阴影部分面积的求法(精品资料).doc
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阴影部分面积的求法
（一）、相加法：这种方法是将不规则图形分解转化成几个
基本规则图形，分别计算它们的面积，然后相加求出整个图形的
面积.例如，右图中，要求整个图形的面积，只要先求出上面半
圆的面积，再求出下面正方形的面积，然后把它们相加就可以了。
（二）、相减法：这种方法是将所求的不规则图形的面积看
成是若干个基本规则图形的面积之差.例如，右图，若求阴影部
分的面积，只需先求出正方形面积再减去里面圆的面积即可。
（三）、直接求法：这种方法是根据已知条件，从整体出发
直接求出不规则图形面积.如下页右上图，欲求阴影部分的面积，
通过分析发现它是一个底2，高4的三角形，就可以直接求面积
了。
（四）、重新组合法：这种方法是将不规则图形拆开，根据
具体情况和计算上的需要，重新组合成一个新的图形，设法求出
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这个新图形面积即可.例如，欲求右图中阴影部分面积，可以把
它拆开使阴影部分分布在正方形的4个角处，这时采用相减法就
可求出其面积了。
（五）、辅助线法：这种方法是根据具体情况在图形中添一
条或若干条辅助线，使不规则图形转化成若干个基本规则图形，
然后再采用相加、相减法解决即可.如右图，右图中大小正方形
的边长分别是9厘米和5厘米，求阴影部分的面积.此题虽然可以
用相减法解决，但不如添加一条辅助线后用直接法作更简便。
（六）、割补法：这种方法是把原图形的一部分切割下来补
在图形中的另一部分使之成为基本规则图形，从而使问题得到解
决.例如，如右图，欲求阴影部分的面积，只需把右边弓形切割
下来补在左边，这样整个阴影部分面积恰是正方形面积的一半.
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（七）、平移法：这种方法是将图形中某一部分切割下来平
行移动到一恰当位置，使之组合成一个新的基本规则图形，便于
求出面积.例如，如上页最后一图，欲求阴影部分面积，可先沿
中间切开把左边正方形内的阴影部分平行移到右边正方形内，这
样整个阴影部分恰是一个正方形。
（八）、旋转法：这种方法是将图形中某一部分切割下来之
后，使之沿某一点或某一轴旋转一定角度贴补在另一图形的一侧，
从而组合成一个新的基本规则的图形，便于求出面积.例如，欲
求上图（1）中阴影部分的面积，可将左半图形绕B点逆时针方
向旋转180°，使A与C重合，从而构成如右图（2）的样子，
此时阴影部分的面积可以看成半圆面积减去中间等腰直角三角
形的面积.
（九）、对称添补法：这种方法是作出原图形的对称图形，
从而得到一个新的基本规则图形.原来图形面积就是这个新图形
面积的一半.例如，欲求右图中阴影部分的面积，沿AB在原图下
方作关于AB为对称轴的对称扇形ABD.弓形CBD的面积的一半
就是所求阴影部分的面积。
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（十）、重叠法：这种方法是将所求的图形看成是两个或两
个以上图形的重叠部分，然后运用“容斥原理”（SA∪B＝SA＋
SB-SA∩B）解决。例如，欲求右图中阴影部分的面积，可先求两
个扇形面积的和，减去正方形面积，因为阴影部分的面积恰好是
两个扇形重叠的部分.
二、针对性练习1
1、如下图，正方形ABCD的边长为6厘米，△ABE、△ADF
与四边形AECF的面积彼此相等，求三角形AEF的面积.
2、如下图，甲、乙两图形都是正方形，它们的边长分别是
10厘米和12厘米.求阴影部分的面积。
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3、如下图，梯形ABCD的面积是45平方米，高6米，△AED
的面积是5平方米，BC=10米，求阴影部分面积。
4、如下图，正方形ABCD的边长为4厘米，分别以B、D为
圆心以4厘米为半径在正方形内画圆，求阴影部分面积。
5、矩形ABCD中，AB＝6厘米，BC＝4厘米，扇形ABE半
径AE＝6厘米，扇形CBF的半CB=4厘米，求阴影部分的面积。
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6、如右图，直角三角形ABC中，AB是圆的直径，且AB＝
20厘米，如果阴影（Ⅰ）的面积比阴影（Ⅱ）的面积大7平方厘
米，求BC长。
7、如右图，两个正方形边长分别是10厘米和6厘米，求阴
影部分的面积。
三、图形训练
1、求阴影部分面积：（单位：米）
r= 4
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r=10 16
12cm
8cm
20
30
建筑透视阴影习题集(精品资料).doc
【最新整理，下载后即可编辑】建筑透视阴影习题集2P57点的落影1、 求点A 、B 在投影面上的落影。
2、求点A 在Q 面上的落影2、 求A 、B 、C 点在三棱柱、圆柱、房屋表面上的落影。
3、 求A 点在R 面上的落影。
5、求D 点在△ABC 面上的落影。
XO”P59：直线的落影1、求AB在投影面上的落影。
2、求AB、CD、EF在投影面上的落影。
Xaa’b’bc dc’d’Oe fe’f’4、求AB 在投影面和R 面上的落影。
5、求AB 、CD 在投影面上的落影。
6、求ABC 在投影面和台阶表面上的落影。
8、求AB 在地面、墙面、屋面上的落影。
Oabdca ’b ’d ’c ’X b9、求AB 地面和基座上的落影。
a ’b ’a(b)a ’b ’a(b)b ”a ”10、求正垂线CD 在地面和墙面上的落影。
11、求正垂线AB 和侧垂线AC 的落影。
cdc ’d ’d 0d ’0d ”0a ’(b ’)c ’cabP61：平面的阴影1、求平面图形在投影面上的落影。
（3）门槛内的线条，平行V 面，不是铅垂线。
2、求△ABC 的落影。
3、求ABCD 的落影。
4、求梯形平面在V 面上的落影a d5、求平面在投影面上的落影以及两平面间的互相落影，并区分阴影面。
1’6、求平面图形的落影。
P63平面立体的阴影1、求长方体的阴影4、求两长方体的阴影。
5、求方帽落在方柱及它们在投影面上的影。
4、求门、窗洞、雨篷、阳台的落影。
P71求台阶的落影P73、P87视线迹点法作透视图1、求铅垂线AB 的透视。
2、求水平线AB 的透视。
3、求画面垂直线AB 的透视。
4、求位于基面上正方形及其内部分格的透视。
P89灭点法作透视图1、求矩形平面在不同高度基面上的透视。
2、用灭点法求L形平顶房屋外形的透视图。
3、 求组合长方体的透视。
（P267图16-4）6. 用灭点法求建筑形体的两点透视。
（P268图16-5）sP Hg ’ PHg ’s7.用灭点法求建筑形体的两点透视。
小学数学小学数学期末常考图形计算公式汇总.doc
常考图形计算公式1 、正方形C周长S面积a边长周长=边长×4C=4a面积=边长×边长S=a×a2 、正方体V:体积a:棱长表面积=棱长×棱长×6 S表=a×a×6体积=棱长×棱长×棱长V=a×a×a3 、长方形C 周长 S 面积 a 边长周长 =(长 +宽 ) ×2C=2(a+b)面积 =长×宽S=ab4 、长方体V: 体积 s:面积 a: 长 b: 宽 h: 高(1)表面积 (长×宽 +长×高 +宽×高 ) ×2S=2(ab+ah+bh)(2)体积 =长×宽×高V=abh5 、三角形s 面积 a 底 h 高面积 =底×高÷2s=ah ÷2三角形高 =面积×2÷底三角形底 =面积×2÷高6 、平行四边形s 面积 a 底 h 高面积 =底×高s=ah7 、梯形s 面积 a 上底 b 下底 h 高面积 =(上底 +下底 ) ×高÷2s=(a+b) × h÷28 、圆形S 面积 C 周长∏ d=直径 r= 半径(1)周长 =直径×∏ =2×∏×半径(2)面积 =半径×半径×∏9 、圆柱体v:体积 h: 高 s；底面积 r: 底面半径 c: 底面周长(1)侧面积 =底面周长×高(2)表面积 =侧面积 +底面积×2(3)体积 =底面积×高(4)体积 =侧面积÷ 2×半径10 、圆锥体v:体积 h: 高 s；底面积 r: 底面半径体积 =底面积×高÷3总数÷总份数 =平均数我们曾经学过的三角形、长方形、正方形、平行四边形、梯形、菱形、圆和扇形等图形；一般称为基本图形或规则图形。
(完整word版)六年级下册数学练习题答案人教版.doc
六年级下册数学练习题答案人教版姓名班级学号一、填空题1．七百二十亿零五百六十三万五千写作，精确到亿位，约是亿。
2．把 5:3 化成最简整数比是，比值是。
4小数＝ 1.2: ＝％＝。
3．÷ 15＝4．右图是甲、乙、丙三个人单独完成某项工程所需天数统计图。
请看图填空。
①甲、乙合作这项工程，天可以完成。
②先由甲做 3 天，剩下的工程由丙做还需要天完成。
5．3.4 平方米＝平方分米 1500 千克＝吨6．把四个棱长是 1 厘米的正方体拼成一个长方体，这个长方体的表面积是平方厘米，体积是立方厘米。
