苏锡常镇一模数学
2014～2015学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研(一)
数学 本试卷共4页包含填空题(第1题～第14题)、解答题(第15题～第20题)．本
卷满分160分，考试时间为120分钟．
一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．
1. 已知集合A ＝{x|－1<x<1)，B ＝{x|x>0}，则A ∩B ＝________．
2. 若复数5
1－2i ＋m(i 为虚数单位)为纯虚数，则实数m ＝________
3. 双曲线x 2
－y 2
2
＝1的离心率为________．
4. 在一次满分为160分的数学考试中，某班40名学生的考试成绩分布如下：
在该班随机抽取一名学生，则该生在这次考试中成绩在120分以上的概率为________．
(第6题)
5. 函数y ＝ln (x 2－2)的定义域为________．
6. 如图，四棱锥PABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是矩形，AB ＝2，AD ＝3，PA ＝4，点E 为棱CD 上一点，则三棱锥EPAB 的体积为________．
7. 右图是一个算法流程图，则输出的x 的值为________．
(第7题)
8. 已知等比数列{a n }的各项均为正数，若a 4＝a 22，a 2＋a 4＝5
16，则a 5＝________． 9. 若曲线C 1：y ＝ax 3－6x 2＋12x 与曲线C 2：y ＝e x 在x ＝1处的两条切线互相垂直，则实数a 的值为________．
10. 设函数f (x )＝sin (ωx ＋φ)＋3cos (ωx ＋φ)(ω>0，|φ|<π
2)的最小正周期为π，且满足
f (－x )＝f (x )，则函数f (x )的单调增区间为________．
(第11题)
11. 如图，在平行四边形ABCD 中，E 为DC 的中点，AE 与BD 交于点M ，AB ＝2，AD ＝1，且MA →·MB →＝－16
，则AB →·AD →
＝________.
12. 在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C ：x 2＋(y －3)2＝2，点A 是x 轴上的一个动点，AP ，AQ 分别切圆C 于P ，Q 两点，则线段PQ 长的取值范围为________．
13. 已知直线y ＝kx ＋1与曲线f (x )＝|x ＋1x |－|x －1
x |恰有四个不同的交点，则实数k 的取
值范围为________．
14. 已知实数x ，y 满足x>y>0，且x ＋y ≤2，则2x ＋3y ＋1
x －y 的最小值为________．
二、 解答题：本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. (本小题满分14分)
已知向量a ＝⎝⎛⎭⎫sin ⎝
⎛⎭⎫α＋π6，3，b ＝(1，4cos α)，α∈(0，π)． (1) 若a ⊥b ，求tan α的值；
(2) 若a ∥b ，求α的值．
如图，四边形AA 1C 1C 为矩形，四边形CC 1B 1B 为菱形，且平面CC 1B 1B ⊥平面AA 1C 1C ，D ，E 分别为A 1B 1，C 1C 的中点．
(1) 求证：BC 1⊥平面AB 1C ； (2) 求证：DE ∥平面AB 1C .
(第16题)
17. (本小题满分14分)
如图，有一段河流，河的一侧是以O 为圆心，半径为103米的扇形区域OCD ，河的另一侧是一段笔直的河岸l ，岸边有一烟囱AB (不计B 离河岸的距离)，且OB 的连线恰好与岸岸l 垂直，设OB 与圆弧CD ︵
的交点为E.经测量，扇形区域和河岸处于同一水平面，在点C ，点O 和点E 处测得烟囱AB 的仰角分别为45°，30°和60°.
(1) 求烟囱AB 的高度：
(2) 如果要在CE 间修一条直路，求CE 的长．
(第17题)
在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的离心率为2
2
，且过点
⎝
⎛⎭⎫1，62，过椭圆的左顶点A 作直线l ⊥x 轴，点M 为直线l 上的动点(点M 与点A 不重合)，
点B 为椭圆右顶点，直线BM 交椭圆C. (1) 求椭圆C 的方程； (2) 求证：AP ⊥OM ；
(3) 试问OP →·OM →
是否为定值？若是定值，请求出该定值；若不是定值，请说明理由．
(第18题)
已知函数f(x)＝e x|x2－a|(a≥0)．
(1)当a＝1时，求f(x)的单调减区间；
(2)若方程f(x)＝m恰好有一个正根和一个负根，求实数m的最大值．
已知数列{a n}的前n项和为S n，设数列{b n}满足b n＝2(S n＋1－S n)S n－n(S n＋1＋S n)(n∈N*)．
(1) 若数列{a n}为等差数列，且b n＝0，求数列{a n}的通项公式；
(2) 若a1＝1，a2＝3，且数列{a2n－1)，{a2n}都是以2为公比的等比数列，求满足不等式b2n<b2n－1的所有正整数n的集合．
(这是边文，请据需要手工删加)
2014～2015学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研(一)
数学附加题21. 【选做题】在A ，B ，C ，D 四小题只能选做两题．．．．．．，每小题10分，共计20分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A. 选修4-1：几何证明选讲
如图，AB 为圆O 的切线，A 为切点，C 为线段AB 的中点，过C 作圆O 的割线CED (E 在C ，D 之间)，求证：∠CBE ＝∠BDE .
(第21A 题)
B. 选修4-2：矩阵与变换
求曲线|x |＋|y |＝1在矩阵M ＝⎣⎢⎢⎡⎦
⎥⎥⎤
10013对应的变换作用下得到的曲线所围成图形的面积．
C. 选修4-4：坐标系与参数方程
在极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ＋2sin θ，以极点为坐标原点，极轴
为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋t ，
y ＝3t
(t 为参数)，求直线l
被曲线C 所截得的弦长．
D. 选修4-5：不等式选讲
求函数y ＝1－x ＋3x ＋2最大值．
【必做题】第22题，第23题，每题10分，共计20分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
22. (本小题满分10分)
如图，在四棱锥PABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是边长为2的菱形，∠ABC ＝60°，PA ＝6，M 为PC 的中点．
(1) 求异面直线PB 与MD 所成的角的大小；
(2) 求平面PCD 与平面PAD 所成的二面角的正弦值．
(第22题)
23. (本小题满分10分)
若存在n 个不同的正整数a 1，a 2，…，a n ，对任意1≤i<j ≤n ，都有a i ＋a j
a i －a j
∈Z ，则称这n
个不同的正整数a 1，a 2，…，a n 为“n 个好数”．
(1) 请分别对n ＝2，n ＝3构造一组“好数”：
(2) 证明：对任意正整数n (n ≥2)，均存在“n 个好数”．
(这是边文，请据需要手工删加)。
2023年江苏省苏锡常镇四市高考数学调研试卷(一)+答案解析(附后)
2023年江苏省苏锡常镇四市高考数学调研试卷（一）1. 已知集合，，则( )A. B. C. D. R2. 两个粒子A，B从同一发射源发射出来，在某一时刻，它们的位移分别为，，则在上的投影向量的长度为( )A. 10B.C.D. 23. “绿水青山，就是金山银山”，随着我国的生态环境越来越好，外出旅游的人越来越多.现有两位游客慕名来江苏旅游，他们分别从“太湖鼋头渚、苏州拙政园、镇江金山寺、常州恐龙园、南京夫子庙、扬州瘦西湖”这6个景点中随机选择1个景点游玩.记事件A为“两位游客中至少有一人选择太湖鼋头渚”，事件B为“两位游客选择的景点不同”，则( )A. B. C. D.4. 已知正四面体的棱长为1，点O为底面ABC的中心，球O与该正四面体的其余三个面都有且只有一个公共点，且公共点非该正四面体的顶点，则球O的半径为( )A. B. C. D.5. 已知是定义在R上的偶函数，当时，，则不等式的解集是( )A. B. C. D.6. 在中，，的角平分线AD交BC于点D，的面积是面积的3倍，则( )A. B. C. D.7. 已知椭圆的右焦点为，点P，Q在直线上，，O为坐标原点，若，则该椭圆的离心率为( )A. B. C. D.8. 已知数列的前n项和为，，若对任意正整数n，，，则实数a的取值范围是( )A. B. C. D.9. 某校1000名学生在高三一模测试中数学成绩的频率分布直方图如图所示同一组中的数据用该组区间的中点值作代表分数不低于X即为优秀，已知优秀学生有80人，则( )A. B.C. 70分以下的人数约为6人D. 本次考试的平均分约为10. 已知正数a，b满足，则( )A. 的最小值为B. ab的最小值为C. 的最小值为D. 的最小值为11. 已知函数，则下列结论正确的有( )A. 将函数的图象向左平移个单位长度，总能得到的图象B. 若，则当时，的取值范围为C. 若在区间上恰有3个极大值点，则D. 若在区间上单调递减，则12. 正方体的棱长为3，E，F分别是棱，上的动点，满足，则( )A. BF与DE垂直B. BF与DE一定是异面直线C. 存在点E，F，使得三棱锥的体积为D. 当E，F分别是，的中点时，平面AEF截正方体所得截面的周长为13. 的展开式中的系数为______ .14. 在中，已知，，BE与AD交于点若，则______ .15. 已知圆C：，过点的直线l交圆C于A，B两点，点P在圆C上，若，，则______ .16. 已知函数的两个零点为，，函数的两个零点为，，则______ .17. 已知等比数列的各项均为正数，且，求的通项公式；数列满足，求的前n项和18. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，求的值；若，，求的面积.19. 在三棱柱中，平面平面ABC，侧面为菱形，，，，E是AC的中点.求证：平面；点P在线段上异于点，，AP与平面所成角为，求的值.20. 某小区有居民2000人，想通过验血的方法筛查出乙肝病毒携带者，为此需对小区全体居民进行血液化验，假设携带病毒的居民占，若逐个化验需化验2000次.为减轻化验工作量，随机按n人一组进行分组，将各组n个人的血液混合在一起化验，若混合血样呈阴性，则这n个人的血样全部阴性；若混合血样呈阳性，说明其中至少有一人的血样呈阳性，就需对每个人再分别单独化验一次.假设每位居民的化验结果呈阴性还是阳性相互独立.若，，试估算该小区化验的总次数；若，每人单独化验一次花费10元，n个人混合化验一次花费元.求n为何值时，每位居民化验费用的数学期望最小.注：当时，21. 已知直线l与抛物线：交于两点，，与抛物线：交于两点，，其中A，C在第一象限，B，D在第四象限.若直线l过点，且，求直线l的方程；①证明：；②设，的面积分别为，为坐标原点，若，求22. 已知定义在上的两个函数，求函数的最小值；设直线与曲线，分别交于A，B两点，求的最小值.答案和解析1.【答案】A【解析】【分析】根据对数函数的单调性解出集合A，根据补集的定义和运算求出B的补集，结合并集的定义和运算即可求解．本题主要考查了集合补集及并集运算，属于基础题．【解答】解：由，得，，又，故选：2.【答案】D【解析】【分析】先求得与夹角的余弦值，再根据投影向量的定义求出在上的投影向量，即可求解．本题主要考查平面向量的数量积公式，属于基础题．【解答】解：设与的夹角为，则，所以在上的投影向量为，所以在上的投影向量的长度为故选：3.【答案】D【解析】解：由题可得，，所以故选：根据古典概型概率公式求出，，然后利用条件概率公式即得．本题主要考查条件概率公式，属于基础题．4.【答案】B【解析】解：正四面体的棱长为1，正四面体的高为，由题可知球O与该正四面体的其余三个面都相切，设球O的半径为r，则，，故选：由题可知球O与该正四面体的其余三个面都相切，然后利用，即可求解．本题考查正四面体的内切球问题，等体积法思想的应用，方程思想，属中档题．5.