＝a2＋t2－2atcos60°可得，t＝85a，
由S△AF1B＝12a·85a·32＝235a2＝403知，a＝10，b＝53.12.解：(Ⅰ)由已知可设椭圆C2的方程为y2a2＋x24＝1(a＞2)．
其离心率为32，故a2－4a＝32，则a＝4，故椭圆C2的方程为y216＋x24＝1.(Ⅱ)法一：A，B两点的坐标分别记为(xA，yA)，(xB，yB)，由OB
→＝2OA→
及(Ⅰ)知，O、A、
B三点共线且点A，B不在y轴上，因此可设直线AB的方程为y＝kx.
专题07 平面向量 解析版(2016-2020)高考数学(理)真题分项详解
专题07 平面向量【2020年】1.（2020·新课标Ⅲ）已知向量a ，b 满足||5a =，||6b =，6a b ⋅=-，则cos ,=+a a b （ ） A. 3135-B. 1935-C.1735D.1935【答案】D 【解析】5a =，6b =，6a b ⋅=-，()225619a a b a a b ∴⋅+=+⋅=-=.()22222526367a b a ba ab b +=+=+⋅+=-⨯+=，因此，()1919cos ,5735a a ba ab a a b⋅+<+>===⨯⋅+. 2.（2020·山东卷）已知P 是边长为2的正六边形ABCDEF 内的一点，则AP AB ⋅ 的取值范用是（ ） A. ()2,6- B. (6,2)- C. (2,4)- D. (4,6)-【答案】A 【解析】AB 的模为2，根据正六边形的特征，可以得到AP 在AB 方向上的投影的取值范围是(1,3)-， 结合向量数量积的定义式，可知AP AB ⋅等于AB 的模与AP 在AB 方向上的投影的乘积， 所以AP AB ⋅的取值范围是()2,6-，3.（2020·北京卷）已知正方形ABCD 的边长为2，点P 满足1()2AP AB AC =+，则||PD =_________；PB PD ⋅=_________．【答案】 (1).5 (2). 1-【解析】以点A 为坐标原点，AB 、AD 所在直线分别为x 、y 轴建立如下图所示的平面直角坐标系，则点()0,0A 、()2,0B 、()2,2C 、()0,2D ，()()()()1112,02,22,1222AP AB AC =+=+=， 则点()2,1P ，()2,1PD ∴=-，()0,1PB =-， 因此，()22215PD =-+=，()021(1)1PB PD ⋅=⨯-+⨯-=-.4.（2020·天津卷）如图，在四边形ABCD 中，60,3B AB ︒∠==，6BC =，且3,2AD BC AD AB λ=⋅=-，则实数λ的值为_________，若,M N 是线段BC 上的动点，且||1MN =，则DM DN ⋅的最小值为_________．【答案】 (1). 16 (2). 132【解析】AD BC λ=，//AD BC ∴，180120BAD B ∴∠=-∠=，cos120AB AD BC AB BC AB λλ⋅=⋅=⋅1363922λλ⎛⎫=⨯⨯⨯-=-=- ⎪⎝⎭，解得16λ=， 以点B 为坐标原点，BC 所在直线为x 轴建立如下图所示的平面直角坐标系xBy ，()66,0BC C =∴，,∵3,60AB ABC =∠=︒，∴A 的坐标为3332A ⎛ ⎝⎭,∵又∵16AD BC =,则533,22D ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，设(),0M x ，则()1,0N x +（其中05x ≤≤）， 533,2DM x ⎛=- ⎝⎭，333,2DN x ⎛=- ⎝⎭，()222533321134222222DM DN x x x x x ⎛⎛⎫⎛⎫⋅=--+=-+=-+ ⎪⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 所以，当2x =时，DM DN ⋅取得最小值132. 5.（2020·浙江卷）设1e ，2e 为单位向量，满足21|22|-≤e e ，12a e e =+，123b e e =+，设a ，b 的夹角为θ，则2cos θ的最小值为_______． 【答案】2829【解析】12|2|2e e -≤，124412e e ∴-⋅+≤，1234e e ∴⋅≥， 222121222121212(44)4(1)()cos (22)(106)53e e e e a b e e e e e e a bθ+⋅+⋅⋅∴===+⋅+⋅+⋅⋅12424228(1)(1)3332953534e e =-≥-=+⋅+⨯. 6.（2020·江苏卷）在△ABC 中，43=90AB AC BAC ==︒，，∠，D 在边BC 上，延长AD 到P ，使得AP =9，若3()2PA mPB m PC =+-（m 为常数），则CD 的长度是________．【答案】185【解析】∵,,A D P 三点共线， ∴可设()0PA PD λλ=>， ∵32PA mPB m PC ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，∴32PD mPB m PC λ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，即32m m PD PB PC λλ⎛⎫- ⎪⎝⎭=+， 若0m ≠且32m ≠，则,,B D C 三点共线， ∴321m m λλ⎛⎫- ⎪⎝⎭+=，即32λ=， ∵9AP =，∴3AD =，∵4AB =,3AC =,90BAC ∠=︒， ∴5BC =，设CD x =，CDA θ∠=，则5BD x =-，BDA πθ∠=-.∴根据余弦定理可得222cos 26AD CD AC xAD CD θ+-==⋅，()()()222257cos 265x AD BD AB AD BD x πθ--+--==⋅-，∵()cos cos 0θπθ+-=，∴()()2570665x x x --+=-，解得185x =，∴CD 的长度为185.当0m =时， 32PA PC =，,C D 重合，此时CD 的长度为0， 当32m =时，32PA PB =，,B D 重合，此时12PA =，不合题意，舍去.7.（2020·新课标Ⅱ）已知单位向量a ，b 的夹角为45°，ka –b 与a 垂直，则k =__________.【答案】2【解析】由题意可得：211cos 452a b →→⋅=⨯⨯=， 由向量垂直的充分必要条件可得：0k a b a →→→⎛⎫-⋅= ⎪⎝⎭，即：202k a a b k →→→⨯-⋅=-=，解得：2k =.8.（2020·新课标Ⅰ）设,a b 为单位向量，且||1+=a b ，则||a b -=______________.【解析】因为,a b 为单位向量，所以1a b == 所以()2222221a b a b a a b b a b +=+=+⋅+=+⋅=解得：21a b ⋅=- 所以()22223a b a b a a b b -=-=-⋅+=【2019年】1．【2019年高考全国I 卷理数】已知非零向量a ，b 满足||2||=a b ，且()-a b ⊥b ，则a 与b 的夹角为A ．π6 B ．π3C ．2π3D ．5π6【答案】B【解析】因为()-a b ⊥b ，所以2()-⋅=⋅-a b b a b b =0，所以2⋅=a b b ，所以cos θ=22||12||2⋅==⋅a b b a b b ，所以a 与b 的夹角为π3，故选B ．2．【2019年高考全国II 卷理数】已知AB →=(2,3)，AC →=(3，t )，BC →=1，则AB →·BC →= A ．−3 B ．−2 C ．2D ．3【答案】C【解析】由BC →=AC →—AB →=（1，t-3），211BC ==，得3t =，则(1,0)BC =，(2,3)(1,0)21302AB BC ==⨯+⨯=．故选C ．3．【2019年高考北京卷理数】设点A ，B ，C 不共线，则“AB →与AC →的夹角为锐角”是“||||AB AC BC +>”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】AB 与AC 的夹角为锐角，所以2222||||2||||2AB AC AB AC AB AC AB AC ++⋅>+-⋅，即22||||AB AC AC AB +>-，因为AC AB BC -=，所以|AB +AC |>|BC |；当|AB +AC |>|BC |成立时，|AB +AC |2>|AB -AC |2AB ⇒•AC >0，又因为点A ，B ，C 不共线，所以AB 与AC 的夹角为锐角.故“AB 与AC 的夹角为锐角”是“|AB +AC |>|BC |”的充分必要条件,故选C ．4．【2019年高考全国III 卷理数】已知a ，b 为单位向量，且a ·b =0，若2=c a ，则cos ,=a c ___________. 【答案】23【解析】因为2=c a ，0⋅=a b ，所以22⋅=⋅a c a b 2=，222||4||5||9=-⋅+=c a b b ，所以||3=c ，所以cos ,=a c 22133⋅==⨯⋅a c a c ．5．【2019年高考天津卷理数】在四边形ABCD 中，,5,30AD BC AB AD A ==∠=︒∥，点E在线段CB 的延长线上，且AE BE =，则BD AE ⋅=_____________．【答案】1-【解析】建立如图所示的直角坐标系，∠DAB =30°，23,5,AB AD ==则(23,0)B ，535(,)22D . 因为AD ∥BC ，30BAD ∠=︒，所以30ABE ∠=︒， 因为AE BE =，所以30BAE ∠=︒， 所以直线BE 的斜率为33，其方程为3(23)3y x =-， 直线AE 的斜率为33-，其方程为33y x =-. 由3(23),333y x y x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩得3x =，1y =-， 所以(3,1)E -.所以35(,)(3,1)122BD AE =-=-.6．【2019年高考江苏卷】如图，在ABC △中，D 是BC 的中点，E 在边AB 上，BE =2EA ，AD 与CE 交于点O .若6AB AC AO EC ⋅=⋅，则ABAC的值是_____.【答案】3.【解析】如图，过点D 作DF //CE ，交AB 于点F ，由BE =2EA ，D 为BC 的中点，知BF =FE =EA ,AO =OD ．()()()3632AO EC AD AC AE AB AC AC AE =-=+-，()223131123233AB AC AC AB AB AC AB AC AB AC ⎛⎫⎛⎫=+-=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22223211323322AB AC AB AC AB AC AB AC AB AC ⎛⎫=-+=-+= ⎪⎝⎭， 得2213,22AB AC =即3,AB AC =故3ABAC=【2018年】1．【2018·全国I 卷 】在ABC △中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB =A ．3144AB AC -B ．1344AB AC - C ．3144AB AC +D ．1344AB AC +【答案】A【解析】根据向量的运算法则，可得()111111222424BE BA BD BA BC BA BA AC =+=+=++ 1113124444BA BA AC BA AC =++=+，所以3144EB AB AC =-. 故选A.2．【2018·全国II 卷 】已知向量a ，b 满足||1=a ，1⋅=-a b ，则(2)⋅-=a a b A ．4 B ．3 C ．2 D ．0【答案】B【解析】因为()()22222||1213⋅-=-⋅=--=+=a a b a a b a 所以选B.3．（2018·浙江卷）已知a ，b ，e 是平面向量，e 是单位向量．若非零向量a 与e 的夹角为π3，向量b 满足b 2−4e ·b +3=0，则|a −b |的最小值是 A ．3−1 B ．3+1 C ．2 D ．2−3【答案】A【解析】设，则由得，由b 2−4e ·b +3=0得因此|a −b |的最小值为圆心到直线的距离23=32减去半径1，为选A.4．【2018·天津卷 】如图，在平面四边形ABCD 中，,,120,AB BC AD CD BAD ⊥⊥∠=1,AB AD ==若点E 为边CD 上的动点，则AE BE ⋅的最小值为A ．2116 B ．32C ．2516D ．3【答案】A【解析】连接AD ,取AD 中点为O ,可知ABD △为等腰三角形，而,AB BC AD CD ⊥⊥，所以BCD △为等边三角形，3BD =. 设()01DE tDC t =≤≤AE BE ⋅ ()()()2232AD DE BD DE AD BD DE AD BD DE BD DE DE =+⋅+=⋅+⋅++=+⋅+ =233322t t -+ ()01t ≤≤ 所以当14t =时，上式取最大值2116，故选A.5．【2018·北京卷 】设a ，b 均为单位向量，则“33-=+a b a b ”是“a ⊥b ”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】222222699+63333-=+-=⇔⇔-++⋅=⋅+a a b a b a b a b a b b a a b b ，因为a ，b 均为单位向量，所以2222699+6=0-⋅+=⋅+⇔⋅⇔a a b b a a b b a b a ⊥b ，即“33-=+a b a b ”是“a ⊥b ”的充分必要条件.故选C.6．【2018·全国III 卷 】已知向量()=1,2a ，()=2,2-b ，()=1,λc ．若()2∥c a +b ，则λ=___________． 【答案】12【解析】由题可得()24,2+=a b ，()2∥c a +b ，()=1,λc ，420λ∴-=，即12λ=，故答案为12.7．【2018·上海卷】在平面直角坐标系中，已知点()10A -，、()20B ，，E 、F 是y 轴上的两个动点，且||2EF =，则AE BF ⋅的最小值为___________． 【答案】-3【解析】根据题意，设E （0，a ），F （0，b ）； ∴2EF a b =-=； ∴a =b +2，或b =a +2； 且()()1,2,AE a BF b ==-，； ∴2AE BF ab ⋅=-+；当a =b +2时，()22222AE BF b b b b ⋅=-++⋅=+-； ∵b 2+2b ﹣2的最小值为8434--=-； ∴AE BF ⋅的最小值为﹣3，同理求出b =a +2时，AE BF ⋅的最小值为﹣3． 故答案为：﹣3．8．【2018·江苏卷】在平面直角坐标系xOy 中，A 为直线:2l y x =上在第一象限内的点，()5,0B ，以AB 为直径的圆C 与直线l 交于另一点D ．若0AB CD ⋅=，则点A 的横坐标为___________． 【答案】3【解析】设(),2(0)A a a a >，则由圆心C 为AB 中点得5,,2a C a +⎛⎫⎪⎝⎭易得()()():520C x x a y y a --+-=，与2y x =联立解得点D 的横坐标1,D x =所以()1,2D .所以()55,2,1,22a AB a a CD a +⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭，由0AB CD ⋅=得()()()2551220,230,32a a a a a a a +⎛⎫--+--=--== ⎪⎝⎭或1a =-， 因为0a >，所以 3.a =【2017年】1．【2017·全国III 卷 】在矩形ABCD 中，AB =1，AD =2，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上.若AP AB AD λμ=+，则λμ+的最大值为 A ．3B ．22C ．5D ．2【答案】A【解析】如图所示，建立平面直角坐标系.设()()()()()0,1,0,0,2,0,2,1,,A B C D P x y ， 易得圆的半径5r =C 的方程是()22425x y -+=，()()(),1,0,1,2,0AP x y AB AD =-=-=，若满足AP AB AD λμ=+，则21x y μλ=⎧⎨-=-⎩ ，,12x y μλ==-，所以12xy λμ+=-+，设12x z y =-+，即102x y z -+-=，点(),P x y 在圆()22425x y -+=上， 所以圆心(20),到直线102xy z -+-=的距离d r ≤21514z -≤+，解得13z ≤≤， 所以z 的最大值是3，即λμ+的最大值是3，故选A ．2．【2017·全国II 卷 】已知ABC △是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则()PA PB PC ⋅+的最小值是 A ．2-B ．32-C ．43-D ．1-【答案】B【解析】如图，以BC 为x 轴，BC 的垂直平分线DA 为y 轴，D 为坐标原点建立平面直角坐标系，则3)A ，(1,0)B -，(1,0)C ，设(,)P x y ，所以(3)PA x y =-，(1,)PB x y =---，(1,)PC x y =--，所以(2,2)PB PC x y +=--，22()22(3)22(PA PB PC x y y x y ⋅+=-=+-2333)22-≥-，当3P 时，所求的最小值为32-，故选B ．3．【2017·北京卷 】设m ,n 为非零向量，则“存在负数λ，使得λ=m n ”是“0<⋅m n ”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】若0λ∃<，使λ=m n ，则两向量,m n 反向，夹角是180︒，那么cos180⋅=︒=m n m n0-<m n ；若0⋅<m n ，那么两向量的夹角为(]90,180︒︒，并不一定反向，即不一定存在负数λ，使得λ=m n ，所以是充分而不必要条件，故选A.4．【2017·全国I 卷 】已知向量a ，b 的夹角为60°，|a |=2，|b |=1，则| a +2b |=___________． 【答案】23【解析】方法一：222|2|||44||4421cos60412+=+⋅+=+⨯⨯⨯+=a b a a b b ， 所以|2|1223+==a b 方法二：利用如下图形，可以判断出2+a b 的模长是以2为边长，一夹角为60°的菱形的对角线的长度，则为235．【2017·江苏卷】如图，在同一个平面内，向量OA ，OB ，OC 的模分别为1，1，2，OA 与OC 的夹角为α，且tan α=7，OB 与OC 的夹角为45°．若OC mOA nOB =+(,)m n ∈R ，则m n +=___________．【答案】3【解析】由tan 7α=可得72sin α=2cos α= 易得cos 45cos 2sin 45sin 0n m n m αα⎧︒+=⎪⎨︒-=⎪⎩2222720210n m ⎧=⎪⎪-=⎪⎩，即510570n m n m +=⎧⎨-=⎩，即得57,44m n ==，所以3m n +=．6．【2017·天津卷】在ABC △中，60A =︒∠，3AB =，2AC =．若2BD DC =，AE AC λ=-()AB λ∈R ，且4AD AE ⋅=-，则λ的值为___________．【答案】311【解析】由题可得1232cos 603,33AB AC AD AB AC ⋅=⨯⨯︒==+， 则12()33AD AE AB AC ⋅=+2123()34934333311AC AB λλλλ-=⨯+⨯-⨯-⨯=-⇒=． 7．【2017·山东卷 】已知12,e e 123-e e 与12λ+e e 的夹角为60︒，则实数λ的值是___________．【解析】∵221212112122)()λλλλ-⋅+=⋅-⋅-e e e e e e e ，12|2-==e ，12||λ+===e e ，cos60λ=︒=λ=． 8．【2017·浙江卷】已知向量a ，b 满足1,2,==a b 则++-a b a b 的最小值是________，最大值是___________．【答案】4，【解析】设向量,a b 的夹角为θ，则-==a b+==a b则++-=a b a b令y =[]21016,20y =+，据此可得：()()maxmin 4++-==++-==a b a ba b a b ，即++-a b a b 的最小值是4，最大值是 【2016年】1.【2016高考山东理数】已知非零向量m ，n 满足4│m │=3│n │，cos<m ，n >=13.若n ⊥（t m +n ），则实数t 的值为（ ） （A ）4 （B ）–4 （C ）94（D ）–94【答案】B【解析】由43=m n ，可设3,4(0)k k k ==>m n ，又()t ⊥+n m n ， 所以22221()cos ,34(4)41603t t n n t t k k k tk k ⋅+=⋅+⋅=⋅+=⨯⨯⨯+=+=n m n n m m n m n n , 所以4t =-，故选B.2.【2016高考新课标2理数】已知向量(1,)(3,2)a m a =-，=，且()a b b ⊥+，则m =（ ） （A ）－8 （B ）－6 （C ）6 （D ）8 【答案】D【解析】向量a b (4,m 2)+=-，由(a b)b +⊥得43(m 2)(2)0⨯+-⨯-=，解得m 8=，故选D.3.【2016高考新课标3理数】已知向量1(2BA = ，31()2BC = ，则ABC ∠=（ ） (A)30︒ (B)45︒ (C)60︒ (D)120︒【答案】A【解析】由题意，得112222cos 11||||BA BC ABC BA BC ⋅∠===⨯，所以30ABC ∠=︒，故选A ． 4.【2016年高考北京理数】设a ，b 是向量，则“||||a b =”是“||||a b a b +=-”的（ ） A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】D【解析】由22||||()()0a b a b a b a b a b a b +=-⇔+=-⇔⋅=⇔⊥，故是既不充分也不必要条件，故选D.5.【2016高考天津理数】已知△ABC 是边长为1的等边三角形，点E D ,分别是边BC AB ,的中点，连接DE 并延长到点F ，使得EF DE 2=，则BC AF ⋅的值为（ ） （A ）85-（B ）81 （C ）41 （D ）811【答案】B【解析】设BA a =，BC b =，∴11()22DE AC b a ==-，33()24DF DE b a ==-， 1353()2444AF AD DF a b a a b =+=-+-=-+，∴25353144848AF BC a b b ⋅=-⋅+=-+=，故选 B.6.【2016年高考四川理数】在平面内，定点A ，B ，C ，D 满足DA=DB =DC ,DA ⋅DB =DB ⋅DC =DC ⋅DA =-2，动点P ，M 满足AP =1，PM =MC ，则2BM 的最大值是( ) （A ）434 （B ）494 （C ）37634+ （D ）372334+ 【答案】B【解析】甴已知易得1220,DA ADC ADB D D BDC B C ∠=∠====∠=︒.以D 为原点，直线DA 为x 轴建立平面直角坐标系，如图所示，则()()()2,0,1,3,1,3.A B C ---设(),,P x y 由已知1AP =，得()2221x y -+=，又13133,,,,,2222x y x y PM MC M BM ⎛⎫⎛⎫-+++=∴∴= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()222+1334x y BM ++∴=，它表示圆()2221x y -+=上的点()x y ，与点()1,33--的距离的平方的14，()()2222max149333144BM⎛⎫∴=++= ⎪⎝⎭，故选B.7.【2016高考新课标1卷】设向量a =(m ,1),b =(1,2),且|a +b |2=|a |2+|b |2,则m = . 【答案】－2【解析】由222||||||+=+a b a b ,得⊥a b ,所以1120m ⨯+⨯=,解得2m =-.8.【2016高考江苏卷】如图，在ABC ∆中，D 是BC 的中点，,E F 是,A D 上的两个三等分点，4BC CA ⋅=，1BF CF ⋅=- ，则BE CE ⋅ 的值是 ▲ .【答案】78【解析】因为222211436=42244AD BC FD BC BA CA BC AD BC AD --⋅=-⋅--==（）（）， 2211114123234FD BCBF CF BC AD BC AD -⋅=-⋅--==-（）（），因此22513,82FD BC ==，2222114167.22448ED BC FD BC BE CE BC ED BC ED --⋅=-⋅--===（）（） 9.【2016高考浙江理数】已知向量a 、b , ｜a ｜ =1，｜b ｜ =2，若对任意单位向量e ，均有 ｜a ·e ｜+｜b ·e ｜≤,则a ·b 的最大值是 ． 【答案】12【解析】221|(a b)||a ||b |6|a b |6|a ||b |2a b 6a b 2e e e +⋅≤⋅+⋅≤⇒+≤⇒++⋅≤⇒⋅≤，即最大值为12。