7 ．一个圆柱形水桶，桶的内直径是4 分米，桶深 5 分米，现将 47.1 升水倒进桶里，水占水桶容积的％。
8．某车间有 200 人，某一天有 10 人缺勤，这天的出勤率是。
9 ．三年期国库券的年利率是 2.4 ％，某人购买国库券1500 元，到期连本带息共元。
10．一个三角形的周长是 36 厘米，三条边的长度比是5:4:3 ，其中最长的一条边是厘米。
二．判断题1．六年级同学春季植树 91 棵，其中有 9 棵没活，成活率是 91％。
2 ．把 35:0.6化成最简整数比是。
43．两个三角形一定可以拼成一个平行四边形。
4 ．一个圆的半径扩大 2 倍，它的面积就扩大 4 倍。
5．小数的末尾添上 0 或者去掉 0，小数的大小不变。
三、选择题1、下列各式中，是方程的是。
A、5＋ x＝ 7.B 、 5＋ x>7.5C 、 5＋ xD、 5＋2.5 ＝ 7.52 、下列图形中，的对称轴最多。
A、正方形 B 、等边三角形 C、等腰梯形3、a、 b、 c 为自然数，且 a×1225＝b×＝ c÷，则 a、b、 c 中最小的数是。
56A 、aB 、 b C、 c4 、在圆内剪去一个圆心角为45 的扇形，余下部分的面积是剪去部分面积的倍。
A 、B、 C 、115、在 2， 4， 7，8，中互质数有对。
小升初奥数巧求面积---割补法PPT
2020/4/11
8
例4. 在一个等腰三角形中，两条与底边平行的线段将三角形的 两条边等分成三段（见下图），求图中阴影部分的面积占整个图 形面积的几分之几。
2020/4/11
9
解析
从顶点作底边上的高，得到两个相同的直角三角 形。将这两个直角三角形拼成一个长方形见右图。 显然，阴影部分正好是长方形的三分之一，所以 原题阴影部分占整个图形面积的三分之一。 还可以拼成一个平行四边形或将其分成9个三 角形。
S扇=4×4×3.14÷4=12.56（平方厘米） S△=4×4÷2÷2=4（平方厘米） S阴=12.56-4=8.56（平方厘米）
2020/4/11
4厘米
18
例9.如图，圆O的直径是8厘米，则阴影部分的面积是多少平方 厘米？
D
E C
F O
B
2020/4/11
A
19
解析
我们用割补法。看图，阴影部分的面积就是扇形
第六讲 巧求面积---割补 法
2020/4/11
1
知识梳理
相加法
相减法
割补法
2020/4/11
平移法 旋转法
巧求 面积
放大法 等量代换法
直接求法 重叠法 引辅助线法
2
典型例题精讲
例1. 下图中四个圆的半径都是5厘米，求阴影部分的面积。
2020/4/11
3
解析
同学们请看图，我们将图形进行割补。 把阴影部分割补成四个半圆形和一个正方形， 求出阴影部分面积就可以了。
的面积减去正方形的面积。
S扇=8×8×3.14÷4=50.24（平方厘米）
E
S正=8×8÷2=32（平方厘米）
50.24-32=18.24（平方厘米）
小学奥数-几何五大模型(燕尾模型)知识讲解
小学奥数-几何五大模型(燕尾模型)燕尾定理：在三角形ABC 中，AD ，BE ，CF 相交于同一点O ， 那么，::ABO ACO S S BD DC ∆∆=OFE DCBA上述定理给出了一个新的转化面积比与线段比的手段，因为ABO ∆和ACO ∆的形状很象燕子的尾巴，所以这个定理被称为燕尾定理．该定理在许多几何题目中都有着广泛的运用，它的特殊性在于，它可以存在于任何一个三角形之中，为三角形中的三角形面积对应底边之间提供互相联系的途径.通过一道例题 证明燕尾定理：如右图，D 是BC 上任意一点，请你说明：1423:::S S S S BD DC ==S 3S 1S 4S 2EDCBA【解析】 三角形BED 与三角形CED 同高，分别以BD 、DC 为底，所以有14::S S BD DC =；三角形ABE 与三角形EBD 同高，12::S S ED EA =；三角形ACE 与三角形CED 同高，43::S S ED EA =，所以1423::S S S S =；例题精讲燕尾定理综上可得， 1423:::S S S S BD DC ==.【例 1】 （2009年第七届希望杯五年级一试试题）如图，三角形ABC 的面积是1，E 是AC 的中点，点D 在BC 上，且:1:2BD DC =，AD 与BE 交于点F ．则四边形DFEC 的面积等于 ．FED CBA33321F E DC BAABCDEF【解析】 方法一：连接CF ，根据燕尾定理，12ABFACFS BD S DC ==△△，1ABF CBF S AES EC==△△, 设1BDF S =△份，则2DCF S =△份，3ABF S =△份，3AEF EFC S S ==△△份，如图所标所以551212DCEF ABC S S ==△方法二：连接DE ，由题目条件可得到1133ABD ABC S S ==△△，11212233ADE ADC ABC S S S ==⨯=△△△，所以11ABD ADE S BF FE S ==△△， 111111122323212DEF DEB BEC ABC S S S S =⨯=⨯⨯=⨯⨯⨯=△△△△，而211323CDE ABC S S =⨯⨯=△△．所以则四边形DFEC 的面积等于512．【巩固】如图，已知BD DC =，2EC AE =，三角形ABC 的面积是30，求阴影部分面积.【解析】 题中条件只有三角形面积给出具体数值，其他条件给出的实际上是比例的关系，由此我们可以初步判断这道题不应该通过面积公式求面积.又因为阴影部分是一个不规则四边形，所以我们需要对它进行改造，那么我们需要连一条辅助线，(法一)连接CF ，因为BD DC =，2EC AE =，三角形ABC 的面积是30， 所以1103ABE ABC S S ==△△，1152ABD ABC S S ==△△．根据燕尾定理，12ABFCBFS AE S EC ==△△，1ABF ACF S BDS CD==△△, 所以17.54ABF ABC S S ==△△，157.57.5BFD S =-=△，所以阴影部分面积是30107.512.5--=．(法二)连接DE ，由题目条件可得到1103ABE ABC S S ==△△，11210223BDE BEC ABC S S S ==⨯=△△△，所以11ABE BDE S AF FD S ==△△， 111111 2.5223232DEF DEA ADC ABC S S S S =⨯=⨯⨯=⨯⨯⨯=△△△△，而211032CDE ABC S S =⨯⨯=△△．所以阴影部分的面积为12.5．【巩固】如图，三角形ABC 的面积是2200cm ，E 在AC 上，点D 在BC 上，且:3:5AE EC =,:2:3BD DC =，AD 与BE 交于点F ．则四边形DFEC 的面积等于 ．FED CBAABC DEF FEDCBA【解析】 连接CF ，根据燕尾定理，2639ABF ACFS BD S DC ===△△，36510ABFCBFS AE S EC ===△△, 设6ABF S =△份，则9ACF S =△份,10BCF S =△份，5459358EFC S =⨯=+△份，310623CDF S =⨯=+△份，所以24545200(6910)(6)8(6)93(cm )88DCFES =÷++⨯+=⨯+=【巩固】如图，已知3BD DC =，2EC AE =，BE 与CD 相交于点O ,则ABC △被分成的4部分面积各占ABC △ 面积的几分之几？OE DCBA13.54.59211213O E D CBA【解析】 连接CO ,设1AEO S =△份，则其他部分的面积如图所示，所以1291830ABC S =+++=△份，所以四部分按从小到大各占ABC △面积的12 4.5139313.59,,,30306030103020+===【巩固】(2007年香港圣公会数学竞赛)如图所示，在ABC △中，12CP CB =，13CQ CA =，BQ 与AP 相交于点X，若ABC △的面积为6，则ABX △的面积等于 ．XQPABC XQPABC4411XQPCBA【解析】 方法一：连接PQ ．由于12CP CB =，13CQ CA =，所以23ABQ ABC S S =V V ，1126BPQ BCQ ABC S S S ==V V V ．由蝴蝶定理知，21:::4:136ABQ BPQ ABC ABC AX XP S S S S ===V V V V ，所以441226 2.455255ABXABP ABC ABC S S S S ==⨯==⨯=V V V V ． 方法二：连接CX 设1CPX S =△份，根据燕尾定理标出其他部分面积，所以6(1144)4 2.4ABX S =÷+++⨯=△【巩固】如图，三角形ABC 的面积是1，2BD DC =，2CE AE =，AD 与BE 相交于点F ，请写出这4部分的面积各是多少?ABCDE F48621ABCDEF【解析】 连接CF ，设1AEF S =△份，则其他几部分面积可以有燕尾定理标出如图所示，所以121AEF S =△,62217ABF S ==△,821BDF S =△,242217FDCE S +==【巩固】如图，E 在AC 上，D 在BC 上，且:2:3AE EC =,:1:2BD DC =，AD 与BE 交于点F ．