数列知识点和常用的解题方法归纳

数列知识点和常用的解题方法归纳一、等差数列的定义与性质

() 定义：为常数，a a d d a a n d n n

+-==+-1

1()

等差中项：，，成等差数列x A y A x y ?=+2

()()前项和n S a a n na

n n d

n n =

+=+

-112

{}性质：是等差数列

a n

（）若，则；

1m n p q a a a a m n p q +=++=+

{}{}{}（）数列，，仍为等差数列；

2212a a ka b n n n -+ S S S S S n n n n n ，，……仍为等差数列；

232--

（）若三个数成等差数列，可设为，，；

3a d a a d -+

（）若，是等差数列，为前项和，则

；421

a b S T n a b S T n n n n m m m m =--

{}（）为等差数列（，为常数，是关于的常数项为

52a S an bn a b n n n ?=+

0的二次函数）

{}S S an bn a n n n 的最值可求二次函数的最值；或者求出中的正、负分界

=+2

项，即：当，，解不等式组可得达到最大值时的值。

a d a a S n n n n 11000

0><≥≤???+

当，，由可得达到最小值时的值。

a d a a S n n n n 11

000

0<>≤≥???+

{}如：等差数列，，，，则a S a a a S n n n n n n =++===

--1831123

（由，∴a a a a a n n n n n ++=?==----12113331

()又·，∴S a a a

a 3132

33113

+===

()()∴·S a a n a a n n

n n n =+=+=+?? ???=-121221312

18 ∴=n 27）

二、等比数列的定义与性质定义：

（为常数，），a a q q q a a q n n

n n +-=≠=1

110

等比中项：、、成等比数列，或x G y G xy G xy ?==±2

()

前项和：（要注意）

n S na q a q q

q n n ==--≠???

111111()()!

{}性质：是等比数列

a n

（）若，则··1m n p q a a a a m n p q

+=+=

（），，……仍为等比数列

2232S S S S S n n n n n --

三、求数列通项公式的常用方法

1、公式法

2、n

a S 求由；（时，，时，）

n a

S n a S S n n n ==≥=--121

11 3、求差（商）法

{}如：满足……a a a

a n n

n 121

22511

+++

=+<>

解：n a

a ==?+=11

221514

1时，，∴

n a a a n n n ≥+++=-+<>

--212121

2215

212211时，……

<>-<>=121

得：n n a ，

∴a n

n =+2

，∴a n n n n ==≥???+1412

()

［练习］

{}数列满足，，求a S

S a a a n

n n n

+==++1115

（注意到代入得：

a S S S S n n n n n

+++=-=111

{}又，∴是等比数列，S S S n n n

144== n a S S n n n n ≥=-==--23411

时，……·

4、叠乘法

{}例如：数列中，，

，求a a a a n

n a n n n n 1131

==++

解：a

a a a a a n n a a n

n n n 21

3211122311·

……·……，∴-=-=

又，∴a a n

n 133

5、等差型递推公式

由，，求，用迭加法a a f n a a a n

n n

-==-1

()

n a a f a a f a a f n n n ≥-=-=-=?

???-22321321时，…………两边相加，得：

()()()

a a f f f n n -=+++123()()()

……

∴……a a f f f n n =++++023()()()

［练习］

{}()数列，，，求a a

a a n a n

n n n n

11132==+≥--

(

)（）a n n

-12

6、等比型递推公式

()a ca d c d c c d n

n =+≠≠≠-1

010、为常数，，，

()

可转化为等比数列，设a x c a x n n +=+-1

()?=+--a ca c x

n n 11

令，∴()c x d x d c -==

-11

∴是首项为，为公比的等比数列a d c a d c c n +-?

???+

-111

∴·a d c a d c c n n +

-=+-?? ??

?-1111

∴a a d c c d c n n =+-?

? ???-

--1111

［练习］

{}数列满足，，求a a

a a a n

n n n

1934=+=+

（）

a n n =-?? ?

+-84311

7、倒数法

例如：，，求a a a a a n n

n n

11122

++ ，

由已知得：122121

1a a a a n n n n

+=+

∴

1112

a a n n +-

= ， ∴???

???

=11112

a a

为等差数列，，公差为

()()∴=+-=+1

11121

1a n n n

，∴a

n n

+21

三、求数列前n 项和的常用方法

高考数列万能解题方法

数列的项n a 与前n 项和n S 的关系：1 1 (1)(2)n n n s n a s s n -=?=?-≥? 数列求和的常用方法： 1、拆项分组法：即把每一项拆成几项，重新组合分成几组，转化为特殊数列求和。 2、错项相减法：适用于差比数列（如果 {}n a 等差，{}n b 等比，那么{}n n a b 叫做差比数列）即把每一项都乘以{}n b 的公比q ，向后错一项，再对应同次项相减，转化为等比数列求和。 3、裂项相消法：即把每一项都拆成正负两项，使其正负抵消，只余有限几项，可求和。适用于数列11n n a a +???????和??（其中{}n a 等差）可裂项为： 11 1111 ()n n n n a a d a a ++=-?，