2016届高考数学5年真题备考题库第七章第5节直线、平面垂直的判定与性质理(含解析)
第7章 立体几何第5节 直线、平面垂直的判定与性质1．（2012安徽，5分）设平面α与平面β相交于直线m ，直线a 在平面α内，直线b 在平面β内，且b ⊥m ，则“α⊥β”是“a ⊥b ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：若α⊥β，又α∩β＝m ，b ⊂β，b ⊥m ，根据两个平面垂直的性质定理可得b ⊥α，又因为a ⊂α，所以a ⊥b ；反过来，当a ∥m 时，因为b ⊥m ，一定有b ⊥a ，但不能保证b ⊥α，即不能推出α⊥β.答案：A2．（2011浙江，5分）下列命题中错误的是( )A ．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面βB ．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面βC ．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l ，那么l ⊥平面γD ．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β解析：对于D ，若平面α⊥平面β，则平面α内的直线可能不垂直于平面β，甚至可能平行于平面β，其余选项均是正确的．答案：D3．（2011新课标全国，12分）如图，四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，∠DAB ＝60°，AB ＝2AD ，PD ⊥底面ABCD .(1)证明：PA ⊥BD ；(2)若PD ＝AD ，求二面角A －PB －C 的余弦值．解：(1)证明：因为∠DAB ＝60°，AB ＝2AD ，由余弦定理得BD ＝3AD .从而BD 2＋AD 2＝AB 2，故BD ⊥AD .又PD ⊥底面ABCD ，可得BD ⊥PD .所以BD ⊥平面PAD .故PA ⊥BD .(2)如图，以D 为坐标原点，AD 的长为单位长，射线DA 为x 轴的正半轴建立空间直角坐标系D －xyz ，则 A (1,0,0)，B (0，3，0)，C (－1，3，0)，P (0,0,1)． AB ＝(－1，3，0)，PB ＝(0，3，－1)，BC ＝(－1,0,0)．设平面PAB 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎨⎧ n ·AB ＝0，n ·PB ＝0，即⎩⎨⎧ －x ＋3y ＝0，3y －z ＝0，因此可取n ＝(3，1，3)．设平面PBC 的法向量为m ，则⎩⎨⎧ m ·PB ＝0，m ·BC ＝0，可取m ＝(0，－1，－3)．则cos 〈m ，n 〉＝－427＝－277.故二面角A －PB －C 的余弦值为－277.。
2012年高考真题理科数学解析汇编：立体几何 2
2012年高考真题理科数学解析汇编：立体几何一、选择题错误！未指定书签。
．（2012年高考（新课标理））已知三棱锥S A B C -的所有顶点都在球O 的求面上,A B C ∆是边长为1的正三角形,S C 为球O 的直径,且2SC =;则此棱锥的体积为 （ ）A．6B．6C．3D．2错误！未指定书签。
．（2012年高考（新课标理））如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某几何体的三视图,则此几何体的体积为A ．6B ．9C ．12D ．18错误！未指定书签。
．（2012年高考（浙江理））已知矩形ABCD ,AB =1,BC将∆ABD 沿矩形的对角线BD 所在的直线进行翻着,在翻着过程中, A ．存在某个位置,使得直线AC 与直线BD 垂直 B ．存在某个位置,使得直线AB 与直线CD 垂直 C ．存在某个位置,使得直线AD 与直线BC 垂直D ．对任意位置,三直线“AC 与BD ”,“AB 与CD ”,“AD 与BC ”均不垂直错误！未指定书签。
．（2012年高考（重庆理））设四面体的六条棱的长分别为和a ,且长为a 的棱异面,则a 的取值范围是 （ ）A ．(0,B ．(0,C ．D ．错误！未指定书签。
．（2012年高考（四川理））如图,半径为R 的半球O 的底面圆O 在平面α内,过点O 作平面α的垂线交半球面于点A ,过圆O 的直径C D 作平面α成45角的平面与半球面相交,所得交线上到平面α的距离最大的点为B ,该交线上的一点P 满足60BOP ∠=,则A 、P 两点间的球面距离为（ ）A ．arccos 4R B ．4Rπ C ．arccos3R D ．3Rπ错误！未指定书签。
．（2012年高考（四川理））下列命题正确的是（ ）A ．若两条直线和同一个平面所成的角相等,则这两条直线平行B ．若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等,则这两个平面平行C ．若一条直线平行于两个相交平面,则这条直线与这两个平面的交线平行D ．若两个平面都垂直于第三个平面,则这两个平面平行错误！未指定书签。
2016年高考真题(理科数学)分类汇编与详解-高清-亲自整理
2016年高考真题(理科数学)分类汇编与详解模块1集合与常用逻辑用语 (2)模块2函数 (2)模块3导数及其应用 (4)模块4三角函数与解三角形 (6)模块5平面向量、数系的扩充与复数的引入 (8)模块6数列 (8)模块7不等式、推理与证明 (10)模块8立体几何 (11)模块9平面解析几何 (14)模块10计数原理、概率、随机变量及其分布 (17)模块11统计、统计案例及算法初步 (19)模块12 坐标系与参数方程 (21)模块13不等式选讲 (22)参考答案与解析 (23)模块1集合与常用逻辑用语 (23)模块2函数 (23)模块3导数及其应用 (24)模块4三角函数与解三角形 (28)模块5平面向量、数系的扩充与复数的引入 (31)模块6数列 (32)模块7不等式、推理与证明 (34)模块8立体几何 (36)模块9平面解析几何 (40)模块10计数原理、概率、随机变量及其分布 (43)模块11统计、统计案例及算法初步 (46)模块12坐标系与参数方程 (47)模块13不等式选讲 (48)模块1 集合与常用逻辑用语1．(2016·高考全国卷乙)设集合A ＝{x |x 2－4x ＋3＜0}，B ＝{x |2x －3＞0}，则A ∩B ＝( ) A.⎝⎛⎭⎫－3，－32 B.⎝⎛⎭⎫－3，32 C.⎝⎛⎭⎫1，32 D.⎝⎛⎭⎫32，32．(2016·高考全国卷甲)已知集合A ＝{1，2，3}，B ＝{x |(x ＋1)(x －2)＜0，x ∈Z }，则A ∪B ＝( ) A ．{1}B ．{1，2}C ．{0，1，2，3}D ．{－1，0，1，2，3}3．(2016·高考全国卷丙)设集合S ＝{x |(x －2)(x －3)≥0}，T ＝{x |x ＞0}，则S ∩T ＝( ) A ．[2，3] B ．(－∞，2]∪[3，＋∞) C ．[3，＋∞)D ．(0，2]∪[3，＋∞)4．(2016·高考山东卷)设集合A ＝{y |y ＝2x ，x ∈R }，B ＝{x |x 2－1＜0}，则A ∪B ＝( ) A ．(－1，1) B ．(0，1) C ．(－1，＋∞)D ．(0，＋∞)5．(2016·高考浙江卷)命题“∀x ∈R ，∃n ∈N *，使得n ≥x 2”的否定形式是( ) A ．∀x ∈R ，∃n ∈N *，使得n <x 2 B ．∀x ∈R ，∀n ∈N *，使得n <x 2 C ．∃x ∈R ，∃n ∈N *，使得n <x 2 D ．∃x ∈R ，∀n ∈N *，使得n <x 26．(2016·高考北京卷)设a ，b 是向量．则“|a |＝|b |”是“|a ＋b |＝|a －b |”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件模块2 函 数1．(2016·高考全国卷乙)若a ＞b ＞1，0＜c ＜1，则( ) A ．a c ＜b c B ．ab c ＜ba c C ．a log b c ＜b log a cD ．log a c ＜log b c2．(2016·高考全国卷甲)已知函数f(x)(x ∈R )满足f (－x )＝2－f (x )，若函数y ＝x ＋1x 与y ＝f (x )图像的交点为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x m ，y m )，则∑i ＝1m(x i ＋y i )＝( )A ．0B ．mC ．2mD ．4m3．(2016·高考全国卷丙)已知a ＝243，b ＝425，c ＝2513，则( ) A ．b ＜a ＜c B ．a ＜b ＜c C ．b ＜c ＜aD ．c ＜a ＜b4．(2016·高考四川卷)某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入．若该公司2015年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是( )(参考数据：lg 1.12≈0.05，lg 1.3≈0.11，lg 2≈0.30) A.2018年 B ．2019年 C ．2020年D ．2021年5．(2016·高考全国卷乙)函数y ＝2x 2－e |x |在[－2，2]的图像大致为( )6．(2016·高考浙江卷)已知a ＞b ＞1.若log a b ＋log b a ＝52，a b ＝b a ，则a ＝______，b ＝____．7．(2016·高考浙江卷)已知a ≥3，函数F (x )＝min{2|x －1|，x 2－2ax ＋4a －2}，其中min{p ，q }＝⎩⎪⎨⎪⎧p ，p ≤q ，q ，p ＞q . (1)求使得等式F (x )＝x 2－2ax ＋4a －2成立的x 的取值范围；(2)①求F (x )的最小值m (a )；②求F (x )在区间[0，6]上的最大值M (a )．模块3 导数及其应用1．(2016·高考全国卷甲)若直线y ＝kx ＋b 是曲线y ＝ln x ＋2的切线，也是曲线y ＝ln(x ＋1)的切线，则b ＝________．2．(2016·高考全国卷丙)已知f (x )为偶函数，当x ＜0时，f (x )＝ln(－x )＋3x ，则曲线y ＝f (x )在点(1，－3)处的切线方程是________．3．(2016·高考全国卷乙)已知函数f (x )＝(x －2)e x ＋a (x －1)2有两个零点． (1)求a 的取值范围；(2)设x 1，x 2是f (x )的两个零点，证明：x 1＋x 2<2.4．(2016·高考全国卷甲)(1)讨论函数f (x )＝x －2x ＋2e x 的单调性，并证明当x >0时，(x －2)e x ＋x ＋2＞0；(2)证明：当a ∈[0，1)时，函数g (x )＝e x －ax －ax 2(x ＞0)有最小值．设g (x )的最小值为h (a )，求函数h (a )的值域．5．(2016·高考全国卷丙)设函数f(x)＝αcos 2x＋(α－1)(cos x＋1)，其中α＞0，记|f(x)|的最大值为A.(1)求f′(x)；(2)求A；(3)证明|f′(x)|≤2A.6．(2016·高考北京卷)设函数f(x)＝x e a－x＋bx，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为y＝(e－1)x ＋4.(1)求a，b的值；(2)求f(x)的单调区间．模块4 三角函数与解三角形1．(2016·高考全国卷甲)若cos ⎝⎛⎭⎫π4－α＝35，则sin 2α＝( ) A.725 B.15 C ．－15 D ．－7252．(2016·高考全国卷丙)若tan α＝34，则cos 2α＋2sin 2α＝( )A.6425B.4825 C ．1 D.16253．(2016·高考全国卷丙)在△ABC 中，B ＝π4，BC 边上的高等于13BC ，则cos A ＝( )A.31010B.1010 C ．－1010 D ．－310104．(2016·高考天津卷)在△ABC 中，若AB ＝13，BC ＝3，∠C ＝120°，则AC ＝( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．45．(2016·高考四川卷)为了得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3的图象，只需把函数y ＝sin 2x 的图象上所有的点( )A ．向左平行移动π3个单位长度B ．向右平行移动π3个单位长度C ．向左平行移动π6个单位长度D ．向右平行移动π6个单位长度6．(2016·高考全国卷甲)若将函数y ＝2sin 2x 的图像向左平移π12个单位长度，则平移后图像的对称轴为( )A ．x ＝k π2－π6(k ∈Z )B ．x ＝k π2＋π6(k ∈Z )C ．x ＝k π2－π12(k ∈Z )D ．x ＝k π2＋π12(k ∈Z )7．(2016·高考全国卷乙)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω＞0，||φ≤π2，x ＝－π4为f (x )的零点，x ＝π4为y ＝f (x )图像的对称轴，且f (x )在⎝⎛⎭⎫π18，5π36单调，则ω的最大值为( )A ．11B ．9C ．7D ．58．(2016·高考全国卷丙)函数y ＝sin x －3cos x 的图像可由函数y ＝sin x ＋3cos x 的图像至少向右平移________个单位长度得到．9．(2016·高考全国卷甲)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos A ＝45，cos C ＝513，a ＝1，则b ＝________．10．(2016·高考全国卷乙)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2cos C (a cos B ＋b cos A )＝c .(1)求C ；(2)若c ＝7，△ABC 的面积为332，求△ABC 的周长．11．(2016·高考江苏卷)在△ABC 中，AC ＝6，cos B ＝45，C ＝π4.(1)求AB 的长；(2)求cos ⎝⎛⎭⎫A －π6的值．12．(2016·高考浙江卷)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知b ＋c ＝2a cos B . (1)证明：A ＝2B ；(2)若△ABC 的面积S ＝a 24，求角A 的大小．13．(2016·高考山东卷)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知2(tan A ＋tan B )＝tan Acos B ＋tan Bcos A. (1)证明：a ＋b ＝2c ；(2)求cos C 的最小值．模块5 平面向量、数系的扩充与复数的引入1．(2016·高考全国卷乙)设(1＋i)x ＝1＋y i ，其中x ，y 是实数，则|x ＋y i|＝( ) A ．1 B. 2 C. 3 D ．22．(2016·高考全国卷甲)已知z ＝(m ＋3)＋(m －1)i 在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值范围是( )A ．(－3，1)B ．(－1，3)C ．(1，＋∞)D ．(－∞，－3) 3．(2016·高考全国卷甲)已知向量a ＝(1，m )，b ＝(3，－2)，且(a ＋b )⊥b ，则m ＝( ) A ．－8 B ．－6 C ．6 D ．8 4．(2016·高考全国卷丙)若z ＝1＋2i ，则4i z z －1＝( )A ．1B ．－1C ．iD ．－i5．(2016·高考山东卷)已知非零向量m ，n 满足4|m |＝3|n |，cos 〈m ，n 〉＝13.若n ⊥(t m ＋n )，则实数t 的值为( )A ．4B ．－4 C.94 D ．－946．(2016·高考全国卷丙)已知向量BA →＝⎝⎛⎭⎫12，32，BC →＝⎝⎛⎭⎫32，12，则∠ABC ＝( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．120°7．(2016·高考全国卷乙)设向量a ＝(m ，1)，b ＝(1，2)，且|a ＋b |2＝|a |2＋|b |2，则m ＝________． 8．(2016·高考天津卷)已知a ，b ∈R ，i 是虚数单位．若(1＋i)(1－b i)＝a ，则ab 的值为________．模块6 数 列1．(2016·高考全国卷乙)已知等差数列{a n }前9项的和为27，a 10＝8，则a 100＝( ) A ．100 B ．99 C ．98D ．972．(2016·高考天津卷)设{a n }是首项为正数的等比数列，公比为q ，则“q <0”是“对任意的正整数n ，a 2n －1＋a 2n <0”的( )A ．充要条件B ．充分而不必要条件C ．必要而不充分条件D ．既不充分也不必要条件3．(2016·高考全国卷乙)设等比数列{a n }满足a 1＋a 3＝10，a 2＋a 4＝5，则a 1a 2…a n 的最大值为________．4．(2016·高考浙江卷)设数列{a n }的前n 项和为S n .若S 2＝4，a n ＋1＝2S n ＋1，n ∈N *，则a 1＝________，S 5＝________．5．(2016·高考全国卷甲)S n 为等差数列{a n }的前n 项和，且a 1＝1，S 7＝28.记b n ＝[lg a n ]，其中[x ]表示不超过x 的最大整数，如[0.9]＝0，[lg 99]＝1.(1)求b 1，b 11，b 101；(2)求数列{b n }的前1 000项和．6．(2016·高考全国卷丙)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝1＋λa n ，其中λ≠0. (1)证明{a n }是等比数列，并求其通项公式；(2)若S 5＝3132，求λ.7．(2016·高考四川卷)已知数列{a n }的首项为1，S n 为数列{a n }的前n 项和，S n ＋1＝qS n ＋1，其中q >0，n ∈N *.(1)若2a 2，a 3，a 2＋2成等差数列，求数列{a n }的通项公式；(2)设双曲线x 2－y 2a 2n ＝1的离心率为e n ，且e 2＝53，证明：e 1＋e 2＋…＋e n >4n －3n 3n －1.模块7 不等式、推理与证明1．(2016·高考全国卷丙)定义“规范01数列”{a n }如下：{a n }共有2m 项，其中m 项为0，m 项为1，且对任意k ≤2m ，a 1，a 2，…，a k 中0的个数不少于1的个数．若m ＝4，则不同的“规范01数列”共有( )A ．18个B ．16个C ．14个D ．12个2．(2016·高考北京卷)袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半．甲、乙、丙是三个空盒．每次从袋中任意取出两个球，将其中一个球放入甲盒，如果这个球是红球，就将另一个球放入乙盒，否则就放入丙盒．重复上述过程，直到袋中所有球都被放入盒中，则( )A ．乙盒中黑球不多于丙盒中黑球B ．乙盒中红球与丙盒中黑球一样多C ．乙盒中红球不多于丙盒中红球D ．乙盒中黑球与丙盒中红球一样多3．(2016·高考天津卷)设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，2x ＋3y －6≥0，3x ＋2y －9≤0，则目标函数z ＝2x ＋5y 的最小值为( )A ．－4B ．6C ．10D ．174．(2016·高考浙江卷)在平面上，过点P 作直线l 的垂线所得的垂足称为点P 在直线l 上的投影．由区域⎩⎪⎨⎪⎧x －2≤0，x ＋y ≥0，x －3y ＋4≥0中的点在直线x ＋y －2＝0上的投影构成的线段记为AB ，则|AB |＝( )A ．2 2B ．4C ．3 2D ．65．(2016·高考全国卷丙)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x －2y ≤0，x ＋2y －2≤0，则z ＝x ＋y 的最大值为____．6．(2016·高考全国卷乙)某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A 需要甲材料1.5 kg ，乙材料1 kg ，用5个工时；生产一件产品B 需要甲材料0.5 kg ，乙材料0.3 kg ，用3个工时．