高考数学圆锥曲线的方程与性质
高考数学 圆锥曲线的概念,解题方法、题型、易误点总结 试题
卜人入州八九几市潮王学校数学概念、方法、题型、易误点技巧总结——圆锥曲线
1.圆锥曲线的两个定义：
〔1〕第一定义中要重视“括号〞内的限制条件：椭圆中，与两个定点F，F的间隔的和等于常数，且此常数一定要大于，当常数等于时，轨迹是线段FF，当常数小于时，无轨迹；双曲线中，与两定点F，F的间隔的差的绝对值等于常数，且此常数一定要小于|FF|，定义中的“绝对值〞与＜|FF|不可无视。假设＝|FF|，那么轨迹是以F，F为端点的两条射线，假设﹥|FF|，那么轨迹不存在。假设去掉定义中的绝对值那么轨迹仅表示双曲线的一支。比方： ①定点，在满足以下条件的平面上动点P的轨迹中是椭圆的是
A．B．
C． D．〔答：C〕；
②方程表示的曲线是_____〔答：双曲线的左支〕 〔2〕第二定义中要注意定点和定直线是相应的焦点和准线，且“点点距为分子、点线距为分母〞，其商即是离心率。圆锥曲线的第二定义，给出了圆锥曲线上的点到焦点间隔与此点到相应准线间隔间的关系，要擅长运用第二定义对它们进展互相转化。 如点及抛物线上一动点P〔x,y〕,那么y+|PQ|的最小值是_____〔答：2〕
2.圆锥曲线的HY方程〔HY方程是指中心〔顶点〕在原点，坐标轴为对称轴时的HY位置的方程〕： 〔1〕椭圆：焦点在轴上时〔〕〔参数方程，其中为参数〕，焦点在轴上时＝1〔〕。方程表示椭圆的充要条件是什么？〔ABC≠0，且A，B，C同号，A≠B〕。比方：
①方程表示椭圆，那么的取值范围为____〔答：〕； ②假设，且，那么的最大值是____，的最小值是___〔答：〕
〔2〕双曲线：焦点在轴上：=1，焦点在轴上：＝1〔〕。方程表示双曲线的充要条件是什么？〔ABC≠0，且A，B异号〕。比方：
①双曲线的离心率等于，且与椭圆有公一共焦点，那么该双曲线的方程_______〔答：〕； ②设中心在坐标原点，焦点、在坐标轴上，离心率的双曲线C过点，那么C的方程为_______〔答：〕
高考数学中的常见圆锥曲线
高考数学中的常见圆锥曲线
圆锥曲线是高中数学中重要的一章内容，也是高考中经常出现的考点之一。圆锥曲线是平面解析几何的基础，对于学习解析几何和进一步学习微积分等数学课程具有重要的意义。在高考数学中，常见的圆锥曲线有椭圆、双曲线和抛物线。接下来，我们将对每种圆锥曲线进行详细的介绍。
一、椭圆
椭圆是圆锥曲线中的一种，其定义为到定点F1和F2的距离之和等于定长2a的点P的轨迹。其中，F1和F2是称为焦点的点，2a称为椭圆的长轴。椭圆的其他要素有：
1. 焦距：定义为焦点之间的距离，记作2c。
2. 离心率：定义为焦距与长轴之比，记作e。在椭圆中，离心率小于1。
3. 扁压比：定义为短轴与长轴之比，记作b/a。在椭圆中，扁压比小于1。
椭圆的方程可以通过坐标系中点P(x,y)到焦点F1、F2的距离之和等于定长2a来表示。椭圆的标准方程为：
(x-x0)^2/a^2 + (y-y0)^2/b^2 = 1
在高考中，关于椭圆的考点主要包括椭圆的性质和椭圆的方程与图像等方面的题目。 二、双曲线
双曲线是圆锥曲线中的另一种，其定义为到定点F1和F2的距离之差等于定常2a的点P的轨迹。其中，F1和F2是称为焦点的点，2a称为双曲线的距。双曲线的其他要素有：
1. 焦距：定义为焦点之间的距离，记作2c。
2. 离心率：定义为焦距与距之比，记作e。在双曲线中，离心率大于1。
3. 长半轴：定义为从顶点到较远焦点的距离，记作a。
4. 短半轴：定义为从顶点到双曲线与x轴或y轴的交点的距离，记作b。在双曲线中，短半轴小于距。
双曲线的标准方程为：
(x-x0)^2/a^2 - (y-y0)^2/b^2 = 1
在高考中，关于双曲线的考点主要包括双曲线的性质和双曲线的方程与图像等方面的题目。
三、抛物线
抛物线是圆锥曲线中的最后一种，其定义为点P到定直线（直矩）的距离等于点P到定直线（焦准）的距离。抛物线的定直线称为准线，定直线的焦点称为焦点，焦距的两倍称为抛物线的焦距。抛物线的标准方程为：
高考数学复习考点突破专题讲解12 圆锥曲线的方程与性质
高考数学复习考点突破专题讲解
第12讲 圆锥曲线的方程与性质
一、单项选择题
1.(2022·广东惠州一模)若抛物线y2=2px(p>0)上一点P(2,y0)到其焦点的距离为4,则抛物线的标准方
