专题22 三角函数的性质-2019年高考数学名师揭秘之一轮总复习 Word版含解析
[推荐学习]专题23 三角形中的三角函数(检测)-2019年高考数学(文)名师揭秘之一轮总复习
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《2019年高考数学名师揭秘》之一轮总复习（文科）专题23三角形中的三角函数本专题特别注意：1.解三角形时的分类讨论（锐角钝角之分）2. 三角形与三角函数的综合3. 正余弦定理及三角形中的射影定理的应用4.三角形中的中线问题5.三角形中的角平分性问题6.多个三角形问题7．三角形的综合【学习目标】掌握三角形形状的判断方法；三角形有关三角函数求值，能证明与三角形内角有关的三角恒等式【方法总结】三角形中的三角函数主要涉及三角形的边角转化，三角形形状判断，三角形内三角函数求值及三角恒等式证明等．以正弦、余弦定理为知识框架，以三角形为主要依托，结合实际问题考查应用．要注意根据条件的特点灵活运用正弦定理或余弦定理．一般考虑从两个方向进行变形，一个方向是边，走代数变形之路，通常是正弦定理、余弦定理结合使用；另一个方向是角，走三角变形之路，主要是利用正弦定理高考模拟：一、单选题1．在三棱锥中，点在底面的正投影恰好落在等边的边上，点到底面的距离等于底面边长.设与底面所成的二面角的大小为，与底面所成的二面角的大小为，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：作出两二面角的平面角，如图∠PDO和∠PEO，而在等边中，OD＋OE等于的高为定值，再把表示出来，求出，最后由OD＋OE为定值可求得最小值.详解：如图，O是P在底面ABC上的正投影，OD⊥AC，OE⊥BC，垂足为D，E，则∠PDO＝α，∠PEO＝β，设，，则，又，∴，，，∵，∴，当且仅当时取等号，∴，，∴，∴的最小值为.故选C.点睛：过等边的边AB上任一点E作另两边的垂线，垂足分别为M，N，则为定值（等于三角形的高），这可由面积法得证.2．在中，，的面积为2，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】C点睛：本题主要考查了利用均值不等式求最值，及正弦定理和三角形面积公式的应用，其中解答中利用正弦定理，构造乘积为定值，利用均值不等式求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，以及构造思想的应用．3．已知:锐角的内角的对边分别为,三边满足关系(1)求内角的大小;(2)求的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】分析：（1）由已知根据余弦定理可得(2)∵△ABC是锐角三角形，可知，求得，，进而得到的取值范围.详解：（1）由已知得：∴∴(2)∵△ABC是锐角三角形∴∴∴∴点睛：本题考查利用余弦定理解三角形，以及三角函数的性质，属基础题.4．已知函数．（1）求函数的最大值和最小值；（2）为的内角平分线，已知，求角的大小．【答案】(1) .(2) .【解析】分析：（1）由三角恒等变换的公式化简得，单调函数在在上单增，上单减，即可求解函数的最值；（2）在和，由正弦定理得，再分别在和中，利用余弦定理，即可求解角的大小．详解：(1)在上单增，上单减，；（2）中，中，，∵，，，，中，，中，，，∴．点睛：本题考查了解三角形的综合应用，高考中经常将三角变换与解三角形知识综合起来命题，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理实现边角互化；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．5．已知函数.（1）求的最小正周期；（2）在中，角的对边为，若，，，求中线的长.【答案】（1）；（2）【解析】分析：（1）由三角恒等变换的公式化简得，即可利用周期的公式，得到函数的最小正周期；（2）由（1）知，∵在中，∴∴，∴又，∴，∴，在中，由正弦定理，得，∴，∴，在中，由余弦定理得∴点睛：本题主要考查了利用正弦定理和三角函数的恒等变换求解三角形问题，对于解三角形问题，通常利用正弦定理进行“边转角”寻求角的关系，利用“角转边”寻求边的关系，利用余弦定理借助三边关系求角，利用两角和差公式及二倍角公式求三角函数值. 利用正、余弦定理解三角形问题是高考高频考点，经常利用三角形内角和定理，三角形面积公式，结合正、余弦定理解题.6．设的内角所对的边分别是，且是与的等差中项．（Ⅰ）求角；（Ⅱ）设，求周长的最大值．【答案】(1)60°；(2)6.【解析】分析：（1）法一：由题意，利用正弦定理，化简得，即可求解角的大小；法二：由题意，利用余弦定理化简得到，即，即可求解角的大小；（2）法一：由余弦定理及基本不等式，得，进而得周长的最大值；法二：由正弦定理和三角恒等变换的公式化简整理得，进而求解周长的最大值.详解：（1）法一：由题，，由正弦定理，，即，解得，所以．法二：由题，由余弦定理得：，解得，所以．（2）法一：由余弦定理及基本不等式，，得，当且仅当时等号成立，故周长的最大值为．法三：如图，延长至使得，则，于是，在中，由正弦定理：，即，故周长，∵，∴当时，周长的最大值为．点睛：在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更合适，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息．一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式时，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．7．的内角的对边分别为，已知.（1）求；（2）若成等差数列，且的周长为，求的面积.【答案】（1）（2）【解析】分析：（1）由,利用正弦定理可得，再由两角和的正弦公式结合诱导公式可得,从而可得结果；（2）由成等差数列，的周长为，可得，由余弦定理利用三角形面积公式可得结果.点睛：以三角形为载体，三角恒等变换为手段，正弦定理、余弦定理为工具，对三角函数及解三角形进行考查是近几年高考考查的一类热点问题，一般难度不大，但综合性较强.解答这类问题，两角和与差的正余弦公式、诱导公式以及二倍角公一定要熟练掌握并灵活应用，特别是二倍角公式的各种变化形式要熟记于心.8．在中，角所对的边分别为，.（1）求；（2）若，的周长为，求的面积.【答案】（1）（2）【解析】分析：（1）由，根据正弦定理得，可得所以，从而可得结果；（2）由，可得，可求得，由此以，根据周长为可求得，从而可得结果.详解：（1）因为，由正弦定理得所以所以，且所以.（2）因为，所以，所以，，或解得：或因为，所以所以，所以因为，所以所以.点睛：以三角形为载体，三角恒等变换为手段，正弦定理、余弦定理为工具，对三角函数及解三角形进行考查是近几年高考考查的一类热点问题，一般难度不大，但综合性较强.解答这类问题，两角和与差的正余弦公式、诱导公式以及二倍角公一定要熟练掌握并灵活应用，特别是二倍角公式的各种变化形式要熟记于心.9．在中，，.（1）若，求的长及边上的高；（2）若为锐角三角形，求的周长的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】分析：（1）根据，得出，结合余弦定理即可求出的长，再根据等面积法即可求得边上的高；（2）设，根据推出角必为锐角，结合为锐角三角形可得，，根据余弦定理即可求得的取值范围，从而可得的周长的取值范围.