苏锡常镇一模数学

2014～2015学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研(一)

数学 本试卷共4页包含填空题(第1题～第14题)、解答题(第15题～第20题)．本

卷满分160分，考试时间为120分钟．

一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．

1. 已知集合A ＝{x|－10}，则A ∩B ＝________．

2. 若复数5

1－2i ＋m(i 为虚数单位)为纯虚数，则实数m ＝________

3. 双曲线x 2

－y 2

2

＝1的离心率为________．

4. 在一次满分为160分的数学考试中，某班40名学生的考试成绩分布如下：

在该班随机抽取一名学生，则该生在这次考试中成绩在120分以上的概率为________．

(第6题)

5. 函数y ＝ln (x 2－2)的定义域为________．

6. 如图，四棱锥PABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是矩形，AB ＝2，AD ＝3，PA ＝4，点E 为棱CD 上一点，则三棱锥EPAB 的体积为________．

7. 右图是一个算法流程图，则输出的x 的值为________．

(第7题)

8. 已知等比数列{a n }的各项均为正数，若a 4＝a 22，a 2＋a 4＝5

16，则a 5＝________． 9. 若曲线C 1：y ＝ax 3－6x 2＋12x 与曲线C 2：y ＝e x 在x ＝1处的两条切线互相垂直，则实数a 的值为________．

10. 设函数f (x )＝sin (ωx ＋φ)＋3cos (ωx ＋φ)(ω>0，|φ|<π

2)的最小正周期为π，且满足

f (－x )＝f (x )，则函数f (x )的单调增区间为________．

(第11题)

11. 如图，在平行四边形ABCD 中，E 为DC 的中点，AE 与BD 交于点M ，AB ＝2，AD ＝1，且MA →·MB →＝－16

，则AB →·AD →

＝________.

12. 在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C ：x 2＋(y －3)2＝2，点A 是x 轴上的一个动点，AP ，AQ 分别切圆C 于P ，Q 两点，则线段PQ 长的取值范围为________．

13. 已知直线y ＝kx ＋1与曲线f (x )＝|x ＋1x |－|x －1

x |恰有四个不同的交点，则实数k 的取

值范围为________．

14. 已知实数x ，y 满足x>y>0，且x ＋y ≤2，则2x ＋3y ＋1

x －y 的最小值为________．

二、 解答题：本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15. (本小题满分14分)

已知向量a ＝⎝⎛⎭⎫sin ⎝

⎛⎭⎫α＋π6，3，b ＝(1，4cos α)，α∈(0，π)． (1) 若a ⊥b ，求tan α的值；

(2) 若a ∥b ，求α的值．

如图，四边形AA 1C 1C 为矩形，四边形CC 1B 1B 为菱形，且平面CC 1B 1B ⊥平面AA 1C 1C ，D ，E 分别为A 1B 1，C 1C 的中点．

(1) 求证：BC 1⊥平面AB 1C ； (2) 求证：DE ∥平面AB 1C .

(第16题)

17. (本小题满分14分)

如图，有一段河流，河的一侧是以O 为圆心，半径为103米的扇形区域OCD ，河的另一侧是一段笔直的河岸l ，岸边有一烟囱AB (不计B 离河岸的距离)，且OB 的连线恰好与岸岸l 垂直，设OB 与圆弧CD ︵

的交点为E.经测量，扇形区域和河岸处于同一水平面，在点C ，点O 和点E 处测得烟囱AB 的仰角分别为45°，30°和60°.

(1) 求烟囱AB 的高度：

(2) 如果要在CE 间修一条直路，求CE 的长．

(第17题)

在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的离心率为2

2

，且过点

⎝

⎛⎭⎫1，62，过椭圆的左顶点A 作直线l ⊥x 轴，点M 为直线l 上的动点(点M 与点A 不重合)，

点B 为椭圆右顶点，直线BM 交椭圆C. (1) 求椭圆C 的方程； (2) 求证：AP ⊥OM ；

(3) 试问OP →·OM →

是否为定值？若是定值，请求出该定值；若不是定值，请说明理由．

(第18题)

已知函数f(x)＝e x|x2－a|(a≥0)．

(1)当a＝1时，求f(x)的单调减区间；

(2)若方程f(x)＝m恰好有一个正根和一个负根，求实数m的最大值．

已知数列{a n}的前n项和为S n，设数列{b n}满足b n＝2(S n＋1－S n)S n－n(S n＋1＋S n)(n∈N*)．

(1) 若数列{a n}为等差数列，且b n＝0，求数列{a n}的通项公式；

(2) 若a1＝1，a2＝3，且数列{a2n－1)，{a2n}都是以2为公比的等比数列，求满足不等式b2n

(这是边文，请据需要手工删加)

2014～2015学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研(一)

数学附加题21. 【选做题】在A ，B ，C ，D 四小题只能选做两题．．．．．．，每小题10分，共计20分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A. 选修4-1：几何证明选讲

如图，AB 为圆O 的切线，A 为切点，C 为线段AB 的中点，过C 作圆O 的割线CED (E 在C ，D 之间)，求证：∠CBE ＝∠BDE .

(第21A 题)

B. 选修4-2：矩阵与变换

求曲线|x |＋|y |＝1在矩阵M ＝⎣⎢⎢⎡⎦

⎥⎥⎤

10013对应的变换作用下得到的曲线所围成图形的面积．

C. 选修4-4：坐标系与参数方程

在极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ＋2sin θ，以极点为坐标原点，极轴

为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋t ，

y ＝3t

(t 为参数)，求直线l

被曲线C 所截得的弦长．