人教A版数学必修五 第二章 2.2 等差数列 第二课时 《等差数列的性质》及应用课件
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人教版高中数学必修5(A版) 等差数列的前n项和 PPT课件
10 9 S10 10 500 50 7250 (万元 ) 2
答：从2001到2010年，该市在“校校通”工程中的总投入 是7250元。
等差数列的前 n 项和公式：
n（a1 an ) Sn 2 n（n 1) S n na1 d 2
问题：1.两个公式中共有几个量？
若一个数列的前 n项和为Sn pn2 qn, 其中p, q为常数， 且p 0, 那么这个数列一定是等 差数列吗？
若一个数列的前 n项和为Sn pn2 qn r (r 0), 其中p, q 为常数，且 p 0, 那么这个数列一定是等 差数列吗？
小结：
1.知识点小结：1）等差数列的前
例1：2000年11月14日教育部下发了《关于在中小学实施“校
校通”工程的通知》，某市计划从2001年起用10年的时间，在 全市中小学建成不同标准的校园网。据测算，2001年该市用于 “校校通”工程的经费为500万元。为了保证工程的顺利实施， 计划每年投入的资金都比上一年增加50万元。那么从2001年起 的未来10年内，该市在“校校通”工程中的总投入是多少？ 解：由题可知，从2001年起各年投入的资金构成等差数列， 设为{an }，则 a1 500, d 50 则到2010年，投入的资金总额为
16
等差数列的前 n 项和公式：
n（n 1) S n na1 d 2
d 2 d n (a1 )n 2 2
当
d 0 时， Sn 是 n的二
次函数形式，且常数项为 0
例2：已知一个等差数列{an }前10项的和是310，前20项的和是
解：由题意知 代入公式 得
1220，由这些条件能确定这个等差数列的前n项和的公式吗？
新课标人教A版数学必修5全部课件：等差数列性质应(1)
f ( n )( n N ), 且 f (1) 2 求 f (101 )的值 tg ( A C )的值
（6）在 ABC 中 , A 、 B 、 C 成等差数列，求
练习题 2 （7）等差数列 a1 1 25 , 第10 项大于 1，求公差 d 的范围
(8 ) 若 a b , 且 a , x1 , x 2 , , x m , b 和 a , y1 , y 2 , , y n , b 都是 等差数列，试用 （9）已知等差数列 x 2 x1 m 、 n 的值表示 之值。 y 2 y1
a n , 满足 a 3 a 7
12 , a 4 a 6 4 94 ， 数
求数列 a n 的通项公式 . (10 )四个数成等差数列，其 第一个数与第四个数的 的积少 18，求这四个数。 中四个数的平方和为 积比第二个数与第三个
练习题 1： （1）在等差数列中 a 3 5 , a 5 9 , 求 a10 的值 a15 33 , a 25 66 , 求 a 35的值 a 5 10 , a1 a 2 a 3 3, 求： a1、 d 使这五个数 。
（ 2）在等差数列中， （3）在等差数列中，
( 4 .) 在 1与 7 之间依次插入三个数， 成等差数列，求此数列 （5）设 f ( n 1) 1 2
( 2 ) 若 lg 2、 2 1)、 2 3) 成等差数列，则 lg( lg(
x x
x?
（3）三数成等差数列，其
和为 9， ；
积为 15，求此三数 ( 若是五个数成等差数列 四个数成等差数列又如 何设未知数？ )
（4）首项为 24 的等差数列，从第 为正数，求公差 d 的取值范围
数学必修Ⅴ人教新课标A版2-2等差数列课件(22张)
解析：由等差数列的通项公式得
an a1 (n 1)d ①
am a1 (m 1)d ②
① - ②得an am (n m)d.
an am (n m)d.
进一步可以得到 d an am . nm
思考：已知等差数列{an}中，a3=9,a9=3,求a12,a3n.
解法一: 依题意得：
结论
1、已知等差数列的首项与公差，可求得 其任何一项；
2、在等差数列的通项公式中，a1，d，n， an四个量中知三求一.
跟踪训练
在等差数列中， ⑴若a1 2，d 3，n 10，则an 29 .
⑵若a1 3，an 21，d 2，则n 10 .
⑶若a1 12，a6 27，则d 3 .
