重庆市南开中学2019-2020学年高一上学期期末考试数学试题 含解析
重庆市南开中学2019-2020学年高一上学期期末考试数学试题本试整分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟.第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题12个小题，每小题5分，共60分，每小题只有一个选项符合要求，答案请涂写在机读卡上.1.已知集合{}|12A x x =-<，(){}|ln 2B x y x ==-，则A B =（ ）A. ()1,3-B. ()3,1-C. ()1,2-D. ∅【答案】C首先根据绝对值不等式的解法以及对数的定义域求出集合A 、B ，再利用集合的交运算即可求解.【详解】因为1221231x x x -<⇒-<--<⇒<< 则A {}13x x =-<<，(){}{}|ln 22B x y x x x ==-=<， 所以A B =()1,2-，故选：C【点睛】本题考查了根据绝对值不等式的解法、对数的定义域以及集合的交运算，属于基础题.2.函数2sin cos 3y x x =+的最小正周期为（ ）A. 2πB. πC. 2πD. 4π【答案】B利用二倍角公式将函数化为sin 23y x =+，再由公式2T πω=即可求解.【详解】函数2sin cos 3sin 23y x x x =+=+，所以222T πππω===， 故选：B【点睛】本题考查了正弦的二倍角公式以及周期公式，需熟记公式，属于基础题.3.函数2()ln f x x x=-的零点所在的区间是（ ） A. (1,2) B. (2,3)C. (3,4)D. (,)e +∞【答案】B 试题分析：()()()()()10,20,302?30f f f f f <∴<，所以函数2()ln f x x x=-的零点所在的区间是(2,3) 考点：函数零点存在性定理4.扇形的周长是4，面积为1，则该扇形的圆心角的弧度数是（ ） A.12B. 1C. 2D. 4【答案】C设扇形的弧长为l ，半径为r ，扇形的圆心角的弧度数是α，则24r l +=，①112S lr ==扇形 ，②解①②得：1r =，2l =∴扇形的圆心角的弧度数2lrα== 故选C5.锐角α满足2sin 33πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则sin 6πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ） A.23B. 23-C .D.3【答案】D根据同角三角函数的关系求出cos 3πα⎛⎫-=⎪⎝⎭623πππαα⎛⎫+=-- ⎪⎝⎭，利用诱导公式即可求解.【详解】由锐角α满足2sin 33πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以cos 3πα⎛⎫-== ⎪⎝⎭所以sin si 2os 3c 3n 36πππααπα⎛⎫⎛⎫---= ⎡⎤⎛⎫+== ⎪⎪ ⎢⎥⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 故选：D【点睛】本题考查了同角三角函数的平方关系、诱导公式，需熟记公式，属于基础题.6.若1,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，2log a x =，2a b =，12ac ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则数a ，b ，c 的大小关系为（ ） A. c b a >> B. b c a >> C. a b c >> D. b a c >>【答案】A首先利用对数函数的单调性求出a 的取值范围，再利用指数函数的单调性求出b ，c 的范围，进而可判断出大小. 【详解】2log y x =在定义域内为增函数，且1,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，10a ∴-<<，2x y =为增函数，112b ∴<<，12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭为减函数，12c ∴<< ，所以c b a >>. 故选：A【点睛】本题主要考查利用指数函数、对数函数的单调性比较大小，属于基础题. 7.sin 53sin 23cos30cos 23︒︒-︒︒=（ ）A. 1B.12C.D.2【答案】B利用两角和的正弦公式将()sin53sin 3023=+展开化简即可求解.【详解】()sin 3sin 23cos30sin503sin 23cos30cos 23co 23s 23-+︒︒︒-︒︒︒︒=sin sin 2330c c os 23os30cos30sin 30cos 23sin 2312+︒︒=︒-︒==，故选：B【点睛】本题主要考查两角和的正弦公式，需熟记公式，属于基础题.8.在同一直角坐标系中，函数()(0),()log aa f x x x g x x =≥=的图像可能是（ ）A. B.C. D.【答案】D通过分析幂函数和对数函数的特征可得解. 【详解】函数()0ay xx =≥，与()log 0a y x x =>，答案A 没有幂函数图像， 答案B.()0ay x x =≥中1a >，()log 0a y x x =>中01a <<，不符合，答案C ()0ay xx =≥中01a <<，()log 0a y x x =>中1a >，不符合， 答案D ()0ay xx =≥中01a <<，()log 0a y x x =>中01a <<，符合，故选D.【点睛】本题主要考查了幂函数和对数函数的图像特征，属于基础题.9.声音的等级()f x （单位：dB ）与声音强度x （单位：2/W m ）满足()1210lg 110xf x -=⨯⨯.喷气式飞机起飞时，声音的等级约为140dB ；一般说话时，声音的等级约为60dB .那么喷气式飞机起飞时声音强度约为一般说话时声音强度的（ ） A. 410倍B. 610倍C. 810倍D. 1010倍【答案】C设喷气式飞机起飞时声音强度和一般说话时声音强度分别为12,x x ，根据题意得出()1140f x =，()260f x =，就算出1x 和2x 的值，可计算出12x x 的值.【详解】设喷气式飞机起飞时声音强度和一般说话时声音强度分别为12,x x ， 由题意可得()111210lg140110x f x -=⨯=⨯，解得2110x =， ()221210lg60110x f x -=⨯=⨯，解得6210x -=， 所以28162101010x x -==， 因此喷气式飞机起飞时声音强度约为一般说话时声音强度的810倍. 故选：C【点睛】本题主要考查对数函数模型的应用，同时也涉及到对数式与指数式的互化，考查计算能力，属于基础题. 10.为了得到函数sin(2)6y x π=+的图象，可以将函数cos2y x =的图象（ ） A. 向右平移6π个单位 B. 向右平移3π个单位 C. 向左平移6π个单位 D. 向左平移3π个单位【答案】A【详解】sin(2)cos(2)cos(2)cos(2)62633y x x x x πππππ=+=--=-=-，设x x ϕ→+ ，cos 2()cos(22)y x x ϕϕ=+=+ ，令2,36ππϕϕ=-=-，把函数cos2y x =的图象向右平移6π个单位得到函数sin(2)6y x π=+的图象.选A. 11.函数()f x 的定义域为R ，且102f ⎛⎫=⎪⎝⎭，()00f ≠.若对任意实数x ，y 都有()()222x y y y f f x f x f +-⎛⎫⎛⎫= ⎪⎝⎭⎝+⎪⎭，则()2020f =（ ）A.B. -1C. 0D. 1【答案】D将x 用1x +替换，y 用x 替换，可得()()111222x x x x f x f x f f +++-⎛⎫⎛⎫++=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，从而可得()()10f x f x ++=，进而可得()()2f x f x +=，可求出函数的周期2T =，再令0x =，可求出()0f ，由()()20200f f =即可求解. 【详解】将x 用1x +替换，y 用x 替换， 由对任意实数x ，y 都有()()222x y y y f f x f x f +-⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎝⎭⎝+⎪⎭， 可得()()111211222222x x x x x f x f x f f f f +++-+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++==⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，由102f ⎛⎫= ⎪⎝⎭， 所以()()10f x f x ++=，即()()1f x f x +=-，所以()()()21f x f x f x +=-+=，所以函数的周期2T =， 令0x =，则()()()()00200f f f f +=⨯，因为()00f ≠， 所以()01f =，所以()()()20201010001f f T f =+==， 故选：D【点睛】本题考查抽象函数及其应用，利用函数的周期性定义求出函数的周期，解决抽象函数的问题一般应用赋值法，此题属于中档题.12.函数()sin 2cos2f x a x b x =+（,a b ∈R 且0ab ≠）满足()06f f x x π⎛⎫+--= ⎪⎝⎭，且()2f f ππ⎛⎫> ⎪⎝⎭.则()f x 的单调递增区间为（ ） A. 2,63k k ππππ⎛⎫++⎪⎝⎭，k Z ∈ B. ,63k k ππππ⎛⎫-+⎪⎝⎭，k Z ∈C. ,36k k ππππ⎛⎫-+⎪⎝⎭， k Z ∈D. 5,36k k ππππ⎛⎫++⎪⎝⎭，k Z ∈ 【答案】A 由()06f f x x π⎛⎫+--= ⎪⎝⎭可得,012π⎛⎫- ⎪⎝⎭是函数的一个中心对称点，代入解析式可得 3ab ，再由()2f f ππ⎛⎫> ⎪⎝⎭可得0b <，再利用辅助角公式结合正弦函数的单调区间即可求解.【详解】函数()sin 2cos2f x a x b x =+且()06f f x x π⎛⎫+--= ⎪⎝⎭可得,012π⎛⎫- ⎪⎝⎭是函数的一个中心对称点， sin cos 01266f a b πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴-=-+-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，解得3ab ，()2f f ππ⎛⎫> ⎪⎝⎭， sin cos sin 2cos2a b a b ππππ∴+>+，0b ∴<()sin 2cos 22sin 26f x x b x b x π⎛⎫∴=+=+ ⎪⎝⎭，所以()3222262k x k k ππππ+≤+≤π+∈Z ， 解得()263k x k k πππ+≤≤π+∈Z所以函数的单调递增区间为2,63k k ππππ⎛⎫++⎪⎝⎭，k Z ∈. 