1.1.2四种命题-数学选修2-1
高中数学选修2-1精品课件11：1.1.2 四种命题
(2)该命题为假． 逆命题：若二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴有公共点， 则b2－4ac<0，为假． 否命题：若二次函数y＝ax2＋bx＋c中b2－4ac≥0， 函数图象与x轴无公共点，为假． 逆否命题：若二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴无公共 点，则b2－4ac≥0，为假．
『规律总结』 判断四种命题真假的方法 (1)要正确理解四种命题间的相互关系． (2)正确利用相关知识进行判断推理． (3)若由“p经逻辑推理得出q”，则命题“若p，则q”为真； 确定“若p，则q”为假时，则只需举一个反例说明．
新知导学 1．互逆命题 一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分 别是另一个命题的_结__论__和_条__件__，那么我们把这样的两 个命题叫做互逆命题，其中一个命题叫做___原__命__题___， 另一个命题叫做原命题的__逆__命__题______．若原命题是 “若p，则q”，则其逆命题为“__若__q_，__则__p____”．
〔跟踪练习 1〕 写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题． (1)若 x2＋y2＝0，则 x、y 全为 0； (2)若 a＋b 是偶数，则 a、b 都是偶数．
解：(1)逆命题：若x、y全为0，则x2＋y2＝0； 否命题：若x2＋y2≠0，则x、y不全为0； 逆否命题：若x、y不全为0，则x2＋y2≠0. (2)逆命题：若a、b都是偶数，则a＋b是偶数； 否命题：若a＋b不是偶数，则a、b不都是偶数； 逆否命题：若a、b不都是偶数，则a＋b不是偶数．
命题方向2 ⇨四种命题真假的判断
典例2 判断下列命题的真假，写出它们的逆命题、否命 题、逆否命题，并判断其真假. (1)若四边形的对角互补，则该四边形是圆的内接四边形； (2)若在二次函数y＝ax2＋bx＋c中，b2－4ac<0，则该函数 图象与x轴有交点．
高中数学人教A版选修2-1课件：1.1.21.1.3《四种命题间的相互关系》
即 原命题: 若p, 则q 逆否命题: 若┐q, 则┐p
例如，命题“同位角相等，两直线平行”的逆否命题是 “两直线不平行，同位角不相等”.
第九页，编辑于星期日：二十三点 二十九分。
三个概念
1.互逆命题：一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一
个命题的结论和条件，那么我们把这样的两个命题叫做互逆命题.其中一个命 题叫做原命题，另一个叫做原命题的逆命题. 2.互否命题：对于两个命题，其中一个命题的条件和结论恰好是另一个命 题的条件的否定和结论的否定，我们把这样的两个命题叫做互否命题.如果 把其中的一个命题叫做原命题，那么另一个叫做原命题的否命题.
讨四种命题的真假关系。
本节课内容较为简单，在教学中可以贯穿教学的连贯 性，同时多借助实例等激发学生学习的积极性。
第二页，编辑于星期日：二十三点 二十九分。
下面是一个关于毛驴的故事：
甲丢失一头跛腿毛驴，四处寻找，恰好看见乙牵着一头跛腿 毛驴经过，甲上前对乙说：“这是我的毛驴，请还给我.”乙说：
“这明明是我的毛驴，怎请么同会学是们你想的想呢这？三”个甲说命：“我的毛驴 是 跛“跛 了从腿 腿上的 ，述， 当两你然人牵是的我的毛的对驴.话”若中题呢没，之？有你间跛能有腿判什，断么就出样不毛的是驴关我的的系.主但人你是牵谁的吗毛？驴”
先从甲、乙的对话中提炼出如下三个命题： （1）甲的毛驴是跛腿的； （2）没有跛腿的毛驴不是甲的； （3）跛腿的毛驴是甲的.
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1 四种命题
目 标
2 四种命题的关系
3 四种命题的真假判断
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请将命题“正弦函数是周期函数”
改写成“若p,则q”的形式.
人教A版高中数学选修2-1课件：1.1.2四种命题
若一个数不是负数,则它的平方不是正数；
•逆否命题:
若一个数的平方不是正数,则它不是负数.
第十四页，编辑于星期日：六点 十四分。
(2)正方形的四条边相等.
• 原命题可以写成:若一个四边形是正方形,
则它的四条边相等.
逆命题:
若一个四边形的四条边相等,则它是正方形；
结论：两直线平行.
它的否命题： 同位角不相等，两直线不平行.
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探究
1.请举出一些互否命题的例子,并判断原 命题与否命题的真假.
2.如果原命题是真命题,那么它的否命题 一定是真命题吗?
