ppt-有限元法
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有限元分析与应用——第一章 PPT课件
0
0
k2u2 k2u3 k3u3 k3u4
k3u3 k3u4 k4u4 k4u5 0
k4u4 k4u5 P
写成矩阵的形式为
k1
=
k1 k1 k2 k2 0 0
k1 k1 0 0 0
0 k2 k 2 k3 k3 0
k1 k1 k2 k2 0 0
有限元方法与ANSYS简介
有限元方法是用于求解工程中各类问题的数值方法，应 力分析中稳态的、瞬态的、线性的或非线性的问题以及热传导、 流体流动和电磁学中的问题都可以用有限元方法进行分析解决。 现代有限元方法的20世纪早期开始，20世纪50年代，boeing公司 采用三角元对机翼进行建模，推动了有限元方法的应用。到20 世纪60年代，人们接受了“有限元”这个词。 ANSYS是一个通用的有限元计算机程序，其代码长度超 过10万行。应用ANSYS可以进行静态、动态、热传导、流体流 动和电磁学等分析。在过去的20多年里，ANSYS是主要的有限 元分析程序。现在ANSYS被广泛应用在如航天、汽车、电子、 核科学等领域。
第一章 概述
有限元方法是广泛用于解决应力分析、热传 递、电磁场和流体力学等工程问题的数值方 法。
本章的内容
（1）工程问题 （2）数值方法 （3）有限元方法与ANSYS简介 （4）有限元方法的基本步骤 （5）直接公式法 （6）最小总势能公式 （7）加权余数法 （8）结果的验证 （9）理解问题
工程问题
0
R1 0 0 0 0
0 k2 k 2 k3 k3 0
0 k3 k3 k 4 k4
0 u1 0 0 u 2 0 0 u3 0 k4 u 4 0 k4 P u5
弹性力学有限元法.ppt
2021/3/11
13
在离散体中任取一个单元，三个节点按逆时针方向顺序编
号为i，j，m。节点坐标分别表示为（xi，yi），（xj，yj）， （xm，ym）。
2021/3/11
14
对于弹性力学平面问题，一个三角形单元上的每 个节点应有2个位移分量，则三角形单元共有6个自 由度： ui , vi ,u j , v j ,um , vm 。
u x
K
矩形单元：采用双线性位移模式，单元内的应力是线性
变化的。
u kx2 mx
(kx2 mx) x
3. 薄板弯曲单元和薄板单元
2021/3/11
7
4. 多面体单元
2021/3/11
8
5. 等参数单元：单元内任一点的位移与节点位移之间的关系 恰好和该点的坐标与节点坐标之间的关系相同。
任意四边形的边一般不平行于坐标轴，沿单元边的位 移将按抛物线变化，而不是线性变化。
2021/3/11
2
（2）分析单元的力学性质 列出单元节点和节点位移之间的关系式。应用几何方程和
物理方程来建立力和位移的方程式，导出单元刚度矩阵。
节点载荷和节点位移之间的关系式为：
Fe Kee
K e 为单元刚度矩阵。
（3）计算等效节点力：用等效的节点力来代替所有在单元 上的力。
2021/3/11
元位移模式。
u(x, v(x,
y) y)
Ni
(x, 0
y)
0 N j (x, y) Ni (x, y) 0
0 Nm (x, y) N j (x, y) 0
0
Nm
(
x,
y)
u Ne
2021/3/11
18
有限元分析方法32页PPT
40、学而不思则罔，思而不学则殆。——孔子
谢谢！
36、自己的鞋子，自己知道紧在哪里。——西班牙
37、我们唯一不会改正的缺点是软弱。——拉罗什福科
xiexie! 38、我这个人走得很慢，但是我从不后退。——亚伯拉罕·林肯
39、勿问成功的秘诀为何，且尽全力做你应该做的事吧。——美华纳