等差数列（一）
复习
一、数列的定义，通项公式: 按一定次序排成的一列数叫做数列。一般写成 a1,a2，a3 ,… an,… 如果数列{an}的第n项an与n的关系可以用一个 公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的 通项公式。
二、数列的简单表示:
三、给出数列的方法:
在过去的三百 多年里，人们 分别在下列时 间里观测到了 哈雷慧星：
12 ，28，28
1 2
，29，29
1 2
，30．
某此系统抽样所抽取的样本号分别是: 7，19，31，43，55，67，79，91，103，115.
某长跑运动员7天里每天的训练量（单位：m）是： 7500，8000，8500，9000，10000，10500.
交流
这三个数列有何共同特征 从第2项起，每一项与其前一项之差等 于同一个常数。
温度(℃) 28 21.5 15
8.5 2 -4.5 -11
… -24
(2) 28, 21.5, 15, 8.5, 2, …, -24.
an a1 (n 1)d ①
am a1 (m 1)d ②
① - ②得an am (n m)d.
an am (n m)d.
进一步可以得到 d an am . nm
思考：已知等差数列{an}中，a3=9,a9=3,求a12,a3n.
解法一: 依题意得：
结论
1、已知等差数列的首项与公差，可求得 其任何一项；
2、在等差数列的通项公式中，a1，d，n， an四个量中知三求一.
跟踪训练
在等差数列中， ⑴若a1 2，d 3，n 10，则an 29 .
⑵若a1 3，an 21，d 2，则n 10 .
⑶若a1 12，a6 27，则d 3 .
等差数列（一）
复习
一、数列的定义，通项公式: 按一定次序排成的一列数叫做数列。一般写成 a1,a2，a3 ,… an,… 如果数列{an}的第n项an与n的关系可以用一个 公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的 通项公式。
二、数列的简单表示:
三、给出数列的方法:
在过去的三百 多年里，人们 分别在下列时 间里观测到了 哈雷慧星：
12 ，28，28
1 2
，29，29
1 2
，30．
某此系统抽样所抽取的样本号分别是: 7，19，31，43，55，67，79，91，103，115.
某长跑运动员7天里每天的训练量（单位：m）是： 7500，8000，8500，9000，10000，10500.
交流
这三个数列有何共同特征 从第2项起，每一项与其前一项之差等 于同一个常数。
温度(℃) 28 21.5 15
8.5 2 -4.5 -11
… -24
(2) 28, 21.5, 15, 8.5, 2, …, -24.
等差数列的前n项和的性质及应用 课件高二数学人教A版(2019)选择性必修第二册
;
.
偶 -
(3)设 Sn,S′n 分别为等差数列{an},{bn}的前 n 项和,则 =
-
′
-
.
(4)数列{an}是等差数列⇔Sn=an +bn(a,b 为常数)⇔数列{ }为等差数列.
2
( + ) ( +-+ )
(5)Sn=
=
取何值时Sn有最大值?并求出最大值.
解:因为 S9=S18,a1=26,
所以 9×26+
×(-)
×(-)
d=18×26+d, Nhomakorabea解得 d=-2.
所以 Sn=26n+
2
(-)
=-(n- ) +
2
×(-2)=-n +27n
*
,所以当 n= 时,Sn 有最大值,又 n∈N ,
(3)已知{an},{bn}均为等差数列,其前 n 项和分别为 Sn,Tn,且 = + ,则 =
.
解析:(3)由等差数列的性质,知
=
+
+
+
×
+
×
=
答案:(3)
×+
= =
+
= .
