2020年天津卷数学高考试题及答案解析
1 绝密★启用前 2020年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）
数学 本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷4至6页。 答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 祝各位考生考试顺利！ 第Ⅰ卷 注意事项： 1．每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。 2．本卷共9小题，每小题5分，共45分． 参考公式： ·如果事件A与事件B互斥，那么()()()PABPAPB． ·如果事件A与事件B相互独立，那么()()()PABPAPB． ·球的表面积公式24πSR，其中R表示球的半径． 一．选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设全集{3,2,1,0,1,2,3}U，集合{1,0,1,2},{3,0,2,3}AB，则UAB∩ A．{3,3} B．{0,2} C．{1,1} D．{3,2,1,1,3} 2．设aR，则“1a”是“2aa”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．函数241xyx的图象大致为 高考真题 高考真题 2 A B C D 4．从一批零件中抽取80个，测量其直径（单位：mm），将所得数据分为9组：[5.31,5.33),[5.33,5.35),, [5.45,5.47),[5.47,5.49]，并整理得到如下频率分布直方图，则在被抽取的零件中，直径落在区间
[5.43,5.47)内的个数为
A．10 B．18 C．20 D．36 5．若棱长为23的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为 A．12π B．24π C．36π D．144π 3
6．设0.70.80.713,(),log0.83abc，则,,abc的大小关系为 A．abc B．bac C．bca D．cab
7．设双曲线C的方程为22221(0,0)xyabab，过抛物线24yx的焦点和点(0,)b的直线为l．若C的一条渐近线与l平行，另一条渐近线与l垂直，则双曲线C的方程为 A．22144xy B．2214yx C．2214xy D．221xy 8．已知函数π()sin()3fxx．给出下列结论： ①()fx的最小正周期为2π； ②π()2f是()fx的最大值； ③把函数sinyx的图象上所有点向左平移π3个单位长度，可得到函数()yfx的图象． 其中所有正确结论的序号是 A．① B．①③ C．②③ D．①②③
9．已知函数3,0,(),0.xxfxxx若函数2()()2()gxfxkxxkR恰有4个零点，则k的取值范围是 A．1(,)(22,)2 B．1(,)(0,22)2 C．(,0)(0,22) D．(,0)(22,) 第Ⅱ卷 注意事项： 1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上． 2．本卷共11小题，共105分． 二．填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分． 10．i是虚数单位，复数8i2i_________． 11．在522()xx的展开式中，2x的系数是_________． 12．已知直线380xy和圆222(0)xyrr相交于,AB两点．若||6AB，则r的值为高考真题 高考真题 4 _________． 13．已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为12和13．假定两球是否落入盒子互不影响，则甲、乙两球都落入盒子的概率为_________；甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为_________． 14．已知0,0ab，且1ab，则11822abab的最小值为_________． 15．如图，在四边形ABCD中，60,3BAB，6BC，且3,2ADBCADAB，则实数的值为_________，若,MN是线段BC上的动点，且||1MN，则DMDN的最小值为_________．
三．解答题：本大题共5小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分14分） 在ABC△中，角,,ABC所对的边分别为,,abc．已知22,5,13abc． （Ⅰ）求角C的大小； （Ⅱ）求sinA的值； （Ⅲ）求πsin(2)4A的值． 17．（本小题满分15分） 如图，在三棱柱111ABCABC中，1CC平面,,2ABCACBCACBC，13CC，点,DE
分别在棱1AA和棱1CC上，且2,1,ADCEM为棱11AB的中点． 5
（Ⅰ）求证：11CMBD； （Ⅱ）求二面角1BBED的正弦值； （Ⅲ）求直线AB与平面1DBE所成角的正弦值． 18．（本小题满分15分）
已知椭圆22221(0)xyabab的一个顶点为(0,3)A，右焦点为F，且||||OAOF，其中O为原点． （Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）已知点C满足3OCOF，点B在椭圆上（B异于椭圆的顶点），直线AB与以C为圆心的圆相切于点P，且P为线段AB的中点．求直线AB的方程． 19．（本小题满分15分） 已知na为等差数列，nb为等比数列，115435431,5,4abaaabbb． （Ⅰ）求na和nb的通项公式； （Ⅱ）记na的前n项和为nS，求证：2*21nnnSSSnN；
（Ⅲ）对任意的正整数n，设21132,,,.nnnnnnnabnaacanb为奇数为偶数求数列nc的前2n项和． 20．（本小题满分16分） 已知函数3()ln()fxxkxkR，()fx为()fx的导函数． （Ⅰ）当6k时， （i）求曲线()yfx在点(1,(1))f处的切线方程； （ii）求函数9()()()gxfxfxx的单调区间和极值；
（Ⅱ）当3k时，求证：对任意的12,[1,)xx，且12xx，有1212122fxfxfxfxxx． 高考真题
高考真题 6 2020年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷） 数学参考解答
一．选择题：每小题5分，满分45分． 1．C 2．A 3．A 4．B 5．C 6．D 7．D 8．B 9．D
二．填空题：每小题5分，满分30分．试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分． 10．32i 11．10 12．5 13．16；23 14．4 15．16；132 三．解答题 16．满分14分．
（Ⅰ）解：在ABC△中，由余弦定理及22,5,13abc，有2222cos22abcCab．又因为(0,π)C，所以π4C． （Ⅱ）解：在ABC△中，由正弦定理及π,22,134Cac，可得sin213sin13aCAc． （Ⅲ）解：由ac及213sin13A，可得2313cos1sin13AA， 进而2125sin22sincos,cos22cos11313AAAAA． 所以，πππ12252172sin(2)sin2coscos2sin44413213226AAA． 17．满分15分． 依题意，以C为原点，分别以1,,CACBCC的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系（如图），可得1(0,0,0),(2,0,0),(0,2,0),(0,0,3)CABC，11(2,0,3),(0,2,3),(2,0,1),(0,0,2)ABDE，(1,1,3)M． 7
（Ⅰ）证明：依题意，1(1,1,0)CM，1(2,2,2)BD，从而112200CMBD，所以11CMBD．
（Ⅱ）解：依题意，(2,0,0)CA是平面1BBE的一个法向量，1(0,2,1)EB，(2,0,1)ED．设(,,)xyzn为平面1DBE的法向量，则10,0,EBEDnn即20,20.yzxz不妨设1x，可得(1,1,2)n．
因此有|||6cos,6|ACACCAnnn，于是30sin,6CAn． 所以，二面角1BBED的正弦值为306． （Ⅲ）解：依题意，(2,2,0)AB．由（Ⅱ）知(1,1,2)n为平面1DBE的一个法向量，于是3cos,3||||ABABABnn
n．
所以，直线AB与平面1DBE所成角的正弦值为33． 18．满分15分． （Ⅰ）解：由已知可得3b．记半焦距为c，由||||OFOA可得3cb．又由222abc，可得
218a
．所以，椭圆的方程为221189xy．
（Ⅱ）解：因为直线AB与以C为圆心的圆相切于点P，所以ABCP．依题意，直线AB和直线CP
的斜率均存在．设直线AB的方程为3ykx．由方程组223,1,189ykxxy消去y，可得2221120kxkx
，解得0x，或21221kxk.依题意，可得点B的坐标为2221263,2121kkkk．因
为P为线段AB的中点，点A的坐标为(0,3)，所以点P的坐标为2263,2121kkk．由3OCOF，
2020年普通高等学校招生全国统一考试数学理(天津卷,含答案)
2020年普通高等学校招生全国统一考试数学理（天津卷，含答案）参考公式：。
如果事件A ，B 互相排斥，那么P （AUB ）=P （A ）+P(B)。
棱柱的体积公式V=sh 。
其中S 表示棱柱的底面积，h 表示棱柱的高一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1） i 是虚数单位，52i i-= （A ）1+2i （B ）-1-2i （C ）1-2i （D ）-1+2i（2）设变量x ，y 满足约束条件：3123x y x y x y +≥⎧⎪-≥-⎨⎪-≤⎩.则目标函数z=2x+3y 的最小值为（A ）6 （B ）7 （C ）8 （D ）23 （3）命题“存在0x ∈R ，02x ≤0”的否定是（A ）不存在0x ∈R, 02x >0 （B ）存在0x ∈R, 02x ≥0（C ）对任意的x ∈R, 2x ≤0 （D ）对任意的x ∈R, 2x>0（4）设函数1()ln (0),3f x x x x =->则()y f x = A 在区间1(,1),(1,)e e 内均有零点。
B 在区间1(,1),(1,)e e 内均无零点。
C 在区间1(,1)e 内有零点，在区间(1,)e 内无零点。
D 在区间1(,1)e内无零点，在区间(1,)e 内有零点。
（5）阅读右图的程序框图，则输出的S= A 26 B 35 C 40 D 57 (6）设0,0.a b >>若11333aba b+是与的等比中项，则的最小值为 A 8 B 4 C 1 D 14（7）已知函数()sin()(,0)4f x x x R πϖϖ=+∈>的最小正周期为π，为了得到函数()cos g x x ϖ=的图象，只要将()y f x =的图象A 向左平移8π个单位长度 B 向右平移8π个单位长度 C 向左平移4π个单位长度 D 向右平移4π个单位长度（8）已知函数{224,0,4,0,()x x x x x x f x +≥-<=若2(2)(),f a f a ->则实数a 的取值范围是A (,1)(2,)-∞-⋃+∞B (1,2)-C (2,1)-D (,2)(1,)-∞-⋃+∞（9）．设抛物线2y =2x 的焦点为F ，过点M （3，0）的直线与抛物线相交于A ，B 两点，与抛物线的准线相交于C ，BF =2，则∆BCF 与∆ACF 的成面积之比BCFACFS S ∆∆= （A ）45 （B ）23 （C ）47 （D ）12（10）.0＜b ＜1+a,若关于x 的不等式2()x b -＞2()ax 的解集中的整数恰有3个，则 （A ）-1＜a ＜0 （B ）0＜a ＜1 （C ）1＜a ＜3 （D ）3＜a ＜6二．填空题：（6小题，每题4分，共24分）（11）某学院的A ，B ，C 三个专业共有1200名学生，为了调查这些学生勤工俭学的情况，拟采用分层抽样的方法抽取 一个容量为120的样本。
2020年天津高考数学试卷及答案
x2 18
y2 9
消去 y ，可得 1,
2k 2 1
x2
12kx
0
，解得
x
0
，或
x
12k 2k 2 1
．依
题意，可得点
B
的坐标
12k 2k 2
1
,
6k 2k
2 2
3 1
．因为
P
为线段
AB
的中点，点
A
的坐
标为
(0,
3)
，所以点
P
的坐标为
6k 2k 2 1
,
3 2k 2 1
．由
3OC
n(n 1)(n
2)(n
3) ，
S2 n1
1 4
(n
1)2
n
2 2
，从而
SnSn2
S2 n1
1 2
(n
1)(n
2)
0
，所以
SnSn2
S2 n1
．
（Ⅲ）解：当 n 为奇数时， cn
3a2)
2n1 n2
2 n 1 n
；当 n 为偶
数时， cn
2n
项和为
4n 2n 1
6n 5 94n
4 9
．
20．（Ⅰ）（i）解：当 k 6 时， f (x) x3 6 ln x ，故 f (x) 3x2 6 ．可得 f (1) 1， x
．
由①②得 3
4
n
c2k
k 1
1 2 4 42
2 4n
2 n 1 4 n1
2 4
1
1 4n
1 1
1 4
2 n 1 4 n1
，从而得
4
2020年普通高等学校招生全国统一考试数学文试题(天津卷,含答案)
2020年普通高等学校招生全国统一考试数学文试题（天津卷，含答案） 本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。
第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。
答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
祝各位考生考试顺利！第Ⅰ卷注意事项：1. 每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
2. 本卷共8小题，每小题5分，共40分。
参考公式：﹒如果事件A,B 胡斥，那么P(AUB)=P(A)+P(B).﹒棱柱的体积公式V=Sh.其中S 表示棱柱的底面面积，h 表示棱柱的高。
﹒圆锥的体积公式V=13Sh 其中S 表示圆锥的底面面积，H 表示圆锥的高。
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1） i 是虚数单位，复数534ii +-=（A ）1-i （B ）-1+I（C ）1+I （D ）-1-i2x+y-2≥0,（2） 设变量x,y 满足约束条件 x-2y+4≥0,则目标函数z=3x-2y的最小值为x-1≤0,（A ）-5 （B ）-4 （C ）-2 （D ）3（3） 阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出S 的值为（A ）8 （B ）18（C ）26 （D ）80（4） 已知a=21.2，b=()12-0.2，c=2log 52，则a ，b ，c 的大小关系为 （A ）c<b<a （B ）c<a<b C ）b<a<c （D ）b<c<a （5） 设x ∈R ，则“x>12”是“2x 2+x-1>0”的（A ） 充分而不必要条件（B ） 必要而不充分条件（C ） 充分必要条件（D ） 既不充分也不必要条件（6） 下列函数中，既是偶函数，又在区间（1,2）内是增函数的为（A ） y =cos2x ，x ∈R（B ） y =log 2|x|，x ∈R 且x ≠0（C ） y =2x x e e --，x ∈R （D ） y =x3+1，x ∈R（7） 将函数f(x)=sin x ω（其中ω>0）的图像向右平移4π个单位长度，所得图像经过点（34π，0），则ω的最小值是（A ）13 （B ）1 C ）53 （D ）2（8） 在△ABC 中，∠ A=90°，AB=1，设点P ，Q 满足AP r =AB λr ，AQ r =(1-λ)AC r ，λ ∈R 。
2020年天津卷高考数学试题及答案
（Ⅱ）解：依题意， 是平面 的一个法向量， ， ．设 为平面 的法向量，则 即 不妨设 ，可得 ．
因此有 ，于是 ．
所以，二面角 的正弦值为 ．
（Ⅲ）解：依题意， ．由（Ⅱ）知 为平面 的一个法向量，于是 ．
所以，直线 与平面 所成角的正弦值为 ．
18．满分15分．
（Ⅰ）解：由已知可得 ．记半焦距为 ，由 可得 ．又由 ，可得 ．所以，椭圆的方程为 ．
（Ⅰ）求角 的大小；
（Ⅱ）求 的值；
（Ⅲ）求 的值．
17．（本小题满分15分）
如图，在三棱柱 中， 平面 ， ，点 分别在棱 和棱 上，且 为棱 的中点．
（Ⅰ）求证： ；
（Ⅱ）求二面角 的正弦值；
（Ⅲ）求直线 与平面 所成角的正弦值．
18．（本小题满分15分）
已知椭圆 的一个顶点为 ，右焦点为 ，且 ，其中 为原点．
