高中圆锥曲线解题策略研究
高中圆锥曲线解题策略研究
作者：刘云
来源：《数学大世界·下旬刊》2019年第01期
【摘要】高中数学中有一个非常重要的知识点，那就是圆锥曲线问题。
圆锥曲线部分在每年的高考中都会有一道压轴性的题目，由此可以看出这部分知识的学习需要的不仅是对于基本知识的掌握，更重要的是对于解题技巧的应用。
这部分知识对于学生的计算能力、问题分析能力、灵活多变能力等都有很高的要求。
本篇文章将结合近几年高考中圆锥曲线的相关考题进行分析，讲解相应的解题技巧，希望能够对学生的解題有所帮助。
【关键词】高中数学；圆锥曲线；解题策略
一、应用圆锥曲线解题策略建议
圆锥曲线问题对学生的能力要求比较高，包括学生的计算能力、看图能力、条件转化能力、逻辑思维能力等。
在应用圆锥曲线的相关解题技巧进行解题时，首先应该做到以下几点：一是对于不同的曲线类型的基础概念、公式、性质等要熟练记忆。
学生要想解决问题，首先需要知道曲线是椭圆还是抛物线、双曲线。
在清楚曲线的类型后，才能根据相应的性质进行题目的分析。
因此，熟练记忆相关的知识是应用圆锥曲线解题技巧的前提。
二是学生需要总结归纳题目的大概的解题过程。
圆锥曲线的相关题目在解题时还是有一定的规律和一些固定的步骤可以遵循，因此，学生可以对其进行分类总结，找出解题中的不同和相同的部分。
三是学生应该锻炼自己的计算能力。
圆锥曲线中公式比较复杂，求解析式时方程也具有一定的难度，因此，学生应该注重计算能力的锻炼，良好的计算能力是解决问题的重要手段。
二、圆锥曲线的解题策略
在高考中，圆锥曲线知识经常会以很多种方式出题。
正是因为题目的灵活多变，经常使学生无从下手。
但是如果仔细总结就会发现，其实圆锥曲线问题就是寻找其中的对应关系，然后根据对应关系列方程并求解。
所以，这类题目具有一定的灵活多变的特性，也具有一定的固定套路。
1.弦长与面积问题
在圆锥曲线问题中有一类是求出弦长以及弦长与圆锥曲线构成的图形的面积。
这类问题在求解中应该先明白什么是弦长，需要学生牢记弦长公式。
求弦长也可以分为三种方式：一种是直接利用弦长公式进行求解；一种是结合焦点与弦的关系求出弦长；另一种涉及弦长所构成的面积问题。
可以看出，这样的问题都跟弦长有关系。
因此，在求解时就一定需要求出弦长，然
弦长。
3.最值问题
最值问题也是圆锥曲线题型中的一个重要类型，解决这样的问题主要有两种思路：一种是几何方法，使用几何法的前提是所要求解的最值的量具有明显的几何意义，这时就能够使用几何法进行求解。
第二种方法是目标函数法，这种方法需要选取合适的变量，建立目标函数，然后按照求解函数最值的方法进行求解。
在求解的过程中，需要注意的是求解的范围。
总之，近些年在高考中，圆锥曲线的问题基本是必考的，而且难度也比较大，因此，在解题中应该注意方法的使用，通过一些方法的使用可能会让题目变得较为简单。
所以，无论是教师还是学生，都应该积极总结相关的知识和方法，提高问题的分析能力和数形结合能力，成功解题。
【参考文献】
[1]凌敏华.圆锥曲线中动点问题的常见题型及解题技巧[J].数学学习与研究，2016.
[2]钱坤.新课改背景下圆锥曲线高考试题的考察特点分析[D].赣南师范学院，2017.。
探讨高中数学圆锥曲线解题中构造法的应用
探讨高中数学圆锥曲线解题中构造法的应用高中数学是学生学习数理知识的重要阶段，而圆锥曲线是数学中的重要内容之一。
圆锥曲线是指在平面上的某个点和一条不过这个点的定直线之间的距离的比例是一个常数的点的轨迹。
圆锥曲线有椭圆、双曲线、抛物线等种类，它们在数学中有着重要的应用和意义。
高中数学圆锥曲线的解题中，构造法是非常重要的解题方法之一。
本文将探讨高中数学圆锥曲线解题中构造法的应用。
我们来了解一下圆锥曲线的构造法。
圆锥曲线的构造法主要是利用圆锥曲线的定义和基本性质，通过构造曲线的一些特殊点或者曲线的一些性质来解题。
椭圆的构造法主要是通过焦点和给定点的连线与椭圆的交点来构造椭圆曲线的。
双曲线的构造法主要是通过双曲线的渐近线和焦点与双曲线的交点来构造双曲线曲线的。
抛物线的构造法主要是通过抛物线的焦点和直线的焦距来构造抛物线曲线的。
通过这些构造法，可以更好地理解和解决圆锥曲线的相关问题。
构造法还可以培养学生的数学建模能力和解决问题的能力。
在解题的过程中，通过构造曲线的一些特殊点或者曲线的一些性质来解题，可以培养学生的观察、分析和解决问题的能力。
在解椭圆的问题时，可以通过构造椭圆的渐近线和焦点的位置来解题；在解双曲线的问题时，可以通过构造双曲线的渐近线和渐近线的交点来解题；在解抛物线的问题时，可以通过构造抛物线的焦点和法线的交点来解题。
通过构造法解题，可以培养学生的数学建模思维和解决问题的能力，提高学生的综合素质和学习能力。
高中数学圆锥曲线解题中构造法是非常重要的解题方法之一。
通过构造曲线的一些特殊点或者曲线的一些性质来解题，可以更好地理解和解决圆锥曲线的相关问题，提高解题的效率和准确性；可以帮助学生更好地理解圆锥曲线的相关性质和定理，提高数学学习的效果和成绩；可以培养学生的数学建模能力和解决问题的能力，提高学生的综合素质和学习能力。
在高中数学的教学中，应该重视圆锥曲线解题中构造法的应用，加强学生对构造法的理解和掌握，提高学生的数学解题能力和综合素质。
高中圆锥曲线题型及解题方法
高中圆锥曲线题型及解题方法
高中数学中的圆锥曲线是指椭圆、双曲线和抛物线这三种曲线。
下面是一些常见的高中圆锥曲线题型及其解题方法：
1.椭圆题型：
o方程转化：将标准方程转化为对称轴方程或标准方程。
o确定关键参数：通过比较方程的系数，确定椭圆的中心、长轴和短轴的长度。
o图形性质：通过关键参数判断椭圆的形状，并确定焦点和直径等性质。
2.双曲线题型：
o方程转化：将标准方程转化为对称轴方程或标准方程。
o确定关键参数：通过比较方程的系数，确定双曲线的中心、焦距和各轴的长度。
o图形性质：通过关键参数判断双曲线的形状，确定焦点、渐近线和渐近角等性质。
3.抛物线题型：
o方程转化：将标准方程转化为顶点形式或焦点式。
o确定关键参数：通过比较方程的系数，确定抛物线的顶点、焦距和开口方向。
o图形性质：通过关键参数判断抛物线的形状，确定
对称轴、焦点和准线等性质。
解题方法的关键在于确定关键参数，然后利用这些参数来判断曲线的形状和性质。
同时，要熟练掌握方程转化的方法，以便在解题过程中将方程转化为更容易分析的形式。
除了掌握相应的公式和技巧，还需要多做练习，加深对圆锥曲线图形和性质的理解。
同时，理论和实践相结合，通过画图、观察和推理的方式加深对圆锥曲线的认识。
最重要的是理解概念和思想，而不只是死记硬背。
只有真正理解了圆锥曲线的几何性质，才能更好地应用于解题，并在应用过程中灵活运用。
高中数学圆锥曲线切线题解题方法
高中数学圆锥曲线切线题解题方法在高中数学中，圆锥曲线是一个重要的概念，而求解圆锥曲线的切线问题是其中的一个难点。
本文将介绍一些解题方法，帮助高中学生和他们的父母更好地理解和应对这类题目。
在解决圆锥曲线切线问题时，首先要明确题目给出的条件和要求。
例如，考虑以下题目：已知椭圆的方程为$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$，点$P(x_0,y_0)$在椭圆上，求过点$P$的切线方程。
解决这类问题的关键是确定切线的斜率。
我们可以通过对椭圆方程进行求导来得到切线的斜率。
对椭圆方程两边同时对$x$求导，得到$\frac{2x}{a^2}+\frac{2y}{b^2}\cdot\frac{dy}{dx}=0$。
由于点$P$在椭圆上，代入点$P(x_0,y_0)$，可得$\frac{2x_0}{a^2}+\frac{2y_0}{b^2}\cdot\frac{dy}{dx}=0$。
进一步整理得到$\frac{dy}{dx}=-\frac{x_0}{y_0}\cdot\frac{b^2}{a^2}$。
由此可见，切线的斜率与点$P$的坐标有关。
接下来，我们可以利用点斜式或斜截式等方法求解切线方程。
例如，如果我们使用点斜式，切线方程可以表示为$y-y_0=-\frac{x_0}{y_0}\cdot\frac{b^2}{a^2}(x-x_0)$。
通过上述步骤，我们可以得到切线的方程。
但是，在具体解题过程中，我们还需要注意一些细节。
首先，要注意点$P$的坐标是否满足椭圆方程。
如果点$P$不在椭圆上，那么切线方程将无意义。
