上海市宝山区2020届高三下学期二模数学试题(含答案)
上海市宝山区2020届高三二模数学试卷
2020.5
一：填空题(本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分)
1.已知复数z满足2020(1)24zii(其中，i为虚数单位)，则z
2.函数arcsin(1)yx的定义域是
3.计算行列式的值，0123
4.已知双曲线2222:1(0,0)xyCabab的实轴与虚轴长度相等，则2222:1(0,0)xyCabab的渐
近线方程是
5.已知无穷数*2,(3)nnanN，则数列na的各项和为
6.一个圆锥的表面积为，母线长为56，则其地面半径为
7.某种微生物的日增长率r，经过n天后其数量由0p变化为p，并且满足方程0rnppe，实验检测，这
种微生物经过一周数量由2.58个单位增长到14.86个单位，则增长率r （精确到1％）
8.已知1()2nxx的展开式的常数项为第6项，则常数项为
9.某医院ICU从3名男医生和2名女医生中任选2位赴武汉抗疫，则选出的2位医生中至少有1位女医生
的概率是
10.已知方程210()xtxtR的两个虚根是12,xx，若2122xx，则t
1!.已知O是坐标原点，点(1,1)A，若点(,)Mxy为平面区域212xyxy上的一个动点，则OAOMuuuruuuur的
取值范围是
12.已知平面向量,,aberrr满足1,1,1,4eaebeabrrrrrrr，则abrr的最小值是
二.选择题(本大题共4题，每题5分，共20分)
13.抛物线24yx的准线方程是 （ ）
A.2x B. 1x C.18y D. 116y
14.若函数()sincosfxxax的图像关于直线4x对称，则a的值为 （ ）
A.1 B. 1 C.3 D. 3
15.用数学归纳法证明*135(1)(21)(1),nnnnnN成立。那么，“当1n时，命题成立”
是“对*nN＂时，命题成立”的（ ）
A.充分不必要 B.必要不充分 C.充要 D.既不充分也不必要
16.已知()fx是定义在R上的奇函数，对任意两个不相等的正数12,xx都有
2112
12
()()0xfxxfxxx
，则函数()0()00fxxgxxx （ ）
A.是偶函数，且在(0,)上单调递减 B.是偶函数，且在(0,)上单调递增
C.是奇函数，且单调递减 D.是奇函数，且单调递增
三.解答题(本大题共5题，共76分)
17.如图，在直三棱柱111ABCABC中，090,22ACBABAC，D是AB的中点.
(1)若三棱柱111ABCABC的体积为33，求三棱柱111ABCABC的高
(2)若12CC，求二面角111DBCA的大小
18.已知函数()2sin(),()2cos,0,0,fxwxgxwxw，它们的最小正周期为
(1)若()yfx是奇函数，求()fx和()gx在0,上的公共递减区间D
(2)若()()()hxfxgx的一个零点为6x，求()hx的最大值
19.据相关数据统计，2019年底全国已开通5G基站13万个，部分省市的政府工作报告将“推进5G通信
网络建设”列入2020年的重点工作，今年一月份全国共建基站3万个.
(1)如果从2月份起，以后的每个月比上一个月多建设2000个，那么，今年底全国共有基站多少万个.(精
确到0.1万个)
(2)如果计划今年新建基站60万个，到2022年底全国至少需要800万个，并且，今后新建的数量每年比
上ー年以等比递增，问2021年和2022年至少各建多少万个オ能完成计划?(精确到1万个)
20.已知直线:lykxm和椭圆22:142xy相交于点1122(,),(,)AxyBxy
(1)当直线l过椭圆的左焦点和上顶点时，求直线l的方程
(2)点(2,1)C在上，若0m，求ABC面积的最大值:
(3)如果原点O到直线l的距离是233证明:ABC为直角三角形.
21.定义:na是无穷数列，若存在正整数k使得对任意*nN，均有()nknnknaaaa则称na是近
似递增(减)数列，其中k叫近似递增(减)数列na的间隔数
(1)若(1)nnan，na是不是近似递增数列，并说明理由
(2)已知数列na的通项公式为11(2)nnaa，其前n项的和为nS，若2是近似递
增数列nS的间隔数，求a的取值范围:
(3)已知sin2nnan，证明na是近似递减数列，并且4是它的最小间隔数
上海市宝山区2024届高三下学期二模试题 化学含答案
2023学年宝山区高三年级化学学科等级考第二次模拟考试考生注意：1．本试卷满分100分，考试时间60分钟。
2．答题前，考生务必将自己的学校、班级、姓名、准考证号填写清楚，并将条形码粘贴在规定位置。
3．本试卷设试卷和答题纸两部分，试卷包括试题与答题要求；所有答案必须涂或写在答题纸上；做在试卷上一律不得分。
答题纸与试卷在试题编号上是一一对应的，答题时应特别注意，不能错位。
4．选择类试题中，标注“不定项”的试题，每小题有1~2个正确选项，只有1个正确选项的，多选不给分，有2个正确选项的，漏选一个给一半分，错选不给分；未特别标注的试题，每小题只有一个正确选项。
相对原子质量：H-1 O-16 S-32 Cu-64 Ni-59 K-39 Cl-35.5一、大气污染及治理大气污染物的主要成分是SO2、NO2、NO、CO及可吸入颗粒等，其主要来自于燃煤、机动车尾气和工业废气，会导致雾霾、酸雨等。
1. 下列物质，能吸收SO2同时得到化肥的是________。
A. 碱石灰B. 酸性KMnO4溶液C. 氨水D. 浓H2SO42. 硫及其部分化合物的“价-类”二维图如下图所示，下列说法正确的是____。
(不定项）A. X可与SO2反应生成SB. Y可由S和O2化合生成C. Z的水溶液一定呈碱性D. 不能用浓硫酸干燥SO23. 某工厂采用(NH4)2SO3和NH4HSO3的混合溶液A吸收废气中的SO2并制备(NH4)2SO3·H2O，过程如下图所示：“吸收”过程中，溶液中(NH4)2SO3和NH4HSO3物质的量之比________。
A. 变大B. 变小C. 不变“制备”过程中，溶液B 中发生反应的化学方程式为________________________________。
4. 硫酸盐(含SO 2−4、HSO −4)气溶胶是PM2.5的成分之一，PM2.5指的是空气中直径≤2.5微米的颗粒物。
科研人员通过研究提出了雾霾微颗粒中硫酸盐生成的转化机理，其主要过程如下图所示：下列说法正确的是________。
上海市青浦区2020届高三下学期第二次学业质量调研(二模)数学试题答案
时，
，即
，所以
；
当
时，
，即
若
，则
，所以由（*）可得
，与
若
，则
，所以由（*）可得
所以
与
同号，这与
矛盾；
若
，则
，由（*）可得
.
（*）， 矛盾； ，
猜想：满足
的数列 是：
．
…………………………………………………14分
经验证，左式
，
右式
.
………………………………………………………………………………………16分 下面证明其它数列都不满足（3）的题设条件.
定区域内写出必要的步骤.
17.(本题满分 14分）本题共 2小题，第（1）小题 6分，第（2）小题 8分.
高三数学 202005
解：（1）因为在正四棱柱
中，
平面
， 是垂足，
所以
是 与平面
所成的角，
设
，又正四棱柱
中，
，
，
，
，
∴
与平面
所成的角的大小为
（2）解一：如图所示：连接 ，
，
是异面直线 与
，
，
所成角，
青浦区 2019学年第二学期高三年级第二次质量调研测试
数学参考答案及评分标准
2020.05
说明： 1．本解答列出试题一种或几种解法，如果考生的解法与所列解法不同，可参照解答中评分标
准的精神进行评分． 2．评阅试卷，应坚持每题评阅到底，不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅．当
考生的解答在某一步出现错误，影响了后续部分，但该步以后的解答未改变这一题的内容和难 度时，可视影响程度决定后面部分的给分，但是原则上不应超出后面部分应给分数之半，如果 有较严重的概念性错误，就不给分．
上海市嘉定(长宁)区2020届高三数学第二次质量调研(二模)试题(含解析)
嘉定（长宁）区高2020届三第二次质量调研（二模）数学试卷一、填空题(本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分)考生应在答题纸的相应位置直接填写结果1.已知集合，则__________．【答案】【解析】【分析】直接进行交集的运算即可．【详解】解：∵A＝{1，2，3，4}，B＝{x|2＜x＜5，x∈R}；∴A∩B＝{3，4}．故答案为：{3，4}．【点睛】本题考查列举法、描述法的定义，以及交集的运算．2.已知复数满足（是虚数单位），则__________．【答案】【解析】【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简z，再由复数模的计算公式求解．【详解】解：由i＝3+4i ，得，∴|z|＝||．故答案为：5．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题．3.若线性方程组的增广矩阵为，若该线性方程组的解为，则__________．【答案】【解析】【分析】根据增广矩阵的定义增广矩阵就是在系数矩阵的右边添上一列，这一列是方程组的等号右边的值，从而求出结果．【详解】解：由增广矩阵的定义：增广矩阵就是在系数矩阵的右边添上一列，这一列是方程组的等号右边的值而线性方程组的增广矩阵为，可直接写出线性方程组为即把x＝1，y＝1，代入得，解得＝3．故答案为：【点睛】本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意线性方程组的性质的合理运用．4.在的二项展开式中，常数项的值为______________．【答案】【解析】【分析】利用二项展开式的通项公式即可得出【详解】解：在的二项展开式中，通项公式为：T r+1x4﹣r x4﹣2r，令4﹣2r＝0，解得r＝2．∴常数项6．故答案为：6．【点睛】本题考查了二项式定理的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．5.已知一个圆锥的主视图(如图所示)是边长分别为的三角形，则该圆锥的侧面积为_________.【答案】【解析】【分析】根据圆锥的主视图可知：圆锥的母线长为5，底面半径为2，所以底面周长为4π再代入侧面积公式可得．【详解】解：根据圆锥的主视图可知：圆锥的母线长为5，底面半径为2，所以底面周长为4π，侧面积为5×4π＝10π，故答案为：10π．【点睛】本题考查了圆锥的侧面积，考查了计算能力，属基础题．6.已知实数满足，则的最小值为__________．【答案】【解析】【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．【详解】解：由实数x，y满足，作出可行域如图，由解得A（0，﹣1）．化z＝x+2y为y x，由图可知，当直线y x过A（0，﹣1）时，直线在y轴上的截距最小，z有最小值等于z＝0+2×（﹣1）＝﹣2．故答案为：﹣2．点睛】本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．7.设函数(其中为常数)的反函数为，若函数的图像经过点，则方程的解为__________．【答案】【解析】【分析】求出原函数的反函数，代入已知点的坐标求得a，则方程f﹣1（x）＝2的解可求．【详解】解：由y＝f（x），得x﹣a＝y2（y≥0），∴函数f（x）的反函数f﹣1（x）＝x2+a（x≥0）．把点（0，1）代入，可得a＝1．∴f﹣1（x）＝x2+1（x≥0）．由f﹣1（x）＝2，得x2+1＝2，即x＝1．故答案为：x＝1．【点睛】本题考查函数的反函数的求法，关键是明确反函数的定义域是原函数的值域，是基础题．8.学校从名男同学和名女同学中任选人参加志愿者服务活动，则选出的人中至少有名女同学的概率为____________(结果用数值表示)【答案】【解析】【分析】基本事件总数n10．选出的2人中至少有1名女同学包含的基本事件个数m7，由此能求出选出的2人中至少有1名女同学的概率．【详解】解：学校从3名男同学和2名女同学中任选2人参加志愿者服务活动，基本事件总数n10．选出的2人中至少有1名女同学包含的基本事件个数m7，则选出的2人中至少有1名女同学的概率为p．故答案为：．【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．9.已知直线（为参数）与抛物线相交于两点，若线段中点的坐标为，线段的长为__________．【答案】【解析】【分析】化简直线的参数方程为普通方程与抛物线方程联立，利用韦达定理求出m，通过弦长公式求解即可．【详解】解：直线（t为参数），可得直线的方程y＝k（x﹣1），k＝tanα，把直线的方程代入抛物线方程可得：ky2﹣4y﹣4k＝0，直线（t为参数）与抛物线y2＝4x相交于A、B两点，设A（，），B（，），线段AB中点的坐标为（m，2），可得+＝4，解得k＝1，y2﹣4y﹣4＝0，＝﹣4，线段AB的长：•8．故答案为：8．【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系的综合应用，弦长公式的应用，考查计算能力．10.在中，已知，为线段上的一点，且满足，若的面积为，，则的最小值为__________．【答案】【解析】【分析】利用A，P，D三点共线可求出m，并得到．再利用平面向量的基本性质和基本不等式即可求出的最小值．【详解】解∵∵A，P，D三点共线，∴，即m．∴，又∵．∴，即CA•CB＝8．∴∴．故答案为：2．【点睛】本题考查平面向量共线定理，是中档题，解题时要认真审题，注意平面向量线性运算的运用．11.已知有穷数列共有项，记数列的所有项和为，第二项及以后所有项和为第项及以后所有项和为，若是首项为，公差为的等差数列的前项和，则当时，__________．【答案】【解析】【分析】设数列{}的前n项和为T n，则S（n）＝T m﹣T n，又知道S（n）是首项为1，公差为2的等差数列的前n项和，则当1≤n＜m时，即可得到的表达式．【详解】解：S（n）是首项为1，公差为2的等差数列的前n项和，所以S（n）＝n n2，则＝S（n）﹣S（n+1）＝n2﹣（n+1）2＝﹣2n﹣1，故填：﹣2n﹣1．【点睛】本题考查了数列通项的求法，等差数列的前n项和公式，属于基础题．12.已知定义在上的奇函数满足，且当时，，若对于属于都有，则实数的取值范围为__________．【答案】【解析】【分析】f（x）为周期为4的函数，且是奇函数．0在函数定义域内，故f（0）＝0，得a＝1，先得到[﹣1，3]一个周期内f（x）的图象，求出该周期内使f（x）≥1﹣log23成立的x的范围，从而推出的范围，再分t的范围讨论即可．【详解】解：由题意，f（x）为周期为4的函数，且是奇函数．0在函数定义域内，故f（0）＝0，得a＝1，所以当0≤x≤1时，f（x）＝log2（x+1），当x∈[﹣1，0]时，﹣x∈[0，1]，此时f（x）＝﹣f（﹣x）＝﹣log2（﹣x+1），又知道f（x+2）＝﹣f（x）＝f（﹣x），所以f（x）以x＝1为对称轴．且当x∈[﹣1，1]时f（x）单调递增，当x∈[1，3]时f（x）单调递减．当x∈[﹣1，3]时，令f（x）＝1﹣log23，得x，或x，所以在[﹣1，3]内当f（x）＞1﹣log23时，x∈[，]．设g（x），若对于x属于[0，1]都有，因为g（0）∈[，]．故g（x）∈[，]．①当0时，g（x）在[0，1]上单调递减，故g（x）∈[t，]⊆[，]．得t≥0，无解．②0≤t≤1时，，此时g（t）最大，g（1）最小，即g（x）∈[t﹣1，]⊆[，]．得t∈[0，1]．③当1＜t≤2时，即，此时g（0）最小，g（t）最大，即g（x）∈[，]⊆[，]．得t∈（1，2]，④当t＞2时，g（x）在[0，1]上单调递增，故g（x）∈[，t]⊆[，]．解得，t∈（2，3]，综上t∈[0，3]．故填：[0，3]．【点睛】本题考查了复合函数的值域、对称区间上函数解析式的求法、二次函数在闭区间上的最值、函数的对称性、周期性、恒成立等知识．属于难题．二、选择题(本题共有4题，满分20分，每题5分)13.已知,则“”是“”的．A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分又非必要条件【答案】A【解析】【分析】解不等式简化条件，结合充分必要性定义即可作出判断.【详解】解：“”⇔0＜x＜1．∴“”是“x＜1”的充分不必要条件．故选：A．【点睛】本题考查了不等式的解法、充分必要性的判定，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．14..产能利用率是指实际产出与生产能力的比率，工业产能利用率是衡量工业生产经营状况的重要指标，下图为国家统计局发布的年至年第季度我国工业产能利用率的折线图（％）．在统计学中，同比是指本期统计数据与上一年同期统计数据相比较，例如年第二季度与年第二季度相比较:环比是指本期统计数据与上期统计数据相比较，例如二季度与年第一季度相比较根据上述信息，下列结论中正确的是( )A. 年第三季度环比有所提高B. 年第一季度同比有所提高C. 年第三季度同比有所提高D. 年第一季度环比有所提高【答案】C【解析】【分析】根据同比和环比的定义比较两期数据得出结论．【详解】解：2020年第二季度利用率为74.3%，第三季度利用率为74.0%，故2020年第三季度环比有所下降，故A错误；2020年第一季度利用率为74.2%，2020年第一季度利用率为72.9%，故2020年第一季度同比有所下降，故B错误；2020年底三季度利用率率为73.2%，2020年第三季度利用率为76.8%，故2020年第三季度同比有所提高，故C正确；2020年第四季度利用率为78%，2020年第一季度利用率为76.5%，故2020年第一季度环比有所下降，故D错误．故选：C．【点睛】本题考查了新定义的理解，图表认知，考查分析问题解决问题的能力，属于基础题．15.已知圆的圆心为，过点且与轴不重合的直线交圆两点，点在点与点之间。
上海市黄浦区2020届高三二模数学卷(含答案)
