相似三角形的判定2_课件ppt(华师大版九年级上)
若用皮尺测得：BC=40米， CD=20米，DE=60米，你能计算 E 出电线杆A与大树B之间的距离 吗？
AB BC AC = = , 1.如图已知, AD DE AE 试说明
∠BAD=∠CAE.
解
AB BC AC = = AD DE AE
A
E C
D ∴Δ ABC∽Δ ADE B ∴∠BAC=∠DAE ∴∠BAC━∠DAC=∠DAE━∠DAC 即∠BAD=∠CAE
B E
活动一：利用刻度尺和量角器画两个三角形，使
A
C
D
F
三角形相似的判定方法2：
两边对应成比例且夹角相等的两个 三角形相似
A E F C D
在△
∵
ABC与△DEF中
B
∠B=∠E，
AB DE
∴
=
BC EF
△ ABC∽ △ DEF (两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似)
上述判定方法中的“角”一定只能是两
2如图，AB•AE=AD•AC，且∠1=∠2， 求证：△ABC∽△AED．
A 1 D B 2 E C
3.已知：如图，P为△ABC中线AD上 2 的一点，且 BD = PD AD 求证：△ADC∽△CDP．
A P B D C
习题24.3
4． 依据下列各组条件，判断△ABC和△A′B′C′是不是相似， 如果相似，请给出证明过程． （1） ∠A＝70°，∠B＝46°，∠A′＝70°，∠C′＝64°； （2） AB＝10厘米，BC＝12厘米，AC＝15厘米，A′B′＝150 厘米，B′C′＝180厘米，A′C′＝225厘米； （3） ∠B=35°，BC=10，BC上的高AD=7，∠B′=35°， B′C′=5，B′C′上的高A′D′=3．5．
类比的方法应在经验科学 中占很高的地位，而且科 学家也曾按照这种推论方 法获得很重要的结果。
——黑格尔 （1770—1831）德国著名哲学家
一、复习提问
问题:我们已经有哪些判别两三角形相似的方法？
（1）相似三角形的定义
（2）两角对应相等的两个三角形相似。
练习：
1.如图，在△ABC中， DG∥EH∥FI∥BC， △ADG∽△AEH∽△
E
1 3 △ADE与△ABC相似．此 1 时 AD =__________． 3 AB
方法？判断三角形 相似是否有类似的 在AC上移动，可以发现当 方法呢？时， AE＝________AC
图 24.3.6
如果一个三角形的两条边与另一个三角形 它们的两条对应边成比例，并且夹角相等．量一量 的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这 第三条对应边的长，计算它们的比与前两条对应边 两个三角形相似． ( 简单的说成：两边对应成比例且 的比是否相等．另两个角是否对应相等？你能得出 什么结论？ 夹角 相等的两个三角形相似 )
∴ △ACD∽△ABC （两边对应成比例且夹 角相等的两个三角形相 似）．
B
3.如果AF×AC=AE×AB,那么相似三角形有 （ ）组，分别是————————————
A
AF AE AF AB = AE AC 或者 AB = AC
E
F D
B
C
4、下面图中的两个三角形是否相似？ 请说说你的理由：
如果两个三角形 的三条边对应成 比例，那么这两 个三角形相似吗？ 感觉上应该是能 “相似”了．
∴ △AEB∽△FEC （如果一个三角形的两 依据下列各组条件，证明△ABC和△A′B′C′ 相似 条边与另一个三角形的 两条边对应成比例，并 ∠A＝40°，AB＝8，AC＝15，∠A′＝ 且夹角相等，那么这两 40°，A′B′＝16，A′C′＝30． 个三角形相似）．
1、已知,如图所示，D是△ABC的边AB上的一点，根据下列条 件，可证明△ABC∽△ACD的是（ C ） A. AC·AB=CA·CD C. AC2=AB·AD
证明
AB 6 1 ∵ A′ B′ ＝18 ＝ 3
BC 8 1 ， B′C′ ＝ 24 ＝ 3 AC 10 1 ＝3 依据下列各组条件，证明△ ABC 和△A′B′C′相似 A′ C′ ＝ 30
∴
AB＝10cm，BC 8cm ，AC ＝ 16cm,A′B′ ＝16cm， ∴ ＝△ ABC ∽△ A′B′C′ （如果一个三角 B′C′＝25.6cm， A′C′ =12.8cm 形的三条边和另一个三角形的三条边 对应成比例，那么这两个三角形相 似）．