其次，要注意椭圆方程中的参数$a$和$b$的取值范围。
当$a=b$时，椭圆退化为圆，此时切线方程的求解方法也会有所不同。
除了椭圆，我们还可以考虑其他类型的圆锥曲线，如双曲线和抛物线。
对于双曲线，我们可以通过类似的方法求解切线方程。
例如，已知双曲线的方程为$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$，点$P(x_0,y_0)$在双曲线上，求过点$P$的切线方程。
压轴题型11 圆锥曲线压轴题的处理策略(解析版)-2023年高考数学压轴题专项训练
压轴题11圆锥曲线压轴题的处理策略从近几年圆锥曲线的命题风格看，既注重知识又注重能力，既突出圆锥曲线的本质特征。
而现在圆锥曲线中面积、弦长、最值等几乎成为研究的常规问题。
“四心”问题进入园锥曲线，让我们更是耳目一新。
因此在高考数学复习中，通过让学生研究三角形的“四心”与圆锥曲线的结合问题，快速提高学生的数学解题能力，增强学生的信心，备战高考.○热○点○题○型1齐次化解决圆锥曲线压轴题○热○点○题○型2极点极线处理圆锥曲线压轴题○热○点○题○型3定点定值问题的处理策略1．已知拋物线2:2(0)C y px p =>，F 为焦点，若圆22:(1)16E x y -+=与拋物线C 交于,A B两点，且AB =(1)求抛物线C 的方程；(2)若点P 为圆E 上任意一点，且过点P 可以作拋物线C 的两条切线,PM PN ，切点分别为,M N .求证：MF NF ⋅恒为定值.（2）令()()0011,,,,P x y M x y N 抛物线在点M 处的切线方程为(1x x m -=与24y x =联立得2114440y my my x -+-=由相切()211164440m my x ∆=--=得4my 代入①得12y m=故在点处的切线方程为()1112y x x y y -=-同理：点N 处的切线方程为222yy x x =+而两切线交于点()00,P x y ，所以有010*******,22y y x x y y x x =+=+，则直线MN 的方程为:00220x y y x -+=，由2004220y x x y y x ⎧=⎨-+=⎩得200240y y y x -+=于是()()221212||||1116y y MF NF x x ⋅=++=+()22001x y =-+，又点()00,P x y 在圆22:(1)16E x y -+=上，所以()2200116x y -+=,即||||16MF NF ⋅=.【点睛】关键点睛：本题的关键在于设切点，写出切线方程，然后将其与抛物线方程联立，再利用Δ0=得到相关等式，再得到直线MN 的方程，将其与抛物线联立，得到韦达定理式，最后利用抛物线定义写出线段长乘积表达式，利用点在圆上进行整体代入即可.2．如图：小明同学先把一根直尺固定在画板上面，把一块三角板的一条直角边紧靠在直尺边沿，再取一根细绳，它的长度与另一直角边相等，让细绳的一端固定在三角板的顶点A 处，另一端固定在画板上点F 处，用铅笔尖扣紧绳子（使两段细绳绷直），靠住三角板，然后将三角板沿着直尺上下滑动，这时笔尖在平面上画出了圆锥曲线C 的一部分图象.已知细绳长度为3，经测量，当笔尖运动到点P 处，此时，30,90FAP AFP ∠∠=︒=︒.设直尺边沿所在直线为a ，以过F 垂直于直尺的直线为x 轴，以过F 垂直于a 的垂线段的中垂线为y 轴，建立平面直角坐标系.(1)求曲线C 的方程；(2)斜率为k 的直线过点(0,3)D -，且与曲线C 交于不同的两点M ，N ，已知k 的取值范围为(0,2)，探究：是否存在λ，使得DM DN λ=，若存在，求出λ的范围，若不存在，说明理由.由60FPA ︒∠=得点P 的横坐标得32p =，所以轨迹C 的方程为2y =（2）假设存在λ，使得DM 由233y kx y x=-⎧⎨=⎩消去y 得：k 而(0,2)k ∈，2(63)k ∆=+2121221126((2)x x x x x x x x +++==于是21142k k λλ+=++，令因此1174λλ+>，又0λ>所以存在1(0,)(4,4λ∈⋃+∞【点睛】易错点睛：求解轨迹方程问题，设出动点坐标，根据条件求列出方程，再化简整理求解，还应特别注意：补上在轨迹上而坐标不是方程解的点，解的点.3．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线E ：()2210,0a b a b-=>>的右焦点为F ，离心率为2，且过点()2,3P ．(1)求双曲线E 的标准方程；(2)设过原点O 的直线1l 在第一、三象限内分别交双曲线E 于A ，C 两点，过原点O 的直线2l 在第二、四象限内分别交双曲线E 于B ，D 两点，若直线AD 过双曲线的右焦点F ，求四边形ABCD 面积的最小值．4．如图，已知双曲线22:1(0,0)x y C a b a b -=>>的右焦点为(2,0)F ，O 为坐标原点，过点F 作直线1l 与双曲线的渐近线交于P ，Q 两.点，且点P 在线段FQ 上，OP PQ ⊥，|||||OP OQ PQ +.(1)求C 的方程；(2)设12,A A 是C 的左､右顶点，过点1,02⎛⎫⎪⎝⎭的直线l 与C 交于M ，N 两点，试探究直线1A M 与2A N 的交点S 是否在某条定直线上，若是，求出该定直线方程，若不是，请说明理由.(1)求点P的轨迹C的方程；(2)过点(0,1)且斜率为122k k⎛⎫≤≤⎪⎝⎭的直线l与C交于A，B两点，与x轴交于点M，线段AB的垂直平分线与x轴交于点N，求||||ABMN的取值范围．(1)若第一象限的点P ，Q 是抛物线C 与圆的交点，求证：点F 到直线PQ 的距离大于1；(2)已知直线l ：()1y k x =+与抛物线交于M ，N 两点，()0A t ，，若点N ，G 关于x 轴对称，且M ，A ，G 三点始终共线，求t 的值.7．已知双曲线22:1(0,0)C a b a b-=>>，焦点到渐近线20x y -=的距离为2.(1)求双曲线C 的标准方程；(2)记双曲线C 的左､右顶点分别为,A B ，直线l 交双曲线C 于点,M N （点M 在第一象限），记直线MA 斜率为1k ，直线NB 斜率为2k ，过原点O 做直线l 的垂线，垂足为H ，当12k k 为定值13-时，问是否存在定点G ，使得GH 为定值，若存在，求此定点G .若不存在，请说明理由.8．已知双曲线22:1(0,0)x y C a b a b-=>>，若直线l 与双曲线C 交于,A B 两点，线段AB 的中点为M ，且34AB OM k k ⋅=（O 为坐标原点）.(1)求双曲线C 的离心率；(2)若直线l 不经过双曲线C 的右顶点()2,0N ，且以AB 为直径的圆经过点N ，证明直线l 恒过定点E ，并求出点E 的坐标.）因为双曲线的右顶点()2,0N ，所以双曲线C 的标准方程为2243x y -34AB OM k k ⋅=，所以直线l 的斜率一定存在，并且3,//2AB OM ±，这不可能）设直线l 的方程为y kx m =+，联立方程)(222841203k xkmx m ---=()(2222Δ644344k m k m =---2430k -+>，21212284,3434km m x x x x k -+=⋅=--因为以AB 为直径的圆经过点N ，NA NB ⊥，所以0NA NB ⋅=，又因为()(1122,,2,NA x y NB x =-=- ()()121222NA NB x x y y ⋅=--+又因为()()1212y y kx m kx m k =++=()(21212NA NB k x x km ⋅=++- )()2241212343m km k --+⨯+-⨯-化简得2216280m km k ++=，即(m 14m k =-或2m k =-，且均满足9．已知椭圆()22:10C a b a b+=>>的长轴长为4，且离心率为12．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若直线y kx m =+与椭圆C 交于M ，N 两点，O 为坐标原点，直线OM ，ON 的斜率之积等于1-，求OMN 的面积的取值范围．F 的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点.