有限元分析方法
•
6、黄金时代是在我们的前面，而不在 我们的 后面。
•
7、心急吃不了热汤圆。
•
8、你可以很有个性，但某些时候请收 敛。
•
9、只为成功找方法，不为失败找借口 (蹩脚 的工人 总是说 工具不 好)。
•
10、只要下定决心克服恐惧，便几乎 能克服 任何恐 惧。因 为，请 记住， 除了在 脑海中 ，恐惧 无处藏 身。-- 戴尔． 卡耐基 。
有限元分析方法简介31页PPT
有限元分析方法简介
36、“不可能”这个字(法语是一个字 )，只 在愚人 的字典 中找得 到。--拿 破仑。 37、不要生气要争气，不要看破要突 破，不 要嫉妒 要欣赏 ，不要 托延要 积极， 不要心 动要行 动。 38、勤奋，机会，乐观是成功的三要 素。(注 意：传 统观念 认为勤 奋和机 会是成 功的要 素，但 是经过 统计学 和成功 人士的 分析得 出，乐 观是成 功的第 三要素 。
39、没有不老的誓言，没有不变的承 诺，踏 上旅途 ，义无 反顾。 40、对时间的价值没有没有深切认识 的人， 决不会 坚韧勤 勉。
31、只有永远躺在泥坑里的人，才不会再掉进坑里。——黑格尔 32、希望的灯一旦熄灭，生活刹那间变成了一片黑暗。——普列姆、形成天才的决定因素应该是勤奋。——郭沫若 35、学到很多东西的诀窍，就是一下子不要学很多。——洛克
有限元法及应用课件
13
载荷
节点: 空间中的坐标位置，具有 一定相应，相互之间存在物理 作用。 单元: 节点间相互作用的媒介， 用一组节点相互作用的数值矩阵 描述（称为刚度或系数矩阵)。
载荷
有限元模型由一些简单形状的单元组成，单 元之间通过节点连接，并承受一定载荷。
14
对于一个具体的工程结构，单元的划分越小， 求解的结果就越精确，同时，其计算工作量也就越 大。 梯子的有限元模型不到100个方程；
34
3）非线性边界 在加工、密封、撞击等问题中，接触和摩擦 的作用不可忽视，接触边界属于高度非线性边界。 平时遇到的一些接触问题，如齿轮传动、冲 压成型、轧制成型、橡胶减振器、紧配合装配等， 当一个结构与另一个结构或外部边界相接触时通 常要考虑非线性边界条件。 实际的非线性可能同时出现上述两种或三种 非线性问题。
10
2.几个基本概念 1）单元（element） 将求解的工程结构看成是 由许多小的、彼此用点联结的 基本构件如杆、梁、板和壳组 成的，这些基本构件称为单元。 在有限元法中，单元用一 组节点间相互作用的数值和矩 阵（刚度系数矩阵）来描述。
11
单元具有以下特征：
每一个单元都有确定的方程来描述在一定载荷 下的响应； 模型中所有单元响应的“和”给出了设计的总 体响应； 单元中未知量的个数是有限的，因此称为“有
限单元”。
12
2）节点（node） 单元与单元之间的联结点，称为节点。在有 限元法中，节点就是空间中的坐标位置，它具有 物理特性，且存在相互物理作用。 3）有限元模型（node） 有限元模型真实系统理想化的数学抽象。由 一些形状简单的单元组成，单元之间通过节点连 接，并承受一定载荷。 每个单元的特性是通过一些线性方程式来描 述的。作为一个整体，所有单元的组合就形成了 整体结构的数学模型。
载荷
节点: 空间中的坐标位置，具有 一定相应，相互之间存在物理 作用。 单元: 节点间相互作用的媒介， 用一组节点相互作用的数值矩阵 描述（称为刚度或系数矩阵)。
载荷
有限元模型由一些简单形状的单元组成，单 元之间通过节点连接，并承受一定载荷。
14
对于一个具体的工程结构，单元的划分越小， 求解的结果就越精确，同时，其计算工作量也就越 大。 梯子的有限元模型不到100个方程；
34