详解：（1）∵∴∴.∵∴.由等面积法可得，则.点睛：本题考查余弦定理及三角形面积的应用.解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的，其基本步骤是：第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向；第二步：定工具，根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的转换；第三步：求结果.10．已知,,分别为三个内角的对边，,.（1）求；（2）若的中点，，求,.【答案】(1)；(2)或.【解析】分析：（1）把用正弦定理化边为角，再化后，变形可解得角，然后由向量的数量积定义可求得，从而易得三角形面积；（2）由D为中点得，平方后结合数量积的运算可求得的一个等式，结合（1）中的可解得.详解：（1）（2），点睛：本题是数量积与解三角形的综合考查，解题时需掌握两方面的概念与公式，第（2）解题关键是应用结论，这样可借助数量积表示出的关系.实际上三角形的中线与三边长还有如下关系：（在和中利用可得.11．在△ABC中，角A,B,C的对边分别为，已知，且.（1）求角A的大小；（2）设函数，求函数的最大值【答案】（1）（2）2【解析】分析：（1）由余弦定理易得，，由正弦定理可得，进而得，即可得A；（2）由（1）得当，即时，.点睛：本题主要考查了三角形正余弦定理的应用及三角函数的最值，属于基础题.12．在中，角A、B、C所对的边分别为，已知，，，角A为锐角．（1）求与的值；（2）求的值及三角形面积．【答案】（1）（2）【解析】分析：第一问首先利用题中的条件，，利用倍角公式，结合A为锐角的条件，求得的值，之后可以借助于同角三角函数关系式求得的值，在求边长的时候，就利用正弦定理可以求得结果；第二问结合题中所给的条件，利用余弦定理建立边所满足的等量关系式，求得结果，之后应用面积公式求得三角形的面积.详解：（1）由正弦定理，代入，为，解为角A为锐角，（2），代入为，解为点睛：该题考查的是有关解三角形的问题，在解题的过程中，需要把握正弦定理、余弦定理、倍角公式、同角三角函数关系式以及三角形的面积公式，在做题的过程中，在求的时候，也可以应用倍角公式求解.13．在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知c=，角A为锐角．(1)求与a的值；(2)求b的值及三角形面积．【答案】(1),.(2),.【解析】分析：（1）直接利用正弦定理和已知条件求a的值，再求cosA的值，再利用平方关系求sinA的值. (2)利用余弦定理求b,再利用三角形的面积公式求面积.详解：（1）由正弦定理，代入c=，得，解为,因为又因为角A为锐角，所以（2）因为所以，解得b=5.所以点睛：（1）本题主要考查正弦定理余弦定理解三角形，考查三角形的面积计算，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和分析推理能力.(2)已知两边和其中一边的对角，求第三边，利用余弦定理解题效率最高.所以本题已知, c=求b，利用余弦定理一步到位求出b.14．在中，为锐角，且.（1）求；（2）若的面积为，求边上的高.【答案】（1）（2）【解析】分析：（1）先根据诱导公式、二倍角公式化简得，再根据为锐角得；（2）先根据面积公式得，再根据余弦定理得，最后根据等面积法求高.详解：解：（1）；（2），由余弦定理有：，由面积公式有：.点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向. 第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化. 第三步：求结果.15．如图，一山顶有一信号塔CD （CD 所在的直线与地平面垂直），在山脚A 处测得塔尖C 的仰角为α，沿倾斜角为θ的山坡向上前进l 米后到达B 处，测得C 的仰角为β.（1）求BC 的长；（2）若24l =， 45α=， 75β=， 30θ=，求信号塔CD 的高度.【答案】(1) ()()sin sin BC l αθβα-=-；(2) 24-【解析】分析：（1）在ABC 中， CAB αθ∠=-， ()ABC πβθ∠=--， ACB βα∠=-，由正弦定理可得()()sin sin BC l αθβα-=-；（2）结合（1），在三角形BDC 中，利用正弦定理化简求解即可. 详解：（1）在ABC 中， CAB αθ∠=-， ()ABC πβθ∠=--， ACB βα∠=-.由正弦定理，()()sin sin BC l αθβα-=-；（2）由（1）及条件知， ()()sin 12sin BC l αθβα-==-，9015BCD β∠=︒-=︒， 45CBD βθ∠=-=︒， 120BDC ∠=︒.由正弦定理得sin4524sin120CD BC ︒=⋅=-︒点睛：本题主要考查正弦定理在解三角形中的应用，属于中档题.正弦定理是解三角形的有力工具，其常见用法有以下三种：（1）知道两边和一边的对角，求另一边的对角（一定要注意讨论钝角与锐角）；（2）知道两角与一个角的对边，求另一个角的对边；（3）证明化简过程中边角互化；（4）求三角形外接圆半径. 16．在中，内角所对的边分别是，已知（Ⅰ）求； （Ⅱ）当时，求的取值范围． 【答案】(1)；(2).【解析】分析：（Ⅰ）方法一，可用正弦定理将条件边化角得，由式子左边及两角和的正弦公式和诱导公式可将变为，得。
2019届高考理科数学一轮复习精品学案：第18讲三角函数的图像与性质(含解析)
[ 解析 ] A ∵ｆ =2, f
=0, ∴ - = (2 m+1), m∈ N,解得 T= , m∈ N. ∵ｆ( x) 的最小正周期大于
2π , ∴m=0, ∴T=3π , 则 ω = . 由题意得 × +φ = +2kπ , k∈ Z, 解得 φ = +2kπ , k∈ Z, 又
∵｜φ |< π , ∴ φ = .
第 18 讲 三角函数的图像与性质
考试说明 1 . 能画出函数 y=sin x, y=cos x, y=tan x 的图像 , 了解三角函数的周期性 . 2. 理解正弦函数、余弦函数在区间 [0,2 π ] 上的性质 ( 如单调性、最大值和最小值、图像与
x 轴的交点等 ),
理解正切函数在区间 - , 内的单调性 .
所以当 x∈ - , 时 , f ( x) 在区间 - , 上单调递增 , 在区间 - , - 上单调递减 . 【课前双基巩固】 知识聚焦
1. [ - 1,1] [ - 1,1] R 奇函数 偶函数 2kπ + ,2 kπ + 对点演练
[2 kπ - π,2 kπ ] ( kπ ,0) x=kπ
1. π [ 解析 ] T= = =π . 2.- 1 [ 解析 ] 依题意得 A+1=3, 所以 A=2, 所以函数 y=2sin x+1 的最小值为 1- 2=- 1. 3. 增 减 [ 解析 ] 由余弦函数的单调性 , 得函数 y=2cos x 在 [ - π,0] 上是增函数 , 在[0, π ] 上是减函数 .
(
)
A. 11 B. 9 C. 7 D . 5
[ 解析 ] B 由已知可得 - ω+φ =kπ , k∈ Z, ω +φ =mπ+ , m∈Z, 两式相加 , 得 2φ=( k+m) π+ . 因为 | φ | ≤ , 所以 k+m=0 或 k+m=-1, 即 φ =± , 两式相减得 ω =2( m-k) +1, 即 ω 为正奇数 .
