湖南省长沙市长郡中学2019届高三月考(二)数学(理)试题(含答案)
湖南省长郡中学2019届高三月考试卷（二）
数 学（理科）
（考试时间：120分钟，满分150分）
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合A={x|y=}，B={0，1，2，3，4}，则A∩B=
A．φ B．{0，1，2) C.{0,1,2,3) D.(-∞,3]∪{4}
2．已知函数f(x)= ，那么f(8)的值为
A．3 B．4 C．15 D．16
3．当n是正整数时，用数学归纳法证明1×4+2×7+3×10+…+n(3n+1)=n(n+1)2时，从n=k到n=k+1，等号左边需要增加的代数式为
A. k(3k+4) B．（k+1)(3k+l) C.(k+1)3k D．（k+1)(3k+4)
4．直角△ABC(∠A=90°)的外接圆圆心O，半径为1，且，则向量在向量方向的投影为
A． B．- C． D．-
5．已知f(x)是定义在实数集R上的偶函数，且在(0，+∞)上递增，则
A.f(20.7) C．f(一3) 6．某地区空气质量监测表明，一天的空气质量为优的概率是0. 75，连续两天为优的概率是0.6，已知某天的空气质量为优，则随后一天空气质量为优的概率是 A.0.8 B.0.75 C.0.6 D.0.45 7．要得到函数f(x) =2sinxcosx，x∈R，只需将函数g(x)=2cos2x-l，x∈R的图象 A．向左平移个单位 B．向右平移个单位 C．向左平移个单位 D．向右平移个单位 8．等差数列{an}的首项为1，公差不为0．若a2，a3，a6成等比数列，则{an}前6 项的和为 A．8 B．-3 C．3 D．-24 9．△ABC中，角A，B，C的对边长分别为a，b，c，若则tan(A-B)的最大值为 A． B． C．1 D． 10.函数在x∈(1，2)内存在极值点，则 A． B． C． D． 11.下表中的数表为“森德拉姆筛”（森德拉姆，东印度学者），其特点是每行每列都成等差数列．在表中，“361”出现的次数为 A. 12 B. 6 C. 24 D. 48 12.若函数f(x)满足f(x)=x(f'(x)一ln(x)，且，则+1的解集为 A．（一1，+∞） B． C．(0，) D．（一∞，一1） 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13.已知向量a=（3，-1），b=（1，m），a∥（a-2b），则m=____． 14．我国成功申办2022年第24届冬季奥林匹克运动会，届时冬奥会的高山速降运动将给我们以速度与激情的完美展现，某选手的速度ξ服从正态分布（100，σ2）(σ>0)，若ξ在(80，120)内的概率为0.7，则他速度超过120的概率为 ． 15．设a= ，则的展开式中常数项是 ． 16．已知A,B是函数f(x)= （其中常数a>0）图象上的两个动点，点P(a，0)，若的最小值为0，则函数f(x)的最大值为 ． 三、解答题：本大题共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分． 17.（本小题满分12分） 在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且满足csinB=bcosC，a2-c2=2b2． (1)求C的大小； (2)若△ABC的面积为21，求b的值． 18.（本小题满分12分） 已知数列{an}满足：an≥1，Sn是其前n项的和，且2Sn=an2+n．数列{bn}满足bl= -a2，bn+1=bn+an·． (1)求数列{an}的通项公式； (2)求数列{bn}的通项公式． 19.（本小题满分12分） 为增强学生体质，长郡中学组织体育社团，某班级有4人积极报名参加篮球和足球社团，每人只能从两个社团中选择其中一个社团，大家约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己参加哪个社团，掷出点数为5或6的人参加篮球社团，掷出点数小于5的人参加足球社团． (1)求这4人中恰有1人参加篮球社团的概率； (2)用ξ，η分别表示这4人中参加篮球社团和足球社团的人数，记随机变量X为ξ和η之差的绝对值，求随机变量X的分布列与数学期望E(X)． 20.（本小题满分12分） 某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x（单位：万元）对年销售量y（单位：吨）和年利润z(单位：万元)的影响．对近六年的年宣传费xi和年销售量yi（i=1，2，3，4，5，6）的数据作了初步统计，得到如下数据： 经电脑模拟，发现年宣传费x（万元）与年销售量y（吨）之间近似满足关系式y=a·xb（a，b>0）．对上述数据作了初步处理，得到相关的值如下表： (1)根据所给数据，求y关于x的回归方程； (2)已知这种产品的年利润z与x，y的关系为若想在2019年达到年利润最大，请预测2019年的宣传费用是多少万元？ 附：对于一组数据（ul，v1），（u2，v2），…，（un，vn），其回归直线v=β·u+a中的斜率和截距的最小二乘估计分别为 21.（本小题满分12分） 已知函数f(x)=(x+b)（ex-a），(b>0)，在（-1，f(-l)）处的切线方程为(e-l)x+ey+e-l=0． (1)求a，b； (2)若方程f'(x)=m有两个实数根x1，x2，且x1 （二）选考题：共10分．请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分． 22.（本小题满分10分）选修4-4:坐标系与参数方程 在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为，直线l过点P（0，一）且倾斜角为 (1)求曲线C的直角坐标方程和直线l的参数方程； (2)设直线l与曲线C交于A，B两点，求|PA|+|PB|的值． 23.（本小题满分10分）选修4-5:不等式选讲 已知函数f(x)=|x-a|+2+a，g(x)=|x-l|+|2x+4|. (1)解不等式|g(x)|<6； (2)若存在x1、x2∈R，使得f(x1)=g(x2)成立，求实数a的取值范围．
湖南省长沙市长郡中学2019届高三上学期第二次月考数学(文)试题(解析版)
第1页，共14页
湖南省长沙市长郡中学 2019届高三上学期第二次月考数
学（文）试题
一、选择题（本大题共 12小题，共60.0分）
1.等差数列 中， ， ，则 等于
A. 6 B. 7 C. 8 D. 9
【答案】B
【解析】解：等差数列 中， ， ，
解得 ， -，
故选：B.