1 d = 等差数列前n项和的最值问题： 1、若等差数列{}n a的首项10 a>，公差0 d<，则前n项和 n S有最大值。（ⅰ）若已知通项 n a，则 n S最大? 1 n n a a + ≥ ? ? ≤ ? ；（ⅱ）若已知2 n S pn qn =+，则当n取最靠近 2 q p -的非零自然数时 n S最大； 2、若等差数列{}n a的首项10 a<，公差0 d>，则前n项和 n S有最小值（ⅰ）若已知通项 n a，则 n S最小? 1 n n a a + ≤ ? ? ≥ ? ；（ⅱ）若已知2 n S pn qn =+，则当n取最靠近 2 q p -的非零自然数时 n S最小；数列通项的求法： ⑴公式法：①等差数列通项公式；②等比数列通项公式。 ⑵已知 n S（即 12 () n a a a f n +++= L）求 n a，用作差法：{11,(1),(2) n n n S n a S S n - = =-≥。已知 12 () n a a a f n = g g L g求 n a，用作商法： (1),(1) () ,(2) (1) n f n f n a n f n = ?? =?≥ ?- ? 。 ⑶已知条件中既有 n S还有 n a，有时先求 n S，再求 n a；有时也可直接求 n a。 ⑷若 1 () n n a a f n + -=求 n a用累加法： 11221 ()()() n n n n n a a a a a a a --- =-+-++- L 1 a +(2) n≥。 ⑸已知1() n n a f n a +=求 n a，用累乘法：12 1 121 n n n n n a a a a a a a a - -- =???? L(2) n≥。 ⑹已知递推关系求 n a，用构造法（构造等差、等比数列）。特别地，（1）形如 1 n n a ka b - =+、 1 n n n a ka b - =+（,k b为常数）的递推数列都可以用待定系数法转化为公比为k的等比数列后，再求n a；形如1n n n a ka k - =+的递推数列都可以除以 n k得到一个等差数列后，再求 n a。（2）形如1 1 n n n a a ka b - - = + 的递推数列都可以用倒数法求通项。

(完整版)数列题型及解题方法归纳总结

知识框架 111111(2)(2)(1)( 1)()22()n n n n n n m p q n n n n a q n a a a q a a d n a a n d n n n S a a na d a a a a m n p q --=≥=?? ←???-=≥?? =+-??-?=+=+??+=++=+??两个基等比数列的定义本数列等比数列的通项公式等比数列数列数列的分类数列数列的通项公式函数角度理解的概念数列的递推关系等差数列的定义等差数列的通项公式等差数列等差数列的求和公式等差数列的性质1111(1)(1) 11(1)() n n n n m p q a a q a q q q q S na q a a a a m n p q ---=≠--===+=+???? ? ???????????????? ??? ???????????? ???? ????????????? ?????? ? ?? ?? ?? ?? ??? ???????? 等比数列的求和公式等比数列的性质公式法分组求和错位相减求和数列裂项求和求和倒序相加求和累加累积归纳猜想证明分期付款数列的应用其他??????? ? ? 掌握了数列的基本知识，特别是等差、等比数列的定义、通项公式、求和公式及性质，掌握了典型题型的解法和数学思想法的应用，就有可能在高考中顺利地解决数列问题。一、典型题的技巧解法 1、求通项公式（1）观察法。（2）由递推公式求通项。对于由递推公式所确定的数列的求解，通常可通过对递推公式的变换转化成等差数列或等比数列问题。 (1)递推式为a n+1=a n +d 及a n+1=qa n （d ，q 为常数）例1、已知{a n }满足a n+1=a n +2，而且a 1=1。求a n 。例1、解 ∵a n+1-a n =2为常数 ∴{a n }是首项为1，公差为2的等差数列 ∴a n =1+2（n-1）即a n =2n-1 例2、已知{}n a 满足11 2 n n a a +=，而12a =，求n a =？（2）递推式为a n+1=a n +f （n ）例3、已知{}n a 中112a = ，121 41 n n a a n +=+-，求n a . 解：由已知可知)12)(12(11-+= -+n n a a n n )1 21 121(21+--=n n 令n=1，2，…，（n-1），代入得（n-1）个等式累加，即（a 2-a 1）+（a 3-a 2）+…+（a n -a n-1） 2 43 4)1211(211--= --+=n n n a a n ★ 说明只要和f （1）+f （2）+…+f （n-1）是可求的，就可以由a n+1=a n +f （n ）以n=1，2，…，（n-1）代入，可得n-1个等式累加而求a n 。 (3)递推式为a n+1=pa n +q （p ，q 为常数）例4、{}n a 中，11a =，对于n ＞1（n ∈N ）有132n n a a -=+，求n a . 解法一：由已知递推式得a n+1=3a n +2，a n =3a n-1+2。两式相减：a n+1-a n =3（a n -a n-1）因此数列{a n+1-a n }是公比为3的等比数列，其首项为a 2-a 1=（3×1+2）-1=4 ∴a n+1-a n =4·3n-1 ∵a n+1=3a n +2 ∴3a n +2-a n =4·3n-1 即 a n =2·3n-1 -1 解法二：上法得{a n+1-a n }是公比为3的等比数列，于是有：a 2-a 1=4，a 3-a 2=4·3，a 4-a 3=4·32，…，a n -a n-1=4·3n-2 ，把n-1个等式累加得： ∴an=2·3n-1-1 (4)递推式为a n+1=p a n +q n （p ，q 为常数） )(3211-+-= -n n n n b b b b 由上题的解法，得：n n b )32(23-= ∴n n n n n b a )31(2)21(32-== (5)递推式为21n n n a pa qa ++=+

