2020高考数学(理)必刷试题+参考答案+评分标准 (87)
2020高考数学模拟试题
（理科）
（卷面分值：150分 考试时间：120分钟）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
1、设集合}03|{2<-=x x x A ，}41|{<<=x x B ，则=B A I
.A )4,0( .B ），（41 .C ）
，（43 .D )3,1( 2、若复数z 满足i i
i z 311--+=（其中i 为虚数单位），则=z .A 2 .B 3 .C
10 .D 4 3、已知n m ,是两条不同的直线，γβα，,是三个不同的平面，则下列命题正确的是 .A 若αα//,//n m ，则n m // .B 若γβγα⊥⊥,，则βα//
.C 若αα//,//n m ，且ββ⊂⊂n m ,，则βα//
.D 若βα⊥⊥n m ,，且βα⊥，则n m ⊥
4、设6.02=a ，6.0log 3.0=b ，6.0log 3=c ，则有
.A a b c << .B c b a << .C a c b << .D b a c << 5、已知向量b a ρρ，满足3,2==b a ρρ，且a ρ与b ρ的夹角为3
π，则=-+)2)(2(b a b a ρρρρ .A 3- .B 1- .C 1 .D 3
6、已知双曲线122
22=-b
y a x （0,0>>b a ）的左、右焦点分别为21,F F ，B 为虚轴的一个端点，且︒=∠12021BF F ，则双曲线的离心率为
.A 2 .B 3 .C 2
3 .D 26 7、执行如右图所示的程序框图，则输出的=n
.A 3 .B 4 .C 5 .D 6
8、从1，2，3，4，5这五个数字中随机选择两个不同的数字，则它们之和为偶数的概率为 .A 51 .B 52 .C 53 .D 5
4 9、等比数列}{n a 的前n 项和为n S ，且321,2,4a a a 成等差数列，若11=a ，则=5S .A 1
5 .B 1
6 .C 31 .D 32
10、将奇函数)2cos(2sin 3)(ϕϕ+-+=x x x f ）（（πϕ<<0）的图象向右平移ϕ个单位长度后得到函数)(x g y =的图象，则下列关于)(x g 的一个单调递减区间是
.A ⎪⎭⎫ ⎝⎛-125,12ππ .B ⎪⎭⎫ ⎝⎛-12,125ππ .C ⎪⎭⎫ ⎝⎛127,12ππ .D ⎪⎭
⎫ ⎝⎛1211,125ππ 11、已知抛物线C ：)0(22>=p px y 的焦点F ，点⎪⎭⎫ ⎝⎛>
2)66,(00p x x M 是抛物线上一点，以M 为圆心的圆与直线2p x =
交于A 、B 两点（A 在B 的上方），若7
5sin =∠MFA ，则抛物线C 的方程为 .A x y 42
= .B x y 82= .C x y 122= .D x y 162=
12、已知函数⎪⎩⎪⎨⎧-=22)(x x x f 00<≥x x ，，，若对任意]32,2[+∈m m x ，都有)(3)(x f m x f ≥+，则实数m 的取值范围是
.A ),4[+∞ .B ),32[+∞ .C ),3[+∞ .D ),22[+∞
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分
13、若实数y x ,满足约束条件⎪⎩
⎪⎨⎧≤≥+-≤--001022y y x y x ，则y x z 23+=的最大值为_______
14、已知543cos
-=⎪⎭⎫ ⎝⎛
+πα，α为锐角，则=αsin _______ 15、已知数列}{n a 满足：⎩⎨⎧+=+221n n n a a a 1
1a a a a n n <≥，，（*N n ∈），若33=a ，则=1a ____ 16.如图，已知在长方体1111D C B A ABCD -中，AB =3,AD =4,AA 1=5，点E 为CC 1上的一个动点，平面BED 1与棱AA 1交于点F ，给出下列命题：
①四棱锥B 1-BED 1F 的体积为20；
②存在唯一的点E ，使截面四边形BED 1F 的周长取得最小值742；
③当E 点不与C ，C 1重合时，在棱AD 上均存在点G ，使得CG//平面BED 1
④存在唯一一点E ，使得B 1D ⊥平面BED 1，且5
61=CE 其中正确的命题是_____________（填写所有正确的序号）
三、解答题：第17~21题每题12分，解答应写出文字说明、证明过计算步骤
17、△ABC 的内角C B A ,,的对边分别是c b a ,,，且b a A b C c B A ++=
+sin 3sin sin sin （Ⅰ）求∠C 的值
（Ⅱ）若2=
c ，求△ABC 面积的最大值；
18、如图，四棱锥P-ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，AD//BC ，∠BAD=90°，AD=2BC ，M 为PD 的中点
（Ⅰ）证明：CM//平面PAB
（Ⅱ）若△PBD 是等边三角形，求二面角A-PB-M 的余弦值
19、“团购”已经渗透到我们每个人的生活，这离不开快递行业的发展，下表是2013-2017年全国快递业务量（x 亿件：精确到0.1）及其增长速度（y %）的数据
（Ⅰ）试计算2012年的快递业务量；
（Ⅱ）分别将2013年，2014年，…，2017年记成年的序号t ：1，2，3，4，5；现已知y
与t 具有线性相关关系，试建立y 关于t 的回归直线方程a x b y
ˆˆˆ+=； （Ⅲ）根据（Ⅱ）问中所建立的回归直线方程，估算2019年的快递业务量
附：回归直线的斜率和截距地最小二乘法估计公式分别为：
∑∑==--
=n i i
n i i i x n x
y
x n y x b 1221
ˆ，x b y a ˆˆ-=
20、已知椭圆C ：)0(122
22>>=+b a b y a x 过点()
22，，左焦点F )0,2(- （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；
（Ⅱ）过点F 作于x 轴不重合的直线l ，l 与椭圆交于A ，B 两点，点A 在直线4-=x 上的投影N 与点B 的连线交x 轴于D 点，D 点的横坐标0x 是否为定值?若是，请求出定值；若不是，请说明理由
21、已知函数)(ln 12)(2R a x a x
x x f ∈--= （Ⅰ）讨论)(x f 的单调性；
（Ⅱ）若方程x x f 2)(=有两个不相等的实数根，求证：2)(2+<
e a a f
选考题：共10分，二选一
22、在平面直角坐标系xOy 中，曲线C ：0422=-+x y x ，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧==α
α
sin cos t y t x
（t 为参数），其中⎪⎭
⎫ ⎝⎛∈6,
0πα，以坐标原点O 为极点，x 轴非负半轴为极轴，建立极坐标系。
（Ⅰ）求曲线1C 的极坐标方程和直线l 的普通方程；
（Ⅱ）设)0,4(M ，2C 的极坐标方程θρsin 34=，A ，B 分别为直线l 与曲线21,C C 异于原点的公共点，当︒=∠30AMB 时，求直线l 的斜率；
23、函数322)(++-=x x x f
（Ⅰ）求不等式52)(+≥x x f 的解集；
（Ⅱ）若)(x f 的最小值为k ，且实数c b a ,,满足k c b a =+)(，求证：822
22≥++c b a。
2020年高考理科数学新课标必刷试卷二(含解析)
《2020年高考理科数学新课标必刷试卷二（含解析）》摘要：试题分析：由的最小正周期为，得．因为，所以，由，得，故．令，得，故的对称中心为，当时，的对称中心为，故选A．考点：三角函数的图像与性质． 9．在中，D为BC中点，O为AD中点，过O作一直线分别交AB、AC于M、N两点，若（），则( ) A．3 B．2 C．4 D．【答案，解：（Ⅰ）设P（x，y）是曲线C上任意一点，那么点P（x，y）满足：化简得. (Ⅱ)设过点M（m，0）（m0）的直线l与曲线C的交点为A，B．设l的方程为x=ty+m，由得，△=16（+m）0，于是① 又．=+1+0② 又，于是不等式②等价于③ 由①式，不等式③等价于④ 对任意实数t，的最小值为0，所以不等式④对于一切t成立等价于，即．由此可知，存在正数m，对于过点M（m，0）且与曲线C有两个交点A,B的任一直线，都有，且m的取值范围． 20．已知函数. （1）求曲线在点处的切线方程，（Ⅱ）直线时过原点的直线，并且倾斜角是，所以设直线的极坐标方程是，代入圆的极坐标方程得到的二次方程，而，根据根与系数的关系得到结果. 试题解析：（Ⅰ）直线的普通方程是即曲线的直角坐标方程是即（Ⅱ）直线的极坐标方程是，代入曲线的极坐标方程得：，所以． 23．选修4-5：不等式选讲已知函数，. （1）若，求不等式的解集2020年高考必刷卷（新课标卷）02 数学（理）（本试卷满分150分，考试用时120分钟）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。
用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡的相应位置上。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案。
答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
2020高考数学(理)必刷试题+参考答案+评分标准 (88)
2020高考数学模拟试题（理科）一、选择题（本大题共12小题）1.已知集合A={x|-1＜x＜2}，，则A∩B=（）A. B. C. D.2.命题“∀x∈N*，x2∈N*且x2≥x”的否定形式是（）A. ,且B. ,或C. ,且D. ,或3.已知数列{a n}中，“a n+12=a n•a n+2”是“数列{a n}为等比数列”的什么条件（）A. 充分不必要B. 必要不充分C. 充分必要D. 既不充分也不必要4.设函数，若，则b等于（）A. 2B. 1C.D.5.已知，则cos2α=（）A. B. C. D.6.设向量满足，且与的夹角为，则=（）A. 2B. 4C. 12D.7.已知等差数列{a n}中，a3+a5=π，S n是其前n项和．则sin S7等于（）A. 1B. 0C.D.8.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，则C等于（）A. B. C. 或 D. 或9.设f（x）是定义域为R的偶函数，且f（x+3）=f（x-1），若当x∈[-2，0]时，f（x）=2-x，记，，c=f（32），则a，b，c的大小关系为（）A. B. C. D.10.已知函数f（x）=sin x-cos x，g（x）是f（x）的导函数，则下列结论中错误的是（）A. 函数的值域与的值域相同B. 若是函数的极值点,则是函数的零点C. 把函数的图象向右平移个单位,就可以得到函数的图象D. 函数和在区间上都是增函数11.在△ABC中，AC⊥AB，AB=2，AC=1，点P是△ABC所在平面内一点，，且满足，若，则2λ+μ的最小值是（）A. B. 5 C. 1 D.12.设函数，若存在f（x）的极值点x0满足，则m的取值范围是（）A. B.C. D.二、填空题（本大题共4小题）13.已知曲线y=ax+ln x在点（1，a）处的切线过点（2，3），则a=______．14.已知函数f（x）=log a x+b（a＞0，a≠1）的定义域、值域都是[1，2]，则a+b= ______ ．15.由曲线，直线y=2x，x=2所围成的封闭的图形面积为______．16.用g（n）表示自然数n的所有因数中最大的那个奇数，例如：6的因数有1，2，3，6，g（6）=3，9的因数有1，3，9，g（9）=9，那么g（1）+g（2）+g（3）+…+g （22019-1）=______．三、解答题（本大题共6小题）17.给定两个命题，p：对任意实数x都有x2+ax+1≥0恒成立；q：幂函数y=x a-1在（0，+∞）内单调递减；如果p与q中有且仅有一个为真命题，求实数a的取值范围．18.已知函数．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期及单调递减区间；（Ⅱ）若f（x）在区间上的最小值为1，求m的最小值．19.设等差数列{a n}的公差为d，前n项和为S n，等比数列{b n}的公比为q，已知b1=a1，b2=2，q=d，S4=16．