人教版九年级上册数学同步练习《二次函数的图象和性质》(习题+答案)
22.1 二次函数的图象和性质内容提要1.一般地，形如2y ax bx c =++（,,a b c 是常数，0a ≠）的函数叫做二次函数.其中，x 是自变量，a ，b ，c 分别是函数表达式的二次项系数、一次项系数和常数项.2.二次函数()20y ax bx c a =++≠的图象为抛物线，叫做抛物线2y ax bx c =++.3.二次函数()()20y a x h k a =-+≠的图象与性质：（1）二次函数()()20y a x h k a =-+≠的图象都可以由抛物线2y ax =向左（右）向上（下）平移得到，平移的方向、距离要根据h ，k 的值来决定.（2）抛物线()2y a x h k =-+的顶点为(),h k .当0a >时，开口向上；当0a <时，开口向下.对称轴为直线x h =.（3）二次函数()()20y a x h k a =-+≠的性质：①当0a >，在对称轴左侧()x h <，y 随着x 的增大而减小；在对称轴右侧()x h >，y 随着x 的增大而增大；当x h =时，y k =最小.②当0a <，在对称轴左侧()x h <，y 随着x 的增大而增大；在对称轴右侧()x h >，y 随着x 的增大而减小；当x h =时，y k =最大.4.研究二次函数()20y ax bx c a =++≠的图象特征和性质，一般都用配方法将二次函数的表达式转化为()2y a x h k =-+的形式.若问题只要求对称轴或顶点坐标，也可以直接利用顶点坐标公式计算.5.用描点法画二次函数的图象，一般采用“五点法”（顶点及抛物线上的两组对称点）；若只需画二次函数的大致图象，且抛物线与x 轴有两个交点时，可用“四点法”（顶点及抛物线与坐标轴的三个交点）.6.研究与二次函数相关的实际问题，常常需要结合图象，运用“数形结合”的方法解决.7.求二次函数的解析式，一般采用“待定系数法”. 22.1.1 二次函数基础训练1．下列函数中是二次函数的为（ ） A ．31y x =-B ．231y x =-C ．()221y x x =+-D ．323y x x =+-2．若函数()23y a x x a =-++是二次函数，那么a 不可以取（ ） A ．0B ．1C ．2D ．33．下列问题中的两个变量，能构成二次函数关系的是（ ） A ．在一定时间内，汽车行驶的速度与行驶路 B ．底边长度一定，三角形的面积与高 C ．正方体的体积与边长D ．计算圆的面积时，面积与半径的关系4．已知二次函数2y ax c =+，当2x =时，9y =；当3x =时，19y =，则a c +的值是（ ） A ．4B ．2C ．1D ．35．若二次函数2y ax =的图象经过点()2,4P -，则该图象必经过点（ ） A ．()2,4B ．()2,4--C ．()4,2-D ．()4,2- 6．二次函数()()31y x x =+-化为一般形式后一次项系数为.7.在半径为4的圆中，挖去一个长为a 、宽为1a -的矩形，则余下部分的面积y 与a 的函数关系式为.8.正方形对角线长为x cm ，面积为y 2cm ，则y 与x 的函数关系式是.9.张燕存入银行人民币500元，年利率为x ，一年到期后，银行将本金和利息自动按一年定期储蓄转存，那么两年后的本息和y 与x 的函数关系式是.10.已知函数()()222231y m m x m x m =--+-+.（1）当y 是x 的一次函数时，求m 的值并写出函数解析式； （2）当y 是x 的二次函数时，求m 的取值范围.22.1.2 二次函数2y ax =的图象和性质基础训练1．函数23y x =-的图象开口向 ，对称轴是，顶点是 .2.已知抛物线()20y ax a =≠经过点()2,8-，则a =.3.把函数22y x =-的图象沿x 轴翻折，得到的图象的解析式是 .4.函数2y x =，22y x =-图象的开口大小分别记为A ，B ，则A 与B 的大小关系为.5.若直线y ax =经过第一、三象限，则抛物线2y ax =（ ） A ．开口向上，且当0x <时，y 随x 的增大而增大 B ．开口向上，且当0x >时，y 随x 的增大而增大 C ．开口向下，且当0x <时，y 随x 的增大而增大 D ．开口向下，且当0x >时，y 随x 的增大而增大 6．已知二次函数2y ax =，下列说法不正确的是（ ） A ．对称轴为y 轴B ．当0a <，0x ≠时，y 总为负值C ．当0a >时，y 有最小值０D ．当0a <，0x <时，y 随x 的增大而减小７．已知点()11,x y ，()22,x y ，()33,x y 都在函数22y x =-的图象上，且1230x x x >>>，则（ ） A ．123y y y << B ．132y y y << C ．321y y y <<D ．213y y y <<８．苹果熟了，从树上落下所经过的路程s 与下落的时间t 满足212s gt =（g 是不为０的常数），则s 与t 的函数图象大致是（ ）9．函数()20y ax a =≠与直线y x =-交于点()1,b . （1）求a ，b 的值；（2）画出此二次函数的图象；x…2-1-0 1 2 …y……（3）结合图象，写出这个二次函数的性质.22.1.3二次函数()2=-+的图象和性质y a x h k基础训练（1）二次函数2=+的图象和性质y ax k1.抛物线2y x=-的顶点坐标为；当x时，y随x的增大而减少.212.请写出一个开口向上，并且与y轴交于点()0,1的抛物线的解析式y=.3.将抛物线23y x=+的图象向上平移1个单位，则平移后的抛物线的解析式为. 4．函数21=+的图象大致是（）y x5．已知二次函数21=-的图象开口向下，则直线1y ax=-经过的象限是（）y axA．第一、二、三象限B．第一、二、四象限C ．第一、三、四象限D ．第二、三、四象限6．抛物线21y x 2=-+的对称轴是（ ） A ．直线12x =B ．直线12x =-C ．y 轴D ．直线2x =7．对于抛物线231y x =-，下列说法不正确的是（ ） A ．向上平移一个单位可得到抛物线23y x = B ．当0x =时，函数有最小值1- C ．当0x <时，y 随x 的增大而增大 D ．与抛物线231y x =-+关于x 轴对称8．（1）在同一坐标系中，画出下列函数的图象，并写出它们共同的性质：22y x =-； 21y x 2=-+； 221y x =--.x… 2- 1- 0 1 2 … 22y x =- … … 221y x =-+ … … 221y x =--……（2）写出抛物线2y ax k =+与2y ax =的关系.基础训练（2）二次函数()2y a x h =-的图象和性质1.函数()221y x =-的图象的对称轴是，顶点坐标是 .2.函数()221y x =-+的图象可以由函数22y x =-的图象向 平移1个单位得到；当x时，y 有最大值是.3.一个顶点在x 轴上的抛物线，其形状和开口方向与抛物线212y x =的相同，并且对称轴是直线2x =，这个函数的解析式是.4.将抛物线2y x =-向右平移2个单位后，得到的抛物线的解析式是（ ） A ．()22y x =-+ B ．22y x =-+ C ．()22y x =--D ．22y x =--5．如果y kx b =+的图象在第一、二、三象限内，那么函数()2y k x b =-的图象大致是（ ）6．抛物线()21y x =-与直线1y x =-在同一坐标系中交点的个数为（ ） A ．0个B ．1个C ．2个D ．无法确定7．（1）在同一坐标系中画出下列函数的图象：2y x =-；()22y x =-+；()22y x =--.x… 4-3-2- 1- 0 1 2 3 4 … 2y x =- …… ()22y x =-+……()22y x =--… …（2）写出抛物线()2y a x h =-与2y ax =的关系.基础训练（3）二次函数()2y a x h k =--的图象和性质1．抛物线()2534y x =+-的对称轴是 ，顶点坐标是 . 2.二次函数()2425y x =-++，当x =时，y 有最大值是；当x时，y 随x 的增大而增大.3.将抛物线24y x =-先向右平移2个单位，再向下平移1个单位，得到的抛物线的解析式为.4.已知抛物线()21433y x =--与x 轴的一个交点坐标为()1,0，则抛物线与x 轴的另一个交点的坐标是（ ） A ．()5,0B ．()6,0C ．()7,0D ．()8,05．在不同坐标系中画出下列函数的图象： （1）()2211y x =+-；（2）()21252y x =+-.6．写出抛物线()2y a x h k =-+与()2y a x h =-及2y ax =的关系.7.已知抛物线()232y a x =-+经过点()1,2-. （1）求a 的值；（2）若点()1,A m y ，()2,B n y ()3m n <<都在该抛物线上，试比较1y 与2y 的大小.8.如图是一个抛物线形拱桥的示意图，桥的跨度AB 为100米，支撑桥的是一些等距的立柱，相邻立柱间的水平距离为10米（不考虑立柱的粗细），其中距A 点10米处的立柱EF 的高度为3.6米.（1）以AB 中点O 为原点，AB 所在直线为x 轴建立直角坐标系，求抛物线顶点C 的坐标； （2）求与OC 相邻的立柱的高.22.1.4 二次函数2y ax bx c =++的图象和性质基础训练（1）二次函数2y ax bx c =++的顶点坐标与配方法1．二次函数221y x x =--+化成()2y a x h k =-+的形式是.2.抛物线2y ax bx c =++的顶点是()2,1A ，且经过点()1,0B ，则抛物线的函数关系式为.3.函数243y x x =-+，当x =时，y 有最小值是；当x时，y 随x 的增大而减小.4.如图，在平面直角坐标系中，抛物线所表示的函数解析式为()22y x h k =--+，则下列结论正确的是（ ） A ．0h >，0k > B ．0h <，0k > C ．0h <，0k <D ．0h >，0k <5．抛物线24y x x =-的对称轴是直线（ ）. A ．2x =-B ．4x =C ．2x =D ．4x =-6．抛物线2221y x ax a a =-+++的顶点在第二象限，则常数a 的取值范围是（ ） A ．10a -<<B ．1a >C ．12a -<<D ．1a <-或2a >7．二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，则一次函数y bx a =+的图象不经过（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限8．用二次函数的顶点坐标公式求下列函数的顶点坐标. （1）221y x x =--； （2）2243y x x =-++.9．先将下列函数解析式化为()2y a x h k =-+形式，然后在不同坐标系内画出图象. （1）24y x x =-+；（2）2361y x x =++.基础训练（2）二次函数2y ax bx c =-+的图象和性质1．抛物线2253y x x =+-的对称轴是直线 ；顶点坐标是 ，与y 轴的交点坐标是.2.已知函数26y x x m =-+的最小值为1，那么m 的值为 .3.已知抛物线265y x x =-+的图象如图所示，当0y =时，x =.4.二次函数223=--的图象如图所示.当0y x xy<时，自变量x的取值范围是.5.二次函数2=++的图象如图所示，那么关于此二次函数的下列四个结论：y ax bx c①0a<；②0c>；③函数有最大值；④在对称轴左侧，y随x增大而增大.其中正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个6．在同一平面直角坐标系中，函数2=+与y bx ay ax bx=+的图象可能是（）7．将抛物线2=-++先向左平移2个单位，再向上平移1个单位.y x x365（1）求平移后抛物线的解析式；（2）求平移后抛物线的对称轴和抛物线与y轴的交点坐标；（3）在（1）的条件下，求当x 取何值时，y 随x 的增大而减小？8.如图，抛物线()20y ax bx c c =++≠过点()1,0-和点()0,3-，且顶点在第四象限，设P a b c =++，求P 的取值范围.