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定义
如果一个命题的条件和结论恰好是另 一个命题的结论的否定和条件的否定，那 么把这样的两个命题叫互为逆否命题.如果
第十六页，编辑于星期日：六点 十四分。
小结
• 若p为原命题的条件，q为原命题的结论，则 原命题：若p,则q 逆命题：若q,则p 否命题：若p,则q 逆否命题：若q,则p
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课后作业
课本：P8 习题1.1A组 2
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1.1.2 四种命题
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思考
下列四个命题中,命题(1)与命题(2)(3)(4) 的条件和结论之间分别有什么关系？ （1）若f(x)是正弦函数,则f(x)是周期函数; （2）若f(x)是周期函数,则f(x)是正弦函数; （3）若f(x)不是正弦函数,则f(x)不是周期函 数; （4）若f(x)不是周期函数,则f(x)不是正弦函数.
探究
【全程复习方略】2014-2015学年高中数学 1.1.2四种命题课件 新人教A版选修2-1
【解题探究】1.题(1)中能被5整除的整数个位数字有什么特点? 命题的条件与结论各是什么? 2.题(2)中的命题写成“若p,则q”的形式如何写?
【探究提示】1.能被5整除的整数个位数字是0或5,命题的条件
是“整数的个位数字为5”,结论是“整数能被5整除”.
2.①可写为:若一个数是负数,则它小于零,
1.1.2 四 种 命 题
问题 1.什么是逆命题、否命题、逆否命题? 引航 2.四种命题的条件和结论的相互关系如何?
1.原命题与逆命题
条件 结论 “若q，则p”
2.原命题与否命题
否定
“若﹁p，则﹁q”
3.原命题与逆否命题
否定
互换
“若﹁q，则﹁p”
1.判一判(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)有的命题没有逆命题.( ) ) )
【微思考】
(1)任何一个命题都有逆命题、否命题和逆否命题吗?
提示:因为任何一个命题都包含条件和结论两部分,通过条件和
结论的不同变换都可以得到这个命题的逆命题、否命题和逆否
命题.因此任何一个命题都有逆命题、否命题和逆否命题. (2)解决四种命题转换的关键是什么? 提示:明确原命题的逆命题、否命题、逆否命题的条件和结论 的位臵关系和否定关系是解决四种命题的关键.
②可写为:在三角形中,若边长a最大,则它所对的角A也最大.
【自主解答】(1)命题“个位数字为5的整数能被5整除”是真 命题,它的逆命题为:“能被5整除的整数的个位数字为5”,如 20能被5整除,个位数字为0,是假命题. 答案:真 能被5整除的整数的个位数字为5 假 (2)①原命题:若一个数是负数,则它小于零.真命题. 逆命题:若一个数小于零,则它是负数.真命题. 否命题:若一个数不是负数,则它不小于零.真命题. 逆否命题:若一个数不小于零,则它不是负数.真命题.
高二数学上：选修2-1答案
高二数学上：选修2-1答案答案：选修2-1 §1.1.1 命题 §1.1.2 四种命题1.B2.B3.B4.B5.略6.若 $a^2>9$，则 $a>3$。
假。
7.若 $AB \neq B$，则 $AB \neq A$，真；8.3；9.原命题是真命题，则它的逆否命题是真命题。
10.略。
11.原命题真；逆命题：“已知 $\alpha,\beta \in \{x|x\neqk\pi+\pi,k\in Z\}$，若 $\tan\alpha=\tan\beta$，则 $\alpha=\beta$”假；否命题：“已知 $\alpha,\beta \in \{x|x\neq k\pi+\pi,k\in Z\}$，若 $\alpha\neq\beta$，则 $\tan\alpha\neq\tan\beta$”假；逆否命题：“已知 $\alpha,\beta \in \{x|x\neq k\pi+\pi,k\in Z\}$，若$\tan\alpha\neq\tan\beta$，则 $\alpha\neq\beta$”真。
改写：选修2-1 §1.1.1 命题 §1.1.2 四种命题1.B2.B3.B4.B5.略6.若 $a^2>9$，则 $a>3$。
这是错误的。
7.若 $AB \neq B$，则 $AB \neq A$，这是正确的；8.3；9.原命题是真命题，则它的逆否命题也是真命题。
10.略。
11.原命题是真命题；逆命题：“已知 $\alpha,\beta \in\{x|x\neq k\pi+\pi,k\in Z\}$，若 $\tan\alpha=\tan\beta$，则$\alpha=\beta$”是错误的；否命题：“已知 $\alpha,\beta \in\{x|x\neq k\pi+\pi,k\in Z\}$，若 $\alpha\neq\beta$，则$\tan\alpha\neq\tan\beta$”是错误的；逆否命题：“已知$\alpha,\beta \in \{x|x\neq k\pi+\pi,k\in Z\}$，若$\tan\alpha\neq\tan\beta$，则 $\alpha\neq\beta$”是正确的。
高中数学选修2-1 1.1.2 四种命题课件
结 论 1
原命题的真假和 逆命题的真假没有关 系。
二.四种命题的关系
2.互否命题的真假关系
判断下列否命题的真假，并总结规律。
原命题：若a>b，则a+c>b+c 否命题：若a≤b，则a+c≤b+c
真 真
原命题与其否 命题的真假是 否存在相关性 呢?