程为()
A.y2=2x B.y2=4x C.y2=6x D.y2=8x
2.(2022·山东临沂二模)已知双曲线C:
=1(a>0,b>0)的焦距为4 ,实轴长为4,则C的渐近线方
程为()
A.y=±2x B.y=± x C.y=± x D.y=± x
3.(2022·广东肇庆二模)已知F1,F2分别是椭圆C:
=1(a>b>0)的左、右焦点,A是椭圆上一点,O
为坐标原点,若|OA|=|OF1|,直线F2A的斜率为-3,则椭圆C的离心率为()
A. B. C. D.
4.(2022·河北保定高三期末)为了更好地研究双曲线,某校高二年级的一位数学老师制作了一个如图
所示的双曲线模型.已知该模型左、右两侧的两段曲线(曲线AB与曲线CD)为某双曲线(离心率为2)
的一部分,曲线AB与曲线CD中间最窄处间的距离为30 cm,点A与点C,点B与点D均关于该双曲
线的对称中心对称,且|AB|=36 cm,则|AD|=()
A.12 cm B.6 cm
C.38 cm D.6 cm
5.(2022·全国甲·文11)已知椭圆C:
=1(a>b>0)的离心率为 ,A1,A2分别为C的左、右顶点,B为
C的上顶点.若
=-1,则C的方程为()
A. =1 B. =1
C. =1 D. +y2=
1 6.(2022·广东执信中学模拟)已知双曲线C的离心率为 ,F1,F2是C的两个焦点,P为C上一
点,|PF1|=3|PF2|,若△PF1F2的面积为 ,则双曲线C的实轴长为()
A.1 B.2 C.3 D.4
7.(2022·江西宜春期末)已知抛物线E:y2=8x的焦点为F,P是抛物线E上的动点,点Q与点F关于坐标
原点对称,当
取得最小值时,△PQF的外接圆半径为()
高考数学圆锥曲线的定义及应用
word 1 / 7 圆锥曲线的定义及应用
一、圆锥曲线的定义
1. 椭圆：到两个定点的距离之和等于定长（定长大于两个定点间的距离）的动点的轨迹叫做椭圆。即：{P| |PF1|+|PF2|=2a, (2a>|F1F2|)}。
2. 双曲线：到两个定点的距离的差的绝对值为定值（定值小于两个定点的距离）的动点轨迹叫做双曲线。即{P|||PF1|-|PF2||=2a, (2a<|F1F2|)}。
3. 圆锥曲线的统一定义：到定点的距离与到定直线的距离的比e是常数的点的轨迹叫做圆锥曲线。当01时为双曲线。
二、圆锥曲线的方程。
1.椭圆：+=1（a>b>0）或+=1（a>b>0）（其中，a2=b2+c2）
2.双曲线：-=1（a>0, b>0）或-=1（a>0, b>0）（其中，c2=a2+b2）
3.抛物线：y2=±2px（p>0），x2=±2py（p>0）
三、圆锥曲线的性质
1.椭圆：+=1（a>b>0）
（1）X围：|x|≤a，|y|≤b
（2）顶点：(±a,0)，(0,±b)
（3）焦点：(±c,0)
（4）离心率：e=∈(0,1)
（5）准线：x=±
2.双曲线：-=1（a>0, b>0）
（1）X围：|x|≥a, y∈R
（2）顶点：(±a,0)
（3）焦点：(±c,0)
（4）离心率：e=∈(1,+∞) word 2 / 7 （5）准线：x=±
（6）渐近线：y=±x
3.抛物线：y2=2px(p>0)
（1）X围：x≥0, y∈R
（2）顶点：（0,0）
（3）焦点：（,0）
（4）离心率：e=1
（5）准线：x=-
四、例题选讲：
例1.椭圆短轴长为2，长轴是短轴的2倍，则椭圆中心到准线的距离是__________。 解：由题：2b=2，b=1，a=2，c==，则椭圆中心到准线的距离：==。
高考数学一轮复习讲义：圆锥曲线方程及性质 试题
卜人入州八九几市潮王学校圆锥曲线方程及性质
一．【课标要求】
1．理解圆锥曲线的实际背景，感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用；
2．经历从详细情境中抽象出椭圆、抛物线模型的过程，掌握它们的定义、HY方程、几何图形及简单性质；
3．理解双曲线的定义、几何图形和HY方程，知道双曲线的有关性质