数列知识点及常用结论

数列知识点及常用结论一、等差数列（1）等差数列的基本公式 ①通项公式：1(1)n a a n d =+- （从第1项1a 开始为等差） ()n m a a n m d =+- （从第m 项m a 开始为等差） ()n m n m n m a a nd a a n m d a a d n m -=?? =+-??-=?-? ②前n 项和公式：11()(1)22 n n n a a n n S na d +-= =+ （2）证明等差数列的法方 . ①定义法：对任意的n ，都有1n n a a d +-=（d 为常数）?{}n a 为等差数列 ②等差中项法：122n n n a a a ++=+（n ∈*N ）?{}n a 为等差数列 ③通项公式法：n a =pn+q (p ，q 为常数且p ≠0) ?{}n a 为等差数列即：通项公式位n 的一次函数，公差d p =，首项1a p q =+ ④前n 项和公式法：2 n S pn qn =+ (p ， q 为常数) ?{}n a 为等差数列即：关于n 的不含常数项的二次函数（3）常用结论 < ①若数列{}n a ，{}n b 为等差数列，则数列{}n a k +，{}n k a ，{}n n a b ±，{}n ka b + (k ， b 为非零常数)均为等差数列. ②若m+n=p+q (m ，n ，p ，q ∈*N )，则n m a a +=p q a a +. 特别的，当n+m=2k 时，得n m a a +=2k a ③在等差数列{}a 中，每隔k(k ∈*N )项取出一项，按原来的顺序排列，所得的数列仍

数列解题技巧归纳总结---好(5份)

数列知识点及常用结论

数列知识点及常用结论一、等差数列（1）等差数列的基本公式 ①通项公式：1(1)n a a n d =+- （从第1项1a 开始为等差） ()n m a a n m d =+- （从第m 项m a 开始为等差） ()n m n m n m a a nd a a n m d a a d n m -=?? =+-??-=?-? ②前n 项和公式：11()(1)22 n n n a a n n S na d +-= =+ （2）证明等差数列的法方 ①定义法：对任意的n ，都有1n n a a d +-=（d 为常数）?{}n a 为等差数列 ②等差中项法：122n n n a a a ++=+（n ∈*N ）?{}n a 为等差数列 ③通项公式法：n a =pn+q (p ，q 为常数且p ≠0) ?{}n a 为等差数列即：通项公式位n 的一次函数，公差d p =，首项1a p q =+ ④前n 项和公式法：2 n S pn qn =+ (p ， q 为常数) ?{}n a 为等差数列即：关于n 的不含常数项的二次函数（3）常用结论 ①若数列{}n a ，{}n b 为等差数列，则数列{}n a k +，{}n k a ，{}n n a b ±，{}n ka b + (k ， b 为非零常数)均为等差数列. ②若m+n=p+q (m ，n ，p ，q ∈*N )，则n m a a +=p q a a +. 特别的，当n+m=2k 时，得n m a a +=2k a ③在等差数列{}n a 中，每隔k(k ∈*N )项取出一项，按原来的顺序排列，所得的数列仍为等差数列，且公差为(k+1)d(例如：1a ，4a ，7a ，10a ??????仍为公差为3d 的等差数列)

数列知识点及常用解题方法归纳总结

数列知识点及常用解题方法归纳总结一、等差数列的定义与性质 () 定义：为常数，a a d d a a n d n n n +-==+-111() 等差中项：，，成等差数列x A y A x y ?=+2 ()()前项和n S a a n na n n d n n = +=+ -112 12 {}性质：是等差数列a n （）若，则；1m n p q a a a a m n p q +=++=+ {}{}{}（）数列，，仍为等差数列；2212a a ka b n n n -+ S S S S S n n n n n ，，……仍为等差数列；232-- （）若三个数成等差数列，可设为，，；3a d a a d -+ （）若，是等差数列，为前项和，则；421 21 a b S T n a b S T n n n n m m m m =-- {}（）为等差数列（，为常数，是关于的常数项为52 a S an bn a b n n n ?=+ 0的二次函数） {}S S an bn a n n n 的最值可求二次函数的最值；或者求出中的正、负分界=+2 项，即：当，，解不等式组可得达到最大值时的值。a d a a S n n n n 11 000 0><≥≤?? ?+ 当，，由可得达到最小值时的值。a d a a S n n n n 11000 <>≤≥?? ?+ {}如：等差数列，，，，则a S a a a S n n n n n n =++===--1831123 （由，∴a a a a a n n n n n ++=?==----12113331 ()又·，∴S a a a a 3132 22 33113 = +===

