第四章 解析函数的幂级数表示法
第四章 解析函数的幂级数表示法
级数也是研究解析函数的一个重要工具，这部分内容大都是数学分析中的内容的平移推广。
第一节 复级数的基本性质（1）
教学课题：第一节 复级数的基本性质（1）
教学目的：1、理解复级数敛、散、和的定义并掌握收敛性的刻画定理；
2、掌握复级数的绝对收敛性的概念及其判别法；
3、切实了解复函数项级数收敛与一致收敛的定义；
4、掌握柯西—一致收敛准则和优级数准则；
5、掌握复连续函数项级数的性质，并充分了解复函数级数的内闭一致收敛性。
6、了解关于解析函数项级数的威尔斯特拉斯定理。
教学重点：复级数敛、散、和的定义并掌握收敛性的刻画定理； 教学难点：复函数级数的内闭一致收敛性。 教学方法：启发式
教学手段：多媒体与板书相结合
教材分析：复级数也是研究解析函数的一种重要工具，它是我们根据原来函数项级数的内闭一致收敛对级数进行分析性质的研究。 教学过程：
1、复数项级数和复数序列： 1.1复数序列及其敛散性 复数序列就是：
,...,...,,222111n n n ib a z ib a z ib a z +=+=+=在这里，
n
z 是复数，
,Im ,Re n n n n b z a z ==一般简单记为}{n z 。按照|}{|n z 是有界或无界序列，我们也称}{n z 为有
界或无界序列。
设0z 是一个复常数。如果任给0>ε，可以找到一个正数N ，使得当n>N 时
ε<-||0z z n ,
那么我们说}{n z 收敛或有极限0z ，或者说}{n z 是收敛序列，并且收敛于0z ，记作
lim z z n n =+∞
→。
如果序列}{n z 不收敛，则称}{n z 发散，或者说它是发散序列。
令ib a z +=0，其中a 和b 是实数。由不等式
||||||||||0b b a a z z b b a a n n n n n -+-≤-≤--及
容易看出，0lim z z n n =+∞
→等价于下列两极限式：
,lim ,lim b b a a n n n n ==+∞
→+∞
→
因此，有下面的注解：
注解1、序列}{n z 收敛（于0z ）的必要与充分条件是：序列}{n a 收敛（于a ）以及序列}{n b 收敛（于b ）。
注解2、复数序列也可以解释为复平面上的点列，于是点列}{n z 收敛于0z ，或者说有极限点0
z 的定义用几何语言可以叙述为：任给0z 的一个邻域，相应地可以找到一个正整数N ，使得当n>N 时，n z 在这个邻域内。
注解3、利用两个实数序列的相应的结果，我们可以证明，两个收敛复数序列的和、差、积、商仍收敛，并且其极限是相应极限的和、差积、商。
1.2 复数项级数及其敛散性 复数项级数就是
......21++++n z z z
或记为∑∞+=1
n n z
，或∑n z ，其中n z 是复数。定义其部分和序列为：
n n z z z +++=...21σ
如果序列{}n σ收敛，那么我们说级数∑n z
收敛；如果
{}n σ的极限是σ，
那么说∑n z
的和是σ，
或者说
∑n z
收敛于σ，记作
σ
=∑∞
+=1
n n z ，
如果序列{}n σ发散，那么我们说级数∑n
z 发散。
注解1、对于一个复数序列}{n z
，我们可以作一个复数项级数如下
...)(...)()(123121+-++-+-+-n n z z z z z z z
则序列
}{n z 的敛散性和此级数的敛散性相同。
注解2、级数∑n
z 收敛于σ的N -ε
定义可以叙述为：有时使得当,,0,0N n N >>?>?ε
εσ<-∑=||1n
k k z ，
注解3、如果级数
∑n z 收敛，那么
,0)(lim lim 1=-=++∞
→+∞
→n n n n n z σσ
定理4.1、令 σσIm ,Re ,Im ,Re ,Re =====b a z b z a z a n n n n n n ，我们有
∑∑==+=n
k k
n k k n b i a 1
1
σ
因此，级数
∑n z 收敛（于σ）的必要与充分条件是：级数∑n a 收敛（于a ）以及级数∑n
b
收
敛（于b ）。
注解、关于实数项级数的一些基本结果，可以不加改变地推广到复数项级数，例如下面的柯西收敛原理：
柯西收敛原理（复数项级数）：级数∑n
z 收敛必要与充分条件是：任给0>ε
，可以找到一个
正整数N ，使得当n>N ，p=1,2,3,…时，
ε<++++++|...|21p n n n z z z
柯西收敛原理（复数序列）：序列}{n z 收敛必要与充分条件是：任给0>ε，可以找到一个正
整数N ，使得当m 及n>N ，
ε<-||m n z z
对于复数项级数
∑n z ，我们也引入绝对收敛的概念：如果级数
...||...||||21++++n z z z
收敛，我们称级数
∑n z 绝对收敛。
注解1、级数∑n z 绝对收敛必要与充分条件是：级数∑n a 以及∑n b 绝对收敛：事实上，
有
,
||||||||||1
1
1
221
1
1
∑∑∑
∑∑∑======+≤+=≤k k n
k k n
k k
k n k nk n k k n k k b a b a z b a 及
注解2、若级数
∑n z 绝对收敛，则∑n
z
一定收敛。
例、当1||<α时，......12+++++n ααα
绝对收敛；并且有
0lim ,11 (111)
2
=--=++++++∞
→+n n n n
αααααα
我们有，当1||<α时，
.11......12α
ααα-=
+++++n
如果复数项级数
'∑n z 及"∑n z 绝对收敛，并且它们的和分别为",'αα，那么级数
)...("1'"1'21
"'1z z z z z z n n n n +++-∞
+=∑ 也绝对收敛，并且它的和为"'αα。
第一节 复级数的基本性质（2）
教学课题：第一节 复级数的基本性质
教学目的：1、理解复级数敛、散、和的定义并掌握收敛性的刻画定理；
2、掌握复级数的绝对收敛性的概念及其判别法；
3、切实了解复函数项级数收敛与一致收敛的定义；
4、掌握柯西—一致收敛准则和优级数准则；
5、掌握复连续函数项级数的性质，并充分了解复函数级数的内闭一致收敛性。
6、了解关于解析函数项级数的威尔斯特拉斯定理。
教学重点：复级数敛、散、和的定义并掌握收敛性的刻画定理； 教学难点：复函数级数的内闭一致收敛性。 教学方法：启发式
教学手段：多媒体与板书相结合
教材分析：复级数也是研究解析函数的一种重要工具，它是我们根据原来函数项级数的内闭一致收敛对级数进行分析性质的研究。
2、一致收敛的复函数项级数和复函数序列：
定义4.3 设,...)2,1)}(({=n z f n 在复平面点集E 上有定义，那么：
...)(...)()(21++++z f z f z f n
是定义在点集E 上的复变函数项级数，记为
∑+∞
=1
)(n n
z f
，或∑)(z f n 。设函数f (z )在E 上有定义，
如果在E 上每一点z ，级数
∑)(z f n
都收敛于f (z )，那么我们说此级数在E 上收敛（于f (z )）
，或者此级数在E 上有和函数f (z )，记作
),()(1
z f z f
n n
=∑+∞
=
设
),...(),...,(),(21z f z f z f n
是E 上的复变函数列，记作+∞=1)}({n n z f 或)}({z f n 。设函数)(z ?在E 上有定义，如果在E 上每一点z ，序列)}({z f n 都收敛（于)(z ?），那么我们说此序列在E 上收敛（于)(z ?），或者此序列在E 上有极限函数)(z ?，记作
),()(lim z z f n n ?=+∞
→
注解1、复变函数项级数
∑)(z f n
收敛于f (z )的N -ε定义可以叙述为：
有时使得当,,0,0N n N >>?>?ε.|)()(|1
ε<-∑=z f z f n k k
注解2、复变函数序列)}({z f n 收敛于)(z ?的N -ε定义可以叙述为：
有时使得当,,0,0N n N >>?>?ε.|)()(|ε?<-z z f n
定义4.4 如果任给0>ε，可以找到一个只与ε有关，而与z 无关的正整数)(εN N =，
使得当E z N n ∈>,时，有
.|)()(|1
ε<-∑=z f z f n
k k
或 .|)()(|ε?<-z z f n 那么我们说级数
∑)(z f n
或序列)}({z f n
在E 上一致收敛（于f (z )或)(z ?）
。 注解、和实变函数项级数和序列一样，我们也有相应的柯西一致收敛原理： 定理4.5 柯西一致收敛原理（复函数项级数）：复变函数项级数
∑)(z f n
在E 上一致收敛
必要与充分条件是：任给0>ε，可以找到一个只与ε有关，而与z 无关的正整数)(εN N =，使得当E z N n ∈>,，p =1,2,3,…时，有
.|)(...)()(|21ε<++++++z f z f z f p n n n
柯西一致收敛原理 （复变函数序列）：复变函数序列)}({z f n 在E 上一致收敛必要与充分条件是：任给0>ε，可以找到一个只与
ε
有关，而与z 无关的正整数)(εN N =，使得当
E z N n m ∈>,,时，有
.
