高中数学北师大版必修五课件：第1章 §3-3.1 第2课时 等比数列的性质
北师大版高中数学必修五等比数列课件
二、自主探究，独立思考
探究一：等比数列概念
等比数列
❖ 一般地，如果一个数列从第2项起，每
一项与它的前一项的 比 等于同一个常 数，那么这个数列就叫做等比数列 ，这个 常数叫做等比数列的公比（q）。
等差数列
❖ 一般地，如果一个数列从第2项起，每一
项与它的前一项的 差 等于同一个常数， 那么这个数列就叫做等差数列 ，这个常数叫 做等差数列的公差（d）。
(4) 思考：对概念的更深理解 1，-1，1，-1，…
(1) 1，3，9，27，81，…
a 0 时,既是等差数列
观答察：并 它判的断第下一列项数是(列356是). 否是1等，比数0列，: 1，0，…
又是等比数列;
解：设它的第一项是 ，则由题意得
(6) 0，0，0，0，… 解：设这个等比数列的第1项是 ,公比是q ，那么
是,公 比q= -1 不是等比数列 不是等比数列
(7) 1,x,x2,x3,x4, (x0)是,公比 q= x
在等差数列 中
ห้องสมุดไป่ตู้
思考：对概念的更深理解 数列 a, a , a , …
a 思考：对概念的更深理解 q(是与 n无关的数,或 且q式 0） 子 等比数列 ，首项为
,公n比为1q,则通项公式为
a 当q>0，各项与首项同号
2
所以数列 an是等比数列，且公比为2.
变式二：在各项为负数的数列{an}中,已知
（21a）n=求3a证n+1{,a且n}是a 2等•比a5数列28,7并求出通项; (2)试问 1 6 是这个等比数列中的项吗?如果是,
指明是第8 几1 项;如果不是,请说明理由.
高中数北师大必修五案：第1章 §3 3.1 第2课时 等比数列的性质 Word含答案
第2课时 等比数列的性质学习目标：1.结合等差数列的性质，了解等比数列的性质和由来.2.理解等比数列的性质及应用．(重点)3.掌握等比数列与等差数列的综合应用．(难点)[自 主 预 习·探 新 知]1．等比数列的单调性阅读教材P 23思考交流以下P 24例3以上部分，完成下列问题．对于等比数列{a n }，通项公式a n ＝a 1·q n －1＝a 1q ·q n.根据指数函数的单调性，可分析当q ＞0时的单调性如下表：思考：(1)若等比数列{a n }中，a 1＝2，q ＝12，则数列{a n }的单调性如何？ [提示] 递减数列．(2)等比数列{a n }中，若公比q ＜0，则数列{a n }的单调性如何？ [提示] 数列{a n }不具有单调性，是摆动数列． 2．等比中项阅读教材P 25练习2以上最后两段部分，完成下列问题．(1)前提：在a 与b 中间插入一个数G ，使得a ，G ，b 成等比数列． (2)结论：G 叫作a ，b 的等比中项． (3)满足关系式：G 2＝ab .思考：(1)任意两个数都有等差中项，任意两个数都有等比中项吗？ [提示] 不是，两个同号的实数必有等比中项，它们互为相反数，两个异号的实数无等比中项．(2)两个数的等差中项是唯一的，若两个数a ，b 存在等比中项，唯一吗？ [提示] 不唯一，如2和8的等比中项是4或－4.[基础自测]1．判断正误(1)数列－1，－2，－4，－8，－16是递减数列．( )(2)等比数列{a n }中，a 1＞1，q ＜0，则数列|a 1|，|a 2|，|a 3|，…，|a n |，…是递增数列．( )(3)若G 是a ，b 的等比中项，则G 2＝ab ，反之也成立．( )[解析] (1)正确；(2)不正确，如a 1＝2，q ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，则|a n |＝2×12n －1＝12n －2是递减数列；(3)不正确，当G 是a ，b 的等比中项时，G 2＝ab 成立，但当G 2＝ab 时，G 不一定是a ，b 的等比中项，如G ＝a ＝b ＝0.[★答案★] (1)√ (2)× (3)×2．等比数列{a n }中，若a 1＝2，且{a n }是递增数列，则数列{a n }的公比q 的取值范围是________．[解析] 因为a 1＝2＞0，要使{a n }是递增数列，则需公比q ＞1. [★答案★] (1，＋∞)3．