正弦定理与余弦定理的应用(优秀课件)
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高教版中职数学《正弦定理与余弦定理》PPT课件
题
2 b c
27 1 0
所以
A36．
.
13
1．在△ABC中，B= 1 5 0 ，a=3 3 ，c=2，求b.
运 用
b 7.
知
识
2. 在△ABC中，三边之比 a:b:c3:5:7，求三角形最大内角.
强
化 练
B 35.
习
.
14
正弦定理、余弦定理的内容： 理
论
正弦定理：
升
a b c；
华
sin A sin B sin C
设与角A，B，C相对应的边长分别为a，b，c，故
探
a c o s ( 9 0 B ) 0 b c o s ( A 9 0 ) ， y
索
即 asinBbsinA ，
新
所以
a b． sin A sin B
知
即
a b c． sinA sinB sinC
C
ba
j
Ac B x
.
3
当三角形为锐角三角形时，同样可以得到这个结论.于是得到
脑 思
B C • B C （ A C A B ） • （ A C A B )
B
22
A C A B 2 A C •A B
考
2
2
A CA B2A CA Bco sA
探
b2c22bccosA．
索 新
即 a2b2c22bccosA
A
C
知
同理可得 b2a2c22accosB
c2a2b22abcosC
.
动 正弦定理：
脑
在三角形中，各边与它所对的角的正弦之比相等.
思 考
即
a b c． sinA sinB sinC
正弦定理和余弦定理 (共35张PPT)
2 2 2 2 2
考向二 判断三角形的形状[互动讲练型] [例 2] 在△ABC 中，内角 A、B、C 所对边分别是 a、b、c， c－a 2B 若 sin 2 ＝ 2c ，则△ABC 的形状一定是________． 1－cos B c－a a [解析] 由题意，得 ＝ 2c ，即 cos B＝ c，又由余 2 2 2 2 a ＋ c － b a 弦定理，得c ＝ 2ac ，整理，得 a2＋b2＝c2，所以△ABC 为 直角三角形． [答案] 直角三角形
2．(2017· 辽宁五校联考)设△ABC 的内角 A，B，C 所对边的 长分别为 a， b， c， 若 b＋c＝2a,3sin A＝5sin B， 则角 C 等于( ) 2π π 3π 5π A. 3 B.3 C. 4 D. 6 解析：因为 3sin A＝5sin B，所以由正弦定理可得 3a＝5b. 3 7 因为 b＋c＝2a，所以 c＝2a－5a＝5a.令 a＝5，b＝3，c＝7，则 由余弦定理 c2＝a2＋b2－2abcos C，得 49＝25＋9－2×3×5cos 1 2π C，解得 cos C＝－2，所以 C＝ 3 . 答案：A
[拓展练]——(着眼于迁移应用) 6．(2016· 浙江)在△ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，已知 b＋c＝2acos B. (1)证明：A＝2B； a2 (2)若△ABC 的面积 S＝ 4 ，求角 A 的大小．
考向一 应用正弦、余弦定理解三角形 [自主练透型] [例 1] (2016· 山东，16)在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分 tan A tan B 别为 a，b，c.已知 2(tan A＋tan B)＝cos B＋cos A. (1)证明：a＋b＝2c； (2)求 cos C 的最小值．
考向二 判断三角形的形状[互动讲练型] [例 2] 在△ABC 中，内角 A、B、C 所对边分别是 a、b、c， c－a 2B 若 sin 2 ＝ 2c ，则△ABC 的形状一定是________． 1－cos B c－a a [解析] 由题意，得 ＝ 2c ，即 cos B＝ c，又由余 2 2 2 2 a ＋ c － b a 弦定理，得c ＝ 2ac ，整理，得 a2＋b2＝c2，所以△ABC 为 直角三角形． [答案] 直角三角形
2．(2017· 辽宁五校联考)设△ABC 的内角 A，B，C 所对边的 长分别为 a， b， c， 若 b＋c＝2a,3sin A＝5sin B， 则角 C 等于( ) 2π π 3π 5π A. 3 B.3 C. 4 D. 6 解析：因为 3sin A＝5sin B，所以由正弦定理可得 3a＝5b. 3 7 因为 b＋c＝2a，所以 c＝2a－5a＝5a.令 a＝5，b＝3，c＝7，则 由余弦定理 c2＝a2＋b2－2abcos C，得 49＝25＋9－2×3×5cos 1 2π C，解得 cos C＝－2，所以 C＝ 3 . 答案：A
[拓展练]——(着眼于迁移应用) 6．(2016· 浙江)在△ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，已知 b＋c＝2acos B. (1)证明：A＝2B； a2 (2)若△ABC 的面积 S＝ 4 ，求角 A 的大小．
考向一 应用正弦、余弦定理解三角形 [自主练透型] [例 1] (2016· 山东，16)在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分 tan A tan B 别为 a，b，c.已知 2(tan A＋tan B)＝cos B＋cos A. (1)证明：a＋b＝2c； (2)求 cos C 的最小值．
精选 3 余弦定理、正弦定理的应用完整教学课件PPT
【训练 3】 如图，在海岸 A 处发现北偏东 45°方向，距 A 点( 3－1) n mile 的 B 处有一艘走私船，在 A 处北偏西 75°方向，与 A 距离 2 n mile 的我方缉私船，奉 命以 10 3 n mile/h 的速度追截走私船，此时走私船正以 10 n mile/h 的速度，从 B 处向北偏东 30°方向逃窜，问：缉私船沿什么方向行驶才能最快截获走私船？
45 km后，看见灯塔在正西方向，那么这时船与灯塔的距离是( )
A.15 3 km
B.30 km
C.15 km
解析 设灯塔位于A处，船开始的位置为B，航行45 km后到C
D.15 2 km
处，如下图.