数列知识点及常用结论

数列知识点及常用结论 -、等差数列（1）等差数列的基本公式 ①通项公式：a^ a i （n - 1）d （从第1项印开始为等差） a n = a m - （n- m）d （从第m项a m开始为等差）比代二nd a n=a m+（ n-m）d=仁a n-a m d = ---- — m L.n ②前n项和公式：皿且2訂务 2 2 （2）证明等差数列的法方 ①定义法：对任意的n,都有a ni -a. =d（d为常数）二{a.}为等差数列 ②等差中项法：2a n^a n■ a n 2（n，N ）= {a n}为等差数列 ③通项公式法：a n=pn+q （p , q为常数且p z 0）u {a n}为等差数列即:通项公式位n的一次函数，公差d = p，首项a^ p q 2 ④前n项和公式法：S n = p n +qn （p , q为常数）={a n}为等差数列即:关于n的不含常数项的二次函数（3）常用结论 ①若数列{a n}, {b n}为等差数列，则数列{a n k} , {kLa n} , {a n - b n}, {ka n b} （k , b为非零常数）均为等差数列. ②若m+n=p+q （m, n, p, q N*），贝U a. a m=a p a q. 特别的，当n+m=2k时，得a n' a m= 2a k

③在等差数列{a n}中，每隔k（k ? N*）项取出一项，按原来的顺序排列，所得的数列仍为等差数列，且公差为（k+1）d（例如：a1, a4, a7, a10 仍为公差为3d的等差数列) ④若数列｛a*｝为等差数列，则记2 =6 ? a?山. 宀比,S2k -S k二a k i ? a k 2宀.... 宀a2k, 2 S3k _S2^a2k 1 a2k 2 .... ' a3k，则S k , Sk , S k 仍成等差数列，且公差为k d S ⑤若S n为等差数列｛a n｝的前n项和，则数列｛」｝也为等差数列. n f S|,( n = 1) ⑥a n二此性质对任何一种数列都适用 ! S n - S二，(n-2) ⑦求S n最值的方法： a兰0 I：若a i>0，公差d<0，则当彳时，则S n有最大值且S k最大； (A卑兰0 N _ 0 若a i<0，公差d>0，则当时，贝V S n有最小值，且S k最小； I a k i 一0 II :求前n项和S n pn ? qn的对称轴，再求出距离对称轴最近的正整数k , 当n二k时，S k为最值，是最大或最小，通过S n的开口来判断。二、等比数列 (1)等比数列的基本公式 ①通项公式：n 1 a n =aq (从第1项a i开始为等比) a二a q (从第m项a开始为等差) ②前n项和公式： —,(q ~1)，Sfq-1) (2)证明等比数列的法方 ①定义法：对任意的n,都有a n 1 = qa n(a n = 0)= 色」=q (q = 0)= {a n}为等比数列a n

数列解题技巧

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第四讲数列与探索性新题型的解题技巧【命题趋向】从2007年高考题可见数列题命题有如下趋势： 1.等差（比）数列的基本知识是必考内容，这类问题既有选择题、填空题，也有解答题；难度易、中、难三类皆有. 2.数列中a n与S n之间的互化关系也是高考的一个热点. 3.函数思想、方程思想、分类讨论思想等数学思想方法在解决问题中常常用到，解答试题时要注意灵活应用. 4.解答题的难度有逐年增大的趋势,还有一些新颖题型,如与导数和极限相结合等.因此复习中应注意： 1.数列是一种特殊的函数，学习时要善于利用函数的思想来解决.如通项公式、前n项和公式等. 2.运用方程的思想解等差（比）数列，是常见题型，解决此类问题需要抓住基本量a1、d（或q），掌握好设未知数、列出方程、解方程三个环节，常通过“设而不求，整体代入”来简化运算. 3.分类讨论的思想在本章尤为突出.学习时考虑问题要全面，如等比数列求和要注意q=1和q≠1两种情况等等. 4.等价转化是数学复习中常常运用的，数列也不例外.如a n与S n的转化；将一些数列转化成等差（比）数列来解决等.复习时，要及时总结归纳. 5.深刻理解等差（比）数列的定义，能正确使用定义和等差（比）数列的性质是学好本章的关键.

6.解题要善于总结基本数学方法.如观察法、类比法、错位相减法、待定系数法、归纳法、数形结合法，养成良好的学习习惯，定能达到事半功倍的效果. 7．数列应用题将是命题的热点，这类题关键在于建模及数列的一些相关知识的应用. 【考点透视】 1．理解数列的概念，了解数列通项公式的意义，了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项. 2．理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式与前n项和公式，并能运用公式解答简单的问题. 3．理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前n项和公式，并能运用公式解决简单的问题. 4．数列是高中数学的重要内容，又是学习高等数学的基础，所以在高考中占有重要的地位.高考对本章的考查比较全面，等差数列，等比数列的考查每年都不会遗漏.解答题多为中等以上难度的试题，突出考查考生的思维能力，解决问题的能力，试题大多有较好的区分度.有关数列的试题经常是综合题，经常把数列知识和指数函数、对数函数和不等式的知识综合起来，试题也常把等差数列、等比数列，求极限和数学归纳法综合在一起。探索性问题是高考的热点，常在数列解答题中出现。本章中还蕴含着丰富的数学思想，在主观题中着重考查函数与方程、转化与化归、分类讨论等重要思想，以及配方法、换元法、待定系数法等基本数学方法.应用问题考查的重点是现实客观事物的数学化，常需构造数列模型，将现实问题转化为数学问题来解决. 【例题解析】

