2018-2019学年河南省洛阳市高二(下)期末数学试卷(理科)
2018-2019学年河南省洛阳市高二（下）期末数学试卷（理科）一、选择题：本题共12个小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知复数z满z+zi＝2﹣i（i为虚数单位），则|z|＝（）A．B．2C．D．12．（5分）下列判断正确的是（）A．两圆锥曲线的离心率分别为e1，e2，则“e1e2＜1”是“两圆锥曲线均为椭圆”的充要条件B．命题“若x2＝1，则x＝1．”的否命题为“若x2＝1，则x≠1．”C．若命题“p∧q”为假命题，则命题“p∨q”是假命题D．命题“?x∈R，2x≥x2”的否定是“．”3．（5分）设x，y，z均为正实数，a＝x+，b＝y+，c＝z+，则a，b，c三个数（）A．至少有一个不小于2B．都小于2C．至少有一个不大于2D．都大于24．（5分）我国明代珠算家程大位的名著《直指算法统宗》中有如下问题今有白米一百八十石，令三人从上及和减率分之，只云甲多丙米三十六石，问：各该若干？”其意思为：“今有白米一百八十石，甲、乙、丙三人来分，他们分得的白米数构成等差数列，只知道甲比丙多分三十六石，那么三人各分得多少白米？”请问甲应该分得白米为（）A．96石B．78石C．60石D．42石5．（5分）有下列说法：①若某商品的销售量5（件）关于销售价格x（元/件）的线性回归方程为y，当销售价格为10元时，销售量一定为300件；②线性回归直线：﹣定过样本点中心（）；③若两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数r的值越接近于1；④在残差图中，残差点比较均匀落在水平的带状区域中即可说明选用的模型比较合适，与带状区域的宽度无关；⑤在线性回归模型中，相关指数R2表示解释变量对于预报变量变化的贡献率，R2越接近于1，表示回归的效果越好；其中正确的结论有几个（）A．1B．2C．3D．46．（5分）在洛阳市高二下学期期中考试中，理科学生的数学成绩X﹣N（90，σ2），已知P （70＜X≤90）＝0.35，则从全市理科生中任选一名学生，他的数学成绩小于110分的概率为（）A．0.85B．0.70C．0.50D．0.157．（5分）已知实数x，y满足，则的最大值为（）A．5B．4C．D．8．（5分）已知双曲线（m＞0，n＞0）和椭圆有相同的焦点，则的最小值为（）A．2B．4C．6D．99．（5分）设，则二项式展开式的所有项系数和为（）A．1B．32C．243D．102410．（5分）将5名教师分配到甲、乙、丙三所学校任教，其中甲校至少分配两名教师，其它两所学校至少分配一名教师，则不同的分配方案共有几种（）A．60B．80C．150．D．36011．（5分）过抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点F作倾斜角为的直线交抛物线于A，B两点，若，则实数p的值为（）A．B．1C．D．212．（5分）若函数f（x）＝6xe x﹣2ax3﹣3ax2存在三个极值点，则a的取值范围为（）A．（0，e）B．（0，）C．（e，+∞）D．（，+∞）二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．13．（5分）1999年10月1日，在中华人民共和国建国50周年之际，中国人民银行陆续发行了第五套人民币（1999年版），第五套人民币纸币共有1元、5元、10元、20元、50元、100元6种面额，现有这6种面额纸币各一张，一共可以组成种币值．（用数字作答）14．（5分）设随机变量ξ﹣B（2，p），η﹣B（4，p），若，则P（η≥3）＝．15．（5分）已知曲线在x＝1处的切线与直线：x+3y+1＝0垂直，则实数a 的值为．16．（5分）已知F是椭圆（a＞b＞0）的右焦点，A是椭圆短轴的一个端点，直线AF与椭圆另一交点为B，且，则椭圆的离心率为三、解答题：本大题共6个小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知△ABC三内角A，B，C的对边分别为a，b，c，点D为BC边的中点，acosB ＝﹣（b+2c）cosA，AD＝1．（1）求A；（2）求△ABC面积的最大值．18．（12分）设S n为正项数列{a n}的前n项和，且满足a n2+2a n＝4S n+3．（1）求{a n}的通项公式；（2）令b n＝，若T n＜m恒成立，求m的取值范围．19．（12分）“微信运动”是手机APP推出的多款健康运动软件中的一款，某学校140名老师均在微信好友群中参与了“微信运动”，对运动10000步或以上的老师授予“运动达人”称号，低于10000步称为“参与者”，为了解老师们运动情况，选取了老师们在4月28日的运动数据进行分析，统计结果如下：运动达人参与者合计男教师602080女教师402060合计10040140（1）根据上表说明，能否在犯错误概率不超过0.05的前提下认为获得“运动达人”称号与性别有关？（2）从具有“运动达人号的教师中，采用按性别分层抽样的方法选取10人参加全国第四届“万步有约”全国健走激励大赛某赛区的活动，若从选取的10人中随机抽取3人作为代表参加开幕式，设抽取的3人中女教师人数为X，写出X的分布列并求出数学期望E（X）．参考公式：K2＝，其中n＝a+b+c+d．参考数据：P（K 2≥k）0.0500.0100.001 k 3.841 6.63510.82820．（12分）已知菱形ABCD的对角线AC，BD交于点0，AB＝4，∠BAD＝120°，将△ACD 沿AC折起，使点D到达点P位置，满足△OPB为等边三角形．（1）求证：AC⊥PB；（2）求二面角P﹣BC﹣A的余弦值．21．（12分）过抛物线C：x2＝2py（p＞0）的焦点F做直线l交抛物线于A，B两点，|AB|的最小值为2．（1）求抛物线C的标准方程；（2）过A，B分别做抛物线C的切线，两切线交于点E，且直线AE，BE分别与x轴交于点P，Q，记△EPQ和△0AB的面积分别为S△EPQ和S△OAB，求证为定值．22．（12分）已知函数f（x）＝x2+2ax+2lnx（a∈R）．（1）若f（x）是单调函数，求a的取值范围；（2）若f（x）存在两个极值点x1，x2，且x2≥e，求|f（x1）﹣f（x2）|的最小值．2018-2019学年河南省洛阳市高二（下）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12个小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知复数z满z+zi＝2﹣i（i为虚数单位），则|z|＝（）A．B．2C．D．1【分析】根据复数模长的定义与运算性质，计算即可．【解答】解：复数z满z+zi＝2﹣i（i为虚数单位），则z＝，所以|z|＝＝＝＝．故选：C．【点评】本题考查了复数的模长计算问题，是基础题．2．（5分）下列判断正确的是（）A．两圆锥曲线的离心率分别为e1，e2，则“e1e2＜1”是“两圆锥曲线均为椭圆”的充要条件B．命题“若x2＝1，则x＝1．”的否命题为“若x2＝1，则x≠1．”C．若命题“p∧q”为假命题，则命题“p∨q”是假命题D．命题“?x∈R，2x≥x2”的否定是“．”【分析】由椭圆的离心率的范围，以及充分必要条件的定义，可判断A；由否命题的定义，既对条件否定也对结论否定，可判断B；由复合命题的真假判断C；由全称命题的否定为存在性命题，可判断D．【解答】解：两圆锥曲线的离心率分别为e1，e2，由椭圆的离心率介于（0，1），可得“两圆锥曲线均为椭圆”可得“e1e2＜1”，反之不成立，故A错误；命题“若x2＝1，则x＝1．”的否命题为“若x2≠1，则x≠1”，故B错误；若命题“p∧q”为假命题，p，q中至少有一个为假命题，则命题“p∨q”可真可假，故C错误；命题“?x∈R，2x≥x2”的否定是“．”故D正确．故选：D．【点评】本题考查命题的否定和否命题的区别，充分必要条件的判断和复合命题的真假，考查转化思想和判断能力，属于基础题．3．（5分）设x，y，z均为正实数，a＝x+，b＝y+，c＝z+，则a，b，c三个数（）A．至少有一个不小于2B．都小于2C．至少有一个不大于2D．都大于2【分析】根据基本不等式，利用反证法思想，可以确定x+，y+至少有一个不小于2，从而可以得结论．【解答】解：由题意，∵x，y均为正实数，∴x++y+≥4，当且仅当x＝y时，取“＝”号若x+＜2，y+＜2，则结论不成立，∴x+，y+至少有一个不小于2∴a，b，c至少有一个不小于2故选：A．【点评】本题的考点是不等式的大小比较，考查基本不等式的运用，考查了反证法思想，难度不大4．（5分）我国明代珠算家程大位的名著《直指算法统宗》中有如下问题今有白米一百八十石，令三人从上及和减率分之，只云甲多丙米三十六石，问：各该若干？”其意思为：“今有白米一百八十石，甲、乙、丙三人来分，他们分得的白米数构成等差数列，只知道甲比丙多分三十六石，那么三人各分得多少白米？”请问甲应该分得白米为（）A．96石B．78石C．60石D．42石【分析】设甲乙丙分得的米重量分别为a1，a2，a3，则a1+a2+a3＝180，且a1﹣a3＝36，解得a2＝60，d＝﹣18，所以a1可求，【解答】解：依题意，设甲乙丙分得的米重量分别为a1，a2，a3，则a1+a2+a3＝3a2＝180，且a1﹣a3＝﹣2d＝36，解得a2＝60，d＝﹣18，所以a1＝a2﹣d＝60+18＝78，故选：B．【点评】本题考查了等差数列的前n项和，等差数列的通项公式，等差数列的性质，属于基础题．5．（5分）有下列说法：①若某商品的销售量5（件）关于销售价格x（元/件）的线性回归方程为y，当销售价格为10元时，销售量一定为300件；②线性回归直线：﹣定过样本点中心（）；③若两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数r的值越接近于1；④在残差图中，残差点比较均匀落在水平的带状区域中即可说明选用的模型比较合适，与带状区域的宽度无关；⑤在线性回归模型中，相关指数R2表示解释变量对于预报变量变化的贡献率，R2越接近于1，表示回归的效果越好；其中正确的结论有几个（）A．1B．2C．3D．4【分析】利用线性回归方程的特点及两个变量的相关性与相关系数的关系逐一核对5个命题得答案．【解答】解：对于①，线性回归方程为，当销售价格为10元时，销售量近似为300件，故①错误；对于②，线性回归直线：﹣定过样本点中心（），故②正确；对于③，若两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数r的绝对值越接近于1，故③错误；对于④，与带状区域的宽度有关，带状区域越窄，说明回归方程的预报精确度越高，故④错误；对于⑤，R2越接近于1，表示回归的效果越好，故⑤正确．∴正确的结论有2个．故选：B．【点评】本题考查统计基本知识，主要考查了线性回归方程及两个变量的相关性，属于基础题．6．（5分）在洛阳市高二下学期期中考试中，理科学生的数学成绩X﹣N（90，σ2），已知P（70＜X≤90）＝0.35，则从全市理科生中任选一名学生，他的数学成绩小于110分的概率为（）A．0.85B．0.70C．0.50D．0.15【分析】由已知可得μ，求出P（90≤X＜1100）＝0.35，得P（X≥110）＝，再由对立事件的概率得答案．【解答】解：∵X﹣N（90，σ2），∴μ＝90，又P（70＜X≤90）＝0.35，∴P（90≤X＜1100）＝0.35，∴P（X≥110）＝，则P（X＜110）＝1﹣0.15＝0.85．∴他的数学成绩小于110分的概率为0.85．故选：A．【点评】本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查正态分布中两个量μ和σ的应用，考查曲线的对称性，属于基础题．7．（5分）已知实数x，y满足，则的最大值为（）A．5B．4C．D．【分析】作出不等式组对应平面区域，利用z的几何意义即可得到结论．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：＝的几何意义为动点到定点D（﹣1，﹣3）的斜率加1，由图象可知当动点位于C时，直线PC的斜率最大，解得C（0，1）此时z＝＝5，故选：A．【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用几何意义，以及直线的斜率公式是解决本题的关键．8．（5分）已知双曲线（m＞0，n＞0）和椭圆有相同的焦点，则的最小值为（）A．2B．4C．6D．9【分析】由题意可得m+n＝1，利用“1”的代换结合基本不等式求最值．【解答】解：椭圆是焦点在x轴上的椭圆，且c2＝5﹣4＝1．∵双曲线（m＞0，n＞0）和椭圆有相同的焦点，∴m+n＝1（m＞0，n＞0），∴＝（）（m+n）＝5+．当且仅当，即m＝，n＝时取等号．∴的最小值为9．故选：D．【点评】本题考查椭圆与双曲线的标准方程，训练了利用基本不等式求最值，是中档题．9．（5分）设，则二项式展开式的所有项系数和为（）A．1B．32C．243D．1024【分析】由定积分、微积分基本定理及二项式展开式的系数得a＝＝﹣cosx＝2，所以二项式（2x+）5展开式中令x＝1可得：二项式（2x+）5展开式的所有项系数和为（2+1）5＝243，得解【解答】解：因为a＝＝﹣cosx＝2，所以二项式（2x+）5展开式中令x＝1可得：二项式（2x+）5展开式的所有项系数和为（2+1）5＝243，故选：C．【点评】本题考查了定积分、微积分基本定理及二项式展开式的系数，属基础题．10．（5分）将5名教师分配到甲、乙、丙三所学校任教，其中甲校至少分配两名教师，其它两所学校至少分配一名教师，则不同的分配方案共有几种（）A．60B．80C．150．D．360【分析】由题意可分若甲校分配3名教师，若甲校分配2名教师，根据分类计数原理可得．【解答】解：若甲校分配3名教师，则乙、丙学校各分配一名，故有C53A22＝20种，若甲校分配2名教师，则乙、丙学校有一个学校也分配2名，故有C52C32A22＝60种，则不同的分配方案共有20+60＝80种，故选：B．【点评】本题考查排列、组合的应用，注意要先分组，再进行排列，属于中档题．11．（5分）过抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点F作倾斜角为的直线交抛物线于A，B两点，若，则实数p的值为（）A．B．1C．D．2【分析】F（，0），直线AB的参数方程为：（t为参数），将其代入y2＝2px，根据参数t的几何意义可得．【解答】解：F（，0），直线AB的参数方程为：（t为参数），将其代入y2＝2px，得t2﹣4pt﹣4p2＝0，设A，B对应的参数为t1，t2，∴t1+t2＝4p，t1t2＝﹣4p2＜0，∴﹣＝﹣＝＝＝＝＝1，∴p＝．故选：C．【点评】本题考查了抛物线的性质，属中档题．12．（5分）若函数f（x）＝6xe x﹣2ax3﹣3ax2存在三个极值点，则a的取值范围为（）A．（0，e）B．（0，）C．（e，+∞）D．（，+∞）【分析】f′（x）＝6（x+1）e x﹣6ax2﹣6ax＝6（x+1）（e x﹣ax）．根据函数f（x）＝6xe x ﹣2ax3﹣3ax2存在三个极值点，可得e x﹣ax＝0必有两个不等于﹣1的不等实数根．化为：＝．令g（x）＝．利用导数研究函数的单调性极值与最值即可得出．【解答】解：f′（x）＝6（x+1）e x﹣6ax2﹣6ax＝6（x+1）（e x﹣ax）．∵函数f（x）＝6xe x﹣2ax3﹣3ax2存在三个极值点，∴e x﹣ax＝0必有两个不等于﹣1的不等实数根．化为：＝．令g（x）＝．g′（x）＝．