|)()(|ε<-z f z f m n
注解、一致收敛的魏尔斯特拉斯判别法（M-判别法）：设,...)2,1)}(({=n z f n 在复平面点集E 上有定义，并且设
是一个收敛的正项级数。设在E 上，
,...),2,1( |)(|=≤n a z f n n
那么级数
∑)(z f n
在E 上一致收敛。
定理4.6 设复平面点集E 表示区域、闭区域或简单曲线。设,...)2,1)}(({=n z f n 在集E 上连续，并且级数∑)(z f n
或序列)}({z f n
在E 上一致收敛于f (z )或)(z ?，那么f (z )或)(z ?在E 上
连续。
定理4.7 设,...)2,1)((=n z f n 在简单曲线C 上连续，并且级数∑)(z f n
或序列)}({z f n
在
C 上一致收敛于f (z )或)(z ?，那么
,)()(1
?∑?
=+∞
=C
n C
n dz z f dz z f
或
.)()(??
=C
C
n dz z dz z f ?
注解1、在研究复变函数项级数和序列的逐项求导的问题时，我们一般考虑解析函数项级数
和序列；
注解2、我们主要用莫勒拉定理及柯西公式来研究和函数与极限函数的解析性及其导数。 设函数,...)2,1)}(({=n z f n 在复平面C 上的区域D 内解析。如果级数
∑)(z f n
或序列
)}({z f n 在D 内任一有界闭区域（或在一个紧集）上一致收敛于f (z )或)(z ?，那么我们说此级数
或序列在D 中内闭（或内紧）一致收敛于f (z )或)(z ?。
定理4.8（魏尔斯特拉斯定理） 设函数,...)2,1)((=n z f n 在区域D 内解析，并且级数
∑)
(z f n
或序列)}({z f n 在D 内闭一致收敛于函数f (z )或)(z ?，那么f (z )或)(z ?在区域D 内解析，并且在
...
...21++++n a a a
D 内
,)()(1
)()
(∑+∞
==n k n k z f z f
或
,...).3,2,1(),(lim )()()(==+∞
→k z f z k n n k ?
证明：先证明f (z )在D 内任一点0z 解析，取0z 的一个邻域U ，使其包含在D 内，在U 内作一条简单闭曲线C 。由定理2.2以及柯西定理，
,0)()(1
==∑??
+∞
=n C
n C
dz z f dz z f
因为根据莫勒拉定理，可见f (z )在U 内解析。再由于0z 是D 内任意一点，因此f (z )在D 内解析。
其次，设U 的边界即圆K 也在D 内，于是
∑+∞
=+-11
0)
()
(n k n z z z f ， 对于K z ∈一致收敛于
1
0)()
(+-k z z z f 。由定理2.2，我们有
,)()(21
)()(2111010∑??+∞
=++-=-n K k n K k dz z z z f i
dz z z z f i ππ 也就是
,...)3,2,1(,)()(1
)()
(==∑+∞
=k z f z f
n k n k
因此，定理中关于级数的部分证明结束。
对于序列，我们也先证明)(z ?在D 内任一点0z 解析，取0z 的一个邻域U ，使其包含在D 内，在U 内作一条简单闭曲线C 。由定理2.2以及柯西定理，
,0)(lim )(lim )(===???
+∞→+∞
→C
n n C n z C
dz z f dz z f dz z f
因为根据莫勒拉定理，可见)(z ?在U 内解析。再由于0z 是D 内任意一点，因此)(z ?在D 内解
析。
其次，设U 的边界即圆K 也在D 内，于是
1
0)
()
(+-k n z z z f ， 对于K z ∈一致收敛于
1
0)
()
(+-k z z z ?。由定理2.2，我们有
dz z z z f i dz z z z i K k n n K k ??++∞→+-=-1
010)()(lim 21
)()(21π?π
dz z z z f i K k n n ?++∞→-=10
)()(21
lim
π
也就是
,...).3,2,1(),(lim )()()(==+∞
→k z f z k n n k ?
因此，定理中关于序列的部分证明结束。
第二节 幂级数
教学课题：第二节 幂级数 教学目的：1、理解幂级数的收敛性；
2、充分理解幂级数的收敛半径、收敛域的意义；
3、切实掌握幂级数和函数的解析性。
教学重点：幂级数和函数的解析性； 教学难点：幂级数和函数的解析性。 教学方法：启发式、探究式 教学手段：多媒体与板书相结合
教材分析：幂级数是一种简单解析函数项级数，把解析函数表示为简单的幂级数，不仅有理论上的意义，更有实际的意义。 教学过程：
1、幂级数的敛散性：本节研究一类特别的解析函数项级数，即幂级数
...