数列知识点和常用解题方法归纳总结

数列知识点和常用解题方法归纳总结 -标准化文件发布号：（9556-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII

数列知识点及常用解题方法归纳总结一、等差数列的定义与性质 () 定义：为常数，a a d d a a n d n n n +-==+-111() 等差中项：，，成等差数列x A y A x y ?=+2 ()()前项和n S a a n na n n d n n = +=+ -112 12 {}性质：是等差数列a n （）若，则；1m n p q a a a a m n p q +=++=+ {}{}{}（）数列，，仍为等差数列；2212a a ka b n n n -+ S S S S S n n n n n ，，……仍为等差数列；232-- （）若三个数成等差数列，可设为，，；3a d a a d -+ （）若，是等差数列，为前项和，则；421 21 a b S T n a b S T n n n n m m m m =-- {}（）为等差数列（，为常数，是关于的常数项为52a S an bn a b n n n ?=+ 0的二次函数） {}S S an bn a n n n 的最值可求二次函数的最值；或者求出中的正、负分界=+2 项，即：当，，解不等式组可得达到最大值时的值。a d a a S n n n n 11000 0><≥≤???+ 当，，由可得达到最小值时的值。a d a a S n n n n 11 000 0<>≤≥???+ {}如：等差数列，，，，则a S a a a S n n n n n n =++===--1831123 （由，∴a a a a a n n n n n ++=?==----12113331 ()又·，∴S a a a a 3132 22 3311 3 = +===

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等差数列前n 项和的最值问题： 1、若等差数列{}n a 的首项1 a >，公差0d <，则前n 项和n S 有最大值。（ⅰ）若已知通项n a ，则n S 最大?1 n n a a +≥?? ≤? ；（ⅱ）若已知2n S pn qn =+，则当n 取最靠近2q p -的非零自然数时n S 最大； 2、若等差数列{}n a 的首项1 0a <，公差0d >，则前n 项和n S 有最小值（ⅰ）若已知通项n a ，则n S 最小?1 n n a a +≤?? ≥? ；（ⅱ）若已知2n S pn qn =+，则当n 取最靠近2q p -的非零自然数时n S 最小；数列通项的求法： ⑴公式法：①等差数列通项公式；②等比数列通项公式。 ⑵已知n S （即1 2 ()n a a a f n +++=）求n a ，用作差法：{1 1 ,(1),(2) n n n S n a S S n -==-≥。已知1 2() n a a a f n =求n a ，用作商法： (1),(1)() ,(2) (1)n f n f n a n f n =??=?≥?-? 。 ⑶已知条件中既有n S 还有n a ，有时先求n S ，再求n a ；有时也可直接求n a 。 ⑷若1 ()n n a a f n +-=求n a 用累加法：1 1 2 2 1 ()()()n n n n n a a a a a a a ---=-+-++- 1 a +(2)n ≥。 ⑸已知1()n n a f n a +=求n a ，用累乘法：12 1 121 n n n n n a a a a a a a a ---=????(2)n ≥。 ⑹已知递推关系求n a ，用构造法（构造等差、等比

数列解题技巧

数列解题技巧 Revised by Liu Jing on January 12, 2021

高考数列万能解题方法定稿版

高考数列万能解题方法 HUA system office room 【HUA16H-TTMS2A-HUAS8Q8-HUAH1688】

数列的项n a 与前n 项和n S 的关系：1 1(1)(2)n n n s n a s s n -=?=?-≥? 数列求和的常用方法： 1、拆项分组法：即把每一项拆成几项，重新组合分成几组，转化为特殊数列求和。 2、错项相减法：适用于差比数列（如果{}n a 等差，{}n b 等比，那么{}n n a b 叫做差比数列）即把每一项都乘以{}n b 的公比q ，向后错一项，再对应同次项相减，转化为等比数列求和。 3、裂项相消法：即把每一项都拆成正负两项，使其正负抵消，只余有限几项，可求和。适用于数列11n n a a +???????和??（其中{}n a 等差）