11．在 的展开式中， 的系数是_________．
12．已知直线 和圆 相交于 两点．若 ，则 的值为_________．
13．已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为 和 ．假定两球是否落入盒子互不影响，则甲、乙两球都落入盒子的概率为_________；甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为_________．
（Ⅰ）解：在 中，由余弦定理及 ，有 ．又因为 ，所以 ．
（Ⅱ）解：在 中，由正弦定理及 ，可得 ．
2020年普通高等学校招生全国统一考试数学文试题(天津卷,解析版)
2020年普通高等学校招生全国统一考试数学文试题（天津卷，解析版）注意事项：1答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上．并将准考证 号条形码粘贴在答题卡上的指定位置，用2B 铅笔将答题卡上试卷类型B 后的方框涂黑。
2选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
咎在试题卷、草稿纸上无效。
3填空题和解答题用0 5毫米黑色墨水箍字笔将答案直接答在答题卡上对应的答题区 域内。
答在试题卷、草稿纸上无效。
4考生必须保持答题卡的整洁。
考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共l0小题．每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，只 有一项是满足题目要求的.1.i 是虚数单位，复数131ii--= A.2i - B. 2i + C.12i -- D. 12i -+【答案】A 【解析】因为13(13)(1)212i i i i i --+==--，故选A. 2.设变量,x y 满足约束条件140340x x y x y ≥⎧⎪+-≤⎨⎪-+≤⎩,则目标函数3z x y =-的最大值为A.-4B.0C.43D.4【答案】D【解析】画出不等式表示的平面区域,容易求出最大值为4,选D.3.阅读右边的程序框图,运行相应的程序,若输入x的值为-4,则输出y的值为A.0.5B.1C.2D.46.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左顶点与抛物线22(0)y px p =>的焦点的距离为4,且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为(-2,-1),则双曲线的焦距为 A.23 B.25 C.43 D. 45 【答案】B【解析】由题意知,抛物线的准线方程为2x =-,所以4p =,又42pa +=,所以2a =,又因为双曲线的一条渐近线过点(-2,-1),所以双曲线的渐近线方程为12y x =±,即12b a =,所以1b =,即25c =,225c =,选B.7.已知函数()2sin(),,f x x x R ωϕ=+∈其中0,.ωπϕπ>-<≤若()f x 的最小正周期为6π,且当2x π=时, ()f x 取得最大值,则A. ()f x 在区间[2,0]π-上是增函数B. ()f x 在区间[3,]ππ--上是增函数C. ()f x 在区间[3,5]ππ上是减函数D. ()f x 在区间[4,6]ππ上是减函数二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9. 已知集合{}||1|2,A x R x Z =∈-<为整数集,则集合A Z ⋂中所有元素的和等于 . 【答案】3【解析】因为{}|13A x x =-<<,所以{}0,1,2A Z ⋂=,故其和为3.10. 一个几何体的三视图如图所示(单位:m),则该几何体的体积为3m .【答案】4【解析】由三视图知,该几何体是由上、下两个长方体组合而成的,容易求得体积为4.11. 已知{}n a 是等差数列,n S 为其前n 项和,n N *∈.若316a =,2020S =,则10S 的值为 .【答案】110三、解答题：本大题共6小题，共80分． 15.（本小题满分13分）编号分别为1216,,,A A A L 的16名篮球运动员在某次训练比赛中的得分记录如下: 运动员编号 A 1 A 2 A 3 A 4 A 5 A 6 A 7 A 8 得分 15 35 21 28 25 36 18 34 运动员编号 A 9A 10 A 11 A 12 A 13 A 14 A 15 A 16 得分1726253322123138(Ⅰ)将得分在对应区间内的人数填入相应的空格:区间[10,20)[20,30)[30,40)人数(Ⅱ)从得分在区间[20,30)内的运动员中随机抽取2人,(i)用运动员编号列出所有可能的抽取结果;(ii)求这2人得分之和大于50的概率.16.（本小题满分13分）在ABC∆中,内角A,B,C的对边分别为,,a b c.已知B=C, 23b a=.(Ⅰ)求cos A的值;(Ⅱ)求cos(2)4Aπ+的值.【解析】(Ⅰ)由B=C,23b a=,可得3c b==,所以22222233144cos2333222aa ab c aAbca a+-+-===⨯⨯.(Ⅱ)因为1cos3A=,(0,)Aπ∈,所以22sin A=,27cos22cos19A A=-=-,故42sin22sin cosA A A==,所以cos(2)cos 2cos sin 2sin 444A A A πππ+=-=87218+-. 【命题意图】本小题主要考查余弦定理、两角和的余弦公式、同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦、余弦公式等基础知识，考查基本运算能力. 17.（本小题满分13分）如图,在四棱锥P-ABCD 中,底面ABCD 为平行四边形,45ADC ∠=o,AD=AC=1,O 为AC 的中点,PO ⊥平面ABCD,PO=2,M 为PD 的中点.(Ⅰ)证明PB ∥平面ACM ; (Ⅱ)证明AD ⊥平面PAC;(Ⅲ)求直线AM 与平面ABCD 所成角的正切值.【解析】(Ⅰ)证明:连接BD,MO.在平行四边形ABCD 中,因为O 为AC 的中点,所以O 为BD 的中点,又M 为PD 的中点,所以PB∥MO,因为PB ⊄平面ACM ,MO ⊂平面ACM ,所以PB∥平面ACM .(Ⅱ)证明:因为45ADC ∠=o,AD=AC=1,所以AD⊥AC,又PO⊥平面ABCD,AD ⊂平面ABCD,所以PO⊥AD,而 AC PO O ⋂=,所以AD⊥平面PAC.(Ⅲ)取DO 点N,连接MN,AN,因为M 为PD 的中点,所以MN∥PO,且MN=12PO=1,由PO⊥平面ABCD,得MN⊥平面ABCD,所以MAN ∠是直线AM 与平面ABCD 所成的角.在Rt DAO ∆中,AD=1,AO=12,所以54DO =,从而1524AN DO ==.在Rt ANM ∆中,tan 5MN MAN AN ∠=== 455,即直线AM 与平面ABCD 所成角的正切值为45. 【命题意图】本小题主要考查直线与平面平行、直线与平面垂直、直线与平面所成的角等基础知识，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力. 18.（本小题满分13分）设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,F F ,点(,)P a b 满足212||||PF F F =.（Ⅰ）求椭圆的离心率e ;(Ⅱ)设直线2PF 与椭圆相交于A,B 两点.若直线2PF 与圆22(1)(3)16x y ++-=相交于M,N 两点,且|MN|=58|AB|,求椭圆的方程.19.（本小题满分14分）已知函数322()4361,,f x x tx t x t x R =+-+-∈其中t R ∈. （Ⅰ）当1t =时,求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程; (Ⅱ)当0t ≠时,求()f x 的单调区间;(Ⅲ)证明:对任意(0,)t ∈+∞,()f x 在区间(0,1)内均在零点.【解析】（Ⅰ）当1t =时,32()436,(0)0,f x x x x f =+-= 2'()1266,'(0)6f x x x f =+-=-, 所以曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为6y x =-. (Ⅱ) 22'()1266,f x x tx t =+-令'()0f x =,解得x t =-或2t,因为0t ≠,以下分两种情况讨论: (1)若0t <,则2tt <-.当x 变化时, '()f x ,()f x 的变化情况如下表: x (,)2t -∞ (,)2tt -(,)t -+∞'()f x +- + ()f x所以()f x 的单调递增区间是(,)2-∞,(,)t -+∞;()f x 的单调递减区间是(,)2t -. (2)若0t >,则2tt >-.当x 变化时, '()f x ,()f x 的变化情况如下表: 所以()f x 的单调递增区间是(,)t -∞-,(,)2+∞;()f x 的单调递减区间是(,)2t -.x(,)t -∞-(,)2t t -(,)2t+∞ '()f x +- + ()f x所以()f x 在(,1)2t 内存在零点. 若(1,2)t ∈,37()(1)24t f t t =-+-<37104t -+<, (0)10,f t =->所以()f x 在(0,)2t内存在零点,所以,对任意(0,2)t ∈,()f x 在区间(0,1)内均在零点.综上, 对任意(0,)t ∈+∞,()f x 在区间(0,1)内均在零点.【命题意图】本小题主要考查导数的几何意义、利用导数研究函数的单调性、曲线的切线方程、函数的零点、解不等式等基础知识，考查运算能力及分类讨论的思想方法. 20.（本小题满分14分）已知数列{}n a 与{}n b 满足11(2)1nn n n n b a b a +++=-+,13(1),2n n b n N -+-=∈*,且12a =. （Ⅰ）求23,a a 的值;(Ⅱ)设2121n n n c a a +-=-,n N ∈*,证明{}n c 是等比数列; (Ⅲ)设n S 为{}n a 的前n 项和,证明21212122121()3n n n n S S S S n n N a a a a *--++++≤-∈L .。
2020年高考数学【真题母题解密】比较大小（天津卷）（解析版）
『高考真题·母题解密』『分项汇编·逐一击破』专题06比较大小【母题来源】2020年高考数学天津卷【母题题文】设，则的大小关系为（）0.80.70.713,,log 0.83a b c -⎛⎫=== ⎪⎝⎭,,a b c A. B. C. D. a b c <<b a c <<b c a <<c a b<<【答案】D【试题解析】利用指数函数与对数函数的性质，即可得出的大小关系.,,a b c 【详解】因为，，，0.731a =>0.80.80.71333b a-⎛⎫==>= ⎪⎝⎭0.70.7log 0.8log 0.71c =<=所以.故选：D.1c a b <<<【命题意图】本题考查的是有关指数幂和对数值的比较大小问题，在解题的过程中，注意应用指数函数和对数函数的单调性，确定其对应值的范围.【命题方向】这类试题在考查题型上主要以选择题的形式出现．试题难度不大，多为低档题，是历年高考的热点．考查对简单函数单调性的理解及不等式的有关知识；常见的命题角度有：与常用基础函数如：幂函数、指数函数、对数函数等知识结合.【方法总结】比较指对幂形式的数的大小关系，常用方法：（1）利用指数函数的单调性：，当时，函数递增；当时，函数递减；x y a =1a >01a <<（2）利用对数函数的单调性：，当时，函数递增；当时，函数递减；log a y x =1a >01a <<（3）借助于中间值，例如：0或1等.1．【2020·天津九校高三下学期4月联考】设，，则（）．0.5log 0.8a = 1.10.8b log =0.81.1c =A. B. b a c <<b c a <<C. D. a b c <<a c b<<【答案】A 【解析】【分析】结合指数和对数函数的单调性分别与0和1比较，易得，，，所以.0a 1<<b 0<c 1>b<a<c 【详解】解：因为0.50.50.50log 1a log 0.8log 0.51=<=<=所以 故选A1.1 1.1b log 0.8log 10=<=0.80c 1.1 1.11=>=b<a<c 【点睛】本题考查了指数和对数函数性质的运用，在指数和对数比较大小过程中一般先比较与0,1的大小关系.2．【2020·天津市北辰区高三高考模拟】已知函数是定义在上的偶函数，且在上单调递增，则三个数，，的大小关系为（）A. B.C.D.【答案】C 【解析】【分析】根据奇偶性得：，通过临界值的方式可判断出自变量之间的大小关系，再利用函数的单调性得到的大小关系.【详解】；，即：为偶函数又在上单调递增，即本题正确选项：【点睛】本题考查利用函数单调性判断大小的问题，关键是能够利用奇偶性将自变量变到同一单调区间内，再通过指数、对数函数的单调性，利用临界值确定自变量的大小关系.3．【2020·天津市北辰区2020届高三第一次诊断测试】已知函数的定义域为，且函数()y f x =(),ππ-的图象关于直线对称，当时，（其中是()2y f x =+2x =-()0,x π∈()ln 'sin 2f x x f xππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭()'f x 的导函数），若,,，则的大小关系是（ ）()f x ()log 3a f π=13log 9b f ⎛⎫= ⎪⎝⎭13c f π⎛⎫= ⎪⎝⎭,,a b c A B. C. D. b a c >>a b c>>c b a>>b c a>>【答案】D 【解析】【分析】求出,可得的值，能确定的解析式，分类讨论可确定的符号，可得在()'f x '2f π⎛⎫ ⎪⎝⎭()'f x ()'f x ()f x 上递增，再利用指数函数、对数函数的单调性比较的大小关系，结合函数的奇()0,π13log 32ππ、、()f x 偶性与单调性可得结果.【详解】，，()ln 'sin 2f x x f x ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ()''cos 2f x f xx ππ⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭，，'2'cos 2222f f πππ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()'2cos f x xx π=-当时，；当时，，2x π≤<π()2cos 0,'0x f x ≤>02x π<<()2,2cos 2,'0x f x x π><∴>即在上递增，的图象关于对称，()f x ()0,π()2y f x =+ 2x =-向右平移2个单位得到的图象关于轴对称，()2y f x ∴=+()y f x =y 即为偶函数，，，()y f x =()()13log 922b f f f ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭0log 1log 3log 1ππππ=<<=，即，，1103212πππ=<<<130log 32πππ<<<<()()132log 3f f f ππ⎛⎫∴>> ⎪⎝⎭即.故选D.b c a >>【点睛】本题主要考查函数的奇偶性、对数函数的性质、指数函数的单调性及比较大小问题，属于难题. 在比较，，，的大小时，首先应该根据函数的奇偶性与周期性将，()1f x ()2f x ()n f x ()f x ()1f x ，，通过等值变形将自变量置于同一个单调区间，然后根据单调性比较大小．()2f x ()n f x 4．【2020·天津市滨海新区三校2020届高三高考数学5月份模拟】已知奇函数f （x ）在R 上是减函数，若a ＝﹣f （1og 3），b ＝f （），c ＝f （2﹣0.8），则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．a ＜b ＜cB ．a ＜c ＜bC ．b ＜c ＜aD ．c ＜a ＜b【答案】B【分析】结合函数的单调性及奇偶性进行比较函数值的大小．解：奇函数f （x ）在R 上是减函数，∵log 34∈（1，2），0，2﹣0.8∈（0，1），∵a ＝﹣f （1og 3）＝f （log 34），b ＝f （），c ＝f （2﹣0.8）＝f （），则a ＜c ＜b ，故选：B ．5．