4－23与4＋23的等比中项是________． [解析] 由题意知4－23与4＋23的等比中项为 ±(4－23)(4＋23)＝±16－12＝±2. [★答案★] 2或－2[合 作 探 究·攻 重 难]等比中项及应用且a ＋3b ＋c ＝10，则a 的值为( )A ．1B ．－1C ．－3D ．－4(2)已知b 是a ，c 的等比中项，求证：a 2＋b 2，ab ＋bc ，b 2＋c 2成等比数列.【导学号：91022075】(1)解析：由已知得a ，b ，c 满足 ⎩⎨⎧a ＋c ＝2b ，a 2＝bc ，a ＋3b ＋c ＝10，解得⎩⎨⎧a ＝－4，b ＝2，c ＝8，故选D.[★答案★] D(2)证明：因为b 是a ，c 的等比中项，所以b 2＝ac ， (a 2＋b 2)(b 2＋c 2)＝a 2b 2＋a 2c 2＋b 4＋b 2c 2 ＝a 2b 2＋acb 2＋acb 2＋b 2c 2 ＝a 2b 2＋2acb 2＋b 2c 2 ＝(ab ＋bc )2.所以a 2＋b 2，ab ＋bc ，b 2＋c 2成等比数列． [规律方法] 应用等比中项解题的两个注意点：(1)要证三数a ，G ，b 成等比数列，只需证明G 2＝ab ，其中a ，b ，G 均不为零.(2)已知等比数列中的相邻三项a n －1，a n ，a n ＋1，则a n 是a n －1与a n ＋1的等比中项，即a 2n ＝a n －1·a n ＋1，运用等比中项解决问题，会大大减少运算过程. [跟踪训练]1．(1)设x,2x ＋2,3x ＋3成等比数列，则x ＝________.(2)设a ，b ，c 是实数，若a ，b ，c 成等比数列，且1a ，1b ，1c 成等差数列，则ca ＋ac 的值为________．[解析] (1)由题意得(2x ＋2)2＝x (3x ＋3)， x 2＋5x ＋4＝0，解得x ＝－1或x ＝－4， 当x ＝－1时，2x ＋2＝0，不符合题意，舍去， 所以x ＝－4.(2)由a ，b ，c 成等比数列，1a ，1b ，1c 成等差数列，得⎩⎪⎨⎪⎧b 2＝ac ，2b ＝1a ＋1c，即4ac ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1c 2，故(a －c )2＝0，则a ＝c ，所以c a ＋a c ＝1＋1＝2.[★答案★] (1)－4 (2)2等比数列的综合应用n n 1n ＋1n 【导学号：91022076】(1)求{a n }的通项公式；(2)等差数列{b n }的各项为正，其前n 项和为T n ，且T 3＝15，又a 1＋b 1，a 2＋b 2，a 3＋b 3成等比数列，求T n .[思路探究] (1)可借助a n ＝S n －S n －1(n ≥2)求出a n ；(2)由题目条件列方程，得到等差数列{b n }的首项和公差，可求T n . [解] (1)因为a n ＋1＝2S n ＋1， ① 所以a n ＝2S n －1＋1(n ≥2)，②所以①②两式相减得a n ＋1－a n ＝2a n ， 即a n ＋1＝3a n (n ≥1)， 又因为a 2＝2S 1＋1＝3， 所以a 2＝3a 1，故{a n }是首项为1，公比为3的等比数列， 所以a n ＝3n －1.(2)设{b n }的公差为d ，由T 3＝15，可得b 1＋b 2＋b 3＝15，可得b 2＝5，故可设b 1＝5－d ，b 3＝5＋d ，又因为a 1＝1，a 2＝3，a 3＝9，并且a 1＋b 1，a 2＋b 2，a 3＋b 3成等比数列， 所以可得(5－d ＋1)(5＋d ＋9)＝(5＋3)2， 解得d 1＝2，d 2＝－10.因为等差数列{b n }的各项为正， 所以d ＞0，所以d ＝2，所以T n ＝3n ＋n (n －1)2×2＝n 2＋2n .[规律方法] 求等差、等比数列的综合方法(1)理清各数列的基本特征量，明确两个数列间各量的关系.(2)发挥两个数的基本量a 1，d 或a 1，q 的作用，并用好方程这一工具.(3)结合题设条件对求出的量进行必要的检验. [跟踪训练]2．已知等差数列{a n }的公差不为零，a 1＝25，且a 1，a 11，a 13成等比数列.