四边形DFEC 的面积等于222cm ，则三角形ABC 的面积 ．ABCDE FABCDEF 2.41.62A BC DE F 12【解析】 连接CF ,根据燕尾定理，12ABF ACF S BD S DC ==△△，23ABF CBF S AE S EC ==△△,设1BDF S =△份，则2DCF S =△份，2ABF S =△份，4AFC S =△份，24 1.623AEF S =⨯=+△ 份,34 2.423EFC S =⨯=+△份,如图所标,所以2 2.4 4.4EFDC S =+=份,2349ABC S =++=△份所以222 4.4945(cm )ABC S =÷⨯=△【巩固】三角形ABC 中，C 是直角，已知2AC =，2CD =，3CB =，AM BM =，那么三角形AMN (阴影部分)的面积为多少？【解析】 连接BN ．ABC △的面积为3223⨯÷=根据燕尾定理，::2:1ACN ABN CD BD ==△△；同理::1:1CBN CAN BM AM ==△△设AMN △面积为1份，则MNB △的面积也是1份，所以ANB △的面积是112+=份，而ACN △的面积就是224⨯=份，CBN △也是4份，这样ABC △的面积为441110+++=份，所以AMN △的面积为31010.3÷⨯=．【巩固】如图，长方形ABCD 的面积是2平方厘米，2EC DE =，F 是DG 的中点．阴影部分的面积是多少平方厘米?y B CD EGE D CBAEDB A【解析】 设1DEF S =△份，则根据燕尾定理其他面积如图所示551212BCD S S ==△阴影平方厘米.【例 2】 如图所示，在四边形ABCD 中，3AB BE =，3AD AF =，四边形AEOF 的面积是12，那么平行四边形BODC 的面积为．OFE DCBA684621O F E DCB A【解析】 连接,AO BD ,根据燕尾定理::1:2ABO BDO S S AF FD ==△△,::2:1AOD BOD S S AE BE ==△△,设1BEO S =△,则其他图形面积，如图所标，所以221224BODC AEOF S S ==⨯=.【例 3】 ABCD 是边长为12厘米的正方形，E 、F 分别是AB 、BC 边的中点，AF与CE 交于G ，则四边形AGCD 的面积是平方厘米．GFE DCBAGFE D CBA【解析】 连接AC 、GB ，设1AGC S =△份，根据燕尾定理得1AGB S =△份，1BGC S =△份，则11126S =++⨯=正方形（）份，314ADCG S =+=份，所以22126496(cm )ADCG S =÷⨯=【例 4】 如图，正方形ABCD 的面积是120平方厘米，E 是AB 的中点，F是BC 的中点，四边形BGHF 的面积是平方厘米．EDED【解析】 连接BH ,根据沙漏模型得:1:2BG GD =,设1BHC S =△份，根据燕尾定理2CHD S =△份，2BHD S =△份，因此122)210S =++⨯=正方形（份，127236BFHG S =+=，所以712010146BFHG S =÷⨯=(平方厘米).【例 5】 如图所示，在ABC △中，:3:1BE EC =，D 是AE 的中点，那么:AF FC = ．FE D C BAFE DCB A【解析】 连接CD ．由于:1:1ABD BED S S =△△，:3:4BED BCD S S =△△，所以:3:4ABD BCD S S =△△，根据燕尾定理，::3:4ABD BCD AF FC S S ==△△．【巩固】在ABC ∆中，:3:2BD DC =， :3:1AE EC =，求:OB OE =？ABCDE OABCDE O【解析】 连接OC ．因为:3:2BD DC =，根据燕尾定理，::3:2AOB AOC S S BD BC ∆∆==，即32AOB AOC S S ∆∆=；又:3:1AE EC =，所以43AOC AOE S S ∆∆=．则3342223AOB AOC AOE AOE S S S S ∆∆∆∆==⨯=，所以::2:1AOB AOE OB OE S S ∆∆==．【巩固】在ABC ∆中，:2:1BD DC =， :1:3AE EC =，求:OB OE =？A B CDE O【解析】 题目求的是边的比值，一般来说可以通过分别求出每条边的值再作比值，也可以通过三角形的面积比来做桥梁，但题目没告诉我们边的长度，所以应该通过面积比而得到边长的比．本题的图形一看就联想到燕尾定理，但两个燕尾似乎少了一个，因此应该补全，所以第一步要连接OC ． 连接OC ．A B CDE O因为:2:1BD DC =，根据燕尾定理，::2:1AOB AOC S S BD BC ∆∆==，即2AOB AOC S S ∆∆=；又:1:3AE EC =，所以4AOC AOE S S ∆∆=．则2248AOB AOC AOE AOE S S S S ∆∆∆∆==⨯=， 所以::8:1AOB AOE OB OE S S ∆∆==．【例 6】 （2009年清华附中入学测试题）如图，四边形ABCD 是矩形，E 、F 分别是AB 、BC 上的点，且13AE AB =，14CF BC =，AF 与CE 相交于G ，若矩形ABCD 的面积为120，则AEG ∆与CGF ∆的面积之和为 ．BEH BEBE【解析】 (法1)如图，过F 做CE 的平行线交AB 于H ，则::1:3EH HB CF FB ==，所以122AE EB EH ==，::2AG GF AE EH ==，即2AG GF =，所以122311033942AEG ABF ABCD S S S ∆∆=⨯⨯=⨯⨯=X ．且22313342EG HF EC EC ==⨯=，故CG GE =，则1152CGF AEG S S ∆∆=⨯⨯=．所以两三角形面积之和为10515+=．(法2)如上右图，连接AC 、BG ．根据燕尾定理，::3:1ABG ACG S S BF CF ∆∆==，::2:1BCG ACG S S BE AE ∆∆==， 而1602ABC ABCD S S ∆==X ，所以3321ABG S ∆=++，160302ABC S ∆=⨯=，2321BCG S ∆=++，160203ABC S ∆=⨯=，则1103AEGABG S S ∆∆==，154CFG BCG S S ∆∆==， 所以两个三角形的面积之和为15．【例 7】 如右图，三角形ABC 中，:4:9BD DC =，:4:3CE EA =，求:AF FB ．O F EDCBA【解析】 根据燕尾定理得::4:912:27AOB AOC S S BD CD ===△△::3:412:16AOB BOC S S AE CE ===△△（都有AOB △的面积要统一，所以找最小公倍数） 所以:27:16:AOC BOC S S AF FB ==△△【点评】本题关键是把AOB △的面积统一，这种找最小公倍数的方法，在我们用比例解题中屡见不鲜，如果能掌握它的转化本质，我们就能达到解奥数题四两拨千斤的巨大力量！【巩固】如右图，三角形ABC 中，:3:4BD DC =，:5:6AE CE =，求:AF FB .O F EDCBA【解析】 根据燕尾定理得::3:415:20AOB AOC S S BD CD ===△△::5:615:18AOB BOC S S AE CE ===△△（都有AOB △的面积要统一，所以找最小公倍数） 所以:20:1810:9:AOC BOC S S AF FB ===△△【巩固】如图，:2:3BD DC =,:5:3AE CE =,则:AF BF =GF EDCBA【解析】 根据燕尾定理有:2:310:15ABG ACG S S ==△△,:5:310:6ABG BCG S S ==△△,所以:15:65:2:ACG BCG S S AF BF ===△△【巩固】如右图，三角形ABC 中，:2:3BD DC =，:5:4EA CE =，求:AF FB .O F EDCBA【解析】 根据燕尾定理得::2:310:15AOB AOC S S BD CD ===△△::5:410:8AOB BOC S S AE CE ===△△（都有AOB △的面积要统一，所以找最小公倍数） 所以:15:8:AOC BOC S S AF FB ==△△【点评】本题关键是把AOB △的面积统一，这种找最小公倍数的方法，在我们用比例解题中屡见不鲜，如果能掌握它的转化本质，我们就能达到解奥数题四两拨千斤的巨大力量！【例 8】 (2008年“学而思杯”六年级数学试题)如右图，三角形ABC 中，:::3:2AF FB BD DC CE AE ===，且三角形ABC 的面积是1，则三角形ABE 的面积为，三角形AGE 的面积为，三角形GHI 的面积为．I HGFEDCBAI HG FEDCBA【分析】 连接AH 、BI 、CG ．