【2020·天津市部分区2020届高考二模】已知，，，则，，的大小3log 0.3a =0.3log 2b =0.23c =a b c 关系是（ ）A B. C. D. a b c >>b c a>>c b a >>c a b>>【答案】C 【解析】【分析】由题意结合指数函数、对数函数的单调性可知，即可得解.10a b c <-<<<【详解】由题意，，，331log 0.3log 13<=-0.30.30.3log log 2lo 1013g 10=<<-=0.20331>=所以.10a b c <-<<<故选：C.【点睛】本题考查了指数式、对数式的大小比较，考查了指数函数、对数函数单调性的应用，属于基础题.6．【2020·天津市第一百中学2020届高三高考模拟】已知函数是定义在上的偶函数，且在()f x R 上单调递增，则三个数，，的大小关系为[)0,∞+()3log 13a f =-121log 8b f ⎛⎫= ⎪⎝⎭()0.62c f =A. B. a b c >>a c b >>C. D. b a c >>c a b>>【答案】C 【解析】【分析】根据奇偶性得：，通过临界值的方式可判断出自变量之间的大小关系，再利用函数的单调()3log 13a f =性得到的大小关系.,,a b c 【详解】；，3332log 9log 13log 273=<<=1221log log 838==0.610222<<=即：为偶函数 0.6312102log 13log 8<<<()f x ()()33log 13log 13a f f ∴=-=又在上单调递增，即()f x [)0,+∞()()0.61321log log 1328f f f ⎛⎫∴>> ⎪⎝⎭b a c>>本题正确选项：C【点睛】本题考查利用函数单调性判断大小的问题，关键是能够利用奇偶性将自变量变到同一单调区间内，再通过指数、对数函数的单调性，利用临界值确定自变量的大小关系.7．【2020·天津市第一中学2020届高三下学期第四次月考】已知奇函数，且在()f x ()()g x xf x =上是增函数.若，，，则a ，b ，c 的大小关系为[0,)+∞2(log 5.1)a g =-0.8(2)b g =(3)c g =A. B. C. D. a b c <<c b a<<b a c<<b c a<<【答案】C【解析】【详解】因为是奇函数，从而是上的偶函数，且在上是增函数，()f x ()()g x xf x =R [0,)+∞，22(log 5.1)(log 5.1)a g g =-=，又，则，所以即，0.822<4 5.18<<22log 5.13<<0.8202log 5.13<<<，0.82(2)(log 5.1)(3)g g g <<所以，故选C ．b ac <<【考点】指数、对数、函数的单调性【名师点睛】比较大小是高考常见题，指数式、对数式的比较大小要结合指数函数、对数函数，借助指数函数和对数函数的图象，利用函数的单调性进行比较大小，特别是灵活利用函数的奇偶性和单调性数形结合不仅能比较大小，还可以解不等式.8．【2020·天津市东丽区耀华滨海学校高三年级上期第二次统练】已知，则0.20.32log 0.2,2,0.2a b c ===A. B. C. D. a b c <<a c b<<c a b<<b c a<<【答案】B 【解析】【分析】运用中间量比较，运用中间量比较0,a c 1,b c【详解】则．故选B ．22log 0.2log 10,a =<=0.20221,b =>=0.3000.20.21,<<=01,c a c b <<<<【点睛】本题考查指数和对数大小的比较，渗透了直观想象和数学运算素养．采取中间变量法，利用转化与化归思想解题.9．【2020·天津市和平区2020届高三高考二模】已知：，，，则a ，b ，c 的11ln 4a =113eb ⎛⎫= ⎪⎝⎭11log 3e c =大小关系为（ ）A. B. C. D. c a b >>c b a>>b a c>>a b c>>【答案】A 【解析】【分析】利用指数函数，对数函数的性质求解.【详解】因为，，11111ln ln log ln 343e e a c =<=<==1111033eb ⎛⎫⎛⎫<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭<=所以a ，b ，c 的大小关系为.c a b >>故选：A【点睛】本题主要考查指数函数，对数函数的性质，还考查了转化问题的能力，属于基础题.10．【2020·天津市河北区高三高考数学一模】已知函数f （x ）是定义在R 上的偶函数，且f （x ）在[0，+∞）单调递增，设a ＝f （），b ＝f （log 37），c ＝f （﹣0.83），则a ，b ，c 大小关系为（ ）A ．b ＜a ＜c B ．c ＜b ＜aC ．c ＜a ＜bD ．a ＜c ＜b【答案】C 【解析】根据题意，由偶函数的性质可得c ＝f （﹣0.83）＝f （0.83），又由指数、对数的性质可得0.83＜1log 3log 37，结合函数的单调性分析可得答案．根据题意，函数f （x ）是定义在R 上的偶函数，则c ＝f （﹣0.83）＝f （0.83），又由f （x ）在[0，+∞）单调递增，且0.83＜1log 3log 37，则有c ＜a ＜b ，故选：C ．【点评】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，涉及对数值的大小比较，属于基础题．11．【2020·天津市河北省区2019届高三总复习质量检测】.已知，则13241log 3log 72a b c ⎛⎫=== ⎪⎝⎭,，的大小关系为（ ）,,a b c A. B. C. D. a c b <<b a c<<c a b<<a b c<<【答案】A 【解析】【分析】容易得出，再根据对数函数的性质将b 化为与c 同底的对数，即可比较出大01,a <<12,12b c <<<<小.【详解】解：，，，所以.故选A.1312a ⎛⎫= ⎪⎝⎭ 01a ∴<<244log 3log 9log 71b c ==>=>b c a >>【点睛】本题考查指数与对数大小的比较，考查对数换底公式以及对数函数的单调性，属于基础题.12．【2020·天津市红桥区2020届高三高考二模】已知，，，则（ ）131log 2a =121log 3b =32log 3c =A. B. C. D. b a c >>a b c>>c b a>>a c b>>【答案】A 【解析】【分析】根据对数函数单调性得到，，，得到答案.01a <<l b >0c <【详解】，，，111333110log 1log log 123a =<=<=112211log log 132b =>=332log log 310c =<=故.b a c >>故选：A.【点睛】本题考查了利用对数函数单调性比较数值大小，意在考查学生对于函数性质的灵活运用.13．【2020·天津高三一模】已知函数．若，，()25x f x x =+131log 2a f ⎛⎫= ⎪⎝⎭(3log b f =．则a ，b ，c 的大小关系为（）()0.26c f =A. B. C. D. a b c >>a c b>>c a b>>c b a>>【答案】D 【解析】【分析】先根据对数函数与指数函数的性质，得到，，再根据函数单调性，即可判13310log log 12<<<0.261>断出结果.【详解】因为，，113333310log 1log log log lo 2g 312=<=<<=0.261>函数与都是增函数，所以也是增函数，2xy =5y x =()25x f x x =+因此，即.故选：D.(()0.21331log log 62f f f ⎛⎫< ⎪<⎝⎭c b a >>【点睛】本题主要考查由函数单调性比较大小，熟记指数函数与对数函数的性质即可，属于常考题型.14．【2020·天津市六校高三上学期期初检测】已知，，，则，，的大ln a π=lg125b =0.31c e ⎛⎫= ⎪⎝⎭a b c 小关系是（ ）A. B. a b c >>b a c >>C. D. 以上选项都不对c a b >>【答案】B 【解析】【分析】利用指数对数函数的图像和性质确定的范围即得它们的大小关系.,,a b c 【详解】由题得，2ln ln ln 2e a e π<=<=所以.12a <<,2lg125lg102b =>=,0.3011()1c e e ⎛⎫=<= ⎪⎝⎭所以.b a c >>故选：B【点睛】本题主要考查指数函数和对数函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.15．【2020·天津市南开区南开中学高三下学期第一次月考】设，则0.231012143a b og c lg =-==，，a ，b ，c 的大小关系是（ ）A. B. C. D. a c b<<b c a<<c a b<<c b a<<【答案】A 【解析】【分析】判断每个数的大致范围再分析即可.【详解】,,0.2221,0a >=∴< 331031,13log log b >=∴> ,,故选：A ．1410,01lg lg lg c <<∴<< a c b ∴<<【点睛】本题主要考查了函数值大小的关系,属于基础题型.16．【2020·天津高三一模】已知定义在上的函数满足，且函数在上是减函数，若 ，则的大小关系为（）A. B.C. D.【答案】A 【解析】【分析】化简，根据指数函数的单调性以及对数函数的单调性分别判断出，的取值范围，结合的单调性与奇偶性即可得结果.【详解】，是偶函数，，，，，，，又因为在上递减，，，即，故选A.【点睛】本题主要考查函数的奇偶性与单调性，以及指数函数与对数函数的性质，属于综合题. 在比较，，，的大小时，首先应该根据函数的奇偶性与周期性将，，，通过等值变形将自变量置于同一个单调区间，然后根据单调性比较大小．17．【2020·天津南开中学高三月考】已知奇函数在上是增函数，若，()f x R 21log 5a f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，，则的大小关系为()()2log 4.1b f =()0.82c f =,,a b c A. B. C. D. a b c <<b a c<<c b a<<c a b<<【答案】C 【解析】由题意：，且：，()221log log 55a f f ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭0.822log 5log 4.12,122>><<据此：，结合函数的单调性有：，0.822log 5log 4.12>>()()()0.822log 5log 4.12f f f >>即.本题选择C 选项.,a b c c b a >><<【考点】 指数、对数、函数的单调性【名师点睛】比较大小是高考常见题，指数式、对数式的比较大小要结合指数函数、对数函数，借助指数函数和对数函数的图象，利用函数的单调性进行比较大小，特别是灵活利用函数的奇偶性和单调性数形结合不仅能比较大小，还可以解不等式.18．【2020·天津市实验中学滨海分校2020届高三模拟考试（】已知定义在R 上的奇函数满足()f x ，且在区间[1，2]上是减函数，令，，，则(2)()f x f x +=-ln 2a =121(4b -=12log 2c =的大小关系为（ ）(),(),()f a f b f c A. B. ()()()f b f c f a <<()()()f a f c f b <<C. D. ()()()f c f b f a <<()()()f c f a f b <<【答案】C 【解析】【分析】由满足，且在区间[1，2]上是减函数，确定在上是增函数，再由奇函数()f x (2)()f x f x +=-()f x [1,0]-性质得在上递增，在上单调递增．然后把自变量的值都转化到上，比较大小．()f x [0,1][1,1]-[1,1]-【详解】设，则，又在上递减，1210x x -≤<≤121222x x ≤+<+≤()f x [1,2]∴，而，，∴，即12(2)(2)f x f x +>+11(2)()f x f x +=-22(2)()f x f x +=-12()()f x f x ->-，∴在是递增，12()()f x f x <()f x [1,0]-∵是奇函数，∴在上递增，从而在上单调递增，，()f x ()f x [0,1][1,1]-(0)0f =，，，，ln 2(0,1)a =∈121()24b -==12log 21c ==-()(2)(0)0(0)f b f f f ==-==∴由得，即．10ln 2-<<(1)(0)(ln 2)f f f -<<()()()f c f b f a <<故选：C ．【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性．解题关键是确定函数的单调性，难点在于由满足()f x ，且在区间[1，2]上是减函数，确定在上是增函数，然后就是这类问题的常(2)()f x f x +=-()f x [1,0]-规解法，确定出上单调性，转化比较大小[1,1]-19．【2020·天津和平区高三第三次质检】设正实数分别满足，则,,a b c 2321,log 1,log 1a a b b c c ⋅===的大小关系为( ),,a b c A. B. C. D. a b c >>b a c>>c b a>>a c b>>【答案】C 【解析】【分析】把看作方程的根，利用数形结合思想把方程的根转化为函数图象交点的横坐标，则可以利用图象比,,a b c 较大小.【详解】由已知可得231112,log ,log ,a b c ab c ===作出函数的图象，它们与函数图象的交点的横坐标分别为，232,log ,log xy y x y x ===1y x =,,a b c 如图所示，易得.故选C.c b a >>【点睛】本题考查函数与方程，基本初等函数的图象.对于含有指数、对数等的方程，若不能直接求得方程的根，一般可以利用数形结合思想转化为函数图象的交点问题.20．【2020·天津市芦台一中2020届高三年级第二次模拟】已知定义在R 上的函数的图象关于()f x 1-对称，且当时，单调递减，若，，，则x 1=x 0>()f x ()0.5a f log 3=()1.3b f 0.5-=()6c f 0.7=a ，b ，c 的大小关系是 ()A. B. C. D. c a b >>b a c>>a c b>>c b a>>【答案】A 【解析】【分析】先根据对称性将自变量转化到上，再根据时单调递减，判断大小.0x >0x >()f x 【详解】∵定义在上的函数的图像关于对称，∴函数为偶函数，R ()1f x -1x =()f x ∵，∴，∴，，0.50.5log 3log 10<=()()0.52log 3log 3f f =2221log 2log 3log 42=<<= 1.31.30.522-=>．∵当时，单调递减，∴，故选A ．600.71<<0x >()f x c a b >>【点睛】比较两个函数值或两个自变量的大小：首先根据函数的性质把两个函数值中自变量调整到同一单调区间，然后根据函数的单调性，判断两个函数值或两个自变量的大小。
2020年天津卷数学高考试题文档版(word版含答案)
绝密★启用前2020年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学试卷本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。
第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷4至6页。
答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。
答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
祝各位考生考试顺利！第Ⅰ卷注意事项：1．每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