三角函数的图象与性质 2019高考绝密资料
三角函数的图象与性质主标题：三角函数的图象与性质 副标题：为学生详细的分析三角函数的图象与性质的高考考点、命题方向以及规律总结。
关键词：三角函数，正弦函数，余弦函数，图象与性质 难度：2 重要程度：4考点剖析：1．能画出y ＝sin x ，y ＝cos x ，y ＝tan x 的图象，了解三角函数的周期性． 2．借助图象理解正弦函数、余弦函数在[0,2π]，正切函数在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2上的性质.命题方向：1．三角函数的单调性是每年高考命题的热点，题型既有选择题也有填空题，难度适中，为中低档题．2．高考对三角函数单调性的考查有以下几个命题角度： (1)求已知三角函数的单调区间； (2)已知三角函数的单调区间求参数；(3)利用三角函数的单调性求值域(或最值)． 规律总结：2个性质——周期性与奇偶性 (1)周期性函数y ＝A sin(ωx ＋φ)和y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期为2π|ω|，y ＝tan(ωx ＋φ)的最小正周期为π|ω|. (2)奇偶性三角函数中奇函数一般可化为y ＝A sin ωx 或y ＝A tan ωx 的形式，而偶函数一般可化为y ＝A cos ωx ＋b 的形式．3种方法——求三角函数值域(或最值)的方法 (1)利用sin x 、cos x 的有界性．(2)形式复杂的函数应化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 的形式，逐步分析ωx ＋φ的范围，根据正弦函数单调性写出函数的值域(或最值)．(3)换元法：把sin x 或cos x 看作一个整体，可化为求函数在区间上的值域(或最值)问题．4个注意点——研究三角函数性质应注意的问题(1)三角函数的图像从形上完全反映了三角函数的性质，求三角函数的定义域、值域时应注意利用三角函数的图像．(2)闭区间上值域(或最值)问题，首先要在定义域基础上分析单调性，含参数的值域(或最值)问题，要讨论参数对值域(或最值)的影响．(3)利用换元法求复合函数的单调性时，要注意x 系数的正负．(4)利用换元法求三角函数值域(或最值)时要注意三角函数的有界性，如：y ＝sin 2x －4sin x ＋5，令t ＝sin x ，则y ＝(t －2)2＋1≥1，解法错误．知 识 梳 理正弦函数、余弦函数、正切函数的图像和性质 函数 y ＝sin x y ＝cos x y ＝tan x图 象定义域 R R ⎩⎨⎧ x ⎪⎪ x ≠π2＋k π，k ∈Z }值域[－1,1][－1,1] R单调性递增区间： ⎣⎡⎦⎤2k π－π2，2k π＋π2(k ∈Z )； 递减区间： ⎣⎡⎦⎤2k π＋π2，2k π＋3π2(k ∈Z ) 递增区间： [2k π－π，2k π] (k ∈Z )； 递减区间： [2k π，2k π＋π] (k ∈Z ) 递增区间：⎝⎛⎭⎫k π－π2，k π＋π2(k ∈Z )最 值 x ＝2k π＋π2(k ∈Z )时，y max ＝1；x ＝2k π－π2(k ∈Z )时，y min ＝－1 x ＝2k π(k ∈Z )时，y max ＝1； x ＝2k π＋π(k ∈Z ) 时， y min ＝－1无最值奇偶性 奇函数 偶函数奇函数对称性 对称中心：(k π，0)(k ∈Z )对称轴：x ＝k π＋π2，k ∈Z对称中心：⎝⎛⎭⎫k π＋π2，0(k ∈Z )对称轴：x ＝k π，k ∈Z对称中心：⎝⎛⎭⎫k π2，0(k ∈Z )无对称轴周期2π2ππ导数在研究函数中的应用主标题：导数在研究函数中的应用备考策略副标题：通过考点分析高考命题方向，把握高考规律，为学生备考复习打通快速通道。
高考数学大一轮复习第四章三角函数学案22同角三角函数的基本关系式及诱导公式文解析版
1 题组层级快练(二十二) 1．下列各数中与sin2 019°的值最接近的是( ) A.12B.32
C．－12D．－32
答案C 解析2 019°＝5×360°＋180°＋39°，∴sin2 019°＝－sin39°和－sin30°接近，选C.
2．(2019·湖北四校第二次联考)已知角α是第二象限角，且满足sin(5π2＋α)＋3cos(α－π)＝1，则tan(π＋α)＝( ) A.3 B．－3
C．－33D．－1 答案B 解析方法一：由sin(5π2＋α)＋3cos(α－π)＝1，得cosα－3cosα＝1，∴cosα＝－12，
∵角α是第二象限角，∴sinα＝32，∴tan(π＋α)＝tanα＝sinαcosα＝－3，故选B. 方法二：由sin(5π2＋α)＋3cos(α－π)＝1，得cosα－3cosα＝1，∴cosα＝－12，∵角α是第二象限角，∴可取α＝2π3，∴tan(π＋α)＝tan2π3＝－3，故选B. 3．若tan(5π＋α)＝m，则sin（α－3π）＋cos（π－α）sin（－α）－cos（π＋a）的值为( ) A.m＋1m－1B.m－1m＋1
C．－1 D．1 答案A 解析∵tan(5π＋α)＝m，∴tanα＝m.
原式＝－sinα－cosα－sinα＋cosα＝sinα＋cosαsinα－cosα＝m＋1m－1，∴选A. 4．(2019·杭州学军中学模拟)已知cos31°＝a，则sin239°·tan149°的值为( ) 2
A.1－a2aB.1－a2C.a2－1aD．－1－a2答案B 解析sin239°·tan149°＝sin(270°－31°)·tan(180°－31°)＝－cos31°·(－tan31°)＝sin31°＝1－a2. 5．记cos(－80°)＝k，那么tan100°＝( )
A.1－k2kB．－1－k2k
C.k1－k2D．－k1－k2
答案B
解析cos(－80°)＝cos80°＝k，sin80°＝1－k2，tan80°＝1－k2k，tan100°＝－
三角函数的图像与性质(讲学案)-2019年高考文数二轮复习---精校精品Word解析版
1.三角函数y＝Asin (ωx＋φ)( A>0，ω>0)的图象变换，周期及单调性是高考热点． 2.备考时应掌握y＝sin x，y＝cos x，y＝tan x的图象与性质，并熟练掌握函数y＝Asin (ωx＋φ)(A>0，ω>0)的值域、单调性、周期性等．
1．任意角和弧度制 (1)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}．
(2)把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角． (3)弧长公式：l＝|α|r， 扇形的面积公式：S＝12lr＝12|α|r2. 2．任意角的三角函数 (1)设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么sinα＝y，cosα＝x，tanα＝yx(x≠0)． (2)各象限角的三角函数值的符号：一全正，二正弦，三正切，四余弦． 3．诱导公式
公式一 sin(2kπ＋α)＝sinα，cos(2kπ＋α)＝cosα， tan(2kπ＋α)＝tanα
公式二 sin(π＋α)＝－sinα，cos(π＋α)＝－cosα， tan(π＋α)＝tanα
公式三 sin(－α)＝－sinα，cos(－α)＝cosα， tan(－α)＝－tanα
公式四 sin(π－α)＝sinα，cos(π－α)＝－cosα， tan(π－α)＝－tanα 公式五 sinπ2－α＝cosα，cosπ2－α＝sinα
公式六 sinπ2＋α＝cosα，cosπ2＋α＝－sinα
口诀 奇变偶不变，符号看象限
4.同角三角函数基本关系式 sin2α＋cos2α＝1，tanα＝sinαcosα(cosα≠0)． 5．正弦、余弦、正切函数的性质
函数 y＝sinx y＝cosx y＝tanx 定义域 R R {x|x≠π2＋kπ，k∈Z}
值域 [－1,1] [－1,1] R 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 最小正周期 2π 2π π
专题19 两角和与差及二倍角的三角函数-2019年高考数学名师揭秘之一轮总复习 Word版含解析