【答案】D【解析】解：当时，，因为，，所以恒成立，所以在单调递增，又因为是定义在R上的偶函数，所以在单调递减，所以，所以由可得，解得，故选：利用导函数证明在单调递增，再根据奇偶性和单调性解不等式即可．本题考查利用导数研究函数的单调性，考查函数单调性与奇偶性的综合运用，考查运算求解能力，属于中档题．6.【答案】A【解析】解：因为，即，在中，作AB边上高，垂足为H，则故选：利用面积之比可得，作AB边上高，垂足为H，即可求本题主要考查三角形中的几何计算，考查运算求解能力，属于基础题．7.【答案】B【解析】解：依题意，设，，则，又，两式做差可得，即，所以故选：根据平面向量数量积的坐标运算公式和离心率公式求解．本题主要考查椭圆的性质，考查转化能力，属于中档题．8.【答案】C【解析】解：，，当时，，解得，当时，，则，，又，数列是首项为，公比为的等比数列，，则，又，数列为首项为2，公差为1的等差数列，则，则，，又，则，又，则，当n为奇数时，，即，则，解得；当n为偶数时，，即，解得；综上所述，实数a的取值范围为故选：根据与的关系结合等比数列的概念可得，可得，然后结合条件可得，分类讨论，即可得出答案．本题考查等差数列和等比数列的综合，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．9.【答案】AD【解析】解：对于A，，A正确；对于B，因为第六组有40人，第五组有160人，所以，B错误；对于C，70分以下的人数为人，C错误；对于D，平均成绩，D正确，故选：根据频率分布图的求解频率、频数、平均数即可求解．本题主要考查了频率分布直方图的应用，考查了平均数的计算，属于基础题．10.【答案】AC【解析】解：对于A，正数a，b满足，当且仅当时取等号，解得，A正确；对于B，，即，可得，所以，当且仅当时成立，B错误；对于C，，当且仅当时成立，C正确；对于D，由，当且仅当，即，等号成立，所以，此时，不能同时取等号，所以D错误．故选：利用基本不等式结合条件逐项分析即得．本题主要考查了基本不等式及相关结论在最值求解中的应用，属于中档题．11.【答案】BC【解析】解：由题可得，对于选项A，向左平移个单位长度为，故不一定能得到的图象，故A选项错误；对于选项B，，，则，，所以，故B选项正确；对于选项C，由可得，由在区间上恰有3个极大值点可得故C选项正确；对于选项D，，则，因为单调递减，所以，，且，即，解得，，且，当时，，当时，，故D选项错误．故选：由题可得，然后利用三角函数的性质结合条件逐项分析即得．本题主要考查三角恒等变换，三角函数的图象变换，正弦型函数的图象与性质，考查运算求解能力，属于中档题．12.【答案】ACD【解析】【分析】设，利用坐标法可判断A，利用特值法可判断B，根据体积公式表示出三棱锥的体积可判断C，作出截面结合条件可得周长判断本题考查了立体几何的综合应用，属于较难题．【解答】解：如图建立空间直角坐标系，设，则，，，，A：由题可得，所以，所以，即，故A正确；B：当E，F为中点时，，所以，B，D，F，E四点共面，此时BF与DE不是异面直线，故B错误；C：由，可得，则，由于，故C正确；D ：直线EF与，分别交于G，H，连接AG，AH分别交，于点M，N，则五边形ANFEM为平面AEF截正方体所得的截面，因为E，F分别是，的中点，所以易得，故可得，因为，所以，可得，同理可得，所以五边形ANFEM的周长为，故D正确．故选：13.【答案】【解析】解：因为的展开式中的项为，所以的展开式中的系数为故答案为：利用二项展开式的通项公式求解．本题主要考查了二项式展开式中的指定项的系数求解，属于基础题．14.【答案】【解析】【分析】根据向量线性运算的几何表示可得，，然后利用共线向量的推论即得．本题主要考查了向量的线性表示及向量共线定理，属于基础题．【解答】解：因为，，所以，，又，所以，，又BE与AD交于点O，所以，所以，即故答案为：15.【答案】【解析】解：易知圆心，半径，取AB中点D，则，因为，所以，所以，则，又，所以，即，故故答案为：根据向量的加减法运算可得，再根据圆的性质可得即可求解．本题主要考查圆的弦长的求解，考查向量数量积的性质的应用，属于中档题．16.【答案】2【解析】【分析】由题可得，进而可得，然后结合条件即得．本题主要考查函数的零点与方程根的关系，考查运算求解能力，属于中档题．【解答】解：因为函数的两个零点为，，则，即，又，则，即，所以故答案为：17.【答案】解：，，，解得，；由题可知，，，两式相减可得：，【解析】根据等比数列基本量的运算可得，q，即可得数列的通项公式；由题可得，然后利用错位相减法求解即可；或利用裂项相消法求和即得．本题考查等比数列的通项公式与求和公式的应用，错位相减法求和，属中档题．18.【答案】解：若，则，，，，，解得或，又，；若，由，可得，，，又，，，，是以C为顶角的等腰三角形，，的面积为【解析】本题考查解三角形，三角函数公式的应用，三角方程的求解，三角形面积的求解，属中档题．根据三角恒等变换可得，结合条件可得关于的方程，进而即得；根据条件可得，进而可得，然后根据三角形面积的公式即得．19.【答案】证明：因为四边形为菱形，所以，又因为，，平面，，所以平面解：取AB的中点O，连接，四边形为菱形，且，所以因为平面平面ABC，平面平面，平面，所以平面ABC，又平面ABC，所以又因为，，，平面，所以平面取BC中点D，连结OD，以O为原点，OB，OD，所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图所示，则，，，，所以，设平面的一个法向量为，所以，即，令，可得平面的一个法向量设，可得点，，由题意，解得或舍，即【解析】本题主要考查直线与平面垂直的判断，直线与平面所成角的求法，考查运算求解能力与逻辑推理能力，属于中档题．根据线面垂直的判定定理证明；利用空间向量的坐标运算表示线面夹角即可求解．20.【答案】解：设每位居民需化验的次数为X，若混合血样为阴性，则，若混合血样呈阳性，则，所以，，，所以2000名居民总化验次数约为次；设每组n人总费用为Y元，若混合血样呈阴性则，若混合血样为阳性，则，所以，，所以，每位居民的化验费用为：元，当且仅当，即时取等号，故时，每位居民化验费用的期望最小．【解析】本题主要考查了离散型随机变量的分布列和期望，属于中档题．设每位居民需化验的次数为X，则X可取，，分别求概率，进而可得期望，即得；设每组n人总费用为Y元，结合条件计算，然后表示出结合基本不等式即得．21.【答案】解：显然直线l的斜率不为0，设直线l的方程为，联立，整理可得，可知，，则，则，由题意可知，整理可得：，解得，所以直线l的方程为：，即；①证明：设直线l的方程为，，设，联立，整理可得：，可得，，所以，即，联立，整理可得：，可得，，所以，即，所以可证得：；②解：由①可知，，即，即，因为，所以，所以，即，可知M为AD的中点，所以，代入抛物线的方程可得，解得，，，因为，，所以【解析】本题考查直线与抛物线的综合应用.显然直线l的斜率不为0，设直线l的方程，与抛物线联立，可得两根之和及两根之积，进而可得A，B的纵坐标的关系，求出，的表达式，代入中，由题意可得参数的值，进而求出直线l的方程；①设直线l的方程，分别与两条抛物线联立，求出两根之和及两根之积，进而可得A，B的纵坐标的关系及C，D的纵坐标的关系，进而可证得都是成立；②由①可得A，C的纵坐标的关系，及B，D的纵坐标的关系，由，可得直线l与x轴的交点M为AD的中点，可得A，D的坐标的关系，代入抛物线的方程，可得A，B，C，D 的纵坐标的中，进而求出面积之比．22.【答案】解：因为，，所以，，则，令，解得，由，可得，由，可得，所以函数在上单调递减，在上单调递增，所以的最小值为；由，可得，作出函数与的大致图象，则直线与两函数图象有交点，设，则题设等价于恒成立，求实数k的最大值，且，所以，由，可得，且，由，可得，由，可得，所以函数在上单调递增，在上单调递减，则，设，则，函数在上单调递增，又，则，解得，则，即，所以【解析】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性和最值，本题的关键是构造函数，进而把问题转化为求最值问题，然后利用导函数结合条件即得，题目较难.由题可得，然后利用导数求函数的最值即得；构造函数，题设等价于恒成立，求实数k 的最大值，然后利用导数研究函数的性质，求出k的最大值进而即得．。
苏锡常镇四市2021~2022学年度高三一模数学试题(含答案)
2021~2022学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研(一)数 学 2022.03一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．1．设全集U ＝R ，集合A ＝{x ||x －2|≤1}，B ＝{x |2x －4≥0}，则集合A ∩(∁U B )＝A ．(1，2)B ．(1，2]C ．[1，2)D ．[1，2] 2．在(x －1x)4的二项展开式中，第二项的系数为A ．4B ．－4C ．6D ．－6 3．i 是虚数单位，设复数z 满足i z ＝|－32＋i 2|＋i ，则z 的共轭复数z -＝ A ．－1－i B ．－1＋i C ．1－i D ．1＋i 4x 0 1 2 3 4 y1015203035经计算知，y 对x 的线性回归方程是ŷ＝6.5x ＋ˆ，预测当x ＝6时，y ＝ 附：在线性回归方程ŷ＝aˆ＋b ˆx 中，b ˆ＝()∑∑==--ni ini iix n xyx n yx 1221，a ˆ＝y -－b ˆx -，其中x -，y -为样本平均值．A ．47.5B ．48C ．49D ．49.5 5．平面内三个单位向量a ，b ，c 满足a ＋2b ＋3c ＝0，则A ．a ，b 方向相同B ．a ，c 方向相同C ．b ，c 方向相同D ．a ，b ，c 两两互不共线6．若双曲线C 1：y 2－3x 2＝λ(λ≠0)的右焦点与抛物线C 2：y 2＝8x 的焦点重合，则实数λ＝ A ．±3 B ．－ 3 C ．3 D ．－37．有5个相同的球，其中3个红色、2个蓝色，从中一次性随机取2个球，则下列说法正确的是A ．“恰好取到1个红球”与“至少取到1个蓝球”是互斥事件B ．“恰好取到1个红球”与“至多取到1个蓝球”是互斥事件C ．“至少取到1个红球”的概率大于“至少取到1个蓝球”的概率D ．“至多取到1个红球”的概率大于“至多取到1个蓝球”的概率8．正四面体ABCD 的棱长为a ，O 是棱AB 的中点，以点O 为球心的球在△BCD 上截得的曲线与CD 相切，则球O 的体积是A ．16πa 3B ．26πa 3C ．36πa 3D ．23πa 3二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9．记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，则A ．S 6＝2S 4－S 2B ．S 6＝3(S 4－S 2)C ．S 2n ，S 4n －S 2n ，S 6n －S 4n 成等差数列D ．S 22，S 44，S 66成等差数列10．某校体育活动社团对全校学生体能情况进行检测，以鼓励学生积极参加体育锻炼．学生的体能检测结果X 服从正态分布N (75，81)，其中60为体能达标线，90为体能优秀线，下列说法正确的有附：随机变量ξ服从正态分布N (μ，σ2)，则P (μ－σ＜ξ＜μ＋σ)＝0.6826，P (μ－2σ＜ξ＜μ＋2σ)＝0.9544，P (μ－3σ＜ξ＜μ＋3σ)＝0.9974． A ．该校学生的体能检测结果的期望为75B ．该校学生的体能检测结果的标准差为81C ．该校学生的体能达标率超过0.98D ．该校学生的体能不达标的人数和优秀的人数大致相等 11．下列函数中，最大值是1的函数有A ．y ＝|sin x |＋|cos x |B ．y ＝sin 2x －cos 2xC ．y ＝4sin 2x cos 2xD ．y ＝tan x tan2xtan2x －tan x12．已知函数f (x )＝a e xx －x ＋ln x (a ∈R )，若对于定义域内的任意实数s ，总存在实数t 使得f (t )＜f (s )，则满足条件的实数a 的可能值有A ．－1B ．0C ．1eD ．1三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知圆柱和圆锥的底面重合，且母线长相等，设圆柱和圆锥的表面积分别为S 1，S 2，则S 1S 2＝ ▲ ． 14．已知圆C ：(x －2)2＋(y ＋4)2＝2，点A 是x 轴上的一个动点，直线AP ，AQ 分别与圆C 相切于P ，Q 两点，则圆心C 到直线PQ 的距离的取值范围是 ▲ ．15．