AB BC AC A′ B′ ＝ B′C′ ＝ A′ C′
生活中的三角形
如图，AB是斜靠在墙上的长梯，梯脚B距墙1.6 米，梯子上一点D距离墙1.4米，BD长为0.55米， 则梯子的长为——————
A
D B
E
C
学以致用
北
A
B
C
D
如图：一条河流，在河流 的北岸点A处有一根高压电 线杆。河流的南岸点B处有 一颗大树。且电线杆在大树 的正北方向上。在大树的正 东方的点C处有一雕像，你 能利用本节课学习的知识大 致测算出电线杆A与大树B之 间的距离吗？
△AＤＥ
△ＧＦＣ △ＧＯＥ
B D O
G E C
F
3、如图，E是平行 四边形ABCD的边BC 的延长线上一点， 连接AE交CD于F,则 图中共有相似三角 形_______对
3
A F B C
D
E
二、探索新知
观察图24．3．6，如果有一点E在边AC上，那么 如果一个三角形的两条边 点E 应该在什么位置才能使△ADE与△ABC相似呢？ 与另一个三角形的两条边对 图中两个三角形的一组对 应成比例，并且夹角相等， 类比猜想:我们在 应边AD 与AB的长度的比 那么这两个三角形相似吗？ 判断两个三角形全 1 值为 等时，使用了哪些 3 ．将点E由点A开始
AFI∽△ABC
（1）请找出图中所有的相似三角形；
（2）如果AD=1，DB=3，那么DG： A BC=_____ 1：4。
D E
F
B
G H I C
2.如图，△ABC 中，DE∥BC， GF∥AB，DE、ＧＦ交于点Ｏ，则 图中与△ABC相似的三角形共有多 少个?请你写出来.
解： 与△ABC相似的三角形有3个:A
对应边的夹角吗？
我爱思考
想一想：在上述问题中如果这个角 是这两条边中其中一条边的对角呢,两个 三角形还一定相似吗？
两边对应成比例且一边的对角 对应相等的两三角形不一定相似 A
4
50°
3.2 C
3.2 G E
2
50°
D 1.6 F
B
例3 证明图24．3．7中 △AEB和△FEC相似．
，
AE 54 证明 ∵ FE ＝ 36 ＝1.5 BE 45 CE ＝ 30 ＝1.5 ∴ AE BE FE ＝ CE ∵ ∠AEB＝∠FEC，
A
B. D.
BC·AD=CD·AC CD2=AD·BD
BC· AD=CD· AC AC2=AB· ADຫໍສະໝຸດ DCD2=AD· BD
B
C
答： △ACD∽△ABC 2、如图，D在△ABC 的AB边上AD=1,BD=2, 证明: ∵AD=1 AC= 3 AC= 3 .问：△ACD AD = 1 = 3 AC 3 = 与△ABC相似吗？为什 AC 3 3 AB 3 么？ A ∴ AD = AC ∠A=∠A AC AB D C
三角形相似的判定方法3：
三边对应成比例的两个三角形相似
C' C B A' B' A
如图,在△ ABC与△ A′B′C′中,
∵ ∴
AB A′ B′
=
AC A′ C′
=
BC B′C′ .
△ ABC∽ △ A′B′C′
(三边对应成比例的两个三角形相似.)
例4
在△ABC和△A′B′C′中，已知： AB＝6cm，BC＝ 8cm，AC＝10cm，A′B′＝18cm，B′C′＝24cm，A′C′＝ 30cm．试证明△ABC与△A′B′C′相似．
4 E 4
活动二：在图24．3．8的方格上任画一个三角
形，再画出第二个三角形，使它的三边长都是原来 三角形的三边长的相同倍数．画完之后，用量角器 比较两个三角形的对应角，你发现了什么结论？大 我们可以发现这两个 家的结论都一样吗？ 三角形相似． 如果一个三角形的三条边和另一个三角形的 三条边对应成比例，那么这两个三角形 似．（简单的说成：三边对应成比例的两个三 角形相似)
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23.相似三角形PPT课件(华师大版)
2、作用：本定理是类似三角形判定定理的预备定理： 它通过平行证三角形类似，再由类似证对应角相等、 对应边成比例．
例2 如图，在△ABC中，点D是边AB的三等分点， DE∥BC，DE＝5.求BC的长．
解：∵DE∥BC， ∴△ADE∽△ABC(平行于三角形 一边的直线，和其他两边相交所 构成的三角形和原三角形类似)， ∴ DE AD 1 ， BC AB 3 ∴BC＝3DE＝15.