本专题特别注意：1.角的范围问题2. 角的一致性问题3. 三角化简形式、名称、角的一致原则4.角成倍角的余弦之积问题5.“1”的妙用6.辅助角的替换作用7. 角的范围对函数性质的影响8. 用已知角表示未知角问题方法总结：1.对于任意一个三角公式，应从“顺、逆”两个方面去认识，尽力熟悉它的变式，以及能灵活运用.2.公式应用要讲究“灵活、恰当”，关键是观察、分析题设“已知”和“未知”中角之间的“和、差、倍、半”以及“互补、互余”关系，同时分析归纳题设中三角函数式的结构特征，探究化简变换目标.3.把握三角公式之间的相互联系是构建“三角函数公式体系”的条件，是牢固记忆三角公式的关键.高考模拟：一、单选题1A. B. C. D.【答案】C【解析】分析:故选C.点睛：本题主要考查三角函数的化简和最小正周期公式，属于中档题2A. B. C. D.【答案】B.点睛：该题考查的是有关角的终边上点的纵坐标的差值的问题，涉及到的知识点有共线的点的坐标的关系，余弦的倍角公式，余弦函数的定义式，根据题中的条件，得到相应的等量关系式，从而求得结果.3．已知函数，则A. 的最小正周期为π，最大值为3B. 的最小正周期为π，最大值为4C. 的最小正周期为，最大值为3D. 的最小正周期为，最大值为4【答案】B【解析】分析：首先利用余弦的倍角公式，对函数解析式进行化简，将解析式化简为，之后应用余弦型函数的性质得到相关的量，从而得到正确选项.详解：根据题意有，所以函数的最小正周期为，且最大值为，故选B.点睛：该题考查的是有关化简三角函数解析式，并且通过余弦型函数的相关性质得到函数的性质，在解题的过程中，要注意应用余弦倍角公式将式子降次升角，得到最简结果.4）A. B. -8 D. 8【答案】D【解析】分析：首先将题中的条件中的式子利用倍角公式以及差角公式将其拆开化简，求得.故选D.点睛：该题考查的是有关三角函数的求值问题，在解题的过程中，用到的公式有余弦的倍角公式，正弦的差角公式，以及已知正余弦的和，利用平方求得积，将目标式化简，代入求值即可.5）A. B. C. D.【答案】D程求解即可.点睛：本题主要考查韦达定理的应用，两角和的正切公式以及二倍角的正切公式，意在考查综合利用所学知识解决问题的能力，属于中档题.6．《算法统宗》是中国古代数学名著，由明代数学家程大位所著，该作完善了珠算口诀，确立了算盘用法.该作中有题为“李白沽酒:李白街上走，提壶去买酒。
三角函数的图像和性质-2019年高考提升之数学考点讲解与真题分析(六)+Word版含解析
基础知识梳理1.周期和最小正周期[知识整理]【知识整理】【小题微练】1.（2018•天津学业考试）函数y=cos2x，x∈R的最小正周期为（）A．B．πC．2πD．12．（2017•新课标Ⅱ）函数f（x）=sin（2x+）的最小正周期为（）A．4πB．2πC．πD．【小题微练】1.B；解：y=cos2x，由周期公式可得：T=．故选：B．2.C；解：函数f（x）=sin（2x+）的最小正周期为：=π．故选：C．2.正弦函数、余弦函数、正切函数的图像和性质[知识整理]【知识整理】【小题微练】1. 函数y ＝sin (2x ＋φ)(0≤φ≤π)是R 上的偶函数，则φ的值是( ) (A)0 (B)π4 (C)π2(D)π2.（2017•新课标Ⅲ）设函数f（x）=cos（x+），则下列结论错误的是（）A．f（x）的一个周期为﹣2πB．y=f（x）的图象关于直线x=对称C．f（x+π）的一个零点为x=D．f（x）在（，π）单调递减【小题微练】重难考点突破考点1：三角函数的定义域、值域（热度:** ）[考点微练]2.【规律总结】考点2：三角函数的单调性（热度:** ** ）【典例印证】例1：（2018•浙江杭州高三期中）设函数f（x）=2sin（2x+）（x∈R），则最小正周期T=；单调递增区间是．【答案】π；[kπ﹣，kπ+]，k∈Z【解析】∵函数f（x）=2sin（2x+）（x∈R），则最小正周期T==π，令2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，求得kπ﹣≤x≤kπ+，故函数的增区间为[kπ﹣，kπ+]，k ∈Z ，故答案为：π；[k π﹣，kπ+]，k ∈Z ．例2（2018江西模拟）已知函数()2sin(2)4f x x π=-，则函数f （x ）的单调递减区间为________。
【答案】[kπ﹣8π，kπ+38π]，k ∈Z 。
【解析】∵函数()2sin(2)2sin(2)44f x x x ππ=-=--，，令2kπ﹣2π≤2x ﹣4π≤2kπ+2π，求得kπ﹣8π≤x ≤kπ+38π，可得函数的减区间为[kπ﹣8π，kπ+38π]，k ∈Z ，例3.例4已知函数()f x =()2f π与7()5f π-的大小．解：7()5f π-2()5f π=== ∵20552πππ<<< ∴2()()55f f ππ<． 即()5f π＜7()5f π-． 【误区警示】求形如)00)(sin(>≠+=ωϕω，其中A x A y 的函数单调区间，可以通过解不等式的方法去解，列不等式的原则是：（1）把“)0(>+ωϕωx ”视为一个“整体”；（2）当A>0(A<0)时，函数的单调性与)(sin R x x y ∈=相同（相反）。
（word完整版）高中数学专题系列三角函数讲义
（word完整版）⾼中数学专题系列三⾓函数讲义§1.1.1、任意⾓1、正⾓、负⾓、零⾓、象限⾓的概念.2、与⾓α终边相同的⾓的集合：{}Z k k ∈+=,2παββ.§1.1.2、弧度制1、把长度等于半径长的弧所对的圆⼼⾓叫做1弧度的⾓.2、 rl =α. 3、弧长公式：R R n l απ==180. 4、扇形⾯积公式：lR R n S 213602==π. §1.2.1、任意⾓的三⾓函数1、设α是⼀个任意⾓，它的终边与单位圆交于点()y x P ,，那么：xyx y ===αααtan ,cos ,sin 2、设点(),A x y为⾓α终边上任意⼀点，那么：（设r =sin y r α=，cos x r α=，tan yxα=，cot x y α=3、αsin ，αcos ，αtan 在四个象限的符号和三⾓函数线的画法.正弦线：MP; 余弦线：OM; 正切线：AT5、特殊⾓0°，30°45°，60°，90°，180°，270等的三⾓函数值.§1.2.21、平⽅关系：1cos sin 22=+αα 2、商数关系：αααcos sin tan =. 3、倒数关系：tan cot 1αα=§1.3、三⾓函数的诱导公式（概括为Z k ∈）§1.4.1、正弦、余弦函数的图象和性质1、记住正弦、余弦函数图象：2、能够对照图象讲出正弦、余弦函数的相关性质：定义域、值域、最⼤最⼩值、对称轴、对称中⼼、奇偶性、单调性、周期性.3、会⽤五点法作图.sin y x =在[0,2]x π∈上的五个关键点为： 30010-12022ππππ（，）（，，）（，，）（，，）（，，）.y=tanx3π2ππ2-3π2-π-π2oyxy=cotx 3π2ππ22π-π-π2o yx图表归纳：正弦、余弦、正切函数的图像及其性质x y sin =x y cos =x y tan =图象定义域 RR},2|{Z k k x x ∈+≠ππ值域[-1,1][-1,1]R最值max min 2,122,12x k k Z y x k k Z y ππππ=+∈==-∈=-时，时，max min 2,12,1x k k Z y x k k Z y πππ=∈==+∈=-时，时，⽆周期性π2=T π2=Tπ=T奇偶性奇偶奇单调性Z k ∈在[2,2]22k k ππππ-+上单调递增在3[2,2]22k k ππππ++上单调递减在[2,2]k k πππ-上单调递增在[2,2]k k πππ+上单调递减在(,)22k k ππππ-+上单调递增对称性 Z k ∈对称轴⽅程：2x k ππ=+对称中⼼(,0)k π对称轴⽅程：x k π= 对称中⼼(,0)2k ππ+⽆对称轴对称中⼼,0)(2k π§1.4.3、正切函数的图象与性质1、记住正切函数的图象2、记住余切函数的图象：3、能够对照图象讲出正切函数的相关性质：定义域、值域、对称中⼼、奇偶性、单调性、周期性.§1.5、函数()?ω+=x A y sin 的图象 1、对于函数：()()sin 0,0y A x B A ωφω=++>>有：振幅A ，周期2T πω=，初相?，相位?ω+x ，频率πω21==Tf .2、能够讲出函数x y sin =的图象与()sin y A x B ω?=++的图象之间的平移伸缩变换关系.3、三⾓函数的周期，对称轴和对称中⼼函数sin()y x ω?=+，x ∈R 及函数cos()y x ω?=+，x ∈R(A,ω,?为常数，且A ≠0)的周期2|| T πω=；函数tan()y x ω?=+，,2x k k Z ππ≠+∈(A,ω,?为常数，且A ≠0)的周期||T πω=. 对于sin()y A x ω?