yxO PA BC Q 上海市黄浦区2020届高三二模数学卷2020年5月一、填空题（本大题共有12题，满分54分.其中第1~6题每题满分4分，第7~12题每题满分5分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果.[1．若集合{1,2,3,4,5}A =，2{|60}B x x x =−−<，则A B ∩=.2．函数22cos 2y x =+的最小正周期为．3．某社区利用分层抽样的方法从140户高收入家庭、280户中等收入家庭、80户低收入家庭中选出100户调查社会购买力的某项指标，则中等收入家庭应选户.4．若直线1:350l ax y +−=与2:210l x y +−=互相垂直，则实数a的值为.5．如果sin 3α=−，α为第三象限角，则3πsin()2α+=.6．若一圆锥的主视图是边长为6的正三角形，则此圆锥的体积为.7．已知双曲线22221x y a b-=(0,0)a b >>的一条渐近线平行于直线l ：210y x =+，双曲线的一个焦点在直线l 上，则双曲线的方程为.8．已知函数()(0,1)x f x a b a a =+>≠的定义域和值域都是[2,0]−，则(1)f −=.9．当,x y 满足270101x y x y x +−−−，， 时，|2|x y a − 恒成立，则实数a 的取值范围是.10．某班共有4个小组，每个小组有2人报名参加志愿者活动．现从这8人中随机选出4人作为正式志愿者，则选出的4人中至少有2人来自同一小组的概率为．11．已知a R ∈，函数22(0)()1(0)a x f x xx x+> = +≤ ，若存在不相等的实数123,,x x x ，使得11()f x x =22()f x x =33()2f x x =−，则a 的取值范围是．12．点A 是曲线y =(2)y ≤上的任意一点，(0,2)P −,(0,2)Q ，射线QA 交曲线218y x =于B 点，BC 垂直于直线3y =，垂足为点C ．则下列结论：（1）||||AP AQ −为定值；（2）||QB ||BC +为定值5；（3）||||||PA ABBC ++为定值5+.其中正确结论的序号是．二、选择题（本大题共有4题，满分20分．）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．13．“函数()()f x x R ∈存在反函数”是“函数()f x 在R 上为增函数”的（）..A 充分而不必要条件.B 必要而不充分条件.C 充分必要条件.D 既不充分也不必要条件14．设12,z z 是复数,则下列命题中的假命题是（）..A 若12||0z z −=,则12z z =.B 若12z z =,则12z z =.C 若||||21z z =,则2112··z z z z =.D 若12||||z z =,则2122z z =15.已知e f ,是互相垂直的单位向量，向量n a 满足：n e a n ⋅= ，21n f a n ⋅=+ ，n b 是向量f 与n a夹角的正切值，则数列{}n b 是（）..A 单调递增数列且1lim 2n n b →∞=.B 单调递减数列且1lim 2n n b →∞=.C 单调递增数列且lim 2n n b →∞=.D 单调递减数列且lim 2n n b →∞=16．如图，直线l ⊥平面α,垂足为O ，正四面体ABCD 的棱长为2，, A D 分别是直线l 和平面α上的动点，且BC l ⊥，则下列判断：①点O 到棱BC 中点E1+；②正四面体ABCD 在平面α上的射影面积的最大值为（）..A ①②都正确.B ①②都错误.C ①正确，②错误.D ①错误，②正确三、解答题（本大题共有5题，满分76分．）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．17．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．如图，在三棱椎P ABC −中，PA ⊥平面ABC ，90,BAC ∠=D E F 、、分别是棱AB BC CP 、、的中点，1AB BC ==,2PA =．（1）求异面直线PB 与DF 所成的角；（2）求点P 到平面DEF 的距离．图①图②18．（本题满分14分）本题共有2小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．设1122(,),(,)A x y B x y 是函数21log 21xy x =+−的图像上任意两点，点00(,)M x y 满足OM = 1()2OA OB + ．（1）若012x =，求证：0y 为定值；（2）若212x x =，且01y >，求1x 的取值范围，并比较1y 与2y 的大小．19．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题6分，第2小题8分．某公园计划在矩形空地上建造一个扇形花园.如图①所示，矩形ABCD 的AB 边与BC 边的长分别为48米与40米，扇形的圆心O 为AB 中点，扇形的圆弧端点,E F 分别在AD 与BC 上，圆弧的中点G 在CD 上．（1）求扇形花园的面积（精确到1平方米）；（2）若在扇形花园内开辟出一个矩形区域1111A B C D 为花卉展览区．如图②所示，矩形1111A B C D 的四条边与矩形ABCD 的对应边平行，点11,A B 分别在,OE OF 上，点11,C D 在扇形的弧上.某同学猜想：当矩形1111A B C D 面积最大时，两矩形1111A B C D 与ABCD 的形状恰好相同（即长与宽之比相同），试求花卉展览区1111A B C D 面积的最大值，并判断上述猜想是否正确（请说明理由）.20．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分．已知点,A B 分别是椭圆2222 :1(0)x y C a b a b+=>>的右顶点与上顶点，坐标原点O 到直线AB 且点A 是圆:Γ222((0)x y r r +=>的圆心．动直线:l y kx =与椭圆交于,P Q 两点．（1）求椭圆C 的方程；（2）若点S 在线段AB 上，()OS OP R λλ+=∈，且当λ取最小值时直线l 与圆Γ相切，求r 的值；（3）若直线l 与圆Γ分别交于,G H 两点，点G 在线段PQ 上，且||||QG PH =，求r 的取值范围.21．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．若数列{}n a 与函数()f x 满足：①{}n a 的任意两项均不相等，且()f x 的定义域为R ；②数列{}n a 的前n 的项的和()n n S f a =对任意的*n N ∈都成立，则称{}n a 与()f x 具有“共生关系”.（1）若*2()n n a n N =∈,试写出一个与数列{}n a 具有“共生关系”的函数()f x 的解析式；（2）若()f x ax b =+与数列{}n a 具有“共生关系”，求实数对(,)a b 所构成的集合,并写出n a 关于,,a b n 的表达式；（3）若2()f x x cx h =++,求证：“存在每项都是正数的无穷等差数列{}n a ，使得{}n a 与()f x 具有‘共生关系’”的充要条件是“点(,)c h 在射线11()216xy =≤上”.参考答案与评分标准一、填空题：（1~6题每题4分；7~12题每题5分）1.{1,2}；2.π；3.56；4.6−；5.13；6.；7.221520x y −=；3；9.[4+)∞，；10.2735；11.(,4)−∞−；12.①②.二、选择题：（每题5分）13.B ；14.D ；15.A ；16.C.三、解答题：（共76分）17．（1）如图，分别以,,AB AC AP 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，则(0,0,0),(1,0,0)(0,1,0)(0,0,2)A B C P ,,，11(,0,0),(0,,1)22D F ,故11(1,0,2),(,,1),22BP DF =−=− ……2分所以cos ,BP DF <>= …………4分可得,6BP DF <>= ，故异面直线PB 与DF所成的角为.…………6分（另法:先证明,DF EF DE EF ⊥，然后在直角DEF △中，可求得所成角为5arctan5）.（2）同（1）建立空间直角坐标系，则111(0,,0),(,,1),222DE DF − ………7分设(,,1)n x y = 是平面DEF 的一个法向量，则00n DE n DF ⋅= ⋅=，，可得102111022y x y= −++= ，，解得20x y = = ，，所以(2,0,1)n = ，………11分又1(0,,1)2PF =−，P 到平面DEF 的距离5||5||PF n d n ⋅==．.…………14分18．（1）由1()2OM OA OB =+ ，可知01211()22x x x =+=，即121x x +=，…………2分1212012222121211111()(log log )(1log 2221212(1)(1)+x x x x y y y x x x x =+=+++=−−−−，故12022111(1log 22+x x y x x =为定值.…………………6分（2）由122x x =，01y >，可得1122112log log 1112x x x x +>−−，…………………7分它等价于1111121111110,2120,0,122333102222112x x x x x x x x x x x << >⇔<<⇔−+ << −+< ⋅>−− 解得1x的取值范围是1)2.…………………11分此时由111111120112(1)(12)x x x x x x x −−=<−−−−，可知111120112x x x x <<−−，故112211112log log 21212+x x x x <+−−，即12y y <.…………………14分19．（1）设2 EOF θ∠=，则BFO θ∠=，在直角OBF △中，，124,402BO AB OF BC ====，3sin 5OB OF θ==，3arcsin 5θ=，…………………3分可得扇形的面积21133402arcsin 1600arcsin 1030255S =⋅⋅=≈平方米，所以扇形花园的面积约为1030平方米.………………6分（2）在图2中，连1OC ，设11(0)FOC OC r ααθ∠=<<=,，则在11OB C △中，由111sin sin B C OC αθ=，可得11sin sin r B C αθ=，又112sin()C D r θα=−，34sin cos 55θθ==，所以矩形1111A B C D 的面积21111sin 2sin()sin r S B C C D r αθαθ=⋅=⋅−…………………9分22210sin (sin cos cos sin )(6sin cos 8sin )33r r αθαθαααα−=−216004(3sin 24cos 24)arcsin )4]335r ααα+−=+−，当且仅当4π2arcsin 52α+=，即1π4(arcsin )2252θα=−=时，2S 取最大值，2S 的最大值为16003，所以花卉展览区1111A B C D 面积的最大值为16003平方米.………12分当1111A B C D 的面积最大时，2θα=，此时11112sin()64862sin ,sin 5405sin C D r CD r B C BC θαθαθ−===== ，从而两矩形长和宽之比相等，所以两矩形的形状相同，即该同学的猜想是正确的.…………………14分20.解：（1）由题意知，a =6,3=可得1b =，…………………3分故椭圆方程为2212x y +=.…………………4分（2）设π,sin )([0,2P ααα∈，则cos ,sin )S αλα，………………6分代入直线AB1y =，可得(cos sin )1λαα+=，故1cos sin λαα==+，故当且仅当α取π4时，λ取最小值.………8分此时点P 的坐标为22，直线l的方程为0x =，故63r =.…………10分（3）由||||QG PH =，可得||||PQ GH =，将y kx =代入椭圆C 的方程，可得22(12)2k x +=，即x =||PQ =又A 到直线l ，故||GH =，，…………………13分可得22222222222(1)422(1)+2112112k k k k r k k k k +++==+−++++，令2222112[1,2)11k z k k +==−∈++，则212(2[23)r z z=+−∈,，故r 的取值范围是.…………………16分21.解：（1）由2nn a =，可知12(12)222212n n n n S a +−==−=−−，所以与数列{}n a 具有“共生关系”函数()f x 的解析式可以是()22f x x =−.……4分（2）由题意得n n S aa b =+，令1n =，可得11a aa b =+，即1(1)a a b −=，①若10a b =≠,，此式不成立，不合题意；若10a b ==,，由22S a =，可得10a =，又33S a =，可得20a =，与{}n a 任意两项均不相等产生矛盾，故此时也不合题意.………5分②若1a ≠，可得11b a a=−，若0b =，则由111a S aa ==与1222a a S aa +==，可得120a a ==，不合题意.若0b ≠，0a =，则n S b =，当2n ≥时，0n a =，不合题意.…………6分若0b ≠，0,1a ≠，则n S b =，由n n S aa b =+，+1+1n n S aa b =+，可得1+1+1n n n n n a S S aa aa +−−，即11n n a a a a +=−，此时数列{}n a 是首项为1b a−，公比为1a a −的等比数列，又{}n a 的任意两项均不相等，故11a a ≠±−，可知12a ≠，……8分所以实数对(,)ab 所构成的集合为1{(,)|0,1,,2a b a ≠且0,R}b a b ≠∈其中,，且11(11(1)n n n n b a baa a a a −−=⋅=−−−.……10分（3）(必要性)法一:若{}n a 是公差为(0)d d ≠的等差数列,且它与()f x 具有“共生关系”,则由2n n n S a ca h =++，2+1+1+1n n n S a ca h =++，可知221+1+1+1+11()()()n n n n n n n n n n n a S S a a c a a a a a a c ++=−=−+−=−++，……11分故11[2(21)]a nd d a n d c +=+−+，即2112(2)a nd d n da d cd +=+−+恒成立，故2112,2d d ada d cd = =−+ ，解得12c d ==，……13分又由211112n a S a a h ==++，可得21102n a a h −+>，由1404h ∆=−≥，可知116h ≤.所以点(,)c h 在射线11()216x y =≤上.……14分法二：若{}n a 是等差数列，且它与()f x 具有“共生关系”,设(0)n a dn m d =+≠，则由2n n n S a ca h =++,可知2(1)()()2n n dmn dn m c dn m h ++=++++，……11分所以2222((2)()22d dn m n d n md cd n m cm h ++=+++++恒成立，故2212220d d d m md cd m cm h =+=+=++，，，可得211,022c d m m h ==++=且有实根，……13分即1404h ∆=−≥，可知116h ≤.所以点(,)c h 在射线11()216x y =≤上.……14分(充分性)若点(,)c h 在射线11()216x y =≤上，则11,216c h =≤，又方程211112a a a h =++等价于211102a a h −+=，1404h ∆=−≥，且1a =1a =，它显然是正数且满足1(1)S f =，……16分令+112n n a a −=,则22+1+111(1)()()()22n n n n f n f n a a a a +−=+−++1+1+1+111()(+)(2)22n n n n n n a a a a a a =−+==，故当2n ≥时，12(1)[(2)(1)][(3)(2)][()(1)]n n S a aa f f f f f f n f n =+++=+−+−++−− ()f n =，这里的无穷数列{}n a ，公差为12的无穷等差数列，其每一项都是正数.所以存在每项都是正数的无穷等差数列{}n a ，使得{}n a 与()f x 具有“共生关系”..……18分另法：直接证明首项为1+1164、公差为12的等差数列满足条件②，即可.。
2020届上海市青浦区高三二模数学试题(解析版)
2020届上海市青浦区高三二模数学试题一、单选题1．已知,a b ∈R ，则“0b ≥”是“20a b +≥”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】当0b ≥时，一定有20a b +≥，而20a b +≥时，不一定有0b ≥，从而可得结论 【详解】解：因为20a ≥，0b ≥，所以20a b +≥，当20a b +≥时，若2,3a b ==-满足条件，但0b ≥不成立， 所以“0b ≥”是“20a b +≥”的充分不必要条件， 故选：A 【点睛】此题考查充分条件和必要条件的判断，属于基础题2．我国古代数学著作《九章算术》中记载问题：“今有垣厚八尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠日半尺，大鼠日增倍，小鼠日自半，问几何日相逢?”，意思是“今有土墙厚8尺，两鼠从墙两侧同时打洞，大鼠第一天打洞一尺，小鼠第一天打洞半尺，大鼠之后每天打洞长度比前一天多一倍，小鼠之后每天打洞长度是前一天的一半，问两鼠几天打通相逢?”两鼠相逢需要的最少天数为（ ） A ．3 B ．4C ．5D ．6【答案】B【解析】求得前几天两只老鼠打洞长度的和，由此确定需要的天数. 【详解】依题意可知，大老鼠每天打洞的长度是首项11a =，公比为2的等比数列；大小老鼠每天打洞的长度是首项112b =，公比为12的等比数列.设n S 是前n 天两只老鼠打洞长度的和.第1天，1111131,,1222a b S ===+=；第2天，222131152,,24244a b S ===++=； 第3天，3331151634,,48488a b S ===++=；第4天，4418,16a b ==，4S 显然大于8.所以两鼠相逢需要的最少天数为4天. 故选：B 【点睛】本小题主要考查等比数列，考查中国古代数学文化，属于基础题.3．记椭圆221441x ny n +=+围成的区域（含边界）为(1,2)n n Ω=，当点(,)x y 分别在12,,ΩΩ上时x y +的最大值分别是1M ，2M ，…，则lim n n M →∞=（ ） A．2 B ．4C ．3D．【答案】D【解析】通过221441x nyn +=+的参数方程2cos x y θθ=⎧⎪⎨=⎪⎩（θ为参数），可得：()2cos x y θθθϕ+=+=+，从而max ()x y +=，求极限即可得解. 【详解】椭圆221441x ny n +=+的参数方程为：2cos x y θθ=⎧⎪⎨=⎪⎩（θ为参数） ，所以：()()2cos x y θθθϕθϕ+=++=+，所以：max ()x y +=，所以：lim lim n n n M →∞==故选：D.【点睛】本题考查了椭圆的参数方程，考查了辅助角公式求三角函数最值，考查了转化思想，也考查了极限的运算，属于中档题.4．已知函数()sin 2sin f x x x =+，关于x 的方程2()()10f x a f x --=有以下结论：①当0a ≥时，方程()()210f x a f x --=在[0]2π，最多有3个不等实根； ②当6409a ≤<时，方程()()210f x a f x --=在[0]2π，内有两个不等实根； ③若方程()()210f x a f x --=在[0,6]π内根的个数为偶数，则所有根之和为15π； ④若方程()()210fx a f x --=在[]0,6π根的个数为偶数，则所有根之和为36π．其中所有正确结论的序号是（ ） A ．②④ B ．①④C ．①③D ．①②③【答案】C【解析】先研究()f x 在[0，2]π内的图象，求其值域，进而研究方程2()()10f x a f x --=两根的取值范围，结合图象研究四个命题的正误．【详解】由已知得3sin ,[0,]()sin 2|sin |sin ,(,2]x x f x x x x x πππ∈⎧=+=⎨-∈⎩，做出图象如下：由2()()10f x a x -=得：()4a a f x ++=4a a -+ 令1244a a a a t t ++-+=0a ，11t ∴，20t <（舍)． 原方程的根看成1y t =与()y f x =的交点的横坐标． 对于①，如图所示：因为11t ，当0a =时，11t =，y t =与()y f x =恰好有三个交点；当0a >时，分别有2个、1个、0个交点，故①正确；对于②，结合①可知，0a =时，有3个根，故②错误；对于③，如图所示，由题意，只能满足：1y t =只与()y f x =在[0，]π，[2π，3]π，[4π，5]π上的图象各有两个交点．易知这六个零点分别关于59,,222x x x πππ===对称，所以六个根的和为：5922215222ππππ⨯+⨯+⨯=． 故③正确，④错误． 