可裂项为： 111111()n n n n a a d a a ++=-? 1 d = 等差数列前n 项和的最值问题： 1、若等差数列{}n a 的首项10a >，公差0d <，则前n 项和n S 有最大值。（ⅰ）若已知通项n a ，则n S 最大?10 n n a a +≥??≤?；（ⅱ）若已知2n S pn qn =+，则当n 取最靠近2q p - 的非零自然数时n S 最大； 2、若等差数列{}n a 的首项10a <，公差0d >，则前n 项和n S 有最小值（ⅰ）若已知通项n a ，则n S 最小?1 0n n a a +≤??≥?；（ⅱ）若已知2n S pn qn =+，则当n 取最靠近2q p - 的非零自然数时n S 最小；数列通项的求法： ⑴公式法：①等差数列通项公式；②等比数列通项公式。 ⑵已知n S （即12()n a a a f n +++=）求n a ，用作差法：{ 11,(1) ,(2) n n n S n a S S n -== -≥。已知12 ()n a a a f n =求n a ，用作商法：(1),(1)() ,(2) (1) n f n f n a n f n =??=?≥?-?。 ⑶已知条件中既有n S 还有n a ，有时先求n S ，再求n a ；有时也可直接求n a 。

(推荐)高中数学数列知识点精华总结

数列专题 ◆ 考点一：求数列的通项公式 1. 由a n 与S n 的关系求通项公式由S n 与a n 的递推关系求a n 的常用思路有： ①利用S n －S n －1＝a n (n≥2)转化为a n 的递推关系，再求其通项公式；数列的通项a n 与前n 项和S n 的关系是a n ＝? ?? ?? S 1，n ＝1， S n －S n －1，n≥2.当n ＝1时，a 1若适合S n －S n －1，则n ＝1的情况可并入n≥2时的通项a n ；当n ＝1时，a 1若不适合S n －S n －1，则用分段函数的形式表示． ②转化为S n 的递推关系，先求出S n 与n 的关系，再求a n . 2.由递推关系式求数列的通项公式由递推公式求通项公式的常用方法:已知数列的递推关系，求数列的通项公式时，通常用累加、累乘、构造法求解． ◆ 累加法：递推关系形如a n ＋1－a n ＝f(n)，常用累加法求通项； ◆ 累乘法：递推关系形如a n ＋1 a n ＝f(n)，常用累乘法求通项； ◆ 构造法：1）递推关系形如“a n ＋1＝pa n ＋q(p 、q 是常数，且p≠1，q≠0)”的数列求通项，此类通项问题，常用待定系数法．可设a n ＋1＋λ＝p(a n ＋λ)，经过比较，求得λ，则数列{a n ＋λ}是一个等比数列； 2）递推关系形如“a n ＋1＝pa n ＋q n (q ，p 为常数，且p≠1，q≠0)”的数列求通项，此类型可以将关系式两边同除以q n 转化为类型(4)，或同除以p n ＋1 转为用迭加法求解． 3） ◆ 倒数变形

3.数列函数性质的应用数列与函数的关系数列是一种特殊的函数，即数列是一个定义在非零自然数集或其子集上的函数，当自变量依次从小到大取值时所对应的一列函数值，就是数列．因此，在研究函数问题时既要注意函数方法的普遍性，又要考虑数列方法的特殊性．函数思想在数列中的应用 (1)数列可以看作是一类特殊的函数，因此要用函数的知识，函数的思想方法来解决． (2)数列的单调性是高考常考内容之一，有关数列最大项、最小项、数列有界性问题均可借助数列的单调性来解决，判断单调性时常用：①作差；②作商；③结合函数图象等方法．（3)数列{a n }的最大(小)项的求法可以利用不等式组? ?? ?? a n －1≤a n ，a n ≥a n ＋1，找到数列的最大项；利用不等式组? ?? ?? a n －1≥a n ， a n ≤a n ＋1，找到数列的最小项. [例3] 已知数列{a n }．(1)若a n ＝n 2 －5n ＋4，①数列中有多少项是负数？②n 为何值时，a n 有最小值？并求出最小值． (2)若a n ＝n 2 ＋kn ＋4且对于n ∈N * ，都有a n ＋1>a n 成立．求实数k 的取值范围．考点二：等差数列和等比数列等差数列等比数列定义 a n －a n －1＝常数(n≥2) a n a n －1＝常数(n≥2) 通项公式 a n ＝a 1＋(n －1)d a n ＝a 1q n －1 (q≠0)