由于:3:2CE AE =，所以25AE AC =，故2255ABE ABC S S ∆∆==；根据燕尾定理，::2:3ACG ABG S S CD BD ∆∆==，::3:2BCG ABG S S CE EA ∆∆==，所以::4:6:9ACG ABG BCG S S S ∆∆∆=，则419ACG S ∆=，919BCG S ∆=；那么2248551995AGE AGC S S ∆∆==⨯=； 同样分析可得919ACH S ∆=，则::4:9ACG ACH EG EH S S ∆∆==，::4:19ACG ACB EG EB S S ∆∆==，所以::4:5:10EG GH HB =，同样分析可得::10:5:4AG GI ID =，所以5521101055BIE BAE S S ∆∆==⨯=，55111919519GHI BIE S S ∆∆==⨯=．【巩固】 如右图，三角形ABC 中，:::3:2AF FB BD DC CE AE ===，且三角形GHI的面积是1，求三角形ABC 的面积．IH G FEDCBAIH G FEDCBA【解析】 连接，AGC S △=6份根据燕尾定理，::3:26:4AGC BGC S S AF FB ===△△，::3:29:6ABG AGC S S BD DC ===△△得4BGC S =△(份)，9ABG S =△(份)，则19ABC S =△(份)，因此619AGCABCS S =△△, 同理连接、得619ABH ABCS S =△△,619BIC ABC S S =△△, 所以1966611919GHIABCS S ---==△△ 三角形的面积是1，所以三角形的面积是19【巩固】(2009年第七届“走进美妙的数学花园”初赛六年级)如图，ABC∆中2BD DA =，2CE EB =，2AF FC =，那么ABC ∆的面积是阴影三角形面积的 倍．BCB【分析】 如图，连接AI ．根据燕尾定理，::2:1BCI ACI S S BD AD ∆∆==，::1:2BCI ABI S S CF AF ∆∆==，所以，::1:2:4ACI BCI ABI S S S ∆∆∆=， 那么，221247BCI ABC ABC S S S ∆∆∆==++．同理可知ACG ∆和ABH ∆的面积也都等于ABC ∆面积的27，所以阴影三角形的面积等于ABC ∆面积的211377-⨯=，所以ABC ∆的面积是阴影三角形面积的7倍．【巩固】如图在ABC △中，12DC EA FB DBECFA===,求GHI ABC △的面积△的面积的值．IHG FEDCBAIH G FEDCB A【解析】 连接,设BGC S △=1份，根据燕尾定理::2:1AGC BGC S S AF FB ==△△,::2:1ABG AGC S S BD DC ==△△,得2AGC S =△(份)，4ABG S =△(份),则7ABC S =△(份)，因此27AGC ABCS S =△△,同理连接、得27ABH ABC S S =△△,27BIC ABC S S =△△, 所以7222177GHIABCS S ---==△△ 【点评】如果任意一个三角形各边被分成的比是相同的，那么在同样的位置上的图形，虽然形状千变万化，但面积是相等的，这在这讲里面很多题目都是用“同理得到”的，即再重复一次解题思路，因此我们有对称法作辅助线.【巩固】如图在ABC △中，13DC EA FB DBECFA===,求GHI ABC △的面积△的面积的值．IHG FEDCBAIH G FEDCB A【解析】 连接,设BGC S △=1份，根据燕尾定理::3:1AGC BGC S S AF FB ==△△,::3:1ABG AGC S S BD DC ==△△,得3AGC S =△(份)，9ABG S =△(份),则13ABC S =△(份)，因此313AGC ABCS S =△△,同理连接、得13ABH ABC S S =△△,313BIC ABC S S =△△, 所以1333341313GHIABCS S ---==△△【巩固】如右图，三角形ABC 中，:::4:3AF FB BD DC CE AE ===，且三角形ABC 的面积是74，求角形GHI 的面积．IH G FEDCBAIH G FEDCBA【解析】 连接，AGC S △=12份根据燕尾定理，::4:312:9AGC BGC S S AF FB ===△△，::4:316:12ABG AGC S S BD DC ===△△得9BGC S =△(份)，16ABG S =△(份)，则9121637ABC S =++=△(份)，因此1237AGCABCS S =△△, 同理连接、得1237ABH ABCS S =△△,1237BIC ABC S S =△△, 所以3712121213737GHIABCS S ---==△△ 三角形的面积是74,所以三角形的面积是174237⨯=【例 9】 两条线段把三角形分为三个三角形和一个四边形，如图所示， 三个三角形的面积 分别是3，7，7，则阴影四边形的面积是多少？【解析】方法一：遇到没有标注字母的图形，我们第一步要做的就是给图形各点标注字母，方便后面的计算.再看这道题，出现两个面积相等且共底的三角形．设三角形为ABC，BE和CD交于F，则BF FE=，再连结DE．所以三角形DEF的面积为3.设三角形ADE的面积为x，则()():33:10:10x AD DB x+==+，所以15x=，四边形的面积为18．方法二：设ADFS x=△，根据燕尾定理::ABF BFC AFE EFCS S S S=△△△△,得到3AEFS x=+△，再根据向右下飞的燕子，有(37):7:3x x++=，解得7.5x=四边形的面积为7.57.5318++=【巩固】右图的大三角形被分成5个小三角形，其中4个的面积已经标在图中，那么，阴影三角形的面积是．【解析】方法一：整个题目读完，我们没有发现任何与边长相关的条件，也没有任何与高或者垂直有关系的字眼，由此，我们可以推断，这道题不能依靠三角形面积公式求解.我们发现右图三角形中存在一个比例关系：()2:13:4S=+阴影，解得2S=阴影.方法二：回顾下燕尾定理，有2:41:3S+=阴影（），解得2S=阴影.【例 10】如图，三角形ABC被分成6个三角形，已知其中4个三角形的面积，问三角形ABC的面积是多少?35304084OFED CBA【解析】设BOFS x=△，由题意知:4:3BD DC=根据燕尾定理,得::4:3ABO ACO BDO CDOS S S S==△△△△,所以33(84)6344ACOS x x=⨯+=+△，再根据::ABO BCO AOE COE S S S S =△△△△，列方程3(84):(4030)(6335):354x x ++=+-解得56x =:35(5684):(4030)AOE S =++△,所以70AOE S =△所以三角形的面积是844030355670315+++++=【例 11】三角形的面积为15平方厘米，D 为中点，E 为中点，F 为中点，求阴影部分的面积．F CBAF CBA【解析】 令与的交点为M ，与的交点为N ，连接，．在ABC △中，根据燕尾定理，::1:1ABM BCM S S AE CE ==△△,::1:1ACM BCM S S AD BD ==△△, 所以13ABM ACM BCN ABC S S S S ===△△△△由于1122AEM AMC ABM S S S ==△△△S ，所以:2:1BM ME =在EBC △中，根据燕尾定理，::1:1BEN CEN S S BF CF ==△△::1:2CEN CBN S S ME MB ==△△设1CEN S =△(份)，则1BEN S =△(份)，2BCN S =△(份)，4BCE S =△(份)，所以1124BCN BCE ABC S S S ==△△△,1148BNE BCE ABC S S S ==△△△，因为:2:1BM ME =为中点,所以221133812BMN BNE ABC ABC S S S S ==⨯=△△△△,11112248BFN BNC ABC S S S ==⨯=△△△,所以115515 3.1251282424ABC ABC S S S ⎛⎫=+==⨯= ⎪⎝⎭△△阴影(平方厘米)【例 12】如右图，ABC △中，G 是AC 的中点，D 、E 、F 是BC 边上的四等分点，AD 与BG 交于M ，AF 与BG 交于N ，已知ABM △的面积比四边形FCGN 的面积大7.2平方厘米，则ABC △的面积是多少平方厘米？N M GA BCD EFNMGA BC D EF【解析】 连接CM 、CN ．根据燕尾定理，::1:1ABM CBM S S AG GC ==△△，::1:3ABM ACM S S BD CD ==△△，所以15ABM ABC S S =△△；再根据燕尾定理，::1:1ABN CBN S S AG GC ==△△，所以::4:3ABN FBN CBN FBN S S S S ==△△△△，所以:4:3AN NF =，那么1422437ANGAFCSS =⨯=+△△，所以2515177428FCGN AFC ABC ABC S S S S ⎛⎫=-=⨯= ⎪⎝⎭△△△． 根据题意，有157.2528ABC ABC S S -=△△，可得336ABC S =△(平方厘米)【巩固】(2007年四中分班考试题)如图，ABC ∆中，点D 是边AC 的中点，点E 、F 是边BC 的三等分点，若ABC ∆的面积为1，那么四边形CDMF 的面积是．