2．本卷共9小题，每小题5分，共45分． 参考公式：·如果事件A 与事件B 互斥，那么()()()P AB P A P B =+．·如果事件A 与事件B 相互独立，那么()()()P AB P A P B =． ·球的表面积公式24πS R =，其中R 表示球的半径．一．选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设全集{3,2,1,0,1,2,3}U =---，集合{1,0,1,2},{3,0,2,3}A B =-=-，则()UA B =∩A ．{3,3}-B ．{0,2}C ．{1,1}-D ．{3,2,1,1,3}---2．设a ∈R ，则“1a >”是“2a a >”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．函数241xy x =+的图象大致为A BC D4．从一批零件中抽取80个，测量其直径（单位：mm），将所得数据分为9组：[5.31,5.33),[5.33,5.35),,[5.45,5.47),[5.47,5.49]，并整理得到如下频率分布直方图，则在被抽取的零件中，直径落在区间[5.43,5.47)内的个数为A．10 B．18 C．20 D．365．若棱长为23A．12πB．24πC．36πD．144π6．设0.70.80.713,(),log 0.83a b c -===，则,,a b c 的大小关系为A ．a b c <<B ．b a c <<C ．b c a <<D ．c a b <<7．设双曲线C 的方程为22221(0,0)x y a b a b-=>>，过抛物线24y x =的焦点和点(0,)b 的直线为l ．若C 的一条渐近线与l 平行，另一条渐近线与l 垂直，则双曲线C 的方程为A ．22144x y -=B ．2214y x -= C ．2214x y -= D ．221x y -= 8．已知函数π()sin()3f x x =+．给出下列结论： ①()f x 的最小正周期为2π； ②π()2f 是()f x 的最大值；③把函数sin y x =的图象上所有点向左平移π3个单位长度，可得到函数()y f x =的图象． 其中所有正确结论的序号是 A ．①B ．①③C ．②③D ．①②③9．已知函数3,0,(),0.x x f x x x ⎧≥=⎨-<⎩若函数2()()2()g x f x kx x k =--∈R 恰有4个零点，则k 的取值范围是A ．1(,)(22,)2-∞-+∞B ．1(,)(0,22)2-∞-C ．(,0)(0,22)-∞D ．(,0)(22,)-∞+∞第Ⅱ卷注意事项：1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上． 2．本卷共11小题，共105分．二．填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分．10．i 是虚数单位，复数8i2i-=+_________． 11．在522()x x+的展开式中，2x 的系数是_________．12．已知直线80x +=和圆222(0)x y r r +=>相交于,A B 两点．若||6AB =，则r 的值为_________．13．已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为12和13．假定两球是否落入盒子互不影响，则甲、乙两球都落入盒子的概率为_________；甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为_________． 14．已知0,0a b >>，且1ab =，则11822a b a b+++的最小值为_________． 15．如图，在四边形ABCD 中，60,3B AB ∠=︒=，6BC =，且3,2AD BC AD AB λ=⋅=-，则实数λ的值为_________，若,M N 是线段BC 上的动点，且||1MN =，则DM DN ⋅的最小值为_________．三．解答题：本大题共5小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分14分）在ABC △中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ．已知22,5,13a b c ===． （Ⅰ）求角C 的大小； （Ⅱ）求sin A 的值； （Ⅲ）求πsin(2)4A +的值． 17．（本小题满分15分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1CC ⊥平面,,2ABC AC BC AC BC ⊥==，13CC =，点,D E分别在棱1AA 和棱1CC 上，且2,1,AD CE M ==为棱11A B 的中点．（Ⅰ）求证：11C M B D ⊥；（Ⅱ）求二面角1B B E D --的正弦值；（Ⅲ）求直线AB 与平面1DB E 所成角的正弦值． 18．（本小题满分15分）已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的一个顶点为(0,3)A -，右焦点为F ，且||||OA OF =，其中O 为原点．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）已知点C 满足3OC OF =，点B 在椭圆上（B 异于椭圆的顶点），直线AB 与以C 为圆心的圆相切于点P ，且P 为线段AB 的中点．求直线AB 的方程． 19．（本小题满分15分）已知{}n a 为等差数列，{}n b 为等比数列，()()115435431,5,4a b a a a b b b ===-=-． （Ⅰ）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（Ⅱ）记{}n a 的前n 项和为n S ，求证：()2*21n n n S S S n ++<∈N；（Ⅲ）对任意的正整数n ，设()21132,,,.n nn n n n n a b n a a c a n b +-+-⎧⎪⎪=⎨⎪⎪⎩为奇数为偶数求数列{}n c 的前2n 项和．20．（本小题满分16分）已知函数3()ln ()f x x k x k =+∈R ，()f x '为()f x 的导函数． （Ⅰ）当6k =时，（i ）求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程； （ii ）求函数9()()()g x f x f x x'=-+的单调区间和极值； （Ⅱ）当3k ≥-时，求证：对任意的12,[1,)x x ∈+∞，且12x x >，有()()()()1212122f x f x f x f x x x ''+->-．2020年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学参考解答一．选择题：每小题5分，满分45分．1．C2．A3．A4．B5．C6．D7．D8．B9．D二．填空题：每小题5分，满分30分．试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分．10．32i - 11．1012．513．16；2314．4 15．16；132三．解答题 16．满分14分．（Ⅰ）解：在ABC △中，由余弦定理及22,5,13a b c ===，有2222cos 22a b c C ab +-==．又因为(0,π)C ∈，所以π4C =．（Ⅱ）解：在ABC △中，由正弦定理及π,22,134C a c ===，可得sin 213sin 13a C A c ==． （Ⅲ）解：由a c <及213sin 13A =，可得2313cos 1sin 13A A =-=，进而2125sin 22sin cos ,cos 22cos 11313A A A A A ===-=． 所以，πππ12252172sin(2)sin 2cos cos 2sin 44413213226A A A +=+=⨯+⨯=．17．满分15分．依题意，以C 为原点，分别以1,,CA CB CC 的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系（如图），可得1(0,0,0),(2,0,0),(0,2,0),(0,0,3)C A B C ，11(2,0,3),(0,2,3),(2,0,1),(0,0,2)A B D E ，(1,1,3)M ．（Ⅰ）证明：依题意，1(1,1,0)C M =，1(2,2,2)B D =--，从而112200C M B D ⋅=-+=，所以11C M B D ⊥．（Ⅱ）解：依题意，(2,0,0)CA =是平面1BB E 的一个法向量，1(0,2,1)EB =，(2,0,1)ED =-．设(,,)x y z =n 为平面1DB E 的法向量，则10,0,EB ED ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 即20,20.y z x z +=⎧⎨-=⎩不妨设1x =，可得(1,1,2)=-n ．因此有|||cos ,6|A CA C CA ⋅〈〉==n n n ，于是sin ,CA 〈〉=n ． 所以，二面角1B B E D --的正弦值为6． （Ⅲ）解：依题意，(2,2,0)AB =-．由（Ⅱ）知(1,1,2)=-n 为平面1DB E 的一个法向量，于是cos ,3||||AB AB AB ⋅==-n n n ． 所以，直线AB 与平面1DB E 所成角的正弦值为3． 18．满分15分．（Ⅰ）解：由已知可得3b =．记半焦距为c ，由||||OF OA =可得3c b ==．又由222a b c =+，可得218a =．所以，椭圆的方程为221189x y +=． （Ⅱ）解：因为直线AB 与以C 为圆心的圆相切于点P ，所以AB CP ⊥．依题意，直线AB 和直线CP的斜率均存在．设直线AB 的方程为3y kx =-．由方程组223,1,189y kx x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y ，可得()2221120k x kx +-=，解得0x =，或21221kx k =+.依题意，可得点B 的坐标为2221263,2121k k k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭．因为P 为线段AB 的中点，点A 的坐标为(0,3)-，所以点P 的坐标为2263,2121kk k -⎛⎫⎪++⎝⎭．由3OC OF =，得点C 的坐标为(1,0)，故直线CP 的斜率为2230216121k k k --+-+，即23261k k -+．又因为AB CP ⊥，所以231261k k k ⋅=--+，整理得22310k k -+=，解得12k =，或1k =． 所以，直线AB 的方程为132y x =-，或3y x =-．19．满分15分．（Ⅰ）解：设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q ．由11a =，()5435a a a =-，可得1d =，从而{}n a 的通项公式为n a n =．由()15431,4b b b b ==-，又0q ≠，可得2440q q -+=，解得2q =，从而{}n b 的通项公式为12n n b -=．（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）可得(1)2n n n S +=，故21(1)(2)(3)4n n S S n n n n +=+++，()22211(1)24n S n n +=++，从而2211(1)(2)02n n n S S S n n ++-=-++<，所以221n n n S S S ++<． （Ⅲ）解：当n 为奇数时，()111232(32)222(2)2n n n n n nn n a b n c a a n n n n-+-+--===-++；当n 为偶数时，1112n n n n a n c b -+-==． 对任意的正整数n ，有222221112221212121k k nnnk k k c k k n --==⎛⎫=-=- ⎪+-+⎝⎭∑∑， 和22311211352144444nnk knk k k n c ==--==++++∑∑． ① 由①得22311113232144444n k nn k n n c +=--=++++∑． ② 由①②得22111211312221121441444444414n n k n n n k n n c ++=⎛⎫- ⎪--⎝⎭=+++-=---∑，从而得21565994nk nk n c =+=-⨯∑． 因此，2212111465421949n nnnk k k nk k k n c c c n -===+=+=--+⨯∑∑∑．所以，数列{}n c 的前2n 项和为465421949n n n n +--+⨯． 20．满分16分．（Ⅰ）（i ）解：当6k =时，3()6ln f x x x =+，故26()3f x x x'=+．可得(1)1f =，(1)9f '=，所以曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为19(1)y x -=-，即98y x =-． （ii ）解：依题意，323()36ln ,(0,)g x x x x x x =-++∈+∞．从而可得2263()36g x x x x x'=-+-，整理可得323(1)(1)()x x g x x -+'=．令()0g x '=，解得1x =．当x 变化时，(),()g x g x '的变化情况如下表：所以，函数()g x 的单调递减区间为(0,1)，单调递增区间为(1,)+∞；()g x 的极小值为(1)1g =，无极大值．（Ⅱ）证明：由3()ln f x x k x =+，得2()3k f x x x'=+． 对任意的12,[1,)x x ∈+∞，且12x x >，令12(1)x t t x =>，则 ()()()()()()()1212122x x f x f x f x f x ''-+--()22331121212122332ln x k k x x x x x x k x x x ⎛⎫⎛⎫=-+++--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3322121121212212332ln x x xx x x x x x k k x x x ⎛⎫=--++-- ⎪⎝⎭()332213312ln x t t t k t t t ⎛⎫=-+-+--⎪⎝⎭． ① 令1()2ln ,[1,)h x x x x x =--∈+∞．当1x >时，22121()110h x x x x ⎛⎫'=+-=-> ⎪⎝⎭，由此可得()h x 在[1,)+∞单调递增，所以当1t >时，()(1)h t h >，即12ln 0tt t -->．因为21x ≥，323331(1)0,3t t t t k -+-=->≥-，所以，()332322113312ln (331)32ln x t t t k t t t t t t t tt⎛⎫⎛⎫-+-+-->-+---- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2336ln 31t t t t-=++-． ②由（Ⅰ）（ii ）可知，当1t >时，()(1)g t g >，即32336ln 1t t t t-++>， 故23336ln 10t t t t-++->． ③ 由①②③可得()()()()()()()12121220x x f x f x f x f x ''-+-->．所以，当3k ≥-时，对任意的12,[1,)x x ∈+∞，且12x x >，有()()()()1212122f x f x f x f x x x ''+->-．。
精品解析：2020年天津市高考数学试卷(解析版)
绝密★启用前2020年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟．第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷4至6页．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。
答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
