电路分析含有互感的电路分析讲义

di 1 M dt
i1 + u1 _ * L1
M * L2
i2
i1
M
i2 L2 * + u2 _
+ u2 _
+ u1 _
* L1
时域形式：
di 1 di 2 u1 L1 M dt dt
di 1 di 2 u1 L1 M dt dt
di 1 di 2 u2 M L2 dt dt
对互感电压，因产生该电压的的电流在另一线圈上， 因此，要确定其符号，就必须知道两个线圈的绕向。这在 电路分析中显得很不方便。
11
s
0
N1
i1
N2 + u21 – *
N3 + u31 –
* + u11 –

di 1 u21 M 21 dt di 1 u31 M 31 dt
引入同名端可以解决这个问题。
第9章 有互感的电路
9. 1 互感和互感电压 9. 2 互感线圈的串联和并联 9. 3 有互感的电路的计算 9. 4 全耦合变压器和理想变压器 9. 5 变压器的电路模型
第9章 有互感的电路
9. 1 互感和互感电压 9. 2 互感线圈的串联和并联 9. 3 有互感的电路的计算 9. 4 全耦合变压器和理想变压器 9. 5 变压器的电路模型
9. 2 互感线圈的串联和并联
一、互感线圈的串联 1. 顺串 i + + u – – R1 u1 * L1 + M u – L i R
– + * L2 u2
u R1 i L1 di M di L2 di M di R2 i dt dt dt dt ( R1 R2 )i ( L1 L2 2 M ) di Ri L di dt dt R R1 R2 L L1 L2 2 M

+
L2 Δ'
M U2 Δ'
M U1 Δ'
L1 Δ'
U2




–
M Δ' U 1 L1 U 2 Δ'
–
L2 jω M I 1 Δ' jω L2 I 2 M Δ'
U
U2

相量图：

jω M I

jω L2 I


jω M I

R2 I
U 1


jω L2 I


jω M I
jω L1 I jω M I U R1 I U2


I

R1 I jω L1 I

I

U1

R2 I

(a) 正串
(b) 反串
二、互感线圈的并联 1. 同名端在同侧 M i + u – i1 * L1 *

注意： (1) 一个线圈可以不止和一个线圈有磁耦合关系； 有三个线圈，相互两两之间都有磁耦合，每对耦 合线圈的同名端必须用不同的符号来标记。 (2) 互感电压的符号有两重含义。 同名端； 参考方向；
互感现象的利与弊：
利用——变压器：信号、功率传递 避免——干扰 克服：合理布置线圈相互位置减少互感作用。
( L1 L2 M 2 ) Leq 0 L1 L2 2 M
故
M ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱL1 L2
互感小于两元件自感的几何平均值。 如全耦合：L1L2=M2
当 L1L2 ，Leq=0 (物理意义不明确)
L1=L2 ， Leq=L (相当于导线加粗，电感不变)
2. 同名端在异侧 M i + u – i1 * L1 * i2 L2
I I1 I2




整理得 U 13 jω( L1 M ) I 1 jω M I




U 23 jω( L2 M ) I 2 jω M I

2. 受控源等效电路
+
U1

+

I1

I2

+

j L1
j L2
I1

j M * *
U1

I2
+
U2

二、互感线圈的同名端 具有互感的线圈两端的电压包含自感电压和互感电 压。表达式的符号与参考方向和线圈绕向有关。对自感 电压，当u, i 取关联参考方向，i与 符合右螺旋定则， 其表达式为 dΨ11 dΦ11 di1 u11 N1 L1 dt dt dt 上式说明，对于自感电压由于电压电流为同一线圈上的， 只要参考方向确定了，其数学描述便可容易地写出，可 不用考虑线圈绕向。对线性电感，用u,i描述其特性，当 u,i取关联方向时，符号为正；当u,i为非关联方向时，符 号为负。
di 1 di 2 u L1 M dt dt di di u L2 2 M 1 dt dt
i2
L2
i = i1 +i2
解得u, i的关系： ( L1 L2 M 2 ) di u L1 L2 2 M dt
( L1 L2 M 2 ) Leq 0 L1 L2 2 M
可以证明：M12= M21= M。
Ψ12 ( M 12 ) i2 Ψ22 ( L2 ) i2
当两个线圈同时通以电流时，每个线圈两端的电压均包 含自感电压和互感电压： di1 di 2 u1 u11 u12 L1 M dt dt di1 di 2 u2 u21 u22 M L2 dt dt 在正弦交流电路中，其相量形式的方程为
L L1 L2 2M 0
M 1 ( L1 L2 ) 2
互感不大于两个自感的算术平均值。
互感的测量方法：
* 顺接一次，反接一次，就可以测出互感：
L顺 L反 M 4
* 全耦合 M L1 L2 L L1 L2 2 M L1 L2 2 L1 L2
U 1 jω L1 I 1 jω M 12 I 2 U 2 jω M 21 I 1 jω L2 I 2
互感的性质 ①从能量角度可以证明，对于线性电感 M12=M21=M




②互感系数 M 只与两个线圈的几何尺寸、匝数 、 相互位置 和周围的介质磁导率有关，如其他条件不变时，有
单位：H 同理，当线圈2中通电流i2时会产生磁通22，12 。 i2为 时变时，线圈2和线圈1两端分别产生感应电压u22 ， u12 。
12
N1
+ u12 – i2 + N2 u22 –
22
dΨ12 dΦ12 di 2 u12 N1 M 12 dt dt dt dΨ22 dΦ22 di 2 u22 N2 L2 dt dt dt
dΨ dΦ11 11 u11 N1 dt dt
dΨ dΦ21 21 u21 N2 dt dt
u11：自感电压； u21：互感电压。 ：磁链 (magnetic linkage) 当线圈周围无铁磁物质(空心线圈)时，有 di 1 Ψ 11 u11 L1 ( L1 ) dt i1 di 1 Ψ 21 u21 M 21 ( M 21 ) dt i1 L1：线圈1的自感系数；M21：线圈1对线圈2的互感系数。 (self-inductance coefficient) (mutual inductance coefficient)
1
I1

j M * *
I2

I1

I2

2
j L2
1 j (L1–M)
2
j L1
* *
j (L2–M)
j M 3

I

3

I

U 13 jω L1 I 1 jω M I 2 U 23 jω L2 I 2 jωM I 1
I I1 I2




整理得 U 13 jω( L1 M ) I 1 jω M I

* 2
1
*
2

3 3'
2'
1'
2'*
同名端的实验测定： R S 1 i
*
1'
*2
2'
+ V –
如图电路，当闭合开关S时，i增加，
di 0, dt
u22' M di 0 dt
电压表正偏。
当两组线圈装在黑盒里，只引出四个端线组，要确定 其同名端，就可以利用上面的结论来加以判断。
( L1 L2 ) 2
当 L1=L2 时 , M=L L= 4M 0 顺接 反接
在正弦激励下：

j M I R1 j L R2 j L2 1 * * – + – + U U1 2 – + U + U ( R1 R2 ) I jω( L1 L2 – M) I
di 1 di 2 u L1 M dt dt di 2 di 1 u L2 M dt dt
i = i1 +i2
解得u, i的关系：
( L1 L2 M 2 ) di u L1 L2 2 M dt
( L1 L2 M 2 ) Leq 0 L1 L2 2 M
三、互感消去法 1. 去耦等效(两电感有公共端) (a) 同名端接在一起



U 23 jω( L2 M ) I 2 jω M I

(b) 非同名端接在一起