本讲内容是圆锥曲线的根底内容，也是高考重点考察的内容，在每年的高考试卷中一般有2～3道客观题，难度上易、中、难三档题都有，主要考察的内容是圆锥曲线的概念和性质，从近十年高考试题看主要考察圆锥曲线的概念和性质。圆锥曲线在高考试题中占有稳定的较大的比例，且选择题、填空题和解答题都涉及到，客观题主要考察圆锥曲线的根本概念、HY方程及几何性质等根底知识和处理有关问题的根本技能、根本方法
对于本讲内容来讲，预测2021年：
〔1〕1至2道考察圆锥曲线概念和性质客观题，主要是求值问题；
〔2〕可能会考察圆锥曲线在实际问题里面的应用，结合三种形式的圆锥曲线的定义。
三．【要点精讲】
1．椭圆
〔1〕椭圆概念
平面内与两个定点1F、2F的间隔的和等于常数〔大于21||FF〕的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的间隔叫椭圆的焦距。假设M为椭圆上任意一点，那么有21||||2MFMFa
椭圆的HY方程为：22221xyab〔0ab〕〔焦点在x轴上〕或者12222bxay〔0ab〕〔焦点在y轴上〕。
注：①以上方程中,ab的大小0ab，其中222cab； ②在22221xyab和22221yxab两个方程中都有0ab的条件，要分清焦点的位置，只要看2x和2y的分母的大小。例如椭圆221xymn〔0m，0n，mn〕当mn时表示焦点在x轴上的椭圆；当mn时表示焦点在y轴上的椭圆
〔2〕椭圆的性质
①范围：由HY方程22221xyab知||xa，||yb，说明椭圆位于直线xa，yb所围成的矩形里；
高考数学圆锥曲线知识点
圆锥曲线
一.圆锥曲线的两个定义：
（1）第一定义中要重视“括号”内的限制条件：椭圆中，与两个定点F1，F2的距离的和等于常数2a，且此常数2a一定要大于21FF，当常数等于21FF时，轨迹是线段F1F2，当常数小于21FF时，无轨迹；双曲线中，与两定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数2a，且此常数2a一定要小于|F1F2|，定义中的“绝对值”与2a＜|F1F2|不可忽视。若2a＝|F1F2|，则轨迹是以F1，F2为端点的两条射线，若2a﹥|F1F2|，则轨迹不存在。若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。（2）第二定义中要注意定点和定直线是相应的焦点和准线，且“点点距为分子、点线距为分母”，其商即是离心率e。圆锥曲线的第二定义，给出了圆锥曲线上的点到焦点距离与此点到相应准线距离间的关系，要善于运用第二定义对它们进行相互转化。
练习：
1.已知定点)0,3(),0,3(21FF，在满足下列条件的平面上动点P的轨迹中是椭圆的是（答：C）；
A．421PFPF B．621PFPF
C．1021PFPF D．122221PFPF
2.方程2222(6)(6)8xyxy表示的曲线是_____（答：双曲线的左支）
3.已知点)0,22(Q及抛物线42xy上一动点P（x,y）,则y+|PQ|的最小值是_____（答：2）
二.圆锥曲线的标准方程（标准方程是指中心（顶点）在原点，坐标轴为对称轴时的标准位置的方程）：
（1）椭圆：焦点在x轴上时12222byax（0ab）cossinxayb（参数方程，其中为参数），焦点在y轴上时2222bxay＝1（0ab）。方程22AxByC表示椭圆的充要条件是什么？（ABC≠0，且A，B，C同号，A≠B）。
（2）双曲线：焦点在x轴上：2222byax =1，焦点在y轴上：2222bxay＝1（0,0ab）。方程22AxByC表示双曲线的充要条件是什么？（ABC≠0，且A，B异号）。
2020届高考数学层级二专题五解析几何第2讲圆锥曲线的方程性质及与弦有关的问题教学案
第2讲 圆锥曲线的方程性质及与弦有关的问题
[考情考向·高考导航]
圆锥曲线是高考的重点和热点，是高考中每年必考的内容．主要考查圆锥曲线的标准方程、几何性质、直线与圆锥曲线的位置关系等内容．对圆锥曲线方程与性质的考查，以选择题、填空题为主，对直线与圆锥曲线的位置关系的考查，常与其他知识交汇命题，多以解答题的形式出现．
[真题体验]
1．(2019·全国Ⅱ卷)若拋物线y2＝2px(p＞0)的焦点是椭圆x23p＋y2p＝1的一个焦点，则p＝( )
A．2 B．3
C．4 D．8
解析：D [由椭圆x23p＋y2p＝1，知半焦距c＝3p－p＝2p，
∴2p＝p2，∴p＝8.]