11项的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解
能力，是基础题.
2. 已知集合
A. 1 ，则满足条件
B. 2 的集合N的个数为
C. 3 D.4
【答案】D
【解析】解： 集合 ，满足条件
满足条件 的集合N的个数为
故选：D.
由集合 ，满足条件 ，得 由此能求出满足条件 的
集合N的个数.
本题考查满足条件的集合的个数的求法，考查并集、子集定义等基础知识，考查运算求 解能力，是基础题.
3. m，n是两不同直线， 是平面,
A.充分不必要条件
C.充分必要条件
【答案】A利用等差数列通项公式列出方程组，求出 -,由此能求出
本题考查等差数列的第
，则 是 的
B.必要不充分条件
D.既不充分又不必要条件 【解析】解:
是 或 ；
的充分不必要条件.
故选：A.
空间线线、线面的位置关系结合充分必要条件的定义，从而求出答案.
本题考查了充分必要条件，考查空间线线、线面的位置关系问题，是一道基础题.
故选：B.
和 在 上都是增函数，从而得出 A, D都错误，而
奇函数，从而C错误，只能选B.
考查一次函数、幕函数，以及指数函数的单调性，以及偶函数和奇函数的定义及判断.
解.
本题考查了向量的数量积运算及向量的夹角公式，属简单题.
6.某校高二 班每周都会选出两位“迟到之星”，期中考试之前一周“迟到之星” A. B. C. - D
【答案】 B
【解析】 解： 时， ;
在 上是增函数， 该选项错误；
B. 是偶函数，并且在 上是减函数， 该选项正确；
C. - 为奇函数， 该选项错误;
湖南省长郡中学2019届高三上学期第一次月考(开学考试)数学(理)试题 含解析
长郡中学2019届高三月考试卷（一）
数学（理科）
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.1.设复数，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据复数除法运算，分子分母同时乘以分母的共轭复数，化简即可。
【详解】
所以
所以选D
【点睛】本题考查了复数的除法运算，复数模的定义，属于基础题。
2.2.已知集合，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
集合，故，集合表示非负的偶数，故，故选C.