=+和cos()y A x ω?=+来说，对称中⼼与零点相联系，对称轴与最值点联系. 求函数sin()y A x ω?=+图像的对称轴与对称中⼼，只需令()2x k k Z πω?π+=+∈与()x k k Z ω?π+=∈解出x 即可.余弦函数可与正弦函数类⽐可得.4、由图像确定三⾓函数的解析式利⽤图像特征：max min 2A =，max min2y y B +=. ω要根据周期来求,?要⽤图像的关键点来求.§1.6、三⾓函数模型的简单应⽤（要求熟悉课本例题.）§3.1.1、两⾓差的余弦公式§3.1.2、两⾓和与差的正弦、余弦、正切公式 1、()βαβαβαsin cos cos sin sin +=+ 2、()βαβαβαsin cos cos sin sin -=- 3、()βαβαβαsin sin cos cos cos -=+ 4、()βαβαβαsin sin cos cos cos +=- 5、()tan tan 1tan tan tan αβαβαβ+-+=.6、()tan tan 1tan tan tan αβαβαβ-+-=.§3.1.3、⼆倍⾓的正弦、余弦、正切公式1、αααcos sin 22sin =，2、ααα22sin cos 2cos -=变形： 12sin cos sin 2ααα=. 1cos 22-=αα2sin 21-=.升幂公式：221cos 22cos 1cos 22sin αααα+=-= 降幂公式：221cos (1cos 2)21sin (1cos 2)2αααα=+=-3、ααα2tan 1tan 22tan -=. 4、sin 21cos 2tan 1cos 2sin 2ααααα-==+ §3.2、简单的三⾓恒等变换1、注意正切化弦、平⽅降次.2、辅助⾓公式)sin(cos sin 22?++=+=x b a x b x a y （其中辅助⾓?所在象限由点(,)a b 的象限决定,tan b a=).解三⾓形1、正弦定理：R CcB A 2sin sin sin ===. （其中R 为ABC ?外接圆的半径） 2sin ,2sin ,2sin ;a R A b R B c R C ?===sin ,sin ,sin ;222a b c A B C R R R=== ::sin :sin :sin .a b c A B C ?=⽤途：⑴已知三⾓形两⾓和任⼀边，求其它元素；⑵已知三⾓形两边和其中⼀边的对⾓，求其它元素。
专题20 三角恒等变形(检测)-2019年高考数学(理)名师揭秘之一轮总复习 Word版含解析.doc
本专题特别注意：1.角的范围问题2. 角的一致性问题3. 三角化简形式、名称、角的一致原则4.角成倍角的余弦之积问题5.“1”的妙用6.辅助角的替换作用7. 角的范围对函数性质的影响8. 用已知角表示未知角问题方法总结：1.三角函数的求值主要有三种类型，即给角求值、给值求值、给值求角.2.三角函数式的证明应从消去等式两端的差异去思考，或“从左证到右”或“从右证到左”或“从两边到中间”去具体操作.3.证明三角函数式恒等式，首先观察条件与结论的差异，从解决差异入手，确定从结论开始，通过变换将已知表达式代入得出结论，或变换已知条件得出结论，常用消去法等.高考模拟：一、单选题1个单位长度后，得到函数个对称中心是( )A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：利用辅助角公式进行化简，结合平移关系求出g（x）的解析式，利用对称性进行求解即可．详解：f（x）21+cos2x）（将函数f（x g（x）的图象，即g（x）=2sin[2（x=2sin2x+由2x=kπ，k∈Z，得g（x），当k=1故答案为：D点睛: (1) 本题主要考查三角函数的图象和性质，求出函数的解析式，结合对称性是解决本题的关键．(2)2A. B. D.【答案】B点睛：（1）本题主要考查三角函数求值，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和分析转化能力. (2)解答本题3（）A. B. D.【答案】B，再利用余弦函数的单调递减区间可以求出的最大值。
点睛：本题考查了求三角函数单调区间，辅助角公式的应用等。
熟练记忆正余弦函数的单调区间，掌握好求两个区间的交集运算。
4（）A. B. D.【答案】D利用诱导公式、三角函数的奇偶性进行求解．点睛：1.本题的易错点在将，要注意左右平移的单位仅仅对于自变量而言；2.研究三角函数的奇偶性，要牢记“为奇函数，”，再利用诱导公式进行合理转化．5：）A. B.C. D.【答案】D详解：曲线C=所以图象向左平移个单位，即可得到曲线C2：故答案为：D点睛：（1）本题主要考查三角函数图像变换和三角恒等变换，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力.(2) 三角恒等变换方法：观察（角、名、式）→三变（变角、变名、变式）.6）A. B.【答案】D.，本题选择D选项.点睛：本题主要考查同角三角函数基本关系，降幂公式的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.7上有两个根值范围是（）A. B. C. D.【答案】D结合求解．画出函数故选D．点睛：本题考查三角函数图象的画法和应用，解题时要注意分离参数方法的利用和函数图象中的特殊点的利用．8）A. B. C. D.【答案】D【解析】由题意，根据求导公式、法则，D.9．在中，内角，若）A. 等边三角形B. 等腰三角形C. 等腰直角三角形D. 直角三角形【答案】D△ABC的形状..10．记函数）A. B. C. D.【答案】D【解析】图象关于直线对称，所以，其所以D.11）A.B.C.D. 【答案】AA.12．在ABC ∆中， 2AB =， 6C π=，则AC 的最大值为（ ）A.B.C.D. 【答案】D13．已知直线413y x =-+的倾斜角为α，则()cos25cos sin 4απαπα⎛⎫++ ⎪⎝⎭的值为A.2B. 4C. 8D. 4【答案】B【解析】由已知有4tan 3k α==-，()cos sin cos sin cos2cos sin 115sin tan cos sin 4αααααααπαααπα-++⎫===+⎪⎛⎫⎭++ ⎪⎝⎭故()cos254cos sin 4απαπα=⎛⎫++ ⎪⎝⎭，故选B. 点睛:三角函数式的化简要遵循“三看”原则（1）一看“角”，这是最重要的一环，通过看角之间的区别和联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式； （2）而看“函数名称”看函数名称之间的差异，从而确定使用公式，常见的有“切化弦”； （3）三看“结构特征”，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，如“遇到分式通分”. 14．如图，Rt ABC ∆中，,AB BC AB BC ⊥==A 在x 轴上运动，顶点B 在y 轴的非负半轴上运动.设顶点C 的横坐标非负，纵坐标为y ，且直线AB 的倾斜角为θ，则函数()y f θ=的图象大致是（）A.B.C. D.【答案】A【解析】由题意可得π6y θθθ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭,对应的图象应该是A.【点睛】本小题主要考查平面几何中的动点轨迹问题,考查三角函数作图方法.三角函数作图可采用五点作图法: 先列表，令30,,,,222x ππωϕππ+=，求出对应的五个的值和五个y 值，再根据求出的对应的五个点的坐标描出五个点，再把五个点利用平滑的曲线连接起来，即得到()sin y A x h ωϕ=++在一个周期的图像，最后把这个周期的图像以周期为单位，向左右两边平移，则得到函数()sin y A x h ωϕ=++的图像.15( )A. -3B. 3C. 【答案】A故答案为：A. 16．设0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 0,4πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且1sin2tan cos2βαβ+=，则下列结论中正确的是( )A. 4παβ-= B. 4παβ+=C. 24παβ-=D. 24παβ+=【答案】A17．对任意两个非零的平面向量α和β，定义cos ααβθβ⊗=，其中θ为α和β的夹角．