期权定价数值方法描述共43页文档
期权定价模型与数值方法
❖ 例行化δ。1价波0格动.2率95假为元设5,现0欧%价式,无为股风1票0险0期元利权,率无,三为股个1利0月支%后,付计到,算股期期价,执权年 ❖ 代码如下: Price=60:1:100; %标底资产价格 Strike=95; %执行价格 Rate=0.1; %无风险收益率（年化） Time=(1:1:12)/12; %剩余时间 Volatility=0.5; %年化波动率
❖ 若要分析期权δ与标的资产价格、剩余期限的关 系，即不同的Price与Time计算不同的δ三维关 系，可以编写如下代码：
Price=60:1:100; %标底资产价格 Strike=95; %执行价格 Rate=0.1; %无风险收益率（年化） Time=(1:1:12)/12; %剩余时间 Volatility=0.5; %年化波动率
10.2.4 Black-Scholes方程求解
例10.2 假设欧式股票期权,三个月后到期,执行价 格95元,现价为100元,无股利支付,股价年化波动率
为50%,无风险利率为10%,计算期权价格。 %标底资产价格代码如下: %Pr执ice行=1价00格;
%无风险收St益rik率e=（95年; 化）10% %R剩at余e=时0.1间
10.1 期权基础概念
10.1.1 期权及其有关概念
1． 期权的定义 期权分为买入期权（call option）和卖出期权
（put option）。 买入期权:又称看涨期权（或敲入期权），它是赋予 期权持有者在给定时间（或在此时间之前任一时刻） 按规定价格买入一定数量某种资产的权利的一种法律
合同。 卖出期权:又称看跌期权（或敲出期权），它是赋予
期权定价方法综述
期权定价方法综述期权定价方法综述期权是金融市场中一种重要的金融衍生品，它给予购买者在未来特定时间以特定价格购买或卖出某个标的资产的权利，而不具有强制性。
为了确定一个合理的期权价格，各种期权定价方法应运而生。
本文将对期权定价方法进行综述，并介绍其中几种经典的方法。
1. 期权定价的基本原理期权定价方法的起点是基于期权的内在价值、时间价值和风险溢价。
内在价值指的是期权当前的实际价值，即权利金与标的资产价格之间的差额；而时间价值是指未来时间期权可能产生的价值，因为期权有一定的时间延迟；风险溢价是指市场参与者对未来不确定性风险的补偿。
期权定价方法的目标是确定期权价格，使期权价值与其内在价值、时间价值和风险溢价相匹配。
2. 期权定价方法的分类2.1. 传统期权定价方法传统期权定价方法包括二项式模型、几何布朗运动模型和风险中性定价模型。
二项式模型基于离散时间和离散状态，适用于欧式期权定价。
几何布朗运动模型基于连续时间和连续状态，并假设标的资产价格服从几何布朗运动，适用于欧式和美式期权定价。
风险中性定价模型则基于市场风险中性的假设，将期权价格视为资产组合的风险中性价格，适用于欧式期权定价。
2.2. 数值模拟方法数值模拟方法包括蒙特卡洛模拟和蒙特卡洛树模拟。
蒙特卡洛模拟通过生成大量随机数模拟资产价格的演化，并计算期权价格的期望值，适用于各种类型的期权定价。
蒙特卡洛树模拟将二项式模型和蒙特卡洛模拟相结合，通过生成蒙特卡洛树模拟资产价格的演化，计算期权价格的期望值，适用于欧式和美式期权定价。
2.3. 波动率传播方法波动率传播方法包括BS模型、GARCH模型和SV模型。
BS模型基于标准布朗运动模型，假设标的资产价格服从几何布朗运动，并计算期权价格的解析解，适用于欧式期权定价。
GARCH模型和SV模型通过建立对资产价格波动率的模型，计算出期权价格的解析解，适用于欧式期权定价。
3. 期权定价方法的比较3.1. 传统期权定价方法相对简单，计算速度较快，适用于欧式期权定价，但对于复杂期权和美式期权可能不适用。
第八章期权定价的数值方法PPT课件
（二）证券价格的树型结构
4.证券价格的树型结构
（三）倒推定价法
5. 倒推定价法
二叉树方法的一般定价过程－以无收益证券的美式看跌期权为例
6.一般定价过程
4
无套利定价法：
构造投资组合包括 份股票多头和1份看涨期权空头
当 Su u Sd fd 则组合为无风险组合 此时 fu fd
表示结点 (i, j) 处的证券价格可得： fN，j max(X Su jd N j ,0)
，
其中j 0,1,L L , N
t 假定期权不被提前执行，
后，则：fij ert[ pfi1, j1 (1 p) fi1, j ]
fij (0 i N ,0 j i)
