高一数学新人教A版必修1测试题含答案
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高一数学必修1综合测试题
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的)
1.已知全集I＝{0，1，2}，且满足CI (A∪B)＝{2}的A、B共有组数
A.5 B.7 C.9 D.11
2.如果集合A＝{x|x＝2kπ+π，k∈Z}，B＝{x|x＝4kπ+π，k∈Z}，则
A.AB B.BA C.A=B D.A∩B=
3.设A＝{x∈Z||x|≤2}，B＝{y|y＝x2＋1，x∈A}，则B的元素个数是
A.5 B.4 C.3 D.2
4.若集合P＝{x|3
A.(1，9) B.［1，9］ C.［6，9) D.(6，9］
5.已知集合A＝B＝R，x∈A，y∈B，f:x→y＝ax＋b，若4和10的原象分别对应是6和9，则
19在f作用下的象为
A.18 B.30 C. 272 D.28
6.函数f(x)＝3x－12－x (x∈R且x≠2)的值域为集合N，则集合{2,－2,－1,－3}中不属于N的
元素是
A.2 B.－2 C.－1 D.－3
7.已知f(x)是一次函数，且2f(2)－3f(1)＝5，2f(0)－f(－1)＝1，则f(x)的解析式为
A.3x－2 B.3x＋2 C.2x＋3 D.2x－3
8.下列各组函数中，表示同一函数的是
A.f(x)＝1，g(x)＝x0 B.f(x)＝x＋2，g(x)＝x2－4x－2
C.f(x)＝|x|，g(x)＝x x≥0－x x＜0 D.f(x)＝x，g(x)＝(x )2
9. f(x)＝x2 x＞0π x＝00 x＜0 ，则f{f［f(－3)］}等于
A.0 B.π C.π2 D.9
10.已知2lg(x－2y)＝lgx＋lgy，则xy 的值为
A.1 B.4 C.1或4 D. 14 或4
11.设x∈R，若a
A.(0，12 ) B.(0，21 C.( 12 ，+∞) D.(0，+∞)
二、填空题(本大题共6小题，每小题4分，共24分.把答案填在题中横线上)
13.若不等式x2＋ax＋a－2>0的解集为R，则a可取值的集合为__________.
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14.函数y＝x2＋x＋1 的定义域是______，值域为__ ____.
15.若不等式3axx22>(13 )x+1对一切实数x恒成立，则实数a的取值范围为___ ___.
16. f(x)＝,1 231,( 2311xxxx，则f(x)值域为_____ _.
17.函数y＝12x＋1 的值域是__________.
18.方程log2(2－2x)＋x＋99＝0的两个解的和是______.
三、解答题
19.全集U＝R，A＝{x||x|≥1}，B＝{x|x2－2x－3＞0}，求(CUA)∩(CUB).
20.已知f(x)是定义在(0，+∞)上的增函数，且满足f(xy)＝f(x)＋f(y)，f(2)＝1.
（1）求证：f(8)＝3 (2)求不等式f(x)－f(x－2)>3的解集.
21.某租赁公司拥有汽车100辆，当每辆车的月租金为3000元时，可全部租出，当每辆车的
月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆，租出的车每辆每月需维护费150元，未
租出的车每辆每月需要维护费50元.
（1）当每辆车的月租金定为3600元时，能租出多少辆车？
（2）当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？
22.已知函数f(x)＝log412x－log41x+5，x∈［2，4］，求f(x)的最大值及最小值.
23.已知函数f(x)＝aa2－2 (ax－a－x)(a>0且a≠1)是R上的增函数，求a的取值范围.
高一数学必修1综合测试题（二）参考答案
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 C B C D B D A C C B D A
二、填空题
13. 14. R ［32，+∞) 15. －12 < a < 32
16. (－2，－1］ 17. (0，1) 18. －99
三、解答题(本大题共5小题，共66分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
19.全集U＝R，A＝{x||x|≥1}，B＝{x|x2－2x－3＞0}，求(CUA)∩(CUB).
(CUA)∩(CUB)＝{x|－1＜x＜1}
20.已知f(x)是定义在(0，+∞)上的增函数，且满足f(xy)＝f(x)＋f(y)，f(2)＝1.
（1）求证：f(8)＝3 (2)求不等式f(x)－f(x－2)>3的解集.
考查函数对应法则及单调性的应用.
（1）【证明】 由题意得f(8)＝f(4×2)＝f(4)＋f(2)＝f(2×2)＋f(2)＝f(2)＋f(2)＋f(2)
＝3f(2)
又∵f(2)＝1 ∴f(8)＝3
(2)【解】 不等式化为f(x)>f(x－2)+3
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∵f(8)＝3 ∴f(x)>f(x－2)＋f(8)＝f(8x－16)
∵f(x)是（0，+∞）上的增函数
∴)2(80)2(8xxx解得2
月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆，租出的车每辆每月需维护费150元，未
租出的车每辆每月需要维护费50元.
（1）当每辆车的月租金定为3600元时，能租出多少辆车？
（2）当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？
考查函数的应用及分析解决实际问题能力.
【解】 （1）当每辆车月租金为3600元时，未租出的车辆数为 3600－300050 ＝12，所以
这时租出了88辆.
（2）设每辆车的月租金定为x元，则公司月收益为
f(x)＝(100－x－300050 )(x－150)－x－300050 ×50
整理得:f(x)＝－x250 ＋162x－2100＝－150 (x－4050)2＋307050
∴当x＝4050时，f(x)最大，最大值为f(4050)＝307050 元
22.已知函数f(x)＝log412x－log41x+5，x∈［2，4］，求f(x)的最大值及最小值.
考查函数最值及对数函数性质.
【解】 令t＝log41x ∵x∈［2，4］，t＝log41x在定义域递减有
log414 则f(x2)－f(x1)＝ aa2－2 (a2x－a2x－a1x+a1x) ＝aa2－2 (a2x－a1x)(1+211xxaa) 于是有002002121222xxxxaaaaaa或，解得a>2 或0
∴当t＝－12 时，f(x)取最小值 234
当t＝－1时，f(x)取最大值7.
23.已知函数f(x)＝aa2－2 (ax－a－x)(a>0且a≠1)是R上的增函数，求a的取值范围.
考查指数函数性质.
【解】 f(x)的定义域为R，设x1、x2∈R，且x1
由于a>0，且a≠1，∴1＋211xxaa>0
∵f(x)为增函数，则(a2－2)( a2x－a1x)>0
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人教A版高一数学必修第一册全册复习训练题卷含答案解析(48)
人教A 版高一数学必修第一册全册复习训练题卷（共30题）一、选择题（共10题）1. 已知 a =1.70.3，b =0.31.7，c =log 0.31.7，则 a ，b ，c 的大小关系为 ( ) A ． a <b <c B ． c <b <a C ． c <a <b D ． b <a <c2. 已知 m ∈R ，“函数 y =2x +m −1 有零点”是“函数 y =log m x 在 (0,+∞) 上为减函数”的 ( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3. 已知 sin (α+β)=14，sin (α−β)=13，则 tanα:tanβ= ( )A ． −17B ． 17C ． −7D ． 74. 根据统计，一名工人组装第 x 件某产品所用的时间（单位：分钟）为 f (x )=√x x <A√Ax ≥A （A ，c为常数），已知工人组装第 4 件产品用时 30 min ，组装第 A 件产品用时 15 min ，那么 c 和 A 的值分别是 ( ) A ． 75，25 B ． 75，16 C ． 60，25 D ． 60，165. 已知函数 f (x )={ln (x +1)+m,x ≥0ax −b +1,x <0(m <−1)，对于任意 s ∈R ，且 s ≠0，均存在唯一实数 t ，使得 f (s )=f (t )，且 s ≠t ，若关于 x 的方程 ∣f (x )∣=f (m2) 有 4 个不相等的实数根，则 a 的取值范围是 ( ) A ． (−4,−2) B ． (−1,0)C ． (−2,−1)D ． (−4,−1)∪(−1,0)6. 已知 a >0 且 a ≠1，下列说法中正确的是 ( ) ①若 M =N ，则 log a M =log a N ； ②若 log a M =log a N ，则 M =N ； ③若 log a M 2=log a N 2，则 M =N ； ④若 M =N ，则 log a M 2=log a N 2． A ．①③B ．②④C ．②D ．①②③④7.定义在(−1,1]上的函数f(x)满足f(x)+1=1f(x+1)，当x∈[0,1]时，f(x)=x，若函数g(x)=∣∣f(x)−12∣∣−mx−m+1在(−1,1]内恰有3个零点，则实数m的取值范围是( )A．(32,+∞)B．(32,258)C．(32,2516)D．(23,34)8.实数α，β为方程x2−2mx+m+6=0的两根，则(α−1)2+(β−1)2的最小值为( )A．8B．14C．−14D．−2549.若a>b>0，c<d<0，则一定有( )A．ac −bd>0B．ac−bd<0C．ad>bcD．ad<bc10.一个半径为R的扇形，它的周长是4R，则这个扇形所含弓形的面积为( )A．12R2B．12R2Ssin1cos1C．12(1−sin1cos1)R2D．(1−sin1cos1)R2二、填空题（共10题）11.已知△ABC中，sin(A+B)=45，cosB=−23，则sinB=，cosA=．12.函数y=lg(x2+2x−a)的定义域为R，则实数a的取值范围是．13.已知函数y=f(x)是定义在R上的以3为周期的奇函数，且f(2)=0，则方程f(x)=0在区间(0,6)内零点的个数的最小值是个．14.一个驾驶员喝了少量酒后，血液中的酒精含量迅速上升到0.3mg/mL，在停止喝酒后，血液中的酒精含量以每小时25%的速度减少．为了保障交通安全，规定驾驶员血液中的酒精含量不得超过0.09mg/mL，那么这个驾驶员至少要经过小时才能开车．（精确到1小时，参考数据lg2≈0.30，lg3≈0.48）15.将函数y=√4+6x−x2−2(x∈[0,6])的图象绕坐标原点逆时针方向旋转角θ(0≤θ≤α)，得到曲线C．若对于每一个旋转角θ，曲线C都是一个函数的图象，则tanα的最大值为．16.设集合A为含有三个元素的集合，集合B={z∣z=x+y,x,y∈A,x≠y}，若B={log 26,log 210,log 215}，则集合 A = ．17. 已知 p:∣x −4∣>6，q:x 2−2x +1−a 2>0(a >0)，若 p 是 q 的充分不必要条件，则实数 a的取值范围为 ．18. 已知 α 为第二象限角，sinα+cosα=12，则 cos2α= ．19. 定义在 R 上的函数 f (x ) 满足 f (x +2)=f (x )−2，当 x ∈(0,2] 时，f (x )={x 2−x −6,x ∈(0,1]−2x−1−5,x ∈(1,2]，若 x ∈(−6,−4] 时，关于 x 的方程 af (x )−a 2+2=0(a >0) 有解，则实数 a 的取值范围是 ．20. 已知函数 f (x )={x +2x −3,x ≥1lg (x 2+1),x <1，则 f(f (−3))= ，f (x ) 的最小值是 ．三、解答题（共10题）21. 已知一扇形的周长为 40 cm ，当它的半径和圆心角取何值时，能使扇形的面积最大，最大面积是多少？22. 已知实数 a ，b 是常数，函数 f (x )=(√1+x +√1−x +a)(√1−x 2+b)．(1) 求函数 f (x ) 的定义域，判断函数的奇偶性，并说明理由；(2) 若 a =−3，b =1，设 t =√1+x +√1−x ，记 t 的取值组成的集合为 D ，则函数 f (x )的值域与函数 g (t )=12(t 3−3t 2)(t ∈D ) 的值域相同．试解决下列问题：（i ）求集合 D ；（ii ）研究函数 g (t )=12(t 3−3t 2) 在定义域 D 上是否具有单调性？若有，请用函数单调性定义加以证明：若没有，请说明理由．并利用你的研究结果进一步求出函数 f (x ) 的最小值．23. 对于定义域为 R 的函数 g (x )，若存在正常数 T ，使得 cosg (x ) 是以 T 为周期的函数，则称g (x ) 为余弦周期函数，且称 T 为其余弦周期．已知 f (x ) 是以 T 为余弦周期的余弦周期函数，其值域为 R ．设 f (x ) 单调递增，f (0)=0，f (T )=4π． (1) 验证 g (x )=x +sin x3 是以 6π 为周期的余弦周期函数；(2) 设 a <b ，证明对任意 c ∈[f (a ),f (b )]，存在 x 0∈[a,b ]，使得 f (x 0)=c ；(3) 证明：“u 0 为方程 cosf (x )=1 在 [0,T ] 上的解，”的充要条件是“u 0+T 为方程 cosf (x )=1 在区间 [T,2T ] 上的解”，并证明对任意 x ∈[0,T ]，都有 f (x +T )=f (x )+f (T )．24. 已知函数 f (x )=(sinx +cosx )2+2cos 2x −1．(1) 求 f (x ) 的最小正周期；(2) 求 f (x ) 在 [0,π2] 上的单调区间．25. 已知函数 f (x )=a +b x (b >0,b ≠1) 的图象过点 (1,4) 和点 (2,16)．(1) 求 f (x ) 的表达式； (2) 解不等式 f (x )>(12)3−x2；(3) 当 x ∈(−3,4] 时，求函数 g (x )=log 2f (x )+x 2−6 的值域．26. 已知函数 f (x ) 的定义域为 D ，若对任意的 x 1∈D ，都存在 x 2∈D ，满足 f (x 1)=1f (x 2)，则称函数 f (x ) 为“L 函数”．(1) 判断函数 f (x )=sinx +32，x ∈R 是否为“L 函数”，并说明理由；(2) 已知“L 函数”f (x ) 是定义在 [a,b ] 上的严格增函数，且 f (a )>0，f (b )>0，求证：f (a )⋅f (b )=1．27. 记函数 f (x ) 的定义域为 D ，如果存在实数 a ，b 使得 f (a −x )+f (a +x )=b 对任意满足a −x ∈D 且 a +x ∈D 的 x 恒成立，则称 f (x ) 为 Ψ 函数． (1) 设函数 f (x )=1x −1，试判断 f (x ) 是否为 Ψ 函数，并说明理由； (2) 设函数 g (x )=12x +t ，其中常数 t ≠0，证明 g (x ) 是 Ψ 函数；(3) 若 ℎ(x ) 是定义在 R 上的 Ψ 函数，且函数 ℎ(x ) 的图象关于直线 x =m （m 为常数）对称，试判断 ℎ(x ) 是否为周期函数？并证明你的结论．28. 已知函数 f (x ) 和 g (x ) 的图象关于原点对称，且 f (x )=x 2+2x ．(1) 求函数 g (x ) 的解析式；(2) 若 ℎ(x )=g (x )−λf (x )+1 在区间 [−1,1] 上是增函数，求实数 λ 的取值范围．29. 解答题．(1) 已知 cosα=17，cos (α+β)=−1114，α，β 都是锐角，求 cosβ 的值；(2) 已知 π2<β<α<34π，cos (α−β)=1213，sin (α+β)=−35，sin2α．30.用五点法作出下列函数在[−2π,0]上的图象．(1) y=1−sinx；(2) y=sin(π+x)−1．答案一、选择题（共10题） 1. 【答案】B【知识点】指数函数及其性质、对数函数及其性质2. 【答案】B【解析】若函数 y =f (x )=2x +m −1 有零点，则 f (0)=1+m −1=m <1， 当 m ≤0 时，函数 y =log m x 在 (0,+∞) 上为减函数不成立，即充分性不成立，若 y =log m x 在 (0,+∞) 上为减函数，则 0<m <1，此时函数 y =2x +m −1 有零点成立，即必要性成立，故“函数 y =2x +m −1 有零点”是“函数 y =log m x 在 (0,+∞) 上为减函数”的必要不充分条件． 【知识点】指数函数及其性质、充分条件与必要条件、对数函数及其性质3. 【答案】C【解析】 sin (α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ=14，sin (α−β)=sinαcosβ−cosαsinβ=13， 所以 sinαcosβ=724，cosαsinβ=−124，所以 tanα:tanβ=sinαcosβcosαsinβ=−7． 【知识点】两角和与差的正切4. 【答案】D【知识点】函数的模型及其实际应用5. 【答案】A【解析】由题意可知 f (x ) 在 [0,+∞) 上单调递增，值域为 [m,+∞)，因为对于任意 s ∈R ，且 s ≠0，均存在唯一实数 t ，使得 f (s )=f (t )，且 s ≠t ， 所以 f (x ) 在 (−∞,0) 上是减函数，值域为 (m,+∞)， 所以 a <0，且 −b +1=m ，即 b =1−m ． 因为 ∣f (x )∣=f (m2) 有 4 个不相等的实数根，所以 0<f (m2)<−m ，又 m <−1，所以 0<am 2<−m ，即 0<(a2+1)m <−m ，所以 −4<a <−2，所以则 a 的取值范围是 (−4,−2)．【知识点】对数函数及其性质、函数的零点分布6. 【答案】C【解析】对于①，当 M =N ≤0 时，log a M ，log a N 都没有意义，故不成立； 对于②，log a M =log a N ，则必有 M >0，N >0，M =N ，故成立；对于③，当 M ，N 互为相反数且不为 0 时，也有 log a M 2=log a N 2，但此时 M ≠N ，故不成立； 对于④，当 M =N =0 时，log a M 2，log a N 2 都没有意义，故不成立． 综上，只有②正确． 【知识点】对数的概念与运算7. 【答案】C【解析】当 x ∈(−1,0) 时，x +1∈(0,1)，f (x )=1f (x+1)−1=1x+1−1，若函数 g (x )=∣∣f (x )−12∣∣−mx −m +1 在 (−1,1] 内恰有 3 个零点，即方程 ∣∣f (x )−12∣∣−mx −m +1=0 在 (−1,1] 内恰有 3 个根，也就是函数 y =∣∣f (x )−12∣∣ 与 y =mx +m −1 的图象有三个不同交点，作出函数图象如图：由图可知，过点 (−1,−1) 与点 (−13,0) 的直线的斜率为 32；设过点 (−1,1)，且与曲线 y =1x+1−1−12=−3x−12(x+1) 相切的切点为 (x 0,y 0)， 则 yʹ∣x=x 0=−1(x 0+1)2=y 0−1x0−(−1)， 又因为 y 0=−3x 0−12(x 0+1)，解得 {x 0=−15,y 0=−14,则切点为 (−15,−14)．所以切线的斜率为 k =1+14−1−(−15)=−2516，由对称性可知，过点 (−1,−1) 与曲线 ∣∣f (x )−12∣∣ 在 (−1,0) 上相切的切线的斜率为 2516．所以使函数 y =∣∣f (x )−12∣∣与 y =mx +m −1 的图象有三个不同交点的 m 的取值范围为(32,2516)．【知识点】函数的零点分布、利用导数求函数的切线方程8. 【答案】A【解析】因为 Δ=(2m )2−4(m +6)≥0， 所以 m 2−m −6≥0， 所以 m ≥3 或 m ≤−2．而(α−1)2+(β−1)2=α2+β2−2(α+β)+2=(α+β)2−2αβ−2(α+β)+2=(2m )2−2(m +6)−2(2m )+2=4m 2−6m −10=4(m −34)2−494,因为 m ≥3，或 m ≤−2，所以当 m =3 时，(α−1)2+(β−1)2 的最小值为 8，故选A ． 【知识点】函数的最大（小）值9. 