(新)华师版九年级数学下26.2.2二次函数的图象与性质(第2课时)

华师版数学9年级下册课件：1.二次函数y=ax2的图像和性质

⑤.对称于原点的两点:
5.什么叫二次函数? 函数y=ax² +bx+c (a,b,c是常数,a≠ 0) 叫做x的二次函数.
我们学过用什么方法画函数的图象?主要有哪些步骤?
2 用描点法画二次函数y=x 的图象
观察y=x2的表达式,选择适当x 值,并计算相应的y值,完成下表：
x
… -3 -2 -1 0
4. 点的位置及其坐标特征:
y
①.各象限内的点:
②.各坐标轴上的点: ③.各象限角平分线上的点: ④.对称于坐标轴的两点:
Q(b,-b) M(a,b)
Q(0,b) C(m,n)
(-,+) o
(+,+)
P(a,0)
N(a,-b) A(x,y)
x (+,-)
B(-x,y)
(-,-)
D(-m,-n) P(a,a)
对称轴的左侧, y随着x的增大而增大;在_________
y随着x的增大而减小;当x= 0 时,函数y的值最小,最小值是 0 ;抛物线 y=2x2在x轴的
上
方(除顶点外).
2 2 下 y x (2)抛物线在x轴的方(除 3
顶点外),
当x_____时,y随着x的增大而增大；
<0
>0 当x_____时,y随着x的,增大而减小 0 当x=0时,函数y的值最大,最大值是_____,
1 2
3
… …
y=x2 … 9 4
1
0 1
4 9
描点,连线
y
10 8 6 4 2 1 -4 -3 -2 -1 0 -2 1 2 3 4 x
2 y=x
观察图象,回答问题串

初中数学_二次函数的图象与性质(2)教学设计学情分析教材分析课后反思

《二次函数的图象和性质》教学设计执教者学情分析一、学生的年龄特点和认知特点初三年级的学生性格比较开朗活泼，对新鲜事物比较敏感，有自己的个人判断，因此，在教学过程中创设问题情景，留给他们动手实践、观察思考、自主探究、合作交流、归纳猜想的时间和空间.让他们经历获取知识的过程.二、学生已具备的基本知识与技能学生在八年级已经初步积累了函数知识和利用函数解决问题的经验.初三学生在新课的学习中已掌握二次函数的定义、图像及性质等基本知识.学生具有也一定的数学分析、理解能力.学生学习数学的热情很高，思维敏捷，具有一定的自主探究和合作学习的能力.因此，在本课中，应多让学生动手实践、自主探究、合作交流，从而更好的体会到二次函数的特征.效果分析这节课，我对教材进行了探究性重组，同时放手让学生在探究活动中去经历、体验、内化知识的做法是成功的。