【导学号：91022077】(1) 求{a n }的通项公式； (2)求a 1＋a 4＋a 7＋…＋a 3n －2. [解] (1)设{a n }的公差为d ， 由题意得a 211＝a 1a 13， 即(a 1＋10d )2＝a 1(a 1＋12d )． 于是d (2a 1＋25d )＝0. 又a 1＝25，所以d ＝0(舍去)，d ＝－2. 故a n ＝－2n ＋27.(2)令S n ＝a 1＋a 4＋a 7＋…＋a 3n －2.由(1)知a 3n －2＝－6n ＋31，故{a 3n －2}是首项为25，公差为－6的等差数列． 故S n ＝n 2(a 1＋a 3n －2)＝n2(－6n ＋56)＝－3n 2＋28n .等比数列的性质及应用[1．在等差数列{a n }中，a n ＝a m ＋(n －m )d ，类比等差数列中通项公式的推广，你能得出等比数列通项公式推广的结论吗？[提示] a n ＝a m ·q n －m .2．在等差数列{a n }中，由2a 2＝a 1＋a 3,2a 3＝a 2＋a 4，…我们推广得到若2p ＝m ＋n ，则2a p ＝a m ＋a n ，若{a n }是等比数列，我们能得到什么类似的结论．[提示] 若2p ＝m ＋n ，则a 2p ＝a m ·a n .3．在等差数列{a n }中，若m ＋n ＝p ＋q ，则a m ＋a n ＝a p ＋a q ，类比这个性质，若{a n }是等比数列，有哪个结论成立？[提示] 若m ＋n ＝p ＋q ，则a m ·a n ＝a p ·a q .(1)在等比数列{a n }中，a n ＞0，若a 3·a 5＝4，则a 1a 2a 3a 4a 5a 6a 7＝________.(2)设{a n }为公比q ＞1的等比数列，若a 2 018和a 2 019是方程4x 2－8x ＋3＝0的两根，则a 2 030＋a 2 031＝________.(3)在等比数列{a n }中，已知a 4a 7＝－512，a 3＋a 8＝124，且公比q 为整数，则a n ＝________.[思路探究] 利用等比数列的性质求解． [解析] (1)a 3a 5＝a 24＝4，又a n ＞0，所以a 4＝2， a 1a 2a 3a 4a 5a 6a 7＝(a 1·a 7)·(a 2·a 6)·(a 3·a 5)·a 4＝a 24·a 24·a 24·a 4＝a 74＝27＝128. (2)解方程4x 2－8x ＋3＝0得x 1＝12，x 2＝32，因为q ＞1，故a 2 019＝32，a 2 018＝12，故q ＝3，∴a 2 030＋a 2 031＝a 2 018q 12＋a 2 019·q 12＝(a 2 018＋a 2 019)q 12 ＝2·312.(3)在等比数列{a n }中，由a 4a 7＝－512得a 3a 8＝－512， 又a 3＋a 8＝124，解得a 3＝－4，a 8＝128或a 3＝－128，a 8＝4， 因为公比q 为整数，所以q ＝5a 8a 3＝－51284＝－2， 故a n ＝－4×(－2)n －3＝－(－2)n －1.[★答案★] (1)128 (2)2·312 (3)－(－2)n －1母题探究：1.(变条件)将例3(3)中等比数列满足的条件改为“a 4＋a 7＝2，a 5a 6＝－8”，求a 1＋a 10.[解] 因为{a n }是等比数列，所以a 5a 6＝a 4a 7＝－8， 又a 4＋a 7＝2，解得a 4＝4，a 7＝－2或a 4＝－2，a 7＝4， 当a 4＝4，a 7＝－2时，q 3＝－12，a 1＋a 10＝a 4q 3＋a 7q 3＝－7， 当a 4＝－2，a 7＝4时，q 3＝－2，a 1＋a 10＝a 4q 3＋a 7q 3＝－7. 故a 1＋a 10＝－7.母题探究：2.(变结论)例3(3)题的条件不变，求log 4|a 2|＋log 4|a 3|＋log 4|a 8|＋log 4|a 9|.[解] 因为a 4a 7＝－512，所以a 2a 9＝a 3a 8＝－512， 故log 4|a 2|＋log 4|a 3|＋log 4|a 8|＋log 4|a 9| ＝log 4(|a 2a 9|·|a 3a 8|)＝log 45122＝log 229 ＝9.[规律方法] 等比数列的常用性质：性质1：通项公式的推广：a n ＝a m ·q n －m (m ，n ∈N ＋).