可得函数g（x）在（﹣∞，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减．∴x＝1时，函数g（x）取得极大值，g（1）＝．∴，解得a＞e．则a的取值范围为（e，+∞）．故选：C．【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、不等式的解法、数形结合方法、等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．13．（5分）1999年10月1日，在中华人民共和国建国50周年之际，中国人民银行陆续发行了第五套人民币（1999年版），第五套人民币纸币共有1元、5元、10元、20元、50元、100元6种面额，现有这6种面额纸币各一张，一共可以组成63种币值．（用数字作答）【分析】由题意分6类，根据分类计数原理可得．【解答】解：第一类，选1种面额，有6种，第二类，选2种面额，有C62＝15种，第三类，选3种面额，有C63＝20种，第四类，选4种面额，有C64＝15种，第五类，选5种面额，有C65＝6种，第六类，选6种面额，有C66＝1种，根据分类计数原理可得6+15+20+15+6+1＝63种，故答案为：63．【点评】本题考查了分类计数原理，属于基础题．14．（5分）设随机变量ξ﹣B（2，p），η﹣B（4，p），若，则P（η≥3）＝．【分析】根据E（ξ）＝np＝求出P＝，然后根据P（η≥3）＝P（η＝3）+P（η＝4）＝C（）3（）1+C（）4可求得．【解答】解：∵E（ξ）＝2p＝，∴p＝，η～B（4，），∴P（η≥3）＝P（η＝3）+P（η＝4）＝C（）3（）1+C（）4＝+＝．故答案为：．【点评】本题考查了二项分布与n次独立重复试验的模型，属基础题．15．（5分）已知曲线在x＝1处的切线与直线：x+3y+1＝0垂直，则实数a 的值为4．【分析】根据题意，求出曲线的导数，进而求出y′|x＝1＝a﹣1，由导数的几何意义以及直线互相垂直的判断方法可得k＝a﹣1＝3，解可得a的值，即可得答案．【解答】解：根据题意，曲线，则y′＝﹣+，则有y′|x＝1＝a﹣1，则曲线在x＝1处的切线的斜率k＝a﹣1，若曲线在x＝1处的切线与直线：x+3y+1＝0垂直，则k＝a﹣1＝3，解可得a＝4；故答案为：4．【点评】本题考查利用导数分析切线的斜率，关键是掌握导数的几何意义，属于基础题．16．（5分）已知F是椭圆（a＞b＞0）的右焦点，A是椭圆短轴的一个端点，直线AF与椭圆另一交点为B，且，则椭圆的离心率为【分析】根据三角形相似求出B点坐标，代入椭圆方程得出a，c的关系即可求出椭圆的离心率．【解答】解：设A为椭圆上顶点，过B作x轴的垂线BD，垂足为D，则＝，∴DF＝OF＝，BD＝OA＝，∴B（，﹣），代入椭圆方程可得：+＝1，∴＝．故答案为：．【点评】本题考查了椭圆的简单性质，属于中档题．三、解答题：本大题共6个小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知△ABC三内角A，B，C的对边分别为a，b，c，点D为BC边的中点，acosB ＝﹣（b+2c）cosA，AD＝1．（1）求A；（2）求△ABC面积的最大值．【分析】（1）根据正弦定理边化角可得；（2）根据向量数量积以及基本不等式，面积公式可得．【解答】解：（1）由acosB＝﹣（b+2c）cosA以及正弦定理可得sinAcosB＝﹣（sinB+2sinC）cosA，得sinAcosB+cosAsinB＝﹣2sinCcosA，得sinC＝﹣2sinCcosA，∵0＜C＜π，∴sinC≠0，∴cosA＝﹣，又0＜A＜π，∴A＝．（2）∵点D为BC边的中点，∴2＝+，∴42＝（+）2＝2+2+2，又AD＝1，∴4＝b2+c2+2bccos＝b2+c2﹣bc≥bc，∴bc≤4，当且仅当b＝c时等号成立．∴S△ABC＝bcsinA＝bc，当且仅当b＝c时等号成立，∴△ABC面积的最大值为．【点评】本题考查了三角形中的几何计算，属中档题．18．（12分）设S n为正项数列{a n}的前n项和，且满足a n2+2a n＝4S n+3．（1）求{a n}的通项公式；（2）令b n＝，若T n＜m恒成立，求m的取值范围．【分析】（1）由已知和数列的性质，可推出此数列为等差数列，利用定义写出通项即可；（2）首先将b n变形成差的形式，T n利用b n这一特点可以消项化简，解不等式的m范围．【解答】解：（1）由题a n2+2a n＝4s n+3，…①令n＝1，得a12+2a1＝4s1+3，解得a1＝3，当n≥2时，a n﹣12+2a n﹣1＝4s n﹣1+3，…②①﹣②得：（a n﹣a n﹣1）（a n﹣a n﹣1﹣2）＝0，∵a n＞0，∴a n﹣a n﹣1﹣2＝0，即a n﹣a n﹣1＝2∴{a n}是以3为首项，2为公差的等差数列，∴a n＝3+2（n﹣1）＝2n+1；（2）b n＝＝，∴T n＝[（）+（）+…+（）]＝（）＝﹣＜，若T n＜m恒成立，则m，∴m的取值范围为[，+∞）．【点评】本题属于一般题型，考察了数列的定义和基本性质，对式子的变形有所考察，总体上属于中档题．19．（12分）“微信运动”是手机APP推出的多款健康运动软件中的一款，某学校140名老师均在微信好友群中参与了“微信运动”，对运动10000步或以上的老师授予“运动达人”称号，低于10000步称为“参与者”，为了解老师们运动情况，选取了老师们在4月28日的运动数据进行分析，统计结果如下：运动达人参与者合计男教师602080女教师402060合计10040140（1）根据上表说明，能否在犯错误概率不超过0.05的前提下认为获得“运动达人”称号与性别有关？（2）从具有“运动达人号的教师中，采用按性别分层抽样的方法选取10人参加全国第四届“万步有约”全国健走激励大赛某赛区的活动，若从选取的10人中随机抽取3人作为代表参加开幕式，设抽取的3人中女教师人数为X，写出X的分布列并求出数学期望E （X）．参考公式：K2＝，其中n＝a+b+c+d．参考数据：P（K2≥k）0.0500.0100.001 k 3.841 6.63510.828【分析】（1）根据列联表数据得到k≈1.167＜3.841，从而不能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为获得“运动达人”称号与性别有关．（2）根据分层抽样方法得选取的10人中，男教师有6人，女教师有4人，由题意得X 的所有可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和E（X）．【解答】解：（1）根据列联表数据得到：k＝≈1.167＜3.841，∴不能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为获得“运动达人”称号与性别有关．（2）根据分层抽样方法得：男教师有（人），女教师有（人），∴选取的10人中，男教师有6人，女教师有4人，由题意得X的所有可能取值为0，1，2，3，P（X＝0）＝＝，P（X＝1）＝＝，P（X＝2）＝＝，P（X＝3）＝＝，∴X的分布列为：X0123PE（X）＝＝．【点评】本题考查独立检验的应用，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法及应用，考查分层抽样、古典概率、排列组合等基础知识，是中档题．20．（12分）已知菱形ABCD的对角线AC，BD交于点0，AB＝4，∠BAD＝120°，将△ACD 沿AC折起，使点D到达点P位置，满足△OPB为等边三角形．（1）求证：AC⊥PB；（2）求二面角P﹣BC﹣A的余弦值．【分析】（1）由AC⊥PO，AC⊥OB，得AC⊥平面POB，由此能证明AC⊥PB．（2）取OB中点M，连结PM，则PM⊥OB，AC⊥面POB，得AC⊥PM，以OC为x轴，OB为y轴，过点O作MP的平行线为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角P﹣BC﹣A的余弦值．【解答】证明：（1）由已知，翻折后AC⊥PO，AC⊥OB，PO∩OB＝O，∴AC ⊥平面POB ，又PB?平面POB ，∴AC ⊥PB ．解：（2）在菱形ABCD 中，AB ＝AD ＝4，∠BAD ＝120°，∴BD ＝4，OB ＝2，取OB 中点M ，连结PM ，则PM ⊥OB ，又AC ⊥面POB ，∴AC ⊥PM ，又AC ∩PO ＝O ，∴PM ⊥面ABC ，PM ＝3，以OC 为x 轴，OB 为y 轴，过点O 作MP 的平行线为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则P （0，），B （0，2，0），C （2，0，0），＝（2，﹣2，0），＝（0，，﹣3），设平面PBC 的法向量＝（x ，y ，z ），则，取z ＝1，得＝（3，），平面ABC 的一个法向量＝（0，0，1），∴cos ＜＞＝＝，∵二面角P ﹣BC ﹣A 的平面角是锐角，∴二面角P ﹣BC ﹣A 的余弦值为．【点评】本题考查线线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．21．（12分）过抛物线C ：x 2＝2py （p ＞0）的焦点F 做直线l 交抛物线于A ，B 两点，|AB|的最小值为2．（1）求抛物线C的标准方程；（2）过A，B分别做抛物线C的切线，两切线交于点E，且直线AE，BE分别与x轴交于点P，Q，记△EPQ和△0AB的面积分别为S△EPQ和S△OAB，求证为定值．【分析】（1）设直线AB的方程并代入抛物线方程，求得弦长AB的解析式，再求出最小值与已知最小值相等，可得．（2）通过求导，利用导数的几何意义求得A，B两点处抛物线的切线方程，并联立解得交点E的坐标，再根据面积公式求得两个面积再求比值可得．【解答】解：（1）由题意知直线AB的斜率存在，设直线AB：y＝kx+，A（x1，y1），B（x2，y2），联立方程，得x2﹣2pkx﹣p2＝0，△＝（﹣2pk）2+4p2＞0，x1+x2＝2pk，x1x2＝﹣p2，∴y1+y2＝k（x1+x2）+p，∴|AB|＝y1+y2+p＝2pk2+2p＝2p（k2+1），当k2＝0，|AB|最小，此时2p＝2，所以p＝1，即抛物线的标准方程为x2＝2y（2）由x2＝2y得y＝x2，∴y′＝x，∴k AE＝x1，k BE＝x2，直线AE：y﹣＝x1（x﹣x1），令y＝0得P（x1，0）；直线BE：y﹣＝x2（x﹣x2），令y＝0得P（x2，0），则联立两直线方程，消去x得y E＝﹣，∴S△EPQ＝|y F||x P﹣x Q|＝|x1﹣x2|，S OAB＝|OF||x1﹣x2|＝|x1﹣x2|，所以＝，即为定值．【点评】本题考查了抛物线的性质，属中档题．22．（12分）已知函数f（x）＝x 2+2ax+2lnx（a∈R）．（1）若f（x）是单调函数，求a的取值范围；（2）若f（x）存在两个极值点x1，x2，且x2≥e，求|f（x1）﹣f（x2）|的最小值．【分析】（1）f′（x）＝2x+2a+＝．x∈（0，+∞）．由f（x）是单调函数，可得f′（x）在x∈（0，+∞）上恒非负．令y＝x2+ax+1，则，或﹣≤0，即可得出a的取值范围．（2）f（x）的两个极值点x1，x2是方程x2+ax+1＝0的两个实数根．可得x1+x2＝﹣a，x1x2＝1．又x2≥e，可得0＜x1＜1＜e＜x2．f（x）在[x1，x2]上单调递减．可得|f（x1）﹣f（x2）|＝f（x1）﹣f（x2）＝﹣+2a（x1﹣x2）+2ln，把根与系数代入化简可得：|f（x1）﹣f（x2）|＝﹣﹣2ln．设＝t≥e2．设h（t）＝t﹣﹣2lnt．，利用导数研究其单调性即可得出．【解答】解：（1）f′（x）＝2x+2a+＝．x∈（0，+∞）．∵f（x）是单调函数，∴f′（x）在x∈（0，+∞）上恒非负．令y＝x2+ax+1，则，或﹣≤0，解得a≥﹣2．∴a的取值范围是[﹣2，+∞）．（2）f（x）的两个极值点x1，x2是方程x2+ax+1＝0的两个实数根．∴x1+x2＝﹣a，x1x2＝1．又x2≥e，∴0＜x1＜1＜e＜x2．f（x）在[x1，x2]上单调递减．∴|f（x1）﹣f（x2）|＝f（x1）﹣f（x2）＝+2ax1+2lnx1﹣[+2ax2+2lnx2]＝﹣+2a （x1﹣x2）+2ln＝﹣﹣2（x1+x2）（x1﹣x2）+2ln＝﹣+2ln＝﹣﹣2ln．设＝t≥e2．设h（t）＝t﹣﹣2lnt．则h′（t）＝1+﹣＝＞0．∴函数h（t）在[e2，+∞）上单调递增．∴h（t）≥h（e2）＝e2﹣﹣4．∴|f（x1）﹣f（x2）|的最小值为e2﹣﹣4．【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、不等式的解法、一元二次方程的根与系数的关系、等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．第21页（共21页）。
2018~2019学年河南省洛阳市洛龙一实小四年级(上)期末数学试卷
2017-2018学年河南省洛阳市洛龙一实小四年级（上）期末数学试卷一.对号入座认真填．（第11题每题1分，其余每空1分，共30分）1．（1分）截止2002年，中国人口总数已经达到十三亿一千四百万人，这个总人数写作，把它改写成用亿作单位的数是．2．（2分）一个数的亿位上是3，千万位和万位上都是9，十万位和千位上都是5，其他各个数位上都是0，这个数写作，省略万位后面的尾数约是．3．（2分）两个因数的积是80，若其中一个因数扩大4倍，另一个因数不变，则积等于；在一个除法算式里，若除数缩小2倍，被除数扩大4倍，则商．4．（2分）两个度数不相等的角组成了一个平角，这两个角中一定有一个是，另一个角是．5．（2分）长方形的相邻两条边互相，对边．6．（3分）计算器上+、﹣、×、÷是键，0、1、2、9是键，C．CE键是键．7．（4分）18个25是，700里面有个25；504是56的倍，是27的12倍．8．（2分）在如图中，如果∠1=127°，那么∠2=，∠3=．9．（1分）在一组平行线间可以画条长度相等的垂线段．10．（2分）钟面9时整，时针和分针组成的角是角；时整，时针和分针组成的角是平角．11．（5分）用一副三角板拼出下面度数的角．180°是由和拼成的．135°是由和拼成的．75°是由和拼成的．105°是由和拼成的．120°是由和拼成的．12．（3分）6930÷21把除数看作去试商比较简便，商是位数，商是．二.火眼金睛辨正误．（对的在横线里打“√”号，错的打“×”号）（5分）13．（1分）用“亿”作单位表示一个数，就只在这个数的末尾添上“亿”字．．14．（1分）不相交的两条直线叫平行线．．（判断对错）15．（1分）过一点只能画出一条直线．．（判断对错）16．（1分）250÷40=6…1．．17．（1分）在乘法算式中，如果因数的中间有0，那么积的中间一定有0．．三.择优录取用心选．（把正确答案的序号填在括号内）18．（1分）在32°、110°、89°、90°、6°、91°、179°、180°和150°这些角中，钝角有（）个．A．1 B．2 C．3 D．419．（1分）要想使553÷5□的商是一位数，□里最小可以填（）A．5 B．6 C．9 D．220．（1分）在3和5的中间添上（）个0，这个数才能成为三亿零五．A．5 B．6 C．7 D．821．（1分）在同一平面内，两根小棒都和第3根小棒垂直，那么这两根小棒的位置关系是（）A．相交B．互相垂直C．互相平行D．不能确定四.神机妙算快又对．（17分）22．（6分）直接写得数．120×50=4×19=101×7=510﹣80=300÷60=320÷40=630÷30=105万﹣38万=96÷8=300×40=75×4=67万+26万=23．