3）非线性边界 在加工、密封、撞击等问题中，接触和摩擦 的作用不可忽视，接触边界属于高度非线性边界。 平时遇到的一些接触问题，如齿轮传动、冲 压成型、轧制成型、橡胶减振器、紧配合装配等， 当一个结构与另一个结构或外部边界相接触时通 常要考虑非线性边界条件。 实际的非线性可能同时出现上述两种或三种 非线性问题。
10
2.几个基本概念 1）单元（element） 将求解的工程结构看成是 由许多小的、彼此用点联结的 基本构件如杆、梁、板和壳组 成的，这些基本构件称为单元。 在有限元法中，单元用一 组节点间相互作用的数值和矩 阵（刚度系数矩阵）来描述。
11
单元具有以下特征：
每一个单元都有确定的方程来描述在一定载荷 下的响应； 模型中所有单元响应的“和”给出了设计的总 体响应； 单元中未知量的个数是有限的，因此称为“有
限单元”。
12
2）节点（node） 单元与单元之间的联结点，称为节点。在有 限元法中，节点就是空间中的坐标位置，它具有 物理特性，且存在相互物理作用。 3）有限元模型（node） 有限元模型真实系统理想化的数学抽象。由 一些形状简单的单元组成，单元之间通过节点连 接，并承受一定载荷。 每个单元的特性是通过一些线性方程式来描 述的。作为一个整体，所有单元的组合就形成了 整体结构的数学模型。
《有限单元法》PPT课件
➢有限单元法的应用
（2）在土力学、岩石力学、基础工程学等方 面，用来研究填筑和开挖问题、边坡稳定性问 题、土壤与结构的相互作用，坝、隧洞、钻孔、 涵洞、船闸等的应力分析，土壤与结构的动态 相互作用，应力波在土壤和岩石中的传播问题。
（3）在流体力学、水利工程学等方面，研究 流体的势流、流体的粘性流动、蓄水层和多孔 介质中的定常（非定常）渗流、水工结构和大 坝分析，流体在土壤和岩石中的稳态渗流，波 在流体中传播，污染的扩散问题。
➢有限单元法的特性
计算精度的可信性
随着单元数目的增加，近似解不断趋近于精确解。
计算的高效性
适合于计算机编程实现。
➢有限单元法的分析过程
结构物的离散
划分 单元
数据 建立 编码 信息 坐标
单 元 类 型 选 最 优 化 单 最 优 化 单 合适的坐标
择 （ 形 状 、 元 结 点 编 元 结 点 编 系（直角、
建立离散化 计算模型
（二维问题） （三维问题） （二阶问题） （四阶问题） （杆系问题） （组合体问题） （梁弯曲问题） （板弯曲问题）
单元分析 (科学规律)
形成总体方程 （组装总刚度阵） （组装载荷阵）
基础理论 (变分原理) (分片插值)
约束条件处理 (灵活、易错)
有限元方法的组成模块
解方程 (数值积分) (代数方程求解)
结点数等） 码
码
柱、球坐标）
➢有限单元法的分析过程
单元分析（结点位移与结点力的关系）
单元位 移模式
单元特 性分析
单元载 荷分析
形函数
单元刚度矩阵
等效荷载矩阵
➢有限单元法的分析过程
整体分析（结点位移与结点力的关系）
单元刚 度矩阵
有限元分析ppt
分 片 近 似位
移 函 数
m(xm ym ) Fmy
vm um
vi i(xi yi )
Fmx ui
vj
y
Fix x
Fiy
uj
j(xj yj)
单 元 平 衡单
刚 方 程
整 体 平 衡总
刚 方 程
方
程
求 解
节 点 位
移
函
数
阶梯轴（梁）
A E (1)
(1)
A E (2) (2)
F
1
2
3
3
Φ1
Φ2
Φ3
l(1)
ui
vi
u
v
j j
um
vm
Fxi
Fyi
F
Fxj Fyj
Fxm Fym
y
vm
m
um vj
vi
j uj
i
ui
Fym
m
Fyi
i
Fxm Fyj
j Fxj Fxi
x
平面应变板单元
1.2.3 .1 单元刚度的概念 单元分析的主要工作是：通过研究单元力和单元位移