【答案】D【解析】因为 c <d <0，所以 0<−d <−c ， 又 0<b <a ，所以 −bd <−ac ，即 bd >ac ， 又因为 cd >0，所以 bdcd >accd ，即 bc >ad ． 【知识点】不等式的性质10. 【答案】D【解析】 l =4R −2R =2R ，α=lR =2R R=2，可得：S 扇形=12lR =12×2R ×R =R 2，可得：S 三角形=12×2Rsin1×Rcos1=sin1⋅cos1⋅R 2，可得：S弓形=S扇形−S三角形=R2−sin1⋅cos1⋅R2 =(1−sin1cos1)R2.【知识点】弧度制二、填空题（共10题）11. 【答案】√53；6+4√515【知识点】两角和与差的余弦12. 【答案】a<−1【知识点】函数的定义域的概念与求法、对数函数及其性质13. 【答案】7【知识点】函数的零点分布、函数的周期性14. 【答案】5【解析】设经过n小时后才能开车，由题意得0.3(1−0.25)n≤0.09，所以(34)n≤0.3，所以nlg34≤lg310<0，所以n≥lg3−1lg3−2lg2=0.48−10.48−0.6=133，解得n≥133，故至少经过5小时才能开车．故答案为：5．【知识点】函数模型的综合应用15. 【答案】23【解析】将函数变形为方程，可得(x−3)2+(y+2)2=13,x∈[0,6],y≥0，其图象如图所示．过点O作该图象所在圆M的切线OA，将该函数的图象绕原点逆时针旋转时，其最大的旋转角为∠AOy，此时曲线C都是一个函数的图象，因为k OA=−1k OM =32，所以tan∠AOy=23．【知识点】函数的相关概念16. 【答案】 {1,log 23,log 25}【解析】设 A ={a,b,c }(a <b <c )，则 {a +b =log 26,b +c =log 215,c +a =log 210,所以 a +b +c =log 230，所以 a =1，b =log 23，c =log 25， 所以 A ={1,log 23,log 25}． 【知识点】元素和集合的关系17. 【答案】 0<a ≤3【知识点】充分条件与必要条件18. 【答案】 −√74【解析】因为 sinα+cosα=12，所以 1+2sinαcosα=14，所以 2sinαcosα=−34，则 (cosα−sinα)2=1−2sinαcosα=74． 又因为 α 为第二象限角，所以 cosα<0，sinα>0， 则 cosα−sinα=−√72，所以cos2α=cos 2α−sin 2α=(cosα+sinα)(cosα+sinα)=12×(−√72)=−√74. 【知识点】二倍角公式19. 【答案】 1≤a ≤√2【解析】因为函数 f (x ) 满足 f (x +2)=f (x )−2，所以若 x ∈(−6,−4] 时，则 x +2∈(−4,−2]，x +4∈(−2,0]， 若 x +6∈(0,2]，即若 x ∈(−6,−5] 时， 则 x +2∈(−4,−3]，x +4∈(−2,−1]， 若 x +6∈(0,1]，则f (x )=2+f (x +2)=4+f (x +4)=6+f (x +6)=6+(x +6)2−(x +6)−6=x 2+11x +30,若 x ∈(−5,−4] 时，则 x +2∈(−3,−2]，x +4∈(−1,0]， 若 x +6∈(1,2]，则 f (x )=2+f (x +2)=4+f (x +4)=6+f (x +6)=6−2x+6−1−5=1−2x+5,由 af (x )−a 2+2=0(a >0) 得 af (x )=a 2−2(a >0)， 即 f (x )=a −2a (a >0)．作出函数 f (x ) 在 x ∈(−6,−4] 的图象如图． 在函数的值域为 −1≤f (x )≤0， 由 −1≤a −2a≤0，得 {a −2a ≥−1,a −2a ≤0,即 {a 2+a −2≥0,a 2−2≤0, 即 {a ≥1 或 a ≤−2,−√2≤a ≤√2,因为 a >0，所以 1≤a ≤√2．【知识点】函数的零点分布20. 【答案】 0 ； 2√2−3【解析】因为 f (−3)=lg [(−3)2+1]=lg10=1，所以 f(f (−3))=f (1)=1+2−3=0．当x ≥1 时，x +2x −3≥2√x ⋅2x −3=2√2−3，当且仅当 x =2x ，即 x =√2 时等号成立，此时 f (x )min =2√2−3<0；当 x <1 时，lg (x 2+1)≥lg (02+1)=0，此时 f (x )min =0．所以f(x)的最小值为2√2−3．【知识点】函数的最大（小）值、分段函数三、解答题（共10题）21. 【答案】设扇形的圆心角为θ(0<θ<2π)，半径为r，弧长为l，面积为S，则l+2r=40，所以l=40−2r．S=12lr=12(40−2r)r=20r−r2=−(r−10)2+100．所以当r=10cm时，扇形的面积最大，最大值为100cm2，此时θ=lr =40−2×1010=2．【知识点】弧度制22. 【答案】(1) 因为实数a，b是常数，函数f(x)=(√1+x+√1−x+a)(√1−x2+b)，所以由{1+x≥0,1−x≥0,1−x2≥0.解得−1≤x≤1．所以函数的定义域是[−1,1]．对于任意x∈[−1,1]，有−x∈[−1,1]，且f(−x)=(√1+(−x)+√1−(−x)+a)(√1−(−x)2+b)=(√1−x+√1+x+a)(√1−x2+b)=f(x),即f(−x)=f(x)对x∈[−1,1]都成立．（又f(x)不恒为零）所以，函数f(x)是偶函数．（该函数是偶函数不是奇函数也可以）(2) 因为a=−3，b=1，所以f(x)=(√1+x+√1−x−3)(√1−x2+1)．设t=√1+x+√1−x(−1≤x≤1)，则t2=2+2√1−x2．所以0≤√1−x2≤1，2≤t2≤4(t≥0)，即√2≤t≤2．所以D=[√2,2]．于是，g(t)=12(t3−3t2)的定义域为D=[√2,2]．对于任意的t1,t2∈D，且t1<t2，有g(t1)−g(t2)=12[t13−3t12−(t23−3t22)]=12[(t1−t2)(t12+t1t2+t22)−3(t1−t2)(t1+t2)]=12(t1−t2)[(t12−2t1)+(t22−2t2)+(12t1t2−t1)+(12t1t2−t2)]=12(t1−t2)[t1(t1−2)+t2(t2−2)+12t1(t2−2)+12t2(t1−2)].又t1>0，t2>0，t1−t2<0，且t1−2≤0，t2−2≤0（这里二者的等号不能同时成立），所以12(t1−t2)[t1(t1−2)+t2(t2−2)+12t1(t2−2)+12t2(t1−2)]>0，即g(t1)−g(t2)>0，g(t1)>g(t2)．所以函数g(t)在D上是减函数．所以(g(t))min =g(2)=12×(23−3×22)=−2.又因为函数f(x)的值域与函数g(t)=12(t3−3t2)的值域相同，所以函数f(x)的最小值为−2．【知识点】函数的值域的概念与求法、函数的奇偶性23. 【答案】(1) g(x)=x+sin x3，所以cosg(x+6π)=cos(x+6π+sin x+6π3)=cos(x+sin x3)=cosg(x)，所以g(x)是以6π为周期的余弦周期函数．(2) 因为f(x)的值域为R；所以存在x0，使f(x0)=c；又c∈[f(a),f(b)]，所以f(a)≤f(x0)≤f(b)，而f(x)为增函数；所以a≤x0≤b；即存在x0∈[a,b]，使f(x0)=c；(3) 若u0+T为方程cosf(x)=1在区间[T,2T]上的解；则：cosf(u0+T)=1，T≤u0+T≤2T；所以cosf(u0)=1，且0≤u0≤T；所以u0为方程cosf(x)=1在[0,T]上的解；所以“u0为方程cosf(x)=1在[0,T]上得解”的充分条件是“u0+T为方程cosf(x)=1在区间[T,2T]上的解”；下面证明对任意x∈[0,T]，都有f(x+T)=f(x)+f(T)：①当x=0时，f(0)=0，所以显然成立；②当x=T时，cosf(2T)=cosf(T)=1；所以f(2T)=2k1π，(k1∈Z)，f(T)=4π，且2k1π>4π，所以k1>2；（1）若k1=3，f(2T)=6π，由（2）知存在x0∈(0,T)，使f(x0)=2π；cosf(x0+T)=cosf(x0)=1⇒f(x0+T)=2k2π，k2∈Z；所以f(T)<f(x0+T)<f(2T)；所以4π<2k2π<6π；所以2<k2<3，无解；（2）若k1≥5，f(2T)≥10π，则存在T<x1<x2<2T，使得f(x1)=6π，f(x2)=8π；则T，x1，x2，2T为cosf(x)=1在[T,2T]上的4个解；但方程cosf(x)=1在[0,2T]上只有f(x)=0，2π，4π，3个解，矛盾；（3）当k1=4时，f(2T)=8π=f(T)+f(T)，结论成立；③当x∈(0,T)时，f(x)∈(0,4π)，考查方程cosf(x)=c在(0,T)上的解；设其解为f(x1)，f(x2)，⋯，f(x n)，(x1<x2<⋯<x n)；则f(x1+T)，f(x2+T)，⋯，f(x n+T)为方程cosf(x)=c在(T,2T)上的解；又f(x+T)∈(4π,8π)；而f(x1)+4π,f(x2)+4π,⋯,f(x n)+4π∈(4π,8π)为方程cosf(x)=c在(T,2T)上的解；所以f(x i+T)=f(x i)+4π=f(x i)+f(T)；所以综上对任意x∈[0,T]，都有f(x+T)=f(x)+f(T)．【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质、二倍角公式24. 【答案】(1) 由已知得，f(x)=sin2x+cos2x+1=√2sin(2x+π4)+1．函数的最小正周期T=2π2=π．(2) 由2kπ−π2≤2x+π4≤2kπ+π2（k∈Z）得，kπ−3π8≤x≤kπ+π8（k∈Z），又x∈[0,π2]，所以x∈[0,π8]，所以f(x)的单调递增区间为[0,π8]，由2kπ+π2−≤2x+π4≤2kπ+3π2（k∈Z）得，kπ+π8≤x≤kπ+5π8（k∈Z），又x∈[0,π2]，所以x∈[π8,π2 ]，所以f(x)的单调递减区间为[π8,π2 ]．【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质25. 【答案】(1) 由题意知 {4=a +b,16=a +b 2,解得 {a =0,b =4 或 {a =7,b =−3（舍去）， 所以 f (x )=4x ． (2) f (x )>(12)3−x2，所以 4x>(12)3−x2，所以 22x >2x 2−3， 所以 2x >x 2−3， 解得 −1<x <3，所以不等式的解集为 (−1,3)． (3) 因为g (x )=log 2f (x )+x 2−6=log 24x +x 2−6=2x +x 2−6=(x +1)2−7,因为 x ∈(−3,4]，所以当 x =−1 时，g (x )min =−7， 当 x =4 时，g (x )max =18，所以函数 g (x )=log 2f (x )+x 2−6 的值域为 [−7,18]．【知识点】函数的解析式的概念与求法、指数函数及其性质、函数的值域的概念与求法26. 【答案】(1) 不是； (2) 反证法，略．【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质27. 【答案】(1) f (x ) 的定义域为 {x∣ x ≠0}．设 f (x )=1x −1 是为 Ψ 函数，则存在实数 a ，b ，使得 f (a −x )+f (a +x )=b 对任意满足 a −x ∈D 且 a +x ∈D 的 x 恒成立， 即 1a−x +1a+x −2=b ，所以 (b +2)(a 2−x 2)=2a 恒成立，所以 a =0，b =−2． 所以存在 a =0，b =−2，使得 f (a −x )+f (a +x )=b 对任意 x ≠±a 恒成立． 所以 f (x )=1x −1 是 Ψ 函数．(2) 若 g (a +x )+g (a −x )=12a−x +t +12a+x +t =b 恒成立， 则 2a+x +2a−x +2t =b (2a+x +t )(2a−x +t ) 恒成立， 即 (1−bt )(2a+x +2a−x )=b (22a +t 2)−2t 恒成立，所以 1−bt =0，b (22a +t 2)−2t =0，又 t ≠0，所以 b =1t ，a =log 2∣t∣． 所以存在实数 a ，b 使得 g (x ) 是 Ψ 函数．(3) 因为函数 ℎ(x ) 的图象关于直线 x =m （m 为常数）对称， 所以 ℎ(m −x )=ℎ(m +x )，所以当 m ≠a 时， ℎ(x +2m −2a )=ℎ[m +(x +m −2a )]=ℎ[m −(x +m −2a )]=ℎ(2a −x )=ℎ(a +(a −x )),又 ℎ(a +x )+ℎ(a −x )=b ，所以 ℎ(a +(a −x ))=b −ℎ[a −(a −x )]=b −ℎ(x )，所以 ℎ(x +2m −2a )=b −ℎ(x )，ℎ(x )=b −ℎ(x +2m −2a )=ℎ(x +2m −2a +2m −2a )=ℎ(x +4m −4a )．所以 ℎ(x ) 为周期函数，周期为 4m −4a ．若 m =a ，则 ℎ(a −x )=ℎ(a +x )，且 ℎ(a −x )=b −ℎ(a +x )， 所以 ℎ(a +x )=b2，显然 ℎ(x ) 是周期函数． 综上，ℎ(x ) 是周期函数．【知识点】函数的对称性、函数的周期性、幂函数及其性质、指数函数及其性质28. 【答案】(1) g (x )=−x 2+2x ，(2) ℎ(x )=−(1+λ)x 2+2(1−λ)x +1，当 λ=−1 时，ℎ(x )=4x +1 在 [−1,1] 上显然为增函数，当 λ≠−1 时，可得 {1+λ>0,1−λ1+λ≥1, 或 {1+λ>0,1−λ1+λ≤−1,⇒−1<λ≤0 或 λ<−1，综上所述，所求 λ 的取值范围是 λ=−1 或 −1<λ≤0 或 λ<−1，即 λ≤0．【知识点】函数的解析式的概念与求法、函数的单调性29. 【答案】(1) 由题知，sinα=4√37，sin (α+β)=5√314，所以，cosβ=cos (α+β−α)=cos (α+β)cosα+sin (α+β)sinα=12． (2) 因为 0<α−β<π4，cos (α−β)=1213，所以 sin (α−β)=513，因为 π<α+β<3π2，sin (α+β)=−35，所以 cos (α+β)=−45，所以 sin2α=sin [(α−β)+(α+β)]=sin (α−β)cos (α+β)+cos (α−β)sin (α+β)=−5665． 【知识点】两角和与差的正弦、两角和与差的余弦30. 【答案】(1) 找出关键的五个点，列表如下： x −2π−3π2−π−π2y =sinx 010−10y =1−sinx10121描点作图，如图所示．(2) 由于 y =sin (x +π)−1=−sinx −1，找出关键的五个点，列表如下： x −2π−3π2−π−π20y =sinx 010−10y =−sinx −1−1−2−10−1描点作图，如图所示． 【知识点】正弦函数的图象。
人教版A版高中数学必修第一册 第二章综合测试01试题试卷含答案 答案在前
第二章综合测试答案解析一、 1.【答案】D【解析】当0c ＜时，A 选项不正确；当0a ＜时，B 选项不正确；两边同时加上一个数，不等号方向不改变，故C 选项错误.故选D . 2.【答案】D【解析】2=()=a b +-+-+（.+ ，a ∴，b 必须满足的条件是0a ≥，0b ≥，且a b ≠.故选D .3.【答案】A【解析】当=0k 时，不等式2680kx kx k -++≥化为80≥，恒成立，当0k ＜时，不等式2680kx kx k -++≥不能恒成立，当0k ＞时，要使不等式2680kx kx k -++≥对任意x ∈R 恒成立，需22=36480k k k ∆-+（）≤，解得01k ≤≤，故01k ＜≤.综上，k 的取值范围是01k ≤≤.故选A . 4.【答案】A【解析】由311x +＜，得3101x -+＜，201x x -++，解得1x -＜或2x ＞.因为“x k ＞”是“311x +”的充分不必要条件，所以2k ≥.5.【答案】B【解析】不等式2x ax b +＜可化为20x ax b --＜，其解集是{}|13x x ＜＜，那么由根与系数的关系得13=13=a b +⎧⎨-⎩⨯，，解得=4=3a b ⎧⎨-⎩，，所以4=3=81a b -（）.故选B . 6.【答案】D【解析】选项A ，c 为实数，∴取=0c ，此时22=ac bc ，故选项A 不成立；选项B ，11=b a a b ab--，0a b ＜＜，0b a ∴-＞，0ab ＞，0b a ab -∴，即11a b＞，故选项B 不成立；选项C ，0a b ＜＜，∴取=2a -，=1b -，则11==22b a --，2==21a b --，∴此时b aa b ，故选项C 不成立；选项D ，0a b ＜＜，2=0a ab a a b ∴--（）＞，2=0ab b b a b --（）＞，22a ab b ∴＞＞，故选项D 正确.7.【答案】D【解析】210x a x a -++ （）＜，10x x a ∴--（）（）＜，当1a ＞时，1x a ＜＜，此时解集中的整数为2，3，4，故45a ＜≤.当1a ＜时，1a x ＜＜，此时解集中的整数为2-，1-，0，故32a --≤＜.故a 的取值范围是32a --≤＜或45a ＜≤.故选D . 8.【答案】B【解析】不等式210x ax ++≥对一切02x ＜＜恒成立，1a x x∴--≥在02x ＜＜时恒成立.11=2x x x x ---+-- （（当且仅当=1x 时取等号），2a ∴-≥，∴实数a 的最小值是2-.故选B . 9.【答案】A【解析】由题知{}=20N -，，则{}=0M N .故选A . 10.【答案】C【解析】2x ＞，20x ∴-＞.11==222=422y x x x x ∴+-+++--（）≥，当且仅当12=2x x --，即=3x 时等号成立.=3a ∴. 11.【答案】B【解析】由已知及三角形三边关系得3a b c a a b c a c b +⎧⎪+⎨⎪+⎩＜≤，＞，＞，即1311b ca abc a a c b a a⎧+⎪⎪⎪+⎨⎪⎪+⎪⎩＜，＞＞1311b c a ac b a a ⎧+⎪⎪∴⎨⎪--⎪⎩＜≤，＜，两式相加得024c a ⨯＜＜.c a ∴的取值范围为02ca＜＜.12.【答案】D【解析】 二次三项式220ax x b ++≥对一切实数x 恒成立，0a ∴＞，且=440ab ∆-≤，1ab ∴≥.又0x ∃∈R ，使2002=0ax x b ++成立，则=0∆，=1ab ∴，又a b ＞，0a b ∴-＞.22222==a b a b ab a b a b a b a b +-+∴-+---（）（），当且仅当a b -时等号成立.22a b a b+∴-的最小值为D .二、 13.【答案】111a a-+ 【解析】由1a ＜，得11a -＜＜.10a ∴+＞，10a -＞.2111=11a a a +--.2011a - ＜≤，2111a∴-，111a a∴-+≥.14.【答案】a【解析】不等式22210x ax -+≥对一切实数x 都成立，则2=44210a ∆-⨯⨯≤，解得a ，∴实数a 的取值范围是a .15.【答案】3【解析】若①②成立，则cd ab ab a b --（（），即bc ad --＜，bc ad ∴＞，即③成立；若①③成立，则bc ad ab ab＞，即c d a b ＞，c d a b ∴--＜，即②成立；若②③成立，则由②得c d a b ＞，即0bc adab-＞， ③成立，0bc ad ∴-＞，0ab ∴＞，即①成立.故可组成3个正确命题.16.【答案】42x -＜＜ 【解析】不等式2162ab x x b a ++＜对任意0a ＞，0b ＞恒成立，等价于2162a bx x b a++min ＜（）.因为16a b b a +≥（当且仅当=4a b 时等号成立）.所以228x x +＜，解得42x -＜＜. 三、17.【答案】（1）当=0a 时，31=0x +只有一解，满足题意；当0a ≠时，=94=0a ∆-，9=4a . 所以满足题意的实数a 的值为0或94.（5分）（2）若A 中只有一个元素，则由（1）知实数a 的值为0或94. 若=A ∅，则=940a ∆-＜，解得94a ＞.所以满足题意的实数a 的取值范围为=0a 或94a ≥.（10分） 18.【答案】（1）2560x x --+ ＜，2560x x ∴+-＞，160x x ∴-+()()＞，解得6x -＜或1x ＞，∴不等式2560x x --+＜的解集是{|6x x -＜或}1x ＞.（4分）（2）当0a ＜时，=2y a x a x --()()的图象开口向下，与x 轴的交点的横坐标为1=x a ，2=2x ，且2a ＜，20a x a x ∴--()()＞的解集为{}|2x a x ＜＜.