（3分）估算．589×28≈345÷65≈447×19≈604÷22≈218×78≈298÷46≈24．（8分）用竖式计算．107×25754÷5836×125456÷57．五.动手实践显身手．（13分）25．（2分）画一条射线，然后在这条射线上截取3厘米长的线段．26．（3分）分别画一个25°和150°的角．27．（3分）过直线外一点A画出已知直线的垂线和平行线．28．（3分）画出下面图形的高．29．（2分）利用下面的这个角画一个直角梯形．六.解决问题我能行．（30分）30．（5分）2008年5月12日，我国四川汶川县发生了7.8级地震，造成许多学校房屋倒塌，为了恢复学校正常上课，需要紧急调用帐篷．一顶帐篷可以容纳32名学生上课，一所学校有926名学生，估计需要多少顶帐篷？31．（5分）2009年10月1日，为庆祝新中国60华诞，天安门广场举行了盛大的阅兵仪式，共有56个方队通过天安门广场接受祖国和人民的检阅．其中徒步方队12个，每个方队有14行，每行25人．徒步方队一共有多少人？32．（5分）师傅每小时加工50个零件，徒弟8小时加工288个零件．徒弟平均每时比师傅少加工多少个零件？33．（5分）一份稿件有2页，每页有400字，方方每分钟可以打字85个．打完这份稿件，至少需要多少分钟？34．（5分）学校举行跳绳比赛，涛涛和亮亮都参加了5分钟耐力跳绳比赛．涛涛一共跳635下，亮亮平均每分钟比涛涛多跳8下．亮亮一共跳了多少下？35．（5分）王大爷有3个种植草莓的大棚，平均每个大棚收草莓264千克．①如果每箱装12千克，一个大棚收获的草莓可装多少箱？3个大棚收获的草莓共可装多少箱？②每千克草莓卖7元钱，王大爷今年的草莓共收入多少元？2017-2018学年河南省洛阳市洛龙一实小四年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一.对号入座认真填．（第11题每题1分，其余每空1分，共30分）1．（1分）截止2002年，中国人口总数已经达到十三亿一千四百万人，这个总人数写作1314000000，把它改写成用亿作单位的数是13.14亿．【解答】解：十三亿一千四百万写作：1314000000；1314000000=13.14亿；故答案为：1314000000，13.14亿．2．（2分）一个数的亿位上是3，千万位和万位上都是9，十万位和千位上都是5，其他各个数位上都是0，这个数写作390595000，省略万位后面的尾数约是39060万．【解答】解：这个数写作：390595000；390595000≈39060万；故答案为：390595000，39060万．3．（2分）两个因数的积是80，若其中一个因数扩大4倍，另一个因数不变，则积等于320；在一个除法算式里，若除数缩小2倍，被除数扩大4倍，则商扩大8倍．【解答】解：（1）积也应扩大4倍，则积为80×4=320．（2）例如80÷10=8，被除数扩大4倍，由80变成320，除数缩小2倍，由10变成5，则商变为：320÷5=64，商由8变成64，是商扩大了8倍；据此可知：被除数扩大4倍，除数缩小2倍，那么商扩大4×2=8倍．故答案为：320，扩大8倍．4．（2分）两个度数不相等的角组成了一个平角，这两个角中一定有一个是锐角，另一个角是钝角．【解答】解：平角是180度，其中一个角是大于0°，小于90°的角，是锐角；用“180﹣锐角”所得的角的度数大于90度，所以另一个角是钝角；故选：锐角，钝角．5．（2分）长方形的相邻两条边互相垂直，对边互相平行．【解答】解：长方形的相邻两条边互相垂直，对边互相平行；故答案为：垂直，互相平行．6．（3分）计算器上+、﹣、×、÷是运算符号键，0、1、2、9是数字键，C．CE键是清除键．【解答】解：计算器上+、﹣、×、÷是运算符号键；0、1、2、9是数字键；C．CE键是清除键．故答案为：运算符号，数字，清除．7．（4分）18个25是450，700里面有28个25；504是56的9倍，324是27的12倍．【解答】解：18×25=450，700÷25=28，504÷56=9，27×12=324．故答案为：450，28，9，324．8．（2分）在如图中，如果∠1=127°，那么∠2=53°，∠3=127°．【解答】解：因为∠1=127°，那么∠2=180°﹣127°=53°，∠3=180°﹣53°=127°．故答案为：53°，127°．9．（1分）在一组平行线间可以画无数条长度相等的垂线段．【解答】解：由分析知：在一组平行线间能画无数条垂线，并且并且这些垂线段的长度相等；故答案为：无数．10．（2分）钟面9时整，时针和分针组成的角是直角；6时整，时针和分针组成的角是平角．【解答】解：（1）360°÷60×15=6°×15=90°；（2）当6时整时两条针在同一条直线上；故答案是：直，6．11．（5分）用一副三角板拼出下面度数的角．180°是由90°和90°拼成的．135°是由90°和45°拼成的．75°是由45°和30°拼成的．105°是由60°和45°拼成的．120°是由90°和30°拼成的．【解答】解：因为90°+90°=180°，所以180°是由90°和90°拼成的；因为90°+45°=135°，135°是由90°和45°拼成的；因为45°+30°=75°，75°是由45°和30°拼成的；因为60°+45°=105°，105°是由60°和45°拼成的；因为90°+30°=120°，120°是由90°和30°拼成的．故答案为：90°，90°；90°，45°；45°，30°；60°，45°；90°，30°．12．（3分）6930÷21把除数看作20去试商比较简便，商是三位数，商是330．【解答】解：6930÷21把除数看作20去试商比较简便．33021；商是330，是三位数．故答案为：20，三，330．二.火眼金睛辨正误．（对的在横线里打“√”号，错的打“×”号）（5分）13．（1分）用“亿”作单位表示一个数，就只在这个数的末尾添上“亿”字．×．【解答】解：用“亿”作单位表示一个数，就是在亿位数的右下角点上小数点，然后把小数末尾的0去掉，在数的后面带上“亿”字，故用“亿”作单位表示一个数，就只在这个数的末尾添上“亿”字是错误的．故答案为：×．14．（1分）不相交的两条直线叫平行线．×．（判断对错）【解答】解：在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线，所以本题成立的前提是：在同一平面内．故答案为：×．15．（1分）过一点只能画出一条直线．错误．（判断对错）【解答】解：如图所示：，过一点能画出无数条直线．所以过一点只能画出一条直线说法错误．故答案为：错误．16．（1分）250÷40=6…1．×．【解答】解：250÷40=6…10；故答案为：×．17．（1分）在乘法算式中，如果因数的中间有0，那么积的中间一定有0．×．【解答】解：根据题意，假设中间有0的因数是204，另一个因数是2或是3；204×2=408；204×3=612；408的中间有0，612的中间没有0；所以，一个因数的中间有0，积的中间可能有0，也可能没有0．故答案为：×．三.择优录取用心选．（把正确答案的序号填在括号内）18．（1分）在32°、110°、89°、90°、6°、91°、179°、180°和150°这些角中，钝角有（）个．A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：根据钝角的含义可知：110°、91°、179°、150°是钝角，共4个；故选：D．19．（1分）要想使553÷5□的商是一位数，□里最小可以填（）A．5 B．6 C．9 D．2【解答】解：要使553÷5□的商是一位数，那么：55＜5□；□里面可以填6、7、8、9，最小是6．故选：B．20．（1分）在3和5的中间添上（）个0，这个数才能成为三亿零五．A．5 B．6 C．7 D．8【解答】解：在3和5之间添上7个“0”这个数才能成为是三亿零五．故选：C．21．（1分）在同一平面内，两根小棒都和第3根小棒垂直，那么这两根小棒的位置关系是（）A．相交B．互相垂直C．互相平行D．不能确定【解答】解：因为在同一平面内，l1⊥l2，l2⊥l3，所以l1∥l3，即l1与l3的位置关系是平行．故选：C．四.神机妙算快又对．（17分）22．（6分）直接写得数．120×50=4×19=101×7=510﹣80=300÷60=320÷40=630÷30=105万﹣38万=96÷8=300×40=75×4=67万+26万=【解答】解：120×50=6000，4×19=76，101×7=707，510﹣80=430，300÷60=5，320÷40=8，630÷30=21，105万﹣38万=67万，96÷8=12，300×40=12000，75×4=300，67万+26万=93万．23．（3分）估算．589×28≈345÷65≈447×19≈604÷22≈218×78≈298÷46≈【解答】解：589×28≈18000345÷65≈5447×19≈9000604÷22≈30218×78≈16000298÷46≈624．（8分）用竖式计算．107×25754÷5836×125456÷57．【解答】解：（1）107×25=2675；107；（2）754÷58=13；1358；（3）36×125=4500；125；（4）456÷57=8；857．五.动手实践显身手．（13分）25．（2分）画一条射线，然后在这条射线上截取3厘米长的线段．【解答】解：所作图形如下所示：．26．（3分）分别画一个25°和150°的角．【解答】解：根据题干分析画图如下：27．（3分）过直线外一点A画出已知直线的垂线和平行线．【解答】解：根据题干分析画图如下：28．（3分）画出下面图形的高．【解答】解：画图如下：．29．（2分）利用下面的这个角画一个直角梯形．【解答】解：如图所示，过点A作BC的平行线AD，再过点C作BC的垂线CD，AD与CD相交于点D，四边形ABCD就是所要求画的直角梯形．六.解决问题我能行．（30分）30．（5分）2008年5月12日，我国四川汶川县发生了7.8级地震，造成许多学校房屋倒塌，为了恢复学校正常上课，需要紧急调用帐篷．一顶帐篷可以容纳32名学生上课，一所学校有926名学生，估计需要多少顶帐篷？【解答】解：926÷32=28（顶）…30（人），至少：28+1=29（顶）；答：估计需要29顶帐篷．31．（5分）2009年10月1日，为庆祝新中国60华诞，天安门广场举行了盛大的阅兵仪式，共有56个方队通过天安门广场接受祖国和人民的检阅．其中徒步方队12个，每个方队有14行，每行25人．徒步方队一共有多少人？【解答】解：25×14×12=4200（人），答：徒步方队一共有4200人．32．（5分）师傅每小时加工50个零件，徒弟8小时加工288个零件．徒弟平均每时比师傅少加工多少个零件？【解答】解：50﹣288÷8，=50﹣36，=14（个）；答：徒弟平均每时比师傅少加工14个零件．33．（5分）一份稿件有2页，每页有400字，方方每分钟可以打字85个．打完这份稿件，至少需要多少分钟？【解答】解：400×2÷85，=800÷85，=（分钟），答：打完这份稿件，至少需要分钟．34．（5分）学校举行跳绳比赛，涛涛和亮亮都参加了5分钟耐力跳绳比赛．涛涛一共跳635下，亮亮平均每分钟比涛涛多跳8下．亮亮一共跳了多少下？【解答】解：（635÷5+8）×5，=（127+8）×5，=135×5，=675（下）；答：亮亮一共跳了675下．35．（5分）王大爷有3个种植草莓的大棚，平均每个大棚收草莓264千克．①如果每箱装12千克，一个大棚收获的草莓可装多少箱？3个大棚收获的草莓共可装多少箱？②每千克草莓卖7元钱，王大爷今年的草莓共收入多少元？【解答】解：（1）264÷12=22（箱），22×3=66（箱）；答：一个大棚收获的草莓可装22箱，3个大棚收获的草莓共可装66箱．（2）264×3×=5544（元）；答：王大爷今年的草莓共收入5544元．。
黑龙江省鹤岗市第一中学2018-2019学年高二上学期期末考试数学(理)试题(解析版)
鹤岗一中2018-2019学年度上学期期末考试高二数学试卷（理科）一、单选题。
1.命题“，使”的否定为（）A. ，使B. ，使C. ，D. ，【答案】D【解析】因为命题“”的否定为“”,所以命题“，使”的否定为，，选D.点睛：1.命题的否定与否命题区别“否命题”是对原命题“若p，则q”的条件和结论分别加以否定而得到的命题，它既否定其条件，又否定其结论；“命题的否定”即“非p”，只是否定命题p的结论. 2命题的否定的注意点(1)注意命题是全称命题还是存在性命题，是正确写出命题的否定的前提；(2)注意命题所含的量词，对于量词隐含的命题要结合命题的含义显现量词，再进行否定；(3)注意“或”“且”的否定，“或”的否定为“且”，且”的否定为“或”.2. “a＞0”是“|a|＞0”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】试题分析：本题主要是命题关系的理解，结合|a|＞0就是{a|a≠0}，利用充要条件的概念与集合的关系即可判断．解：∵a＞0⇒|a|＞0，|a|＞0⇒a＞0或a＜0即|a|＞0不能推出a＞0，∴a＞0”是“|a|＞0”的充分不必要条件故选A考点：必要条件．3.有50件产品，编号为0，1，2，…，49，现从中抽取5个进行检验，用系统抽样的方法抽取样本的编号可以为( )A. 5，10，15，20，25B. 5，13，21，29，37C. 8，22，23，1，20D. 1，11，21，31，41【解析】试题分析：系统抽样首先按照一定顺序分成5组每组10个个体，在每组中抽取样本抽取的样本间隔为10；所以选D. 考点：系统抽样.4.已知x、y的取值如下表所示：若从散点图分析，y与x线性相关，且，则的值等于（）A. 2.6B. 6.3C. 2D. 4.5【答案】A【解析】试题分析：若与线性相关，则样本点中心必在回归直线上，由表中数据，，，将点代入回归方程，得，解得，故选A．考点：线性回归方程中，样本点中心在回归直线上．5.与二进制数相等的十进制数是（）A. 6B. 7C. 10D. 11【答案】A【解析】由题意，110（2）=1×22+1×21+0×20=6，故选A．6.下列说法中，正确的是（）A. 数据5,4,4,3,5,2的众数是4B. 一组数据的标准差是这组数据的方差的平方C. 数据2,3,4,5的标准差是数据4,6,8,10的标准差的一半D. 频率分布直方图中各小长方形的面积等于相应各组的频数【答案】C【解析】试题分析：A选项众数为4、5；B选项应该是方差是标准差的平方；C正确；D选项频率分布直方图中各小长方形的面积等于相应各组的频率.7.5个人站成一排，若甲、乙两人之间恰有1人，则不同的站法数有（）A. 18B. 26C. 36D. 48【答案】C【解析】试题分析：先排列其余三人后甲乙两人插空，所以有种考点：排列问题8.在面积为的的边上任取一点，则的面积大于的概率是( )A. B. C. D.【答案】B【解析】试题分析：△的面积大于只需|PB|>,所以概率考点：几何概型9.已知的展开式中没有常数项，则n不能是（）A. 5B. 6C. 7D. 8【答案】D【解析】【分析】本题首先可以根据解出二项式的通项，再对通项进行化简，然后通过展开式中没有常数项可知，不能为0，最后将选项依次代入，得出结果。
2018-2019学年洛阳市第一学期期末考试高一数学试卷及答案
已知直线 下列说法正确的是 )! " $)( " $)( &). &). # # # # # " 和直线! ! ! ! #" 若 "#(! '"!(# # " 则-! # '! 若 "#"! )(#(! # " 则/! # (! 若则"! # "# .! # '! (! (# 若则"#"! #'# 0! # (! (#(!