故正确命题的序号是①③． 故选：C ． 【点睛】本题考查函数零点的求法，利用数形结合思想、函数与方程思想、转化思想解决问题的能力，属于较难的题目．二、填空题5．已知全集U =R ，集合(,2)A =-∞，则集合UA_____________．【答案】[2)+∞，【解析】直接利用补集的定义求解即可 【详解】解：因为全集U =R ，集合(,2)A =-∞， 所以UA [2)+∞，，故答案为：[2)+∞，【点睛】此题考查集合的补集运算，属于基础题6．已知i 为虚数单位，复数2z i =+的共轭复数z =______________． 【答案】2i -【解析】根据定义直接得到共轭复数即可. 【详解】根据共轭复数的定义得：2z i =-. 故答案为：2i -. 【点睛】本题考查共轭复数的概念，是基础题. 7．已知函数()11f x x=+，则方程()12f x -=的解x =_____________． 【答案】32【解析】根据互为反函数的两个函数间的关系知，欲求满足1()2f x -=的x 值，即求(2)f 的值．【详解】 解：13(2)122f =+=， 所以32x =. 故答案为：32.【点睛】本题考查原函数与反函数之间的关系，即原函数过点(,)x y ，则反函数过点(,)y x ，基础题.8．若()51ax +的展开式中3x 的系数是80，则实数a 的值是 【答案】2【解析】【详解】试题分析：由题意3x 的系数是，解得.【考点】二项式定理的应用.9．双曲线2214x y -=一个焦点到一条渐近线的距离为______【答案】1【解析】求出双曲线的渐近线方程，用点到直线的距离公式，即可求解. 【详解】根据对称性，2214x y -=焦点坐标5),0F ，渐近线方程为12y x =，即20x y -=， 25112=+.故答案为:1 【点睛】本题考查双曲线简单几何性质，属于基础题.10．用一平面去截球所得截面的面积为23cm π，已知球心到该截面的距离为1cm ，则该球的表面积是___________2cm ． 【答案】16π【解析】由已知求出小圆的半径，然后利用勾股定理求出球的半径，即可求出球的表面积 【详解】解：因为用一平面去截球所得截面的面积为23cm π， 3cm ， 因为球心到该截面的距离为1cm ， 221(3)2+=cm ， 所以球的表面积为24216S ππ=⨯=2cm ， 故答案为：16π【点睛】此题考查球的截面的半径、球心到截面的距离与球的半径间的关系，属于基础题 11．已知0,0x y >>，且21x y +=，则11x y+的最小值为________． 【答案】322+【解析】先把11x y+转化为11112(2)()3y x x y x y x y x y +=++=++，然后利用基本不等式可求出最小值 【详解】解：∵21x y +=，0,0x y >>，∴11112(2)()3322y x x y x y x y x y +=++=++≥+(当且仅当2y xx y=，即2x =时，取“=”)．又∵21x y +=，∴2121x y ⎧=⎪⎨=-⎪⎩∴当21x =，212y =-时，11x y +有最小值，为322+．故答案为：322+ 【点睛】此题考查利用基本不等式求最值，利用1的代换，属于基础题. 12．已知平面向量a b ，满足(1,1)a =-，||1b =，22a b +=，则a 与b 的夹角为________. 【答案】34π【解析】将|2|2a b +=两边同时平方后展开,结合平面向量数量积运算及模的运算,即可求得a 与b 的夹角的余弦值,进而求得a 与b 的夹角即可. 【详解】因为(1,1)a =-,则2a =因为|2|2a b +=,等式两边同时平方可得22442a a b b +⋅+=代入2a =,||1b =可得1a b ⋅=-设,a b 夹角为α,则由平面向量数量积的定义可得221cos a b a bα⋅==-⨯⋅=因为0απ≤≤ 所以34πα=故答案为: 34π 【点睛】本题考查了平面向量数量积的定义及简单应用,向量夹角的求法,属于基础题.13．设5{}13a ∈，，，6{}24b ∈，，，则函数()1b af x log x=是减函数的概率为_____________． 【答案】23【解析】由复合函数的单调性推出1ba>，即可利用古典概型概率公式进行计算. 【详解】{1,3,5},{2,4,6}a b ∈∈，∴基本事件总数339n =⨯=，函数()1baf x log x =是减函数，且函数1y x=在()(),0,0,-∞+∞上单调递减， 1ba ∴>，则函数()1b af x log x =是减函数包含的基本事件(),a b 有：(1,2),(1,4),(1,6),(3,4),(3,6),(5,6)，共6个，∴函数()1baf x log x =是减函数的概率为6293=. 故答案为：23【点睛】本题考查古典概型，涉及对数函数的单调性、复合函数的单调性，属于基础题.14．已知函数()f x =0x 满足()00f f x x =⎡⎤⎣⎦，则实数a 的取值范围是_____________． 【答案】14a ≤【解析】判断()y f x =在定义域内递增，结合条件可得()y f x =的图象与直线y x =有x =有解，运用参数分离和二次函数的值域求法，可得所求范围． 【详解】函数()f x =[a ，)+∞递增，若存在实数0x 满足00[()]f f x x =，可得()y f x =的图象与直线y x =有交点，x =有解．(0)x x =，可得2x a x -=，即有2211()24a x x x =-=--+，而211()24y x =--+在[0，1)2递增，1(2，)+∞递减，可得211()24y x =--+的最大值为14，此时12x =，则14a，即a 的取值范围是(-∞，1]4．故答案为：14a ≤. 【点睛】本题考查方程存在性问题解法，注意运用转化思想和参数分离，以及二次函数的图象和性质，考查运算能力和推理能力．15．已知正三角形ABC 的三个顶点均在抛物线2x y =上，其中一条边所在直线的斜率，则ABC 的三个顶点的横坐标之和为_____________．【答案】10-【解析】设点()()()222,,,,,A a aB b bC c c ，则可得ABka b =+，BC k b c =+，AC k a c =+，不妨设AB k ，且直线AB 的倾斜角为α，可得tan ,tan 33BC AC k k ππαα⎛⎫⎛⎫=+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，然后利用()11tan tan 2233AB BC AC a b c k k k ππαα⎫⎛⎫⎛⎫++=++=++- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎭算出答案即可. 【详解】 设点()()()222,,,,,A a aB b bC c c ，则22ABa b k a b a b -==+-，22BC b c k b c b c -==+-，22AC a c k a c a c-==+-不妨设AB k =AB 的倾斜角为α 因为ABC ∆是等边三角形，所以tan ,tan 33BC AC k k ππαα⎛⎫⎛⎫=+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 所以()11tan tan 2233AB BC AC a b c k k k ππαα⎫⎛⎫⎛⎫++=++=++- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎭tan tantan tan1133221tan tan 1tan tan 33ππααππαα+-=⋅+⋅=-+故答案为：10- 【点睛】本题以抛物线为载体，考查了直线的斜率和三角函数的和差公式，属于较难题. 16．定义函数(){{}}f x x x =，其中{}x 表示不小于x 的最小整数，如{}1.42=，{}2.32-=-，当*(0,]()x n n N ∈∈时，函数()f x 的值域为n A ，记集合n A 中元素的个数为n a ，则n a =_____________． 【答案】(1)2n n + 【解析】根据{}x 的定义，依次求出数列{}n a 的前5项，再归纳出1n n a a n -=+，利用累加法求出n a 即可 【详解】解：由题意得，当1n =时，由于(0,1]x ∈，所以{}1x =，所以{{}}1x x =， 则11{1},1A a ==，当2n =时，由于(1,2]x ∈，所以{}2x =，所以{{}}(2,4]x x ∈， 则22{1,3,4},3A a ==，当3n =时，由于(2,3]x ∈，所以{}3x =，所以{{}}(6,9]x x ∈， 则33{1,3,4,7,8,9},6A a ==，当4n =时，由于(3,4]x ∈，所以{}4x =，所以{{}}(12,16]x x ∈， 则44{1,3,4,7,8,9,13,14,15,16},10A a ==，以此类推，得1n n a a n -=+， 利用累加法得，(1)2n n n a +=， 故答案为：(1)2n n + 【点睛】此题考查了新定义，递推关系，累加求和的方法，考查推理能力与计算能力，属于较难题三、解答题17．如图，在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，160B AB ∠=︒（1）求直线1A C 与平面ABCD 所成的角的大小； （2）求异面直线1B C 与11A C 所成角的大小． 【答案】（1）6arctan（2）2． 【解析】（1）由1A A ⊥平面ABCD ，A 是垂足，得1ACA ∠是1A C 与平面ABCD 所成的角，由此能求出1A C与平面ABCD所成的角的大小.（2）由11AC AC∥，得1B CA∠是异面直线1B C与11A C所成角，由此能求出异面直线1B C与11A C所成角的大小.【详解】解：（1）设1AB=，∵在正四棱柱1111ABCD A B C D-中，160B AB∠=︒，∴12AB=，13BB=22112AC=+=，∵1A A⊥平面ABCD，A是垂足，∴1ACA∠是1A C与平面ABCD所成的角，∵1136tan22AAACAAC∠===∴16arctan2ACA∠=.∴1A C与平面ABCD所成的角的大小为6arctan（2）如图所示：连接AC，∵11AC AC∥，∴1B CA∠是异面直线1B C与11A C所成角，∵112AB B C==，2AC=∴22211112cos24222B C AC ABB CAB C AC+-∠===⋅⨯⨯，∴12arccos4B CA∠=.∴异面直线1B C与11A C所成角的大小为2.【点睛】考查线线角和线面角的求法，中档题.18．已知函数()22sin sin 3x f x x x π⎡⎤⎛⎫=++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦． （1）若函数()y f x =的图象关于直线(0)x a a =>对称，求a 的最小值； （2）若存在05012x π⎡⎤⎢⎥⎣∈⎦，，使0()20mf x -=成立，求实数m 的取值范围． 【答案】（1）12π；（2）(,2][1,)m ∈-∞-⋃+∞．【解析】（1）用三角函数的降幂公式、辅助角公式将()y f x =化简，得2n 2)3(si f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，根据正弦函数的对称轴可得到答案；（2）由02()m f x =，结合0x 得到01sin 2123x π⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭，再求0()f x 、m 的范围． 【详解】 （1）()22sin sin cos 3f x x x x x π⎡⎤⎛⎫=++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦()2sin sin cos x x x x x =++()22sin cos x x x x =)222sin cos cos sin x x x x =-sin 222sin 23x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，()232a k k Z πππ+=+∈，,212k a k Z ππ∴=+∈ 又0a >∴a 的最小值为12π（2）()()0002120sin 23mf x m f x x π-=⇒==⎛⎫+ ⎪⎝⎭ 00570,,212336x x ππππ⎡⎤∈≤+≤⎢⎥⎣⎦01sin 2123x π⎛⎫∴-≤+≤ ⎪⎝⎭ 则(][),21,m ∈-∞-⋃+∞【点睛】本题主要考查用三角函数公式进行化简、正弦型三角函数的图象和性质.19．常州地铁项目正在紧张建设中，通车后将给市民出行带来便利.已知某条线路通车后，地铁的发车时间间隔 t （单位：分钟）满足220t ≤≤，N t ∈．经测算，地铁载客量与发车时间间隔t 相关，当1020t ≤≤时地铁为满载状态，载客量为1200人，当210t ≤<时，载客量会减少，减少的人数与(10)t -的平方成正比，且发车时间间隔为2分钟时的载客量为560人，记地铁载客量为()p t .⑴ 求()p t 的表达式，并求当发车时间间隔为6分钟时，地铁的载客量； ⑵ 若该线路每分钟的净收益为6()3360360p t Q t-=-（元），问当发车时间间隔为多少时，该线路每分钟的净收益最大？ 【答案】（1）1040；（2）120【解析】（1）根据题意得到()p t 的解析式即可，然后根据解析式可得当发车时间间隔为6分钟时地铁的载客量；（2）由题意得到净收益为Q 的表达式，然后根据求分段函数最值的方法得到所求的最值． 【详解】（1）由题意知()()2120010,2101200,1020k t t p t t ⎧--≤<⎪=⎨≤≤⎪⎩，N t ∈，（k 为常数），∵()()221200102120064560p k k =--=-=， ∴10k =，∴()()2210200200,21012001010,2101200,10201200,1020t t t t t p t t t ⎧⎧-++≤<--≤<⎪==⎨⎨≤≤≤≤⎪⎩⎩， ∴()()261200101061040p =-⨯-=，故当发车时间间隔为6分钟时，地铁的载客量1040人． （2）由()63360360p t Q t-=-，可得()236610200200336084060,210360,21038403840360,1020360,1020t t t t t t t Q t t t t ⎧⎧-++-⎛⎫-+≤<⎪ ⎪-≤<⎪⎪⎪⎝⎭==⎨⎨⎪⎪-≤≤-≤≤⎪⎪⎩⎩，①当210t ≤<时，36840608406012120Q t t ⎛⎫=-+≤-⨯= ⎪⎝⎭，当且仅当6t =时等号成立；②当1020t ≤≤时，7200336036038436024Q t-=-≤-=，当10t =时等号成立，∴当发车时间间隔为6t =分钟时，该线路每分钟的净收益最大，最大为120元． 答：当发车时间间隔为6t =分钟时，该线路每分钟的净收益最大，最大为120元. 【点睛】（1）本题考查分段函数模型在实际中的应用，对于分段函数模型的最值问题，应该先求出每一段上的最值，然后比较大小后可得分段函数的最值．（2）在利用基本不等式求解最值时，一定要检验等号成立的条件，也可以利用函数单调性求解最值．20．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别是1F 、2F ，其长轴长是短轴长的2倍，过1F 且垂直于x 轴的直线被椭圆C 截得的线段长为1． （1）求椭圆C 的方程；（2）点P 是椭圆C 上除长轴端点外的任一点，过点P 作斜率为k 的直线l ，使得l 与椭圆C 有且只有一个公共点，设直线1PF 、2PF 的斜率分别为1k 、2k ，若0k ≠，证明：1211kk kk +为定值，并求出这个定值； （3）点P 是椭圆C 上除长轴端点外的任一点，设12F PF ∠的角平分线PM 交椭圆C 的长轴于点()0M m ，，求m 的取值范围． 【答案】（1）2214x y +=；（2）12118kk kk +=-，证明见解析；（3）3322-<<m ． 【解析】（1）由长轴长是短轴长的2倍，过1F 且垂直于x 轴的直线被椭圆C 截得的线段长为1．可得a ，b 的值，进而求出椭圆的方程；（2）设直线l 的方程，与椭圆联立，由直线与椭圆有且仅有一个交点可得判别式为0，可得k 与P 的横纵坐标的关系，再由P 在椭圆上得横纵坐标的关系，求出直线1PF ，2PF 的斜率分别为1k ，2k 与P 的坐标的关系，进而可得1211kk kk +为定值8-；（3）设P 的坐标，由（1）可得焦点1F ，2F 的坐标，求出直线1PF ，2PF 的方程，由角平分线的性质，M 到两条直线的距离相等，及点到直线的距离公式，可得m 与P 的横坐标的关系，再由P 在椭圆上可得P 的横坐标的取值范围求出m 的范围． 【详解】（1）由于222c a b =-，将x c =-代入椭圆方程22221x y a b+=，得2by a =±．由题意知221b a=，即22a b =．又12b a =，222a bc =+，所以2a =，1b =． 所以椭圆C 的方程为2214x y +=．（2）设0(P x ，00)(0)y y ≠，则直线l 的方程为00()y y k x x -=-． 联立得220014()x y y y k x x ⎧+=⎪⎨⎪-=-⎩，整理得222222000000(14)8()4(21)0k x ky k x x y kx y k x ++-+-+-= 由题意得△0=，即2220000(4)210x k x y k y -++-=．又220014x y +=，所以22200001680y k x y k x ++=，故004x k y =-．又知00012000211x x x k k y y y ++=+=， 所以001212004211111()()8y x kk kk k k k x y +=+=-=-，因此1211kk kk +为定值，这个定值为8-． （3）设0(P x ，00)(0)yy ≠，又1(F ，2F ，所以直线1PF ，2PF的方程分别为1000:(0PF l y x x y -=，2000:(0PF l y x x y -=．=．由于点P 在椭圆上，所以220014x y +=．=．因为m <<，022x -<<=所以034=m x ， 因此3322-<<m ．【点睛】本题主要考查求椭圆的方程，考查直线与椭圆的位置关系及综合，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.21．对于无穷数列*{},{},n n a b n N ∈，若{}1212max{,,,min ,,,}k k k b a a a a a a =-，*k N ∈，则称数列{}n b 是数列{}n a 的“收缩数列”，其中1212max{,,}min{,,}k k a a a a a a 、分别表示12k a a a ，，…，中的最大项和最小项，已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列{}n b 是数列{}n a 的“收缩数列” （1）若31,n a n =-求数列{}n b 的前n 项和； （2）证明：数列{}n b 的“收缩数列”仍是{}n b ； （3）若()()()121111,2,322n n n n n n S S S a b n +-+++=+=，求所有满足该条件的数列{}n a ． 【答案】（1）3(1)2n n -；（2）证明见解析；（3）所有满足该条件的数列{}n a 的通项公式为1212n a n a a n =⎧=⎨≥⎩，21a a ≥，*n ∈N ．