故选：A【点睛】本题主要考查了三角函数的对称中心点、单调区间以及辅助角公式，需熟记三角函数的性质，属于中档题.第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题4个小题，每小题5分，共20分，各题答案必须填写在答题卡上相应位置（只填结果，不写过程）13.如果tan tan 2,tan()4αβαβ+=+=，那么tan tan αβ等于_______.【答案】由tan tan tan()1tan tan αβαβαβ++=-可得tan tan tan tan 1tan()αβαβαβ+=-+，从而可得结果.【详解】因为tan tan tan()1tan tan αβαβαβ++=-，tan tan 2,tan()4αβαβ+=+=，所以tan tan 21tan tan 11tan()42αβαβαβ+=-=-=+，故答案为12.【点睛】三角函数求值有三类，(1)“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面上来看是很难的，但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合公式转化为特殊角并且消除非特殊角的三角函数而得解．(2)“给值求值”：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系．(3)“给值求角”：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角．14.幂函数()222533m m y m m x +-=-+在()0,∞+单调递减，则实数m 的值为_________.【答案】1利用幂函数的定义以及幂函数的性质即可求解.【详解】由题意可得22331250m m m m ⎧-+=⎨+-<⎩，解得1m =，故答案为：1【点睛】本题主要考查幂函数的定义与性质，需熟记定义与性质，属于基础题. 15.若()sin cos f x x x =-在[],a a -上的最大值为1，则实数a =_________. 【答案】2π利用辅助角公式化()sin cos 24f x x x x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，根据函数的最值以及单调性可得()1f a =，代入即可求解.【详解】()sin cos 24f x x x x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，函数在3,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，因为函数在[],a a -上的最大值为1， 所以()2sin 14f a a π⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，解得44a ππ-=，所以π2a故答案为：2π 【点睛】本题考查了三角函数的辅助角公式、三角函数的性质，需熟记三角函数的性质，属于基础题.16.已知函数()()()12log 1,1121,13x x f x f x x ⎧+-<<⎪=⎨⎪-+<<⎩，若方程()()20f x af x -=有四个不同的实数解，则实数a 的取值范围为_________. 【答案】()1,2由已知中函数()()()12log 1,1121,13x x f x f x x ⎧+-<<⎪=⎨⎪-+<<⎩，若关于x 的方程()()2f x af x =恰有四个不同的实数解，根据函数()f x 的图像得到恰有三个不同的实数根，进而得到实数a 的取值范围.【详解】函数()()()12log 1,1121,13x x f x f x x ⎧+-<<⎪=⎨⎪-+<<⎩的图像如下：关于x 的方程()()20fx af x -=，转化为()0f x =，或()f x a =，若方程()()20fx af x -=有四个不同的实数解，则()f x a =恰有三个不同的实数解， 由图可知：12a <<， 故答案为：()1,2【点睛】本题考查了对数函数的综合问题，考查方程的根、函数的值域，考查了数形结合的思想以及学生分析解决问题的能力，属于中档题.三、解答题：本大题6个小题，共70分，各题解答必须答在答题卡上（必须写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程） 17.已知函数()2sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭. （1）写出函数()f x 的最小正周期；（2）用五点作图法画出函数()f x 在一个周期内的图象 【答案】（1）T π=；（2）见解析（1）根据正弦型三角函数最小正周期公式2T ωπ=即可求解.（2）按“五点作图法”列表、描点、连线即可求解. 【详解】由函数()2sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，2ω= ∴ 222T πππω===. （2）列表：作出函数的图像：【点睛】本题考查了正弦函数的最小正周期公式以及“五点作图法”，需掌握作图步骤，属于基础题.18.已知角α终边上有一点()1,P y ，且25sin α=. （1）求tan α的值；（2）求()()sin sin 2sin cos 2ππαααπα⎛⎫-++ ⎪⎝⎭--的值.【答案】（1）tan 2α= （2）3（1）利用三角函数的定义求出2y =即可求解. （2）利用诱导公式即可求解.【详解】（1）角α终边上有一点()1,P y ，且25sin α=， 2551y =+，解得2y =， 所以tan 21yα==. （2）()()sin sin sin cos tan 123sin cos 2sin cos tan 1ππααααααπαααα⎛⎫-++ ⎪++⎝⎭===----【点睛】本题考查了三角函数的定义以及诱导公式，需熟记公式，属于基础题. 19.已知函数()1log 1am f x x x +=-（0a >且1a ≠）是奇函数.（1）求实数m 的值；（2）当()1,2x a ∈-时，函数()f x 的值域为()1,+∞，求实数a 的值.【答案】（1）1m = （2）2a =（1）利用函数为奇函数可得()()0f x f x +-=，结合函数表达式以及对数的运算性质即可求解.（2）根据区间的定义可得21a ->，再利用对数型复合函数的单调性可得()21f a -=，进而可求出a 的值.【详解】（1）由()()0f x f x +-=，得11log log 011a a mx mx x x +-++=---， ∴11111mx mx x x +-⋅=-+，可得22211m x x -=-，即()2210m x -=， ∴1m =±，经检验，1m =符合题意，故1m =. （2）由21a ->，得3a >，∴log a y t =单调递增， 令12111x t x x +==+--在()1,+∞上单调递减， ∴函数()y f x =在()1,2a -上单调递减，∴()21f a -=，解得2a =+【点睛】本题考查了函数的奇偶性应用、对数的运算以及对数型复合函数的单调性应用，属于中档题.20.已知函数())()cos cos 0f x x x x ωωωω=->(0)>ω的两条对称轴之间的最小距离为2π. （1）求函数()f x 最大值；（2）若()310f α=，0,3πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，求cos2α的值.【答案】（1）12 （2 （1）利用二倍角公式以及两角和与差的公式将函数化为1sin 262x πω⎛⎫-- ⎪⎝⎭，再由题意求出函数的周期，进而求出函数表达式即可求解. （2）由（1）求出3cos 265πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，由2266ππαα⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭结合两角和与差的公式即可求解.【详解】（1）())cos cos f x xx x ωωω=-2cos cos x x x ωωω=-1112cos 2sin 222262x x x πωωω⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭， ∵122222T ππω==⋅， ∴1ω=，()1sin 262f x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭， ∴当2262x k πππ-=+，即3x k ππ=+，k Z ∈时，()f x 取得最大值12. （2）由题意，()13sin 26210f παα⎛⎫=--= ⎪⎝⎭，∴4sin 265πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭， ∵0,3πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴2,662πππα⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，∴3cos 265πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭， ∴cos 2cos 266ππαα⎡⎤⎛⎫=-+⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦cos 2cos sin 2sin 6666ππππαα⎛⎫⎛⎫=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭341552=-⨯=【点睛】本题考查二倍角公式、两角和与差逆应用以及正弦函数的性质，需熟记公式与性质，属于基础题.21.设函数()f x 的定义域为D ，若存在0x D ∈，使得()()()0011f x f x f +=+，则称0x 为函数()f x 的“旺点”.（1）求函数()23xf x x =+在R 上的“旺点”；（2）若函数()22log 1g ax x=+在()0,∞+上存在“旺点”，求正实数a 取值范围.【答案】（1）031log 2x =- （2）)32⎡⎣ （1）利用题中定义，列方程求解即可. （2）根据题意将问题转化为方程()22222log log log 1211a a ax x =++++在()0,∞+上有解，化简可得()222220a x ax a -++-=，讨论二次项系数使方程在()0,x ∈+∞上有解即可. 