(1)求椭圆C 的方程；(2)设O 为坐标原点，求OAB 面积的最大值以及此时直线l 的方程.11．已知双曲线()22:10,0C a b a b-=>>，焦点为12,F F ，其中一条渐近线的倾斜角为150 ，点M 在双曲线上，且124MF MF -= .(1)求双曲线C 的标准方程；(2)设椭圆M 以双曲线C 的顶点为焦点，焦点为顶点，直线():01l y kx m m =+<<交M 于,A B 两点（均不在坐标轴上），若AOB 的面积为1，求222k m -的值.设()()1122,,,A x y B x y ，由2214x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得：()222148440k x kmx m +++-=则()2216140k m ∆=+->，即2214m k <+，122814km x x k ∴+=-+，21224414m x x k -=+，设l 与y 轴交于点T ，则()0,T m ，(1211122AOB AOT BOT S S S m x x m x ∴=+=⋅-=⋅+ 2222222141414121414m k m m k m k k+-=⋅=⋅+-=++，()2222214144k k mm +∴+-=，即()222412k m ⎡⎤+-=⎣⎦整理可得：22122k m -=-.【点睛】思路点睛：求解直线与椭圆综合应用中的三角形面积问题的基本思路如下：①假设直线方程，与椭圆方程联立，整理为关于x 或y 的一元二次方程的形式；②利用0∆>求得变量的取值范围，得到韦达定理的形式；③利用韦达定理表示出所求三角形的面积.12．如图，过抛物线2:2(0)E x py p =>的焦点F 作直线l 交E 于A ，B 两点，点A ，B 在x 轴上的射影分别为D ，C ，当AB 平行于x 轴时，四边形ABCD 的面积为4．(1)求p 的值；(2)过抛物线上两点的弦和抛物线弧围成一个抛物线弓形，古希腊著名数学家阿基米德建立了这样的理论：以抛物线弓形的弦为底，以抛物线上平行于弦的切线的切点为顶点作抛物线弓形的内接三角形，则抛物线弓形的面积等于该内接三角形面积的43倍．已知点P 在抛物线E 上，且E 在点P 处的切线平行于AB ，根据上述理论，从四边形ABCD 中任取一点，求该点位于图中阴影部分的概率的取值范围．13．已知椭圆：22:1(0)x y E a b a b +=>>的左、右顶点分别为12,A A ，上、下顶点分别为12,B B ，122B B =，四边形1122A B A B 的周长为(1)求椭圆E 的方程；(2)设斜率为k 的直线l 与x 轴交于点P ，与椭圆E 交于不同的两点M ，N ，点M 关于y 轴的对称点为M '、直线M N '与y 轴交于点Q ．若OPQ △的面积为2，求k 的值．123((2,2M M M -⎭中恰有两个点在椭圆上．(1)求椭圆C 的方程；(2)若C 的上顶点为E ，右焦点为F ，过点F 的直线交C 于A ，B 两点（与椭圆顶点不重合），直线EA ，EB 分别交直线40x y --=于P ，Q 两点，求EPQ △面积的最小值．⊥两点，O为坐标原点，OA OB(1)求C的方程；(2)在x轴上是否存在点T，使得直线TA与直线TB的斜率之和为定值k.若存在，求出点T的坐标和定值k；若不存在，请说明理由.，抛物线C的准线与x轴的交点为B，且||AB=(1)求抛物线C的标准方程；(2)过点B的直线l与抛物线C交于E，F两点（异于点A），若直线,EA FA分别交准线于点,M N，求||||BMBN的值．17．在直角坐标系xOy 中，已知椭圆2:12+=E y 的右顶点､下顶点､右焦点分别为A ，B ，F .(1)若直线BF 与椭圆E 的另一个交点为C ，求四边形ABOC 的面积；(2)设M ，N 是椭圆E 上的两个动点，直线OM 与ON 的斜率之积为12-，若点P 满足：2OP OM ON =+.问：是否存在两个定点G ，H ，使得PG PH +为定值？若存在，求出G ，H 的坐标；若不存在，请说明理由.18．已知双曲线22:1(0,0)C a b a b -=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，且124F F =，P 是C 上一点．(1)求C 的方程；(2)不垂直于坐标轴的直线l 交C 于M ，N 两点，交x 轴于点A ，线段MN 的垂直平分线交x 轴于点D ，若||||2||AM AN AD ⋅=，证明：直线l 过四个定点()()()()3,0,1,0,1,0,3,0--中的一个．19．已知过点()1,e 的椭圆E ：()2210x y a b a b+=>>的焦距为2，其中e 为椭圆E 的离心率．(1)求E 的标准方程；(2)设O 为坐标原点，直线l 与E 交于,A C 两点，以OA ，OC 为邻边作平行四边形OABC ，且点B 恰好在E 上，试问：平行四边形OABC 的面积是否为定值？若是定值，求出此定值；若不是，说明理由．20．已知椭圆Γ：(210,2x y m m m +=>≠，点,A B 分别是椭圆Γ与y 轴的交点（点A 在点B 的上方），过点()0,1D 且斜率为k 的直线l 交椭圆Γ于,E G 两点．(1)若椭圆Γ焦点在x 轴上，且其离心率是2，求实数m 的值；(2)若1m k ==，求BEG 的面积；(3)设直线AE 与直线2y =交于点H ，证明：,,B G H 三点共线．。
例谈圆锥曲线离心率求解策略
限制条件即是题目中的Ｉ Ｍ Ｎ ｌ ≤ ２ Ｉ Ｆ １ Ｆ ： Ｉ ， 故利用题设得到与
离心率相关的不等式即可。 策略 四： 利用三角函数有界性
【 关键词 】 圆锥曲线； 解题 策略
下面就平时教学中此类 问题 的常用解 题策略作一些 探
讨：
例 ４双 曲线 一 ＝ ｌ （ ａ ＞ ０ ， ｂ ＞ ０ ） 的两个焦 点为 Ｆ ｔ ， Ｆ ２ ， 若Ｐ
＾ ， 一＇
又ｌ Ｐ Ｆ １ ｌ — Ｉ Ｐ Ｆ ２ ｌ ＝ ２ ｍ － ｍ ＝ ｍ ＝ ２ ａ ，
则２ ａ ＜ ２ ｃ 且３ ｍ ＝ ６ ａ ＞２ Ｉ ｃ ． ｅ ∈（ １ ， ３ １ 。
【 点评】 和焦点三角形相关的问题可以考虑用三角形三
边质
值范围是 （ ）
【 点评 】 当所求离心率 转化 为某参数 的二次函数（ 或类二
次 函数 ） 时， 可以利用二次 函数 的性质确定离心率的范 围。
Ａ ． （ ０ ， 争 】 Ｂ ． （ ０ ， － ￣ ２］ ｃ ． ｔ ￣ － ， １ ） Ｄ ． ｔ － ｆ ｉ － ２ － ， １ ）
・ ． ．
【 点评 】根据第一定义结合余弦定 理将离心率转化为角
的函数 ， 再利用三角 函数求最值 。 策略五 ： 利用三角形三边关系 例 ５也可用三角形 的三边关系求解 ，
Ｊ
ｅ ＞ ２或 ｅ ＜ 一 １（ 舍去 ） ． ｅ ∈（ ２ ， ＋ ∞ ） 。
’
。
【 点评 】 例１ 利用第二定义及焦半径公式列 出方程 ． 根 据
【 解 析 】 Ｂ ｅ ＝ 、 Ｖ ／ １ ＋ 垒 ａ ＝ 、 Ｖ ／ （ ａ ＋ １ １ 。
・
．
’ ａ ＞ ｌ ， ． ． ． ０ ＜ ＜ ｌ ， 根据二次 函数值域可得 、 ／ ＜ ｅ ＜ 、 ／ 。
2017届高三数学(文)二轮复习教师用书：压轴专题(二) 第20题解答题“圆锥曲线的综合问题”的抢分策略