性质2：若{a n }为等比数列，且k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N ＋)，则a k ·a l ＝a m ·a n .特别的，若k ＋φ＝2m (m ，k ，φ∈N ＋)，则a k ·a φ＝a 2m .性质3：若{a n }，{b n }(项数相同)是等比数列，则{λb n }，⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ，{a 2n }，{a n ·b n }，⎩⎨⎧⎭⎬⎫a nb n 仍是等比数列. 性质4：在等比数列{a n }中，序号成等差数列的项仍成等比数列. 性质5：⎩⎨⎧ a 1＞0，q ＞1或⎩⎨⎧a 1＜0，0＜q ＜1⇔{a n }递增； ⎩⎨⎧ a 1＞0，0＜q ＜1或⎩⎨⎧a 1＜0，q ＞1⇔{a n }递减；q ＝1⇔{a n }为常数列；q ＜0⇔{a n }为摆动数列.[当 堂 达 标·固 双 基]1．若数列{a n }是等比数列，则下列式子一定成立的是( ) A ．a 2＋a 5＝a 1＋a 6 B ．a 1a 9＝a 10 C ．a 1a 9＝a 3a 7D ．a 1a 2a 7＝a 4a 6C [根据等比数列的性质，知a 1a 9＝a 3a 7.]2．在等比数列{a n }中，若a 6＝6，a 9＝9，则a 3等于( )【导学号：91022078】A ．4B ．32 C ．169D ．3A [法一：因为a 6＝a 3·q 3， 所以a 3·q 3＝6.a 9＝a 6·q 3， 所以q 3＝96＝32. 所以a 3＝6q 3＝6×23＝4.法二：由a 3，a 6，a 9成等比数列，得a 26＝a 3·a 9， 所以36＝9a 3，所以a 3＝4.]3．数列{a n }为等比数列，它的前三项为m －1，m ＋1,2m ＋2，则m ＝________. [解析] 由题意知(m ＋1)2＝(m －1)(2m ＋2)，解得m ＝3. [★答案★] 34．在等比数列{a n }中，a 3＝2，公比q ＝2，b n ＝a 2n ，则b 10＝________. [解析] 由题意知a n ＝a 3q n －3＝2·2n －3＝2n －2， 则b n ＝22n －4，故b 10＝216. [★答案★] 2165．设{a n }是各项均为正数的等比数列，b n ＝log 2a n ，若b 1＋b 2＋b 3＝3，b 1·b 2·b 3＝－3，求此等比数列的通项公式a n .【导学号：91022079】[解] 由b 1＋b 2＋b 3＝3，得log 2(a 1·a 2·a 3)＝3， 所以a 1·a 2·a 3＝23＝8，因为a 22＝a 1·a 3，所以a 2＝2，又b 1·b 2·b 3＝－3， 设等比数列{a n }的公比为q ，得 log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫2q ·log 2(2q )＝－3.解得q ＝4或14，所以所求等比数列{a n }的通项公式为 a n ＝a 2·q n －2＝22n －3或a n ＝25－2n .。
北师大版高中数学必修5《一章 数列 3 等比数列 3.1等比数列》公开课课件_4
第一章 数 列
§3.1等比数列
温故知新：
1、等差数列定义：an－an－１=d(d为常数) （n≥2)
2、等差数列的通项公式：
an=a1+(n-1)d
3、等差数列的通项公式如何推导出来的？
①归纳法
②累加法
讲授新课
1、《算法统宗》中有这样一题: “一文(钱)日增一倍，倍至三十日，问日计钱几何？
{an}是递增等比数列
证明：
an 3n
an1 an
an
3n1 3n
0,
3 {an}是等比数列
an1 1 an
an1 an {an}是递增数列
∴ {an}是递增等比数列
三、等比中项
等差中项
等比中项
如果三个数x,A,y组成等 差数列，那么A叫做x和y 的等差中项。
a1q2
a…4 a3q a1q3
, an a1 (n 1)d
an a1qn1
北师大版必修五《等比数列》（第一课时）
设等差数列{ a n },公差为d 设等比数列{ a n},公比为 q
a2 a1 d
a3 a2 d a4 a3 d
(n 1)个相加