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数列解题技巧归纳总结基础知识： 1．数列、项的概念：按一定次序排列的一列数，叫做数列，其中的每一个数叫做数列的项． 2．数列的项的性质：① 有序性；② 确定性；③ 可重复性． 3．数列的表示：通常用字母加右下角标表示数列的项，其中右下角标表示项的位置序号，因此数列的一般形式可以写成a 1，a 2，a 3，…，a n ，（…），简记作 {a n } ．其中a n 是该数列的第 n 项，列表法、图象法、符号法、列举法、解析法、公式法（通项公式、递推公式、求和公式）都是表示数列的方法． 4．数列的一般性质：①单调性；②周期性． 5．数列的分类： ①按项的数量分：有穷数列、无穷数列； ②按相邻项的大小关系分：递增数列、递减数列、常数列、摆动数列、其他； ③按项的变化规律分：等差数列、等比数列、其他； ④按项的变化范围分：有界数列、无界数列． 6．数列的通项公式：如果数列{a n }的第n 项a n 与它的序号n 之间的函数关系可以用一个公式a n =f （n ）（n ∈N + 或其有限子集{1，2，3，…，n}）来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．数列的项是指数列中一个确定的数，是函数值，而序号是指数列中项的位置，是自变量的值．由通项公式可知数列的图象是散点图，点的横坐标是项的序号值，纵坐标是各项的值．不是所有的数列都有通项公式，数列的通项公式在形式上未必唯一． 7．数列的递推公式：如果已知数列{a n }的第一项（或前几项），且任一项a n 与它的前一项a n -1（或前几项a n-1， a n -2，…）间关系可以用一个公式 a n =f （a 1n -）（n =2，3，…）（或 a n =f （a 1n -,a 2n -）(n=3，4，5，…)，…）来表示，那么这个公式叫做这个数列的递推公式． 8．数列的求和公式：设S n 表示数列{a n }和前n 项和，即S n = 1 n i i a =∑=a 1 +a 2 +…+a n ，如果S n 与项数n 之间的函数关系可以用一个公式 S n = f （n ）（n =1，2，3，…）来表示，那么这个公式叫做这个数列的求和公式． 9．通项公式与求和公式的关系：通项公式a n 与求和公式S n 的关系可表示为：11(1) (n 2) n n n S n a S S -=?=? -≥? 等差数列与等比数列：等差数列等比数列文字定义一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差是同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫等差数列的公差。一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比是同一个常数，那么这个数列就叫等比数列，这个常数叫等比数列的公比。符号定义 1n n a a d +-= 1 (0)n n a q q a +=≠ 分类递增数列：0d > 递减数列：0d < 递增数列：1101001a q a q >><<<，或，

三角数列知识点梳理

三角函数知识点总结 1. 角的概念的推广 (1) 终边相同的角：所有与α角终边相同的角(连同α角在)可以用式子k ?360?α，k ∈Z 来表示。与α角终边相同的角的集合可记作：{β|β k ?360?α，k ∈Z}或{β|β2k πα，k ∈Z}。 ※ 角的集合表示形式不是唯一的；终边相同的角不一定相同，相同的角一定终边相同。 (2) 象限角：角的顶点与坐标轴原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，角的终边落在第几象限，就称这个角为第几象限的角。象限角集合表示象限角集合表示第一象限 ??????∈+<

坐标轴 ? ?????∈=Z k k x x ，π21 2. 弧度制 (1) 1弧度的角：等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角。 (2) 度数与弧度数的换算： ①180? π弧度； ②180 1π = ?弧度； ③1弧度 O ?? ? ??π180。 (3) 有关扇形的一些计算公式： ①R =α； ②R S 2 1 = ； ③221 R S α=； ④C (α2)R ； ⑤)sin (2 1 2αα-=-=?R S S S 扇形弓。 3. 同角三角函数的基本关系 (1) 商数关系： αα αtg =cos sin ；(2) 平方关系：sin 2αcos 2 α1， 4. 三角函数的诱导公式：“奇变偶不变(2 π 的奇数倍还是偶数倍)，符号看象限(原三角函数名)”。 5. 两角和与差的三角函数公式 βαβαβαsin cos cos sin )sin(±=±； βαβαβαsin sin cos cos )cos( =±； β αβ αβαtg tg tg tg tg 1)(±= ± (变形：)1()(βαβαβαtg tg tg tg tg ?±=±)。 6. 倍角、半角公式 (1) 二倍角公式： sin2α2sin αc os α，c os2αc os 2αsin 2α2c os 2α112sin 2α，α -α = α2 tg 1tg 22tg ； 7. 倍角、半角公式的功能 (1) 并项功能：1±sin2α(sin α±c os α)2 (类比：1c os2α2c os 2α，1c os2α2sin 2α)； (2) 升次功能：c os2αc os 2αsin 2α2c os 2α1 1 2sin 2α； R