可通过调整在各个结点上的证券价格，算出期权价格；
如果时刻 it 在除权日之前，则结点处证券价格仍为：
Su dj i j , j 0,1, , i
如果时刻 it 在除权日之后，则结点处证券价格相应调整为：
S (1 )u j d i j
j 0,1,L L ,i
若在期权有效期内有多个已知红利率，则 it 时刻结点的相应的证券价格为：
1 p 。
Su p
S
相应地，期权价值也会有所不同，分
别为 fu 和 fd 。
1-p
Sd 图8.1 t 时间内资产价格的变动
2
二叉树模型实际上是 在用大量离散的小幅 度二值运动来模拟连 续的资产价格运动
3
二叉树模型可分为以下几种方法：
（一）单步二叉树模型
1.无套利定价法
2.风险中性定价法
3.风险中性定价法
熟悉 熟悉 了解 熟悉
熟悉 熟悉 了解 了解
期权定价方法介绍
1、无套利定价原理
无套利期权定价原理是期权定价理论中最基本的原理，是各种 期权定价模型及方法中普遍适用的基本原则。
根据无套利定价原则，在一个有效的资本市场上，任何一项金 融资产的定价应当是利用该项资产进行套利的机会不复存在。即 如果某项金融资产的定价不合理，则市场上必然出现以该项资产 进行套利活动的机会，而套利行为的出现会促使该资产的价格趋 于合理，并最终使套利机会消失。
（2）计算期权价值的基本步骤（以看涨期权为例）：
① 确定可能的到期日股票价格
② 根据执行价格计算确定到期日期权价值
③ ④
计算套期保值比率
期股 权价 价变 值化 变化
Cu Su
计算投资组合成本（即期权价值）
-
Cd Sd
购买股票支出=套期保值比率×股票现值=H×S0
借款数额B HSd -Cd 1r
（1）B-S期权定价模型公式
N(d1)，N(d2)：正态分布下的概 率累计 S0：标的资产现行价格 X：到期日的执行价格 rc：连续复利的年度无风险利率 σ：连续复利计算的标的资产的 年收益率的标准差 t：期权到期时间（用年表示）
（2）B-S期权定价模型各参数估计（关键的5个参数）
• S0：标的资产的现行价格 • X：期权的执行价格 • rc：连续复利的年度无风险利率 • σ：连续复利计算的标的资产年收益率的标准差 • t：期权到期时间（用年表示）
套利：通常指在某种实物资产或金融资产（在同一市场或不同市场）拥有两个价 格的情况下，以较低的价格买进，较高的价格卖出，从而获取无风险收益。
2、复制原理
（1）基本思想：构造一个股票和借款的适当组合，使得无论股价如何
变动，投资组合的损益（现金流量）都与期权相同，那么创建该投资
期权定价方法介绍
期权定价方法介绍期权定价是金融市场中的一个重要问题，它涉及到对未来资产价格的预测和衡量。
在金融市场中，期权是一种金融工具，它赋予持有人在未来某个时间点或在某一特定条件下购买或出售某一资产的权利。
期权定价的目标是确定合理的期权价格，这样既能满足买方和卖方的需求，又能保证市场的合理运行。
期权定价的方法可以分为两大类：基于风险中性定价原理的方法和基于实证观察的方法。
基于风险中性定价原理的方法是最经典也是最常用的期权定价方法。
它的核心思想是在一个假设的风险中性世界中，市场上的期权价格应该与其未来现金流的贴现值相等。
这种方法常用的模型有著名的Black-Scholes模型和Cox-Ross-Rubinstein树模型。
Black-Scholes模型是以Fisher Black、Myron Scholes和Robert C. Merton的名字命名的，它是一个基于几个假设和方程组的数学模型。
该模型假设市场的价格变动服从几何布朗运动，因此可以通过随机过程和微分方程的方法来描述资产价格的变动。
在这个模型中，期权的定价公式由一条偏微分方程给出，其中的关键参数包括标的资产价格、执行价格、剩余存续期时间、无风险利率和波动率等。
Cox-Ross-Rubinstein树模型是一种离散时间的模型，它基于二叉树的概念来建立期权定价模型。
在这个模型中，时间被离散化，并且将每一个时间段内的市场价格划分为上涨和下跌两种情况。
通过这种方式，可以构建一颗二叉树来模拟资产价格的变动。
然后使用回归的方法来计算期权的价格，即由期权到期时不同可能情况下的支付确定期权价格。
除了基于风险中性定价原理的方法之外，还有一些基于实证观察的方法可供选择。
这些方法主要是通过历史数据的分析和统计模型的建立来估计期权价格。
这些方法的优势在于它们不依赖于任何特定的假设，而是直接利用市场数据来计算期权价格。
然而，这些方法往往需要大量的数据和复杂的计算，因此计算量相对较大。