【解析】（1）根据{}n a 为递增数列以及收缩数列的定义可得结果； （2）根据12121max{,,,}max{,,,}n n a a a a a a +≤，12121min{,,,}min{,,,}n n a a a a a a +≥以及不等式的性质可得1n n b b +≤，再根据收缩数列的定义可得结果； （3）在()()()121111,2,322n n n n n n S S S a b n +-+++=+=中，令1,2,3n n n ===可得321a a a =≥，猜测12,1,2n a n a a n =⎧=⎨≥⎩，21a a ≥，*n N ∈，再证明证明其它数列都不满足（3）的题设条件，可得解. 【详解】（1）由31,n a n =-可得{}n a 为递增数列， 所以1212max{,,,}min{,,,}n n n b a a a a a a =-131233n a a n n =-=--=-，所以12(033)3(1)22n n n n n b b b +--+++==. （2）因为12121max{,,,}max{,,,}n n a a a a a a +≤，12121min{,,,}min{,,,}n n a a a a a a +≥，所以12121min{,,,}min{,,,}n n a a a a a a +-≤-所以1212121121max{,,,}min{,,,}max{,,,}min{,,,}n n n n a a a a a a a a a a a a ++-≤-，所以1n n b b +≤，又因为1110b a a =-=， 所以12121max{,,,}min{,,,}n n n n b b b b b b b b b -=-=，所以数列{}n b 的“收缩数列”仍是{}n b . （3）由()()()121111,2,322n n n n n n S S S a b n +-+++=+=，可知当1n =时，11a a =，当2n =时，121223a a a b +=+，则221b a a =-，因为210b b ≥=，所以21a a ≥， 当3n =时，123133263a a a a b ++=+，即3213132()()b a a a a =-+-（）， 若132a a a ≤<，则321b a a =-，所以由（）可得32a a =，与32a a <矛盾； 若312a a a <≤，则323b a a =-，所以由（）可得32133()a a a a -=-，即32a a -与13a a -同号，这与312a a a <≤相矛盾；若32a a ≥，则331b a a =-，所以由（）可得32a a =，符合， 猜想，满足()()()121111,2,322n n n n n n S S S a b n +-+++=+=的数列为12,1,2n a n a a n =⎧=⎨≥⎩，21a a ≥，*n N ∈，经验证左边121212(1)(1231)2n n n S S S na n a na a -=+++=+++++-=+， 右边1121(1)(1)(1)(1)()2222n n n n n n n n n a b a a a +-+-=+=+-12(1)2n n na a -=+， 下面证明其它数列都不满足（3）的题设条件， 由上述3n ≤的情况可知，3n ≤时是成立的， 假设k a 是首次不符合12,1,2n a n a a n =⎧=⎨≥⎩，21a a ≥的项，则1231k k a a a a a -≤===≠，由题设条件可得121(1)(1)(1222)22k k k k k k ka k k a a a b +-++++-+-+=+， 即21212(1)(1)222k k k k k k k k ka a a a b --+-++=+（）， 若12k a a a ≤<，则21k b a a =-，所以由（）式化简可得2k a a =与2k a a <矛盾， 若12k a a a <≤，则2k k b a a =-，所以由（）式化简可得21(1)()2k k k k a a a a --=-，所以2k a a -与1k a a -同号，这与12k a a a <≤矛盾，若21k a a a >≥，则1k k b a a =-，所以由（）化简可得2k a a =，这与21k a a a >≥矛盾， 所以假设不成立，所以其它数列都不满足（3）的题设条件，所以所有满足条件的数列{}n a 的通项公式为12,1,2n a n a a n =⎧=⎨≥⎩，21a a ≥，*n N ∈.【点睛】本题考查了数列中的新定义，考查了分类讨论思想，考查了等差数列的求和公式，考查了归纳推理能力，考查了反证法，考查了数列的单调性，解题关键是对新定义的理解和运用，属于难题.。
金山区2020届高三数学二模考试试题含解析
【解析】
【分析】
由题意 ,根据复数模的计算即可得解.
【详解】由题意 ，所以 。
故答案为： .
【点睛】本题考查了复数的运算及模的求解，属于基础题.
4。已知线性方程组的增广矩阵为 ，若该线性方程组的解为 ，则实数 __________
【答案】2
【解析】
【分析】
由题意可得 ， 是方程 的解，即可得解.
上海市金山区2020届高三数学二模考试试题（含解析）
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分)考生应在答题纸的相应位置直接填写结果
1.集合 ， ，则 __________
【答案】
【解析】
【分析】
计算出 ,由交集概念即可得解。
【详解】由题意 ，
则 。
故答案为： 。
【答案】
【解析】
【分析】
由题意求出所有选法的个数及符合要求的选法个数，根据古典概型概率公式即可得解。
【详解】由题意,从9人中随机抽取3人,共有 种选法；
要求从中抽取3人中的单位与职业都不相同，共有 种选法；
则所求概率 。
故答案为： 。
【点睛】本题考查了计算原理的应用及古典概型概率的求解,属于基础题。
【答案】
【解析】
【分析】
令 ，可得 为奇函数，求得 后，即可得 ,即可得解。
【详解】令 ,则 ，
,
为奇函数,
又 ， ， ，
.பைடு நூலகம்
故答案为： .
【点睛】本题考查了函数奇偶性及对数运算、三角函数性质的应用,考查了构造新函数的能力和运算求解能力，属于中档题。
8。已知数列 的通项公式为 ， ，其前n项和为 ，则 ________。
上海市嘉定区2020届高三下学期二模考试数学试题 Word版含解析
嘉定区2019学年高三第二次质量调研测试数学试卷一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果． 1.已知集合{2,4,6,8},{1,2,3}A B ==，则A B =______．【答案】{2}. 【解析】 【分析】利用集合的运算直接求交集 【详解】AB ={2,4,6,8}1,2,3}{2}=.故答案为：{2}【点睛】考查了集合的运算求两集合的交集，属于容易题.2.线性方程组2538x y x y -=⎧⎨+=⎩的增广矩阵为_________．【答案】125318-⎛⎫⎪⎝⎭.【解析】 【分析】直接根据线性方程组的增广矩阵的含义求解. 【详解】线性方程组2538x y x y -=⎧⎨+=⎩的增广矩阵为125318-⎛⎫⎪⎝⎭,故答案为: 125318-⎛⎫⎪⎝⎭【点睛】考查了线性方程组的增广矩阵的含义,属于容易题.3.已知圆柱的底面半径为1，母线长为2，则其侧面积为______________. 【答案】4π 【解析】 【分析】根据圆柱的侧面积公式，即可求得该圆柱的侧面积，得到答案. 【详解】由题意，圆柱的底面半径为1，母线长为2，根据圆柱的侧面积公式，可得其侧面积为224S rl =π=π⨯1⨯2=π.【点睛】本题主要考查了圆柱的侧面积公式的应用，其中解答中熟记圆柱的侧面积公式，准确计算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题. 4.在5(2)x 的二项展开式中，3x 项的系数为_______． 【答案】40. 【解析】 【分析】直接用二项展开式的通项公式求解.【详解】515()(2)r r rr T C x -+=-，故3x 的系数为225(2)40C -=．故答案为：40【点睛】考查了二项式定理，利用通项公式求特定项的系数，属于容易题.5.若实数,x y 满足0120x y x y ≥⎧⎪≤⎨⎪-≤⎩，则z x y =+的最大值为_______．【答案】3. 【解析】 【分析】画出可行域，求出线性目标函数的最大值. 【详解】画出可行域如图所示：令z x y =+，则y x z =-+，易知截距越大，z 越大，直线:0l x y += ，平移直线至(2,1)B 时，max 213Z =+=. 故答案为：3【点睛】考查了线性目标函数在线性约束条件下的最大值问题，属于容易题. 6.已知球的主视图的面积是π，则该球的体积等于_________． 【答案】43π. 【解析】 【分析】先根据球的主视图的面积是π，求出球的半径，再求球的体积.【详解】设球半径为r ，由3244133r S r r V ππππ==⇒=⇒==． 故答案为：43π【点睛】考查了三视图的概念，球的体积公式，属于容易题.7.设各项均为正数的等比数列{}n a 的前n 项和为123,1,6n S a a a =+=，则6S =______． 【答案】63. 【解析】 【分析】先由1231,6a a a =+=,求出等比数列的公比q ，再和等比数列的前n 项和公式求出6S 详解】由1231,6a a a =+=，得26(0)2q q q q +=>⇒=()661126312S -⇒==-．故答案为: 63【点睛】本题考查了等比数列的通项公式和前n 项和公式，属于容易题.8.已知函数()2log a f x x =+（0a >且1a ≠）的反函数为1()y f x -=．若1(3)2f -=，则a =_____．【答案】2. 【解析】 【分析】 由1(3)2f-=，得(2)3f =，再代入解析式，求出a【详解】1(3)2(2)332log 22a f f a -=⇒=⇒=+⇒=．故答案为：2【点睛】本题考查了原函数与反函数间的关系，属于容易题. 9.设2,90z z ∈+=C ，则|4|z -=________．【答案】5. 【解析】 【分析】先由290z +=，求出z ，再代入式子|4|z -求模.【详解】由2903z z i +=⇒=±，则|4||34|5z i -=±-=． 故答案为：5【点睛】本题考查了在复数范围内解一元二次方程，及求复数的模，属于容易题.10.从4对夫妇中随机抽取3人进行核酸检测，则所抽取的3人中任何两人都不是夫妻的概率是_______（结果用数值表示）． 【答案】47. 【解析】 【分析】从4对夫妇中随机抽取3人,故总数是38C ，3人中任何两人都不是夫妻可先从4对夫妇中选 3对夫妻出来，有34C 种选择，再从每对夫妻2人中选1人,有111222C C C 种，再算出所求概率.【详解】从4对夫妇中随机抽取3人,故总数是n =38C ,3人中任何两人都不是夫妻可先从4对夫妇中选3对夫妻出来， 有34C 种选择，再从每对夫妻2人中选1人,有111222C C C 种，即有3342m C =⋅种，故所求概率P =m n 33438247C C ⋅==. 故答案为：47【点睛】本题是组合与古典概型的综合题，属于基础题.11.设P 是双曲线2218y x -=的动点，直线3cos sin x t y t θθ=+⎧⎨=⎩（t 为参数）与圆22(3)1x y -+=相交于A B 、两点，则PA PB ⋅的最小值是_________． 【答案】3. 【解析】 【分析】先分析直线与圆的方程，得到直线过圆心(3,0)C ，再将PA PB ⋅变为()()C CA P PC CB +⋅+22PC CA =-，转化为动点P 到C距离的最小值.【详解】设圆心为(3,0)C ，并且直线过(3,0)C ，则()()C CA P PC CB +⋅+22PC CA =-又21CA =，2PC=2PC ，又min 2PC =,则PA PB ⋅21PC =-22213≥-=．故答案为：3【点睛】本题是直线参数方程、直线与圆位置关系、向量、圆锥曲线的综合问题，分析出直线过圆心，向量式转化化简是突破点，难点.12.在ABC 中，内角、、A B C 的对边分别为a b c 、、，若222sin a b c A ++=，则A =______．【答案】3π. 【解析】 【分析】先用余弦定理对式子进行化简，再用辅助角公式转化为正弦型函数，然后利用正弦型函数的有界性求解.【详解】()22222222cos sin a b c b c bc A b c A ++=+-++=⇒222sin 6bc A b c π⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，而22sin 62b c A bc π+⎛⎫+= ⎪⎝⎭212bc bc ≥=,sin 16A π⎛⎫⇒+≥ ⎪⎝⎭sin 163A A ππ⎛⎫⇒+=⇒= ⎪⎝⎭．故答案为：3π【点睛】本题考查了余弦定理，两角和与差公式，均值定理，属于中档题.二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑． 13.已知x ∈R ，则“1x >”是“|2|1x -<”的（ ）． A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分又非必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】先对“|2|1x -<”等价变形，再利用集合法判断充要条件.【详解】由|2|113x x -<⇒<<，则(1,)p =+∞，(1,3)q =，则p ⊂≠q ，故p 为q 必要非充分条件. 故选：B ．【点睛】本题考查了用集合法判断充要条件，属于容易题.14.下列函数中，既是(0,)+∞上的增函数，又是偶函数的是（ ）． A. 1y x=B. 2xy =C. 1||y x =-D.lg ||y x =【答案】D 【解析】 【分析】对选项的函数的单调性和奇偶性作判断.【详解】对A 奇函数；对B 非奇非偶函数；对C ：是偶函数，在(0,)+∞是减函数. 故选：D【点睛】本题考查了函数的单调性和奇偶性，属于容易题.15.如图，若正方体1111ABCD A B C D -的侧面11BCC B 内动点P 到棱11A B 的距离等于它到棱BC 的距离，则点P 所在的曲线为（ ）．A. 椭圆B. 双曲线C. 抛物线D. 圆【答案】C 【解析】 【分析】侧面11BCC B 内动点P 到棱11A B 的距离等于它到棱BC 的距离,转化成动点P 到定直线BC 和定点1B 的距离相等，判断P 点轨迹为抛物线.【详解】P 到棱11A B 的距离即P 到1B 的距离,即点P 到定直线和定点距离相等（注意：点不在直线上）轨迹为抛物线，故此题选C ．【点睛】本题将圆锥曲线与立体几何融合，主要考查转化与化归思想，利用圆锥曲线的定义判断轨迹类型.16.设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2n S 是6和n a 的等差中项．若对任意的*n ∈N ，都有13[,]n nS s t S -∈，则t s -的最小值为（ ）． A.23 B.94C.12D.16【答案】B 【解析】 【分析】先根据等差中项的概念列出关系式，再利用n a 与n S 之间的关系，得到关于n S 的递推关系式， 求得n S 的表达式，再计算n S 的取值范围，再计算13n nS S -的取值范围解出题目.【详解】由2n S 是6和n a 的等差中项，得46n n S a=+，令1n =得12S = ，又1n n n a S S -=-， 得146n n n S S S -=+-136n n S S -⇒=-1313232n n S S -⎛⎫⎛⎫⇒-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则32n S ⎧-⎫⎨⎬⎩⎭是首项为13122S -=，公比为13-的等比数列, 得1311223n n S -⎛⎫=+- ⎪⎝⎭． 若n 为奇数，3,22n S ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦；若n 为偶数，43,32n S ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭． 而1()3n n nf S S S =-是关于n S 的单调递增函数，并且41334f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，11(2)2f =，故t s -最小值是11139244-=，故此题选B ． 【点睛】本题考查了用n a 与n S 之间的关系，由递推关系式求通项公式，以及求指数型函数和双勾函数的值域，属于综合应用题.三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤．17.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，边长为3，5PC =，PD ⊥底面ABCD ．（1）求四棱锥P ABCD -的体积；（2）求异面直线AD 与BP 所成角的大小（结果用反三角函数值表示）． 【答案】（1）12；（2）5arctan 3. 【解析】 【分析】（1）直接利用锥的体积公式求四棱锥的体积.（2）平移直线，找到异面直线AD 与BP 所成角，并计算角的大小. 【详解】解：（1）在Rt PCD ∆中,3,5CD PC ==,则4PD =， 则P ABCD V -13ABCD S PD =⋅⋅2134123=⨯⨯=．（2）由//BC AD ，所以PBC ∠即为异面直线AD 与BP 所成角（或其补角）， 由BC CD ⊥，BC PD ⊥，且PD CD D ⋂=，得BC ⊥面PCD ，又PC ⊆面PCD ， 所以BC PC ⊥，在Rt PCB ∆中，55tan arctan 33PBC PBC ∠=⇒∠=． 【点睛】本题考查了棱锥的体积公式和异面直线所成的角,属于容易题.18.设常数a R ∈，函数2()2cos f x x a x =+．（1）若()f x 为奇函数，求a 的值； （2）若36f π⎛⎫=⎪⎝⎭，求方程()2f x =在区间[0,]π上的解． 【答案】（1）0a =；（2）0,,3x ππ⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭. 【解析】 【分析】（1）()f x 为奇函数,可得(0)0f =，解出a ，再代回验证看是否符合题意.（2）根据36f π⎛⎫= ⎪⎝⎭求出a ，再解方程. 【详解】（1）当()f x 为奇函数时，必有(0)00f a =⇒=,当0a =时，()2f x x =是奇函数，符合题意，故0a =.（2）由题233cos 3263624a f a a πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+=⇒= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，得2()22cos 2cos 212sin 216f x x x x x x π⎛⎫=+=++=++ ⎪⎝⎭， 由1()2sin 2226266f x x x k ππππ⎛⎫=⇒+=⇒+=+ ⎪⎝⎭或52266x k πππ+=+，x k π⇒=或()3x k k Z ππ=+∈，所以在区间[0,]π上的解为0,,3x ππ⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭．【点睛】本题考查了奇函数的概念与性质，三解恒等变换，属中档题.19.某村共有100户农民，且都从事蔬菜种植，平均每户的年收入为2万元．为了调整产业结构，该镇政府决定动员部分农民从事蔬菜加工．