23.3 类似三角形
类似三角形
类似三角形及相关概念 平行线判定两三角形类似
复
习提问Fra bibliotek1、平行线分线段成比例定理及其推论是什么？ 2、什么是类似图形？类似多边形？
知识点 1 类似三角形及相关概念
1. 定义：如果两个三角形中，各角对应相等，各边对应成 比例，那么这两个三角形类似． 数学表达式：如图下图，在△ABC和△A′B′C′中，
总结
利用证三角形类似求线段的长的方法：当三角形 被平行线所截形成“A”型或“X”型的图形，并且所 求的线段或已知线段在平行的边上，通常考虑通过 证三角形类似，再利用类似三角形的对应边成比例 构建包含已知与未知线段的比例式，即可求出线段 的长．
1 如图，点P是平行四边形ABCD的边AB上一点， 射线CP交DA的延长线于点E，则图中类似的三 角形有( ) A．0对 B．1对 C．2对 D．3对
2 在△ABC中，DE∥BC，AE∶EC＝2∶3，DE
＝4，则BC等于( )
A．10
B．8
C．9
D．6
利用平行线证比例式或等积式的方法：当比例式或 等积式中的线段不在平行线上时，可直接利用平行线分 线段成比例定理证明；当比例式或等积式中的线段有的 在平行线上时，可直接利用平行线截三角形类似的对应 边成比例证明；当比例式或等积式中的线段不是对应线 段时，利用转化思想，用等线段、等比例、等积替换进 行论证．
相似三角形的性质PPT课件(华师大版)
C′
结论：类似三角形对应角的 角平分线的比等于类似比.
归纳
类似三角形的性质
1、类似三角形对应边成比___例_,对应角_相__等___.
2、类似三角形对应边上的高、对应边上的中线、
对应角平分线的比都等于类__似__比____. 3、类似三角形周长的比等于_类__似__比___，
类似三角形面积的比等于类__似___比__的__平__方___.
猜想：类似三角形面积的比等于类似比的平方.
已知△ABC∽△ A，BC且 类似比为k， AD、
分别A是D△ ABC、△ 对应边ABBC、 上的高B，C
求证：
S ABC k 2
SABC
A
证明：∵△ABC∽△ABC
∴ AD k, BC k
AD BC
B
∴
SABC SABC
1 AD• BC 2 1 AD • BC
k2
2
B'
D
C
A'
D' C'
探究3
∽
相似比为1
2
B
对应中线的比
AD AD ___________
B′
A
填一填
C A′
C′
探究3 ∽
相似比为1 2
对应角平分线的比 B
AD AD ___________
A 填一填
C A′A′
B′B′
C′C′
Байду номын сангаас
探究3
类似结论
如图, ABC∽ ABC,相似比为k,
探究1
∽
相似比为1
2
B
对应高的比
AD AD ___________
B′
23.相似三角形的判定第2课时相似三角形的判定PPT课件(华师大版)
=
20°，
求∠CAE 的大小.
A
解： AB BC AC ，
AD DE AE
E
∴ △ABC ∽ △ADE.
D
∴ ∠BAC =∠DAE.
B
C
又∠DAC 是公共角，
∴ ∠CAE = ∠BAD = 20°.
课堂小结
类似三角形的判定定理2 两边成比例且夹角相 等的两个三角形类似.
类似三角形的判定定理3 三边成比例的两个 三角形类似.
类似三角形的判定定理2、3的推导过程，掌握 类似三角形的判定定理2、3并能灵活应用.
• 学习难点：
类似三角形的判定定理的推导及应用.
新课导入
现在要判断两个三角形类似有哪几种方法？ 有两种方法：（1）根据定义；（2）两角分 别相等的两个三角形类似.
探索
视察教材图23.3.10，如果
C
有一点 E 在边 AC上移动，那么 B
∴ △ADE ≌ △A1B1C1.
∴ △ABC ∽ △A1B1C1.
类似三角形的判定定理2 两边成比例且 夹角相等的两个三角形类似.
例4 证明图中△AEB 和 △FEC 类似.
证明
AE = 54 = 1.5， B FE 36
BE = 45 = 1.5，
45
CE 30
AE = BE .
FE CE
谢谢欣赏
第2课时 类似三角形的判定（2）
华东师大版 九年级数学上册 上课课件
• 学习目标：
1. 掌握类似三角形的判定定理2：两边成比例且 夹角相等的两个三角形类似；
2. 掌握类似三角形的判定定理3：三边成比例的 两个三角形类似.