（Ⅰ）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（Ⅱ）当d＞1时，记，求数列{c n}的前n项和T n．20.已知函数，，（Ⅰ）若函数f（x）有两个零点，求实数a的取值范围；（Ⅱ）若a=3，且对任意的x1∈[-1，2]，总存在，使g（x1）-f（x2）=0成立，求实数m的取值范围．21.已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若a=3，求△ABC的周长L的取值范围．22.已知函数，函数g（x）=-2x+3．（Ⅰ）当a=2时，求f（x）的极值；（Ⅱ）讨论函数的单调性；（Ⅲ）若-2≤a≤-1，对任意x1，x2∈[1，2]，不等式|f（x1）-f（x2）|≤t|g（x1）-g（x2）|恒成立，求实数t的最小值．答案和解析1.【答案】C【解析】解：∵集合A={x|-1＜x＜2}，={x|x≥0}，∴A∩B={x|0≤x＜2}=[0，2）．故选：C．分别求出集合A，B，由此能求出A∩B．本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.【答案】D【解析】解：命题的全称命题，则否定是特称命题，即∃x0∈N*，x02∉N*或x02＜x0，故选：D．根据全称命题的否定是特称命题进行判断即可．本题主要考查含有量词的命题的否定，结合全称命题的否定是特称命题是解决本题的关键．比较基础．3.【答案】B【解析】解：若数列{a n}为等比数列，则满足a n+12=a n•a n+2，当数列a n=0时满足a n+12=a n•a n+2，但此时数列{a n}为等比数列不成立，即“a n+12=a n•a n+2”是“数列{a n}为等比数列”的必要不充分条件，故选：B．结合等比数列的性质，以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合等比数列的性质，利用特殊值法是解决本题的关键．比较基础．4.【答案】B【解析】解：根据题意，函数，则f（）=4×-b=3-b，若b≤2，则3-b≥1，此时f（f（））=f（3-b）=23-b=4，解可得b=1；若b＞2，则3-b＜1，此时f（f（））=f（3-b）=4×（3-b）-b=12-5b=4，解可得b=，（舍）故b=1；故选：B．根据题意，由函数的解析式可得f（）=4×-b=3-b，按b的范围分情况讨论，代入函数的解析式，求出b的值，综合可得答案．本题考查分段函数的解析式，涉及函数值的计算，属于基础题．5.【答案】A【解析】解：已知，所以，利用三角函数的定义，解得，故cos2α=1-2sin2α=．故选：A．本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，同角三角函数关系式的变换，倍角公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．6.【答案】D【解析】解：，∴，∴=．故选：D．根据条件可求出，进而求出，并且，从而根据进行数量积的运算即可求出的值．本题考查了根据向量得到坐标求向量的长度的方法，向量数量积的运算及计算公式，向量长度的求法，考查了计算能力，属于基础题．7.【答案】C【解析】解：等差数列{a n}中，a3+a5=π，∴==，∴sin S7==sin（-）=-sin=-1．故选：C．由等差数列{a n}中，a3+a5=π，得==，由此能求出sin S7．本题考查等差数列中前7项和的正弦值的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．8.【答案】A【解析】解：由于，所以，解得A=，由于a=，c=1，所以，解得，由于c＜a，所以．故选：A．直接利用正弦定理余弦定理的应用求出结果．本题考查的知识要点：正弦定理余弦定理和三角形面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．9.【答案】A【解析】解：∵f（x+3）=f（x-1），∴f（x+4）=f（x），即函数f（x）是周期为4的周期函数，当x∈[-2，0]时，f（x）=2-x，则函数f（x）为减函数，即当x∈（0，2]时，f（x）为增函数，log2=-2，则=f（-2）=f（2），c=f（32）=f（9）=f（8+1）=f（1），∵1＜＜2，且当x∈（0，2]时，f（x）为增函数，∴f（1）＜f（）＜f（2），∴a＞b＞c，故选：A．根据f（x+3）=f（x-1），得到函数是周期为4的周期函数，结合函数的奇偶性和单调性的关系进行转化求解即可．本题主要考查函数值的大小比较，结合条件求出函数的周期，结合函数的周期性，奇偶10.【答案】C【解析】解：函数f（x）=sin x-cos x，∴g（x）=f'（x）=cos x+sin x，对于A，f（x）=sin（x-），g（x）=sin（x+），两函数的值域相同，都是[-，]，A正确；对于B，若x0是函数f（x）的极值点，则x0+=kπ，k∈Z；解得x0=kπ+，k∈Z；，g（x0）=sin（kπ+-）=0，∴x0也是函数g（x）的零点，B正确；对于C，把函数f（x）的图象向右平移个单位，得f（x-）=sin（x-）-cos（x-）=-cos x-sin x≠g（x），∴C错误；对于D，x∈，时，x-∈（-，0），f（x）是单调增函数，x+∈（0，），g（x）也是单调增函数，D正确．故选：C．求出函数f（x）的导函数g（x），再分别判断f（x）、g（x）的值域、极值点和零点，图象平移和单调性问题．本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，也考查了导数的应用问题，是中档题．11.【答案】D【解析】解：以A为原点，AB，AC所在直线分别为x轴、y轴建立直角坐标系，则A（0，0），B（2，0），C（0，1），，，∴，∴点M满足：（x-1）2+（y-2）2=1，设M（1+cosθ，2+sinθ），则由得：（1+cosθ，2+sinθ）=（2λ，μ），∴，2λ+μ的最小值是3-．故选：D．建系，分别表示出，，进而表示出，再用参数方程，结合三角函数求出范围．本题考查平面向量基本定理，结合三角函数求范围是关键，属于中档题．12.【答案】B【解析】解：函数，可得f′（x）=-，∵x0是f（x）的极值点，∴f′（x0）=0，即，得，k∈Z，即x0=mk，k∈Z，∴可转化为：，即k2m2+3＜m2，k∈Z，即，要使原问题成立，只需存在k∈Z，使成立即可，又k2的最小值为0，∴，解得或，故选：B．求出导函数f′（x）=-，利用f′（x0）=0，得到x0=mk，k∈Z，可转化为：k2m2+3＜m2，k∈Z，即要使原问题成立，只需存在k∈Z，使成立即可，转化求解表达式的最值即可．本题考查函数的导数的应用，函数的极值，以及成立条件的转化，考查计算能力，是中档题．13.【答案】1【解析】解：∵y=ax+ln x，∴y′=a+，则y′|x=1=a+1，∴曲线y=y=ax+ln x在点（1，a）处的切线方程为y-a=（a+1）（x-1），∵曲线y=ax+ln x在点（1，a）处的切线过点（2，3），解得：a=1．故答案为：1．求导函数，然后确定切线的斜率，可得切线方程，利用曲线y=ax+ln x在点（1，a）处的切线过点（2，3），建立等式，解之即可求出所求．本题考查了利用导数研究在曲线某点处的切线方程，考查导数的几何意义，考查学生的计算能力，属于基础题．14.【答案】或3【解析】【分析】本题考查对数函数的性质以及分类讨论的思想方法．分类讨论函数的单调性是正确解决本题关键．属于易错题．分类讨论a的取值范围，得到函数单调性，代入数据即可求解．【解答】解：当0＜a＜1时，易知函数f（x）为减函数，由题意有解得：a=，b=2，符合题意，此时a+b=；当a＞1时，易知函数为增函数，由题意有，解得：a=2，b=1，符合题意，此时a+b=3．综上可得：a+b的值为或3．故答案为：或3．15.【答案】3-2ln2【解析】解：依题意，由解得，∴封闭的图形面积为=（x2-2ln x）=3-2ln2．故答案为：3-2n2．求出曲线，直线y=2x的交点坐标，根据定积分的几何意义列式求解即可．本题考查了定积分的几何意义，定积分的求法，主要考查分析解决问题的能力和计算能力，属于基础题．16.【答案】【解析】解：由g（n）的定义易知g（n）=g（2n），且若n为奇数，则g（n）=n，令f（n）=g（1）+g（2）+g（3）+…+g（2n-1），则f（n+1）=g（1）+g（2）+g（3）+…+g（2n+1-1）=1+3+…+（2n+1-1）+g（2）+g（4）+…+g（2n+1-2）==4n+f（n），即f（n+1）-f（n）=4n，分别取n为1，2，…n，并累加得：，又f（1）=g（1）=1，所以，从而，令n=2019，则所求为：．故答案为：．据题中对g（n）的定义，判断出g（n）=g（2n），且若n为奇数则g（n）=n，利用等差数列的前n项和公式及逐差累加的方法及等比数列的前n项和公式求出g（1）+g（2）+g（3）+…+g（22019-1）．本题考查等差数列的前n项和公式、等比数列的前n项和公式、逐差累加的方法，是中档题．17.【答案】解：对任意实数x都有x2+ax+1≥0恒成立⇔△=a2-4≤0⇔-2≤a≤2，幂函数y=x a-1在（0，+∞）内单调递减⇔a-1＜0⇔a＜1，当p真q假时，有-2≤a≤2且a≥1，得1≤a≤2，当p假q真时，有a＜-2或a＞2且a＜1，得a＜-2，综上，所求实数a的取值范围是（-∞，-2）∪[1，2]．【解析】通过两个命题是真命题求出a的范围，然后通过当p真q假时，当p假q真时，求解即可．本题考查命题的真假的判断与应用，函数恒成立条件的转化，是基本知识的考查．18.【答案】解：（Ⅰ）由已知，有，=，=，所以f（x）的最小正周期：．由得f（x）的单调递减区间是．（Ⅱ）由（1）知，因为，所以．要使f（x）在区间上的最小值为1，即在区间上的最小值为-1．所以，即．所以m的最小值为．【解析】（Ⅰ）直接利用三角函数关系式的恒等变换和正弦型函数的性质的应用求出结果．（Ⅱ）利用正弦型函数的性质的应用求出结果．本题考查的知识要点：三角函数关系式的变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．19.【答案】解：（Ⅰ）由题意有，即：，解得：或．故或．（Ⅱ）由d＞1，知a n=2n-1，，故．于是：①，②①-②得：，故．【解析】（Ⅰ）直接利用已知条件建立方程组，求出数列的通项公式．（Ⅱ）利用（Ⅰ）的结论，进一步利用乘公比错位相减法在数列求和中的应用求出结果．本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，乘公比错位相减法在数列求和中的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．20.【答案】解：（Ⅰ）令t=x2，则t∈[1，3]，记，问题转化为函数y=h（t）与y=a有两个交点，∵，可知当t∈（1，2）时，h′（t）＜0，可知当t∈（2，3）时，h′（t）＞0，∴函数h（t）在（1，2）递减，（2，3）递增，从而h（t）min=h（2）=4，，h（1）=5，由图象可得，当时，y=h（t）与y=a有两个交点，∴函数f（x）有两个零点时实数a的范围为：．（Ⅱ）由（1）知f（x）∈[1，2]，记A=[1，2]，当m＞0时，在[-1，2]上单调递增，∴，记，由题意得：B⊆A，∴且，解得：，当m＜0时，在[-1，2]上单调递减，∴，∴且，得，综上，所求实数m的取值范围为．【解析】（Ⅰ）令t=x2，则t∈[1，3]，记，问题转化为函数y=h（t）与y=a有两个交点，利用函数的导数判断函数的单调性求解函数的最小值然后求解实数a的范围．（Ⅱ）由（1）知f（x）∈[1，2]，记A=[1，2]，通过当m=0时，当m＞0时，当m＜0时，分类求实数m的取值范围，推出结果即可．本题考查函数的导数的应用，函数的最值的求法，考查转化思想以及计算能力，是中档题．21.【答案】解：（Ⅰ）由已知得：，再由正弦定理得：，∵B=π-（A+C），∴sin B=sin（A+C）=sin A cos C+cos A sin C②又C∈（0，π），由①②得，，又A∈（0，π），∴．（Ⅱ）法一：由余弦定理：a2=b2+c2-2bc cos A得b2+c2-bc=9即：（b+c）2-3bc=9，而（当且仅当b=c=3时等号成立）从而，得b+c≤6，又b+c＞a=3，∴3＜b+c≤6，从而周长L∈（6，9]；法二：由正弦定理得：，∴，又，从而△ABC的周长L：=，，∴，∴，从而：L∈（6，9]．