据估计，若能动员()*x x ∈N户农民从事蔬菜加工，则剩下的继续从事蔬菜种植的农民平均每户的年收入比上一年提高2%x ，而从事蔬菜加工的农民平均每户的年收入为92(0)50a x a ⎛⎫-> ⎪⎝⎭万元． （1）在动员x 户农民从事蔬菜加工后，要使从事蔬菜种植的农民的总年收入不低于动员前100户农民的总年收入，求x 的取值范围；（2）在（1）的条件下，要使这100户农民中从事蔬菜加工的农民的总年收入始终不高于从事蔬菜种植的农民的总年收入，求a 的最大值． 【答案】（1）050x ≤≤；（2）9. 【解析】 【分析】（1）根据题意，表示出动员x 户农民从事蔬菜加工后农民的总年收入，动员前农民的总年收入，再解不等式.（2）转化成恒成立问题，再分离变量，转化成函数的最值问题.【详解】解：（1）动员x 户农民从事蔬菜加工后，农民总年收入为(100)2(12%)x x -⨯+， 由题得(100)2(12%)x x -⨯+200050x ≥⇒≤≤． （2）由题92(100)2(12%)50x a x x x ⎛⎫-≤-⨯+ ⎪⎝⎭恒成立，其中050x ≤≤， 即1004125x a x ≤++恒成立，又因为100411925x x ++≥+=， 当且仅当25x =时等号成立，所以max 9a =．【点睛】本题是应用问题，应理解题意，列出关系式，还考查了解一元二次不等式，和恒成立问题的处理方法，以及利用均值不等式求最值.20.已知椭圆2222:1(0)x y a b a bΓ+=>>过点(0,2)P ，且它的一个焦点与抛物线28y x =的焦点相同．直线l 过点(1,0)Q ，且与椭圆Γ相交于AB 、两点． （1）求椭圆Γ的方程；（2）若直线l 的一个方向向量为(1,2)d =，求OAB 的面积（其中O 为坐标原点）；（3）试问：在x 轴上是否存在点M ，使得MA MB ⋅为定值？若存在，求出点M 的坐标和定值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）22184x y +=；（2）169；（3）定点11,04M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，定值716-. 【解析】【分析】（1）直接根据椭圆过点(0,2)P ，求出b ，再根据椭圆的一个焦点是抛物线抛物线28y x =的焦点(2,0)，求得c ，再求出b ，得到椭圆Γ的方程.（2）先求出直线方程，与椭圆Γ的方程联立，求出交点，再求出OAB 的面积.（3）先设x 轴上是存在点M (,0)a 使得MA MB ⋅为定值，设出直线，,A B 的坐标，表示出 MA MB ⋅，再分析怎样使MA MB ⋅为定值.【详解】解：（1）椭圆过点(0,2)P ，代入得2b =，抛物线28y x =的焦点为(2,0)， 得224a b =+，得28a =，故椭圆方程为22184x y +=． （2）:22l y x =-，将直线与椭圆联立2222184y x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得1614,99A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，(0,2)B -， 如图所示：故116|2|||29OAB S =-169=．（3）当直线斜率不为0时，设：:1l x my =+，(,0)M a ，()11,A x y ，()22,B x y ， 将l 与椭圆联立得()222270m y my ++-=，则有12222m y y m -+=+，12272y y m -=+， 则()()1212MA MB x a x a y y ⋅=--+12(1)(1)my a my a =+-+-12y y +()()2212121(1)(1)m y y a m y y a =++-++-()2222721(1)(1)22m m a m a m m --=+⋅+-⋅+-++()222282452m a a a m -+--=-+ ()222(841122)m a a m -+-+=+2241182a a m -=--+ 由于该式不管m 取何值均为定值，故4110a -=，得114a =，定值为716-． 当直线斜率为0时，A，(B -，111174416MA MB ⎛⎫⎛⎫⋅=-=- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭． 综上，定点11,04M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，定值716-． 【点睛】本题考查了圆锥曲线的定义和几何性质，直线与圆锥曲线的位置关系，处理直线与圆锥曲线位置关系的基本思路和方法：设而不解；联立方程组，根与系数的关系，还考查了定点，定值问题.21.已知m 为正整数，各项均为正整数的数列{}n a 满足：1,?2,?n n n n n a a a a m a +⎧⎪=⎨⎪+⎩为偶数为奇数，记数列{}n a 的前n 项和为n S ．（1）若18,2a m ==，求7S 的值； （2）若35,25m S ==，求1a 的值；（3）若11,a m =为奇数，求证：“1n a m +>”的充要条件是“n a 为奇数”．【答案】（1）730S =；（2）17a =或110a =；（3）见解析.【解析】【分析】（1）利用递推公式直接代入求值.（2）分类讨论当1a 为奇数和偶数的情况，再讨论2a 为奇数和偶数的情况，求得1a 的值.（3）先证充分性（易证得），再证必要性，用数学归纳法证明.【详解】解：（1）18a =，2m =，则前7项为8，4，2，1，3，5，7，故730S =．（2）由题1,25,?n n n n n a a a a a +⎧⎪=⎨⎪+⎩为偶数为奇数设k 是整数．①若1a 为奇数,可设121a k =-，k N +∈,则224a k =+是偶数，得32a k =+， 则12355254a a a k k ++=+=⇒=，此时17a =，符合题意②若1a 为偶数,可设12a k =，k N +∈,则2a k =，当2a 是偶数时，可设2,k m m N +=∈，得14,a m =22a m =，3a m =，则123725a a a m ++==，此时m 不存在．当2a 是奇数时，可设21,k m m N +=-∈，得142a m =-，221a m =-，324a m =+，则1238125a a a m ++=+=，得3m = ，得110a =．综合①②可得，17a =或110a =．（3）充分性：若n a 为奇数，则1n n a a m m +=+>；必要性：先利用数学归纳法证：n a m ≤（n a 为奇数）；2n a m ≤（n a 为偶数）． ①11a m =≤，212a m m =+≤，312m a m +=≤成立； ②假设n k =时，k a m ≤（k a 为奇数）；2k a m ≤（k a 为偶数）．③当1n k =+时，当k a 是偶数，12k k a a m +=≤；当k a 是奇数，12k k a a m m +=+≤，此时1k a +是偶数．综上，由数学归纳法得n a m ≤（n a 为奇数）；2n a m ≤（n a 为偶数）．从而若1n a m +>时，必有1n a +是偶数．进而若n a 是偶数，则122n n a a m +=>矛盾，故n a 只能为奇数．【点睛】本题是递推关系为分段函数类型，注意分析并使用分类讨论，还考查了充要条件的证明，复杂的且关于自然数的递推不等式的证明可用数学归纳法证明.。
上海市宝山区2022届高三二模数学试题(1)
一、单选题二、多选题1. 已知函数f（x）满足：①对任意x∈（0，+∞），恒有f（2x）=2f（x）成立；②当x∈（1，2]时，f（x）=2﹣x．若f（a）=f（2020），则
满足条件的最小的正实数a的值为（ ）A．28B．100C．34D．36
2. 已知m，n为两条不同的直线，为两个不同的平面，，则下列结论中错误的是
A．若m//n，则B．若，则
C．若相交，则相交D．若相交，则相交
3. 已知，，点为圆上任意一点，则面积的最大值为（ ）
A．5B．C．D．
4. 函数的定义域为（ ）
A．B．C．D．
5. 已知点的，曲线的方程，曲线的方程，则“点在曲线上“是”点在曲线上“的
A．充分非必要条件B．必要非充分条件
C．充要条件D．既非充分又非必要条件
6. 在等比数列中，已知，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
7. 双曲线的渐近线方程为，则的离心率为
A．2
B．C．D
．
8. 设复数，则（ ）
A．0B．1C．D．2
9. 已知函数的定义域为，是奇函数，的导函数为，则（ ）
A．B．
C．D．
10. 关于函数，下述结论正确的是（ ）
A．的最小值为B
．在上单调递增
C．函数在上有3个零点D．曲线关于直线对称
11. 已知双曲线C：的上、下焦点分别为，，过点作斜率为的直线l与C的上支交于M，N两点
（点M在第一象限），A为线段的中点，O为坐标原点.若C的离心率为2，则（ ）A．B．
C．可以是直角
D．直线OA的斜率为
12. 如图，棱长为的正方体中，、分别为棱、的中点，为面对角线上一个动点，则（ ）
上海市宝山区2022届高三二模数学试题(1)上海市宝山区2022届高三二模数学试题(1)三、填空题四、解答题
A．三棱锥的体积为定值
B．存在线段，使平面平面
C．为中点时，直线与所成角最小
D．三棱锥的外接球半径的最大值为
13. 已知椭圆的右焦点为F（5，0），点A，B为C上关于原点对称的两点，且，，则C的离心率
2020年上海市浦东新区高中数学高考二模试卷含详解
上海市浦东新区2020届高三二模数学试卷2020.5一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，1-6题每题4分，7-12题每题5分．考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分或5分，否则一律得零分．1．设全集{}210,,U =，集合{}10,A =，则=A U C _______．2.某次考试，5名同学的成绩分别为：115,108,95,100,96，则这组数据的中位数为_______．3.若函数()21x x f =，则()=-11f_______．4.若i -1是关于x 的方程02=++q px x 的一个根（其中i 为虚数单位，R q ,p ∈），则=+q p _______．5.若两个球的表面积之比为41:则这两个球的体积之比为_______．6.在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为()为参数t t y t x ⎩⎨⎧=-=1，圆O 的参数方程为()为参数θ⎩⎨⎧θ=θ=sin y cos x ，则直线l 与圆O 的位置关系是_______．7.若二项式()421x+展开式的第4项的值为24，则()=++++∞→nn xx x x 32lim _______．8.已知双曲线的渐近线方程为x y ±=，且右焦点与抛物线x y 42=的焦点重合，则这个双曲线的方程是_______.9.从()4N ≥∈*m m m ，且个男生、6个女生中任选2个人当发言人，假设事件A 表示选出的2个人性别相同，事件B 表示选出的2个人性别不同．如果A 的概率和B 的概率相等，则=m _______．10.已知函数()()22222-+++=a x log a x x f 的零点有且只有一个，则实数a 的取值集合为_______．11.如图，在ABC ∆中，3π=∠BAC ，D 为AB 中点，P 为CD 上一点，且满足AB AC t AP 31+=，若ABC ∆的面积为233，的最小值为_______.12.已知数列{}{},n n a b 满足111a b ==，对任何正整数n均有1n n n a a b +=++，1n n n b a b +=+，设113n n n n c a b ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则数列{}n c 的前2020项之和为_______.二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案．考生必须在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．13．若x 、y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+≥-010y y x y x ，则目标函数y x f +=2的最大值为()A ．1B ．2C ．3 D.414.如图，正方体ABCD D C B A -1111中，E 、F 分别为棱A A 1、BC 上的点，在平面11A ADD 内且与平面DEF 平行的直线()A ．有一条B ．有二条C ．有无数条D.不存在15.已知函数()x cos x cos x f ⋅=.给出下列结论：①()x f 是周期函数；②函数()x f 图像的对称中心+,0)()2（ππ∈k k Z ；③若()()21x f x f =，则()Z k k x x ∈π=+21；④不等式x cos x cos x sin x sin π⋅π>π⋅π2222的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+<<+Z k ,k x k x 8581.则正确结论的序号是()A ．①②B ．②③④C ．①③④D ．①②④16.设集合{}1,2,3,...,2020S =，设集合A 是集合S 的非空子集，A 中的最大元素和最小元素之差称为集合A 的直径.那么集合S 所有直径为71的子集的元素个数之和为()A ．711949⋅B ．7021949⋅C ．702371949⋅⋅D ．702721949⋅⋅三、解答题（本大题满分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．17．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分.如图所示的几何体是圆柱的一部分，它是由边长为2的正方形ABCD (及其内部)以AB 边所在直线为旋转轴顺时针旋转120得到的．（1）求此几何体的体积；（2）设P 是弧EC 上的一点，且BE BP ⊥，求异面直线FP 与CA 所成角的大小．（结果用反三角函数值表示）18．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.已知锐角βα、的顶点与坐标原点重合，始边与x 轴正方向重合，终边与单位圆分别交于P 、Q 两点，若P 、Q 两点的横坐标分别为55210103、．（1）求()β+αcos 的大小；（2）在ABC ∆中，c b a 、、为三个内角C B A 、、对应的边长，若已知角β+α=C ，43=A tan ，且22c bc a +λ=，求λ的值．19．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.疫情后，为了支持企业复工复产，某地政府决定向当地企业发放补助款，其中对纳税额在3万元至6万元（包括3万元和6万元）的小微企业做统一方案．方案要求同时具备下列两个条件：①补助款()f x （万元）随企业原纳税额x （万元）的增加而增加；②补助款不低于原纳税额x （万元）的50%．经测算政府决定采用函数模型()44x bf x x=-+（其中b 为参数）作为补助款发放方案．（1）判断使用参数12b =是否满足条件，并说明理由；（2）求同时满足条件①、②的参数b 的取值范围．20．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分.在平面直角坐标系xOy 中，1F ，2F 分别是椭圆()222 10x y a aΓ+=>：的左、右焦点，直线l 与椭圆交于不同的两点A 、B ，且2221=+AF AF .（1）求椭圆Γ的方程；（2）已知直线l 经过椭圆的右焦点2F ，,P Q 是椭圆上两点，四边形ABPQ 是菱形，求直线l 的方程；（3）已知直线l 不经过椭圆的右焦点2F ，直线2AF ，l ，2BF 的斜率依次成等差数列，求直线l 在y 轴上截距的取值范围.21．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.若数列{}n a 对任意连续三项12,,i i i a a a ++，均有()()2210i i i i a a a a +++-->，则称该数列为“跳跃数列”.（1）判断下列两个数列是否是跳跃数列：①等差数列： ,,,,,54321；②等比数列： 1618141211,,,,--；（2）若数列{}n a 满足对任何正整数n ，均有11na n a a +=()10a >.证明：数列{}n a 是跳跃数列的充分必要条件是101a <<.（3）跳跃数列{}n a 满足对任意正整数n 均有21195nn a a +-=，求首项1a 的取值范围.上海市浦东新区2020届高三二模数学试卷答案解析版一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，1-6题每题4分，7-12题每题5分．考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分或5分，否则一律得零分．1.设全集{}0,1,2U =，集合{}0,1A =，则U C A =________．【答案】{}2【解析】【分析】由补集的运算法则可得解.【详解】{}{}0,1,2,0,1U A == {}2U C A ∴=故答案为：{}2【点睛】本题考查了补集的运算，属于基础题.2.某次考试，5名同学的成绩分别为：96,100,95,108,115，则这组数据的中位数为___．【答案】100【解析】【分析】数据个数为奇数时，中位数为从小到大排列后中间的那一个数字.【详解】5名同学的成绩由小到大排序为：95,96,100,108,115，∴这组数据的中位数为100.故答案为：100【点睛】本题考查了一组数据中中位数的求法，属于基础题.3.若函数()12f x x =，则()11f -=__________．【答案】1【解析】【分析】由()12f x x =可得：()12,0f x x x -=≥，问题得解.【详解】由()12f x x =可得：()12,0f x x x -=≥()12111f -∴==故答案为：1【点睛】本题考查了反函数的求法，属于基础题.4.若1i -是关于x 的方程20x px q ++=的一个根（其中i 为虚数单位，,p q R ∈），则p q +=__________．【解析】【分析】直接利用实系数一元二次方程的虚根成对原理及根与系数关系求解.【详解】1i - 是关于x 的实系数方程20x px q ++=的一个根，1i ∴+是关于x 的实系数方程20x px q ++=的另一个根，则(1)(1)2p i i -=-++=，即2p =-，2(1)(1)12q i i i =-+=-=，0p q ∴+=.故答案为：0【点睛】本题考查了一元二次方程的虚根特征和虚数的运算,考查了计算能力，属于中档题.5.若两个球的表面积之比为1:4，则这两个球的体积之比为．【答案】1:8【解析】试卷分析：由求得表面积公式24S R π=得半径比为1:2，由体积公式343V R π=可知体积比为1:8考点：球体的表面积体积6.在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为1x t y t =-⎧⎨=⎩（t 为参数），圆O 的参数方程为cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），则直线l 与圆O 的位置关系是________．【答案】相交【分析】由已知可得：直线l 的标准方程为10x y -+=，圆O 的标准方程为221x y +=，再计算出圆心到直线的距离2d r =<，问题得解.