三 解答题 本大题共 * 小题 共3 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 ! "分! ! 本小题满分 # # 3! " 分"
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河南省商丘市九校2018-2019学年高二上学期期末联考数学(理)试题 Word版含解析
2018-2019学年上期期末联考高二数学（理科）一.选择题：（本大题共12小题,每小题5分,共60分．在每小题给出地四个选项中,只有一项是符合题目要求地）1.命题：地否定是 ( )A. B.C. D.【结果】A【思路】【思路】由全称命题地否定直接改写即可.【详解】因为全称命题地否定为特称命题,所以命题：地否定是：.【点睛】本题主要考查含有一个量词地命题地否定,一般只需要改量词和结论即可,属于基础题型.2.已知,则下面不等式成立地是 ( )A. B. C. D.【结果】B【思路】【思路】利用不等式地基本性质即可得出结果.【详解】因为,所以,所以,故选B【点睛】本题主要考查不等式地基本性质,属于基础题型.3.在单调递增地等差数列中,若,则 ( )A. －1B.C. 0D.【结果】C【思路】【思路】先设等差数列地公差为,由题中款件列出方程组,求解即可.【详解】设等差数列地公差为,因为,所以有：,解方程组得：。
故选C【点睛】本题主要考查等差数列地性质,由题意列方程组求公差和首项即可,属于基础题型.4.△ABC地内角A,B,C地对边分别为a,b,c.已知,,,则 ( )A. B. 3 C. 2 D.【结果】B【思路】【思路】由余弦定理,列出方程,直接求解即可.【详解】因为,,,由余弦定理可得：,解得或,故,选B【点睛】本题主要考查余弦定理,熟记公式即可,属于基础题型.5.设,则“”是“”地 ( )A. 充分而不必要款件B. 既不充分也不必要款件C. 充要款件D. 必要而不充分款件【结果】D【思路】【思路】先解不等式和不等式,然后结合充要款件地定义判断即可.【详解】由得。
由得,所以由能推出。
由不能推出,故“”是“”地必要不充分款件.故选D【点睛】本题主要考查充分款件和必要款件,结合概念直接判断即可,属于基础题型.6.曲线在点（1,1）处切线地斜率等于（）.A. B. C. 2 D. 1【结果】C【思路】试题思路：由,得,故,故切线地斜率为,故选C.考点：导数地集合意义.7.已知向量且互相垂直,则地值是 ( )A. B. 2 C. D. 1【结果】A【思路】【思路】由向量垂直,可得对应向量数量积为0,从而可求出结果.【详解】因为,所以,,又互相垂直,所以,即,即,所以;故选A【点睛】本题主要考查向量地数量积地坐标运算,属于基础题型.8.若实数x,y满足约束款件则地最大值是( )A. 2B. 0C. 1D. －4【结果】C【思路】【思路】先由约束款件作出可行域,化目标函数为直线方程地斜截式,由截距地取值范围确定目标函数地最值即可.【详解】由约束款件作出可行域如图所示,目标函数可化为,所以直线在y轴截距越小,则目标函数地值越大,由图像易知,当直线过点A时,截距最小,所以目标函数最大为.故选C【点睛】本题主要考查简单地线性规划,只需依据约束款件作出可行域,化目标函数为直线地斜截式,求在y轴截距,即可求解,属于基础题型.9.已知AB是抛物线地一款焦点弦,,则AB中点C地横坐标是 ( )A. 2B.C.D.【结果】B【思路】【思路】先设两点地坐标,由抛物线地定义表示出弦长,再由题意,即可求出中点地横坐标.【详解】设,C地横坐标为,则,因为是抛物线地一款焦点弦,所以,所以,故.故选B【点睛】本题主要考查抛物线地定义和抛物线地简单性质,只需熟记抛物线地焦点弦公式即可求解,属于基础题型.10.若不等式地解集为,那么不等式地解集为 ( )A. B.C. D.【结果】D【思路】【思路】依据题中所给地二次不等式地解集,结合三个二次地关系得到,由根与系数地关系求出地关系,再代入不等式,求解即可.【详解】因为不等式地解集为,所以和是方程地两根,且,所以,即,代入不等式整理得,因为,所以,所以,故选D【点睛】本题主要考查含参数地一圆二次不等式地解法,已知一圆二次不等式地解求参数,通常用到韦达定理来处理,难度不大.11.已知双曲线地左.右焦点分别为F1,F2,点P在双曲线上,且满足,则地面积为 ( )A. 1B.C.D.【结果】A【思路】【思路】由双曲线地定义可得,联立可求出地长,进而可求三角形地面积.【详解】由双曲线地定义可得,又,两式联立得：,,又,所以,即为直角三角形,所以.故选A【点睛】本题主要考查双曲线地简单性质,双曲线地焦点三角形问题,一般需要借助抛物线地性质,结合题中款件来处理,难度不大.12.若函数有两个零点,则实数a地取值范围为 ( )A. B. C. D.【结果】C【思路】【思路】先求出函数地导函数,利用导函数求出函数地最小值,再依据函数地零点和最值之间地关系即可求出参数地范围.【详解】因为函数地导函数为,令,得,所以当时,,函数单调递减。
2017-2018学年河南省洛阳市高二上学期期中数学试题(解析版)
2017-2018学年河南省洛阳市高二（上）期中数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A={x|x2﹣x﹣6＜0}，B={x|x2+2x﹣8＞0}，则A∪B=（）A．{x|2＜x＜3}B．{x|﹣2＜x＜3}C．{x|x＞﹣4或x＞2}D．{x|x＜﹣4或x ＞﹣2}2．（5分）△ABC中，==，则△ABC一定是（）A．直角三角形B．钝角三角形C．等腰三角形D．等边三角形3．（5分）若a，b，c∈R，且a＞b，则下列不等式一定成立的是（）A．＞0 B．（a﹣b）c2＞0 C．ac＞bc D．a+c≥b﹣c4．（5分）在等比数列{a n}中，a n＞0，已知a1=6，a1+a2+a3=78，则a2=（）A．12 B．18 C．24 D．365．（5分）设正实数a，b满足2a+3b=1，则的最小值是（）A．25 B．24 C．22 D．166．（5分）海中有一小岛，海轮由西向东航行，望见这岛在北偏东75°，航行8n mile以后，望见这岛在北偏东60°，海轮不改变航向继续前进，直到望见小岛在正北方向停下来做测量工作，还需航行（）n mile．A．8 B．4 C．D．7．（5分）设等差数列{a n}的公差d≠0，且a2=﹣d，若a k是a6与a k+6等比中项，则k=（）A．5 B．6 C．9 D．368．（5分）若函数f（x）=的定义域是R，则实数a的取值范围是（）A．（﹣2，2）B．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）C．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）D．[﹣2，2]9．（5分）已知△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c．若a=bcosC+csinB，且△ABC的面积为1+．则b的最小值为（）A．2 B．3 C．D．10．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，S15＞0，a8+a9＜0，则使＜0成立的最小自然数n的值为（）A．15 B．16 C．17 D．1811．（5分）在平而直角坐标系中，不等式组表示的平面区域面积为π，若x，y满足上述约束条件，则z=的最小值为（）A．﹣1 B．C．D．12．（5分）已知数列{a n}中，a1=2，若a n+1﹣a n=a n2，设T m=，若T m＜2018，则正整数m的最大值为（）A．2019 B．2018 C．2017 D．2016二、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分．x＜0|2＜x＜3}B.{x|-2＜x＜3}C.{x|x＞13．（5分）不等式组表示的平面区域内的整点坐标是．14．（5分）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a=2且sinA+cosA=2，则角C的大小为．15．（5分）如图所示，在圆内接四边形ABCD中，AB=6，BC=3，CD=4，AD=5，则四边形ABCD的面积为．16．（5分）已知数列{a n}中，a1=l，S n为其前n项和，当n≥2时，2a n+S n2=a n S n成立，则S10=．三、解答题：本大题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或盐酸步骤．17．（10分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a2+c2﹣b2=﹣ac．（1）求B；（2）若，，求a，c．18．（12分）已知方程x2+2（a+2）x+a2﹣1=0．（1）当该方程有两个负根时，求实数a的取值范围；（2）当该方程有一个正根和一个负根时，求实数a的取值范围．19．（12分）已知{a n}是各项均为正数的等比数列，且a1+a2=6，a1a2=a3．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）{b n}为各项非零的等差数列，其前n项和S n=n2，求数列的前n项和T n．20．（12分）某市园林局将一块三角形地块ABC的一个角AMN建设为小游园，已知A=120°，AB，AC的长度均大于400米，现要在边界AM，AN处建设装饰墙，沿MN建设宽1.5米的健康步道．（1）若装饰墙AM，AN的总长度为400米，AM，AN 的长度分别为多少时，所围成的三角形地块AMN的面积最大？（2）若AM段装饰墙墙髙1米，AN段装饰墙墙髙1.5米，AM段装饰墙造价为每平方米150元，AN段装饰墙造价为每平方米100元，建造装饰墙用了90000元．若建设健康步道每100米需5000元，AM，AN的长度分别为多少时，所用费用最少？21．（12分）已知△ABC为锐角三角形，角A，B，C的对边分别为a，b，c且（b2+c2﹣a2）tanA=bc．（1）求角A的大小；（2）若a=，求2b﹣c的取值范围．22．（12分）设数列{a n}的前n项和为S n，且S n=4﹣a n﹣．（1）令b n=2n﹣1•a n，证明数列{b n}为等差数列，并求{b n}的通项公式；（2）是否存在n∈N*，使得不等式成立，若存在，求出λ的取值范围，若不存在，请说明理由．2017-2018学年河南省洛阳市高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A={x|x2﹣x﹣6＜0}，B={x|x2+2x﹣8＞0}，则A∪B=（）A．{x|2＜x＜3}B．{x|﹣2＜x＜3}C．{x|x＞﹣4或x＞2}D．{x|x＜﹣4或x ＞﹣2}【分析】解不等式得出集合A、B，根据并集的定义写出A∪B．【解答】解：集合A={x|x2﹣x﹣6＜0}={x|（x+2）（x﹣3）＜0}={x|﹣2＜x＜3}，B={x|x2+2x﹣8＞0}={x|（x+4）（x﹣2）＞0}={x|x＜﹣4或x＞2}，则A∪B={x|x＜﹣4或x＞﹣2}．故选：D．【点评】本题考查了解不等式与集合的运算问题，是基础题．2．（5分）△ABC中，==，则△ABC一定是（）A．直角三角形B．钝角三角形C．等腰三角形D．等边三角形【分析】由，利用正弦定理可得tanA=tanB=tanC，再利用三角函数的单调性即可得出．【解答】解：由正弦定理可得：=，又，∴tanA=tanB=tanC，又A，B，C∈（0，π），∴A=B=C=，则△ABC是等边三角形．故选：D．【点评】本题考查了正弦定理、三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．3．（5分）若a，b，c∈R，且a＞b，则下列不等式一定成立的是（）A．＞0 B．（a﹣b）c2＞0 C．ac＞bc D．a+c≥b﹣c【分析】对于A，根据不等式的性质即可判断，举反例即可判断B，C，D【解答】解：A、∵a﹣b＞0，c2＞0，∴＞0B、∵a﹣b＞0，∴（a﹣b）2＞0，又c2≥0，∴（a﹣b）2c≥0，本选项不一定成立，C、c=0时，ac=bc，本选项不一定成立；D、当a=﹣1，b=﹣2，c=﹣3时，a+c=﹣4，b﹣c=1，显然不成立，本选项不一定成立；故选A【点评】此题考查了不等式的性质，利用了反例的方法，是一道基本题型．4．（5分）在等比数列{a n}中，a n＞0，已知a1=6，a1+a2+a3=78，则a2=（）A．12 B．18 C．24 D．36【分析】先求出公比q，即可求出答案．【解答】解：设公比为q，由a1=6，a1+a2+a3=78，可得6+6q+6q2=78，解得q=3或q=﹣4（舍去），∴a2=6q=18，故选：B【点评】本题考查了等比数列的通项公式，属于基础题．5．（5分）设正实数a，b满足2a+3b=1，则的最小值是（）A．25 B．24 C．22 D．16【分析】直接利用函数的关系式及均值不等式求出函数的最小值．【解答】解：正实数a，b满足2a+3b=1，则=（2a+3b）（）=+9≥13+12=25，故的最小值为25．故选：D．【点评】本题考查的知识要点：函数的关系式的恒等变换，均值不等式的应用．6．（5分）海中有一小岛，海轮由西向东航行，望见这岛在北偏东75°，航行8n mile以后，望见这岛在北偏东60°，海轮不改变航向继续前进，直到望见小岛在正北方向停下来做测量工作，还需航行（）n mile．A．8 B．4 C．D．【分析】作出示意图，根据等腰三角形锐角三角函数的定义即可求出继续航行的路程．【解答】解：设海岛位置为A，海伦开始位置为B，航行8n mile后到达C处，航行到D处时，海岛在正北方向，由题意可知BC=8，∠ABC=15°，∠BCA=150°，∠ADC=90°，∠ACD=30°，∴∠BAC=15°，∴AC=BC=8，∴CD=AC•cos∠ACD=4．故选C．【点评】本题考查了解三角形的应用，属于基础题．7．（5分）设等差数列{a n}的公差d≠0，且a2=﹣d，若a k是a6与a k+6等比中项，则k=（）A．5 B．6 C．9 D．36【分析】运用等差数列的通项公式，以及等比数列的中项的性质，化简整理解方程即可得到k的值．【解答】解：等差数列{a n}的公差d≠0，且a2=﹣d，可得a1=a2﹣d=﹣2d，则a n=a1+（n﹣1）d=（n﹣3）d，若a k是a6与a k+6的等比中项，即有a k2=a6a k+6，即为（k﹣3）2d2=3d•（k+3）d，由d不为0，可得k2﹣9k=0，解得k=9（0舍去）．故选：C．【点评】本题考查等差数列的通项公式和等比数列中项的性质，考查化简整理的运算能力，属于基础题．8．（5分）若函数f（x）=的定义域是R，则实数a的取值范围是（）A．（﹣2，2）B．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）C．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）D．[﹣2，2]【分析】要使函数有意义，则2﹣1≥0，解得即可．【解答】解：要使函数有意义，则2﹣1≥0，即x2+ax+1≥0，∴△=a2﹣4≤0，解得﹣2≤a≤2，故选：D【点评】本题考查了函数的定义域和不等式的解法，属于基础题．9．（5分）已知△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c．若a=bcosC+csinB，且△ABC的面积为1+．则b的最小值为（）A．2 B．3 C．D．【分析】已知等式利用正弦定理化简，再利用诱导公式及两角和与差的正弦函数公式化简，求出tanB的值，确定出B的度数，利用三角形面积公式求出ac的值，利用余弦定理，基本不等式可求b的最小值．【解答】解：由正弦定理得到：sinA=sinCsinB+sinBcosC，∵在△ABC中，sinA=sin[π﹣（B+C）]=sin（B+C），∴sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC=sinCsinB+sinBcosC，∴cosBsinC=sinCsinB，∵C∈（0，π），sinC≠0，∴cosB=sinB，即tanB=1，∵B∈（0，π），∴B=，=acsinB=ac=1+，∵S△ABC∴ac=4+2，由余弦定理得到：b2=a2+c2﹣2accosB，即b2=a2+c2﹣ac≥2ac﹣ac=4，当且仅当a=c时取“=”，∴b的最小值为2．故选：A．【点评】此题考查了正弦、余弦定理，基本不等式以及三角形的面积公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键，属于中档题．10．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，S15＞0，a8+a9＜0，则使＜0成立的最小自然数n的值为（）A．15 B．16 C．17 D．18【分析】由于S15==15a8＞0，a8+a9＜0，可得a8＞0，a9＜0，进而得出．【解答】解：∵S15==15a8＞0，a8+a9＜0，∴a8＞0，a9＜0，∴S16==8（a8+a9）＜0，则使＜0成立的最小自然数n的值为16．