基础训练（3）用待定系数法求二次函数的解析式1.若二次函数2y x bx c =++，当2x =时，0y =；当1x =-时，3y =，则这个二次函数的解析式为.2.已知二次函数2y x bx c =++，当2x =时，0y =；当1x =-时，3y =，则这个二次函数的解析式为.3.抛物线的顶点在原点，且过点()3,27-，则这条抛物线的解析式为.4.已知二次函数的图象如图所示. （1）这个二次函数的解析式是；（2）根据图象回答：当x时，0y >.5.已知二次函数22y x bx =+-的图象与x 轴的一个交点为()1,0，则它与x 轴的另一个交点坐标是（ ） A ．()1,0B ．()2,0C ．()2,0-D ．()1,0-6．已知二次函数图象经过()1,0，()2,0和()0,2三点，则该函数的解析式是（ A ．222y x x =++ B ．232y x x =-+ C ．232y x x =++D ．223y x x =-+7．在下列条件下，分别求二次函数的解析式：（1）已知抛物线2y ax bx c =++与23y x =-形状相同，开口方向相反，顶点坐标为()2,4-； （2）当3x =时，最小值5y =，且过点()1,11； （3）对称轴为y 轴，且经过点()2,3，()1,6-.8.如图，抛物线()214y a x =-+与x 轴交于点A ，B ，与y 轴交于点C .过点C 作CD x ∥轴，交抛物线的对称轴于点D ，连接BD .已知点A 的坐标为()1,0-. （1）求该抛物线的解析式； （2）求梯形COBD 的面积.能力提高1．抛物线2251y ax x a =+-+过坐标原点，且开口方向向上，则a 的值是 .2.在二次函数221y x x =-++的图象中，若y 随x 的增大而增大，则x 的取值范围是.3.抛物线经过点()2,6-和()4,6，则抛物线的对称轴是（ ）4.已知二次函数222y x mx =++，当2x >时，y 随x 值的增大而增大，则实数m 的取值范围是.5.若抛物线22y x x c =-+与y 轴的交点为()0,3-，则下列说法不正确的是（ ） A ．抛物线开口向上B ．抛物线的对称轴是直线1x =C ．当1x =时，y 的最大值为4-D ．抛物线与x 轴的交点为()1,0-，()3,06．已知0b <，二次函数221y ax bx a =++-的图象为下列四个图象之一，试根据图象分析a 的值应等于（ ）7．二次函数()223y x =-++在43x -≤≤-范围内的最大值是 . 8.抛物线283y x x 2=-+关于x 轴对称的抛物线的解析式是.9.如图，在平面直角坐标系中，抛物线23y ax =+与y 轴交于点A ，过点A 与x 轴平行的直线交抛物线213y x =于点B ，C ，求BC 的长度.10.在关于,x y 的二元一次方程组2,21x y a x y +=⎧⎨-=⎩中，（1）若3a =，求方程组的解；（2）若()3S a x y =+，当a 为何值时，S 有最小值？是多少？11.如图，抛物线2y ax bx c =++经过原点，与x 轴相交于点()8,0E ，抛物线的顶点A 在第四象限，点A 到x 的距离4AB =，点(),0P m 在线段OB 上，连接PA ，将线段PA 绕点P 逆时针旋转90︒得到线段PC ，过点C 作y 轴的平行线交x 轴于点G ，交抛物线于点D ，连接BC 和AD .（1）求抛物线的解析式；（2）求点C 的坐标（用含m 的代数式表示）； （3）当四边形ABCD 是平行四边形时，求点P 的坐标.拓展探究1.在平面直角坐标系xOy 中，抛物线()2210y mx mx m m =-+->与x 轴的交点为A ，B . （1）求抛物线的顶点坐标.（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点. ①当1m =时，求线段AB 上整点的个数；②若抛物线在点A ，B 之间的部分与线段AB 所围成的区域内（包括边界）恰有6个整点，结合函数的图象，求m 的取值范围.2.已知关于x 的一元二次方程()2240x a x a +++=.（1）求证：无论a 为任何实数，此方程总有两个不相等的实数根；（2）抛物线()21:24C y x a x a =+++与x 轴的一个交点的横坐标为2a，其中0a ≠，将抛物线1C 向右平移14个单位，再向上平移18个单位，得到抛物线2C ，求抛物线2C 的解析式； （3）点(),A m n 和(),B n m 都在（2）中抛物线2C 上，且A ，B 两点不重合，求代数式m n +的值.22.1 参考答案：22.1.1 二次函数 基础训练1．B 2．D 3．D 4．D 5．A 6．2 7．216y a a π=-++ 8．212y x =9．2500(1)y x =+ 10．（1）13m =，21m =-，29y x =+或21y x =-+ （2）3m ≠且1m ≠- 22.1.2 二次函数2y ax =的图象和性质1．向下 y 轴 坐标原点 2．2- 3．22y x = 4．A B > 5．B 6．D 7．A 8．B 9．（1）1a =-，1b =- （2）略（3）当0x >时，y 随x 的增大而减小；当0x <时，y 随x 的增大而增大；当0x =时，函数有最大值，是0．22.1.3 二次函数2()y a x h k =-+的图象与性质 基础训练（1）1．(0,1)- 0< 2．答案不唯一 3．24y x =+ 4．A 5．D 6．C 7．C8．（1）图略，共同的性质有：开口向下；对称轴都是y 轴；在对称轴左边，y 随x 的增大而增大；在对称轴右边，y 随x 的增大而减小等．（2）开口对称轴相同，抛物线2y ax k =+由2y ax =向上平称k 个单位得到 基础训练（2）1．直线1x = (1,0) 2．左 1=- 0 3．21(2)2y x =- 4．C 5．D 6．C7．（1）略 （2）抛物线2y ax =向右平移h 个单位得到2()y a x h =+ 基础训练（3）1．直线3x =- (3,4)-- 2．2- 5 2<- 3．24(2)1y x =--- 4．C 5．略 6．略 7．（1）1a =- （2）12y y < 8．（1）(0,10)C （2）9.6米 22.1.4 二次函数2y ax bx c =++的图象和性质 基础训练（1）1．2(1)2y x =-++ 2．2(2)1y x =--+ 3．2 1- 2< 4．A 5．C 6．A 7．D 8．（1）(1,2)- （2）(1,5) 9．（1）2(2)4y x =--+ （2）23(1)2y x =+- 图略 基础训练（2）1．54x =- 549,48⎛⎫-- ⎪⎝⎭ (0,3)- 2．10 3．1或5 4．13x -<< 5．D 6．C7．（1）23(1)9y x =-++ （2）对称轴为直线1x =-，与y 轴交点坐标为(0,6) （3）1x >-时，y 随x 增大而减小8．抛物线2(0)y ax bx c c =++≠过点(1,0)-和点(0,3)-，0a b c ∴=-+，3c -=，3b a ∴=-． 当1x =时，2y ax bx c a b c =++=++，3326P a b c a a a ∴=++=+--=-．顶点在第四象限，0a >，30b a ∴=-<，3a ∴<，03a ∴<<，6260a ∴-<-<，即60P -<<． 基础训练（3）1．3 4- 2．22y x x =- 3．23y x =- 4．（1）22y x x =- （2）2x >或0x < 5．C 6．B7．（1）23(2)4y x =++ （2）23(3)52y x =-+ （3）27y x =-+8．（1）2(1)4y x =--+ （2）8 能力提高1．1 2．1x < 3．直线1x = 4．2m ≥- 5．C 6．C 7．2 8．22(2)5y x =--+ 9．6BC = 10．（1）1,1x y =⎧⎨=⎩ （2）2(1)S a a a a =+=+，当12a =-时，S 有最小值，是14-．11．（1）2124y x x =- （2）(AAS)PCG APB ∆∆≌，4PG AB ∴==，CG PB =． (,0)P m ，4PB m ∴=-，(4,0)G m +，(4,4)C m m ∴+-．（3）当四边形ABCD 是平行四边形时，CD AB =，AB CD ∥．AB x ⊥轴，CD x ∴⊥轴，∴点C ，D 的横坐标相同．把4x m =+代入2124y x =-得2144y m =-，21(4,4)4D m m ∴+-．21(4)(4)4CD m m ∴=---．又4CD AB ==，21(4)(4)=44m m ∴---，化简得24160m m +-=，225m =-+，225m =--（舍去），(225,0)P ∴-+． 拓展探究1．（1）将抛物线表达式变为顶点式2(1)1y m x =--，则抛物线顶点坐标为(1,1)-．（2）①1m =时，抛物线表达式为22y x x =-，因此A ，B 的坐标分别为(0,0)和(2,0)，则线段AB 上的整点有(0,0)，(1,0)，(2,0)共3个；②抛物线顶点为(1,1)-，则由线段AB 之间的部分及线段AB 所围成的区域的整点的纵坐标只能为1-或者0，所以即要求AB 线段上（含AB 两点）必须有5个整点；又令抛物线表达式2210y mx mx m =-+-=，得到A ，B 两点坐标分别为1,0m ⎛⎫-⎪⎝⎭，1,0m ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，即5个整点是以(1,0)为中心向两侧分散，进而得到23m≤<，1194m ∴<≤．2．（1）22(4)4216a a a ∆=+-⨯=+，而20a ≥，2160a ∴+>，即0∆>．∴无论a 为任何实数，此方程总有两个不相等的实数根．（2）抛物线1C 与x 轴的一个交点的横坐标为2a ，∴当2a x =时，0y =，22()(4)22a aa ∴⨯++⨯+ 0a =．化简得230a a +=，即(3)0a a +=．0a ≠，3a ∴=-．∴抛物线1C 的解析式为223y x x =+-．又22125232()48y x x x =+-=+-．因此，抛物线1C 的顶点为125(,)48--．由题意得平移后抛物线2C 的顶点为(0,3)-，∴抛物线2C 的解析式223y x =-．（3）点(,)A m n 和(,)B n m 都在抛物线2C 上，223n m ∴=-，且223m n =-．222()n m m n ∴-=-．2()()n m m n m n ∴-=-+．()[2()1]0m n m n ∴-++=．A ，B 两点不重合，即m n ≠，2()10m n ∴++=．12m n ∴+=-．。
人教版九年级上《22.1二次函数的图象和性质》练习题含答案
二次函数图象与性质（1）1. 二次函数的定义：一般地，形如()20y ax bx c a b c a =++≠，，为常数，且的函数叫做二次函数，其中a 为二次项系数，b 为一次项系数，c 为常数项。
2. 当b ＝0且c ＝0时：二次函数变为()20y ax a =≠， （1）当a ＞0时，其图象如下：xyy = 2∙x 2y = x 2y = 12∙x 2y =110∙x 2O（2）当a ＜0时，其图象如下：可以看到：对于抛物线2y ax =，a 越大，开口越小。
3. 二次函数()20y axa =≠的图象与性质()20y ax a =>()20y ax a =<开口方向上下顶点坐标 （0，0） 对称轴y 轴性质在y 轴的左侧，y 随x 的增大而减小，在y 轴的右侧，y 随x 的增大而增大在y 轴的左侧，y 随x 的增大而增大，在y 轴的右侧，y 随x 的增大而减小最值函数有最小值，最小值为0函数有最大值，最大值为0例题1 已知函数42)2(-++=k kx k y 是二次函数，且当0>x 时，y 随x 的增大而增大。
（1）求k 的值；（2）写出抛物线的顶点坐标和对称轴。
思路分析：由二次函数的定义，求出k 的值，然后写出顶点坐标和对称轴。
答案：（1）由二次函数的定义，得242k k +-=，解得13k =-，22k =；当3k =-时，原函数为2y x =-，当0>x 时，y 随x 的增大而减小，故3k =-不合题意，舍去；当2k =时，原函数为24=y x ，当0>x 时，y 随x 的增大而增大，符合题意； 故2k =。
（2）抛物线24=y x 的顶点坐标为（0，0），对称轴为y 轴。