真 原命题：若四边形是正方形，则四边形两对角线垂直。 假 否命题：若四边形不是正方形，则四边形两对角线不垂直。
否命题与命题的否定
否命题是用否定条件也否定结论的方式 构成新命题。 命题的否定是逻辑联结词“非”作用于 判断,只否定结论不否定条件。 对于原命题: 若 p , 则 q 有 否命题: 若┐p , 则┐q 。 命题的否定: 若 p ，则┐q 。
一.四种命题的概念
分别写出下列命题。
3.知识巩固
p 4. 若f(x)不是周期函数，则f(x)不是正弦函数. ┐q
q
┐p
互为逆否命题 原命题 (原命题的)逆否命题
原命题: 若p, 则q 逆否命题: 若┐q, 则┐p
例如，命题“同位角相等，两直线平行”的逆否命题是 “两直线不平行，同位角不相等”。
三个概念
１、互逆命题：如果第一个命题的条件（或题设）是第二个 命题的结论，且第一个命题的结论是第二个命题的条件，那 么这两个命题叫互逆命题。如果把其中一个命题叫做原命题， 那么另一个叫做原命题的逆命题。 ２、互否命题：如果第一个命题的条件和结论是第二个命题 的条件和结论的否定，那么这两个命题叫做互否命题。如果 把其中一个命题叫做原命题，那么另一个叫做原命题的否命 题。 ３、互为逆否命题：如果第一个命题的条件和结论分别是第 二个命题的结论的否定和条件的否定，那么这两个命题叫做 互为逆否命题。
高二数学人教A版选修2-1课件：1.1.2-1.1.3 四种命题、四种命题间的相互关系
12
写出命题“奇函数的图象关于原点对称”的逆命题、否命题和逆否命题. 提示:由于原命题不是以“若p,则q”的形式出现,因此首先应将命题“奇函数的图象关于原点对称”改写成“若 函数f(x)是奇函数,那么f(x)的图象关于原点对称”. 逆命题:若函数f(x)的图象关于原点对称,那么 f(x) 是奇函数; 否命题:若函数f(x)不是奇函数,那么f(x)的图象不关于原点对称; 逆否命题:若函数f(x)的图象不关于原点对称,那么f(x)不是奇函数.
其中真命题的个数是( )
A.0
B.1
C.2
D.3
答案:B 解析:①否命题是“若x+y≠0,则x,y不互为相反数”,是真命题. ②原命题为假命题,从而逆否命题为假命题. ③否命题为“若x>3,则x2-x-6≤0”,是假命题.
一二
知识精要典题例解源自迁移应用2.把命题“当x=2时,x2-3x+2=0”写成“若p,则 q” 的形式,写出它们的逆命题、否命题与逆否命题,并判断真假. 解:原命题:若x=2,则x2-3x+2=0. 逆命题:若x2-3x+2=0,则x=2,假命题. 否命题:若x≠2,则x2-3x+2≠0,假命题. 逆否命题:若x2-3x+2≠0,则x≠2,真命题.
∵p2+q2=12[(p-q)2+(p+q)2]≥12(p+q)2>12×22=2,∴p2+q2≠2. ∴原命题的逆否命题为真命题,从而原命题也为真命题.
一 二三四
知识精要
典题例解
迁移应用
一二
知识精要
典题例解
迁移应用
1.有下列三个命题: ①“若x+y=0,则x,y互为相反数”的否命题; ②“若a≥b,则a2≥b2”的逆否命题; ③“若x≤3,则x2-x-6>0”的否命题.
【人教A版】高中选修2-1数学：1.1.2-四种命题-教学课件
思考2
除了命题与逆命题之外，是否还有其它形式的命题？ 答案 有.
梳理
名称
阐释
对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题 互逆 的 结论和条件，那么我们把这样的两个命题叫做互逆命题.其中
4.反证法与逆否证法的区别 (1)目的不同：反证法否定结论的目的是推出矛盾，而逆否证法否定结论 的目的是推出“綈p”(即否定条件)； (2)本质不同：逆否证法实质是证明一个新命题(逆否命题)成立，而反证 法是把否定的结论作为新的条件连同原有的条件进行逻辑推理，直至推 出矛盾，பைடு நூலகம்而肯定原命题的结论.
