人教版九年级上册数学人教版九年级上册数学第二十二章 二次函数复习课件
知识网络
二次函数的概念
定义 一般形式
y=ax2+bx+c (a,b,c是常数，a≠0)
自变量的取值范围 全体实数
图象
一条抛物线
一般式 y=ax2+bx+c(a≠0)
二
次 解析式形式 顶点式
y=a(x-h)2+k
函
数
交点式
y=a(x-x1)(x-x2)
y=ax2+bx+c ( a ≠ 0 ) 性 质 六点、一轴、一方及增减性与最值
2.当a>0, b<0,c>0时,下列图象有可能是抛物线y=ax2+bx+c的是 （ A）
y
y
y
y
O
x
O
x
A
B
Ox C
Ox D
3.将二次函数y=2x2-1的图象沿y轴向上平移2个单位，所得到的图象 的函数解析式是 y=2x2+1 .
4.二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点(3,6)和(-1,6),则对称轴 为 直线x=1 .
于x的一元二次方程ax2+bx+c-m=0没有实数根，有下列结论：
①b2-4ac>0; ②abc<0; ③m>2.其中正确结论的个数是（ D ） y
A.0 B.1 C. 2 D. 3
2
O x
配套训练 2.如图，函数y=ax2-2x+1和y=ax+a（a是常数，且a ≠0)
在同一平面直角坐标系的图象可能是（ A ）
y x=1 C
B
A
-1 O 1
x
解析
①2a＋b＝0,
想到对称轴
x
b 2a
1,得b=-2a,故2a＋b＝0正确；
② 4a－2b＋c>0，想到当x=-2时结合图象可知y<0,故4a－2b＋c>0
不正确； ③abc＞0，由图象可知a<0,对称轴在y轴的右侧，根据
“左同右异”，则b>0,又易知c>0,故abc＞0不正确； ④当y＜0时，
y
y
O
x
A
y
Ox C
Ox B y
Ox D
专题五 二次函数与一元二次方程的关系
例5 结合二次函数y=ax2+bx+c图象，解答下列问题： ①写出方程ax2+bx+c=0的根； ②写出不等式ax2+bx+c>0的解集； ③写出y随x的增大而减小的自变量x的取值范围； ④若方程ax2+bx+c=k有两个不相等的实数根，y 4
3.二次函数y=x2+bx+3 的对称轴是直线x=2 ，则 b=___-4____.
函数
图象
开口 对称轴 性 顶点 增减性 质 最值
二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)
a>0
a<0
y
y
O
x
Ox
向上，并向上无限延伸 向下，并向下无限延伸
直线
( b ,
x b
4ac 2ba2
(2)抛物线y=-x2+3有最高点，该二次 函数有最大值，最大值是3.
y=-x2+3
(3)当x>0时，y随x的增大而减小.
O
x
配套训练 1.抛物线y=(x-2)2+2的顶点坐标是（ C ）
A.(-2,2) B. (2,-2) C. (2,2) D. (-2,-2)
1
2.已知二次函数y=x2-x+c的顶点在x轴上，则c= 4 .
丙(1,1.5)
丁
(0,1)
(4,1)
1m
甲
2.5m
乙
1m
4m
解:如图建立平面直角坐标系，可设抛物线的解析式为y=ax2+bx+1
点（1,1.5）、（4,1）在抛物线上，得
a b 1 1.5, 16a 4b 1 1,
解得：a 1 ,b 2
63
，所以抛物线解析式为y 1 x2 2 x 1(1≤x≤4）,
x＜-1或x＞3，根据对称性可知A点的坐标是（2，0），结合图象
可知当y＜0时，x＜-1或x＞3，故正确，所以选C.
知识点复习 抛物线y=ax2+bx+c中的符号问题:
① a的符号决定开口方向；
② a、b的符号共同决定对称轴的位置，“左同右异”；
③ c的符号决定抛物线与y轴的交点位置.
配套训练 1.已知二次函数y=ax2+bx+c(a ≠0)的图象如图所示，且关
乙
1m
2.5m
4m
1<s<3
课堂小结
二次函数的
定
义
二次函数
二次函数的 图象及性质
二次函数的
应
用
二次函数的概念 及图象特征
用数形结合 的方法去研 究和运用
建立二次函数模型， 将实际问题数学化， 运用二次函数知识 解决实际问题
课后训练
1.对于抛物线y=-2(x-5)2+3 ，下列说法正确的是（ A ） A.开口向下，顶点坐标(5,3) B.开口向上，顶点坐标(5,3) C.开口向下，顶点坐标(-5,3) D.开口向上，顶点坐标(-5,3)
)
2a 4a
当
x
b 2a
时y随x的增
当 x b 时y随x的增大
2a
大而减小；当 x b 而增大；当 x b 时，
2a
2a
时，y随x的增大而增大. y随x的增大而减小.
4ac b2 y最小值 = 4a
4ac b2 y最大值 = 4a
专题二 二次函数图象的对称性
例2 抛物线y=ax2+bx+c (a≠0)与x轴的公共点是（-1，0）， （3，0），则这条抛物线的对称轴为_直__线__x_=_1__.
63
当x=2.5时，y=1.625.所以丁同学的身高为1.625米.
y
丙(1,1.5)
丁
(0,1)
(4,1)
1m
甲O
1m
2.5m 4m
乙
x
（2）如果身高为1.5米的丙同学站在甲、乙同学之间,且离甲同 学的距离为s米, 要使绳子甩到最高处时超过他的头顶,请结合 图像,直接写出s的取值范围.