点评：注意对k 的值进行合理的取舍。
例题2 （1）已知A （1，y 1）、B （－2，y 2）、C （－2，y 3）在函数y ＝241x 的图象上，则y 1、y 2、y 3的大小关系是 。
人教版九年级上册数学《二次函数的图像和性质》综合练习题【含答案】
《二次函数的图象和性质》同步练习题一、选择题（共10小题）1．下列函数中是二次函数的为 ()A ．B ．C ．D ．31y x =-231y x =-22(1)y x x =+-323y x x =+-2．二次函数与一次函数，它们在同一直角坐标系中的图象大致是2y ax bx c =++y ax c =+ ()A ．B ．C ．D ．3．已知一次函数的图象经过一、二、四象限，则二次函数的顶点y kx b =+2y kx bx k =+-在第 象限．()A ．一B ．二C ．三D ．四4．抛物线的顶点坐标是 22(3)2y x =-+()A ．B ．C ．D ．(3,2)-(3,2)(3,2)--(3,2)-5．已知，二次函数满足以下三个条件：①，②，③2y ax bx c =++24b c a >0a b c -+<，则它的图象可能是 b c <()A ．B ．C ．D ．6．把抛物线向下平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度，所得抛物线是2(2)y x =+ ()A ．B ．C ．D ．2(2)2y x =++2(1)2y x =+-22y x =+22y x =-7．将抛物线平移得到抛物线，则这个平移过程正确的是 2y x =2(3)y x =+()A ．向左平移3个单位B ．向右平移3个单位C ．向上平移3个单位D ．向下平移3个单位8．二次函数的图象可能是 22y x x =-+()A ．B ．C ．D ．9．若点，，都在抛物线上，则下1(1,)M y -2(1,)N y 37(,)2P y 2241(0)y mx mx m m =-+++>列结论正确的是 ()A ．B ．C ．D ．123y y y <<132y y y <<312y y y <<213y y y <<10．二次函数与轴交点坐标为 23(2)5y x =--y ()A ．B ．C ．D ．(0,2)(0,5)-(0,7)(0,3)二、填空题（共4小题）11．请写出一个开口向上且与轴交点坐标为的抛物线的表达式： ．y (0,1)12．若二次函数，当时，随的增大而减小，则的取值范围是 22()1y x k =-++2x - y x k ．13．抛物线的对称轴是 ．22247y x x =+-14．已知抛物线经过，，对于任意，点均不在抛2y ax bx c =++(0,2)A (4,2)B 0a >(,)P m n 物线上．若，则的取值范围是 ．2n >m 三、解答题（共6小题）15．已知抛物线．2246y x x =--（1）请用配方法求出顶点的坐标；（2）如果该抛物线沿轴向左平移个单位后经过原点，求的值．x (0)m m >m 16．如图，在中，，，，动点从点开始沿边ABC ∆90B ∠=︒12AB mm =24BC mm =P A向以的速度移动（不与点重合），动点从点开始沿边向以AB B 2/mm s B Q B BC C 的速度移动（不与点重合）．如果、分别从、同时出发，那么经过多少4/mm s C P Q A B 秒，四边形的面积最小．APQC17．已知二次函数．243(0)y ax ax b a =-++≠（1）求出二次函数图象的对称轴；（2）若该二次函数的图象经过点，且整数，满足，求二次函数的表(1,3)a b 4||9a b <+<达式；（3）对于该二次函数图象上的两点，，，，设，当时，1(A x 1)y 2(B x 2)y 11t x t + 25x 均有，请结合图象，直接写出的取值范围．12y y t 18．在平面直角坐标系中，抛物线经过点和．xOy 2(0)y ax bx c a =++>(0,3)A -(3,0)B （1）求的值及、满足的关系式；c a b（2）若抛物线在、两点间从左到右上升，求的取值范围；A B a （3）结合函数图象判断，抛物线能否同时经过点、？若能，写出(1,)M m n -+(4,)N m n -一个符合要求的抛物线的表达式和的值，若不能，请说明理由．n 19．小明利用函数与不等式的关系，对形如12()()()0n x x x x x x --⋯->为正整数）的不等式的解法进行了探究．(n （1）下面是小明的探究过程，请补充完整：①对于不等式，观察函数的图象可以得到如表格：30x ->3y x =-的范围x 3x >3x <的符号y +-由表格可知不等式的解集为．30x ->3x >②对于不等式，观察函数的图象可以得到如表表格：(3)(1)0x x -->(3)(1)y x x =--的范围x 3x >13x <<1x <的符号y +-+由表格可知不等式的解集为 ．(3)(1)0x x -->③对于不等式，请根据已描出的点画出函数的(3)(1)(1)0x x x --+>(3)(1)(1)y x x x =--+图象；观察函数的图象补全下面的表格：(3)(1)(1)y x x x =--+的范围x 3x >13x <<11x -<<1x <-的符号y +- 由表格可知不等式的解集为 ．(3)(1)(1)0x x x --+>⋯⋯小明将上述探究过程总结如下：对于解形如为正整数）的12()()()0(n x x x x x x n --⋯⋯->不等式，先将，，按从大到小的顺序排列，再划分的范围，然后通过列表格的1x 2x ⋯n x x 办法，可以发现表格中的符号呈现一定的规律，利用这个规律可以求这样的不等式的解y 集．（2）请你参考小明的方法，解决下列问题：①不等式的解集为 ．(6)(4)(2)(2)0x x x x ---+>②不等式的解集为 ．2(9)(8)(7)0x x x --->20．函数是二次函数．223y mx mx m =--（1）如果该二次函数的图象与轴的交点为，那么 ；y(0,3)m（2）在给定的坐标系中画出（1）中二次函数的图象．答案一、选择题（共10小题）1．解：、是一次函数，故错误；A 31y x =-A 、是二次函数，故正确；B 231y x =-B 、不含二次项，故错误；C 22(1)y x x =+-C 、是三次函数，故错误；D 323y x x =+-D 故选：．B 2．解：一次函数和二次函数都经过轴上的，y (0,)c 两个函数图象交于轴上的同一点，排除、；∴y B C 当时，二次函数开口向上，一次函数经过一、三象限，排除；0a >D 当时，二次函数开口向下，一次函数经过二、四象限，正确；0a <A 故选：．A 3．解：一次函数的图象经过一、二、四象限，y kx b =+，，0k ∴<0b >△，2224()40b k k b k =--=+>抛物线与轴有两个交点，∴x、异号，k b 抛物线的对称轴在轴右侧，∴y 二次函数的顶点在第一象限．∴2y kx bx k =+-故选：．A 4．解：抛物线的顶点坐标是，22(3)2y x =-+(3,2)故选：．B 5．解：二次函数满足以下三个条件：①，②，③， 2y ax bx c =++24b c a >0a b c -+<b c <由①可知当时，则抛物线与轴有两个交点，当时，∴0a >240b ac ->x 0a <240b ac -<则抛物线与轴无交点；x 由②可知：当时，，1x =-0y <由③可知：，0b c -+>，必须，0a b c -+< ∴0a <符合条件的有、，∴C D 由的图象可知，对称轴直线，，，抛物线交的负半轴，C 02b x a=->0a <0b ∴>y ，则，0c <b c >由的图象可知，对称轴直线，，，抛物线交的负半轴，D 02b x a=-<0a <0b ∴<y ，则有可能，0c <b c <故满足条件的图象可能是，D 故选：．D 6．解：抛物线的顶点坐标是，向下平移2个单位长度，再向右平移1个单2(2)y x =+(2,0)-位长度后抛物线的顶点坐标是，(1,2)--所以平移后抛物线的解析式为：2(1)2y x =+-故选：．B 7．解：抛物线的顶点坐标为，抛物线的顶点坐标为，2y x =(0,0)2(3)y x =+(3,0)-点向左平移3个单位可得到，(0,0)(3,0)-将抛物线向左平移3个单位得到抛物线．∴2y x =2(3)y x =+故选：．A 8．解：，，22y x x =-+ 0a <抛物线开口向下，、不正确，∴A C 又对称轴，而的对称轴是直线， 212x =-=-D 0x =只有符合要求．∴B 故选：．B 9．解：观察二次函数的图象可知：．132y y y <<故选：．B 10．解：23(2)5y x =-- 当时，，∴0x =7y =即二次函数与轴交点坐标为，23(2)5y x =--y (0,7)故选：．C 二、填空题（共4小题）11．解：抛物线开口方向向上，且与轴的交点坐标为，y (0,1)抛物线的解析式为．∴21y x =+故答案为．21y x =+12．解：，22()1y x k =-++对称轴为，∴x k =-，20a =-< 抛物线开口向下，∴在对称轴右侧随的增大而减小，∴y x 当时，随的增大而减小，2x - y x ，解得，2k ∴-- 2k 故．2k 13．解：抛物线的对称轴是：，22247y x x =+-24622x =-=-⨯故．6x =-14．解：依照题意，画出图形，如图所示．当时，或，2n >0m <4m >当时，若点均不在抛物线上，则．∴2n >(,)P m n 04m 故．04m三、解答题（共6小题）15．解：（1）2246y x x =--22(2)6x x =--，22(1)8x =--故该函数的顶点坐标为：；(1,8)-（2）当时，，0y =202(1)8x =--解得：，，11x =-23x =即图象与轴的交点坐标为：，，x (1,0)-(3,0)故该抛物线沿轴向左平移3个单位后经过原点，x 即．3m =16．解：设经过秒，四边形的面积最小x APQC 由题意得，，，2AP x =4BQ x =则，122PB x =-的面积PBQ ∆12BQ PB =⨯⨯1(122)42x x =⨯-⨯，24(3)36x =--+当时，的面积的最大值是，3x s =PBQ ∆236mm此时四边形的面积最小．APQC 17．解：（1）二次函数图象的对称轴是；422a x a-=-=（2）该二次函数的图象经过点，(1,3)，433a a b ∴-++=，3b a ∴=把代入，3b a =4||9a b <+<得．43||9a a <+<当时，，则．0a >449a <<914a <<而为整数，a ，则，2a ∴=6b =二次函数的表达式为；∴2289y x x =-+当时，，则．0a <429a <-<922a -<<-而为整数，a 或，3a ∴=-4-则对应的或，9b =-12-二次函数的表达式为或；∴23126y x x =-+-24169y x x =-+-（3）当时，均有，25x 12y y 二次函数的对称轴是直线，243(0)y ax ax b a =-++≠2x =，12y y ①当时，有，即∴0a >12|2||2|x x -- 12|2|2x x -- ，212222x x x ∴--- ，2124x x x ∴- ，25x ，241x ∴-- 该二次函数图象上的两点，，，，1(A x 1)y 2(B x 2)y 设，当时，均有，11t x t + 25x 12y y ∴115t t -⎧⎨+⎩ ．14t ∴- ②当时，，即0a <12|2||2|x x -- 12|2|2x x -- ，或，1222x x ∴-- 1222x x -- ，或12x x ∴ 124x x - ，25x ，241x ∴--该二次函数图象上的两点，，，，1(A x 1)y 2(B x 2)y 设，当时，均有，11t x t + 25x 12y y 比的最大值还大，或比的最小值还小，这是不存在的，t ∴2x 1t + 24x -故时，的值不存在，0a <t 综上，当时，．0a >14t - 18．解：（1）抛物线经过点和． 2(0)y ax bx c a =++>(0,3)A -(3,0)B ，∴3093c a b c-=⎧⎨=++⎩，．3c ∴=-310a b +-=（2）由1可得：，2(13)3y ax a x =+--对称轴为直线，132a x a -=-抛物线在、两点间从左到右上升，当时，对称轴在点左侧，如图： A B 0a >A即：，解得：，1302a a -- 13a．、两点间从左到右上升，103a ∴< A B 当时，抛物线在、两点间从左到右上升，∴103a < A B （3）抛物线不能同时经过点、．(1,)M m n -+(4,)N m n -理由如下：若抛物线同时经过点、．则对称轴为：，(1,)M m n -+(4,)N m n -(1)(4)322m m x -++-==由抛物线经过点可知抛物线经过，与抛物线经过相矛盾，A (3,3)-(3,0)B 故：抛物线不能同时经过点、(1,)M m n -+(4,)N m n -19．解：（1）②由表格可知不等式的解集为或，(3)(1)0x x -->3x >1x <故或；3x >1x <③图象如右图所示，当时，，当时，，11x -<<(3)(1)(1)0x x x --+>1x <-(3)(1)(1)0x x x --+<由表格可知不等式的解集为或，(3)(1)(1)0x x x --+>3x >11x -<<故，，或；+-3x >11x -<<（2）①不等式的解集为或或，(6)(4)(2)(2)0x x x x ---+>6x >24x <<2x <-故或或；6x >24x <<2x <-②不等式的解集为或且，2(9)(8)(7)0x x x --->9x >8x <7x ≠故或且9x >8x <7x ≠20．解：（1）该函数的图象与轴交于点， y (0,3)把，代入解析式得：，∴0x =3y =33m -=解得，1m =-故答案为；1-（2）由（1）可知函数的解析式为，223y x x =-++，2223(1)4y x x x =-++=--+ 顶点坐标为；∴(1,4)列表如下：x 2-1-01234y5-034305-描点；画图如下：。