祝各位考生考试顺利！第I 卷注意事项：1．每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．2．本卷共9小题，每小题5分，共45分． 参考公式：如果事件A 与事件B 互斥，那么()()()⋃=+P A B P A P B ． 如果事件A 与事件B 相互独立，那么()()()P AB P A P B =． 球的表面积公式24S R π=，其中R 表示球的半径．一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设全集{3,2,1,0,1,2,3}U =---，集合{1,0,1,2},{3,0,2,3}A B =-=-，则()UAB =（ ）A. {3,3}-B. {0,2}C. {1,1}-D. {3,2,1,1,3}---【答案】C 【解析】 【分析】首先进行补集运算，然后进行交集运算即可求得集合的运算结果. 【详解】由题意结合补集的定义可知：{}U2,1,1B =--，则(){}U1,1AB =-.故选：C.【点睛】本题主要考查补集运算，交集运算，属于基础题.2.设a ∈R ，则“1a >”是“2a a >”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】 【分析】首先求解二次不等式，然后结合不等式的解集即可确定充分性和必要性是否成立即可. 【详解】求解二次不等式2a a >可得：1a >或0a <， 据此可知：1a >是2a a >的充分不必要条件. 故选：A.【点睛】本题主要考查二次不等式的解法，充分性和必要性的判定，属于基础题. 3.函数241xy x =+的图象大致为（ ） A .B.C.D.【答案】A 【解析】 【分析】由题意首先确定函数的奇偶性，然后考查函数在特殊点的函数值排除错误选项即可确定函数的图象. 【详解】由函数的解析式可得：()()241xf x f x x --==-+，则函数()f x 为奇函数，其图象关于坐标原点对称，选项CD 错误； 当1x =时，42011y ==>+，选项B 错误.故选：A.【点睛】函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象．利用上述方法排除、筛选选项． 4.从一批零件中抽取80个，测量其直径（单位：mm ），将所得数据分为9组：[5.31,5.33),[5.33,5.35),,[5.45,5.47],[5.47,5.49]，并整理得到如下频率分布直方图，则在被抽取的零件中，直径落在区间[5.43,5.47)内的个数为（ ）A. 10B. 18C. 20D. 36【答案】B 【解析】 【分析】根据直方图确定直径落在区间[)5.43,5.47之间的零件频率，然后结合样本总数计算其个数即可. 【详解】根据直方图，直径落在区间[)5.43,5.47之间的零件频率为：()6.25 5.000.020.225+⨯=， 则区间[)5.43,5.47内零件的个数为：800.22518⨯=. 故选：B.【点睛】本题主要考查频率分布直方图的计算与实际应用，属于中等题. 5.若棱长为3 ） A. 12π B. 24πC. 36πD. 144π【答案】C 【解析】 【分析】求出正方体的体对角线的一半，即为球的半径，利用球的表面积公式，即可得解. 【详解】这个球是正方体的外接球，其半径等于正方体的体对角线的一半，即3R ==，所以，这个球的表面积为2244336S R πππ==⨯=. 故选：C.【点睛】本题考查正方体的外接球的表面积的求法，求出外接球的半径是本题的解题关键，属于基础题.求多面体的外接球的面积和体积问题，常用方法有：（1）三条棱两两互相垂直时，可恢复为长方体，利用长方体的体对角线为外接球的直径，求出球的半径；（2）直棱柱的外接球可利用棱柱的上下底面平行，借助球的对称性，球心为上下底面外接圆的圆心连线的中点，再根据勾股定理求球的半径；（3）如果设计几何体有两个面相交，可过两个面的外心分别作两个面的垂线，垂线的交点为几何体的球心.6.设0.80.70.713,,log 0.83a b c -⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则,,a b c 的大小关系为（ ）A. a b c <<B. b a c <<C. b c a <<D. c a b <<【答案】D 【解析】 【分析】利用指数函数与对数函数的性质，即可得出,,a b c 的大小关系. 【详解】因为0.731a =>，0.80.80.71333b a -⎛⎫==>= ⎪⎝⎭，0.70.7log 0.8log 0.71c =<=，所以1c a b <<<. 故选：D.【点睛】本题考查的是有关指数幂和对数值的比较大小问题，在解题的过程中，注意应用指数函数和对数函数的单调性，确定其对应值的范围. 比较指对幂形式的数的大小关系，常用方法：（1）利用指数函数的单调性：xy a =，当1a >时，函数递增；当01a <<时，函数递减； （2）利用对数函数的单调性：log ay x =，当1a >时，函数递增；当01a <<时，函数递减；（3）借助于中间值，例如：0或1等.7.设双曲线C 的方程为22221(0,0)x y a b a b-=>>，过抛物线24y x =的焦点和点(0,)b 的直线为l ．若C 的一条渐近线与l 平行，另一条渐近线与l 垂直，则双曲线C 的方程为（ ）A. 22144x y -=B. 2214y x -=C. 2214x y -=D. 221x y -=【答案】D 【解析】 【分析】由抛物线的焦点()1,0可求得直线l 的方程为1yx b+=，即得直线的斜率为b -，再根据双曲线的渐近线的方程为b y x a =±，可得b b a -=-，1bb a-⨯=-即可求出,a b ，得到双曲线的方程． 【详解】由题可知，抛物线的焦点为()1,0，所以直线l 的方程为1yx b+=，即直线的斜率为b -，又双曲线的渐近线的方程为b y x a =±，所以b b a -=-，1bb a-⨯=-，因为0,0a b >>，解得1,1a b ==．故选：D ．【点睛】本题主要考查抛物线的简单几何性质，双曲线的几何性质，以及直线与直线的位置关系的应用，属于基础题．8.已知函数()sin 3f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭．给出下列结论： ①()f x 的最小正周期为2π； ②2f π⎛⎫⎪⎝⎭是()f x 的最大值； ③把函数sin y x =的图象上所有点向左平移3π个单位长度，可得到函数()y f x =的图象． 其中所有正确结论的序号是 A. ① B. ①③C. ②③D. ①②③【答案】B 【解析】 【分析】对所给选项结合正弦型函数的性质逐一判断即可. 【详解】因为()sin()3f x x π=+，所以周期22T ππω==，故①正确；51()sin()sin 122362f ππππ=+==≠，故②不正确； 将函数sin y x =的图象上所有点向左平移3π个单位长度，得到sin()3y x π=+的图象， 故③正确. 故选：B.【点晴】本题主要考查正弦型函数的性质及图象的平移，考查学生的数学运算能力，逻辑分析那能力，是一道容易题.9.已知函数3,0,(),0.x x f x x x ⎧=⎨-<⎩若函数2()()2()g x f x kx xk =--∈R 恰有4个零点，则k 的取值范围是（ ） A. 1,(22,)2⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭B. 1,(0,22)2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭C. (,0)(0,22)-∞D. (,0)(22,)-∞+∞【答案】D 【解析】 【分析】由(0)0g =，结合已知，将问题转化为|2|y kx =-与()()||f x h x x =有3个不同交点，分0,0,0k k k =<>三种情况，数形结合讨论即可得到答案.【详解】注意到(0)0g =，所以要使()g x 恰有4个零点，只需方程()|2|||f x kx x -=恰有3个实根 即可， 令()h x =()||f x x ，即|2|y kx =-与()()||f x h x x =的图象有3个不同交点.因为2,0()()1,0x x f x h x x x ⎧>==⎨<⎩， 当0k =时，此时2y =，如图1，2y =与()()||f x h x x =有2个不同交点，不满足题意； 当k 0<时，如图2，此时|2|y kx =-与()()||f x h x x =恒有3个不同交点，满足题意；当0k >时，如图3，当2y kx =-与2yx 相切时，联立方程得220x kx -+=，令0∆=得280k -=，解得22k =（负值舍去），所以22k >. 综上，k 的取值范围为(,0)(22,)-∞+∞.故选：D.【点晴】本题主要考查函数与方程的应用，考查数形结合思想，转化与化归思想，是一道中档题.绝密★启用前2020年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学第Ⅱ卷注意事项：1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上． 2．本卷共11小题，共105分．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分．10.i 是虚数单位，复数82ii-=+_________． 【答案】32i - 【解析】 【分析】将分子分母同乘以分母的共轭复数，然后利用运算化简可得结果. 【详解】()()()()8281510322225i i i ii i i i ----===-++-. 故答案为：32i -.【点睛】本题考查复数的四则运算，属于基础题.11.在522x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，2x 的系数是_________． 【答案】10 【解析】 【分析】写出二项展开式的通项公式，整理后令x 的指数为2，即可求出．【详解】因为522x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式的通项公式为()5531552220,1,2,3,4,5rr r r r r r T C x C x r x --+⎛⎫==⋅⋅= ⎪⎝⎭，令532r -=，解得1r =．所以2x 的系数为15210C ⨯=． 故答案为：10．【点睛】本题主要考查二项展开式的通项公式的应用，属于基础题．12.已知直线80x +=和圆222(0)x y r r +=>相交于,A B 两点．若||6AB =，则r 的值为_________． 【答案】5 【解析】 【分析】根据圆的方程得到圆心坐标和半径，由点到直线的距离公式可求出圆心到直线的距离d ，进而利用弦长公式||AB =，即可求得r ．【详解】因为圆心()0,0到直线80x -+=的距离4d ==，由||AB =可得6==5r ． 故答案为：5．【点睛】本题主要考查圆的弦长问题，涉及圆的标准方程和点到直线的距离公式，属于基础题． 13.已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为12和13．假定两球是否落入盒子互不影响，则甲、乙两球都落入盒子的概率为_________；甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为_________． 【答案】 (1). 16(2). 23【解析】 【分析】根据相互独立事件同时发生的概率关系，即可求出两球都落入盒子的概率；同理可求两球都不落入盒子的概率，进而求出至少一球落入盒子的概率. 【详解】甲、乙两球落入盒子的概率分别为11,23， 且两球是否落入盒子互不影响， 所以甲、乙都落入盒子的概率为111236⨯=， 甲、乙两球都不落入盒子的概率为111(1)(1)233-⨯-=， 所以甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为23. 故答案为：16；23. 【点睛】本题主要考查独立事件同时发生的概率，以及利用对立事件求概率，属于基础题. 14.已知0,0a b >>，且1ab =，则11822a b a b+++的最小值为_________． 【答案】4 【解析】 【分析】根据已知条件，将所求的式子化为82a b a b+++，利用基本不等式即可求解.【详解】0,0,0a b a b >>∴+>，1ab =,11882222ab ab a b a b a b a b∴++=++++ 882422a b a b a b a b++=+≥⨯=++，当且仅当a b +=4时取等号， 结合1ab =,解得23,23a b =-=+，或23,23a b =+=-时，等号成立. 故答案为：4【点睛】本题考查应用基本不等式求最值，“1”的合理变换是解题的关键，属于基础题. 15.如图，在四边形ABCD 中，60,3B AB ︒∠==，6BC =，且3,2AD BC AD AB λ=⋅=-，则实数λ的值为_________，若,M N 是线段BC 上的动点，且||1MN =，则DM DN ⋅的最小值为_________．【答案】 (1). 16 (2). 132【解析】 【分析】可得120BAD ∠=，利用平面向量数量积的定义求得λ的值，然后以点B 为坐标原点，BC 所在直线为x轴建立平面直角坐标系，设点(),0M x ，则点()1,0N x +（其中05x ≤≤），得出DM DN ⋅关于x 的函数表达式，利用二次函数的基本性质求得DM DN ⋅的最小值. 【详解】AD BC λ=，//AD BC ∴，180120BAD B ∴∠=-∠=，cos120AB AD BC AB BC AB λλ⋅=⋅=⋅1363922λλ⎛⎫=⨯⨯⨯-=-=- ⎪⎝⎭，解得16λ=， 以点B 为坐标原点，BC 所在直线为x 轴建立如下图所示的平面直角坐标系xBy ，()66,0BC C =∴，,∵3,60AB ABC =∠=︒，∴A 的坐标为333,22A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭,∵又∵16AD BC =,则533,22D ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，设(),0M x ，则()1,0N x +（其中05x ≤≤）， 533,2DM x ⎛=- ⎝⎭，333,2DN x ⎛=- ⎝⎭，()222533321134222222DM DN x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅=--+=-+=-+ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 所以，当2x =时，DM DN ⋅取得最小值132. 故答案为：16；132. 【点睛】本题考查平面向量数量积的计算，考查平面向量数量积的定义与坐标运算，考查计算能力，属于中等题.三、解答题：本大题共5小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16.在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ．已知22,5,13a b c ===． （Ⅰ）求角C 的大小； （Ⅱ）求sin A 的值； （Ⅲ）求sin 24A π⎛⎫+⎪⎝⎭的值． 【答案】（Ⅰ）4Cπ；（Ⅱ）213sin A =（Ⅲ）172sin 2426A π⎛⎫+=⎪⎝⎭.【解析】 【分析】（Ⅰ）直接利用余弦定理运算即可； （Ⅱ）由（Ⅰ）及正弦定理即可得到答案；（Ⅲ）先计算出sin ,cos ,A A 进一步求出sin 2,cos 2A A ，再利用两角和的正弦公式计算即可. 【详解】（Ⅰ）在ABC中，由5,a b c ===222cos 22a b c C ab +-===， 又因为(0,)C π∈，所以4C π；（Ⅱ）在ABC 中，由4Cπ，a c ==sin sin a C A c=== （Ⅲ）由a c <知角A为锐角，由sin 13A =，可得cos A=13， 进而2125sin 22sin cos ,cos22cos 11313A A A A A ===-=，所以125sin(2)sin 2coscos2sin444132132A A A πππ+=+=⨯+⨯=26. 【点晴】本题主要考查正、余弦定理解三角形，以及三角恒等变换在解三角形中的应用，考查学生的数学运算能力，是一道容易题.17.如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1CC ⊥平面,,2ABC AC BC AC BC ⊥==，13CC =，点,D E 分别在棱1AA 和棱1CC 上，且12,AD CE M ==为棱11A B 的中点．（Ⅰ）求证：11C M B D ⊥；（Ⅱ）求二面角1B B E D --的正弦值；（Ⅲ）求直线AB 与平面1DB E 所成角的正弦值． 【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）306；（Ⅲ）33. 【解析】 【分析】以C 为原点，分别以1,,CA CB CC 的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系. （Ⅰ）计算出向量1C M 和1B D 的坐标，得出110C M B D ⋅=，即可证明出11C M B D ⊥；（Ⅱ）可知平面1BB E 的一个法向量为CA ，计算出平面1B ED 的一个法向量为n ，利用空间向量法计算出二面角1B B E D --的余弦值，利用同角三角函数的基本关系可求解结果； （Ⅲ）利用空间向量法可求得直线AB 与平面1DB E 所成角的正弦值.【详解】依题意，以C 为原点，分别以CA 、CB 、1CC 的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系（如图），可得()0,0,0C 、()2,0,0A 、()0,2,0B 、()10,0,3C 、()12,0,3A 、()10,2,3B 、()2,0,1D 、()0,0,2E 、()1,1,3M .（Ⅰ）依题意，()11,1,0C M =，()12,2,2B D =--， 从而112200C M B D ⋅=-+=，所以11C M B D ⊥； （Ⅱ）依题意，()2,0,0CA =是平面1BB E 的一个法向量，()10,2,1EB =，()2,0,1ED =-．