已知函数f (x )＝3sin(ωx ＋φ)(ω＞0，|φ|＜π2)在一个周期内的图象如图所示，其中点P ，Q 分别是图象的最高点和最低点，点M 是图象与x 轴的交点，且MP ⊥MQ ．若f (12)＝32，则tan φ＝ ▲ ．(第15题图)16．已知f (x )是定义在R 上的奇函数，且f (|x |＋1)＝2f (|x |－1)．若当x ∈(0，1)时，f (x )＝1－|2x －1|，则f (x )在区间(－1，3)上的值域为 ▲ ，g (x )＝f (x )－45x 在区间(－1，3)内的所有零点之和为 ▲ ．(本小题第一空2分，第二空3分)四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．(10分)在①sin B ＋sin C ＝1029，②cos B ＋cos C ＝109，③b ＋c ＝5这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题．已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a ＝3，sin A ＝223， ，求△ABC的面积．18．(12分)某大学数学建模社团在大一新生中招募成员，由于报名人数过多，需要进行选拔．为此，社团依次进行笔试、机试、面试三个项目的选拔，每个项目设置“优”、“良”、“中”三个成绩等第；当参选同学在某个项目中获得“优”或“良”时，该同学通过此项目的选拔，并进入下一个项目，否则该同学在此项目中不通过，且不能参加后续的项目．通过了全部三个项目的同学进入到数学建模社团．现有甲同学参加数学建模社团选拔，已知该同学在每个项目中得“优”、“良”、“中”的概率都分别为16，p 2，p3，且甲在每个项目中的成绩均相互独立．(1)求甲能进入到数学建模社团的概率；(2)设甲在本次数学建模社团选拔中恰好通过X 个项目，求X 的概率分布及数学期望．19．(12分)已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝a n －1n (n ＋1)，n ∈N *．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)记数列{a n 2}的前n 项和为S n ，求证：S n ＜4n2n ＋1．如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，△ABC 是以BC 为斜边的等腰直角三角形，AA 1＝AB ，点D ，E 分别为棱BC ，B 1C 1上的点，且BD BC ＝C 1EC 1B 1＝t (0＜t ＜1)．(1)若t ＝12，求证：AD ∥平面A 1EB ；(2)若二面角C 1－AD －C 的大小为π3，求实数t 的值．21． (12分)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为22，且椭圆C 的右焦点F 到右准线的距离为3．点A 是第一象限内的定点，点M ，N 是椭圆C 上两个不同的动点(均异于点A )，且直线AM ，AN 的倾斜角互补． (1)求椭圆C 的标准方程；(2)若直线MN 的斜率k ＝1，求点A 的坐标．已知实数a＞0，函数f(x)＝x ln a－a ln x＋(x－e)2，e是自然对数的底数．(1)当a＝e时，求函数f(x)的单调区间；(2)求证：f(x)存在极值点x0，并求x0的最小值．2021~2022学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研(一)数学2022.03注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。
江苏省苏锡常镇四市2025届高三第一次模拟考试数学试卷含解析
江苏省苏锡常镇四市2025届高三第一次模拟考试数学试卷注意事项：1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知等差数列{}n a 中，27a =，415a =，则数列{}n a 的前10项和10S =（ ）A ．100B ．210C ．380D ．4002．一个由两个圆柱组合而成的密闭容器内装有部分液体，小圆柱底面半径为1r ，大圆柱底面半径为2r ，如图1放置容器时，液面以上空余部分的高为1h ，如图2放置容器时，液面以上空余部分的高为2h ，则12h h =（ ）A ．21r rB ．212r r ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．321r r ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．21r r 3．甲、乙、丙、丁四位同学利用暑假游玩某风景名胜大峡谷，四人各自去景区的百里绝壁、千丈瀑布、原始森林、远古村寨四大景点中的一个，每个景点去一人．已知：①甲不在远古村寨，也不在百里绝壁；②乙不在原始森林，也不在远古村寨；③“丙在远古村寨”是“甲在原始森林”的充分条件；④丁不在百里绝壁，也不在远古村寨．若以上语句都正确，则游玩千丈瀑布景点的同学是（ ）A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁4．已知x ，y 满足2y x x y x a ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，且2z x y =+的最大值是最小值的4倍，则a 的值是（ ）A ．4B ．34C ．211D ．14 5．函数的图象可能是下列哪一个？（ ）A ．B ．C ．D ．6．某中学2019年的高考考生人数是2016年高考考生人数的1.2倍，为了更好地对比该校考生的升学情况，统计了该校2016年和2019年的高考情况，得到如图柱状图：则下列结论正确的是（ ）.A ．与2016年相比，2019年不上线的人数有所增加B ．与2016年相比，2019年一本达线人数减少C ．与2016年相比，2019年二本达线人数增加了0.3倍D ．2016年与2019年艺体达线人数相同7．已知函数()()f x x R ∈满足(1)1f =，且()1f x '<，则不等式()22lg lg f x x <的解集为（ ） A ．10,10⎛⎫ ⎪⎝⎭ B ．10,10,10 C ．1,1010⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．()10,+∞ 8．已知函数()sin(2)4f x x π=-的图象向左平移(0)ϕϕ>个单位后得到函数()sin(2)4g x x π=+的图象，则ϕ的最小值为（ ）A ．4πB ．38πC ．2πD ．58π 9．已知集合{}|26M x x =-<<，{}2|3log 35N x x =-<<，则MN =（ ） A ．{}2|2log 35x x -<<B ．{}2|3log 35x x -<<C ．{}|36x x -<<D ．{}2|log 356x x << 10．已知(2sin ,cos ),(3cos ,2cos )2222x x x x a b ωωωω==，函数()f x a b =·在区间4[0,]3π上恰有3个极值点，则正实数ω的取值范围为（ ）A ．85[,)52 B ．75[,)42 C ．57[,)34 D ．7(,2]411．若双曲线C ：221x y m-=的一条渐近线方程为320x y +=，则m =（ ） A ．49 B ．94 C ．23 D ．3212．函数ln ||()xx x f x e =的大致图象为（ ） A ． B ．C ．D ．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2024苏锡常镇一模数学第18题齐次化方法
2024苏锡常镇一模数学第18题齐次化方法哎呀，说到这个2024年苏锡常镇一模数学第18题，我可得好好跟你掰扯掰扯。
这题啊，真是让人头疼，不过呢，用齐次化方法来解，那可真是一绝。
首先，咱们得明白啥叫齐次化方法，这玩意儿就是把问题转化成更简单的形式，让解题过程变得跟喝凉水一样简单。
好了，不卖关子了，咱们直接上干货。
这第18题，是关于解析几何的，题目大概是这样的：给定一个椭圆和一个圆，要求找出它们之间的某种关系。
这题的难点在于，椭圆和圆的方程都挺复杂的，直接解起来头都大了。
但是，别急，咱们可以用齐次化方法来简化问题。
首先，咱们把椭圆的方程写成标准形式，就是那种a^2x^2 + b^2y^2 = 1的形式。
然后，咱们把圆的方程也写成标准形式，就是(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2的形式。
接下来，就是关键步骤了。
咱们把椭圆和圆的方程都除以它们的最大公约数，这样就能把它们都变成齐次方程。
齐次方程的好处在于，它们的解都是成比例的，这样就能大大简化问题。
然后，咱们就可以把这两个齐次方程联立起来，通过解这个联立方程组，就能找出椭圆和圆之间的关系。
这个过程虽然有点繁琐，但是比起直接解原方程，那可真是轻松多了。
最后，咱们还得验证一下解的正确性。
这个步骤可不能省，万一解错了，那可就前功尽弃了。
验证的方法也很简单，就是把解代入原方程，看看是否满足条件。
总的来说，用齐次化方法解2024年苏锡常镇一模数学第18题，虽然过程有点复杂，但是比起直接解原方程，那可真是轻松多了。
这种方法不仅能简化问题，还能锻炼咱们的解题能力，真是一举两得。
好了，关于这个题目的齐次化方法，我就说这么多了。
希望对你有所帮助。
如果你还有什么不明白的地方，咱们可以再一起探讨探讨。
毕竟，数学这东西，就是要多交流，多思考，才能越学越明白。
江苏省苏锡常镇2024届高三下学期教学情况调研(一模)数学试卷及答案
2023~2024学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（一）数学2024.3注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将答题卡交回.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}2320A xx x =++>∣，集合{}04B x x =∣ ，则（）A.A B ⋂=∅ B.A B ⋃=R C.A B ⊆ D.B A⊆2.设5250125(12)x a a x a x a x +=++++ ，则125a a a +++= （）A.-2 B.-1 C.242 D.2433.已知平面向量,,a b c 满足0,||||1,||3a b c a b c ++====，则a 与b 的夹角为（）A.π4 B.π3 C.2π3 D.3π44.青少年的身高一直是家长和社会关注的重点，它不仅关乎个体成长，也是社会健康素养发展水平的体现.某市教育部门为了解本市高三学生的身高状况，从本市全体高三学生中随机抽查了1200人，经统计后发现样本的身高（单位：cm ）近似服从正态分布()2172,N σ，且身高在168cm 到176cm 之间的人数占样本量的75%，则样本中身高不低于176cm 的约有（）A.150人 B.300人 C.600人 D.900人5.函数()πsin 23f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭在区间()0,2π内的零点个数为（）A.2 B.3 C.4 D.56.在平面直角坐标系xOy 中，已知A 为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右顶点，以OA 为直径的圆与C 的一条渐近线交于另一点M ，若12AM b =，则C 的离心率为（）2 B.2 C.2 D.47.莱莫恩（Lemoine ）定理指出：过ABC 的三个顶点,,A B C 作它的外接圆的切线，分别和,,BC CA AB 所在直线交于点,,P Q R ，则,,P Q R 三点在同一条直线上，这条直线被称为三角形的Lemoine 线.在平面直角坐标系xOy 中，若三角形的三个顶点坐标分别为()()()0,1,2,0,0,4-，则该三角形的Lemoine 线的方程为（）A.2320x y --= B.2380x y +-=C.32220x y +-= D.23320x y --=8.已知正项数列{}n a 满足()*1223111121n n n n a a a a a a n ++++=∈+N ，若5627a a -=，则1a =（）A.13 B.1 C.32D.2二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知复数123,,z z z ，下列说法正确的有（）A.