【详解】（1）由题意，有()00100213235x x x x +++=++，化简得0332x =，∴031log 2x =-为所求“旺点”. （2）方程()22222log log log 1211a a ax x =++++在()0,∞+上有解， 化简得()222220a x ax a -++-=，记()()22222h x a x ax a =-++-，()0,x ∈+∞，①当20a -=，即2a =时，()42h x x =+在()0,∞+上无根，故舍去； ②当20a ->，即2a >时，()h x 的对称轴为02ax a=<-，()0220h a =->， ∴()0h x >对一切()0,x ∈+∞恒成立，故舍去； ③当20a -<，即02a <<时，()h x 的对称轴为02ax a=>-，故只需()()2442220a a a ∆=---≥，即2640a a --≤，解得32a -≤<；综上所述，正实数a 的取值范围为)32⎡⎣.【点睛】本题是一道函数的新定义题目，考查了方程的根以及含参数的一元二次方程的根，考查了学生对新定义题目的理解能力，属于中档题. 22.已知函数()()12x xf x e e -=-. （1）判断()f x 的奇偶性和单调性（不要求证明）；（2）若不等式()()()sin 23sin cos 230f m f m ααα-++++>⎡⎤⎣⎦对任意0,2απ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦恒成立，求实数m 的取值范围；（3）若()()cos sin ff θθθ<，其中0,4πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，求证：2sin 42sin 216sin 8θθθθθ++>.【答案】（1）奇函数，增函数 （2）1m > （3）证明见解析（1）利用函数的奇偶性定义以及指数函数的单调性即可判断.（2）利用函数的单调性将不等式转化为()()sin 23sin cos 230m m ααα-++++>，令sin cos 4t πααα⎛⎫⎡=+=+∈ ⎪⎣⎝⎭，不等式进一步转化为 ()213230t m t m --+++>，解不等式由t 的范围即可求解.（3）利用函数的单调性可得cos sin θθθ<，再根据分析法结合二倍角公式以及万能公式即可证明.【详解】（1）()f x 为R 上的奇函数和增函数.（2）()()()sin 23sin cos 230f m f m ααα-++++>⎡⎤⎣⎦()()()sin 23sin cos 23f m f m ααα⇔-++>-+⎡⎤⎣⎦()23f m =--()()sin 23sin cos 23m m ααα⇔-++>-- ()()sin 23sin cos 230m m ααα⇔-++++>.令sin cos 4t πααα⎛⎫⎡=+=+∈ ⎪⎣⎝⎭，则2sin 22sin cos 1t ααα==-. 原式()213230t m t m ⇔--+++>()()()23220120t m t m t m t ⇔-+++>⇔--->，∵20t -<，∴原式101t m m t ⇔--<⇔>-，∴1m >.（3）由()()sin sin f f θθθ<，得cos sin θθθ<，∵0,4πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴20,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴cos20θ>， ∴2sin 42sin 216sin 8θθθθθ++>()22sin 2cos 22sin 2812sin 8cos 2θθθθθθθ⇔+>-=()sin 2tan 24*θθθ⇔+>而222tan 2tan sin 2tan 21tan 1tan θθθθθθ+=++-44tan 4tan 41tan θθθθ=>>-， ∴()*成立，故原式得证.【点睛】本题考查了函数的奇偶性定义、指数函数的单调性、二倍角公式以及万能公式、分析法证明不等式，考查了转化、化归的解题思想，综合性比较强，知识跨度大，难度较高，属于难题.。
2019-2020学年天津市南开区高一上学期期末数学试题(解析版)
2019-2020学年天津市南开区高一上学期期末数学试题一、单选题1．设全集{}1,2,3,4U =，集合{}1,2S =，{}2,3T =，则()US T 等于（ ）A ．{}2B ．{}3C ．{}4D ．{}2,3,4【答案】B【解析】根据补集和并集的定义可计算出集合()US T .【详解】 由题意可得{}3,4US =，因此，(){}3U S T =.故选：B. 【点睛】本题考查补集和交集的计算，考查计算能力，属于基础题. 2．命题“0(0,)x ∃∈+∞，00ln 1x x =-”的否定是（ ） A ．0(0,)x ∃∈+∞，00ln 1x x ≠- B ．0(0,)x ∃∉+∞，00ln 1x x =- C ．(0,)x ∀∈+∞，ln 1x x ≠- D ．(0,)x ∀∉+∞，ln 1x x =-【答案】C【解析】试题分析：特称命题的否定是全称命题，并将结论加以否定，所以命题的否定为：(0,)x ∀∈+∞，ln 1x x ≠- 【考点】全称命题与特称命题3．下列函数中为偶函数，且在()0,∞+上单调递增的是（ ）A ．()lg 2y x =B ．2y x =-C ．2x y =D ．y =【答案】D【解析】分析各选项中函数单调性以及在区间()0,∞+上的单调性，可得出合适的选项. 【详解】对于A 选项，函数()lg 2y x =定义域为()0,∞+，该函数为非奇非偶函数，且在区间()0,∞+上为增函数；对于B 选项，函数2y x =-为偶函数，且在区间()0,∞+上为减函数； 对于C 选项，函数2xy =为非奇非偶函数，且在区间()0,∞+上为增函数；对于D 选项，函数y =为偶函数，且在区间()0,∞+上为增函数.故选：D. 【点睛】本题考查函数奇偶性与单调性的判断，熟悉几种常见的基本初等函数的基本性质是判断的关键，考查推理能力，属于基础题. 4．“11a b<”是“0b a <<”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】利用特殊值法和不等式的基本性质来判断出“11a b<”是“0b a <<”的必要不充分条件. 【详解】取2a =，1b =，11a b <成立，但0b a <<不成立，则“11a b<”⇒“0b a <<”. 当0b a <<，则0b a ->->，由不等式的性质得11a b ->-，11a b∴<，即“0b a <<”⇒“11a b<”.因此，“11a b<”是“0b a <<”的必要不充分条件.故选：B. 【点睛】本题考查必要不充分条件的判断，涉及了不等式性质的应用，考查推理能力，属于中等题.5．cos 480等于（ ）A ．12-B ．12C ．D 【答案】A【解析】利用诱导公式可计算出cos 480的值. 【详解】由诱导公式得()()1cos 480cos 54060cos 18060cos602=-=-=-=-. 故选：A. 【点睛】本题考查利用诱导公式求值，考查计算能力，属于基础题.6．设0.5log 6a =，60.5b =，0.56c =，则a 、b 、c 的大小顺序是（ ） A ．b a c << B ．b c a << C ．a c b <<D ．a b c <<【答案】D【解析】利用指数函数和对数函数的单调性比较a 、b 、c 三个数与0和1的大小关系，可得出这三个数的大小关系. 【详解】对数函数0.5log y x =在()0,∞+上为减函数，则0.50.5log 6log 10a =<=； 指数函数0.5xy =为减函数，则6000.50.5<<，即01b <<； 指数函数6x y =为增函数，则0.50661c =>=. 因此，a b c <<. 故选：D. 【点睛】本题考查指数式和对数式的大小比较，一般利用指数函数和对数函数的单调性，结合中间值法来比较大小，考查推理能力，属于中等题. 7．为了得到函数sin 26y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象，只需把函数sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象（ ） A ．向左平移12π个单位长度 B ．向右平移4π个单位长度 C ．向左平移6π个单位长度 D ．向右平移2π个单位长度 【答案】B【解析】将函数sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭变形为sin 243y x ππ⎡⎤⎛⎫=-+⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，利用平移规律可得出正确选项. 【详解】sin 2sin 2643y x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-=-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，为了得到函数sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，只需把函数sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移4π个单位长度.故选：B. 【点睛】本题考查三角函数图象的平移变换，在解题时要确保两个三角函数的名称保持一致，考查推理能力，属于中等题.8．如图1是某条公共汽车线路收支差额y 与乘客量x 的图象（收支差额=车票收入-支出费用）．由于目前本条线路亏损，公司有关人员将图1变为图2与图3，从而提出了扭亏为盈的两种建议．下面有4种说法：（1）图2的建议是：减少支出，提高票价； （2）图2的建议是：减少支出，票价不变； （3）图3的建议是：减少支出，提高票价； （4）图3的建议是：支出不变，提高票价； 上面说法中正确的是（ ） A ．（1）（3） B ．（1）（4） C ．（2）（4） D ．（2）（3）【答案】C【解析】根据题意知图象反映了收支差额y 与乘客量x 的变化情况，即直线斜率说明票价问题，当0x =的点说明公司的成本情况，再结合图象进行说明. 【详解】根据题意和图2知，两直线平行，即票价不变，直线向上平移说明当乘客量为0时，收入是0但是支出变少了，即说明了此建议是降低成本而保持票价不变；由图3看出，当乘客量为0时，支出不变，但是直线的倾斜角变大，即相同的乘客量时收入变大，即票价提高了，说明了此时的建议是提高票件而保持成本不变. 故选：C. 【点睛】本题考查了利用图象说明两个量之间的变化情况，主要根据实际意义进行判断，考查读图能力和数形结合思想的应用，属于中等题.9．