（6分）当=0a 时，2=0a x a x --()()，20a x a x ∴--()()＞无解.（8分）当0a ＞时，抛物线=2y a x a x --()()的图象开口向上，与x 轴的交点的横坐标为=x a ，=2x .当=2a 时，原不等式化为2220x -（）＞，解得2x ≠.当2a ＞时，解得2x ＜或x a ＞. 当2a ＜时，解得x a ＜或2x ＞.（10分）综上，当0a ＜时，原不等式的解集是{}|2x a x ＜＜； 当=0a 时，原不等式的解集是∅；当02a ＜＜时，原不等式的解集是{|x x a ＜或}2x ＞； 当=2a 时，原不等式的解集是{}|2x x ≠；当2a ＞时，原不等式的解集是{|2x x ＜或}x a ＞.（12分）19.【答案】23=12y x x -+， 配方得237=416y x -+（）. 因为324x ≤≤，所以min 7=16y ，max =2y .所以7216y ≤.所以7=|216A y y ⎧⎫⎨⎬⎩⎭≤≤.（6分） 由21x m +≥，得21x m -≥， 所以{}2=|1B x x m -≥.（8分） 因为p 是q 的充分条件， 所以A B ⊆. 所以27116m -≤，（10分） 解得实数m 的取值范围是34m ≥或34m -≤.（12分） 20.【答案】（1）由题意知{}=|03A x x ≤≤，{}=|24B x x ≤≤， 则{}=|23A B x x ≤≤.（3分） （2）因为=A B A ，所以B A ⊆.①当=B ∅，即23a a +＞，3a ＞时，B A ⊆成立，符合题意.（8分）②当=B ∅，即23a a +≤，3a ≤时， 由B A ⊆，有0233a a ⎧⎨+⎩≤，≤，解得=0a .综上，实数a 的取值范围为=0a 或3a ＞.（12分）21.【答案】（1）a 、b 为正实数，且11a b+.11a b ∴+（当且仅当=a b 时等号成立）， 即12ab ≥.（3分）2221122=a b ab +⨯ ≥≥（当且仅当=a b 时等号成立），22a b ∴+的最小值为1.（6分）（2）11a b+，a b ∴+.234a b ab - （）≥（）， 2344a b ab ab ∴+-（）≥（），即2344ab ab -（）≥（）， 2210ab ab -+（）≤， 210ab -（）≤，a 、b 为正实数，=1ab ∴.（12分）22.【答案】（1）当=0a 时，原不等式可化为10-＜，所以x ∈R .当0a ＜时，解得1a x a +＞. 当0a ＞时，解得1a x a+＜.综上，当=0a 时，原不等式的解集为R ； 当0a ＜时，原不等式的解集为1|a x x a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭＞； 当0a ＞时，原不等式的解集为1|a x x a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭＜.（6分） （2）由21ax a x x a -+--（）≤，得21ax x x -+≤.因为0x ＞，所以211=1x x a x x x-++-≤， 因为2y x x a --≤在0+∞（，）上恒成立， 所以11a x x+-≤在0+∞（，）上恒成立. 令1=1t x x+-，只需min a t ≤， 因为0x ＞，所以1=11=1t x x +-≥，当且仅当=1x 时等式成立. 所以a 的取值范围是1a ≤.（12分）第二章综合测试一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.下列结论正确的是（ ） A .若ac bc ＞，则a b ＞B .若22a b ＞，则a b ＞C .若a b ＞，0c ＜，则a c b c ++＜D ，则a b ＜2.若++，则a ，b 必须满足的条件是（ ） A .0a b ＞＞ B .0a b ＜＜C .a b ＞D .0a ≥，0b ≥，且a b ≠3.已知关于x 的不等式2680kx kx k -++≥对任意x ∈R 恒成立，则k 的取值范围是（ ） A .01k ≤≤ B .01k ＜≤ C .0k ＜或1k ＞D .0k ≤或1k ≥4.已知“x k ＞”是“311x +＜”的充分不必要条件，则k 的取值范围是（ ） A .2k ≥B .1k ≥C .2k ＞D .1k -≤5.如果关于x 的不等式2x ax b +＜的解集是{}|13x x ＜＜，那么a b 等于（ ） A .81-B .81C .64-D .646.若a ，b ，c 为实数，且0a b ＜＜，则下列命题正确的是（ ） A .22ac bc ＜B .11a b＜C .b aab＞D .22a ab b ＞＞ 7.关于x 的不等式210x a x a -++（）＜的解集中恰有3个整数，则a 的取值范围是（ ）A .45a ＜＜B .32a --＜＜或45a ＜＜C .45a ＜≤D .32a --≤＜或45a ＜≤8.若不等式210x ax ++≥对一切02x ＜＜恒成立，则实数a 的最小值是（ ） A .0B .2-C .52-D .3-9.已知全集=U R ，则下列能正确表示集合{}=012M ，，和{}2=|+2=0N x x x 关系的Venn 图是（ ）A BCD10.若函数1=22y x x x +-（＞）在=x a 处取最小值，则a 等于（ ）A .1+B .1或3C .3D .411.已知ABC △的三边长分别为a ，b ，c ，且满足3b c a +≤，则ca 的取值范围为（ ） A .1c a＞B .02c a＜＜C .13c a ＜＜D .03c a＜＜12.已知a b ＞，二次三项式220ax x b ++≥对一切实数x 恒成立，又0x ∃∈R ，使202=0ax x b ++成立，则22a b a b+-的最小值为（ ）A .1BC .2D .二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中横线上）13.已经1a ＜，则11a+与1a -的大小关系为________. 14.若不等式22210x ax -+≥对一切实数x 都成立，则实数a 的取值范围是________.15.已知三个不等式：①0ab ＞，②c da b--＜，③bc ad ＞.以其中两个作为条件，余下一个作为结论，则可以组成________个正确命题. 16.若不等式2162a bx x b a++＜的对任意0a ＞，0b ＞恒成立，则实数x 的取值范围是________. 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.（本小题满分10分）已知集合{2=|31=0A x ax x ++，}x ∈R ，（1）若A 中只有一个元素，求实数a 的值；（2）若A 中至多有一个元素，求实数a 的取值范围.18.（本小题满分12分）解下列不等式. （1）2560x x --+＜；（2）20a x a x --()()＞.19.（本小题满分12分）已知集合23=|=12A y y x x ⎧-+⎨⎩，324x ⎫⎬⎭≤≤，{}2=|1B x x m +≥.p x A ∈:，q x B ∈:，并且p 是q 的充分条件，求实数m 的取值范围.20.（本小题满分12分）已知集合{}2=|30A x x x -≤，{=|23B x a x a +≤≤，}a ∈R .（1）当=1a 时，求A B ；（2）若=A B A ，求实数a 的取值范围.21.（本小题满分12分）设a 、b 为正实数，且11a b+. （1）求22a b +的最小值；（2）若234a b ab -（）≥（），求ab 的值.22.（本小题满分12分）已知函数=1y ax a -+（）.（1）求关于x 的不等式0y ＜的解集；（2）若当0x ＞时，2y x x a --≤恒成立，求a 的取值范围.。
人教A版高一数学必修第一册全册复习训练题卷含答案解析(39)
人教A 版高一数学必修第一册全册复习训练题卷（共30题）一、选择题（共10题）1. 设函数 f (x ) 的定义城为 A ，如果对于任意的 x 1∈A ，都存在 x 2∈A ，使得 f (x 1)+f (x 2)=2m （其中 m 为常数）成立，则称函数 f (x ) 在 A 上“与常数 m 相关联”．给定函数：① y =1x ；② y =x 3；③ y =(12)x；④ y =lnx ；⑤ y =cosx +1，则在其定义域上与常数 1 相关联的所有函数是 ( ) A ．①②⑤ B ．①③ C ．②④⑤ D ．②④2. 设全集为 R ，A ={x ∣x 2−5x −6>0}，B ={x ∣−2<x <12}，则 ( ) A ． (∁R A )∪B =R B ． A ∪(∁R B )=R C ． (∁R A )∪(∁R B )=RD ． A ∪B =R3. 已知函数 f (x )={log 2(x +1),x ≥11,x <1，则满足 f (2x +1)<f (3x −2) 的实数 x 的取值范围是( ) A ． (−∞,0] B ． (3,+∞) C ． [1,3) D ． (0,1)4. 已知函数 f (x )={x 2+4a,x >01+log a ∣x −1∣,x ≤0（a >0，且 a ≠1）在 R 上单调递增，若关于 x 的方程 ∣f (x )∣=x +3 恰好有两个互异的实数解，则 a 的取值范围是 ( ) A ． (34,1316]B ． (0,34]∪{1316}C ． [14,34)∪{1316}D ． [14,34]∪{1316}5. 已知 cosα+cosβ=12，sinα+sinβ=√32，则 cos (α−β)= ( ) A ． −12B ． −√32C ． 12D ． 16. 已知函数 f (x )=m 2x 2−2mx −√x +1−m 区间 [0,1] 上有且只有一个零点，则正实数 m 的取值范围是 ( ) A ． (0,1]∪[2√3,+∞) B ． (0,√2]∪[3,+∞)C ． (0,√2]∪[2√3,+∞)D ． (0,1]∪[3,+∞)7. 已知函数 f (x )=sin2x ，x ∈[a,b ]，则“b −a ≥π2”是“f (x ) 的值域为 [−1,1]”的 ( )．A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件8. 已知函数 f (x )={(2a −1)x +a,x ≥2log a (x −1),1<x <2 是 (1,+∞) 上的减函数，则实数 a 的取值范围是( ) A ． [25,12)B ． (0,25]C ． (0,12)D ． (0,15]9. 函数 f (x )=lnx +2x −6 的零点一定位于区间 ( ) A ． (1,2) B ． (2,3) C ． (3,4) D ． (4,5)10. 已知 a =log 0.92019，b =20190.9，c =0.92019，则 ( ) A ． a <c <b B ． a <b <c C ． b <a <c D ． b <c <a二、填空题（共10题） 11. 已知函数 f (x )=3x −13x +1，若不式 f (kx 2)+f (2x −1)<0 对任意 x ∈R 恒成立，则实数 k 的取值范围是 ．12. 已知函数 f (x )=lg 1−x 1+x ，若 f (a )=b ，则 f (−a )= ．13. 已知一次函数 f (x ) 满足 f [f (x )]=4x +3，且 f (x ) 在 R 上为单调递增函数，则 f (1)= ．14. 已知 f (x ) 是以 2e 为周期的 R 上的奇函数，当 x ∈(0,e )，f (x )=lnx ，若在区间 [−e,3e ]，关于 x 的方程 f (x )=kx 恰有 4 个不同的解，则 k 的取值范围是 ．15. 已知函数 f (x )={∣x 2+5x +4∣,x ≤0,2∣x −2∣,x >0,若函数 y =f (x )−a∣x∣ 恰有 4 个零点，则实数 a 的取值范围为 ．16. 用二分法求函数 y =f (x ) 在区间 [2,4] 上零点的近似解，经验证有 f (2)f (4)<0．取区间的中点 x 1=2+42=3，计算得 f (2)f (x 1)<0，则此时零点 x 0∈ （填区间）．17. 函数 f (x )=2x 与 g (x )=x 2 的图象交点个数是 个．18. 若某种参考书每本 2.5 元，则购书 x 本这种参考书的费用 y 关于 x 的函数表达式为 ．19.已知13≤k<1，函数f(x)=∣2x−1∣−k的零点分别为x1，x2（x1<x2），函数g(x)=∣2x−1∣−k2k+1的零点分别为x3，x4（x3<x4），则(x4−x3)+(x2−x1)的最小值为．20.已知函数f(x)=∣∣x+1x∣∣，给出下列命题：①存在实数a，使得函数y=f(x)+f(x−a)为奇函数；②对任意实数a，均存在实数m，使得函数y=f(x)+f(x−a)关于x=m对称；③若对任意非零实数a，f(x)+f(x−a)≥k都成立，则实数k的取值范围为(−∞,4]；④存在实数k，使得函数y=f(x)+f(x−a)−k对任意非零实数a均存在6个零点．其中的真命题是．（写出所有真命题的序号）三、解答题（共10题）21.如图，在平面直角坐标系xOy中，点A为单位圆与x轴正半轴的交点，点P为单位圆上的一点，且∠AOP=π4，点P沿单位圆按逆时针方向旋转角θ后到点Q(a,b)．(1) 当θ=π6时，求ab的值；(2) 设θ∈[π4,π2]，求b−a的取值范围．22.化简：(1) 1+sin(α−2π)sin(π+α)−2cos2(−α)；(2) sin(−1071∘)sin99∘+sin(−171∘)sin(−261∘)．23.已知f(x)=e x−ae x是奇函数（e为自然对数的底数）．(1) 求实数a的值；(2) 求函数y=e2x+e−2x−2λf(x)在[0,+∞)上的值域；(3) 令g(x)=f(x)+x，求不等式g((log2x)2)+g(2log2x−3)≥0的解集．24. 已知 α，β 为锐角，tanα=43，cos (α+β)=−√55． (1) 求 cos2α 的值； (2) 求 tan (α−β) 的值．25. 设函数 f (x )=∣x −a ∣，a ∈R ．(1) 当 a =2 时，解不等式：f (x )≥6−∣2x −5∣；(2) 若关于 x 的不等式 f (x )≤4 的解集为 [−1,7]，且两正数 s 和 t 满足 2s +t =a ，求证：1s+8t ≥6．26. 已知 a ≥1，函数 f (x )=sin (x +π4)，g (x )=−sinxcosx −1+√2af (x )．(1) 若 f (x ) 在 [−b,b ] 上单调递增，求正数 b 的最大值； (2) 若函数 g (x ) 在 [0,3π4] 内恰有一个零点，求 a 的取值范围．27. 对于函数 f (x )=ax 2+(b +1)x +b −2，(a ≠0)，若存在实数 x 0，使 f (x 0)=x 0 成立，则称x 0 为 f (x ) 的不动点．(1) 当 a =2，b =−2 时，求 f (x ) 的不动点；(2) 当 a =2 时，函数 f (x ) 在 (−2,3) 内有两个不同的不动点，求实数 b 的取值范围； (3) 若对于任意实数 b ，函数 f (x ) 恒有两个不相同的不动点，求实数 a 的取值范围．28. 用适当的方法表示下列集合：(1) 二次函数 y =x 2−4 的函数值组成的集合； (2) 反比例函数 y =2x 的自变量组成的集合； (3) 不等式 3x ≥4−2x 的解集．29. 已知定义在 R 上的奇函数 f (x )，当 x ≤0 时，f (x )=x 2+4x ．(1) 求出 f (x ) 的解析式，并直接写出 f (x ) 的单调区间． (2) 求不等式 f (x )>3 的解集．30. 经过多年的运作，“双十一”抢购活动已经演变成为整个电商行业的大型集体促销盛宴．为迎接2016 年“双十一”网购狂欢节，某厂家拟投入适当的广告费，对网上所售产品进行促销．经调查测算，该促销产品在“双十一”的销售量 p 万件与促销费用 x 万元满足 p =3−2x+1（其中 0≤x ≤a，a为正常数）．已知生产该产品还需投入成本10+2p万元（不含促销费用），每一件产品的)元，假定厂家的生产能力完全能满足市场的销售需求．销售价格定为(4+20p(1) 将该产品的利润y万元表示为促销费用x万元的函数；(2) 促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？并求出最大利润的值．答案一、选择题（共10题） 1. 【答案】D【解析】若在其定义域上与常数 1 相关联，则满足 f (x 1)+f (x 2)=2． ① y =1x 的定义域为 {x∣ x ≠0}，由 f (x 1)+f (x 2)=2 得 1x 1+1x 2=2，即 1x 2=2−1x 1，当 x 1=12 时，2−1x 1=2−2=0，此时 1x 2=0 无解，不满足条件；② y =x 3 的定义域为 R ，由 f (x 1)+f (x 2)=2 得 (x 1)3+(x 2)3=2，即 x 2=√2−x 133唯一，满足条件；③ y =(12)x 定义域为 R ，由 f (x 1)+f (x 2)=2 得 (12)x 1+(12)x 2=2，即 (12)x 2=2−(12)x 1，当 x 1=−2 时，(12)x 2=2−(12)x 1=2−4=−2，无解，不满足条件；④ y =lnx 定义域为 {x∣ x >0}，由 f (x 1)+f (x 2)=2 得 lnx 1+lnx 2=2，得 lnx 1x 2=2， 即 x 1x 2=e 2，x 2=e 2x 1，满足唯一性，满足条件；⑤ y =cosx +1 的定义域为 R ，由 f (x 1)+f (x 2)=2 得 cosx 1+cosx 2=2，得 cosx 2=2−cosx 1，当 x 1=π3 时，cosx 2=2−cosx 1=2−0=2，无解，不满足条件． 故满足条件的函数是②④．【知识点】余弦函数的性质、对数函数及其性质、幂函数及其性质、指数函数及其性质2. 【答案】D【知识点】交、并、补集运算3. 【答案】B【解析】法一：由 f (x )={log 2(x +1),x ≥11,x <1可得当 x <1 时，f (x )=1；当 x ≥1 时，函数 f (x ) 在 [1,+∞) 上单调递增，且 f (1)=log 22=1， 要使得 f (2x +1)<f (3x −2)，则 {2x +1<3x −2,3x −2>1, 解得 x >3，即不等式 f (2x +1)<f (3x −2) 的解集为 (3,+∞)． 法二：当 x ≥1 时，函数 f (x ) 在 [1,+∞) 上单调递增，且 f (x )≥f (1)=1， 要使 f (2x +1)<f (3x −2) 成立，需 {2x +1≥1,2x +1<3x −2 或 {2x +1<1,3x −2>1,解得 x >3．【知识点】函数的单调性4. 【答案】D【解析】由函数的解析式可知函数在区间(0,+∞)上单调递增，当x≤0时，函数y=∣x−1∣单调递减，由复合函数的单调性法则可知：0<a<1，且函数在x=0处满足：02+4a≥1+log a∣0−1∣，解得：a≥14，故14≤a<1，方程∣f(x)∣=x+3恰有两个不相等的实数解，则函数∣f(x)∣与函数y=x+3的图象有且仅有两个不同的交点，绘制函数∣f(x)∣的图象如图中虚线所示，令1+log a∣x−1∣=0可得：x=1±1a，由14≤a<1可知1+1a>1，1−1a≥−3，则直线y=x+3与函数∣f(x)∣的图象在区间(−∞,0]上存在唯一的交点，原问题转化为函数y=x+3与二次函数y=x2+4a(14≤a<1)在区间(0,+∞)上存在唯一的交点，很明显当4a≤3，即a≤34时满足题意，当直线与二次函数相切时，设切点坐标为(x0,x02+4a)，亦即(x0,x0+3)，由函数的解析式可得：yʹ=2x，故2x0=1，x0=12，则x0+3=72，故切点坐标(12,72)，从而x02+4a=72，即14+4a=72，a=1316．据此可得：a的取值范围是[14,34]∪{1316}．【知识点】函数的零点分布5. 【答案】A【解析】由 cosα+cosβ=12，sinα+sinβ=√32， 两边平方相加得，(cosα+cosβ)2+(sinα+sinβ)2=(12)2+(√32)2=1，所以 2+2cosαcosβ+2sinαsinβ=1， 即 2(cosαcosβ+sinαsinβ)=−1， 所以 cos (α−β)=−12． 故选A ．【知识点】两角和与差的余弦6. 【答案】D【解析】由 f (x )=m 2x 2−2mx −√x +1−m =0， 得 m 2x 2−2mx +1=√x +m ，令 g (x )=m 2x 2−2mx +1=(mx −1)2，ℎ(x )=√x +m ，问题等价于函数 g (x )=(mx −1)2 和 ℎ(x )=√x +m 的图象在区间 [0,1] 上有且只有一个交点． 