期权定价的数值方法1
S 2
2. BS定价公式可用于欧式期权、美式看涨期权定价。对美式 看跌期权定价只能用二叉树、蒙特卡罗模拟等求出。
3. 二叉树图方法用离散的随机游走模型模拟资产价格的连续 运动在风险中性世界中可能遵循的路径，每个小的时间间 隔中的上升下降概率和幅度均满足风险中性原理。从二叉 树图的末端开始倒推计算出期权价格。
期权定价
作业1
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1. 列出影响期权价格的6个因素。
期权定价
作业2
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1. 设c1、c2和c3分别表示协议价格为X1、X2、X3的欧式看涨期 权的价格，其中X3>X2>X1且X3-X2=X2-X1，所有期权的到 期日相同，请证明：
c2 ≤0.5(c1 + c3)
2. 某一协议价格为25元，有效期6个月的欧式看涨期权价格为 2元，标的股票价格为24元，该股票预计在2个月和5个月 后各支付0.50元股息，所有期限的无风险连续复利年利率 均为8%，请问该股票协议价格为25元，有效期6个月的欧 式看跌期权价格等于多少？
若n→∞，即每个阶段所对应的长度无穷小，则完全有理由用两状 态的二叉树来近似表示标的资产价格的连续变化过程
数学意义：用无穷期的二叉树模型来逼近一个标的资产价格连续 变化的期权定价模型
2. 思路：推导出n期的二叉树模型，然后令n趋于无穷
Su4 Su3Su2 SuSu2 SuS
S
S
Sd
Sd
Sd2 Sd2
可能值，直到当前时刻 4. 对美式期权，需在每个结点处进行比较
该结点提前执行时期权的回报 VS 不提前执行时后一结点 期权价值到该点的贴现值
取较大者作为该结点的期权价值
期权定价
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1. 假设标的资产为不付红利股票,其当前市场价为50元,波动 率为每年40%，无风险连续复利年利率为10%，该股票5个 月期的美式看跌期权协议价格为50元，求该期权的价值
期权定价和二项式方法42页文档
56、死去何所道，托体同山阿。 57、春秋多佳日，登高赋新诗。 58、种豆南山下，草盛豆苗稀。晨兴 理荒秽 ，带月 荷锄归 。道狭 草木长 ，夕露 沾我衣 。衣沾 不足惜 ，但使 愿无违 。 59、相见无杂言，但道桑麻长。 60、迢迢新秋夕，亭亭月将圆。
31、只有永远躺在泥坑里的人，才不会再掉进坑里。——黑格尔 32、希望的灯一旦熄灭，生活刹那间变成了一片黑暗。——普列姆昌德 33、希望是人生的乳母。——科策布 34、形成天才的决定因素应该是勤奋。——郭沫若 35、学到很多东西的诀窍，就是一下子不要学很多。——洛克
Байду номын сангаас
期权定价模型和数值方法
期权及其有关概念
3． 期权旳内在价值 买入期权在执行日旳价值CT为 CT=max(ST －E,0)
式中:E表达行权价；ST表达标旳资产旳市场价。 卖出期权在执行日旳价值PT为 PT=max(E－ ST,0) 根据期权旳行权价与标旳资产市场价之间旳关系，期权可分为价内期权（in the
money）(S > E)、平价期权（at the money）(S = E)和价外期权（out of the money）(S < E)。
4. 珞（Rho）ρ ρ为期权旳价值随利率波动旳敏感度，利率增长，使期权价值变大。
5. 伽玛（Gamma）Γ Γ 表达δ与标旳资产价格变动旳关系。
10.3 B－S公式隐含波动率计算
隐含波动率概念
BlackScholes期权定价公式，欧式期权理论价格旳体现式：
式中：
隐含波动率是将市场上旳期权交易价格代入权证理论价格BlackScholes模型反 推出来旳波动率数值。因为期权定价BS模型给出了期权价格与五个基本参数之间旳 定量关系，只要将其中前4个基本参数及期权旳实际市场价格作为已知量代入定价 公式，就能够从中解出惟一旳未知量，其大小就是隐含波动率。
10.3. 3 隐含波动率计算程序
环节3： 函数求解。 M文件TestImpliedVolatility.M代码如下：
%TestImpliedVolatility %市场价格 Price=100; %执行价格 Strike=95; %无风险利率 Rate=0.10; %时间（年） Time=0.25; CallPrice=15.0;%看涨期权交易价格 PutPrice=7.0; %看跌期权交易价格 %调用ImpliedVolatility函数 [Vc,Vp,Cfval,Pfval]=ImpliedVolatility(Price,Strike,Rate,Time,CallPrice,PutPrice)