生产一件产品A 的利润为2 100元，生产一件产品B 的利润为900元．该企业现有甲材料150 kg ，乙材料90 kg ，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为________元．7．(2016·高考全国卷甲)有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3.甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是________．模块8 立体几何1．(2016·高考浙江卷)已知互相垂直的平面α，β交于直线l ，若直线m ，n 满足m ∥α，n ⊥β，则( ) A ．m ∥l B ．m ∥nC ．n ⊥lD ．m ⊥n2．(2016·高考全国卷乙)如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径．若该几何体的体积是28π3，则它的表面积是( )A ．17πB ．18πC ．20πD ．28π3．(2016·高考全国卷甲)如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为( )A ．20πB ．24πC ．28πD ．32π4．(2016·高考全国卷丙)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为( )A ．18＋36 5B ．54＋18 5C ．90D ．815．(2016·高考全国卷丙)在封闭的直三棱柱ABC -A 1B 1C 1内有一个体积为V 的球．若AB ⊥BC ，AB ＝6，BC ＝8，AA 1＝3，则V 的最大值是( )A ．4π B.9π2 C ．6π D.32π36．(2016·高考全国卷乙)平面α过正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的顶点A ，α∥平面CB 1D 1，α∩平面ABCD ＝m ，α∩平面ABB 1A 1＝n ，则m ，n 所成角的正弦值为( )A.32 B.22 C.33 D.137．(2016·高考全国卷甲)α，β是两个平面，m ，n 是两条直线，有下列四个命题： ①如果m ⊥n ，m ⊥α，n ∥β，那么α⊥β. ②如果m ⊥α，n ∥α，那么m ⊥n . ③如果α∥β，m ⊂α，那么m ∥β.④如果m ∥n ，α∥β，那么m 与α所成的角和n 与β所成的角相等． 其中正确的命题有________．(填写所有正确命题的编号)8．(2016·高考全国卷乙)如图，在以A ，B ，C ，D ，E ，F 为顶点的五面体中，面ABEF 为正方形，AF ＝2FD ，∠AFD ＝90°，且二面角D -AF -E 与二面角C-BE -F 都是60°.(1)证明：平面ABEF ⊥平面EFDC ；(2)求二面角E -BC -A 的余弦值．9．(2016·高考全国卷甲)如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，AB ＝5，AC ＝6，点E ，F 分别在AD ，CD 上，AE ＝CF ＝54，EF 交BD 于点H .将△DEF 沿EF 折到△D ′EF 的位置，OD ′＝10.(1)证明：D ′H ⊥平面ABCD ；(2)求二面角B -D ′A -C 的正弦值．10．(2016·高考全国卷丙)如图，四棱锥P-ABCD中，P A⊥底面ABCD，AD∥BC，AB＝AD＝AC＝3，P A＝BC＝4，M为线段AD上一点，AM＝2MD，N为PC的中点．(1)证明MN∥平面P AB；(2)求直线AN与平面PMN所成角的正弦值．11．(2016·高考江苏卷)如图，在直三棱柱ABC A1B1C1中，D，E分别为AB，BC的中点，点F 在侧棱B1B上，且B1D⊥A1F，A1C1⊥A1B1.求证：(1)直线DE∥平面A1C1F；(2)平面B1DE⊥平面A1C1F.模块9 平面解析几何1．(2016·高考全国卷甲)圆x 2＋y 2－2x －8y ＋13＝0的圆心到直线ax ＋y －1＝0的距离为1，则a ＝( )A ．－43B ．－34C. 3D ．22．(2016·高考全国卷乙)已知方程x 2m 2＋n －y 23m 2－n ＝1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n 的取值范围是( )A ．(－1，3)B ．(－1，3)C ．(0，3)D ．(0，3)3．(2016·高考全国卷乙)以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A ，B 两点，交C 的准线于D ，E 两点．已知|AB |＝42，|DE |＝25，则C 的焦点到准线的距离为( )A ．2B ．4C ．6D ．84．(2016·高考全国卷甲)已知F 1，F 2是双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1的左，右焦点，点M 在E 上，MF 1与x轴垂直，sin ∠MF 2F 1＝13，则E 的离心率为( )A. 2B.32C. 3D ．25．(2016·高考全国卷丙)已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点，A ，B 分别为C 的左，右顶点．P 为C 上一点，且PF ⊥x 轴．过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E .若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为( )A.13B.12C.23D.346．(2016·高考天津卷)已知双曲线x 24－y 2b 2＝1(b >0)，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A ，B ，C ，D 四点，四边形ABCD 的面积为2b ，则双曲线的方程为( )A.x 24－3y 24＝1B.x 24－4y 23＝1C.x 24－y 24＝1D.x 24－y 212＝1 7．(2016·高考全国卷丙)已知直线l ：mx ＋y ＋3m －3＝0与圆x 2＋y 2＝12交于A ，B 两点，过A ，B 分别作l 的垂线与x 轴交于C ，D 两点．若|AB |＝23，则|CD |＝________．8．(2016·高考浙江卷)若抛物线y 2＝4x 上的点M 到焦点的距离为10，则M 到y 轴的距离是________．9．(2016·高考全国卷乙)设圆x 2＋y 2＋2x －15＝0的圆心为A ，直线l 过点B (1，0)且与x 轴不重合，l 交圆A 于C ，D 两点，过B 作AC 的平行线交AD 于点E .(1)证明|EA |＋|EB |为定值，并写出点E 的轨迹方程；(2)设点E 的轨迹为曲线C 1，直线l 交C 1于M ，N 两点，过B 且与l 垂直的直线与圆A 交于P ，Q 两点，求四边形MPNQ 面积的取值范围．10．(2016·高考全国卷甲)已知椭圆E ：x 2t ＋y 23＝1的焦点在x 轴上，A 是E 的左顶点，斜率为k (k >0)的直线交E 于A ，M 两点，点N 在E 上，MA ⊥NA .(1)当t ＝4，|AM |＝|AN |时，求△AMN 的面积； (2)当2|AM |＝|AN |时，求k 的取值范围．11．(2016·高考全国卷丙)已知抛物线C：y2＝2x的焦点为F，平行于x轴的两条直线l1，l2分别交C 于A，B两点，交C的准线于P，Q两点．(1)若F在线段AB上，R是PQ的中点，证明AR∥FQ；(2)若△PQF的面积是△ABF的面积的两倍，求AB中点的轨迹方程．12．(2016·高考北京卷)已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的离心率为32，A(a，0)，B(0，b)，O(0，0)，△OAB的面积为1.(1)求椭圆C的方程；(2)设P是椭圆C上一点，直线P A与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N.求证：|AN|·|BM|为定值．模块10 计数原理、概率、随机变量及其分布1．(2016·高考全国卷乙)某公司的班车在7：30，8：00，8：30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是( )A.13B.12C.23D.342．(2016·高考全国卷甲)如图，小明从街道的E 处出发，先到F 处与小红会合，再一起到位于G 处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为( )A ．24B ．18C ．12D ．93．(2016·高考全国卷甲)从区间[0，1]随机抽取2n 个数x 1，x 2，…，x n ，y 1，y 2，…，y n ，构成n 个数对(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )，其中两数的平方和小于1的数对共有m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为( )A.4n mB.2n mC.4m nD.2m n4．(2016·高考全国卷乙)(2x ＋x )5的展开式中，x 3的系数是________．(用数字填写答案)5．(2016·高考四川卷)同时抛掷两枚质地均匀的硬币，当至少有一枚硬币正面向上时，就说这次试验成功，则在2次试验中成功次数X 的均值是________．6．(2016·高考天津卷)⎝⎛⎭⎫x 2－1x 8的展开式中x 7的系数为________．(用数字作答) 7．(2016·高考山东卷)甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，在一轮活动中，如果两人都猜对，则“星队”得3分；如果只有一人猜对，则“星队”得1分；如果两人都没猜对，则“星队”得0分．已知甲每轮猜对的概率是34，乙每轮猜对的概率是23；每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响，各轮结果亦互不影响．假设“星队”参加两轮活动，求：(1)“星队”至少猜对3个成语的概率；(2)“星队”两轮得分之和X 的分布列和数学期望EX .8．(2016·高考全国卷乙)某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数．(1)求X的分布列；(2)若要求P(X≤n)≥0.5，确定n的最小值；(3)以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在n＝19与n＝20之中选其一，应选用哪个？9．(2016·高考全国卷甲)某险种的基本保费为a(单位：元)，继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：(1)(2)若一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出60%的概率；(3)求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值．模块11统计、统计案例及算法初步1．(2016·高考全国卷乙)执行如图所示的程序框图，如果输入的x＝0，y＝1，n＝1，则输出x，y的值满足()A．y＝2x B．y＝3xC．y＝4x D．y＝5x2．(2016·高考全国卷甲)中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，如图是实现该算法的程序框图．执行该程序框图，若输入的x＝2，n＝2，依次输入的a为2，2，5，则输出的s＝()A．7 B．12C．17 D．343．(2016·高考全国卷丙)某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图．图中A点表示十月的平均最高气温约为15 ℃，B点表示四月的平均最低气温约为5 ℃.下面叙述不正确的是()A．各月的平均最低气温都在0 ℃以上B．七月的平均温差比一月的平均温差大C．三月和十一月的平均最高气温基本相同D．平均最高气温高于20 ℃的月份有5个4．(2016·高考全国卷丙)执行如图所示的程序框图，如果输入的a＝4，b＝6，那么输出的n＝()A．3 B．4C．5 D．65．(2016·高考天津卷)某小组共10人，利用假期参加义工活动．已知参加义工活动次数为1，2，3的人数分别为3，3，4.现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会．(1)设A 为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4”，求事件A 发生的概率；(2)设X 为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量X 的分布列和数学期望．6．(2016·高考全国卷丙)下图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量(单位：亿吨)的折线图．注：年份代码1－7分别对应年份2008－2014.(1)由折线图看出，可用线性回归模型拟合y 与t 的关系，请用相关系数加以说明； (2)建立y 关于t 的回归方程(系数精确到0.01)，预测2016年我国生活垃圾无害化处理量． 附注：参考数据：∑i ＝17y i ＝9.32,∑i ＝17y i ＝40.17,∑i ＝17（y i －y ）2＝0.55，7≈2.646.参考公式：相关系数r ＝∑i ＝1n（t i －t ）（y i －y ）∑i ＝1n（t i －t ）2∑i ＝1n（y i －y ）2，回归方程y ^＝a ^＋b ^t 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：b ^＝∑i ＝1n（t i －t ）（y i －y ）∑i ＝1n（t i －t ）2，a ^＝y －b ^t .模块12 坐标系与参数方程1．(2016·高考北京卷)在极坐标系中，直线ρcos θ－3ρsin θ－1＝0与圆ρ＝2cos θ交于A ，B 两点，则|AB |＝________．2．(2016·高考全国卷乙)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos t ，y ＝1＋a sin t ，(t 为参数，a ＞0)．在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ＝4cos θ.(1)说明C 1是哪一种曲线，并将C 1的方程化为极坐标方程；(2)直线C 3的极坐标方程为θ＝α0，其中α0满足tan α0＝2，若曲线C 1与C 2的公共点都在C 3上，求a .3．(2016·高考全国卷甲)在直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为(x ＋6)2＋y 2＝25. (1)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程；(2)直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos α，y ＝t sin α(t 为参数)，l 与C 交于A ，B 两点，|AB |＝10，求l 的斜率．4．(2016·高考全国卷丙)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3cos αy ＝sin α(α为参数)．以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝2 2. (1)写出C 1的普通方程和C 2的直角坐标方程；(2)设点P 在C 1上，点Q 在C 2上，求|PQ |的最小值及此时P 的直角坐标．5．(2016·高考江苏卷)在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋12t ，y ＝32t(t 为参数)，椭圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)．设直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，求线段AB 的长．模块13不等式选讲1．(2016·高考全国卷乙)已知函数f (x )＝|x ＋1|－|2x －3|.(1)画出y ＝f (x )的图像； (2)求不等式|f (x )|＞1的解集．2．(2016·高考全国卷甲)已知函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪x －12＋⎪⎪⎪⎪x ＋12，M 为不等式f (x )＜2的解集． (1)求M ；(2)证明：当a ，b ∈M 时，|a ＋b |＜|1＋ab |.3．(2016·高考全国卷丙)已知函数f (x )＝|2x －a |＋a . (1)当a ＝2时，求不等式f (x )≤6的解集；(2)设函数g (x )＝|2x －1|.当x ∈R 时，f (x )＋g (x )≥3，求a 的取值范围．4．(2016·高考江苏卷)设a >0，|x －1|<a 3，|y －2|<a3，求证：|2x ＋y －4|<a .参考答案与解析模块1 集合与常用逻辑用语1．解析：选D.由题意得，A ＝{x |1＜x ＜3}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＞32，则A ∩B ＝⎝⎛⎭⎫32，3.选D. 2．解析：选C.由已知可得B ＝{x |(x ＋1)(x －2)＜0，x ∈Z }＝{x |－1＜x ＜2，x ∈Z }＝{0，1}，所以A ∪B ＝{0，1，2，3}，故选C.3．解析：选D.集合S ＝(－∞，2]∪[3，＋∞)，结合数轴，可得S ∩T ＝(0，2]∪[3，＋∞)．4．解析：选C.法一：(通性通法)集合A 表示函数y ＝2x 的值域，故A ＝(0，＋∞)．由x 2－1＜0，得－1＜x ＜1，故B ＝(－1，1)．所以A ∪B ＝(－1，＋∞)．故选C.法二：(光速解法)由函数y ＝2x 的值域可知，选项A ，B 不正确；由02－1＜0可知，0∈B ，故0∈A ∪B ，故排除选项D ，选C.5．解析：选D.根据含有量词的命题的否定的概念可知．6．解析：选D.取a ＝－b ≠0，则|a |＝|b |≠0，|a ＋b |＝|0|＝0，|a －b |＝|2a |≠0，所以|a ＋b |≠|a －b |，故由|a |＝|b |推不出|a ＋b |＝|a －b |.由|a ＋b |＝|a －b |, 得|a ＋b|2＝|a －b |2，整理得a ·b ＝0，所以a ⊥b ，不一定能得出|a |＝|b |, 故由|a ＋b |＝|a －b |推不出|a |＝|b |.故“|a |＝|b |”是“|a ＋b |＝|a －b |”的既不充分也不必要条件．故选D.模块2 函 数1．解析：选C.对于选项A ，考虑幂函数y ＝x c ，因为c ＞0，所以y ＝x c 为增函数，又a ＞b ＞1，所以a c＞b c，A 错．对于选项B ，ab c＜ba c⇔⎝⎛⎭⎫b a c＜b a ，又y ＝⎝⎛⎭⎫b a x是减函数，所以B 错．对于选项D ，由对数函数的性质可知D 错，故选C.2．解析：选B.因为f (x )＋f (－x )＝2，y ＝x ＋1x ＝1＋1x ，所以函数y ＝f (x )与y ＝x ＋1x 的图像都关于点(0，1)对称，所以∑i ＝1mx i =0, ∑i ＝1my i ＝m2³2＝m ，故选B.3．解析：选A.因为a ＝243＝1613，b ＝425＝1615，c ＝2513，且幂函数y ＝x 13在R 上单调递增，指数函数y ＝16x 在R 上单调递增，所以b ＜a ＜c .4．解析：选B.根据题意，知每年投入的研发资金增长的百分率相同，所以，从2015年起，每年投入的研发资金组成一个等比数列{a n }，其中，首项a 1＝130，公比q ＝1＋12%＝1.12，所以a n ＝130³1.12n －1.由130³1.12n －1>200，两边同时取对数，得n －1>lg 2－lg 1.3lg 1.12，又lg 2－lg 1.3lg 1.12≈0.30－0.110.05＝3.8，则n >4.8，即a 5开始超过200，所以2019年投入的研发资金开始超过200万元，故选B.5．解析：选D.当x ≥0时，令函数f (x )＝2x 2－e x ，则f ′(x )＝4x －e x ，易知f ′(x )在[0，ln 4)上单调递增，在[ln 4，2]上单调递减，又f ′(0)＝－1＜0，f ′⎝⎛⎭⎫12＝2－e ＞0，f ′(1)＝4－e ＞0，f ′(2)＝8－e 2＞0，所以存在x 0∈⎝⎛⎭⎫0，12是函数f (x )的极小值点，即函数f (x )在(0，x 0)上单调递减，在(x 0，2)上单调递增，且该函数为偶函数，符合条件的图像为D.6．解析：由于a ＞b ＞1，则log a b ∈(0，1)，因为log a b ＋log b a ＝52，即log a b ＋1log a b ＝52，所以log a b ＝12或log a b ＝2(舍去)，所以a 12＝b ，即a ＝b 2，所以a b ＝(b 2)b ＝b 2b ＝b a ，所以a ＝2b ，b 2＝2b ，所以b ＝2(b ＝0舍去)，a ＝4.答案：4 27．解：(1)由于a ≥3，故当x ≤1时，(x 2－2ax ＋4a －2)－2|x －1|＝x 2＋2(a －1)(2－x )＞0， 当x ＞1时，(x 2－2ax ＋4a －2)－2|x －1|＝(x －2)(x －2a )．所以使得等式F (x )＝x 2－2ax ＋4a －2成立的x 的取值范围为[2，2a ]． (2)①设函数f (x )＝2|x －1|， g (x )＝x 2－2ax ＋4a －2，则f (x )min ＝f (1)＝0，g (x )min ＝g (a )＝－a 2＋4a －2， 所以由F (x )的定义知 m (a )＝min{f (1)，g (a )}，即m (a )＝⎩⎨⎧0，3≤a ≤2＋2，－a 2＋4a －2，a ＞2＋ 2.②当0≤x ≤2时，F (x )＝f (x )≤max{f (0)，f (2)}＝2＝F (2)， 当2≤x ≤6时，F (x )＝g (x )≤max{g (2)，g (6)}＝max{2，34－8a }＝max{F (2)，F (6)}．所以M (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧34－8a ，3≤a ＜4，2，a ≥4.模块3 导数及其应用1．解析：设y ＝kx ＋b 与y ＝ln x ＋2和y ＝ln(x ＋1)的切点分别为(x 1，ln x 1＋2)和(x 2，ln(x 2＋1))．