之间关系，建立单元刚度矩阵。 对任意单元而言，描述单元力和单元位移之间关系的
l(2)
F1
F2
F3
分为两个单元，共有三个节点。整体结构中，节点 载荷F及节点位移Φ都用大写。其脚标为节点在总体 结构中的编码，简称为总码。
1.1 有限元法概述
二．一个简单的应用实例
1. 离散化
① 局部码：各单元内，节点的编码； ② 各节点的位移分量及载荷分量分别用小写φ及f标记 ③ 所有节点位移的集合为该单元节点位移矢量{φ}，节
《有限元数学原理》PPT课件
d 2 v dx2
求解方程 得EId dx4v4 p(x)0
v (x ) E 1 I 2 p 4 0x 4 c 3 x 3 c 2 x 2 c 1 x 1
其中c1,c2,c3是待定系数。最后可 得
v (x )p 0 x 4 2 lx 3 l3 x 2 4 E I
讨论
U 1 2
在当代，变分原理已成为有限元法的理论基础，而广义 变分原理已成为混合和杂交有限元的理论基础。在实际 应用中，通常很少能求出精确的解析解，因此大多采用 近似计算方法。
对于泛函
n
yx ii
1）假定
i1
yx
0
2）将上式代入泛函 ，计算变分 。
i
3）由极值条件，算出待y定x常n数ii ，使之满足基本微分方程。
U
d x
0 xx
应变余能
U
d x
0x x
U W 0
有限元上的应用（位移法）： 假设单元位移模式 单元刚度方程
间接解法——变分原理：
把一个物理学问题用变分法化为求泛函极值（或驻值） 的问题，后者就称为该物理问题的变分原理。如果建立 了一个新的变分原理，它解除了原有的某问题变分原理 的某些约束条件，就称为该问题的广义变分原理；如果 解除了所有的约束条件，就称为无条件广义变分原理， 或称为完全的广义变分原理。
ijij
d
1 2
l
0xxdAdx
应变能
1 2
l
0
EyvyvdAdx
1 2
l EIZ v2 dx
外力功
Wlp(x)v(x)dx
势能 U W 1 2 lE I Z v 2 d x lp ( x ) v ( x ) d x
有限元分析步骤-单元分析
有限元方法课件第四章平面三角形单元
（i , j , m轮换） (4-15)
(4-14)
(4-13)
四、应 力
求得应变之后，再将（4-13）式代入物理方程 ， 便可推导出以节点位移表示的应力。即
(4-16)
(h)
(4-17)
令
则
其中 [S]叫做应力矩阵，若写成分块形式，有
(4-11)
也可写成矩阵。将 (e) 、(f) 两式代入上式，即得： 有了单元的位移模式，就可以利用平面问题的几何方程
三、应 变
可简写成
其中 [B] 矩阵叫做单元应变矩阵，可写成分块形式
而子矩阵
由于和bi 、bj 、bm 、ci 、cj 、cm 等都是常量，所以矩阵[B]中的诸元素都是常量，因而单元中各点的应变分量也都是常量，通常称这种单元为常应变单元。
不难验证，面积坐标与直角坐标之间存在以下变换关系：
(4-27)
01
02
03
04
05
06
STEP 01
STEP 02
当面积坐标的函数对直角坐标求导时，可利用下列公式：
(4-28)
一. 单元刚度矩阵
为了推导单元的节点力和节点位移之间的关系，可应用虚位移原理对图4-2中的单元e进行分析。单元e是在等效节点力的作用下处于平衡的，而这种节点力可采用列阵表示为
04
03
起来，便可近似地表示整个区域的真实位移函数。这种化繁为简、联合局部逼近整体的思想，正是有限单元法的绝妙之处。
01
基于上述思想，我们可以选择一个单元位移模式，单元内各点的位移可按此位移模式由单元节点位移通过插值而获得。线性函数是一种最简单的单元位移模式，故设
02
(c)
由 (c) 式左边的三个方程可以求得
(4-14)
(4-13)
四、应 力