)(...)()()(02020100
0+-++
-+-+=-∑+∞
=n n n n n
z z z z z z z z ααααα
其中z 是复变数，系数n α是任何复常数。
注解1、这类级数在复变函数论中有特殊重要的意义； 注解2、一般幂级数在一定的区域内收敛于一个解析函数；
注解3、在一点解析的函数在这点的一个邻域内可以用幂级数表示出来，因此一个函数在某个点解析的必要与充分条件是，它在这个点的某个邻域内可以展开成一个幂级数。 首先研究幂级数的收敛性，我们有阿贝尔第一定理：
定理4.10 如果幂级数∑+∞
=-00)(n n n z z α在)(01z z ≠收敛，那么对满足||||010z z z z -<-的任
何 z ，它都不仅绝对收敛，而且内闭一致收敛。
证明：由于幂级数∑+∞
=-00)(n n n z z α在)(01z z ≠收敛，所以有
0)(lim 01=-+∞
→n n n z z α，
因此存在着有限常数M ，使得,...)1,0(|)(|01=≤-n M z z n n α。把级数改写成
n
n n n z z z z z z ∑∞
+=???? ??---001001)(α
则有
,
|
)(||)(|0
10
010010n n
n
n
n n
n Mk z z z z M z z z z z z z z =--≤---=-αα
其中已令,0
10k z z z z =--由于级数,0
∑+∞
=k n Mk 收敛，所以此幂级数在满足||||010z z z z -<-的任何点 z
不仅收敛，而且绝对收敛。
注解：与幂级数∑+∞
=-00)(n n n z z α相对应，作实系数幂级数
...||...||||||||22100
+++++=∑+∞
=n n n n n
x x x x ααααα
其中x 为实变数。则有
推论4.11 如果幂级数∑+∞
=-00)(n n n z z α在)(01z z ≠发散，那么对满足||||010z z z z ->-的任
何 z ，它都发散。
定理4.11 设的收敛半径∑+∞
=0||n n n x α是R ，那么按照不同情况，我们分别有：
(1)、如果+∞< =-0 0)(n n n z z α绝对收敛，当 R z z >-||0时，级数∑+∞ =-0 0)(n n n z z α发散； （2）如果+∞=R ，那么级数 ∑+∞ =-00)(n n n z z α 在复平面上每一点绝对收敛； （3）如果R =0，那么级数 ∑+∞ =-0 0)(n n n z z α 在复平面上除去0z z =外每一点发散。 证明： （1）先考虑+∞< 它满足 R r z z <<-101||。由于级数∑+∞ =0 ||n n n x α在1r x =时绝对收敛，所以级数∑+∞ =-0 0)(n n n z z α在 10r z z =-时绝对收敛，从而它在1z z =时也绝对收敛。 如果R z z >-||01，那么可以找到一个正实数2r ，使它满足R r z z >>-201||。假定级数 ∑+∞ =-0 0)(n n n z z α 在2z z =时收敛，那么级数∑+∞ =0 ||n n n x α在2r x =时也收敛，与所设相矛盾。 （2）如果+∞=R ，则对任何实数x ，级数 ∑+∞ =0 ||n n n x α 都绝对收敛。如果r z z =-||01，由 于级数 ∑+∞ =0 ||n n n x α 在r x =时绝对收敛，所以级数∑+∞ =-0 0)(n n n z z α在r z z =-0时绝对收敛，从而 它在1z z =时也绝对收敛，由于1z 的任意性，那么级数∑+∞ =-0 0)(n n n z z α 在复平面上每一点绝对收 敛； （3）如果R =0，则对任何实数0≠x ，级数 ∑+∞ =0 ||n n n x α 都发散。若存在一个复数)(01z z ≠， 使得 ∑+∞ =-001)(n n n z z α 收敛，则由定理3.1，当||||010z z z z -<-时，∑+∞ =-0 0)(n n n z z α绝对收敛，即 ∑+∞ =-0 0||||n n n z z α 收敛，所以存在0≠x ，使得∑+∞ =0 ||n n n x α收敛，与假设矛盾。 注解1、当+∞< ∑+∞ =-0 0)(n n n z z α 的敛散性不定。 注解2、和数学分析中一样，定理 3.2中的)0(+∞< R z z <-||0称为它的收敛圆盘。当+∞=R 时，我们说此级数的收敛半径是∞+，收敛圆盘扩大 成复平面。当R =0时，我们说此级数的收敛半径是0，收敛圆盘收缩成一点0z 。 注解3、因此，求 ∑+∞ =-00 )(n n n z z α的收敛半径的问题归结成求∑+∞ =0 ||n n n x α的收敛半径的问题。 和数学分析中一样，常见情况下，可以用达朗贝尔法则或柯西法则求出。对于一般情况，则可用柯西-阿达马公式求出，因此，有下面的定理： 定理4.12 如果下列条件之一成立： （1） |,| lim 1 n n n l αα++∞ →= （2） ,||lim n n n l α+∞ →= （3） ,||n n n l α+∞ →= 那么当 （1）+∞< ∑+∞ =-0 )(n n n z z α的收敛半径l R 1=； （2）当0=l 时， +∞=R ； （3）当+∞=l 时， 0=R 。 注解1、公式（3）中的l 总是存在的。 注解2、（上极限的定义）已给一个实数序列}{n a 。数),(+∞-∞∈L 满足下列条件：任给 0>ε，（1）至多有有限个ε+>L a n ；（2）有无穷个ε->L a n ，那么说序列}{n a 的上极限是 L ，记作 ,lim L a n n =+∞ → 如果任给0>M ，有无穷个M a n >，那么说序列}{n a 的上极限是∞+，记作 ,lim +∞=+∞ →n n a 如果任给0>M ，至多有有限个M a n ->，那么说序列}{n a 的上极限是∞-，记作 .lim -∞=+∞ →n n a 注解3、（柯西-阿达马公式的证明）设+∞< z z 1 |'|0< -。可以找到0>ε，使得) 2(1 |'|0ε+< -l z z 。又由上极限的定义，存在着N>0，使得当n>N 时 ,||εα+ n 从而 n n n l l z z )]2/()[(|'|||0εεα++<- 因此级数 ∑+∞ =-0 0)(n n n z z α在'z z =时绝对收敛。由于 'z 的任意性，得到此级数在l z z 1||0 <-内绝对收敛。 另一方面，任取定"z ，使得l z z 1|"|0>-。可以找到)2/,0(l ∈ε，使得) 2(1 |"|0ε->-l z z 。又由 上极限的定义，有无穷多个n α，满足εα->l n n ||，即满足 n n n l l z z )]2/()[(|"|||0εεα-->- 因此级数 ∑+∞ =-0 0)(n n n z z α 在"z z =时发散，从而此级数在l z z 1||0>-内发散。 注解4、幂级数 ∑+∞ =-0 0)(n n n z z α 的和是收敛圆内有定义的一个函数，我们称为和函数。 定理4.13 设幂级数∑+∞ =-0 0)(n n n z z α有收敛圆盘R z z <-||0。那么在R z z <-||0内，它内闭 一致收敛；它的和函数 ... )(...)()()(0202010+-++ -+-+=n n z z z z z z z f αααα 解析，并且 ,...) 3,2,1(... )(! 1)! 1(!)(01)(=+-++ =+n z z n n z f n n n αα 证明：我们只需证明 ∑+∞ =-0 0)(n n n z z α在收敛圆盘R z z <-||0内闭一致收敛即可。