(n N 且n 2)
如果一个数列从第_二___项
起，每一项与它的前一 项的_比__都等于_同__一个常
数，那么这个数列就叫 做__________ 常数叫做 等 比 数列的_公__比__
公比通常用字母q表示
an q an1
(q 0)
(n N 且n 2)
想一想 判断下列数列是否为等比数列。若是，则公比是 多少，若不是，请说明理由。
高中数学北师大版必修5 1.3 教学课件 《等比数列》(数学北师大必修5)
1 11
（1）
24
（2） 1
24
1 1…
8 16
8 16 …
（3） 3，9，27，81，……；
（4） 1 , 1 , 1 , 1 , ; 2 4 8 16
北京师范大学出版社 高一 | 必修5
q= 1 2
q= 2
q= 3
q=- 1 2
北京师范大学出版社 高一 | 必修5
等比数列的定义
如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比 都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，
an am (n m)d
可得
an am (n m)d
北京师范大学出版社 高一 | 必修5
等比数列
an a1q n1
am a1qm1
可得
an a1 qn1
an amqnm
等比数列的通项公式还可以写成
指数型的函数
北京师范大学出版社 高一 | 必修5
第一章 · 数列
第三节 等比数列
北京师范大学出版社 高三 | 必修5
北京师范大学出版社 高一 | 必修5
第一讲 等比数列
北京师范大学出版社 高一 | 必修5
复习回顾： 请同学们回忆一下等差数列的定义和什么是等
差中项 定义：一般地，如果一个数列从第二项起，每一 项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这 个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等比数列 的公差。 公差通常用字母 d表示.
an a1 (n 1)d
an a1q n1
北京师范大学出版社 高一 | 必修5
等比数列的通项公式
如果等比数列｛an｝的首项是a1，公比是q,那么根据等比数列
的定义得到
高中数学 等比数列(第1课时)课件 北师大版必修5
9
北师大版必修五《等比数列》（第一课时）
3、试一试
如果已知一个数列是等比数列,并且知道它的首
项是a1 ，公比是q，怎样写出它的通项公式?
aa21 a3
aaa1q12q归 纳a1法q2
… a4 a3q a1q3
…
a2 q a1 a3 q a2 a4 q a3
1) -2，-4，-8，-16，…； 2) 16，8，4，1， 2；
3) 2，2，2，2，2，…；
q2
q 1
4) 1，0，1，0，1，…；
5) 5，-25，125，- 625，…；q 5
6)1,1,1,1,1 2 4 8 16
q1 2
7）a, a, a, a, …….
当a0时,q1
8）m,2m2,4m3,8m4, …… 当 m0时 ,q2m
(单位:万元). 第1年产值:a; 第2年产值:a+a×10%=a(1+10%); 第3年产值:a(1+10%)+a(1+10%)×10%=a(1+10%)2;
……
第6年产值:a(1+10%)4+a(1+10%)×10%=a(1+10%)5; 故这6年的产值构成一个数列:
a,a(110%)a,(110%2),a(110%3),a(110%4), a(110%5),
an q
累乘法
n-1个式子相乘
a n q n 1 a1
an a1•qn1
an a1qn1
a n1
10
北师大版必修五《等比数列》（第一课时）
4、概括结论
若等比数列首项是a1 ，公比是q， 则这个数列的通项公式是
高中数学第一章数列第3节等比数列3.2等比数列的前n项和第2课时数列求和课件北师大版必修5
第 1 年旅游业收入为 400 万元，第 2 年旅游业收入为 400×1＋14万元，…， 第 n 年旅游业收入为 400×1＋14n－1 万元，所以，n 年内的旅游业总收入为
bn＝400＋400×1＋14＋…＋400×1＋14n－1 ＝400×1＋1＋14＋1＋142＋…＋1＋14n－1 ＝1 600×54n－1.