求得应变之后，再将（4-13）式代入物理方程 ， 便可推导出以节点位移表示的应力。即
(4-16)
(h)
(4-17)
令
则
其中 [S]叫做应力矩阵，若写成分块形式，有
(4-11)
也可写成矩阵。将 (e) 、(f) 两式代入上式，即得： 有了单元的位移模式，就可以利用平面问题的几何方程
三、应 变
可简写成
其中 [B] 矩阵叫做单元应变矩阵，可写成分块形式
而子矩阵
由于和bi 、bj 、bm 、ci 、cj 、cm 等都是常量，所以矩阵[B]中的诸元素都是常量，因而单元中各点的应变分量也都是常量，通常称这种单元为常应变单元。
不难验证，面积坐标与直角坐标之间存在以下变换关系：
(4-27)
01
02
03
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05
06
STEP 01
STEP 02
当面积坐标的函数对直角坐标求导时，可利用下列公式：
(4-28)
一. 单元刚度矩阵
为了推导单元的节点力和节点位移之间的关系，可应用虚位移原理对图4-2中的单元e进行分析。单元e是在等效节点力的作用下处于平衡的，而这种节点力可采用列阵表示为
04
03
起来，便可近似地表示整个区域的真实位移函数。这种化繁为简、联合局部逼近整体的思想，正是有限单元法的绝妙之处。
01
基于上述思想，我们可以选择一个单元位移模式，单元内各点的位移可按此位移模式由单元节点位移通过插值而获得。线性函数是一种最简单的单元位移模式，故设
02
(c)
由 (c) 式左边的三个方程可以求得
有限元分析过程概要ppt
有限元分析过程概要
4、有限元分析的特点
有限元分析的最大特点就是标准化 规范化 标准化和规范化 标准化 规范化，这种特点使得大规模分 析和计算成为可能，当采用了现代化的计算机以及所编制的软件作为实现 平台时，则复杂工程问题的大规模分析成为可能。 实现有限元分析标准化和规范化的载体就是单元 单元，这就需要我们构建 单元 起各种各样的具有代表性的单元，一旦有了这些单元，就好像建筑施工中 有了一些标准的预制构件(如梁、楼板等)，可以按设计要求搭建出各种各 样的复杂结构，如图2-11所示
同时根据作用力与反作用力的关系，有
，进而有：
有限元分析过程概要
对于等截面杆受拉伸的情况，杆件①、 ②的应力分别为：
由虎克定律(Hooke law)得杆件①、②的应变分别为：
有限元分析过程概要
杆件①、②的相对伸长量分别为
由于左端A为固定，则该点沿x方向的位移为零，而B点的位移 则为杆件①的伸长量，C点的位移为杆件①和②的总伸长量， 则归纳为以上结果，有完整的解答：
有限元分析过程概要
将节点A、B、C的平衡关系写成一个方程组，有
矩 阵 形 式
(3-1)
有限元分析过程概要
将材料弹性模量和结构尺寸代入方程中，有以下方程
由于左端点为固定，即 解该方程，有
，该方程的未知量为
，求
有限元分析过程概要
下面就很容易求解出杆①和②中的其它力学量，即
可见通过这种方法得到的结果与材料力学方法完全一致
有限元分析过程概要
1、有限元分析的目的和概念 、
(1)位移 位移(displacement):构件中因承载在任意位置上所引起的移动； 位移 (2)应变 应变(strain):构件中因承载在任意位置上所引起的变形状态； 应变 (3)应力 应力(stress):构件中因承载在任意位置上所引起的受力状态； 应力 有限元分析的目的： 有限元分析的目的：针对具有任意复杂几何形状变形体，完整获 取在复杂外力作用下它内部的准确力学信息，即求取该变形体的 三类力学信息(位移、应变、应力)。从而进行强度(strength)、刚 度(stiffness)等方面的评判，优化设计方案。