丙
丁
1m
甲
123 x
顶点坐标 （-1，-2） ．
解析 根据抛物线平移规律可得出y2=-(x-1)2+2,因此可以很快确定 其顶点坐标；阴影部分的面积利用割补方法，进而转化为求平行
四边形的面积；再根据抛物线关于原点对称规律可得出y3=(x+1)2-2.
知识点复习 抛物线y=a(x-h)2+k的平移规律：左右平移，括号 内左加右减；上下平移，括号外上加下减.
3x
解：设抛物线的解析式为y=a（x-h）2+k.由图象可知抛物线的对 称轴为直线x=1，与x轴相交于点（-1,0），（3,0），顶点坐标 为（1,4），∴有y=a（x-1）2+4，代入（-1,0）.∴a（-1-1） 2+4=0，∴a=-1，∴抛物线的解析式为y=-（x-1）2+4.
方法提示 知道顶点坐标，通常设顶点式y=a(x-h)2+k;知道抛物线 与x轴的两个交点坐标，通常设交点式y=a(x-x1)(x-x2);知道抛物线 上的三点坐标，可选用一般式y=ax2+bx+c,三种情况都可以时选用 最熟悉的方法.
D.没有实数根
O
x
专题六 待定系数法求二次函数的解析式
例6 你能求出图中抛物线的解析式吗？
解析 图象中提供了我们解题的很多信息， y 4
如可知道抛物线与x轴的两个交点坐标是
（-1，0）和（3，0），还可以知道对称轴
是直线x=2及顶点坐标是(1,4).
-1 O
你有几种方法可 以求这条抛物线 的解析式，你最 喜欢哪一种？
解析 抛物线与x轴的两个交点是一对对称点.其实只要抛物线
上两点（x1，y0）、(x2，y0)的纵坐标相等，这两点就是一对d 对关于抛物线对称轴对称的对称点.对称轴计算公式是直
线 x x1 x2 ,因此这条抛物线的对称轴是直线 x (1) 3 1 .
2
2
配套训练 1.已知二次函数y=ax2+bx+c中，函数y与自变量x的 部分对应值如下表：
求k的取值范围. 解析 本题结合图象从中发现信息进行解题.
-1 O
3x
解：（1）由图象可知，函数y=ax2+bx+c的图象与x轴相交于 （-1,0），（3,0）两点.∴方程的根为x1=-1，x2=3； （2）由图象可知当-1<x<3时，函数的图象位于x轴的上方， 所以不等式的解集为-1<x<3； （3）由图象可知，在x轴的右侧，y随着x的增大而减小， ∴y随着x的增大而减小的x的取值范围为x>1;
OA x
图2
配套训练 要得到抛物线y=2(x-4)2-1,可以将抛物线y=2x2 ( B ) A.向左平移4个单位长度，再向上平移1个单位长度 B.向左平移4个单位长度，再向下平移1个单位长度 C.向右平移4个单位长度，再向上平移1个单位长度 D.向右平移4个单位长度，再向下平移1个单位长度
专题四 二次函数图象与系数的关系
配套训练 已知二次函数当x=1时，有最大值－6，且其图象过点(2， －8)，则二次函数的解析式是 y=-2(x-1)2-6 .
专题七 综合应用—呈抛物线形状实物的几何探究
例7 跳绳时，绳甩到最高处的形状可近似的看为抛物线，如图， 正在甩绳的甲、乙两名同学拿绳的手间距为4米，距地面均为1米， 丙、丁同学分别站在距甲拿绳的手水平距离1米、2.5米处，绳子 甩到最高处，刚好通过他们的头顶，已知丙同学的身高是1.5米. （1）请你算一算丁同学的身高.
二次函数的概念
定义 一般形式
y=ax2+bx+c (a,b,c是常数，a≠0)
自变量的取值范围 全体实数
图象
一条抛物线
一般式 y=ax2+bx+c(a≠0)
二
次 解析式形式 顶点式
y=a(x-h)2+k
函
数
交点式
y=a(x-x1)(x-x2)
y=ax2+bx+c ( a ≠ 0 ) 性 质 六点、一轴、一方及增减性与最值
2.当a>0, b<0,c>0时,下列图象有可能是抛物线y=ax2+bx+c的是 （ A）
y
y
y
y
O
x
O
x
A
B
Ox C
Ox D
3.将二次函数y=2x2-1的图象沿y轴向上平移2个单位，所得到的图象 的函数解析式是 y=2x2+1 .
4.二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点(3,6)和(-1,6),则对称轴 为 直线x=1 .
于x的一元二次方程ax2+bx+c-m=0没有实数根，有下列结论：
①b2-4ac>0; ②abc<0; ③m>2.其中正确结论的个数是（ D ） y
A.0 B.1 C. 2 D. 3
2
O x
配套训练 2.如图，函数y=ax2-2x+1和y=ax+a（a是常数，且a ≠0)
在同一平面直角坐标系的图象可能是（ A ）
y x=1 C
B
A
-1 O 1
x
解析
①2a＋b＝0,
想到对称轴
x
b 2a
1,得b=-2a,故2a＋b＝0正确；
② 4a－2b＋c>0，想到当x=-2时结合图象可知y<0,故4a－2b＋c>0
不正确； ③abc＞0，由图象可知a<0,对称轴在y轴的右侧，根据
“左同右异”，则b>0,又易知c>0,故abc＞0不正确； ④当y＜0时，
y
y
O
x
A
y
Ox C
Ox B y
Ox D
专题五 二次函数与一元二次方程的关系
例5 结合二次函数y=ax2+bx+c图象，解答下列问题： ①写出方程ax2+bx+c=0的根； ②写出不等式ax2+bx+c>0的解集； ③写出y随x的增大而减小的自变量x的取值范围； ④若方程ax2+bx+c=k有两个不相等的实数根，y 4
3.二次函数y=x2+bx+3 的对称轴是直线x=2 ，则 b=___-4____.