已知三个函数()22xf x x =+-，()38g x x =-，()2log 2h x x x =+-的零点依次为a 、b 、c ，则a b c ++=（ ） A ．6 B ．5C ．4D ．3【答案】C【解析】令()0f x =，得出22x x =-，令()0h x =，得出2log 2x x =-，由于函数2x y =与2log y x =的图象关于直线y x =对称，且直线y x =与直线2y x =-垂直，利用对称性可求出a c +的值，利用代数法求出函数()38g x x =-的零点b 的值，即可求出a b c ++的值. 【详解】令()0f x =，得出22x x =-，令()0h x =，得出2log 2x x =-，则函数2y x =-与函数2xy =、2log y x =交点的横坐标分别为a 、c .函数2xy =与2log y x =的图象关于直线y x =对称，且直线y x =与直线2y x =-垂直， 如下图所示：联立2y xy x=⎧⎨=-⎩，得1x y ==，则点()1,1A ，由图象可知，直线2y x =-与函数2xy =、2log y x =的交点关于点A 对称，则2a c +=，由题意得()380g b b =-=，解得2b =，因此，4a b c ++=.故选：C. 【点睛】本题考查函数的零点之和的求解，充分利用同底数的对数函数与指数函数互为反函数这一性质，结合图象的对称性求解，考查数形结合思想的应用，属于中等题.10．若一系列的函数解析式相同，值域相同但定义域不同，则称这些函数为“孪生函数”．那么函数解析式为221y x =+，值域为{}3,19的“孪生函数”共有 ( )A ．15个B ．12个C ．9个D ．8个【答案】C【解析】试题分析：由y=2x 2+1=3，得x 2=1，即x=1或x=-1，由y=2x 2+1=19，得x 2=9，即x=3或x=-3，即定义域内-1和1至少有一个，有3种结果，-3和3至少有一个，有3种结果，∴共有3×3=9种，故选C ． 【考点】1．函数的定义域及其求法；2．函数的值域；3．函数解析式的求解及常用方法．二、填空题11．已知幂函数()y f x =的图象过点2,2⎛ ⎝⎭，则()f x =____________． 【答案】12x -【解析】设幂函数的解析式为()f x x α=，将点的坐标代入求出参数α即可。
2019-2020年天津市南开区高一上册期末数学试卷(有答案)【优质版】
天津市南开区高一（上）期末数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．（3分）设集合U={n|n∈N*且n≤9}，A={2，5}，B={1，2，4，5}，则?U（A∪B）中元素个数为（）A．4 B．5 C．6 D．72．（3分）与α＝+2π（∈）终边相同的角是（）A．345°B．375° C．﹣πD．π=（）sin70°3．（3分）sin80°cos70°+sin10°A．﹣B．﹣ C．D．4．（3分）下列函数中是奇函数的是（）A．y=+sin B．y=||﹣cos C．y=sin D．y=||cos5．（3分）已知cosθ＞0，tan（θ+）=，则θ在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限6．（3分）函数f（）=log2+﹣4的零点在区间为（）A．（0，1）B．（1，2） C．（2，3） D．（3，4）7．（3分）若偶函数f（）在[0，+∞）上单调递减，设a=f（1），b=f（log0.53），c=f （log23﹣1），则（）A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b8．（3分）如图，正方形ABCD边长为1，从某时刻起，将线段AB，BC，CD，DA分别绕点A，B，C，D顺时针旋转相同角度α（0＜α＜），若旋转后的四条线段所围成的封闭图形面积为，则α＝（）A．或B．或C．或D．或9．（3分）函数f（）=Asin（ω+φ）的单调递减区间为[π﹣，π+]（∈），则下列说法错误的是（）A．函数f（﹣）的最小正周期为πB．函数f（﹣）图象的对称轴方程为=+（∈）C．函数f（﹣）图象的对称中心为（+，0）（∈）D．函数f（﹣）的单调递减区间为[π+，π+]（∈）10．（3分）设函数f（）=，则下列说法正确的是（）①若a≤0，则f（f（a））=﹣a；②若f（f（a））=﹣a，则a≤0；③若a≥1，则f（f（a））=；④若f（f（a））=，则a≥1．A．①③B．②④C．①②③D．①③④二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分）.11．（4分）函数f（）=的定义域为．12．（4分）函数f（）=2cos2?tan+cos2的最小正周期为；最大值为．13．（4分）如果将函数f（）=sin2图象向左平移φ（φ＞0）个单位，函数g（）=cos （2﹣）图象向右平移φ个长度单位后，二者能够完全重合，则φ的最小值为．14．（4分）如图所示，已知A，B是单位圆上两点且|AB|=，设AB与轴正半轴交+cosαcosβ＝．于点C，α＝∠AOC，β＝∠OCB，则sinαsinβ15．（4分）设函数f（）=，若关于的方程f（）﹣a=0有三个不等实根1，2，3，且1+2+3=﹣，则a=．三、解答题：本大题共5小题，共50分．解答写出文字说明、证明过程或演算过程．16．（8分）已知集合A={|2﹣6≤2﹣2≤1}，B={|∈A∩N}，C={|a≤≤a+1}．（Ⅰ）写出集合B的所有子集；（Ⅱ）若A∩C=C，求实数a的取值范围．17．（10分）已知函数f（）=cos（﹣）﹣sin（﹣）．（Ⅰ）判断函数f（）的奇偶性，并给出证明；（Ⅱ）若θ为第一象限角，且f（θ+）=，求cos（2θ+）的值．18．（10分）设函数f（）为R上的奇函数，已知当＞0时，f（）=﹣（+1）2．（Ⅰ）求函数f（）的解析式；（Ⅱ）若f（m2+2m）+f（m）＞0，求m的取值范围．19．（10分）设某等腰三角形的底角为α，顶角为β，且cosβ＝．（Ⅰ）求sinα的值；（Ⅱ）若函数f（）=tan在[﹣，α]上的值域与函数g（）=2sin（2﹣）在[0，m]上的值域相同，求m的取值范围．20．（12分）函数f（）=4sinω?cos（ω+）+1（ω＞0），其图象上有两点A（s，t），B（s+2π，t），其中﹣2＜t＜2，线段AB与函数图象有五个交点．（Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）若函数f（）在[1，2]和[3，4]上单调递增，在[2，3]上单调递减，且满足等式4﹣3=2﹣1=（3﹣2），求1、4所有可能取值．天津市南开区高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．（3分）设集合U={n|n∈N*且n≤9}，A={2，5}，B={1，2，4，5}，则?U（A∪B）中元素个数为（）A．4 B．5 C．6 D．7【解答】解：∵A={2，5}，B={1，2，4，5}，∴A∪B={1，2，4，5}，又∵集合U={n|n∈N*且n≤9}={1，2，3，4，5，6，7，8，9}，∴?U（A∪B）={3，6，7，8，9}，故?U（A∪B）共有5个元素，故选：B．2．（3分）与α＝+2π（∈）终边相同的角是（）A．345°B．375° C．﹣πD．π【解答】解：由α＝+2π（∈），得与角α终边相同的角是：，360°+15°=375°．故选：B．=（）sin70°cos70°+sin10°3．（3分）sin80°A．﹣B．﹣ C．D．【解答】解：sin80°c os70°+sin10°s in70°=cos10°cos70°+sin10°s in70°=．故选：C．4．（3分）下列函数中是奇函数的是（）A．y=+sin B．y=||﹣cos C．y=sin D．y=||cos【解答】解：A，y=+sin，有f（﹣）=﹣﹣sin=﹣f（），为奇函数；B，y=||﹣cos，f（﹣）=|﹣|﹣cos（﹣）=f（），为偶函数；C，y=sin，f（﹣）=（﹣）sin（﹣）=sin=f（），为偶函数；D，y=||cos，f（﹣）=|﹣|cos（﹣）=f（），为偶函数．故选：A．5．（3分）已知cosθ＞0，tan（θ+）=，则θ在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：由题意得，tan（θ+）=，所以=，即，解得tanθ＝＜0，则θ在第二或四象限，由cosθ＞0得，θ在第一或四象限，所以θ在第四象限，故选：D．6．（3分）函数f（）=log2+﹣4的零点在区间为（）A．（0，1）B．（1，2） C．（2，3） D．（3，4）【解答】解：f（）=log2+﹣4，在（0，+∞）上单调递增．∵f（2）=1+2﹣4=﹣1＜0，f（3）=log23﹣1＞0∴根据函数的零点存在性定理得出：f（）的零点在（2，3）区间内∴函数f（）=log2+﹣4的零点所在的区间为（2，3），故选：C．7．（3分）若偶函数f（）在[0，+∞）上单调递减，设a=f（1），b=f（log0.53），c=f （log23﹣1），则（）A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b【解答】解：∵偶函数f（）在[0，+∞）上单调递减，∴f（）在（﹣∞，0]上单调递增，∵log0.53=＜=﹣1，log23﹣1=log21.5∈（0，1），a=f（1），b=f（log0.53），c=f（log23﹣1），∴b＜a＜c．故选：B．8．（3分）如图，正方形ABCD边长为1，从某时刻起，将线段AB，BC，CD，DA分别绕点A，B，C，D顺时针旋转相同角度α（0＜α＜），若旋转后的四条线段所围成的封闭图形面积为，则α＝（）A．或B．或C．或D．或【解答】解：如图所示，旋转后的四条线段所围成的封闭图形为正方形，边长为cosα﹣sinα，由题意可得：（cosα﹣sinα）2=，±①，2sinαcosα＝可得：cosα﹣sinα＝又0＜α＜，可得：cosα+sinα＝=，②所以：由①②可得：cosα＝．故α＝或．故选：A．9．（3分）函数f（）=Asin（ω+φ）的单调递减区间为[π﹣，π+]（∈），则下列说法错误的是（）A．函数f（﹣）的最小正周期为πB．函数f（﹣）图象的对称轴方程为=+（∈）C．函数f（﹣）图象的对称中心为（+，0）（∈）D．函数f（﹣）的单调递减区间为[π+，π+]（∈）【解答】解：由题意，ω=2，函数f（）=Asin（ω+φ）的周期为π，φ＝，f（﹣）=Asin（﹣2+），=+，﹣2+=π+，f（﹣）=Asin（﹣2+）≠0，故选C．10．（3分）设函数f（）=，则下列说法正确的是（）①若a≤0，则f（f（a））=﹣a；②若f（f（a））=﹣a，则a≤0；③若a≥1，则f（f（a））=；④若f（f（a））=，则a≥1．A．①③B．②④C．①②③D．