【详解】由直线l 的参数方程1x t y t =-⎧⎨=⎩，可得：直线l 的标准方程为：10x y -+=，由圆O 的参数方程cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩，可得：圆O 的标准方程为：221x y +=，圆心为(0,0)，半径1r =圆心为(0,0)到直线l的距离12d ==<则直线l 与圆O 的位置关系是相交.故答案为：相交【点睛】本题考查了参数方程与普通方程的转化，考查了直线与圆的位置关系，属于中档题.7.若二项式()412x+展开式的第4项的值为()23lim nn x x x x →∞++++= __．【答案】15【解析】【分析】利用二项展开式的通项公式，得：3344(2)x T C ==，解得16x =，再由等比数列求和公式，得：2311156nnx x x x ⎡⎤⎛⎫=⨯-++⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣+⎦+ ，从而极限可求.【详解】由已知可得：3344(2)x T C ==，即33(2)2x x ==，解得16x =，2311166(1)111115616nnn nx x x x x xx ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪∴+++⎡⎤⎝⎭-⎢⎥⎛⎫⎣⎦===⨯-⎢⎥ ⎪-⎝⎭⎢⎥⎣⎦-+ ，()231111565lim lim nnn n x x x x→∞→∞+++⎡⎤⎛⎫∴⨯-=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦+= .故答案为：15【点睛】本题考查了二项式定理，等比数列求和公式以及求极限，考查了计算能力，属于中档题.8.已知双曲线的渐近线方程为y x =±，且右焦点与抛物线24y x =的焦点重合，则这个双曲线的方程是____________.【答案】22221x y -=【解析】【分析】由已知可得双曲线的右焦点为(1,0)，即1c =，由双曲线的渐近线方程为y x =±，可设其方程为：22,0x y λλ-=>，再由222+=a b c 可得：1λλ+=，求出λ，问题得解.【详解】 抛物线24y x =的焦点为：(1,0)∴双曲线的右焦点为：(1,0)，即1c =双曲线的渐近线方程为y x =±，∴双曲线的方程可设为：22,0x y λλ-=>，即221x y λλ-=，22a b λ∴==由222+=a b c 可得：1λλ+=，12λ∴=，双曲线的方程是22221x y -=.故答案为：22221x y -=【点睛】本题考查了双曲线的标准方程和其渐近线方程，关键是掌握共渐近线的曲双线方程的设法，属于中档题.9.从m （N m *∈且4m ≥）个男生、6个女生中任选2个人当发言人，假设事件A 表示选出的2个人性别相同，事件B 表示选出的2个人性别不同．如果A 的概率和B 的概率相等，则m =_____________．【答案】10【解析】【分析】从m 个男生、6个女生中任选2个人当发言人,共有26m C +种情况，事件A 表示选出的2个人性别相同，共有226m C C +情况，事件B 表示选出的2个人性别不同，共有116m C C 情况，由已知可得：2211662266m m m m C C C C C C +++=，即221166m m C C C C +=，解之即可.【详解】从m 个男生、6个女生中任选2个人当发言人,共有26m C +种情况，事件A 表示选出的2个人性别相同，共有226m C C +情况，事件B 表示选出的2个人性别不同，116m C C 情况()()P A P B = ，2211662266m m m m C C C C C C +++∴=221166m m C C C C ∴+=，即(1)65622m m m -⨯+=整理，得：213300m m -+=，即(3)(10)0m m --=N m *∈ 且4m ≥，10m ∴=故答案为：10【点睛】本题考查了概率计算和组合数及其计算，考查了计算能力和分析能力，属于中档题.10.已知函数()()222log 22f x x a x a =+++-的零点有且只有一个，则实数a 的取值集合为________．【答案】{}1【解析】【分析】由已知可得：()f x 为R 上的偶函数，又函数()f x 的有且只有一个零点，所以()00f =，由此可得：2log 220a a +-=，解得1a =【详解】显然，由()()222log 22f x x a x a =+++-，可得：()()f x f x =-，()f x \为R 上的偶函数.函数()f x 的有且只有一个零点，()0=0f ∴由此可得：2log 220a a +-=，解得1a =故答案为：{}1【点睛】本题考查了偶函数的对称性，属于中档题.11.如图，在ABC 中，3BAC π∠=，D 为AB 中点，P 为CD 上一点，且满足13t AC AB AP =+ ，若ABC 的面积为332，则AP 的最小值为__________.【答案】【解析】【分析】设,AB AC m n ==，由1sin 22BA AB A C C ⋅⋅∠= ，可得：6mn =再由1233t AC AB t AC A AP D =++= ，可得：13t =，则AP == 222m n mn +≥可得解.【详解】设,AB AC m n== ABC 的面积为332，1sin 2AB AC S BAC =⋅⋅∠1222mn ==6mn ∴= D 为AB 中点，2AB AD ∴=1233t AC AB t AC AD AP +==+∴ 又C 、P 、Q 三点共线，213t ∴+=，即13t =1133AP AC AB ∴=+ 则()2222911112=3399AP AC AB AC AB AC AB ⎛⎫=+++⋅ ⎪⎝⎭ 22112=cos 999AC AB AC AB BAC ++⋅⋅∠ 222211212=992993m n m n m n +++⋅⋅=+AP ∴=当且仅当m n ==时取得最小值.【点睛】本题考查了向量的模的运算和数量积运算及三角形的面积公式，考查了计算能力，属于中档题.12.已知数列{}{},n n a b 满足111a b ==，对任何正整数n均有1n n n a a b +=++1n n n b a b +=+，设113n n n n c a b ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则数列{}n c 的前2020项之和为_____________.【答案】202133-【解析】【分析】由已知得：()112+n n n n a b a b +++=，2,n n n a b n N *∴+=∈；11n n a b ++=2n n a b ，12,n n n a b n N -*∴=∈，由此可得：12333n n n n c +=⋅=-，再由等比数列求和公式可得解.【详解】1n n n a a b +=+ ①，1n n n b a b +=+②两式相加可得：()112+n n n n n n n n a b a b a b a b +++++=+=，{}n n a b ∴+是公比为2的等比数列，首项112a b +=2,n n n a b n N *∴+=∈两式相乘可得：(11n n n n n n a b a b a b ++=++()22n n n na b a b =+={}n n a b ∴是公比为2的等比数列，首项111a b =12,n n n a b n N -*∴=∈113323nn n n n n n n n n a b c a b a b ⎛⎫+=+=⋅=⋅ ⎪⎝⎭，由等比数列求和公式，得：()2020202120206133313S -==--故答案为：202133-【点睛】本题考查了等比数列的通项公式和求和公式，考查了转化能力和计算能力，属于中档题.二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案．考生必须在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．13.若x 、y 满足010x y x y y -≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，则目标函数2z x y =+的最大值为（）A.1B.2C.3D.4【答案】B【解析】【分析】作出可行域和目标函数，找到目标函数取最大值的最优解即可.【详解】由已知，可作出满足条件的可行域和目标函数如下：由图可知目标函数2y x z =-+中z 取最大值的最优解为：(1,0)max 22z x y ∴=+=.故选：B【点睛】本题考查了线性规划求线性目标函数的最值问题，考查了数形结合思想，属于中档题.14.如图，正方体1111A B C D ABCD -中，E 、F 分别为棱1A A 、BC 上的点，在平面11ADD A 内且与平面DEF 平行的直线（）A.有一条B.有二条C.有无数条D.不存在【答案】C【解析】【分析】易知当//l DE 时即可满足要求，所以存在无数条.【详解】若l ∃⊂平面11ADD A ，使得//l DE ，又DE ⊂平面DEF ，l ⊄平面DEF ，//l ∴平面DEF ，显然满足要求的直线l 有无数条.故选：C【点睛】本题考查了线面平行的判定，属于基础题.15.已知函数()cos cos f x x x =⋅.给出下列结论：①()f x 是周期函数；②函数()f x 图像的对称中心+,0)()2（ππ∈k k Z ；③若()()12f x f x =，则()12x x k k Z π+=∈；④不等式sin 2sin 2cos 2cos 2x x x x ππππ⋅>⋅的解集为15,88x k x k k Z ⎧⎫+<<+∈⎨⎬⎩⎭.则正确结论的序号是（）A.①②B.②③④C.①③④D.①②④【答案】D【解析】【分析】由()()2f x f x π+=，可知()f x 是周期为2π的函数，当22x ππ-≤≤时，()11cos 222f x x =+；当322x ππ<≤时，()11cos 222f x x =--，画出()f x 在一个周期3,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭内的函数图象，通过图象去研究问题.【详解】()()()()2cos 2cos 2cos cos f x x x x x f x πππ+=+⋅+=⋅=()f x ∴是周期为2π的函数，①正确；当22x ππ-≤≤时，cos 0x ≥，()211cos cos 222f x x x ==+当322x ππ<≤时，cos 0x <，()211cos cos 222f x x x =-=--可以画出()f x 在一个周期3,22ππ⎛⎫-⎪⎝⎭内的函数图象，如下由图可知：函数()f x 的对称中心为+,0)()2（ππ∈k k Z ，②正确；函数()f x 的对称轴为,x k k Zπ=∈若()()12f x f x =，则122x x k π+=，即()122x x k k Z π+=∈，③错误；sin 2sin 2cos 2cos 2cos 2cos 22222x x x x x x ππππππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅=-⋅-=-⋅- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭不等式sin 2sin 2cos 2cos 2x x x x ππππ⋅>⋅等价于：()222f x f x πππ⎛⎫-> ⎪⎝⎭由图可知：52+2,+2,44x k k k Z πππππ⎛⎫∈∈ ⎪⎝⎭解得15,,88x k k k Z ⎛⎫∈++∈ ⎪⎝⎭，④正确.故选：D.【点睛】本题考查了诱导公式，降幂公式及三角函数的性质，考查了数形结合思想，属于难题.16.设集合{}1,2,3,...,2020S =，设集合A 是集合S 的非空子集，A 中的最大元素和最小元素之差称为集合A 的直径.那么集合S 所有直径为71的子集的元素个数之和为（）A.711949⋅ B.7021949⋅ C.702371949⋅⋅ D.702721949⋅⋅【答案】C【解析】【分析】先考虑最小元素为1，最大元素为72的情况：{}1,72只有1种情况；{}1,,72,271a a ≤≤且a Z ∈，共有170C 种情况；{}1,,,72,2,71b c b c ≤≤且,b c Z ∈，共有种270C 情况；以此类推……{}1,2,3,,71,72 ，有1（7070C ）种情况.所以，此类满足要求的子集元素个数之和012697070707070702347172M C C C C C =+++++ ，计算可得：70372M =⨯.再思考可以分为{}{}{}{}{}1,,72,2,,73,3,,74,4,,75,1949,,2020 等1949类，问题可得解.【详解】当最小元素为1，最大元素为72时，集合有如下情况：集合只含2个元素：{}1,72只有1种情况；集合含有3个元素：{}1,,72,271a a ≤≤且a Z ∈，共有170C 种情况；集合含有4个元素：{}1,,,72,2,71b c b c ≤≤且,b c Z ∈，共有270C 种情况；以此类推……集合含有72个元素：{}1,2,3,,71,72 ，有（7070C ）种情况.所以，此类满足要求的子集元素个数之和M 为：012697070707070702347172,M C C C C C =+++++ ①70696810707070707072717032,M C C C C C ∴=+++++ ②707070,070,r r C C r r Z-=≤≤∈ ①②两式对应项相加，得：()0126970707070707070274742M C C C C C =+++++=⨯ 70372M ∴=⨯同理可得：{}{}{}{}2,,73,3,,74,4,,75,1949,,2020, 所有子集元素个数之和都是70372⨯，所以集合S 所有直径为71的子集的元素个数之和为702371949⋅⋅.故选：C【点睛】本题考查了集合的子集个数和组合数及其计算，考查了分类讨论思想，属于难题.三、解答题（本大题满分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．17.如图所示的几何体是圆柱的一部分，它是由边长为2的正方形ABCD (及其内部)以AB 边所在直线为旋转轴顺时针旋转120得到的．（1）求此几何体的体积；（2）设P 是弧EC 上的一点，且BP BE ⊥，求异面直线FP 与CA 所成角的大小．（结果用反三角函数值表示）【答案】（1）83π（2）62arccos 4+【解析】【分析】（1）先算底面积212EBC S r θ=扇形，再由V S h =⋅算出体积；（2）以点B 为坐标原点建立空间直角坐标系，用空间向量法算出cos FP AC FP ACα⋅=⋅ ，即可得解.【详解】（1）由已知可得：22112422233EBC S r ππθ==⨯⨯=扇形．48233V S h ππ∴=⋅=⨯=．（2）如图所示，以点B 为坐标原点建立空间直角坐标系B xyz -，则()0,0,2A ，()2,0,2F ，()0,2,0P ，()3C -，所以，()2,2,2FP =--，()32AC =-- .设异面直线FP 与CA 所成的角为α，则cos FP ACFP ACα⋅=⋅()()()()()()()()()222222212322222132-⨯-+⨯+-⨯-=-++-⋅-++-624=所以，异面直线FP 与CA 所成角为62arccos4α=.【点睛】本题考查了柱体体积计算和空间向量法计算异面直线的夹角，考查了计算能力，属于中档题.18.已知锐角αβ、的顶点与坐标原点重合，始边与x 轴正方向重合，终边与单位圆分别交于P 、Q 两点，若P 、Q 两点的横坐标分别为31025105、．（1）求()cos αβ+的大小；（2）在ABC ∆中，a b c 、、为三个内角、、A B C 对应的边长，若已知角C αβ=+，3tan 4A =，且22a bc c λ=+，求λ的值．【答案】（1）22（2）1=2λ-【解析】【分析】（1）由已知得：cos 105αβ==，故而sin 10α=，sin 5β=，再由cos(+)cos cos sin sin αβαβαβ=-可得解.（2）由（1）得：4C παβ=+=，所以22cos ,sin 22C C ==，由3tan 4A =可得34sin ,cos 55A A ==，再由sin sin()B A C =+可得72sin 10B =，最后由正弦定理可得：2222sin sin =sin sin a c AC bc B C λ--=，问题得解.【详解】（1）由三角函数定义，得：cos αβ==αβ 、为锐角，10sin 10α∴==，sin 55β==cos(+)cos cos sin sin αβαβαβ∴=-22=（2）由2cos(+)2αβ=，αβ 、为锐角，得：4C παβ=+=，22cos ,sin 22C C ∴==由3tan 4A =，得sin 3cos 4A A =，又22sin cos 1A A +=，解得34sin ,cos 55A A ==[]sin sin ()sin()B AC A C π=-+=+sin cos cos sin A C A C=+34525210=⨯+⨯=由正弦定理可得：222291sin sin 1252=sin sin 5a c A C bc B C λ---==-【点睛】本题考查了三家函数定义及正余弦和的展开公式，考查了正弦定理边化角的技巧，考查了计算能力，属于中档题.19.疫情后，为了支持企业复工复产，某地政府决定向当地企业发放补助款，其中对纳税额在3万元至6万元（包括3万元和6万元）的小微企业做统一方案．方案要求同时具备下列两个条件：①补助款()f x （万元）随企业原纳税额x （万元）的增加而增加；②补助款不低于原纳税额x （万元）的50%．经测算政府决定采用函数模型()44x bf x x=-+（其中b 为参数）作为补助款发放方案．（1）判断使用参数12b =是否满足条件，并说明理由；（2）求同时满足条件①、②的参数b 的取值范围．【答案】（1）当12b =时不满足条件②，见解析（2）939,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】（1）因为当12b =时，()33342f =<，所以不满足条件②；（2）求导得：()2221444b x bf x x x+'=+=，当0b ≥时，满足条件①；当0b <时，()f x 在)⎡+∞⎣上单调递增，所以3≤.由条件②可知，()2x f x ≥，即44x b x +≤，等价于()2211481644b x x x ≤-+=--+在[]3,6上恒成立，问题得解.【详解】（1）因为当12b =时，()33342f =<，所以当12b =时不满足条件②.（2）由条件①可知，()44x bf x x=-+在[]3,6上单调递增，()2221444b x bf x x x +'=+=所以当0b ≥时，()0f x ¢³满足条件；当0b <时，由()0f x ¢=可得x =当)x ⎡∈+∞⎣时()0f x ¢³，()f x 单调递增，3∴≤，解得904b -≤<，所以94b ≥-由条件②可知，()2xf x ≥，即不等式44x b x +≤在[]3,6上恒成立，等价于()2211481644b x x x ≤-+=--+当3x =时，()218164y x =--+取最小值394394b ∴≤综上，参数b 的取值范围是939,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦．【点睛】本题考查了导数求函数单调性以及恒成立问题，考查了转化思想，属于中档题.20.