F ABCDEM NFABCDEMN【解析】 由于点D 是边AC 的中点，点E 、F 是边BC 的三等分点，如果能求出BN 、NM 、MD 三段的比，那么所分成的六小块的面积都可以求出来，其中当然也包括四边形CDMF 的面积． 连接CM 、CN ．根据燕尾定理，::2:1ABM ACM S S BF CF ∆∆==，而2ACM ADM S S ∆∆=，所以24ABM ACM ADM S S S ∆∆∆==，那么4BM DM =，即45BM BD =．那么421453215BMF BCD BM BF S S BDBC∆∆=⨯⨯=⨯⨯=，14721530CDMF S =-=四边形． 另解：得出24ABMACM ADM S S S ∆∆∆==后，可得111155210ADMABD S S ∆∆==⨯=， 则11731030ACF ADM CDMF S S S ∆∆=-=-=四边形．【例 13】如图，三角形ABC 的面积是1，BD DE EC ==，CF FG GA ==，三角形ABC 被分成9部分，请写出这9部分的面积各是多少?GFE D CBAN MQPGF EDCBA【解析】 设与交于点P ，与交于点Q ，与交于点M ，与交于点N ．连接，，，．根据燕尾定理，::1:2ABP CBP S S AG GC ==△△，::1:2ABP ACP S S BD CD ==△△，设1ABP S =△(份)，则1225ABC S =++=△(份)，所以15ABP S =△同理可得，27ABQ S =△,12ABN S =△,而13ABG S =△，所以2137535APQ S =-=△，1213721AQG S =-=△．同理，335BPMS =△121BDM S =△,所以1239273570PQMN S =--=四边形，13953357042MNEDS =--=四边形,1151321426NFCE S =--=四边形,1115321642GFNQ S =--=四边形【巩固】如图，ABC ∆的面积为1，点D 、E 是BC 边的三等分点，点F 、G 是AC 边的三等分点，那么四边形JKIH 的面积是多少？K JI HABC D EF GKJI HABC D EFG【解析】 连接CK 、CI 、CJ ．根据燕尾定理，::1:2ACK ABK S S CD BD ∆∆==，::1:2ABK CBK S S AG CG ∆∆==， 所以::1:2:4ACK ABK CBK S S S ∆∆∆=，那么111247ACK S ∆==++，11321AGK ACK S S ∆∆==．类似分析可得215AGI S ∆=． 又::2:1ABJ CBJ S S AF CF ∆∆==，::2:1ABJ ACJ S S BD CD ∆∆==，可得14ACJ S ∆=．那么，111742184CGKJ S =-=． 根据对称性，可知四边形CEHJ 的面积也为1784，那么四边形JKIH 周围的图形的面积之和为172161228415370CGKJ AGI ABE S S S ∆∆⨯++=⨯++=，所以四边形JKIH 的面积为61917070-=．【例 14】如右图，面积为1的ABC △中，::1:2:1BD DE EC =，::1:2:1CF FG GA =，::1:2:1AH HI IB =，求阴影部分面积．CBB【解析】 设IG 交HF 于M ，IG 交HD 于N ，DF 交EI 于P ．连接AM ，IF ．∵:3:4AI AB =，:3:4AF AC =，916AIF ABC S S ∴=△△ ∵::2FIM AMF S S IH HA ==△△，::2FIM AIM S S FG GA ==△△， ∴19464AIM AIF ABC S S S ==△△△ ∵:1:3AH AI = ∴364AHM ABC S S =△△， ∵:1:4AH AB = :3:4AF AC = ∴316AHF ABC S S =△△ ． 同理 316CFD BDH ABC S S S ==△△△ ∴716FDH ABC S S =△△ 33::1:46416HM HF ==， ∵ :3:4,:3:4AI AB AF AC ==，∴IF BC ∥ ，又∵:3:4,:1:2IF BC DE BC ==，∴:2:3,:2:3DE IF DP PF ==，同理 :2:3HN ND =，∵:1:4HM HF =，∴:2:5HN HD =， ∴17710160160HMN HDF ABC S S S ===△△△．同理 6个小阴影三角形的面积均为7160． 阴影部分面积721616080=⨯=．【例 15】如图，面积为l 的三角形中，D 、E 、F 、G 、H 、I 分别是、、 的三等分点,求阴影部分面积.GC BAGCBA【解析】 三角形在开会，那么就好好利用三角形中最好用的比例和燕尾定理吧！令与的交点为M ，与的交点为N ，与的交点为与的交点为Q ,连接、、 ⑴求ADMI S 四边形：在ABC △中，根据燕尾定理，::1:2ABM CBM S S AI CI ==△△::1:2ACM CBM S S AD BD ==△△设1ABM S =△(份)，则2CBM S =△(份),1ACM S =△(份),4ABC S =△(份),所以14ABM ACM ABC S S S ==△△△，所以11312ADM ABM ABC S S S ==△△△,112AIM ABC S S =△△, 所以111()12126ABC ABC ADMIS S S =+=△△四边形, 同理可得另外两个顶点的四边形面积也分别是ABC △面积的16⑵求DNPQES五边形：在ABC △中，根据燕尾定理::1:2ABN ACN S S BF CF ==△△::1:2ACN BCN S S AD BD ==△△,所以111133721ADN ABN ABC ABC S S S S ==⨯=△△△△,同理121BEQ ABC S S =△△ 在ABC △中，根据燕尾定理::1:2ABP ACP S S BF CF ==△△,::1:2ABP CBP S S AI CI ==△△ 所以15ABP ABC S S =△△所以1111152121105ABP ADN BEP ABC ABC DNPQE S S S S S S ⎛⎫=--=--= ⎪⎝⎭△△△△△五边形同理另外两个五边形面积是ABC △面积的11105所以11113133610570S =-⨯-⨯=阴影【例 16】如图，面积为l 的三角形中，D 、E 、F 、G 、H 、I 分别是、、 的三等分点,求中心六边形面积.GCBAGCBA【解析】 设深黑色六个三角形的顶点分别为N 、R 、P 、S 、M 、Q ，连接在ABC △中根据燕尾定理，::.2:1ABR ACR S S BG CG ==△△,::1:2ABR CBR S S AI CI ==△△所以27ABR ABC S S =△△,同理27ACS ABC S S =△△,27CQB ABC S S =△△所以222117777RQS S =---=△同理17MNP S =△根据容斥原理，和上题结果11131777010S =+-=六边形【例 17】（2009年数学解题能力大赛六年级初试试题）正六边形1A ，2A ，3A ，4A ，5A ，6A 的面积是2009平方厘米，1B ，2B ，3B ，4B ，5B ，6B 分别是正六边形各边的中点；那么图中阴影六边形的面积是 平方厘米．A 4B 5A 3A 45A 3【解析】 （方法一）因为空白的面积等于23A A G △面积的6倍，所以关键求23A A G△的面积，根据燕尾定理可得2312333117732A A G A A A S S S ==⨯⨯△△正六边形，但在123A A A △用燕尾定理时，需要知道13,A D A D 的长度比，连接1363,A A A A ,1A G ,过6B 作12A A 的平行线，交13A A 于E ，根据沙漏模型得1A D DE =,再根据金字塔模型得13A E A E =,因此13:1:3A D A D =,在123A A A △中，设121A A GS=△份，则233A A GS =△份,313A A GS=△份，所以2312333111773214A A G A A A S S S S ==⨯⨯=△△正六边形正六边形， 因此141620091148147S S =-⨯=⨯=阴影正六边形（）（平方厘米） （方法二）既然给的图形是特殊的正六边形，且阴影也是正六边形我们可以用下图的割补思路，把正六边形分割成14个大小形状相同的梯形，其中阴影有8个梯形，所以阴影面积为82009114814⨯=（平方厘米）A 3A【例 18】已知四边形ABCD ，CHFG 为正方形，:1:8S S =乙甲，a 与b 是两个正方形的边长，求:?a b =baEDbaNMHFED【解析】 观察图形，感觉阴影部分像蝴蝶定理，但是细细分析发现用蝴蝶定理无法继续往下走，注意到题目条件中给出了两个正方形的边长，有边长就可以利用比例，再发现在连接辅助线后可以利用燕尾，那么我们就用燕尾定理来求解 连接、，根据燕尾定理：::AOE AOF S S a b =△△，::AOF EOF S S a b =△△ 所以 22::AOE EOF S S a b =△△，作⊥、⊥， ∵=∴22::OM ON a b = ∴33::1:8S S a b ==乙甲∴:1:2a b =。