3. 能根据条件，灵活应用类似三角形的判定定 理，正确判断两个三角形类似.
23.3.2 相似三角形的判定——利用角的关系 华师大版数学九年级上册课件
数学表达式∴：△在A△BCA∽BC△与A1△B1AC′1B.′C′中，∵∠A＝∠A′， ∠B＝∠B′，∴△ABC∽△A′B′C′.
（来自教材）
知1－导
2、常见的相似三角形类型： (1) 平行线型：如图(1)，若DE∥BC，则，△ADE∽△ABC. (2) 相交线型：如图(2)，若∠AED＝∠B，则△AED∽△ABC. (3)“子母”型：如图 (3)，若∠ACD＝∠B，则△ACD∽△ABC.
我们在判断两个三角 形全等时，使用了哪 些方法？判定三角形 相似是否有类似的方
法？
知1－导
让我们先从最常见的三角尺开始. 观察你和同伴的直角三角尺，同样角度（30°与 60°，或45°与45°)的三角尺看起来是相似的.这样 从直观来看，一个三角形的三个角分别与另一个三角 形的三个角对应相等时，它们就“应该”相似了.确实 是这样吗？
知1－导
知识点 1 用两角对应相等判定两三角形相似
回顾
你还记得八年级上学期学习全等三角形的判定时，曾就
边与角分类考察的几种不同情况吗？它们是:两边一角，两角
一边，三角，三边.从这几种情况出发，我们得到了一些重要
的判定三角形全等的方法. 那么，对于相似三角形的判定，是否
也存在类似的分 类与判定方法呢？
知识点 2 判定两直角三角形相似
知2－讲
【例2】 如图23.3.8，在Rt△ABC和Rt△A ′ B ′ C ′中， ∠C
与 ∠C ′都是直角， ∠ A = ∠ A ′ .
求证： △ABC ∽ △A ′ B ′ C ′.
证明：∵ ∠C= ∠C ′=90°. ∠A=∠A′，
∴△ABC ∽ △A ′ B ′ C ′ （两角分别相等的两个三角
∠3＝∠B＋∠1，∠FAD＝∠4＋∠2，根据已知条件可 得到∠3＝∠FAD，∠1＝∠2，从而得到∠B＝∠4，可 得△ABF∽△CAF.
（来自教材）
知1－导
2、常见的相似三角形类型： (1) 平行线型：如图(1)，若DE∥BC，则，△ADE∽△ABC. (2) 相交线型：如图(2)，若∠AED＝∠B，则△AED∽△ABC. (3)“子母”型：如图 (3)，若∠ACD＝∠B，则△ACD∽△ABC.
我们在判断两个三角 形全等时，使用了哪 些方法？判定三角形 相似是否有类似的方
法？
知1－导
让我们先从最常见的三角尺开始. 观察你和同伴的直角三角尺，同样角度（30°与 60°，或45°与45°)的三角尺看起来是相似的.这样 从直观来看，一个三角形的三个角分别与另一个三角 形的三个角对应相等时，它们就“应该”相似了.确实 是这样吗？
知1－导
知识点 1 用两角对应相等判定两三角形相似
回顾
你还记得八年级上学期学习全等三角形的判定时，曾就
边与角分类考察的几种不同情况吗？它们是:两边一角，两角
一边，三角，三边.从这几种情况出发，我们得到了一些重要
的判定三角形全等的方法. 那么，对于相似三角形的判定，是否
也存在类似的分 类与判定方法呢？
知识点 2 判定两直角三角形相似
知2－讲
【例2】 如图23.3.8，在Rt△ABC和Rt△A ′ B ′ C ′中， ∠C
与 ∠C ′都是直角， ∠ A = ∠ A ′ .
求证： △ABC ∽ △A ′ B ′ C ′.
证明：∵ ∠C= ∠C ′=90°. ∠A=∠A′，
∴△ABC ∽ △A ′ B ′ C ′ （两角分别相等的两个三角
∠3＝∠B＋∠1，∠FAD＝∠4＋∠2，根据已知条件可 得到∠3＝∠FAD，∠1＝∠2，从而得到∠B＝∠4，可 得△ABF∽△CAF.