通过充分的过程探究，学生容易得出也是最早得出了图象的性质，借助直观图象的性质而得到二次函数图像的性质。

真正的形成往往来源于真实的自主探究。

只有放手探究，学生的潜力与智慧才会充分表现，学生也才会表现真实的思维和真实的自我。

在新课程理念的指导下，我们的一切教学都要围绕学生的成长与发展做文章，真正让学生理解、掌握真实的知识和真正的知识。

首先，要设计适合学生探究的素材。

教材对二次函数的性质是从增减来描述的，我们认为这种对性质的表述是教条化的，对这种学术、文本状态的知识，学生不容易接受。

当然教材强调所呈现内容的逻辑性、严密性与科学性是合理的。

但是能让学生理解和接受的知识才是最好的。

如果牵强的引出来，不一定是好事。

其次，探究教学的过程就是实现学术形态的知识转化为教育形态知识的过程。

探究教学是追求教学过程的探究和探究过程的自然和本真。

只有这样探究才是有价值的，真知才会有生长性。

要表现过程的真实与自然，从建构主义的观点出发，就是要尊重学生各自的经验与思维方式、习惯。

结论是一致的，但过程可以是多元的，教师要善于恰倒好处地优化提炼学生的结论。

华师版九年级数学下册作业课件第26章二次函数二次函数的图象与性质二次函数y=ax2的图象与性质

第26章二次函数
26.2 二次函数的图象与性质 26.2.1 二次函数y＝ax2的图象与性质
知识点❶：二次函数y＝ax2的图象 1．如图，函数y＝2x2的图象大致是(C )
2．(2022·黑龙江)若二次函数y＝ax2的图象经过点P(－2，4)，则该图象必经过点( A )
A．(2，4) B．(－2，－4) C．(－4，2) D．(4，－2) 3．已知函数y＝kxk2－2k－6是二次函数，当k＝－__2__时，图象开口向下．
(0，2)，∴OC＝2，∴S△AOB＝S△AOCቤተ መጻሕፍቲ ባይዱS△BOC＝12 ×2×2＋12 ×2×4＝6
(3)过OC的中点，作AB的平行线交抛物线于点P1，P2，此时△P1AB的面积和 △P2AB的面积等于△AOB的面积的一半，作直线P1P2关于直线AB的对称直线，交抛物线于点P3，P4，此时△P3AB的面积和△P4AB的面积等于△AOB的面积的一半，所以这样的点P共有4个，故答案为4
14．如图所示，某桥洞的截面是抛物线形，在图中建立的平面直角坐标系中，抛物线所对应的二次函数的表达式为 y＝－14 x2，当桥洞中水面宽 AB 为 12 米时，求水面到桥拱顶点 O 的距离．
解：由题意可知 A，B 两点关于 y 轴对称，且 AB 平行于 x 轴，设点 A 的坐标为 (m，n)，则点 B 的坐标为(－m，n)，则有－2m＝12，m＝－6，把点 A 代入 y ＝－14 x2，可得 n＝－9.所以水面到桥拱顶点 O 的距离为 9 米
6．(郸城月考)抛物线 y＝2x2，y＝－2x2，y＝12 x2 共有的性质是( B ) A．开口向下 B．图象对称轴是y轴 C．都有最低点 D．y随x的增大而减小
7．(常州中考)已知二次函数y＝(a－1)x2，当x＞0时，y随x增大而增大，则实数

26.2.3 求二次函数的表达式课件 2024-2025学年华东师大版数学九年级下册

问题4 已知某一抛物线经过点（-3，0），（-1，0），（0，-3），
求这条抛物线的表达式.
提示：根据抛物线与x轴的交点（x1，0）
（x2，0），可设为二次函数的交点式，即
y=a(x-x1)(x-x2).
这种知道抛物线与x轴的交点，求表达式的
方法叫做交点法.
y
2
1
O
-4 -3 -2 -1-1
-2
-3
A．y=x2+4x+3
B．y=-x2-4x+3
C．y=-x2+4x+3
D．y=x2+4x+3或y=-x2-4x+3
课堂训练
5.（2023秋•余杭区月考）已知二次函数的图象如图所示，
则它的表达式可能是（ C ）
A．y=-4(x-m)2-m2-2
3
B．y=-(x+a)(x-a+1)
5
C．y=-x2-(a+3)x+(− a)
①设函数表达式为y=ax2+bx+c；
②代入后得到一个三元一次方程组；
③解方程组得到a,b,c的值；
④把待定系数用数字换掉，写出函数表达式.
新知探究
议一议：一个函数的图象经过点A(0,1)，B(1,2)，C(2,1)，你能
确定这个二次函数的表达式吗？你有几种方法？与同
伴进行交流.
方法一：解：由对称性可知顶点坐标为B(1,2)，
(0，3)，求这条抛物线的表达式.
提示：若给出抛物线的顶点坐标或对称轴或最
值，通常可设顶点式y＝a(x-h)2＋k (a≠0).
这种知道抛物线的顶点坐标，求表达式的方法
叫做顶点法.