则切线分别为y －ln x 1－2＝1x 1(x －x 1)，y －ln(x 2＋1)＝1x 2＋1(x －x 2)，化简得y ＝1x 1x ＋ln x 1＋1，y ＝1x 2＋1x －x 2x 2＋1＋ln(x 2＋1)，依题意，⎩⎨⎧1x 1＝1x 2＋1，ln x 1＋1＝－x2x 2＋1＋ln （x 2＋1），解得x 1＝12，从而b ＝ln x 1＋1＝1－ln 2.答案：1－ln 22．解析：由题意可得当x ＞0时，f (x )＝ln x －3x ，则f ′(x )＝1x －3，f ′(1)＝－2，则在点(1，－3)处的切线方程为y ＋3＝－2(x －1)，即y ＝－2x －1.答案：y ＝－2x －13．解：(1)f ′(x )＝(x －1)e x ＋2a (x －1)＝(x －1)(e x ＋2a )． (ⅰ)设a ＝0，则f (x )＝(x －2)e x ，f (x )只有一个零点．(ⅱ)设a ＞0，则当x ∈(－∞，1)时，f ′(x )＜0，当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )＞0，所以f (x )在(－∞，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增．又f (1)＝－e ，f (2)＝a ，取b 满足b ＜0且b ＜ln a 2，则f (b )＞a2(b －2)＋a (b －1)2＝a ⎝⎛⎭⎫b 2－32b ＞0，故f (x )存在两个零点．(ⅲ)设a ＜0，由f ′(x )＝0得x ＝1或x ＝ln(－2a )．若a ≥－e2，则ln(－2a )≤1，故当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )＞0，因此f (x )在(1，＋∞)上单调递增．又当x ≤1时f (x )＜0， 所以f (x )不存在两个零点．若a ＜－e2，则ln(－2a )＞1，故当x ∈(1，ln(－2a ))时，f ′(x )＜0；当x ∈(ln(－2a )，＋∞)时，f ′(x )＞0.因此f (x )在(1，ln(－2a ))上单调递减，在(ln(－2a )，＋∞)上单调递增．又当x ≤1时，f (x )＜0，所以f (x )不存在两个零点．综上，a 的取值范围为(0，＋∞)．(2)不妨设x 1＜x 2.由(1)知，x 1∈(－∞，1)，x 2∈(1，＋∞)，2－x 2∈(－∞，1)，又f (x )在(－∞，1)上单调递减，所以x 1＋x 2＜2等价于f (x 1)＞f (2－x 2)，即f (2－x 2)＜0.由于f (2－x 2)＝－x 2e2－x 2＋a (x 2－1)2，而f (x 2)＝(x 2－2)e x 2＋a (x 2－1)2＝0，所以f (2－x 2)＝－x 2e2－x 2－(x 2－2)e x 2. 设g (x )＝－x e 2－x －(x －2)e x ，则g ′(x )＝(x －1)(e 2－x －e x )．所以当x ＞1时，g ′(x )＜0，而g (1)＝0，故当x ＞1时，g (x )＜0. 从而g (x 2)＝f (2－x 2)＜0，故x 1＋x 2＜2.4．解：(1)f (x )的定义域为(－∞，－2)∪(－2，＋∞)． f ′(x )＝（x －1）（x ＋2）e x －（x －2）e x （x ＋2）2＝x 2e x（x ＋2）2≥0，且仅当x ＝0时，f ′(x )＝0，所以f (x )在(－∞，－2)，(－2，＋∞)上单调递增． 因此当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＞f (0)＝－1. 所以(x －2)e x ＞－(x ＋2)，(x －2)e x ＋x ＋2＞0. (2)g ′(x )＝（x －2）e x ＋a （x ＋2）x 3＝x ＋2x3(f (x )＋a )．由(1)知，f (x )＋a 单调递增．对任意的a ∈[0，1)，f (0)＋a ＝a －1＜0，f (2)＋a ＝a ≥0.因此，存在唯一x a ∈(0，2]，使得f (x a )＋a ＝0，即g ′(x a )＝0.当0＜x ＜x a 时，f (x )＋a ＜0，g ′(x )＜0，g (x )单调递减； 当x ＞x a 时，f (x )＋a ＞0，g ′(x )＞0，g (x )单调递增． 因此g (x )在x ＝x a 处取得最小值，最小值为g (x a )＝e xa －a （x a ＋1）x 2a ＝e xa ＋f （x a ）（x a ＋1）x 2a＝e xax a ＋2. 于是h (a )＝e xa x a ＋2，由⎝⎛⎭⎫e xx ＋2′＝（x ＋1）e x （x ＋2）2＞0，得e x x ＋2单调递增． 所以，由x a ∈(0，2]，得12＝e 00＋2＜h (a )＝e xa x a ＋2≤e 22＋2＝e 24.因为e x x ＋2单调递增，对任意的λ∈⎝⎛⎦⎤12，e 24，存在唯一的x a ∈(0，2]，a ＝－f (x a )∈[0，1)，使得h (a )＝λ，所以h (a )的值域是⎝⎛⎦⎤12，e 24.综上，当a ∈[0，1)时，g (x )有最小值h (a )，h (a )的值域是⎝⎛⎦⎤12，e 24. 5．解：(1)f ′(x )＝－2αsin 2x －(α－1)sin x . (2)当α≥1时，|f (x )|＝|αcos 2x ＋(α－1)(cos x ＋1)| ≤α＋2(α－1) ＝3α－2＝f (0)． 因此A ＝3α－2.当0＜α＜1时，将f (x )变形为f (x )＝2αcos 2x ＋(α－1)cos x －1.令g (t )＝2αt 2＋(α－1)t －1，则A 是|g (t )|在[－1，1]上的最大值，g (－1)＝α，g (1)＝3α－2，且当t ＝1－α4α时，g (t )取得极小值，极小值为g ⎝⎛⎭⎫1－α4α＝－α2＋6α＋18α.令－1＜1－α4α＜1，得α＞15.(i)当0＜α≤15时，g (t )在[－1，1]内无极值点，|g (－1)|＝α，|g (1)|＝2－3α，|g (－1)|＜|g (1)|，所以A ＝2－3α.(ii)当15＜α＜1时，由g (－1)－g (1)＝2(1－α)＞0，知g (－1)＞g (1)＞g ⎝⎛⎭⎫1－α4α.又⎪⎪⎪⎪g ⎝⎛⎭⎫1－α4α－|g (－1)|＝（1－α）（1＋7α）8α＞0，所以A ＝⎪⎪⎪⎪g ⎝⎛⎭⎫1－α4α＝α2＋6α＋18α.综上，A ＝⎩⎨⎧2－3α，0＜α≤15，α2＋6α＋18α，15＜α＜1，3α－2，α≥1.(3)证明：由(1)得|f ′(x )|＝|－2αsin 2x －(α－1)sin x |≤2α＋|α－1|. 当0＜α≤15时，|f ′(x )|≤1＋α≤2－4α＜2(2－3α)＝2A .当15＜α＜1时，A ＝α8＋18α＋34＞1，所以|f ′(x )|≤1＋α＜2A . 当α≥1时，|f ′(x )|≤3α－1≤6α－4＝2A . 所以|f ′(x )|≤2A .6．解：(1)因为f (x )＝x e a －x ＋bx ，所以f ′(x )＝(1－x )e a －x ＋b .依题设，⎩⎪⎨⎪⎧f （2）＝2e ＋2，f ′（2）＝e －1，即⎩⎪⎨⎪⎧2e a －2＋2b ＝2e ＋2，－e a －2＋b ＝e －1，解得a ＝2，b ＝e. (2)由(1)知f (x )＝x e 2－x ＋e x .由f ′(x )＝e 2－x (1－x ＋e x －1)及e 2－x ＞0知，f ′(x )与1－x ＋e x－1同号．令g (x )＝1－x ＋e x －1，则g ′(x )＝－1＋e x －1.所以当x ∈(－∞，1)时，g ′(x )＜0，g (x )在区间(－∞，1)上单调递减；当x ∈(1，＋∞)时，g ′(x )＞0，g (x )在区间(1，＋∞)上单调递增． 故g (1)＝1是g (x )在区间(－∞，＋∞)上的最小值， 从而g (x )＞0，x ∈(－∞，＋∞)． 综上可知，f ′(x )＞0，x ∈(－∞，＋∞)． 故f (x )的单调递增区间为(－∞，＋∞)．模块4 三角函数与解三角形1．解析：选D.因为cos ⎝⎛⎭⎫π4－α＝cos π4cos α＋sin π4sin α＝22(sin α＋cos α)＝35，所以sin α＋cos α＝325，所以1＋sin 2α＝1825，所以sin 2α＝－725，故选D.2．解析：选A.法一：(通性通法)由tan α＝sin αcos α＝34，cos 2α＋sin 2α＝1，得⎩⎨⎧sin α＝35，cos α＝45或⎩⎨⎧sin α＝－35，cos α＝－45，则sin 2α＝2sin αcos α＝2425，则cos 2α＋2sin 2α＝1625＋4825＝6425. 法二：(光速解法)cos 2α＋2sin 2α＝cos 2α＋4sin αcos αcos 2α＋sin 2α＝1＋4tan α1＋tan 2α＝1＋31＋916＝6425.3．解析：选C.设△ABC 中角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，由题意可得13a ＝c sin π4＝22c ，则a ＝322c .在△ABC 中，由余弦定理可得b 2＝a 2＋c 2－2ac ＝92c 2＋c 2－3c 2＝52c 2，则b ＝102c .由余弦定理，可得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝52c 2＋c 2－92c22³102c ³c＝－1010，故选C.4．解析：选A.设△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，则a ＝3，c ＝13，∠C ＝120°，由余弦定理得13＝9＋b 2＋3b ，解得b ＝1，即AC ＝1.5．解析：选D.因为y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π6，所以只需把函数y ＝sin 2x 的图象上所有的点向右平行移动π6个单位长度即可，故选D.6．解析：选B.函数y ＝2sin 2x 的图像向左平移π12个单位长度，得到的图像对应的函数表达式为y ＝2sin 2⎝⎛⎭⎫x ＋π12，令2⎝⎛⎭⎫x ＋π12＝k π＋π2(k ∈Z )，解得x ＝k π2＋π6(k ∈Z )，所以所求对称轴的方程为x ＝k π2＋π6(k ∈Z )，故选B.7．解析：选B.因为x ＝－π4为函数f (x )的零点，x ＝π4为y ＝f (x )图像的对称轴，所以π2＝kT2＋T 4(k ∈Z ，T 为周期)，得T ＝2π2k ＋1(k ∈Z )．又f (x )在⎝⎛⎭⎫π18，5π36单调，所以T ≥π6，k ≤112，又当k ＝5时，ω＝11，φ＝－π4，f (x )在⎝⎛⎭⎫π18，5π36不单调；当k ＝4时，ω＝9，φ＝π4，f (x )在⎝⎛⎭⎫π18，5π36单调，满足题意，故ω＝9，即ω的最大值为9.8．解析：函数y ＝sin x －3cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π3的图像可由函数y ＝sin x ＋3cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的图像至少向右平移2π3个单位长度得到． 答案：2π39．解析：法一：因为cos A ＝45，cos C ＝513，所以sin A ＝35，sin C ＝1213，从而sin B ＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C ＝35×513＋45×1213＝6365.由正弦定理a sin A ＝b sin B ，得b ＝a sin B sin A ＝2113. 法二： 因为cos A ＝45，cos C ＝513，所以sin A ＝35，sin C ＝1213，从而cos B ＝－cos(A ＋C )＝－cos A cos C ＋sin A sin C ＝－45×513＋35×1213＝1665.由正弦定理a sin A ＝c sin C ，得c ＝a sin C sin A ＝2013.由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，得b ＝2113.法三：因为cos A ＝45，cos C ＝513，所以sin A ＝35，sin C ＝1213，由正弦定理a sin A ＝c sin C ，得c ＝a sin C sin A ＝2013.从而b ＝a cos C ＋c cos A ＝2113.法四：如图，作BD ⊥AC 于点D ，由cos C ＝513，a ＝BC ＝1，知CD ＝513，BD ＝1213.又cos A ＝45，所以tan A ＝34，从而AD ＝1613.故b ＝AD ＋DC ＝2113.答案：211310．解：(1)由已知及正弦定理得， 2cos C (sin A cos B ＋sin B cos A )＝sin C ，2cos C sin(A ＋B )＝sin C ， 故2sin C cos C ＝sin C . 可得cos C ＝12，所以C ＝π3.(2)由已知，12ab sin C ＝332.又C ＝π3，所以ab ＝6.由已知及余弦定理得，a 2＋b 2－2ab cos C ＝7， 故a 2＋b 2＝13，从而(a ＋b )2＝25. 所以△ABC 的周长为5＋7.11．解：(1)因为cos B ＝45，0<B <π，所以sin B ＝1－cos 2B ＝1－⎝⎛⎭⎫452＝35.由正弦定理知AC sin B ＝AB sin C ，所以AB ＝AC ·sin Csin B ＝6×2235＝5 2.(2)在△ABC 中，A ＋B ＋C ＝π，所以A ＝π－(B ＋C )，于是cos A ＝－cos(B ＋C )＝－cos ⎝⎛⎭⎫B ＋π4 ＝－cos B cos π4＋sin B sin π4，又cos B ＝45，sin B ＝35，故cos A ＝－45×22＋35×22＝－210.因为0<A <π，所以sin A ＝1－cos 2A ＝7210.因此， cos ⎝⎛⎭⎫A －π6＝cos A cos π6＋sin A sin π6＝－210×32＋7210×12＝72－620. 12．解：(1)证明：由正弦定理得 sin B ＋sin C ＝2sin A cos B ， 故2sin A cos B ＝sin B ＋sin(A ＋B )＝sin B ＋sin A cos B ＋cos A sin B ，于是sin B ＝sin(A －B )． 又A ，B ∈(0，π)，故0＜A －B ＜π，所以， B ＝π－(A －B )或B ＝A －B ， 因此A ＝π(舍去)或A ＝2B ， 所以A ＝2B .(2)由S ＝a 24，得12ab sin C ＝a 24，故有sin B sin C ＝12sin 2B ＝sin B cos B ，因为sin B ≠0，所以sin C ＝cos B ， 又B ，C ∈(0，π)，所以C ＝π2±B .当B ＋C ＝π2时，A ＝π2；当C －B ＝π2时，A ＝π4.综上，A ＝π2或A ＝π4.13．解：(1)证明：由题意知2⎝⎛⎭⎫sin A cos A ＋sin B cos B ＝sin A cos A cos B ＋sin B cos A cos B ， 化简得2(sin A cos B ＋sin B cos A )＝sin A ＋sin B ， 即2sin(A ＋B )＝sin A ＋sin B ， 因为A ＋B ＋C ＝π.所以sin(A ＋B )＝sin(π－C )＝sin C . 从而sin A ＋sin B ＝2sin C . 由正弦定理得a ＋b ＝2c . (2)由(1)知c ＝a ＋b2，所以cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝a 2＋b 2－⎝⎛⎭⎫a ＋b 222ab＝38⎝⎛⎭⎫a b ＋b a －14≥12， 当且仅当a ＝b 时，等号成立． 故cos C 的最小值为12.模块5 平面向量、数系的扩充与复数的引入1．解析：选B.因为(1＋i)x ＝x ＋x i ＝1＋y i ，所以x ＝y ＝1，|x ＋y i|＝|1＋i|＝ 12＋12＝2，选B.2．解析：选A.由已知可得复数z 在复平面内对应的点的坐标为(m ＋3，m －1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧m ＋3＞0，m －1＜0，解得－3＜m ＜1，故选A.3．解析：选D.由向量的坐标运算得a ＋b ＝(4，m －2)，由(a ＋b )⊥b ，得(a ＋b )·b ＝12－2(m －2)＝0，解得m ＝8，故选D.4．解析：选C.4i z z －1＝4i （1＋2i ）（1－2i ）－1＝i.5．解析：选B.由n ⊥(t m ＋n )可得n ·(t m ＋n )＝0， 即t m·n ＋n 2＝0，所以t ＝－n 2m·n ＝－n 2|m |·|n |cos 〈m ，n 〉＝－|n |2|m |³|n |³13＝－3³|n ||m |＝－3³43＝－4.故选B.6．解析：选A.由两向量的夹角公式，可得cos ∠ABC ＝BA →²BC →|BA →|²|BC →|＝12³32＋32³121³1＝32，则∠ABC ＝30°.7．解析：由|a ＋b |2＝|a |2＋|b |2得a ⊥b ，则m ＋2＝0，所以m ＝－2. 答案：2模块6 数 列1．解析：选C.设等差数列{a n }的公差为d ，因为{a n }为等差数列，且S 9＝9a 5＝27，所以a 5＝3.又a 10＝8，解得5d ＝a 10－a 5＝5，所以d ＝1，所以a 100＝a 5＋95d ＝98，选C.2．解析：选C.由题意得，a n ＝a 1q n －1(a 1>0)，a 2n －1＋a 2n ＝a 1q 2n －2＋a 1q 2n －1＝a 1q 2n －2(1＋q )．若q <0，因为1＋q 的符号不确定，所以无法判断a 2n －1＋a 2n 的符号；反之，若a 2n －1＋a 2n <0，即a 1q 2n －2(1＋q )<0，可得q <－1<0.故“q <0”是“对任意的正整数n ，a 2n －1＋a 2n <0”的必要而不充分条件，故选C.3．解析：设{a n }的公比为q ，由a 1＋a 3＝10，a 2＋a 4＝5得a 1＝8，q ＝12，则a 2＝4，a 3＝2，a 4＝1，a 5＝12，所以a 1a 2…a n ≤a 1a 2a 3a 4＝64.答案：644．解析：由于⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 2＝4a 2＝2a 1＋1，解得a 1＝1.由a n ＋1＝S n ＋1－S n ＝2S n ＋1，得S n ＋1＝3S n ＋1，所以S n ＋1＋12＝3⎝⎛⎭⎫S n ＋12，所以{S n ＋12}是以32为首项，3为公比的等比数列，所以S n ＋12＝32³3n －1，即S n ＝3n －12，所以S 5＝121.答案：1 1215．解：(1)设{a n }的公差为d ，据已知有7＋21d ＝28，解得d ＝1. 所以{a n }的通项公式为a n ＝n .b 1＝[lg 1]＝0，b 11＝[lg 11]＝1，b 101＝[lg 101]＝2.(2)因为b n＝⎩⎪⎨⎪⎧0，1≤n ＜10，1，10≤n ＜100，2，100≤n ＜1 000，3，n ＝1 000，所以数列{b n }的前1 000项和为1³90＋2³900＋3³1＝1 893. 6．解：(1)由题意得a 1＝S 1＝1＋λa 1，故λ≠1，a 1＝11－λ，a 1≠0.由S n ＝1＋λa n ，S n ＋1＝1＋λa n ＋1得a n ＋1＝λa n ＋1－λa n ，即a n ＋1(λ－1)＝λa n .由a 1≠0，λ≠0且λ≠1得a n ≠0，所以a n ＋1a n ＝λλ－1.因此{a n }是首项为11－λ，公比为λλ－1的等比数列，于是a n ＝11－λ⎝⎛⎭⎫λλ－1n －1.(2)由(1)得S n ＝1－⎝⎛⎭⎫λλ－1n.由S 5＝3132得1－⎝⎛⎭⎫λλ－15＝3132，即⎝⎛⎭⎫λλ－15＝132.解得λ＝－1.7．解：(1)由已知，S n ＋1＝qS n ＋1，S n ＋2＝qS n ＋1＋1，两式相减得到a n ＋2＝qa n ＋1，n ≥1. 又由S 2＝qS 1＋1得到a 2＝qa 1， 故a n ＋1＝qa n 对所有n ≥1都成立．所以，数列{a n }是首项为1，公比为q 的等比数列． 从而a n ＝q n －1.由2a 2，a 3，a 2＋2成等差数列，可得2a 3＝3a 2＋2，得2q 2＝3q ＋2，则(2q ＋1)(q －2)＝0， 由已知，q >0，故q ＝2. 所以a n ＝2n －1(n ∈N *)．(2)证明：由(1)可知，a n ＝q n －1.所以双曲线x 2－y 2a 2n＝1的离心率e n ＝1＋a 2n ＝1＋q 2（n －1）. 由e 2＝1＋q 2＝53得q ＝43.因为1＋q 2(k－1)>q 2(k－1)，所以1＋q 2（k －1）>q k －1(k ∈N *)．于是e 1＋e 2＋…＋e n >1＋q ＋…＋qn －1＝q n －1q －1，。
2012-2016年立体几何高考试题考点分析及备考建议
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2016 【2016高考新课标1,7】如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中 两条互相垂直的半径.若该几何体的体积是（ ）
本题考察空间几何体的三视图，意在考察考生的识图 能力和空间想象能力 [来源:学科网 ZXXK]
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2014年
本题主要考察空间线面，线线垂直的转化以及三棱 柱高的求解，意在考察考生的空间想象能力及运算求 解能力
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2015年
【2015 高考新课标 1，文 6】《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，
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（2）一般采用分步设问的方式，常见的两个考查热点：一 是定性分析，二是定量分析。
定性分析，平行与垂直这两种关系的证明与应用 是核心，垂直关系更是重中之重；山东省最热的考点
（A）1
（B） 2
（C） 4
（D） 8
【解析】由正视图和俯视图知， 该几何体是半球
与半个圆柱的组合体， 圆柱的半径与球的半径
都为 r，圆柱的高为 2r，其表面积为 1 4 r 2 r 2r r 2 2r 2r = 5 r 2 4r 2 =16 +
2
20 ，解得 r=2，故选 B.