人教版数学九年级上册：22.1.2 二次函数y=ax2的图象和性质 同步练习(附答案)
22.1.2 二次函数y ＝ax 2的图象和性质1．二次函数y ＝12x 2的图象的顶点坐标是( )A ．(1，0)B ．(0，0)C ．(－1，0)D ．(0，12)2．抛物线y ＝2x 2，y ＝－2x 2，y ＝12x 2的共同性质是( )A ．开口都向上B ．对称轴都是y 轴C ．都有最高点D ．y 都随x 的增大而增大3．二次函数y ＝－12x 2不具有的性质是( )A ．其图象开口向下B ．其图象的对称轴是y 轴C ．当x ＞0时，y 随x 的增大而减小D ．函数有最小值4．若二次函数y ＝ax 2的图象过点P (－2，4)，则该图象必经过点( )A ．(2，4)B ．(－2，－4)C ．(－4，2)D ．(4，－2)5．已知抛物线y ＝ax 2(a ＞0)过A (－2，y 1)，B (1，y 2)两点，则下列关系式一定正确的是( )A ．y 1＞0＞y 2B ．y 2＞0＞y 1C ．y 1＞y 2＞0D ．y 2＞y 1＞06．已知原点是抛物线y ＝(m ＋1)x 2的最低点，则m 的取值范围是( )A ．m ＜－1B ．m ＜1C ．m ＞－1D ．m ＞－27．有下列各点：(－1，2)，(－1，－2)，(－2，－4)，(－2，4)，其中在二次函数y ＝－2x 2的图象上的点是____________________________________________________．8．已知二次函数y ＝(m －2)x 2的图象开口向下，则m 的取值范围是________．9．(1)在如图22－1－2所示的同一直角坐标系中，画出函数y ＝2x 2，y ＝12x 2，y ＝－2x 2与y ＝－12x 2的图象．(2)观察(1)中所画的图象，回答下列问题：①由图象可知抛物线y ＝2x 2与抛物线________的形状相同，且两抛物线关于________轴对称；同样，抛物线y ＝12x 2与抛物线____________的形状相同，也关于________轴对称．②当|a |相同时，抛物线的开口大小________；当|a |变大时，抛物线的开口________；当|a |变小时，抛物线的开口________．图22－1－210．分别说出下列各抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标．(1)y ＝x 2； (2)y ＝－x 2； (3)y ＝15x 2； (4)y ＝－15x 2. 11．[2019·呼和浩特] 二次函数y ＝ax 2与一次函数y ＝ax ＋a 在同一坐标系中的大致图象是( )图22－1－312．如图22－1－4，各抛物线所对应的函数解析式分别为：图22－1－4①y ＝ax 2；②y ＝bx 2；③y ＝cx 2；④y ＝dx 2.比较a ，b ，c ，d 的大小，用“＞”连接为______________．13．已知关于x 的二次函数y ＝mxm 2－2m －6，当x ＞0时，y 随x 的增大而增大，则m ＝________．14．已知二次函数y ＝ax 2的图象经过点A(－1，－12)．(1)求这个二次函数的解析式并画出其图象；(2)请说出这个二次函数图象的顶点坐标和对称轴．图22－1－515．二次函数y＝ax2的图象与直线y＝2x－1交于点P(1，m)．(1)求a，m的值；(2)写出二次函数的解析式，并指出当x取何值时，y随x的增大而增大；(3)写出二次函数图象的顶点坐标和对称轴．16．已知一条直线与抛物线y＝ax2(a＞0)相交于A，B两点(点A在点B的左侧)，与y 轴正半轴相交于点C，过点A作AD⊥x轴，垂足为D.如果∠AOB＝60°，AB∥x轴，AB＝2，那么a的值为________．17．已知二次函数y＝ax2与一次函数y＝kx－2的图象相交于A，B两点，如图22－1－6所示，其中A(－1，－1)，求△OAB的面积．图22－1－6教师详解详析1．B 2.B 3.D4．A [解析] ∵二次函数y ＝ax 2的图象是轴对称图形，对称轴是y 轴，观察各选项可知点(2，4)和点(－2，4)关于y 轴对称，故点(2，4)也在该函数的图象上．故选A.5．C [解析] ∵a ＞0，∴抛物线的开口向上，对称轴为y 轴，点A (－2，y 1)在对称轴的左侧，点B (1，y 2)在对称轴的右侧，点A 到对称轴的距离大于点B 到对称轴的距离．∴y 1＞y 2＞0.故选C.6．C [解析] ∵抛物线y ＝(m ＋1)x 2有最低点，∴m ＋1＞0，即m ＞－1.故选C.7．(－1，－2)8．m ＜29．解：(1)略(2)①y ＝－2x 2 x y ＝－12x 2 x②相同 变小 变大10．解：11.D12．a ＞b ＞d ＞c [解析] 因为直线x ＝1与这四条抛物线的交点从上到下依次为(1，a )，(1，b )，(1，d )，(1，c )，所以a ＞b ＞d ＞c .13．4 [解析] 由题意，得m 2－2m －6＝2且m ≠0，解得m ＝4或m ＝－2.∵当x ＞0时，y 随x 的增大而增大，∴m ＞0.∴m ＝4.14．解：(1)二次函数的解析式为y ＝－12x 2，图象如图：(2)这个二次函数图象的顶点坐标为(0，0)，对称轴为y 轴．15．解：(1)∵点P (1，m )在直线y ＝2x －1上，∴m ＝2×1－1＝1.∴P (1，1)．把(1，1)代入y ＝ax 2，得a ＝1.(2)由a＝1得二次函数的解析式为y＝x2.当x＞0时，y随x的增大而增大．(3)二次函数y＝x2的图象的顶点坐标为(0，0)，对称轴为y轴．16. 3 [解析] 如图．∵AB∥x轴，∴点A，B关于y轴对称．∴OA＝OB.∵∠AOB＝60°，AB＝2，∴△AOB是等边三角形，AC＝BC＝1.∴OC＝3AC＝ 3.又∵点A在第二象限，∴点A的坐标是(－1，3)．∴3＝a·(－1)2.解得a＝ 3.17．解：∵一次函数y＝kx－2的图象过点A(－1，－1)，∴－1＝－k－2，解得k＝－1.∴一次函数的解析式为y＝－x－2.设直线y＝－x－2与y轴交于点G.在y＝－x－2中，令x＝0，得y＝－2，∴G(0，－2)．∴OG＝2.∵二次函数y ＝ax 2的图象过点A (－1，－1)，∴－1＝a ×1，解得a ＝－1.∴二次函数的解析式为y ＝－x 2.联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x －2，y ＝－x 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝－1，y 1＝－1，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝2，y 2＝－4，∴B (2，－4)．∴S △OAB ＝12OG ·|x A |＋12OG ·|x B |＝12×2×1＋12×2×2＝1＋2＝3.。
人教版九年级数学上册第22章二次函数二次函数的图象和性质二次函数同步训练题含答案
人教版九年级数学上册第22章二次函数二次函数的图象和性质二次函数同步训练题含答案同步训练题1. 以下函数中是二次函数的是( )A ．y ＝2x ＋1B ．y ＝－2x ＋1C ．y ＝x 2＋2 D ．y ＝12x －2 2. 二次函数y ＝1－3x ＋5x 2，那么它的二次项系数a ，一次项系数b ，常数项c 区分是( )A ．1，－3,5B ．1,3,5C ．5,3,1D ．5，－3,13. 一台机器原价60万元，假设每年的折旧率是x ，两年后这台机器的价钱为y 元，那么y 与x 之间的函数关系式为( )A ．y ＝60(1－x )2B ．y ＝60(1－x )C ．y ＝60－x 2D ．y ＝60(1＋x )24. 在一定条件下，假定物体运动的路段s (米)与时间t (秒)之间的关系为s ＝5t 2＋2t ，那么当t ＝4秒时，该物体所经过的路程为( )A ．28米B ．48米C ．68米D ．88米5. 函数y ＝(m －3)x |m |－1＋3x －1是二次函数，那么m 的值是( )A ．3B ．－3C ．±2D ．±36. 二次函数y ＝2x (x －4)的二次项系数与一次项系数的和为( )A ．10B ．－10C ．6D ．－67. 在二次函数y ＝(a －3)x 2＋x －2中，a 的取值范围是 .8. 把函数y ＝(2－3x )(6－x )化成y ＝ax 2＋bx ＋c 的方式为 .9. 矩形的长为4cm ，宽为3cm ，假设将长与宽都添加x cm ，那么面积添加y cm 2，那么y 与x 之间的函数关系式为y ＝ .10. 〝五一〞时期市工会组织篮球竞赛，赛制为单循环赛(每两队之间竞赛一场)，参与这次竞赛的x 支球队共停止y 场竞赛，那么y 与x 之间的函数关系是 ，它 (填〝是〞或〝不是〞)二次函数．11. 当时，函数y＝(m2－2m－8)x2＋(m＋2)x＋m是二次函数，当时，这个函数是一次函数．12. 某商店运营一种水产品，本钱为每千克40元，据市场剖析，假定按每千克50元销售，一个月能售出500千克；销售价每涨1元，月销售就增加10千克，设下跌x元后，总利润为y元，那么y与x的函数关系式为.13. 以下函数中，哪些是二次函数？哪些不是？假定是二次函数，请指出a、b、c 的值．(1)y＝x(x－1)＋1；(2)y＝2x(1－x)＋2x2；(3)y＝(x＋3)(3－x)．14. 函数y＝(a2－4)x2＋(a＋2)x＋3.(1)当a为何值时，此函数是二次函数；(2)当a为何值时，此函数是一次函数．15. 当m为何值时，y＝(m＋1)xm2－2m－1＋(m－3)x＋m是二次函数？16. 为了改善小区环境，某小区决议要在一块一边靠墙(墙长25m)的空地上修建一个矩形绿化带ABCD，绿化带一边靠墙，另三边用总长为40m的栅栏围住(如图)．假定设绿化带的BC边长为x m，绿化带的面积为y m2，求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．17. 用一根长50cm的细绳围成一个矩形．设矩形的一边长为x cm，面积为y cm2.(1)求y与x的函数关系式；(2)该细绳能围成面积为160cm2的矩形吗？假定能，求出此时的x的值；假定不能，请说明理由．18. 某公司研制出一种新型产品，每件的消费本钱为18元，按定价40元出售，每月可销售20万件．为了添加销量，公司决议采取降价的方法，经市场调研，每降价1元，月销售量可添加2万件，设每件产品的售价为x元．(1) 设月销售利润W(万元)，请用含有销售单价x(元)的代数式表示W；(2) 为使月销售利润到达480万元，且按物价部门规则此类商品每件的利润率不得高于80%，每件产品的售价为多少？参考答案：1---6 CDADB D7. a≠38. y ＝3x 2－20x ＋129. x 2＋7x10. y ＝12x(x －1) 是 11. m≠4且m≠－2 m ＝412. y ＝－10x 2＋400x ＋500013. 解：(1)是，a ＝1，b ＝－1，c ＝1.(2)不是．(3)是，a ＝－1，b ＝0，c ＝9.14. 解：(1)由题意得：a 2－4≠0解得a ≠±2即：当a ≠±2时，此函数是二次函数．(2)由题意得：⎩⎪⎨⎪⎧ a 2－4＝0a ＋2≠0解得：a ＝2即：当a ＝2时，此函数是一次函数．15. 解：依据题意得，假定原函数为二次函数，那么有⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋1≠0，m 2－2m －1＝2解得m ＝3.即当m ＝3时，y ＝(m ＋1)xm 2－2m －1＋(m －3)x ＋m 是二次函数．16. 解：由题意，得y ＝x×40－x 2＝－12x 2＋20x ，自变量x 的取值范围是0＜x≤25. 17. 解：(1)依据题意，得y ＝x (25－x )＝－x 2＋25x(2)假定能围成面积为160cm2的矩形，那么－x2＋25x＝160，即x2－25x＋160＝0 ∵b2－4ac＝(－25)2－4×1×160＝－15＜0∴方程没有实数根，∴不能围成面积为160cm2的矩形．18. 解：(1)依据题意可得函数解析式：W＝(x－18)[20＋2(40－x)]＝－2x2＋136x－1800，即月销售利润W＝－2x2＋136x－1800；(2)当W＝480时，－2x2＋136x－1800＝480解得x1＝30，x2＝38又∵38＞18×(1＋80%)，∴x＝30答：每件产品的售价为30元．。