在平面直角坐标系xOy 中，1F ，2F 分别是椭圆()222 10x y a aΓ+=>：的左、右焦点，直线l 与椭圆交于不同的两点A 、B ，且12AF AF +=（1）求椭圆Γ的方程；（2）已知直线l 经过椭圆的右焦点2F ，,P Q 是椭圆上两点，四边形ABPQ 是菱形，求直线l 的方程；（3）已知直线l 不经过椭圆的右焦点2F ，直线2AF ，l ，2BF 的斜率依次成等差数列，求直线l 在y 轴上截距的取值范围.【答案】（1）2212x y +=（20y ±-=（3）(,)-∞+∞ 【解析】【分析】（1）由已知得：2a =，问题得解；（2）由已知可得：OA OB ⊥，设直线l 方程为：1x my -=，()11,A x y ,()22,B x y ，与椭圆方程2212x y +=联立可得：22(2)210m y my ++-=，由韦达定理，得：12222m y y m +=-+，12212y y m =-+，最后由0OA OB ⋅= ，可得：1212x x y y +21212(1)()10m y y m y y =++++=，代入解方程即可；（3）设直线l 方程为：y kx b =+，由已知可得：1212211y y k x x +=--，即1212211kx b kx b k x x +++=--，化简得：12()(2)0b k x x ++-=，有已知可得:122x x +=，联立直线与椭圆方程得：222(21)4(22)0k x kbx b +++-=，由228(21)0k b ∆=-+>，和1224221kbx x k +=-=+可求b 的取值范围.【详解】（1）由12+AF AF =2a =，从而a =2212x y +=.（2）由于四边形ABPQ 是菱形，因此//AB PQ 且||||AB PQ =.由对称性，1F 在线段PQ 上.因此，,AP BQ 分别关于原点对称；并且由于菱形的对角线相互垂直，可得AP BQ ⊥，即OA OB ⊥.设直线l 方程为：1x my -=，且()11,A x y ,()22,B x y 与椭圆方程2212x y +=联立可得：22(2)210m y my ++-=，12222m y y m ∴+=-+，12212y y m =-+，由0OA OB ⋅=，可得：12121212(1)(1)x x y y my my y y +=+++21212(1)()1m y y m y y =++++2222121022m m m m +=--+=++解得22m =±0y ±=.（3）设直线l 方程为：y kx b =+，()()()11222,,,,1,0A x y B x y F ，由已知可得：1212211y y k x x +=--，即1212211kx b kx b k x x +++=--.1212122()()22(1)(1)kx x b k x x b k x x ∴+-+-=--，化简得：12()(2)0b k x x ++-=.若0b k +=，则:l y kx k =-经过2F ，不符合条件，因此122x x +=.联立直线与椭圆方程得：222(21)4(22)0k x kbx b +++-=.因为228(21)0k b ∆=-+>，即22210k b -+> ①由1224221kb x x k +=-=+得：2212k b k+=-②将②代入①得：222212102k k k ⎛⎫+-+> ⎪⎝⎭，解得：212k >令()12f k k k =--，则()222112122k f k k k -'=-+=当212k >时，()0f k '<，()12f k k k ∴=--在,2⎛⎫-∞- ⎪ ⎪⎝⎭或,2⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递减，()2f k f ⎛⎫∴>-= ⎪ ⎪⎝⎭或()2f k f ⎛⎫<= ⎪ ⎪⎝⎭所以b 的取值范围为：(,)-∞+∞ .【点睛】本题考查了椭圆与直线的综合性问题，关键是联立方程组，用韦达定理进行求解，考查了分析能力和计算能力，属于难题.21.若数列{}n a 对任意连续三项12,,i i i a a a ++，均有()()2210i i i i a a a a +++-->，则称该数列为“跳跃数列”.（1）判断下列两个数列是否是跳跃数列：①等差数列：1,2,3,4,5, ；②等比数列：11111,,,,24816-- ；（2）若数列{}n a 满足对任何正整数n ，均有11na n a a +=()10a >.证明：数列{}n a 是跳跃数列的充分必要条件是101a <<.（3）跳跃数列{}n a 满足对任意正整数n 均有21195nn a a +-=，求首项1a 的取值范围.【答案】（1）①等差数列：1,2,3,4,5,...不是跳跃数列；②等比数列：11111,,,,, (24816)--是跳跃数列.（2）证明见解析（3）()(12,23,a ∈-U 【解析】【分析】（1）①数列通项公式为n a n =，计算可得：()()22120i i i i a a a a +++--=-<，所以它不是跳跃数列；②数列通项公式为：112n n a -⎛⎫=- ⎪⎝⎭，计算可得：()()222191042ii i i i a a a a +++⎛⎫--=⨯-> ⎪⎝⎭，所以它是跳跃数列；（2）必要性：若11a >，则{}n a 是单调递增数列，若11a =，{}n a 是常数列，均不是跳跃数列；充分性：用数学归纳法证明证明，1n =命题成立，若n k =时2121222221,k k k k k k a a a a a a -+++<<>>，可得：222423k k k a a a +++>>，所以当1n k =+时命题也成立；（3）有已知可得：21n n a a ++-()()221519195125n n n n a a a a =----，2n n a a +-()()()2123195125n n n n a a a a =----，若1n n a a +>，则12n n n a a a ++>>，解得5,22n a ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭；若1n n a a +<，则12n n n a a a ++<<，解得53,2n a ⎛⎫+∈ ⎪ ⎪⎝⎭，由5101,22n a ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭，则153,2n a +⎛⎫+∈ ⎪ ⎪⎝⎭，得()2,2n a ∈-；当51013,2n a ⎛⎫+∈ ⎪ ⎪⎝⎭，则()12,2n a +∈-，得(n a ∈，问题得解.【详解】（1）①等差数列：1,2,3,4,5, 通项公式为：n a n=()()[][]221(2)2(1)20i i i i a a a a i i i i +++--=-++-+=-< 所以此数列不是跳跃数列；②等比数列：11111,,,,,24816-- 通项公式为：112n n a -⎛⎫=- ⎪⎝⎭()()11122211111910222242i i i i ii i i i a a a a -+++++⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫--=------=⨯->⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ 所以此数列是跳跃数列（2）必要性：若11a >，则{}n a 是单调递增数列，不是跳跃数列；若11a =，{}n a 是常数列，不是跳跃数列.充分性：（下面用数学归纳法证明）若101a <<，则对任何正整数n ，均有2121222221,n n n n n n a a a a a a -+++<<>>成立.①当1n =时，112111a a a a a =>=，213112a aa a a a =<=，1212131111,a a a a a a a a =<∴=>=Q ，231a a a ∴>>321231111342,,a a a a a a a a a a a a >>∴<<<<Q ，所以1n =命题成立②若n k =时，2121222221,k k k k k k a a a a a a -+++<<>>，则22221212322,kk k a a a k k k aa a a a a +++++<<∴<<，212322222423,k k k a a a k k k a a a a a a ++++++>>∴>>，所以当1n k =+时命题也成立，根据数学归纳法，可知命题成立，数列满足()()2210i i i i a a a a +++-->，故{}n a 是跳跃数列.（3）21195n n a a +-=()222212191919251919555125n n n n a a a a ++-⎛⎫- ⎪⨯---⎝⎭∴===()22221192519191255n n n n a a a a ++⨯---∴-=-()()221519195125n n n n a a a a =----()222192519125n n n n a a a a +⨯---=-()()()2123195125n n n n a a a a =----①若1n n a a +>，则12n n n a a a ++>>，()()()()()222151919501251231950125n n n n n n n n a a a a a a a a ⎧----<⎪⎪∴⎨⎪---->⎪⎩解得5101,22n a ⎛⎫∈ ⎪⎪⎝⎭；②若1n n a a +<，则12n n n a a a ++<<，()()()()()222151919501251231950125n n n n n n n n a a a a a a a a ⎧---->⎪⎪∴⎨⎪----<⎪⎩解得51013,2n a ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭；若5101,22n a ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭，则211951013,52n n a a +⎛-+=∈ ⎝⎭，所以()2,2n a ∈-，若51013,2n a ⎛+∈ ⎝⎭，则()21192,25n n a a +-=∈-，所以(n a ∈，所以()(12,2a ∈-U ，此时对任何正整数n ，均有()(2,2n a ∈-U 【点睛】本题考查了与数列相关的不等式证明，考查了数学归纳法，考查了分类与整合思想，属于难题.。
上海市虹口区2020届高三下学期二模考试数学试题 Word版含解析
上海市虹口区2020届高三二模数学试卷一、填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1.函数()3cos21f x x =+的最小值为_______________.【答案】2-【解析】【分析】利用余弦函数的有界性可求得函数()3cos21f x x =+的最小值.【详解】1cos21x -≤≤，23cos214x ∴-≤+≤，所以函数()3cos21f x x =+的最小值为2-.故答案为：2-.【点睛】本题主要考查三角函数的最值，还考查了运算求解的能力，属于基础题.2.函数()13x f x x -=+的定义域为_______________. 【答案】(]3,1-【解析】【分析】 由根式函数定义域的求法得到103x x -≥+，再转化为()()()310,3x x x +-≤≠-，利用一元二次不等式的解法求解.【详解】因为103x x-≥+， 所以()()()310,3x x x +-≤≠-，解得31-<≤x ，所以函数()13x f x x-=+的定义域为(]3,1-. 故答案为：(]3,1- 【点睛】本题主要考查函数定义域的求法以及分式不等式的解法，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 3.设全集U =R ，若{}|23A x x =-≥，则U A _______________.【答案】()1,5-【解析】【分析】先利用绝对值不等式的解法化简集合A ，然后再根据全集求补集. 【详解】因为{}{|23|5A x x x x =-≥=≥或}1x ≤-，又因为全集U =R ，所以|15U A x x ，故答案为：()1,5-【点睛】本题主要考查集合的基本运算以及绝对值不等式的解法，还考查了运算求解的能力，属于基础题.4.3位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加志愿者服务活动，则周六没有同学参加活动的概率为________ 【答案】18 【解析】【分析】根据每位同学都有两种选法，算出共有选法数，再得到周六没有同学参加活动，即3位同学都选了周日的选法数，代入古典概型概率公式求解.，【详解】每位同学都有两种选法，一共有2228⨯⨯=种选法，周六没有同学参加活动，即3位同学都选了周日，共有1种选法， 所以周六没有同学参加活动的概率为18. 故答案为：18 【点睛】本题主要考查古典概型的概率，还考查了运算求解的能力，属于基础题.5.已知函数()g x 的图象与函数()()231xf x log =-的图象关于直线 ?y x =对称，则()3g =__________.【答案】2【解析】【分析】根据函数()g x 的图象与函数()()231x f x log =-的图象关于直线 ?y x =对称，则函数()g x 与函数()f x 互为反函数求解.【详解】令()()2313x f x log =-=， 解得2x =，因为函数()g x 的图象与函数()()231x f x log =-的图象关于直线 ?y x =对称， 所以()32g =.故答案为：2【点睛】本题主要考查互为反函数的应用，还考查了运算求解的能力，属于基础题.6.设复数cos sin i z i αα=（i 为虚数单位），若z =tan2α=________. 【答案】1【解析】【分析】先利用行列式化简复数，再根据复数的模求解.【详解】因()cos cos sin sin i z i i ααααα==+-，又z =所以)()22cos sin 2ααα+-=， 所以22cos 1sin 20αα--=，即cos2sin 20αα-=，所以tan 21α=.故答案为：1【点睛】本题主要考查二阶行列式以及复数的模，三角恒等变换，还考查了运算求解的能力，属于中档题.7.若52ax ⎛ ⎝的展开式中的常数项为52-，则实数a 的值为________.【答案】12-【解析】【分析】先求得52ax ⎛+ ⎝的展开式的通项公式，再求得常数项，然后根据常数项为52-，建立方程求解.【详解】52ax ⎛ ⎝的展开式中的通项公式为：()2551052155r r r r r r r ax T C C a x ---+⎛⎫==， 令51002r -=，得4r =， 所以常数项为455T C a =， 因为常数项为52-， 所以45552T C a ==-， 12a =-. 故答案为：12- 【点睛】本题主要考查二项式定理的通项公式，还考查了运算求解的能力，属于基础题.8.设ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c，若b =8c =，30A =︒，则 sin C =_______.【解析】【分析】根据b =8c =，30A =︒，由余弦定理解得a ，然后由正弦定理求解.【详解】因为b =8c =，30A =︒，所以由余弦定理得：2222cos 28=+-=a b c bc A ，解得a =由正弦定理得：18sin sin 7c A C a ⨯===.【点睛】本题主要考查正弦定理，余弦定理的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.9.已知点()3,2A -，点P 满足线性约束条件201024x y x y +≥⎧⎪-≤⎨⎪-≤⎩，设O 为坐标原点，则OA OP ⋅的最大值为____.【答案】16【解析】【分析】由P 满足线性约束条件201024x y x y +≥⎧⎪-≤⎨⎪-≤⎩，画出可行域，由32OA OP z x y ⋅==-，转化为3122y x z =-，平移直线32y x =，当直线在y 轴上的截距最小时，目标函数取得最大值. 【详解】由P 满足线性约束条件201024x y x y +≥⎧⎪-≤⎨⎪-≤⎩，画出可行域如图所示阴影部分：32OA OP z x y ⋅==-，转化为：3122y x z =-，平移直线32y x = 当直线经过点()6,1B 时，在y 轴上的截距最小，此时目标函数取得最大值，最大值为16故答案为：16【点睛】本题主要考查线性规划求最值，还考查了运算求解的能力，属于基础题.10.已知1F 、2F 是椭圆(222:133x y C a a +=>的左、右焦点，过原点O 且倾斜角为60︒的直线与椭圆C 的一个交点为M ，若1212 ||||MF MF MF MF +=-，则椭圆C 的长轴长为_______. 【答案】2323+【解析】【分析】由题意设直线为3y x =，代入22213x y a +=，求得2222223,11a a x y a a==++，根据1212 ||||MF MF MF MF +=-，得到212?||OM F F =，将M 的坐标代入求解. 【详解】设直线为3y x =，代入22213x y a += 解得2222223,11a a x y a a ==++， 因为1212 ||||MF MF MF MF +=-，所以212?||||OM F F =， 所以2222234411a a c a a ⎛⎫+= ⎪++⎝⎭， 又因为2222,3a b c b =+= ，解得23a =+.所以椭圆C 的长轴长为故答案为：【点睛】本题主要考查直线与椭圆的位置关系，椭圆的几何性质，还考查了运算求解的能力，属于中档题.11.已知球O 是三棱锥P ABC -的外接球，2PA AB BC CA ====，PB =D 为BC 的中点，且PD =O 的体积为________.【解析】【分析】根据2PA AB BC CA ====，PB =PA AB ⊥，由PB =点D 为BC 的中点，利用勾股定理得到,PA AC PD BC ⊥⊥，从而PA ⊥平面ABC ，BC ⊥平面PAD ，平面PAD ⊥平面PBC ，过A 作AH PD ⊥，球心O 在AH 上，利用P ABC A PBC V V --=，解得AH =，在PBC 中，利用正弦定理得到12sin BC PH BPC =∠，然后在POH 中，由()222R PH AH R =+-求解.【详解】如图所示：因为2PA AB BC CA ====，22PB =所以222PA AB PB +=，所以PA AB ⊥， 因为22PB =D 为BC 的中点，且7PD =所以2222PD DB PB PC +==，所以,PA AC PD BC ⊥⊥，所以PA ⊥平面ABC ，BC ⊥平面PAD ，所以平面PAD ⊥平面PBC ，过A 作AH PD ⊥，所以AH ⊥平面PBC ，所以球心O 在AH 上，因为P ABC A PBC V V --=，即11113232PA AB AC AH BC PD ⨯⨯=⨯⨯， 所以2217AH =， 在PBC 中，7sin sin 22sin cos BPC BPD BPD BPD ∠=∠=∠⋅∠=， 由正弦定理得：12sin 7BC PH BPC ==∠ 在POH 中，()222R PH AH R =+-， 解得21R =，所以球O的体积为334421282133327V R πππ⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭. 【点睛】本题主要考查球有关的外接问题，找到球心的位置是关键，还考查了空间想象，逻辑推理和运算求解的能力，属于中档题. 12.已知函数()51,18,11x x f x x x ⎧-<⎪=⎨≥⎪+⎩，若方程()()f f x a =恰有5个不同的实数根，则实数a 的取值范围________.