①③④【解答】解：当a≤0时，则f（f（a））==﹣a，故①正确；当a≥1时，f（f（a））==，故③正确；当0＜a＜1，f（f（a））=log0.5（log0.5a）∈R，故此时存在0＜a＜1，使得f（f（a））=﹣a也存在0＜a＜1，使得f（f（a））=，故②④错误；故选：A二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分）.11．（4分）函数f（）=的定义域为（﹣1，0）∪（0，+∞）．【解答】解：由题意得：，解得：＞﹣1且≠0，故函数的定义域是（﹣1，0）∪（0，+∞），故答案为：（﹣1，0）∪（0，+∞）．12．（4分）函数f（）=2cos2?tan+cos2的最小正周期为π；最大值为．【解答】解：函数f（）=2cos2?tan+cos2=2sincos+cos2=sin2+cos2=sin（2+）的最小正周期为=π，最大值为，故答案为：π，13．（4分）如果将函数f（）=sin2图象向左平移φ（φ＞0）个单位，函数g（）=cos （2﹣）图象向右平移φ个长度单位后，二者能够完全重合，则φ的最小值为．【解答】解：将函数y=sin2的图象向左平移φ（φ＞0）个单位得到：y=sin[2（+φ）]=sin （2+2φ）的图象，将函数g（）=cos（2﹣）图象向右平移φ个长度单位后，可得函数y=cos[2（﹣φ）﹣]=cos（2﹣2φ﹣）=sin[﹣（2﹣2φ﹣）]=sin（﹣2+2φ）=sin（2﹣2φ+）的图象，二者能够完全重合，由题意可得，即：2+2φ=2﹣2φ++2π，∈，解得：φ＝π+，（∈）当=0时，φmin=．故答案为：．14．（4分）如图所示，已知A，B是单位圆上两点且|AB|=，设AB与轴正半轴交+cosαcosβ＝．于点C，α＝∠AOC，β＝∠OCB，则sinαsinβ【解答】解：由题意，∠OAC=β﹣α，∵A，B是单位圆上两点且|AB|=，（β﹣α）=cos∠OAC==，∴sinαsinβ+cosαcosβ=cos故答案为．15．（4分）设函数f（）=，若关于的方程f（）﹣a=0有三个不等实根1，2，3，且1+2+3=﹣，则a=．【解答】解：如图所示，画出函数f（）的图象，不妨设1＜2＜3，则1+2=2×=﹣3，又1+2+3=﹣，∴3=．∴a==．故答案为：．三、解答题：本大题共5小题，共50分．解答写出文字说明、证明过程或演算过程．16．（8分）已知集合A={|2﹣6≤2﹣2≤1}，B={|∈A∩N}，C={|a≤≤a+1}．（Ⅰ）写出集合B的所有子集；（Ⅱ）若A∩C=C，求实数a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）对于集合A，因为2﹣6≤2﹣2≤1，则﹣6≤﹣2≤0，解可得：0≤≤2．即A={|0≤≤2}，又由B={|∈A∩N}，则B={0，1，2}；故B的子集有?、{0}、{1}、{2}、{0，1}、{0，2}、{1，2}、{0，1，2}；（Ⅱ）若A∩C=C，则C是A的子集，则必有：，解可得：0≤a≤1，即a的取值范围是：[0，1]．17．（10分）已知函数f（）=cos（﹣）﹣sin（﹣）．（Ⅰ）判断函数f（）的奇偶性，并给出证明；（Ⅱ）若θ为第一象限角，且f（θ+）=，求cos（2θ+）的值．【解答】解：（Ⅰ）结论：函数f（）为定义在R上的偶函数．证明：函数f（）的定义域为R，关于原点对称，f（）=cos（﹣）﹣sin（﹣）=f（﹣）=．因此，函数f（）为定义在R上的偶函数；（Ⅱ）∵f（θ+）=，∴．由于θ为第一象限角，故，∴cos（2θ+）===．18．（10分）设函数f（）为R上的奇函数，已知当＞0时，f（）=﹣（+1）2．（Ⅰ）求函数f（）的解析式；（Ⅱ）若f（m2+2m）+f（m）＞0，求m的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）∵函数f（）为R上的奇函数，∴f（0）=0，若＜0，则﹣＞0，∵当＞0时，f（）=﹣（+1）2．∴当﹣＞0时，f（﹣）=﹣（﹣+1）2=﹣（﹣1）2．∵f（）是奇函数，∴f（﹣）=﹣（﹣1）2=﹣f（），则f（）=（﹣1）2，＜0，则函数f（）的解析式f（）=；（Ⅱ）若f（m2+2m）+f（m）＞0，则f（m2+2m）＞﹣f（m）=f（﹣m），当＞0时，f（）=﹣（+1）2为减函数，且f（）＜﹣1＜f（0），当＜0时，f（）=（﹣1）2为减函数，且f（）＞1＞f（0），则函数f（）在R上是减函数，则m2+2m＜﹣m，即m2+3m＜0，则﹣3＜m＜0，即m的取值范围是（﹣3，0）．19．（10分）设某等腰三角形的底角为α，顶角为β，且cosβ＝．（Ⅰ）求sinα的值；（Ⅱ）若函数f（）=tan在[﹣，α]上的值域与函数g（）=2sin（2﹣）在[0，m]上的值域相同，求m的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由题意，β=π﹣2α，∴cosβ＝=﹣cos2α=2sin2α﹣1∵α∈（0，），∴sinα＝；（Ⅱ）由题意，函数f（）=tan在[﹣，α]上单调递增，∵α∈（0，），sinα＝，∴cosα＝，∴tanα=2，∴函数f（）=tan在[﹣，α]上的值域为[﹣，2]，∴函数g（）=2sin（2﹣）在[0，m]上的值域为[﹣，2]，∴y=sin在[﹣，2m﹣]上的取值范围是[﹣，1]，∴≤2m﹣≤，∴≤m≤．20．（12分）函数f（）=4sinω?cos（ω+）+1（ω＞0），其图象上有两点A（s，t），B（s+2π，t），其中﹣2＜t＜2，线段AB与函数图象有五个交点．（Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）若函数f（）在[1，2]和[3，4]上单调递增，在[2，3]上单调递减，且满足等式4﹣3=2﹣1=（3﹣2），求1、4所有可能取值．【解答】解：（Ⅰ）f（）=4sinω?cos（ω+）+1====，由于|AB|=2π，且线段AB与函数f（）图象有五个交点，因此，故ω=1；（Ⅱ）由（Ⅰ）得，函数f（）=，由题意知，因此4﹣3=2﹣1=（3﹣2）=．即，．∵函数f（）在[1，2]上单调递增，在[2，3]上单调递减，∴f（）在2处取得最大值，即=2．，即．∴=．=．。
精品解析：天津市南开区2019-2020学年高一上学期期末数学试题(原卷版)
（1）图 建议是:减少支出,提高票价;
（2）图 的建议是:减少支出,票价不变;
（3）图 的建议是:减少支出,提高票价;
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
5. 等于（ ）
A. B. C. D.
6.设 , , ,则 、 、 的大小顺序是（ ）
A. B. C. D.
7.为了得到函数 图象,只需把函数 的图象（ ）
A.向左平移 个单位长度B.向右平移 个单位长度
C.向左平移 个单位长度D.向右平移 个单位长度
（1）求 值;
（2）求 的值．
19.已知函数 ．
（1）求 的最小正周期和对称中心;
（2）求 的单调递减区间;
（3）当 时,求函数 的最小值及取得最小值时 的值．
20.已知二次函数 , , 的最小值为 ．
（1）求函数 的详细解析式;
（2）设 .
（i）若 在 上是减函数,求实数 的取值范围;
（ii）若 在 内恰有一个零点,求实数 取值范围．
A. 个B. 个C. 个D. 个
二．填空题（共5_______．
12.设 ,使不等式 成立的 的取值范围为___________.
13.若函数 的值域是 ,则实数 的取值范围是______．
14.△ABC中, , ,则 =_____．
15.已知 , ,且 ,则 的最大值是_______．
2019-2020学年度天津市南开区高一年级第一学期期末
数学试卷
2019年9月重庆市南开中学2020届高三上学期第一次教学质量检测考试数学(理)试题(解析版)
绝密★启用前重庆市南开中学2020届高三年级上学期第一次教学质量检测考试数学(理)试题(解析版)2019年9月注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。
3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题,每小题5分,共60分。
在每小题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的。
1.已知集合{}2|230A x x x =--≤,{}|21x B y y ==+,则A B =I （）A. ∅B. (]1,3C. (]0,3D. ()1,+∞ 【答案】B【解析】【分析】根据一元二次不等式的解集和指数函数的值域求得.【详解】由已知解得[]()1,3,1,A B =-=+∞,所以(]1,3A B =I ,故选B.【点睛】本题考查一元二次不等式的解集、指数函数的值域和集合的交集运算,属于基础题.2.已知复数z 满足()()12z i i i -+=,则z =（）A. 12i +B. 12i -C. 12i -+D. 12i --【答案】B【解析】【分析】根据复数的除法运算和复数的共轭复数的概念求得. 【详解】由已知得21i z i i -=+, 所以()()()211211i i z i i i i -=+=++-, 所以12.z i =-故选B.【点睛】本题考查复数的除法运算和复数的共轭复数的概念,属于基础题.3.命题“若220x y +=,则0x =,0y =”的否命题为（）A. 若220x y +=,则0x ≠,0y ≠B. 若220x y +=,则0x ≠或0y ≠ C. 若x y +≠220,则0x =,0y = D. 若x y +≠220,则0x ≠或0y ≠ 【答案】D【解析】【分析】根据否命题是对命题的条件和结论均要否定求得.【详解】否命题是对命题的条件和结论均要否定,故选D.【点睛】本题注意区分“否命题”和“命题的否定”,属于基础题.4.关于函数()y f x =与()ln y f x =,下列说法一定正确的是（）A. 定义域相同B. 值域相同C. 单调区间相同D. 奇偶性相同【答案】B【解析】【分析】根据函数的定义域、值域、单调性和奇偶性的判断解得.。
2019-2020学年天津市南开区高一(上)期末数学试卷