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2013年
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2013年
本题以放倒的棱柱为载体主要考查空间面面垂直 的逻辑证明，空间几何体的体积等，考查了空间想 象能力以及基本的推理证明能力.
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2014年
【2014 全国 1，文 8】如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画 出的事一个几何体的三视图，则这个几何体是（ ）【答案】B A.三棱锥 B.三棱柱 C.四棱锥 D.四棱柱
2012高考真题分类汇编：立体几何
2012高考真题分类汇编：立体几何一、选择题1、【2012高考真题北京理7】某三棱锥的三视图如图所示，该三梭锥的表面积是（ ）A. 28+65B. 30+65C. 56+ 125D. 60+1252、【2012高考真题浙江理10】已知矩形ABCD ，AB=1，BC=2。
将△沿矩形的对角线BD 所在的直线进行翻折，在翻折过程中。
A.存在某个位置，使得直线AC 与直线BD 垂直.B.存在某个位置，使得直线AB 与直线CD 垂直.C.存在某个位置，使得直线AD 与直线BC 垂直.D.对任意位置，三对直线“AC 与BD ”，“AB 与CD ”，“AD 与BC ”均不垂直3、【2012高考真题新课标理7】如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（ ）()A 6 ()B 9 ()C 12 ()D 184、【2012高考真题新课标理11】已知三棱锥S ABC -的所有顶点都在球O 的求面上，ABC ∆是边长为1的正三角形，SC 为球O 的直径，且2SC =；则此棱锥的体积为（ ）()A 6 ()B 6 ()C 3 ()D 25、【2012高考真题全国卷理4】已知正四棱柱ABCD- A 1B 1C 1D 1中 ，AB=2，CC 1=为CC 1的中点，则直线AC 1与平面BED 的距离为6、【2012高考真题重庆理9】设四面体的六条棱的长分别为1，1，1，1a ，且长为a 的棱与长为a 的取值范围是（A ） （B ） （C ） （D ）(17、【2012高考真题福建理4】一个几何体的三视图形状都相同、大小均相等，那么这个几何体不可以是A.球B.三棱柱C.正方形D.圆柱8、【2012高考真题广东理6】某几何体的三视图如图所示，它的体积为A ．12π B.45π C.57π D.81π9、【2012高考真题湖北理4】已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A ．8π3 B ．3π C ．10π3D ．6π10、【2012高考真题湖南理3】某几何体的正视图和侧视图均如图1所示，则该几何体的俯视图不可能是11、【2012高考真题陕西理5】如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱111ABC A B C -，12CA CC CB ==，则直线1BC 与直线1AB 夹角的余弦值为（ ）A. 53 C. 5 D. 3512、【2012高考真题四川理10】如图，半径为R 的半球O 的底面圆O 在平面α内，过点O 作平面α的垂线交半球面于点A ，过圆O 的直径CD 作平面α成45角的平面与半球面相交，所得交线上到平面α的距离最大的点为B ，该交线上的一点P 满足60BOP ∠=，则A 、P 两点间的球面距离为（ ）A 、arccos4R、4R π C 、arccos 3R 、3R π13、【2012高考真题四川理6】下列命题正确的是（ ）A 、若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行B 、若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行C 、若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行D 、若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行二、填空题14、【2012高考真题安徽理12】某几何体的三视图如图所示，该几何体的表面积是_____．15、【2012高考真题四川理14】如图，在正方体1111ABCD A BC D -中，M 、N 分别是CD 、1CC 的中点，则异面直线1A M 与DN 所成角的大小是____________。
2012高考试题分类汇编―立体几何(文).
2012高考试题分类汇编—立体几何一、小题1.【2012高考浙江文5】设l 是直线,a ,β是两个不同的平面A. 若l ∥a ,l ∥β,则a ∥βB. 若l ∥a ,l ⊥β,则a ⊥βC. 若a ⊥β,l ⊥a ,则l ⊥βD. 若a ⊥β, l ∥a ,则l ⊥β2.【2012高考四川文6】下列命题正确的是(A 、若两条直线和同一个平面所成的角相等,则这两条直线平行B 、若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等,则这两个平面平行C 、若一条直线平行于两个相交平面,则这条直线与这两个平面的交线平行D 、若两个平面都垂直于第三个平面,则这两个平面平行3.【2012高考安徽文15】若四面体ABCD 的三组对棱分别相等,即AB CD =,AC BD =,AD BC =,则______(写出所有正确结论编号。
①四面体ABCD 每组对棱相互垂直②四面体ABCD 每个面的面积相等③从四面体ABCD 每个顶点出发的三条棱两两夹角之和大于90。
而小于180。
④连接四面体ABCD 每组对棱中点的线段互垂直平分⑤从四面体ABCD 每个顶点出发的三条棱的长可作为一个三角形的三边长二、大题1.【2012高考全国文19】(本小题满分12分如图,四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 为菱形,PA ⊥底面ABCD,AC =2PA =,E 是PC 上的一点,2PE EC =。
(Ⅰ证明:PC ⊥平面BED ;(Ⅱ设二面角A PB C --为90 ,求PD 与平面PBC 所成角的大小。
D2.【2012高考安徽文19】(本小题满分 12分如图,长方体1111D C B A ABCD -中,底面1111D C B A 是正方形,O 是BD 的中点,E 是棱1AA 上任意一点。
(Ⅰ证明:BD 1EC ⊥ ;(Ⅱ如果AB =2,AE =2,1EC OE ⊥,,求1AA 的长。
3.【2012高考四川文19】(本小题满分12分如图,在三棱锥P ABC -中,90APB ∠= ,60PAB ∠= ,AB BC CA ==,点P 在平面ABC 内的射影O 在AB 上。
2016年高考真题(理科数学)分类汇编与详解-高清-亲自整理
2016年高考理科数学真题+模拟新题分类汇编：H单元 解析几何
H 单元 解析几何H1 直线的倾斜角与斜率、直线的方程 16．H1、H4[2016·全国卷Ⅲ] 已知直线l ：mx ＋y ＋3m －3＝0与圆x 2＋y 2＝12交于A ，B 两点，过A ，B 分别作l 的垂线与x 轴交于C ，D 两点．若|AB |＝23，则|CD |＝________．16．4 [详细分析] 直线l ：m (x ＋3)＋y －3＝0过定点(－3，3)，又|AB |＝23，∴|3m －3|1＋m 22＋(3)2＝12，解得m ＝－33.直线方程中，当x ＝0时，y ＝2 3.又(－3，3)，(0，23)两点都在圆上，∴直线l 与圆的两交点为A (－3，3)，B (0，23)．设过点A (－3，3)且与直线l 垂直的直线为3x ＋y ＋c 1＝0，将(－3，3)代入直线方程3x ＋y ＋c 1＝0，得c 1＝2 3.令y ＝0，得x C ＝－2，同理得过点B 且与l 垂直的直线与x 轴交点的横坐标为x D ＝2，∴|CD |＝4.H2 两直线的位置关系与点到直线的距离12．E5、H2[2016·江苏卷] 已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋4≥0，2x ＋y －2≥0，3x －y －3≤0，则x 2＋y 2的取值范围是________．12.45，13 [详细分析] 可行域如图中阴影部分所示，x 2＋y 2为可行域中任一点(x ，y )到原点(0，0)的距离的平方．由图可知，x 2＋y 2的最小值为原点到直线AC 的距离的平方，即|－2|52＝45，最大值为OB 2＝22＋32＝13.H3 圆的方程 3．H2[2016·上海卷] 已知平行直线l 1：2x ＋y －1＝0，l 2：2x ＋y ＋1＝0，则l 1与l 2的距离是________．3.255 [详细分析] 由两平行线间的距离公式得d ＝|－1－1|22＋12＝255.18．H3、H4[2016·江苏卷] 如图1-6，在平面直角坐标系xOy 中，已知以M 为圆心的圆M ：x 2＋y 2－12x －14y ＋60＝0及其上一点A (2，4)．(1)设圆N 与x 轴相切，与圆M 外切，且圆心N 在直线x ＝6上，求圆N 的标准方程；(2)设平行于OA 的直线l 与圆M 相交于B ，C 两点，且BC ＝OA ，求直线l 的方程；(3)设点T (t ，0)满足：存在圆M 上的两点P 和Q ，使得TA →＋TP →＝TQ →，求实数t 的取值范围．18．解：圆M 的标准方程为(x －6)2＋(y －7)2＝25，所以圆心M (6，7)，半径为5. (1)由圆心N 在直线x ＝6上，可设N (6，y 0)． 因为圆N 与x 轴相切，与圆M 外切，所以0<y 0<7，于是圆N 的半径为y 0，从而7－y 0＝5＋y 0，解得y 0＝1. 因此，圆N 的标准方程为(x －6)2＋(y －1)2＝1.(2)因为直线l ∥OA ，所以直线l 的斜率为4－02－0＝2.设直线l 的方程为y ＝2x ＋m ，即2x －y ＋m ＝0， 则圆心M 到直线l 的距离 d ＝|2×6－7＋m |5＝|m ＋5|5.因为BC ＝OA ＝22＋42＝25，而MC 2＝d 2＋BC22，所以25＝（m ＋5）25＋5，解得m ＝5或m ＝－15.故直线l 的方程为2x －y ＋5＝0或2x －y －15＝0.(3)设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)．因为A (2，4)，T (t ，0)，TA →＋TP →＝TQ →，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝x 1＋2－t ，y 2＝y 1＋4.①因为点Q 在圆M 上，所以(x 2－6)2＋(y 2－7)2＝25.② 将①代入②，得(x 1－t －4)2＋(y 1－3)2＝25.于是点P (x 1，y 1)既在圆M 上，又在圆[x －(t ＋4)]2＋(y －3)2＝25上， 从而圆(x －6)2＋(y －7)2＝25与圆[x －(t ＋4)]2＋(y －3)2＝25有公共点，所以5－5≤[（t ＋4）－6]2＋（3－7）2≤5＋5，解得2－221≤t ≤2＋221. 因此，实数t 的取值范围是[2－221，2＋221]．H4 直线与圆、圆与圆的位置关系 16．H1、H4[2016·全国卷Ⅲ] 已知直线l ：mx ＋y ＋3m －3＝0与圆x 2＋y 2＝12交于A ，B 两点，过A ，B 分别作l 的垂线与x 轴交于C ，D 两点．若|AB |＝23，则|CD |＝________．16．4 [详细分析] 直线l ：m (x ＋3)＋y －3＝0过定点(－3，3)，又|AB |＝23，∴|3m －3|1＋m 22＋(3)2＝12，解得m ＝－33.直线方程中，当x ＝0时，y ＝2 3.又(－3，3)，(0，23)两点都在圆上，∴直线l 与圆的两交点为A (－3，3)，B (0，23)．设过点A (－3，3)且与直线l 垂直的直线为3x ＋y ＋c 1＝0，将(－3，3)代入直线方程3x ＋y ＋c 1＝0，得c 1＝2 3.令y ＝0，得x C ＝－2，同理得过点B 且与l 垂直的直线与x 轴交点的横坐标为x D ＝2，∴|CD |＝4.4．H4[2016·全国卷Ⅱ] 圆x 2＋y 2－2x －8y ＋13＝0的圆心到直线ax ＋y －1＝0的距离为1，则a ＝( )A ．－43B ．－34C. 3 D ．24．A [详细分析] 圆x 2＋y 2－2x －8y ＋13＝0化为标准方程为(x －1)2＋(y －4)2＝4，故圆心为(1，4)，圆心到直线的距离d ＝|a ＋4－1|a 2＋1＝1，解得a ＝－43.12．H4[2016·天津卷] 如图1-3，AB 是圆的直径，弦CD 与AB 相交于点E ，BE ＝2AE ＝2，BD ＝ED ，则线段CE 的长为________．图1-312.233 [详细分析] 设圆的圆心为O ，连接OD ，可得BO ＝32，△BOD ∽△BDE ，∴BD 2＝BO ·BE ＝3，∴BD ＝DE ＝ 3.连接AC ，易知△AEC ∽△DEB ，∴AE DE ＝CE BE ，即13＝EC2，∴EC＝233.18．H3、H4[2016·江苏卷] 如图1-6，在平面直角坐标系xOy 中，已知以M 为圆心的圆M ：x 2＋y 2－12x －14y ＋60＝0及其上一点A (2，4)．(1)设圆N 与x 轴相切，与圆M 外切，且圆心N 在直线x ＝6上，求圆N 的标准方程； (2)设平行于OA 的直线l 与圆M 相交于B ，C 两点，且BC ＝OA ，求直线l 的方程；(3)设点T (t ，0)满足：存在圆M 上的两点P 和Q ，使得TA →＋TP →＝TQ →，求实数t 的取值范围．18．解：圆M 的标准方程为(x －6)2＋(y －7)2＝25，所以圆心M (6，7)，半径为5. (1)由圆心N 在直线x ＝6上，可设N (6，y 0)． 因为圆N 与x 轴相切，与圆M 外切，所以0<y 0<7，于是圆N 的半径为y 0，从而7－y 0＝5＋y 0，解得y 0＝1. 因此，圆N 的标准方程为(x －6)2＋(y －1)2＝1.(2)因为直线l ∥OA ，所以直线l 的斜率为4－02－0＝2.设直线l 的方程为y ＝2x ＋m ，即2x －y ＋m ＝0， 则圆心M 到直线l 的距离 d ＝|2×6－7＋m |5＝|m ＋5|5.因为BC ＝OA ＝22＋42＝25， 而MC 2＝d 2＋BC22，所以25＝（m ＋5）25＋5，解得m ＝5或m ＝－15.故直线l 的方程为2x －y ＋5＝0或2x －y －15＝0.(3)设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)．因为A (2，4)，T (t ，0)，TA →＋TP →＝TQ →，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝x 1＋2－t ，y 2＝y 1＋4.①因为点Q 在圆M 上，所以(x 2－6)2＋(y 2－7)2＝25.② 将①代入②，得(x 1－t －4)2＋(y 1－3)2＝25.于是点P (x 1，y 1)既在圆M 上，又在圆[x －(t ＋4)]2＋(y －3)2＝25上， 从而圆(x －6)2＋(y －7)2＝25与圆[x －(t ＋4)]2＋(y －3)2＝25有公共点，所以5－5≤[（t ＋4）－6]2＋（3－7）2≤5＋5，解得2－221≤t ≤2＋221. 因此，实数t 的取值范围是[2－221，2＋221]．H5 椭圆及其几何性质10．H5，H8[2016·江苏卷] 如图1-2，在平面直角坐标系xOy 中，F 是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右焦点，直线y ＝b2与椭圆交于B ，C 两点，且∠BFC ＝90°，则该椭圆的离心率是________．10.63 [详细分析] 方法一：由⎩⎨⎧y ＝b2，x 2a 2＋y2b 2＝1，可得B (－32a ，b 2)，C （32a ，b 2）.又由F (c ，0)，得FB →＝(－32a －c ，b 2)，FC →＝(32a －c ，b 2).又∠BFC ＝90°，所以FB →·FC →＝0，化简可得2a 2＝3c 2，即e 2＝c 2a 2＝23，故e ＝63.方法二：同方法一可得B (－32a ，b 2)，C (32a ，b2)，所以BC ＝3a ，由椭圆的焦半径公式得BF ＝a －ex B ＝a ＋e ·32a ，CF ＝a －ex C ＝a －e ·32a ，又∠BFC ＝90°，所以BF 2＋CF 2＝BC 2，即(a ＋e ·32a )2＋(a －e ·32a )2＝(3a )2，式子两边同除以a 2可得e 2＝23，即e ＝63.11．H5[2016·全国卷Ⅲ] 已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左焦点，A ，B 分别为C 的左、右顶点，P 为C 上一点，且PF ⊥x 轴．过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E .若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为( )A.13B.12C.23D.3411．A [详细分析] 设M (－c ，y 0)，则AM 所在直线方程为y ＝y 0－c ＋a(x ＋a )，令x ＝0，得E （0，ay 0－c ＋a ）.BM 所在直线方程为y ＝y 0－c －a (x －a )，令x ＝0，得y ＝－ay 0－c －a.由题意得－ay 0－c －a ＝12×ay 0－c ＋a，解得a ＝3c ，故离心率e ＝c a ＝13.19．H5，H8[2016·北京卷] 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，A (a ，0)，B (0，b )，O (0，0)，△OAB 的面积为1.(1)求椭圆C 的方程；(2)设P 是椭圆C 上一点，直线P A 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N ，求证：|AN |·|BM |为定值．19．解：(1)由题意得⎩⎨⎧c a ＝32，12ab ＝1，a 2＝b 2＋c 2，解得a ＝2，b ＝1.所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)证明：由(1)知，A (2，0)，B (0，1)．设P (x 0，y 0)，则x 20＋4y 20＝4.当x 0≠0时，直线P A 的方程为y ＝y 0x 0－2(x －2)．令x ＝0，得y M ＝－2y 0x 0－2，从而|BM |＝|1－y M |＝1＋2y 0x 0－2.直线PB 的方程为y ＝y 0－1x 0x ＋1.令y ＝0，得x N ＝－x 0y 0－1，从而|AN |＝|2－x N |＝2＋x 0y 0－1.所以|AN |·|BM |＝2＋x 0y 0－1·1＋2y 0x 0－2＝x 20＋4y 20＋4x 0y 0－4x 0－8y 0＋4x 0y 0－x 0－2y 0＋2＝4x 0y 0－4x 0－8y 0＋8x 0y 0－x 0－2y 0＋2＝4.当x 0＝0时，y 0＝－1，|BM |＝2，|AN |＝2， 所以|AN |·|BM |＝4. 综上，|AN |·|BM |为定值．20．H5[2016·四川卷] 已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的三个顶点，直线l ：y ＝－x ＋3与椭圆E 有且只有一个公共点T .(1)求椭圆E 的方程及点T 的坐标；(2)设O 是坐标原点，直线l ′平行于OT ，与椭圆E 交于不同的两点A ，B ，且与直线l 交于点P ，证明：存在常数λ，使得|PT |2＝λ|P A |·|PB |，并求λ的值．20．解：(1)由已知得，a ＝2b ，则椭圆E 的方程为x 22b 2＋y 2b 2＝1.由方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 22b 2＋y 2b 2＝1，y ＝－x ＋3，得3x 2－12x ＋(18－2b 2)＝0.①方程①的判别式为Δ＝24(b 2－3)，由Δ＝0，得b 2＝3，此时方程①的解为x ＝2，所以椭圆E 的方程为x 26＋y 23＝1，点T 的坐标为(2，1)．(2)证明：由已知可设直线l ′的方程为y ＝12x ＋m (m ≠0)，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝12x ＋m ，y ＝－x ＋3，可得⎩⎨⎧x ＝2－2m3，y ＝1＋2m 3，所以P 点坐标为(2－2m 3，1＋2m 3)，|PT |2＝89m 2.