【解析】（Ⅰ）由条件可得，再结合正弦定理及三个角之间的关系可得，进而求出A；（Ⅱ）利用余弦定理再结合基本不等式可得3＜b+c≤6，则可求出周长L的范围．本题考查平面向量数量积的运算，设计到正、余弦定理，属于中档题．22.【答案】解：（Ⅰ）a=2时，f（x）=ln x-x2+x．∵．易知f（x）在（0，1）递增，（1，+∞）递减，∴f（x）极大值=f（1）=0，无极小值．（Ⅱ）．∴．①a≤0时，F′（x）＞0，恒成立，∴F（x）在（0，+∞）单调递增；②当a＞0，由F′（x）＞0得，F′（x）＜0得，所以F（x）在单调递增，在单调递减．综上：当a≤0时，F（x）在（0，+∞）单调递增；当a＞0时，F（x）在单调递增，在单调递减．（Ⅲ）由题知t≥0，．当-2≤a≤-1时，f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）单调递增，不妨设1≤x1≤x2≤2．又g（x）单调递减，即f（x2）+tg（x2）≤f（x1）+tg（x1）对任意-2≤a≤-1，1≤x1≤x2≤2恒成立，记，则h（x）在[1，2]递减．对任意a∈[-2，-1]，x∈[1，2]恒成立．令．则在[1，2]上恒成立，则，而在[1，2]单调递增，∴，∴．【解析】（Ⅰ）当a=2时，f（x）=ln x-x2+x，求导得到增减区间，进而得到极值．（Ⅱ）.．①a≤0时，②当a＞0，讨论增减区间．（Ⅲ）当-2≤a≤-1时，f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）单调递增，不妨设1≤x1≤x2≤2．不等式等价于f（x2）-f（x1）≤t[g（x1）-g（x2）]．即：f（x2）+tg（x2）≤f（x1）+tg（x1）对任意-2≤a≤-1，1≤x1≤x2≤2恒成立，记，则h（x）在[1，2]递减．对任意a∈[-2，-1]，x∈[1，2]恒成立．转化变量研究H（a）最大值小于等于0，进而求出t的取值范围本题考查函数的单调性的判断，考查实数的最小值的求法，考查函数性质、导数性质、构造法等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是难题．。
2020高考数学(理)必刷试题(解析版) (86)
2020高考模拟考试数学（理）试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
1．已知集合{1,2,3,4,5,6}U =，{1,3,4}A =，则U A =ðA ．{5,6}B ．{1,2,3,4}C ．{2,5,6}D ．{2,3,4,5,6}2．若复数1(2)i m m ++-（i 是虚数单位）在复平面内对应的点在第二象限，则实数m 的取值范围是A ．()1,-∞-B ．()2,1-C ．()+∞,2D ．()(),12,-∞+∞U3．已知向量()()2,4,,2-==b a m ，且()()b a b a -⊥+，则实数=mA ．4-B ．4C ．2±D ．4±4．733x x ⎛+ ⎪⎝⎭展开式中的常数项是A ．189B ．63C ．42D ．215．已知323ln 31343,e ,2===cba ，则A ． a b c <<B ．a c b <<C ．b a c <<D ．c a b <<6．函数1ln )(+=x xx f 的图象大致是A B C D7．设曲线1cos ()sin x f x x+=在3π=x 处的切线与直线1y ax =+平行，则实数a 等于A ．1-B ．23C ．2-D ．28．“关注夕阳，爱老敬老”，某企业从2012年开始每年向敬老院捐赠物资和现金，下表记录了该企业第x 年（2012年是第一年）捐赠的现金数y （万元）：x3 4 5 6 y2.5344.5若由表中数据得到y 关于x 的线性回归方程是35.0ˆ+=mx y，则可预测2019年捐赠的现金大约是A ．5.95万元B ．5.25万元C ．5.2万元D ．5万元9．执行如图所示的程序框图，如果输入2019=n ，则输出的=SA ．40394038B ． 40392019C ．40372018D ．4037403610．若9人已按照一定顺序排成三行三列的方阵，从中任选3人，则至少有两人位于同行或同列的概率是A ．1314 B ．47 C ．37D ．11411．已知112ω>，函数)4π+ω2sin(=)(x x f 在区间π3π(,)22内没有最值，则ω的取值范围A ．11[,]62B ．511,1224⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．15,412⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．5,112⎡⎤⎢⎥⎣⎦12．在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，若两定点,A B满足OA OB u u u r u u u r=，1OA OB u u u r u u u r ⋅=，则点集{}|,2,,R P OP OA OB u u u r u u u r u u u rλμλμλμ=++≤∈所表示的区域的面积是.A ．B ．C ．D ．二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分。
模板-2020年高考理科数学新课标必刷试卷六含解析
2020年高考理科数学新课标必刷试卷六（含解析）2020年高考必刷卷（新课标卷）06 数学（理）（本试卷满分150分，考试用时120分钟）注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。
用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡的相应位置上。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案。
答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷（选择题) 一、单选题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合，，则（） A． B． C． D．【答案】A 【解析】【分析】求出集合，然后利用交集的定义可求出集合. 【详解】，因此，. 故选：A. 【点睛】本题考查交集的计算，考查计算能力，属于基础题. 2．设，则A． B． C． D．【答案】C 【解析】分析：利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简复数，然后求解复数的模. 详解：，则，故选c. 点睛：复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分. 3．若向量，，若，则A． B．12 C． D．3 【答案】D 【解析】【分析】根据题意，由向量平行的坐标表示方法可得若，则有，解可得的值，即可得答案．【详解】解：根据题意，向量，，若，则有，解得；故选：．【点睛】本题考查向量平行的坐标表示公式，关键是掌握向量平行的坐标表示方法，属于基础题． 4．设等差数列的前项和为，若，则等于 A．18 B．36 C．45 D．60 【答案】C 【解析】【分析】利用等差数列的通项公式化简已知条件，根据等差数列前项和公式求得的值. 【详解】由于数列是等差数列，所以由得，即，而.故选：C. 【点睛】本小题主要考查等差数列通项公式及前项和公式的基本量计算，属于基础题. 5．在的展开式中，各项系数和与二项式系数和之比为，则的系数为（） A．15 B．45 C．135 D．405 【答案】C 【解析】【分析】令代入可求得各项系数和,根据展开式二项式系数和为,结合两个系数比即可求得的值,进而根据二项展开式的通项求得的系数即可. 【详解】令,代入可得各项系数和为展开式的各项的二项式系数和为由题意可知,各项系数的和与各项二项式系数的和之比为64 所以解方程可得则二项式的展开式的通项公式为令解得所以的系数为故选:C 【点睛】本题考查了二项式系数和与二项式展开式的系数和的应用,二项展开式通项公式的应用,求指定项的系数,属于基础题. 6．已知椭圆的左顶点为，上顶点为，右焦点为，若，则椭圆的离心率为（）A． B． C． D．【答案】D 【解析】【分析】设椭圆的焦距为，利用向量数量积的坐标运算得出，可得出，等式两边同时除以可得出关于椭圆离心率的二次方程，解出即可. 【详解】设椭圆的焦距为，离心率为，则点、、，所以，，，则，即，即，等式两边同时除以得，，解得，因此，该椭圆的离心率为. 故选：D. 【点睛】本题考查椭圆离心率的计算，涉及向量数量积的坐标运算，解题的关键就是要得出关于、、的齐次等式，考查运算求解能力，属于中等题. 7．在满足不等式组的平面内随机取一点，设事件A＝“”，那么事件A发生的概率是（） A． B． C． D．【答案】B 【解析】【分析】结合几何概型的计算方法，求出对应面积之比即为所求概率. 【详解】如下图，作出不等式组表示的平面区域（阴影部分），易知，，，该区域面积为. 事件A＝“”，表示的区域为阴影部分AOC，其面积为. 所以事件A发生的概率是.【点睛】本题考查几何概型的概率计算，考查不等式组表示的平面区域，考查数形结合的数学思想的应用，属于基础题. 8．函数在区间上的图像大致为（）A． B． C． D．【答案】B 【解析】【分析】结合选项对和函数分类讨论去绝对值，即可求解. 【详解】 . 故选:B 【点睛】本题考查已知函数求图像，化简函数是解题的关键，属于中档题. 9．九章算术》是中国古代数学名著，体现了古代劳动人民数学的智慧，其中第六章“均输”中，有一竹节容量问题，根据这一问题的思想设计了如下所示的程序框图，若输出的的值为35，则输入的的值为( ) A．4 B．5 C．7 D．11 【答案】A 【解析】起始阶段有，，第一次循环后，，；第二次循环后，，；第三次循环后，，；接着计算，跳出循环，输出.令，得.选A. 10．一个多面体的直观图和三视图如图所示，点M是AB的中点，一只蝴蝶在几何体ADF－BCE内自由飞翔，则它飞入几何体F－AMCD内的概率为（）A． B． C． D．【答案】C 【解析】【分析】根据三视图求出三棱柱的体积，再求出几何体F－AMCD的体积，即可求出概率. 【详解】由三视图可知：底面三角形ADF是腰长为a的等腰直角三角形，几何体ADF－BCE是侧棱为a的直三棱柱，由题图可知VF－AMCD＝×S梯形AMCD×DF＝a3，VADF－BCE＝a3，所以它飞入几何体F－AMCD内的概率为. 故选：C 【点睛】此题考查求几何概型概率，关键在于根据三视图准确求出几何体的体积. 11．“干支纪年法”是中国历法上自古以来使用的纪年方法，甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸被称为“十天干”，子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥叫做“十二地支”。
【精编版】2020年高考数学(理)必刷试卷3(解析版)
2020年高考必刷卷（新课标卷）03数学（理）（本试卷满分150分，考试用时120分钟）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。
用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡的相应位置上。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案。