反思与感悟
若原命题为真命题，则它的逆命题、否命题可能为真命题，也可能为假 命题. 原命题与逆否命题互为逆否命题，否命题与逆命题互为逆否命题.互为逆 否命题的两个命题的真假性相同. 在原命题及其逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数要么是0， 要么是2，要么是4.
跟踪训练2 下列命题中为真命题的是 答案 解析
反思与感悟
由原命题写出其他三种命题的关键是找到原命题的条件和结论，根据其 他三种命题的定义，确定所写命题的条件和结论.
跟踪训练1 写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题. (1)实数的平方是非负数； 解答
逆命题：若一个数的平方是非负数，则这个数是实数. 否命题：若一个数不是实数，则它的平方不是非负数. 逆否命题：若一个数的平方不是非负数，则这个数不是实数.
类型三 反证法的应用
证明
反思与感悟
(1)求解此类含有“至少”“至多”等命题，常利用反证法来证明.用反 证法证明命题的一般步骤：①假设命题的结论不成立，即假设结论的反 面成立；②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；③由矛盾得出 假设不正确，从而肯定命题的结论正确. (2)常见的一些词语和它们的否定词语对照如下：
人教版数学选修2—1作业本答案与提示
人教版数学选修2—1作业本答案与提示第一章常用逻辑用语1．1．命题及其关系1．1．1命题1．1．2 四种命题1．C 2．C 3．D 4．若A不是B的子集，则A∪B≠B5．①6．逆7．(1)若一个数为一个实数的平方，则这个数为非负数．真命题(2)若两个三角形等底等高，则这两个三角形全等．假命题8．原命题：在平面中，若两条直线平行，则这两条直线不相交．逆命题：在平面中，若两条直线不相交，则这两条直线平行．否命题：在平面中，若两条直线不平行，则这两条直线相交．逆否命题：在平面中?若两条直线相交，则这两条直线不平行。
以上均为真命题9．若ab≠0，则a，b都不为零．真命题10．逆否命题：已知函数f(x)在R上为增函数，a,b∈R，若f(a)+f(b)＜f(－a)+f(－b)，则a+b ＜0，真命题．证明略11．甲1．1．3 四种命题间的相互关系1．C 2．D 3．B 4．0个、2个或4个5．原命题和逆否命题6．若a+b是奇数，则a,b至少有一个是偶数；真7．逆命题：若a^2＝b^2，则a＝b．假命题．否命题：若a≠b，则a^2≠b^2．假命题．逆否命题：若a^2≠b^2，则a≠b．真命题8．用原命题与逆否命题的等价性来证．假设a,b,c都是奇数，则a^2,b^2,c2也都是奇数，又a^2+b^2=c^2，则两个奇数之和为奇数，这显然不可能，所以假设不成立，即a，b，c不可能都是奇数9．否命题：若a^2+b^2≠0，则a≠0或b≠0．真命题．逆否命题：若a≠0，或b≠0，则a2+b2≠0．真命题10．真┌(4a)2一4(一4a+3)＜0，11．三个方程都没有实数根的情况为┤(a－1)2一4a2＜0，=>－3/2＜a＜－l└4a2+8a＜0所以实数a的取值范围a≥一l，或a≤－3/21．2 充分条件与必要条件1．2．1 充分条件与必要条件1．A 2．B 3．A 4．(1) ≠> (2) ≠> (3) ≠> (4)≠>5．充分不必要6．必要不充分7．“c≤d”是“e≤f”的充分条件8．充分条件，理由略9．一元二次方程ax^2+2x+l＝0 (a≠0)有一个正根和一个负根的充要条件为a＜0 10．m≥911．是1．2．2 充要条件1．C 2．B 3．D 4．假；真5．C和D 6．λ+μ=17．略8．a=－39．a≤l10．略11．q=－1，证明略1．3 简单的逻辑联结词1．3．1 且(and)1．3．2 或(or)1．3．3 非(not)1．A 2．C 3．C 4．真5．①③6．必要不充分7．(1)p:2＜3或q:2=3；真(2)p:1是质数或q:1是合数；假(3)非p,p:0∈φ；真(4)p:菱形对角线互相垂直且q:菱形对角线互相平分；真8，(1)p∧q:5既是奇数又是偶数，假；p∨q:5是奇数或偶数，真；┑p:5不是偶数，真(2)p∧q:4＞6且4+6≠10，假；p∨q:4＞6或4+6≠10，假；┑p:4≤6，真9．甲的否定形式：x∈A，且x∈B；乙的否命题：若(x－1)(x－2)＝0，则x=1，或x=2 10．m＜－l 11．(5/2，+∞)1．4 全称量词与存在量词1．4．1 全称量词1．