设(),,n x y z =为平面1DB E 的法向量，则100n EB n ED ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即2020y z x z +=⎧⎨-=⎩，不妨设1x =，可得()1,1,2n =-．6cos ,26C CA n A C nA n ⋅<>===⋅⨯， 230sin ,1cos ,CA n CA n ∴<>=-<>=． 所以，二面角1B B E D --30； （Ⅲ）依题意，()2,2,0AB =-．由（Ⅱ）知()1,1,2n =-为平面1DB E 的一个法向量，于是3cos ,226AB n AB n AB n⋅<>===⨯⋅．所以，直线AB 与平面1DB E所成角的正弦值为3. 【点睛】本题考查利用空间向量法证明线线垂直，求二面角和线面角的正弦值，考查推理能力与计算能力，属于中档题.18.已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的一个顶点为(0,3)A -，右焦点为F ，且||||OA OF =，其中O 为原点．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）已知点C 满足3OC OF =，点B 在椭圆上（B 异于椭圆的顶点），直线AB 与以C 为圆心的圆相切于点P ，且P 为线段AB 的中点．求直线AB 的方程．【答案】（Ⅰ）221189x y +=；（Ⅱ）132y x =-，或3y x =-． 【解析】 【分析】（Ⅰ）根据题意，并借助222a b c =+，即可求出椭圆的方程；（Ⅱ）利用直线与圆相切，得到CP AB ⊥，设出直线AB 的方程，并与椭圆方程联立，求出B 点坐标，进而求出P 点坐标，再根据CP AB ⊥，求出直线AB 的斜率，从而得解.【详解】（Ⅰ）椭圆()222210x y a b a b +=>>的一个顶点为()0,3A -，∴3b =，由OA OF=，得3c b ==，又由222a b c =+，得2228313a =+=，所以，椭圆的方程为221189x y +=；（Ⅱ）直线AB 与以C 为圆心的圆相切于点P ，所以CP AB ⊥，根据题意可知，直线AB 和直线CP 的斜率均存在， 设直线AB 的斜率为k ，则直线AB 的方程为3y kx ，即3y kx =-，2231189y kx x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y ，可得()2221120k x kx +-=，解得0x =或21221k x k =+.将21221k x k =+代入3y kx =-，得222126321213k y k k k k =⋅--=++， 所以，点B 的坐标为2221263,2121k k k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭， 因为P 为线段AB 的中点，点A 的坐标为()0,3-，所以点P 的坐标为2263,2121k k k -⎛⎫ ⎪++⎝⎭， 由3OC OF =，得点C 的坐标为()1,0，所以，直线CP 的斜率为222303216261121CPk k k k k k --+=-+-+=，又因为CP AB ⊥，所以231261k k k ⋅=--+， 整理得22310k k -+=，解得12k =或1k =. 所以，直线AB 的方程为132y x =-或3y x =-. 【点睛】本题考查了椭圆标准方程的求解、直线与椭圆的位置关系、直线与圆的位置关系、中点坐标公式以及直线垂直关系的应用，考查学生的运算求解能力，属于中档题.当看到题目中出现直线与圆锥曲线位置关系的问题时，要想到联立直线与圆锥曲线的方程.19.已知{}n a 为等差数列，{}n b 为等比数列，()()115435431,5,4a b a a a b b b ===-=-． （Ⅰ）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（Ⅱ）记{}n a 的前n 项和为n S ，求证：()2*21n n n S S S n ++<∈N；（Ⅲ）对任意的正整数n ，设()21132,,,.n nn n n n n a b n a a c a n b +-+⎧-⎪⎪=⎨⎪⎪⎩为奇数为偶数求数列{}n c 的前2n 项和．【答案】（Ⅰ）n a n =，12n n b -=；（Ⅱ）证明见解析；（Ⅲ）465421949n nn n +--+⨯. 【解析】 【分析】(Ⅰ)由题意分别求得数列的公差、公比，然后利用等差、等比数列的通项公式得到结果； (Ⅱ)利用(Ⅰ)的结论首先求得数列{}n a 前n 项和，然后利用作差法证明即可；(Ⅲ)分类讨论n 为奇数和偶数时数列的通项公式，然后分别利用指数型裂项求和和错位相减求和计算211nk k c-=∑和21nkk c=∑的值，据此进一步计算数列{}n c 的前2n 项和即可.【详解】(Ⅰ)设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q . 由11a =，()5435a a a =-，可得d =1. 从而{}n a 的通项公式为n a n =. 由()15431,4b b b b ==-，又q ≠0，可得2440q q -+=，解得q =2， 从而{}n b 的通项公式为12n n b -=.(Ⅱ)证明：由(Ⅰ)可得(1)2n n n S +=， 故21(1)(2)(3)4n n S S n n n n +=+++，()()22211124n S n n +=++， 从而2211(1)(2)02n n n S S S n n ++-=-++<， 所以221n n n S S S ++<.(Ⅲ)当n奇数时，()111232(32)222(2)2n n n n n nn n a b n c a a n n n n-+-+--===-++，当n 为偶数时，1112n n n n a n c b -+-==， 对任意的正整数n ，有222221112221212121k k nnnk k k c k k n --==⎛⎫=-=- ⎪+-+⎝⎭∑∑， 和223111211352321444444nnk kn n k k k n n c -==---==+++++∑∑① 由①得22314111352321444444n k nn k n n c +=--=+++++∑ ②由①②得22111211312221121441444444414n nk n n n k n n c ++=⎛⎫-⎪--⎝⎭=+++-=---∑，由于11211121221121156544144334444123414nn n n n n n n ++⎛⎫-⎪--+⎝⎭--=-⨯--⨯=-⨯-， 从而得：21565994nk n k n c =+=-⨯∑. 因此，2212111465421949n nnnk k k nk k k n c c c n -===+=+=--+⨯∑∑∑. 所以，数列{}n c 的前2n 项和为465421949n nn n +--+⨯. 【点睛】本题主要考查数列通项公式的求解，分组求和法，指数型裂项求和，错位相减求和等，属于中等题.20.已知函数3()ln ()f x x k x k R =+∈，()f x '为()f x 的导函数． （Ⅰ）当6k =时，（i ）求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；（ii ）求函数9()()()g x f x f x x'=-+的单调区间和极值； （Ⅱ）当3k -时，求证：对任意的12,[1,)x x ∈+∞，且12x x >，有()()()()1212122f x f x f x f x x x ''+->-．【答案】（Ⅰ）（i ）98y x =-；（ii ）()g x 的极小值为(1)1g =，无极大值；（Ⅱ）证明见解析. 【解析】 【分析】(Ⅰ) (i)首先求得导函数的解析式，然后结合导数的几何意义求解切线方程即可；(ii)首先求得()g x '的解析式，然后利用导函数与原函数的关系讨论函数的单调性和函数的极值即可；（Ⅱ）首先确定导函数的解析式，然后令12x t x =，将原问题转化为与t 有关的函数，然后构造新函数，利用新函数的性质即可证得题中的结论.【详解】(Ⅰ) (i) 当k =6时，()36ln f x x x =+，()26'3f x x x=+.可得()11f =，()'19f =， 所以曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为()191y x -=-，即98y x =-. (ii) 依题意，()()32336ln ,0,g x x x x x x=-++∈+∞. 从而可得()2263'36g x x x x x =-+-， 整理可得：323(1)(1)()x x g x x '-+=，令()'0g x =，解得1x =.当x 变化时，()()',g x g x 的变化情况如下表：所以，函数g (x )的单调递减区间为(0，1)，单调递增区间为(1，+∞)； g (x )的极小值为g (1)=1，无极大值.（Ⅱ）证明：由3()ln f x x k x =+，得2()3k f x x x'=+. 对任意的12,[1,)x x ∈+∞，且12x x >，令12(1)x t t x =>，则 ()()()()()()()1212122x x f x f x f x f x ''-+--()22331121212122332ln x k k x x x x x x k x x x ⎛⎫⎛⎫=-+++--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3322121121212212332ln x x x x x x x x x k k x x x ⎛⎫=--++-- ⎪⎝⎭()332213312ln x t t t k t t t ⎛⎫=-+-+-- ⎪⎝⎭. ①令1()2ln ,[1,)h x x x x x=--∈+∞. 当x >1时，22121()110h x x x x '⎛⎫=+-=-> ⎪⎝⎭，由此可得()h x 在[)1,+∞单调递增，所以当t >1时，()()1h t h >，即12ln 0t t t-->.因为21x ≥，323331(1)0t t t t -+-=->，3k ≥-，所以()()332322113312ln 33132ln x t t t k t t t t t t t tt ⎛⎫⎛⎫-+-+------- ⎪+ ⎪⎝⎭⎝⎭32336ln 1t t t t=-++-. ②由(Ⅰ)(ii)可知，当1t >时，()()1g t g >，即32336ln 1t t t t-++>， 故32336ln 10t t t t-++-> ③ 由①②③可得()()()()()()()12121220x x fx f x f x f x ''-+-->.所以，当3k ≥-时，任意的[)12,1,x x ∈+∞，且12x x >，有()()()()1212122f x f x f x f x x x ''+->-. 【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用．。
2020学年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)数学理及答案解析
2020年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)数学理一.选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设全集为R，集合A={x|0＜x＜2}，B={x|x≥1}，则A∩(C R B)=( )A.{x|0＜x≤1}B.{x|0＜x＜1}C.{x|1≤x＜2}D.{x|0＜x＜2}解析：∵A={x|0＜x＜2}，B={x|x≥1}，∴C R B={x|x＜1}，∴A∩(C R B)={x|0＜x＜1}. 答案：B2.设变量x，y满足约束条件5241x yx yx yy+≤⎧⎪-≤⎪⎨-+≤⎪⎪≥⎩，则目标函数z=3x+5y的最大值为( )A.6B.19C.21D.45解析：由变量x，y满足约束条件5241x yx yx yy+≤⎧⎪-≤⎪⎨-+≤⎪⎪≥⎩，得如图所示的可行域，由51x yx y+=⎧⎨-+=⎩，，解得A(2，3).当目标函数z=3x+5y经过A时，直线的截距最大，z取得最大值.将其代入得z的值为21.答案：C3.阅读如图的程序框图，运行相应的程序，若输入N的值为20，则输出T的值为( )A.1B.2C.3D.4解析：若输入N=20，则i=2，T=0，202Ni==10是整数，满足条件.T=0+1=1，i=2+1=3，i≥5不成立，循环，203Ni=不是整数，不满足条件.i=3+1=4，i≥5不成立，循环，204Ni==5是整数，满足条件，T=1+1=2，i=4+1=5，i≥5成立，输出T=2.答案：B.4.设x∈R，则“1122x-＜”是“x3＜1”的( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析：由1122x -＜可得111222x --＜＜，解得0＜x ＜1，由x 3＜1，解得x ＜1，故“1122x -＜”是“x 3＜1”的充分不必要条件.答案：A5.已知a=log 2e ，b=ln2，c=121log 3，则a ，b ，c 的大小关系为( )A.a ＞b ＞cB.b ＞a ＞cC.c ＞b ＞aD.c ＞a ＞b解析：a=log 2e ＞1，0＜b=ln2＜1，12221log log 3log 3c e a ===＞，则a ，b ，c 的大小关系c ＞a ＞b. 答案：D6.将函数y=sin(2x+5π)的图象向右平移10π个单位长度，所得图象对应的函数( )A.在区间[3544ππ，]上单调递增 B.在区间[34π，π]上单调递减 C.在区间[5342ππ，]上单调递增 D.在区间[32π，2π]上单调递减解析：将函数y=sin(2x+5π)的图象向右平移10π个单位长度，得到的函数为：y=sin2x ，增区间满足：22222k x k ππππ-+≤≤+，k ∈Z ，减区间满足：322222k x k ππππ+≤≤+，k ∈Z ，∴增区间为[44k k ππππ-++，]，k ∈Z ，减区间为[344k k ππππ++，]，k ∈Z ，∴将函数y=sin(2x+5π)的图象向右平移10π个单位长度，所得图象对应的函数在区间[3544ππ，]上单调递增.答案：A7.已知双曲线22221x y a b -=(a ＞0，b ＞0)的离心率为2，过右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点.设A ，B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d 1和d 2，且d 1+d 2=6，则双曲线的方程为( )A.221412x y -= B.221124x y -= C.22139x y -= D.22193x y -=解析：由题意可得图象如图，CD 是双曲线的一条渐近线y=ba x ，即bx-ay=0，F(c ，0)，AC ⊥CD ，BD ⊥CD ，FE ⊥CD ，ACDB 是梯形，F是AB的中点，EF=122d d+=3，EF=22a b+=b，所以b=3，双曲线22221x ya b-=(a＞0，b＞0)的离心率为2，可得ca=2，可得：222a ba+=4，解得a=3.则双曲线的方程为：22139x y-=.答案：C8.如图，在平面四边形ABCD中，AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAD=120°，AB=AD=1.若点E为边CD 上的动点，则AE BE⋅的最小值为( )A.2116B.32C.2516D.3解析：如图所示，以D为原点，以DA所在的直线为x轴，以DC所在的直线为y轴，过点B 做BN⊥x轴，过点B做BM⊥y轴，∵AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAD=120°，AB=AD=1，∴AN=ABcos60°=12，BN=ABsin60°=3，∴DN=1+1322=，∴BM=32，∴CM=MBtan30°=3，∴3∴A(1，0)，B(332，)，C(03，设E(0，m)，∴()(3310322AE m BE m m =-=--≤≤，，，，，∴22233333321221616 AE BE m m m⎛⎛⎝⎭⎝⋅=+-=-⎭+-=-+，当m=3时，取得最小值为2116.答案：A二.填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9.i是虚数单位，复数6712ii++= .解析：()()()()6712676147122054 12121255i ii i i iii i i+-+++--====-++-.答案：4-i10.在2x)5的展开式中，x2的系数为 .