设E 是这个圆盘内的任意一个紧集。于是存在着0 0内。于是当E z ∈时 n n n n r z z ||||||0αα≤- 因为 ∑+∞ =0||n n n r α收敛，所以∑+∞ =-0 0)(n n n z z α在E 上一致收敛，因此它在收敛圆内闭一致收敛。 注解：幂级数在收敛圆周的收敛与发散不定。 例1、级数 (111) 2+++++=-n z z z z 的收敛半径是1。 注解1、由柯西准则我们可以证明，复数项级数收敛的一个必要条件也是其通项趋近于0。 注解2、例1中的幂级数在|z|=1上通项不趋近于0，所以发散。 例2、级数 ∑+∞ =+++-1 1 1 ) 1() 1(n n n n n z 的收敛半径是1。 在收敛圆|z|=1上，有) 1(1 |)1() 1(|11 += +-++n n n n z n n ， 而级数 ∑+)1(1 n n 收敛，所以此幂级数在收敛圆周上处处收敛。 注解：下面将要证明，例2中幂级数的和函数等于 ?=+z d 0 )01(ln )1ln(ζζ 它在|z|=1上，除去z =-1外，处处解析。 3、幂级数和的解析性 定理4.14（1）幂级数 ∑+∞ =-0 0)(n n n z z α 的和函数f(z)在气收敛园)0(:+∞<<<-R R a Z K 内 解析； （2）在K 内幂级数可以逐项求导至任意阶； （3）)3,2,1(! ) ()( ==p p a f c p p 第三节 解析函数的泰勒展式 教学课题：第三节 解析函数的泰勒（Taylor ）展式 教学目的：1、掌握泰勒定理、泰勒系数公式及解析函数的等价刻画命题； 2、充分理解幂级数的和函数在收敛圆周上的状况； 3、了解幂级数的四则运算及其幂级数的各种展开法。 教学重点：泰勒定理、泰勒系数公式及解析函数的等价刻画命题 教学难点：幂级数的各种展开法 教学方法：启发式、讨论式 教学手段：多媒体与板书相结合 教材分析：主要研究在圆内解析的函数如何展开成幂级数的问题。 教学过程： 1、解析函数泰勒定理： 定理4.14、设函数f (z )在圆盘R z z U <-|:|0内解析，那么在U 内， ... )(! )(...)(! 2) (")(!1)(')()(00)(200000+-++-+-+ =n n z z n z f z z z f z z z f z f z f 证明：设D z ∈。以0z 为心，在U 内作一个圆C ，使z 属于其内区域。我们有 ?-= C d z f i z f ,) (21)(ζζζπ 由于当C ∈ζ时，10 <=--q z z z ζ， 又因为 )1|...(| (111) 2<+++++=-ααααα n 所以 ∑∞ +=+--=---? -=---=-010000 000) ()(11 1)(11n n n z z z z z z z z z z z ζζζζζ 上式的级数当C ∈ζ时一致收敛。 把上面的展开式代入积分中，然后利用一致收敛级数的性质，得 ...)(...)()(0010+-++-+=n n z z z z z f ααα 其中， ) 1!0,...;2,1,0(,! )()() (210)(1===-=?+n n z f d z f i C n n n ζζζπα 由于z 是U 内任意一点，定理的结论成立。 定理4.15 函数f (z )在一点0z 解析的必要与充分条件是：它在0z 的某个邻域内有定理4.14中的幂级数展式。 注解：在定理4.14中，f (z )在U 内的幂级数展式我们称为它在U 内的泰勒展式。 推论4.11 幂级数 ... )(...)()()(02020100 0+-++ -+-+=-∑+∞ =n n n n n z z z z z z z z ααααα 是它的和函数f (z )在收敛圆内的泰勒展式，即 ,...).2,1,0(! ) (),(0)(00===n n z f z f n n αα 因此，我们有解析函数的幂级数展式的唯一性定理： 推论4.12 在定理4.11中，幂级数的和函数f (z )在U 内不可能有另一种形式的幂级数。 注解： 利用泰勒展式的唯一性定理，我们可以用多种方法求一个函数的泰勒展式，所得结果一定相同。 例1、 求z z e z cos ,sin ,在z =0的泰勒展式。 解：由于z z e e =)'(，所以1|)(0)(==z n z e ，因此 ...! 1 ...!2112++++ +=n z z n z z e 同理，有 ...)!2(1)1(...!41!211cos 2142+-+-+- =-n n z n z z z ...)! 12(1 )1(...!51!31sin 12153+--+-+-=--n n z n z z z z 由于在复平面上，以某些射线为割线而得的区域内，多值函数---对数函数和一般幂函数可以分解成解析分支，因此在已给区域中任一圆盘内，可以作出这些分支的泰勒展式。 例2、求Ln(1+z )的下列解析分支在z =0的泰勒展式： ) )1arg() 1arg(|1|ln )1ln(ππ<+<-+++=+z z i z z 解：已给解析分支在z =0的值为0，它在z =0的一阶导数为1，二阶导数为-1，n 阶导数为 )!1()1(--n n ,…,因此，它在z =0或在|z|<1的泰勒展式是： ...)1(...32)1ln(132+-+-+-=+-n z z z z z n n 其收敛半径1。 例3、求α)1(z +的下列解析分支在z =0的泰勒展式（其中α不是整数），)01(ln )1ln(=+z e α。 解：已给解析分支在z =0的值为1，它在z =0的一阶导数为α，二阶导数为)1(-αα，n 阶导数 为)1)...( 1(+--n ααα,…,因此，它在z =0或在|z|<1的泰勒展式是： ...)(...)2(12)1ln(+++++=+n z z n z z e α ααα 其中!) 1)...(1(n n n +--=??? ? ??αααα，其收敛半径为1。 注解、这是二项式定理的推广，对α为整数的情况也成立。 第四节 解析函数零点的孤立性及唯一性定理 教学课题：第四节 解析函数零点的孤立性及唯一性定理 教学目的：1、了解解析函数零点的概念及其有零点的解析函数的表达式 2、充分理解解析函数零点的孤立性及其内部唯一性定理； 3、充分掌握解析函数的最大模原理。 教学重点：解析函数零点的孤立性及其内部唯一性定理 教学难点：最大模原理 教学方法：启发式、讨论式 教学手段：多媒体与板书相结合 教材分析：解析函数零点的概念、解析函数零点的孤立性及其内部唯一性定理 以及解析函数的最大模原理是本节的主要内容。 教学过程： 1、解析函数零点的孤立性： 定义4.7 设函数f (z )在0z 的邻域U 内解析，并且0)(0=z f ，那么称0z 为f (z )的零点。设f (z )在U 内的泰勒展式是： ...)(...)()()(020201+-++-+-=n n z z z z z z z f ααα 现在可能有下列两种情形： （1）如果当n =1,2,3,…时，0=n α,那么f (z )在U 内恒等于零。 （2）如果,...,...,,21n ααα不全为零，并且对于正整数m ，0≠m α，而对于n 如果0z 是解析函数f (z )的一个m 阶零点，那么显然在0z 的一个邻域U 内 ,0)(),()()(00=-=z z z z z f m ?? 其中)(z ?在U 内解析。因此存在一个正数0>ε，使得当ε<-<||00z z 时，0)(≠z ?。于是 0)(≠z f 。换而言之，存在着0z 的一个邻域，其中0z 是f (z )的唯一零点。 