压轴专题(二) 第20题解答题“圆锥曲线的综合问题”的抢分策略解析几何是数形结合的典范，是高中数学的主要知识板块，是高考考查的重点知识之一，在解答题中一般会综合考查直线、圆、圆锥曲线等．试题难度较大，多以压轴题出现．解答题的热点题型有：①直线与圆锥曲线位置关系的判断；②圆锥曲线中定点、定值、最值及范围的求解；③轨迹方程及探索性问题的求解．[师说考点]圆锥曲线中最值、范围问题的求解方法(1)几何法．若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决，这就是几何法．(2)代数法．若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再利用基本不等式或单调性求这个函数的最值，这就是代数法．[典例] (2016·全国甲卷)已知椭圆E ：x 2t ＋y 23＝1的焦点在x 轴上，A 是E 的左顶点，斜率为k (k >0)的直线交E 于A ，M 两点，点N 在E 上，MA ⊥NA .(1)当t ＝4，|AM |＝|AN |时，求△AMN 的面积； (2)当2|AM |＝|AN |时，求k 的取值范围． [解] 设M (x 1，y 1)，则由题意知y 1>0.(1)当t ＝4时，E 的方程为x 24＋y 23＝1，A (－2，0)．由已知及椭圆的对称性知，直线AM 的倾斜角为π4.因此直线AM 的方程为y ＝x ＋2.将x ＝y －2代入x 24＋y 23＝1得7y 2－12y ＝0.解得y ＝0或y ＝127，所以y 1＝127.因此△AMN 的面积S △AMN ＝2×12×127×127＝14449.(2)由题意t >3，k >0，A (－t ，0)．将直线AM 的方程y ＝k (x ＋t )代入x 2t ＋y 23＝1得(3＋tk 2)x 2＋2t ·tk 2x ＋t 2k 2－3t ＝0.由x 1·(－t )＝t 2k 2－3t 3＋tk 2，得x 1＝t （3－tk 2）3＋tk 2，故|AM |＝|x 1＋t |1＋k 2＝6t （1＋k 2）3＋tk 2.由题设，直线AN 的方程为y ＝－1k (x ＋t )，故同理可得|AN |＝6k t （1＋k 2）3k 2＋t .由2|AM |＝|AN |，得23＋tk 2＝k3k 2＋t， 即(k 3－2)t ＝3k (2k －1)．当k ＝32时上式不成立，因此t ＝3k （2k －1）k 3－2.t >3等价于k 3－2k 2＋k －2k 3－2＝（k －2）（k 2＋1）k 3－2<0，即k －2k 3－2<0. 因此得⎩⎪⎨⎪⎧k －2>0，k 3－2<0或⎩⎪⎨⎪⎧k －2<0，k 3－2>0，解得32<k <2. 故k 的取值范围是(32，2)．[抢分策略]缺步解答——能做多少做多少1．在求解第(2)问时，学生一般能将直线方程和椭圆方程转化为关于x 的一元二次方程，由此写出判别式和根与系数的关系，便可得到基本分数．若学生稍加思考，由于直线和椭圆的一交点为(－t ，0)，从而可求出另一交点坐标，若要求出k 的范围，仍存在一定难度，这就需要我们学会使用一定的技巧答题，能答多少答多少．2．由于第(2)问难度较大，要把本题顺利解答完整对大多数考生而言，实在太难．此时，不要放弃，要学会缺步解答，所谓缺步解答，就是如果遇到一个很困难的问题，确实啃不动，一个聪明的解题策略是：将它们分解为一系列的步骤，或者是一个个小问题，先解决问题的一部分，能解决多少就解决多少，能演算几步就写几步，尚未成功不等于失败．特别是那些解题层次明显的题目，或者是已经程序化了的方法，每进行一步得分点的演算都可以得分，最后结论虽然未得出，但能拿到的分数却已过半，这叫“大题巧拿分”．[应用体验]1．(2016·武汉调研)已知双曲线Γ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)经过点P (2，1)，且其中一焦点F 到一条渐近线的距离为1.(1)求双曲线Γ的方程；(2)过点P 作两条相互垂直的直线P A ，PB 分别交双曲线Γ于A ，B 两点，求点P 到直线AB 距离的最大值．解：(1)∵双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1过点(2，1)，∴4a 2－1b2＝1.不妨设F 为右焦点，则F (c ，0)到渐近线bx －ay ＝0的距离d ＝|bc |a 2＋b 2＝b ， ∴b ＝1，a 2＝2.∴所求双曲线的方程为x 22－y 2＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线AB 的方程为y ＝kx ＋m .将y ＝kx ＋m 代入x 2－2y 2＝2中，整理得(2k 2－1)x 2＋4kmx ＋2m 2＋2＝0. ∴x 1＋x 2＝－4km 2k 2－1，① x 1x 2＝2m 2＋22k 2－1.②∵＝0，∴(x 1－2，y 1－1)·(x 2－2，y 2－1)＝0，∴(x 1－2)(x 2－2)＋(kx 1＋m －1)(kx 2＋m －1)＝0， ∴(k 2＋1)x 1x 2＋(km －k －2)(x 1＋x 2)＋m 2－2m ＋5＝0.③ 将①②代入③，得m 2＋8km ＋12k 2＋2m －3＝0， ∴(m ＋2k －1)(m ＋6k ＋3)＝0.而P ∉AB ，∴m ＝－6k －3，从而直线AB 的方程为y ＝kx －6k －3. 将y ＝kx －6k －3代入x 2－2y 2－2＝0中， 判别式Δ＝8(34k 2＋36k ＋10)>0恒成立， ∴y ＝kx －6k －3即为所求直线．∴P 到AB 的距离d ＝|2k －6k －3－1|1＋k 2＝4|k ＋1|k 2＋1.∴⎝⎛⎭⎫d 42＝k 2＋1＋2k k 2＋1＝1＋2kk 2＋1≤2. ∴d ≤42，即点P 到直线AB 距离的最大值为4 2.[师说考点]圆锥曲线中定点与定值问题的求解思路(1)解决动直线恒过定点问题的一般思路是设出直线y ＝kx ＋m (k 存在的情形)．然后利用条件建立k 与m 的关系．借助于点斜式方程思想确定定点坐标．(2)定值的证明与探索一般是先利用特殊情形确定定值，再给出一般化的证明或直接推证得出与参数无关的数值．在这类试题中选择消元的方法是非常关键的．[典例] (2016·山东高考节选)平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率是32，抛物线E ：x 2＝2y 的焦点F 是C 的一个顶点．(1)求椭圆C 的方程；(2)设P 是E 上的动点，且位于第一象限，E 在点P 处的切线l 与C 交于不同的两点A ，B ，线段AB 的中点为D .直线OD 与过P 且垂直于x 轴的直线交于点M .求证：点M 在定直线上．[解] (1)由题意知a 2－b 2a ＝32，可得a 2＝4b 2.因为抛物线E 的焦点为F ⎝⎛⎭⎫0，12， 所以b ＝12，a ＝1.所以椭圆C 的方程为x 2＋4y 2＝1. (2)证明：设P ⎝⎛⎭⎫m ，m22(m ＞0)． 由x 2＝2y ，可得y ′＝x ， 所以直线l 的斜率为m .因此直线l 的方程为y －m 22＝m (x －m )，即y ＝mx －m 22.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，D (x 0，y 0)， 联立方程⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4y 2＝1，y ＝mx －m 22，得(4m 2＋1)x 2－4m 3x ＋m 4－1＝0. 由Δ＞0，得0＜m 2＜2＋ 5.由根与系数的关系得x 1＋x 2＝4m 34m 2＋1，因此x 0＝2m 34m 2＋1.将其代入y ＝mx －m 22，得y 0＝－m 22（4m 2＋1）.因为y 0x 0＝－14m，所以直线OD 的方程为y ＝－14mx . 联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－14m x ，x ＝m ，得点M 的纵坐标y M ＝－14，所以点M 在定直线y ＝－14上.[抢分策略]解答圆锥曲线的定值、定点问题应把握3个方面(1)从特殊情形开始，求出定值，再证明该值与变量无关； (2)直接推理、计算，在整个过程中消去变量，得定值；(3)在含有参数的曲线方程里面，把参数从含有参数的项里面分离出来，并令其系数为零，可以解出定点坐标．[应用体验]2．(2016·石家庄一模)已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)过点M (m ，2)，其焦点为F ，且|MF |＝2.(1)求抛物线C 的方程；(2)设E 为y 轴上异于原点的任意一点，过点E 作不经过原点的两条直线分别与抛物线C 和圆F ：(x －1)2＋y 2＝1相切，切点分别为A ，B ，求证：直线AB 过定点．解：(1)抛物线C 的准线方程为x ＝－p 2，∴|MF |＝m ＋p2＝2，又4＝2pm ，即4＝2p ⎝⎛⎭⎫2－p 2， ∴p 2－4p ＋4＝0，∴p ＝2， ∴抛物线C 的方程为y 2＝4x .