又函数 g (x )=(mx −1)2 的图象为经过点 (0,1)，对称轴为 x =1m 的抛物线，函数 ℎ(x )=√x +m 在区间 [0,1] 上单调递增，且图象经过点 (0,m ) 和 (1,1+m )． ①当 0<m ≤1 时，1m ≥1，所以函数 g (x )=(mx −1)2 在区间 [0,1] 上单调递减， 又当 0<m ≤1 时，g (1)=(m −1)2<1，ℎ(1)=1+m >1， 所以 g (1)<ℎ(1)，所以函数 g (x )=(mx −1)2 和 ℎ(x )=√x +m 的图象在区间 [0,1] 上有且只有一个交点． ②当 m >1 时，0<1m<1，在同一坐标系内做出两个函数的图象，如图所示． 由图形可得，要使两个函数的图象有且只有一个交点， 则需满足当 m >1 时，g (1)≥ℎ(1)， 即 {m >1,m 2−3m ≥0,解得 m ≥3．综上，正实数 m 的取值范围是 (0,1]∪[3,+∞)．【知识点】函数的零点分布7. 【答案】B【解析】 f (x ) 的最小正周期 T =2π2=π，所以当 x ∈[a,b ] 时，f (x )∈[−1,1]，则 b −a ≥π2 恒成立， 而当 a =0，b =π2时，a −b ≥π2，此时 f (x )∈[0,1]，故“b −a ≥π2”是“f (x ) 的值域为 [−1,1]”的必要而不充分条件．故B 选项符合题意．【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质8. 【答案】B【解析】因为函数 f (x )={(2a −1)x +a,x ≥2log a (x −1),1<x <2 是 (1,+∞) 上的减函数，所以 {2a −1<0,0<a <1,log a 1≥2(2a −1)+a,即 {a <12,0<a <1,a ≤25,解得 0<a ≤25．【知识点】函数的单调性9. 【答案】B【知识点】零点的存在性定理10. 【答案】A【解析】因为 a <0，b >1，0<c <1， 所以 a <c <b ．【知识点】对数函数及其性质、指数函数及其性质二、填空题（共10题） 11. 【答案】 (−∞,−1)【解析】易证 f (x )=3x −13x +1 为奇函数，所以 f (kx 2)+f (2x −1)<0⇒f (kx 2)<f (1−2x )． 因为 f (x )=3x −13x +1=1−23x +1，所以 f (x ) 在 R 上单调递增，所以 f (kx 2)<f (1−2x )⇒kx 2<1−2x ⇒kx 2+2x −1<0 在 R 上恒成立， 所以 {k <0,Δ=4+4k <0, 解得 k <−1，所以实数 k 的取值范围是 (−∞,−1)．【知识点】函数的奇偶性、函数的单调性12. 【答案】 −b【解析】由 1−x1+x >0，得 {1−x >0,1+x >0, 或 {1−x <0,1+x <0,所以 −1<x <1．故 f (x ) 的定义域为 (−1,1)，而 f (−x )=lg 1+x1−x =lg (1−x 1+x )−1=−lg 1−x1+x =−f (x )，所以 f (x ) 为奇函数，所以 f (−a )=−f (a )=−b ． 【知识点】对数函数及其性质13. 【答案】 3【解析】根据题意，函数 f (x ) 是一次函数，设 f (x )=ax 十b ，则 f [f (x )]=a (ax +b )+b =a 2x +ab +b =4x +3，则有 {a 2=4,ab +b =3.解得：{a =2,b =1, 或 {a =−2,b =−3.又由 f (x ) 在 R 上为单调递增函数，则 f (x )=2x +1， 故 f (1)=2+1=3． 【知识点】函数的单调性14. 【答案】 (−∞,−1e]∪[13e ,1e)【知识点】函数的零点分布15. 【答案】(1,2)【解析】考查函数 y =f (x ) 图象与 y =a ∣x ∣ 图象的交点的情况，根据图象，得 a >0． 当 a =2 时，函数 y =f (x ) 与 y =a ∣x ∣ 图象有 3 个交点； 当 y =a ∣x ∣(x ≤0) 图象与 y =∣x 2+5x +4∣ 图象相切时，在整个定义域内，函数 y =f (x ) 图象与 y =a ∣x ∣ 图象有 5 个交点， 此时，由 {y =−ax,y =−x 2−5x −4, 得 x 2+(5−a )x +4=0．由 Δ=0，解得 a =1 或 a =9（舍去）．故当 1<a <2 时，函数 y =f (x ) 与 y =a ∣x ∣ 图象有 4 个交点．【知识点】函数零点的概念与意义、函数图象16. 【答案】 (2,3)【解析】因为 x 1=3，且 f (2)⋅f (3)<0，所以 x 0∈(2,3)． 【知识点】零点的存在性定理17. 【答案】 3【知识点】函数的零点分布18. 【答案】 y =2.5x ，x ∈N ∗【知识点】函数的解析式的概念与求法19. 【答案】log23【解析】f(x)=∣2x−1∣−k=0⇒2x1=1−k，2x2=1+k⇒x1=log2(1−k)，x2=log2(1+k)，g(x)=∣2x−1∣−k2k+1=0⇒2x3=k+12k+1，2x4=3k+12k+1⇒x3=log2k+12k+1，x4=log23k+12k+1，由（1）（2）得(x4−x3)+(x2−x1)=log23k+11−k =log2(41−k−3)，因为13≤k<1，故(x4−x3)+(x2−x1)≥log23．【知识点】函数的零点分布20. 【答案】②③④【知识点】函数的零点分布三、解答题（共10题）21. 【答案】(1) 由三角函数的定义，可得P(cosπ4,sinπ4)，Q(cos(π4+θ),sin(π4+θ))．当θ=π6时，Q(cos5π12,sin5π12)，即a=cos5π12，b=sin5π12，所以ab=cos5π12sin5π12=12×2×cos5π12sin5π12=12×sin5π6=14．(2) 因为Q(cos(π4+θ),sin(π4+θ))，所以a=cos(π4+θ)，b=sin(π4+θ)，由三角恒等变换的公式，化简可得：b−a=sin(π4+θ)−cos(π4+θ)=√2[sin(π4+θ)cosπ4−cos(π4+θ)sinπ4]=√2sinθ,因为θ∈[π4,π2]，所以1≤√2sinθ≤√2．即b−a的取值范围为[1,√2]．【知识点】任意角的三角函数定义、Asin(ωx+ψ)形式函数的性质22. 【答案】(1) −cos2a．(2) 0．【知识点】诱导公式23. 【答案】(1) 因为f(x)的定义域为R，f(x)为奇函数，所以f(0)=0，故1−a=0，即a=1．经检验，满足题意．(2) 设e x−1e x =t（t≥0），则e2x+1e2x=t2+2，设y=ℎ(t)=t2−2λt+2=(t−λ)2+2−λ2，t∈[0,+∞)．①当λ≤0时，ℎ(t)≥ℎ(0)，所以函数的值域为[2,+∞)；②当λ>0时，ℎ(t)≥ℎ(λ)，所以函数的值域为[2−λ2,+∞)．(3) 因为g(x)的定义域为R，f(x)为奇函数，所以g(−x)=f(−x)+(−x)=−f(x)−x=−(f(x)+x)=−g(x)，故g(x)为奇函数．任取x1，x2，且x1<x2，则g(x1)−g(x2)=(e x1−e x2)−(1e x1−1e x2)+(x1−x2)=(e x1−e x2)(1+1e x1+x2)+(x1−x2),因为x1<x2，所以(e x1−e x2)(1+1e x1+x2)<0，x1−x2<0，所以g(x1)−g(x2)<0，所以g(x1)<g(x2)，故g(x)在R上单调递增．由g((log2x)2)+g(2log2x−3)≥0，得g((log2x)2)≥−g(2log2x−3)，即g((log2x)2)≥g(−2log2x+3)，所以(log2x)2≥−2log2x+3，所以(log2x)2+2log2x−3≥0，解得log2x≥1或log2x≤−3，故x≥2或0<x≤18．故原不等式的解集为(0,18]∪[2,+∞)．【知识点】对数函数及其性质、函数的单调性、函数的奇偶性24. 【答案】(1) 因为 tanα=43，tanα=sinαcosα， 所以 sinα=43cosα，因为 sin 2α+cos 2α=1，所以 cos 2α=925， 因此，cos2α=2cos 2α−1=−725．(2) 因为 α，β 为锐角，所以 α+β∈(0,π)， 因为 cos (α+β)=−√55， 所以 sin (α+β)=√1−cos 2(α+β)=2√55．因此 tan (α+β)=−2， 因为 tanα=43，所以 tan2α=2tanα1−tan 2α=−247，因此tan (α−β)=tan [2α−(α+β)]=tan2α−tan (α+β)1+tan2αtan (α+β)=−211.【知识点】两角和与差的正切、二倍角公式25. 【答案】(1) 当 a =2 时，不等式：f (x )≥6−∣2x −5∣，可化为 ∣x −2∣+∣2x −5∣≥6． ① x ≥2.5 时，不等式可化为 x −2+2x −5≥6，所以 x ≥133；② 2≤x <2.5，不等式可化为 x −2+5−2x ≥6，所以 x ∈∅； ③ x <2，不等式可化为 2−x +5−2x ≥6，所以 x ≤13，综上所述，不等式的解集为 (−∞,13]∪[133,+∞)．(2) 不等式 f (x )≤4 的解集为 [a −4,a +4]=[−1,7]， 所以 a =3，所以 1s +8t =13(1s +8t )(2s +t )=13(10+ts +16s t)≥6，当且仅当 s =12，t =2 时取等号．【知识点】绝对值不等式的求解、均值不等式的应用26. 【答案】(1) 由2kπ−π2≤x+π4≤2kπ+π2，k∈Z，得2kπ−3π4≤x≤2kπ+π4，k∈Z．因为f(x)在[−b,b]上单调递增，令k=0，得−3π4≤x≤π4是f(x)的一个单调递增区间，所以{b≤π4,−b≥−3π4,解得b≤π4，可得正数b的最大值为π4．(2) g(x)=−sinxcosx+√2af(x)−1=−sinxcosx+a(sinx+cosx)−1，设t=sinx+cosx+√2sin(x+π4)，当x∈[0,3π4]时，t∈[0,√2]．它的图形如图所示．又sinxcosx=12(t2−1)，则−sinxcosx+a(sinx+cosx)−1=12t2+at−12，t∈[0,√2]，令ℎ(t)=−12t2+at−12，则函数g(x)在[0,3π4]内恰有一个零点，转化为ℎ(t)=−12t2+at−12在[0,√2]内恰有一个零点．①当t=0时，ℎ(t)无零点．②当t=√2时，由√2a−32=0，得a=3√24，把a=3√24代入−12t2+at−12=0中，得−12t2+3√24t−12=0，解得t1=√2，t2=√22，不符合题意．③当0<t<√2时，若Δ=a2−1=0，得a=1，此时t=1，由t=√2sin(x+π4)的图象可知不符合题意；若Δ=a2−1>0，即a>1，设−12t2+at−12=0的两根分别为t1，t2，由t1t2=1，且抛物线的对称轴为t=a≥1，要使ℎ(t)=−12t2+at−12在[0,√2]内恰有一个零点，则两同时为正，且一个根在(0,1)内，另一个根在(√2,+∞)内，所以{ℎ(1)>0,ℎ(√2)>0,解得a>3√24．综上，a的取值范围为(3√24,+∞)．【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质27. 【答案】(1) 当a=2，b=−2时，f(x)=2x2−x−4，所以由 f (x )=x 得 x 2−x −2=0，所以 x =−1 或 x =2， 所以 f (x ) 的不动点为 −1，2．(2) 当 a =3 时，f (x )=2x 2+(b +1)x +b −2， 由题意得 f (x )=x 在 (−2,3) 内有两个不同的不动点，即方程 2x 2+bx +b −2=0 在 (−2,3) 内的两个不相等的实数根， 设 g (x )=2x 2+bx +b −2，所以只须满足 {g (−2)=8−2b +b −2>0,g (3)=18+3b +b −2>0,−2<−b4<3,b 2−8(b −2)>0, 所以 {b <6,b >−4,−12<b <8,b ≠4, 所以 −4<b <4 或 4<b <6．(3) 由题意得：对于任意实数 b ，方程 ax 2+bx +b −2=0 总有两个不相等的实数解， 所以 {a ≠0,Δ=b 2−4a (b −2)>0,所以 b 2−4ab +8a >0 对 b ∈R 恒成立， 所以 16a 2−32a <0，所以 0<a <2．【知识点】函数的零点分布28. 【答案】(1) {y∣ y ≥−4}． (2) {x∣ x ≠0}． (3) {x∣ x ≥45}．【知识点】集合的表示方法29. 【答案】(1) 当 x >0 时，−x <0，f (−x )=(−x )2+4(−x )=x 2−4x ， 因为 f (x ) 是定义在 R 上的奇函数， 所以 f (x )=−f (x )=−x 2+4x ， 所以 f (x )={x 2+4x,x ≤0−x 2+4x,x >0，f (x ) 的单调减区间为 (−∞,−2) 和 (2,+∞)，单调增区间为 (−2,2)．(2) 当 x ≤0 时，x 2+4x >3，即 x 2+4x −3>0， 即 x <−2−2√7 或 x >−2+2√7， 因为 x ≤0，所以 x <−2−2√7， 当 x >0 时，−x 2+4x >3，即 x 2−4x +3<0，即 (x −1)(x −3)<0，解得 1<x <3．综上，不等式f(x)>3的解集为(−∞,−2−2√7)∪(1,3)．【知识点】函数的奇偶性、函数不等式的解法30. 【答案】(1) 由题意知，t=(4+20p)p−x−(10+2p)，将p=3−2x+1代入化简得：y=16−4x+1−x(0≤x≤a)．(2) y=17−(4x+1+x+1)≤17−2√4x+1×(x+1)=13，当且仅当4x+1=x+1，即x=1时，上式取等号，当a≥1时，促销费用投入1万元，厂家的利润最大；当a<1时，y=17−(4x+1+x+1)在[0,a]上单调递增，所以x=a时，函数有最大值，即促销费用投入a万元时，厂家的利润最大．综上，当a≥1时，促销费用投入1万元，厂家的利润最大；当a<1时，促销费用投入a万元时，厂家的利润最大．【知识点】均值不等式的实际应用问题、建立函数表达式模型。
新人教A版必修1高一数学函数模型的应用实例专项练习(带答案)
新人教A版必修1高一数学函数模型的应用实例专项练习（带答案）函数的学习贯穿了整个高中阶段，以下是高一数学函数模型的应用实例专项练习，请大家认真练习。
一、选择题1.随着海拔高度的升高，大气压强下降，空气中的含氧量也随之下降，且含氧量y(g/m3)与大气压强x(kPa)成正比例函数关系. 当x=36 kPa时，y=108 g/m3，则y与x的函数解析式为()A.y=3x(x0)B.y=3xC.y=13x(x0)D.y=13x[答案] A2.某厂日产手套总成本y(元)与手套日产量x(副)的关系式为y=5x+4000，而手套出厂价格为每副10元，则该厂为了不亏本日产手套量至少为()A.200副B.400副C.600副D.800副[答案] D[解析] 由10x-y=10x-(5x+4000)0，得x800.3.甲、乙两人在一次赛跑中，路程s与时间t的函数关系如图所示，则下列说法正确的是()A.甲比乙先出发B.乙比甲跑的路程多C.甲、乙两人的速度相同D.甲先到达终点[答案] D[解析] 由图象知甲所用时间短，所以甲先到达终点.4.某个体企业的一个车间有8名工人，以往每人年薪为1万元，从今年起，计划每人的年薪比上一年增加20%;另外，每年新招3名工人，每名新工人的第一年年薪为8千元，第二年起与老工人的年薪相同.若以今年为第一年，那么，将第n 年企业付给工人的工资总额y(万元)表示成n的函数，其解析式为()A.y=(3n+5)1.2n+2.4B.y=81.2n+2.4nC.y=(3n+8)1.2n+2.4D.y=(3n+5)1.2n-1+2.4[答案] A5.(2021～2021潍坊高一检测)下表显示出函数值y随自变量x变化的一组数据，由此判断它最可能的函数模型是()x45678910y15171921232527A.一次函数模型B.二次函数模型C.指数函数模型D.双数函数模型[答案] A[解析] 由表知自变量x变化1个单位时，函数值y变化2个单位，所以为一次函数模型.6.一天，亮亮发烧了，早晨6时他烧得很厉害，吃过药后感觉好多了，中午12时亮亮的体温基本正常，但是下午18时他的体温又开始上升，直到半夜24时亮亮才感觉身上不那么发烫了.则下列各图能基本上反映出亮亮一天(0～24时)体温的变化情况的是()[答案] C[解析] 从0时到6时，体温上升，图象是上升的，排除选项A;从6时到12时，体温下降，图象是下降的，排除选项B;从12时到18时，体温上升，图象是上升的，排除选项D.二、填空题7.现测得(x，y)的两组值为(1,2)，(2,5)，现有两个拟合模型，甲：y=x2+1，乙：y=3x-1，若又测得(x，y)的一组对应值为(3,10.2)，则应选用________作为拟合模型较好.[答案] 甲[解析] 代入x=3，可得甲y=10，乙，y=8.显然选用甲作为拟合模型较好.8.(2021～2021徐州高一检测)用清水洗衣服，若每次能洗去污垢的34，要使存留的污垢不超过1%，则至少要清洗的次数是________(lg20.3010).[答案] 4[解析] 设至少要洗x次，则(1-34)x1100，x1lg23.322，所以需4次.9.为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒，已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y(mg)与时间t(h)成正比;药物释放完毕后，y与t的函数关系为y=(116)t-a(a为常数)其图象如图.根据图中提供的信息，回答问题：(1)从药物释放开始，每立方米空气中的含药量y(mg)与时间t(h)之间的关系式为________.(2)据测定，当空气中每立方米的含药量降到0.25mg以下时，学生才可进入教室，那么从药物释放开始至少经过______小时，学生才能回到教室.[答案] (1)y=10t0110116t-110 t110 (2)0.6[解析] (1)设0110时，y=kt，将(0.1,1)代入得k=10，又将(0.1,1)代入y=(116)t-a中，得a=110，y=10t 0110116t-110t110.(2)令(116)t-1100.25得t0.6，t的最小值为0.6.三、解答题10.为了保护学生的视力，课桌椅子的高度都是按一定的关系配套设计的.研究表明：假设课桌的高度为ycm，椅子的高度为xcm，则y应是x的一次函数，下表列出了两套符合条件的课桌椅的高度：第一套第二套椅子高度x(cm)40.037.0桌子高度y(cm)75.070.2(1)请你确定y与x的函数关系式(不必写出x的取值范围).(2)现有一把高42.0cm的椅子和一张高78.2cm的课桌，它们是否配套?为什么?[解析] (1)根据题意，课桌高度y是椅子高度x的一次函数，故可设函数关系式为y=kx+b.将符合条件的两套课桌椅的高度代入上述函数关系式，得40k+b=75，37k+b=70.2，k=1.6，b=11.y与x的函数关系式是y=1.6x+11.(2)把x=42代入上述函数关系式中，有y=1.642+11=78.2.给出的这套桌椅是配套的.[点评] 本题是应用一次函数模型的问题，利用待定系数法正确求出k，b是解题的关键.11.某地西红柿从2月1日起开始上市，通过市场调查，得到西红柿种植成本Q(单位：元/102kg)与上市时间t(单位：天)的数据如下表：时间t50110250种植成本Q150108150(1)根据上表数据，从下列函数中选取一个函数描述西红柿种植成本Q与上市时间t的变化关系.Q=at+b，Q=at2+bt+c，Q=abt，Q=alogbt.(2)利用你选取的函数，求西红柿种植成本最低时的上市天数及最低种植成本.[解析] (1)由提供的数据知道，描述西红柿种植成本Q与上市时间t的变化关系的函数不可能是常数函数，从而用函数Q=at+b，Q=abt，Q=alogbt中的任意一个进行描述时都应有a0，而此时上述三个函数均为单调函数，这与表格所提供的数据不吻合.所以，选取二次函数Q=at2+bt+c进行描述.以表格所提供的三组数据分别代入Q=at2+bt+c得到，150=2 500a+50b+c，108=12 100a+110b+c，150=62 500a+250b+c.解得a=1200，b=-32，c=4252.所以，描述西红柿种植成本Q与上市时间t的变化关系的函数为Q=1200t2-32t+4252.(2)当t=--3221200=150天时，西红柿种植成本最低为Q=12021502-32150+4252=100 (元/102kg).12.某企业生产A，B两种产品，根据市场调查与与预测，A 产品的利润与投资成正比，其关系如图1;B产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图2(注：利润和投资单位：万元).(1)分别将A，B两种产品的利润表示为投资的函数关系式;(2)已知该企业已筹集到18万元资金，并将全部投入A，B两种产品的生产.①若平均投入生产两种产品，可获得多少利润?②问：如果你是厂长，怎样分配这18万元投资，才能使该企业获得最大利润?其最大利润约为多少万元?[解析] (1)设A，B两种产品分别投资x万元，x0，所获利润分别为f(x)万元、g(x)万元.由题意可设f(x)=k1x，g(x)=k2x.根据图象可解得f(x)=0.25x(x0).g(x)=2x(x0).(2)①由(1)得f(9)=2.25，g(9)=29=6.总利润y=8.25万元.②设B产品投入x万元，A产品投入(18-x)万元，该企业可获总利润为y万元.则y=14(18-x)+2x，018.令x=t，t[0,32]，则y=14(-t2+8t+18)=-14(t-4)2+172.当t=4时，ymax=172=8.5，此时x=16,18-x=2.当A，B两种产品分别投入2万元、16万元时，可使该企业获得最大利润，约为8.5万元.高一数学函数模型的应用实例专项练习就为大家分享到这里，希望大家可以认真掌握知识点。