故选：B．【点评】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式及其性质、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．11．（5分）在平而直角坐标系中，不等式组表示的平面区域面积为π，若x，y满足上述约束条件，则z=的最小值为（）A．﹣1 B．C．D．【分析】由约束条件作出可行域，由z==1+，而的几何意义为可行域内的动点与定点P（﹣3，2）连线的斜率．结合直线与圆的位置关系求得答案．【解答】解：∵不等式组（r为常数）表示的平面区域的面积为π，∴圆x2+y2=r2的面积为4π，则r=2．由约束条件作出可行域如图，由z==1+，而的几何意义为可行域内的动点与定点P（﹣3，2）连线的斜率．设过P的圆的切线的斜率为k，则切线方程为y﹣2=k（x+3），即kx﹣y+3k+2=0．由=2，解得k=0或k=﹣．∴z=的最小值为1﹣=﹣．故选：C．【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法和数学转化思想方法，是中档题．12．（5分）已知数列{a n}中，a1=2，若a n+1﹣a n=a n2，设T m=，若T m＜2018，则正整数m的最大值为（）A．2019 B．2018 C．2017 D．2016=a n2+a n=a n（a n+1）≥6，推导出=，从而【分析】a n+1，进而T m=m﹣（﹣）＜m﹣，由此能求出正整数m的最大值．【解答】解：由a n﹣a n=a n2，得a n+1=a n2+a n=a n（a n+1）≥6，+1∴=，∴=﹣，∴++…+=（﹣）+（﹣）+…+（﹣）=﹣∈（0，），∵，∴T m==m﹣（﹣）=m﹣+＜m﹣+=m﹣∵T m＜2018，∴m﹣＜2018，∴m＜2018+∴正整数m的最大值为2018，故选：B【点评】本题考查了数列递推关系、放缩法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．二、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分．x＜0|2＜x＜3}B.{x|-2＜x＜3}C.{x|x＞13．（5分）不等式组表示的平面区域内的整点坐标是（﹣1，1）．【分析】先根据不等式组画出可行域，再验证哪些当横坐标、纵坐标为整数的点是否在可行域内．【解答】解：根据不等式组画出可行域如图：由图象知，可行域内的点的横坐标为整数时x=﹣1，纵坐标可能为﹣1或﹣2即可行域中的整点可能有（﹣1，1）、（﹣1，2），经验证点（﹣1，1）满足不等式组，（﹣1，2）不满足不等式组，∴可行域中的整点为（﹣1，1），故答案为：（﹣1，1），【点评】本题考查一元二次不等式表示的区域，要会画可行域，同时要注意边界直线是否能够取到，还要会判断点是否在可行域内（点的坐标满足不等式组时，点在可行域内）．属简单题．14．（5分）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a=2且sinA+cosA=2，则角C的大小为．【分析】利用三角恒等变换求出A，再利用正弦定理得出C．【解答】解：∵sinA+cosA=2，即2sin（A+）=2，∵0＜A＜π，∴A+=，即A=，由正弦定理得：，即，∴sinC=，∴C=或C=（舍）．故答案为：．【点评】本题考查了正弦定理，属于基础题．15．（5分）如图所示，在圆内接四边形ABCD 中，AB=6，BC=3，CD=4，AD=5，则四边形ABCD 的面积为 6．【分析】利用余弦定理可求BD 2=5﹣4cosA=25+24cosA ，解得cosA=，结合范围0＜A ＜π，利用同角三角函数基本关系式可求sinA ，利用三角形面积公式即可计算得解．【解答】解：∵四边形ABCD 圆内接四边形， ∴∠A +∠C=π，∵连接BD ，由余弦定理可得BD 2=AB 2+AD 2﹣2AB•AD•cosA=36+25﹣2×6×5cosA=61﹣60cosA ， 且BD 2=CB 2+CD 2﹣2CB•CD•cos （π﹣A ） =9+16+2×3×4cosA=25+24cosA ， ∴61﹣60cosA=25+24cosA ， ∴cosA= 又0＜A ＜π， ∴sinA=．∴S 四边形ABCD =S △ABD +S △CBD =AB•AD•sinA +CD•CB•sin （π﹣A ）=×6×5×+×3×4×=6，故答案为：6【点评】本题主要考查了余弦定理，同角三角函数基本关系式，三角形面积公式的应用，考查了转化思想和数形结合思想的应用，属于中档题．16．（5分）已知数列{a n}中，a1=l，S n为其前n项和，当n≥2时，2a n+S n2=a n S n成立，则S10=．S n=S n﹣1﹣S n，可得数列{}是首项为1，公差为的等【分析】由已知得S n﹣1差数列，从而能求【解答】解：∵2a n+S n2=a n S n，∴S n2=a n（S n﹣2），a n=S n﹣S n﹣1（n≥2），∴S n2=（S n﹣S n﹣1）（S n﹣2），S n=S n﹣1﹣S n，…①即S n﹣1•S n≠0，由题意S n﹣1•S n，得﹣=，将①式两边同除以S n﹣1∵a1=l，∴=1∴数列{}是首项为1，公差为的等差数列，∴=1+（n﹣1）=（n+1）∴S n=，∴S10=，故答案为：【点评】本题考查数列的递推公式和前n项和，属于中档题三、解答题：本大题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或盐酸步骤．17．（10分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a2+c2﹣b2=﹣ac．（1）求B；（2）若，，求a，c．【分析】（1）直接利用关系式的恒等变换，转化为余弦定理的形式，进一步求出B的值．（2）利用正弦定理已知条件求出结果．【解答】解：（1）△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a2+c2﹣b2=﹣ac．则：，由于：0＜B＜π，解得：B=．（2）由于，所以：a=2c，由及a2+c2﹣b2=﹣ac．得到：a2+c2+ac=7．解得：a=2，c=1．【点评】本题考查的知识要点：余弦定理的应用，正弦定理的应用．18．（12分）已知方程x2+2（a+2）x+a2﹣1=0．（1）当该方程有两个负根时，求实数a的取值范围；（2）当该方程有一个正根和一个负根时，求实数a的取值范围．【分析】（1）当方程有两个负根时，利用判别式△≥0和根与系数的关系求出a的取值范围；（2）根据方程有一个正根和一个负根时，对应二次函数满足f（0）＜0，由此求出实数a的取值范围．【解答】解：方程x2+2（a+2）x+a2﹣1=0的判别式为△=4（a+2）2﹣4（a2﹣1）=16a+20，当△=16a+20≥0时，设方程x2+2（a+2）x+a2﹣1=0两个实数根为x1、x2，则x1+x2=﹣2（a+2），x1x2=a2﹣1；（1）∵方程x2+2（a+2）x+a2﹣1=0有两个负根，∴，解得，即a＞1或﹣≤a＜﹣1，∴实数a的取值范围是[﹣，﹣1）∪（1，+∞）；（2）∵方程x2+2（a+2）x+a2﹣1=0有一个正根和一个负根，∴对应二次函数满足f（0）=a2﹣1＜0，解得﹣1＜a＜1，∴实数a的取值范围是（﹣1，1）．【点评】本题考查了一元二次方程根的分布情况以及判别式和根与系数的关系应用问题，是中档题．19．（12分）已知{a n}是各项均为正数的等比数列，且a1+a2=6，a1a2=a3．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）{b n}为各项非零的等差数列，其前n项和S n=n2，求数列的前n项和T n．【分析】（1）设数列{a n}的公比为q，（q＞0），由题意列方程组求得首项和公比，则数列{a n}的通项公式可求；（2）由{b n}的前n项和求得通项，代入，然后利用错位相减法求其前n项和T n．【解答】解：（1）设数列{a n}的公比为q，（q＞0），由a1+a2=6，a1a2=a3，得，解得a1=q=2．∴；（2）当n=1时，b1=S1=1，当n≥2时，b n=S n﹣S n﹣1=n2﹣（n﹣1）2=2n﹣1，∴，∴，，∴=，∴．【点评】本题考查数列递推式，考查了错位相减法求数列的前n项和，是中档题．20．（12分）某市园林局将一块三角形地块ABC的一个角AMN建设为小游园，已知A=120°，AB，AC的长度均大于400米，现要在边界AM，AN处建设装饰墙，沿MN建设宽1.5米的健康步道．（1）若装饰墙AM，AN的总长度为400米，AM，AN 的长度分别为多少时，所围成的三角形地块AMN的面积最大？（2）若AM段装饰墙墙髙1米，AN段装饰墙墙髙1.5米，AM段装饰墙造价为每平方米150元，AN段装饰墙造价为每平方米100元，建造装饰墙用了90000元．若建设健康步道每100米需5000元，AM，AN的长度分别为多少时，所用费用最少？（1）设AM=x米，AN=y米，则x+y=400，△AMN的面积S=xysin120°=xy，【分析】利用基本不等式，可得结论；（2）由题意得，即x+y=600，要使竹篱笆用料最省，只需MN最短，利用余弦定理求出MN，即可得出结论．【解答】解：设AM=x米，AN=y米，则（1）x+y=400，A=120°，△AMN的面积S=xysin120°=xy≤，当且仅当x=y=200时取等号；（2）由题意得150x+1.5y•100=90000，即x+y=600，要使竹篱笆用料最省，只需MN最短，所以MN2=x2+y2﹣2xycos120°=x2+y2+xy=（x+y）2+y2﹣xy=360000﹣xy所以x=y=300时，MN有最小值300．∴AM=AN=300米时，所用费用最少为3×5000=15000元．【点评】本题考查利用数学知识解决实际问题，考查三角形面积的计算，余弦定理的运用，属于中档题．21．（12分）已知△ABC为锐角三角形，角A，B，C的对边分别为a，b，c且（b2+c2﹣a2）tanA=bc．（1）求角A的大小；（2）若a=，求2b﹣c的取值范围．【分析】（1）利用余弦定理列出关系式，代入已知等式变形求出sinA的值，即可确定出角A的大小；（2），由（1）可得A，由正弦定理可得，从而利用三角函数恒等变换的应用可得2b﹣c=2sin（B﹣），结合B的范围B，可得2b﹣c 取值范围．【解答】解：（1）由（b2+c2﹣a2）tanA=bc．及余弦定理b2+c2﹣a2=2bccosA，得sinA=∵△ABC为锐角三角形，∴A=．（2）由正弦定理可得，∴2b﹣c=4sinB﹣2sinC=4sinB﹣2sin（）=3sinB﹣cosB=2sin（B﹣）．∵△ABC为锐角三角形，∴，∴∴，2∴2b﹣c的取值范围为（0，3）【点评】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，考查了正弦定理，正弦函数的图象和性质在解三角形中的应用，属于中档题．22．（12分）设数列{a n}的前n项和为S n，且S n=4﹣a n﹣．（1）令b n=2n﹣1•a n，证明数列{b n}为等差数列，并求{b n}的通项公式；（2）是否存在n∈N*，使得不等式成立，若存在，求出λ的取值范围，若不存在，请说明理由．【分析】（1）由已知可得2a n=a n﹣1+，故2n﹣1•a n=2n﹣2•a n﹣1+1，进而可得数列{b n}为等差数列，并得到{b n}的通项公式；（2）存在n=1，使得不等式成立，且9≤λ≤10，利用对勾函数和反比例函数的图象性质，可得答案．【解答】解：（1）∵数列{a n}的前n项和为S n，且S n=4﹣a n﹣．∴当n=1时，a1=S1=4﹣a1﹣，即a1=1，=4﹣a n﹣1﹣．当n≥2时，S n﹣1则a n=S n﹣S n﹣1=a n﹣1﹣a n﹣，即2a n=a n﹣1+，故2n﹣1•a n=2n﹣2•a n﹣1+1，即2n﹣1•a n﹣2n﹣2•a n﹣1=1，∵b n=2n﹣1•a n，即{b n}是以1为首项，以1为公差的等差数列；即b n=n；（2）由（1）知：⇔，根据对勾函数的性质，可得：在n=3时取最小值，由反比例函数的性质，可得：在n=1时取最大值10；当n=1时，9≤λ≤10；当n=2时，6≤λ≤5，不存在满足条件的λ值；当n=3时，≤λ≤，不存在满足条件的λ值；当n≥4时，不存在满足条件的λ值；综上可得：存在n=1，使不等式成立，9≤λ≤10．【点评】本题考查的知识点是数列与不等式及函数的综合应用，难度中档．。
2018-2019学年四川省广安市高二(上)期末数学试卷(理科)(解析版)
2018-2019学年四川省广安市高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择題（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求）1．（5分）已知空间直角坐标系中A（2，﹣1，﹣2），B（3，2，1），则|AB|＝（（）A．B．C．D．2．（5分）直线的倾斜角大小为（）A．30°B．60°C．120°D．150°3．（5分）以x＝1为准线的抛物线的标准方程为（）A．y2＝2x B．y2＝﹣2x C．y2＝4x D．y2＝﹣4x 4．（5分）“若x＜1，则x2﹣3x+2＞0”的否命题是（）A．若x≥1，则x2﹣3x+2≤0B．若x＜l，则x2﹣3x+2≤0C．若x≥1，则x2﹣3x+2＞0D．若x2﹣3x+2≤0，则x≥15．（5分）已知直线l：x+ay+1＝0与圆N：（x﹣1）2+（y﹣1）2＝1相切，则a为（）A．﹣B．C．D．﹣6．（5分）设某高中的学生体重y（单位：kg）与身高x（单位：cm）具有线性相关关系，根据一组样本数据（x i，y i）（i＝1，2，…，n），用最小二乘法建立的回归方程为＝0.67x ﹣60.9，则下列结论中不正确的是（）A．y与x具有正的线性相关关系B．回归直线过样本点的中心（，）C．若该高中某学生身高为170cm，则可断定其体重必为53kgD．若该高中某学生身高增加1cm，则其体重约增加0.67kg7．（5分）“2＜m＜6”是“方程+＝1为椭圆”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件8．（5分）从甲、乙两种棉花中各抽测了25根棉花的纤维长度（单位：mm）组成一个样本，得到如图所示的茎叶图．若甲、乙两种棉花纤维的平均长度分别用，表示，标准差分别用s1，s2表示，则（）A．＞，s 1＞s2B．＞，s1＜s2C．＜，s 1＞s2D．＜，s1＜s29．（5分）秦九韶是我国南宋时期的数学家，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法．如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入n，x的值分别为3，3，则输出v的值为（）A．16B．18C．48D．14310．（5分）小华和小明两人约定在7：30到8：30之间在“思源广场”会面，并约定先到者等候另一人30分钟，过时离去，则两人能会面的概率是（）A．B．C．D．11．（5分）双曲线C的渐近线方程为y＝±x，一个焦点为F（0，﹣6），点A（﹣，0），点P为双曲线第二象限内的点，则当点P的位置变化时，△P AF周长的最小值为（）A．16B．7+3C．14+D．1812．（5分）已知A，B是以F为焦点的抛物线y2＝4x上两点，且满足＝5，则弦AB 中点到准线距离为（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．13．（5分）把二进制数10011（2）转化为十进制的数为．14．（5分）已知双曲线x2﹣y2＝1，则它的右焦点到它的渐近线的距离是．15．（5分）若命题“∃x0∈R，x02+（a﹣1）x0+1＜0”是假命题，则实数a的取值范围为．16．（5分）已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1、F2，抛物线y2＝4cx（c2＝a2﹣b2且c＞b）与椭圆C在第一象限的交点为P，若cos∠PF1F2＝，则椭圆C的离心率为．三、解答题：本大题共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）已知直线l1：kx﹣2y+k﹣8＝0（k∈R），l2：2x+y+1＝0．（Ⅰ）若l1∥l2，求l1，l2间的距离；（Ⅱ）求证：直线l1必过第三象限．18．（12分）已知命题p：实数m满m2﹣2am﹣3a2＜0，其中a＞0；命题q：点（1，1）在圆x2+y2﹣2mx+2my+2m2﹣10＝0的内部．（Ⅰ）当a＝1，p∧q为真时，求m的取值范围；（Ⅱ）若￢p是￢q的充分不必要条件，求a的取值范围．19．（12分）已知线段AB的端点B在圆C1：x2+（y﹣4）2＝16上运动，端点A的坐标为（4，0），线段AB中点为M，（Ⅰ）试求M点的轨迹C2方程；（Ⅱ）若圆C1与曲线C2交于C，D两点，试求线段CD的长．20．