(2)证明：设点E (0，t )(t ≠0)，由已知切线不为y 轴，设EA ：y ＝kx ＋t ，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋t ，y 2＝4x ，消去y ，可得k 2x 2＋(2kt －4)x ＋t 2＝0，①∵直线EA 与抛物线C 相切，∴Δ＝(2kt －4)2－4k 2t 2＝0，即kt ＝1，代入①可得1t 2x 2－2x＋t 2＝0，∴x ＝t 2，即A (t 2，2t )．设切点B (x 0，y 0)，则由几何性质可以判断点O ，B 关于直线EF ：y ＝－tx ＋t 对称，则⎩⎨⎧y 0x 0×t －00－1＝－1，y 02＝－t ·x 02＋t ，解得⎩⎨⎧x 0＝2t 2t 2＋1，y 0＝2t t 2＋1，即B ⎝⎛⎭⎫2t 2t 2＋1，2t t 2＋1.法一：直线AB 的斜率为k AB ＝2tt 2－1(t ≠±1)，直线AB 的方程为y ＝2tt 2－1(x －t 2)＋2t ，整理得y ＝2tt 2－1(x －1)，∴直线AB 恒过定点F (1，0)，当t ＝±1时，A (1，±2)，B (1，±1)，此时直线AB 为x ＝1，过点F (1，0)． 综上，直线AB 恒过点F (1，0)．法二：直线AF 的斜率为k AF ＝2tt 2－1(t ≠±1)，直线BF 的斜率为k BF ＝2tt 2＋1－02t 2t 2＋1－1＝2tt 2－1(t ≠±1)，∴k AF ＝k BF ，即A ，B ，F 三点共线．当t ＝±1时，A (1，±2)，B (1，±1)，此时A ，B ，F 三点共线． ∴直线AB 过定点F (1，0).[师说考点]圆锥曲线中探索性问题的解题策略处理探索性问题，一般要先对结论作出肯定的假设，然后由此假设出发，结合已知条件进行推理论证，若推出相符的结论，则存在性随之解决；若导出矛盾，则否定了存在性．若证明某结论不存在，也可以采用反证法．[典例] 如图，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率是22，过点P (0，1)的动直线l 与椭圆相交于A ，B 两点．当直线l 平行于x 轴时，直线l 被椭圆E 截得的线段长为2 2.(1)求椭圆E 的方程；(2)在平面直角坐标系xOy 中，是否存在与点P 不同的定点Q ，使得|QA ||QB |＝|P A ||PB |恒成立？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．[解] (1)由已知，点(2，1)在椭圆E 上，因此⎩⎨⎧2a 2＋1b 2＝1，a 2－b 2＝c 2，c a ＝22，解得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝ 2.所以椭圆E 的方程为x 24＋y 22＝1.(2)当直线l 与x 轴平行时，设直线l 与椭圆相交于C ，D 两点． 如果存在定点Q 满足条件，则有|QC ||QD |＝|PC ||PD |＝1，即|QC |＝|QD |.所以点Q 在y 轴上，可设点Q 的坐标为(0，y 0)．当直线l 与x 轴垂直时，设直线l 与椭圆相交于M ，N 两点，则M ，N 的坐标分别为(0，2)，(0，－2)． 由|QM ||QN |＝|PM ||PN |，得|y 0－2||y 0＋2|＝2－12＋1，解得y 0＝1或y 0＝2.所以若存在不同于点P 的定点Q 满足条件，则点Q 的坐标只可能为(0，2)． 下面证明：对任意直线l ，均有|QA ||QB |＝|P A ||PB |.当直线l 的斜率不存在时，由上可知，结论成立． 当直线l 的斜率存在时，可设直线l 的方程为y ＝kx ＋1， 点A ，B 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)． 联立⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 22＝1，y ＝kx ＋1，得(2k 2＋1)x 2＋4kx －2＝0.其判别式Δ＝(4k )2＋8(2k 2＋1)>0， 所以x 1＋x 2＝－4k 2k 2＋1，x 1x 2＝－22k 2＋1.因此1x 1＋1x 2＝x 1＋x 2x 1x 2＝2k .易知，点B 关于y 轴对称的点B ′的坐标为(－x 2，y 2)． 又k QA ＝y 1－2x 1＝kx 1－1x 1＝k －1x 1，k QB ′＝y 2－2－x 2＝kx 2－1－x 2＝－k ＋1x 2＝k －1x 1，所以k QA ＝k QB ′，即Q ，A ，B ′三点共线，所以|QA ||QB |＝|QA ||QB ′|＝|x 1||x 2|＝|P A ||PB |.故存在与点P 不同的定点Q (0，2)，使得|QA ||QB |＝|P A ||PB |恒成立．[抢分策略]辅助解答——思路靠谱也给分1．本题在求解第(2)问时难度太大，很难得分，这就要学会辅助解答(学会捞分)，利用直线l 与坐标轴垂直这一特殊情况可巧妙地求出Q 点的坐标(0，2)，这样可得一定的分数，这种方法在解决一些压轴题时要学会应用．2．一道题目的解答，既有主要的实质性的步骤，也有次要的辅助性的步骤．实质性的步骤未找到之前，找辅助性的步骤是明智之举．如：准确作图，把题目中的条件翻译成数学表达式，根据题目的意思列出要用的公式等．罗列这些小步骤都是有分的，这些全是解题思路的重要体现，切不可以不写，对计算能力要求高的，实行能解多少写多少的策略．书写也是辅助解答的一部分，“书写要工整，卷面能得分”是说第一印象好会在阅卷老师的心理上产生光环效应．这就是所说的辅助解答．[应用体验]3．(2016·兰州模拟)已知椭圆C 的焦点坐标是F 1(－1，0)，F 2(1，0)，过点F 2垂直于长轴的直线l 交椭圆C 于B ，D 两点，且|BD |＝3. (1)求椭圆C 的方程；(2)是否存在过点P (2，1)的直线l 1与椭圆C 相交于不同的两点M ，N ，且满足＝54？若存在，求出直线l 1的方程；若不存在，请说明理由． 解：(1)设椭圆的方程是x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，由题可知c ＝1，因为|BD |＝3，所以2b 2a ＝3，又a 2－b 2＝1，所以a ＝2，b ＝3， 所以椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)假设存在直线l 1且由题意得斜率存在，设直线l 1的方程为y ＝k (x －2)＋1. 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －2）＋1，x 24＋y 23＝1，得(3＋4k 2)x 2－8k (2k －1)x ＋16k 2－16k －8＝0. 因为直线l 1与椭圆C 相交于不同的两点M ，N ， 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，所以Δ＝[－8k (2k －1)]2－4(3＋4k 2)(16k 2－16k －8)>0，所以k >－12.x 1＋x 2＝8k （2k －1）3＋4k 2，x 1x 2＝16k 2－16k －83＋4k 2，因为＝(x 1－2)(x 2－2)＋(y 1－1)(y 2－1)＝54，所以(x 1－2)(x 2－2)(1＋k 2)＝54， 即[x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋4](1＋k 2)＝54，所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤16k 2－16k －83＋4k 2－2·8k （2k －1）3＋4k 2＋4(1＋k 2)＝4＋4k 23＋4k 2＝54， 解得k ＝±12.因为k >－12，所以k ＝12，故存在直线l 1满足条件，其方程为y ＝12x .1.(2016·湖南东部六校联考)设椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，F 1，F 2是椭圆的两个焦点，S 是椭圆上任意一点，且△SF 1F 2的周长是4＋2 3. (1)求椭圆C 1的方程；(2)设椭圆C 1的左、右顶点分别为A ，B ，过椭圆C 1上的一点D 作x 轴的垂线交x 轴于点E ，若C 点满足，，连接AC 交DE 于点P ，求证：PD ＝PE .