高中数学 1.2.1函数的概念同步测试 新人教A版必修1-新人教A版高一必修1数学试题
第一章1.21.2.1函数的概念基础巩固一、选择题1．下列四种说法中，不正确的是( )A ．在函数值域中的每一个数，在定义域中都至少有一个数与之对应B ．函数的定义域和值域一定是无限集合C ．定义域和对应关系确定后，函数的值域也就确定了D ．若函数的定义域中只含有一个元素，则值域也只含有一个元素 [答案] B2．f (x )＝1＋x ＋x1－x 的定义域是( )A ．[－1，＋∞)B ．(－∞，－1]C ．RD ．[－1,1)∪(1，＋∞)[答案] D[解析] ⎩⎪⎨⎪⎧1＋x ≥01－x ≠0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ≥－1，x ≠1，故定义域为[－1,1)∪(1，＋∞)，选D.3．各个图形中，不可能是函数y ＝f (x )的图象的是( )[答案] A[解析] 因为垂直x 轴的直线与函数y ＝f (x )的图象至多有一个交点，故选A. 4．(2015·曲阜二中月考试题)集合A ＝{x |0≤x ≤4}，B ＝{y |0≤y ≤2}，下列不表示从A 到B 的函数是( )A ．f x →y ＝12xB ．f x →y ＝13xC ．f x →y ＝23xD ．f x →y ＝x[答案] C[解析] 对于选项C ，当x ＝4时，y ＝83＞2不合题意．故选C.5．下列各组函数相同的是( )A ．f (x )＝x 2－1x －1与g (x )＝x ＋1B ．f (x )＝－2x 3与g (x )＝x ·－2xC ．f (x )＝2x ＋1与g (x )＝2x 2＋xxD ．f (x )＝|x 2－1|与g (t )＝t 2－12[答案] D[解析] 对于A.f (x )的定义域是(－∞，1)∪(1，＋∞)，g (x )的定义域是R ，定义域不同，故不是相同函数；对于B.f (x )＝|x |·－2x ，g (x )＝x ·－2x 的对应法则不同；对于C ，f (x )的定义域为R 与g (x )的定义域是{x |x ≠0}，定义域不同，故不是相同函数；对于D.f (x )＝|x 2－1|，g (t )＝|t 2－1|，定义域与对应关系都相同，故是相同函数，故选D.6．函数y ＝f (x )的图象与直线x ＝a 的交点个数有( ) A ．必有一个 B ．一个或两个 C ．至多一个 D ．可能两个以上[答案] C[解析] 当a 在f (x )定义域内时，有一个交点，否则无交点． 二、填空题 7．已知函数f (x )＝11＋x，又知f (t )＝6，则t ＝________. [答案] －56[解析] f (t )＝1t ＋1＝6.∴t ＝－568．用区间表示下列数集： (1){x |x ≥1}＝________； (2){x |2＜x ≤4}＝________； (3){x |x ＞－1且x ≠2}＝________.[答案] (1)[1，＋∞) (2)(2,4] (3)(－1,2)∪(2，＋∞) 三、解答题9．求下列函数的定义域，并用区间表示：(1)y ＝x ＋12x ＋1－1－x ；(2)y ＝5－x|x |－3.[分析] 列出满足条件的不等式组⇒解不等式组⇒求得定义域[解析] (1)要使函数有意义，自变量x 的取值必须满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≠01－x ≥0，解得x ≤1且x ≠－1，即函数定义域为{x |x ≤1且x ≠－1}＝(－∞，－1)∪(－1,1]．(2)要使函数有意义，自变量x 的取值必须满足⎩⎪⎨⎪⎧5－x ≥0|x |－3≠0，解得x ≤5，且x ≠±3，即函数定义域为{x |x ≤5，且x ≠±3}＝(－∞，－3)∪(－3,3)∪(3,5]． [规律总结] 定义域的求法：(1)如果f (x )是整式，那么函数的定义域是实数集R ；(2)如果f (x )是分式，那么函数的定义域是使分母不为0的实数的集合；(3)如果f (x )为偶次根式，那么函数的定义域是使根号内的式子大于或等于0的实数的集合；(4)如果f (x )是由几个部分的数学式子构成的，那么函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数的集合．(5)如果函数有实际背景，那么除符合上述要求外，还要符合实际情况． 函数定义域要用集合或区间形式表示，这一点初学者易忽视． 10．已知函数f (x )＝x ＋3＋1x ＋2. (1)求函数的定义域； (2)求f (－3)，f (23)的值；(3)当a ＞0时，求f (a )，f (a －1)的值．[解析] (1)使根式x ＋3有意义的实数x 的集合是{x |x ≥－3}，使分式1x ＋2有意义的实数x 的集合是{x |x ≠－2}，所以这个函数的定义域是{x |x ≥－3}∩{x |x ≠－2}＝{x |x ≥－3，且x ≠－2}． (2)f (－3)＝－3＋3＋1－3＋2＝－1； f (23)＝23＋3＋123＋2＝113＋38＝38＋333. (3)因为a ＞0，故f (a )，f (a －1)有意义．f (a )＝a ＋3＋1a ＋2；f (a －1)＝a －1＋3＋1a －1＋2＝a ＋2＋1a ＋1.能力提升一、选择题1．给出下列从A 到B 的对应：①A ＝N ，B ＝{0,1}，对应关系是：A 中的元素除以2所得的余数 ②A ＝{0,1,2}，B ＝{4,1,0}，对应关系是f ：x →y ＝x 2③A ＝{0,1,2}，B ＝{0,1，12}，对应关系是f ：x →y ＝1x其中表示从集合A 到集合B 的函数有( )个．( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．0 [答案] B[解析] 由于③中，0这个元素在B 中无对应元素，故不是函数，因此选B. 2．(2012·高考某某卷)下列函数中，不满足：f (2x )＝2f (x )的是( ) A ．f (x )＝|x | B ．f (x )＝x －|x | C ．f (x )＝x ＋1 D ．f (x )＝－x[答案] C[解析] f (x )＝kx 与f (x )＝k |x |均满足：f (2x )＝2f (x )得：A ，B ，D 满足条件． 3．(2014～2015惠安中学月考试题)A ＝{x |0≤x ≤2}，B ＝{y |1≤y ≤2}，下列图形中能表示以A 为定义域，B 为值域的函数的是( )[答案] B[解析] A 、C 、D 的值域都不是[1,2]，故选B. 4．(2015·某某高一检测)函数f (x )＝11－2x 的定义域为M ，g (x )＝x ＋1的定义域为N ，则M ∩N ＝( )A ．[－1，＋∞)B ．[－1，12)C ．(－1，12)D ．(－∞，12)[答案] B 二、填空题5．若函数f (x )的定义域为[2a －1，a ＋1]，值域为[a ＋3,4a ]，则a 的取值X 围是________．[答案] (1,2)[解析] 由区间的定义知⎩⎪⎨⎪⎧2a －1＜a ＋1，a ＋3＜4a ⇒1＜a ＜2.6．函数y ＝f (x )的图象如图所示，那么f (x )的定义域是________；其中只与x 的一个值对应的y 值的X 围是________．[答案] [－3,0]∪[2,3] [1,2)∪(4,5] [解析] 观察函数图象可知f (x )的定义域是[－3,0]∪[2,3]；只与x 的一个值对应的y 值的X 围是[1,2)∪(4,5]． 三、解答题7．求下列函数的定义域： (1)y ＝31－1－x；(2)y ＝x ＋10|x |－x；(3)y ＝2x ＋3－12－x ＋1x.[解析] (1)要使函数有意义，需⎩⎨⎧1－x ≥0，1－1－x ≠0⇔⎩⎪⎨⎪⎧x ≤1，x ≠0⇔x ≤1且x ≠0，所以函数y ＝31－1－x的定义域为(－∞，0)∪(0,1]．(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≠0，|x |－x ≠0得⎩⎪⎨⎪⎧x ≠－1，|x |≠x ，∴x ＜0且x ≠－1，∴原函数的定义域为{x |x ＜0且x ≠－1}． (3)要使函数有意义，需⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3≥0，2－x ＞0，x ≠0.解得－32≤x ＜2且x ≠0，所以函数y ＝2x ＋3－12－x ＋1x 的定义域为[－32，0)∪(0,2)．[点评] 求给出解析式的函数的定义域的步骤为：(1)列出使函数有意义的x 所适合的式子(往往是一个不等式组)；(2)解这个不等式组；(3)把不等式组的解表示成集合(或者区间)作为函数的定义域．8．已知函数f (x )＝1＋x 21－x 2，(1)求f (x )的定义域． (2)若f (a )＝2，求a 的值．(3)求证：f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x＝－f (x )． [解析] (1)要使函数f (x )＝1＋x 21－x 2有意义，只需1－x 2≠0，解得x ≠±1，所以函数的定义域为{x |x ≠±1}． (2)因为f (x )＝1＋x21－x2，且f (a )＝2，所以f (a )＝1＋a 21－a 2＝2，即a 2＝13，解得a ＝±33. (3)由已知得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 21－⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＝x 2＋1x 2－1，－f (x )＝－1＋x 21－x 2＝x 2＋1x 2－1， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝－f (x )．。
高一数学 集合练习题 新人教A版必修1 试题
心尺引州丑巴孔市中潭学校 集合练习题1．集合}1,1{-=A ，}1|{==mx x B ，且A B A =⋃，那么m 的值为 〔 〕 A ．1B ．—1C ．1或—1D ．1或—1或0 2．设集合{}21<≤-=x x M ，{}0≤-=k x x N ，假设M N M =，那么k 的取值范围〔 〕 〔A 〕(1,2)- 〔B 〕[2,)+∞ 〔C 〕(2,)+∞ (D)]2,1[-3．如图，U 是全集，M 、P 、S 是U 的3个子集，那么阴影局部所表示的集合是 〔 〕A 、()M P S B 、 ()M P S C 、()u M P C S D 、 ()u M P C S 4．设{}022=+-=q px x x A ，{}05)2(62=++++=q x p x x B ，假设⎭⎬⎫⎩⎨⎧=21B A ，那么=B A 〔 〕 〔A 〕⎭⎬⎫⎩⎨⎧-4,31,21 〔B 〕⎭⎬⎫⎩⎨⎧-4,21 〔C 〕⎭⎬⎫⎩⎨⎧31,21 (D)⎭⎬⎫⎩⎨⎧21 5．函数22232x y x x -=--的定义域为〔 〕 A 、(],2-∞ B 、(],1-∞ C 、11,,222⎛⎫⎛⎤-∞ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦ D 、11,,222⎛⎫⎛⎫-∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 6. 设，假设{}1I C A =-，那么a=__________。
7．集合A =｛1，2｝，B =｛x x A ⊆｝，那么集合B= . 8．集合那么集合A B =9．50名学生做的物理、化学两种实验，物理实验做的正确得有40人，化学实验做的正确的有31人，两种实验都做错的有4人，那么这两种实验都做对的有 人.10．集合，其中a ，d ，，假设A=B ，求q 的值。
11．全集U={}22,3,23a a +-，假设A={},2b ，{}5U C A =，求实数的a ,b 值12．假设集合S={}23,a ，{}|03,T x x a x Z =<+<∈且S ∩T={}1，P=S ∪T,求集合P 的所有子集13．集合A={}37x x ≤≤，B={x|2<x<10}，C={x | x<a }，全集为实数集R.(1) 求A ∪B ，(C R A)∩B ；(2) 如果A ∩C ≠φ，求a 的取值范围。
人教版A版27课标高中数学必修第一册第三章综合测试试题试卷含答案
第三章综合测试一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.某同学用二分法求方程338=0x x +-在()12x ∈，内近似解的过程中，设()=338x f x x +-，且计算()10f ＜，()20f ＞，()1.50f ＞，则该同学在第二次应计算的函数值为（ ）A .()0.5fB .()1.125fC .()1.25fD .()1.75f2.函数()22=log f x x x +的零点所在的区间为（ ）A .1142⎛⎫ ⎪⎝⎭，B .112⎛⎫ ⎪⎝⎭，C.(D.)23.有一组实验数据如表所示：x 1 2 3 4 5 y1.55.913.424.137下列所给函数模型较适合的是（ ） A .()=log 1a y x a ＞B .()=1y ax b a +＞C .()2=0y ax b a +＞D .()=log 1a y x b a +＞4.根据表中的数据，可以判定方程2=0x e x --的一个根所在的区间为（ ）x 1-0 1 2 3 x e0.37 1 2.72 7.39 20.09 2x +1 23 45A .()1-，B .()01，C .()12，D .()23，5.某家具的标价为132元，若降价以九折出售（即优惠10％），仍可获利10％（相对进货价），则该家具的进货价是（ ） A .108元B .105元C .106元D .118元6.有一个盛水的容器，由悬在它上空的一根水管匀速向容器内注水，直至把容器注满.在注水过程中，时刻t 与水面高度y 的函数关系如图所示，图中PQ 为一线段，则与之对应的容器的形状是图中的（ ）AB CD7.已知()()()=2f x x a x b ---，并且α，β是函数()f x 的两个零点，则实数a ，b ，α，β的大小关系可能是（ ）A .a b αβ＜＜＜B .a b αβ＜＜＜C .a b αβ＜＜＜D .a b αβ＜＜＜8.函数()2230=2ln 0x x x f x x x ⎧+-⎨-+⎩，≤，，＞的零点个数为（ ）A .0B .1C .2D .39.已知函数()231=24log f x x x x-+++，若()113x ∈，，()23x ∈+∞，，则（ ） A.()10f x ＞，()20f x ＜ B.()10f x ＜，()20f x ＞ C.()10f x ＜，()20f x ＜D.()10f x ＞，()20f x ＞10.如图所示，ABC △为等腰直角三角形，直线l 与AB 相交且l AB ⊥，直线l 截这个三角形所得的位于直线右方的图形面积为y ，点A 到直线l 的距离为x ，则()=y f x 的图像大致为四个选项中的（ ）AB CD11.设某公司原有员工100人从事产品A 的生产，平均每人每年创造产值t 万元（t 为正常数）.公司决定从原有员工中分流()0100x x ＜＜人去进行新开发的产品B 的生产.分流后，继续从事产品A 生产的员工平均每人每年创造产值在原有的基础上增长了1.2x ％.若要保证产品A 的年产值不减少，则最多能分流的人数是（ ）A .15 B .16 C .17 D .18 12.已知函数()2=e x xf x --（e 为自然对数的底数），则方程()21=0f x -的实数根的个数为（ ）A .1B .2C .3D .4二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.用二分法求图像连续不断的函数()f x 在区间[]15，上的近似解，验证()()150f f ⋅＜，给定精确度=0.01ε，取区间()15，的中点115==32x +，计算得()()110f f x ⋅＜，()()150f x f ⋅＞，则此时零点0x ∈________.（填区间）14.已知函数()2=log 2x f x x m +-有唯一的零点，若它的零点在区间()12，内，则实数m 的取值范围是________.15.已知关于x 的方程210=x a -有两个不同的实根1x ，2x ，且21=2x x ，则实数=a ________.16.某市出租车收费标准如下：起步价为8元，起步里程为3km （不超过3km 按起步价付费）；超过3km 但不超过8km 时，超过部分按每千米2.15元收费；超过8km 时，超过部分按每千米2.85元收费.另每次乘坐需付燃油附加费1元.现某人乘坐一次出租车付费22.6元，则此次出租车行驶的路程为________km . 三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（本小题满分10分）某公司制定了一个激励销售人员的奖励方案：当销售利润不超过10万元时，按销售利润的16％进行奖励；当销售利润超过10万元时，若超出A 万元，则超出部分按()52log 1A +万元进行奖励.记奖金为y （单位：万元），销售利润为x （单位：万元）. （1）写出该公司激励销售人员的奖励方案的函数模型.（2）如果业务员老张获得5.6万元的奖金，那么他的销售利润是多少万元？18.（本小题满分12分）已知函数()=211f x x x --+. （1）请在所给的平面直角坐标系中画出函数()f x 的图像.（2）根据函数()f x 的图像回答下列问题：（回答下述3个小题都只需直接写出结果，不需给出演算步骤） ①求函数()f x 的单调区间；②求函数()f x 的值域；③求关于x 的方程()=2f x 在区间[]02，上解的个数.19.（本小题满分12分）已知函数()=e 1x f x -，()3=1exg x +.（1）求函数()g x 的值域；（2）求满足方程()()=0f x g x -的x 的值.20.（本小题满分12分）《污水综合排放标准》规定：污水排放企业进排污口的污水pH 值正常范围为[)69，.某化工企业对本单位污水出水口的pH 值进行全天24小时检测，根据统计资料发现pH 值的大小y 与检测时间点x 之间的函数图像如图所示，AB ，CD 为两条直线段，曲线BC 为函数y b +图像的一部分，其中()08A ，，()46B ，，()2010C ，，()248D ，.（1）请写出pH 值的大小y 与检测时间点x 之间的函数解析式；（2）试求该化工企业在一天内排放pH 值超标污水的时长.21.（本小题满分12分）已知函数()2=283f x x x m -++为R 上的连续函数.（1）若=4m -，试判断()=0f x 在()11-，上是否有根存在.若没有，请说明理由；若有，请在精确度为0.2（即根所在区间长度小于0.2）的条件下，用二分法求出使这个根0x 存在的区间.（2）若函数()f x 在区间[]11-，上存在零点，求实数m 的取值范围.22.（本小题满分12分）已知函数()()2=log 421x x f x a a +⋅++，x ∈R . （1）若=1a ，求方程()=3f x 的解集；（2）若方程()=f x x 有两个不同的实数根，求实数a 的取值范围.第三章综合测试答案解析一、 1.【答案】C【解析】()10f ＜，()20f ＞，()1.50f ＞，∴在区间()11.5，内函数()=338x f x x +-存在一个零点，因此在第二次应计算的函数值所对应的x 值为1 1.5=1.252+，故选C . 2.【答案】B【解析】 函数()22=log f x x x +在0x ＞时是连续单调递增函数，且()21=1log 1=10f +＞，21113=log =02424f ⎛⎫+- ⎪⎝⎭，()1102ff ⎛⎫∴⋅ ⎪⎝⎭＜.∴函数()22=log f x x x +的零点所的在区间是112⎛⎫ ⎪⎝⎭. 