4．2 存在量词1．D 2．C 3．(1)真(2)真4，③5．所有的直角三角形的三边都满足斜边的平方等于两直角边的平方和6．若一个四边形为正方形，则这个四边形是矩形；全称；真7．(1)x，x^2≤0(2)对x，若6｜x则3｜x (3)正方形都是平行四边形8．(1)全称；假(2)特称；假(3)全称；真(4)全称；假9．p∧q:有些实数的绝对值是正数且所有的质数都是奇数，假；p∨q:有些实数的绝对值是正数或所有的质数都是奇数，真；┑p:所有实数的绝对值都不是正数，假10．(1)存在，只需m＞一4即可(2)(4，+∞)11．a≥一21．4．3 含有一个量词的命题的否定1．C 2．A 3．C 4．存在一个正方形不是菱形5．假6．所有的三角形内角和都不大于180°7．(1)全称；┑p假(2)全称；┑p假(3)全称；┑p真8．(1)┑p:存在平方和为0的两个实数，它们不都为0(至少一个不为0)；假⑵┑p: 所有的质数都是偶数；假(3)┑p:存在乘积为0的三个实数都不为0；假9．(1)假(2)真(3)假(4)真10．a≥311．(一√2，2)单元练习1．B 2．B 3．B 4．B 5．B 6．D 7．B 8．D 9．C 10．D11．5既是17的约数，又是15的约数：假12．[1，2)13．在△ABC中，若∠C≠90°，则∠A，∠B不都是锐角14．充要；充要；必要15．b≥0 16．既不充分也不必要17．①③④18．a≥319．逆命题：两个三角形相似，则这两个三角形全等；假；否命题：两个三角形不全等，则这两个三角形不相似；假；逆否命题：两个三角形不相似，则这两个三角形不全等；真；命题的否定：存在两个全等三角形不相似；假20．充分不必要条件21．令f(x) = x^2+(2k一1)x+k^2，方程有两个大于1的实数根┌ △=(2k2－1)－4k2≥0，<=>┤－＞1，即是k＜－2，所以其充要条件为k＜－2．└ f (1)＞0，22．(－3，2]10．a√3/3。
2019-2020人教A版数学选修2-1 第1章 1.1.2 四种命题 1.1.3 四种命题间的相互关系
1.1.2四种命题1.1.3四种命题间的相互关系1．四种命题的概念及表示形式(1)四种命题之间的关系(2)四种命题间的真假关系①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．思考：(1)“a＝b＝c＝0”的否定是什么？(2)在原命题，逆命题、否命题和逆否命题四个命题中．真命题的个数会是奇数吗？[提示](1)“a＝b＝c＝0”的否定是“a，b，c至少有一个不等于0”．(2)真命题的个数只能是0，2，4，不会是奇数．1．命题“若一个数是负数，则它的相反数是正数”的逆命题是()A．“若一个数是负数，则它的相反数不是正数”B．“若一个数的相反数是正数，则它是负数”C．“若一个数不是负数，则它的相反数不是正数”D．“若一个数的相反数不是正数，则它不是负数”B[根据逆命题的定义知，选B.]2．命题“若m＝10，则m2＝100”与其逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题是()A．原命题、否命题B．原命题、逆命题C．原命题、逆否命题D．逆命题、否命题C[原命题正确，则逆否命题正确，逆命题不正确，从而否命题不正确．故选C.]3．命题“若f(x)是奇函数，则f(－x)是奇函数”的否命题是()A．若f(x)是偶函数，则f(－x)是偶函数B．若f(x)不是奇函数，则f(－x)不是奇函数C．若f(－x)是奇函数，则f(x)是奇函数D．若f(－x)不是奇函数，则f(x)不是奇函数B[原命题的条件是f(x)是奇函数，结论是f(－x)是奇函数，同时否定条件和结论即得否命题，即：若f(x)不是奇函数，则f(－x)不是奇函数．] 4．命题“若ab＝0，则a＝0”与命题“若a＝0，则ab＝0”是________命题．(填“互逆”“互否”“互为逆否”)互逆[两个命题的条件和结论交换了，满足互逆命题的概念．]否命题和逆否命题．(1)相似三角形对应的角相等；(2)当x>3时，x2－4x＋3>0；(3)正方形的对角线互相平分．[解](1)原命题：若两个三角形相似，则这两个三角形的三个角对应相等；逆命题：若两个三角形的三个角对应相等，则这两个三角形相似；否命题：若两个三角形不相似，则这两个三角形的三个角对应不相等；逆否命题：若两个三角形的三个角对应不相等，则这两个三角形不相似．(2)原命题：若x>3，则x2－4x＋3>0；逆命题：若x2－4x＋3>0，则x>3；否命题：若x≤3，则x2－4x＋3≤0；逆否命题：若x2－4x＋3≤0，则x≤3.