解：(1)由e ＝32，知c a ＝32，所以c ＝32a ， 因为△SF 1F 2的周长是4＋23，所以2a ＋2c ＝4＋23， 所以a ＝2，c ＝3， 所以b 2＝a 2－c 2＝1，所以椭圆C 1的方程为：x 24＋y 2＝1.(2)证明：由(1)得A (－2，0)，B (2，0)，设D (x 0，y 0)，所以E (x 0，0)， 因为，所以可设C (2，y 1)，所以＝(x 0＋2，y 0)，＝(2，y 1)，由可得：(x 0＋2)y 1＝2y 0，即y 1＝2y 0x 0＋2.所以直线AC 的方程为：y 2y 0x 0＋2＝x ＋24.整理得：y ＝y 02（x 0＋2）(x ＋2)．又点P 在DE 上，将x ＝x 0代入直线AC 的方程可得：y ＝y 02，即点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫x 0，y 02，所以P 为DE 的中点， 所以PD ＝PE .2．(2016·河南六市联考)如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知R (x 0，y 0)是椭圆C ：x 224＋y 212＝1上的一点，从原点O 向圆R ：(x －x 0)2＋(y －y 0)2＝8作两条切线，分别交椭圆于点P ，Q .(1)若R 点在第一象限，且直线OP ，OQ 互相垂直，求圆R 的方程；(2)若直线OP ，OQ 的斜率存在，并记为k 1，k 2，求k 1·k 2的值． 解：(1)设圆R 的半径为r ，由圆R 的方程知r ＝22， 因为直线OP ，OQ 互相垂直，且和圆R 相切，所以|OR |＝2r ＝4，即x 20＋y 20＝16，①又点R 在椭圆C 上，所以x 2024＋y 2012＝1，②联立①②，解得⎩⎨⎧x 0＝22，y 0＝22，所以，圆R 的方程为(x －22)2＋(y －22)2＝8.(2)因为直线OP ：y ＝k 1x 和OQ ：y ＝k 2x 都与圆R 相切，所以|k 1x 0－y 0|1＋k 21＝22，|k 2x 0－y 0|1＋k 22＝22，化简得(x 20－8)k 21－2x 0y 0k 1＋y 20－8＝0，(x 20－8)k 22－2x 0y 0k 2＋y 20－8＝0，所以k 1，k 2是方程(x 20－8)k 2－2x 0y 0k ＋y 20－8＝0的两个不相等的实数根，由根与系数的关系得，k 1·k 2＝y 20－8x 20－8，因为点R (x 0，y 0)在椭圆C 上，所以x 2024＋y 2012＝1，即y 20＝12－12x 20，所以k 1k 2＝4－12x 20x 20－8＝－12. 3．设椭圆M ：y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)的离心率与双曲线x 2－y 2＝1的离心率互为倒数，且椭圆的长轴长为4.(1)求椭圆M 的方程；(2)若直线y ＝2x ＋m 交椭圆M 于A ，B 两点，P (1，2)为椭圆M 上一点，求△P AB 面积的最大值．解：(1)由题可知，双曲线的离心率为2，则椭圆的离心率e ＝c a ＝22，由2a ＝4，c a ＝22，b 2＝a 2－c 2，得a ＝2，c ＝2，b ＝2，故椭圆M 的方程为y 24＋x 22＝1.(2)联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋m ，x 22＋y 24＝1，得4x 2＋22mx ＋m 2－4＝0，由Δ＝(22m )2－16(m 2－4)>0，得－22<m <2 2. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎨⎧x 1＋x 2＝－22m ，x 1x 2＝m 2－44，所以|AB |＝1＋2|x 1－x 2| ＝3·（x 1＋x 2）2－4x 1x 2 ＝3·12m 2－m 2＋4 ＝3·4－m 22.又P 到直线AB 的距离为d ＝|m |3， 所以S △P AB ＝12|AB |·d ＝32·4－m 22·|m |3＝12 ⎝⎛⎭⎫4－m 22·m 2＝122 m 2（8－m 2）≤122·m 2＋（8－m 2）2＝2，当且仅当m 2＝8－m 2，即m ＝±2时等号成立， 此时△P AB 面积有最大值 2.4．(2016·湖北七市联考)已知圆心为H 的圆x 2＋y 2＋2x －15＝0和定点A (1，0)，B 是圆上任意一点，线段AB 的中垂线l 和直线BH 相交于点M ，当点B 在圆上运动时，点M 的轨迹记为曲线C .(1)求C 的方程；(2)过点A 作两条相互垂直的直线分别与曲线C 相交于P ，Q 和E ，F ，求的取值范围．解：(1)由x 2＋y 2＋2x －15＝0，得(x ＋1)2＋y 2＝42，所以圆心为(－1，0)，半径为4. 连接MA ，由l 是线段AB 的中垂线，得|MA |＝|MB |， 所以|MA |＋|MH |＝|MB |＋|MH |＝|BH |＝4，又|AH |＝2<4.根据椭圆的定义可知，点M 的轨迹是以A ，H 为焦点，4为长轴长的椭圆，其方程为x 24＋y 23＝1，即为所求曲线C 的方程．(2)由直线EF 与直线PQ 垂直，可得＝0，于是＝＝①当直线PQ 的斜率不存在时，直线EF 的斜率为零，此时可不妨取P ⎝⎛⎭⎫1，32，Q ⎝⎛⎭⎫1，－32，E ()2，0，F (－2，0)，所以＝⎝⎛⎭⎫1，－32·⎝⎛⎭⎫－3，32＝－3－94＝－214. ②当直线PQ 的斜率为零时，直线EF 的斜率不存在，同理可得＝－214.③当直线PQ 的斜率存在且不为零时，直线EF 的斜率也存在，于是可设直线PQ 的方程为y ＝k (x －1)，P (x P ，y P )，Q (x Q ，y Q )，则直线EF 的方程为y ＝－1k(x －1)．将直线PQ 的方程代入曲线C 的方程，并整理得，(3＋4k 2)x 2－8k 2x ＋4k 2－12＝0，所以x P ＋x Q ＝8k 23＋4k 2，x P ·x Q ＝4k 2－123＋4k 2.于是＝(x P －1)(x Q －1)＋y P ·y Q＝(1＋k 2)[x P x Q －(x P ＋x Q )＋1]＝(1＋k 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫4k 2－123＋4k 2－8k 23＋4k 2＋1＝－9（1＋k 2）3＋4k 2.将上面的k 换成－1k，可得＝－9（1＋k 2）4＋3k 2，所以＝＝－9(1＋k 2)(13＋4k 2＋14＋3k 2)．令1＋k 2＝t ，则t >1，于是上式化简整理可得，＝－9t ⎝⎛⎭⎫14t －1＋13t ＋1＝－63t212t 2＋t －1＝－63494－⎝⎛⎭⎫1t －122.由t >1，得0<1t <1，所以－214<≤－367.综合①②③可知，的取值范围为⎣⎡⎦⎤－214，－367.。
2024圆锥曲线大题计算方法
2024圆锥曲线大题计算方法圆锥曲线是高中数学中的重要内容，其相关题目在各类考试中频繁出现，尤其是大题部分，对考生的计算能力提出了较高要求。
本文将针对2024年圆锥曲线大题的计算方法进行详细解析，帮助考生掌握解题技巧，提高解题效率。
一、圆锥曲线方程求解方法1.椭圆方程求解：对于椭圆题目，首先要根据题目条件列出椭圆的标准方程。
在求解过程中，注意运用以下方法：（1）画图、特值法：通过观察图形，选取特殊点或线，简化计算过程；（2）变换主元与换元法：在化简方程时，可适当变换主元或进行换元，降低计算难度；（3）整体消元法：在求解过程中，注意整体消元，避免繁琐的计算。
2.双曲线方程求解：与椭圆类似，双曲线的求解也要注意运用画图、特值法、变换主元与换元法以及整体消元法。
二、直线与圆锥曲线交点求解方法1.代入法：将直线方程代入圆锥曲线方程，求解交点坐标。
注意在代入过程中，尽量简化计算，避免繁琐的运算。
2.联立方程组法：将直线方程与圆锥曲线方程联立，构成方程组，求解交点坐标。
在求解过程中，注意运用消元法、代入法等简化计算。
三、中点问题求解方法1.定点定值问题：通过画图、特值法或高观点，找出题目中的定点或定值，从而简化计算。
2.调和线束的中点性质：在涉及中点问题时，可运用调和线束的中点性质，快速判断中点位置。