（12分）随着2018年央视大型文化节目《经典咏流传》的热播，在全民中掀起了诵读诗词的热潮广安某社团调查了广安某校300名学生每天诵读诗词的时间（所有学生诵读时间都在两小时内，并按时间（单位：分钟）将学生分成六个组：[0，20），[20，40），[40，60），[60，80），[80，100），[100，120]经统计得到了如图所示的频率分布直方图．（Ⅰ）求频率分布直方图中a的值，并估计该校学生每天诵读诗词的时间的平均数和中位数．（Ⅱ）若两个同学诵读诗词的时间x，y满足|x﹣y|＞60，则这两个同学组成一个“Team”，已知从每天诵读时间小于20分钟和大于或等于80分钟的所有学生中用分层抽样的方法抽取了5人，现从这5人中随机选取2人，求选取的两人能组成一个“Team”的概率．21．（12分）已知椭圆C：+y2＝1（a＞0），过椭圆C右顶点和上顶点的直线l与圆x2+y2＝相切．（1）求椭圆C的方程；（2）设M是椭圆C的上顶点，过点M分别作直线MA，MB交椭圆C于A，B两点，设这两条直线的斜率分别为k1，k2，且k1+k2＝2，证明：直线AB过定点．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2（1+sin2θ）＝2．（Ⅰ）求l的直角坐标方程和C的直角坐标方程；（Ⅱ）若l和C相交于A，B两点，求|AB|的值．[选修4-5：不等式选讲]23．设函数f（x）＝|x﹣1|，g（x）＝|2x﹣4|．（Ⅰ）求不等式f（x）＞g（x）的解集．（Ⅱ）若存在x∈R，使得不等式2f（x+1）+g（x）＜ax+1成立，求实数a的取值范围．2018-2019学年四川省广安市高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择題（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求）1．【解答】解：∵空间直角坐标系中A（2，﹣1，﹣2），B（3，2，1），∴|AB|＝＝．故选：B．2．【解答】解：由题意，直线的斜率为k＝，即直线倾斜角的正切值是又倾斜角大于或等于0°且小于180°，故直线的倾斜角为30°，故选：A．3．【解答】解：以x＝1为准线的抛物线，开口向左，可得p＝2，所以抛物线的标准方程为：y2＝﹣4x．故选：D．4．【解答】解：若p则q的否命题为若￢p则￢q，即命题的否命题为：若x≥1，则x2﹣3x+2≤0，故选：A．5．【解答】解：根据题意，直线l：x+ay+1＝0与圆N：（x﹣1）2+（y﹣1）2＝1相切，则有＝1，解可得：a＝﹣；故选：D．6．【解答】解：根据y与x的线性回归方程为＝0.67x﹣60.9，则b＝0.67＞0，y与x具有正的线性相关关系，A正确；回归直线过样本点的中心（），B正确；该高中某学生身高为170cm，则可预测其体重必为53kg，C错误；若该高中某学生身高增加1cm，则其体重约增加0.67kg，D正确．∴不正确的结论是C．故选：C．7．【解答】解：若方程+＝1为椭圆方程，则，解得：2＜m＜6，且m≠4，故“2＜m＜6”是“方程+＝1为椭圆方程”的必要不充分条件，故选：B．8．【解答】解：由茎叶图得：甲的数据相对分散，而乙的数据相对集中于茎叶图的右下方，∴＜，s 1＞s2．故选：C．9．【解答】解：初始值n＝3，x＝3，程序运行过程如下表所示：v＝1i＝2，v＝1×3+2＝5i＝1，v＝5×3+1＝16i＝0，v＝16×3+0＝48i＝﹣1，不满足条件，跳出循环，输出v的值为48．故选：C．10．【解答】解：设记7：30为0，则8：30记为60，设小华到达“思源广场”为x时刻，小明小华到达“思源广场”为y时刻，则0≤x≤60，0≤y≤60，记“两人能会面”为事件A，则事件A：|x﹣y|≤30，由图知：两人能会面的概率是：＝＝，故选：B．11．【解答】解：双曲线C的渐近线方程为y＝±x，一个焦点为F（0，﹣6），可得，c＝＝6，a＝2，b＝4．双曲线方程为，设双曲线的上焦点为F'（0，6），则|PF|＝|PF'|+4，△P AF的周长为|PF|+|P A|+|AF|＝|PF'|+2a+|P A|+AF，当P点在第二象限时，|PF'|+|P A|的最小值为|AF'|＝7，故△P AF的周长的最小值为14+4＝18．故选：D．12．【解答】解：设BF＝m，由抛物线的定义知AA1＝5m，BB1＝m，∴△ABC中，AC＝4m，AB＝6m，kAB＝，直线AB方程为y＝（x﹣1），与抛物线方程联立消y得5x2﹣26x+5＝0，所以AB中点到准线距离为+1＝+1＝．故选：A．二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．13．【解答】解：10011（2）＝1+1×2+1×24＝19故答案为：1914．【解答】解：双曲线x2﹣y2＝1，可得a＝1，b＝1，c＝，则右焦点（1，0）到它的渐近线y＝x的距离为d＝＝．故答案为：．15．【解答】解：∵命题“∃x0∈R，x+（a﹣1）x0+1＜0”是假命题，∴命题“∀x∈R，x2+（a﹣1）x+1≥0”是真命题，即对应的判别式△＝（a﹣1）2﹣4≤0，即（a﹣1）2≤4，∴﹣2≤a﹣1≤2，即﹣1≤a≤3，故答案为：[﹣1，3]．16．【解答】解：抛物线y2＝4cx的焦点为F2（c，0），如下图所示，作抛物线的准线l，则直线l过点F1，过点P作PE垂直于直线l，垂足为点E，由抛物线的定义知|PE|＝|PF2|，易知，PE∥x轴，则∠EPF1＝∠PF1F2，所以，＝，设|PF1|＝5t（t＞0），则|PF2|＝4t，由椭圆定义可知，2a＝|PF1|+|PF2|＝9t，在△PF1F2中，由余弦定理可得，整理得，解得，或．∵c＞b，则c2＞b2＝a2﹣c2，可得离心率．当时，离心率为，合乎题意；当时，离心率为，不合乎题意．综上所述，椭圆C的离心率为．故答案为：．三、解答题：本大题共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．【解答】解：（Ⅰ）若l1∥l2，直线l1：kx﹣2y+k﹣8＝0（k∈R），l2：2x+y+1＝0，则有＝≠，求得k＝﹣4，故直线l1即：2x+y+6＝0，故l1，l2间的距离为＝．（Ⅱ）证明：直线l1：kx﹣2y+k﹣8＝0（k∈R），即k（x+1）﹣2y﹣8＝0，必经过直线x+1＝0和直线﹣2y﹣8＝0的交点（﹣1，﹣4），而点（﹣1，﹣4）在第三象限，直线l1必过第三象限．18．【解答】解：（Ⅰ）当a＝1，命题p：m2﹣2m﹣3＜0，﹣1＜m＜3，命题q：点（1，1）在圆x2+y2﹣2mx+2my+2m2﹣10＝0的内部，∴m2﹣4＜0，∴﹣2＜m＜2，∵p∧q为真，∴m的取值范围为（﹣1，3）∩（﹣2，2）＝（﹣1，2）；（Ⅱ）命题p：（m﹣3a）（m+a）＜0，∵a＞0，∴﹣a＜m＜3a，设A＝（﹣a，3a）命题q：﹣2＜m＜2，设B＝（﹣2，2）∵￢p是￢q的充分不必要条件，∴￢p⇒￢q，￢q推不出￢p，∴q⇒p，p推不出q，∴B⊊A，∴，∴a≥2，∴a的取值范围为[2，+∞）．19．【解答】解：（Ⅰ）设M（x，y），B（x′，y′），则由题意可得：，解得：，∵点B在圆C1：x2+（y﹣4）2＝16上，∴（x′）2+（y′﹣4）2＝16，∴（2x﹣4）2+（2y﹣4）2＝16，即（x﹣2）2+（y﹣2）2＝4．∴轨迹C2方程为（x﹣2）2+（y﹣2）2＝4；（Ⅱ）由方程组，解得直线CD的方程为x﹣y﹣1＝0，圆C1的圆心C1（0，4）到直线CD的距离为，圆C1的半径为4，∴线段CD的长为．20．【解答】解：（Ⅰ）由频率分布直方图得：（a+a+6a+8a+3a+a）×20＝1，解得a＝0.0025．该校学生每天诵读诗词的时间的平均数为：0.05×10+0.05×30+0.3×50+0.4×70+0.15×90+0.05×110＝64．[0，60）的频率为：0.05+0.05+0.3＝0.4，[60，80）的频率为：0.4，∴估计该校学生每天诵读诗词的时间的中位数为：60+＝65．（Ⅱ）从每天诵读时间小于20分钟和大于或等于80分钟的所有学生中用分层抽样的方法抽取了5人，则从每天诵读时间小于20分钟的学生中抽取：5×＝1人，从每天诵读时间大于或等于80分钟的所有学生中抽取：5×＝4人，现从这5人中随机选取2人，基本事件总数n＝＝10，两个同学诵读诗词的时间x，y满足|x﹣y|＞60，则这两个同学组成一个“Team”，选取的两人能组成一个“Team”包含的基本事件个数m＝＝4．∴选取的两人能组成一个“Team”的概率p＝＝＝．21．【解答】解：（1）椭圆C的右顶点（a，0），上顶点（0，1），设直线l的方程为：+y＝1，化为：x+ay﹣a＝0，∵直线l与圆x2+y2＝相切，∴＝，a＞0，解得a＝．∴椭圆C的方程为．（2）当直线AB的斜率不存在时，设A（x0，y0），则B（x0，﹣y0），由k1+k2＝2得，得x0＝﹣1．当直线AB的斜率存在时，设AB的方程为y＝kx+m（m≠1），A（x1，y1），B（x2，y2），，得，∴，即，由m≠1，（1﹣k）（m+1）＝﹣km⇒k＝m+1，即y＝kx+m＝（m+1）x+m⇒m（x+1）＝y﹣x，故直线AB过定点（﹣1，﹣1）．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．【解答】解：（1）∵直线l的参数方程为（t为参数），∴l的直角坐标方程为+＝0，∵曲线C的极坐标方程为ρ2（1+sin2θ）＝2，即ρ2+ρ2sin2θ＝2，∴C的直角坐标方程为x2+y2+y2＝2，即＝1．（2）联立，得7x2+12x+4＝0，△＝144﹣4×7×4＝32＞0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2＝﹣，x1x2＝，∴|AB|＝＝．[选修4-5：不等式选讲]23．【解答】解：（Ⅰ）由|x﹣1|＞|2x﹣4|，得：x2﹣2x+1＞4x2﹣16x+16，解得：＜x＜3，故不等式的解集是（，3）；（Ⅱ）若存在x∈R，使得不等式2f（x+1）+g（x）＜ax+1成立，即存在x∈R，使得2|x|+|2x﹣4|＜ax+1成立，当x＜0时，﹣4x+4＜ax+1即a＜﹣4在（﹣∞，0）上有解，故a＜﹣4，当x＝0时，4＜1不成立，当0＜x≤2时，4＜ax+1即a＞在（0，2]上有解，故a＞，当x＞2时，4x﹣4＜ax+1即a＞4﹣在（2，+∞）上有解，故a＞，综上，a＞或a＜﹣4．。
2023-2024学年河南省洛阳市高二(上)期末数学试卷【答案版】
2023-2024学年河南省洛阳市高二（上）期末数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有1．直线的倾斜角为（）A．60°B．90°C．120°D．150°2．若平面α的法向量为，直线l的方向向量为，l⊄α（）A．＝（﹣1，0，1），＝（1，0，1）B．＝（0，﹣1，2），＝（0，1，﹣2）C．＝（1，﹣2，1），＝（﹣2，1，﹣2）D．＝（2，﹣1，1），＝（﹣4，2，﹣2）3．《周髀算经》中有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气其日影长依次成等差数列，小寒、立春、惊蛰日影长之和为31.5尺，则谷雨日影长为（）A．1.5尺B．3.5尺C．5.5尺D．7.5尺4．已知方程表示焦点在x轴上的椭圆，则m的取值范围是（）A．B．﹣2＜m＜﹣1C．m＞﹣1D．﹣2＜m＜﹣1且5．椭圆的左、右顶点分别是A，B，椭圆的左焦点和中心分别是F，|FB|的等比中项，则此椭圆的离心率为（）A．B．C．D．6．已知等比数列{a n}的首项为﹣1，前n项和为S n，若，则a5＝（）A．﹣16B．﹣4C．D．7．若圆x2+y2＝1上总存在两个点到点（a，2）的距离为3，则实数a的取值范围是（）A．（2，4）B．（0，4）C．D．8．已知P为双曲线左支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，N为△PF1F2的内心．若，则点N到焦点F1的距离是（）A．1B．2C．D．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求,全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．已知双曲线C：9x2﹣16y2＝144，则（）A．双曲线C的离心率为B．双曲线C的虚轴长为6C．双曲线C的实半轴长为8D．双曲线C的渐近线方程为10．三棱锥A﹣BCD中，平面ABD与平面BCD的法向量分别为＝（2，﹣1，1），＝（1，1，2），则二面角A﹣BD﹣C的大小可能为（）A．B．C．D．11．已知A（﹣1，0），B（1，0），直线AP，BP相交于P，BP的斜率分别为k1，k2，则（）A．当k1•k2＝﹣2时，P点的轨迹为除去A，B两点的椭圆B．当k1•k2＝﹣1时，P点的轨迹为除去A，B两点的圆C．当k1•k2＝2时，P点的轨迹为除去A，B两点的双曲线D．当k1+k2＝2时，P点的轨迹为除去A，B两点的抛物线12．数列{a n}满足，，数列{b n}的前n项和为S n，且，则下列正确的是（）A．是数列{a n}中的项B．数列{b n}是首项为3，公比为3的等比数列C．数列{a n a n+1}的前n项和D．数列{}的前n项和三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2018-2019学年安徽省黄山市屯溪第一中学高二下学期期中考试数学(理)试题
2018-2019学年安徽省黄山市屯溪第一中学高二下学期期中考试高二数学（理科）试题本试卷分第Ⅰ卷（选择题60分）和第Ⅱ卷（非选择题90分）两部分.满分150分，考试时间120分钟.★祝考试顺利★ 注意事项：1、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
2、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
3、主观题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
4、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
5、保持卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
6、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
第Ⅰ卷（选择题 满分60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．已知函数()x f 在0x 处的导数为1，则()()xx f x x f x ∆-∆+→∆0002lim等于（ ）A ．2B ．﹣2C ．1D ．﹣1 2．已知i 为虚数单位，复数iiz -+=223，则以下为真命题的是（ ） A ．z 的共轭复数为5457i - B ．z 的虚部为58C ．3=zD ．z 在复平面内对应的点在第一象限3．“指数函数()0>=a a y x是减函数，xy 2=是指数函数，所以xy 2=是减函数”上述推理（ ）A ．大前提错误B ．小前提错误C ．推理形式错误D ．以上都不是 4．用数学归纳法证明65312111≥+++++n n n ，从k n =到1+=k n ，不等式左边需添加的项是（ ）A ．331231131+++++k k k B ．332231131+-+++k k k C ．11331+-+k k D ．331+k 5．若3=x 是函数()()xe ax x xf 12++=的极值点，则()x f 的极大值为（ ）A ．e 2-B ．22e -C ．322-eD ．16-e 6．如图是函数()x f y =的导函数()x f y '=的图象，给出下列命题：①-2是函数()x f y =的极值点； ②1是函数()x f y =的极值点；③()x f y =的图象在0=x 处切线的斜率小于零； ④函数()x f y =在区间()2,2-上单调递增. 则正确命题的序号是（ ）A ．①③B ．②④C ．②③D ．①④7．已知复数z 满足23221=++---i z i z （i 是虚数单位），若在复平面内复数z 对应的点为Z ，则点Z 的轨迹为（ ）A ．双曲线的一支B ．双曲线C ．一条射线D ．两条射线8．一物体沿直线做运动，其速度()t v 和时间t 的关系为()22t t t v -=，在1=t 到3=t 时间段内该物体行进的路程和位移分别是（ ） A ．2，32-B ．2，32C ．32，32D ．32，32- 9．设α是给定的平面，B A ,是不在α内的任意两点，则下列结论中正确的是（ ） A ．在α内一定存在直线与直线AB 相交； B ．在α内一定存在直线与直线AB 异面； C ．一定不存在过直线AB 的平面与平面α垂直； D ．一定存在过直线AB 的平面与平面α平行. 10．函数为R 上的可导函数，其导函数为()x f '，且()x x f x f cos sin 63+⋅⎪⎭⎫⎝⎛'=π，在ABC ∆中，()()1='=B f A f ，则ABC ∆的形状为A ．等腰锐角三角形B ．直角三角形C ．等边三角形D ．等腰钝角三角形 11．图一是美丽的“勾股树”，它是一个直角三角形分别以它的每一边向外作正方形而得到．