若1122z z z z =，则12z z = B.若22120z z +=，则120z z ==C.若1213z z z z =，则10z =或23z z = D.若1212z z z z -=+，则120z z =10.已知函数()sin 2cos2x f x x=-，则（）A.()f x 的最小正周期为πB.()f x 的图象关于点()π,0对称C.不等式()f x x >无解D.()f x 的最大值为2411.如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E 为1AA 的中点，点F 满足()11101A F A B λλ= ，则（）A.当0λ=时，1AC ⊥平面BDFB.任意[]0,1λ∈，三棱锥F BDE -的体积是定值C.存在[]0,1λ∈，使得AC 与平面BDF 所成的角为π3D.当23λ=时，平面BDF 截该正方体的外接球所得截面的面积为56π19三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知变量,x y 的统计数据如下表，对表中数据作分析，发现y 与x 之间具有线性相关关系，利用最小二乘法，计算得到经验回归直线方程为8ˆˆ0.yx a =+，据此模型预测当10x =时ˆy 的值为__________.x56789ˆy 3.5456 6.513.已知()(),0,11,,4log log 4a b a b b a ∞∈⋃++=，则2ln a b b+的最小值为__________.14.在平面直角坐标系xOy 中，已知点()1,1P -和抛物线2:4C y x =，过C 的焦点F 且斜率为(0)k k >的直线与C 交于,A B 两点.记线段AB 的中点为M ，若线段MP 的中点在C 上，则k 的值为__________；AF BF ⋅的值为__________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.（13分）记ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知2cos 1c B a +=.（1）证明：2B A =；（2）若2sin ,144A b ==，求ABC 的周长.16.（15分）如图，在四棱锥E ABCD -中，EC ⊥平面,,ABCD DC BC AB ⊥∥,22DC DC AB ==，CB CE =，点F 在棱BE 上，且12BF FE =.（1）证明：DE ∥平面AFC ；（2）当二面角F AC D --为135 时，求CE .17.（15分）我国无人机发展迅猛，在全球具有领先优势，已经成为“中国制造”一张靓丽的新名片，并广泛用于森林消防､抢险救灾､环境监测等领域.某森林消防支队在一次消防演练中利用无人机进行投弹灭火试验，消防员甲操控无人机对同一目标起火点进行了三次投弹试验，已知无人机每次投弹时击中目标的概率都为45，每次投弹是否击中目标相互独立.无人机击中目标一次起火点被扑灭的概率为12，击中目标两次起火点被扑灭的概率为23，击中目标三次起火点必定被扑灭.（1）求起火点被无人机击中次数的分布列及数学期望；（2）求起火点被无人机击中且被扑灭的概率.18.（17分）在平面直角坐标系xOy 中，已知点50,3P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，过椭圆222:1(1)x C y a a+=>的上项点A 作两条动直线()112212:1,:10l y k x l y k x k k =+=+<<分别与C 交于另外两点,M N .当1k 22=时，AM PM =.（1）求a 的值；（2）若1291,8MN k k NP ==，求1k 和2k 的值.19.（17分）已知函数()24e 2(0)x f x x x x-=->，函数()()2233g x x ax a a a =-+--∈R .（1）若过点()0,0O 的直线l 与曲线()y f x =相切于点P ，与曲线()y g x =相切于点Q .①求a 的值；②当,P Q 两点不重合时，求线段PQ 的长；（2）若01x ∃>，使得不等式()()00f x g x 成立，求a 的最小值.2023~2024学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（一）数学参考答案1.【答案】D【解析】{2A x x =<-∣或{}1},04x B xx >-=≤≤∣，则B A ⊆，选D.2.【答案】C【解析】0x =时，55000123451,1;1,3,a a x a a a a a a =∴===+++++51234531242a a a a a ∴++++=-=，选C.3.【答案】B【解析】a b c +=- ，所以22()a b c += ，所以2223a a b b +⋅+= ，所以12a b ⋅= ，1πcos ,,,23a b a b a b a b ⋅==∴= ，选B.4.【答案】A【解析】()2172,,(168176)0.75,(172176)0.375X N P X P X σ~<<=∴<<=，(176)0.50.3750.125,0.1251200150P X ∴>=-=⨯=，选A.5.【答案】C 【解析】π2π3x k +=，则πππ5,.1,2,π6236k x k k x k x =-+∈====Z ；()4113,π;4,π,36k x k x f x ====在()0,2π选C.6.【答案】B 【解析】tan b AOM a ∠=，则112sin ,22b b AM a AOM ec OA a c ∠===∴==，选故答案选B.7.【答案】B【解析】ABC 的外接圆设为22100,4201640E F x y Dx Ey F D F E F ++=⎧⎪++++=∴++=⎨⎪-+=⎩，034D E F =⎧⎪=⎨⎪=-⎩∴外接圆：22340x y y ++-=，即2232524x y ⎛⎫++= ⎪⎝⎭，在A 处切线：31,:1,,1,C,D 242x y y BC P ⎛⎫=+=∴ ⎪-⎝⎭排除.在C 处切线()4,:1,10,42x y AB y R =-+=∴-，选B.8.【答案】D【解析】1n =时，1211;23n a a =≥时，21111212141n n n n a a n n n +-=-=+--()5666654545611117,99,2799,,18,63,9922a a a a a a a a a a a =∴=∴+=∴===∴=，343232121335,10,15,,3,22a a a a a a a a a =∴==∴==∴= ，选D.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.【答案】AC 【解析】1122z z z z ⋅=，则221212,z z z z =∴=，A 对.2212z z =，则12i,i z z ==-满足条件，10z ≠，B 错.()12131231,0,0z z z z z z z z =∴-=∴=或230,z z C -=对.令()221212i,i,i ()()z a b z c d z z a c b d a c b d =+=+-=-+-=-+-，()22121212i ()(),z z a c b d a c b d z z z z +=+++=+++-=+，则220ac bd +=，()()()12i i i z z a b c d ac bd ad bc =++=-++不一定为0,D 错，选AC .10.【答案】BD【解析】()()()()sin πsin π,π2cos2π2cos2x x f x f x x x+-+==≠∴-+-不是()f x 的周期，A 错.()()()()()sin 2πsin 2π,2cos22π2cos2x x f x f x f x x x---===-∴---关于()π,0对称，B 对.()()π0π,f f x x -=>-∴>有解，C 错，选B D.()()22sin sin 2sin 1212sin x x f x x x ==+--，求()f x 的最小值.令()112sin 0,12222sin sin x f x x x >=≤=+，当且仅当12sin sin x x =，即2sin 2x =时取"="，D 对，选BD.11.【答案】ACD【解析】0λ=时，F 与1A 重合，平面BDF 为平面11,BDC AC ⊥ 面1BDA ，1AC ∴⊥平面,A BDF 对.11A B 不与平面BDE 平行，F ∴到面BDE 的距离不为定值，∴三棱锥F BDE -的体积不为定值，B 错.当F 在1A 时，AC 与平面BDF 所成角的正弦值为6332<，此时AC 与平面BDF 所成角小于π3，当F 在1B 时，AC 与平面BDF 所成角为ππ,23>∴存在[]0,1λ∈使AC 与平面BDF 所成角为π,C 3正确.如图所示建系，()()()0,0,0,2,2,0,2,2,2D B F λ，设平面BDF 的法向量为()0220,,,,22200n DB x y n x y z x y z n DF λ⎧⋅=+=⎧⎪=∴⎨⎨++=⋅=⎩⎪⎩ 不妨设1x =，则()()1,1,1,1,1,2,2,0y z n AC λλ=-=-=--=- .23λ=，则42,,23F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，平面BDF 的法向量11,1,3n ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ ，球心()1,1,1O ，O 到面BDF 的距离19OD n d n ⋅== 44432R ++==，∴截面圆半径2225656,ππ,D 1919r R d S r =-===对，选ACD.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.【答案】7.4【解析】7,5,50.87,0.6,0.80.6,ˆ0ˆˆ1x y aa y x x ==∴=⨯+∴=-=-=ˆ7.4.y=13.【答案】ln21+【解析】114log log 4,4log 4,log ,log 2a b a a a b a b b b a b +=∴+=∴=∴=，即22222,ln ln ln a b a b b b b b b b =+=+=+，令()2ln f x x x =+，()221220,2x f x x x x x'-=-===.()f x 在()()()min 0,2,2,,()2ln21,f x f ∞+==+ 此时2,2b a ==14.【答案】2；5【解析】AB 为过焦点的弦，AB 中点为M ，过M 作准线的垂线，垂足为N ，则MN 的中点在抛物线上.PM 的中点在抛物线上，,N P ∴重合.令()()()1122,,,,:1A x y B x y AB y k x =-.()214y k x y x ⎧=-⎨=⎩，消x 可得2121244240,,1,22y y y y y y k k k k +--=+===∴=.()()()22222121212121221111144164y y y y y y y y AF BF x x +-⎛⎫⎛⎫⋅=++=++=++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭164815164+=++=.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.【解析】（1）证明：()2cos 1sin sin sin cos cos sin B A C A B A B+==+()sin sin cos cos sin sin A B A B A B A ⇒=-=-A B A ∴=-或()πA B A +-=（舍），2B A ∴=.（2）2147sin sin22444B A ==⨯⨯=，21314cos 12sin 12,cos 844B A A =-=-⨯==，()2314710252sin sin 4444168C A B ∴=+=⨯+⨯==，由正弦定理21452752448a c =⎧⇒==⇒⎨=⎩ABC ∴ 的周长为714+16.【解析】（1）设BC m =，如图建系.