定理4.17 设函数f (z )在0z 解析，并且0z 是它的一个零点，那么或者f (z )在0z 的一个邻域内 恒等于零，或者存在着0z 的一个邻域，在其中0z 是f (z )的唯一零点。（简单说来，不恒为零的解析函数的零点是孤立的） 注解：此性质我们称为解析函数零点的孤立性。 推论4.18 )(z f 在圆域K ：R a z <-内解析，在K 内f(z)的一列零点{})(a z z k k ≠收敛于a,则f(z)在K 内必恒为零。 2、解析函数的唯一性定理： 我们知道，已知一般有导数或偏导数的单实变或多实变函数在它的定义范围内某一部分的函数值，完全不能断定同一个函数在其他部分的函数值。解析函数的情形和这不同：已知某一个解析函数在它区域内某些部分的值，同一函数在这区域内其他部分的值就可完全确定。 引理6.1 设f (z )是区域D 内的解析函数。如果f (z )在D 内的一个圆盘内恒等于零，那么f (z )在D 内恒等于零。 证明：设在D 内一个以0z 为心的圆盘0K 内，0)(≡z f 。我们只需证明在0K 以外任一点 0)'(,'=∈z f D z 。用D 内的折线L 连接'0z z 与，存在着一个正数δ，使得L 上任一点与区域D 的边界上任一点的距离大于δ。在L 上依次取011210,',,...,,,K z z z z z z z n n ∈=-使，而其他任意相邻两点的距离小于δ；作每一点j z 的δ邻域),...,2,1(n j K j =，显然，当j 由于f (z )在0K 内恒等于零，,...)2,1(0)(1) (==n z f n 。于是f (z )在1K 内泰勒展式的系数都是 零，从而f (z )在1K 内恒等于零。一般地，已经证明了f (z )在)1(-≤n j K j 内恒等于零，就可推出它在1+j K 内恒等于零，而最后就得到0)'(=z f ，因此引理的结论成立。 定理4.19 如果f (z )在区域D 内解析，并且不恒等于零，那么f (z )的每个零点0z 有一个邻 域，在其中 0z 是f (z )唯一的零点。 定理4.20（解析函数的唯一性定理） 设函数f (z )及g (z )在区域D 内解析。设 k z 是D 内彼 此不同的点(k=1,2,3,…)，并且点列}{k z 在D 内有极限点。如果,...)3,2,1)(()(==k z g z f k k ，那么在D 内，f (z )=g (z )。 即ｉ薹Ｉ、蠢≤妻鍪主委 羹萋矍鍪萋羲鬃戋 姜孽耋爱薹；霎蓁囊爹至雩１２毛』三：ｆ毒耋辜耋！姜萼鬟鬻鹱｜；曼彗 囊摹ｌ！，∑叁Ｌ：： ２垂≤＝引●ｒ毛 翼蓁蘩鏊蓁篓鋈篓鋈襄錾鋈鬟黍冀羹 翻Ｎ肇 ；萋藿薹摹ｊ霎耋誊薹摹蠹繁型篱篓薹菱垂羹零ｉ ｉ萋莹荔差薹；００ｉ＿；蓦毒到｝：Ⅱ：而；羹ｉ霎霎萋囊！ｉ雾霎蚕～；；ｉ７１专００三；｝ｉ—ｌｌ蓄；一妻ｉ 薹｛重髻硫终；密萋霉童霉羹。囊至■摹吾｜｜争霪 耋嘉霪藿薹。一薹～。霉篓薹薹●，萋一芝＿＿＿一一誊摹一 藉鏊鼋，尊甾藿姜耋■囊≤｜｜甲琴嘉囊髦鋈薹妻囊囊冀 霎＝ｉ薹■｜｜ｊ妻瞻ｉ兰霎薹罨。蓦薹耋ｊ．；蔓ｉ三 雪差薹薹。墨雾萋毫妻季耋蘑二雾薹姜一琴囊冀狐囊竖 萋罄蠹郛萎篓囊霆姿鬣萋，匿鬻ｉ囊磊些羹蘑鍪雾静蒸 蕊蓑鬟霎；雾妻薹羹蠢捞鬓秀鍪彳萄辇雾薹篓篓髫雾刍 譬誊囊善墓量！≤竖羹囊霪鏊雾管基蓥蠢鉴鏊澍ｍ嗜： 奏鸯耋羹暨奎妻錾蕊捆掌囊４－疟～。晡鏊翼蠹藩题÷囊 旨篓霎萋萎萋萋薹蓦。胤耋：～篓雾鋈菱薹薹璺羹荔警 例谈一类幂级数和函数的求法 作者：杜炜 作者单位：濮阳广播电视大学,河南,濮阳,457000 刊名： 濮阳教育学院学报 英文刊名：JOURNAL OF PUYANG COLLEGE OF EDUCATION 年，卷(期)：2002，15(1) 被引用次数：0次 参考文献(1条) 1.朱有清.贺才兴高等数学复习十五讲 1986 相似文献(10条) 1.期刊论文解烈军求幂级数和函数的微分方程方法-高等数学研究2009,12(3) 按照通常求幂级数和函数的思路,对一些幂级数并不能奏效.在某些情况下,可以引入求幂级数和函数的微分方程方法.其主要思路是通过建立和函数的微分方程,将幂级数求和函数问题化为微分方程初值问题来求解. 2.期刊论文徐凤林.张秀丽.XU Feng-lin.ZHANG Xiu-li幂级数和函数的解法综述-山东轻工业学院学报(自然科学版)2006,20(1) 本文总结了求幂级数和函数的四种方法.一种方法是将待求级数分解成己知和函数的级数的运算(一般是加减)表达形式,然后逐一求和新的级数;第二种方法是"先求导,再积分"或"先积分,再求导";第三种方法是把待求级数用基本初等函数的幂级数展开式表示出来;第四种方法是列写出和函数满足的微分方程,解此微分方程得到和函数. 3.期刊论文张锦来.ZHANG Jin-lai幂级数∞∑n=1x2n/(2n)k和函数的递推公式及其应用-延边大学学报（自然科学版）2008,34(2) 根据收敛级数的分析性质研究了幂级数∞∑n=1x2n/(2n)k(k≥2)的和函数问题,用数学归纳法证明了其和函数的递推公式,由此得出k=2,3,4,…时幂级数和函数的具体表达式,进而导出几个与之相关的非初等积分的值或近似值. 4.期刊论文张玉灵由通项公式求一类幂级数的和函数-高等数学研究2009,12(3) 利用和函数的定义对形如∞∑anbn(x)的幂级数,其中{an}是一等差数列,{bn(x)}是一等比函数列,推导出了求该类幂级数和函数的一个通项公式. 5.期刊论文桂曙光.GUI Shu-guang利用差分法求一类幂级数的和函数-安庆师范学院学报（自然科学版）2001,7(4) 利用差分法导出了求幂级数和函数的一个通项公式,用它能求出系数为高阶等差数列和高阶等比数列的幂级数∞∑n=0anxn的和函数. 6.期刊论文周宏安.ZHOU Hong-an幂级数和函数分析性质的一种证明-陕西工学院学报2000,16(2) 作者在文[1]中给出了幂级数在收敛区内连续性的一种证明,本文直接利用幂级数的收敛性,给出幂级数和函数在收敛区间上的分析性质的一种简捷证明.并举例说明方法的实用性. 7.期刊论文朱双荣例谈求幂级数和函数的一题多解-高等函授学报（自然科学版）2010,23(2) 借助于已知级数的和函数,通过观察或逐项求导、逐项积分等方法得到需要求出和函数的级数所满足的式子,从而求出级数的和函数. 8.期刊论文李高明利用拆项法求一类幂级数的和函数-高等数学研究2009,12(3) 利用拆项法,给出一类系数为和式的幂级数和函数的求法.并对此类幂级数收敛半径计算,给出一个一般性结论. 9.期刊论文金少华.宛艳萍求幂级数的和函数时应注意的几个问题-高等数学研究2007,10(3) 讨论求幂级数的和函数时应注意的几个问题. 10.期刊论文刘永莉.李曼生.LIU Yong-li.LI Man-sheng两类幂级数的和函数求法-甘肃联合大学学报（自然科学版）2005,19(2) 利用差分算子与微分方程导出了两类系数含有高阶等差数列的幂级数的求和公式,并举例介绍了公式的应用. 本文链接：https://www.360docs.net/doc/a612257080.html,/Periodical_pyjyxyxb200201036.aspx 授权使用：中共汕尾市委党校(zgsw)，授权号：1b3522eb-5036-489c-8ded-9dcf00c128de 下载时间：2010年8月11日 常见幂级数求和函数方法综述 引言 级数是高等数学体系的重要组成部分，它是在生产实践和科学实验推动下逐步形成和发展起来的。中国魏晋时期的数学家刘徽早在公元263年创立了“割圆术”，其要旨是用圆内接正多边形去逐步逼近圆，从而求得圆的面积。这种“割圆术”就已经建立了级数的思想方法，即无限多个数的累加问题。