人教版九年级上册数学22 1二次函数的图像和性质同步训练(含答案)
人教版九年级上册数学22.1二次函数的图像和性质同步训练一、单选题1．抛物线()252y x =--+的顶点坐标是（ ）A ．()5,2-B ．()5,2C ．()5,2--D ．()5,2- 2．当1a x a -≤≤时，二次函数243y x x =-+的最小值为8，则a 的值为（ ） A ．1-或5 B ．0或6 C ．1-或6 D ．0或5 3．将抛物线232y x =+向右平移1个单位，再向上平移3个单位后所得到的抛物线解析式为( ) A ．2)3(15y x =++B ．23(1)5y x =-+C ．23(1)1y x =+-D ．23(1)1y x =--4．如图是一次函数y kx b =+的图象，则二次函数22y kx bx =++的图象可能为（ ）A ．B ．C ．D ．5．若抛物线2y ax bx c =++上的()40P ，，Q 两点关于直线1x =对称，则Q 点的坐标为（ ）A ．()10-，B ．()20-，C ．()30-，D ．()40-，6．已知点()11,A y -，()22,B y -，()32,C y 三点都在二次函数22y x x m =--+的图象上，则1y ，2y ，3y 的大小关系为（ ）A ．123y y y >>B ．132y y y >>C ．312y y y >>D ．213y y y >> 7．如图，抛物线()20y ax bx c a =++≠的对称轴是直线1x =，则下列结论正确的是（ ）A ．0abc >B ．0a b c ++>C ．32b c <D ．b a c >+8．二次函数()20y ax bx c a =++≠的部分图像如图所示，图像过点()10-，对称轴为直线2x =，下列结论：①0abc >；①42a c b +>；①()42a b m am b +≤+（m 为常数）：①320b c ->．其中正确的个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二、填空题9．若将抛物线22y x =的图象先向右平移5个单位，再向上平移4个单位，得到新抛物线的表达式为______．10．已知抛物线2()y a x h k =-+与x 轴有两个交点()()1,0,3,0A B -，抛物线2()y a x h m k =--+与x 轴的一个交点是()4,0，则m 的值是__________．11．已知二次函数223(0)y ax ax a =-++>，若点(,3)P m 在该函数的图象上，且0m ≠，则m 的值为________．12．请写出一个图像关于1x =对称的二次函数的表达式________．13．请任意写出一个图象开口向上，且顶点坐标为()12-，的二次函数解析式______． 14．函数()=--2y 2x 31的图象可由函数22y x =的图象沿x 轴向_______平移_______个单位，再沿y 轴向_______平移_______个单位得到．15．已知二次函数223y x x =+-，当41x -≤≤时，y 的取值范围为___________． 16．在平面直角坐标系中，若将抛物线2245y x x =-+先向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度得到抛物线解析式为___________．三、解答题17．已知二次函数y ＝a (x ﹣1)2+4的图象经过点(﹣1，0)．(1)求这个二次函数的解析式；(2)判断这个二次函数的开口方向，对称轴和顶点坐标．18．已知二次函数y =ax 2+bx +3的图象经过点 (－3，0)，(2，－5)．(1)试确定此二次函数的解析式；(2)请你判断点P (－2，3)是否在这个二次函数的图象上？19．已知函数y=（m 2﹣m ）x 2+（m ﹣1）x+m+1．（1）若这个函数是一次函数，求m 的值；（2）若这个函数是二次函数，则m 的值应怎样？20．如图所示，已知抛物线25y ax bx =++（0a <）与x 轴交于点()1,0A -和点()5,0B ，与y 轴交点C ．(1)求抛物线的解折式；(2)点Q 是线段BC 上异于B ，C 的动点，过点Q 作QF x ⊥轴于点F ，交抛物线于点G ．当QCG 为直角三角形时，请直接写出．．．．点G 的坐标．参考答案： 1．B2．C3．B4．C5．B6．A7．A8．A9．()2254y x =-+10．5或111．212．()21y x =-，答案不唯一13．()212y x =--（答案不唯一）14． 右 3 下 115．45y -≤≤/54y ≥≥-16．()2221y x =-+17．(1)y ＝﹣(x ﹣1)2+4；(2)抛物线开口向下，顶点坐标为(1，4)，对称轴为直线x ＝1． 18．（1）y =﹣x 2﹣2x +3；（2）点P （﹣2，3）在这个二次函数的图象上， 19．(1)、m=0；(2)、m≠0且m≠1.20．(1)245y x x =-++(2)()3,8G 或()4,5G ．。
2019年秋人教版九年级数学上 22.1 二次函数的图象和性质 同步练习卷 含答案
22.1 二次函数的图象和性质一．选择题（共10小题）1．抛物线y＝（x﹣1）2+2的顶点坐标是（）A．（1，2）B．（﹣1，2）C．（1，﹣2）D．（﹣1，﹣2）2．关于x的二次函数y＝（a﹣3）x2+bx+a2﹣9的图象过原点，则a的值为（）A．﹣3 B．3 C．±3 D．03．函数y＝﹣（x﹣1）2，当满足（）时，y随x的增大而减小．A．x＞0 B．x＜0 C．x＞1 D．x＜14．若二次函数y＝x2+bx+5配方后为y＝（x﹣3）2﹣4，则b的值分别为（）A．0 B．5 C．6 D．﹣65．如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象过点（﹣1，0）和点（3，0），则下列说法正确的是（）A．bc＜0 B．a+b+c＞o C．2a+b＝0 D．4ac＞b26．图中阴影部分的面积相等的是（）A．①②③B．①②④C．②③④D．无法判断7．如果抛物线经过点（﹣1，12），（0，5）和（2，﹣3）三点，则该二次函数的解析式为（）A．y＝x2﹣6x+5 B．y＝x2+3x+5 C．y＝x2﹣3x+5 D．y＝x2+x+12 8．二次函数的部分图象如图所示，对称轴是x＝﹣1，则这个二次函数的表达式为（）A．y＝﹣x2+2x+3 B．y＝x2+2x+3 C．y＝﹣x2+2x﹣3 D．y＝﹣x2﹣2x+3 9．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论中错误的是（）A．函数有最小值B．当﹣1＜x＜2时，y＞0C．a+b+c＜0D．当x＜，y随x的增大而减小10．二次函数y＝x2﹣ax+b的图象如图所示，对称轴为直线x＝2，下列结论不正确的是（）A．a＝4B．当b＝﹣4时，顶点的坐标为（2，﹣8）C．当x＝﹣1时，b＞﹣5D．当x＞3时，y随x的增大而增大二．填空题（共5小题）11．若y＝（m2+m）x m2﹣2m﹣1﹣x+3是关于x的二次函数，则m＝．12．拋物线的顶点为（2，﹣3），与y轴交于点（0，﹣7），则该抛物线的解析式为．13．函数y＝﹣（x﹣1）2﹣7的最大值为．14．函数y＝2x2﹣4x﹣1写成y＝a（x﹣h）2+k（a≠0）的形式是．15．如图，抛物线y＝ax2+1（a＜0）与过点（0，﹣3）且平行于x轴的直线相交于点A、B，与y轴交于点C，若∠ACB为直角，则a＝．三．解答题（共5小题）16．已知二次函数y＝x2+4x+3．（1）用配方法将二次函数的表达式化为y＝a（x﹣h）2+k的形式；（2）在平面直角坐标系xOy中，画出这个二次函数的图象；（3）根据（2）中的图象，写出一条该二次函数的性质．17．已知抛物线经过点（4，3），且当x＝2时，y有最小值﹣1．（1）求这条抛物线的解析式．（2）写出y随x的增大而减小的自变量x的取值范围．18．如图，已知抛物线y＝ax2+x+c（a≠0）与y轴交于A（0，4），与x轴交于B、C，点C坐标为（8，0），连接AB、AC．（1）求抛物线的解析式；（2）判断△ABC的形状，并说明理由．19．已知一抛物线y＝ax2+bx和抛物线y＝﹣2x2的形状及开口方向完全相同，且经过点（1，6）（1）求此抛物线解析式；（2）用配方法求此抛物线的顶点坐标．20．如图，直线y＝2x﹣8分别交x轴、y轴于点A、点B，抛物线y＝ax2+bx（a≠0）经过点A，且顶点Q在直线AB上．（1）求a，b的值．（2）点P是第四象限内抛物线上的点，连结OP、AP、BP，设点P的横坐标为t，△OAP 的面积为s1，△OBP的面积为s2，记s＝s1+s2，试求s的最值．参考答案一．选择题（共10小题）1．解：∵y＝（x﹣1）2+2，∴抛物线顶点坐标为（1，2），故选：A．2．解：把（0，0）代入y＝（a﹣3）x2+bx+a2﹣9得a2﹣9＝0，解得a1＝3，a2＝﹣3，而a﹣3≠0，所以a的值为﹣3．故选：A．3．解：∵y＝﹣（x﹣1）2，∴a＝﹣1＜0，对称轴为直线x＝1，则当x＜1时，y随x的增大而增大；当x＞1时，y随x的增大而减小；故选：C．4．解：∵y＝（x﹣3）2﹣4＝x2﹣6x+9﹣4＝x2﹣6x+5，又∵y＝x2+bx+5，∴b＝﹣6．故选：D．5．解：∵抛物线开口向上，∴a＞0，∵对称轴在y轴的右侧，∴a和b异号，∴b＜0，∵抛物线与x轴的交点在x轴下方，∴c＜0，∴bc＞0，所以A选项错误；∵当x＝1时，y＜0，∴a+b+c＜0，所以B选项错误；∵抛物线经过点（﹣1，0）和点（3，0），∴抛物线的对称轴为直线x＝1，即﹣＝1，∴2a+b＝0，所以C选项正确；∵抛物线与x轴有2个交点，∴△＝b2﹣4ac＞0，即4ac＜b2，所以D选项错误．故选：C．6．解：①与坐标轴的两个交点为（0，2）（2，0），阴影部分的面积为2×2÷2＝2；②当x＝1时，y＝2，阴影部分的面积为1×2÷2＝1；③与x轴的两个交点的横坐标为﹣1，1，两点间的距离为：1﹣（﹣1）＝2，与y轴的交点为（0，﹣1）．阴影部分的面积为2×1÷2＝1；④当x＝1时，y＝2，阴影部分的面积为1×2÷2＝1．②③④面积相等．故选：C．7．解：设二次函数的解析式为y＝ax2+bx+c，将（﹣1，12），（0，5），（2，﹣3）代入得：，解得：a＝1，b＝﹣6，c＝5，∴二次函数的解析式为y＝x2﹣6x+5．故选：A．8．