()()()()21,0,1,0,0,0,0,0,2,0,,0,,,033A m C D E m F m m ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭，()()21,0,1,,,0,0,,2,33CA m CF m m DE m ⎛⎫===- ⎪⎝⎭设平面AFC 的：一个法向量为()1,,n x y z = ，()101,2,21033mx z n m mx my +=⎧⎪∴⇒=--⎨+=⎪⎩ 1220,DE n m m DE ∴⋅=-+=∴ ∥平面AFC .（2）平面ACD 的一个法向量()20,1,0n =，122122cos1353,3251n n m CE n n m ⋅∴=-=--==+⋅ 17.【解析】（1）起火点被无人机击中次数X 的所有可能取值为0,1,2,3()()32131141120,1C 512555125P X P X ⎛⎫⎛⎫=====⋅⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()232341484642C ,3551255125P X P X ⎛⎫⎛⎫==⋅⨯==== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.X ∴的分布列如下：X 0123P 1125121254812564125()44123,,3555X B E X ⎛⎫~∴=⨯= ⎪⎝⎭.（2）击中一次被扑灭的概率为121134116C 552125P ⎛⎫⎛⎫=⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭击中两次被火扑灭的概率为222341232C 553125P ⎛⎫=⋅⨯⨯= ⎪⎝⎭击中三次被火扑灭的概率为334645125P ⎛⎫== ⎪⎝⎭∴所求概率63264102125125125125P =++=.18.【解析】（1）22222222112022a y x x a x x a y a ⎧⎛⎫=+⎪⇒++=⎨ ⎪⎝⎭⎪+=⎩()22222225,,0,1,0,223a a M A P a a ⎛⎫--⎛⎫∴- ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭由22222222222221222a a a AM PM a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=⇒+-=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭2222523a a ⎛⎫-+ ⎪+⎝⎭，解得24,2a a =∴=.（2）设()()()1122,,,,0,1M x y N x y A ，则()()121221122121211114153011141y x x y x x x y x y y x x y ⎧⎛⎫--⋅=⎪ ⎪+⎪⎝⎭⇒---=⎨⎛⎫-⎪⋅-⋅= ⎪⎪+⎝⎭⎩.()()211221503x x x y x y ⇒--+-=对比,M N 两点方程知MN 过50,3⎛⎫ ⎪⎝⎭与P 重合.1212178171588x x y y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，解得112121,202x k k y =-⎧⇒==⎨=⎩.19.【解析】（1）①()222e e 42x x x f x x --⋅-=⋅-'，设020004e ,2x P x x x -⎛⎫- ⎪⎝⎭()()0022000002004e 2e 1422,x x OPx x x k f x x x x ----∴===⋅-⇒='∴切点()2,2,1P k -=-.l ∴方程：()22y x +=--，即y x=-()2222133033y x x a x a a y x ax a a=-⎧⇒-+++=⎨=-+--⎩()()()22Δ(13)4305110a a a a a =+-+=⇒--=15a ∴=或1②当1a =时，2Q x =，此时()2,2,,Q P Q -重合，舍去.当15a =时，45Q x =，此时44,55Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭此时22446222555PQ ⎛⎫⎛⎫=-+-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.（2）令()()()2224e 233x F x f x g x x x ax a a x-=-=-+-++()()()()22223e 224e 1223,420x x x x x F x x a F x x x --''-+-=-+-'=⋅+>()F x '在()1,∞+上取补集，对1x ∀>，均有()()0f x g x ->成立，即()0F x >恒成立()2222446303201F a a a a a a ∴=-+-++>⇒-+>⇒<或2a >而对1,1x a ∀><经检验均有()0F x >成立，∴原命题中1a ≥而1a =时，()()()224e 1223,x x F x x F x x -'-+-'-= ，注意到()20F '=()F x ∴在()1,2上()()min 2,,()200F x F ∞+∴==≤ 成立，符合.综上：a 的最小值为1.。
江苏省苏、锡、常、镇四市高考数学一模试卷解析版
高考数学一模试卷题号一二总分得分一、填空题（本大题共14小题，共70.0分）1.已知集合A={0，1，2}，B={x|-1＜x＜1}，则A∩B=______．2.i为虚数单位，复数（1-2i）2的虚部为______．3.抛物线y2=4x的焦点坐标是______．4.箱子中有形状、大小都相同的3只红球、1只白球，一次摸出2只球，则摸到的2只球颜色相同的概率为______．5.如图是抽取某学校160名学生的体重频率分布直方图，已知从左到右的前3组的频率成等差数列，则第2组的频数为______．6.如图是一个算法流程图，则输出的S的值是______．7.已知函数，若，则实数a=______．8.中国古代著作《张丘建算经》有这样一个问题：“今有马行转迟，次日减半疾，七日行七百里”，意思是说有一匹马行走的速度逐渐减慢，每天行走的里程是前一天的一半，七天一共行走了700里．那么这匹马在最后一天行走的里程数为______．9.已知圆柱的轴截面的对角线长为2，则这个圆柱的侧面积的最大值为______．10.设定义在区间（0，）上的函数的图象与y=3cos2x+2的图象交于点P，则点P到x轴的距离为______．11.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知5a=8b，A=2B，则sin（A-）=______．12.若直线l：ax+y-4a=0上存在相距为2的两个动点A，B，圆O：x2+y2=1上存在点C，使得△ABC为等腰直角三角形（C为直角顶点），则实数a的取值范围为______．13.在△ABC中，已知AB=2，AC=1，∠BAC=90°，D，E分别为BC，AD的中点，过点E的直线交AB于点P，交AC于点Q，则的最大值为______．14.已知函数f（x）=x2+|x-a|，g（x）=（2a-1）x+a ln x，若函数y=f（x）与函数y=g（x）的图象恰好有两个不同的交点，则实数a的取值范围为______．二、解答题（本大题共11小题，共148.0分）15.如图，三棱锥D-ABC中，已知AC⊥BC，AC⊥DC，BC=DC，E，F分別为BD，CD的中点．（1）求证：EF∥平面ABC；（2）BD⊥平面ACE．16.已知向量=（2cosα，2sinα），=（cosα-sinα，cosα+sinα）．（1）求向量与的夹角；（2）若⊥，求实数λ的值．17.某新建小区规划利用一块空地进行配套绿化．已知空地的一边是直路AB，余下的外围是抛物线的一段弧，直路AB的中垂线恰是该抛物线的对称轴（如图）．拟在这个空地上划出一个等腰梯形ABCD区域种植草坪，其中A，B，C，D均在该抛物线上．经测量，直路AB长为40米，抛物线的顶点P到直路AB的距离为40米．设点C到抛物线的对称轴的距离为m米，到直路AB的距离为n米．（1）求出n关于m的函数关系式；（2）当m为多大时，等腰梯形草坪ABCD的面积最大？并求出其最大值．18.已知椭圆E：的离心率为，焦点到相应准线的距离为．（1）求椭圆E的标准方程；（2）已知P（t，0）为椭圆E外一动点，过点P分别作直线l1和l2，直线l1和l2分别交椭圆E于点A，B和点C，D，且l1和l2的斜率分别为定值k1和k2，求证：为定值．19.已知函数f（x）=（x+1）ln x+ax（a∈R）．（1）若函数y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为x+y+b=0，求实数a，b的值；（2）设函数g（x）=，x∈[1，e]（其中e为自然对数的底数）．①当a=-1时，求函数g（x）的最大值；②若函数h（x）=||是单调减函数，求实数a的取值范围．20.定义：若有穷数列a1，a2，…，a n同时满足下列三个条件，则称该数列为P数列．①首项a1=1；②a1＜a2＜…＜a n；③对于该数列中的任意两项a i和a j（1≤i＜j≤n），其积a i a j或商仍是该数列中的项．（1）问等差数列1，3，5是否为P数列？（2）若数列a，b，c，6是P数列，求b的取值范围；（3）若n＞4，且数列b1，b2，…，b n是P数列，求证：数列b1，b2，…，b n是等比数列．21.已知x，y∈R，是矩阵A=的属于特征值-1的一个特征向量，求矩阵A的另一个特征值．22.在极坐标系中，已知直线l：，在直角坐标系（原点与极点重合，x轴正方向为极轴的正方向）中，曲线C的参数方程为（t为参数）．设l 与C交于A，B两点，求AB的长．23.若不等式|x+1|+|x-a|≥5对任意的x∈R恒成立，求实数a的取值范围．24.从批量较大的产品中随机取出10件产品进行质量检测，若这批产品的不合格率为0.05，随机变量X表示这10件产品中的不合格产品的件数．（1）问：这10件产品中“恰好有2件不合格的概率P（X=2）”和“恰好有3件不合格的概率P（X=3）”哪个大？请说明理由；（2）求随机变量X的数学期望E（X）．25.已知f（n）=+++…+，g（n）=+++…+，其中n∈N*，n≥2．（1）求f（2），f（3），g（2），g（3）的值；（2）记h（n）=f（n）-g（n），求证：对任意的m∈N*，m≥2，总有h（2m）＞．答案和解析1.【答案】{0}【解析】解：∵集合A={0，1，2}，B={x|-1＜x＜1}，∴A∩B={0}．故答案为：{0}．利用交集定义直接求解．本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.【答案】-4【解析】解：∵（1-2i）2=12+（2i）2-4i=1-4-4i=-3-4i故复数（1-2i）2的虚部为-4故答案为：-4根据复数代数形式的乘法计算公式，计算复数（1-2i）2的值，即可得到复数（1-2i）2的虚部．本题考查的知识点是复数代数形式的乘除运算，复数的基本概念，其中根据复数代数形式的乘法计算公式，计算复数（1-2i）2的值是解答本题的关键，本题易错误理解虚部的概念，而错解为-4i．3.【答案】（1，0）【解析】解：根据题意，抛物线y2=4x的开口向右，其焦点在x轴正半轴上，且p=2，则抛物线的焦点坐标为（1，0），故答案为：（1，0）．根据题意，由抛物线的标准方程分析可得抛物线的点在x轴正半轴上，且p=2，由抛物线的焦点坐标公式计算可得答案．本题考查抛物线的几何性质，注意分析抛物线的开口方向．4.【答案】【解析】解：箱子中有形状、大小都相同的3只红球、1只白球，一次摸出2只球，基本事件总数n==6，摸到的2只球颜色相同包含的基本事件个数m==3，则摸到的2只球颜色相同的概率p=．故答案为：．基本事件总数n==6，摸到的2只球颜色相同包含的基本事件个数m==3，由此能求出摸到的2只球颜色相同的概率．本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．5.【答案】40【解析】解：如图是抽取某学校160名学生的体重频率分布直方图，由频率分布直方图得到前3组的频率和为：1-（0.0375+0.0125）×5=0.75，∵从左到右的前3组的频率成等差数列，∴第2组的频率为=0.25，∴第2组的频数为160×0.25=40．故答案为：40．由频率分布直方图得到前3组的频率和为1-（0.0375+0.0125）×5=0.75，由从左到右的前3组的频率成等差数列，得到第2组的频率为=0.25，由此能求出第2组的频数．