2．(2019·全国Ⅱ卷)设F为双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆x2＋y2＝a2交于P，Q两点．若|PQ|＝|OF|，则C的离心率为( )
A.2 B.3
C．2 D.5
解析：A [以OF为直径的圆为x－c22＋y2＝c24，即x2＋y2－cx＝0，
与圆x2＋y2＝a2相减得直线PQ的方程为x＝a2c，
由勾股定理得：|PQ|2＝a2－a4c2＝abc，
∴|PQ|＝2abc＝c，
∴2ab＝c2，平方得：4a2b2＝c4，∴4a2(c2－a2)＝c4，
化简得：e4－4e2＋4＝0，∴e2＝2，即e＝2.]
3．(2018·全国Ⅱ卷)已知F1，F2是椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的左、右焦点，A是C的左顶点，点P在过A且斜率为36的直线上，△PF1F2为等腰三角形，∠F1F2P＝120°，则C的离心
率为( )
A.23
B.12
C.13 D.14
解析：D [如图直线AP的方程为y＝36(x＋a)， ①
直线PF2的方程为y＝3(x－c)，②
①与②联立解得：x＝a＋6c5，y＝35(a＋c)，
高考数学复习：圆锥曲线
高考数学复习：圆锥曲线考点一：椭圆、双曲线、抛物线
知识点1椭圆
1、椭圆的定义
（1）平面内与两个定点F
1，F
2的距离的和等于常数(大于|F
1F
2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆
的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．
（2）集合P
＝{M
||MF
1|＋|MF
2|＝2a
}，|F
1F
2|＝2c
，其中a
，c
为常数且a
>0，c
>0.
①当2a
>|F
1F
2|时，M
点的轨迹为椭圆；
②当2a
＝|F
1F
2|时，M
点的轨迹为线段F
1F
2；
③当2a
<|F
1F
2|时，M
点的轨迹不存在．
2、椭圆的标准方程和几何性质
标准方程x2
a2＋y2
b2＝1(a
>b
>0)y2
a2＋x2
b2＝1(a
>b
>0)图形
性
质范围－a
≤x≤a
－b
≤y
≤b－b
≤x
≤b
－a
≤y
≤a
对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点
顶点A
1(－a,
0)，A
2(a,
0)，
B
1(0，－b
)，B
2(0，b
)A
1(0，－a
)，A
2(0，a
)，
B
1(－b,
0)，B
2(b,
0)
离心率e
＝c
a，且e
∈(0,1)
a
，b
，c
的关系c2
＝a2
－b2
3、椭圆中的几个常用结论
（1）过椭圆焦点垂直于长轴的弦是最短的弦，长为2b2
a，过焦点最长弦为长轴．
（2）过原点最长弦为长轴长2a
，最短弦为短轴长2b
.