答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷（选择题)一、单选题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知全集U R =，A {x |x 1}=<，B {x |x 2}=≥，则集合()U A B ⋃ð等于( ) A ．{}x x 1 B ．{x |x 2}≤ C ．{x |1x 2}<≤ D ．{x |1x 2}≤<【答案】D 【解析】 【分析】求出A 与B 的并集，根据全集U ＝R ，求出并集的补集即可． 【详解】Q 全集U R =，A {x |x 1}=<，B {x |x 2}=≥，A B {x |x 1∴⋃=<或x 2}≥，则()U A B {x |1x 2}⋃=≤<ð，故选：D ． 【点睛】此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．2．若复数11z i =+，21z i =-，则下列结论错误的是（ ） A ．12z z ⋅是实数 B ．12z z 是纯虚数C ．24122z z =D ．22124z z i +=【答案】D 【解析】分析：根据题中所给的条件，将两个复数进行相应的运算，对选项中的结果一一对照，从而选出满足条件的项.详解：212(1)(1)12z z i i i ⋅=+-=-=，是实数，故A 正确，21211212z i i i i z i +++===-，是纯虚数，故B 正确， 442221(1)[(1)](2)4z i i i =+=+==，22222(1)224z i i =-=-=，故C 正确，222212(1)(1)220z z i i i i +=++-=-=，所以D 项不正确，故选D.点睛：该题考查的是复数的有关概念和运算，在做题的时候，需要对选项中的问题一一检验，从而找到正确的结果.3．已知55log log n m >，则下列结论中不正确的是（ ）A ．m ＞n ＞1B ．n ＞1＞m ＞0C ．1＞n ＞m ＞0D ．1＞m ＞n ＞0【答案】C 【解析】 【分析】先化简原不等式为11lg lg n m>，再对,m n 分四种情况讨论即得解. 【详解】 由题得lg5lg5lg lg n m>， 所以11lg lg n m>， 当1,1m n >>时，lg lg ,m n >所以,1m n m n >∴>>,所以选项A 正确； 当01,01m n <<<<时，lg lg ,m n > 所以10m n >>>，所以选项D 正确；当1,01n m ><<时，不等式55log log n m >显然成立，所以选项B 正确； 当01,1n m <<>时，不等式55log log n m >显然不成立.所以选项C 不正确.故选：C 【点睛】本题主要考查对数的运算和对数函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 4．某单位去年的开支分布的折线图如图1所示，在这一年中的水、电、交通开支（单位：万元）如图2所示，则该单位去年的水费开支占总开支的百分比为（ ）A ．6.25%B ．7.5%C ．10.25%D ．31.25%【答案】A 【解析】 【分析】由折线图找出水、电、交通开支占总开支的比例，再计算出水费开支占水、电、交通开支的比例，相乘即可求出水费开支占总开支的百分比. 【详解】水费开支占总开支的百分比为25020% 6.25%250450100⨯=++.故选：A 【点睛】本题考查折线图与柱形图，属于基础题.5．已知f(x)是定义在R上的奇函数，满足f(1+x)=f(1−x),若f(1)=1，则f(1)+f(2)+f(3)+...+f(2019)=（）A．1B．0C．1D．2019【答案】B【解析】【分析】根据题意，由函数满足f（1﹣x）＝f（x+1），分析可得f（﹣x）＝f（x+2），结合函数为奇函数可得f（x）＝f（x+2），则函数f（x）为周期为4的周期函数，又由f（1）、f（-1）与f（2）及f（0）的值分析可得f（1）=f（5）=……＝f（2017）＝1，f（3）=f（7）=……= f（2019）=-1，f（2）=f（4）＝f（6）＝f（8）＝……＝f（2018）＝0，将其相加即可得答案．【详解】根据题意，函数f（x）满足f（1﹣x）＝f（x+1），则函数f（x）的图象关于直线x＝1对称，则有f （﹣x）＝f（x+2），又由函数f（x）为奇函数，则f（﹣x）＝-f（x），则有f（x）＝-f（x+2），则f（x+2）=- f（x+4），可得f（x）= f（x+4）则函数f（x）为周期为4的周期函数，又由f（1）＝1，则f（1）=f（5）=……＝f（2017）＝1，f（-1）=- f（1）=-1，则f（3）=f（7）=……= f（2019）=-1，又f（-2）=f（2）＝-f（2），则f（2）=0，且f（0）=0，所以f（2）=f（4）＝f（6）＝f（8）＝……＝f（2018）＝0，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2019）＝505-505+0=0；故选：B．【点睛】本题考查函数的奇偶性以及函数周期性的应用，注意分析与利用函数的周期，属于基础题．6．若实数x，y满足2x+2y=1，则x+y的最大值是（）A．-4B．-2C．2D．4【答案】B【解析】【分析】利用基本不等式求x+y 的最大值得解. 【详解】由题得2x +2y ≥2√2x ⋅2y =2√2x+y ,(当且仅当x=y=-1时取等) 所以1≥2√2x+y ，∴14≥2x+y ,∴2−2≥2x+y ， 所以x+y≤-2.所以x+y 的最大值为-2. 故选：B 【点睛】本题主要考查基本不等式，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 7．等差数列{}n a 中2912142078a a a a a a ++-+-=，则9314a a -=（ ） A ．8 B ．6C ．4D ．3【答案】D 【解析】 【分析】设等差数列的公差为d ，根据题意，求解1104a d +=，进而可求得93113(10)44a a a d -=+，即可得到答案. 【详解】由题意，设等差数列的公差为d ，则291214207112202(10)8a a a a a a a d a d ++-+-=+=+=，即1104a d +=， 又由931111138(2)(10)3444a a a d a d a d -=+-+=+=，故选D. 【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式的应用，其中解答中设等差数列的公差为d ，利用等差数列的通项公式化简求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.8．已知函数()()002f x Asin x A πωφωφ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭＞，＞，＜的部分图象如图所示，则下列判断正确的是（ ）A ．函数的图象关于点,03π⎛⎫-⎪⎝⎭对称 B ．函数的图象关于直线6x π=-对称C ．函数()2f x 的最小正周期为πD ．当766x ππ≤≤时，函数()f x 的图象与直线2y =围成的封闭图形面积为2π 【答案】D 【解析】 【分析】由函数的图象的顶点坐标求出A ，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得f （x ）的解析式，再根据余弦函数的图象和性质，判断各个选项是否正确，从而得出结论． 【详解】解：函数()()002f x Asin x A πωφωφ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭＞，＞，＜的部分图象，可得A ＝2，14•25126πππω=-，∴ω＝2．再根据五点法作图可得2•6π+φ2π=，∴φ6π=，f （x ）＝2sin （2x 6π+）． 令x 3π=-，求得f （x ）＝﹣2，为函数的最小值，故A 错误； 令x 6π=-，求得f （x ）＝﹣1，不是函数的最值，故B 错误；函数f （2x ）＝2sin （4x 6π+）的最小正周期为242ππ=，故C 错误； 当766x ππ≤≤时，2π≤2x 562ππ+≤，函数f （x ）的图象与直线y ＝2围成的封闭图形为x 6π=、x 76π=、y ＝2、y ＝﹣2构成的矩形的面积的一半，矩形的面积为π•（2+2）＝4π，故函数f （x ）的图象与直线y ＝2围成的封闭图形面积为2π， 故D 正确， 故选：D ． 【点睛】本题主要考查由函数y=Asin （ωx+φ）的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出A ，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，余弦函数的图象和性质，属于中档题．9．ABC ∆中，角,,A B C 所对应的边分别为,,a b c ，S 表示三角形ABC ∆的面积，且满足2223()4S a c b =+-，则B ∠=（ ） A ．6π B ．3π C ．3π或23π D ．23π【答案】B 【解析】在△ABC 中，∵S=()22234a cb +-=12acsinB ，cosB=2222a c b ac +-．代入原式子得到312cos *sin 42ac B ac B =，tanB=3，∵B ∈（0，π）， ∴B=3π． 故答案为B ．10．如图中共顶点的椭圆①②与双曲线③④的离心率分别为e 1，e 2，e 3，e 4，其大小关系为( )A ．e 1<e 2<e 3<e 4B ．e 2<e 1<e 3<e 4C ．e 1<e 2<e 4<e 3D ．e 2<e 1<e 4<e 3 【答案】C 【解析】试题分析：先根据椭圆越扁离心率越大判断a 1、a 2的大小，再由双曲线开口越大离心率越大判断a 3、a 4的大小，最后根据椭圆离心率大于0小于1并且抛物线离心率大于1可得到最后答案．解：根据椭圆越扁离心率越大可得到0＜a 1＜a 2＜1 根据双曲线开口越大离心率越大得到1＜a 3＜a 4 ∴可得到a 1＜a 2＜a 3＜a 4故选A ． 考点：圆锥曲线的共同特征．11．《九章算术》中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳌臑.在鳌臑P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，4PA =，2AB BC ==，鳌臑P ABC -的四个顶点都在同一个球上，则该球的表面积是（ ） A ．16π B ．20π C ．24π D ．64π【答案】C 【解析】 【分析】四个面都是直角三角形，由AB BC =得AB BC ⊥，然后证明BC PB ⊥，这样PC 中点O ，就是P ABC -外接球球心，易求得其半径，得面积．【详解】四棱锥P ABC -的四个面都是直角三角形，∵2AB BC ==，∴AB BC ⊥，又PA ⊥平面ABC ，∴AB 是PB 在平面ABC 上的射影，PA CA ⊥，∴BC PB ⊥，取PC 中点O ，则O 是P ABC -外接球球心．由2AB BC ==得22AC =，又4PA =，则81626PC =+=，6OP =，所以球表面积为224()4(6)24S OP πππ==⨯=． 故选：C ． 【点睛】本题考查求球的表面积，解题关键是寻找外接球的球心：三棱锥的外接球的球心一定在过各面外心且与此面垂直的直线上．12．已知定义域为R 的奇函数()y f x =的导函数为()'y f x =，当0x >时， ()()'0xf x f x -<，若()()()ln23,,ln23f e f f a b c e-===-，则,,a b c 的大小关系正确的是（ ）A ．a b c <<B ．b c a <<C ．a c b <<D ．c a b <<【答案】D 【解析】 【分析】 构造函数g （x ）()f x x=，由g ′（x ）()()2'xf x f x x-=，可得函数g （x ）单调递减，再根据函数的奇偶性得到g （x ）为偶函数，即可判断． 【详解】 构造函数g （x ）()f x x=，∴g ′（x ）()()2'xf x f x x-=，∵xf ′（x ）﹣f （x ）＜0， ∴g ′（x ）＜0，∴函数g （x ）在（0，+∞）单调递减． ∵函数f （x ）为奇函数， ∴g （x ）()f x x=是偶函数，∴c ()33f -==-g （﹣3）＝g （3）， ∵a ()f e e==g （e ），b ()22f ln ln ==g （ln 2）， ∴g （3）＜g （e ）＜g （ln 2）， ∴c ＜a ＜b ， 故选D ．【点睛】本题考查了构造函数并利用导数研究函数的单调性，进行比较大小，考查了推理能力，属于中档题．第Ⅱ卷（非选择题)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
2020高考数学(理)必刷试题+参考答案+评分标准 (86)