3.【答案】C【解析】由所给数据可知y 随x 的增大而增大，且增长速度越来越快，而A ，D 中的函数增长速度越来越慢，B 中的函数增长速度保持不变，故选C . 4.【答案】C【解析】设()()=2x f x e x -+，则由题设知()1=0.280f -＜，()2=3.390f ＞，故方程2=0x e x --的一个根在区间()12，内.故选C . 5.【答案】A【解析】由题意，132元打9折，售价为()1320.9=118.8⨯元.因为这个价格相对进货价，获利10％，也就是说它是进货价的110％，所以进货价为()110118.8=108÷％元，故选A . 6.【答案】B【解析】由题中函数图像知，水面高度y 上升的速度先是由慢到快，后来速度保持不变，结合容器形状知选B . 7.【答案】C【解析】α ，β是函数()f x 的两个零点，()()==0f f αβ∴.又()()==20f a f b - ＜，结合二次函数的图像（如图所示）可知a ，b 必在α，β之间.故选C .【解析】当0x ≤时，令223=0x x +-，得=3x -；当0x ＞时，令2ln =0x -+，得2=e x .所以函数有2个零点.故选C . 9.【答案】A【解析】()()23=15log f x x x --+- 在()1+∞，上单调递减，且()3=0f ，()10f x ∴＞，()20f x ＜，故选A .10.【答案】C【解析】设=AB a ，则22221111==2222y a x x a --+，其图像为抛物线的一段，开口向下，顶点在y 轴上方.故选C . 11.【答案】B【解析】由题意，分流前产品A 的年产值为100t 万元，分流x 人后，产品A 的年产值为()()1001 1.2x x t-+％万元.由题意，得()()01001001 1.2100x x x x t t ∈⎧⎪⎨-+⎪⎩N ＜＜，≥，，％解得5003x ＜≤，x ∈N ，所以x 的最大值为16.故选B .12.【答案】B 【解析】由函数()2=ex xf x --，可知方程()21=0f x -，即()1=2f x ，即21e =2x x --，整理可得2=ln 2x x ---，即2ln 2=0x x -+或2ln 2=0x x --.在方程2ln 2=0x x -+中，1=14ln 20∆-＜，方程无实数解；在方程2ln 2=0x x --中，2=14ln 20∆+＞，方程有2个不等的实数解.综上可得，方程()21=0f x -的实数根的个数为2.故选B . 二、13.【答案】()13，【解析】由()()150f f ⋅＜，()()110f f x ⋅＜及()()150f x f ⋅＞可知()1f 与()1f x 异号，()1f x 与()5f 同号，则()011x x ∈，即()013x ∈，.14.【答案】()25，【解析】由题意得()f x 在()0+∞，上单调递增，且()()120f f ⋅＜，即()()250m m --＜，解得25m ＜＜. 15.【答案】6【解析】由210=x a -得2=10x a ±，由题设知12=10x a -，22=10x a +.因为21=2x x ，所以()211222=2=2x x x ，所以()210=10a a -+，解得=15a 或=6a .因为100a -＞，所以=15a 不合题意，舍去，所以=6a .【解析】设乘客每次乘坐出租车需付费用为()f x 元，则由题意得()(]()(]()()8103=93 2.153895 2.158 2.858.x f x x x x x ⎧+∈⎪+-∈⎨⎪++-∈+∞⎩⨯⨯⨯，，，，，，，，令()=22.6f x ，显然()()95 2.158 2.85=22.68x x ⨯⨯++-＞，解得=9x . 三、17.【答案】（1）由题意得()50.16010= 1.62log 910.x x y x x ⎧⎪⎨+-⎪⎩，＜≤，，＞（2）由(]010x ∈，，0.16 1.6x ≤，而=5.6y 可知，10x ＞. ()51.62log 9=5.6x ∴+-，解得=34x .∴老张的销售利润是34万元.18.【答案】（1）当10x -≥，即1x ≥时，()()=211=1f x x x x --+-； 当10x -＜，即1x ＜时，()()=211=33f x x x x --+-.()f x 的图像如图所示.（2）①函数()f x 的单调递增区间为[)1+∞，；函数()f x 的单调递减区间为(]1-∞，. ②函数()f x 的值域为[)0+∞，.③方程()=2f x 在区间[]02，上解的个数为1. 19.【答案】（1）()31=1=31e e x x g x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，因为0x ≥，e 1x≥，所以101e x ⎛⎫ ⎪⎝⎭＜≤，1033e x⎛⎫ ⎪⎝⎭＜≤，即()14g x ＜≤，故()g x 的值域是(]14，. （2）由()()=0f x g x -，得3e 2=0ex x--.当0x ≤时，方程无解； 当0x ＞时，3e 2=0ex x--，整理得()2e 2e 3=0x x --， 即()()e 1e 3=0x x +-.因为e 0x ＞，所以e =3x ，即=ln3x . 故满足方程()()=0f x g x -的x 的值为ln3.20.【答案】（1）()08A ，，()46B ，， ∴线段AB 的方程是()1=8042y x x -+≤≤.将()46B ，，()2010C ，的坐标代入y b +，得b b ⎧⎪⎨+⎪⎩，，解得=4=6.a b -⎧⎨⎩，故()6420y x +≤≤.()2010C ，，()248D ，，∴线段CD 的方程是()1=2020242y x x -+≤≤.综上，y 与x之间的函数解析式为18042=642012020242.x x y x x x ⎧-+⎪+⎪-+⎪⎩，≤≤，，≤≤，，≤≤ （2）由()08A ，，()46B ，知在AB 段排放污水的pH 值不超标； 在BC6=9+，解得=13x ， 故[)1320x ∈，时排放污水的pH 值超标， 时长是()2013=7-小时；在CD 段，令120=92x -+，解得=22x ，故[]2022x ∈，时排放污水的pH 值超标，时长是()2220=2-小时.因此该化工企业在一天内排放pH 值超标污水9小时.21.【答案】（1）当=4m -时，()=0f x ，即()2=281=0f x x x --. 可以求出()1=9f -，()1=7f -，则()()110f f -⋅＜.又()f x 为R 上的连续函数，()=0f x ∴在()11-，上必有根存在.取中点0，计算得()0=10f -＜，()()100f f -⋅＜，∴根()010x ∈-，，取其中点12-，计算得17=022f ⎛⎫- ⎪⎝⎭＞，∴根0102x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，，取其中点14-，计算得19=048f ⎛⎫- ⎪⎝⎭， ∴根0104x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，，取其中点18-，计算得11=0832f ⎛⎫- ⎪⎝⎭＞， ∴根0108x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，，区间长度11=0.285，符合要求.故符合要求的根0x 存在的区间为108⎛⎫- ⎪⎝⎭，.（2）()2=283f x x x m -++为开口向上的抛物线，对称轴为8==222x ⨯--， ∴在区间[]11-，上，函数()f x 单调递减.又()f x 在区间[]11-，上存在零点，只可能()()1010f f ⎧-⎪⎨⎪⎩≥，≤，即 28302830m m +++⎧⎨-++⎩≥，≤，解得133m -≤≤. 故所求实数m 的取值范围是133m -≤≤.22.【答案】（1）当=1a 时，()()2=log 422x x f x ++.由()=3f x ，得3422=2x x ++，所以426=0x x +-，因此()()2322=0x x +-，解得=1x . 所以方程()=3f x 的解集为{}1.（2）方程()2log 421=x x a a x +⋅++有两个不同的实数根， 即421=2x x x a a +⋅++有两个不同的实数根.高中数学 必修第一册 6 / 6 设=2x t ，则()211=0t a t a +-++在()0+∞，上有两个不同的解.令()()2=11g t t a t a +-++，由已知可得 ()()()200102=1410g a a a ⎧⎪-⎪-⎨⎪⎪∆--+⎩＞，＞，＞，解得13a --＜＜ 故实数a的取值范围为(13--，.。
人教A版高中数学必修一 1-1-1同步练习题(含答案解析)
1.1.1一、选择题1．方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 3x ＋y ＝22x －3y ＝27的解集是( ) A.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3y ＝－7 B ．{x ，y |x ＝3且y ＝－7}C ．{3，－7}D ．{(x ，y )|x ＝3且y ＝－7}[答案] D[解析] 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 3x ＋y ＝22x －3y ＝27得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3y ＝－7 用描述法表示为{(x ，y )|x ＝3且y ＝－7}，用列举法表示为{(3，－7)}，故选D.2．集合A ＝{x ∈Z |y ＝12x ＋3，y ∈Z }的元素个数为( ) A ．4B ．5C ．10D ．12 [答案] D[解析] 12能被x ＋3整除．∴y ＝±1，±2，±3，±4，±6，±12，相应的x 的值有十二个：9，－15,3，－9,1，－7,0，－6，－1，－5，－2，－4.故选D.3．集合A ＝{一条边长为2，一个角为30°的等腰三角形}，其中的元素个数为( )A ．2B ．3C ．4D ．无数个 [答案] C[解析] 两腰为2，底角为30°；或两腰为2，顶角为30°；或底边为2，底角为30°；或底边为2，顶角为30°.共4个元素，因此选C.4．已知a 、b 、c 为非零实数，代数式a |a |＋b |b |＋c |c |＋abc |abc |的值所组成的集合为M ，则下列判断中正确的是( )A ．0∉MB ．－4∉MC ．2∈MD ．4∈M [答案] D[解析] a 、b 、c 皆为负数时代数式值为－4，a 、b 、c 二负一正时代数式值为0，a 、b 、c 一负二正时代数式值为0，a 、b 、c 皆为正数时代数式值为4，∴M ＝{－4,0,4}．5．在直角坐标系内，坐标轴上的点构成的集合可表示为( )A ．{(x ，y )|x ＝0，y ≠0或x ≠0，y ＝0}B ．{(x ，y )|x ＝0且y ＝0}C ．{(x ，y )|xy ＝0}D ．{(x ，y )|x ，y 不同时为零}[答案] C[解析] 在x 轴上的点(x ，y )，必有y ＝0；在y 轴上的点(x ，y )，必有x ＝0，∴xy ＝0.6．集合M ＝{(x ，y )|xy ≤0，x ，y ∈R }的意义是( )A ．第二象限内的点集B ．第四象限内的点集C ．第二、四象限内的点集D ．不在第一、三象限内的点的集合[答案] D[解析] ∵xy ≤0，∴xy ＜0或xy ＝0当xy ＜0时，则有⎩⎪⎨⎪⎧ x ＜0y ＞0或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＞0y＜0，点(x ，y )在二、四象限， 当xy ＝0时，则有x ＝0或y ＝0，点(x ，y )在坐标轴上，故选D.7．方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝1x 2－y 2＝9的解(x ，y )构成的集合是( )A ．(5,4)B ．{5，－4}C ．{(－5,4)}D ．{(5，－4)}[答案] D[解析] 首先A ，B 都不对，将x ＝5，y ＝－4代入检验知是方程组的解．∴选D.*8.集合S ＝{a ，b ，c }中的三个元素a 、b 、c 是△ABC 的三边长，那么△ABC 一定不是() A ．锐角三角形 B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形[答案] D[解析] 由集合元素的互异性知，a 、b 、c 两两不等．9．设a 、b ∈R ，集合{1，a ＋b ，a }＝{0，b a ，b }，则b －a 等于( )A ．1B ．－1C ．2D ．－2[答案] C[解析] ∵{1，a ＋b ，a }＝{0，b a，b }， ∴a ≠0，∴a ＋b ＝0，∴a ＝－b ，∴b a＝－1， ∴a ＝－1，b ＝1，∴b －a ＝2.故选C.10．设集合A ＝{0,1,2}，B ＝{－1,1,3}，若集合P ＝{(x ，y )|x ∈A ，y ∈B ，且x ≠y }，则集合P 中元素个数为( )A ．3个B ．6个C ．9个D ．8个[答案] D[解析] x ∈A ，对于x 的每一个值，y 都有3个值与之对应，但由于x ≠y ，∴x ＝1，y ＝1，不合题意，故共有3×3－1＝8个．[点评] 可用列举法一一列出：P ＝{(0，－1)，(0,1)，(0,3)，(1，－1)，(1,3)，(2，－1)，(2,1)，(2,3)}．二、填空题11．将集合{(x ，y )|2x ＋3y ＝16，x ，y ∈N }用列举法表示为________．[答案] {(2,4)，(5,2)，(8,0)}[解析] ∵3y ＝16－2x ＝2(8－x )，且x ∈N ，y ∈N ，∴y 为偶数且y ≤5，∴当x ＝2时，y ＝4，当x ＝5时y ＝2，当x ＝8时，y ＝0.12．已知A ＝{1,0，－1,2}，B ＝{y |y ＝|x |，x ∈A }，则B ＝________.[答案] {1,0,2}[解析] 当x ＝1时，y ＝1；x ＝0时，y ＝0；x ＝－1时，y ＝1；x ＝2时，y ＝2，∴B ＝{1,0,2}．13．对于集合A ＝{2,4,6}，若a ∈A ，则6－a ∈A ，那么a 的值是________．[答案] 2或4[解析] ∵a ∈A ，∴a ＝2或a ＝4或a ＝6，而当a ＝2和a ＝4时，6－a ∈A ，∴a ＝2或a ＝4.三、解答题14．用列举法表示集合．(1)平方等于16的实数全体；(2)比2大3的实数全体；(3)方程x 2＝4的解集；(4)大于0小于5的整数的全体．[解析] (1){－4,4} (2){5} (3){－2,2} (4){1,2,3,4}．15．用描述法表示下列集合：(1){0,2,4,6,8}；(2){3,9,27,81，…}；(3)⎩⎨⎧⎭⎬⎫12，34，56，78，…； (4)被5除余2的所有整数的全体构成的集合．[解析] (1){x ∈N |0≤x <10，且x 是偶数}．(2){x |x ＝3n ，n ∈N ＋}．(3){x |x ＝2n －12n，n ∈N ＋}． (4){x |x ＝5n ＋2，n ∈Z }．*16.设A 表示集合{2,3，a 2＋2a －3}，B 表示集合{|a ＋3|,2}，若已知5∈A ，且5∉B ，求实数a 的值．[解析] ∵5∈A ，且5∉B ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋2a －3＝5，|a ＋3|≠5， 即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4或a ＝2，a ≠2且a ≠－8，∴a ＝－4. 17．已知集合A ＝{x |ax 2－3x －4＝0，x ∈R }：(1)若A 中有两个元素，求实数a 的取值范围；(2)若A 中至多有一个元素，求实数a 的取值范围．[分析] 集合A 是方程ax 2－3x －4＝0的解集．A 中有两个元素，即方程有两个相异实根，必有a ≠0；A 中至多有一个元素，则a ≠0时，应有Δ≤0；a ＝0时，恰有一个元素．[解析] (1)∵A 中有两个元素，∴关于x 的方程ax 2－3x －4＝0有两个不等的实数根，∴⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝9＋16a >0a ≠0，即a >－916且a ≠0. (2)当a ＝0时，A ＝{－43}；当a ≠0时，关于x 的方程ax 2－3x －4＝0应有两个相等的实数根或无实数根，∴Δ＝9＋16a ≤0，即a ≤－916.故所求的a 的取值范围是a ≤－916或a ＝0. *18.设集合A ＝{1，a ，b }，B ＝{a ，a 2，ab }，且A ＝B ，求a 2008＋b 2007.[解析] 解法1：∵A ＝B ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＝1，ab ＝b ，或⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝b ，ab ＝1. 解方程组得，⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－1，b ＝0，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝1，或a ＝1，b 为任意实数． 由集合元素的互异性得a ≠1，∴a ＝－1，b ＝0，故a 2008＋b 2007＝1.解法2：由A ＝B ，可得⎩⎪⎨⎪⎧ 1·a ·b ＝a ·a 2·ab ，1＋a ＋b ＝a ＋a 2＋ab ，即⎩⎪⎨⎪⎧ab (a 3－1)＝0 ①(a －1)(a ＋b ＋1)＝0 ②因为集合中的元素互异，所以a≠0，a≠1.解方程组得，a＝－1，b＝0.故a2008＋b2007＝1.。
高中数学人教a版高一必修一_模块综合测评 有答案