而将一个函数展开成无穷级数的概念最早来自于14世纪印度的马徳哈瓦，他首先发展了幂级数的概念，对泰勒级数、麦克劳林级数、无穷级数的有理数逼近等做了研究。同时，他也开始讨论判断无穷级数的敛散性方法。到了19世纪，高斯、欧拉、柯西等各自给出了各种判别级数审敛法则，使级数理论全面发展起来。中国传统数学在幂级数理论研究上可谓一枝独秀，清代数学家董祐诚、坎各达等运用具有传统数学特色的方法对三角函数、对数函数等初等函数幂级数展开问题进行了深入的研究。而今，级数的理论已经发展的相当丰富和完整，在工程实践中有着广泛的应用，级数可以用来表示函数、研究函数的性质、也是进行数值计算的一种工具。它在自然科学、工程技术和数学本身方面都有广泛的作用。 幂级数是一类最简单的函数项级数，在幂级数理论中，对给定幂级数分析其收敛性，求收敛幂级数的和函数是重要内容之一。但很多人往往对这一内容感到困难。产生这一问题的一个重要原因是教材对这一问题讨论较少，仅有的一两个例题使得我们对幂级数求和中的诸多类型问题感到无从下手。事实上，求幂级数和函数的方法与技巧是多种多样的，一般要综合运用求导、拼凑、分解等来求解，因此它是一个难度较大、技巧较高的有趣的数学问题。 一、幂级数的基本概念 （一）、幂级数的定义 [1] 1、设()(1,2,3)n u x n =L 是定义在数集E 上的一个函数列，则称 12()()(),n u x u x u x x E ++++∈L L 为定义在E 上的函数项级数，简记为1()n n u x ∞ =∑ 。 2、具有下列形式的函数项级数 200102000 ()()()()n n n n n a x x a a x x a x x a x x ∞ =-=+-+-++-+∑L L 1引言 函数的幂级数展开在高等数学中有着重要的地位，在研究幂级数的展开之前我们务必先研究一下泰勒级数，因为泰勒级数在幂级数的展开中有着重要的地位。一般情况，我们用拉格朗日余项和柯西余项来讨论幂级数的展开，几乎不用积分型余项来讨论，今天我们的研究中就有着充分的体现。 2 泰勒级数 泰勒定理指出：若函数f 在点0x 的某个邻域内存在直至n 阶的连续导数，则 ()()()()() () 2 0' ' 00002! x x f x f x f x x x f x -= + -+ () () ()) 00(! n n n x x f x R x n -+++ ， (1) 这里()x R n =()()n x x o 0-称为皮亚诺型余项。如果增加条件“()x f 有1+n 阶连续导数”，那么()x R n 还可以写成三种形式 ()()() () 1 101 ()1! n n n R x f x x n ξ++= -+ （拉格朗日余项） ()() 1 (1) 001[()]1!n n n f x x x x x n θθ++=+--- （柯西余项） ()() (1) 1! x n n x f t x t dt n += -? ， （积分型余项） 如果在(1)中抹去余项()x R n ，那么在0x 附近f 可用(1)式中右边的多项式来近似代替。 如果 f 在0x x =处有任意阶的导数，这时称形式为： ()()()()() () () () 2 0000000"'2! ! n n f x f x f x f x x x x x x x n +-+-++ -+ (2) 的级数为函数f 在0x 的泰勒级数，对于级数(2)是否能够在0x 附近确切地表达f ，或说f 在0x 泰勒级数在0x 附近的和函数是否就是f ，这是我们现在要讨论的问题。下面我们先看一个例子： 幂级数求和函数方法概括与总结 常见幂级数求和函数方法综述 引言 级数是高等数学体系的重要组成部分，它是在生产实践和科学实验推动下逐步形成和发展起来的。中国魏晋时期的数学家刘徽早在公元263年创立了“割圆术”，其要旨是用圆内接正多边形去逐步逼近圆，从而求得圆的面积。这种“割圆术”就已经建立了级数的思想方法，即无限多个数的累加问题。而将一个函数展开成无穷级数的概念最早来自于14世纪印度的马徳哈瓦，他首先发展了幂级数的概念，对泰勒级数、麦克劳林级数、无穷级数的有理数逼近等做了研究。同时，他也开始讨论判断无穷级数的敛散性方法。到了19世纪，高斯、欧拉、柯西等各自给出了各种判别级数审敛法则，使级数理论全面发展起来。中国传统数学在幂级数理论研究上可谓一枝独秀，清代数学家董祐诚、坎各达等运用具有传统数学特色的方法对三角函数、对数函数等初等函数幂级数展开问题进行了深入的研究。而今，级数的理论已经发展的相当丰富和完整，在工程实践中有着广泛的应用，级数可以用来表示函数、研究函数的性质、也是进行数值计算的一种工具。它在自然科学、工程技术和数学本身方面都有广泛的作用。 幂级数是一类最简单的函数项级数，在幂级数理论中，对给定幂级数分析其收敛性，求收敛幂级数的和函数是重要内容之一。但很多人往往对这一内容感到困难。产生这一问题的一个重要原因是教材对这一问题讨论较少，仅有的一两个例题使得我们对幂级数求和中的诸多类型问题感到无从下手。事实上，求幂级数和函数的方法与技巧是多种多样的，一般要综合运用求导、拼凑、分解等来求解，因此它是一个难度较大、技巧较高的有趣的数学问题。 一、幂级数的基本概念 （一）、幂级数的定义 [1] 1、设()(1,2,3 )n u x n =是定义在数集E 上的一个函数列，则称 12()()(),n u x u x u x x E ++++ ∈ 为定义在E 上的函数项级数，简记为1 ()n n u x ∞=∑ 。 2、具有下列形式的函数项级数 2 00102000 ()()()()n n n n n a x x a a x x a x x a x x ∞ =-=+-+-+ +-+ ∑ 幂级数求和函数方法概括与汇总 ————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期： 常见幂级数求和函数方法综述 引言 级数是高等数学体系的重要组成部分，它是在生产实践和科学实验推动下逐步形成和发展起来的。中国魏晋时期的数学家刘徽早在公元263年创立了“割圆术”，其要旨是用圆内接正多边形去逐步逼近圆，从而求得圆的面积。这种“割圆术”就已经建立了级数的思想方法，即无限多个数的累加问题。而将一个函数展开成无穷级数的概念最早来自于14世纪印度的马徳哈瓦，他首先发展了幂级数的概念，对泰勒级数、麦克劳林级数、无穷级数的有理数逼近等做了研究。同时，他也开始讨论判断无穷级数的敛散性方法。到了19世纪，高斯、欧拉、柯西等各自给出了各种判别级数审敛法则，使级数理论全面发展起来。中国传统数学在幂级数理论研究上可谓一枝独秀，清代数学家董祐诚、坎各达等运用具有传统数学特色的方法对三角函数、对数函数等初等函数幂级数展开问题进行了深入的研究。而今，级数的理论已经发展的相当丰富和完整，在工程实践中有着广泛的应用，级数可以用来表示函数、研究函数的性质、也是进行数值计算的一种工具。它在自然科学、工程技术和数学本身方面都有广泛的作用。 幂级数是一类最简单的函数项级数，在幂级数理论中，对给定幂级数分析其收敛性，求收敛幂级数的和函数是重要内容之一。但很多人往往对这一内容感到困难。产生这一问题的一个重要原因是教材对这一问题讨论较少，仅有的一两个例题使得我们对幂级数求和中的诸多类型问题感到无从下手。事实上，求幂级数和函数的方法与技巧是多种多样的，一般要综合运用求导、拼凑、分解等来求解，因此它是一个难度较大、技巧较高的有趣的数学问题。 一、幂级数的基本概念 （一）、幂级数的定义 [1] 1、设()(1,2,3 )n u x n =是定义在数集E 上的一个函数列，则称 12()()(),n u x u x u x x E ++++ ∈ 为定义在E 上的函数项级数，简记为1 ()n n u x ∞=∑ 。 