2020高考数学模拟试题（理科）满分150分，考试时间120分钟一、选择题：(本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.已知集合P＝{x|x2≤1}，M＝{a}，若P∪M＝P，则a的取值范围是( ) A． (－∞，－1] B． [1，＋∞) C． [－1,1] D． (－∞，－1]∪[1，＋∞)2.下列命题错误的是( )A．命题“若xy＝0，则x，y中至少有一个为零”的否定是：“若xy≠0，则x，y都不为零”。
B．对于命题p：∃x 0∈R，使得＋x0＋1＜0，则p：∀x∈R，均有x2＋x＋1≥0。
C．命题“若m＞0，则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题为“若方程x2＋x －m＝0无实根，则m≤0”。
D．“x＝1”是“x2－3x＋2＝0”的充分不必要条件。
3.平面向量a与b的夹角为60°，a＝(2,0)，|b|＝1，则|a＋2b|等于( ) A． 2 B． 2 C． 12 D．4.函数f(x)＝tanωx(ω>0)的图象的相邻两支截直线y＝2所得线段长为，则f的值是( )A．－ B． C．1 D．5．已知m,n是两条不同直线，α,β是两个不同平面．以下命题中正确命题的个数是（）①m,n相交且都在平面α,β外，m∥α, m∥β , n∥α, n∥β ,则α∥β;②若m∥α, m∥β , 则α∥β;③若m∥α, n∥β , m∥n, 则α∥β．A．0 B．1 C．2 D．36.函数cosxxye的图像大致是（）A ．B ．C ．D ．7.已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的焦点分别为1F ，2F ，点A ，B 在椭圆上，12AB F F ⊥于2F ，4AB =，1223F F =，则椭圆方程为（ ）A ．2213x y +=B ．22132x y +=C ．22196x y +=D ．221129x y +=8．在各棱长均相等的直三棱柱111ABC A B C -中，已知M 是棱1BB 的中点，N 是棱AC 的中点，则异面直线1A M 与NB 所成角的正切值为（ ） A ．3 B ．1 C ．6D ．2 9.已知奇函数在R 上是增函数，．若，，，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A.B.C .D.10.设函数f (x )＝cos(2x ＋ϕ)＋sin(2x ＋ϕ)，且其图象关于直线x ＝0对称，则( )A ．y ＝f (x )的最小正周期为π，且在上为增函数B ．y ＝f (x )的最小正周期为π，且在上为减函数C ．y ＝f (x )的最小正周期为，且在上为增函数D ．y ＝f (x )的最小正周期为，且在上为减函数11.双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别|为1F 、2F ，点P 在C 上，且123PF PF b +=，1294PF PF ab ⋅=，则双曲线的离心率为（ ） A ．103B ．10C ．43 D ．5312．定义在R 上的偶函数()f x 满足(2)()f x f x -=，且当[]1,2x ∈时，2()41814f x x x =-+-，若函数()()g x f x mx =-有三个零点，则正实数m 的取值范围为（ ）A ．3,184142⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．()2,18414- C ．()2,3 D ．3,32⎛⎫ ⎪⎝⎭二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分) 13.计算＝________.14．已知命题p ：2,20x R x x m ∃∈++≤，命题q ：幂函数113()m f x x+-=在()0,∞+是减函数，若“p q ∨”为真命题，“p q ∧”为假命题，则实数m 的取值范围是_________.15.已知抛物线24y x =的焦点为F ，准线为l ，若l 与双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线分别交于点A 和点B ，且||4||AB OF =（O 为原点），则双曲线的离心率为_________.16．已知三棱锥P −ABC 的四个顶点在球O 的球面上，PA =PB =PC ，△ABC 是边长为2的正三角形，E ，F 分别是PA ，AB 的中点，∠CEF =90°，则球O 的体积为_______.三、解答题：（共70分。
2020高考数学(理)必刷试题(解析版) (76)
2020高考模拟考试数学（理）试题一、单选题1．已知集合1273xA x ⎧⎫⎪⎪⎛⎫=<⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭，{}|5B y y =≥-，则()R A B =I ð（ ）A ．∅B ．[]5,3--C ．[)5,3--D ．[]5,3-【答案】B【解析】先求出集合A ，然后求出R A ð，再与集合B 取交集即可. 【详解】依题意，得{}3111273333x x A x x x x -⎧⎫⎧⎫⎪⎪⎪⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫=<=<=>-⎨⎬⎨⎬ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎪⎪⎪⎪⎩⎭⎩⎭，则{}R |3A x x =≤-ð，所以()[]R 5,3A B =--I ð.故选：B. 【点睛】本题考查集合的运算、不等式的解法考查运算求解能力以及化归与转化思想，属于基础题.2．若复数1i()2im z m +=∈+R 为纯虚数，则m =（ ） A ．2 B ．1C ．1-D ．2-【答案】D【解析】结合复数的四则运算及纯虚数的概念，可求出答案. 【详解】1i (1i)(2i)2i 2i 221i 2i (2i)(2i)555m m m m m m z ++--+++-====+++-. 复数z 为纯虚数,得20210m m +=⎧⎨-≠⎩解得2m =-.故选：D. 【点睛】本题考查复数的运算、纯虚数的概念，考查运算求解能力以及函数与方程思想，属于基础题..3．2019年10月1日，为了庆祝中华人民共和国成立70周年，某校聚集400名学生站成一个方阵.方阵中间部分学生身穿红色衣服，组成“70”的字样，其余学生身穿白色衣服.若任选1名学生，选到身穿红色衣服的学生的概率为14，则任选2名学生，1名学生身穿红色衣服，另1名学生身穿白色衣服的概率为（ ） A ．100133B ．34C ．50133D ．316【答案】C【解析】分别求出身穿红色衣服和白色衣服的人数，然后求出选出1名学生身穿红色衣服，另1名学生身穿白色衣服的选法，及400名学生选出2名学生的选法，结合古典概形的概率公式可求出答案. 【详解】400名学生中，身穿红色衣服的有14001004⨯=人，身穿白色衣服的有300人，故任选2名学生，1名学生身穿红色衣服，另1名学生身穿白色衣服的概率111003002400C C 50C 133P ⋅==.故选：C. 【点睛】本题考查排列组合，考查古典概型的概率，考查推理能力，属于基础题.4．记递增等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为n S .若28S =，480S =，则（ ） A ．14a = B ．12a =C ．2q =D ．4q =【答案】B【解析】结合3442a a S S +=-，及23412a a q a a +=+，可求出公比，进而求出1a .【详解】依题意，得128a a +=，344272a a S S +=-=，所以234129a a q a a +==+，解得3q =或者3q =-.又因为数列{}n a 是递增数列，所以3q =，所以12a =. 故选：B. 【点睛】本题考查等比数列的通项公式、前n 项和公式，考查运算求解能力以及化归与转化思想，属于基础题.5．运行如图所示的程序框图；若输入的x 的值为3，输出的x 的值为98，则判断框中可以填（ ）A ．5i >B ．4i >C ．3i >D ．2i >【答案】C【解析】运行该程序，可知3i =，不满足判断框，4i =，满足判断框，从而可选出答案. 【详解】由于输入的x 的值为3，输出的x 的值为98，可知： 运行该程序，第一次，1(31)22x =+=，1i =，不满足判断框； 第二次，13(21)22x =+=，2i =，不满足判断框； 第三次，1351224x ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，3i =，不满足判断框；第四次，1591248x ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，4i =，满足判断框，输出x 的值为98， 故判断框可以填3i >.故选：C. 【点睛】本题考查算法与程序框图，考查推理论证能力以及化归与转化思想，属于基础题. 6．地震震级是衡量地震本身大小的尺度，由地震所释放出来的能量大小来决定，释放出的能量愈大，则震级愈大.震级的大小可通过地震仪测出.中国使用的震级标准，是国际上通用的里氏分级表，地震释放的能量E 与地震里氏震级M之间的关系为34.810ME =.已知A 地区最近两次地震的震级1M ，2M 的值分别为6，5，释放的能量分别为1E ，2E .记12E E λ=，则λ∈（ ） A ．()30,31 B ．()31,32C ．()32,33D ．()33,34【答案】B【解析】分别求出1E 和2E ，可得到91.517.52101010E E ==，然后比较 1.51031,32,的大小关系即可选出答案. 【详解】依题意， 4.8911010E =⋅， 4.87.521010E =⋅，故91.517.52101010E E ==，要比较 1.510与32的大小关系，可比较310与232的大小关系，易知3101000=，而2321024=，故 1.51032<.同理可得， 1.51031>，所以(31,32)λ∈. 故选：B. 【点睛】本题考查数学文化，考查指数的运算性质，考查运算能力、推理论证能力以及化归与转化思想，属于基础题.7．已知三棱锥A BCD -满足AB CD ==10AC BD ==，AD BC ==则三棱锥A BCD -外接球的表面积为（ ） A ．116π B ．128πC ．132πD ．156π【答案】A【解析】可将三棱锥置于一个长、宽、高分别为x ，y ，z 的长方体中，可得2222225210080x y y z z x ⎧+=⎪+=⎨⎪+=⎩，从而可求出222x y z ++及外接球半径，进而可求出该三棱锥外接球的表面积. 【详解】三棱锥A BCD -的对棱相等，可将此三棱锥置于一个长、宽、高分别为x ，y ，z 的长方体中，则2222225210080x y y z z x ⎧+=⎪+=⎨⎪+=⎩，三式相加可得，222116x y z ++=，设三棱锥A BCD -外接球的半径为R ,则()22222116R x y z =++=，即24116R =. 则所求外接球的表面积24π116πS R ==. 故选：A. 【点睛】本题考查三棱锥的外接球，考查球的表面积计算，考查空间想象能力，属于中档题. 8．将曲线23e x y +=绕原点顺时针旋转角θ后第一次与x 轴相切，则tan θ=（ ） A ．22e B ．32e C ．23e D ．33e【答案】D【解析】易知直线tan y x θ=⋅是曲线23ex y +=过原点的切线，设切点坐标为()02,3e x x +，结合导数的几何意义，可求出0x ，从而可求出tan θ.【详解】依题意，tan y x θ=⋅是曲线23e x y +=过原点的切线.设切点坐标为()020,3e x x +，而23ex y +'=，所以02tan 3e x θ+=.把切点坐标()020,3ex x +代入tan y x θ=⋅，得002203e3e x x x ++⋅=，解得01x =，即3tan 3e θ=.故选：D. 【点睛】本题考查导数的运算、导数的几何意义，考查运算求解能力以及化归与转化思想,属于中档题.9．记双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，点M 在双曲线的渐近线上，且在第二象限，2OM OF =（O 为坐标原点），线段2MF 的中点P 满足122PF PF a -=，则双曲线C 的离心率为（ ）A ．1+B ．