设点A ，B 的坐标分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由方程组⎩⎨⎧x 26＋y 23＝1，y ＝12x ＋m ，可得3x 2＋4mx ＋(4m 2－12)＝0.②方程②的判别式为Δ＝16(9－2m 2)，由Δ>0，解得－322<m <322.由②得x 1＋x 2＝－4m3，x 1x 2＝4m 2－123，所以|P A |＝2－2m 3－x 12＋1＋2m 3－y 12＝52|2－2m3－x 1|，同理|PB |＝52|2－2m3－x 2 | ． 所以|P A |·|PB |＝54｜（2－2m 3－x 1）（2－2m 3－x 2）｜＝54｜（2－2m 3）2－（2－2m3）(x 1＋x 2)＋x 1x 2｜＝54｜（2－2m 3）2－(2－2m 3)(－4m 3)＋4m 2－123｜＝109m 2.故存在常数λ＝45，使得|PT |2＝λ|P A |·|PB |.21．H5，H7，H10[2016·山东卷] 平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率是32，抛物线E ：x 2＝2y 的焦点F 是C 的一个顶点． (1)求椭圆C 的方程．(2)设P 是E 上的动点，且位于第一象限，E 在点P 处的切线l 与C 交于不同的两点A ，B ，线段AB 的中点为D ，直线OD 与过P 且垂直于x 轴的直线交于点M .(i)求证：点M 在定直线上；(ii)直线l 与y 轴交于点G ，记△PFG 的面积为S 1，△PDM 的面积为S 2，求S 1S 2的最大值及取得最大值时点P 的坐标．图1-521．解：(1)由题意知a 2－b 2a ＝32，可得a 2＝4b 2.因为抛物线E 的焦点F （0，12），所以b ＝12，a ＝1，所以椭圆C 的方程为x 2＋4y 2＝1. (2)(i)证明：设P （m ，m 22）(m ＞0)，由x 2＝2y ，可得y ′＝x ， 所以直线l 的斜率为m ，因此直线l 的方程为y －m 22＝m (x －m )，即y ＝mx －m 22.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，D (x 0，y 0)， 联立方程⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4y 2＝1，y ＝mx －m 22，得(4m 2＋1)x 2－4m 3x ＋m 4－1＝0. 由Δ＞0，得0＜m ＜2＋5(或0＜m 2＜2＋5)(*)， 且x 1＋x 2＝4m 34m 2＋1.因此x 0＝2m 34m 2＋1，将其代入y ＝mx －m 22，得y 0＝－m 22（4m 2＋1），因此y 0x 0＝－14m，所以直线OD 的方程为y ＝－14mx . 联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－14m x ，x ＝m ，得点M 的纵坐标y M ＝－14，所以点M 在定直线y ＝－14上．(ii)由(i)知直线l 的方程为y ＝mx －m 22.令x ＝0，得y ＝－m 22，所以G （0，－m 22）.又P （m ，m 22），F （0，12），D （2m 34m 2＋1，－m 22（4m 2＋1）），所以S 1＝12·|GF |·m ＝（m 2＋1）m 4，S 2＝12·|PM |·|m －x 0|＝12×2m 2＋14×2m 3＋m 4m 2＋1＝m （2m 2＋1）28（4m 2＋1），所以S 1S 2＝2（4m 2＋1）（m 2＋1）（2m 2＋1）2.设t ＝2m 2＋1(t >1)，则S 1S 2＝（2t －1）（t ＋1）t 2＝2t 2＋t －1t 2＝－1t 2＋1t＋2， 当1t ＝12，即t ＝2时，S 1S 2取到最大值94， 此时m ＝22，满足(*)式，所以P 点坐标为（22，14）. 因此S 1S 2的最大值为94，此时点P 的坐标为（22，14）.19．H5、H8[2016·天津卷] 设椭圆x 2a 2＋y 23＝1(a >3)的右焦点为F ，右顶点为A ，已知1|OF |＋1|OA |＝3e|F A |，其中O 为原点，e 为椭圆的离心率． (1)求椭圆的方程；(2)设过点A 的直线l 与椭圆交于点B (B 不在x 轴上)，垂直于l 的直线与l 交于点M ，与y 轴交于点H ，若BF ⊥HF ，且∠MOA ≤∠MAO ，求直线l 的斜率的取值范围．19．解：(1)设F (c ，0)，由1|OF |＋1|OA |＝3e |F A |，即1c ＋1a ＝3ca （a －c ），可得a 2－c 2＝3c 2.又a 2－c 2＝b 2＝3，所以c 2＝1，因此a 2＝4. 所以椭圆的方程为x 24＋y 23＝1.(2)设直线l 的斜率为k (k ≠0)，则直线l 的方程为y ＝k (x －2)．设B (x B ，y B )，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1，y ＝k （x －2）消去y ，整理得(4k 2＋3)x 2－16k 2x ＋16k 2－12＝0，解得x ＝2或x ＝8k 2－64k 2＋3.由题意得x B ＝8k 2－64k 2＋3，从而y B ＝－12k4k 2＋3.由(1)知，F (1，0)，设H (0，y H )，有FH →＝(－1，y H )，BF →＝9－4k24k 2＋3，12k 4k 2＋3.由BF ⊥HF ，得BF →·FH →＝0，所以4k 2－94k 2＋3＋12ky H 4k 2＋3＝0，解得y H ＝9－4k 212k ，因此直线MH 的方程为y ＝－1k x＋9－4k 212k.设M (x M ，y M )，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －2），y ＝－1k x ＋9－4k 212k ，得x M ＝20k 2＋912（k 2＋1）.在△MAO 中，∠MOA ≤∠MAO ⇔|MA |≤|MO |，即(x M －2)2＋y 2M ≤x 2M ＋y 2M ，化简得x M ≥1，即20k 2＋912（k 2＋1）≥1，解得k ≤－64或k ≥64， 所以直线l 的斜率的取值范围为（－∞，－64]∪[64，＋∞）. 19．H5[2016·浙江卷] 如图1-5，设椭圆x 2a2＋y 2＝1(a >1)．(1)求直线y ＝kx ＋1被椭圆截得的线段长(用a ，k 表示)； (2)若任意以点A (0，1)求椭圆离心率的取值范围．图1-519．解：(1)设直线y ＝kx ＋1被椭圆截得的线段为AM ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 2a 2＋y 2＝1，得(1＋a 2k 2)x 2＋2a 2kx ＝0，故x 1＝0，x 2＝－2a 2k1＋a 2k 2.因此|AP |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝2a 2|k |1＋a 2k2·1＋k 2. (2)假设圆与椭圆的公共点有4个，由对称性可设y 轴左侧的椭圆上有两个不同的点P ，Q ，满足|AP |＝|AQ |.记直线AΡ，AQ 的斜率分别为k 1，k 2，且k 1，k 2>0，k 1≠k 2.由(1)知，|AP |＝2a 2|k 1|1＋k 211＋a 2k 21，|AQ |＝2a 2|k 2|1＋k 221＋a 2k 22，故2a 2|k 1|1＋k 211＋a 2k 21＝2a 2|k 2|1＋k 221＋a 2k 22， 所以(k 21－k 22)[1＋k 21＋k 22＋a 2(2－a 2)k 21k 22]＝0. 由于k 1≠k 2，k 1，k 2>0得1＋k 21＋k 22＋a 2(2－a 2)k 21k 22＝0，因此(1k 21＋1)(1k 22＋1)＝1＋a 2(a 2－2)，①因为①式关于k 1，k 2的方程有解的充要条件是 1＋a 2(a 2－2)>1， 所以a > 2.因此，任意以点A (0，1)为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点的充要条件为1<a ≤2，由e ＝c a ＝a 2－1a 得，所求离心率的取值范围为0<e ≤22.H6 双曲线及其几何性质13．H6[2016·北京卷] 双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线为正方形OABC 的边OA ，OC 所在的直线，点B 为该双曲线的焦点．若正方形OABC 的边长为2，则a ＝________．13．2 [详细分析] 不妨令B 为双曲线的右焦点，A 在第一象限，如图所示．因为四边形OABC 为正方形，|OA |＝2，所以c ＝2 2.因为直线OA 是双曲线的一条渐近线，∠AOB ＝π4，所以ba ＝tan π4＝1，即a ＝b ，又a 2＋b 2＝c 2＝8，所以a ＝2.3．H6[2016·江苏卷] 在平面直角坐标系xOy 中，双曲线x 27－y 23＝1的焦距是________．3．210 [详细分析] 由题目所给方程可得a 2＝7，b 2＝3，故c 2＝10，所以焦距为210.5．H6[2016·全国卷Ⅰ] 已知方程x 2m 2＋n －y 23m 2－n ＝1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n 的取值范围是( )A ．(－1，3)B ．(－1，3)C ．(0，3)D ．(0，3)5．A [详细分析] 若已知方程表示双曲线，则(m 2＋n )·(3m 2－n )>0，解得－m 2<n <3m 2.又4＝4m 2，所以m 2＝1，所以－1<n <3.11．H6[2016·全国卷Ⅱ] 已知F 1，F 2是双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1的左、右焦点，点M 在E上，MF 1与x 轴垂直，sin ∠MF 2F 1＝13，则E 的离心率为( )A. 2B.32C. 3 D ．211．A [详细分析] 易知离心率e ＝|F 1F 2||MF 2|－|MF 1|，由正弦定理得e ＝|F 1F 2||MF 2|－|MF 1|＝sin ∠F 1MF 2sin ∠MF 1F 2－sin ∠MF 2F 1＝2231－13＝ 2.13．H6[2016·山东卷] 已知双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)．若矩形ABCD 的四个顶点在E 上，AB ，CD 的中点为E 的两个焦点，且2|AB |＝3|BC |，则E 的离心率是________．13．2 [详细分析] 将x ＝－c 代入x 2a 2－y 2b 2＝1，得y ＝±b 2a .∵2|AB |＝3|BC |，∴2×2b 2a ＝3×2c ，整理得2c 2－2a 2－3ac ＝0，即2e 2－3e －2＝0，解得e ＝2或e ＝－12(舍去)．6．H6[2016·天津卷] 已知双曲线x 24－y 2b 2＝1(b >0)，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A ，B ，C ，D 四点，四边形ABCD 的面积为2b ，则双曲线的方程为( )A.x 24－3y 24＝1B.x 24－4y 23＝1 C.x 24－y 24＝1 D.x 24－y 212＝1 6．D [详细分析] 由题意及双曲线的对称性画出示意图如图所示，渐近线OB ：y ＝b 2x .设Bx 0，b 2x 0，则12·x 0·b 2x 0＝2b 8，∴x 0＝1，∴B (1，b 2)，∴12＋b 24＝22，∴b 2＝12，∴双曲线方程为x 24－y 212＝1.21．H6，H8，F3[2016·上海卷] 双曲线x 2－y 2b2＝1(b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，直线l 过F 2且与双曲线交于A ，B 两点．(1)若l 的倾斜角为π2，△F 1AB 是等边三角形，求双曲线的渐近线方程；(2)设b ＝3，若l 的斜率存在，且(F 1A →＋F 1B →)·AB →＝0，求l 的斜率．21．解：(1)设A (x A ，y A )，F 2(c ，0)，c ＝1＋b 2，由题意，y 2A ＝b 2(c 2－1)＝b 4， 因为△F 1AB 是等边三角形，所以2c ＝3|y A |， 即4(1＋b 2)＝3b 4，解得b 2＝2.故双曲线的渐近线方程为y ＝±2x . (2)由已知，F 1(－2，0)，F 2(2，0)．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线l ：y ＝k (x －2)，显然k ≠0.由⎩⎪⎨⎪⎧x 2－y 23＝1，y ＝k （x －2），得(k 2－3)x 2－4k 2x ＋4k 2＋3＝0.因为l 与双曲线交于两点，所以k 2－3≠0，且Δ＝36(1＋k 2)>0. 设AB 的中点为M (x M ，y M )．由(F 1A →＋F 1B →)·AB →＝0，即F 1M →·AB →＝0，知F 1M ⊥AB ，故kF 1M ·k ＝－1. 又x M ＝x 1＋x 22＝2k 2k 2－3，y M ＝k (x M －2)＝6k k 2－3，所以kF 1M ＝3k 2k 2－3，所以3k 2k 2－3·k ＝－1，得k 2＝35，故l 的斜率为±155.H7 抛物线及其几何性质 10．H7[2016·全国卷Ⅰ] 以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A ，B 两点，交C 的准线于D ，E 两点，已知|AB |＝42，|DE |＝25，则C 的焦点到准线的距离为( ) A ．2 B ．4 C ．6 D ．8 10．B [详细分析] 设抛物线方程为y 2＝2px (p >0)，点A 在第一象限，点D 在第二象限．根据抛物线的对称性可得点A 的纵坐标为22，代入抛物线方程得x ＝4p ，即点A （4p，22）.易知点D （－p 2，5），由于点A ，D 都在以坐标原点为圆心的圆上，所以16p 2＋8＝p 24＋5，解得p ＝4，此即为抛物线的焦点到准线的距离．8．H7[2016·四川卷] 设O 为坐标原点，P 是以F 为焦点的抛物线y 2＝2px (p >0)上任意一点，M 是线段PF 上的点，且|PM |＝2|MF |，则直线OM 的斜率的最大值为( )A.33B.23C.22D ．1 8．C [详细分析] 如图，由题可知F ⎝⎛⎭⎫p 2，0，设P 点坐标为⎝⎛⎭⎫y 22p ，y 0. 显然，当y 0<0时，k OM <0；当y 0>0时，k OM >0.所以要求k OM 的最大值，不妨设y 0>0. 因为OM → ＝ OF → ＋ FM → ＝ OF → ＋ 13FP → ＝ OF →＋ 13(OP →－OF →) ＝ 13OP → ＋ 23OF → ＝⎝⎛⎭⎫y 206p＋ p 3，y 03，所以k OM ＝y 03y 206p ＋ p 3 ＝ 2y 0p ＋ 2p y 0≤222 ＝ 22，当且仅当y 20＝2p 2时，等号成立． 14．H7[2016·天津卷] 设抛物线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pt 2，y ＝2pt (t 为参数，p >0)的焦点为F ，准线为l .过抛物线上一点A 作l 的垂线，垂足为B .设C （72p ，0），AF 与BC 相交于点E .若|CF |＝2|AF |，且△ACE 的面积为32，则p 的值为________．14.6 [详细分析] 由题意得，抛物线的普通方程为y 2＝2px ，∴F （p2，0），∴|CF |＝3p ，∴|AB |＝|AF |＝32p ，∴A (p ，±2p )．易知△AEB ∽△FEC ，∴|AE ||FE |＝|AB ||FC |＝12，故S △ACE ＝13S △ACF ＝13×3p ×2p ×12＝22p 2＝32，∴p 2＝6.∵p >0，∴p ＝ 6.9．H7[2016·浙江卷] 若抛物线y 2＝4x 上的点M 到焦点的距离为10，则M 到y 轴的距离是________．9．9 [详细分析] 由题意得，p ＝2，则p2＝1，即原点到准线的距离是1.由点M 到焦点的距离与到准线的距离相等，知点M 到准线的距离为10，故M 到y 轴的距离为10－1＝9.20．H7[2016·上海卷] 有一块正方形菜地EFGH ，EH 所在直线是一条小河，收获的蔬菜可送到F 点或河边运走．于是，菜地分为两个区域S 1和S 2，其中S 1中的蔬菜运到河边较近，S 2中的蔬菜运到F 点较近，而菜地内S 1和S 2的分界线C 上的点到河边与到F 点的距离相等．现建立平面直角坐标系，其中原点O 为EF 的中点，点F 的坐标为(1，0)，如图1-5所示．(1)求菜地内的分界线C 的方程；(2)菜农从蔬菜运量估计出S 1的面积是S 2面积的两倍，由此得到S 1面积的“经验值”为83.设M 是C 上纵坐标为1的点，请计算以EH 为一边、另有一边过点M 的矩形的面积，及五边形EOMGH 的面积，并判断哪一个更接近于S 面积的“经验值”．图1-520．解：(1)因为C 上的点到直线EH 与到点F 的距离相等，所以C 是以F 为焦点、以EH 为准线的抛物线在正方形EFGH 内的部分，其方程为y 2＝4x (0<y <2)．(2)依题意，点M 的坐标为(14，1).所求的矩形面积为52，所求的五边形面积为114.矩形面积与“经验值”之差的绝对值为｜52－83｜＝16，而五边形面积与“经验值”之差的绝对值为｜114－83｜＝112，所以五边形面积更接近于S 1面积的“经验值”．22．H7、H8[2016·江苏卷] 如图1-8，在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l ：x －y －2＝0，抛物线C ：y 2＝2px (p >0)．(1)若直线l 过抛物线C 的焦点，求抛物线C 的方程．(2)已知抛物线C 上存在关于直线l 对称的相异两点P 和Q . ①求证：线段PQ 的中点坐标为(2－p ，－p )； ②求p 的取值范围．22．解：(1)抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为p2，0，由点p 2，0在直线l ：x －y －2＝0上，得p2－0－2＝0，即p ＝4.所以抛物线C 的方程为y 2＝8x .(2)设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，线段PQ 的中点M (x 0，y 0)，因为点P 和Q 关于直线l 对称，所以直线l 垂直平分线段PQ ，于是直线PQ 的斜率为－1，则可设其方程为y ＝－x ＋b .①证明：由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2px ，y ＝－x ＋b 消去x 得y 2＋2py －2pb ＝0.(*)因为P 和Q 是抛物线C 上的相异两点，所以y 1≠y 2， 从而Δ＝(2p )2－4×(－2pb )>0，化简得p ＋2b >0.方程(*)的两根为y 1，2＝－p ±p 2＋2pb ，从而y 0＝y 1＋y 22＝－p .因为M (x 0，y 0)在直线l 上，所以x 0＝2－p . 因此，线段PQ 的中点坐标为(2－p ，－p )． ②因为M (2－p ，－p )在直线y ＝－x ＋b 上， 所以－p ＝－(2－p )＋b ，即b ＝2－2p .由①知p ＋2b >0，于是p ＋2(2－2p )>0，所以p <43.因此，p 的取值范围为0，43.20．H7、H9[2016·全国卷Ⅲ] 已知抛物线C ：y 2＝2x 的焦点为F ，平行于x 轴的两条直线l 1，l 2分别交C 于A ，B 两点，交C 的准线于P ，Q 两点．(1)若F 在线段AB 上，R 是PQ 的中点，证明：AR ∥FQ ；(2)若△PQF 的面积是△ABF 的面积的两倍，求AB 中点的轨迹方程．20．解：由题设知F （12，0）.设l 1：y ＝a ，l 2：y ＝b ，则ab ≠0，且A （a 22，a ），B （b 22，b ），P （－12，a ），Q （－12，b ），R （－12，a ＋b2）.记过A ，B 两点的直线为l ，则l 的方程为2x －(a ＋b )y ＋ab ＝0. (1)证明：由于F 在线段AB 上，所以1＋ab ＝0. 记AR 的斜率为k 1，FQ 的斜率为k 2，则k 1＝a －b 1＋a 2＝a －b a 2－ab ＝1a＝－ab a ＝－b ＝k 2， 所以AR ∥FQ .(2)设l 与x 轴的交点为D (x 1，0)，则S △ABF ＝12|b －a ||FD |＝12|b －a |⎪⎪⎪⎪x 1－12，S △PQF ＝|a －b |2. 由题设可得|b －a |⎪⎪⎪⎪x 1－12＝|a －b |2，所以x 1＝0(舍去)或x 1＝1. 设满足条件的AB 的中点为E (x ，y )．