图二是第1代“勾股树”，重复图二的作法，得到图三为第2代“勾股树”，以此类推，已知最大的正方形面积为1，则第n 代“勾股树”所有正方形的个数与面积的和分别为（ ）A ．B ．C ．D ．12．已知定义在上的可导函数，满足①，②，(其中是的导函数，是自然对数的底数)，则的范围是( ) A ．B ．C ．D ．第Ⅱ卷（非选择题 满分90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置上.） 13．dx x 2111-⎰-=__________________.14．做一个母线长为的圆锥形漏斗，当其体积最大时，高应为__________．15．在平面几何中：已知O 是ABC ∆内的任意一点，连结CO BO AO ,,并延长交对边于C B A ''',,，则1=''+''+''C C C O B B B O A A A O . 这是一个真命题，其证明常采用“面积法”.拓展到空间，可以得出的真命题是：已知O 是四面体ABCD 内的任意一点，连结DO CO BO AO ,,,并延长交对面于D C B A '''',,,，则___________ .16．函数()()xxaex e x f -=恰有两个极值点()2121,x xx x <，则实数a 的取值范围是_________ _．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解答应写在答题卡上的指定区域内.）17．（本小题满分10分）已知：23165sin 105sin 45sin 222=++； 23130sin 70sin 10sin 222=++ ；23150sin 90sin 30sin 222=++.通过观察上述三个等式的规律，写出能反映一般规律的等式，并证明你的结论．18．（本小题满分12分）（1）若y x ,都是正实数，且2>+y x ，求证：21<+y x 与21<+xy中至少有一个成立． （2）求证：()*∈+-+>-+N n n n n n 12119．（本小题满分12分）已知二次函数()c bx ax x f ++=2，直线2:1=x l ，直线t t y l 8:22+-=（其中20≤≤t ，t 为常数），若直线21,l l 与函数()x f 的图象以及y l l ,,21轴与函数()x f 的图象所围成的封闭图形（阴影部分）如图所示． （1）求c b a ,,的值；（2）求阴影面积s 关于t 的函数()t s 的解析式．20．（本小题满分12分）已知函数()R x xx f ∈=,2sin 1，记()x f n 1+为()x f n 的导数，*∈N n 。
洛阳市2019年高考第三次统一考试数学理科试题卷含答案详析
洛阳市2018—2019学年高中三年级第三次统一考试数学试卷（文）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数，则（）A. 2B. -2C.D.【答案】A【解析】解：因为，所以，故选A2.设全集，，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先化简集合A,B，再结合集合补集交集的定义进行求解即可．【详解】，，则或，则，故选：．【点睛】本题主要考查集合的基本运算，结合集合补集交集的定义是解决本题的关键．3.已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图甲和图乙所示.为了了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为（）A. 100，10B. 100，20C. 200，10D. 200，20【答案】D【解析】【分析】根据分层抽样的定义建立比例关系即可得到结论．【详解】由题得样本容量为，抽取的高中生人数为人，则近视人数为人，故选：．【点睛】本题主要考查分层抽样的应用，根据条件建立比例关系是解决本题的关键．4.中心在远点，焦点在轴上的双曲线的一条渐近线经过点（4,2），则它的离心率为A. B.C. D.【答案】D【解析】由题意知,过点(4,-2)的渐近线方程为y=-x,∴-2=-×4,∴a=2b.设b=k,则a=2k,c=k,∴e===.5.执行如图所示的框图，若输入的是4，则输出的值是（）A. 6B. 24C. 30D. 120【答案】B【解析】【分析】根据程序框图进行模拟运算即可．【详解】若，，是，，，是，，，是，，，否，，故选：．【点睛】本题主要考查程序框图的识别和判断，利用模拟运算法是解决本题的关键．6.，为平面向量，已知，，则，夹角的余弦值等于（）A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：∵=(4,3)，2+=(3,18)，∴=(-5,12)，∴，，，∴，即,夹角的余弦值等于，故选C考点：本题考查了向量及数量积的坐标运算点评：熟练掌握数量积的定义及坐标运算是解决此类问题的关键，属基础题7.下列命题错误的是（）A. 命题“若，则”的逆否命题为“若，则”B. 若：，.则：，.C. 若复合命题：“”为假命题，则，均为假命题D. “”是“”的充分不必要条件【答案】C【解析】【分析】对每一个选项逐一分析得解.【详解】对于选项A,命题“若，则”的逆否命题为“若，则”是真命题，故选项A是正确的；对于选项B,若：，.则：，.是真命题，故选项B是正确的；对于选项C, 若复合命题：“”为假命题，则，至少有一个为假命题，所以该选项是错误的，故选项C是错误的；对于选项D,因为，所以或，所以“”是“”的充分不必要条件，故选项D是正确的.故选：C【点睛】本题主要考查逆否命题和特称命题的否定，考查复合命题的真假和充分不必要条件，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.8.设实数，满足，则目标函数（）A. 有最小值2，最大值3B. 有最小值2，无最大值C. 有最小值-1，最大值3D. 既无最小值，也无最大值【答案】B【解析】【分析】先作出不等式的可行域，再利用数形结合分析得解.【详解】由题得不等式的可行域如图所示，由题的y=-x+z,直线的纵截距为z,当直线y=-x+z经过点A时，直线的纵截距z最小，联立得A(2,0),所以z最小=2+0=2，由于纵截距没有最大值，所以z没有最大值.故选：B【点睛】本题主要考查线性规划求最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.9.某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】由已知三视图得到几何体是底面半径为2，高为3的圆柱的，由此计算体积即可．【详解】由已知三视图得到几何体是底面半径为2，高为3的圆柱的，所以几何体的体积为；故选：．【点睛】本题考查了几何体的三视图,关键是正确还原几何体的形状，利用公式求体积．10.已知函数为定义在上的奇函数，是偶函数，且当时，，则（）A. -3B. -2C. -1D. 0【答案】C【解析】【分析】先通过分析求出函数f(x)的周期，再利用函数的周期求值得解.【详解】因为函数是偶函数，所以所以函数f(x)的图像关于直线x=2对称，所以所以，所以，所以函数的周期为8，所以.故选：C【点睛】本题主要考查函数的奇偶性、对称性和周期性应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.11.已知抛物线：，过焦点且斜率为2的直线交抛物线于、两点，则（）A. 5B.C. 4D.【答案】B【解析】【分析】设,联立直线和抛物线的方程得，再求的值.【详解】设,由题得直线AB的方程为联立方程得，所以所以.故选：B【点睛】本题主要考查抛物线的简单几何性质，考查直线和抛物线的位置关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.12.锐角中，角，，的对边分别为，，，且满足，函数，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先根据余弦定理得到，再根据正弦定理和两角和差正弦公式可得sinA=sin(B-A)，根据三角形为锐角三角形，求得，以及，的范围，再求出f(B)的表达式，利用三角函数的图像和性质求解.【详解】，，，，，，三角形为锐角三角形，，，，，==，所以,因为,所以.故选：A【点睛】本题主要考查余弦定正弦定理理解三角形和三角函数的图像和性质，考查三角恒等变换，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.13.圆与直线相交于，两点，则弦_______．【答案】【解析】【分析】先求出圆心到直线的距离，再解直角三角形求解.【详解】由题得圆心到直线的距离为，所以|AB|=.故答案为：【点睛】本题主要考查直线和圆的位置关系，考查弦长公式的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.14.若是函数的极值点，则函数在点处的切线方程是______．【答案】【解析】【分析】根据是函数的极值点得k=e,再利用导数的几何意义求切线方程.【详解】由题得.所以.所以切点为（1，-e）,所以切线方程为.故答案为：【点睛】本题主要考查导数的几何意义和极值的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.15.在底面是边长为的正方形的四棱锥中，顶点在底面的射影为正方形的中心，异面直线与所成角的正切值为2，若四棱锥的内切球半径为，外接球的半径为，则________．【答案】【解析】【分析】设，为，的中点，先求出四棱锥内切球的半径，再求出外接球的半径，即得解.【详解】如图，，为，的中点，由题意，为正四棱锥，底边长为2，，即为与所成角，可得斜高为2，为正三角形，正四棱锥的内切球半径即为的内切圆半径，所以可得，设为外接球球心，在中，，解得，，故答案为：.【点睛】本题主要考查多面体与球的内切和外接问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.16.有下列四个命题：其中真命题的序号是__________.①等差数列的前项和为，若，则；②函数的最小值4；③函数在点处的切线方程是；④函数的唯一零点在区间上.【答案】①③④【解析】【分析】对每一个命题逐一分析得解.【详解】①设,故该命题正确；②设，所以函数g(t)在上单调递减，所以函数的最小值为g(1)=5,所以该命题是假命题.③切线方程为y-0=x-1,所以该命题是真命题；④，所以函数在（1,2）上单调递增，，所以函数的唯一零点在区间上.故该命题是真命题.故答案为：①③④【点睛】本题主要考查等差数列的性质，考查利用导数研究函数的最值和零点，考查导数几何意义，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.三、解答题：本大题共6个小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17.设数列是等差数列，数列的前项和满足且，.（1）求数列和的通项公式；（2）求的前项和.【答案】（1）,；（2）.【解析】【分析】（1）利用项和公式求数列的通项公式，再求数列的通项公式；（2）利用错位相减法求的前项和.【详解】（1）由，当时，，当时，，，即，∴是首项为3，公比为3的等比数列，所以数列的通项公式为，又因为数列是等差数列，且，，所以，可得数列的通项公式为.（2）①②①-②得，整理得.【点睛】本题主要考查等差数列的通项的求法，考查项和公式求等比数列的通项，考查错位相减法求数列的前n项和,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.18.如图，在三棱柱中，四边形是菱形，四边形是矩形，、分别为棱、的中点.（1）求证：平面；（2）若，，且平面平面，求四棱锥的体积.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）取的中点，连接，，证明，再证明平面；（2）取的中点，证明平面，再利用求四棱锥的体积.【详解】证明：（1）取的中点，连接，，因为且，又因为，分别为，的中点，且，所以与平行且相等，所以四边形是平行四边形，所以，又平面，平面，所以平面.（2）取的中点，在中，，，，∴，∴，∴，即.∵平面平面，平面平面，又平面，∴平面.，∴即四棱锥的体积为.【点睛】本题主要考查空间几何元素的平行关系的证明，考查几何体体积的计算，意在考查学生对这些知识的理解张窝水平和分析推理能力.19.某学校为调查高三年级学生的身高情况，按随机抽样的方法抽取100名学生，得到男生身高情况的频率分布直方图（图（1））和女生身高情况的频率分布直方图（图（2））.已知图（1）中身高在的男生人数有16人.（1）试问在抽取的学生中，男，女生各有多少人？（2）根据频率分布直方图，完成下列的列联表，并判断能有多大（百分之几）的把握认为“身高与性别有关”？总计男生身高女生身高总计（3）在上述100名学生中，从身高在之间的男生和身高在之间的女生中间按男、女性别分层抽样的方法，抽出6人，从这6人中选派2人当旗手，求2人中恰好有一名女生的概率.参考公式：参考数据：0.0250.0100.0050.0015.0246.6357.87910.828【答案】（1）40,60；（2）列联表见解析，有的把握认为身高与性别有关；（3）.【解析】【分析】（1）根据直方图求出男生的人数为40，再求女生的人数；（2）完成列联表，再利用独立性检验求出有的把握认为身高与性别有关；（3）利用古典概型的概率公式求出2人中恰好有一名女生的概率.【详解】（1）直方图中，因为身高在的男生的频率为0.4，设男生数为，则，得.由男生的人数为40，得女生的人数为.（2）男生身高的人数，女生身高的人数，所以可得到下列列联表：总计男生身高301040女生身高65460总计3664100，所以能有的把握认为身高与性别有关；（3）在之间的男生有12人，在之间的女生人数有6人.按分层抽样的方法抽出6人，则男生占4人，女生占2人.设男生为，，，，女生为，.从6人任选2名有：，，，，，，，，，，，，，，共15种可能，2人中恰好有一名女生：，，，，，，，共8种可能，故所求概率为.【点睛】本题主要考查频率分布直方图的计算，考查独立性检验解决实际问题，考查古典概型的概率的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.20.已知椭圆右顶点与右焦点的距离为，短轴长为，为坐标原点.（1）求椭圆的方程；（2）过点的直线与椭圆分别交于，两点，求的面积的最大值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由题意列出关于a,b,c的方程组，解方程组即得椭圆的方程；（2）由题意知直线的斜率存在，设直线方程为，求出,再换元利用基本不等式求面积的最大值.【详解】（1）由题意知，，∴.联立解得：，.∴椭圆的方程为.（2）由题意知直线的斜率存在，设直线方程为，联立：消去得，设点，，∴，即，，.∵到的距离，，所以.令，∴，.∴.当且仅当，即时，的面积的最大值为.【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程的求法，考查直线和椭圆的位置关系和最值的求解，考查基本不等式求最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.21.已知函数.（1）讨论的单调性；（2）若恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增；（2）.【解析】【分析】（1）对a分三种情况讨论求出函数的单调性；（2）对a分三种情况，先求出每一种情况下函数f(x)的最小值，再解不等式得解.【详解】（1），当时，，在上单调递增；当时，，，，，∴在上单调递减，在上单调递增；当时，，，，，∴在上单调递减，在上单调递增.综上：当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增.（2）由（1）可知：当时，，∴成立.当时，，，∴.当时，，，∴，即.综上.【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性和不等式的恒成立问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.做答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号后的方框涂黑.选修4-4：坐标系与参数方程22.已知极点与坐标原点重合，极轴与轴非负半轴重合，是曲线：上任一点，点满足.设点的轨迹为曲线.（1）求曲线的平面直角坐标方程；（2）已知曲线向上平移1个单位后得到曲线，设曲线与直线：（为参数）相交于，两点，求值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】(1)设，求出点的极坐标为.把点代入曲线即得曲线的极坐标方程，再化成直角坐标方程即可.(2)求出的参数方程，再利用直线参数方程t的几何意义求解.【详解】（1）设，∵，点的极坐标为.把点代入曲线，得，即曲线的极坐标方程为：.∵，∴，∴，∴曲线的平面直角坐标系下的方程为.（2）曲线向上平移1个单位后曲线的方程为.的参数方程化为：.两方程联立得，∴，，∴.【点睛】本题主要考查极坐标和直角坐标方程互化，考查直线参数方程t的几何意义，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.选修4-5：不等式选讲23.已知函数.（1）解不等式：；（2）若，求证：.【答案】（1）；（2）详见解析.【解析】【分析】（1）讨论x的范围，去掉绝对值符号解不等式；（2）利用绝对值三角不等式证明．【详解】（1）不等式化为.当时，原不等式等价于，即；当时，原不等式等价于，即；当时，原不等式等价于，即.综上，原不等式的解集为.（2）由题意得，所以成立.【点睛】本题主要考查绝对值不等式的解法，绝对值三角不等式的应用，考查了分类讨论的思想，属于基础题．。