2、具有下列形式的函数项级数 2 00102000 ()()()()n n n n n a x x a a x x a x x a x x ∞ =-=+-+-+ +-+ ∑ 现在我开始回答你的问题： 首先先肯定的说我们在中学遇到的数列就两种1、等差数列2、等比数列这个你是知道的。。。当时解决N项数列和的公式你一定是记得的！ 1、等差数列 Sn=n(a1+an)/2 或Sn=[2na1+n(n-1)d]/2 注：an=a1+(n-1)d 转换过程： Sn=n(a1+an)/2=n{a1+[a1+(n-1)d]}/2=n[2a1+(n-1)d]/2=[2na1+n(n-1 )d]/2 2、等比数列 Sn=n*a1 (q=1) Sn=a1(1-q^n)/(1-q) =(a1-an*q)/(1-q) (q≠1) (n为比值，a为项数） 你知道这两个就证明幂级数你学是一点问题都没有了（高数上你高懂的情况下） 那现在问题是你不知道为什么要逐项求导和逐项积分了！ 听好了，以前初等数学就是用一些初等变换去对式子变形——比如把原式变成两个等比或者等差数列，然后用等比等差数列求和公式求出原式的N项和。 现在高等数学就不好搞了，就不能用一些初等变换（比如分母有理化，比如分子加一减一等等）的方式去分成几项有规律的数列了，那么，我们现在怎么办？要回到高中我们就只有求神了。但是，当我 们现在学了高等数学后，我们就可以通过求导或者积分的方式把他变成我们所了解的等比和等差数列了，那多爽，是吧！通过求导就回到高中！ 不要去想什么逐项求导和逐项积分乱七八糟的，其实就是对通项求导或者积分。 先说求导：目的就是把我们不论用初等数学怎么变化都不能变成等比数列的式子变成等比数列！ 注意观察：例如：S（X）=∑（2~无穷）{[（-1）^n][x^(n-1)]/n-1} 这个式子你用高中的方法去分成几项等比数列嘛，你一定会很悲剧的。通过观察：求一次导x^(n-1)的导数不就是（n-1）[x^(n-2)],分子的n-1不是可以和分母的n-1约掉啊！（注意了哈：逐项求导说的十分猥琐，其实就是对∑（2~无穷）{[（-1）^n][x^(n-1)]/n-1} 求导）求导你要这样想n是常数，X是变量，对X求导（其实N就是常数，我怕你搞错了，我现在没有办法知道你的基础，所以当高中生在教）。求导以后的数列变成∑（2~无穷）{[（-1）^n][x^(n-2)]，求了导之后你展开：把N=2带进去等于1 把N等于3带进去等于（-X）把N等于4带进去等于（X^2）把5带进去等于（-x^3）.......发现没有，求导之后的通项居然是个q=(-x) a1=1 的等比数列！那我们的目的达到了！这个等比数列的求和公式Sn=a1(1-q^n)/(1-q) 得： 1/(1+x) |x|<1才收敛哈！不然考试不写|x|<1要扣粉的哈！求导之后的通项的和我们求到了1/(1+x) |x|<1 那是不是我们要积分一次才 幂级数求和函数方法概括与总结-幂级数总结 -标准化文件发布号：（9556-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII 常见幂级数求和函数方法综述 引言 级数是高等数学体系的重要组成部分，它是在生产实践和科学实验推动下逐步形成和发展起来的。中国魏晋时期的数学家刘徽早在公元263年创立了“割圆术”，其要旨是用圆内接正多边形去逐步逼近圆，从而求得圆的面积。这种“割圆术”就已经建立了级数的思想方法，即无限多个数的累加问题。而将一个函数展开成无穷级数的概念最早来自于14世纪印度的马徳哈瓦，他首先发展了幂级数的概念，对泰勒级数、麦克劳林级数、无穷级数的有理数逼近等做了研究。同时，他也开始讨论判断无穷级数的敛散性方法。到了19世纪，高斯、欧拉、柯西等各自给出了各种判别级数审敛法则，使级数理论全面发展起来。中国传统数学在幂级数理论研究上可谓一枝独秀，清代数学家董祐诚、坎各达等运用具有传统数学特色的方法对三角函数、对数函数等初等函数幂级数展开问题进行了深入的研究。而今，级数的理论已经发展的相当丰富和完整，在工程实践中有着广泛的应用，级数可以用来表示函数、研究函数的性质、也是进行数值计算的一种工具。它在自然科学、工程技术和数学本身方面都有广泛的作用。 幂级数是一类最简单的函数项级数，在幂级数理论中，对给定幂级数分析其收敛性，求收敛幂级数的和函数是重要内容之一。但很多人往往对这一内容感到困难。产生这一问题的一个重要原因是教材对这一问题讨论较少，仅有的一两个例题使得我们对幂级数求和中的诸多类型问题感到无从下手。事实上，求幂级数和函数的方法与技巧是多种多样的，一般要综合运用求导、拼凑、分解等来求解，因此它是一个难度较大、技巧较高的有趣的数学问题。 一、幂级数的基本概念 （一）、幂级数的定义 [1] 1、设()(1,2,3 )n u x n =是定义在数集E 上的一个函数列，则称 12()()(),n u x u x u x x E ++++ ∈ 为定义在E 上的函数项级数，简记为1 ()n n u x ∞=∑ 。 2、具有下列形式的函数项级数 2 00102000 ()()()()n n n n n a x x a a x x a x x a x x ∞ =-=+-+-+ +-+ ∑ 幂级数展开的多种方法 摘要：本文通过举例论证的说明方法，系统地对幂级数展开的多种解法进行了详细地概括、分类及总结 关键词：幂级数;泰勒展式;洛朗展式;展开 在复变函数的学习过程中，我们涉及了对解析函数幂级数展开的学习.由课本的知识知道，任意一个具有非零收敛半径的幂级数在其收敛圆内收敛于一个解析函数.这个性质是很重要的，但在解析函数的研究上，幂级数之所以重要，还在于这个性质的逆命题也是成立的.即有下面的泰勒定理和洛朗定理： 定理 1（泰勒定理）设()z f 在区域D 内解析，D a ∈，只要圆R a z K <-:含于D ，则()z f 在K 内能展成幂级数()()∑∞ =-= n n n a z c z f ，其中系数 () () () () ! 21 1n a f d a f i c n n n = -= ?Γ+ζζζ π.（ρ=-Γa z : R <<ρ0 n=0,1,2 )且展式唯 一. 定理2（洛朗定理）在圆环R a z r H <-<: （0≥r +∞≤R ）内解析的函数 ()z f 必可展成双边幂级数()() ∑ ∞ -∞ =-= n n n a z c z f ，其中系数() () ζζζ πd a f i c n n ?Γ+-= 121 ( 2,1,0±±=n ρ=-Γa z : R r <<ρ) 且展式唯一. 这两个定理的存在，使得在函数解析的范围内，我们可以通过幂级数展开的方法来更好的研究解析函数的性质.而这两个定理，也是我们后面研究幂级数展开的基础和前提. 接下来，我们将着重开始讨论幂级数展开问题的多种解法： 1、直接法. 即按照泰勒定理和洛朗定理中所给的幂级数展开的公式，直接将函数展开. 例1 求()z z f tan =在4 0π =z 点处的泰勒展开式. 解：用公式 () () ! 0n z f c n n = 求n c ：;14tan 0==π c ()2 ,24 sec | tan 12 4 ==='= c z z π π ； 第四章 解析函数的幂级数表示法 本章将介绍复数项级数及复函数项级数一些相关性质，此章学习要注意和实数项级数和实函数项级数概念性质做类比，这里很多内容与数学分析是一致的。 第一节 复级数的基本性质 1、复数项级数和复数序列： 复数序列就是： 111222,,n n n z a ib z a ib z a ib =+=+=+ 在这里，z n 是复数，Re ,Im n n n n z a z b ==一般简单记为{z n }。