高中数学人教a版高一必修一_模块综合测评有答案模块综合测评(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知全集U＝{0,1,2,3,4}，集合A＝{1,2,3}，B＝{2,4}，则(∁U A)∪B＝() A．{1,2,4} B．{2,3,4}C．{0,2,4} D．{0,2,3,4}【解析】∵全集U＝{0,1,2,3,4}，集合A＝{1,2,3}，∴∁U A＝{0,4}，又B＝{2,4}，则(∁U A)∪B＝{0,2,4}．故选C.【答案】 C2．可作为函数y＝f(x)的图象的是()【导学号：97030151】【解析】由函数的定义可知：每当给出x的一个值，则f(x)有唯一确定的实数值与之对应，只有D符合．【答案】 D3．同时满足以下三个条件的函数是()①图象过点(0,1)；②在区间(0，＋∞)上单调递减；③是偶函数．A ．f (x )＝－(x ＋1)2＋2B ．f (x )＝3|x |C ．f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x |D ．f (x )＝x －2【解析】 A ．若f (x )＝－(x ＋1)2＋2，则函数关于x ＝－1对称，不是偶函数，不满足条件③.B ．若f (x )＝3|x |，在区间(0，＋∞)上单调递增，不满足条件②.C ．若f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x |，则三个条件都满足．D ．若f (x )＝x －2，则f (0)无意义，不满足条件①.故选C. 【答案】 C4．与函数y ＝－2x 3有相同图象的一个函数是( ) A ．y ＝－x －2x B ．y ＝x －2x C ．y ＝－2x 3D ．y ＝x 2－2x【解析】 要使函数解析式有意义，则x ≤0，即函数y ＝－2x 3的定义域为(－∞，0]，故y ＝－2x 3＝|x |－2x ＝－x －2x ，又因为函数y ＝－x －2x 的定义域也为(－∞，0]，故函数y ＝－2x 3与函数y ＝－x －2x 表示同一个函数，则他们有相同的图象，故选A.【答案】 A5．函数f (x )＝2x －1＋log 2x 的零点所在区间是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫18，14 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，12 C.⎝⎛⎭⎪⎫12，1 D ．(1,2)【解析】 ∵函数f (x )＝2x －1＋log 2x ，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－1，f (1)＝1， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12f (1)＜0，故连续函数f (x )的零点所在区间是⎝⎛⎭⎪⎫12，1，故选C. 【答案】 C6．幂函数y ＝f (x )的图象经过点⎝⎛⎭⎪⎫－2，－18，则满足f (x )＝27的x 的值是( )【导学号：97030152】 A.13 B ．－13C ．3D ．－3【解析】 设幂函数为y ＝x α，因为图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－18，所以有－18＝(－2)α，解得α＝－3，所以幂函数解析式为y ＝x －3，由f (x )＝27，得x －3＝27， 所以x ＝13.【答案】 A7．函数f (x )＝2x 21－x＋lg (3x ＋1)的定义域为( )A.⎝⎛⎭⎪⎫－13，1 B.⎝⎛⎭⎪⎫－13，13 C.⎝⎛⎭⎪⎫－13，＋∞ D.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，13【解析】 要使函数有意义，x 应满足：⎩⎨⎧1－x >0，3x ＋1>0，解得－13＜x ＜1，故函数f (x )＝2x 21－x ＋lg (3x ＋1)的定义域为⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，1.【答案】 A8．设a ＝0.50.5，b ＝0.30.5，c ＝log 0.30.2，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．c ＜a ＜b B ．b ＜a ＜c C ．c ＜b ＜aD ．a ＜b ＜c【解析】 因为y ＝x 0.5在(0，＋∞)上是增函数，且0.5＞0.3，所以0.50.5＞0.30.5， 即a ＞b ，c ＝log 0.30.2＞log 0.30.3＝1，而1＝0.50＞0.50.5.所以b ＜a ＜c .故选B. 【答案】 B9．若函数f (x )＝(k －1)a x －a －x (a >0，且a ≠1)在R 上既是奇函数，又是减函数，则g (x )＝log a (x ＋k )的图象是( )【解析】 由f (x )＝(k －1)a x －a －x (a >0，且a ≠1)在R 上既是奇函数，又是减函数，所以k ＝2,0<a <1，再由对数的图象可知A 正确．【答案】 A10．已知函数f (x )是定义在R 上的增函数，则函数y ＝f (|x －1|)－1的图象可能是( )【解析】 ∵y ＝f (|x －1|)－1＝⎩⎨⎧f (x －1)－1，(x ≥1)，f (－x ＋1)－1，(x <1)，且f (x )是R 上的增函数；∴当x ≥1时，y ＝f (x －1)－1是增函数， 当x ＜1时，y ＝f (－x ＋1)－1是减函数． ∴函数y ＝f (|x －1|)－1的图象可能是第二个．故选B. 【答案】 B11．在y ＝2x ，y ＝log 2x ，y ＝x 2这三个函数中，当0＜x 1＜x 2＜1时，使f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22＞f (x 1)＋f (x 2)2恒成立的函数的个数是( ) A ．0个 B ．1个 C ．2个D ．3个【解析】 在0＜x 1＜x 2＜1时，y ＝2x使f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22<f (x 1)＋f (x 2)2恒成立，y ＝log 2x 使f ⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22＞f (x 1)＋f (x 2)2恒成立，y ＝x 2使f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22＜f (x 1)＋f (x 2)2恒成立．故选B.【答案】 B12．若f (x )是奇函数，且在(0，＋∞)上是增函数，又f (－3)＝0，则(x －1)f (x )＜0的解是( )【导学号：97030153】 A ．(－3,0)∪(1，＋∞) B ．(－3,0)∪(0,3) C ．(－∞，－3)∪(3，＋∞)D ．(－3,0)∪(1,3)【解析】 ∵f (x )是R 上的奇函数，且在(0，＋∞)内是增函数，∴在(－∞，0)内f (x )也是增函数，又∵f (－3)＝0，∴f (3)＝0，∴当x ∈(－∞，－3)∪(0,3)时，f (x )＜0；当x ∈(－3,0)∪(3，＋∞)时，f (x )＞0，∵(x －1)·f (x )＜0，∴⎩⎨⎧ x －1<0，f (x )>0或⎩⎨⎧x －1>0，f (x )<0，解可得－3＜x ＜0或1＜x ＜3，∴不等式的解集是(－3,0)∪(1,3)，故选D. 【答案】 D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)13．当a ＞0且a ≠1时，函数f (x )＝a x －2－3必过定点________．【解析】 因为a 0＝1，故f (2)＝a 0－3＝－2，所以函数f (x )＝a x －2－3必过定点(2，－2)．【答案】 (2，－2)14．京模拟)已知f (x )＝⎩⎨⎧x 2－4x ＋3，x ≤0，－x 2－2x ＋3，x >0，不等式f (x ＋a )>f (2a －x )在[a ，a ＋1]上恒成立，则实数a 的取值范围是________．【解析】 二次函数y 1＝x 2－4x ＋3的对称轴是x ＝2， ∴该函数在(－∞，0]上单调递减， ∴x 2－4x ＋3≥3，同样可知函数y 2＝－x 2－2x ＋3在(0，＋∞)上单调递减，∴－x 2－2x ＋3<3， ∴f (x )在R 上单调递减，∴由f (x ＋a )>f (2a －x )得到x ＋a <2a －x ， 即2x <a ，∴2x <a 在[a ，a ＋1]上恒成立， ∴2(a ＋1)<a ， ∴a <－2，∴实数a 的取值范围是(－∞，－2)． 【答案】 (－∞，－2)15．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧1＋4x ，(x ≥4)，log 2x ，(0<x <4)，若关于x 的方程f (x )＝k 有两个不同的实根，则实数k 的取值范围是________．【解析】 关于x 的方程f (x )＝k 有两个不同的实根， 等价于函数f (x )与函数y ＝k 的图象有两个不同的交点， 作出函数的图象如下：由图可知实数k的取值范围是(1,2)．【答案】(1,2)16．对于定义在R上的函数f(x)，有下述四个命题，其中正确命题的序号为________．①若函数f(x)是奇函数，则f(x－1)的图象关于点A(1,0)对称；②若对x∈R，有f(x＋1)＝f(x－1)，则y＝f(x)关于直线x＝1对称；③若函数f(x－1)关于直线x＝1对称，则函数f(x)为偶函数；④函数f(x＋1)与函数f(1－x)关于直线x＝1对称．【解析】①，∵函数f(x)是奇函数，∴f(x)的图象关于点O(0,0)对称．又y＝f(x－1)的图象是将y＝f(x)的图象向右平移一个单位得到的，∴f(x－1)的图象关于点A(1,0)对称，故①正确；②，∵f(x＋1)＝f(x－1)≠f(1－x)，∴y＝f(x)不关于直线x＝1对称，故②错误；③，∵函数y＝f(x－1)关于直线x＝1对称，∴函数y＝f(x)的图象关于直线x＝0对称，∴函数f(x)为偶函数，故③正确；④，函数f(x＋1)的图象与函数f(1－x)的图象不关于直线x＝1对称，如f(x)＝x时，f(1＋x)＝x＋1，f(1－x)＝1－x，这两条直线显然不关于x＝1对称，故④错误．【答案】①③三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)计算下列各式的值：(1)1.5－13×⎝⎛⎭⎪⎫－760＋80.25×42－⎝⎛⎭⎪⎫2323；(2)12lg 3249－43lg 8＋lg 245＋10lg 3. 【导学号：97030154】【解】 (1)原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2313×1＋23×14×214－⎝ ⎛⎭⎪⎫2313＝2.(2)原式＝12(lg 25－lg 72)－43lg 232＋12lg (72×5)＋10lg 3＝52lg 2－lg 7－2lg 2＋lg 7＋12lg 5＋3 ＝12lg 2＋12lg 5＋3＝12(lg 2＋lg 5)＋3＝72. 18．(本小题满分12分)已知函数f (x )是R 上的奇函数，当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝2x ＋x ，求f (x )的解析式．【解】 由题意，当x ＝0时，f (x )＝0，∵x ＞0时，f (x )＝2x ＋x ，∴当x ＜0时，－x ＞0，f (－x )＝2－x －x ，又∵函数y ＝f (x )是定义在R 上的奇函数，∴x ＜0时，f (x )＝－f (－x )＝－2－x ＋x ，综上所述，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2－x ＋x ，x <0，0，x ＝0，2x ＋x ，x >0.19．(本小题满分12分)已知集合A ＝{x |(a －1)x 2＋3x －2＝0}，B ＝{x |x 2－3x ＋2＝0}． (1)若A ≠∅，求实数a 的取值范围； (2)若A ∩B ＝A ，求实数a 的取值范围． 【解】 (1)分两种情况考虑：①当a ＝1时，A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫23≠∅；②当a ≠1时，Δ＝9＋8(a －1)≥0，即a ≥－18且a ≠1，综上所述，a 的范围为a ≥－18.(2)由A ∩B ＝A ，得到A ⊆B ，分两种情况考虑： ①当A ＝∅时，a ＜－18；②当A ≠∅时，得到B 中方程的解1和2为A 的元素，即A ＝{1,2}， 把x ＝1代入A 中方程得：a ＝0.综上所述，a 的范围为⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ⎪⎪⎪a ＜－18或a ＝0.20．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝log a (2x ＋1)，g (x )＝log a (1－2x )(a ＞0且a ≠1)， (1)求函数F (x )＝f (x )－g (x )的定义域；(2)判断F (x )＝f (x )－g (x )的奇偶性，并说明理由； (3)确定x 为何值时，有f (x )－g (x )＞0.【解】 (1)要使函数有意义，则有⎩⎨⎧2x ＋1>0，1－2x >0，∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪－12<x <12. (2)F (x )＝f (x )－g (x )＝log a (2x ＋1)－log a (1－2x )，F (－x )＝f (－x )－g (－x )＝log a (－2x ＋1)－log a (1＋2x )＝－F (x )． ∴F (x )为奇函数．(3)∵f (x )－g (x )＞0，∴log a (2x ＋1)－log a (1－2x )＞0， 即log a (2x ＋1)＞log a (1－2x )．①当0＜a ＜1时，有0<2x ＋1<1－2x ，∴－12<x <0.②当a ＞1时，有2x ＋1>1－2x >0，∴0<x <12.综上所述，当0＜a ＜1时，有x ∈⎝⎛⎭⎪⎫－12，0，使得f (x )－g (x )＞0；当a ＞1时，有x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，12，使得f (x )－g (x )＞0.21．(本小题满分12分)甲乙两人连续6年对某县农村鳗鱼养殖业的规模(总产量)进行调查，提供了两个方面的信息，分别得到甲，乙两图：甲乙图1甲调查表明：每个鱼池平均产量直线上升，从第1年1万条鳗鱼上升到第6年2万条．乙调查表明：全县鱼池总个数直线下降，由第1年30个减少到第6年10个．请你根据提供的信息说明：(1)第2年全县鱼池的个数及全县出产的鳗鱼总数；(2)到第6年这个县的鳗鱼养殖业的规模比第1年扩大了还是缩小了？说明理由；(3)哪一年的规模(即总产量)最大？说明理由．【解】由题意可知，图甲图象经过(1,1)和(6,2)两点，从而求得其解析式为y甲＝0.2x＋0.8，图乙图象经过(1,30)和(6,10)两点，从而求得其解析式为y乙＝－4x＋34.(1)当x＝2时，y甲＝0.2×2＋0.8＝1.2，y乙＝－4×2＋34＝26，y甲×y乙＝1.2×26＝31.2.所以第2年鱼池有26个，全县出产的鳗鱼总数为31.2万条．(2)第1年出产鳗鱼1×30＝30(万条)，第6年出产鳗鱼2×10＝20(万条)，可见第6年这个县的鳗鱼养殖业规划比第1年缩小了．(3)设第m年的规模最大，总出产量为n，那么n＝y甲y乙＝(0.2m＋0.8)(－4m＋34)＝－0.8m2＋3.6m＋27.2＝－0.8(m2－4.5m－34)＝－0.8(m－2.25)2＋31.25，因此，当m＝2时，n最大值为31.2.即当第2年时，鳗鱼养殖业的规模最大，最大产量为31.2万条．22．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝a·2x－2＋a2x＋1(a∈R).【导学号：97030155】(1)试判断f(x)的单调性，并证明你的结论；(2)若f(x)为定义域上的奇函数，①求函数f(x)的值域；②求满足f(ax)＜f(2a－x2)的x的取值范围．第- 11 -页 共11页 【解】 (1)函数f (x )的定义域为(－∞，＋∞)，且f (x )＝a －22x ＋1， 任取x 1，x 2∈(－∞，＋∞)，且x 1＜x 2，则f (x 2)－f (x 1)＝a －22x 2＋1－a ＋22x 1＋1＝2(2x 2－2x 1)(2x 2＋1)(2x 1＋1)， ∵y ＝2x 在R 上单调递增，且x 1＜x 2，∴0<2x 1<2x 2，2x 2－2x 1>0,2x 1＋1>0,2x 2＋1>0，∴f (x 2)－f (x 1)＞0，即f (x 2)＞f (x 1)，∴f (x )在(－∞，＋∞)上是单调增函数．(2)∵f (x )在定义域上是奇函数，∴f (－x )＝－f (x )，即a －22－x ＋1＋⎝⎛⎭⎪⎫a －22x ＋1＝0对任意实数x 恒成立， 化简得2a －⎝ ⎛⎭⎪⎫2·2x 2x ＋1＋22x ＋1＝0， ∴2a －2＝0，即a ＝1，①由a ＝1得f (x )＝1－22x ＋1， ∵2x ＋1＞1，∴0<12x ＋1<1， ∴－2<－22x ＋1<0， ∴－1<1－22x ＋1<1，故函数f (x )的值域为(－1,1)． ②由a ＝1，得f (x )＜f (2－x 2)，∵f (x )在(－∞，＋∞)上单调递增，∴x ＜2－x 2， 解得－2＜x ＜1，故x 的取值范围为(－2,1)．。
人教A版高一数学必修第一册全册复习训练题卷含答案解析(33)
人教A 版高一数学必修第一册全册复习训练题卷（共30题）一、选择题（共10题）1. 如果函数 f (x )=12(m −2)x 2+(n −8)x +1(m ≥0,n ≥0) 在区间 [12,2] 上单调递减，那么 mn 的最大值为 ( ) A ．16 B ．18 C ．25D ．8122. 若 a 为实数，则“a <1”是“1a >1”的 ( )A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件3. 若函数 f (x )=x 2−4x +8，x ∈[1,a ]，它的最大值为 f (a )，则实数 a 的取值范围是 ( ) A ． (1,2] B ． (1,3) C ． (3,+∞) D ． [3,+∞)4. 已知函数 f (x )=√3sinωx −cosωx (ω>0)，y =f (x ) 的图象与直线 y =2 的两个相邻交点的距离等于 π，则 f (x ) 的一条对称轴是 ( ) A ． x =−π12B ． x =π12C ． x =−π3D ． x =π35. 已知函数 f (x )={ln (x +1),0<x ≤21−2x ,−2≤x ≤0，若函数 y =∣f (x )∣ 图象与直线 y =kx +k 有 3 个交点，则实数 k 的取值范围是 ( ) A ．(0,1e )B ．(0,12e )C ．[ln33,12e )D ．[ln33,1e )6. 如果 a <b <0，那么下列不等式中不正确的是 ( ) A ．1a>1bB ．1a−b>1bC ． √−a >√−bD ． ∣a∣>−b7. 若函数 f (x )={1−x 2,x ≤1x 2−x −3,x >1，则 f (1f (3)) 的值为 ( )A ．1516B ． −2716C ． 89D ． 188. 设函数 f (x ) 的定义域为 R ，有下列三个命题：（1）若存在常数 M ，使得对任意 x ∈R ，有 f (x )≤M ，则 M 是函数 f (x ) 的最大值；（2）若存在 x 0∈R ，使得对任意 x ∈R ，且 x ≠x 0，有 f (x )<f (x 0)，则 f (x 0) 是函数 f (x ) 的最大值；（3）若存在 x 0∈R ，使得对任意 x ∈R ，有 f (x )≤f (x 0)，则 f (x 0) 是函数 f (x ) 的最大值． 这些命题中，真命题的个数是 ( ) A ． 0 个 B ． 1 个 C ． 2 个 D ． 3 个9. 已知函数 f (x )=6x −log 2x 在下列区间中，包含 f (x ) 零点的区间是 ( )A ． (0,1)B ． (1,2)C ． (2,4)D ． (4,+∞)10. 函数 f (x ) 满足是 f (x +2)=4f (x )，且 x ∈R ，当 x ∈[0,2]，f (x )=x 2−4x +16，则当 x ∈[−4,−2] 时，f (x ) 的最小值为 ( ) A ． −18B ． 18C ． −34D ． 34二、填空题（共10题）11. 能说明“若 a >b ，则 1a <1b ”为假命题的一组 a ，b 的值依次为 ．12. 已知函数 f (x )=x 2−2(a +2)x +a 2，g (x )=−x 2+2(a −2)x −a 2+8．设 H 1(x )=max {f (x ),g (x )}，H 2(x )=min {f (x ),g (x )}（max {p,q } 表示 p ，q 中的较大值，min {p,q } 表示 p ，q 中的较小值）．记 H 1(x ) 的最小值为 A ，H 2(x ) 的最大值为 B ，则 A −B = ．13. 已知 θ∈(0,π)，且 sin (θ+π4)=√210，则 cos (θ−π4)= ，tanθ= ．14. 已知函数 f (x ) 的定义域为 R ，且 f (x )⋅f (−x )=1 和 f (1+x )⋅f (1−x )=4 对任意的 x ∈R都成立．若当 x ∈[0,1]，f (x ) 的值域为 [1,2]，则当 x ∈[−100,100] 时，函数 f (x ) 的值域为 ．15. 对一定义域为 D 的函数 y =f (x ) 和常数 c ，若对任意正实数 ξ，∃x ∈D 使得 0<∣f (x )−c ∣<ξ 成立，则称函数 y =f (x ) 为“敛 c 函数”，现给出如下函数：① f (x )=x (x ∈Z )；② f (x )=(12)x+1(x ∈Z )；③ f (x )=log 2x ；④ f (x )=x−1x．其中为“敛 1 函数”的有 ．（填序号）16. 设函数 f (x )={√x,x ≥0(12)x,x <0，则 f(f (−4))= ，f (f(f (−4))) ．17. 某卡车在同一时间段里速度 v (km/h ) 与耗油量 Q (kg/h ) 之间近似地满足函数表达式 Q =0.0025v 2−0.175v +4.27，要使卡车的耗油量最少，则车速为 ．18. 定义在 R 上的奇函数 f (x ) 满足 f (x +4)=f (x ) 上，且在区间 [2,4) 上，f (x )={2−x,2≤x <3x −4,3≤x <4，则函数 y =f (x )−log 5∣x ∣ 的零点的个数为 ．19. 已知 a >0，函数 f (x )={x 2+2ax +a,x ≤0−x 2+2ax −2a,x >0．若关于 x 的方程 f (x )=ax 恰有 2 个互异的实数解，则 a 的取值范围是 ．20. 已知 cos (508∘−α)=1213，则 cos (212∘+α)= ．三、解答题（共10题）21. 已知 f (x )=mx +3，g (x )=x 2+2x +m ．(1) 求证：关于 x 的方程 f (x )−g (x )=0 有解；(2) 设 G (x )=f (x )−g (x )−1，求函数 y =G (x ) 在区间 [0,+∞) 上的最大值；(3) 对于（2）中的 G (x )，若函数 y =∣G (x )∣ 在区间 [−1,0] 上是严格减函数，求实数 m 的取值范围．