阶
阶
段
段
(j
(j
iē
iē
d
d
u
u
à
à
n) 一
第 2 课时 数列求和
n) 三
阶
段 (j iē d u à
学 业 分 层 测 评
n)
二
第一页，共49页。
1．熟练掌握等差、等比数列的通项公式，前 n 项和公式并能解决简单问题． 2．能利用等差、等比数列的性质，前 n 项和的性质解决简单问题． 3．掌握数列求和的基本方法．
第五页，共49页。
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)如果已知等差数列的通项公式，则在求其前 n 项和时应用 Sn＝na12＋an较
为合理．( )
(2)当 n≥2 时，n2－1 1＝12n－1 1＋n＋1 1.(
)
(3)数列{an}是周期为 k 的周期数列，那么 Skm＝mSk(m，k 为大于 1 的正整
第十五页，共49页。
错位(cuò wèi)相减法 已知数列{an}的前 n 项和 Sn＝kcn－k(其中 c、k 为常数)，且 a2＝4，
a6＝8a3， (1)求 an； (2)求数列{nan}的前 n 项和 Tn. 【精彩点拨】 (1)已知 Sn，据 an 与 Sn 的关系 an＝SSn1－n＝Sn－11，n≥2 确定 an；
高中数学北师大版必修五课件：等比数列的概念及通项公式
下面各数列成等比数列的是(
)
①－1，－2，－4，－8，„；②1，－ 3，3，－3 3，„； 1 1 1 1 ③x，x，x，x，„；④a， 2， 3， 4，„. a a a A．①②③ C．①②④ B．①② D．①②③④
解析：选 C.由等比数列的定义可知，对于③中的 x，若 x＝0， 则不是等比数列．
等比数列的判定与证明 已知 Sn 是数列{an}的前 n 项和，且 Sn＝2an＋n－4. (1)求 a1 的值； (2)若 bn＝an－1，试证明数列{bn}为等比数列．
【解】 (1)因为 Sn＝2an＋n－4，所以当 n＝1 时，S1＝2a1＋1
－4，解得 a1＝3.
(2)证明：因为 Sn＝2an＋n－4， 所以当 n≥2 时，Sn－1＝2an－1＋(n－1)－4， Sn－Sn－1＝(2an＋n－4)－(2an－1＋n－5)， 即 an＝2an－1－1， 所以 an－1＝2(an－1－1)， 又 bn＝an－1，所以 bn＝2bn－1，且 b1＝a1－1＝2≠0， 所以数列{bn}是以 b1＝2 为首项，2 为公比的等比数列．
1.(1)若 a，b，c，d 成等比数列，则下列三组 数：①a＋b，b＋c，c＋d；②ab，bc，cd；③a－b，b－c，c－ d，必成等比数列的个数为( A．3 C．1 ) B．2 D．0
(2)在数列{an}中，若 an>0，且 an＋1＝2an＋3(n∈N＋)．求证：数 列{an＋3}是等比数列．
等比数列的通项公式 在等比数列{an}中， (1)a1＝1，a4＝8，求 an； (2)an＝625，n＝4，q＝5，求 a1； (3)a2＋a5＝18，a3＋a6＝9，an＝1，求 n.
【解】
(1)因为 a4＝a1q3，所以 8＝q3，所以 q＝2，
高中数学第1章数列1312等比数列第二课时课件北师大版必修5
(2)注意到中间两数的特殊地位，可设第三个数为 x，则第二 个数为1x6，则第一个数为3x2－x，最后一个数为1x63 ，再利用首尾 两数之和为－128 可列出关于 x 的方程1x63 ·(3x2－x)＝－128，解 之得 x＝±8，则更简捷．
第21页
●思考题 3 三个互不相等的数成等差数列，若适当排列三 个数，又可成为等比数列，这三个数的和为 6，则这三个数为 ________．
第3页
1．等比数列的单调性． 答：等比数列{an}的通项公式 an＝a1qn－1(a1q≠0)， 当 a1>0，q>1 时，等比数列{an}是递增数列； 当 a1<0，0<q<1 时，等比数列{an}是递增数列； 当 a1>0，0<q<1 时，等比数列{an}是递减数列； 当 a1<0，q>1 时，等比数列{an}是递减数列； 当 q<0 时，等比数列{an}是摆动数列；当 q＝1 时，等比数列{an} 是常数列．
【答案】 8
第32页
课后巩固
第33页
1．在等比数列{an}中，a4＝4，则 a2·a6 等于( )