函数
图象
开口 对称轴 性 顶点 增减性 质 最值
二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)
a>0
a<0
y
y
O
x
Ox
向上，并向上无限延伸 向下，并向下无限延伸
直线
( b ,
x b
4ac 2ba2
(2)抛物线y=-x2+3有最高点，该二次 函数有最大值，最大值是3.
y=-x2+3
(3)当x>0时，y随x的增大而减小.
O
x
配套训练 1.抛物线y=(x-2)2+2的顶点坐标是（ C ）
A.(-2,2) B. (2,-2) C. (2,2) D. (-2,-2)
1
2.已知二次函数y=x2-x+c的顶点在x轴上，则c= 4 .
丙(1,1.5)
丁
(0,1)
(4,1)
1m
甲
2.5m
乙
1m
4m
解:如图建立平面直角坐标系，可设抛物线的解析式为y=ax2+bx+1
点（1,1.5）、（4,1）在抛物线上，得
a b 1 1.5, 16a 4b 1 1,
解得：a 1 ,b 2
63
，所以抛物线解析式为y 1 x2 2 x 1(1≤x≤4）,
x＜-1或x＞3，根据对称性可知A点的坐标是（2，0），结合图象
可知当y＜0时，x＜-1或x＞3，故正确，所以选C.
知识点复习 抛物线y=ax2+bx+c中的符号问题:
① a的符号决定开口方向；
② a、b的符号共同决定对称轴的位置，“左同右异”；
③ c的符号决定抛物线与y轴的交点位置.
配套训练 1.已知二次函数y=ax2+bx+c(a ≠0)的图象如图所示，且关
乙
1m
2.5m
4m
1<s<3
课堂小结
二次函数的
定
义
二次函数
二次函数的 图象及性质
二次函数的
应
用
二次函数的概念 及图象特征
用数形结合 的方法去研 究和运用
建立二次函数模型， 将实际问题数学化， 运用二次函数知识 解决实际问题
课后训练
1.对于抛物线y=-2(x-5)2+3 ，下列说法正确的是（ A ） A.开口向下，顶点坐标(5,3) B.开口向上，顶点坐标(5,3) C.开口向下，顶点坐标(-5,3) D.开口向上，顶点坐标(-5,3)
)
2a 4a
当
x
b 2a
时y随x的增
当 x b 时y随x的增大
2a
大而减小；当 x b 而增大；当 x b 时，
2a
2a
时，y随x的增大而增大. y随x的增大而减小.
4ac b2 y最小值 = 4a
4ac b2 y最大值 = 4a
专题二 二次函数图象的对称性
例2 抛物线y=ax2+bx+c (a≠0)与x轴的公共点是（-1，0）， （3，0），则这条抛物线的对称轴为_直__线__x_=_1__.
63
当x=2.5时，y=1.625.所以丁同学的身高为1.625米.
y
丙(1,1.5)
丁
(0,1)
(4,1)
1m
甲O
1m
2.5m 4m
乙
x
（2）如果身高为1.5米的丙同学站在甲、乙同学之间,且离甲同 学的距离为s米, 要使绳子甩到最高处时超过他的头顶,请结合 图像,直接写出s的取值范围.
丙
丁
1m
甲
123 x
顶点坐标 （-1，-2） ．
解析 根据抛物线平移规律可得出y2=-(x-1)2+2,因此可以很快确定 其顶点坐标；阴影部分的面积利用割补方法，进而转化为求平行
四边形的面积；再根据抛物线关于原点对称规律可得出y3=(x+1)2-2.
知识点复习 抛物线y=a(x-h)2+k的平移规律：左右平移，括号 内左加右减；上下平移，括号外上加下减.
3x
解：设抛物线的解析式为y=a（x-h）2+k.由图象可知抛物线的对 称轴为直线x=1，与x轴相交于点（-1,0），（3,0），顶点坐标 为（1,4），∴有y=a（x-1）2+4，代入（-1,0）.∴a（-1-1） 2+4=0，∴a=-1，∴抛物线的解析式为y=-（x-1）2+4.
方法提示 知道顶点坐标，通常设顶点式y=a(x-h)2+k;知道抛物线 与x轴的两个交点坐标，通常设交点式y=a(x-x1)(x-x2);知道抛物线 上的三点坐标，可选用一般式y=ax2+bx+c,三种情况都可以时选用 最熟悉的方法.
D.没有实数根
O
x
专题六 待定系数法求二次函数的解析式
例6 你能求出图中抛物线的解析式吗？
解析 图象中提供了我们解题的很多信息， y 4
如可知道抛物线与x轴的两个交点坐标是
（-1，0）和（3，0），还可以知道对称轴
是直线x=2及顶点坐标是(1,4).
-1 O
你有几种方法可 以求这条抛物线 的解析式，你最 喜欢哪一种？
解析 抛物线与x轴的两个交点是一对对称点.其实只要抛物线
上两点（x1，y0）、(x2，y0)的纵坐标相等，这两点就是一对d 对关于抛物线对称轴对称的对称点.对称轴计算公式是直
线 x x1 x2 ,因此这条抛物线的对称轴是直线 x (1) 3 1 .
2
2
配套训练 1.已知二次函数y=ax2+bx+c中，函数y与自变量x的 部分对应值如下表：
求k的取值范围. 解析 本题结合图象从中发现信息进行解题.