【答案】8,45⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】【分析】先作出函数()f x 的图象，设()t f x =，则()f t a =恰有5个不同的实数根，根据函数图象，分0a < ，0a =， 01a <<， 1a = ，815a <≤，845a << ，4a = ，4a >讨论求解. 【详解】作出函数()f x 的图象如图所示：设()t f x =，则()f t a =恰有5个不同的实数根，当0a <时，()f t a =无解，不符合题意，当0a =时，()f t a =有唯一解，0t =，此时，()0f x =，解得0x =有一解，不符合题意， 当01a <<时，()f t a =有三解，1230,01,7t t t <<<>，此时，()1f x t =无解，()2f x t =有三解，()3f x t =无解，共三解，不符合题意，当1a =时，()f t a =有两解，455log 2,7t t ==，此时，()4f x t =有三解，()5f x t =无解，共三解，不符合题意， 当815a <≤时，()f t a =有两解，567log 21,47t t <<≤<，此时，()6f x t =有三解，()7f x t =有一解，共四解，不符合题意， 当845a <<时，()f t a =有两解，589log 21,14t t <<<<，此时，()8f x t =有三解，()9f x t =有两解，共五解，不符合题意，当4a =时，()f t a =有唯一解，1t =，此时，()1f x =有两解，不符合题意，当4a >时，()f t a =无解，不符合题意.综上：实数a 的取值范围是8,45⎛⎫ ⎪⎝⎭. 故答案为：8,45⎛⎫ ⎪⎝⎭【点睛】本题主要考查函数与方程，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于难题.二、选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13.已知抛物线24y x =上的点M 到它的焦点的距离为5，则点M 到y 轴的距离为（ ）A. 2B. 4C. 5D. 6 【答案】B【解析】【分析】根据抛物线24y x =上的点M 到它的焦点的距离为5，利用抛物线的定义得到52M p x +=求解.【详解】因为抛物线24y x =上的点M 到它的焦点的距离为5， 所以52M p x +=， 所以4M x =.故选：B【点睛】本题主要考查抛物线的定义的应用，还考查了运算求解的能力，属于基础题.14.某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的表面积（单位:2cm ）为（ ）A. 32B. 36C. 40D. 48【答案】A 【解析】 【分析】由三视图知该几何体是一个三棱锥，底面是直角三角形，其中一条侧棱垂直于底面，垂足为较大锐角的顶点，然后利用三角形面积公式求解. 【详解】由三视图知该几何体的直观图如图所示：其中PA ⊥平面ABC ， AC BC ⊥， 则,PA BC PA AC A ⊥⋂=， 所以BC ⊥平面APC ， 所以BC PC ⊥所以四个面都是直角三角形 所以该几何体的表面积RtABCRtAPCRtPABRtPBCS S S S S =+++，111134345454322222=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=. 故选：A【点睛】本题主要考查三视图的应用以及几何体体积的求法，还考查了空间想象和运算求解的能力，属于基础题. 15.已知函数()()1062f x sin x πωω⎛⎫=++> ⎪⎝⎭在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上有且仅有两个零点，则实数ω的取值范围为（ ）A. 142,3⎛⎤⎥⎝⎦B. 142,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭C. 10,43⎡⎫⎪⎢⎣⎭D. 10,63⎛⎤⎥⎝⎦【答案】D 【解析】 【分析】由函数()()1062f x sin x πωω⎛⎫=++> ⎪⎝⎭在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上有且仅有两个零点，转化为方程162sin x πω⎛⎫+=- ⎪⎝⎭在区间0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上有且仅有两个根，则由11196266πωπππ<+≤求解.【详解】因为0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 所以+,6626x ππωππω⎛⎫∈+ ⎪⎝⎭， 因为函数()()1062f x sin x πωω⎛⎫=++> ⎪⎝⎭在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上有且仅有两个零点， 即方程162sin x πω⎛⎫+=- ⎪⎝⎭在区间0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上有且仅有两个根， 所以11196266πωπππ<+≤， 解得1063ω<≤. 所以实数ω的取值范围为10,63⎛⎤⎥⎝⎦. 故选：D【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质以及函数与方程，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题.16.设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，首项11a =，且24323S S S +=，已知,m n N +∈，若存在正整数(),1i j i j <<，使得i ma 、mn 、j na 成等差数列，则mn 的最小值为（ ） A. 16 B. 12C. 8D. 6【答案】C 【解析】 【分析】先由等比数列的基本运算得到通项，根据i ma 、mn 、j na 成等差数列，由等差数列的中项性质得到2222i j mn m n --=+，即211m n+≤，然后根据,m n N +∈讨论求解. 【详解】由11a =，且24323S S S +=， 整理得：342a a =， 所以2q，12n na ，因为i ma 、mn 、j na 成等差数列， 所以11222i j mn m n --=+， 所以2222i j mn m n --=+， 因为正整数(),1i j i j <<， 所以20,21i j -≥-≥，所以22222i j mn m n m n --=+≥+，所以211m n+≤， 当12m ≤≤时，211m n+≤不成立；当4,2m n ==或3,3m n ==时，211m n+≤成立；此时8mn =或9mn =， 当4n ≥时，120,1n m><，2m >，此时8mn >； 所以mn 的最小值为8. 故选：C.【点睛】本题主要考查等比数列的基本运算以及不等式的性质，还考查了分类讨论的思想和化简变形，推理的能力，属于难题.三、解答题（本大题共5题，共141414161876++++=分） 17.已知四棱锥P ABC -的底面ABCD 是矩形，PA ⊥底面ABCD ，且22PA AD AB ===，设E 、F 、G 分别为PC 、BC 、CD 的中点，H 为EG 的中点，如图.（1）求证：//FH 平面PBD ；（2）求直线FH 与平面PBC 所成角的大小. 【答案】（1）证明见解析 （2）15arcsin 15【解析】 【分析】（1）连接CH ，延长交PD 于点K ，连接BK ，根据E 、F 、G 分别为PC 、BC 、CD 的中点，易得//FH BK ，再利用线面平行的判定定理证明.（2）建立空间直角坐标，求得FH 的坐标，平面PBC 一个法向量(),,n x y z =，代入公式sin FH n FH n FH nFH nθ⋅⋅==⋅⋅求解.【详解】（1）如图所示：连接CH ，延长交PD 于点K ，连接BK ， 因为设E 、F 、G 分别为PC 、BC 、CD 的中点， 所以H 为CK 的中点，所以//FH BK，又FH⊄平面PBD BK⊂平面PBD，所以//FH平面PBD；（2）建立如图所示直角坐标系则()()()()11131 1,0,0,1,2,0,1,1,0,0,0,2,,1,1,,2,0,,,22222B C F P E G H⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以()()1111,0,2,1,2,2,,,222PB PC FH⎛⎫=-=-=-⎪⎝⎭，设平面PBC一个法向量为：(),,n x y z=，则n PBn PC⎧⋅=⎨⋅=⎩，有20220x zx y z-=⎧⎨+-=⎩，令1z=，()2,0,1n=，设直线FH与平面PBC所成角为θ，所以1152sin153154FH n FH nFH n FH nθ⋅⋅====⋅⋅⋅，因为0,2π⎡⎤θ∈⎢⎥⎣⎦，所以15θ=.【点睛】本题主要考查线面平行的判定定理，线面角的向量求法，还考查了转化化归的思想和逻辑推理，运算求解的能力，属于中档题.18.已知函数()431x f x a =-+（a 为实常数）. （1）讨论函数()f x 的奇偶性，并说明理由;（2）当()f x 为奇函数时，对任意的[]1,5x ∈，不等式()3x uf x 恒成立，求实数u 的最大值【答案】（1）2a =，奇函数，2a ≠，非奇非偶函数；理由见解析（2）3. 【解析】 【分析】（1）根据函数奇偶性的定义求解.（2）当()f x 为奇函数时，2a =，()4231x f x =-+，将对任意的[]1,5x ∈，不等式()3x u f x 恒成立，转化为对任意的[]1,5x ∈，不等式423133x xx u ⋅≤-+⋅恒成立，令()()4416113232333x xx x x g x ⋅=⋅=⋅-++-++，利用双勾函数的性质求解.【详解】（1）若函数()f x 为奇函数， 则()()f x f x -=-， 即443131x x a a --=-+++，对x ∈R 恒成立，所以24a =， 解得2a =，又()()11,13f a f a =--=-，对任意实数a ，()()11f f ≠-，所以()f x 不可能为偶函数， 所以2a ≠时，函数()f x 是非奇非偶函数. （2）当()f x 为奇函数时，2a =，()4231xf x =-+， 因为对任意的[]1,5x ∈，不等式()3xuf x 恒成立， 所以对任意的[]1,5x ∈，不等式423133xxx u ⋅≤-+⋅恒成立，令()()232441613331xxx x g x =⋅=⋅-++-++， 令[]14,2443xt +∈=，因为462y t t+⋅-=，在[]4,244是增函数， 所以当4t =时，min 3y =，即()min 3g x =， 所以3u ≤，所以实数u 的最大值是3.【点睛】本题主要考查函数的奇偶性以及不等式恒成立问题，还考查了分类讨论的思想和运算求解的能力，属于中档题.19.某工厂制作如图所示的一种标识，在半径为R 的圆内做一个关于圆心对称的“H 型”图形，“H ”型图形由两竖一横三个等宽的矩形组成，两个竖直的矩形全等且它们的长边是横向矩形长边的32倍，设O 为圆心，2AOB α∠=，“H ”型图形的面积为S .（1）将AB 、AD 用R 、α表示，并将S 表示成α的函数；（2）为了突出“H ”型图形，设计时应使S 尽可能大，则当α为何值时，S 最大？并求出S 的最大值. 【答案】（1）2sin AB R α=，2cos sin 3AD R R αα=-；22162sin cos sin 33,0,3S R αααπα=-⎛⎫⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（2）12arctan 423πα=-时，2max 81316S R -=⎝⎭. 【解析】 【分析】 （1）设OM 交CD 于N ，根据2AOB α∠=，易得2sin AB R α=2cos sin 3AD OM ON R R αα=-=-，0,3πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，再由矩形的面积公式求解.（2）利用二倍角公式和辅助角公式转化函数为()2281316sin 292,tan 39S R R αϕϕ-==+，再利用正弦函数的值域求解. 【详解】（1）如图所示：设OM 交CD 于N ， 因为2AOB α∠=， 所以,0,2MOB παα⎛⎫∠=∈ ⎪⎝⎭， 所以22sin ,cos ,sin 33BM R OM R ON BM R ααα====， 所以2sin AB R α=，2cos sin 3AD OM ON R R αα=-=-，因为0AD >，所以30tan 32α<<<0,3πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭； 2221622sin cos sin ,033,33S AB AD AB AD R ααπαα=⨯⨯+⨯⨯=-⎛⎫⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（2）22162sin cos sin 33S R ααα⎛⎫ ⎪⎝-⎭=， 22162sin cos sin 33R ααα=-⎛⎫ ⎪⎝⎭，2822sin 2cos 2333R αα=+-⎛⎫ ⎪⎝⎭， ()2281316sin 292tan 39,R R αϕϕ=+-=， 因为0,3πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以22,3παϕϕϕ⎛⎫+∈+ ⎪⎝⎭， 所以22παϕ+=，即12arctan 423πα=-时，S 取得最大值2max 81316S R ⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭. 【点睛】本题主要考查三角函数的平面几何中的应用，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题.20.设双曲线222:1x C y a-=的左顶点为D ，且以点D 为圆心的圆()()222:20D x y r r ++=>与双曲线C 分别相交于点A 、B ，如图所示.（1）求双曲线C 的方程；（2）求DA DB ⋅的最小值，并求出此时圆D 的方程；（3）设点P 为双曲线C 上异于点A 、B 的任意一点，且直线PA 、PB 分别与x 轴相交于点M 、N ，求证：||||OM ON ⋅为定值（其中O 为坐标原点）.【答案】（1）2214x y -=；（2）13-，()221291x y ++=；（3）4. 【解析】 【分析】（1）由圆心为()2,0-，为双曲线的左顶点，解得2a =，得到双曲线C 的方程.（2）设()()11111,,,,0A x y B x y y ->，利用数量积运算得到2111345,24DA DB x x x ⋅=++<-，再利用二次函数的性质求解.（3）设()00,P x y ，得到直线PA 的方程为：()011101y y y y x x x x --=--，令0y =，得100101M x y x y x y y -=-，同理100101N x y x y x y y +=+，然后代入||||OM ON ⋅求解.【详解】（1）因为圆()()222:20D x y r r ++=>的圆心为()2,0-，且为左顶点， 所以2a =，所以双曲线C 的方程2214x y -=.（2）设()()11111,,,,0A x y B x y y ->， 因为点A 在双曲线上，所以221114x y =-，所以()()2111111132,2,45,24DA DB x y x y x x x ⋅=+⋅+-=++<-， 所以当183x =-，DA DB ⋅取得最小值13-，此时1y =，又点A 在圆上，所以2287112399r ⎛⎫-++=⎪⎝⎭=，所以圆D 的方程()221291x y ++=. （3）设()00,P x y ，则直线PA 的方程为：()011101y y y y x x x x --=--，令0y =，得100101M x y x y x y y -=-，同理100101N x y x y x y y +=+，又点A ，P 在双曲线上，所以()()222200114,411x y x y =+=+，所以()()()()2222222210100122222201001111004411||||444y y x y x y OM ON y y y y y y y y y y ---++⋅====---，所以||||OM ON ⋅为定值.【点睛】本题主要考查双曲线的方程和几何性质，圆的方程以及定值等问题，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于难题.21.已知项数为*,(2)m m m ∈≥N 的数列{}n a 满足条件：①()*1,2,,n a n m ∈=N ；②12n a a a <<<；若数列{}n b 满足()12* (1,2,,)1n n m a a a a b n m m +++-=∈=-N ，则称{}n b 为数列{}n a 的“关联数列.（1）数列1，5，9，13，17是否存在“关联数列”？若存在，写出其“关联数列”，若不存在，请说明理由；（2）若数列{}n a 存在“关联数列”{}n b ，证明：()111,2,,1n n a a m n m +-≥-=-；（3）已知数列{}n a 存在“关联数列”{}n b ，且11a =，2049m a =，求数列{}n a 项数m 的最小值与最大值.【答案】（1）存在关联数列：11，10，9，8，7，理由见详解；（2）证明见详解；（3）m 的最小值与最大值分别为2和33.【解析】【分析】（1）根据“关联数列”定义求解判断. （2）根据“关联数列”定义结合数列的单调性讨论即可.（3）根据数列{}n a 和求“关联数列”{}n b 的项的特征结合单调性分析出()212048m -≤，根据11204811m m a a b b N m m *--=∈--=求解. 【详解】（1）因为***12345145545911,10,9515151b N b N b N ---==∈==∈==∈---， **45451345178,7,5151b N b N --==∈==∈-- 所以数列1，5，9，13，17存在“关联数列”11，10，9，8，7. （2）因为数列{}n a 存在“关联数列”{}n b ，所以12n a a a <<<， 所以1101n n n n a a b b m ++--=<-， 所以{}n b 为递减数列，又因为n b N *∈，所以111n n n n a a b b N m *++--=-∈， 所以111n n a a m +-≥-， 所以()111,2,,1n n a a m n m +-≥-=-；（3）因为数列{}n a 存在“关联数列”{}n b ，所以任意1i j m ≤<≤，1j i i j a a b b m --=-， 因为12,...m i b b b b N *∈>>>，所以i j b N b *-∈， 11204811m m a a b b N m m *--=∈--=， 由（2）知11n n a a m +-≥-，又()1213212...1m m m a a a a a a m a a -=++-+≥----，所以()212048m -≤，解得46m ≤，因为20481N m *∈-， 所以233m ≤≤，所以m 的最小值与最大值分别为2和33.【点睛】本题主要考查数列新定义相关问题，还考查了运算求解的能力，属于难题.。