按照{| z n | }是有界或无界序列，我们也称{z n }为有界或无界序列。 设z 0是一个复常数。如果任给0>ε，可以找到一个正数N ，使得当n>N 时 ε<-||0z z n , 那么我们说{z n }收敛或有极限0z ，或者说{z n }是收敛序列，并且收敛于0z ，记作 lim z z n n =+∞ →。 如果序列}{n z 不收敛，则称{z n }发散，或者说它是发散序列。 令z 0=a+ib ，其中a 和b 是实数。由不等式 0||||||||n n n n b b z z a a b b -≤-≤-+- 容易看出，0lim n n z z →+∞ =等价于下列两极限式： , lim ,lim b b a a n n n n ==+∞ →+∞ → 因此，有下面的注解： 注1、序列{z n }收敛的充分必要条件是：序列{a n }收敛（于a ）以及序列{b n }收敛（于b ），即复数列可转化成实数列研究。 注2、复数序列也可以解释为复平面上的点列，于是点列{z n }收敛于z 0，或者说有极限点0z 的定义用几何语言可以叙述为：任给z 0的一个邻域，相应地可以找到一个正整数N ，使得当n>N 时，z n 在这个邻域内。 注3、两个收敛复数序列的和、差、积、商仍收敛，并且其极限是相应极限的和、差积、商。 复数项级数就是 教案 函 数 的 幂 级 数 展 开 复 旦 大 学 陈纪修 金路 1． 教学内容 函数的幂级数（Taylor 级数）展开是数学分析课程中最重要的内容之一，也是整个分析学中最有力的工具之一。通过讲解将函数展开成幂级数的各种方法，比较它们的优缺点，使学生在充分认识函数的幂级数展开的重要性的基础上，掌握如何针对不同的函数选择最简单快捷的方法来展开幂级数，提高学生的计算与运算能力。 2．指导思想 （1）函数的幂级数（Taylor 级数）展开作为一个强有力的数学工具，在分析学中占有举足轻重的地位。通常的数学分析教科书往往注重于讲解幂级数的理论，而忽视了讲解将函数展开成幂级数的方法，这样容易造成学生虽然掌握了幂级数的基本理论，但在实际计算中，即使对于一个很简单的函数，在求它的幂级数展开时也会感到很困难，这种状况必须加以改变。 （2）求函数的幂级数展开是每个数学工作者时时会碰到的问题，虽然我们有函数的幂级数展，但一般来说，直接利用（*）式来求函数的幂级数展开往往很不因此有必要向学生介绍一些方便而实用的幂级数展开方法，提高学生的实际计算能力， 3. f (x )在 x 0 的某个邻域O (x 0, r )中能级数： （*).,(0r x O (1) x ∈(-∞, +∞)。 (2) =+0 !)12(n n )!12() 1(!5!31253+-+-+-=+n x x x x n n + …, x ∈(-∞, + ∞)。 (3) f (x ) = cos x = ∑∞ =-02! )2()1(n n n x n )! 2()1(!4!21242n x x x n n -+-+-= + …, x ∈(-∞, + ∞)。 常见幂级数求和函数方法综述 引言 级数是高等数学体系的重要组成部分，它是在生产实践和科学实验推动下逐步形成和发展起来的。中国魏晋时期的数学家刘徽早在公元263年创立了“割圆术”，其要旨是用圆内接正多边形去逐步逼近圆，从而求得圆的面积。这种“割圆术”就已经建立了级数的思想方法，即无限多个数的累加问题。而将一个函数展开成无穷级数的概念最早来自于14世纪印度的马徳哈瓦，他首先发展了幂级数的概念，对泰勒级数、麦克劳林级数、无穷级数的有理数逼近等做了研究。同时，他也开始讨论判断无穷级数的敛散性方法。到了19世纪，高斯、欧拉、柯西等各自给出了各种判别级数审敛法则，使级数理论全面发展起来。中国传统数学在幂级数理论研究上可谓一枝独秀，清代数学家董祐诚、坎各达等运用具有传统数学特色的方法对三角函数、对数函数等初等函数幂级数展开问题进行了深入的研究。而今，级数的理论已经发展的相当丰富和完整，在工程实践中有着广泛的应用，级数可以用来表示函数、研究函数的性质、也是进行数值计算的一种工具。它在自然科学、工程技术和数学本身方面都有广泛的作用。 幂级数是一类最简单的函数项级数，在幂级数理论中，对给定幂级数分析其收敛性，求收敛幂级数的和函数是重要内容之一。但很多人往往对这一内容感到困难。产生这一问题的一个重要原因是教材对这一问题讨论较少，仅有的一两个例题使得我们对幂级数求和中的诸多类型问题感到无从下手。事实上，求幂级数和函数的方法与技巧是多种多样的，一般要综合运用求导、拼凑、分解等来求解，因此它是一个难度较大、技巧较高的有趣的数学问题。 一、幂级数的基本概念 （一）、幂级数的定义 [1] 1、设()(1,2,3 )n u x n =是定义在数集E 上的一个函数列，则称 12()()(),n u x u x u x x E ++ ++ ∈ ! 为定义在E 上的函数项级数，简记为1 ()n n u x ∞ =∑ 。 2、具有下列形式的函数项级数 2 00102000 ()()()()n n n n n a x x a a x x a x x a x x ∞ =-=+-+-+ +-+ ∑ 目录 上页 下页 返回 结束 内容小结 1. 函数的幂级数展开法 (1) 直接展开法—利用泰勒公式; (2) 间接展开法—利用幂级数的性质及已知展开 2. 常用函数的幂级数展开式 x e ?1=) ,(∞+-∞∈x )1(ln x +?x =] 1,1(+-∈x x +2!21x +, ! 1 ΛΛ+++n x n 221x -331x +Λ+-441x 11 )1(++-+n n x n Λ+式的函数. 目录 上页 下页 返回 结束 Λ++-++! )12()1(1 2n x n n x sin ?x =!33x -!55x +Λ+-!77x x cos ?1=!22x - !44x +Λ+-!66x Λ+-+! )2()1(2n x n n m x )1(+?1=x m +2 ! 2)1(x m m -+Λ +ΛΛ++--+n x n n m m m ! )1()1(当m = –1 时x +11 ,)1(132ΛΛ+-++-+-=n n x x x x ) ,(∞+-∞∈x ) ,(∞+-∞∈x ) 1,1(-∈x )1,1(-∈x 目录上页下页返回结束 四、物体的转动惯量 设物体占有空间区域Ω, 有连续分布的密度函数.),, (z y x ρ该物体位于(x , y , z ) 处的微元v z y x y x d ),,()(2 2ρ+因此物体对z 轴的转动惯量: ???+=Ω ρz y x z y x y x I z d d d ),,()(2 2=z I d O x y z Ω对z 轴的转动惯量为 因质点系的转动惯量等于各质点的转动惯量之和, 故连续体的转动惯量可用积分计算. 目录上页下页返回结束 类似可得:???=Ω ρz y x z y x I x d d d ),,( ???=Ω ρz y x z y x I y d d d ),,( ???=Ω ρz y x z y x I O d d d ),,( )(22z y +)(22z x +)(222z y x ++对x 轴的转动惯量 对y 轴的转动惯量 对原点的转动惯量例谈一类幂级数和函数的求法
幂级数求和函数方法概括与总结
函数的幂级数的展开与技巧
幂级数求和函数方法概括与总结
幂级数求和函数方法概括与汇总
函数的幂级数的求法
幂级数求和函数方法概括与总结-幂级数总结
幂级数展开的多种方法
第4章、解析函数的幂级数表示法
函数的幂级数展开
幂级数求和函数方法概括与总结-幂级数总结
常用函数的幂级数展开式