-1 O
3x
解：（1）由图象可知，函数y=ax2+bx+c的图象与x轴相交于 （-1,0），（3,0）两点.∴方程的根为x1=-1，x2=3； （2）由图象可知当-1<x<3时，函数的图象位于x轴的上方， 所以不等式的解集为-1<x<3； （3）由图象可知，在x轴的右侧，y随着x的增大而减小， ∴y随着x的增大而减小的x的取值范围为x>1;
OA x
图2
配套训练 要得到抛物线y=2(x-4)2-1,可以将抛物线y=2x2 ( B ) A.向左平移4个单位长度，再向上平移1个单位长度 B.向左平移4个单位长度，再向下平移1个单位长度 C.向右平移4个单位长度，再向上平移1个单位长度 D.向右平移4个单位长度，再向下平移1个单位长度
专题四 二次函数图象与系数的关系
配套训练 已知二次函数当x=1时，有最大值－6，且其图象过点(2， －8)，则二次函数的解析式是 y=-2(x-1)2-6 .
专题七 综合应用—呈抛物线形状实物的几何探究
例7 跳绳时，绳甩到最高处的形状可近似的看为抛物线，如图， 正在甩绳的甲、乙两名同学拿绳的手间距为4米，距地面均为1米， 丙、丁同学分别站在距甲拿绳的手水平距离1米、2.5米处，绳子 甩到最高处，刚好通过他们的头顶，已知丙同学的身高是1.5米. （1）请你算一算丁同学的身高.
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九年级数学上册-第二十二章 二次函数 复习课件-人教版
例2
某商店销售一种销售成本为40元/千克的水产品，若按50元/ 千克销售，一个月可售出500千克，销售价每涨价1元，月销售量 就减少10千克。 （1）写出月销售利润y与售价x之间的函数关系式。 （2）销售单价定为55元时，计算月销售量与销售利润。 （3）商场想在月销售成本不超过3000元的情况下，使得月销售 利润达到8000元，销售单价应定为多少？ （4）当售价定为多少元时，会获得最大利润？求出最大利润。
3 AD长度固定，只需找到点P使AP+PD最小即可，找到点A关于y轴的 对称点A'，连接A'D，则A'D与y轴的交点即是点P的位置。
思维导图 例题示范
例1
如图，已知二次函数 y 1 x2 bx c 的图象经过A（2，0）、 2
B（0，-6）两点。
（3）若抛物线的顶点为D，在y轴上是否存在一点P，使得△PAD的周
接QE、OP、PQ，求OP+PQ+QE的最小值。
思维导图 例题示范
例3
如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线 y 3 x2 3x 4 3 交
3
3
x轴于A，B两点，交y轴于点C，抛物线上一点D的横坐标为-5。
（1）求直线BD的解析式；
解：（1）令y=0，则 3 x2 3x 4 3 0 ，解得x=-4或1，
2
思维导图 例题示范
例1
如图，已知二次函数 y 1 x2 bx c 的图象经过A（2，0）、 2
B（0，-6）两点。
（2）设该二次函数图象的对称轴与x轴交于点C，连接BA、BC，求
△ABC的面积；
解：（2）∵ 二次函数的解析式为：y 1 x2 4x 6，
2
∴ 二次函数的对称轴为x=4，即OC=4，
某商店销售一种销售成本为40元/千克的水产品，若按50元/ 千克销售，一个月可售出500千克，销售价每涨价1元，月销售量 就减少10千克。 （1）写出月销售利润y与售价x之间的函数关系式。 （2）销售单价定为55元时，计算月销售量与销售利润。 （3）商场想在月销售成本不超过3000元的情况下，使得月销售 利润达到8000元，销售单价应定为多少？ （4）当售价定为多少元时，会获得最大利润？求出最大利润。
3 AD长度固定，只需找到点P使AP+PD最小即可，找到点A关于y轴的 对称点A'，连接A'D，则A'D与y轴的交点即是点P的位置。
思维导图 例题示范
例1
如图，已知二次函数 y 1 x2 bx c 的图象经过A（2，0）、 2
B（0，-6）两点。
（3）若抛物线的顶点为D，在y轴上是否存在一点P，使得△PAD的周
接QE、OP、PQ，求OP+PQ+QE的最小值。
思维导图 例题示范
例3
如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线 y 3 x2 3x 4 3 交
3
3
x轴于A，B两点，交y轴于点C，抛物线上一点D的横坐标为-5。
（1）求直线BD的解析式；
解：（1）令y=0，则 3 x2 3x 4 3 0 ，解得x=-4或1，
2
思维导图 例题示范
例1
如图，已知二次函数 y 1 x2 bx c 的图象经过A（2，0）、 2
B（0，-6）两点。
（2）设该二次函数图象的对称轴与x轴交于点C，连接BA、BC，求
△ABC的面积；
解：（2）∵ 二次函数的解析式为：y 1 x2 4x 6，
2
∴ 二次函数的对称轴为x=4，即OC=4，
2024(人教版)数学九年级上册 第22章 二次函数 教材解读课件
针内对容训分练析
本章学情分析：
“二次函数”这一章是在学习一次函数的基础上,具体研究的第二个函数模型，是应用研 究函数性质的一般方法去研究函数的第二次实践，对学生而言，即学习了新的函数模型，又增 强了对函数研究方法的掌握，为后续研究其他函数积累宝贵经验。二次函数的学习过程充满着 观察、分析、抽象、概括等方法，蕴含着从特殊到一般，数形结合、函数的思想，因此学习二 次函数是学生认识函数的又一次飞跃。
一是让学生体会生活中处处有数学，数学源于生活、又服务于生活的教学 理念，体会数学就在我们身边的道理；
二是从简单的实际问题入手，激发学生学习数学的兴趣。
针内对容训分练析
第二课时二次函数y=ax2的图象和性质内容解析 本节课类比一次函数的研究方法，先通过观察函数图象，认识函数特征，
从而得出函数的性质。对于二次函数y＝ax2的研究分别从a＞0，a＜0两种情况 入手，在具体的研究过程中，始终是从特殊到一般，例如a＞0时，a从具体的 数字1开始，再到12，2等；在每一次具体的函数研究过程中，都是从图象入 手．本节课从形状、开口方向、开口大小、对称性、顶点、增减性对二次函数y ＝ax2（a＞0）的图象特征进行研究，从而得到二次函数y＝ax2（a＞0）的性 质．此外，a＜0的情况又是类比a＞0的学习方法开展研究，最终经历以上探究 过程，得出二次函数y＝ax2的图象特征和性质．
以现实生活为背景，通过对投掷、跳水、跳远、拱桥、隧道等抛物线的探究， 建立合理的平面直角坐标系，利用待定系数法确定二次函数的表达式是解决此类问 题的关键．
通过探究矩形面积与矩形一边长两个变量之间的关系，让学生体会运用函数观 点解决实际问题的作用，初步体验建立函数模型的过程和方法．
针内对容训分练析
第九 十课时 实际问题与二次函数内容解析 利用二次函数解决销售利润问题的方法：(1)读懂题意；(2)借助销售问题中
人教版九年级上册数学《二次函数》说课教学复习课件
课件
课件
课件
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个人简历：课件/jianli/
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二次项系数 一次项系数
二次函数的一般式 ：ax 2 + bx + c = y（a≠0）
二次项 一次项 常数项
你发现二次函数一般式和我们学的哪个函数表达式很像吗？
y=ax2+c等.