方法总结
公差为d的等差数列{an}的前n项和Sn的常用性质小结
所以(a5+a6)-(a3+a4)=(a3+a4)-(a1+a2)=4d,
【优化方案】2012高中数学 第2章2.2.2等差数列的性质课件 新人教A版必修5
(4)若{an}是有穷等差数列，则与首、末两项等距 若 是有穷等差数列， 是有穷等差数列 则与首、 离的两项之和都相等，且等于首、末两项之和， 离的两项之和都相等，且等于首、末两项之和， 即a1＋an＝a2＋an－1＝…＝ai＋1＋an－i＝…. ＝ ＋ － － (5)数列 n＋b}(λ、b是常数 是公差为 的等差数 数列{λa 是常数)是公差为 数列 、 是常数 是公差为λd的等差数 列．
方法感悟
若数列{a 是公差为 的等差数列，则有： 若数列 n}是公差为 d 的等差数列，则有： an－a1 am－ak (1)d＝ (m、n、k∈N*)． ＝ ＝ 、 、 ∈ ． n－1 m－k － － (2)若 m＋n＝p＋q(m、n、p、q∈N*)，则 am＋an 若 ＋ ＝ ＋ 、 、 、 ∈ ， ＝ap＋aq. m＋n ＋ (3)若 若 ＝k，则 am＋an＝2ak(m、n、k∈N*)． ， 、 、 ∈ ． 2
差d＜0，所以利润构成的数列是一个递减数列， ＜ ，所以利润构成的数列是一个递减数列， 即随着n的增大， 的值越来越小， 即随着 的增大，an的值越来越小，an＜0时(此处 的增大 时 此处 暗含a － 成立 公司将出现亏损． 成立)公司将出现亏损 暗含 n－1≥0成立 公司将出现亏损．
变式训练2 变式训练
体考虑问题． 利用 利用2a 利用a 体考虑问题．(1)利用 4＝a3＋a5，(2)利用 n＝ 利用 am＋(n－m)d. －
解析】 【 解析】 (1)∵a3＋ a4＋a5＝12，∴ 3a4＝ 12，a4 ∵ ， ， ＝4. ∴a1＋a2＋…＋a7＝(a1＋a7)＋(a2＋a6)＋(a3＋a5)＋ ＋ ＋ ＋ a4＝7a4＝28. (2)在等差数列 n}中，根据 an＝am＋(n－m)d， 在等差数列{a 中 在等差数列 － ， 1 ∴a51＝a11＋40d，∴d＝ (54＋26)＝2. ， ＝ ＋ ＝ 40 ＝－26＋ × ＝－ ＝－20. ∴a14＝a11＋3d＝－ ＋3×2＝－ ＝－
2021年高中数学人教A版必修五第二章数列第二课时 等差数列的前n项和的最值及应用
5
课前预习
课堂互动
课堂小结
@《创新设计》
知识点2 裂项相消法
把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求和.
常见的拆项方法：
(1)n（n1＋k）＝_1k__1n_－__n_＋1__k__；
(2)
1 n＋k＋
＝_1k___n_＋___k_－___n__；
n
(3)（2n－1）1（2n＋1）＝_12_2_n__1－__1_－__2_n_1＋__1__.
绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次
增加9块.下一层的第一环比上一层的最后一环多9块.向
外每环依次也增加9块.已知每层环数相同，且下层比中
层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)( )
A.3 699块
B.3 474块
C.3 402块
D.3 339块
@《创新设计》
18
课前预习
课堂互动
7
课前预习
课堂互动
@《创新设计》 课堂小结
@《创新设计》
2.数列{an}的通项公式 an＝
1 n＋
n＋1，其前
n
项和
Sn＝9，则
n＝________.
解析
an＝
1 n＋
n＋1＝
n＋1－
n，
∴Sn＝( 2－1)＋( 3－ 2)＋…＋( n＋1－ n)
＝ n＋1－1＝9，∴n＝99. 答案 99
8
课前预习
25
课前预习
课堂互动
课堂小结
(1)若{an}是等差数列，则ana1n＋1＝1da1n－an1＋1，ana1n＋2＝21da1n－an1＋2.
(2)n（n1＋k）＝1k1n－n＋1 k.
推荐-高二数学人教A版必修5课件2.3.2 等差数列前n项和的性质与应用
=nd;若项数为2n-1(n∈N*),则S2n-1=(2n-1)an(an为中间项),且S奇-S偶
=an,S偶∶S奇=(n-1)∶n.
(3)设{an},{bn}均为等差数列,An 为数列{an}的前 n 项和,Bn 为数列{bn}
的前 n 项和,则������������������������ = ������������22������������--11.
S6=
.
解析:(1)设公差为d,由题意得S偶-S奇=30-15=5d,故d=3.
(2)∵S2,S4-S2,S6-S4成等差数列,
∴4+(S6-9)=2×5,∴S6=15.
答案:(1)C (2)15
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3
即当 n≤34 时,an>0;
当 n≥35 时,an<0.