A．4
B．8
C．16
D．32
答案 C
第34页
2．在等比数列{an}中，a2＝8，a5＝64，则公比 q 为( )
A．2
B．3
C．4
D．8
答案 A
第35页
3．等比数列{an}中，公比为 q，则下列式子正确的是( )
第40页
第41页
结束
语 同学们，你们要相信梦想是价值的源泉，相信成
功的信念比成功本身更重要，相信人生有挫折没 有失败，相信生命的质量来自决不妥协的信念， 考试加油。
高中数学 第一部分 第一章 §3 3.2 等比数列的前n项和课件 北师大版必修5
理解教材新知 考点一
把握热点考向考点二n考点三 考点四
应用创新演练
3.2 等比数列的前n项和
对于等比数列1,2,22,23，…，2n，…
问题1：该数列的首项和公比分别是什么？ 提示：首项是1，公比是2. 问题2：前n项和Sn＝1＋2＋22＋…＋2n 边同乘以公比2得2Sn＝2＋22＋23＋…＋2n＋1 会有什么结果？ 提示：有公共项，②－①得Sn＝2n＋1－1. ①，两 ②，那
[思路点拨]
根据等比数列的前n项和公式，结合通
项公式，列方程或方程组求解，注意整体代换思想的应
用．
a11－qn [精解详析] (1)由 Sn＝ ，an＝a1qn－1 以及 1－q 已知条件得 a11－2n 189＝ ， 1 － 2 2n－1， 96＝a1· 由②得，a1· 2n＝192， 192 ∴2 ＝ . a1
解析：由题知 an＝a1＋(a2－a1)＋…＋(an－an－1) 1 1－ n 3 3 1 ＝ ＝ (1－ n)． 1 2 3 1－ 3
答案：A
2．(2011· 大纲全国高考)设等比数列{an}的前n项和为 Sn· 已知a2＝6,6a1＋a3＝30，求an和Sn·
解：设{an}的公比为
a1＝3， 解得 q＝2， a1q＝6， q，由题设得 2 6a1＋a1q ＝30.
－
1 当 q＝－2 时，an＝ ×(－2)n－1. 2
[例2]
求数列1,3a,5a2,7a3，…，(2n－1)an－1(a≠0)
的前n项和．
[思路点拨] 利用错位相减法求和，注意分a＝1
和a≠1两种情况求解．
[精解详析] (1)当 a＝1 时，数列变为 1,3,5,7，…，(2n－1)， n[1＋2n－1] 则 Sn＝ ＝ n2. 2 (2)当 a≠1 时，有 Sn＝1＋3a＋5a2＋7a3＋…＋(2n－1)an－1① aSn＝a＋3a2＋5a3＋7a4＋…＋(2n－1)an② ①－②得
高中数学 第一章《数列》等比数列的性质课件 北师大必修5
∴ a8 1458
等比数列的性质作业练习册3、5、 6、7
祝同学们学习愉快， 人人成绩优异！
教学反思：
定义法:
an1 q(是与 n无关的数,或 且q式 0） 子 an 中项法:
an1•an1an2(0)
三个数a,b,c成等比数列
acb2
等比数列的性质例题1
例1 已知：b是a与c的等比中项，且a、b、c同号，
求证： abc, abbcca,3 abc也成等比数列。
3
3
解：证明：由题设 得：
acb2
•
等比数列的性质练习
1.在等比数列 an ，已知 a1 5, a9a10 100，求 a18
解：∵ a1a18a9a10
a18a9aa110
10020 5
2.在等比数列 bn 中，b4 3 ，求该数列前七项之积。
解： b 1 b 2 b 3 b 4 b 5 b 6 b 7 b 1 b 7 b 2 b 6 b 3 b 5 b 4
an1 q(是与 n无关的数,或 且q式 0） 子 an
既是等差又是等比数列的数列：非零常数列．
a 由此可知，等比数列 n 的通项公式为
ana1qn 1(a1q0) anam qn m (am q0 )
如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列， 那么G叫做a与b的等比中项。
G ab
等比数列的性质
所以an bn是一个以 q1q2 为公比的等比数列
等比数列的性质例题3
例3 已知 an 是等比数列，且 a n 0 , a 2a 4 2 a 3 a 5 a 4 a 6 25
求 a3 a5
解：∵ an 是等比数列，a n 0 , a 2a 4 2 a 3 a 5 a 4 a 6 25