想一想:二次函数的一般式y=ax2＋bx＋c（a≠0）与一元二次方
程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）有什么联系和区别？
联系：(1)等式一边都是ax2＋bx＋c且a ≠0；
(2)方程ax2＋bx＋c=0可以看成是函数y= ax2＋bx＋c中y=0时
得到的.
区别:前者是函数.后者是方程.等式另一边前者是y,后者是0.
第二十二章 二次函数
22.1.1 二次函数
人教版 数学（初中） （九年级 上）
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前言
学习目标
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1.从实际情景中让学生经历探索分析和建立两个变量之间的二次函数关系的过程，经一步体验如何
3．下列函数是二次函数的是 ( C )
A．y＝2x＋1
C．y＝3x2＋1
B．
D．
y
y
2
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二次项系数 一次项系数
二次函数的一般式 ：ax 2 + bx + c = y（a≠0）
二次项 一次项 常数项
你发现二次函数一般式和我们学的哪个函数表达式很像吗？
y=ax2+c等.
想一想:二次函数的一般式y=ax2＋bx＋c（a≠0）与一元二次方
程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）有什么联系和区别？
联系：(1)等式一边都是ax2＋bx＋c且a ≠0；
(2)方程ax2＋bx＋c=0可以看成是函数y= ax2＋bx＋c中y=0时
得到的.
区别:前者是函数.后者是方程.等式另一边前者是y,后者是0.
第二十二章 二次函数
22.1.1 二次函数
人教版 数学（初中） （九年级 上）
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1.从实际情景中让学生经历探索分析和建立两个变量之间的二次函数关系的过程，经一步体验如何
3．下列函数是二次函数的是 ( C )
A．y＝2x＋1
C．y＝3x2＋1
B．
D．
y
y
2
人教版数学九年级上册第二十二章《二次函数》课件(共22张)
解：因为第1档次的产品一天能生产 95 件，每件利润 6 元，每 提高一个档次，每件利润增加 2 元，但一天产量减少 5 件， 所以第 x 档次，提高了(x−1)档，利润增加了 2(x−1)元． 所以 y＝[6＋2(x−1)][95−5(x−1)]， 即 y＝−10x2＋180x＋400(其中 x 是正整数，且1≤x≤10)．
2.一个圆柱的高等于底面半径，写出它的表面积 S 与底面半径 r 之间的关系式．
解：由圆柱的表面积=2×圆柱的底面积+圆柱的侧面积， 得 S=2πr2+2πr•r=4πr2．
3.如图，矩形绿地的长、宽各增加 x m，写出扩充后的绿地的面 积 y 与 x 的关系式．
解：由图可得，扩充后的绿地的面积y(m2)与 x(m) 之间的函数关系式是y=(30+x)(20+x)=x2+50x+600， 即 y=x2+50x+600.
这个函数与我们学过的函数不同，其中自变量x的最高次数是2． 这类函数具有哪些性质呢？这就是本章要学习的二次函数．
合作探究
n 个球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛，比赛的场次数 m 与球队数 n 有什么关系？
分析：每个球队要与其他 (n-1) 个球队各比赛一场，甲队对乙队的比赛与乙
队对甲队的比赛是同一场比赛，所以比赛的场次数为
形如 y=ax²+bx+c (a，b，c是常数，a≠ 0)的函数叫做二次函数．其中 x 是自变量，a，b，c 分别是二次项系数、一次项系数和常数项．
（1）等号左边是变量y，右边是关于自变量x的整式； （2）a，b，c为常数，且a≠ 0； （3）等式的右边最高次数为 2，可以没有一次项和常数项，但 不能没有二次项．
2.一个圆柱的高等于底面半径，写出它的表面积 S 与底面半径 r 之间的关系式．
解：由圆柱的表面积=2×圆柱的底面积+圆柱的侧面积， 得 S=2πr2+2πr•r=4πr2．
3.如图，矩形绿地的长、宽各增加 x m，写出扩充后的绿地的面 积 y 与 x 的关系式．
解：由图可得，扩充后的绿地的面积y(m2)与 x(m) 之间的函数关系式是y=(30+x)(20+x)=x2+50x+600， 即 y=x2+50x+600.