解：由图象知抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，过点（﹣3，0）、（0，3），设抛物线解析式为y＝a（x+1）2+k，将（﹣3，0）、（0，3）代入，得：，解得：，则抛物线解析式为y＝﹣（x+1）2+4＝﹣x2﹣2x+3，故选：D．9．解：A、由图象可知函数有最小值，故正确；B、由抛物线可知当﹣1＜x＜2时，y＜0，故错误；C、当x＝1时，y＜0，即a+b+c＜0，故正确；D、由图象可知在对称轴的左侧y随x的增大而减小，故正确．故选：B．10．解：∵二次函数y＝x2﹣ax+b∴对称轴为直线x＝＝2∴a＝4，故A选项正确；当b＝﹣4时，y＝x2﹣4x﹣4＝（x﹣2）2﹣8∴顶点的坐标为（2，﹣8），故B选项正确；当x＝﹣1时，由图象知此时y＜0即1+4+b＜0∴b＜﹣5，故C选项不正确；∵对称轴为直线x＝2且图象开口向上∴当x＞3时，y随x的增大而增大，故D选项正确；故选：C．二．填空题（共5小题）11．解：由题意，得m2﹣2m﹣1＝2，且m2+m≠0，解得m＝3，故答案为：3．12．解：∵拋物线的顶点为（2，﹣3），∴设这个二次函数的解析式y＝a（x﹣2）2﹣3，∵拋物线与y轴交于点（0，﹣7），∴﹣7＝4a﹣3，解得：a＝﹣1，则这个二次函数的解析式y＝﹣（x﹣2）2﹣3．故答案为y＝﹣（x﹣2）2﹣313．解：∵在函数y＝﹣（x﹣1）2﹣7中a＝﹣1＜0，∴当x＝1时，y取得最大值，最大值为﹣7，故答案为：﹣7．14．解：y＝2x2﹣4x﹣1＝2（x2﹣2x）﹣1＝2（x2﹣2x+1﹣1）﹣1＝2（x﹣1）2﹣2﹣1＝2（x﹣1）2﹣3，故答案为：y＝2（x﹣1）2﹣3．15．解：直线AB与y轴交于点D，如图，则D（0，﹣3），∵C（0，1），∴CD＝4，∵AB过点（0，﹣3）且平行于x轴，∴△ABC为等腰三角形，∵∠ACB＝90°，∴△ABC为等腰直角三角形，∴CD＝AD＝BD＝4，∴B（4，﹣3），把B（4，﹣3）代入y＝ax2+1得16a+1＝﹣3，解得a＝﹣．故答案为﹣．三．解答题（共5小题）16．解：（1）y＝x2+4x+3＝x2+4x+22﹣22+3＝（x+2）2﹣1；（2）列表：如图，（3）当x＜﹣2时，y随x的增大而减小，当x＞﹣2时，y随x的增大而增大．17．解：（1）设y＝a（x﹣2）2﹣1，代入（4，3）得3＝a（4﹣2）2﹣1，解得a＝1，即y＝（x﹣2）2﹣1或y＝x2﹣4x+3；（2）y随x的增大而减小的自变量x的取值范围是x＜2．18．解（1）∵抛物线y＝ax2+x+c与y轴交于A（0，4）与x轴交于B、C，点C坐标为（8，0），∴，解得：，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+4；（2）△ABC为直角三角形，理由如下：当y＝0时，﹣x2+x+4＝0，解得：x1＝8，x2＝﹣2，∴点B的坐标为（﹣2，0），由已知可得在Rt△ABO中，AB2＝BO2+AO2＝22+42＝20，在Rt△ACO中，AC2＝CO2+AO2＝82+42＝80，又∵BC＝OB+OC＝2+8＝10，∴在△ABC中，AB2+AC2＝20+80＝102＝BC2，∴△ABC是直角三角形．19．解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx的形状和开口方向与y＝﹣2x2相同，∴a＝﹣2，∴y＝﹣2x2+bx∵图象经过点（1，6）代入得：6＝﹣2+b，解得：b＝8，∴抛物线的解析式是y＝﹣2x2+8x；（2）y＝﹣2x2+8x＝﹣2（x﹣2）2+8，即抛物线的顶点坐标是（2，8）．20．解：（1）∵直线y＝2x﹣8分别交x轴、y轴于点A、点B，∴点A的坐标为（4，0），点B的坐标为（0，﹣8）．∵抛物线y＝ax2+bx（a≠0）经过点A，点O，∴抛物线的对称轴为直线x＝2．当x＝2时，y＝2x﹣8＝﹣4，∴抛物线顶点Q的坐标为（2，﹣4）．将A（4，0），Q（2，﹣4）代入y＝ax2+bx，得：，解得：．（2）由（1）得：抛物线解析式为y＝x2﹣4x，∵点P的横坐标为t，∴点P的坐标为（t，t2﹣4t），∴s1＝×4×（4t﹣t2）＝8t﹣2t2，s2＝×8×t＝4t，∴s＝s1+s2＝﹣2t2+12t＝﹣2（t﹣3）2+18．∵﹣2＜0，且0＜t＜4，∴当t＝3时，s取得最大值，最大值为18．。
人教版九年级上册数学《二次函数的性质》同步练习(含答案)
二次函数的性质一 、选择题（本大题共9小题）1.二次函数21y ax x =++的图象必过点（ ）A ．()0,aB ．()1,a --C ．()1,a -D ．()0,a - 2.二次函数()212y x =-+的最小值是（ ）A ．2-B ．2C ．1-D ．13.把抛物线2x y =向右平移1个单位，所得到的抛物线函数的表达式为（ ）A ．21y x =+B ．()21y x =+ C ．21y x =- D ．()21y x =-4.如图，直角坐标系中，两条抛物线有相同的对称轴，下列关系不正确的是（ ）A ．h m =B ．k n =C ．k n >D ．00h k >>，5.已知二次函数2y ax bx c =++的图象过点()()()123257A B C ，，，，，．若点()12M y -，，()21N y -，，()38K y ，也在二次函数2y ax bx c =++的图象上，则下列结论正确的是（ ）．A ．123y y y <<B ．213y y y <<C ．312y y y <<D ．132y y y <<6.如图，已知抛物线2y ax bx c =++，则关于x 的方程230ax bx c ++-=的根的情况是（ ）A ．有两个不相等的正实根B ．有两个异号实数根14（x-h ）2+kC ．有两个相等的实数根D ．没有实数根7.函数k y x=与22(0)y kx k k =+≠在同一坐标系中图象大致是图中的（ ）8.已知22934y x x =++，当x 取不同的值1x ，2x 时函数值相等，则当12x x x =+时的值（ ）A.与1x =的函数相等．B.与0x =的函数相等．C.与14x =的函数相等． D.与94x =-的函数相等． 9.如图，平面直角坐标系中，两条抛物线有相同的对称轴，则下列关系正确的是（ ）A ．,m n k h =>B ．,m n k h =<C ．,m n k h >=D ．,m n k h <=二 、填空题（本大题共4小题）10.函数223y x =-的图象可以看做是函数22y x =的图象向 平移 个单位得到的。
人教版 九年级数学上册 22.1 二次函数的图象和性质 同步训练(含答案)
人教版九年级数学上册22.1 二次函数的图象和性质同步训练一、选择题1. 二次函数y＝2x2，y＝－2x2，y＝12x2的共同性质是()A．其图象开口都向上B．其图象的对称轴都是y轴C．其图象都有最高点D．y随x的增大而增大2. 若y＝ax2＋bx＋c，则由表格中的信息可知y与x之间的函数解析式是()A.y＝x2－4x＋3 B．y＝x2－3x＋4C．y＝x2－3x＋3 D．y＝x2－4x＋83. 若二次函数y＝x2＋mx的对称轴是x＝3，则关于x的方程x2＋mx＝7的解为()A. x1＝0，x2＝6B. x1＝1，x2＝7C. x1＝1，x2＝－7D. x1＝－1，x2＝74. 已知二次函数y＝－x2＋2bx＋c，当x＞1时，y的值随x值的增大而减小，则实数b的取值范围是()A．b≥－1 B．b≤－1C．b≥1 D．b≤15. 二次函数y＝2x2－3的图象是一条抛物线，下列关于该抛物线的说法，正确的是()A. 抛物线开口向下B. 抛物线经过点(2，3)C. 抛物线的对称轴是直线x＝1D. 抛物线与x轴有两个交点6. 将函数y＝x2的图象用下列方法平移后，所得的图象不经过点A(1，4)的是() A．向左平移1个单位长度B．向右平移3个单位长度C．向上平移3个单位长度D．向下平移1个单位长度7. 已知抛物线y＝2x2＋bx＋c的顶点坐标是(－1，－2)，则b与c的值分别为() A．－1，－2 B．4，－2C．－4，0 D．4，08. 已知二次函数y＝x2＋bx＋c与x轴只有一个交点，且图象过A(x1，m)、B(x1＋n，m)两点，则m、n的关系为()A. m＝12n B. m＝14n C. m＝12n2 D. m＝14n2二、填空题9. 某抛物线的形状、开口方向与抛物线y＝12x2－4x＋3相同，顶点坐标为(－2，1)，则该抛物线的函数解析式为________________．10. 已知抛物线y＝2(x－1)2上有两点(x1，y1)，(x2，y2)，且1＜x1＜x2，则y1与y2的大小关系是________．11. 抛物线y＝－8x2的开口向________，对称轴是________，顶点坐标是________；当x＞0时，y随x的增大而________，当x＜0时，y随x的增大而________．12. 已知二次函数的图象经过原点及点(－12，－14)，且图象与x轴的另一交点到原点的距离为1，则该二次函数的解析式为________________．13. 如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a>0)的对称轴是过点(1，0)且平行于y轴的直线，若点P(4，0)在该抛物线上，则4a－2b＋c的值为________．14. 顶点坐标是(2，0)，且与抛物线y＝－3x2的形状、开口方向都相同的抛物线的解析式为________．15. 如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴相交于点A，B(m＋2，0)，与y轴相交于点C，点D在该抛物线上，坐标为(m，c)，则点A的坐标是________．16. 如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2＋bx(a＞0)的顶点为C，与x轴的正半轴交于点A，它的对称轴与抛物线y＝ax2(a＞0)交于点B.若四边形ABOC是正方形，则b的值是________．三、解答题17. 已知抛物线y＝ax2经过点A(－2，－8)．(1)求此抛物线的解析式；(2)判断点B(－1，－4)是否在此抛物线上；(3)求出抛物线上纵坐标为－6的点的坐标．18. 在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2＋bx＋2过B(－2，6)，C(2，2)两点．(1)试求抛物线的解析式；(2)记抛物线顶点为D，求△BCD的面积；(3)若直线y＝－12x向上平移b个单位所得的直线与抛物线段BDC(包括端点B、C)部分有两个交点，求b的取值范围．19. 如图，等腰直角三角形ABC的直角边与正方形MNPQ的边长均为10 cm，边CA与边MN在同一直线上，开始时点A与点M重合，△ABC沿MN方向以1 cm/s 的速度匀速运动，当点A与点N重合时，停止运动．设运动的时间为t s，运动过程中△ABC与正方形MNPQ重叠部分的面积为S cm2.(1)试写出S关于t的函数关系式，并指出自变量t的取值范围；(2)当MA＝2 cm时，重叠部分的面积是多少？20. 设函数y＝(x－1)[(k－1)x＋(k－3)](k是常数)．(1)当k取1和2时的函数y1和y2的图象如图所示，请你在同一直角坐标系中画出当k取0时函数的图象；(2)根据图象，写出你发现的一条结论；(3)将函数y2的图象向左平移4个单位，再向下平移2个单位，得到函数y3的图象，求函数y3的最小值．人教版九年级数学上册22.1 二次函数的图象和性质同步训练-答案一、选择题1. 【答案】B2. 【答案】A[解析] ∵x ＝1时，ax 2＝1，∴a ＝1.将(－1，8)，(0，3)分别代入y ＝x 2＋bx ＋c ，得⎩⎨⎧1－b ＋c ＝8，c ＝3，解得⎩⎨⎧b ＝－4，c ＝3.∴y 与x 之间的函数解析式是y ＝x 2－4x ＋3.故选A.3. 【答案】D【解析】∵二次函数y ＝x 2＋mx 的对称轴为x ＝－m2＝3，解得m ＝－6，则关于x 的方程为x 2－6x ＝7，解得，x 1＝－1，x 2＝7.4. 【答案】D [解析] 先根据抛物线的性质得到其对称轴为直线x ＝b ，且当x ＞b 时，y 的值随x 值的增大而减小．因为当x ＞1时，y 的值随x 值的增大而减小，所以b≤1.5. 【答案】D【解析】本题考查了二次函数的性质，由于2>0，所以抛物线的开口向上，所以A 选项错误；由于当x ＝2时，y ＝8－3＝5，所以B 选项错误；由于y ＝2x 2－3的对称轴是y 轴，所以C 选项错误；由2x 2－3＝0得b 2－4ac ＝24>0，则该抛物线与x 轴有两个交点，所以D 选项正确．