（3）与椭圆x2
a2＋y2
b2＝1(a
＞b
＞0)有共同焦点的椭圆方程为x2
a2
＋λ＋y2
b2
＋λ＝1(λ
＞－b2
)．
（4）焦点三角形：椭圆上的点P
(x
0，y
0)与两焦点F
1，F
2构成的△PF
1F
2叫做焦点三角形．
若r
1＝|PF
1|，r
2＝|PF
2|，∠F
1PF
2＝θ
，△PF
1F
2的面积为S
，则在椭圆x2
a2＋y2
b2＝1(a
＞b
＞0)中：①当r
1＝r
2，即点P
为短轴端点时，θ
最大；
②S
＝1
2|PF
1||PF
2|sinθ
＝c
|y
0|，当|y
0|＝b
，即点P
为短轴端点时，S
取得最大值，最大值为bc
；
③△PF
1F
2的周长为2(a
＋c
)．
知识点2双曲线
1、双曲线的定义
（1）平面内与两个定点F
1，F
2(|F
高考圆锥曲线专题-直线和圆锥曲线常考题型
内心是三条角平分线的交点，它到三边的距离相等。
外心是三条边垂直平分线的交点，它到三个顶点的距离相等。
重心是三条中线的交点，它到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍。
垂心是三条高的交点，它能构成很多直角三角形相似。
（2019年全国一卷理科）19．（12分）
已知抛物线C：y2=3x的焦点为F，斜率为32的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点为P．
（1）若|AF|+|BF|=4，求l的方程；
（2）若3APPB，求|AB|．
19．解：设直线11223:,,,,2lyxtAxyBxy．
（1）由题设得3,04F，故123||||2AFBFxx，由题设可得1252xx．
由2323yxtyx，可得22912(1)40xtxt，则1212(1)9txx． 从而12(1)592t，得78t．
所以l的方程为3728yx．
（2）由3APPB可得123yy．
由2323yxtyx，可得2220yyt．
所以122yy．从而2232yy，故211,3yy．
代入C的方程得1213,3xx．
故413||3AB．
（2019年全国二卷理科）21．（12分）
已知点A(−2,0)，B(2,0)，动点M(x,y)满足直线AM与BM的斜率之积为−12.记M的轨迹为曲线C.
（1）求C的方程，并说明C是什么曲线；
（2）过坐标原点的直线交C于P，Q两点，点P在第一象限，PE⊥x轴，垂足为E，连结QE并延长交C于点G.
（i）证明：PQG△是直角三角形；
（ii）求PQG△面积的最大值.
21．解：（1）由题设得1222yyxx，化简得221(||2)42xyx，所以C为中心在坐标原点，焦点在x轴上的椭圆，不含左右顶点．
（2）（i）设直线PQ的斜率为k，则其方程为(0)ykxk．
(完整版)圆锥曲线知识点总结(经典版)
圆锥曲线的方程与性质
1．椭圆
（1）椭圆概念
平面内与两个定点1F、2F的距离的和等于常数2a（大于21||FF）的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离2c叫椭圆的焦距。若M为椭圆上任意一点，则有21||||2MFMFa。
椭圆的标准方程为：22221xyab（0ab）（焦点在x轴上）或12222bxay（0ab）（焦点在y轴上）。
注：①以上方程中,ab的大小0ab，其中222bac；
②在22221xyab和22221yxab两个方程中都有0ab的条件，要分清焦点的位置，只要看2x和2y的分母的大小。例如椭圆221xymn（0m，0n，mn）当mn时表示焦点在x轴上的椭圆；当mn时表示焦点在y轴上的椭圆。
（2）椭圆的性质
①范围：由标准方程22221xyab知||xa，||yb，说明椭圆位于直线xa，yb所围成的矩形里；
②对称性：在曲线方程里，若以y代替y方程不变，所以若点(,)xy在曲线上时，点(,)xy也在曲线上，所以曲线关于x轴对称，同理，以x代替x方程不变，则曲线关于y轴对称。若同时以x代替x，y代替y方程也不变，则曲线关于原点对称。
所以，椭圆关于x轴、y轴和原点对称。这时，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是对称中心，椭圆的对称中心叫椭圆的中心；
③顶点：确定曲线在坐标系中的位置，常需要求出曲线与x轴、y轴的交点坐标。在椭圆的标准方程中，令0x，得yb，则1(0,)Bb，2(0,)Bb是椭圆与y轴的两个交点。同理令0y得xa，即1(,0)Aa，2(,0)Aa是椭圆与x轴的两个交点。
所以，椭圆与坐标轴的交点有四个，这四个交点叫做椭圆的顶点。
同时，线段21AA、21BB分别叫做椭圆的长轴和短轴，它们的长分别为2a和2b，a和b分别叫做椭圆的长
半轴长和短半轴长。
由椭圆的对称性知：椭圆的短轴端点到焦点的距离为a；在22RtOBF中，2||OBb，2||OFc，22||BFa，且2222222||||||OFBFOB，即222cab；