本题考查等比数列的公比的求法，考查等差数列、等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．6.【答案】-【解析】解：由程序框图知所求为cos的值，当k=5时s=cos=故答案为：．由程序框图知所求为cos的值．本题考查程序框图的循环，属于简单题．7.【答案】log23【解析】解：函数，若，可得：，解得a=4-＞0舍去．，解得a=log23＞0，成立．故答案为：log23．利用分段函数列出方程，转化求解即可．本题考查分段函数的应用，对数的运算法则，考查计算能力．8.【答案】【解析】解：每天走的里程数是等比数列{a n}，公比q=，则S7==700，解得a1=，∴a7=×（）6=里，故答案为：设该匹马第一日走a1里，利用等比数列前n项和公式求出a1，即可求出这匹马在最后一天行走的里程数为本题考查了等比数列的通项公式与求和公式、方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．9.【答案】2π【解析】解：设圆柱底面直径和母线长分别为2a，b，∴4a2+b2=4，设a=cosα，b=2sinα（0＜α＜），∴圆柱的侧面积S=2πab=2π×cosα•2sinα=2πsin2α，∴圆柱的侧面积的最大值为2π．故答案为：2π．设圆柱底面直径和母线长分别为2a，b，求出底面半径，代入圆柱侧面积公式，利用三角函数求最值．本题考查的知识点是旋转体的侧面积，熟练掌握圆柱的侧面积公式是关键，是基础题．10.【答案】3【解析】解：由=3cos2x+2得：3-6sin2x-3sin x+2=0，即6sin2x+3sin x-5=0，得sin x=====，sin x====-=-，∵x∈（0，），∴sin x＞0，∴sin x=，即点P到x轴的距离为y=3×=3，故答案为：3．联立方程组求出sin x的值，然后代入求出y的值，即可求出点P到x轴的距离．本题主要考查三角函数的应用，联立方程组求出sin x的值是解决本题的关键．11.【答案】【解析】解：∵5a=8b，A=2B，由正弦定理可得，5sin A=8sin B=5sin2B，∴10sin B cosB=8sin B，∵sin B≠0，∴cos B=，∴sin B==，∴sin A===，cos A=cos2B=2cos2B-1=，则sin（A-）==，故答案为：．由已知结合正弦定理可求cos B，结合同角平方关系可求sin B=进而可求sin A，cos A，再结合两角差的正弦公式可求sin（A-）．本题主要考查了正弦定理，同角平方关系及两角差正弦公式，二倍角公式的简单应用，属于中档试题．12.【答案】[-，]【解析】解：根据题意，若△ABC为等腰直角三角形，其中C为直角顶点且|AB|=2，则C到AB的距离为=1，若圆O：x2+y2=1上存在点C，使得△ABC为等腰直角三角形，则圆心O到直线l的距离d≤2，即有≤2，解可得：-≤a≤，即a的取值范围[-，]；故答案为：[-，]．根据题意，由直角三角形的性质分析可得C到AB的距离为=1，结合直线与圆的位置关系可得圆心O到直线l的距离d≤2，即有≤2，解得a的取值范围，即可得答案．本题考查直线与圆的位置关系，涉及点到直线的距离公式，属于基础题．13.【答案】-【解析】解：以A为原点，AC为x轴建立如图所示的直角坐标系：则B（0，2），C（1，0），D（，1），E（，），设直线PQ的方程为：+=1，则由E在直线PQ上，得+=1，（a＞0，b＞0），∴Q（a，0），P（0，b）．•=（a-0，-2）•（-1，b）=-a-2b=-（a+2b），∵（a+2b）（+）=+1++≥+2=，∴•=-（a+2b）≤-=-，故答案为：-．建立直角坐标系，利用向量的坐标运算以及基本不等式可得．本题考查了平面向量数量积的性质及其运算，属中档题．14.【答案】（1，+∞）【解析】解：已知函数f（x）=x2+|x-a|，g（x）=（2a-1）x+a ln x，若函数y=f（x）与函数y=g（x）的图象恰好有两个不同的交点，转换成利用函数f（x）-g（x）的零点个数为2个求解，①a＜0时，h（x）=f（x）-g（x）很显然，a＜0，h（x）=f（x）-g（x）单调递增，至多有一个零点，不符合题意；②a＞0时，令h（x）=f（x）-g（x）=x2+|x-a|-（2a-1）x-a ln x=，可以求得a＞0时，h（x）=0由两个零点时，h（a）＜0，解得：a＞1，所以a＞1，故实数a的取值范围为（1，+∞）；函数y=f（x）与函数y=g（x）的图象恰好有两个不同的交点，可转换成利用函数f（x）-g（x）的零点个数为2个即可求解．本题考查函数的交点，选取分类讨论法是解决本题的关键，属于中档题．15.【答案】解：（1）证明：因为E，F分別为BD，CD的中点，所以EF∥BC，又BC⊂面ABC，所以EF∥面ABC，（2）证明：因为AC⊥BC，AC⊥DC，所以AC⊥面BCD，又BD⊂面BCD，所以BD⊥AC，又BC=DC，E为BD的中点．所以BD⊥CE，又AC∩CE=C，所以BD⊥面ACE，命题得证【解析】（1）由线面平行的判定得：因为E，F分別为BD，CD的中点，所以EF∥BC，又BC⊂面ABC，所以EF∥面ABC，（2）由线面垂直的判定定理得：因为BD⊥AC，BD⊥CE，又AC∩CE=C，所以BD⊥面ACE ，命题得证．本题考查了线线平行、线面平行的判定及线线垂直，线面垂直的判定定理，属中档题．16.【答案】解：（1），+2sin2α=2；∴；又；∴与的夹角为；（2）∵；∴；∴λ=2．【解析】考查根据向量坐标求向量长度的方法，向量坐标的数量积运算，向量夹角的余弦公式，以及向量夹角的范围．属于基础题.（1）根据向量的坐标即可求出，从而可求出，根据向量夹角的范围即可求出夹角；（2）根据即可得出，进行数量积的运算即可求出实数λ．17.【答案】解：（1）以AB的为x轴，以PO所在的直线的为y轴，不妨设f（x）=ax2+40，∵直路AB长为40米，∴B（20，0），∴0=400a+40，解得a=-，∴f（x）=-x2+40，∵C到抛物线的对称轴的距离为m米，到直路AB的距离为n米，∴n=-m2+40，0≤m≤20；（2）由（1）可得CD=2m，AB=40，∴S梯形ABCD=（2m+40）n=（m+20）（-m2+40）=-m3-2m2+40m+800设g（m）=-m3-2m2+40m+800，0≤m≤20∴g′（m）=-m2-4m+40=-（3m-20）（m+20），0≤m≤20令g′（m）=0，解得m=，当0≤m＜时，g′（m）＞0，函数g（m）单调递增，当＜m≤20时，g′（m）＜0，函数g（m）单调递减，∴g（m）max=g（）=（+20）（-×+40）=答：当m=时，腰梯形草坪ABCD的面积最大，其最大值为．【解析】本题考查了函数在实际生活中的应用，考查了导数求函数的最值，考查了分析问题，解决问题的能力，属于中档题．（1）以AB的为x轴，以PO所在的直线的为y轴，不妨设f（x）=ax2+40，求出a的值，即可得到n关于m的函数关系式，（2）S梯形ABCD=-m3-2m2+40m+800，设g（m）=-m3-2m2+40m+800，0≤m≤20，利用导数求出函数的最值即可．18.【答案】（1）解：（1）由题可得e==，，解得a=2，c=，则b2=a2-c2=1．由此椭圆的标准方程为：+y2=1．（2）证明：设直线PB的方程为：y=k1（x-t），设A（x1，y1），B（x2，y2），由题意，可得：由整理，得：（1+4）x2-8k t•x+4（k2t2-1）=0，∴x1+x2=，x1x2=，∵==．同理，可得：．∴====．再设直线PD的方程为：y=k2（x-t），设C（x3，y3），D（x4，y4），则由上面过程同理，可得到：．∴==．∵k1和k2是定值．∴是定值．∴为定值．【解析】（1）由题设条件推导出e==，所以，由此能求出椭圆的标准方程．（2）分别设出两条直线方程，然后与椭圆的标准方程+y2=1联立，通过设而不求的方法消去不定的值t，剩下的算式只与定值k1和k2有关，最终得证．本题第（1）主要考查椭圆的离心率和准线方程以此得到椭圆的标准方程；第（2）主要考查平面解析几何中的设而不求的方法来判断定值问题，本题属中档题．19.【答案】解：（1）f′（x）=ln x++a，f′（1）=a+2=-1，a=-3，（1分）f（1）=a=-3，将点（1，-3）代入x+y+b=0，解得b=2．（2分）（2）①因为g（x）=（+1）ln x-1，则g′（x）=-+=．（3分）令φ（x）=x-ln x+1，则φ′（x）=1-≥0，函数φ（x）在区间[1，e]上单调递增．（5分）因为φ（x）≥φ（1）＞0，（6分）所以g′（x）＞0，函数g（x）在区间[1，e]上单调递增，所以函数g（x）的最大值为g（e）=．（8分）②同理，单调增函数g（x）=∈[a，a+1+]，（9分）则h（x）=•．1°若a≥0，g（x）≥0，h（x）=，h′（x）=≤0，令u（x）=-（1+x+x2）ln x-ax2+x+1，则u′（x）=-（1+2x）ln x--（2a+1）x＜0，即函数u（x）区间在[1，e]上单调递减，所以u（x）max=u（1）=-a+2≤0，所以a≥2．（11分）2°若a≤-，g（x）≤0，h（x）=-，由1°知，h′（x）=，又函数h（x）在区间[1，e]上是单调减函数，所以u（x）=-（1+x+x2）ln x-ax2+x+1≥0对x∈[1，e]恒成立，即ax2≤x+1-（1+x+x2）ln x对x∈[1，e]恒成立，即a≤+-ln x对x∈[1，e]恒成立．令φ（x）=+-ln x，x∈[1，e]，φ′（x）=---（-）ln x-（++1）=---+（+）ln x，记μ（x）=ln x-x+1（1≤x≤e），又μ′（x）=-1=≤0，所以函数μ（x）在区间[1，e]上单调递减，故μ（x）max=μ（1）=0，即ln x≤x-1，所以φ′（x）=---+（+）ln x≤---+（+）ln x（x-1）=--＜0，即函数φ（x）在区间[1，e]上单调递减，所以φ（x）min=φ（e）=+-（++1）ln e=-1，所以a≤φ（x）min=-1，又a≤-，所以a≤-．（13分）3°若-＜a＜0，因为g（x）==（1+）ln x+a，g′（x）=-+=≥=＞0，所以函数g（x）=在区间[1，e]上单调递增．又g（1）g（e）=a（a+1+）＜0，则存在唯一的x0∈（1，e），使得h（x0）==0，所以函数h（x）在区间[1，e]上不单调．（15分）综上，实数a的取值范围为（-∞，-1-]∪[2，+∞）．（16分）【解析】（1）f′（x）=ln x++a，f′（1）=a+2=-1，解得a．f（1）=-3，将点（1，-3）代入x+y+b=0，解得b．（2）①g（x）=（+1）ln x-1，可得g′（x）=-+=．令φ（x）=x-ln x+1，利用导数研究其单调性即可得出最值．②同理，单调增函数g（x）=∈[a，a+1+]，h（x）=•．对a分类讨论，研究其单调性最值即可得出．本题考查了利用导数研究其单调性、方程与不等式的解法、等价转化方法、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．20.【答案】解：（1）等差数列1，3，5不是P数列，由于其中3，5不满足3×5或仍在数列中；（2）数列a，b，c，6是P数列，所以1=a＜b＜c＜6，由于6b或是数列中的项，而6b大于数列中的最大项6，则是数列中的项，同理也是数列中的项，考虑到1＜＜＜6，于是=b，=c，即bc=6，又1＜b＜c，所以1＜b＜，综上，b的取值范围是（1，）．（3）证明：数列{b n}是P数列，所以1=b1＜b2＜b3＜…＜b n，由于b2b n或是数列中的项，而b2b n大于数列中的最大项b n，则是数列{b n}中的项，同理，，…，，也都是数列{b n}中的项，考虑到1＜＜…＜＜b n，且1，．…，，b n这n个数全是共有n项的增数列1，b2，…，b n中的项，∴=b2，…，=b n-1，从而b n=b i b n+1-i（i =1，2，…，n-1），①又∵b n-1b3＞b n-1b2=b n，所以b n-1b3不是数列{b n}中的项，∴是数列{b n}中的项，同理，…也都是数列{b n}中的项，考虑到1＜＜…＜＜＜=b n-2＜b n-1＜b n，且1，，…，，，，b n-1，b n这n个数全是共有n项的增数列1，b2，…，b n中的项，于是，同理有，b n-1=b i b n-i（i=1，2，…，n-2），②在①中将i换成i+1后与②相除，得=，i=1，2，…，n-2，∴b1，b2，…，b n是等比数列．