(3)原命题：若一个四边形是正方形，则它的对角线互相平分；逆命题：若一个四边形对角线互相平分，则它是正方形；否命题：若一个四边形不是正方形，则它的对角线不互相平分；逆否命题：若一个四边形对角线不互相平分，则它不是正方形．1．写出一个命题的逆命题，否命题，逆否命题的方法(1)写命题的四种形式时，首先要找出命题的条件和结论，然后写出命题的条件的否定和结论的否定，再根据四种命题的结构写出所求命题．(2)在写命题时，为了使句子更通顺，可以适当地添加一些词语，但不能改变条件和结论．2．写否命题时应注意一些否定词语，列表如下：1．(1)命题“若y＝kx，则x与y成正比例关系”的否命题是()A．若y≠kx，则x与y成正比例关系B．若y≠kx，则x与y成反比例关系C．若x与y不成正比例关系，则y≠kxD．若y≠kx，则x与y不成正比例关系D[条件的否定为y≠kx，结论的否定为x与y不成正比例关系，故选D.](2)命题“若ab≠0，则a，b都不为零”的逆否命题是________．若a，b至少有一个为零，则ab＝0[“ab≠0”的否定是“ab＝0”，“a，b 都不为零”的否定是“a，b中至少有一个为零”，因此逆否命题为“若a，b至少有一个为零，则ab＝0”．]它的逆命题、否命题、逆否命题，在这4个命题中，真命题的个数为() A．0个B．1个C．2个D．4个(2)判断命题“若a≥0，则x2＋x－a＝0有实根”的逆否命题的真假．思路探究：(1)只需判断原命题和逆命题的真假即可．(1)C[当c＝0时，ac2>bc2不成立，故原命题是假命题，从而其逆否命题也是假命题；原命题的逆命题为“若ac2>bc2，则a>b”是真命题，从而其否命题也是真命题，故选C.](2)解：法一：原命题的逆否命题：若x2＋x－a＝0无实根，则a<0.∵x2＋x－a＝0无实根，∴Δ＝1＋4a<0，解得a<－14<0，∴原命题的逆否命题为真命题．法二：∵a≥0，∴4a≥0，∴对于方程x2＋x－a＝0，根的判别式Δ＝1＋4a>0，∴方程x2＋x－a＝0有实根，故原命题为真命题．∵原命题与其逆否命题等价，∴原命题的逆否命题为真命题．判断命题真假的方法(1)解决此类问题的关键是牢记四种命题的概念，正确地写出所涉及的命题，判定为真的命题需要简单的证明，判定为假的命题要举出反例加以验证．(2)原命题与它的逆否命题同真同假，原命题的否命题与它的逆命题同真同假，故二者只判断一个即可．2．判断下列四个命题的真假，并说明理由．(1)“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的否命题；(2)“若x>y，则x2>y2”的逆否命题；(3)“若x≤3，则x2－x－6>0”的否命题；(4)“对顶角相等”的逆命题．[解](1)命题“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题为“若x，y互为相反数，则x＋y＝0”，则逆命题为真命题，因为原命题的逆命题和否命题具有相同的真假性，所以“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的否命题是真命题．(2)令x＝1，y＝－2，满足x>y，但x2<y2，所以“若x>y，则x2>y2”是假命题，因为原命题与其逆否命题具有相同的真假性，所以“若x>y，则x2>y2”的逆否命题也是假命题．(3)该命题的否命题为“若x>3，则x2－x－6≤0”，令x＝4，满足x>3，但x2－x－6＝6>0，不满足x2－x－6≤0，则该否命题是假命题．(4)该命题的逆命题为“相等的角是对顶角”是假命题，如等边三角形的任意两个内角都相等，但它们不是对顶角．1．当一个命题的条件与结论以否定形式出现时，为了研究方便，我们可以研究哪一个命题？[提示]一个命题与其逆否命题等价，我们可研究其逆否命题．2．在证明“若m2＋n2＝2，则m＋n≤2”时，我们也可以证明哪个命题成立．[提示]根据一个命题与其逆否命题等价，我们也可以证明“若m＋n>2，则m2＋n2≠2”成立．【例3】(1)命题“对任意x∈R，ax2－2ax－3>0不成立”是真命题，则实数a的取值范围是________．(2)证明：已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，a，b∈R，若f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)，则a＋b≥0.