1+CD 【答案】A【解析】先求出M 的坐标，进而可得到P 的坐标，由P 满足122PF PF a -=，可知点P 在双曲线C 的右支上，将坐标代入方程，计算可求得离心率. 【详解】双曲线C 的渐近线为b y x a =±，设M 的坐标为(),0b m m m a ⎛⎫-< ⎪⎝⎭，由2||OM OF c ==，可得222222b c m m m c a a⎛⎫+-== ⎪⎝⎭，即m a =-，(),M a b -，则,22c a b P -⎛⎫ ⎪⎝⎭. 122PF PF a -=，则点P 在双曲线C 的右支上，所以2222()144c a b a b--=，整理得22215c ca a-+=，即()215e -=，解得1e =，因为1e >，所以只有1e =+. 故选：A. 【点睛】本题考查双曲线的离心率，考查双曲线的方程与性质，考查学生的计算能力与推理论证能力，属于中档题.10．已知在体积为27的正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别是11A D ，11C D 的中点.若平面BEF I 平面11BCC B l =，则l 在正方形11BCC B 中的线段长度为（ ）A ．B ．2C ．2D 【答案】D【解析】延长EF ，11B C ，交于点G ，连接BG ，1BG CC H =I ，可知l 在正方形11BCC B 中的线段为线段BH ，由1D EF V 和1C GF V 全等，及11//C H BB ，可得111113C HC G BB B G ==，从而可求得1C H 进而可求得BH . 【详解】如图，延长EF ，11B C ，交于点G ，连接BG ，其中1BG CC H =I ，则l 在正方形11BCC B 中的线段即为线段BH .依题意，得327AB =，则3AB =.又易知1D EF V 和1C GF V 全等，所以111112C G D E A D ==，又11//C H BB ，则111113C H C G BB B G ==，11C H =. 所以2CH =，223213BH =+=. 故选：D.【点睛】本题考查空间线面的位置关系，考查空间想象能力以及数形结合思想,属于基础题. 11．已知函数π()sin()0,0,2f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>><⎪⎝⎭的图象的一个最高点为()3,1P ，M ，N 是与P 相邻的两个最低点，且20tan 21MPN ∠=-，则函数()f x 的单调递减区间为（ ） A ．[]310,810()k k k ++∈Z B ．[]810,1310()k k k ++∈Z C ．[]35,85()k k k ++∈Z D ．[]85,135()k k k ++∈Z【答案】A【解析】由函数()f x 图象的一个最高点为()3,1P ，可知1A =，π32π()2k k ωϕ+=+∈Z ，由20tan 21MPN ∠=-，结合二倍角公式，可求得tan2MPN ∠，进而由图象可知4tan 2MPNMN T ∠==，从而可求得,ωϕ，即可求得()f x 的表达式及单调递减区间.【详解】依题意，得22tan202tan 211tan2MPNMPN MPN ∠∠==-∠-，解得5tan 22MPN ∠=或2tan25MPN ∠=-，因为π022MPN ∠⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，所以只有5tan 22MPN ∠=符合题意， 函数()f x 图象的一个最高点为()3,1P ，得1A =，41tan102MPNMN T ∠==⨯⨯=，则2ππ105ω==， 又(3)1f =，得ππ32π()52k k ϕ⨯+=+∈Z ，解得π2π()10k k ϕ=-+∈Z . 因为||2ϕπ<，所以π10ϕ=-，则ππ()sin 510f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.令πππ3π2π2π()25102k x k k +≤-≤+∈Z ，解得310810()k x k k +≤≤+∈Z . 故选：A.【点睛】本题考查三角函数的图象与性质，考查正切的二倍角公式的应用，考查推理论证能力以及数形结合思想，属于中档题.12．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>与x 轴交于P ，Q 两点，与y 轴交于M ，N两点，点R 在椭圆C 上，135PRQ ︒∠=，cos RPQ ∠=，且四边形MPNQ 的面积为C 的方程为（ ）A ．221244x y +=B ．221128x y +=C ．221166x y +=D ．22311816x y +=【答案】A【解析】由角的关系可求得tan RPQ ∠和tan RQP ∠的值，然后设(,)R s t (0,0)s t >>，可得||2tan tan t tPQ a RPQ RQP==+∠∠，tan tRPQ a s=∠+，联立可求得,,s t a 的关系，将点R 的坐标代入椭圆方程，可求得,a b的关系，结合四边形MPNQ 的面积为2ab =,a b 的值. 【详解】由cos RPQ ∠=，可得1tan 3RPQ ∠=.又135PRQ ︒∠=，所以()tan tan 1tan tan 1tan tan 2PRQ RPQ RQP PRQ RPQ PRQ RPQ ∠+∠∠=-∠+∠=-=-∠∠.不妨设(,)R s t (0,0)s t >>，则||25tan tan t t PQ a t RPQ RQP ==+=∠∠，即25at =，tan t RPQ a s =∠+，即23355a as t a a =-=⨯-=. 则将255,a a R ⎛⎫ ⎪⎝⎭代入椭圆方程可得2222412525a a a b+=，即226a b =.又四边形MPNQ 的面积为2ab =联立222866ab a b⎧=⎪⎨=⎪⎩，解得2b =，26a =.故椭圆C 的方程为221244x y +=. 故选：A.【点睛】本题考查三角恒等变换、椭圆的方程和性质，考查运算求解能力以及化归与转化思想，属于中档题.二、填空题13．对一批产品的内径进行测量，所得数据统计如下图所示，估计这批产品内径的中位数为___________.【答案】26【解析】由小矩形的面积之和等于1可求出a 的值，计算前3个小矩形的面积可知中位数在第四组中，列式子计算即可. 【详解】由题意，得(0.012520.0250.03750.05)51a ⨯++++⨯=，解得0.0625a =.前3个小矩形的面积(0.01250.0250.05)50.4375S =++⨯=，故所求中位数为0.50.437525260.0625-+=.故答案为：26. 【点睛】本题考查中位数的求法，考查频率分布直方图，考查运算求解能力，属于基础题. 14．已知ABC V 中，D 是线段BC 上靠近B 的三等分点，E 是线段AC 的中点.若BE mAD nAE =+uur uuu r uu u r，则m n -=______________.【答案】72-【解析】结合平面向量的线性运算，用,AD AE u u u r u u u r 表示BE u u u r，进而可求出,m n 的值，即可求出答案. 【详解】 如图，3333()(2)22222BE BC CE DC AE AC AD AE AE AD AE AE AD=+=-=--=--=-uur uu u r uur uuu r uu u r uuu r uuu r uu u r uu u r uuu r uu u r uu u r uuu r ，所以32m =-，2n =，所以37222m n -=--=-.故答案为：72-. 【点睛】本题考查平面向量的基本定理，考查平面向量的线性运算，考查推理论证能力，属于基础题.15．记数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知113a =，()121111n n n S a S +++=-.若4139k S <，则k 的最大值为____________.【答案】19【解析】利用11n n n a S S ++=-，将等式转化为只含1n n S S +,的关系式，进而可得到111111n n S S +-=---，即数列11n S ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭是等差数列，从而可求出n S 的表达式，解不等式4139k S <，可求出答案. 【详解】依题意，得()21111n n n a S S +++⋅=-，则()()21111n n n n S S S S +++-⋅=-，即22111121n n n n n S S S S S ++++-=-+，所以1121n nn S S S ++=-，则()1111n n n S S S ++-=-，即11111111111111n n n n n n S S S S S S +++++-+===+----，所以111111n n S S +-=---. 故数列11n S ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭是首项为111a =-32-，公差为1-的等差数列，则1112n n S =---，所以2121n n S n -=+. 故4139k S <可化为21413921k k -⋅<+，解得20k <，因为*k ∈N ，所以k 的最大值为19. 故答案为：19. 【点睛】n S 与n a 关系问题的求解思路：根据所求结果的不同要求，将问题向不同的两个方向转化.①利用()12n n n a S S n =-≥-，转化为只含n n S S -1,的关系式，再求解； ②利用()12n n n S S a n --=≥，转化为只含1,n n a a -的关系式，再求解.16．已知函数223,0()143,0x x f x x x x x ⎧+<⎪=-⎨⎪-+≥⎩，函数()()()()2212g x f x m f x m =+-⎤⎦-⎡⎣，若函数()g x 有7个零点，则实数m 的取值范围为___________. 【答案】{}3,102⎛⎤-- ⎥⎝⎦U 【解析】作出函数()f x 的图象，令()0g x =，解得()1f x =或()2f x m =-，结合图象易知()1f x =有4个解，从而只需()2f x m =-有三个解，结合图象讨论2m -的取值范围即可. 【详解】0x <时，235()211x f x x x +==+--，()f x 在3,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦上单调递减，在3,02⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，且302f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，当32x <-时，图象始终在2y =的下方； 当0x ≥时，2()43f x x x =-+，在[]0,2上单调递减，在()2,+?上单调递增，且(0)3f =.作出函数()f x 的图象如下图所示：令[]2()()(21)()20g x f x m f x m =+--=，解得()1f x =或()2f x m =-，而()y f x =和1y =的图象有4个交点，即()1f x =有4个实数根，所以只需()2f x m=-有3个实数根即可.观察可知，当223m ≤-<或20m -=时，符合题意， 解得312m -<≤-或0m =. 故答案为：{}3,102⎛⎤-- ⎥⎝⎦U .【点睛】本题考查函数的图象性质，考查函数的零点，考查推理论证能力以及数形结合思想，属于中档题.三、解答题17．如图所示，在平面四边形ABCD 中，4tan 3BCD ∠=-.（1）若ACB ACD ∠=∠，22AB BC ==，求AC 的长； （2）若45CBD ︒∠=，2BC =，求BCD V 的面积. 【答案】（1）5AC =2）8【解析】（1）由tan BCD ∠，可求出cos BCD ∠，结合ACB ACD ∠=∠，可求得cos ACB ∠，在ABC V 中，由余弦定理可求出AC 的长；（2）先求得sin cos BCD BCD ∠∠，，则()sin sin 45CDB BCD ︒∠=∠+，然后利用正弦定理sin sin BC CDCDB CBD=∠∠，可求出CD ，进而可求出BCD V 的面积.