3.3.若定义在上的偶函数满足且时，，则方程的零点个数是（ ）
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
【答案】C
【解析】
【分析】
根据函数的周期性和奇偶性，画出函数图像，根据函数图像的交点个数确定零点个数即可。
【详解】因为数满足，所以周期
当时，，且为偶函数，所以函数图像如下图所示
由图像可知，方程有四个零点
所以选C
【点睛】本题考查了函数的奇偶性和周期性，绝对值函数图像的画法和函数零点的概念，关键是根据函数解析式能够正确画出函数的图像，属于基础题。
4.4.计算的结果为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据诱导公式，化简三角函数值；再根据正弦的差角公式合并即可得到解。
【详解】
所以选B
【点睛】本题考查了三角函数诱导公式、正弦差角公式的简单应用，属于基础题。
5.5.已知、、是双曲线上不同的三点，且、连线经过坐标原点，若直线、的斜率乘积，则该双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据题意，设出A、B、P点的坐标，代入方程做差，得到；利用两条直线的斜率乘积关系，得到。联立可以得到 的关系式，进而求得离心率。
湖南省长沙市长郡中学2019届高三上学期第二次月考数学(文)试题
文科数学试题!长郡版"!第!页!共"页"题!!答!!要!!不!!内!!线!!封!!"""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""密!号!学!名!姓!级!班!校!学炎德英才大联考长郡中学#$!%届高三月考试卷!二"数!学!文科"得分#!!!!!!!!!本试卷共"页$时量!#$分钟$满分!&$分$一%选择题#本大题共!#小题&每小题&分&共'$分!在每小题给出的四个选项中&只有一项是符合题目要求的!!!等差数列'"#(中&"()*&&"+)!&则"!!等于,-'.-+/-"0-%#!已知集合$)'$&!(&则满足条件$#%)$的集合%的个数为,-!.-#/-(0-1(!&&#是两不同直线&是平面&#$&则&%是&$#的,-充分不必要条件.-必要不充分条件/-充分必要条件0-既不充分又不必要条件1!下列函数中是偶函数&且在区间!$&23"上是减函数的是,-')&(&2!.-')(*#/-')!(*(0-')#&(&&!已知平面向量%满足&&)&&)!&若!#*"))$&则向量%的夹角为,-($4.-1&4/-'$40-!#$4'!某校高二!!"班每周都会选出两位*迟到之星+&期中考试之前一周*迟到之星+人选揭晓之前&小马说#*两个人选应该是在小赵%小宋和小谭三人之中产生+&小赵说#*一定没有我&肯定有小宋+&小宋说#*小马%小谭二人中有且仅有一人是迟到之星+&小谭说#*小赵说的对+!已知这四人中有且只有两人的说法是正确的&则*迟到之星+是,-小赵%小谭.-小马%小宋/-小马%小谭0-小赵%小宋+!函数)!(")5&67(&*&(*!&的图像大致是文科数学试题!长郡版"!第#!页!共"页""!某运动制衣品牌为了成衣尺寸更精准&现选择!&名志愿者&对其身高和臂展进行测量!单位#厘米"&左图为选取的!&名志愿者身高与臂展的折线图&右图为身高与臂展所对应的散点图&并求得其回归方程为*')!!!'(*($!+&&以下结论中不正确的为,-!&名志愿者身高的极差小于臂展的极差.-!&名志愿者身高和臂展成正相关关系/-可估计身高为!%$厘米的人臂展大约为!"%8'&厘米0-身高相差!$厘米的两人臂展都相差!!8'厘米%!已知数列"'(#的前#项和+#)(#*!"#*'&若数列"'(#单调递减&则的取值范围是,-*3&!"#.-*3&!"(/-*3&!"10-*3&!"&!$!由不等式组('$&'($&'*(*#')*+$确定的平面区域记为!&不等式组(2''!&(2'('*#确定的平面区域记为#&在!中随机取一点&则该点恰好在#内的概率为,-!".-!1/-(10-+"!!!已知函数)!(")(*!(*#与,!(")!*9:7(&则函数-!("))!("*,!("在区间,*#&'-上所有零点的和为,-1.-"/-!#0-!'!#!设函数)!(")67(*&(#2##(!&,&#-$"&若对于任意的(-$&都有)!("')!!"&则,-67#."&.-67#'"&/-67#-"&0-67#("&选择题答题卡题!号!#(1&'+"%!$!!!#答!案文科数学试题!长郡版"!第(!页!共"页"二%填空题#本大题共1小题&每小题&分&共#$分!!(!已知集合.)'(&#.(.%(&/)'(&".(.#"2!(&若//.&则实数"的取值范围为!!!!!!1!已知#(2#')!!(-$&'-$"&则(2'的最小值为!!!!!!&!已知函数)!(")&(#2#(*#5(&&,,!&5-&(,,!&#-&,!&"))!(";<=*)!(";:7&则关于&的不等式,!&"(15#的解集为!!!!!!!'!已知在00./中&角0&.&/的对边分别是"&1&2&其满足!"*(1">?9/)2!(>?9.*>?90"&点-在边0/上且0-)#-/&则0..-的取值范围是!!!!!三%解答题#本大题共+$分!解答应写出文字说明&证明过程或演算步骤!!+!!本小题满分!$分"已知函数)!(")9:7*(!"#>?9(#槡2(>?9#(#!!"求)!("的最小正周期.!"求)!("在区间*&,-$上的最大值和最小值!文科数学试题!长郡版"!第1!页!共"页"!"!!本小题满分!#分"已知某中学联盟举行了一次*盟校质量调研考试+活动&为了解本次考试学生的某学科成绩情况&从中抽取部分学生的分数!满分为!$$分&得分取正整数&抽取学生的分数均在,&$&!$$-之内"作为样本!样本容量为#"进行统计&按照,&$&'$"&,'$&+$"&,+$&"$"&,"$&%$"&,%$&!$$-的分组作出频率分布直方图&并作出样本分数的茎叶图!茎叶图中仅列出了得分在,&$&'$"&,%$&!$$-的数据"!"求样本容量#和频率分布直方图中(&'的值.!"在选取的样本中&从成绩在"$分以上!含"$分"的学生中随机抽取#名学生参加*省级学科基础知识竞赛+&求所抽取的#名学生中恰有一人得分在,%$&!$$-内的概率!文科数学试题!长郡版"!第&!页!共"页"!%!!本小题满分!#分"记+#为等差数列'"#(的前#项和&已知+#)!'&+1)#1!!"求数列'"#(的通项公式"#.!"求数列'&"#&(的前#项和3#!文科数学试题!长郡版"!第'!页!共"页
湖南省长郡中学2019届高三上学期第一次月考(开学考试)数学(理)试题(解析版)
长郡中学2019届高三月考试卷（一）
数学（理科）
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.1.设复数，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据复数除法运算，分子分母同时乘以分母的共轭复数，化简即可。
【详解】
所以
所以选D
【点睛】本题考查了复数的除法运算，复数模的定义，属于基础题。
2.2.已知集合，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
集合，故，集合表示非负的偶数，故，故选C.