2019-2020学年天津市南开区高一（上）期末数学试卷一．选择题（共10小题）1. 设全集U＝{1, 2, 3, 4}，集合S＝{1, 2}，T＝{2, 3}，则(∁U S)∩T等于（）A.{2}B.{3}C.{4}D.{2, 3, 4}2. 命题“∃x0∈(0, +∞)，ln x0=x0−1”的否定是( )A.∀x∈(0, +∞)，ln x≠x−1B.∀x∉(0, +∞)，ln x=x−1C.∃x0∈(0, +∞)，ln x0≠x0−1D.∃x0∉(0, +∞)，ln x0=x0−13. 下列函数中为偶函数，且在(0, +∞)上单调递增的是（）A.y＝lg(2x)B.y＝−x2C.y＝2xD.y=√|x|4. “1a <1b”是“b<a<0”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5. cos480∘的值为（）A.1 2B.√32C.−√32D.−126. 设a＝log0.56，b＝0.56，c＝60.5，则a、b、c的大小顺序是（）A.b<a<cB.b<c<aC.a<c<bD.a<b<c7. 为了得到函数y=sin(2x−π6)的图象，可以将函数y=sin(2x+π3)的图象（）A.向右平移π2个单位长度 B.向右平移π4个单位长度C.向左平移π2个单位长度 D.向左平移π4个单位长度8. 如图1是某条公共汽车线路收支差额y与乘客量x的图象（收支差额=车票收入-支出费用）．由于目前本条线路亏损，公司有关人员将图1变为图2与图3，从而提出了扭亏为盈的两种建议．下面有4种说法：(1)图2的建议是：减少支出，提高票价； (2)图2的建议是：减少支出，票价不变； (3)图3的建议是：减少支出，提高票价； (4)图3的建议是：支出不变，提高票价； 上面说法中正确的是（ ）A.(1)(3)B.(1)(4)C.(2)(4)D.(2)(3)9. 已知三个函数f(x)＝2x +x −2，g(x)＝x 3−8，ℎ(x)＝log 2x +x −2的零点依次为a ，b ，c ，则a +b +c ＝（ ） A.6 B.5 C.4 D.310. 若一系列的函数解析式相同，值域相同但定义域不同，则称这些函数为“孪生函数”．那么函数解析式为y ＝2x 2+1，值域为{3, 19}的“孪生函数”共有（ ） A.15个 B.12个 C.9个 D.8个二．填空题（共5小题）已知幂函数f(x)的图象经过点(2,√22)，则f(x)的解析式为________．设x ∈R ，使不等式14−4x 2≥x 成立的x 的取值范围为________[−2,74] ．若函数f(x)={(a −1)x −2a,x ≤1log 13x,x >1的值域是R ，则实数a 的取值范围是________．△ABC,sin A =35,cos B =513,cos C =________．已知a >0，b >0，且a +b =8，则3aba+4b 的最大值是________． 三．解答题（共5小题）求值：（1）(1681)−34−2e 0+ln 1−lg 4+lg 5−2+log 35×log 59；（2）已知a >0，a 2x ＝3，求a 3x +a −3x a x +a −x的值．已知f(x)是定义在R 上的奇函数，且x ∈(0, +∞)时，f(x)={7−2|x −1|,0<x ≤2x +9x ,x >2（1）求f(0)，f （f(−2)）的值；（2）若f(a)＝6，求a 的值．如图，在平面直角坐标系xOy 中，以Ox 轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆相交于A ，B 两点，已知A ，B 的横坐标分别为2√55，√210． (Ⅰ)求tan 2α的值； (Ⅱ)求2α+β的值．已知函数f(x)=2sin x cos x −2√3cos 2x +√3．(Ⅰ)求f(x)的最小正周期和对称中心； (Ⅱ)求f(x)的单调递减区间；(Ⅲ)当x ∈[π2,π]时，求函数f(x)的最大值及取得最大值时x 的值．已知二次函数f(x)＝ax 2+bx +c(a, b, c ∈R)，f(−2)＝f(0)＝0，f(x)的最小值为−1． （1）求函数f(x)的解析式；（2）设g(x)＝f(−x)−λf(x)+1．(i)若g(x)在[−1, 1]上是减函数，求实数λ的取值范围；(ii)若g(x)在(−1, 1)内恰有一个零点，求实数λ的取值范围．参考答案与试题解析2019-2020学年天津市南开区高一（上）期末数学试卷一．选择题（共10小题） 1.【答案】 B 2. 【答案】 A 3. 【答案】 D 4. 【答案】 B 5. 【答案】 D 6. 【答案】 D 7. 【答案】 B 8. 【答案】 C 9. 【答案】 C 10.【答案】 C二．填空题（共5小题） 【答案】 f(x)=x −12【答案】 [−2,74]【答案】 [−1, 1)【答案】 1665【答案】83三．解答题（共5小题） 【答案】(1681)−34−2e 0+ln 1−lg 4+lg 5−2+log 35×log 59=278−1+0−21g2−21g5+log 39=198；∵ a 2x ＝3， ∴a 3x +a −3x a x +a −x=(a x +a −x )(a 2x −1+a −2x )a x +a −x=a 2x +1a 2x −1=3+13−1=73．【答案】∵ f(x)是定义在R 上的奇函数；∴ f(0)＝0，∴ f(−2)＝−f(2)＝−(7−2×|2−1|)＝−5， ∴ f(f(−2))=f(−5)=−f(5)=−(5+95)=−345， 当x ∈(0, 2]时，可得f(x)∈[5, 6]；当x ∈(2, +∞)时，可得f(x)=x +9x ≥2√x ⋅9x =6，当且仅当x ＝3时取到最小值6，所以f(x)∈[6, +∞)，若f(a)＝6，又f(x)是定义在R 上的奇函数， ∴ a >0，①当a ∈(0, 2]时，∴ f(a)＝7−2|a −1|＝6，∴ a =12或32，②当a ∈(2, +∞)时∴ f(a)=a +9a =6，∴ a ＝3． 综上：∴ a =12、32或3．【答案】（1）由已知可得，cos α=2√55,cos β=√210， ∵ α，β为锐角，∴ sin α=√55，sin β=7√210， ∴ tan α=sin αcos α=12,tan 2α=2tan α1−tan 2α=43； (2)cos (α+β)=cos αcos β−sin αsin β=2√55×√210−√55×7√210=−√1010， ∵ α，β为锐角，∴ 0<α+β<π∴ sin (α+β)=√1−cos 2(α+β)=3√1010， ∴ sin (2α+β)＝sin [α+(α+β)]＝sin αcos (α+β)+cos αsin (α+β)=√55×(−√1010)+2√55×3√1010=√22，又0<α+2β<3π2，∴α+2β=3π4．【答案】（1）f(x)=2sin x cos x−2√3cos2x+√3=sin2x−√3cos2x＝2sin(2x−π3)，∴f(x)的最小正周期为2π2=π；由2x−π3=kπ，可得x=kπ2+π6，∴函数的对称中心为(kπ2+π6, 0)(k∈Z)；（2）由2x−π3∈[2kπ+π2,2kπ+3π2]，可得x∈[kπ+5π12,kπ+11π12]，∴f(x)的单调递减区间为[kπ+5π12,kπ+11π12](k∈Z)；(Ⅲ)当x∈[π2,π]时，2x−π3∈[2π3,5π3]，∴2x−π3=2π3，即x=π2时，函数f(x)取得最大值，最大值为√3．【答案】f(−2)＝f(0)＝0，f(x)的最小值为−1．设f(x)＝ax(x+2)，又a>0，f(−1)＝−1，∴a＝1，∴f(x)＝x2+2x．∵g(x)＝f(−x)−λf(x)+1，∴g(x)＝(1−λ)x2−2(1+λ)x+1，(i)①当λ＝1时，g(x)＝−4x+1在[−1, 1]上是减函数，满足要求；②当λ≠1时，对称轴方程为：x=1+λ1−λ．ⅰ）当λ<1时，1−λ>0，所以1+λ1−λ≥1，解得0≤λ<1；ⅱ）当λ>1时，1−λ<0，所以1+λ1−λ≤−1，解得λ>1．综上，λ≥0．(ii)①当λ≥0时，g(x)＝(1−λ)x2−2(1+λ)x+1在[−1, 1]上是减函数，∴g(−1)＝(1−λ)×1+2(1+λ)+1＝4+λ>0，g(1)＝(1−λ)×1−2(1+λ)+1＝−3λ≤0，故λ＝0时，g(−1)＝4+λ>0，g(1)＝−3λ＝0，若g(x)在(−1, 1)内无零点①；λ>0时，符合题意；②当λ<0时，对称轴方程为：x=1+λ1−λ=−1+21−λ∈(−1,1)，若g(x)在(−1, 1)内恰有一个零点，则有g(−1)⋅g(1)<0，所以(4+λ)⋅(−3λ)<0，解得λ<−4或λ>0，又λ<0，所以λ<−4．综上有：λ<−4或λ>0．。
2019届重庆市南开中学高考模拟(理科)数学试题(解析版)
重庆南开中学高2019级理科数学高考模拟试题（8）一、选择题：本大题12个小题，每小题5分，共60分，每小题只有一个选项符合要求，答案请涂写在答题卡上.1.复数21iz i=-的共轭复数为（ ） A. 1i -- B. 1i -+C. 1122-+i D. 1122i -- 【答案】A 【解析】 【分析】由复数的除法运算可求得z ，然后根据共轭复数的定义，可得本题答案. 【详解】22(1)11(1)(1)i i i z i i i i +===-+--+，因此z 的共轭复数为1i --. 故选：A【点睛】本题主要考查复数的除法运算及共轭复数.2.已知集合1A x x x ⎧⎫=>⎨⎬⎩⎭，集合()(){}10B x x x x a =⋅-⋅+<，若A B A B =I U ，则a =（ ）A. 1-B. 1C. 0D. 2【答案】B 【解析】 【分析】由A B A B =I U ，得A B =，又由1x x>，得(1)(1)0x x x -+<，即可得到本题答案. 【详解】由A B A B =I U ，得A B =， 又由1x x>，得3x x >，即(1)(1)0x x x -+<， 所以，{|(1)(1)0}A x x x x =-+<， 因为A B =，所以1a =. 故选：B【点睛】本题主要考查集合的基本运算及分式不等式.3.等差数列{}n a 满足12a =，且1a ，2a ，5a 成等比数列，则数列{}n a 的公差为（ ） A. 4B. 4-C. 0D. 0或4【答案】D 【解析】 【分析】由题，得2(2)2(24)d d +=+，解方程即可得到本题答案.【详解】由125,,a a a 成等比数列，得2215a a a =，因为{}n a 为等差数列且12a =，设公差为d ，则2(2)2(24)d d +=+，解得0d =或4d =. 故选：D【点睛】本题主要考查等差数列与等比数列的综合应用问题.4.若cos 8tan 3αα=，则cos 2πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A. 13-B.13C.D. 【答案】A 【解析】 【分析】 由cos 8tan 3αα=，得28cos sin 3αα=,联立22sin cos 1αα+=可求得sin α， 又由cos sin 2παα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，即可得到本题答案. 【详解】由cos 8tan 3αα=，得28cos sin 3αα=①，又22sin cos 1αα+=②，联立①，②得， sin 3α=-（舍去），或1sin 3α=，所以，1cos sin 23παα⎛⎫+=-=- ⎪⎝⎭. 故选：A【点睛】本题主要考查同角三角函数的基本关系及诱导公式.5.