【详解】（1）4tan 3BCD ∠=-,则BCD ∠是钝角，cos 0BCD ∠<，可求得3cos 5BCD ∠=-.因为ACB ACD ∠=∠，所以23cos 2cos 15BCD ACB ∠=-=∠-.因为cos 0ACB ∠>，所以5cos ACB ∠=. 在ABC V 中，由余弦定理得2222cos AB BC AC BC AC ACB =+-⋅⋅∠，即22530AC AC -=. 解得5AC =35AC =（舍去）. 所以5AC =（2）由（1）可知，24sin 1cos 5BCD BCD ∠=-∠=. 在BCD V 中，因为45CBD ∠=︒，所以()()22sin sin 18045sin 45cos )CDB BCD BCD BCD BCD ∠=︒-∠-︒=∠+︒=∠+∠=.由正弦定理得sin sin BC CDCDB CBD =∠∠，所以sin 10sin BC CBDCD CDB⋅∠==∠. 故BCD V 的面积14210825S =⨯⨯⨯=.【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理、三角形的面积公式的应用，考查运算求解能力、推理论证能力，属于基础题.18．如图，三棱锥P ABC -中，ABC V 是等边三角形，M 是线段AC 的中点，N 是线段CB 上靠近C 的四等分点，平面PBC ⊥平面ABC .（1）求证：MN PB ⊥；（2）若4PB PC BC ===，求二面角A PC B --的余弦值. 【答案】（1）证明见解析；（25【解析】（1）取BC 的中点为O ，连接AO ，由ABC V 是等边三角形，可得AO BC ⊥，//MN AO ，结合平面PBC ⊥平面ABC ，易证MN ⊥平面PBC ，从而可证明结论；（2）连接PO ，易知OA ，OB ，OP 两两垂直，以OA ，OB ，OP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -，然后分别求出平面BPC 、APC 的法向量，设二面角A PC B --为θ，则cos m nm nθ⋅=u r ru r r ，可求出答案.【详解】（1）如图，取BC 的中点为O ，连接AO . 因为ABC V 是等边三角形，所以AO BC ⊥. 由题意知//MN AO ，从而MN BC ⊥.因为平面PBC ⊥平面ABC ，平面PBC I 平面ABC BC =，MN BC ⊥， 所以MN ⊥平面PBC .又PB ⊂平面PBC ，所以MN PB ⊥.（2）如图，连接PO .因为PB PC =，所以PO BC ⊥.又平面PBC ⊥平面ABC ，平面PBC I 平面ABC BC =，PO BC ⊥， 所以PO ⊥平面ABC .所以OA ，OB ，OP 两两垂直.分别以OA ，OB ，OP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -.因为4PB PC BC ===，ABC V 为等边三角形，所以23PO AO ==，所以()23,0,0A ，()0,2,0C -，()0,0,23P ，从而()23,0,23PA =-uu r ，()0,2,23PC =--uu u r.设平面APC 的法向量(),,n x y z =r.由00n PA n PC ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v v u u u v v ，得232302230x z y z ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩，即3x z y z =⎧⎪⎨=-⎪⎩.可取()1,3,1n =-r . 取平面BPC 的一个法向量()1,0,0m =u r.设二面角A PC B --为θ，则()()2222221130105cos 5131100m nm nθ⨯+-⨯+⨯⋅===+-+⨯++u r r u r r . 由题意可知二面角A PC B --为锐角，故二面角A PC B --的余弦值为5.【点睛】本题考查空间线面的位置关系、向量法求二面角，考查空间想象能力、推理论证能力，属于基础题.19．由于工作需要，某公司准备一次性购买两台具有智能打印、扫描、复印等多种功能的智能激光型打印机.针对购买后未来五年内的售后，厂家提供如下两种方案： 方案一：一次性缴纳10000元，在未来五年内，可免费上门维修5次，超过5次后每次收取费用3000元；方案二：一次性缴纳14000元，在未来五年内，可免费上门维修7次，超过7次后每次收取费用1000元.该公司搜集并整理了200台这款打印机使用五年的维修次数，所得数据如下表所示：以这200台打印机使用五年的维修次数的频率代替1台打印机使用五年的维修次数的概率，记X 表示这两台智能打印机五年内共需维修的次数. （1）求X 的分布列及数学期望；（2）以两种方案产生的维修费用的期望值为决策依据，写出你的选择，并说明理由. 【答案】（1）详见解析（2）应使用方案一,详见解析【解析】（1）X 的所有可能取值为2，3，4，5，6，7，8，分别求出对应概率，列出分布列并求出数学期望即可；（2）分别求出两种方案产生的修理费用的分布列，进而可求出对应的期望值，比较二者大小可得出答案. 【详解】（1）依题意，1台打印机使用五年维修1次的概率为20120010=，维修2次的概率为5012004=，维修3次的概率为8022005=，维修4次的概率为5012004=. X 的所有可能取值为2，3，4，5，6，7，8，111(2)1010100P X ==⨯=，111(3)210420P X ==⨯⨯=， 11121257(4)2441051625400P X ==⨯+⨯⨯=+=，12111(5)22451044P X ==⨯⨯+⨯⨯=，22114157(6)25544258200P X ==⨯+⨯⨯=+=，211(7)2545P X ==⨯⨯=，111(8)4416P X ==⨯=.故X 的分布列为故2432045751006114780825() 5.6400E X ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯==.（2）设使用方案一，产生的费用为1Y 元，则1Y 的分布列为故()118157111000013000160001900012617.5400200516E Y =⨯+⨯+⨯+⨯=. 设使用方案二，产生的费用为2Y 元，则2Y 的分布列为故()()21151140001500014062.51616E Y E Y =⨯+⨯=>. 故应使用方案一. 【点睛】本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望在实际生活中的应用,考查学生的计算能力，属于基础题.20．已知抛物线：2:4y x Γ=，A ，B ，C ，D 四点都在抛物线Γ上. （1）若线段AC 的斜率为2，求线段AC 中点的纵坐标；（2）记()4,0R ，若直线AC ，BD 均过定点()2,0，且AC BD ⊥，P ，Q 分别为AC ，BD 的中点，证明：P ，Q ，R 三点共线.【答案】（1）1；（2）证明见解析【解析】（1）设()11,A x y ，()22,C x y ，分别代入抛物线方程并作差，结合线段AC 的斜率为2，可求出12y y +的值；（2）设出直线AC ，BD 的方程，分别与抛物线方程联立，结合韦达定理，可得到P ，Q 坐标的表达式，进而求得直线PQ 方程的表达式，结合AC BD ⊥，证明R 在直线PQ上即可. 【详解】（1）设()11,A x y ，()22,C x y ，由A ，C 在抛物线上，得21122244y x y x ⎧=⎨=⎩，两式相减可得()()()1212124y y y y x x +-=-. 由题意知，12x x ≠，所以12121242y y x x y y -==-+，则122y y +=，则线段AC 中点的纵坐标为1.（2）因为AC BD ⊥，故直线AC ，BD 的斜率存在且不为零.设直线1:2AC x m y =+，直线2:2BD x m y =+.易知10m ≠，20m ≠，12m m ≠.由2142y x x m y ⎧=⎨=+⎩，得21480y m y --=，则1214y y m +=. 设(),P P P x y .则12122P y y y m +==，2122P x m =+，即()21122,2P m m +. 同理可得，()22222,2Q m m +. 所以()()212212212212222PQ m m k m m m m -==++-+，则直线()211121:222PQ y m x m m m -=--+. 因为AC BD ⊥，所以12111m m ⋅=-，即121m m =-. 所以直线121:(4)PQ y x m m =-+，故直线PQ 过点R ，即P ，Q ，R 三点共线.【点睛】本题考查抛物线的方程、直线与抛物线的位置关系，考查运算求解能力、推理论证能力以及函数与方程思想，属于中档题.21．已知函数()(1)ln f x x x mx =++，()()e xf xg x x =. （1）若2m =-，求证：当1x >时，()2f x >-；（2）若函数()g x 在[]1,e 上单调递减，求实数m 的取值范围. 【答案】（1）证明见解析；（2）[)1,12,e ⎛⎤-∞--+∞ ⎥⎝⎦U 【解析】（1）2m =-时，求导并判断函数()f x 的单调性，可得()f x 在(0,)+∞上单调递增，即当1x >时，()()12f x f >=-； （2）构造函数()()f x h x x=，求导并判断单调性可得()h x '在[]1,e 上单调递增，可求出min ()h x 与max ()h x ，然后分min ()0h x ≥、max ()0h x ≤和min max 0()()h x h x <<三种情况讨论，使得()g x 在[]1,e 上单调递减所满足的条件，可求出实数m 的取值范围. 【详解】（1）依题意()(1)ln 2f x x x x =+-，定义域为()0,∞+，11()ln 2ln 1x f x x x x x +'=+-=+-. 令1()ln 1m x x x =+-，则22111()x m x x x x -'=-=.所以当01x <<时，()0m x '<，当1x >时，()0m x '>. 所以()m x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增.所以()(1)0m x m ≥=，即()0f x '≥，所以函数()f x 在(0,)+∞上单调递增. 所以当1x >时，()()12f x f >=-. （2）设()(1)ln 1()1ln f x x x mx h x x m x x x ++⎛⎫===++ ⎪⎝⎭，则2ln 1()x x h x x -+'=. 易知当[]1,e x ∈时，1ln x x +>，即()0h x '>，故()h x 在[]1,e 上单调递增. 所以min ()(1)h x h m ==，max 1()(e)1eh x h m ==++.①若(1)0h m =≥，则在[]1,e 上，()0e x h x ≥，所以11ln ()e xx m x g x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭=. 所以()2221ln 1()ex x x x mx x g x x -++-++'=. 令()22()1ln 1u x x x x mx x =-++-++.在[]1,e 上，要使()g x 单调递减，则()0g x '≤，从而()0u x ≤. 因为1()(12)ln (21)0u x x x m x x'=-+--+<，所以()u x 在[]1,e 上单调递减. 所以max ()(1)20u x u m ==-+≤，所以2m ≥.②若1(e)10e h m =++≤，即111e m ≤--<-，则在[]1,e 上，()0ex h x ≤， 所以11ln ()ex x m x g x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭=-，由①可知2()()e x u x g x x '=-. 所以当[]1,e x ∈时，()()()22222()1ln 11ln 11(1ln )0u x x x x mx x x x x x x x x x =-++-++>-+++++=++-≥，从而()0g x '<，所以()g x 在[]1,e 上单调递减.