华东师大版九年级数学上册课件：23.3.3相似三角形的判定(2)(共15张PPT)
A' B' A'C'
求证:△ABC∽△A'B'C'
A'
A
B
2020/8/8
D C
B'
E
C'
6
发现·探索
证明:在线段A'B'上截取
A
A'D=AB,过点D作DE//B'C',交
A'C'于点E,
A'
∴△A’DE∽△A’B’C’
B
C
A' D DE A' E A' B' B'C' A'C'
又
AB A' B'
两个三角形相似 )
B
AE
D
∵ ∠B=∠E，
F
AB DE
=
BC EF
C
∴ △ ABC∽ △ DEF
(两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似)
2020/8/8
8
示范·点拨
例1、求证：下图中的△AEB和△FEC相似．
图 23.3.12
2020/8/8
9
尝试·应用
下列每个图形中，是否存在相似三角形？若存在，
类比的方法应在经验科学中占很 高的地位，而且科学家也曾按照这种 推论方法获得很重要的结果。
——黑格尔
（1770—1831）德国著名哲学家
2020/8/8
1
温故知新
问题1:相似三角形的有关概念
(1). 三个角对应_相__等__ 、三条边对应_成__比__例__的两个 三角形叫做相似三角形
(2).相似三角形的对应角 _相__等__,对应边__成__比__例__ .
相似三角形的判定2_课件ppt(华师大版九年级上)
∴ △AEB∽△FEC （如果一个三角形的两 依据下列各组条件，证明△ABC和△A′B′C′相似 条边与另一个三角形的 两条边对应成比例，并 ∠A＝40°，AB＝8，AC＝15，∠A′＝ 且夹角相等，那么这两 40°，A′B′＝16，A′C′＝30． 个三角形相似）．
答： △ACD∽△ABC 2、如图，D在△ABC 的AB边上AD=1,BD=2, 证明: ∵AD=1 AC= 3 AC= 3 .问：△ACD AD = 1 = 3 AC 3 = 与△ABC相似吗？为什 AC 3 3 AB 3 么？ A ∴ AD = AC ∠A=∠A AC AB D C
∴ △ACD∽△ABC （两边对应成比例且夹 角相等，两三角形相 似）．
B
3.如果AF×AC=AE×AB,那么相似三角形有 （ ）组，分别是————————————
A
AF AE AF AB = AC 或者 AB = AC AE
E
F D
B
C
4、下面图中的两个三角形是否相似？ 请说说你的理由：
如果两个三角形 的三条边对应成 比例，那么这两 个三角形相似吗？ 感觉上应该是能 “相似”了．
E
1 3 △ADE与△ABC相似．此 1 时 AD 3 AB =__________．
方法？判断三角形 相似是否有类似的 在AC上移动，可以发现当 方法呢？ AE＝________AC时，
图 24.3.6
如果一个三角形的两条边与另一个三角形 它们的两条对应边成比例，并且夹角相等．量一量 的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这 第三条对应边的长，计算它们的比与前两条对应边 两个三角形相似．( 简单的说成：两边对应成比例且 的比是否相等．另两个角是否对应相等？你能得出 什么结论？ 夹角相等，两三角形相似 )
2.相似三角形的判定2PPT课件(华师大版)
•
∴△AEB∽△FEC(两边成比例，且夹角相等的两个三角形类似)
类似三角形的判定定理2：三边对应成比例的 两个三角形类似。
• 例2：在△ABC和△A'B'C'中，AB=6cm，BC=8cm， AC=10cm，A'B'=18cm，B'C'=24cm，A'C'=30cm，试证明 △ABC和△A'B'C'类似。
那么，除此之外，是否还有其他的办法来判定两个 三角形类似呢？
探索新知
类似三角形的判定定理1：两边成比例，且夹 角相等的两个三角形类似。
例1：证明图中的△AEB和△FEC类似。
• 证明：∵AE 54 1.5, BE 45 1.5,
FE 36 CE 30
•
∴AE BE,
FE CE
•
•
∵∠AEB=∠FEC
第23章 图形的类似
23.3.2 类似三角形的判定
23.3.2.2 利用两边成比例且夹角相等 或三边成比例判定
复习导入
如图，AF∥CD，∠1=∠2，∠B=∠D。你能找出 图中有几对类似三角形？类似的理由是什么。
答：共有4对类似三角形，它们是 △AEF∽△DEC,△AFB∽△ACD, △AEB∽△CED,△AEF∽△BEA. 类似的理由一种是定义，一种是判 定定理1.
归纳小结
类似三角形4种判定方法的综合应用。
• （1）先看题中是否有平行条件，如果有平行，就去找“A” 型
•
或“X”型类似。
• （2）找是否有两角对应相等。
• （3）若没有一组角对应相等，就看三边是否对应成比例。
• （4）辨认掌握常见的基本图形是寻找和发现类似的有效途 径。