有5名留学海外的南开毕业生回到母校的3个班去分享留学生活见闻，则每个班至少去一名的不同分派方法种数为（ ） A. 36 B. 72C. 90D. 150【答案】D 【解析】【分析】按2、2、1和1、1、3两种情况分别算出分派方法的种数，然后相加，即可得到本题答案.【详解】分两类：一类，3个班分派的毕业人数分别为2、2、1，则有223 5332290C CAA⋅=种分派方法；另一类，3个班分派的毕业生人数分别为1、1、3，则有335360C A⋅=种分派方法，所以不同分派方法种数为9060150+=种.故选：D【点睛】本题主要考查排列组合的综合问题.6.已知变量x，y满足约束条件1031010x yx yx y+-≤⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩，则23z x y=-的最大值为（）A. 1B. 2C. 4D. 6【答案】C【解析】【分析】先根据不等式组画出可行域，再利用几何意义求最值，即可得到本题答案.【详解】画出可行域，如下图的阴影部分所示，由图知，3z-是直线2133y x z=-在y轴上的截距，当直线2133y x z=-经过点(1,2)A--时，z取得最大值，此时1,2x y=-=-，则z的最大值是2(1)3(2)4⨯--⨯-=.故选：C【点睛】本题主要考查线性规划求最值问题.7.某四棱锥的三视图如图所示，则该几何体的侧面积是（ ）A. 22B. 27C. 32D. 37【答案】B 【解析】 【分析】由三视图得到直观图，又由侧面积P BCP CD ADP ABP S S S S ∆∆∆∆=+++，即可得到本题答案. 【详解】该三视图的直观图为如下图的四棱锥P ABCD -，所以， 侧面积111134343535272222BCP CDP ADP ABP S S S S ∆∆∆=+++=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=V . 故选：B【点睛】本题主要考查三视图还原直观图及四棱锥侧面积的计算.8.函数()()()sin 0,0,0f x A x A ωϕωϕπ=+>><<的部分图象如图所示，已知12,,2x x ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭，12x x ≠，且()()12f x f x =，则()12f x x +等于（ ）A. 1-B. 2-C. 1D. 2【答案】C 【解析】由题意可得2A =，函数的周期满足：332119,24412612T ππππωω=⨯=-=∴=， 当6x π=时，2262x k ππωϕϕπ+=⨯+=+，据此可得：()26k k Z πϕπ=+∈，令0k =可得6π=ϕ， 则()2sin 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭， 由12,,2x x ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭，12x x ≠，且()()12f x f x =，可得：1243x x π+=，则441712sin 22sin 2133662f ππππ⎛⎫⎛⎫=⨯+==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 本题选择C 选项.9.古希腊数学家阿波罗尼奥斯在他的著作《圆锥曲线论》中记载了用平面切制圆锥得到圆锥曲线的方法.如图，将两个完全相同的圆锥对顶放置（两圆锥的轴重合），已知两个圆锥的底面半径为12，记过圆锥轴的平面ABCD 为平面α（α与两个圆锥面的交线为AC 、BD ），用平行于α的平面截圆锥，该平面与两个圆锥侧面的截线即为双曲线E 的一部分，且双曲线E 的两条渐近线分别平行于AC 、BD ，则双曲线E 的离心率为（ ）A.23B.2C.3D. 2【答案】B 【解析】 【分析】以矩形ABCD 的中心为原点，圆锥的轴为x 轴建立平面直角坐标系，由题，得1ba=，从而可得到本题答案.【详解】以矩形ABCD 的中心为原点，圆锥的轴为x 轴建立平面直角坐标系，设双曲线的标准方程为22221x y a b-=，由题，得2,1OA AM ==，则1,tan 1OM AOM =∠=，即1ba=， 所以2222212a b b e a a+==+=.故选：B【点睛】本题主要考查数学史及双曲线的离心率.10.若P 是圆()()22:331C x y ++-=上任一点，则点P 到直线1y kx =-距离的最大值为（ ）A. 101B. 321C. 8D. 6【答案】D 【解析】 【分析】由图，得||||||d PQ PC CQ ≤≤+，所以当,,P C Q 成一直线时，d 取最大值，由此即可得到本题答案. 【详解】设点P 为圆上任意一点，直线1y kx =-交y 轴于点Q ，点P 到直线1y kx =-的距离为d ， 易得，||||||d PQ PC CQ ≤≤+，当,,P C Q 成一直线时，d 取最大值， 且有22max ||||1(3)(31)6d PC CQ =+=+-++=.故选：D【点睛】本题主要考查圆上一点到直线的最大距离.11.执行如图的程序框图，若输出的ln 2019S =，则正整数m 的值为（ ）A. 2017B. 2018C. 2019D. 2020【答案】C 【解析】 【分析】按照程序框图的定义，写到第2018次循环，即可得到本题答案. 【详解】第1次循环，ln 2,2S i ==；第2次循环，23231ln 2ln 2ln ln 3,3S dx x i x=+⎰=+==；L第2017次循环，20172018201720181ln 2017ln 2017ln ln 2018,2018S dx x i x=+⎰=+==； 第2018次循环，20182019201820191ln 2018ln 2018ln ln 2019,2019S dx x i x=+⎰=+==； 据此可得，2019m =. 故选：C【点睛】本题主要考查定积分与程序框图.12.已知函数()e x f x x =，要使函数2()[()]()1g x k f x f x =-+的零点个数最多，则k 的取值范围是A .2e k <-B. 2e e k <--C. 2e e k >--D. 2e k >-【答案】B 【解析】 【分析】利用导数判断函数()f x 的单调性，根据单调性可得，10t e-<<时，()f x t =最多有两个根，210kt t -+=即最多有2个根，即10t e-<<时原方程最多有四个根，根据一元二次方程根的分布列不等式组求解即可.【详解】因为()e xf x x =，所以()()'1xf x x e =+，可得()f x 在(),1-∞-上递减，在()1,-+∞递增， 所以，()e xf x x =有最小值()11f e-=-，且0x <时，()0f x <，当x 趋向于负无穷时，f(x)趋向于0，但始终小于0，所以，10t e-<<时，()f x t =最多有两个根， 210kt t ∴-+=最多有2个根，即()210h t kt t =-+=在1,0e ⎛⎫- ⎪⎝⎭有两个根时，()0g x =的零点最多为4个，()2010111101401102g g k e e e k e k ⎧=>⎪⎛⎫⎪-=⨯++> ⎪⎪⎝⎭∴⎨∆=->⎪⎪⎪-<<⎩，解得2k e e <--， 故选B.【点睛】函数的性质问题以及函数零点问题是高考的高频考点，考生需要对初高中阶段学习的十几种初等函数的单调性、奇偶性、周期性以及对称性非常熟悉；另外，函数零点的几种等价形式：函数()()y f x g x =-的零点⇔函数()()y f x g x =-在x 轴的交点⇔方程()()0f x g x -=的根⇔函数()y f x =与()y g x =的交点.第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题4个小题，每小题5分，共20分.各题答案必须填写在答题卡上相应位置（只填结果，不写过程）.13.已知()sin 1f x x x =++，若()4f θ=，则()f θ-=________.【答案】2- 【解析】 【分析】由()sin g x x x =+为奇函数，得()()2f x f x +-=，由此即可得到本题答案. 【详解】设()sin g x x x =+，则()()1f x g x =+， 由()g x 为奇函数得，()()0g x g x -+=， 所以，()()()1()12f x f x g x g x +-=++-+=， 因为()4f θ=，所以()2f θ-=-. 故答案为：-2【点睛】本题主要考查利用函数的奇偶性求值.14.设向量a r ，b r 满足2a =r ，1b =r ，且()b a b ⊥+r r r ，则向量a r ，b r的夹角为________.【答案】23π 【解析】【分析】由()b a b ⊥+r r r ，可算得a b ⋅r r ，然后利用cos ||||a ba b θ⋅=⋅r r r r，即可得到本题答案. 【详解】由()b a b ⊥+r r r ，得()0b a b ⋅+=r r r ，即22||1a b b b ⋅=-=-=-rr r r ，设向量,a b rr 的夹角为θ，则有，1cos 2||||a b a b θ⋅-==⋅r r r r， 所以向量,a b rr 的夹角为23π. 故答案为：23π【点睛】本题主要考查平面向量垂直的等价条件以及数量积.15.意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，8，13，…，其中从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和，人们把这样的一列数所组成的数列{}n a 称为“斐波那契数列”，那么222212320192019a a a a a +++⋯+是斐波那契数列中的第________项.【答案】2020 【解析】 【分析】由21212111,n n n n n a a a a a a a ++++===+，得222222019202020192018201721a a a a a a a =++++L ，即可得到本题答案. 【详解】由题，得2122112111,,n n n n n n n n a a a a a a a a a a ++++++===+=+, 则220192020201920182019a a a a a =+，220182019201820172018a a a a a =+， 220172018201720162017a a a a a =+， 223212a a a a a =+，又因为2112a a a =，所以222222019202020192018201721a a a a a a a =++++L ，即2222123201920202019a a a a a a +++⋯+=， 所以，222212320192019a a a a a +++⋯+是斐波那契数列中的第2020项.