【精品】五年级(上) 数学应用题及解析-类型二 平面图形应用题人教新课标版(2014秋)
类型二平面图形应用题【知识讲解】一、面积公式：平行四边形面积=底×高三角形面积=底×高÷2梯形面积=（上底+下底）×高÷2二、组合图形面积求法：1.割补法割：把组合图形分割成已学过图形，再求面积和例：阴影面积=12×2×6+12×4×6补：把不规则的组合图形补成已学过图形，再求面积差例：阴影面积＝长方形面积－三角形Ⅰ面积－三角形Ⅱ面积－三角形Ⅲ面积2.平移法阴影面积=大长方形面积-小长方形面积【例题讲解】【例题1】计算下面图形的面积【解析】分别根据三角形的面积公式和梯形的面积公式计算出面积，然后相加即可解答【答案】解：60×（78﹣48）÷2+（60+100）×48÷2=60×30÷2+160×48÷2=900+3840=4740（平方米）答：图形的面积是4740平方米【小结】本题主要考查了三角形和梯形面积公式的应用，三角形的面积=长×宽÷2，梯形的面积=（上底+下底）×高÷2【例题2】在一长方形草地里有一条宽1米的曲折小路，如图所示，草坪的面积是________平方米【解析】如图，小路的宽为1米，如果把小路两边的草坪利用平移的性质将他们平移到一起，正好组成一个长为10﹣1=9，米宽为8﹣1=7米的长方形，由此计算得出这个长方形的面积就是草坪的面积【答案据题干分析：（10﹣1）×（8﹣1）=63（平方米），答：草坪的面积是63平方米【小结】根据平移的性质，将草坪平移到一个长方形中，利用长方形的面积公式计算即可解决问题【巩固练习】一、平行四边形1.把一个平行四边形割补成一个长方形后，面积不变，周长（）A．扩大了 B．缩小了 C．不变2.如图，把平行四边形沿高剪开，在把三角形向右平移（）cm，可以得到一个与原图形面积相等的长方形A．2 B．5 C．83. 用手拉一个活动的长方形框架，使它成为一个平行四边形，这个平行四边形的面积（）原来长方形面积A．大于 B．小于 C．等于4. 在图中，平行四边形的面积是阴影部分面积的（）A．3倍 B．4倍 C．6倍5. 平行四边形的底是0.6米，高是0.4米，与它等底等高的三角形的面积是（）A．0.12平方米 B．0.48平方米 C．0.24平方米6. 一个平行四边形，底扩大12倍，高缩小4倍，那么这个平行四边形的面积（）A．扩大12倍 B．缩小4倍 C．不变 D．扩大3倍7. 用两个完全一样的直角三角形拼成一个平行四边形，有下面两种拼法．（1）拼成的两个平行四边形的面积相等吗？（）（2）拼成的两个平行四边形的周长相等吗？（）A.相等B.不相等8. 如图：阴影部分甲与阴影部分乙比较（）A.甲＞乙B.甲＜乙C.甲=乙D.无法比较9. 如图，在矩形ABCD中，横向阴影部分是矩形，另一阴影部分是平行四边形，其中a=10，b=5，c=1，计算图中空白部分的面积，其面积是（）A.34B.35C.36D.3710. 一个平行四边形的面积是8平方分米，如果它的底和高分别扩大到原来的3倍，它的面积就变成平方分米11. 如图：已知三角形的面积是60平方米，求阴影部分梯形面积．（单位：米）12. 一个长方形木框，长10dm，宽8dm，将它拉成一个平行四边形，面积变，这个平行四边形的周长为 dm13. 有一块平行四边形的麦田，底275米，高60米，共收小麦19.8吨．这块麦田有多少公顷？平均每公顷收小麦多少吨？14. 有一块平行四边形钢板，底是8.4分米，高是3.5分米．如果每平方分米钢板重0.75千克，这块钢板重多少千克？15. 一块平行四边形的广告牌，每平方米大约要用油漆0.34千克，油漆工人带来15千克油漆，要刷完这块广告牌，这些油漆够吗？16. 你能准确地填出下表吗？底/cm 2.4 1.2高/cm 3.2 4.8平行四边形的面积/cm2 3.84 3.8417. 有一块平行四边形菜地（如图），在它的四周围一圈篱笆，请你求出篱笆的长度18. 一块平行四边形的草坪中有一条长8米、宽1米的小路，草坪的面积是多少？如果铺每平方米草坪的价格是16元，那么铺好这些草坪需要多少钱？二、三角形19. 用一张长方形纸剪同样的三角形（如图），最多能剪成（）个这样的三角形20. 图中，平行线间的三个图形，它们的面积相比（）A．平行四边形的面积大 B．三角形的面积大C．梯形的面积小 D．面积都相等21. 长、宽分别相等的两个长方形中，各有一个涂颜色的三角形（如图）．这两个三角形的面积（）A．一样大 B．不一样大 C．无法比较22. 等腰三角形一边长为4，另一边长为2，则其周长为（）A.10B.10或8C.8D.623. 已知一个等腰三角形的周长为12cm，一条边为3cm，另有一条边为（）cmA.6B.4.5C.6或4.524. 求阴影部分面积（单位：厘米）25. 你知道吗，我国古代数学名著《九章算术》中记载了一些常见图形的面积计算方法，如三角形面积的计算方法，数学家刘徽在注文中用“以盈补虚”的方法加以说明．如果三角形的底12厘米，高6厘米，用如下图的方法将三角形转化成长方形，那么转化成的长方形的长是厘米，宽是厘米，面积是平方厘米．（“广”指三角形的底，“从”指三角形的高）26. 公园里有两块空地，计划分别种玫瑰和牡丹玫瑰每棵占地1m2每棵6元牡丹每棵占地2m2每棵10元种玫瑰一共需要多少钱？牡丹园和玫瑰园一共占地多少平方米？三、梯形27. 如图，用篱笆围成一块梯形菜地，梯形一边是利用房屋墙壁，篱笆总长80米，这块梯形菜地的面积是（）A．600㎡ B．487.5㎡ C．712.5㎡ D．975㎡28. 工地上有一堆钢管，横截面是一个梯形，已知最上面一层有2根，最下面一层有12根，共堆了11层，这堆钢管共有根29. 如图，A点是长方形一边上的中点，如果长方形的面积是40平方厘米，梯形的面积是平方厘米，三角形的面积是平方厘米四、组合图形30. 求阴影部分的面积31. 某市有一块工业园，地面形状如图，根据图上所标的长度计算这块地有多少公顷？32. 如图中，大梯形面积是阴影部分面积的倍33. 如图，一面装饰墙的墙面是由两种颜色的瓷砖贴成的．黑与白两种瓷砖的面积比是34. 计算下面图形的面积35. 计算下面图形的面积36. 求图形中阴影部分的面积．（单位：dm）参考答案与解析1. 【解析】根据题意可知，把一个平行四边形割补成一个长方形后，面积不变，但是平行四边形有两条斜边变成了直边（长方形的宽），长度减少了，所以周长也会减少周长变小了【答案】解：据分析可知：把一个平行四边形割补成一个长方形后，面积不变，周长变小了故选：B2. 【解析】根据平行四边形的面积公式和长方形的面积公式来进行解答【答案】解：因移动后得到的长方形的面积和平行四边形的面积相等，平行四边形的高和长方形的高相等，所以长方形的长要和平行四边形的底相等，要是8厘米所以要把三角形向右平移8厘米可得到一个与原图形面积相等的长方形故选：C3. 【解析】把一个活动的长方形框架拉成一个平行四边形，周长没变，面积比原来长方形的面积小了【答案】解：把一个活动的长方形框架拉成一个平行四边形，周长没变，由于拉成的平行四边形的高小于原来长方形的宽，所以面积比原来长方形的面积小答：它的面积则小于原来的长方形面积故选：B4. 【解析】图阴影部分三角形和平行四边形的高相等，底等于平行四边形底的一半，所以平行四边形的面积是阴影部分面积的2×2=4倍据此解答【答案】解：设平行四边形的底是a，高是h，所以，ah÷（12ah×12）=4所以平行四边形的面积是阴影部分面积的2×2=4倍故选：B5. 【解析】根据题意，三角形的底为0.6米，高为0.4米，那么根据三角形的面积公式进行计算即可得到答案【答案】解：0.6×0.4÷2，=0.12（平方米）；答：与它等底等高的三角形的面积是0.12平方米故选：A6. 【解析】平行四边形的面积=底×高，若底扩大12倍，高缩小4倍，那么面积就扩大12÷4=3倍，据此解答【答案】解：因为平行四边形的面积=底×高，若底扩大12倍，高缩小4倍，那么面积就扩大12÷4=3倍答：这个平行四边形的面积扩大了3倍故选：D7. 【解析】用两个完全一样的直角三角形拼成一个平行四边形，用三种拼法，无论哪一种拼法面积都相等，但是不同的拼法得到的平行四边形周长不相等【答案】解：（1）拼成的两个平行四边形的面积相等．这种说法是对的（2）拼成的两个平行四边形的周长不相等．这种说法是错误的故选：（1）A；（2）B8. 【解析】根据长方形的面积等于与它同底等高的平行四边形的面积，得出阴影部分甲+空白三角形的面积=阴影部分乙+空白三角形的面积，再将等式两边同时减去空白三角形的面积，即可得出阴影部分甲与阴影部分乙的面积相等【答案】解：观察图形可知：阴影部分甲+空白三角形的面积=阴影部分乙+空白三角形的面积，所以阴影部分甲的面积=阴影部分乙的面积故选C9. 【解析】矩形ABCD的面积为a×b=10×5=50；横向阴影部分面积为c×a=1×10=10；另一阴影部分面积为c×b=1×5=5，两个阴影重复的部分是底为1高为1的平行四边形，面积为1，则空白部分的面积为矩形面积减去横向阴影部分面积减去另一阴影部分面积再加上两个阴影重复的部分面积，计算即可故选：C10. 