若两个非零的平面向量a 和b 满足：①a b ≥；②a 和b 的夹角0,4πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭；③a b ⊗和b a ⊗的值都在集合|, 2n x x n N ⎧⎫=∈⎨⎬⎩⎭中．则a b ⊗的值为（ ）． A.52 B. 32 C. 1 D. 12【答案】B【解析】c o s ,c o s ,22b anm a b b a m N b aθθ⊗==⊗==∈，由a 与b 的夹角0,4πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，知21c o s ,142mn θ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，故3,,mn m n N =∈，因为a b ≥，所以012ma b <⊗=<，所以1,3m n ==，所以32a b ⊗=，故选B. 18．已知函数()()sin cos f x x a x a R =+∈对任意x R ∈都满足44f x f x ππ⎛⎫⎛⎫+=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则函数()()sin g x x f x =+的最大值为A. 5B. 3C.D.【答案】C点睛：本题考查函数的对称性及辅助角公式的应用.对于函数的对称性，若函数()y f x =满足()()f a x f a x -=+或()()2f a x f x -=，则函数图象关于直线x a =对称；研究函数()sin cos f x A x B x ωω=+的图象和性质的关键一步是利用辅助角公式将函数的形式变成()()f x x ωϕ=+的形式.19．已知tan 2tan B A =，且4cos sin 5A B =，则3cos 2A B π⎛⎫--= ⎪⎝⎭（ ） A. 45-B. 45C. 25-D. 25【答案】D【解析】由tan 2tan B A =，可得： cos sin 2sinAcosB A B =，又4cos sin 5A B =，∴2sinAcosB 5=， 则()32cos sin sinAcosB cos sin 25A B A B A B π⎛⎫--=--=-+= ⎪⎝⎭. 故选：D20．已知函数()23sin cos 4cos (0)f x x x x ωωωω=->，其周期为π， ()12f θ=，则24f f ππθθ⎛⎫⎛⎫++-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（ ） A. 52-B. 92-C. 112-D. 132- 【答案】D点睛：三角函数求值的三种类型(1)给角求值：关键是正确选用公式，以便把非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数. (2)给值求值：关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异. ①一般可以适当变换已知式，求得另外函数式的值，以备应用；②变换待求式，便于将已知式求得的函数值代入，从而达到解题的目的.(3)给值求角：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角.二、填空题21．设向量___________．点睛：该题考查的是有关三角函数值的求解问题，涉及到的知识点有向量共线坐标所满足的条件，诱导公式和倍角公式，正确使用公式是解题的关键.22．【答案】.点睛：本题主要考查了三角函数的化简求值问题，其中解答中涉及到三角函数的基本关系式，两角和的三角函数等公式的应用，熟记三角函数化简的基本公式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.23_____．，于是得到，24．已知函数的周期为不同的零点，则实数的取值范围是__________．【解析】分析：先根据已知条件求出函数f(x)的解析式，再把函数y=f(x)的图像与直线y=-m恰有两个交点，再画图分析得到实数m的取值范围.点睛：本题的关键是转化，y=f(x)的图像与直线y=-m 恰有两个交点，后面问题就迎刃而解了.处理零点问题常用数形结合分析解答.25．【解析】分析：根据条件，先把目标转化为二次齐次式，再利用商数关系“弦化切”代入正切值即可得到结果.故答案为：点睛：如果给的是正切值，求的是有关sin ，cos 的式子的值，往往把所求式转化为齐次式，利用商数关系弦化切即可.26．已知ABC ∆的内角分别为A , B ， C ， 2cos12A A =，且ABC ∆的内切圆面积为π,则AB AC ⋅的最小值为__________． 【答案】6【解析】21cos cos 113cos 32626A A A A A A +=-⇒=-⇒=cos 0,,.62663A A A A πππππ⎛⎫-=<<∴-== ⎪⎝⎭又ABC ∆的内切圆面积为π，则ABC 的内切圆半径1r =，则ABC ∆的面积()11sin ,,22S a b c r bc A a b c =++⋅=∴++= 由余弦定理可得222222cos ,a b c bc A b c bc =+-=+- 将()a b c =-+代入整理得()()23304bc b c bc -++= 即)334bc b c +=+≥ ≤（舍），≥ 即12bc ≥ （当且仅当b c =时取等号），故1cos 2AB AC bc A bc ⋅==的最小值为6.即答案为6.27_______.求最值，其中 的取值需结合数值以及符号确定.28．已知02x π<<，且1sin cos 5x x -=，则24sin cos cos x x x -的值为________． 【答案】3925【解析】由题02x π<<，且1sin cos 5x x -=，，① 两边平方可得11225sinxcosx -=：，解得24226sinxcosx =，75sinx cosx ∴+=== ，② ∴联立①，②解得： 4355sinx cosx ==， ， 22433394455525sinxcosx cos x ∴-=⨯⨯-=（）．故答案为392529．已知：，则的取值范围是__________．【答案】得，，易得点睛：应用三角公式解决问题的三个变换角度(1)变角：目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其手法通常是“配凑”.(2)变名：通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手法通常有“切化弦”、“升幂与降幂”等.(3)变式：根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标，其手法通常有：“常值代换”、“逆用变用公式”、“通分约分”、“分解与组合”、“配方与平方”等.30．在ABC ∆中，三个内角A B C 、、所对的边分别为a b c 、、， a =， cos,sin 22A A m ⎛⎫=- ⎪⎝⎭， cos ,sin 22A A n ⎛⎫= ⎪⎝⎭，且1=2m n ⋅，则b c +的取值范围为__________．【答案】(2⎤⎦【解析】∵cos,sin 22A A m ⎛⎫=- ⎪⎝⎭， cos ,sin 22A A n ⎛⎫= ⎪⎝⎭，且1=2m n ⋅， ∴221sin cos 222AA -=， ∴221cos sin cos 222AA A -==-, ∴23A π=．在ABC ∆中，由正弦定理得4sin sin sin b c aB C A===， ∴4sin ,4sin b B c C ==，∴4sin 4sin 4sin 4sin 3b c B C B B π⎛⎫+=+=+- ⎪⎝⎭ 4sin 3B π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，∵03B π<<，∴2333B πππ<+<∴4sin 43B π⎛⎫<+≤ ⎪⎝⎭．+的取值范围为(4⎤⎦．∴b c答案：(4⎤⎦三、解答题31（1（2）若关于的取值范围．【答案】（1（2【解析】分析：（1）利用二倍角的正弦公式、利用正弦函数的周期公式可得函数的周期；（2内有两个不相等的实数解，等.详解：（1的最小正周期为．（2上是增函数，在在区间内有两个不相等的实数解，点睛：函数的性质问题以及函数零点问题是高考的高频考点，考生需要对初高中阶段学习的十几种初等函数的单轴有交点.32）的图象上相邻的最高点的距离是（1）求函数的解析式；（2）在锐角.