这个函数与我们学过的函数不同，其中自变量x的最高次数是2． 这类函数具有哪些性质呢？这就是本章要学习的二次函数．
合作探究
n 个球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛，比赛的场次数 m 与球队数 n 有什么关系？
分析：每个球队要与其他 (n-1) 个球队各比赛一场，甲队对乙队的比赛与乙
队对甲队的比赛是同一场比赛，所以比赛的场次数为
形如 y=ax²+bx+c (a，b，c是常数，a≠ 0)的函数叫做二次函数．其中 x 是自变量，a，b，c 分别是二次项系数、一次项系数和常数项．
（1）等号左边是变量y，右边是关于自变量x的整式； （2）a，b，c为常数，且a≠ 0； （3）等式的右边最高次数为 2，可以没有一次项和常数项，但 不能没有二次项．
人教版九年级上册数学《二次函数y=ax2+k 的图象和性质》说课教学复习课件
知识点详解
在同一直角坐标系中，画出函数 的图象。解：分别填表，再画出它们的图象，如图
x
···
－4
－3
－2
－1
0
1
2
3
4
···
···
···
8 4.5 2 0.5 0 0.5 2 4.5 8
知识点详解
y = x2
知识点详解
可以看出： y轴是抛物线y = x 2 的对称轴，抛物线y = x 2 与它的对称轴的交点（0，0）叫做抛物线y = x2 的顶点，它是抛物线y = x 2 的最低点。实际上，每条抛物线都有对称轴，抛物线与对称轴的交点叫做抛物线的顶点。顶点是抛物线的最低点或最高点。
y = x2
练习题
3、已知 是二次函数且其图象开口向上,求m的值和函数解析式。解：依题意有: m+1>0 ① m2+m=2 ②解②得:m1=－2, m2=1由①得:m>－1∴ m=1此时,二次函数为: y=2x2 。
（0，k）
（0，k）
二次函数"y=ax2+c"的性质
1.抛物线y＝3x2＋7可以由抛物线y＝3x2向 平移 ____个单位得到．2.抛物线y＝-3x2+1向 平移 个单位后会得到抛物线y=-3x2．3.抛物线y＝-2x2-3的开口方向 ，对称轴是_____，顶点坐标是 .
思考
抛物线y = ax2+k 与抛物线y=ax2 有什么关系？
抛物线y=ax2+k的图象相当于把抛物线y=ax2的图象 （k＞0）或 （k＜0）平移 个单位.
向上
向下
|k|
小结
通过描点法画出？
思考：抛物线,与抛物线y= x2 有什么关系？
在同一直角坐标系中，画出函数 的图象。解：分别填表，再画出它们的图象，如图
x
···
－4
－3
－2
－1
0
1
2
3
4
···
···
···
8 4.5 2 0.5 0 0.5 2 4.5 8
知识点详解
y = x2
知识点详解
可以看出： y轴是抛物线y = x 2 的对称轴，抛物线y = x 2 与它的对称轴的交点（0，0）叫做抛物线y = x2 的顶点，它是抛物线y = x 2 的最低点。实际上，每条抛物线都有对称轴，抛物线与对称轴的交点叫做抛物线的顶点。顶点是抛物线的最低点或最高点。
y = x2
练习题
3、已知 是二次函数且其图象开口向上,求m的值和函数解析式。解：依题意有: m+1>0 ① m2+m=2 ②解②得:m1=－2, m2=1由①得:m>－1∴ m=1此时,二次函数为: y=2x2 。
（0，k）
（0，k）
二次函数"y=ax2+c"的性质
1.抛物线y＝3x2＋7可以由抛物线y＝3x2向 平移 ____个单位得到．2.抛物线y＝-3x2+1向 平移 个单位后会得到抛物线y=-3x2．3.抛物线y＝-2x2-3的开口方向 ，对称轴是_____，顶点坐标是 .
思考
抛物线y = ax2+k 与抛物线y=ax2 有什么关系？
抛物线y=ax2+k的图象相当于把抛物线y=ax2的图象 （k＞0）或 （k＜0）平移 个单位.
向上
向下
|k|
小结
通过描点法画出？
思考：抛物线,与抛物线y= x2 有什么关系？
人教版九年级初中数学上册第二十二章二次函数-二次函数的图像和性质PPT课件全文
你还记得如何画出一次函数的图像吗？
描点法画函数图像的一般步骤如下：
描点法
第一步，列表—表中给出一些自变量的值及其对应的函数值；
第二步，描点—在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，
描出表格中数值对应的各点；
第三步，连线—按照横坐标由小到大顺序，把所描出的各点用平滑的曲线连接起来。
抛物线y=ax2的图象性质:
（1）抛物线y=ax2的对称轴是y轴，顶点是原点.
（2）当a>0时，抛物线的开口向上，顶点是抛物线的最低点;
当a<0时，抛物线的开口向下，顶点是抛物线的最高点.
（3）|a|越大，抛物线的开口越小.
课堂练习
1.填表：
抛物线
y = ax2（a>0）
y = ax2（a＜0）
顶点坐标
你能通过这种方法画出二次函数的图像吗？
新知探究
二次函数=^2 的图像
通过描点法画出 = 的图像？
【列表】
在 = 中，自变量可以取任意实数，列表取几组对应值：
…
-2
-1
0
1
2
…
…
4
1
0
1
2
…
新知探究
二次函数=^2 的图像
y
通过描点法画出 = 的图像？
9
【描点】
事实上，二次函数的图象都是抛物线，它们的开口或者
3
向上或者向下．一般地，二次函数 y =ax2+bx +c（a≠0）
的图象叫做抛物线y=ax2+bx+c.