∵∠DBC＝60°，∠ABD＝30°，BC＝45，
∴∠ABC＝60°－30°＝30°，∠BAC＝180°－60°＝120°.
题型探究
题型三 【例 3】
角度问题
明确方向角及方位角的概念，准确作出图形是解决此类问题的关键 某海上养殖基地 A，接到气象部门预报，位于基地南偏东 60°相距 20( 3＋1)
海里的海面上有一台风中心，影响半径为 20 海里，正以每小时 10 2海里的速度沿某
一方向匀速直线前进，预计台风中心将从基地东北方向刮过且( 3＋1)小时后开始影响
＝（30
52）×23＋0 （5×2020101）02－502＝6
6 000 000
＝ 2
22，
又0°<∠CAD<180°，所以∠CAD＝45°，
所以从顶端A看建筑物CD的张角为45°.
答案 45°
11.3 余弦定理、正弦定理的应用
情景引入
珠穆朗玛峰是喜马拉雅山脉的主峰，海拔8 848.13米，29 029英 尺(此数据是在国家测绘局第一大地测量队的协助下，于1975年 测定的，1992年又对其进行了复测)，是地球上的第一顶峰，位 于东经86.9°，北纬27.9°. 问题 8 848.13米——这个珠峰原“身高〞是如何测定的？ 提示 对于那次珠峰测高过程中我国所采用的技术与方法，我们可能感到不可思议， 简单来说，那就是数字的测量与解三角形的应用.
45 km后，看见灯塔在正西方向，那么这时船与灯塔的距离是( )
A.15 3 km
B.30 km
C.15 km
解析 设灯塔位于A处，船开始的位置为B，航行45 km后到C
D.15 2 km
处，如下图.
∵∠DBC＝60°，∠ABD＝30°，BC＝45，
∴∠ABC＝60°－30°＝30°，∠BAC＝180°－60°＝120°.
题型探究
题型三 【例 3】
角度问题
明确方向角及方位角的概念，准确作出图形是解决此类问题的关键 某海上养殖基地 A，接到气象部门预报，位于基地南偏东 60°相距 20( 3＋1)
海里的海面上有一台风中心，影响半径为 20 海里，正以每小时 10 2海里的速度沿某
一方向匀速直线前进，预计台风中心将从基地东北方向刮过且( 3＋1)小时后开始影响
＝（30
52）×23＋0 （5×2020101）02－502＝6
6 000 000
＝ 2
22，
又0°<∠CAD<180°，所以∠CAD＝45°，
所以从顶端A看建筑物CD的张角为45°.
答案 45°
11.3 余弦定理、正弦定理的应用
情景引入
珠穆朗玛峰是喜马拉雅山脉的主峰，海拔8 848.13米，29 029英 尺(此数据是在国家测绘局第一大地测量队的协助下，于1975年 测定的，1992年又对其进行了复测)，是地球上的第一顶峰，位 于东经86.9°，北纬27.9°. 问题 8 848.13米——这个珠峰原“身高〞是如何测定的？ 提示 对于那次珠峰测高过程中我国所采用的技术与方法，我们可能感到不可思议， 简单来说，那就是数字的测量与解三角形的应用.