【解析】（1）由新定义考虑3，5两个元素不符题意，即可判断；（2）由P数列，可得1＜b＜c＜6，即有bc=6，进而得到b的范围；（3）由数列为P数列，考虑b n与b2，b3，…，b n-1，的比在数列中，推得b n=b i b n+1-i（i =1，2，…，n-1），①，b n-1=b i b n-i（i=1，2，…，n-2），②，再由等比数列的定义，即可得证．本题考查数列的新定义的理解和运用，考查等差数列和等比数列的定义和性质，以及分类讨论思想方法，考查运算能力和推理能力，属于综合题．21.【答案】解：由特征值与特征向量的定义，可知：Aα=-1•α．即：•=-1•整理，得：=∴，解得：．∴A=．∵矩阵A的特征多项式f（λ）==（λ+3）（λ+1）．令f（λ）=0，即（λ+3）（λ+1）=0，解得：λ=-1，或λ=-3．∴矩阵A的另一个特征值为-3．【解析】本题可根据特征值与特征向量的定义写出算式Aα=-1•α，然后将矩阵代入计算可得x、y的值，然后写出矩阵A的特征多项式f（λ），令f（λ）=0即可找到矩阵A的另一个特征值．本题主要考查根据特征值与特征向量的定义式计算出矩阵中的参数，然后根据矩阵的特征多项式计算出矩阵的另一个特征值．本题属中档题．22.【答案】解：由ρsin（θ-）=0得ρsinθcos-ρcosθ=0，即y=x，由消去t得y2-x2=1，联立解得A（，），B（-，-），∴|AB|===2．【解析】由ρsin（θ-）=0得ρsinθcos-ρcosθ=0，即y=x，消去参数t可得曲线C的直角坐标方程，联立直线l与曲线C可解得A，B的坐标，再用两点间的距离公式可得|AB|．本题考查了简单曲线的极坐标方程，属中档题．23.【答案】解：不等式|x+1|+|x-a|≥5对任意x∈R恒成立⇔（|x+1|+|x-a|）min≥5，∵|x+1|+|x-a|≥|x+1-（x-a）|=|1+a|，∴|a+1|≥5，即a≥4或a≤-6，所以实数a的取值范围为：（-∞，-6]∪[4，+∞）．【解析】不等式|x+1|+|x-a|≥5对任意x∈R恒成立⇔（|x+1|+|x-a|）min≥5，由绝对值不等式的性质，可得最小值，解不等式即可得到所求a的范围．本题考查绝对值不等式的解法，考查绝对值不等式的性质的运用，以及不等式恒成立思想的运用，考查运算能力，属于中档题．24.【答案】解：由于批量较大，可以认为随机变量X～B（10，0.05），（1）恰好有2件不合格的概率为P（X=2）=×0.052×0.958，恰好有3件不合格的概率为P（X=3）=．因为P（X=2）÷{P（X=3）}==＞1，所以P（X=2）＞P（X=3），即恰好有2件不合格的概率大．（2）因为P（X=k）=，（k=0，1，2，…，10）．随机变量X的概率分布为：X012 (910)P…故E（X）==10×0.05=0.5故随机变量X的期望为E（X）=0.5【解析】（1）随机变量X服从二项分布，利用二项分布的概率公式求出恰好有2件不合格的概率P（X=2）”和“恰好有3件不合格的概率P（X=3）”比较即可．（2）确定X的取值从0到10，按照二项分布的概率公式求出X每个取值对应的概率，列出分布列，求期望．本题考查了二项分布及其期望的求法，主要考查简单的计算，二项分布的期望为np（p 为成功概率），属于中档题．25.【答案】解：（1）f（2）==，f（3）==，g（2）=，g（3）==（2）∵====，∴h（n）=f（n）-g（n）==，下面用数学归纳法证明：对对任意的m∈N*，m≥2，总有h（2m）＞．当m=2时，h（4）=++=，当m=3时，h（8）=+++＞+=+＞1，假设当m=t，t≥2，总有h（2t）＞．则当m=t+1，h（2t+1）=h（2t）+++…+＞+（+）++ +…+∵t≥3时，+-=＞0，∴+＞，又++…+＞++…+=，∴h（2t+1）＞++=，即当m=t+1时，命题成立，综上命题对任意的任意的m∈N*，m≥2，总有h（2m）＞成立．【解析】（1）利用n=2，n=3直接代入求解即可．（2）先化简，求出h（n）=f（n）-g（n）的表达式，利用数学归纳法进行证明即可．本题主要考查函数与不等式的证明，求出函数的表达式，利用数学归纳法以及结合组合数公式的性质进行证明是解决本题的关键．综合性较强，难度较大．。
苏锡常镇四市高三教学情况调查(一)数学Ⅰ试题参考答案.doc
201X 年苏、锡、常、镇四市高三教学情况调查（一）数学Ⅰ试题参考答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1．23 23. 24. 0 5．37 6．2 7．（2）（4） 89．[102-,] 10． 2940n n -+ 11．5212. 1或2 13. 0 14. 7二、解答题：本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．解：（1） ∵2222cos a b c bc A =+-=22426105c c -⨯=218c ，∴a =． …………………………………2分 ∵4cos 5A =，0πA <<， ∴3sin 5A =．∵sin sin a cA C=， ∴sin sin c A C a =3c ⨯=10． ……………………………5分 （2）∵c a <，∴C 为锐角，∴cos C ==∵3424sin 22sin cos 25525A A A ==⨯⨯=，2167cos22cos 1212525A A =-=⨯-=， ………………………8分 ∴sin(2)A C +=sin 2cos cos2sin A C A C +=2472525+=………………………10分 （3）∵5b c =， ∴sin 5sin B bC c==，sin 5sin B C =．∴23153sin sin sin 2220B C C ==． ……………12分又∵S =2213sin 2212a bc A c ==，∴231220a =，∴a ． ……………………14分 16．证明：（1）取PC 中点F ，连结EF ，BF ，∵E 为PD 中点，∴EF ∥DC 且EF =12DC ．………2分∵AB ∥DC 且12AB DC =， ∴EF ∥AB 且EF =AB ．……………4分 ∴四边形ABFE 为平行四边形． ∴AE ∥BF ． …………………6分 ∵AE ⊄平面PBC ，BF ⊂平面PBC ， ∴AE ∥平面PBC . ………………8分 （2）∵PB ⊥AC ，BD ⊥AC ，PBBD B =，∴AC ⊥平面PBD ． ∵PD ⊂平面PBD ，∴AC ⊥PD ． …………………………………………10分 ∵AP AD =，E 为PD 的中点，∴PD AE ⊥． …………………………………………12分 ∵AEAC A =，∴PD ⊥平面ACE . …………………………………………14分17．解：（1）由已知，得22,39,2c a a c ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ ……………………………………2分解得3,2.a c =⎧⎨=⎩ ∴ 229,5.a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩………………………………4分∴椭圆C 的标准方程为22195x y +=．………………………………6分（2）设点11(,)P x y （123x -<<），点M 29(,)2y ，∵点F 、P 、M 三点共线，12x ≠-， ∴1211322y y x =+，121132(2)y y x =+， ∴点M 11139(,)22(2)y x +． ……………………………………………8分FP E A BCD（第16题图）∵1113y k x =-，121133(2)y k x =+， ∴12k k ⋅=11111333(2)y y x x ⨯-+=2111133(2)(3)y x x +-． ……………………10分 ∵点P 在椭圆C 上， ∴2211195x y +=， ∴22115(9)9y x =--．∴12k k ⋅=2111513()(9)93(2)(3)x x x ⨯--+-=11365272x x +-⨯+=1651(1)272x -⨯++．……………12分∵123x -<<， ∴12269k k ⋅<-． ∴12k k ⋅的取值范围是26(,)9-∞-． ……………………………………14分 18．解：（1）39xAM x =-(1030)x ≤≤． …………………………………2分 （2）2222229(9)x MN AN AM x x =+=+-． …………………………4分∵:16:9MN NE =， ∴916NE MN =． ∴2222999[]1616(9)x S MN NE MN x x =⋅==+-． …………………6分定义域为[10,30]． ……………………………8分 （3）224918(9)9(218)[2]16(9)x x x x S x x ---'=+-=339[(9)81]8(9)x x x --⨯-，………11分 令0S '=，得0x =（舍），9x =+…………………13分当109x <+≤时，0,S '<S 关于x 为减函数；当930x +<≤时，0,S '>S 关于x 为增函数；∴当9x =+S 取得最小值． …………………15分 答：当AN长为9+时，液晶广告屏幕MNEF 的面积S 最小．…16分19．解: (1) ∵25,A =21B =-,∴22211115,1,a a q a a q ⎧+=⎨-=-⎩ ∴12,1,2a q =-⎧⎪⎨=⎪⎩或11,2.a q =⎧⎨=⎩ ………………2分∴21()2n n a -=-，或12n n a -=. ……………………………………4分(2) ∵222112()n n n n a a q a a ++===常数， 2111(1)(1)(1)n n n n n na a q a a ++++-=-⨯=--=常数， ∴数列2{}na ，1{(1)}n n a +-均为等比数列，首项分别为21a ，1a ，公比分别为2q ，q -． ………………………………6分①当n 为奇数时，当1q =时, 1n S na =，21n A na =，1n B a =, ∴21n n n B S na A ==.当1q =-时, 1n S a =，21n A na =，1n B na =,∴21n n n B S na A ==. ……………………………………8分 当1q ≠±时, 设21()n k k *=-∈N ，21121(1)1k k a q S q ---=-，222122*********[1()](1)(1)11k k k k a q a q q A q q ------+==--，21211121[1()](1)11k k k a q a q B q q-----+==++,∴212121k k k B S A ---=．综上所述，当n 为奇数时，n n n B S A =. ……………………10分 ②当n 为偶数时， 存在常数121a qλ=+，使得等式()0n n n B S A λ-+=恒成立． ……11分 ∵1q ≠，∴1(1)1n n a q S q -=-，2212(1)1n n a q A q -=-，1(1)1n n a q B q -=+．∴()n n n B S A λ-+=221112(1)(1)(1)[]111n n n a q a q a q q q q λ----++--222211122(1)(1)(1)111n n n a q a q a q q q q λ---=-+---21122(1)(1)11n n a q a q q qλ--=---=11(1)2()11n a q a q q λ---+ ． ………………………………14分 由题设，11(1)2()011n a q a q q λ--=-+对所有的偶数n 恒成立，又1(1)01n a q q-≠-， ∴121a qλ=+． ………………………………16分 ∴存在常数121a qλ=+，使得等式()0n n n B S A λ-+=恒成立． 20．解：（1）当230n m +=时，22()3ln f x x mx m x =+-．则222323(23)()()2m x mx m x m x m f x x m x x x +-+-'=+-==． 令()0f x '=，得32mx =-（舍），x m =．…………………3分①当m >1时，∴当x m =时, 2223ln ()min m x m f m -=．令2223ln 0m m m -=，得23m =e ． ……………………………5分 ②当01m <≤时，()f x '≥0在[1,)x ∈+∞上恒成立，()f x 在[1,)x ∈+∞上为增函数，当1x =时, min ()1f x m =+．令10m +=，得1m =-（舍）．综上所述，所求m 为23e m =． ……………………………7分 (2) ∵对于任意的实数[1,2]a ∈，1b a -=，()f x 在区间(,)a b 上总是减函数，则对于x ∈(1,3)，22()2n x mx nf x x m x x++'=++=＜0，∴()0≤f x '在区间[1,3]上恒成立． ……………………9分 设g (x )=22x mx n ++，∵0x >，∴g (x )≤0在区间[1,3]上恒成立． 由g (x )二次项系数为正，得(1)(3)g g ⎧⎨⎩≤0,≤0, 即2318m n m n ++⎧⎨++⎩≤0,≤0, 亦即23n m nm -⎧⎪⎨⎪⎩≤-,≤-.-6 ………12分 ∵ (2)n --(6)3n ---=224(6)33n n -=--，∴ 当n ＜6时，m ≤3n--6， 当n ≥6时，m ≤2n --， ……………………………14分∴ 当n ＜6时，h (n )= 63n--，当n ≥6时，h (n )= 2n --， 即 6.6,6,()32,n n h n n n ⎧--<⎪=⎨⎪--⎩≥ ……………………………16分。