6. 【答案】D [解析] A ．将函数y ＝x 2的图象向左平移1个单位长度得到函数y ＝(x ＋1)2的图象，它经过点(1，4)；B.将函数y ＝x 2的图象向右平移3个单位长度得到函数y ＝(x －3)2的图象，它经过点(1，4)；C.将函数y ＝x 2的图象向上平移3个单位长度得到函数y ＝x 2＋3的图象，它经过点(1，4)；D.将函数y ＝x 2的图象向下平移1个单位长度得到函数y ＝x 2－1的图象，它不经过点(1，4)．故选D.7. 【答案】D8. 【答案】D【解析】因为二次函数y ＝x 2＋bx ＋c 的图象与x 轴只有一个交点，∴b 2－4c ＝0，即c ＝b 24，由题意知，点A ，B 关于抛物线的对称轴对称，∴12AB＝|n|2＝－b 2－x 1，b ＝－|n|－2x 1, ∴c ＝（－|n|－2x 1）24＝|n|2＋4|n|x 1＋4x 214，∵A(x 1，m)在y ＝x 2＋bx ＋c 上，∴m ＝x 21＋bx 1＋c ，∴ m ＝x 21＋(－|n|－2x 1)· x 1＋|n|2＋4|n|x 1＋4x 214，化简整理得m ＝14n 2，故选D .二、填空题9. 【答案】y ＝12(x ＋2)2＋1 [解析] 已知抛物线的顶点坐标，可以设顶点式y ＝a(x －h)2＋k.又因为该抛物线的形状、开口方向与抛物线y ＝12x 2－4x ＋3相同，所以a ＝12，所以该抛物线的函数解析式是y ＝12(x ＋2)2＋1.10. 【答案】y 1<y 2[解析] ∵抛物线的解析式是y ＝2(x －1)2，∴其对称轴是直线x ＝1，抛物线的开口向上， ∴在对称轴右侧，y 随x 的增大而增大．又∵抛物线y ＝2(x －1)2上有两点(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，且1＜x 1＜x 2，∴y 1<y 2.11. 【答案】下y 轴 (0，0) 减小 增大12. 【答案】y ＝x 2＋x 或y ＝－13x 2＋13x 【解析】依题意，所求函数有可能经过(－1，0)，(－12，－14) 或(1，0)，(－12，－14) .设所求函数解析式为y ＝ax 2＋bx ＋c ，图象经过原点，则c ＝0，当图象经过(－1，0)，(－12，－14)时，代入可求得a ＝b ＝1，即所求解析式为y ＝x 2＋x ; 当图象经过(1，0)，(－12，－14)时，代入可求得a ＝－13，b ＝13，即所求解析式为y ＝－13x 2＋13x .综上所述，所求函数的解析式为y＝x 2＋x 或y ＝－13x 2＋13x .13. 【答案】0 【解析】设抛物线与x 轴的另一个交点是Q ，∵抛物线的对称轴是过点(1，0)的直线，与x 轴的一个交点是P(4，0)，∴与x 轴的另一个交点Q(－2，0)，把(－2，0)代入解析式得：0＝4a －2b ＋c ，∴4a －2b ＋c ＝0.14. 【答案】y ＝－3(x －2)215. 【答案】(－2，0)【解析】如解图，过D 作DM ⊥x 轴于点M ，∴M(m ，0)，又B(m ＋2，0)，∴MB ＝2，由C(0，c)，D(m ，c)知：OC ＝DM ，即点C 、D 关于对称轴对称，故点O 、M 也关于对称轴对称，∴OA ＝MB ＝2，∴A(－2，0)．16. 【答案】－2 [解析] 抛物线y ＝ax 2＋bx 的顶点C 的坐标为(－b 2a ，－b 24a)．把x ＝－b 2a 代入y ＝ax 2，得点B 的坐标为(－b 2a ，b 24a )．在y ＝ax 2＋bx 中，令y ＝0，则ax 2＋bx ＝0，解得x 1＝0，x 2＝－b a ，∴A(－ba ，0)．∵四边形ABOC 为正方形，∴BC ＝OA ，∴2·b 24a ＝－b a ，即b 2＋2b ＝0.解得b ＝－2或b ＝0(不符合题意，舍去)．三、解答题17. 【答案】解：(1)∵抛物线y ＝ax 2经过点A(－2，－8)，∴4a ＝－8，解得a ＝－2，∴此抛物线的解析式为y ＝－2x 2.(2)当x ＝－1时，y ＝－2，∴点B(－1，－4)不在此抛物线上．(3)把y ＝－6代入y ＝－2x 2，得－2x 2＝－6，解得x ＝±3，∴抛物线上纵坐标为－6的点的坐标为(3，－6)，(－3，－6)．18. 【答案】解：(1)把B(－2，6)，C(2，2)代入抛物线的解析式得： ⎩⎨⎧6＝a·（－2）2＋b·（－2）＋22＝a·22＋b·2＋2，(1分)解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12b ＝－1，(2分)∴抛物线的解析式为y ＝12x 2－x ＋2.(3分)(2)抛物线解析式化为顶点式：y ＝12(x －1)2＋32，则抛物线顶点D(1，32)，(4分) 如解图①所示，过点B 、D 、C 分别向x 轴作垂线，垂足分别为点M 、N 、H ，则有：S △BCD ＝S 梯形BMHC －S 梯形BMND －S 梯形DNHC ＝12(6＋2) ×4－12(6＋32)×3－12(32＋2) ×1 ＝3.(6分)解图①解图② (3)如解图②所示，连接BC ，∵直线BC 斜率k BC ＝2－62－（－2）＝－1＜－12，∴过点C 作直线MN 与直线y ＝－12x 平行，设直线MN 的解析式为y ＝－12x ＋b 1，代入C(2，2)， ∴b 1＝3.(7分)作直线EF 与抛物线相切，且与直线y ＝－12x 平行， 设直线EF 的解析式为y ＝－12x ＋b 2，联立抛物线解析式得， ⎩⎪⎨⎪⎧y ＝12x 2－x ＋2y ＝－12x ＋b 2， ∴x 2－x ＋4－2b 2＝ 0， ∵直线EF 与抛物线相切，∴b 2－4ac ＝0，即(－1)2－4(4－2b 2)＝0，(9分)∴b 2＝158，(11分) ∴158＜b ≤3.(12分)注：斜率知识为高中知识，但常渗透于中考压轴题，与二次函数相结合考查，做题时注意其性质的应用．19. 【答案】解：(1)设AB 与MQ 交于点R.∵△ABC 是等腰直角三角形，四边形MNPQ 是正方形， ∴△AMR 是等腰直角三角形． 由题意知，AM ＝MR ＝t ，∴S ＝S △AMR ＝12t·t ＝12t 2(0≤t≤10)．(2)当MA ＝2 cm ，即t ＝2时，重叠部分的面积是12×2×2＝2(cm 2)．20. 【答案】解：(1)当k ＝0时，y ＝－(x －1)(x ＋3)，所画图象如解图所示．(2分)(2)①k 取0和2时的函数图象关于点(0，2)中心对称，②函数y ＝(x －1)[(k －1)x ＋(k －3)](k 是常数)的图象都经过(1，0)和(－1，4)．(5分)(3)由题意可得y 2＝(x －1)[(2－1)x ＋(2－3)]＝(x －1)2，平移后的函数y 3的表达式为y 3＝(x －1＋4)2－2＝(x ＋3)2－2， 所以当x ＝－3时，函数y 3的最小值是－2.(8分)。
人教版九年级上册数学《二次函数的图象与系数的关系》同步练习(含答案)
二次函数的图象与系数的关系一 、选择题（本大题共1小题）1.关于二次函数2y ax bx c =++图象有下列命题：（1）当0c =时，函数的图象经过原点；（2）当0c >时，函数的图象开口向下时，方程20ax bx c ++=必有两个不等实根；（3）当0b =时，函数图象关于原点对称．其中正确的个数有（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3二 、填空题（本大题共1小题）2.已知二次函数()()2223y m x mx m =-+--的图象的开口向上，顶点在第三象限，且交于y 轴的负半轴，则m 的取值范围是_________________．三 、解答题（本大题共2小题）3.已知：关于x 的方程()213210ax a x a --+-=（1）当a 取何值时，二次函数()21321y ax a x a =--+-的对称轴是2x =-；（2）求证：a 取任何实数时，方程总有实数根.4.已知二次函数2y ax bx c =++（其中a 是正整数）的图象经过点()14A -，和()21B ，，且与x 轴有两个不同的交点，求b c +的最大值．012)31(2=-+--a x a ax二次函数的图象与系数的关系答案解析一 、选择题1.C ；当0c =时，函数的图象经过原点，正确；（2）当0c >时，函数的图象开口向下时，图象与x 轴有2个交点，所以方程20ax bx c ++=必有两个不等实根，正确；（3）当0b =时，函数图象关于y 轴对称，错误．有两个正确．二 、填空题2.23m <<；因为函数图像开口向上，所以()20m ->，又因为顶点在第三象限，所以函数对称轴在y 轴左侧，所以20m >；因为函数图像又与y 轴的负半轴相交，所以()30m --<．综上所述可得()202200330m m m m m m ⎧->>⎧⎪⎪>⇒>⎨⎨⎪⎪<--<⎩⎩ ∴23m <<三 、解答题3.考查二次函数的对称轴的性质，以及函数图象与坐标轴交点的情况．(1)解：∵二次函数()21321y ax a x a =--+-的对称轴是2x =- ∴()11322a a --=- 解得1a =-经检验1a =-是原分式方程的解.所以1a =-时，二次函数()21321y ax a x a =--+-的对称轴是2x =-；（2）1）当0a =时，原方程变为10x --=，方程的解为1x =-；2）当0a ≠时，原方程为一元二次方程，， 当240b ac -≥时，方程总有实数根∴()()2134210a a a ----≥⎡⎤⎣⎦整理得，2210a a -+=,()210a -≥∵0a ≠时 ()210a -≥总成立所以a 取任何实数时，方程总有实数根. 012)31(2=-+--a x a ax 012)31(2=-+--a x a ax4.由函数经过点()14A -，，()21B ，，则有 4421a b c a b c -+=⎧⎨++=⎩，解得132b a c a =--⎧⎨=-⎩． 因为二次函数与x 轴有两个不同的交点，则240b ac ∆=->，即()()24320a a a a ---->，整理为()()9110a a -->，解得19a <或1a >．由于a 为正整数，所以2a ≥．又因为324b c a +=-+-≤，且当2a =、3b =-、1c =-时，满足题意，故b c +的最大值为4-．。
人教版初中数学九年级上册《22.1二次函数图像和性质》同步练习含答案解析