正弦定理、余弦定理的应用PPT教学课件
二、应 用: 求三角形中的某些元素
解三角形
实例讲解
例1、如下图,设A、B两点在河的两岸，要测量两点之间的距
离。测量者在A的同侧，BAC 51, ACB 75, 在所在的河岸
边选定一点C，测出AC的距离是55 m，求点A、B两点间的
距离（精确到0.1 m).
B
想一想
分 析：在本题中直接给出了数学模型（A三角形），要求A、C B间距离，相当于在三角形中求某一边长？
奴隶社会走向崩溃。
战国时期，社会经济继续向前发展，各诸侯国 新兴地主阶级进行了不同程度的变法，使封建 制度逐步得到确立。其中，以秦国的商鞅变法 最为彻底。春秋战国时期，诸侯争战连绵不断， 给广大劳动人民带来严重灾难，但客观上又促
进了民族融合，符合人民渴望统一的愿望。
大的冶炼场有工匠几百人
c.冶铁中心
楚国的宛、赵国的邯郸
②煮盐业山东海盐、山西的池盐和石盐
③手工艺品
丝麻织品、漆器
3.商业的兴盛 ①种类繁多
②封建城市兴起 齐国 临淄 赵国 邯郸 楚国 郢 魏国 大梁
小结：
春秋战国时期是我国奴隶社会瓦解，封建社会 形成时期。春秋时期，周王室不再受到尊崇， 出现诸侯争霸的局面，此时因铁器和牛耕的使 用，生产力得到发展，私田增多，井田制瓦解，
想一想
有其他解法？
实例讲解
想一想
如果对例1的题目进行修改：点A、B都在河的对岸
且不可到达，那又如何求A、B两点间的距离？请同
学们设计一种方法求A、B两点间的距离。（如图）
A
B
分析：象例1一样构造三角形，利
用解三角形求解。
D
C
实例讲解
解：测量者可以在河岸边选定两点Ｃ、Ｄ，测的ＣＤ＝a
解三角形
实例讲解
例1、如下图,设A、B两点在河的两岸，要测量两点之间的距
离。测量者在A的同侧，BAC 51, ACB 75, 在所在的河岸
边选定一点C，测出AC的距离是55 m，求点A、B两点间的
距离（精确到0.1 m).
B
想一想
分 析：在本题中直接给出了数学模型（A三角形），要求A、C B间距离，相当于在三角形中求某一边长？
奴隶社会走向崩溃。
战国时期，社会经济继续向前发展，各诸侯国 新兴地主阶级进行了不同程度的变法，使封建 制度逐步得到确立。其中，以秦国的商鞅变法 最为彻底。春秋战国时期，诸侯争战连绵不断， 给广大劳动人民带来严重灾难，但客观上又促
进了民族融合，符合人民渴望统一的愿望。
大的冶炼场有工匠几百人
c.冶铁中心
楚国的宛、赵国的邯郸
②煮盐业山东海盐、山西的池盐和石盐
③手工艺品
丝麻织品、漆器
3.商业的兴盛 ①种类繁多
②封建城市兴起 齐国 临淄 赵国 邯郸 楚国 郢 魏国 大梁
小结：
春秋战国时期是我国奴隶社会瓦解，封建社会 形成时期。春秋时期，周王室不再受到尊崇， 出现诸侯争霸的局面，此时因铁器和牛耕的使 用，生产力得到发展，私田增多，井田制瓦解，
想一想
有其他解法？
实例讲解
想一想
如果对例1的题目进行修改：点A、B都在河的对岸
且不可到达，那又如何求A、B两点间的距离？请同
学们设计一种方法求A、B两点间的距离。（如图）
A
B
分析：象例1一样构造三角形，利
用解三角形求解。
D
C
实例讲解
解：测量者可以在河岸边选定两点Ｃ、Ｄ，测的ＣＤ＝a
高三一轮总复习高效讲义第4章第6节正弦定理、余弦定理及应用举例课件
[对点练]
1．在△ ABC中，c－2ca
＝sin
2B 2
(a，b，c分别为角A，B，C的对边)，则
△ ABC的形状为( )
A．直角三角形
B．等边三角形
C．等腰三角形或直角三角形 D．等腰直角三角形
解析：由cos
B＝1－2sin
2B 2
得sin
2B 2
＝1－co2s
B ，所以c－2ca ＝1－co2s
AE sin sin
45° 30°
＝
2AB cos 15°
，因此CD＝AD
sin
60°＝ cos
2×10 （45°－30°）
×sin 60°＝10(3－ 3 )．
答案：10(3－ 3 )
备考第 2 步——突破核心考点，提升关键能力
考点1 利用正弦定理、余弦定理解三角形[自主演练]
1．△ ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a sin A－b sin B＝4c sin