26.2.4二次函数y=a(x-h)2+k的图象与性质

y 1 (x 1)2 1
2
1个单位
y 1 x2 2
1
个单位
向下平移
y 1 x2 1 2
-5 -4 -3 -2 -1-1 O1 2 3 4 5 x
-2
-3 -4
-5
-6
-7
-8
-9
y 1 (x 1)2 1
-10
2
河南淮阳羲城中学
怎样移动抛物线 y 1 x2就可以得到抛物线 y 1 (x 1)2 1？
向下
直线x=h （h,k）
当x＞h时，y随x 当x=h时，的增大而减小；
y最大值=k x＜h时，y随x的增大而增大.
河南淮阳羲城中学
顶点式
y a x h2 k a 0
h 0, k 0 y ax2 h 0, k 0 y ax2 k
k 0, h 0 y a x h2
可以看作互相平移得到的.
平移规律
左右平移 y = ax2 + k
y = a( x - h )2 + k 上下平移
y = a(x - h )2
简记为：
上加下减常数项，左加右减自变量。
上下平移
河南淮阳羲城中学
y = ax2 左右平移
练一练
1.请回答抛物线y = 4(x－3)2＋7由抛物线y=4x2怎样平移得到? 由抛物线向上平移7个单位再向右平移3个单位得到的. 2.如果一条抛物线的形状与 y 1 x2 2 形状相
3
同，且顶点坐标是（4，-2），试求这个函数关系式. 中考链接：
抛物线y=-3(x-1)2+2的图象如何得到y=-3x2 .
河南淮阳羲城中学
课堂小结
二次函数y=a(x-h)2+k 的图象和性质

二次函数y=a(x-h)2+k的图象与性质

由“上加下减”的原则可知，将抛物线y＝3x2向上平移3个单位所得抛物线对应的函数关系式为y＝3x2＋3；
由“左加右减”的原则可知，将抛物线y＝3x2＋3向左平移2个单位所得抛物线对应的函数关系式为y＝3(x＋2)2＋3，
1 试说明：分别通过怎样的平移，可以由抛物线 y 1 x2
2
得到抛物线 y 1 x 22 2 和抛物线 y 1 x 22 3 ？
9
y 1 (x 4)2 4, (x 0) 9
(1)由对称性可知x 8时, y 20 3
9
∴（8,3)不在抛物线上即球不能投中 (2) 当y=3时, 1 (x 4)2 4 3
9
解得: x1 1 , x2 7
∴（7,3)在抛物线上
∴要使（8,3)在抛物线上，需向右平移一个单位，或者向上平移 3 29个0 单97位
增大而增大. 当x=h时,最小值为k.
（h，k）
直线x=h
由h和k的符号确定
向下
在对称轴的左侧,y随着 x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的
增大而减小. 当x=h时,最大值为k.
注意：离对称轴越近越接近最值
例2 抛物线y＝3(x－1)2＋2的开口方向、顶点坐标、对
称轴分别是( D )
A．向下、(1，2)、直线x＝1 B．向上、(－1，2)、直线x＝－1 C．向下、(－1，2)、直线x＝－1 D．向上、(1，2)、直线x＝1
D．y＝(x－2)2－3
3 (中考·扬州)将抛物线y＝x2＋1先向左平移2个单
位长度，再向下平移3个单位长度，所得抛物线
对应的函数关系式是( )
A．y＝(x＋2)2＋2
B．y＝(x＋2)2－2

九年级数学二次函数的图象及性质

在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大.
向下
在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小.
增减性最值
当x=h时,最小值为k.
当x=h时,最大值为k.

1.指出下列函数图象的开口方向对称轴和顶点坐标及最值:

1 1 .y = 2 x + 3 - , 2
想一想,二次函数y=-3(x+1)2+2与y=-3(x+1)2-2 的图象和抛物线y=-3x² ,y=-3(x+1)2
二次函数y=-3(x+1)2+2与 2 y 3x 1 2 y=-3(x+1)2-2的图象和抛物线y=-3x² ,y=-3(x+1)2有什 2 y 3x 1 么关系? 它的开口方向,对称轴和顶点坐标分别是什么? 2
2
1 2 2 .y = - x + 1 - 5. 3
2.(1)二次函数y=3(x+1)2的图象与二次函数 y=3x2的图象有什么关系?它是轴对称图形吗?它的对称轴和顶点坐标分别是什么?