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探究一
探究二
探究三
思维辨析
(1)当 n≤34 时,
Tn=|a1|+|a2|+…+|an|=a1+a2+…+an=Sn=-32n2+2025n. (2)当 n≥35 时,
分析解答本题可用多种方法,根据S17=S9找出a1与d的关系,转化 为Sn的二次函数求最值,也可以用通项公式找到通项的变号点,再 求解.
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等差数列(概念和通项公式)课件-高二数学人教A版(2019)选择性必修第二册
∗
∗
又因为 = ( ∈ N ),所以+1 − =3( ∈ N ),且1
1
所以数列{}是等差数列,首项为 ,公差为3.
=
1
=
1
.
典例讲解
∗
−
例2、①已知数列{ }满足+ − = , ∈ ,且 = ,则 =_____.
∗
∗
复习引入
1.数列的定义：
按一定次序排列的一列数
2.数列的通项公式：
数列 的第项 与项数之间的函数关系式,
∗
即 = ∈ .
人教A版同步教材名师课件
等差数列
---概念和通项公式
学习目标
学习目标
理解等差数列的概念
掌握等差数列通项公式的求法
理解等差数列与一次函数的关系
核心素养
在等差数列通项公式中,有四个量,
, , , ,
知道其中的任意三个量,就可以求出另一个量,即知三求一 .
探究新知
等差数列的通项公式与一次函数有怎样的关系?
= + ( − ) = + − ,当 ≠ 时,是一次函数() = +
( − )( ∈ ),当 = 时的函数 = ().
实际上,等差数列中的某一项是与其等距离的前后两项的等差中项,
∗
即 = − + + (, ∈ , < ).
2.等差中项法判定等差数列
若数列{ }满足 = − + + ( ≥ ),则可判定数列{ }是等差数列.
变式训练
��
2.已知
解析 (2)∵ = −, = − − − = −,
∗
又因为 = ( ∈ N ),所以+1 − =3( ∈ N ),且1
1
所以数列{}是等差数列,首项为 ,公差为3.
=
1
=
1
.
典例讲解
∗
−
例2、①已知数列{ }满足+ − = , ∈ ,且 = ,则 =_____.
∗
∗
复习引入
1.数列的定义：
按一定次序排列的一列数
2.数列的通项公式：
数列 的第项 与项数之间的函数关系式,
∗
即 = ∈ .
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等差数列
---概念和通项公式
学习目标
学习目标
理解等差数列的概念
掌握等差数列通项公式的求法
理解等差数列与一次函数的关系
核心素养
在等差数列通项公式中,有四个量,
, , , ,
知道其中的任意三个量,就可以求出另一个量,即知三求一 .
探究新知
等差数列的通项公式与一次函数有怎样的关系?
= + ( − ) = + − ,当 ≠ 时,是一次函数() = +
( − )( ∈ ),当 = 时的函数 = ().
实际上,等差数列中的某一项是与其等距离的前后两项的等差中项,
∗
即 = − + + (, ∈ , < ).
2.等差中项法判定等差数列
若数列{ }满足 = − + + ( ≥ ),则可判定数列{ }是等差数列.
变式训练
��
2.已知
解析 (2)∵ = −, = − − − = −,
《等差数列》PPT课件(上课)
证明： an a1 (n 1)d, am a1 (m 1)d,
an am [a1 (n 1)d][a1 (m 1)d]
(n m)d,
an am (n m)d.
例2：在等差数列an 中，已知 a5 10 ，a12 31，
求首项 a1与公差 d ．
解二：由公式 an am (n m)d 得，
a12 a5 (12 5)d,
即 31 10 7d,解得d 3,
∵ a1 4d 10，
a1 2. 即这个等差数列的首项是 2 ，公差是 3 ．
课堂练习:P113,2(2).
2（2）：在等差数列 an中，已知 a3 9 ，a9 3
求 a12 ．
解一：∵ a3 9, a9 3,
课堂练习:P113,1(1)、(4).
1（1）求3, 7, 11, …等差数列的第4项与第10项;
(4) 20是不是等差数列0, 3 1, 7, 的项？如果是，是第几项？ 2
如果不是，说明理由。
解： d 7 3 4,
an 3 (n 1)4 4n 1,
a4 15, a10 39.