答案：BC
4．在△ ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝4，b＝5，b>c， △ ABC的面积为5 3 ，则c＝________．
解析：由三角形面积公式，得12 ×4×5sin C＝5 3 ，
即sin
C＝
3 2
．又b>a，b>c，所以C为锐角，于是C＝60°．
由余弦定理，得c2＝42＋52－2×4×5cos 60°，解得c＝ 21 ．
3．(多选)在△ ABC中，角A，B，C所对的各边分别为a，b，c，若a＝1，b＝ 2 ，
A＝30°，则B等于( )
A．30°
B．45°
C．135°
D．150°
解析：根据正弦定理sina A ＝sinb B 得，
正弦定理余弦定理的应用PPT教学课件
c 6
SABC
1 absinC 2
1 2 2
3 2
3 2
游恒山 记
----徐霞客
徐霞客，名弘祖，字振之，霞客是他的别 号，江阴人（今江苏江阴）。明朝著名的 地理学家、旅行家。
从1607年起，他做过 十多次旅行，时间先 后延续30多年，在旅 途中，他把每天的经 历和考察所得用日记 的形式记载了下来， 写成了一部对地理学 有重大贡献的著作 《徐霞客游记》。
法一：由正弦定理得：a bsin A 2bcosC sinB
法二：由余弦定理得：cosC a2 b2 c2 a
2ab
2b
ABC为等腰三角形
在判断三角形形状时，主要通过三角形边或角之间关 系进行判断，将已值条件利用正弦定理统一为角的关 系，或用余弦定理统一为边的关系，有时也可以结合 两者运用。
把……作为房
右 上， 有石窟，倚而室之。屋
的右面上去，有石窟，就着改成一间屋子，
动词，
曰会仙台，台中像塑造 群仙，环 列 叫会仙台，台中雕塑着群仙，四周排列紧密
我
无 隙， 余 时 欲 跻 危崖，登 绝顶。
没有空隙，我这时候想攀上高崖，登上绝顶。
同
还过“环岳”殿，东， 望 两 崖 断
处，
转过北岳殿东，望见两座高崖裂开的地方，
向……方
望而 趋向，走 乃 上 时
寝宫后
朝那个方向走，就是上山时所见的寝宫后的
危崖顶。未几， 果 得 径。南 高崖顶。不一会儿，果然找到一条路。往南
经 松柏林，先从 顶上望松柏 葱 经过松柏林，先前从山顶上望松柏是一片青
青，如 蒜叶 草茎， 至 此 则 葱，好像是蒜苗小草一样，到了这里一看却
合抱 参天，
正弦定理和余弦定理应用举例_教学课件
[例1] 如右图，南山上原有一条笔直的山路BC， 现在又新架了一条索道AC，小李在山脚B处看索 道，发现张角∠ABC＝120°，从B处攀登400米 到 达 D 处 ， 回 头 看 索 道 ， 发 现 张 角 ∠ ADC ＝ 160°，从D处再攀登800米到达C处，问索道AC 长多少？(精确到米，使用计算器计算)
[思路探究] 本题中吊车能把球形工件吊起的高 度y取决于吊臂的张角θ，即∠DFA，因此用θ来 表示图中各边之长，再由导数法求其最值．
[课堂记录] 设物件能被吊车吊起的高度为 y，由上图 2 可知， y＝AB＋1.5＝AD－OD－OB＋1.5
＝DFsinθ－cos3θ－ 3＋1.5＝12sinθ－cos3θ－ 3＋1.5，
[解] 方案一：①需要测量的数据有：A 点到 M、N 点的俯角 α1、β1；B 点到 M、N 的俯角 α2、β2；A、B 间的距离 d(如右图所 示)．
②第一步：计算 AM.由正弦定理得 AM＝sindsαi1n＋α2α2； 第二步：计算 AN.由正弦定理得 AN＝sindβsi2n－β2β1；
第三步：计算 MN.由余弦定理得 MN＝ AM2＋AN2－2AM×ANcosα1－β1. 方案二：①需要测量的数据有： A 点到 M、N 点的俯角 α1、β1；B 点到 M、N 点的俯角 α2、β2； A、B 的距离 d(如图所示)． ②第一步：计算 BM. 由正弦定理得 BM＝sindsαi1n＋α1α2；
答案：A
3．在200 m高的山顶上，测得山下一塔的塔顶 与 塔 底 的 俯 角 分 别 是 30° 、 60° ， 则 塔 高 为 ________ m.
解析：如右图所示，设塔高为 h m.
由题意及图可知：
(200－h)·tan60°＝ta2n0600°，