解析：(x-12x)5的二项展开式的通项为Tr+1=C5r·x5-r·511103222r rrrC xx⎛⎫⎛⎫--=-⎪⎪⎝⎭⋅⎭⋅⎝. 由1032r-=2，得r=2.∴x2的系数为2251522C⎛⎫⎪-⋅=⎝⎭.答案：5211.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，除面ABCD外，该正方体其余各面的中心分别为点E，F，G，H，M(如图)，则四棱锥M-EFGH的体积为 .解析：正方体的棱长为1，M-EFGH的底面是正方形的边长为：22，四棱锥是正四棱锥，棱锥的高为12，四棱锥M-EFGH的体积：2121132212⎛⎫⎪⎪⎝⎭⨯⨯=.答案：11212.已知圆x 2+y 2-2x=0的圆心为C ，直线1232x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，，(t 为参数)与该圆相交于A ，B 两点，则△ABC 的面积为 .解析：圆x 2+y 2-2x=0化为标准方程是(x-1)2+y 2=1，圆心为C(1，0)，半径r=1；直线1232x y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，化为普通方程是x+y-2=0，则圆心C 到该直线的距离为2=，弦长|AB|=2===，∴△ABC的面积为111222S AB d =⋅⋅==.答案：1213.已知a ，b ∈R ，且a-3b+6=0，则2a+18b 的最小值为 .解析：a ，b ∈R ，且a-3b+6=0，可得：3b=a+6，则66111122282224a a a b a a +++=+≥==，当且仅当2a=612a +.即a=-3时取等号.函数的最小值为：14.答案：1414.已知a ＞0，函数f(x)=2220220x ax a x x ax a x ⎧++≤⎪⎨-+-⎪⎩，，，＞．若关于x 的方程f(x)=ax 恰有2个互异的实数解，则a 的取值范围是 .解析：当x≤0时，由f(x)=ax得x2+2ax+a=ax，得x2+ax+a=0，得a(x+1)=-x2，得a=2 1xx-+，设g(x)=21xx-+，则g′(x)=()()()222221211x x x x xx x+-+-=-++，由g(x)＞0得-2＜x＜-1或-1＜x＜0，此时递增，由g(x)＜0得x＜-2，此时递减，即当x=-2时，g(x)取得极小值为g(-2)=4，当x＞0时，由f(x)=ax得-x2+2ax-2a=ax，得x2-ax+2a=0，得a(x-2)=x2，当x=2时，方程不成立，当x≠2时，a=22xx-，设h(x)=22xx-，则h′(x)=()()()222222422x x x x xx x---=--，由h(x)＞0得x＞4，此时递增，由h(x)＜0得0＜x＜2或2＜x＜4，此时递减，即当x=4时，h(x)取得极小值为h(4)=8，要使f(x)=ax恰有2个互异的实数解，则由图象知4＜a＜8.答案：(4，8)三.解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知bsinA=acos(B-6π).(Ⅰ)求角B的大小；(Ⅱ)设a=2，c=3，求b和sin(2A-B)的值.解析：(Ⅰ)由正弦定理得sin sinb aA B=，与bsinA=acos(B-6π).由此能求出B.(Ⅱ)由余弦定理得，由bsinA=acos(B-6π)，得，，由此能求出sin(2A-B).答案：(Ⅰ)在△ABC 中，由正弦定理得sin sin b aA B =，得bsinA=asinB ，又bsinA=acos(B-6π).∴asinB=acos(B-6π)，即1sin cos cos cos si ()n sin sin 6662B B B B B Bπππ=-=+=+， ∴，又B ∈(0，π)，∴B=3π.(Ⅱ)在△ABC 中，a=2，c=3，B=3π，由余弦定理得=，由bsinA=acos(B-6π)，得， ∵a ＜c ，∴，∴sin2A=2sinAcosA=，cos2A=2cos 2A-1=17， ∴sin(2A-B)=sin2AcosB-cos2AsinB=1127-=.16.已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24，16，16.现采用分层抽样的方法从中抽取7人，进行睡眠时间的调查.(Ⅰ)应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？(Ⅱ)若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查.(i)用X 表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数，求随机变量X 的分布列与数学期望； (ii)设A 为事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工”，求事件A 发生的概率. 解析：(Ⅰ)利用分层抽样，通过抽样比求解应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取人数； (Ⅱ)若(i)用X 表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数，的可能值，求出概率，得到随机变量X 的分布列，然后求解数学期望； (ii)利用互斥事件的概率求解即可.答案：(Ⅰ)单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24，16，16.人数比为：3：2：2， 从中抽取7人现，应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3，2，2人.(Ⅱ)若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查.(i)用X 表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数，随机变量X 的取值为：0，1，2，3，P(X=k)=34373k kC C C-⋅，k=0，1，2，3.所以随机变量的分布列为：随机变量X 的数学期望E(X)=112184120123353535357⨯+⨯+⨯+⨯=；(ii)设A 为事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工”，设事件B 为：抽取的3人中，睡眠充足的员工有1人，睡眠不足的员工有2人，事件C 为抽取的3人中，睡眠充足的员工有2人，睡眠不足的员工有1人，则：A=B ∪C ，且P(B)=P(X=2)，P(C)=P(X=1)，故P(A)=P(B ∪C)=P(X=2)+P(X=1)=67.所以事件A 发生的概率：67.17.如图，AD ∥BC 且AD=2BC ，AD ⊥CD ，EG ∥AD 且EG=AD ，CD ∥FG 且CD=2FG ，DG ⊥平面ABCD ，DA=DC=DG=2.(Ⅰ)若M 为CF 的中点，N 为EG 的中点，求证：MN ∥平面CDE ； (Ⅱ)求二面角E-BC-F 的正弦值；(Ⅲ)若点P 在线段DG 上，且直线BP 与平面ADGE 所成的角为60°，求线段DP 的长.解析：(Ⅰ)依题意，以D 为坐标原点，分别以DADC DG 、、的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系.求出对应点的坐标，求出平面CDE 的法向0n 量及MN ，由00MN n ⋅=，结合直线MN ⊄平面CDE ，可得MN ∥平面CDE ；(Ⅱ)分别求出平面BCE 与平面平面BCF 的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角E-BC-F 的正弦值；(Ⅲ)设线段DP 的长为h ，(h ∈[0，2])，则点P 的坐标为(0，0，h)，求出BP =(-1，-2，h)，而DC =(0，2，0)为平面ADGE 的一个法向量，由直线BP 与平面ADGE 所成的角为60°，可得线段DP 的长.答案：(Ⅰ)依题意，以D 为坐标原点，分别以DADC DG 、、的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系.可得D(0，0，0)，A(2，0，0)，B(1，2，0)，C(0，2，0)，E(2，0，2)，F(0，1，2)，G(0，0，2)，M(0，32，1)，N(1，0，2).设0n =(x ，y ，z)为平面CDE 的法向量，则0020220n DC y n DE x z ⎧-==⎪⎨-=+=⎪⎩，，不妨令z=-1，可得0n =(1，0，-1)； 又MN=(1，-32，1)，可得0MN n ⋅=0.又∵直线MN ⊄平面CDE ，∴MN ∥平面CDE ；(Ⅱ)依题意，可得BC =(-1，0，0)，BE =(1，-2，2)，CF =(0，-1，2). 设n=(x ，y ，z)为平面BCE 的法向量，则0220n BC x n BE x y z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，，不妨令z=1，可得n =(0，1，1).设m =(x ，y ，z)为平面BCF 的法向量，则020m BC x m CF y z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，，不妨令z=1，可得m =(0，2，1).因此有cos310m n m n m n⋅==⋅＜，＞，于是sin10m n =＜，＞.∴二面角E-BC-F 的正弦值为10；(Ⅲ)设线段DP 的长为h ，(h ∈[0，2])，则点P 的坐标为(0，0，h)，可得BP =(-1，-2，h)，而DC =(0，2，0)为平面ADGE 的一个法向量，故cos BP DC BP DC BP DC ⋅⋅==＜，＞.sin 60=︒=，解得h=3∈[0，2].∴线段DP 的长为3.18.设{a n }是等比数列，公比大于0，其前n 项和为S n (n ∈N *)，{b n }是等差数列.已知a 1=1，a 3=a 2+2，a 4=b 3+b 5，a 5=b 4+2b 6. (Ⅰ)求{a n }和{b n }的通项公式；(Ⅱ)设数列{S n }的前n 项和为T n (n ∈N *)， (i)求T n ；(ii)证明()()()22122122n nk k k k T b b k k n ++=+=-+++∑(n ∈N *).解析：(Ⅰ)设等比数列{an}的公比为q ，由已知列式求得q ，则数列{a n }的通项公式可求；等差数列{b n }的公差为d ，再由已知列关于首项与公差的方程组，求得首项与公差，可得等差数列的通项公式；(Ⅱ)(i)由等比数列的前n 项和公式求得S n ，再由分组求和及等比数列的前n 项和求得数列{S n }的前n 项和为T n ；(ii)化简整理()()()212k k kT b b k k ++++，再由裂项相消法证明结论.答案：(Ⅰ)设等比数列{a n }的公比为q ，由a 1=1，a 3=a 2+2，可得q 2-q-2=0.∵q ＞0，可得q=2.故a n =2n-1.设等差数列{b n }的公差为d ，由a 4=b 3+b 5，得b 1+3d=4， 由a 5=b 4+2b 6，得3b 1+13d=16，∴b 1=d=1.故b n =n ；(Ⅱ)(i)由(Ⅰ)，可得S n =1212n--=2n-1，故T n =()()1112122122212n nnkk n k k n n n +==⨯--=-=-=---∑∑；(ii)∵()()()()()()()()1121222222212121221k k k k k k k k k k T b b k k k k k k k k k +++++--+++⋅===-++++++++.∴()()()32432122122222222123243212n n n nk k k k T b b k k n n n ++++=+=-+-+⋯+-=-++++⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+⎭⎝∑.19.设椭圆2222x y ab +=1(a ＞b ＞0)的左焦点为F ，上顶点为B.已知椭圆的离心率为3，点A的坐标为(b ，0)，且|FB|·.(Ⅰ)求椭圆的方程；(Ⅱ)设直线l ：y=kx(k ＞0)与椭圆在第一象限的交点为P ，且l 与直线AB 交于点Q.若4AQ PQ =sin ∠AOQ(O 为原点)，求k 的值.解析：(Ⅰ)设椭圆的焦距为2c ，根据椭圆的几何性质与已知条件，求出a 、b 的值，再写出椭圆的方程；(Ⅱ)设出点P 、Q 的坐标，由题意利用方程思想，求得直线AB 的方程以及k 的值.答案：(Ⅰ)设椭圆2222x y a b +=1(a ＞b ＞0)的焦距为2c ，由椭圆的离心率为e=，∴2259c a =；又a 2=b 2+c 2，∴2a=3b ，由|FB|=a ，b ，且|FB|·；可得ab=6，从而解得a=3，b=2，∴椭圆的方程为2294x y +=1； (Ⅱ)设点P 的坐标为(x 1，y 1)，点Q 的坐标为(x 2，y 2)，由已知y 1＞y 2＞0；∴|PQ|sin ∠AOQ=y 1-y 2；又|AQ|=2sin y OAB ∠，且∠OAB=4π，∴|AQ|=2y，由4AQ PQ =sin ∠AOQ ，可得5y 1=9y 2；由方程组22194y kx x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩，，消去x ，可得y 1，∴直线AB 的方程为x+y-2=0；由方程组20y kx x y =⎧⎨+-=⎩，，消去x ，可得y 2=21k k +；由5y 1=9y 2，可得5(k+1)=两边平方，整理得56k 2-50k+11=0，解得k=12或k=1128；∴k 的值为12或1128.20.已知函数f(x)=a x，g(x)=log a x ，其中a ＞1. (Ⅰ)求函数h(x)=f(x)-xlna 的单调区间；(Ⅱ)若曲线y=f(x)在点(x 1，f(x 1))处的切线与曲线y=g(x)在点(x 2，g(x 2))处的切线平行，证明x 1+g(x 2)=2ln ln ln aa ；(Ⅲ)证明当a ≥1ee 时，存在直线l ，使l 是曲线y=f(x)的切线，也是曲线y=g(x)的切线.解析：(Ⅰ)把f(x)的解析式代入函数h(x)=f(x)-xlna，求其导函数，由导函数的零点对定义域分段，由导函数在各区间段内的符号可得原函数的单调区间；(Ⅱ)分别求出函数y=f(x)在点(x1，f(x1))处与y=g(x)在点(x2，g(x2))处的切线的斜率，由斜率相等，两边取对数可得结论；(Ⅲ)分别求出曲线y=f(x)在点(x1，1x a)处的切线与曲线y=g(x)在点(x2，logax2)处的切线方程，把问题转化为证明当a≥1 e e时，存在x1∈(-∞，+∞)，x2∈(0，+∞)使得l1与l2重合，进一步转化为证明当a≥1ee时，方程111112ln lnln0ln lnx xaa x a a xa a-+++=存在实数解.然后利用导数证明即可.答案：(Ⅰ)由已知，h(x)=a x-xlna，有h′(x)=a x lna-lna，令h′(x)=0，解得x=0.由a＞1，可知当x变化时，h′(x)，h(x)的变化情况如下表：∴函数h(x)的单调减区间为(-∞，0)，单调递增区间为(0，+∞)；(Ⅱ)由f′(x)=axlna，可得曲线y=f(x)在点(x1，f(x1))处的切线的斜率为1x a lna.由g′(x)=1lnx a，可得曲线y=g(x)在点(x2，g(x2))处的切线的斜率为21lnx a.∵这两条切线平行，故有121lnlnxa ax a=，即x21x a(lna)2=1，两边取以a为底数的对数，得log a x2+x1+2log a lna=0，∴x1+g(x2)=2ln lnlnaa；(Ⅲ)曲线y=f(x)在点(x1，1x a)处的切线l1：y-11x xa a=lna(x-x1)，曲线y=g(x)在点(x2，logax2)处的切线l2：y-log a x2=21lnx a(x-x2).要证明当a≥1ee时，存在直线l，使l是曲线y=f(x)的切线，也是曲线y=g(x)的切线，只需证明当a≥1ee时，存在x1∈(-∞，+∞)，x2∈(0，+∞)使得l1与l2重合，即只需证明当a≥1ee时，方程组1112121lnln1ln loglnxx xa ax aa x a a axa⎧=⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩①②由①得()121lnxa a，代入②得：111112ln lnln0ln lnx xaa x a a xa a-+++=③，因此，只需证明当a≥1ee时，关于x1的方程③存在实数解.设函数u(x)=a x-xa x lna+x+12ln lnln lnaa a+，既要证明当a≥1ee时，函数y=u(x)存在零点.u′(x)=1-(lna)2xa x，可知x∈(-∞，0)时，u′(x)＞0；x∈(0，+∞)时，u′(x)单调递减，又u′(0)=1＞0，()()221110 ln lnu aa a⎛⎫⎪=-⎪⎝⎭'＜，故存在唯一的x0，且x0＞0，使得u′(x0)=0，即1-(lna)2x00x a=0. 由此可得，u(x)在(-∞，x0)上单调递增，在(x0，+∞)上单调递减，u(x)在x=x0处取得极大值u(x0).∵a≥1ee，故lnlna≥-1.∴u(x0)=()00000212ln ln12ln ln22ln ln ln0ln ln ln lnlnx xa a aa x a a x xa a a ax a+ -+++=++≥≥.下面证明存在实数t，使得u(t)＜0，由(Ⅰ)可得a x≥1+1ln a，当x＞1ln a时，有u(x)≤(1+xlna)(1-xlna)+x+()2212ln ln12ln lnln1ln ln ln lna aa x xa a a a+=-++++.∴存在实数t，使得u(t)＜0.因此，当a≥1ee时，存在x1∈(-∞，+∞)，使得u(x1)=0.∴当a≥1ee时，存在直线l，使l是曲线y=f(x)的切线，也是曲线y=g(x)的切线.。