人教A版数学高二弧度制精选试卷练习(含答案)2
人教A 版数学高二弧度制精选试卷练习（含答案)学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知扇形的周长是5cm ，面积是322cm ，则扇形的中心角的弧度数是（ ） A ．3B ．43C ．433或 D ．2【来源】江西省九江第一中学2016-2017学年高一下学期期中考试数学（文)试题 【答案】C2．已知扇形的周长为8cm ，圆心角为2，则扇形的面积为（ ） A ．1B ．2C ．4D ．5【来源】四川省双流中学2017-2018学年高一1月月考数学试题 【答案】C3．《掷铁饼者》 取材于希腊的现实生活中的体育竞技活动，刻画的是一名强健的男子在掷铁饼过程中最具有表现力的瞬间.现在把掷铁饼者张开的双臂近似看成一张拉满弦的“弓”，掷铁饼者的手臂长约为4π米，肩宽约为8π米，“弓”所在圆的半径约为1.25米，你估测一下掷铁饼者双手之间的距离约为（ ）1.732≈≈）A ．1.012米B ．1.768米C ．2.043米D ．2.945米【来源】安徽省五校(怀远一中、蒙城一中、淮南一中、颍上一中、淮南一中、涡阳一中)2019-2020学年高三联考数学（理)试题 【答案】B4．已知扇形的周长为4，圆心角所对的弧长为2，则这个扇形的面积是（ ） A ．2B ．1C ．sin 2D ．sin1【来源】福建省泉州市南安侨光中学2019-2020学年高一上学期第二次阶段考试数学试题 【答案】B5．已知α是第三象限角，且cos cos22αα=-，则2α是（ ） A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角【来源】2012人教A 版高中数学必修四1.2任意角的三角函数练习题 【答案】B6．如图,2弧度的圆心角所对的弦长为2,这个圆心角所对应的扇形面积是( )A ．1sin1B ．21sin 1C ．21cos 1D ．tan1【来源】广西河池市高级中学2017-2018学年高一下学期第二次月考数学试题 【答案】B7．半径为10cm ，面积为2100cm 的扇形中，弧所对的圆心角为（ ） A ．2 radB ．2︒C ．2π radD ．10 rad【来源】第一章滚动习题（一) 【答案】A8．若一扇形的圆心角为72︒，半径为20cm ，则扇形的面积为（ ）． A ．240πcmB ．280πcmC ．240cmD ．280cm【来源】陕西省西安市长安区第一中学2016-2017学年高一下学期第一次月考数学试题 【答案】D9．如图，把八个等圆按相邻两两外切摆放，其圆心连线构成一个正八边形，设正八边形内侧八个扇形（无阴影部分）面积之和为1S ，正八边形外侧八个扇形（阴影部分）面积之和为2S ，则12S S =（ ）A ．34B ．35C ．23D ．1【来源】广西省南宁市马山县金伦中学、武鸣县华侨中学等四校2017-2018学年高一10月月考数学试题. 【答案】B10．在－360°到0°内与角1250°终边相同的角是( ) . A ．170° B ．190° C ．－190°D ．－170°【来源】2012人教A 版高中数学必修四1.1任意角和弧度制练习题（一)（带解析) 【答案】C11．下列各角中，终边相同的角是 ( ) A ．23π和240o B ．5π-和314oC ．79π-和299π D ．3和3o【来源】新疆伊西哈拉镇中学2018-2019学年高一上学期第二次月考数学试题 【答案】C12．已知2弧度的圆心角所对的弧长为2，则这个圆心角所对的弦长是（ ） A ．sin 2B ．2sin 2C ．sin1D ．2sin1【来源】广东省东莞市2018-2019学年高一第二学期期末教学质量检查数学试题 【答案】D13，弧长是半径的3π倍，则扇形的面积等于（ ） A ．223cm πB ．26cm πC ．243cm πD ．23cm π【来源】河北省隆华存瑞中学（存瑞部)2018-2019学年高一上学期第二次数学试题 【答案】D14．如图所示，用两种方案将一块顶角为120︒，腰长为2的等腰三角形钢板OAB 裁剪成扇形，设方案一、二扇形的面积分别为12S , S ，周长分别为12,l l ，则（ ）A ．12S S =，12l l >B ．12S S =，12l l <C ．12S S >，12l l =D ．12S S <，12l l =【来源】浙江省省丽水市2018-2019学年高一下学期期末数学试题 【答案】A15．已知sin sin αβ>，那么下列命题成立的是( ) A ．若,αβ是第一象限角，则cos cos αβ> B ．若,αβ是第二象限角，则tan tan αβ> C ．若,αβ是第三象限角，则cos cos αβ> D ．若,αβ是第四象限角，则tan tan αβ>【来源】正定中学2010高三下学期第一次考试（数学文) 【答案】D16．半径为1cm ，中心角为150°的角所对的弧长为（ ）cm ． A ．23B ．23π C ．56D ．56π 【来源】宁夏石嘴山市第三中学2018-2019学年高一5月月考数学试题 【答案】D 17．设5sin 7a π=，2cos 7b π=，2tan 7c π=，则（ ） A ．a b c <<B ．a c b <<C ．b c a <<D ．b a c <<【来源】2008年高考天津卷文科数学试题 【答案】D18．扇形的中心角为120o ）A ．πB ．45πC D 2【来源】辽宁省大连市第八中学2016-2017学年高一下学期期中考试数学试题【答案】A19．若扇形的周长为8，圆心角为2rad ，则该扇形的面积为（ ） A ．2B ．4C ．8D ．16【来源】河南省洛阳市2018-2019学年高一下学期期中考试数学试卷 【答案】B20．-300° 化为弧度是（ ） A ．-43πB ．-53πC ．-54πD ．-76π【来源】2014-2015学年山东省宁阳四中高一下学期期中学分认定考试数学试卷（带解析) 【答案】B21．一个扇形的面积为3π，弧长为2π，则这个扇形的圆心角为（ ） A ．3π B ．4π C ．6π D ．23π 【来源】湖北省荆门市2017-2018学年高一（上)期末数学试题 【答案】D22．《九章算术》是中国古代第一部数学专著，成于公元一世纪左右，系统总结了战国、秦、汉时期的数学成就.其中《方田》一章中记载了计算弧田（弧田就是由圆弧和其所对弦所围成弓形）的面积所用的经验公式：弧田面积=12（弦×矢＋矢×矢），公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差.按照上述经验公式计算所得弧田面积与其实际面积之间存在误差.现有圆心角为23π，弦长为的弧田.其实际面积与按照上述经验公式计算出弧田的面积之间的误差为（ ）平方米.（其中3π≈，1.73≈）A ．15B ．16C ．17D ．18【来源】湖北省2018届高三5月冲刺数学（理)试题 【答案】B23．下列各式不正确的是( ) A ．－210°＝76π-B ．405°＝49πC ．335°＝2312πD ．705°＝4712π【来源】河南信阳市息县第一高级中学、第二高级中学、息县高中2018-2019学年高一下学期期中联考数学（文)试题 【答案】C24．下列函数中，最小正周期为π2的是( )A ．y =sin (2x −π3)B ．y =tan (2x −π3)C ．y =cos (2x +π6) D ．y =tan (4x +π6)【来源】20102011年山西省汾阳中学高一3月月考数学试卷 【答案】B25．已知扇形的周长为12cm ，圆心角为4rad ，则此扇形的弧长为 （ ） A ．4cmB ．6cmC ．8cmD ．10cm【来源】江西省玉山县一中2018-2019学年高一（重点班)下学期第一次月考数学（理)试卷 【答案】C二、填空题26．已知扇形的圆心角18πα=，扇形的面积为π，则该扇形的弧长的值是______.【来源】上海市黄浦区2018-2019学年高一下学期期末数学试题 【答案】3π 27．若一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面，则该圆锥的底面半径为_______ . 【来源】上海市浦东新区川沙中学2018-2019学年高二下学期期末数学试题 【答案】128．一个扇形的弧长与面积的数值都是5，则这个扇形中心角的弧度数为__________． 【来源】河南省灵宝市实验高中2017-2018学年高一下学期第一次月考考数学试题 【答案】5229．已知圆锥的侧面展开图是一个扇形，若此扇形的圆心角为65π、面积为15π，则该圆锥的体积为________.【来源】上海市杨浦区2019-2020学年高三上学期期中质量调研数学试题 【答案】12π30．圆O 的半径为1，P 为圆周上一点，现将如图放置的边长为1的正方形（实线所示 ，正方形的顶点A 和点P 重合）沿着圆周顺时针滚动，经过若干次滚动，点A 第一次回到点P 的位置，则点A 走过的路径的长度为 ．【来源】2015届山东省日照市高三3月模拟考试理科数学试卷（带解析)31．已知扇形的圆心角为1弧度，扇形半径为2，则此扇形的面积为______． 【来源】上海市复兴高级中学2018-2019学年高一下学期3月份质量检测数学试题 【答案】232．一个球夹在120°的二面角内，且与二面角的两个面都相切，两切点在球面上的最短距离为π，则这个球的半径为_______ .【来源】上海市七宝中学2017-2018学年高二下学期期中数学试题 【答案】333．用半径为，面积为cm 2的扇形铁皮制作一个无盖的圆锥形容器（衔接部分忽略不计）， 则该容器盛满水时的体积是 ．【来源】2012届江苏省泗阳中学高三上学期第一次调研考试数学试卷（实验班) 【答案】31000cm 3π34．《九章算术》是体现我国古代数学成就的杰出著作，其中(方田)章给出的计算弧田面积的经验公式为:弧田面积12=(弦⨯矢+矢2)，弧田(如图阴影部分)由圆弧及其所对的弦围成，公式中“弦”指圆弧所对弦的长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，现有弧长为43π米，半径等于2米的弧田，则弧所对的弦AB 的长是_____米，按照上述经验公式计算得到的弧田面积是___________平方米.【来源】山东省济南市2018-2019学年高一下学期期末学习质量评估数学试题【答案】1235．设扇形的半径长为2cm ，面积为24cm ，则扇形的圆心角的弧度数是 【来源】2013-2014学年山东济南商河弘德中学高一下学期第二次月考数学试卷（带解析) 【答案】236．已知一个圆锥的展开图如图所示，其中扇形的圆心角为120o ，弧长为2π，底面圆的半径为1，则该圆锥的体积为__________．【来源】2018年春高考数学（文)二轮专题复习训练：专题三 立体几何【答案】337．现用一半径为10cm ，面积为280cm π的扇形铁皮制作一个无盖的圆锥形容器（假定衔接部分及铁皮厚度忽略不计，且无损耗），则该容器的容积为__________3cm . 【来源】江苏省苏州市2018届高三调研测试（三)数学试题 【答案】128π38．已知扇形的周长为6，圆心角为1，则扇形的半径为___；扇形的面积为____. 【来源】浙江省宁波市镇海区镇海中学2018-2019学年高一上学期期中数学试题 【答案】2 2 39．给出下列命题：①第二象限角大于第一象限角；②三角形的内角是第一象限角或第二象限角；③不论用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形所在半径的大小无关； ④若sin sin αβ=，则α与β的终边相同；⑤若cos 0θ<，则θ是第二或第三象限的角． 其中正确的命题是______．（填序号）【来源】江苏省南通市启东中学2018-2019学年高二5月月考数学（文)试题 【答案】③40．设扇形的周长为4cm ，面积为21cm ，则扇形的圆心角的弧度数是________． 【来源】广东省中山市第一中学2016-2017学年高一下学期第一次段考（3月)数学（理)试题 【答案】2三、解答题41．已知扇形AOB 的周长为8．（1）若这个扇形的面积为3，求其圆心角的大小．（2）求该扇形的面积取得最大时，圆心角的大小和弦长AB ．【来源】2015-2016学年四川省雅安市天全中学高一11月月考数学试卷（带解析) 【答案】（1）或；（2）；．42．已知一扇形的中心角是120︒，所在圆的半径是10cm ，求： （1）扇形的弧长； （2）该弧所在的弓形的面积【来源】福建省福州市平潭县新世纪学校2019-2020学年高一上学期第二次月考数学试题【答案】（1）203π；（2）1003π-43．某公司拟设计一个扇环形状的花坛（如图所示），该扇环是由以点O 为圆心的两个同心圆弧和延长后通过点AD 的两条线段围成．设圆弧AB 、CD 所在圆的半径分别为()f x 、R 米，圆心角为θ（弧度）．（1）若3πθ=，13r =，26=r ，求花坛的面积；（2）设计时需要考虑花坛边缘（实线部分）的装饰问题，已知直线部分的装饰费用为60元/米，弧线部分的装饰费用为90元/米，预算费用总计1200元，问线段AD 的长度为多少时，花坛的面积最大？【来源】江苏省泰州市泰州中学2019~2020学年高一上学期期中数学试题 【答案】（1）292m π（2）当线段AD 的长为5米时，花坛的面积最大44．已知一个扇形的周长为30厘米，求扇形面积S 的最大值，并求此时扇形的半径和圆心角的弧度数.【来源】上海市华东师范大学第二附属中学2018-2019学年高一上学期期末数学试题 【答案】()2rad α= 152r =45．如图所示为圆柱形大型储油罐固定在U 型槽上的横截面图，已知图中ABCD 为等腰梯形（AB ∥DC ），支点A 与B 相距8m ，罐底最低点到地面CD 距离为1m ，设油罐横截面圆心为O ，半径为5m ，56D ∠=︒，求：U 型槽的横截面（阴影部分）的面积.（参考数据：sin530.8︒≈，tan56 1.5︒≈，3π≈，结果保留整数）【来源】上海市闵行区七宝中学2019-2020学年高一上学期9月月考数学试题 【答案】202m46．明朝数学家程大位在他的著作《算法统宗》中写了一首计算秋千绳索长度的词《西江月》:“平地秋千未起,踏板一尺离地,送行二步恰竿齐,五尺板高离地…”某教师根据这首词的思想设计如下图形,已知CE l ⊥,DF l ⊥,CB CD =,AD BC ⊥,5DF =,2BE =,AD =则在扇形BCD 中随机取一点求此点取自阴影部分的概率.【来源】山西省阳泉市2018-2019学年高一第一学期期末考试试题数学试题【答案】1)4(P A π=-47．某企业欲做一个介绍企业发展史的铭牌，铭牌的截面形状是如图所示的扇形环面（由试卷第11页，总11页 扇形OAD 挖去扇形OBC 后构成的）.已知10, (0<<10)OA=OB =x x ，线段BA 、CD与弧BC 、弧AD 的长度之和为30米，圆心角为θ弧度.（1）求θ关于x 的函数解析式；（2）记铭牌的截面面积为y ，试问x 取何值时，y 的值最大？并求出最大值.【来源】上海市黄浦区2018届高三4月模拟（二模)数学试题【答案】（1）210(010)10x x x θ+=<<+；（2）当52x =米时铭牌的面积最大，且最大面积为2254平方米. 48．已知一扇形的圆心角为()0αα>，所在圆的半径为R .（1）若90,10R cm α==o ，求扇形的弧长及该弧所在的弓形的面积；（2）若扇形的周长是一定值()0C C >，当α为多少弧度时，该扇形有最大面积?【来源】2019高考备考一轮复习精品资料 专题十五 任意角和弧度制及任意角的三角函数 教学案【答案】（1）2550π-；（2）见解析49．已知在半径为10的圆O 中，弦AB 的长为10.（1）求弦AB 所对的圆心角α(0<α<π)的大小；（2）求圆心角α所在的扇形弧长l 及弧所在的弓形的面积S .【来源】（人教A 版必修四)1.1.2弧度制（第一课时)同步练习02【答案】（1）π3（2）10π3；50(π3−√32) 50．已知在半径为6的圆O 中，弦AB 的长为6，(1)求弦AB 所对圆心角α的大小；(2)求α所在的扇形的弧长l 以及扇形的面积S.【来源】江西省玉山县一中2018-2019学年高一（重点班)下学期第一次月考数学（文)试卷【答案】（1）3π ；（2）2l π= ，6S π=。