【答案】【解析】分析：（1）利用三角恒等变换化函数（2（2是锐角三角形，∴，∴点睛：本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，也考查了解三角形的应用问题，是中档题．33（I）求函数f (x)的最小正周期；（II）当x∈[0时，求函数f (x)的最大值和最小值.【答案】;(2)【解析】分析：利用正弦函数的周期公式可得函数的周期；（II）利用正弦函数的单调性解不等式，的单调区间，由.点睛：本题主要考查三角函数的恒等变换以及三角函数的图象与性质，属于中档题.函单调区间的求法：(1) 代换法：①作是一个整体，由得函数的减区间得增区间；②若,则利用诱导公式先将的符号化为正，再利用①的方法，或根据复合函数的单调性规律进行求解；(2) 图象法：画出三角函数图象，利用图象求函数的单调区间.34．（本题满分14的单调递增区间；的最小值．【答案】增区间为（Ⅱ）【解析】分析: (1)先化简函数f(x)再求函数的单调增区间.（2）先化简的最小值.，增区间为（Ⅱ）作C关于AB的对称点, 连点睛：本题的难点在第（2）问，直接处理比较困难，利用对称性结合数形结合分析解答，才比较简洁.类似这种在一条线段上找点，求线段和的最值，一般利用对称性结合数形结合解答.35（1）求函数（2），，，，的值.【答案】(1)见解析.【解析】分析：（1）化简函数得（2）.详解：（1）（2，，点睛：解决函数（1（2（3）解题时要注意函数图象的运用，使解题过程直观形象化．36（1（2.【答案】（1（2【解析】分析：由二倍角正弦公式及诱导公式可得（2.（2因为在锐角三角形中，，所以，，由正弦函数的单调性可知，点睛：求解三角函数的最值(或值域)时一定要注意自变量的取值范围，由于三角函数的周期性，正弦函数、余弦函数的最大值和最小值可能不在自变量区间的端点处取得，因此要把这两个最值点弄清楚．本题易错点，锐角三.37(I);(Ⅱ所对的边分别为.【解析】分析：(I)（Ⅱ）值，根据正弦定理确值，利用正弦定理可得.详解：（I,,，,,,.点睛：以三角形为载体，三角恒等变换为手段，正弦定理、余弦定理为工具，对三角函数及解三角形进行考查是近几年高考考查的一类热点问题，一般难度不大，但综合性较强. 解答这类问题，两角和与差的正余弦公式、诱导公式以及二倍角公一定要熟练掌握并灵活应用，特别是二倍角公式的各种变化形式要熟记于心.38．（1（2上的点，【答案】（1（2）1【解析】分析：（1）由（2）由（1）在在△由正弦定理可求得．（2）由（1，在中，由正弦定理得．点睛：（1）解三角形时要结合条件合理的选择正弦定理或余弦定理求解，隐含条件的运用．（2）解三角形问题常与三角变换综合在一起考查，解题时要熟悉常用的变换公式，并根据题目要求将所给条件作出适当的变形．39(I);(Ⅱ)中，已知【答案】(1) .(2)b=4.【解析】分析：第一问利用向量的数量积坐标公式，求得函数解析式，并利用辅助角公式化简，是函数的值，从而确定出函数解析式，借助于正弦型函数的单调区间的求法求得结果；第二问涉及到解三角形问题，可以用正弦定理求，也可以用余弦定理求解.详解：（1）是函数图像的一条对称轴，的增区间为：点睛：该题考查的是有关三角问题，在求解的过程中，函数的解析式是以向量的数量积给出的，所以要熟悉向量数量积的坐标运算式，之后需要用辅助角公式化简函数解析式，再利用正弦型函数的解题思路解题，对于第二问，在求解的过程中，可以用正弦定理求解，也可以用余弦定理求解，都需要将用到的条件理全.40．在（1（2）设向量【答案】(2)【解析】分析：(2)先求.详解：（1，所以.始终要牢记一个原则，函数的问题，定义域优先.只要是处理函数的问题，必须注意定义域优先的原则.41（II,.【答案】(ⅠⅡ【解析】分析：（Ⅰ）利用余弦定理和三角形的面积公式化简再解这个三角方程即得A的值. （II得到m的取值范围S的函数表达式求其最大值.详解：(Ⅰ)点睛：本题在转化,容易漏掉m=2这一种情况.此时要通过正弦定理和正弦函数的图像分析，不能死记硬背.。
专题21 三角函数的图象(检测)-2019年高考数学名师揭秘之一轮总复习
海阔天空专属文档（翔子专享） 海阔天空专属文档（翔子专享） 本专题特别注意： 1.图象的平移（把系数提到括号的前边后左加右减） 2. 图象平移要注意未知数的系数为负的情况 3. 图象的横坐标伸缩变换要注意是加倍还是变为几分之几 4.五点作图法的步骤 5.利用图象求周期 6.已知图象求解析式 【学习目标】 1.掌握正弦函数、余弦函数、正切函数的图象. 2.会用“五点法”画函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象，理解A，ω，φ的物理意义. 3.掌握函数y＝Asin(ωx＋φ)与y＝sin x图象间的变换关系. 4.会由函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象或图象特征求函数的解析式. 【方法总结】 1.五点法作图时要注意五点的选取，一般令ωx＋φ分别取0，π2，π，3π2，2π，算出相应的x值，再列表、描点、作图. 2.函数图象变换主要分平移与伸缩变换，要注意平移与伸缩的多少与方向，并要注意变换的顺序. 3.给出y＝Asin(ωx＋φ)的图象，求它的解析式，由最高点或最低点求A值；常由寻找“五点法”中的第一个零点作为突破口，求φ值，由周期求ω值.
高考模拟： 一、单选题
1．函数的最小正周期为 A. B. C. D. 【答案】C 海阔天空专属文档（翔子专享） 海阔天空专属文档（翔子专享） 【解析】分析:将函数进行化简即可
详解：由已知得 的最小正周期 故选C. 点睛：本题主要考查三角函数的化简和最小正周期公式，属于中档题 2．已知函数222cossin2fxxx，则 A. fx的最小正周期为π，最大值为3 B. fx 的最小正周期为π，最大值为4 C. fx 的最小正周期为2π，最大值为3 D. fx的最小正周期为2π，最大值为4 【答案】B 【解析】分析：首先利用余弦的倍角公式，对函数解析式进行化简，将解析式化简为35cos222fxx，之后应用余弦型函数的性质得到相关的量，从而得到正确选项.
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本专题特别注意： 1.图象的平移（把系数提到括号的前边后左加右减） 2. 图象平移要注意未知数的系数为负的情况 3. 图象的横坐标伸缩变换要注意是加倍还是变为几分之几 4.五点作图法的步骤 5.利用图象求周期 6.已知图象求解析式 【学习目标】 1．理解三角函数的定义域、值域和最值、奇偶性、单调性与周期性、对称性． 2．会判断简单三角函数的奇偶性，会求简单三角函数的定义域、值域、最值、单调区间及周期． 3．理解三角函数的对称性，并能应用它们解决一些问题． 【方法总结】 1.三角函数奇偶性的判断与其他函数奇偶性的判断步骤一致： (1)首先看定义域是否关于原点对称； (2)在满足(1)后，再看f(－x)与f(x)的关系. 另外三角函数中的奇函数一般可化为y＝Asin ωx或y＝Atan ωx，偶函数一般可化为y＝Acos ωx＋b的形式. 2.三角函数的单调性 (1)函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的单调区间的确定，其基本思想是把ωx＋φ看作一个整体，比如：由2kπ－π2≤ωx＋φ≤2kπ＋π2(k∈Z)解出x的范围，所得区间即为增区间. 若函数y＝Asin(ωx＋φ)中A＞0，ω＜0，可用诱导公式将函数变为y＝－Asin(－ωx－φ)，则y＝Asin(－ωx－φ)的增区间为原函数的减区间，减区间为原函数的增区间. 对函数y＝Acos(ωx＋φ)，y＝Atan(ωx＋φ)等单调性的讨论同上. (2)三角函数单调性的应用主要有比较三角函数值的大小，而比较三角函数值大小的一般步骤：①先判断正负；②利用奇偶性或周期性转化为属于同一单调区间上的两个同名函数；③再利用单调性比较. 3.求三角函数的最值常见类型： (1)y＝Asin(ωx＋φ)＋B或y＝Atan(ωx＋φ)＋B， (2)y＝A(sin x－a)2＋B， (3)y＝a(sin x±cos x)＋bsin xcos x(其中A，B，a，b∈R，A≠0，a≠0). 高考模拟： 一、单选题
1．关于函数，下列判断正确的是（ ） A. 有最大值和最小值
B. 的图象的对称中心为（） C. 在上存在单调递减区间 D. 的图象可由的图象向左平移个单位而得 【答案】B
【解析】分析：利用三角函数公式化简函数表达式，结合函数的图象与性质即可判断.