数列题型及解题方法归纳总结

知识框架掌握了数列的基本知识，特别是等差、等比数列的定义、通项公式、求和公式及性质，掌握了典型题型的解法和数学思想法的应用，就有可能在高考中顺利地解决数列问题。一、典型题的技巧解法 1、求通项公式（1）观察法。（2）由递推公式求通项。对于由递推公式所确定的数列的求解，通常可通过对递推公式的变换转化成等差数列或等比数列问题。 (1)递推式为a n+1=a n +d 及a n+1=qa n （d ，q 为常数）例1、已知{a n }满足a n+1=a n +2，而且a 1=1。求a n 。例1、解∵a n+1-a n =2为常数∴{a n }是首项为1，公差为2的等差数列 ∴a n =1+2（n-1）即a n =2n-1 例2、已知{}n a 满足11 2n n a a +=，而12a =，求 n a =？（2）递推式为a n+1=a n +f （n ）例3、已知{}n a 中112 a = ，12 141 n n a a n +=+ -，求n a . 解：由已知可知 )12)(12(11-+= -+n n a a n n )1 21 121(21+--=n n 令n=1，2，…，（n-1），代入得（n-1）个等式累加，即（a 2-a 1）+（a 3-a 2）+…+（a n -a n-1） ★ 说明只要和f （1）+f （2）+…+f （n-1）是可求的，就可以由a n+1=a n +f （n ）以n=1，2，…，（n-1）代入，可得n-1个等式累加而求a n 。 (3)递推式为a n+1=pa n +q （p ，q 为常数）例4、{}n a 中，11a =，对于n ＞1（n ∈N ）有 132n n a a -=+，求n a . 解法一：由已知递推式得a n+1=3a n +2，a n =3a n-1+2。两式相减：a n+1-a n =3（a n -a n-1）因此数列{a n+1-a n }是公比为3的等比数列，其首项为a 2-a 1=（3×1+2）-1=4 ∴a n+1-a n =4·3n-1∵a n+1=3a n +2∴3a n +2-a n =4·3n-1 即a n =2·3n-1-1 解法二：上法得{a n+1-a n }是公比为3的等比数列，于是有：a 2-a 1=4，a 3-a 2=4·3，a 4-a 3=4·32，…，a n -a n-1=4·3n-2，把n-1个等式累加得：∴an=2·3n-1-1 (4)递推式为a n+1=pa n +qn （p ，q 为常数） )(3 2 11-+-=-n n n n b b b b 由上题的解法，得：n n b )3 2(23-=∴ n n n n n b a )31(2)21(32 -== (5)递推式为21n n n a pa qa ++=+ 思路：设21n n n a pa qa ++=+,可以变形为： 211()n n n n a a a a αβα+++-=-，想于是{a n+1-αa n }是公比为β的等比数列，就转化为前面的类型。求n a 。 (6)递推式为S n 与a n 的关系式系；（2）试用n 表示a n 。 ∴)2121( )(1 2 11 --++- +-=-n n n n n n a a S S ∴1 11 2 1 -+++ -=n n n n a a a ∴ n n n a a 2 1 211+= + 上式两边同乘以2n+1得2n+1a n+1=2n a n +2则{2n a n }是公差为2的等差数列。 ∴2n a n =2+（n-1）·2=2n 数列求和的常用方法： 1、拆项分组法：即把每一项拆成几项，重新组合分成几组，转化为特殊数列求和。

数列知识点和常用解题方法归纳总结.doc

数列知识点及常用解题方法归纳总结一、等差数列的定义与性质定义： a n 1 a n d (d为常数 ) ， a n a1 n 1 d 等差中项： x， A ， y成等差数列2A x y a1 a n n n n 1 前 n项和 S n na 1 d 2 2 性质： a n是等差数列（1）若 m n p q，则 a m a n a p a q；（ 2）数列 a2 n 1， a2 n， ka n b 仍为等差数列； S n， S2 n S n， S3n S2 n仍为等差数列；（ 3）若三个数成等差数列，可设为 a d，a，a d；（ 4）若 a n， b n是等差数列 S n ， T n 为前 n项和，则a m S2 m 1 ； b m T 2 m 1 （ 5） a n 为等差数列 S n an 2 bn （，为常数，是关于的常数项为 a b n 0的二次函数） S n的最值可求二次函数S n an2bn的最值；或者求出a n中的正、负分界项，即：当 a 1 ， d ，解不等式组a n 0 可得S n 达到最大值时的n 值。 0 0 a n 0 1 当 a 1 ， d ，由 a n 0 可得 S n 达到最小值时的 n 值。 0 0 a n 1 0 如：等差数列 a n， S n 18，a n a n 1 a n 2 3，S3 1，则 n （由 a n a n 1 a n 2 3 3a n 1 3，∴ a n 1 1 又 S3 a1 a3 · 3 3a2 1，∴ a2 1 2 3

1 1 n a 1 a n n a 2 a n 1 · n 3 18 n 27） ∴ S n 2 2 2 二、等比数列的定义与性质定义： a n 1 q （ q 为常数， q 0）， a n a 1 q n 1 a n 等比中项： x 、G 、 y 成等比数列 G 2 xy ，或 G xy na 1 (q 1) 前n 项和： S n a 1 1 q n 1) （要注意 ! ） 1 (q q 性质： a n 是等比数列（1）若 m n p q ，则 a m · a n a p ·a q （ 2） S n ， S 2 n S n ， S 3n S 2 n 仍为等比数列三、求数列通项公式的常用方法 1、公式法 2、由 S n 求 a n ；（ n 1时， a 1 S 1 ， n 2时， a n S n S n 1 ） 3、求差（商）法如： a n 满足 1 a 1 1 a 2 1 a n 2n 5 2 22 2n 解： n 1时， 1 a 1 2 1 ，∴ a 1 14 2 5 n 2时， 1 a 1 1 1 a 2 a n 1 2n 1 5 2 22 2 n 1 1 2 得： 1 n a n 2 ， ∴ a n 2n 1 ， ∴ a n 2 ［练习］数列 a n 满足 S n S n 1 5 a n 1 ， a 1 4，求 a n 3 （注意到 a n 1 S n 1 S n 代入得： S n 1 4 S n 又S 1 4 ，∴ S n 是等比数列， S n 4 n n 2时， a n S n S n 1 3· 4 n 1 1 2 14 ( n 1) 2 n 1 (n 2)