当AB 与x 轴不垂直时，由k AB ＝k DE 可得2a ＋b ＝yx －1(x ≠1)．而a ＋b 2＝y ，所以y 2＝x －1(x ≠1)．当AB 与x 轴垂直时，E 与D 重合．所以所求轨迹方程为y 2＝x －1.21．H5，H7，H10[2016·山东卷] 平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率是32，抛物线E ：x 2＝2y 的焦点F 是C 的一个顶点． (1)求椭圆C 的方程．(2)设P 是E 上的动点，且位于第一象限，E 在点P 处的切线l 与C 交于不同的两点A ，B ，线段AB 的中点为D ，直线OD 与过P 且垂直于x 轴的直线交于点M .(i)求证：点M 在定直线上；(ii)直线l 与y 轴交于点G ，记△PFG 的面积为S 1，△PDM 的面积为S 2，求S 1S 2的最大值及取得最大值时点P 的坐标．图1-521．解：(1)由题意知a 2－b 2a ＝32，可得a 2＝4b 2.因为抛物线E 的焦点F （0，12），所以b ＝12，a ＝1，所以椭圆C 的方程为x 2＋4y 2＝1. (2)(i)证明：设P （m ，m 22）(m ＞0)，由x 2＝2y ，可得y ′＝x ， 所以直线l 的斜率为m ，因此直线l 的方程为y －m 22＝m (x －m )，即y ＝mx －m 22.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，D (x 0，y 0)， 联立方程⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4y 2＝1，y ＝mx －m 22，得(4m 2＋1)x 2－4m 3x ＋m 4－1＝0.由Δ＞0，得0＜m ＜2＋5(或0＜m 2＜2＋5)(*)， 且x 1＋x 2＝4m 34m 2＋1.因此x 0＝2m 34m 2＋1，将其代入y ＝mx －m 22，得y 0＝－m 22（4m 2＋1），因此y 0x 0＝－14m，所以直线OD 的方程为y ＝－14mx . 联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－14m x ，x ＝m ，得点M 的纵坐标y M ＝－14，所以点M 在定直线y ＝－14上．(ii)由(i)知直线l 的方程为y ＝mx －m 22.令x ＝0，得y ＝－m 22，所以G （0，－m 22）.又P （m ，m 22），F （0，12），D （2m 34m 2＋1，－m 22（4m 2＋1）），所以S 1＝12·|GF |·m ＝（m 2＋1）m 4，S 2＝12·|PM |·|m －x 0|＝12×2m 2＋14×2m 3＋m 4m 2＋1＝m （2m 2＋1）28（4m 2＋1），所以S 1S 2＝2（4m 2＋1）（m 2＋1）（2m 2＋1）2.设t ＝2m 2＋1(t >1)，则S 1S 2＝（2t －1）（t ＋1）t 2＝2t 2＋t －1t 2＝－1t 2＋1t＋2， 当1t ＝12，即t ＝2时，S 1S 2取到最大值94， 此时m ＝22，满足(*)式， 所以P 点坐标为（22，14）. 因此S 1S 2的最大值为94，此时点P 的坐标为（22，14）.H8 直线与圆锥曲线（AB 课时作业）10．H5，H8[2016·江苏卷] 如图1-2，在平面直角坐标系xOy 中，F 是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右焦点，直线y ＝b2与椭圆交于B ，C 两点，且∠BFC ＝90°，则该椭圆的离心率是________．10.63 [详细分析] 方法一：由⎩⎨⎧y ＝b2，x 2a 2＋y2b 2＝1，可得B (－32a ，b 2)，C （32a ，b2）.又由F (c ，0)，得FB →＝(－32a －c ，b 2)，FC →＝(32a －c ，b 2).又∠BFC ＝90°，所以FB →·FC →＝0，化简可得2a 2＝3c 2，即e 2＝c 2a 2＝23，故e ＝63.方法二：同方法一可得B (－32a ，b 2)，C (32a ，b2)，所以BC ＝3a ，由椭圆的焦半径公式得BF ＝a －ex B ＝a ＋e ·32a ，CF ＝a －ex C ＝a －e ·32a ，又∠BFC ＝90°，所以BF 2＋CF 2＝BC 2，即(a ＋e ·32a )2＋(a －e ·32a )2＝(3a )2，式子两边同除以a 2可得e 2＝23，即e ＝63.19．H5，H8[2016·北京卷] 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，A (a ，0)，B (0，b )，O (0，0)，△OAB 的面积为1.(1)求椭圆C 的方程；(2)设P 是椭圆C 上一点，直线P A 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N ，求证：|AN |·|BM |为定值．19．解：(1)由题意得⎩⎨⎧c a ＝32，12ab ＝1，a 2＝b 2＋c 2，解得a ＝2，b ＝1.所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)证明：由(1)知，A (2，0)，B (0，1)．设P (x 0，y 0)，则x 20＋4y 20＝4.当x 0≠0时，直线P A 的方程为y ＝y 0x 0－2(x －2)．令x ＝0，得y M ＝－2y 0x 0－2，从而|BM |＝|1－y M |＝1＋2y 0x 0－2.直线PB 的方程为y ＝y 0－1x 0x ＋1.令y ＝0，得x N ＝－x 0y 0－1，从而|AN |＝|2－x N |＝2＋x 0y 0－1.所以|AN |·|BM |＝2＋x 0y 0－1·1＋2y 0x 0－2＝x 20＋4y 20＋4x 0y 0－4x 0－8y 0＋4x 0y 0－x 0－2y 0＋2＝4x 0y 0－4x 0－8y 0＋8x 0y 0－x 0－2y 0＋2＝4.当x 0＝0时，y 0＝－1，|BM |＝2，|AN |＝2， 所以|AN |·|BM |＝4. 综上，|AN |·|BM |为定值．22．H7、H8[2016·江苏卷] 如图1-8，在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l ：x －y －2＝0，抛物线C ：y 2＝2px (p >0)．(1)若直线l 过抛物线C 的焦点，求抛物线C 的方程．(2)已知抛物线C 上存在关于直线l 对称的相异两点P 和Q . ①求证：线段PQ 的中点坐标为(2－p ，－p )； ②求p 的取值范围．22．解：(1)抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为p2，0，由点p 2，0在直线l ：x －y －2＝0上，得p2－0－2＝0，即p ＝4.所以抛物线C 的方程为y 2＝8x .(2)设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，线段PQ 的中点M (x 0，y 0)，因为点P 和Q 关于直线l 对称，所以直线l 垂直平分线段PQ ，于是直线PQ 的斜率为－1，则可设其方程为y ＝－x ＋b .①证明：由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2px ，y ＝－x ＋b 消去x 得y 2＋2py －2pb ＝0.(*)因为P 和Q 是抛物线C 上的相异两点，所以y 1≠y 2， 从而Δ＝(2p )2－4×(－2pb )>0，化简得p ＋2b >0.方程(*)的两根为y 1，2＝－p ±p 2＋2pb ，从而y 0＝y 1＋y 22＝－p .因为M (x 0，y 0)在直线l 上，所以x 0＝2－p . 因此，线段PQ 的中点坐标为(2－p ，－p )． ②因为M (2－p ，－p )在直线y ＝－x ＋b 上， 所以－p ＝－(2－p )＋b ，即b ＝2－2p .由①知p ＋2b >0，于是p ＋2(2－2p )>0，所以p <43.因此，p 的取值范围为0，43.20．H8，H9[2016·全国卷Ⅰ] 设圆x 2＋y 2＋2x －15＝0的圆心为A ，直线l 过点B (1，0)且与x 轴不重合，l 交圆A 于C ，D 两点，过B 作AC 的平行线交AD 于点E .(1)证明|EA |＋|EB |为定值，并写出点E 的轨迹方程；(2)设点E 的轨迹为曲线C 1，直线l 交C 1于M ，N 两点，过B 且与l 垂直的直线与圆A 交于P ，Q 两点，求四边形MPNQ 面积的取值范围．20．解：(1)证明：因为|AD |＝|AC |，EB ∥AC ，故∠EBD ＝∠ACD ＝∠ADC ，所以|EB |＝|ED |，故|EA |＋|EB |＝|EA |＋|ED |＝|AD |.又圆A 的标准方程为(x ＋1)2＋y 2＝16，从而|AD |＝4，所以|EA |＋|EB |＝4. 由题设得A (－1，0)，B (1，0)，|AB |＝2.由椭圆定义可得点E 的轨迹方程为x 24＋y 23＝1(y ≠0)． (2)当l 与x 轴不垂直时，设l 的方程为y ＝k (x －1)(k ≠0)，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)． 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －1），x 24＋y 23＝1，得(4k 2＋3)x 2－8k 2x ＋4k 2－12＝0， 则x 1＋x 2＝8k 24k 2＋3，x 1x 2＝4k 2－124k 2＋3，所以|MN |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝12（k 2＋1）4k 2＋3.过点B (1，0)且与l 垂直的直线m ：y ＝－1k (x －1)，A 到m 的距离为2k 2＋1，所以|PQ |＝242－2k 2＋12＝44k 2＋3k 2＋1. 故四边形MPNQ 的面积 S ＝12|MN ||PQ |＝121＋14k 2＋3. 可得当l 与x 轴不垂直时，四边形MPNQ 面积的取值范围为(12，83)． 当l 与x 轴垂直时，其方程为x ＝1，|MN |＝3， |PQ |＝8，四边形MPNQ 的面积为12.综上，四边形MPNQ 面积的取值范围为[12，83)．20．H8[2016·全国卷Ⅱ] 已知椭圆E ：x 2t ＋y 23＝1的焦点在x 轴上，A 是E 的左顶点，斜率为k (k >0)的直线交E 于A ，M 两点，点N 在E 上，MA ⊥NA .(1)当t ＝4，|AM |＝|AN |时，求△AMN 的面积； (2)当2|AM |＝|AN |时，求k 的取值范围． 20．解：(1)设M (x 1，y 1)，则由题意知y 1>0.当t ＝4时，椭圆E 的方程为x 24＋y 23＝1，A (－2，0)．由已知及椭圆的对称性知，直线AM 的倾斜角为π4，因此直线AM 的方程为y ＝x ＋2.将x ＝y －2代入x 24＋y 23＝1得7y 2－12y ＝0，解得y ＝0或y ＝127，所以y 1＝127.因此△AMN 的面积S △AMN ＝2×12×127×127＝14449.(2)由题意知t >3，k >0，A (－t ，0)．将直线AM 的方程y ＝k (x ＋t )代入x 2t ＋y 23＝1得(3＋tk 2)x 2＋2t ·tk 2x ＋t 2k 2－3t ＝0.由x 1·(－t )＝t 2k 2－3t 3＋tk 2得x 1＝t （3－tk 2）3＋tk 2，故|AM |＝|x 1＋t |1＋k 2＝6t （1＋k 2）3＋tk 2.由题设知，直线AN 的方程为y ＝－1k (x ＋t )，故同理可得|AN |＝6k t （1＋k 2）3k 2＋t .由2|AM |＝|AN |得23＋tk 2＝k3k 2＋t，即(k 3－2)t ＝3k (2k －1)． 当k ＝32时上式不成立，因此t ＝3k （2k －1）k 3－2.t >3等价于k 3－2k 2＋k －2k 3－2＝（k －2）（k 2＋1）k 3－2<0，即k －2k 3－2<0， 由此得⎩⎪⎨⎪⎧k －2>0，k 3－2<0或⎩⎪⎨⎪⎧k －2<0，k 3－2>0，解得32<k <2. 因此k 的取值范围是(32，2)．19．H5、H8[2016·天津卷] 设椭圆x 2a 2＋y 23＝1(a >3)的右焦点为F ，右顶点为A ，已知1|OF |＋1|OA |＝3e|F A |，其中O 为原点，e 为椭圆的离心率． (1)求椭圆的方程；(2)设过点A 的直线l 与椭圆交于点B (B 不在x 轴上)，垂直于l 的直线与l 交于点M ，与y 轴交于点H ，若BF ⊥HF ，且∠MOA ≤∠MAO ，求直线l 的斜率的取值范围．19．解：(1)设F (c ，0)，由1|OF |＋1|OA |＝3e |F A |，即1c ＋1a ＝3ca （a －c ），可得a 2－c 2＝3c 2.又a 2－c 2＝b 2＝3，所以c 2＝1，因此a 2＝4. 所以椭圆的方程为x 24＋y 23＝1.(2)设直线l 的斜率为k (k ≠0)，则直线l 的方程为y ＝k (x －2)．设B (x B ，y B )，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1，y ＝k （x －2）消去y ，整理得(4k 2＋3)x 2－16k 2x ＋16k 2－12＝0，解得x ＝2或x ＝8k 2－64k 2＋3.由题意得x B ＝8k 2－64k 2＋3，从而y B ＝－12k4k 2＋3.由(1)知，F (1，0)，设H (0，y H )，有FH →＝(－1，y H )，BF →＝9－4k24k 2＋3，12k 4k 2＋3.由BF ⊥HF ，得BF →·FH →＝0，所以4k 2－94k 2＋3＋12ky H 4k 2＋3＝0，解得y H ＝9－4k 212k ，因此直线MH 的方程为y ＝－1k x＋9－4k 212k.设M (x M ，y M )，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －2），y ＝－1k x ＋9－4k 212k ，得x M ＝20k 2＋912（k 2＋1）.在△MAO 中，∠MOA ≤∠MAO ⇔|MA |≤|MO |，即(x M －2)2＋y 2M ≤x 2M ＋y 2M ，化简得x M ≥1，即20k 2＋912（k 2＋1）≥1，解得k ≤－64或k ≥64， 所以直线l 的斜率的取值范围为（－∞，－64]∪[64，＋∞）. 21．H6，H8，F3[2016·上海卷] 双曲线x 2－y 2b 2＝1(b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，直线l 过F 2且与双曲线交于A ，B 两点．(1)若l 的倾斜角为π2，△F 1AB 是等边三角形，求双曲线的渐近线方程；(2)设b ＝3，若l 的斜率存在，且(F 1A →＋F 1B →)·AB →＝0，求l 的斜率．21．解：(1)设A (x A ，y A )，F 2(c ，0)，c ＝1＋b 2，由题意，y 2A ＝b 2(c 2－1)＝b 4， 因为△F 1AB 是等边三角形，所以2c ＝3|y A |， 即4(1＋b 2)＝3b 4，解得b 2＝2.故双曲线的渐近线方程为y ＝±2x . (2)由已知，F 1(－2，0)，F 2(2，0)．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线l ：y ＝k (x －2)，显然k ≠0.由⎩⎪⎨⎪⎧x 2－y 23＝1，y ＝k （x －2），得(k 2－3)x 2－4k 2x ＋4k 2＋3＝0.因为l 与双曲线交于两点，所以k 2－3≠0，且Δ＝36(1＋k 2)>0. 设AB 的中点为M (x M ，y M )．由(F 1A →＋F 1B →)·AB →＝0，即F 1M →·AB →＝0，知F 1M ⊥AB ，故kF 1M ·k ＝－1. 又x M ＝x 1＋x 22＝2k 2k 2－3，y M ＝k (x M －2)＝6k k 2－3，所以kF 1M ＝3k 2k 2－3，所以3k 2k 2－3·k ＝－1，得k 2＝35，故l 的斜率为±155.H9 曲线与方程20．H8，H9[2016·全国卷Ⅰ] 设圆x 2＋y 2＋2x －15＝0的圆心为A ，直线l 过点B (1，0)且与x 轴不重合，l 交圆A 于C ，D 两点，过B 作AC 的平行线交AD 于点E .(1)证明|EA |＋|EB |为定值，并写出点E 的轨迹方程；(2)设点E 的轨迹为曲线C 1，直线l 交C 1于M ，N 两点，过B 且与l 垂直的直线与圆A 交于P ，Q 两点，求四边形MPNQ 面积的取值范围．20．解：(1)证明：因为|AD |＝|AC |，EB ∥AC ，故∠EBD ＝∠ACD ＝∠ADC ，所以|EB |＝|ED |，故|EA |＋|EB |＝|EA |＋|ED |＝|AD |.又圆A 的标准方程为(x ＋1)2＋y 2＝16，从而|AD |＝4，所以|EA |＋|EB |＝4. 由题设得A (－1，0)，B (1，0)，|AB |＝2.由椭圆定义可得点E 的轨迹方程为x 24＋y 23＝1(y ≠0)． (2)当l 与x 轴不垂直时，设l 的方程为y ＝k (x －1)(k ≠0)，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)． 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －1），x 24＋y 23＝1，得(4k 2＋3)x 2－8k 2x ＋4k 2－12＝0， 则x 1＋x 2＝8k 24k 2＋3，x 1x 2＝4k 2－124k 2＋3，所以|MN |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝12（k 2＋1）4k 2＋3.过点B (1，0)且与l 垂直的直线m ：y ＝－1k (x －1)，A 到m 的距离为2k 2＋1，所以|PQ |＝242－2k 2＋12＝44k 2＋3k 2＋1. 故四边形MPNQ 的面积 S ＝12|MN ||PQ |＝121＋14k 2＋3. 可得当l 与x 轴不垂直时，四边形MPNQ 面积的取值范围为(12，83)． 当l 与x 轴垂直时，其方程为x ＝1，|MN |＝3， |PQ |＝8，四边形MPNQ 的面积为12.综上，四边形MPNQ 面积的取值范围为[12，83)． 20．H7、H9[2016·全国卷Ⅲ] 已知抛物线C ：y 2＝2x 的焦点为F ，平行于x 轴的两条直线l 1，l 2分别交C 于A ，B 两点，交C 的准线于P ，Q 两点．(1)若F 在线段AB 上，R 是PQ 的中点，证明：AR ∥FQ ；(2)若△PQF 的面积是△ABF 的面积的两倍，求AB 中点的轨迹方程．20．解：由题设知F （12，0）.设l 1：y ＝a ，l 2：y ＝b ，则ab ≠0，且A （a 22，a ），B （b 22，b ），P （－12，a ），Q （－12，b ），R （－12，a ＋b2）.记过A ，B 两点的直线为l ，则l 的方程为2x －(a ＋b )y ＋ab ＝0. (1)证明：由于F 在线段AB 上，所以1＋ab ＝0. 记AR 的斜率为k 1，FQ 的斜率为k 2，则k 1＝a －b 1＋a 2＝a －b a 2－ab ＝1a＝－ab a ＝－b ＝k 2， 所以AR ∥FQ .(2)设l 与x 轴的交点为D (x 1，0)，则S △ABF ＝12|b －a ||FD |＝12|b －a |⎪⎪⎪⎪x 1－12，S △PQF ＝|a －b |2. 由题设可得|b －a |⎪⎪⎪⎪x 1－12＝|a －b |2，所以x 1＝0(舍去)或x 1＝1. 设满足条件的AB 的中点为E (x ，y )．当AB 与x 轴不垂直时，由k AB ＝k DE 可得2a ＋b ＝yx －1(x ≠1)．而a ＋b 2＝y ，所以y 2＝x －1(x ≠1)．当AB 与x 轴垂直时，E 与D 重合．所以所求轨迹方程为y 2＝x －1.H10 单元综合7．H10[2016·浙江卷] 已知椭圆C 1：x 2m 2＋y 2＝1(m >1)与双曲线C 2：x 2n2－y 2＝1(n >0)的焦点重合，e 1，e 2分别为C 1，C 2的离心率，则( )A ．m >n 且e 1e 2>1B ．m >n 且e 1e 2<1C ．m <n 且e 1e 2>1D ．m <n 且e 1e 2<17．A [详细分析] 由题意知，m 2－1＝n 2＋1，即m 2－n 2＝2，故m >n .易知e 1e 2＝m 2－1m ·n 2＋1n ＝m 2n 2＋m 2－n 2－1mn ＝m 2n 2＋1mn >1，故选A.21．H5，H7，H10[2016·山东卷] 平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率是32，抛物线E ：x 2＝2y 的焦点F 是C 的一个顶点． (1)求椭圆C 的方程．(2)设P 是E 上的动点，且位于第一象限，E 在点P 处的切线l 与C 交于不同的两点A ，B ，线段AB 的中点为D ，直线OD 与过P 且垂直于x 轴的直线交于点M .(i)求证：点M 在定直线上；(ii)直线l 与y 轴交于点G ，记△PFG 的面积为S 1，△PDM 的面积为S 2，求S 1S 2的最大值及取得最大值时点P 的坐标．图1-521．解：(1)由题意知a 2－b 2a ＝32，可得a 2＝4b 2.因为抛物线E 的焦点F （0，12），所以b ＝12，a ＝1，所以椭圆C 的方程为x 2＋4y 2＝1. (2)(i)证明：设P （m ，m 22）(m ＞0)，由x 2＝2y ，可得y ′＝x ， 所以直线l 的斜率为m ，因此直线l 的方程为y －m 22＝m (x －m )，即y ＝mx －m 22.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，D (x 0，y 0)， 联立方程⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4y 2＝1，y ＝mx －m 22，得(4m 2＋1)x 2－4m 3x ＋m 4－1＝0.由Δ＞0，得0＜m ＜2＋5(或0＜m 2＜2＋5)(*)， 且x 1＋x 2＝4m 34m 2＋1.因此x 0＝2m 34m 2＋1，将其代入y ＝mx －m 22，得y 0＝－m 22（4m 2＋1），因此y 0x 0＝－14m，所以直线OD 的方程为y ＝－14mx . 联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－14m x ，x ＝m ，得点M 的纵坐标y M ＝－14，所以点M 在定直线y ＝－14上．(ii)由(i)知直线l 的方程为y ＝mx －m 22.令x ＝0，得y ＝－m 22，所以G （0，－m 22）.又P （m ，m 22），F （0，12），D （2m 34m 2＋1，－m 22（4m 2＋1）），所以S 1＝12·|GF |·m ＝（m 2＋1）m 4，S 2＝12·|PM |·|m －x 0|＝12×2m 2＋14×2m 3＋m 4m 2＋1＝m （2m 2＋1）28（4m 2＋1），所以S 1S 2＝2（4m 2＋1）（m 2＋1）（2m 2＋1）2.设t ＝2m 2＋1(t >1)，。