江苏省苏锡常镇四市高考数学一模试卷
江苏省苏锡常镇四市高考数学一模试卷一、解答题详细信息1.难度：中等已知集合A={1，2，3}，集合B={3，4}，则A∩B=．详细信息2.难度：中等已知复数z=1-2i（i为虚数单位），则z2= ．详细信息3.难度：中等已知命题p：直线a，b相交，命题q：直线a，b异面，则¬p是q的条件．详细信息4.难度：中等某公司为了改善职工的出行条件，随机抽取100名职工，调查了他们的居住地与公司间的距离d（单位：千米）．由其数据绘制的频率分布直方图如图所示，则样本中职工居住地与公司间的距离不超过4千米的人数为．详细信息5.难度：中等如图，给出一个算法的伪代码，已知输出值为3，则输入值x= ．详细信息6.难度：中等已知角α（0≤α＜2π）的终边过点，则α=．详细信息7.难度：中等写出一个满足f（xy）=f（x）+f（y）-1（x，y＞0）的函数f（x）= ．详细信息8.难度：中等已知点M与双曲线的左，右焦点的距离之比为2：3，则点M的轨迹方程为．详细信息9.难度：中等投掷两颗骰子，得到其向上的点数分别为m，n，设，则满足的概率为．详细信息10.难度：中等等差数列{an }中，已知a8≥15，a9≤13，则a12的取值范围是．详细信息11.难度：中等已知a，b为正实数，函数f（x）=ax3+bx+2x在[0，1]上的最大值为4，则f （x）在[-1，0]上的最小值为．详细信息12.难度：中等如图，已知二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c为实数，a≠0）的图象过点C（t，2），且与x轴交于A，B两点，若AC⊥BC，则a的值为．详细信息13.难度：中等}的前2012项和设u（n）表示正整数n的个位数，，则数列{an等于．详细信息14.难度：中等将函数（x∈[0，2]）的图象绕坐标原点逆时针旋转θ（θ为锐角），若所得曲线仍是一个函数的图象，则θ的最大值为．详细信息15.难度：中等在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量，，且．（1）求角C的大小；（2）若a2=2b2+c2，求tanA的值．详细信息16.难度：中等如图1所示，在Rt△ABC中，AC=6，BC=3，∠ABC=90°，CD为∠ACB的平分线，点E在线段AC上，CE=4．如图2所示，将△BCD沿CD折起，使得平面BCD⊥平面ACD，连接AB，设点F是AB的中点．（1）求证：DE⊥平面BCD；（2）若EF∥平面BDG，其中G为直线AC与平面BDG的交点，求三棱锥B-DEG 的体积．17.难度：中等如图，两个圆形飞轮通过皮带传动，大飞轮O1的半径为2r（r为常数），小飞轮O2的半径为r，O1O2=4r．在大飞轮的边缘上有两个点A，B，满足，在小飞轮的边缘上有点C．设大飞轮逆时针旋转一圈，传动开始时，点B，C在水平直线O1O2上．（1）求点A到达最高点时A，C间的距离；（2）求点B，C在传动过程中高度差的最大值．详细信息18.难度：中等如图，已知椭圆的上顶点为A，直线y=-4交椭圆E于点B，C（点B在点C的左侧），点P在椭圆E上．（1）若点P的坐标为（6，4），求四边形ABCP的面积；（2）若四边形ABCP为梯形，求点P的坐标；（3）若（m，n为实数），求m+n的最大值．详细信息19.难度：中等数列{an }中，a1=1，a2=2．数列{bn}满足，n∈N+．（1）若数列{an }是等差数列，求数列{bn}的前6项和S6；（2）若数列{bn }是公差为2的等差数列，求数列{an}的通项公式；（3）若b2n -b2n-1=0，，n∈N+，求数列{an}的前2n项的和T2n．20.难度：中等若斜率为k的两条平行直线l，m经过曲线C的端点或与曲线C相切，且曲线C 上的所有点都在l，m之间（也可在直线l，m上），则把l，m间的距离称为曲线C在“k方向上的宽度”，记为d（k）．（1）若曲线C：y=2x2-1（-1≤x≤2），求d（-1）；（2）已知k＞2，若曲线C：y=x3-x（-1≤x≤2），求关于k的函数关系式d （k）．详细信息21.难度：中等（选做题）如图，正△ABC外接圆的半径为1，点M，N分别是边AB，AC的中点，延长MN与△ABC的外接圆交于点P，求线段NP的长．详细信息22.难度：中等（选做题）二阶矩阵M对应的变换将点（1，-1）与（-2，1）分别变换成点（-1，-1）与（0，-2）．设直线l在变换M作用下得到了直线m：2x-y=4，求直线l的方程．详细信息23.难度：中等已知极坐标系的极点O与直角坐标系的原点重合，极轴与x轴的正半轴重合，曲线C1：与曲线C2：（t∈R）交于A、B两点．求证：OA⊥OB．详细信息24.难度：中等（选做题）设实数x，y，z满足x+2y-3z=7，求x2+y2+z2的最小值．详细信息25.难度：中等某地区通过先初试再复试选拔篮球运动员，初试依次进行四项测试，若选手通过其中两项测试，则可直接进入复试，不再进行剩余项测试；若选手前三项测试均不通过，则不进行第四项测试．假设选手甲在初试中通过每项测试的概率都是，且每项测试是否通过互相独立．（1）求选手甲前两项测试均不通过的概率；（2）设选手甲参加初试测试的次数为X（X≥2），求X的分布列及X的数学期望．详细信息26.难度：中等从函数角度看，组合数可看成是以r为自变量的函数f（r），其定义域是{r|r∈N，r≤n}．（1）证明：；（2）利用（1）的结论，证明：当n为偶数时，（a+b）n的展开式中最中间一项的二项式系数最大．。
高三数学第一次模拟考试试卷分析
溧阳市高三数学第一次模拟考试试卷分析苏锡常镇第一次模拟考试是高考的预演, 既可检测教与学的基本状况, 也能为后续复习教学有效展开提供必要的参考依据。
今年的模拟试题延续了期末考试命题的基本思路, 也与2011年高考命题的指导思想大致吻合。
一、抽样数据分析表1（各题的难度与均分）表2（大题与总体的难度与均分）从抽样情况看, 1-9题的难度基本适中；10-12题偏难；13-14属难题, 正常； 15-16题的难度适当；17-18题第⑴问属常规题型, 第⑵问难度过大, 许多学生在此消耗的时间和精力过多；19题属常规题型, 但到此许多学生不是时间不够, 就是运算不过关或精力不集中等等原因, 致使得分仍不理想；20题主要是时间问题或试题的呈现方式等因素, 学生读题、审题和寻找解决问题的方法和途径等各个环节都没有处理好, 得分不理想, 但难度是恰当的。
由此可以看出: 填空题稍有失控, 解答题基本恰当, 整体的难度尚能够接受。
二、各题简要分析第2题, 学生对渐近线的理解和求解不到位,靠死记硬背而出错的情况比较多。
第5题, 抽样函数的性质应用不熟练, 转化的能力尚存在不足, 数形结合的意识不强。
第6题学生对含参变量 的不等式的解法不习惯, 或者由于区间端点不注意造成错误。
第7题, 读题、审题, 并从中提取有效信息的能力还有待进一步提高。
第10题, 本身不是难题, 但学生类比推理能力不够, 尤其从二维拓展为三维时不能把握数据的变化。
事实上, 考试说明的没有相关运算的要求, 学生又不会也在情理之中。
第11题, 线性规划和数列相结合, 由于 表示的平面区域图比较难画, 再加上坐标系的选取不同, 计算的失误也是失分的主要因素第12题, 学生不能把相关条件转化为图形, 再从图象上寻找等量关系；再加上审题不过关和对数的运算能力比较差而造成出错。
第13题, 学生很难寻找到问题解决的方法和途径, 平面向量和函数最值本身就是难点。
江苏省苏、锡、常、镇2025届高三第一次模拟考试数学试卷含解析
江苏省苏、锡、常、镇2025届高三第一次模拟考试数学试卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知双曲线)，其右焦点F 的坐标为，点是第一象限内双曲线渐近线上的一点，为坐标原点，满足，线段交双曲线于点.若为的中点，则双曲线的离心率为（ ）A ．B ．2C ．D ．2．函数()[]()cos 2,2f x x x ππ=∈-的图象与函数()sin g x x =的图象的交点横坐标的和为（ ） A ．53π B ．2πC ．76π D ．π3．已知等差数列{}n a 的公差不为零，且11a ，31a ，41a 构成新的等差数列，n S 为{}n a 的前n 项和，若存在n 使得0n S =，则n =（ ） A ．10B ．11C ．12D ．134．陀螺是中国民间较早的娱乐工具之一，但陀螺这个名词，直到明朝刘侗、于奕正合撰的《帝京景物略》一书中才正式出现.如图所示的网格纸中小正方形的边长均为1，粗线画出的是一个陀螺模型的三视图，则该陀螺模型的表面积为（ ）A ．()85424πB ．()85824πC ．()854216πD ．()858216π5．若复数z 满足(1)12i z i +=+，则||z =( )A ．22B ．32C 10D ．126．已知集合1|2A x x ⎧⎫=<-⎨⎬⎩⎭，{|10}B x x =-<<则AB =（ ）A ．{|0}x x <B ．1|2x xC ．1|12x x ⎧⎫-<<-⎨⎬⎩⎭D ．{|1}x x >-7．上世纪末河南出土的以鹤的尺骨（翅骨）制成的“骨笛”（图1），充分展示了我国古代高超的音律艺术及先进的数学水平，也印证了我国古代音律与历法的密切联系.图2为骨笛测量“春（秋）分”，“夏（冬）至”的示意图，图3是某骨笛的部分测量数据（骨笛的弯曲忽略不计），夏至（或冬至）日光（当日正午太阳光线）与春秋分日光（当日正午太阳光线）的夹角等于黄赤交角.由历法理论知，黄赤交角近1万年持续减小，其正切值及对应的年代如下表： 黄赤交角 2341︒'2357︒'2413︒'2428︒'2444︒'正切值 0.439 0.4440.4500.4550.461年代公元元年公元前2000年公元前4000年公元前6000年公元前8000年根据以上信息，通过计算黄赤交角，可估计该骨笛的大致年代是( ) A ．公元前2000年到公元元年 B ．公元前4000年到公元前2000年 C ．公元前6000年到公元前4000年D ．早于公元前6000年8．执行如图所示的程序框图，若输出的结果为3，则可输入的实数x 值的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．49．已知六棱锥P ABCDEF -各顶点都在同一个球（记为球O ）的球面上，且底面ABCDEF 为正六边形，顶点P 在底面上的射影是正六边形ABCDEF 的中心G ，若6PA =，2AB =，则球O 的表面积为（ ）A ．163πB ．94π C ．6πD ．9π10．点O 为ABC ∆的三条中线的交点，且OA OB ⊥，2AB =，则AC BC ⋅的值为( ) A ．4B ．8C ．6D ．1211．设()ln f x x =，若函数()()g x f x ax =-在区间()20,e 上有三个零点，则实数a 的取值范围是( )A ．10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．211,e e ⎛⎫⎪⎝⎭ C ．222,e e ⎛⎫⎪⎝⎭ D ．221,e e ⎛⎫⎪⎝⎭ 12．过圆224x y +=外一点(4,1)M -引圆的两条切线，则经过两切点的直线方程是（ ）． A ．440x y --=B ．440x y +-=C ．440x y ++=D ．440x y -+=二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。