③若()()10e h h <<，则存在0(1,e)x ∈，使得()00h x =，从而()00g x =. 而(1)(1)0e h g =>，e (e)(e)0eh g =>，从而()g x 在区间[]1,e 上不单调递减. 综上所述，实数m 的取值范围为[)1,12,e ⎛⎤-∞--+∞ ⎥⎝⎦U . 【点睛】本题考查导数的计算，考查利用导数研究函数的性质，考查构造函数的数学思想，考查学生的推理论证能力，属于难题.22．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C的参数方程为2sin x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩（α为参数）.以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为sin 4πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，且l 与C 交于A ，B 两点，已知点M 的极坐标为()2,3π.（1）求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程，并求MA MB ⋅的值；（2）若矩形DEFG 内接于曲线C 且四边与坐标轴平行，求其周长的最大值.【答案】（1）曲线C 的普通方程为221124x y +=；直线的直角坐标方程为20x y -+=；4MA MB ⋅=（2）16【解析】（1）结合参数方程、极坐标方程及普通方程间的关系，转化即可求出曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；求出直线l 的参数方程的标准形式，并代入曲线C 的普通方程中，得到关于t 的一元二次方程，结合12MA MB t t ⋅=可求出答案；（2）设点D在第一象限，且(),2sin D αα，0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，可知矩形的周长为()42sin αα⋅+，利用三角函数的性质求最大值即可.【详解】 （1）依题意，得点M 的直角坐标为()2,0-，曲线C 的普通方程为221124x y +=.由直线:sin cos 22l ρθθ⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭20x y -+=.所以直线l的参数方程为222x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），代入221124x y +=中，可得240t -=，所以124MA MB t t ⋅==.（2）不妨设点D在第一象限，且(),2sin D αα，π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.由椭圆的对称性可知，矩形的周长为()1π42sin 16sin cos 16sin 23ααααα⎛⎛⎫⋅+=⋅+=+ ⎪ ⎝⎭⎝⎭. 而π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以当π6α=时，矩形DEFG 的周长取最大值，最大值为16. 【点睛】本题考查参数方程、极坐标方程及普通方程间的转化，考查直线的参数方程的应用，考查三角恒大变换，考查运算求解能力，属于基础题.23．已知0a >，0b >.（1）若0c >，证明24a b c ++≥+；（2）若a b >，证明：22221633222ab a b a b a ab b+--+≥-+. 【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】（1）由基本不等式可得：4a b +≥2a c +≥，24b c +≥，三个式子相加可得到结论；（2）经过变形，不等式左边2123()a ab =+--，故证明212()3()a b a b -+≥-即可，然后利用三个正数的基本不等式可证明结论.【详解】（1）依题意，4a b +≥，当且仅当4a b =时等号成立.2a c +≥，当且仅当2a c =时等号成立.24b c +≥，当且仅当24b c =时等号成立.三式相加可得，2282a b c ++≥+，即24a b c ++≥+，当且仅当24a b c ==时等号成立.（2）因为a b >，所以0a b ->. 而2222222163313()122232()()ab a b a b a a a a ab b a b a b +----+=+=+--+--. 要证21232()a b a b +-≥-，即证212()3()a b a b -+≥-， 即证21()()3()a b a b a b -+-+≥-，而21()()3()a b a b a b -+-+≥=-， 当且仅当21()a b a b =--，即1a b -=时等号成立， 所以22221633222ab a b a b a ab b+--+≥-+. 【点睛】本题考查证明不等式的方法、基本不等式的应用，考查推理论证能力以及化归与转化思想，属于中档题.。
(全国III卷)2020年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题参考答案
（3） 2 2 列联表如下：
人次 400
空气质量不好
33
空气质量好
22
人次 400 37 8
K2
100 338 37 222
5.820 3.841 ，
55 45 70 30
因此，有 95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关.
【点睛】本题考查利用频数分布表计算频率和平均数，同时也考查了独立性检验的应用，考
根据题意画出图形，如图
理科数学参考答案 7
| BP || BQ | ， BP BQ ， PMB QNB 90 ，
又 PBM QBN 90 ， BQN QBN 90 ，
PBM BQN ， 根据三角形全等条件“ AAS ”， 可得：△PMB △BNQ ，
x2 16 y2 1 ， 25 25
【解析】 【分析】
（1）根据频数分布表可计算出该市一天的空气质量等级分别为1、 2 、 3 、 4 的概率； （2）利用每组的中点值乘以频数，相加后除以100 可得结果；
（3）根据表格中的数据完善 2 2 列联表，计算出 K2 的观测值，再结合临界值表可得结论.
【详解】（1）由频数分布表可知，该市一天的空气质量等级为1的概率为 2 16 25 0.43 ， 100
（2）由错位相减法求解即可.
【详解】（1）由题意可得 a2 3a1 4 9 4 5 ， a3 3a2 8 15 8 7 ，
由数列an 的前三项可猜想数列an 是以 3 为首项，2 为公差的等差数列，即 an 2n 1，
证明如下：
当 n 1 时， a1 3成立；
假设 n k 时， ak 2k 1 成立.
机密★启用前
2020 年普通高等学校招生全国统一考试
2020高考数学(理)必刷试题+参考答案+评分标准 (96)
2020高考数学模拟试题（理科）第I卷选择题（共60分）一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
)1.已知复数与为共轭复数，其中，为虚数单位，则A. 1B.C.D.2.已知集合，则A. B. C. D.3.已知单位向量的夹角为，且，若向量m＝2-3，则|m|＝A. 9B. 10C. 3D.4.下列说法正确的是A. 若命题均为真命题，则命题为真命题B. “若，则”的否命题是“若”C. 在，“”是“”的充要条件D. 命题“”的否定为“”5.已知正项等比数列的前项和为，若，则A. B. C. D.6.已知函数.若不等式的解集中整数的个数为，则的取值范围是A. B. C. D.7.已知程序框图如图，则输出i的值为A. 7B. 9C. 11D. 13 8.曲线的一条切线l 与轴三条直线围成的三角形记为，则外接圆面积的最小值为 A.B.C.D.9.已知为实数，，若，则函数的单调递增区间为A. B. C.D.10.定义在R 上的函数()2,10{ ,01x x f x x x -≤<=≤<，且()()()12,2f x f xg x x +==-，则方程()()f x g x =在区间[]5,9-上的所有实数根之和最接近下列哪个数A. 14B. 12C. 11D. 10 11.如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为120°的扇形AOB ，C 是该小区的一个出入口，且小区里有一条平行于AO 的小路CD ．已知某人从O 沿OD 走到D 用了2分钟，从D 沿着DC 走到C 用了3分钟．若此人步行的速度为每分钟50米，则该扇形的半径的长度为A ．505B ．507．5011 D ．501912.()f x 是定义在R 上的奇函数，对x R ∀∈，均有()()2f x f x +=，已知当[)0,1x ∈时， ()21x f x =-，则下列结论正确的是（ ）A. ()f x 的图象关于1x =对称B. ()f x 有最大值1C. ()f x 在[]1,3-上有5个零点D. 当[]2,3x ∈时， ()121x f x -=-第II 卷 非选择题（共90分）二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分) 13.在中，已知，若，则周长的取值范围为__________．14.曲线在点（0,0）处的切线方程为______________；15.各项均为正数的等比数列的前项和为，已知，,则_____.16.已知且,则______。
2020高考数学(理)必刷试题+参考答案+评分标准 (72)
2020高考数学模拟试题（理科）第I 卷(选择题部分，共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
l.己知集合A ＝{x|lnx>0}，集合B ＝{x ∈N|(x －1)(x －5)≤0}，则A ∩B ＝ A.{0，l ，2，3，4，5} B.{l ，2，3，4，5} C.{l ，2，3，4} D.{2，3，4，5}2.下列函数中，在其定义域内是增函数且是奇函数的是A.y ＝xln|x|B.y ＝xcosxC.y ＝2x －2－x D.y ＝e x ＋e －x 3.设a ∈R ，则“y ＝sinax 周期为2π”是“a ＝1”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件 4.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a ＝1，3,6c A π==，则B ＝A.6π B.3π C.6π或2π D.3π或23π5.设函数f(x)在R 上可导，其导函数为f'(x)，且函数y ＝(x －l)f'(x)的图像如图所示，则下列结论中一定成立的是A.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)B.函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(1)C.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(－2)D.函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(2)6.已知函数g(x)是定义在R 上的偶函数，且在(0，＋∞)上单调递减，a ＝g(log 20.2)，b ＝g(20.2)，c ＝g(0.20.3)，则a ，b ，c 的大小关系为A.a<b<cB.a<c<bC.c<a<bD.b<c<a 7.若实数a 满足2log 13a<，则a 的取值范围是A.(23，1) B.(0，23)∪(1，＋∞) C.(1，＋∞) D.(23，1)∪(1，＋∞) 8.函数y ＝3|x|sin2x 的图像可能是9.若130,0,cos(),sin()2243422ππππβαβα<<-<<+=-=，则sin()2βα+= A.539-B.33C.539D.33- 10.设x ∈R ，函数f(x)单调递增，且对任意实数x ，有f[f(x)－e 2x ]＝e 2＋1(其中e 为自然对数的底数)，则f(ln2)＝A.e 2＋1B.3C.e 4＋1D.5 11.将函数y ＝cos2x 的图象向右平移(0)2πϕϕ<<个单位长度得到y ＝f(x)的图象。