思路探究：(1)根据其逆否命题求解．(2)证明其逆否命题成立．(1)[－3，0][∵命题“对任意x∈R，ax2－2ax－3＞0不成立”等价于“对任意x ∈R ，ax 2－2ax －3≤0恒成立”，若a ＝0，则－3≤0恒成立，∴a ＝0符合题意． 若a ≠0，由题意知⎩⎨⎧a <0，Δ＝4a 2＋12a ≤0，即⎩⎨⎧a <0，－3≤a ≤0， ∴－3≤a <0，综上知，a 的取值范围是[－3，0]．](2)证明：原命题的逆否命题为“已知函数f (x )是(－∞，＋∞)上的增函数，a ，b ∈R ，若a ＋b <0，则f (a )＋f (b )<f (－a )＋f (－b )”．若a ＋b <0，则a <－b ，b <－a .又∵f (x )在(－∞，＋∞)上是增函数， ∴f (a )<f (－b )，f (b )<f (－a )， ∴f (a )＋f (b )<f (－a )＋f (－b )． 即原命题的逆否命题为真命题． ∴原命题为真命题．1．若一个命题的条件或结论含有否定词时，直接判断命题的真假较为困难，这时可以转化为判断它的逆否命题．2．当证明一个命题有困难时，可尝试证明其逆否命题成立．3．证明：若a 2－4b 2－2a ＋1≠0，则a ≠2b ＋1.[证明] “若a 2－4b 2－2a ＋1≠0，则a ≠2b ＋1”的逆否命题为“若a ＝2b ＋1，则a 2－4b 2－2a ＋1＝0”．∵a ＝2b ＋1，∴a 2－4b 2－2a ＋1 ＝(2b ＋1)2－4b 2－2(2b ＋1)＋1 ＝4b 2＋1＋4b －4b 2－4b －2＋1＝0.∴命题“若a ＝2b ＋1，则a 2－4b 2－2a ＋1＝0”为真命题． 由原命题与逆否命题具有相同的真假性可知，原命题得证．1．“命题”的三个关注点(1)我们研究四种命题，一般只研究“若p，则q”形式的命题；有些命题虽然不是这种形式，但可以化为“若p，则q”的形式．(2)对“命题的逆命题、否命题与逆否命题”只要求作一般性的了解，定位在具体、简单的数学命题，重点是四种命题的构成形式及其真假判断．(3)四种命题是相对的，一个命题是什么命题不是固定不变的，但只要我们事先规定好哪个命题是原命题，那么它的其他形式的命题就确定了．2．“互逆命题”“互否命题”“互为逆否命题”与“逆命题”“否命题”“逆否命题”的区别两者具有不同的含义，具体区分如下：前者说的是两个命题的关系，同时涉及两个命题；后者是指与确定的原命题为“互逆”“互否”“互为逆否”关系的那一个命题.1．命题“若a A，则b∈B”的逆命题是()A．若a A，则b B B．若a∈A，则b BC．若b∈B，则a A D．若b B，则a AC[“若p，则q”的逆命题是“若q，则p”，所以本题的逆命题是“若b∈B，则a A”．]2．已知a，b，c∈R，命题“若a＋b＋c＝3，则a2＋b2＋c2≥3”的否命题是()A．若a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c2<3B．若a＋b＋c＝3，则a2＋b2＋c2<3C．若a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c2≥3D．若a2＋b2＋c2≥3，则a＋b＋c＝3A[同时否定命题的条件与结论，所得命题就是原命题的否命题，故选A.] 3．命题“若a>－3，则a>－6”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为()A．1B．2C．3 D．4B[原命题是真命题，从而其逆否命题是真命题，其逆命题是“若a>－6，则a>－3”，是假命题，从而其否命题也是假命题，故真命题的个数是2.] 4．命题“若m＞1，则mx2－2x＋1＝0无实根”的等价命题是________．若mx2－2x＋1＝0有实根，则m≤1[原命题的等价命题是其逆否命题，由定义可知其逆否命题为：“若mx2－2x＋1＝0有实根，则m≤1”．]。
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(3)若f ( x)不是正弦函数，则f ( x)不是周期函数；
(4)若f ( x)不是周期函数，则f ( x)不是正弦函数；