22. 已知函数 f (x ) 是定义在 R 上的奇函数，当 x >0 时，f (x )=1−2−x ，(1) 写出 f (x ) 的单调区间； (2) 求不等式 f (x )<−12 的解集．23. 求证：1cos2θ−tanθtan2θ=1．24. 已知集合 A ={x∣ ∣ x −2∣ <a }，集合 B ={x∣ 2x−1x+2≤1}，且 A ⊆B ，求实数 a 的取值范围．25. 求函数 y =tan (2x −π4) 的周期和单调区间．26. 已知函数 f (x )=x∣x −a∣+2x (a ∈R )．(1) 若函数 f (x ) 在 R 上单调递增，求实数 a 的取值范围；(2) 若存在实数a∈[−4,4]使得关于x的方程f(x)−tf(a)=0恰有三个不相等的实数根，求实数t的取值范围．−x)−√3sin2x+sinxcosx．27.已知函数f(x)=2cosxcos(π6(1) 求f(x)的最小正周期；(2) 将函数y=f(x)的图象上各点的横坐标缩短到原来的1倍，纵坐标不变，得到函数y=2g(x)的图象，求函数g(x)在(0,π)上的取值范围．4(p>0)的单调性．28.判断函数f(x)=x+px29.已知函数f(x)的定义域为[0,2]，且f(x)的图象连续不间断．若函数f(x)满足：对于给定的实数m且0<m<2，存在x0∈[0,2−m]，使得f(x0)=f(x0+m)，则称f(x)具有性质P(m)．)，并说明理由；(1) 已知函数f(x)=√1−(x−1)2，判断f(x)是否具有性质P(12(2) 求证：任取m∈(0,2)，函数f(x)=(x−1)2，x∈[0,2]具有性质P(m)；(3) 已知函数f(x)=sinπx，x∈[0,2]，若f(x)具有性质P(m)，求m的取值范围．30.某书商为提高某套丛书的销量，准备举办一场展销会．据市场调查，当每套丛书售价定为x元时，销售量可达到(15−0.1x)万套．现出版社为配合该书商的活动，决定进行价格改革，将每套丛书的供货价格分成固定价格和浮动价格两部分，其中固定价格为30元，浮动价格（单位：元）与销售量（单位：万套）成反比，比例系数为10．假设不计其他成本，即销售每套丛书的利润=售价-供货价格．问：(1) 每套丛书售价定为100元时，书商所获得的总利润是多少万元？(2) 每套丛书售价定为多少元时，单套丛书的利润最大？答案一、选择题（共10题）1. 【答案】B【解析】当m=2时，f(x)=(n−8)x+1，要使其在区间[12,2]上单调递减，则n−8<0⇒n<8，于是mn<16，则mn无最大值．当m∈[0,2)时，f(x)的图象开口向下，要使f(x)在区间[12,2]上单调递减，需−n−8m−2≤12，即2n+m≤18，又n≥0，则mn≤m(9−m2)=−12m2+9m．而g(m)=−12m2+9m在[0,2)上为增函数，所以m∈[0,2)时，g(m)<g(2)=16，故m∈[0,2)时，mn无最大值．当m>2时，f(x)的图象开口向上，要使f(x)在区间[12,2]上单调递减，需−n−8m−2≥2，即2m+n≤12，而2m+n≥2√2m⋅n，所以mn≤18，当且仅当{2m+n=12,2m=n.即{m=3,n=6.时，取“=”，此时满足m>2．故(mn)max=18．【知识点】二次函数的性质与图像、函数的最大（小）值、函数的单调性2. 【答案】B【知识点】充分条件与必要条件3. 【答案】D【知识点】函数的最大（小）值4. 【答案】D【解析】由题，得f(x)=√3sinωx−cosωx=2sin(ωx−π6)，因为y=f(x)的图象与直线y=2的两个相邻交点的距离等于π，所以函数y=f(x)的最小正周期T=π，则ω=2πT=2，所以f(x)=2sin(2x−π6)，当x=π3时，2x−π6=π2，所以x=π3是函数f(x)=2sin(2x−π6)的一条对称轴．【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质5. 【答案】D【解析】因为函数 y =∣f (x )∣ 图象与直线 y =kx +k 有 3 个交点， 所以 f (x )={ln (x +1),0<x ≤21−2x ,−2≤x ≤0，与 y =k (x +1) 有 3 个不同交点，作 y =f (x ) 与 y =k (x +1) 的图象如下，易知直线 y =k (x +1) 过定点 A (−1,0)，斜率为 k ．当直线 y =k (x +1) 与 y =ln (x +1) 相切时是一个临界状态， 设切点为 (x 0,y 0)，则 {k =yʹ=1x0+1,k (x 0+1)=ln (x 0+1),解得，x 0=e −1，k =1e ，又函数过点 B (2,ln3)，k AB =ln32−(−1)=ln33，故ln33≤k <1e ．【知识点】函数的零点分布6. 【答案】B【知识点】不等式的性质7. 【答案】C【解析】因为 f (x )={1−x 2,x ≤1x 2−x −3,x >1，所以 f (3)=32−3−3=3， 所以 f (1f (3))=f (13)=1−(13)2=89．【知识点】分段函数8. 【答案】C【解析】对于（1），M 不一定是函数 f (x ) 中的值，可能“=”不能取到，故其不正确； 因为函数最大值的定义是存在一个函数值不小于其它所有的函数值， 则此函数值是函数的最大值，故（2）（3）正确． 综上可知正确的有 2 个． 【知识点】函数的最大（小）值9. 【答案】C【解析】因为f(x)在(0,+∞)上单调递减，且f(1)=6−log21=6>0，f(2)=3−log22=2>0，f(4)=32−log24=−12<0，所以由函数零点存在定理知函数f(x)在区间(2,4)内必存在零点．【知识点】零点的存在性定理10. 【答案】D【解析】因为x∈[0,2]时，f(x)的对称轴为x=2，所以f(x)在[0,2]单调递减，所以f(x)min=f(2)=12，所以x∈[−4,−2]时，f(x)min=116f(2)=34．故选D．【知识点】函数的最大（小）值二、填空题（共10题）11. 【答案】1，−1（答案不唯一）【知识点】命题的概念与真假判断12. 【答案】−16【解析】f(x)=[x−(a+2)]2−4−4a，g(x)=−[x−(a−2)]2+12−4a．由f(x)=g(x)，解得x=a+2或x=a−2．又H1(x)=max{f(x),g(x)}，H2(x)=min{f(x),g(x)}，所以H1(x)的最小值A=−4−4a，H2(x)的最大值B=12−4a，所以A−B=(−4−4a)−(12−4a)=−16．【知识点】二次函数的性质与图像13. 【答案】√210；−43【解析】由诱导公式sinα=cos(π2−α)，cos(−α)=cosα．所以sin(θ+π4)=cos[π2−(θ+π4)]=cos(π4−θ)=cos(θ−π4)，即sin(θ+π4)=cos(θ−π4)，所以cos(θ−π4)=sin(θ+π4)=√210．由sin(θ+π4)=√210，利用正弦和角公式展开可得 sinθcos π4+cosθsin π4=√210． 即 sinθ+cosθ=15，两边同时平可得 2sinθcosθ=125−1=−2425．则 sinθ 与 cosθ 异号，且 sinθ+cosθ=15>0，由 θ∈(0,π)，所以 sinθ>0，cosθ<0，且 ∣sinθ∣>∣cosθ∣． 由 sinθ+cosθ=15，可知 sinθ=15−cosθ．由同角三角函数关系式 sin 2θ+cos 2θ=1 代入可得 (15−cosθ)2+cos 2θ=1．化简可得 25cos 2θ−5cosθ−12=0，即 (5cosθ+3)(5cosθ−4)=0． 解得 cosθ=−35，cosθ=45（舍）．所以 sinθ=15−(−35)=45．所以 tan =sinθcosθ=45−35=−43．【知识点】两角和与差的正弦14. 【答案】 [2−100,2100]【解析】由 f (x )⋅f (−x )=1 可得，f (x )=1f (−x )，由 f (1+x )⋅f (1−x )=4 可得 f (1+x )=4f (1−x )， 令 1−x =t 可得 f (t )=4f (2−t ), ⋯⋯①由 f (x )⋅f (−x )=1 可得，f (x )=1f (−x )，所以 f (t )=1f (−t ), ⋯⋯② ①② 联立可得 f (t +2)=4f (t )，所以 f (x +2)=4f (x )， 因为当 x ∈[0,1]，f (x ) 的值域为 [1,2]， 设 x ∈[−1,0] 时，−x ∈[0,1]，则 f (x )=1f (−x)∈[12,1]， 所以 x +2∈[1,2] 时，f (x +2)=4f (x )∈[2,4]，以此类推，区间每增加 2 个长度，值域变为上个区间的 4 倍，且 x ∈[−1,1] 时，值域为 [12,2]，则当 x ∈[−100,100] 时，函数 f (x ) 的值域 [2−100,2100]． 【知识点】抽象函数、函数的值域的概念与求法15. 【答案】②③④【解析】由新定义知，对任意正实数 ξ，∃x ∈D 使得 0<∣f (x )−c ∣<ξ 成立，即 0<∣f (x )−c ∣<ξ 有解．对于函数①解得，1−ξ<x <1+ξ，且 x ≠1，x ∈Z ，因为 ξ 为任意正实数，所以无解，故函数①不是“敛 1 函数”；对于函数②解得，x >−log 2ξ 且 x ∈Z ，故函数 ②是“敛 1 函数”； 对于函数③解得，21−ξ<x <21+ξ，且 x ≠2，故函数③是“敛 1 函数”； 对于函数④解得，∣x ∣>1ξ，故函数④是“敛 1 函数”．因此正确答案为②③④． 【知识点】函数的相关概念16. 【答案】 4 ； 2【解析】因为 x =−4<0， 所以 f (−4)=(12)−4=16，因为 x =16>0，所以 f (16)=√16=4，f (4)=2． 【知识点】分段函数17. 【答案】 35 km/h【知识点】建立函数表达式模型18. 【答案】 5【知识点】函数的周期性、函数的零点分布、函数的奇偶性19. 【答案】 (4,8)【知识点】函数的零点分布20. 【答案】1213【解析】因为 cos (508∘−α)=cos (360∘+148∘−α)=cos (148∘−α)=1213，所以 cos (212∘+α)=cos (360∘+α−148∘)=cos (α−148∘)=cos (148∘−α)=1213． 【知识点】诱导公式三、解答题（共10题） 21. 【答案】(1) f (x )−g (x )=−x 2+(m −2)x +3−m ，令 f (x )−g (x )=0， 则 Δ=(m −2)2−4(m −3)=m 2−8m +16=(m −4)2≥0．(2) G(x)=−x2+(m−2)x+(2−m)，当m−22≤0时，即m≤2时，G(x)max=G(0)=2−m，当m−22>0时，即m>2时，G(x)max=G(m−22)=−(m−2)24+(m−2)22+(2−m).G(x)max=(m−2)24+(2−m)=14m2−2m+3.(3) （方法一）G(x)=f(x)−g(x)−1=−x2+(m−2)x+2−m，①令G(x)=0，Δ=(m−2)2−4(m−2)=(m−2)(m−6)，当Δ≤0，即2≤m≤6时，G(x)=−x2+(m−2)x+2−m≤0恒成立，所以∣G(x)∣=x2−(m−2)x+m−2，因为∣G(x)∣在[−1,0]上是减函数，所以m−22≥0．解得m≥2．所以2≤m≤6．当Δ>0，即m<2或m>6时，∣G(x)∣=∣x2−(m−2)x+m−2∣．因为∣G(x)∣在[−1,0]上是减函数，所以方程x2−(m−2)x+m−2=0的两根均大于零或一根大于零另一根小于零且x=m−22≤−1，所以{m−2>0,m−22>0或{m−2<0,m−22≤−1.解得m>2或m≤0．所以m≤0或m>6．综上可得，实数m的取值范围为(−∞,0]∪[2,+∞)．（方法二）G(x)=f(x)−g(x)−1=−x2+(m−2)x+2−m，因为函数∣G(x)∣在[−1,0]上是减函数，所以{m−22≤−1,G(0)≥0或{m−22≥0,G(0)≤0.即{m−22≤−1,2−m≥0或{m−22≥0,2−m≤0.解得m≤0或m≥2．所以实数m的取值范围为(−∞,0]∪[2,+∞)．【知识点】函数的单调性、函数的最大（小）值、二次函数的性质与图像22. 【答案】(1) 因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以 f (0)=0．因为 f (x ) 在 [0,+∞) 上是增函数， 所以 f (x ) 在 (−∞,+∞) 上是增函数， (2) f (x )<−12=−f (1)=f (−1)， 由（1）知 f (x ) 在 R 上是增函数， 所以 x <−1，即 f (x )<−12 的解集为 (−∞,−1)．【知识点】指数函数及其性质23. 【答案】左边=1cos2θ−sinθsin2θcosθcos2θ=cosθ−2sin 2θcosθcosθcos2θ=1−2sin 2θcos2θ=cos2θcos2θ=1=右边,所以原等式成立． 【知识点】二倍角公式24. 【答案】当 a ≤0 时，A =∅，则 A ⊆B 满足题意，当 a >0 时，A ={x∣ ∣ x −2∣ <a }={x∣ −a <x −2<a }={x∣ 2−a <x <2+a }，由2x−1x+2≤1⇒x−3x+2≤0⇒{(x +2)(x −3)≤0,x +2≠0⇒−2<x ≤3，所以 B ={x∣ −2<x ≤3}，A ⊆B ， {a >0,2−a ≥−2,2+a ≤3⇒0<a ≤1， 综上实数 a 的取值范围是 a ≤1． 【知识点】包含关系、子集与真子集25. 【答案】 y =tan (2x −π4) 的周期是 π2，单调递增区间是 (−π8+kπ2,3π8+kπ2)(k ∈Z )．【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质26. 【答案】(1) f (x )=x∣x −a∣+2x ={x 2+(2−a )x,x ≥a−x 2+(2+a )x,x <a．由 f (x ) 在 R 上是增函数，则 {a ≥−2−a2,a ≤2+a2,即 −2≤a ≤2，则 a 范围为 −2≤a ≤2．(2) 当 −2≤a ≤2 时，f (x ) 在 R 上是增函数，则关于 x 的方程 f (x )−tf (a )=0 不可能有三个不等的实数根． 则当 a ∈(2,4] 时，由 f (x )={x 2+(2−a )x,x ≥a−x 2+(2+a )x,x <a ，得 x ≥a 时，f (x )=x 2+(2−a )x 对称轴 x =a−22，则 f (x ) 在 x ∈[a,+∞) 为增函数，此时 f (x ) 的值域为 [f (a ),+∞)=[2a,+∞)； x <a 时，f (x )=−x 2+(2+a )x 对称轴 x =a+22，则 f (x ) 在 x ∈(−∞,a+22] 为增函数，此时 f (x ) 的值域为 (−∞,(a+2)24]，f (x ) 在 x ∈[a+22,+∞) 为减函数，此时 f (x ) 的值域为 (2a,(a+2)24]；由存在 a ∈(2,4]，方程 f (x )=tf (a )=2ta 有三个不相等的实根， 则 2ta ∈(2a,(a+2)24)，即存在 a ∈(2,4]，使得 t ∈(1,(a+2)28a) 即可，令 g (a )=(a+2)28a，只要使 t <(g (a ))max 即可，而 g (a ) 在 a ∈(2,4] 上是增函数，g (a )max =g (4)=98，故实数 t 的取值范围为 (1,98)； 当 a ∈[−4,−2) 时，由a+22>a−22>a ，则 f (x ) 在 (−∞,a ) 单调递增，值域为 (−∞,2a )； 在 (a,a−22) 单调递减，值域为 (−(a−2)24,2a)； 在 (a−22,+∞) 单调递增，值域为 (−(a−2)24,+∞)．由存在 a ∈[−4,−2)，方程 f (x )=tf (a )=2ta 有三个不相等的实根， 则 2ta ∈(−(a−2)24,2a)，即 t ∈(1,(a−2)28a)，令 ℎ(a )=(a−2)28a，只要使 t <ℎ(a )max 即可，而 ℎ(a ) 在 a ∈[−4,−2) 单调递减，ℎ(a )max =ℎ(−4)=98， 所以 t 的取值范围为 (1,98)．综上所述，实数t的取值范围为(1,98)．【知识点】函数的奇偶性、函数的零点分布、函数的单调性27. 【答案】(1) 函数f(x)=2cosxcos(π6−x)−√3sin2x+sinxcosx=√3(cos2x−sin2x)+2sinxcosx=2sin(2x+π3),所以函数的最小正周期为π．(2) 将函数y=f(x)的图象上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，得到函数g(x)的图象，所以g(x)=2sin(4x+π3)．因为x∈(0,π4)，所以4x+π3∈(π3,4π3)，所以g(x)∈(−√3,2]．【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质28. 【答案】任取x1,x2∈(0,+∞)，且x1<x2，则f(x1)−f(x2)=x1+px1−(x2+px2)=(x1−x2)+p(x2−x1)x1x2=(x1−x2)⋅x1x2−px1x2. ⋯⋯①当x1,x2∈(0,√p)时，0<x1x2<p，x1−x2<0，所以①式大于0，即f(x1)−f(x2)>0，所以f(x2)<f(x1)，即f(x)在(0,√p)上单调递减；当x1,x2∈[√p,+∞)时，x1x2>p，x1−x2<0，所以①式小于0，即f(x1)−f(x2)<0，所以f(x2)>f(x1)，即f(x)在[√p,+∞)上单调递增．同理可得，当x∈(−√p,0)时，f(x)=x+px单调递减；当x∈(−∞,−√p]时，f(x)=x+px单调递增．综上所述，f(x)=x+px(p>0)在(−∞,−√p]和[√p,+∞)上单调递增，在 (−√p,0) 和 (0,√p) 上单调递减．【知识点】函数的单调性29. 【答案】(1) f (x ) 具有性质 P (12)．设 x 0∈[0,32]，令 f (x 0)=f (x 0+12)， 则 (x 0−1)2=(x 0−12)2，解得 x 0=34，又 34∈[0,32]，所以 f (x ) 具有性质 P (12)．(2) 任取 x 0∈[0,2−m ]，令 f (x 0)=f (x 0+m )， 则 (x 0−1)2=(x 0+m −1)2，因为 m ≠0，解得 x 0=−m2+1，又 0<m <2，所以 0<−m2+1<1， 当 0<m <2，x 0=−m 2+1 时，(2−m )−x 0=(2−m )−(−m 2+1)=1−m 2>0，即 0<−m2+1<2−m ，即任取实数 m ∈(0,2)，f (x ) 都具有性质 P (m )．(3) m ∈(0,1]．首先，若 m ∈(0,1]，取 x 0=1−m 2，则1−m 2≥0 且 2−m −1−m 2=3−m 2>0，故 x 0∈[0,2−m ]．又 f (x 0)=sin (π2−mπ2)，f (x 0+m )=sin (π2+mπ2)=sin (π2−mπ2)=f (x 0)，所以 f (x ) 具有性质 P (m )；假设存在 m ∈(1,2) 使得 f (x ) 具有性质 P (m )， 即存在 x 0∈[0,2−m ]，使得 f (x 0)=f (x 0+m )，若 x 0=0，则 x 0+m ∈(1,2)，f (x 0)=0，f (x 0+m )<0，f (x 0)≠f (x 0+m )；若 x 0∈(0,2−m ]，则 x 0+m ∈(m,2]，进而 x 0∈(0,1)， x 0+m ∈(1,2]，f (x 0)>0，f (x 0+m )≤0，f (x 0)≠f (x 0+m )， 所以假设不成立，所以 m ∈(0,1]．【知识点】二次函数的性质与图像、函数的相关概念、Asin(ωx+ψ)形式函数的性质30. 【答案】(1) 每套丛书售价定为 100 元时，销售量为 15−0.1×100=5 (万套)，所以每套丛书的供货价格为 30+105=32 (元)，故书商所获得的总利润为 5×(100−32)=340 (万元)．(2) 每套丛书售价定为 x 元时，由 {15−0.1x >0,x >0, 得 0<x <150 .设单套丛书的利润为 P 元，则 P =x −(30+1015−0.1x )=x −100150−x −30， 因为 0<x <150，所以 150−x >0， 所以 P =−[(150−x )+100150−x]+120，又 (150−x )+100150−x ≥2√(150−x )⋅100150−x =2×10=20， 当且仅当 150−x =100150−x ，即 x =140 时等号成立， 所以 P max =−20+120=100 .故每套丛书售价定为 140 元时，单套丛书的利润最大，为 100 元．【知识点】函数的模型及其实际应用、函数的最大（小）值、均值不等式的应用。