2020普通高等学校招生全国统一考试天津卷理科数学试题及答案
2020年普通高等学校招生天津卷理工类数学试题本试卷分第一卷（选择题）和第二卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟第一卷1至2页，第二卷3至10页考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回祝各位考生考试顺利！第一卷（选择题 共60分）注意事项：1. 答第一卷前，考生务必将自己的姓名、准考号、科目涂写在答题卡上2. 每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑干净后，再选涂其他答案标号答在试卷上的无效参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么()()(B P A P B A P +=+如果事件A 、B 相互独立，那么()()(B P A P B A P ⋅=⋅柱体（棱柱、圆柱）的体积公式V =柱体其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高一. 选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. i 是虚数单位，3)2)(1(i i i ++-=A. i +1B. i --1C. i 31+D. i 31--2. 不等式21≥-xx 的解集为 A. )0,1[- B. ),1[∞+-C. ]1,(--∞D. ),0(]1,(∞+--∞3. 若平面向量b 与向量a)2,1(-=的夹角是︒180，且53=b ，则b ＝A. )6,3(-B. )6,3(-C. )3,6(-D. )3,6(-4. 设P 是双曲线19222=-y ax 上一点，双曲线的一条渐近线方程为1,023F y x =-、F 2分别是双曲线的左、右焦点，若3||1=PF ，则=||2PF A. 1或5B. 6C. 7D. 95. 若函数)10(log )(<<=a x x f a 在区间]2,[a a 上的最大值是最小值的3倍，则a=A.42B.22 C.41 D.216. 如图，在棱长为2的正方体1111D C B A ABCD -中，O 是底面ABCD 的中心，E 、F 分别是1CC 、AD 的中点，那么异面直线OE 和1FD 所成的角的余弦值等于A.510 B.515 C.54 D.32 ACC 1D E7. 若)1,2(-P 为圆25)1(22=+-y x 的弦AB 的中点，则直线AB 的方程是 A. 03=--y x B. 032=-+y x C. 01=-+y xD. 052=--y x8. 已知数列}{n a ，那么“对任意的*N n ∈，点),(n n a n P 都在直线12+=x y 上”是“}{n a 为等差数列”的A. 必要而不充分条件B. 充分而不必要条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件9. 函数]),0[)(26sin(2ππ∈-=x x y 为增函数的区间是A. ]3,0[πB. ]127,12[ππC. ]65,3[ππ D. ],65[ππ10. 如图，在长方体1111D C B A ABCD -中，AB=6，AD=4，1=AA 分别过BC 、11D A 的两个平行截面将长方体分成三部分，其体积分别记为111DFD AEA V V -=，11112D FCF A EBE V V -=，C F C B E B V V 11113-=若1:4:1::321=V V V ，则截面11EFD A 的面积为A. 104B. 38C. 134D. 16AC A 111. 函数123-=xy （01<≤-x ）的反函数是A. )31(log 13≥+=x x yB. )31(log 13≥+-=x x yC. )131(log 13≤<+=x x yD. )131(log 13≤<+-=x x y12. 定义在R 上的函数)(x f 既是偶函数又是周期函数，若)(x f 的最小正周期是π，且当]2,0[π∈x 时，x x f sin )(=，则)35(πf 的值为 A. 21- B.21C. 23-D.232020年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（理工类）第二卷（非选择题 共90分）注意事项：1. 用钢笔或圆珠笔直接答在试卷上 答卷前将密封线内的项目填写清楚二. 填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分把答案填在题中横线上13. 某工厂生产A 、B 、C 三种不同型号的产品，产品数量之比依次为5:3:2，现用分层抽样方法抽出一个容量为n 的样本，样本中A 种型号产品有16件那么此样本的容量n=14. 如果过两点)0,(a A 和),0(a B 的直线与抛物线322--=x x y 没有交点，那么实数a 的取值范围是15. 若)(...)21(2004200422102004R x x a x a x a a x ∈++++=-，则++++++++)(...)()()(20040302010a a a a a a a a （用数字作答）16. 从1，3，5，7中任取2个数字，从0，2，4，6，8中任取2个数字，组成没有重复数字的四位数，其中能被5整除的四位数共有 个三. 解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17. （本小题满分12分）已知21)4tan(=+απ，（1）求αtan 的值；（2）求αα2cos 1cos 2sin 2+-a 的值18. （本小题满分12分）从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量ξ表示所选3人中女生的人数（1）求ξ的分布列； （2）求ξ的数学期望；（3）求“所选3人中女生人数1≤ξ”的概率19. （本小题满分12分）如图，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧棱PD ⊥底面ABCD ，PD=DC ，E 是PC 的中点，作EF ⊥PB 交PB 于点F （1）证明PA//平面EDB ； （2）证明PB ⊥平面EFD ；（3）求二面角C —PB —D 的大小AC20. （本小题满分12分）已知函数x bx ax x f 3)(23-+=在1±=x 处取得极值（1）讨论)1(f 和)1(-f 是函数)(x f 的极大值还是极小值； （2）过点)16,0(A 作曲线)(x f y =的切线，求此切线方程21. （本小题满分12分）已知定义在R 上的函数)(x f 和数列}{n a 满足下列条件： 1211),...,4,3,2)((,a a n a f a a a n n ≠===-，)...,4,3,2)(()()(11=-=---n a a k a f a f n n n n ，其中a 为常数，k 为非零常数（1）令n n n a a b -=+1*)(N n ∈，证明数列}{n b 是等比数列； （2）求数列}{n a 的通项公式； （3）当1||<k 时，求n a ∞→lim22. （本小题满分14分）椭圆的中心是原点O ，它的短轴长为22，相应于焦点F （c ，0）（0>c ）的准线l 与x 轴相交于点A ，|OF|=2|FA|，过点A 的直线与椭圆相交于P 、Q 两点 （1）求椭圆的方程及离心率；（2）若0=⋅，求直线PQ 的方程；（3）设AQ AP λ=（1>λ），过点P 且平行于准线l 的直线与椭圆相交于另一点M ，证明FM λ-=2020年普通高等学校招生天津卷理工类数学参考解答一. 选择题：本题考查基本知识和基本运算，每小题5分，满分60分1—5 DAACA 6—10 BABCC 11—12 DD二. 填空题：本题考查基本知识和基本运算，每小题4分，满分16分13. 8014. )413,(--∞ 15. 2020 16. 300三. 解答题：17. 本小题考查两角和正切线，倍角的正弦、余弦公式等基础知识，考查基本运算能力，满分12分（1）解：αααπαπαπtan 1tan 1tan 4tan1tan 4tan)4tan(-+=-+=+由21)4tan(=+απ，有21tan 1tan 1=-+αα 解得31tan -=α （2）解法一：1cos 21cos cos sin 22cos 1cos 2sin 222-+-=+-ααααααα65213121tan cos 2cos sin 2-=--=-=-=αααα解法二：由（1），31t a n -=α，得ααcos 31sin -=∴αα22cos 91sin = αα22c o s 91c o s 1=-∴109cos 2=α于是541cos 22cos 2=-=αα，53cos 32cos sin 22sin 2-=-==αααα代入得65541109532cos 1cos 2sin 2-=+--=+-ααα 18. 本小题考查离散型随机变量分布列和数学期望等概念，考查运用概率知识解决实际问题的能力满分12分（1）解：ξ可能取的值为0，1，2,1,0,)(36342=⋅==-k C C C k P k k ξ 所以，ξ的分布列为（2）解：由（1），ξ的数学期望为1512531510=⨯+⨯+⨯=ξE（3）解：由（1），“所选3人中女生人数1≤ξ”的概率为54)1()0()1(==+==≤ξξξP P P19. 本小题考查直线与平面平行，直线与平面垂直，二面角等基础知识，考查空间想象能力和推理论证能力，满分12分 方法一：（1）证明：连结AC ，AC 交BD 于O ，连结EO ∵底面ABCD 是正方形，∴点O 是AC 的中点 在PAC ∆中，EO是中位线，∴PA // EO 而⊂EO 平面EDB 且⊄PA 平面EDB ， 所以，PA // 平面EDBAC（2）证明：∵PD ⊥底面ABCD 且⊂DC 底面ABCD ，∴DC PD ⊥∵PD=DC ，可知PDC ∆是等腰直角三角形，而DE 是斜边PC 的中线， ∴DE ⊥ ①同样由PD ⊥底面ABCD ，得PD ⊥BC∵底面ABCD 是正方形，有DC ⊥BC ，∴BC ⊥平面PDC 而⊂DE 平面PDC ，∴BC ⊥ ② 由①和②推得⊥DE 平面PBC而⊂PB 平面PBC ，∴PB DE ⊥又PB EF ⊥且E EF DE = ，所以PB ⊥平面EFD（3）解：由（2）知，DF PB ⊥，故EFD ∠是二面角C —PB —D 的平面角由（2）知，PD EF DE ⊥⊥,设正方形ABCD 的边长为a ，则a BD a DC PD 2,===a BD PD PB 322=+=， a DC PD PC 222=+=a PC DE 2221==在PDB Rt ∆中，aa a PB BD PD DF 3632=⋅=⋅=在EFD Rt ∆中，233622sin ===a aDF DE EFD ，∴3=∠EFD 所以，二面角C —PB —D 3方法二：如图所示建立空间直角坐标系，D 为坐标原点，设a DC = （1）证明：连结AC ，AC 交BD 于G ，连结EG依题意得)2,2,0(),,0,0(),0,0,(a a E a P a A ∵底面ABCD 是正方形，∴G 是此正方形的中心，故点G 的坐标为)0,2,2(aa 且 2,0,2(),,0,(aa a a -=-=∴2=，这表明PA//EG而⊂EG 平面EDB 且⊄PA 平面EDB ，∴PA//平面EDB（2）证明；依题意得)0,,(a a B ，,,(a a a PB -=)2,2,0(aa =，故22022=-+=⋅a a ∴PB ⊥由已知PB EF ⊥，且E DE EF = ，所以⊥PB 平面EFD （3）解：设点F 的坐标为),,(000z y x ，λ=，则),,(),,(000a a a a z y x -=-λ从而a z a y a x )1(,,000λλλ-===所以))21(,)21(,()2,2,(000a a a z a y a x FE ---=---=λλλ 由条件PB EF ⊥知，0=⋅，即0)21()21(222=---+-a a a λλλ，解得31=λ∴点F 的坐标为)32,3,3(aa a ，且)6,6,3(a a a FE --=，)32,3,3(aa a FD ---=∴03233222=+--=⋅a a a FD PB 即FD PB ⊥，故EFD ∠是二面角C —PB —D 的平面角∵691892222a a a a =+-=⋅，且 a a a a FE 6636369||222=++=，a a a a FD 369499||222=++=，∴236666||||cos 2=⋅==a a a FD FE EFD ∴3=∠EFD所以，二面角C —PB —D 320. 本小题考查函数和函数极值的概念，考查运用导数研究函数性质和求曲线切线的方法，以及分析和解决问题的能力满分12分（1）解：323)(2-+='bx ax x f ，依题意，0)1()1(=-'='f f ，即 ⎩⎨⎧=--=-+.0323,0323b a b a解得,1==b a ∴1)(1(333)(,3)(23-+=-='-=x x x x f x x x f令0)(='x f ，得,1=-=x x若),1()1,(∞+--∞∈ x ，则0)(>'x f ，故)(x f 在)1,(--∞上是增函数， )(x f 在),1(∞+上是增函数若)1,1(-∈x ，则0)(<'x f ，故)(x f 在)1,1(-上是减函数所以，2)1(=-f 是极大值；2)1(-=f 是极小值（2）解：曲线方程为x x y 33-=，点)16,0(A 不在曲线上设切点为),(00y x M ，则点M 的坐标满足3003x x y -=因)1(3)(200-='x x f ，故切线的方程为))(1(30200x x x y y --=-注意到点A （0，16）在切线上，有)0)(1(3)3(16020030x x x x --=-- 化简得830-=x ，解得0-=x所以，切点为)2,2(--M ，切线方程为169=+-y x 21. 本小题主要考查函数、数列、等比数列和极限等概念，考查灵活应用数学知识分析问题和解决问题的能力，满分12分（1）证明：由0121≠-=a a b ，可得)()()(1212232≠-=-=-=a a k a f a f a a b由数学归纳法可证01≠-=+n n n a a b (N n ∈ 由题设条件，当2≥n 时111-+---=n n n n n n a a a a b b 11)()(----=n n n n a a a f a f k a a a a k n n n n =--=--11)( 因此，数列}{n b 是一个公比为k 的等比数列（2）解：由（1）知，*))((12111n n a a k b k b n n n ∈-==--当1≠k 时，)2(11)( (1)12121≥---=+++--n kk a a b b b n n当1=k 时，))(1(...12121a a n b b b n --=+++- 2(≥n 而112312121)(...)()(...a a a a a a a a b b b n n n n -=-++-+-=+++-- )2(≥n 所以，当1≠k 时kk a a a a n n ---=--11)(1121 2(≥n 上式对1=n 也成立所以，数列}{n a 的通项公式为 *)(11))((1N n kk a a f a a n n ∈---+=-当1=k 时 ))(1(121a a n a a n --=- 2(≥n上式对1=n 也成立，所以，数列}{n a 的通项公式为))()(1(a a f n a a n --+= *)(N n ∈，（2）解：当1||<k 时]11))(([lim lim 1kk a a f a a n n n n ---+=-∞→∞→ ka a f a --+=1)(。