互逆命题： 如果第一个命题的条件是第二个命题的结论， 互逆命题： 如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，且 第一个命题的结论是第二个命题的条件， 第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这 两个命题叫做互逆命题。 两个命题叫做互逆命题。 若把其中一个命题叫做原命题， 若把其中一个命题叫做原命题，那么另一个叫 做原命题的逆命题 互否命题： 互否命题： 如果一个命题的条件 结论， 条件和 如果一个命题的条件和结论，分别是另一个命题 条件的否定和结论的否定， 的条件的否定和结论的否定，这样两个命题叫做 互否命题。 互否命题。 若把其中一个命题叫做原命题，那么另一个叫 若把其中一个命题叫做原命题， 做原命题的否命题 如果一个命题的条件 结论， 条件和 互为逆否 如果一个命题的条件和结论，分别是另一个命题 命题： 命题： 结论的否定和条件的否定， 的结论的否定和条件的否定，这样两个命题叫做 互为逆否命题。 互为逆否命题。 若把其中一个命题叫做原命题，那么另一个叫 若把其中一个命题叫做原命题， 做原命题的逆否命题
练习：写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题， 练习：写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题，并判断 它们的真假 （1）若一个整数的末位数字是0，则这个数能被5整除； （2）若一个三角形有两条边相等，则这个三角形有两个角相等； （3）奇函数的图像关于原点对称 解：
（1）逆命题：若一个整数能被5整除，则这个数的末位数字是0 否命题：若一个整数的末位数字不是0，则这个数不能被5整除 逆否命题：若一个整数不能被5整除，则这个数的末位数字不是0
真 真 真
总结：
1、四种命题的概念
课本第8页 A组2、3题
假 假 真
（2）逆命题：若一个三角形有两个角相等，则这个三角形有两条边相等 逆命题：若一个三角形没有两条边相等，则这个三角形没有两个角相等
真 真
逆否命题：若一个三角形没有两个角相等，则这个三角形没有两条边相等真
（3）逆命题：若一个函数的图像关于原点对称，则这个函数是奇函数 否命题：若一个函数不是奇函数，则这个函数的图像不关于原点对称 逆命题：若一个函数的图像不关于原点对称，则这个函数不是奇函数
1.1.2 四种命题
思考1 下列四个命题中，命题（ 思考1：下列四个命题中，命题（1）与命题（2）（3） 与命题（ ）（3 的条件和结论之间分别有什么关系？ （4）的条件和结论之间分别有什么关系？
(1)若f ( x)是正弦函数，则f ( x)是周期函数； (2)若f ( x)是周期函数，则f ( x)是正弦函数；
解：
(3)原命题：若一个数是正偶数，则它不是质数 原命题：若一个数是正偶数， 原命题 逆命题： 逆命题： 若一个数不是质数， 若一个数不是质数，则它是正偶数 否命题：若一个数不是正偶数， 否命题：若一个数不是正偶数，则它是质数 逆否命题： 若一个数是质数，则它不是正偶数 逆否命题： 若一个数是质数， (4) 原命题：若两个三角形全等，则它们相似 原命题：若两个三角形全等， 逆命题：若两个三角形相似， 逆命题：若两个三角形相似，则它们全等 否命题： 否命题： 若两个三角形不全等，则它们不相似 若两个三角形不全等， 若两个三角形不相似， 若两个三角形不相似，则它们不全等 逆否命题： 逆否命题：
， （1）原命题： 若x+3=8，则x =5 ）原命题： 逆命题： 逆命题： 若x=5 ，则x+3=8 否命题： 若x+3≠8，则x ≠ 5 否命题： ， 逆否命题： 若 逆否命题： x ≠ 5 ，则x+3≠8 (2)原命题： 若一个三角形是正三角形，则它的三个内角相等 原命题： 若一个三角形是正三角形， 原命题 逆命题： 若一个三角形的三个内角相等， 逆命题： 若一个三角形的三个内角相等，则它是正三角形 否命题： 若一个三角形不是正三角形， 否命题： 若一个三角形不是正三角形，则它的三个内角不相等 逆否命题： 若一个三角形的三个内角不相等，则它不是正三角形 逆否命题： 若一个三角形的三个内角不相等，
四种命题的一般形式： 四种命题的一般形式：
原命题： 原命题：若p 则q 逆命题： 逆命题：若q 则 p 否命题： 否命题：若 逆否命题： 逆否命题：若 p 则 q q 则 p
例1： ： 把下列命题改写成“若p则q”的形式，并写出它们的 把下列命题改写成“ q”的形式， 的形式
逆命题， 逆命题，否命题与逆否命题 x+3=8,得 (2)正三角形的三个内角相等 (1)由x+3=8,得x=5 (2)正三角形的三个内角相等 (3)正偶数不是质数 (4)全等三角形相似 (3)正偶数不是质数 (4)全等三角形相似