【解析】根据平行四边形的面积公式：s=ah，再根据积的变化规律：积扩大的倍数等于因数扩大倍数的乘积．如果平行四边形的底和高都扩大3倍，那么它的面积就扩大3的平方倍，解答即可【答案】解：8×3×3=8×9=72（平分米）答：它的面积是72平方分米故答案为：7211. 【解析】首先根据三角形的面积公式：s=ah÷2，那么h=2s÷a，把数据代入公式求出三角形的高（梯形的高），再根据梯形的面积公式：s=（a+b）×h÷2，把数据代入公式解答【答案】解：60×2÷8=15（米），（8+24+24）×15÷2=56×15÷2=840÷2=420（平方米）答：阴影部分的面积是420平方米12. 【解析】把长方形木框拉成平行四边形，它的高变短了，所以它的面积就变小了，而四个边的长度没变，则其周长不变，所以长方形的木框的周长就是这个平行四边形的周长【答案】解：长方形木框拉成平行四边形，它的高变短了，所以它的面积就变小了；周长是（10+8）×2=18×2=36（分米）答：面积变小，这个平行四边形的周长为36分米故答案为：小，3613.【解析】先利用平行四边形的面积公式求出麦田的面积；总产量已知，总产量除以总面积就是单产量．【答案】解：275×60=16500（平方米）=1.65（公顷）；19.8÷1.65=12（吨）；答：这块麦田有1.65公顷，平均每公顷收小麦12吨14. 【解析】根据“平行四边形的面积=底×高”先计算出钢板的面积，进而根据“每平方分米钢板重（0.75）×钢板的面积=钢板的重量”进行解答即可【答案】解：0.75×（8.4×3.5）=0.75×29.4=22.05（千克）答：这块钢板重22.05千克15. 【解析】广告牌的底和高已知，利用平行四边形的面积公式先求出广告牌的面积，每平方米的用漆量已知，乘广告牌的面积就是总的用漆量，将得数与15千克相比，就可以知道这些油漆够不够【答案】解：（5×4）×0.34=20×0.34=6.8（千克）6.8千克＜15千克答：要刷完这块广告牌，15千克油漆足够16. 【解析】根据平行四边形的面积公式=底×高进行计算即可得到答案【答案】解：3.84÷2.4=1.6（厘米）1.2×3.2=3.84（平方厘米）3.84÷4.8=0.8（厘米）底/cm 0.8高/cm 1.6平行四边形的面积/cm2 3.8417. 【解析】首先根据平行四边形的面积公式：s=ah，求出这块菜地的面积，然后求出高24米所对应的底边长是多少米，进而求出平行四边形的周长据此列式解答【答案】解：30×18÷24=22.5（米）（30+22.5）×2=52.5×2=105（米）答：篱笆的长度是105米18. 【解析】将两边草地向中间平移，可得底为20﹣1=19米，高为8米的平行四边形草地，再根据平行四边形面积公式求解即可，用草地的面积乘单位面积的草坪的价格，就是铺这块草坪需要的总钱数【答案】解：（20﹣1）×8=19×8=152（平方米）152×16=2432（元）答：草地的面积为152平方米，铺好这些草坪需2432元钱19. 【解析】剪的两个同样的三角形可组成一个长10厘米，宽4厘米的长方形．只要求出在长50厘米的边上，能剪几个4厘米宽的长方形，就能求出最多能剪几个这样的三角形．据此解答【答案】解：50÷4=12（个）…2（厘米），12×2=24（个）答：最多能剪24个这样的三角形故选：B20. 【解析】在图中，三个图形的高相等，梯形的上底、下底、平行四边形的底、三角形的底都已知，再依据三者的面积公式即可判断它们的面积大小【答案】解：平行四边形的面积=3×h=3h，三角形的面积=12×6×h=3h，梯形面积=（2+1）×h÷2=1.5h，所以梯形的面积最小故选：C21. 【解析】阴影部分都是这个长方形面积的一半，所以它们的面积相等【答案】故选：A22. 【解析】因为在三角形中任意两边的和大于第三边，所以根据题意4+4＞2，2+2=4，判断4为等腰三角形的腰长，由此把三角形的三条边加起来就是三角形的周长【答案】解：4+4+2=10；故选：A23. 【解析】已知中等腰三角形的周长为12cm，一边长为3cm，但没有明确指明3cm是底边还是腰，因此要分两种情况，分类讨论【答案】解：因为等腰三角形的周长是12cm，一条边长是3cm，所以当3cm为底时，其它两边都为4.5cm，且3cm、4.5cm、4.5cm可以构成三角形；当3cm为腰时，其它两边为3cm和6cm，且3cm、3cm、6cm不可以构成三角形．所以另两边是4.5cm、4.5cm故选：B24. 【解析】（1）阴影的部分的面积等于平行四边形的面积减去空白三角形的面积，根据平行四边形的面积公式：s=ah，三角形的面积公式：s=ah÷2，把数据代入公式求出它们的面积差即可（2）阴影部分的面积等于梯形的面积减去空白三角形的面积，根据梯形的面积公式：s=（a+b）×h÷2，三角形的面积公式：s=ah÷2，把数据代入公式求出它们的面积差即可【答案】解：（1）12×6﹣8×6÷2=72﹣24=48（平方厘米）答：阴影部分的面积是48平方厘米（2）（8+10）×6÷2﹣8×6÷2=18×6÷2﹣48÷2=54﹣24=30（平方厘米）答：阴影部分的面积是30平方厘米25. 【解析】观察图形发现，按照图形的方法将三角形转化成长方形，那么转化成的长方形的长是三角形的底，宽是三角形高的一半，求面积是多少平方厘米用长方形的面积公式计算．所以三角形的面积就等于底乘高除以2【答案】解：6÷2=3（厘米）12×3=36（平方厘米）答：将三角形转化成长方形，那么转化成的长方形的长是12厘米，宽是3厘米，面积是36平方厘米26. 【解析】（1）先利用三角形的面积公式S=ah÷2计算出玫瑰园的面积，再除以每棵玫瑰占的面积计算出棵数，再乘上单价即可得解；（2）分别利用三角形的面积公式S=ah÷2计算出各自的面积，再相加即可得解【答案】解：60×20÷2÷1×6=600×6=3600（元）60×20÷2+30×20÷2=600+300=900（平方米）答：种玫瑰一共需要3600元钱，牡丹园和玫瑰园一共占地900平方米27. 【答案】解：（80﹣15）×15÷2=65×15÷2=975÷2=487.5平方米）答：梯形的面积是487.5平方米故选：B28. 【解析】根据梯形的面积公式等于梯形的上、下底之和乘以高除以2直接解答即可【答案】解：（2+12）×11÷2=14×11÷2=77（根）答：这堆钢管共有77根故答案为：7729. 【解析】如图所示，由“A点是长方形一边上的中点，长方形的面积是40平方厘米”可知，三角形的面积=12×长×宽×12=14×长×宽，由此可得三角形的面积是长方形面积的14，从而可以求出三角形的面积和梯形的面积【答案】解：三角形的面积=12×长×宽×12=14×长×宽=14×40=10（平方厘米），梯形的面积=40﹣10=30（平方厘米）；故答案为：30、1030. 【解析】（1）阴影部分的面积=长方形的面积﹣梯形的面积，利用长方形的面积公式S=ab和梯形的面积公式S=（a+b）h÷2即可求解；（2）阴影部分的面积=梯形的面积﹣长方形的面积，利用长方形的面积公式S=ab 和梯形的面积公式S=（a+b）h÷2即可求解【答案】解：（1）52×34﹣（52+26）×12÷2=1768﹣78×12÷2=1690﹣468=1222（平方分米）答：阴影部分的面积是1222平方分米（2）（20+40）×15÷2﹣15×8=60×15÷2﹣120=450﹣120=330（平方厘米）答：阴影部分的面积是330平方厘米31. 【解析】观察图形可知，这个工业园的面积等于上面的梯形的面积与下面的三角形的面积之和，据此根据梯形和三角形的面积公式进行计算即可解答问题【答案】解：（200+420）×200÷2+420×300÷2=62000+63000=125000（平方米）=12.5公顷答：这块地的面积是12.5公顷32. 【解析】观察图形可知，AB是这个梯形的中位线，所以可得出这条中位线的长度是（x+2x+x）÷2=2x，据此可得出阴影部分的小梯形的上底是x，下底是2x，又根据梯形的中位线的性质可得，阴影部分的小梯形的高等于大梯形的高的一半，据此设小梯形的高是h，则大梯形的高就是2h，据此根据梯形的面积=上下底之和×高÷2，分别表示出这两个梯形的面积，再相除即可解答【答案】解：根据题干分析可得：AB是大梯形的中位线，设小梯形的高是h，则大梯形的高就是2h，则小梯形的面积是：（x+2x）×h÷2=32xh，大梯形的面积是：（x+3x）×2h÷2=4xh，4xh÷32xh=83，答：大梯形的面积是小梯形的面积的83倍33. 【解析】根据图可知：两个白色的三角形的瓷砖的面积和为整个四边形面积的14，两个小正方形的面积和为整个四边形面积的14的12，即整个四边形面积的1 4×12=18；则整个白色瓷砖的面积和为整个四边形面积的（14+18）=38，则整个黑色瓷砖的面积为整个四边形面积的（1﹣38）=58，然后根据题意进行比即可【答案】解：14+14×12=38，1-38=58，则黑与白两种瓷砖的面积比：58：38=5：3；34. 【解析】解（1）8×10+（10﹣5）×（12﹣8）÷2=80+5×4÷2=90答：面积是90（2）6×4÷2=24÷2=12答：阴影部分的面积是12（3）4×4+3×3﹣（4+3）×4÷2=16+9﹣14=25﹣14=11答：阴影部分的面积是1135. 【解析】这道题乍一看觉得难，仔细观察可以找到简单的算法，做题前要仔细观察观察可以发现甲比乙少的面积正好等于大三角形的面积减长方形的面积【答案】6×（5+4）÷2-6×4=3（平方厘米）答：阴影部分的面积是3平方厘米36. 【解析】由题意可知：阴影部分的面积就等于大正方形的面积的一半加上右侧梯形的面积再减去下面空白的大三角形的面积，据此解答即可【答案】解：8×8÷2+（6+8）×6÷2﹣（8+6）×6÷2=32+42﹣42=32（平方分米）答：图形中阴影部分的面积是32平方分米。