四、实例解析以2023-2024学年北京市朝阳区高三第一学期期末数学试卷第20题为例，题目要求求解椭圆方程，并判断点N是否为线段CM的中点。
1.椭圆方程求解：根据题目条件，列出椭圆的标准方程，并运用上述方法求解。
2.直线与椭圆交点求解：过点P(2, 1)的直线l与椭圆E交于不同的两点C、D，运用代入法或联立方程组法求解交点坐标。
3.中点判断：根据调和线束的中点性质，判断点N是否为线段CM的中点。
五、总结在解决圆锥曲线大题时，掌握以下方法有助于提高解题效率：1.熟练掌握圆锥曲线的标准方程及其性质；2.学会运用画图、特值法、变换主元与换元法、整体消元法等简化计算；3.熟悉中点问题的求解方法，特别是调和线束的中点性质；4.注重实际操作，多做题，积累解题经验。
2024年《圆锥曲线解题策略》读书心得
《圆锥曲线解题策略》读书心得研究圆锥曲线的书很多，这又是一本有关圆锥曲线的书，我把我看过的圆锥曲线的书列出来。
1、杭州学军中学闻杰老师写的书《神奇的圆锥曲线与解题秘诀》2、杭州苏立标老师写的书《圆锥曲线的秘密》3、吴梓帆老师、崔荣军老师写的《高中数学培优笔记一一灵活思考与技巧解析》里的《第四章圆锥曲线》4、英国的A.科克肖特、F.B.沃尔特斯的《圆锥曲线的几何性质》这四本有什么区别？闻杰老师用高科技比如几何画板探索圆锥曲线是为了培养学生对数学的兴趣,提高学生的数学素养，引导学生爱上数学。
苏立标老师研究圆锥曲线偏向学术性，不止为了比如高考之类的教学之用。
苏立标老师研究圆锥曲线有数学家研究数学的目的，为了探索大自然的奥秘。
吴梓帆老师研究圆锥曲线偏向教学，为高考服务，题中解法比你解法要好，比如计算量要少许多。
A.科克肖特、F.B.沃尔特斯的因为太西方，不适合国情。
张蕴禄、李云鹏老师的《圆锥曲线解题策略》也是为了教学，为高考服务。
这些著作不同人从不同视角对高中圆锥曲线进行解读相当于同一个圆锥曲线的故事有不同的人讲述。
它就像金庸的武侠小说比如《鹿鼎记》被不同的导演翻拍，拍起来各有特点，给人以不同的精神愉悦。
此书第一章看完了，读书心得有点难产。
我先去理解作者写此书的逻辑。
圆锥曲线内容庞大杂乱深奥，不管学生还是老师都觉得很难。
人们（包括学生和老师）一般如何学习圆锥曲线？人们是解题无数，却仍然不得要领；努力记忆二级结论，但“悬在半空”，很难在实战中发挥作用。
为了教别人如何学？那作者自己学习圆锥曲线的方式就要比人们先进高级且可有复制性和推广性。
此书就写了作者自己如何学习圆锥曲线。
他学习圆锥曲线的方式肯定比你强，因为起码书写出来了。
作者是如何组织圆锥曲线？如果没有线索，圆锥曲线内容就会给人杂乱无章错综复杂的感觉。
作者通过构建圆锥曲线的方法体系和拓展性质体系来组织圆锥曲线的内容，由浅到深、由易到难、由简单到复杂、一步一个脚印，慢慢道来，不知不觉让你解题能力提升。
2023年高考数学热点专题解析几何模型通关圆锥曲线中的定点问题(解析版)
圆锥曲线中的定点问题思路引导处理圆锥曲线中定点问题的方法：(1)探索直线过定点时，可设出直线方程为，然后利用条件建立,k m 等量关系进行消元，借助于直线系的思想找出定点．(2)从特殊情况入手，先探求定点，再证明与变量无关．母题呈现考法1参数法求证定点【例1】(2022·临沂、枣庄二模联考)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32，其左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 为坐标平面内的一点，且|OP →|＝32PF 1→·PF 2→＝－34，O 为坐标原点．(1)求椭圆C 的方程；(2)设M 为椭圆C 的左顶点，A ，B 是椭圆C 上两个不同的点，直线MA ，MB 的倾斜角分别为α，β，且α＋β＝π2.证明：直线AB 恒过定点，并求出该定点的坐标．【解题指导】【解析】(1)设P 点坐标为(x 0，y 0)，F 1(－c,0)，F 2(c,0)，则PF 1→＝(－c －x 0，－y 0)，PF 2→＝(c －x 0，－y 0)．由题意得x 20＋y 20＝94，x 0＋cx 0－c＋y 20＝－34，解得c 2＝3，∴c ＝ 3.又e ＝c a ＝32，∴a ＝2.∴b 2＝a 2－c 2＝1.∴所求椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)设直线AB 方程为y ＝kx ＋m ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．y 2＝1，kx ＋m ，消去y 得(4k 2＋1)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0.∴x 1＋x 2＝－8km4k 2＋1，x 1x 2＝4m 2－44k 2＋1.又由α＋β＝π2，∴tan α·tan β＝1，设直线MA ，MB 斜率分别为k 1，k 2，则k 1k 2＝1，∴y 1x 1＋2·y 2x 2＋2＝1，即(x 1＋2)(x 2＋2)＝y 1y 2.∴(x 1＋2)(x 2＋2)＝(kx 1＋m )(kx 2＋m )，∴(k 2－1)x 1x 2＋(km －2)(x 1＋x 2)＋m 2－4＝0，∴(k 2－1)4m 2－44k 2＋1＋(km －2)28()41kmk -+＋m 2－4＝0，化简得20k 2－16km ＋3m 2＝0，解得m ＝2k ，或m ＝103k .当m ＝2k 时，y ＝kx ＋2k ，过定点(－2,0)，不合题意(舍去)．当m ＝103k 时，y ＝kx ＋103k 10,0)3-，∴直线AB 恒过定点10(,0)3-【例2】（2022·福建·漳州三模）已知抛物线2:4C y x =的准线为l ，M 为l 上一动点，过点M 作抛物线C 的切线，切点分别为,A B .（1）求证：MAB ∆是直角三角形；（2）x 轴上是否存在一定点P ，使,,A P B 三点共线.【解题指导】【解析】（1）由已知得直线l 的方程为1x =-，设()1,M m -，切线斜率为k ，则切线方程为()1y m k x -=+，（2分）将其与24y x =联立消x 得244()0ky y m k -++=.所以1616()0k m k ∆=-+=，化简得210k mk +-=，（4分）所以121k k =-，所以MA MB ⊥.即MAB ∆是直角三角形.（6分）（2）由（1）知1616()0k m k ∆=-+=时，方程244()0ky y m k -++=的根为2y k=设切点221212,,,44y y A y B y ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则121222,y y k k ==.因为121k k =-，所以121244y y k k ==-.（10分）设:AB l x ny t =+，【点拨】由M 点出发向抛物线作量条切线，则切点A,B 所在直线与抛物线有两个焦点且其斜率不为零与24y x =联立消x 得2440y ny t --=，则124y y t =-，所以44t -=-，解得1t =，所以直线AB 过定点()1,0P .即x 轴上存在一定点()1,0P ，使,,A P B 三点共线.（12分）【解题技法】圆锥曲线中定点问题的两种解法(1)引进参数法：引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点.(2)特殊到一般法：根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关.【跟踪训练】（2020·新课标Ⅰ卷理科）已知A 、B 分别为椭圆E ：2221x y a+=（a >1）的左、右顶点，G 为E 的上顶点，8AG GB ⋅= ，P 为直线x =6上的动点，PA 与E 的另一交点为C ，PB 与E 的另一交点为D ．（1）求E 的方程；（2）证明：直线CD 过定点.