-3
O
3
x
新知探究
二次函数=^2 的性质
观察 = 2 的图像，它有对称轴在哪里？图像与y轴的交点在哪里？
描点法画函数图像的一般步骤如下：
描点法
第一步，列表—表中给出一些自变量的值及其对应的函数值；
第二步，描点—在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，
描出表格中数值对应的各点；
第三步，连线—按照横坐标由小到大顺序，把所描出的各点用平滑的曲线连接起来。
抛物线y=ax2的图象性质:
（1）抛物线y=ax2的对称轴是y轴，顶点是原点.
（2）当a>0时，抛物线的开口向上，顶点是抛物线的最低点;
当a<0时，抛物线的开口向下，顶点是抛物线的最高点.
（3）|a|越大，抛物线的开口越小.
课堂练习
1.填表：
抛物线
y = ax2（a>0）
y = ax2（a＜0）
顶点坐标
你能通过这种方法画出二次函数的图像吗？
新知探究
二次函数=^2 的图像
通过描点法画出 = 的图像？
【列表】
在 = 中，自变量可以取任意实数，列表取几组对应值：
…
-2
-1
0
1
2
…
…
4
1
0
1
2
…
新知探究
二次函数=^2 的图像
y
通过描点法画出 = 的图像？
9
【描点】
事实上，二次函数的图象都是抛物线，它们的开口或者
3
向上或者向下．一般地，二次函数 y =ax2+bx +c（a≠0）
的图象叫做抛物线y=ax2+bx+c.
-3
O
3
x
新知探究
二次函数=^2 的性质
观察 = 2 的图像，它有对称轴在哪里？图像与y轴的交点在哪里？
人教版九年级上册第22章二次函数复习 课件(共19张PPT)
y<0
10. 当a>0, △<0时，抛物线y=ax2+bx+c与x 轴 无交点，即全部图象在x 轴的上方，一元二 次方程ax2+bx+c=0无实数根，无论x 取何值， 都有y>0; 无论 x 取何值，都不可能有y≤0。
y>0
11.当a<0, △<0时，抛物线y=ax2+bx+c与x 轴无交点，即全部图象在x 轴的下方，一 元二次方程ax2+bx+c=0无实数根，无论x 取何值，都有y<0 .
【例】已知某二次函数二的次图函象数过的(一1，1般0)式，。(1，4) ， (2，7) 三点，求这个函数的解析式。
解：设所求函数解析式为 y ax2 bx c
由已知函数图象过(1，10)，(1，4)，(2，7) 三点得
a b c 10 a b c 4 4a 2b c 7 解这个方程组得a 2，b 3，c 5
∴所求得的函数解析式为 y 2x2 3x 5。
巩固练习1
已知某二次函数图象上有(1，3) ，(1，3) ，(2，6)三
个点，求它的函数解析式。
解：设函数解析式为 y ax2 bx c 由已知，函数图象上有 (1，3) ，(1，3) ，(2，6) 三个点，
得
a b c 3 a b c 3 4a 2b c 6
3. 当 a > 0 时，在对称轴的左侧，y 随 x 的增大而减小，
在对称轴的右侧，y 随 x 的增大而增大；当 a < 0 时，
在对称轴的左侧，y 随 x 的增大而增大，在对称轴的
右侧，y 随 x 的增大而减小。
4. y=a（x-h)2+k 的顶点坐标是（h, k) , 对称轴是直线 x㎝
10. 当a>0, △<0时，抛物线y=ax2+bx+c与x 轴 无交点，即全部图象在x 轴的上方，一元二 次方程ax2+bx+c=0无实数根，无论x 取何值， 都有y>0; 无论 x 取何值，都不可能有y≤0。
y>0
11.当a<0, △<0时，抛物线y=ax2+bx+c与x 轴无交点，即全部图象在x 轴的下方，一 元二次方程ax2+bx+c=0无实数根，无论x 取何值，都有y<0 .
【例】已知某二次函数二的次图函象数过的(一1，1般0)式，。(1，4) ， (2，7) 三点，求这个函数的解析式。
解：设所求函数解析式为 y ax2 bx c
由已知函数图象过(1，10)，(1，4)，(2，7) 三点得
a b c 10 a b c 4 4a 2b c 7 解这个方程组得a 2，b 3，c 5
∴所求得的函数解析式为 y 2x2 3x 5。
巩固练习1
已知某二次函数图象上有(1，3) ，(1，3) ，(2，6)三
个点，求它的函数解析式。
解：设函数解析式为 y ax2 bx c 由已知，函数图象上有 (1，3) ，(1，3) ，(2，6) 三个点，
得
a b c 3 a b c 3 4a 2b c 6
3. 当 a > 0 时，在对称轴的左侧，y 随 x 的增大而减小，
在对称轴的右侧，y 随 x 的增大而增大；当 a < 0 时，
在对称轴的左侧，y 随 x 的增大而增大，在对称轴的
右侧，y 随 x 的增大而减小。
4. y=a（x-h)2+k 的顶点坐标是（h, k) , 对称轴是直线 x㎝
人教版初中数学九年级上册精品教学课件 第22章 二次函数 22.2 二次函数与一元二次方程
2
3
4
5
6
7
7.利用二次函数的图象求方程1
1 2
x +x+2=0的近似解(精确到0.1).
2
解: 函数 y=-2x2+x+2 的图象如图.
1 2
设-2x +x+2=0
的两根分别为 x1,x2,且 x1<x2,观察图象可知
-2<x1<-1,3<x2<4.
1
因为当 x=-1 时,y=-2×(-1)2-1+2=0.5>0,
的交点个数是3.故选A.