对于D：y=2sin2x的图象向左平移个单位，可得2sin2（x）=2sin（2x+）， 但sin（2x+）≠0， 故选：B．
点睛：：函数的性质 (1) .
(2)周期 (3)由 求对称轴 (4)由求增区间;由求减区间. 2．已知，下列结论中错误的是（ ） A. 既是偶函数又是周期函数 B. 的最大值是1 C. 的图像关于点对称 D. 的图像关于直线对称 【答案】B 【解析】分析：利用函数的周期性、奇偶性、对称性的概念对A、B、C、D四个选项逐一分析即可． 故选B． 点睛：（1）本题考查三角函数性质的综合运用，解题时要根据题目的要求并结合相关性质进行推理、判断． （2）解题时注意函数的对称性、奇偶性、周期性的表示，如函数f(x)的图象关于直线对称等．
3．如图，已知函数（）的部分图像与轴的一个交点为，与轴的一个交点为，那么（ ）
A. B. C. D. 【答案】D
【解析】试题分析：由特殊点的坐标求出φ，再根据五点法作图求出ω，可得函数的解析式；再根据定积分的意义，以及定积分的计算公式，求出弧线AB与两坐标所围成图形的面积．
点睛：已知函数的图象求解析式:(1)；(2)由函数的周期求；(3)利用“五点法”中相对应的特殊点求. 4．函数满足，且则的一个可能值是（ ） A. B. C. D.
【答案】B 【解析】分析：由题设可得函数的图象关于对称，也关于对称，由此求出函数的周期的值，从而得出的可能取值.
当时，，的一个可能取值是，故选B。 点睛：本题考查了函数的图象与性质的应用问题，属于中档题.求三角函数的周期时，注意运用对称轴与对称中心的“距离”是四分之一周期的整数倍.
5．已知函数的图象与轴相切，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B
【解析】分析：由函数的图象与轴相切，可得的最大值为，求出，得出的解析式，再计算.
详解：，且的图象与轴相切， 所以最大值，
，即， ， ，故选B. 点睛：本题主要考查由三角函数的性质求解析式，以及特殊角的三角函数，属于简单题. 6．函数的图象向右平移个单位后所得的图象关于原点对称，则可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】C
【解析】分析：根据图象变换规律，可得解析式，图象关于原点对称，建立关系，即可求解φ值．
点睛：本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律和对称问题，同时对三角函数的图像的熟悉是本题关键，属于基础题．
7．函数在下列区间单调递增的为（ ） A. B. C. D.
【答案】D 【解析】分析：根据条件利用降幂公式和诱导公式化简函数的解析式，结合三角函数单调性的性质进行求解即可．
详解：f（x）=cos2（π﹣x）﹣==cos（﹣2x）=﹣sin2x， 由2kπ+≤2x≤2kπ+，k∈Z， 得kπ+≤x≤kπ+，k∈Z， 即函数单调递增区间为[kπ+，kπ+]，k∈Z， 当k=0时，函数的单调递增区间为[，]， ∵（，）⊆[，]， ∴（，）是函数的一个单调递增区间， 故答案为：D
点睛：（1）本题主要考查三角恒等变换和三角函数的图像和性质，考查复合函数的单调性，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和数形结合的思想方法.（2）本题是一个易错题，
分解函数为根据复合函数的单调性原理，要求f(x)的单调性，就是求正弦函数的减区间，所以2kπ+≤2x≤2kπ+，k∈Z,这里不是求正弦函数的增区间. 8．设函数.若,且，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B
【解析】分析：采用取特殊值的方法求解，画出函数的图象，根据图象找到使得且的的值，并由此得到所求的范围．
详解：（特殊值法）画出的图象如图所示．
点睛：本题考查三角函数图象的画法和图象的应用，考查学生运用数形结合解决问题的能力，有一定难度．解题的关键值确定满足条件的临界位置，并在此基础上得到满足条件的最小值，然后将此结论推广可得所求的范围．
9．如图所示的是函数（，）在区间上的图象，将该函数图象各点的横坐标缩小到原来的一半（纵坐标不变），再向右平移（）个单位长度后，所得到的图象关于直线对称，则的最小值为（ ）
A. B. C. D. 【答案】C 【解析】分析：由周期求出ω，由五点法作图求出的值，可得函数的f（x）的解析式．再根据函数g(x)的对称轴求出m的最小值，可得结论．
点睛：(1)本题主要考查三角函数图像的变换和三角函数的图像性质，意在考查学生掌握这些基础知识的能力和数形结合的能力.(2)正弦函数y=sinx的对称轴方程为，注意这里不是要结合三角函数图像理解，不要死记硬背.
10．已知函数，若对任意的，关于的方程（）总有两个不同的实数根，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D. 【答案】D 【解析】分析：把方程在内有两个不同的实数根，等价于函数与的图象有两个不同的交点，即可借助三角函数的图象与性质，即可求解． 点睛：本题主要考查了三角函数的图象与性质的应用，及函数与方程，其中把方程的解转化为两个函数的图象的交点个数是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力．
11．已知函数，若，则上具有单调性，那么的取值共有（ ） A. 6个 B. 7个 C. 8个 D. 9个
【答案】D
【解析】分析：由，得到，因为在上具有单调性，得到，则，即可得到的个数.
详解：因为，所以， 所以，因为在上具有单调性， 所以，所以，所以，所以， 因此，所以的取值共有个，故选D. 点睛：本题主要考查了三角函数的图象与性质的应用问题，熟记三角函数的图象与性质及整体代换的方法是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力.
12．已知函数（，），满足，且对任意，都有．当取最小值时，函数的单调递减区间为 A. ，Z B. ，Z C. ，Z D. ，Z 【答案】A
【解析】分析：由，可得关于对称，对任意，可得时，取得最小值，即可求解解析式，从而利用正弦函数的单调性列不等式，求解函数的单调递减区间. 得， 所以，函数的单调递减区间为：
，,故选A. 点睛：的函数的单调区间的求法：(1) 代换法：①若,把看作是一个整体，
由求得函数的减区间，求得增区间；②若,则利用诱导公式先将的符号化为正，再利用①的方法，或根据复合函数的单调性规律进行求解；(2) 图象法：画出三角函数图象，利用图象求函数的单调区间.
13．函数的图象大致为 A. B. C. D. 【答案】A
【解析】分析：先利用函数为奇函数排除选项C、D，再利用特殊函数值的符号排除选项B．
点睛：在已知函数的解析式判定函数的图象时，常采用排除法，往往从以下几方面进行验证： 定义域（函数的定义域优先原则）、最值、周期性、函数的奇偶性（奇函数的图象关于原点对称、偶函数的图象关于轴对称）或对称性、单调性（基本函数的单调性、导数法）、特殊点对应的函数值等．
14．若函数 满足且的最小值为，则函数的单调递增区间为（ ）
A. B. C. D. 【答案】D
【解析】分析：首先根据诱导公式和辅助角公式化简函数解析式，之后应用题的条件求得函数的最小正周期，求得的值，从而求得函数解析式，之后利用整体思维，借助于正弦型函数的解题思路，求得函数的单调增区间.