解： d 7 ,
（2）-12，( -6 ) ，0
(3) a, ( ab ), b
2
如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等差数列， 那么G叫做a与b的等差中项。
G ab 2
要点扫描
本节课主要学习：
一个定义： an-an-1=d（d是常数，n≥2， n∈N*）
两个公式：an=a1+（n-1）d an am (n m)d
解： ∵ an an1 d
a2 a1 d
a3 a2 d a…4 …a3 d
an an1 d
把以上n-1个式子相加得 an a1 (n 1)d(n 2)
an am [a1 (n 1)d][a1 (m 1)d]
(n m)d,
an am (n m)d.
例2：在等差数列an 中，已知 a5 10 ，a12 31，
求首项 a1与公差 d ．
解二：由公式 an am (n m)d 得，
a12 a5 (12 5)d,
即 31 10 7d,解得d 3,
∵ a1 4d 10，
a1 2. 即这个等差数列的首项是 2 ，公差是 3 ．
课堂练习:P113,2(2).
2（2）：在等差数列 an中，已知 a3 9 ，a9 3
求 a12 ．
解一：∵ a3 9, a9 3,
课堂练习:P113,1(1)、(4).
1（1）求3, 7, 11, …等差数列的第4项与第10项;
(4) 20是不是等差数列0, 3 1, 7, 的项？如果是，是第几项？ 2
如果不是，说明理由。
解： d 7 3 4,
an 3 (n 1)4 4n 1,
a4 15, a10 39.
解： d 7 ,
（2）-12，( -6 ) ，0
(3) a, ( ab ), b
2
如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等差数列， 那么G叫做a与b的等差中项。
G ab 2
要点扫描
本节课主要学习：
一个定义： an-an-1=d（d是常数，n≥2， n∈N*）
两个公式：an=a1+（n-1）d an am (n m)d
解： ∵ an an1 d
a2 a1 d
a3 a2 d a…4 …a3 d
an an1 d
把以上n-1个式子相加得 an a1 (n 1)d(n 2)
等差数列第二课时教案
2.2等差数列第二课时人教A版必修五教学目标1.知识与技能在理解等差数列定义及如何判定等差数列, 学习等差数列通项公式的基础上, 掌握等差中项的定义及应用, 明确等差数列的性质, 并用其进行一些相关等差数列的计算.2.过程与方法以等差数列的通项公式为工具, 探究等差数列的性质, 同时进一步培养学生归纳, 总结的一些数学探究的方法.3.情感、态度与价值观在学习的过程中形成主动学习的情感与态度.在运用知识解决问题中体验数学的实际应用价值.教学重点（1）明确等差中项的定义及应用.（2）理解并掌握等差数列的性质.教学难点理解等差数列的性质的应用.教辅手段PPT,多媒体投影幕布教学过程一、复习引入——温故知新【内容设置与处理方式】借助课件引导学生共同回顾所学的等差数列的相关知识1. 等差数列的定义2. 等差数列的通项公式与公差二、 新知探究（一） 等差中项【内容设置与处理方式】直接给出等差中项的定义: 由三个数 组成的等差数列是最简单的等差数列, 此时 叫做 和 的等差中项.同样,在等差数列}{n a 中,就有212+++=n n n a a a 成立.等差中项可应用于判断一个数列是否为等差数列.（二） 等差数列的性质列举几个数列, 观察数列的特点, 研究公差与数列单调性的关系.问题1: 数列1: 1,3,5,7,9,11, ……数列2: 30, 25,20, 15,10,5, ……数列3: 8,8,8,8,8,8, ……引导学生观察, 得到等差数列的一个性质.性质1：若数列 是等差数列, 公差为 .若 >0,则是 递增数列；若 <0,则 是递减数列；若 =0,则 是常数列.2.问题2:在等差数列}{n a 中,探究等差数列中任意两项m n a a ,之间的关系.它们之间的关系可表示为:d m n a a m n )(-+=参考证明: 由等差数列的通项公式 得d m a a m )1(1-+=∴d m n d m a d n a a a m n )(])1([])1([11-=-+--+=-即等式成立由此也可得到公差的另一种表示:mn a a d m n --=性质2: d m n a a m n )(-+=;m n a a d m n --= 问题3: 在等差数列 中, 若 ,则 一定成立吗?特别地, ,则 成立?启发学生应用等差数列的通项公式来证明该问题。