面积求解的九类方法
面积求解的九类方法一、相加法这种方法是将不规则图形转化成或割分成几个基本的规则图形，如三角形、四边形、扇形、半圆形或圆形，然后分别计算它们的面积，最后相加求出整个图形的面积。
例如求下图图形的面积。
解析：总面积=半圆的面积+正方形的面积二、相减法这种方法是将不规则图形看成是若干个基本规则图形的面积之差，然后分别计算它们的面积，最后相加减，得出所求图形的面积。
四、重新组合法这种方法是将不规则图形拆开并重组，根据具体情况和计算上的需要，重新组合成一个更容易求解的图形，这种思路可以理解为化零为整，如果在实际操作中，感觉拆分重组比较困难抽象，可以考虑单独求解每个独立的单元，然后利用相加法的思想求解。
例如求下图左侧图形阴影部分的面积。
解析：阴影部分面积=正方形的面积-圆形的面积五、辅助线法这种方法是根据图形的具体情况，在图形中添加一条或若干条辅助线，使不规则图形或一个动态图形通过平行、局部等面积转移，从而构造一个规则图形或一个面积固定的基本图形进行面积求解，通常这类题目涉及的知识点是等面积转化法，如同底等高，平行线转移顶点等，在中学阶段，这是一类难度相对较大的面积求解类问题。
例如求下图左侧图形阴影部分的面积。
解析：阴影部分面积=12ACxBH思路：连接BE，并过点B作BH⊥AC，交点为点H,因为AC、BE分别是两个正方形的对角线，所以AC∥BE，所以△ACE的面积与△ABC的面积相等。
六、割补法这种方法是将原图形的一部分切割下来补到图形中的另一部分使之成为基本规则图形，从而使问题得到解决。
这种方法的优点是构造完成后会很大程度上降低计算量，另外，割补法也是在初中阶段，计算二次函数图像或其它曲线围成的不规则图形进行求面积的唯一选择，但割补法对学生空间的想象能力有一定要求，在求解大多面积问题时，不要盲目强求通过割补，达到求解面积的目的，这样反而会在实际的考试中造成不必要的时间上浪费。
例如求下图图形阴影部分的面积。
中考第二轮复习：弧长与扇形面积的押轴题解析汇编二
弧长与扇形面积的押轴题解析汇编二弧长与扇形面积一、选择题3．（2011年内蒙古呼和浩特，3，3）已知圆柱的底面半径为1,母线长为2,则圆柱的侧面积为( ) A.2 B.4 C.2π D.4π解题思路】根据圆柱的侧面积的计算公式:圆柱的侧面积=底面周长⨯高.【答案】D【点评】本题考查圆柱的侧面积的求法,应明确圆柱的侧面展开图是矩形,矩形的长是圆柱的底面圆的周长,矩形的宽是圆柱的母线长.难度较小.4. （2011广东珠海，3，3分）圆心角为600且半径为3的扇形的弧长为（ ）A 、2πB 、πC 、23πD 、3π 【解题思路】根据弧长公式L=180R n π=180360⨯π=π。
可知选项B 正确．难度适中． 【答案】B ．【点评】本题考查了扇形的弧长计算方法和计算公式。
1. （2011安徽，7，4分）如图，⊙半径是1，A 、B 、C 是圆周上的三点，∠BAC=36°，则劣弧BC 的长 ( )A.5π B.25π C. 35π D. 45π【解题思路】由弧长公式L=可知，只要求出弧BC 所对的圆心角度数即可.连接OB 、OC ，得∠BOC=2∠A=2×36°= 72°，所以L=，应选B.【答案】B.【点评】本题主要考查圆中弧长公式和圆周角定理的应用.难度较小. 2. （2011贵州毕节,15,3分）如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝10，CB＝16，分别以AB 、AC 为直径作半圆，则图中阴影部分面积是( ) A 、4850-π B 、4825-π C 、2450-π D 、24225-π 【解题思路】设半圆与BC 的交点为D,连结AD,可得阴影部分面积等于两个半圆面积之和减去三角形ABC 的面积。
故答案B 正确。
A 、C 、D 均不正确。
【答案】B【点评】本题考查了圆中阴影部分面积的求法，在解题是要善于把阴影部分进行分割，把它转化为弓形、三角形、扇形等图形。
经典几何模型一半模型
知识点:【例1】如图所示，长方形的面积为36平方厘米，四边形RMON的面积是3平方厘米，则阴影部分的面积是平方厘米.【例2】（2008年”华杯赛”初赛）如图所示，长方形屋8的面积为24平方厘米.三角形与三角形BCN 的面积之和为7.8平方厘米，则四边形PMON的面积是________________ 平方厘米.【例3】如图所示，长方形488内的阴影部分的面积之和为70, AB = 8, 40 = 15,四边形EFGO的面积为，【巩固1】如图所示，正方形斜8的边长为8厘米，长方形EBG产的长5G为10厘米，那么长方形的宽为几厘米？D G C【巩固2] （2011华杯赛决赛试题）已知长方形488,四边形4EFG是梯形，且GB = BF ,已知长方形的面积是2011,求梯形且EFG的面积。
放心做自己想做的图2中，48co 是长方形，£尸平行于8a 四边形4EC 尸的面积是17.5, 三角形4ED的面积是20,三角形的面积是15,三角形CDF 的面积 是12.5,问三角形4BE 的面积是多少？7.如图，在梯形血D 中.三角用皿?的面积是6平方厘米，且3的性是.邨的2倍.梯格应0的 面积是 平方1M 米.放心做自己想做的10. 2.如图，长方形48co 的长和宽分别为6和4, E 、F 分别为刀。
、C 。
的中点,阴影部分面积为18.如下图，已知：梯形且君S 的面积为160G/，E为月B边上中点，DF： FC= 3:5,那么阴影部分的面积为切儿如图，是长方形，EF与宽平行，GH与长平行，的长是K厘米，的长是6厘米，那么图中阴影部分的面积是平方厘米.放心做自己想做的QOOS年春蕾杯五年级决赛）如图，长方形38的边上有两点E、尸，线段CF、DF. CE. BE把长方形分成若干块，其中三个小木块的面积标注在图上，阴影部分面积是平方米。
（2008年仁华考题）如图，正方形的边长为10,四边形EFG口的面积为5,那么阴影部分的面积是.1.（成都外国语学校2006年“德瑞杯”知识竞赛）如图，平行四边形源8的周长为75厘米以me为底时高是14厘米，以8为底时高是16厘米。
初中数学精品试题：第二讲 面积
第2讲面积一. 内容提要班级：姓名：计算图形的面积是几何问题中一种常见问题，求面积的基本方法有：1．直接法：根据面积公式和性质直接进行运算．2．割补法：通过分割或补形，把不规则图形或不易求解的问题转化为规则图形或易于求解的问题．3．等积法：根据面积的等积性质进行转化求解，常见的有同底等高、同高等底和全等的等积转化．4．等比法：将面积比转化为对应线段的比．二. 热身练习1．如图,一个大长方形被两条线段AB、CD分成四个小长方形,如果其中图形Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的面积分别为8,6,5,那么阴影部分的面积为( ).A.92B.72C.103D.1582．如图,正方形的边长为a,以各边为直径在正方形内画半圆,所围成的图形(•阴影部分)的面积为( ).A.πa2-a2B.2πa2-a2C.12πa2-a2 D.a2-14πa23．如图,△ABC中,点D、E、F分别在三边上,E是AC的中点,AD、BE、CF交于一点G,BD=2DC,S△GEC =3,S△GDC=4,则△ABC的面积是( ).A.25B.30C.35D.404．如图所示，长方形ABCD中，AB=24cm，BC=36cm，E是BC的中点，F，G分别是AB，CD的4等分点，H为AD上任意一点。
则阴影部分面积为。
5．已知△ABC中三边长分别为a，b，c，对应边上的高分别为h a=4，h b=5，h c=3．则a∶b∶c= ．6．如图,平行四边形ABCD中,AE=2EC,BF=2AF,SΔBEF=2.则平行四边FED C BA12形ABCD 的面积为 . 三. 例题分析例1．你会用几种不同的方法把一个三角形的面积平均分成4等份？例2．在△ABC 内部或边界上任取一点P ，记P 到三边a ，b ，c 的距离依次为x ，y ，z ．求证：ax+by+cz 是一个常数．例3．如图,三角形ABC 的面积为1,BD:DC=2:1,E 是AC 的中点,AD 与BE 相交于点P,那么四边形PDCE 的面积为_______. 例4．已知：△ABC 中，31===CA CF BC BE AB AD ，求：ABC DEF S △△S 的值。