3.3.若定义在上的偶函数满足且时，，则方程的零点个数是（ ）
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
【答案】C
【解析】
【分析】
根据函数的周期性和奇偶性，画出函数图像，根据函数图像的交点个数确定零点个数即可。
【详解】因为数满足，所以周期
当时，，且为偶函数，所以函数图像如下图所示
由图像可知，方程有四个零点
所以选C
【点睛】本题考查了函数的奇偶性和周期性，绝对值函数图像的画法和函数零点的概念，关键是根据函数解析式能够正确画出函数的图像，属于基础题。
4.4.计算的结果为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据诱导公式，化简三角函数值；再根据正弦的差角公式合并即可得到解。
【详解】
所以选B
【点睛】本题考查了三角函数诱导公式、正弦差角公式的简单应用，属于基础题。
5.5.已知、、是双曲线上不同的三点，且、连线经过坐标原点，若直线、的斜率乘积，则该双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据题意，设出A、B、P点的坐标，代入方程做差，得到；利用两条直线的斜率乘积关系，得到。联立可以得到 的关系式，进而求得离心率。
精品解析：【全国百强校】湖南省长沙市长郡中学2019届高三下学期第六次月考数学(理)试题(解析版)
1 湖南省长郡中学2019届高三下学期第六次月考
数学（理）试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔在答题卡上填写自己的准考证号、姓名、试室号和座位号。用2B型铅笔把答题卡上试室号、座位号对应的信息点涂黑。
2．选择题每小题选出答案后，用2B型铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。
4．考生必须保持答题卡整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）
1.设集合2log,04Ayyxx，集合1xBxe，则AB等于 ( )
A. 0,2 B. 0,2 C. ,2 D. R
【答案】B
【解析】
【分析】
首先求得集合A,B，然后求解其交集即可.
【详解】求解函数2,04ylogxx的值域可得|2Ayy，
求解指数不等式1xe可得|0Axx，
由交集的定义可得：|02ABxx，表示为区间形式即0,2.
本题选择B选项.
【点睛】本题主要考查集合的表示方法，交集的定义与运算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
2.若i为虚数单位，复数z满足(1)|1|ziii，则z的虚部为（ ）
A. 212 B. 21 C. 212i D. 221
【答案】D 2 【解析】
21212121222iiizii 故z的虚部为122
故选D
3.设~1,1XN，其正态分布密度曲线如图所示，那么向正方形ABCD中随机投掷10000个点，则落入阴影部分的点的个数的估计值是（ ）
湖南省长郡中学2019届高三上学期第一次月考(开学考试)数学(理)试题 含答案
长郡中学2019届高三月考试卷（一）
数学（理科）
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.设复数121izii，则z（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
2.已知集合240Axxx，1{327}18xBx，2,CxxnnN，则ABC（ ）
A．2,4 B．0,2
C．0,2,4 D．2,xxnnN
3.若定义在R上的偶函数fx满足2fxfx且0,1x时，fxx，则方程3logfxx的零点个数是（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
4.计算sin133cos197cos47cos73的结果为（ ）
A．12 B．12 C. 22 D．32
5.已知A、B、P是双曲线22221xyab上不同的三点，且A、B连线经过坐标原点，若直线PA、PB的斜率乘积3PAPBkk，则该双曲线的离心率为（ ）
A．2 B．3 C.2 D．3
6.某单位为了落实“绿水青山就是金山银山”理念，制定节能减排的目标，先调查了用电量y（单位：千瓦·时）与气温x（单位：℃）之间的关系，随机选取了4天的用电量与当天气温，并制作了以下对照表：
x（单位：℃） 17 14 10 1
y（单位：千瓦·时） 24 34 38 64
由表中数据得线性回归方程：ˆˆ2yxa，则由此估计：当某天气温为2℃时，当天用电量约为（ ）
A．56千瓦·时 B．62千瓦·时