【解析】（1）依据题意作出如下图象：由椭圆方程222:1(1)x E y a a+=>可得：(),0A a -，(),0B a ，()0,1G ∴(),1AG a = ，(),1GB a =-∴218AG GB a ⋅=-=，∴29a =∴椭圆方程为：2219x y +=（2）设()06,P y ，则直线AP 的方程为：()()00363y y x -=+--，即：()039y y x =+联立直线AP 的方程与椭圆方程可得：()2201939x y y y x ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，整理得：()2222000969810y x y x y +++-=，解得：3x =-或20203279y x y -+=+将20203279y x y -+=+代入直线()039y y x =+可得：02069y y y =+所以点C 的坐标为20022003276,99y y y y ⎛⎫-+ ⎪++⎝⎭.同理可得：点D 的坐标为2002200332,11y y y y ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭当203y ≠时，∴直线CD 的方程为：0022200002222000022006291233327331191y y y y y y y x y y y y y y ⎛⎫-- ⎪++⎛⎫⎛⎫--⎝⎭-=-⎪ ⎪-+-++⎝⎭⎝⎭-++，整理可得：()()()2220000002224200000832338331116963y y y y y y y x x y y y y y +⎛⎫⎛⎫--+=-=- ⎪ ⎪+++--⎝⎭⎝⎭整理得：()()0002220004243323333y y y y x x y y y ⎛⎫=+=- ⎪---⎝⎭所以直线CD 过定点3,02⎛⎫⎪⎝⎭．当203y =时，直线CD ：32x =，直线过点3,02⎛⎫ ⎪⎝⎭．故直线CD 过定点3,02⎛⎫⎪⎝⎭．考法2先求后证法求证定点【例4】（2022·全国乙T21）已知椭圆E 的中心为坐标原点，对称轴为x 轴、y 轴，且过()0,2,,12A B ⎛--⎫⎪⎝⎭两点．（1）求E 的方程；（2）设过点()1,2P -的直线交E 于M ，N 两点，过M 且平行于x 轴的直线与线段AB 交于点T ，点H 满足MT TH =．证明：直线HN 过定点．【解题指导】（1）将给定点代入设出的方程求解即可；（2）斜率不存在时探究定点→设出直线方程→与椭圆C 的方程联立→求HN 的方程→是否过定点.【解析】（1）设椭圆E 的方程为221mx ny +=，过()30,2,,12A B ⎛--⎫ ⎪⎝⎭，则41914n m n =⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得13m =，14n =，所以椭圆E 的方程为：22143y x +=.（2）3(0,2),(,1)2A B --，所以2:23+=AB y x ，①若过点(1,2)P -的直线斜率不存在，直线1x =.代入22134x y+=，可得26(1,)3M ，26(1,3N-，代入AB方程223y x=-，可得263,3T+，由MT TH=得到265,)3H.求得HN方程：(223y x=--，过点(0,2)-.②若过点(1,2)P-的直线斜率存在，设1122(2)0,(,),(,)kx y k M x y N x y--+=.联立22(2)0,134kx y kx y--+=⎧⎪⎨+=⎪⎩得22(34)6(2)3(4)0k x k k x k k+-+++=，可得1221226(2)343(4)34k kx xkk kx xk+⎧+=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩，12222228(2)344(442)34ky ykk ky yk-+⎧+=⎪⎪+⎨+-⎪=⎪+⎩，且1221224(*)34kx y x yk-+=+联立1,223y yy x=⎧⎪⎨=-⎪⎩可得111113(3,),(36,).2yT y H y x y++-可求得此时1222112:()36y yHN y y x xy x x--=-+--，将(0,2)-，代入整理得12121221122()6()3120x x y y x y x y y y+-+++--=，将(*)代入，得222241296482448482436480,k k k k k k k+++---+--=显然成立，综上，可得直线HN过定点(0,2).-【解题技法】(1)定点问题，先猜后证，可先考虑运动图形是否有对称性及特殊(或极端)位置猜想，如直线的水平位置、竖直位置，即k＝0或k不存在时.(2)以曲线上的点为参数，设点P(x1，y1)，利用点在曲线f(x，y)＝0上，即f(x1，y1)＝0消参.【跟踪训练】模拟训练（2）方法一：设PQ 方程为x my =()2222234433x my m y my x y =-⎧⇒-+⎨-=⎩以PQ 为直径的圆的方程为(1x x -()(22121212x x x x x x y y y -+++-+由对称性知以PQ 为直径的圆必过()21212120x x x x x x y y -+++=，而()21212212431m x x m y y m +=+-=-()()212121222x x my my m y y =--=22222434931313m x x m m m --∴-++---()()22313510m x m x ⎡⎤⇒-+--=⎣⎦∴以PQ 为直径的圆经过定点(1,0方法二：设PQ 方程为2,x my P =-()22222311233x my m y my x y =-⎧⇒--⎨-=⎩由对称性知以PQ 为直径的圆必过设以PQ 为直径的圆过(),0E t ，()()1210EP EQ x t x t y ∴⋅=⇒--+ 而()()21212122x x my my m y =--=2229122431313m m m m m -=⋅-⋅+=--【点睛】方法定睛：过定点问题的两大类型及解法（1）动直线l过定点问题．解法：设动直线方程得y＝k(x＋m)，故动直线过定点(－（2）动曲线C过定点问题．解法：引入参变量建立曲线等于零，得出定点．7．（2023·浙江·模拟预测）已知双曲线为双曲线E的左、右顶点，P为直线(1)求双曲线E的标准方程．(2)直线CD是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由．理得1112,y y y y +（或1212,x x x x +），代入交点坐标后可得结论，如果是求动直线过定点，则可以引入参数求得动直线方程后，观察直线方程得定点．。
高考数学圆锥曲线解题策略归纳
高考数学圆锥曲线解题策略归纳一、基本方法1待定系数法，基本量，求直线方程中的参数，求曲线方程中的a b c e p2齐次方程法，比值问题，解决离心率渐近线夹角等比值问题3韦达定理法，直线和曲线的相交问题。
对交点设而不求，勇韦达定理实现转化，如果根很容易求得，需要直接求根4点差法，弦中点问题，对端点设而不求。
也叫五条等式法，点满足方程2个，中点公式2个，斜率公式1个5距离转化法，将斜线上的长度问题 ,比例问题，向量问题，转化为直线上的问题二、基本思想1常规求值需要找等式，求范围找不等式2”是否存在”当存在解决不存在的自然无解3过“定点”“定值”先设参变量，然后说明和变量无关（定点问题：常把参数的齐次项放在一起，令=0.或者特殊值探解定值问题：把变动的参数表示出来，然后证明和参数无关，或者特殊求值，在进行一般证明最值问题：几何法，二次配方法，三角代换法，均值不等式，切线方法）4有些题思路易成，但是难以实施，需要优化方法，才具有可行性，积累经验5大部分题目只要忠诚的准确的将条件表达出来，一般都会产生思路三、解题套路1一化（点，直线，曲线化成代数式）2二代（点代入线，点代入曲线）3图形特点的代数化4解方程组出答案四、直线曲线（2）问做题步骤1设直线2设点3联立方程4韦达定理5条件转化（1）”以AB为直径的圆经过点O”——OA*OB=0——K1*K2=-1(需要考虑k是否存在)——X1X2+Y1Y2=0 （2）”点在圆上，圆外，圆内”——直角，锐角，钝角问题——X1X2+Y1Y2=0、〉0、〈0（3）”等角，角平分线，互补问题”——斜率关系K1+K2=0.K1=K2（4）”共线问题”——AQ=λAP;坐标表示（5）“点线对称问题”——坐标斜率问题（6）“弦长，面积问题”——坐标和弦长公式6简化计算7注意细节（判别式是否考虑，二次系数a）。