期权定价方法综述
期权定价方法综述期权定价方法综述1. 引言期权作为金融市场中的一种金融工具，具有许多特殊的特点，例如灵活性、杠杆效应以及风险管理等，因此在金融衍生品市场中具有广泛的应用。
准确地估计和定价期权是金融从业者和投资者非常关注的问题，因此期权定价方法成为研究的热点之一。
本文将对期权定价方法进行综述，介绍期权定价方法的起源和发展，并概述常用的期权定价模型。
2. 期权定价方法的起源和发展期权定价方法的起源可追溯到20世纪初，著名的期权定价模型之一即为布莱克-斯科尔斯（Black-Scholes）模型。
Black-Scholes模型是由费雪·布莱克（Fischer Black）、默顿·米勒（Myron Scholes）和罗伯特·蒂伦（Robert Merton）三位学者于1973年提出的，该模型是金融领域里的一项重大创新，极大地推动了金融衍生品市场的发展。
布莱克-斯科尔斯模型假设了市场的一些特定条件，如无套利机会、无风险利率恒定、标的资产遵循几何布朗运动等，以推导出期权的理论价格。
随着期权市场的快速发展，各种期权定价模型相继涌现。
除了布莱克-斯科尔斯模型外，还有考虑了市场波动性的扩散模型，例如伊藤-伦达尔模型和扩散波动模型等。
此外，还有基于树模型的期权定价方法，如二叉树模型、三叉树模型、均匀网格模型等，这些方法主要解决了无套利机会的离散时间和离散股价的情况。
近年来，随着计算机技术的快速发展，蒙特卡罗模拟方法也得到广泛应用，该方法基于随机过程模拟期权的价格演化。
3. 常用的期权定价模型3.1 布莱克-斯科尔斯模型布莱克-斯科尔斯模型是最早也是最经典的期权定价模型之一。
该模型基于伊藤引理和风险中性定价原理，通过解析求解偏微分方程，推导出欧式期权的定价公式。
布莱克-斯科尔斯模型假设市场不存在无套利机会，并且标的资产的价格服从几何布朗运动。
该模型广泛应用于欧式期权的定价。
3.2 伊藤-伦达尔模型伊藤-伦达尔模型是一种扩散模型，相比于布莱克-斯科尔斯模型，考虑了市场波动性的随机性。
期权定价理论与方法综述
期权定价理论与方法综述期权定价理论是现代金融学基础之一。
在对金融衍生品研究中，期权定价的模型与方法是最重要、应用最广泛、难度最大的一种。
1973年，被誉为“华尔街第二次革命”B-S-M期权定价模型正式提出，随之成为现代期权定价研究的基石。
这与现代期权在1973年的上市一起，标志着金融衍生品发展的关键转折。
现代期权定价的理论和方法在国外经过三十多年的发展已经日趋成熟。
随着沪深300股指期权的积极推进，国内金融市场或将迎来期权这一全新金融工具。
因此，国内期权定价的研究会更具发展前景和现实意义。
期权最重要的用途之一是管理风险，要对风险进行有效的管理，就必须对期权进行正确的估价。
期权定价理论和方法的产生和完善对于推动期权市场的发展起到了巨大的作用。
期权定价研究得出的基本原理和方法被广泛应用于宏观、微观的经济和管理问题的分析和决策，其中在财务方面的应用最为集中，以及在投资决策等方面都有广泛的应用。
本文主要是对期权定价的综述，内容包括两个方面：1期权定价理论模型1.1B-S-M模型之前的期权定价理论1.2B-S-M模型1.3B-S-M模型之后的期权定价理论2期权定价数值方法2.1树形方法2.2蒙特卡洛模拟2.3有限差分方法2.4新兴方法：神经网络2.5非完全市场下的期权定价方法1.期权定价理论模型的发展1.1.B-S-M模型之前的期权定价理论历史上的期权交易可以追溯到古希腊时期，并于17世纪荷兰“郁金香投机泡沫”和18世纪美国农产品交易中相继出现。
期权定价的理论模型的历史却比较短。
期权定价理论的研究始于1900年，由法国数学家巴舍利耶（L.Bachelier）在博士论文《投机理论》中提出。
他首次引入了对布朗运动的数学描述，并认为股票价格变化过程就是一个无漂移的标准算术布朗运动。
这一发现沉寂了五十年后才被金融界所接受，被称为“随机游走”或“酒鬼乱步”。
巴舍利耶在此基础上，通过高斯概率密度函数将布朗运动和热传导方程联系起来，得出到期日看涨期权的期望值公式：V S N K N n=-+g g其中S是股票价格，K是期权执行价格，σ是股票价格遵循的布朗运动的方差，T是期权期限，()N⋅与()n⋅是标准正态分布的分布函数和密度函数。