A
解析
关闭
答案
快乐预习感知
1
2
3
4
5
6
7
3.已知二次函数y=x2-2ax+a2-2a-4(a为常数)的图象与x轴有交点,且
当x>3时,y随x的增大而增大,则a的取值范围是(
)
A.a≥-2
B.a<3
C.-2≤a<3
D.-2≤a≤3
关闭
D
答案
快乐预习感知
1
2
3
4
5
6
7
4.(2023·浙江宁波中考)已知二次函数y=ax2-(3a+1)x+3(a≠0),下列说
1
时,y=-2×(-1.5)2-1.5+2=-0.625<0,
当 x=-1.5
所以-1.5<x1<-1.
因为当 x=3
1 2
时,y=-2×3 +3+2=0.5>0,当
1
时,y=- ×3.52+3.5+2=-0.625<0,
人教版九年级数学上册第22章二次函数章末复习课件 (共68张ppt)
(4)当图像与x轴 有两个交点时, b2-4ac>0；当图像与x轴只有一个 交点时, b2-4ac=0； 当图像与x轴没有交点时, b2-4ac<0. (5)图像过点(1, a+b+c)和点(-1, a-b+c), 再根据图像上的点的位置可 确定式子a+b+c和a-b+c的符号.
例1 已知二次函数y=ax2+bx+c的图像如图22-Z-1所示, 那么下
二次函数 的图像和
性质
开口方向
a>0, 图像开口向上 a<0, 图像开口向下
对称轴
a, b同号, 对称轴在y轴左侧 a, b异号, 对称轴在y轴右侧
烦烦烦鬼鬼鬼鬼 鬼鬼鬼鬼跟鬼鬼 鬼鬼鬼g鬼鬼
二次函数 的图像和
性质
a>0 增减性
a<0
最值
二次函数 的解析式
y=ax²+bx+c(a≠0)(一般式) y=a(x-h)²&#(a≠0)(交点式)
【要点指导】研究二次函数的图像的平移、轴对称变换过程, 实 际 就是确定变换后所得图像的二次函数解析式, 研究变换后的图 像和性质 的过程, 关键是找到变换后图像上的特殊点(如抛物线的 顶点), 从而得出 函数解析式, 最后利用二次函数的性质解答.
例4 如图22-Z-3, 在平面直角坐标系 xOy中, 将抛物线y=2x2沿y轴 向上平移1个单 位长度, 再沿x轴向右平移2个单位长度, 平移 后所 得抛物线的顶点记作A, 直线x=3与平移 后的抛物线相交于点B, 与 直线OA相交于点C. (1)求平移后的抛物线的函数解析式； (2)求点C的坐标及△ABC的面积．
例2 已知二次函数的图像以A(-1, 4)为顶点, 且过点B(2, -5). (1)求该函数的解析式； (2)求该函数图像与坐标轴的交点坐标.
人教版数学九年级上册22.2 二次函数和一元二次方程课件(共55张PPT)
当已知二次函数 y 值，求自变量 x值时，可以看作是解对应的一 元二次方程.相反地，由解一元二次方程，又可看作是二次函数值 为0时，求自变量x的值
例如，已知二次函数 y = －x2＋4x 的值为3，求自变量 x 的值， 可以解一元二次方程－x2＋4x=3 ( 即x2－4x+3=0 ). 反过来，解方程 x2－4x+3=0 又可以看作已知二次函数 y = x2－4x+3 的值为0，求自 变量x的值，还可以看做y = －x2＋4x 和y=3的交点
x
-1
-2
-3
-4 -5
当x1=x2=-3时，函数值为0.
二、利用一元二次方程讨论二次函数与x轴的交点
思考
问题1 不解方程，判断下列一元二次方程根的情况. (1)x2+x-2=0； ∵∆ = b2-4ac=9>0，∴方程有两个不相等的实数根. (2)x2-6x+9=0； ∵∆ = b2-4ac=0，∴方程有两个相等的实数根. (3)x2-x+1=0. ∵∆ = b2-4ac=-3<0，∴方程有没有实数根.
公共点的坐标.
(1)y=x2+x-2；
y
两个（-2,0），（1,0）
2 1
-2 -1 O 1 2 x
-1
-2
(2)y=x2-6x+9；
y 4
一个（3,0）
3
2
1
-1 O 1 2 3 4
x
(3)y=x2-x+1
y 4
没有公共点
3
2 1
-1 O 1 2
x
二次函数图象与x轴的公共点我们也可以通过平移来观察，发现最多有两 个公共点，最少没有公共点.
O
例如，已知二次函数 y = －x2＋4x 的值为3，求自变量 x 的值， 可以解一元二次方程－x2＋4x=3 ( 即x2－4x+3=0 ). 反过来，解方程 x2－4x+3=0 又可以看作已知二次函数 y = x2－4x+3 的值为0，求自 变量x的值，还可以看做y = －x2＋4x 和y=3的交点
x
-1
-2
-3
-4 -5
当x1=x2=-3时，函数值为0.
二、利用一元二次方程讨论二次函数与x轴的交点
思考
问题1 不解方程，判断下列一元二次方程根的情况. (1)x2+x-2=0； ∵∆ = b2-4ac=9>0，∴方程有两个不相等的实数根. (2)x2-6x+9=0； ∵∆ = b2-4ac=0，∴方程有两个相等的实数根. (3)x2-x+1=0. ∵∆ = b2-4ac=-3<0，∴方程有没有实数根.
公共点的坐标.
(1)y=x2+x-2；
y
两个（-2,0），（1,0）
2 1
-2 -1 O 1 2 x
-1
-2
(2)y=x2-6x+9；
y 4
一个（3,0）
3
2
1
-1 O 1 2 3 4
x
(3)y=x2-x+1
y 4
没有公共点
3
2 1
-1 O 1 2
x
二次函数图象与x轴的公共点我们也可以通过平移来观察，发现最多有两 个公共点，最少没有公共点.
O