九年级上册第二十二章《 22.1 二次函数的图像和性质》同步练习题一、单项选择题（每题只有一个正确答案）1．以下函数中是二次函数的是( )A． y＝ 3x－ 1B． y＝3x2－ 1C． y＝ (x＋ 1)2－x2D． y＝ ax2＋ 2x－32 2．若 y=（a +a）A． a=﹣ 1 或 a=3 3．抛物线y＝－ x是二次函数，那么（）B． a≠﹣ 1 且 a≠0C． a=﹣ 1D． a=3 2不拥有的性质是()A．张口向下B．对称轴是y 轴C．与 y 轴不订交D．最高点是原点4．如图，四个二次函数的图象中，分别对应的是：① y ax2；② y bx2；③ y cx2；④ y dx2，则a,b, c, d的大小关系为()A．a b c d B．a b d c C．b a c d D．b a d c 5．关于的图象以下表达错误的选项是A．极点坐标为（﹣3， 2）B．对称轴为x=﹣ 3C．当 x＜﹣ 3 时 y 随 x 增大而减小D．函数有最大值为26．已知二次函数的图象以下列图，则以下说法正确的选项是（）A．＜0B．＜ 0C．＜ 0D．＜ 07．抛物线 y= （ x﹣ 2）2﹣ 1 可以由抛物线y=x 2平移而获取，以下平移正确的选项是（）A．先向左平移 2 个单位长度，尔后向上平移 1 个单位长度B．先向左平移 2 个单位长度，尔后向下平移 1 个单位长度C．先向右平移 2 个单位长度，尔后向上平移 1 个单位长度D．先向右平移 2 个单位长度，尔后向下平移 1 个单位长度8．如图，二次函数的图象张口向下，且经过第三象限的点若点P 的横坐标为，则一次函数的图象大体是A ．B ．C ．D．二、填空题9．二次函数y＝ kx2－ x－ 2 经过点 (1， 5)，则 k＝_________.10．函数 y= –的图象是抛物线，则 m= __________．11．张口向下的抛物线y＝(m 2－ 2)x2＋2mx ＋1 的对称轴经过点 (－1， 3)，则 m＝ _____．12．如图，这是小明在阅读一本关于函数的课外读物时看到的一段文字，则被墨迹污染的二次项系数是__________．13．抛物线 y=ax 2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=1，与 x 轴的一个交点坐标为（﹣1，0），其部分图象以下列图，以下结论：①4ac＜ b2；②方程ax2+bx+c=0 的两个根是x1=﹣ 1，x2=3；③3a+c=0；④当 y＞ 0 时，x 的取值范围是﹣ 1≤x＜ 3；⑤当 x＜ 0 时，y 随 x 增大而增大，其中结论正确的选项是 _____（只需填序号）三、解答题14．已知函数y=- (m+2)- (m为常数),求当m为何值时:(1)y 是 x 的一次函数 ?(2)y 是 x 的二次函数 ?并求出此时纵坐标为 -8 的点的坐标 .15．某广告公司设计一幅周长为12m 的矩形广告牌，广告设计花销为1000 元 /m2.设矩形的一边长为xm，面积为ym2.(1) 求出 y 与 x 之间的函数关系式，说明y 可否是 x 的二次函数，并确定x 的取值范围；(2)若 x＝ 3 时，广告牌的面积最大，求此时的广告费应为多少？16．如图，已知二次函数 y=ax2+bx+3 的图象交 x 轴于点 A （ 1， 0）， B（ 3， 0），交 y 轴于点 C．（ 1）求这个二次函数的表达式；（ 2）点 P 是直线 BC 下方抛物线上的一动点，求△BCP面积的最大值；（3）直线 x=m 分别交直线 BC 和抛物线于点 M ， N，当△BMN 是等腰三角形时，直接写出 m 的值．参照答案1． B【解析】【解析】依照二次函数的定义:形如,则 y 是 x 的二次函数进行判断即可.【详解】A选项 ,y＝ 3x－ 1 是一次函数 ,不吻合题意 ,B选项 ,y＝3x2－ 1 是二次函数 ,吻合题意 ,C选项 , y＝ (x＋1)2－x2整理后 y=2x+1 是一次函数 ,不吻合题意 ,D选项 , y＝ ax2＋ 2x－ 3,二次项系数不确定可否等于0,不用然是二次函数 ,不吻合题意 ,应选 B.【点睛】此题主要观察二次函数的定义,解决此题的要点是要熟练掌握二次函数的定义.2． D【解析】【解析】依照二次函数定义，自变量的最高指数是二，且系数不为0，列出方程与不等式即可解答．【详解】2依照题意，得： a ﹣2a﹣ 1=22又由于 a +a≠0即 a≠0或 a≠﹣ 1应选 D．【点睛】解题要点是掌握二次函数的定义．3． C【解析】【解析】抛物线y=-x 2的二次项系数为-1，故抛物线张口向下，极点坐标（0， 0），最高点为原点，对称轴为y 轴，与 y 轴交于（ 0，0）．∵抛物线y=-x 2的二次项系数为-1，∴抛物线张口向下，极点坐标（0， 0）， A 正确；∴最高点为原点，对称轴为y 轴， B 、D 正确；与y 轴交于（ 0， 0）， C 错误，应选 C．【点睛】此题观察了基本二次函数 y=ax 2的性质：极点坐标（ 0， 0），对称轴为 y 轴，当 a＞ 0 时，张口向上，当 a＜ 0 时，张口向下．4． A【解析】由二次函数中，“当二次项系数为正时，图象张口向上，当二次项系数为负时，图象张口向下”结合“二次项系数的绝对值越大，图象的张口越大”解析可得：a b c d .应选 A.点睛：（ 1）二次函数y ax2a0的图象的张口方向由“a 的符号”确定，当a0 时，图象的张口向上，当 a 0 时，图象的张口向下；（2）二次函数y ax2a0的图象的开口大小由a的大小确定，当a越大时，图象的张口越小.5． D【解析】解析：依照二次函数的性质比较四个选项利用消除法即可得出结论.详解：依照二次函数的性质可知的极点坐标为（﹣3， 2），故 A 正确；对称轴为x=﹣ 3，故 B 正确；张口向上，在对称轴右侧y 随x 增大而减小且函数有最小值 2 ，故 C 正确 D 错误 .点睛：此题观察了二次函数的性质，在解题时可结合函数大体图象来判断. 正确理解二次函数的基本性质是解题的要点 .6． B【解析】【解析】依照抛物线的张口方向确定a，依照抛物线与y 轴的交点确定 c，依照对称轴确定b，依照抛物线与 x 轴的交点确定b2-4ac，依照 x=1 时， y＞ 0，确定 a+b+c 的符号．∵抛物线张口向上，∴a＞ 0，∵抛物线交于y 轴的正半轴，∴c＞ 0，∴ac＞ 0，A 错误；∵ - ＞ 0， a＞ 0，∴b＜ 0，∴ B 正确；∵抛物线与x 轴有两个交点，∴b2-4ac＞0，C 错误；当 x=1 时， y＞ 0，∴a+b+c＞ 0， D 错误；应选B．【点睛】此题观察的是二次函数图象与系数的关系，二次函数y=ax 2+bx+c 系数符号由抛物线张口方向、对称轴、抛物线与y 轴的交点抛物线与x 轴交点的个数确定．7． D【解析】解析：抛物线平移问题可以以平移前后两个解析式的极点坐标为基准研究．详解：抛物线y=x 2极点为（0，0），抛物线y= （x﹣ 2）2﹣ 1 的极点为（2，﹣ 1），则抛物线y=x 2向右平移 2 个单位，向下平移 1 个单位获取抛物线y= （ x﹣ 2）2﹣ 1 的图象．应选：D．点睛：此题观察二次函数图象平移问题，解答时最简单方法是确定平移前后的抛物线极点，从而确定平移方向．8． D【解析】【解析】依照二次函数的图象可以判断a、 b、的正负情况，从而可以获取一次函数经过哪几个象限，观察各选项即可得答案．【详解】由二次函数的图象可知，，，当时，，的图象经过二、三、四象限，观察可得 D 选项的图象吻合，应选 D．【点睛】此题观察二次函数的图象与性质、一次函数的图象与性质，认真识图，会用函数的思想、数形结合思想解答问题是要点.9． 8【解析】解析：把（1， 5）代入 y=kx 2-x-2 中，即可获取关于k 的一元一次方程，解这个方程即可求得k 的值．详解：∵二次函数y=kx 2-x-2 经过点（ 1，5），∴5=k-1-2 ，解得 k=8 ；故答案为 8．点睛：此题观察了二次函数图象上点的坐标特色，抛物线上的点的坐标适合解析式．10．–1【解析】依照抛物线的定义，得＝，解得： m=– 1．11．－ 1【解析】由于抛物线y= （ m2-2） x2+2mx+1 的对称轴经过点（-1， 3），b2m=-1，∴对称轴为直线 x=-1 ，x=2 m22a2解得 m1=-1 ， m2=2．由于抛物线的张口向下，所以当m=2 时， m2-2=2 ＞ 0，不合题意，应舍去，∴m=-1 ．故答案为： -1.12．－ 2【解析】由题意得,所以 a=-2.13．①②③⑤【解析】【解析】利用抛物线与x 轴的交点个数可对①进行判断;利用抛物线的对称性获取抛物线与x 轴的一个交点坐标为(3,0), 则可对②进行判断;由对称轴方程获取b=-2a,尔后依照x=-1时函数值为0可获取 3a+c=0,则可对③进行判断;依照二次函数的性质对④进行判断.【详解】①∵抛物线与x 轴有两个交点，∴△ =b2﹣ 4ac＞0，∴ 4ac＜ b2，结论①正确；②∵抛物线 y=ax2+bx+c （a≠0）的对称轴为直线x=1 ，与 x 轴的一个交点坐标为（﹣ 1， 0），∴抛物线与 x 轴的另一交点坐标为（ 3，0），∴方程 ax2+bx+c=0 的两个根是 x1=﹣ 1， x2=3 ，结论②正确；③∵抛物线 y=ax2+bx+c （a≠0）的对称轴为直线x=1，∴﹣=1，∴b= ﹣ 2a．∵当 x= ﹣1 时， y=0 ，∴a﹣ b+c=0，即 3a+c=0，结论③正确；④∵抛物线与x 轴的交点坐标为（﹣1，0）、（ 3， 0），∴当 y＞ 0 时， x 的取值范围是﹣1＜ x＜ 3，结论④错误；⑤∵抛物线张口向下，对称轴为直线x=1，∴当 x＜ 0 时， y 随 x 增大而增大，结论⑤正确．综上所述：正确的结论有①②③⑤．故答案为：①②③⑤．【点睛】二次函数图象与系数的关系：关于二次函数y=ax 2+bx+c （ a≠0），二次项系数 a 决定抛物线的张口方向和大小：当a＞ 0 时，抛物线向上张口；当a＜ 0 时，抛物线向下张口；一次项系数b 和二次项系数 a 共同决定对称轴的地址：当 a 与 b 同号时（即 ab＞ 0），对称轴在 y 轴左；当 a 与 b 异号时（即 ab＜ 0），对称轴在 y 轴右；常数项c 决定抛物线与 y 轴交点地址：抛物线与 y 轴交于（ 0， c）；抛物线与 x 轴交点个数由△决定：△=b2-4ac＞ 0 时，抛物线与 x 轴有 2 个交点；△=b2-4ac=0 时，抛物线与 x 轴有 1 个交点；△=b2-4ac＜0 时，抛物线与 x 轴没有交点．14． (1) m= ±;(2) m=2, 纵坐标为 -8 的点的坐标是 (±,-8).【解析】【解析】（ 1）依照一次函数的定义求m 的值即可；（2）依照二次函数的定义求得m 的值，从而求得二次函数的解析式，把y=-8代入解析式，求得x 的值，即可得纵坐标为-8的点的坐标.【详解】(1) 由 y=- (m+ 2)(m为常数 ),y 是 x 的一次函数,得解得m=±,当 m=±时 ,y 是 x 的一次函数.(2) 由y=- (m+ 2)(m 为常数),y是x 的二次函数,得解得m=2,m=- 2(不吻合题意的要舍去 ),当 m= 2 时 ,y 是 x 的二次函数 ,当 y=- 8 时 ,-8=- 4x2,解得 x= ±,故纵坐标为 - 8 的点的坐标是 (±,-8) .【点睛】此题观察了一次函数的定义、二次函数的定义，解题要点是掌握一次函数与二次函数的定义．15． (1)y ＝－ x2＋ 6x，是， 0＜ x＜ 6；（2） 9000 元【解析】试题解析：（ 1）矩形的一边长为 xm，依照矩形的周长是 12m，可得矩形的另一边长为（6－x） m，根据矩形的面积公式即可得出y 与 x 之间的函数表达式；（ 2）把 x＝ 3 代入函数的解析式得出y 的值即为广告牌的最大面积，再乘以1000 即为此时的广告费．试题解析：解：（ 1）由题意得出：y ＝ x(6－ x)＝－ x2＋ 6x，是二次函数，0＜ x＜ 6；（2）当 x＝ 3 时， y＝－ 32＋ 3×6＝ 9，1000×9＝ 9000 元，即此时的广告费应为9000 元．点睛：此题主要观察了依照实责问题抽象出二次函数解析式以及求二次函数值，正确得出二次函数解析式是解题要点．16．（ 1）这个二次函数的表达式是 y=x 2﹣ 4x+3 ；（ 2） S△最大 =；（ 3）当△BMN 是等腰BCP三角形时， m 的值为，﹣，1， 2．【解析】解析：（1）依照待定系数法，可得函数解析式；（ 2）依照平行于y 轴直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标，可得PE 的长，依照面积的和差，可得二次函数，依照二次函数的性质，可得答案；（ 3）依照等腰三角形的定义，可得关于m 的方程，依照解方程，可得答案．详解：（ 1）将 A （ 1， 0）， B（ 3， 0）代入函数解析式，得＝，＝解得＝，＝这个二次函数的表达式是y=x 2-4x+3 ；（ 2）当 x=0 时， y=3，即点 C（ 0，3），设 BC 的表达式为y=kx+b ，将点 B（ 3，0）点 C（ 0， 3）代入函数解析式，得＝，＝解这个方程组，得＝＝直线 BC 的解析是为y=-x+3 ，过点 P 作 PE∥ y 轴，交直线 BC 于点 E（ t， -t+3 ），22PE=-t+3-（ t -4t+3 ） =-t +3t，22，∴ S△BCP=S△BPE+S CPE= （ -t +3t）×3=- （ t- ） +∵- ＜ 0，∴当 t= 时， S△BCP最大 = .（3） M （ m， -m+3 ）， N （m， m2-4m+3 ）2MN=m -3m， BM=|m-3|，当 MN=BM时，① m2-3m=（m-3），解得m=，②m2 -3m=- （ m-3），解得 m=-当BN=MN 时，∠ NBM= ∠ BMN=45°，m2 -4m+3=0 ，解得 m=1 或 m=3（舍）当BM=BN 时，∠ BMN= ∠ BNM=45°，-（ m2-4m+3 ） =-m+3 ，解得 m=2 或 m=3（舍），当△BMN 是等腰三角形时，m 的值为，-，1，2．点睛：此题观察了二次函数综合题，解（1）的要点是待定系数法；解（2）的要点是利用面积的和差得出二次函数，又利用了二次函数的性质，解（3）的要点是利用等腰三角形的定义得出关于m 的方程，要分类谈论，以防遗漏．。