(2)二次函数y=-3(x-2)2+4的图象与二次函数 y=-3x2的图象有什么关系?

３．对于二次函数y=3(x+1)2,当x取哪些值时,y的值随x值的增大而增大?当x取哪些值时,y的值随x值的增大而减小?二次函数 y=3(x+1)2+4呢?
二次函数y=3(x-1)2+2的
y 3x 2
图象和抛物线 y=3x² ,y=3(x-1)2有什么关系?它的开口方向,对称轴和顶点坐标分别是什么?

华师版九年级数学下册_26.2.3 求二次函数的表达式

感悟新知
知1－讲
(2)代：把已知点的坐标代入所设的二次函数表达式中，得到关于表达式中待定系数的方程或方程组；
(3)解：解此方程或方程组，求出待定系数的值； (4)还原：将求出的待定系数还原到表达式中，求得表达式.
感悟新知
知1－练
例 1 如图26.2-19，抛物线y=ax2+bx+c 经过A(－1，0)， B(0，－3)，C(3，0)三点.
感悟新知
知1－练
解：设这个二次函数的表达式为y＝ax2＋bx＋c.由题意和正方形的性质知C，D两点的坐标分别为(4，3)，(1，3)，而这个二次函数的图象过点C，D和原点，故有
33＝＝aa××4122＋＋bb××41＋＋cc，，即1a6＋a＋b＋4bc＝＋3c＝，3， 0＝a×02＋b×0＋c， c＝0，
感悟新知
解：由于此二次函数图象的顶点坐标为(－2，3)，知1－练所以可设其函数的表达式为y=a[x－(－2)]2+3，即y=a(x+2)2+3. 由题意可知，函数图象经过(0，4)点，将其坐标代入
y=a(x+2)2+3 中，得4=a(0+2)2+3.所以a=14 ，将a= 14代入y=a(x+2)2+3 中，得y= 14(x+2)2+3，即y= 14x2+x+4.故这个二次函数的表达式为y= 14x2+x+4.
9a+3b+c=0.
c=－3.
∴该抛物线对应的函数表达式为y=x2－2x－3.
感悟新知
(2)若该抛物线的顶点为D，求sin∠BOD 的值. 解：∵ y=x2－2x－3=(x－1)2－4， ∴抛物线的顶点坐标为(1，－4). 如图26.2-19，过点D 作DH ⊥ y 轴于点H. 在Rt△ODH 中，∵ DH=1，OH=4，

二次函数的图象与性质第二课时教案2

教师活动
学生活动
描点、连线，画出这两个函数的图象，如图26．2．3所示．
回顾与反思当自变量x 取同一数值时，这两个函数的函数值之间有什么关系？反映在图象上，相应的两个点之间的位置又有什么关系？
探索观察这两个函数，它们的开口方向、对称轴和顶点坐标有那些是相同的？又有哪些不同？你能由此说出函数
22x y =与222-=x y 的图象之间的关系吗？
例2．在同一直角坐标系中，画出函数12
+-=x y 与
12--=x y 的图象，并说明，通过怎样的平移，可以由抛
物线12
+-=x y 得到抛物线12
--=x y ．解列表．
x
… -3 -2 -1 0 1 2 312+-=x y … -8 -3 0 1 0 -3 -12--=x y
…
-10
-5
-2
-1
-2
-5
-1
讨论解决问题
教师活动学生活动
描点、连线，画
出这两个函数的图象，如图26．2．4所示．可以看出，抛
物线
12--=x y 是由抛物线12+-=x y 向下平移两个单位得
到的．
回顾与反思抛物线12
+-=x y 和抛物线12
--=x y 分别是由抛物线2
x y -=向上、向下平移一个单位得到的．探索如果要得到抛物线42
+-=x y ，应将抛物线
12--=x y 作怎样的平移？
作业布置必做题： P19 3 选做题：
选做题先讲解一下板书设计
课题
知识点学生练习例题。