2016年全国各地高考数学试题及解答分类汇编大全几何证明选讲、坐标系与参数方程、不等式选讲、矩阵与变换)
2016年全国各地高考数学试题及解答分类汇编大全（18选修4：几何证明选讲、坐标系与参数方程、不等式选讲、矩阵与变换）一、几何证明选讲：选修4—1；几何证明选讲1.（2016江苏）如图，在△ABC中，∠ABC=90°，BD⊥AC，D为垂足，E是BC的中点，求证：∠EDC=∠ABD.【答案】详见解析考点：相似三角形【名师点睛】1.相似三角形的证明方法：(1)先找两对内角对应相等；(2)若只有一个角对应相等，再判定这个角的两邻边是否对应成比例；(3)若无角对应相等，就要证明三边对应成比例．2．利用相似三角形的性质进行对应边的比、对应角的度数的相关运算时，要善于联想变换比例式，通过添加辅助线构造相似三角形，同时注意面积法的应用．3.（2016全国Ⅰ文、理）如图,△OAB是等腰三角形,∠AOB=120°.以O为圆心,12OA为半径作圆.(I)证明：直线AB与O相切；(II)点C,D在⊙O上,且A,B,C,D四点共圆,证明：AB∥CD.ODCBA【答案】(I)见解析(II)见解析在Rt AOE ∆中,12OE AO =,即O 到直线AB 的距离等于圆O 的半径,所以直线AB 与⊙O 相切． EO'DCO BA（Ⅱ）因为2OA OD =,所以O 不是,,,A B C D 四点所在圆的圆心,设'O 是,,,A B C D 四点所在圆的圆心,作直线'OO ．由已知得O 在线段AB 的垂直平分线上,又'O 在线段AB 的垂直平分线上,所以'OO AB ⊥． 同理可证,'OO CD ⊥．所以//AB CD ． 考点：四点共圆、直线与圆的位置关系及证明【名师点睛】近几年几何证明题多以圆为载体命制,在证明时要抓好“长度关系”与“角度关系的转化”,熟悉相关定理与性质.该部分内容命题点有：平行线分线段成比例定理；三角形的相似与性质；四点共圆；圆内接四边形的性质与判定；切割线定理.4.（2016全国Ⅱ文、理）如图，在正方形ABCD 中，,E G 分别在边,DA DC 上（不与端点重合），且DE DG =，过D 点作DF CE ⊥，垂足为F ． (Ⅰ) 证明：,,,B C G F 四点共圆；(Ⅱ)若1AB =，E 为DA 的中点，求四边形BCGF 的面积．【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）12.（II ）由,,,B C G F 四点共圆，CG CB ⊥知FG FB ⊥，连结GB ， 由G 为Rt DFC ∆斜边CD 的中点，知GF GC =,故,Rt BCG Rt BFG ∆~∆ 因此四边形BCGF 的面积S 是GCB ∆面积GCB S ∆的2倍，即111221.222GCB S S ∆==⨯⨯⨯=考点： 三角形相似、全等，四点共圆【名师点睛】判定两个三角形相似要注意结合图形性质灵活选择判定定理，特别要注意对应角和对应边．证明线段乘积相等的问题一般转化为有关线段成比例问题．相似三角形的性质可用来证明线段成比例、角相等；可间接证明线段相等．5. （2016全国Ⅲ文、理）如图，O 中AB 的中点为P ，弦PC PD ，分别交AB 于E F ，两点． （I ）若2PFB PCD ∠=∠，求PCD ∠的大小； （II ）若EC 的垂直平分线与FD 的垂直平分线交于点G ，证明OG CD ⊥．【答案】（Ⅰ）60︒；（Ⅱ）见解析．（Ⅱ）因为BFD PCD ∠=∠，所以180PCD EFD ∠+∠=︒， 由此知E F D C ,,,四点共圆，其圆心既在CE 的垂直平分线上， 又在DF 的垂直平分线上，故G 就是过E F D C ,,,四点的圆 的圆心，所以G 在CD 的垂直平分线上，又O 也在CD 的垂 直平分线上，因此CD OG ⊥．考点：1、圆周角定理；2、三角形内角和定理；3、垂直平分线定理；4、四点共圆．【方法点拨】（1）求角的大小通常要用到三角形相似、直角三角形两锐角互余、圆周角与圆心角定理、三角形内角和定理等知识，经过不断的代换可求得结果；（2）证明两条直线的夂垂直关系，常常要用到判断垂直的相关定理，如等腰三角形三线合一、矩形性质、圆的直径、平行的性质等．6.（2016天津文、理）如图，AB 是圆的直径，弦CD 与AB 相交于点E ，BE =2AE =2，BD =ED ，则线段CE 的长为__________.【答案】3【解析】试题分析：设CE x =，则由相交弦定理得DE CE AE BE ⋅=⋅，2DE x =，又2BD DE x==，所以1AC AE ==，因为AB 是直径，则BC ==AD =在圆中BCE DAE ∆∆:，则BC EC AD AE =1x=，解得x =考点：相交弦定理【名师点睛】1.解决与圆有关的成比例线段问题的两种思路(1)直接应用相交弦、切割线定理及其推论；(2)当比例式(等积式)中的线段分别在两个三角形中时，可转化为证明三角形相似，一般思路为“相似三角形→比例式→等积式”．在证明中有时还要借助中间比来代换，解题时应灵活把握．2．应用相交弦定理、切割线定理要抓住几个关键内容：如线段成比例与相似三角形、圆的切线及其性质、与圆有关的相似三角形等．二、坐标系与参数方程：选修4-4：坐标系与参数方程1.（2016北京理）在极坐标系中，直线cos sin 10ρθθ-=与圆2cos ρθ=交于A ，B 两点，则||AB =______. 【答案】2考点：极坐标方程与直角方程的互相转化.【名师点睛】将极坐标或极坐标方程转化为直角坐标或直角坐标方程，直接利用公式θρθρsin ,cos ==y x 即可．将直角坐标或直角坐标方程转化为极坐标或极坐标方程，要灵活运用x ＝θρθρsin ,cos ==y x 以及22y x +=ρ，)0(tan ≠=x xy θ，同时要掌握必要的技巧.2.（2016江苏）在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l的参数方程为112x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ （t 为参数），椭圆C 的参数方程为cos ,2sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）.设直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，求线段AB 的长. 【答案】167考点：直线与椭圆参数方程【名师点睛】1.将参数方程化为普通方程，消参数常用代入法、加减消元法、三角恒等变换法． 2．把参数方程化为普通方程时，要注意哪一个量是参数，并且要注意参数的取值对普通方程中x 及y 的取值范围的影响．3.（2016全国Ⅰ文、理）在直角坐标系x O y 中,曲线C 1的参数方程为cos 1sin x a ty a t =⎧⎨=+⎩（t 为参数,a＞0）．在以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C 2：ρ=4cos θ.（I ）说明C 1是哪一种曲线,并将C 1的方程化为极坐标方程；（II ）直线C 3的极坐标方程为0θα=,其中0α满足tan 0α=2,若曲线C 1与C 2的公共点都在C 3上,求a ． 【答案】（I ）圆,222sin 10a ρρθ-+-=（II ）1试题解析：⑴cos 1sin x a t y a t=⎧⎨=+⎩ （t 均为参数）,∴()2221x y a +-= ① ∴1C 为以()01，为圆心,a 为半径的圆．方程为222210x y y a +-+-= ∵222sin x y y ρρθ+==，,∴222sin 10a ρρθ-+-= 即为1C 的极坐标方程 ⑵ 24cos C ρθ=：,两边同乘ρ得22224cos cos x y x ρρθρρθ==+=，224x y x ∴+=,即()2224x y -+=②3C ：化为普通方程为2y x =,由题意：1C 和2C 的公共方程所在直线即为3C①—②得：24210x y a -+-=,即为3C ∴210a -=,∴1a =考点：参数方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化及应用【名师点睛】“互化思想”是解决极坐标方程与参数方程问题的重要思想,解题时应熟记极坐标方程与参数方程的互化公式及应用.4.（2016全国Ⅱ文、理）在直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为22(6)25x y ++=． （Ⅰ）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程；（Ⅱ）直线l 的参数方程是cos sin x t y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数）, l 与C 交于,A B 两点，||AB l 的斜率．【答案】（Ⅰ）212cos 110ρρθ++=；（Ⅱ）.试题解析：（I ）由cos ,sin x y ρθρθ==可得C 的极坐标方程212cos 110.ρρθ++= （II ）在（I ）中建立的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为()R θαρ=∈ 由,A B 所对应的极径分别为12,,ρρ将l 的极坐标方程代入C 的极坐标方程得212cos 110.ρρα++=于是121212cos ,11,ρραρρ+=-=12||||AB ρρ=-==由||AB =23cos ,tan 8αα==，所以l 或考点：圆的极坐标方程与普通方程互化， 直线的参数方程，点到直线的距离公式.【名师点睛】极坐标与直角坐标互化的注意点：在由点的直角坐标化为极坐标时，一定要注意点所在的象限和极角的范围，否则点的极坐标将不唯一．在曲线的方程进行互化时，一定要注意变量的范围．要注意转化的等价性.5. （2016全国Ⅲ文、理）在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为()sin x y ααα⎧⎪⎨=⎪⎩为参数，以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，，建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为sin()4ρθπ+=（I ）写出1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程；（II ）设点P 在1C 上，点Q 在2C 上，求PQ 的最小值及此时P 的直角坐标.【答案】（Ⅰ）1C 的普通方程为2213x y +=，2C 的直角坐标方程为40x y +-=；（Ⅱ）31(,)22．试题解析：（Ⅰ）1C 的普通方程为2213x y +=，2C 的直角坐标方程为40x y +-=. 5分（Ⅱ）由题意，可设点P 的直角坐标为,sin )αα，因为2C 是直线，所以||PQ 的最小值即为P 到2C 的距离()d α的最小值，()sin()2|3d παα==+-. ………………8分当且仅当2()6k k Z παπ=+∈时，()d αP 的直角坐标为31(,)22. ………………10分 考点：1、椭圆的参数方程；2、直线的极坐标方程．【技巧点拨】一般地，涉及椭圆上的点的最值问题、定值问题、轨迹问题等，当直接处理不好下手时，可考虑利用椭圆的参数方程进行处理，设点的坐标为(cos ,cos )a b αα，将其转化为三角问题进行求解．6.（2016上海理）下列极坐标方程中，对应的曲线为右图的是（ ）（A ）θρcos 56+= （B ）θρin s 56+= （C ）θρcos 56-= （D ）θρin s 56-= 【答案】D考点：极坐标系【名师点睛】本题是极坐标系问题中的基本问题，从解法上看，一是可通过记忆比对，作出判断，二是利用特殊值代入检验的方法.本题突出体现了高考试题的基础性，能较好的考查考生基本运算能力、数形结合思想等.三、不等式选讲选： 选修4-5：不等式选讲1.（2016江苏）设a ＞0，|x -1|＜3a ，|y -2|＜3a，求证：|2x +y -4|＜a . 【答案】试题分析：利用含绝对值的三角不等式|a ＋b |≤|a |＋|b |进行放缩证明 试题解析：证明：因为|1|,|2|33a a x y -<-<所以|24||2(1)(2)|2|1||2|2.33a ax y x y x y a +-=-+-≤-+-<⨯+= 考点：含绝对值的不等式证明【名师点睛】利用绝对值三角不等式求最值时，可借助绝对值三角不等式性质定理：||a |－|b ||≤|a ±b |≤|a |＋|b |，通过适当的添、拆项来放缩求解，但一定要注意取等号的条件．将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用，这是命题的新动向．2.（2016全国Ⅰ文、理）已知函数()123f x x x =+--. （I ）在答题卡第（24）题图中画出()y f x =的图像； （II ）求不等式()1f x >的解集．【答案】（I ）见解析（II ）()()11353⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭，，，试题解析：⑴如图所示：考点：分段函数的图像,绝对值不等式的解法【名师点睛】不等式证明选讲多以绝对值不等式为载体命制试题,主要涉及图像、解不等式、由不等式恒成立求参数范围等.解决此类问题通常转换为分段函数求解,注意不等式的解集一定要写出集合形式.3.（2016全国Ⅱ文、理）已知函数11()||||22f x x x =-++，M 为不等式()2f x <的解集． （Ⅰ）求M ； （Ⅱ）证明：当,a b M ∈时，|||1|a b ab +<+．【答案】（Ⅰ）{|11}M x x =-<<；（Ⅱ）详见解析.试题解析：（I ）12,,211()1,,2212,.2x x f x x x x ⎧-≤-⎪⎪⎪=-<<⎨⎪⎪≥⎪⎩当12x ≤-时，由()2f x <得22,x -<解得1x >-； 当1122x -<<时， ()2f x <； 当12x ≥时，由()2f x <得22,x <解得1x <. 所以()2f x <的解集{|11}M x x =-<<.考点：绝对值不等式，不等式的证明.【名师点睛】形如||||x a x b c -+-≥(或c ≤)型的不等式主要有三种解法：(1)分段讨论法：利用绝对值号内式子对应方程的根，将数轴分为(,]a -∞，(,]a b ，(,)b +∞ (此处设a b <)三个部分，在每个部分上去掉绝对值号分别列出对应的不等式求解，然后取各个不等式解集的并集．(2)几何法：利用||||(0)x a x b c c -+->>的几何意义：数轴上到点1x a =和2x b =的距离之和大于c 的全体，|||||()|||x a x b x a x b a b -+-≥---=-.(3)图象法：作出函数1||||y x a x b =-+-和2y c =的图象，结合图象求解．4. （2016全国Ⅲ文、理） 已知函数()|2|f x x a a =-+．（I ）当2a =时，求不等式()6f x ≤的解集；（II ）设函数()|21|g x x =-．当x ∈R 时，()()3f x g x +≥，求a 的取值范围．【答案】（Ⅰ）{|13}x x -≤≤；（Ⅱ）[2,)+∞．试题解析：（Ⅰ）当2a =时，()|22|2f x x =-+.解不等式|22|26x -+≤，得13x -≤≤，因此，()6f x ≤的解集为{|13}x x -≤≤. ………………5分（Ⅱ）当x ∈R 时，()()|2||12|f x g x x a a x +=-++-|212|x a x a ≥-+-+|1|a a =-+， 当12x =时等号成立， 所以当x ∈R 时，()()3f x g x +≥等价于|1|3a a -+≥. ① ……7分当1a ≤时，①等价于13a a -+≥，无解；当1a >时，①等价于13a a -+≥，解得2a ≥，所以a 的取值范围是[2,)+∞. ………………10分考点：1、绝对值不等式的解法；2、三角形绝对值不等式的应用． 【易错警示】对于绝对值三角不等式，易忽视等号成立的条件．对||a b a b ≥＋－，当且仅当0a b >>－时，等号成立，对||a b a b a b ≤≤－－＋，如果0a b <<－，当且仅当a b ≥且0ab ≥时左边等号成立，当且仅当0ab ≤时右边等号成立．四、矩阵与变换 选修4-2：矩阵与变换1. （2016江苏）已知矩阵12,02A ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦ 矩阵B 的逆矩阵111=202B -⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎣⎦，求矩阵AB . 【答案】51401⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎣⎦【解析】试题分析：先求逆矩阵的逆：⎢⎣⎡=01B ⎥⎥⎥⎥⎦⎤2141，再根据矩阵运算求矩阵AB .试题解析：解：设a b B c d ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，则1110120102a b B B c d ⎡⎤-⎡⎤⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，考点：逆矩阵，矩阵乘法【名师点睛】矩阵乘法及逆矩阵需明确运算法则，实质是考查一种运算法则：1|A ||A |,(||0)|A ||A |d b a b A A A ad bc c d c a --⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎢⎥=⇒==-≠⎢⎥-⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦，a b e f ae bg af bh c d g h ce dg cf dh ++⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥++⎣⎦⎣⎦⎣⎦，类似求矩阵特征值及特征向量也是如此.五、优选法与试验设计初步 选修4-7：优选法与试验设计初步。