故答案为：2020【点睛】本题主要考查斐波那契数列的应用，由21n n n a a a ++=+，得21211n n n n n a a a a a ++++=+，是解决此题的关键，主要考查学生的推理分析能力及计算能力.16.在底面是边长为6的正方形的四棱锥P ABCD -中，点P 在底面的射影H 为正方形ABCD 的中心，异面直线PB 与AD 所成角的正切值为53，则四棱锥P ABCD -的内切球与外接球的半径之比为___________. 【答案】617【解析】【详解】由题意，四棱锥P ABCD -为正四棱锥，PA PB PC PD ===，如图所示：因为AD BC ∥，所以异面直线PB AD 与所成的角为PBC ∠，取BC 中点E ，则5tan 3PE PBC BE ∠==. ∴5PE =∵132EH AB == ∴4HP =∴四棱锥的表面积165466962S =⨯⨯⨯+⨯=，四棱锥的体积为1664483V =⨯⨯⨯= ∴四棱锥的内切球半径332V r S == 设四棱锥外接球的球心为O ，外接球的半径为R ，则OP OA =∴()(2224R R -+=∴174R =∴617r R = 故答案为617.点睛：解决与球有关的内切或外接的问题时，解决的关键是确定球心的位置.对于外切的问题要注意球心到各个面的距离相等且都为球的半径；对于球的内接几何体的问题，注意球心到各个顶点的距离相等，解题时要构造出由球心到截面圆的垂线段、小圆的半径和球半径组成的直角三角形，利用勾股定理求得球的半径.三.解答题（共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.） （一）必考题：共60分.17.在ABC V ，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且cos cos ()cos b A c B c a B -=-. （1）求角B 的值；（2）若ABC V 的面积为b =，求a c +的值.【答案】（1）3B π=（2）7【解析】 试题分析：（1）由正弦定理把已知等式化为角的关系，再利用两角和与差的正弦公式及诱导公式求得1cos 2=，从而得3B π=；（2）由三角形面积公式1sin 2S ac B =及已知可得12ac =，再利用余弦定理2222cos b a c ac B =+-可求得a c +. 试题解析：（1）∵()cos cos cos b A c B c a B -=-.∴由正弦定理，得()sin cos sin cos sin sin cos B A C B C A B -=-. ∴sin cos cos sin 2sin cos A B A B C B +=.()sin 2sin cos A B C B ∴+=.又A B C π++=，∴()sin sin A B C +=. 又∵0C π<<，1cos 2B ∴=.又()0B π∈，，3B π∴=. （2）据（1）求解知3B π=，∴222222cos b a c ac B a c ac =+-=+-.①又1sin 332S ac B ==，∴12ac =，② 又13b =Q ，∴据①②解，得7a c +=.18.已知四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为菱形，ABC 60∠=︒，E 是BC 中点，M 是PD 的中点，F 是PC 上的点．（Ⅰ）求证：平面AEF ⊥平面PAD ；（Ⅱ）当F 是PC 中点，且AB AP =时，求二面角F AE M --的余弦值． 【答案】310【解析】【详解】试题分析：（Ⅰ）利用菱形的对角线相互垂直和等腰三角形的“三线合一”得到线线垂直，再利用线面垂直的判定定理得到线面垂直，进而利用面面垂直的判定定理进行证明；（Ⅱ）利用第一问的垂直关系建立空间直角坐标系，写出相关点的点的坐标，求出相关直线的方向向量和平面的法向量，利用空间向量的夹角公式进行求解. 试题解析：（Ⅰ）连接AC ，∵底面ABCD 为菱形，60ABC ∠=o ， ∴ABC V 是正三角形， ∵E 是BC 中点，∴AE BC ⊥， 又//AD BC ，∴AE AD ⊥，∵PA ⊥平面ABCD ，AE ⊂平面ABCD ，∴PA AE ⊥， 又PA AD A ⋂=，∴AE ⊥平面PAD ， 又AE ⊂平面AEF ， ∴平面AEF ⊥平面PAD ．解：（Ⅱ）由（Ⅰ）得AE ，AD ，AP 两两垂直，以AE ，AD ，AP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系， 不妨设2AB AP ==，则3AE =则()0,0,0A ，)3,1,0C，()0,2,0D ，()0,0,2P ，()3,0,0E，31,122F ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，()0,1,1M ∴)3,0,0AE =u u u v ，31,12AF ⎫=⎪⎪⎝⎭u u u v ，()0,1,1AM =u u u u v，设(),,m x y z r=是平面AEF 的个法向量，则303102m AE x m AF x y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=++=⎪⎩u u uv r u u u v r ，取1z =，得()0,2,1m =-r ，同理可求，平面AME 的个法向量，()0,1,1n =-r则310cos ,10m n m n m n ⋅==⋅r rr rr r ． 观察可知，二面角的平面角为锐角 ∴二面角F AE M --的平面角的余弦值为310． 19.端午假期即将到来，永辉超市举办“浓情端午高考加油”有奖促销活动，凡持高考准考证考生及家长在端年节期间消费每超过600元（含600元），均可抽奖一次，抽奖箱里有10个形状、大小完全相同的小球（其中红球有3个，黑球有7个），抽奖方案设置两种，顾客自行选择其中的一种方案.方案一：从抽奖箱中，一次性摸出3个球，其中奖规则为：若摸到3个红球，享受免单优惠；若摸出2个红球则打6折，若摸出1个红球，则打7折；若没摸出红球，则不打折. 方案二：从抽奖箱中，有放回每次摸取1球，连摸3次，每摸到1次红球，立减200元.每次摸取1球，连摸3次，每摸到1次（1）若小南、小开均分别消费了600元，且均选择抽奖方案一，试求他们均享受免单优惠的概率； （2）若小杰消费恰好满1000元，试比较说明小杰选择哪一种抽奖方案更合算？ 【答案】（1）114400（2）小杰选择第一种抽奖方案更合算.【解析】 【分析】（1）先算出一人免单对应的概率为P ，则两个人都免单对应的概率为2P ；（2）选择方案一时，写出付款金额X 的各种可能取值，计算出对应的概率，得到分布列，求出其数学期望值；选择方案二时，设摸到的红球的个数为Y ，付款金额为Z 元，计算Z 的数学期望值，比较两个期望值的大小，即可得到本题答案.【详解】解：（1）方案一若享受到免单优惠，则需摸出三个红球，设顾客享受到免单优惠为事件A ，则()333101120C P A C ==. 所以小南、小开二人均享受到免单的概率为()()114400P P A P A =⋅=.（2）若小杰选择方案一，设付款金额为X 元，则可能的取值为0、600、700、1000.()3331010120C P X C ===，()2137310760040C C P X C === ()12373102170040C C P X C ===，()373107100024C P X C ===故X 的分布列为所以()172171060070010007641204040246E X =⨯+⨯+⨯+⨯=（元）. 若小杰选择方案二，设摸到红球的个数为Y ，付款金额为Z ，则1000200Z Y =-. 由已知可得33,10Y B ⎛⎫⎪⎝⎭:，故()3931010E Y =⨯=， 所以()()()10002001000200820E Z E Y E Y =-=-=（元）. 因为()()E X E Z <，所以小杰选择第一种抽奖方案更合算. 【点睛】本题主要考查超几何分布与二项分布的数学期望求法.20.如图，在直角坐标系xoy 中，椭圆()2222:10y xC a b a b+=>>的上焦点为1F ，椭圆C 的离心率为12，且过点1,3⎛ ⎝⎭.（1）求椭圆C 的方程.（2）设过椭圆C 的上顶点A 的直线l 与椭圆C 交于点B （B 不在y 轴上），垂直于l 的直线与l 交于点M ，与x 轴交于点H ，若110F B F H ⋅=u u u v u u u u v ，且MO MA =，求直线l 的方程. 【答案】（1）22143y x +=；（2）直线l 的方程为262y x =+.【解析】试题分析：（1）根据椭圆C 的离心率为12，且过点261,3⎛ ⎝⎭，结合性质222a b c =+ ，列出关于a 、b 、c 的方程组，求出a 、b 、c ，即可求得椭圆C 的标准方程；（2）设直线l 的方程为2y kx =+，由()2222234120134y kx k x kx x y =+⎧⎪⇒++=⎨+=⎪⎩，求得B 点坐标，求得H 点坐标，根据向量数量积的坐标运算列方程求得283k =，即可求得直线l 的方程. 试题解析：（1）因为椭圆的离心率为12，所以122c a c a =⇒=即可得2234b a =，所以椭圆C 的方程为2222134y x a a +=， 把点26⎛ ⎝⎭代入C 中， 解得24a =所以椭圆方程为22143y x +=（2）设直线l 的斜率为k ，则直线l 的方程为2y kx =+由()2222234120134y kx k x kx x y =+⎧⎪⇒++=⎨+=⎪⎩ 设由（1）知()02A ，，设(),B B B x y ， 则有21234B kx k -=+所以226834B k y k -+=+ 所以2221268,3434k k B k k ⎛⎫--+ ⎪++⎝⎭因为MO MA =，所以M 在线段OA 的中垂线上. 所以1M y =，又2M M y kx =+， 所以1M x k =-，即1,1M k ⎛⎫- ⎪⎝⎭， 设(),0H H x ，又直线HM 垂直l∴111,1MH H k k k x k=-⇒=--- ∴1H x k k =-，即1,0H k k ⎛⎫- ⎪⎝⎭又()10,1F ∴21221249,3434k k F B k k ⎛⎫--= ⎪++⎝⎭u u u v ，11,1F H k k ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭u u u u v 又110F B F H ⋅=u u u v u u u u v ∴2221214903434k k k k k k --⎛⎫--= ⎪++⎝⎭ 283k ⇒=所以直线l的方程为2y x =+. 【方法点晴】本题主要考查待定系数求椭圆方程以及直线与椭圆的位置关系和数量积公式，属于难题.用待定系数法求椭圆方程的一般步骤；①作判断：根据条件判断椭圆的焦点在x 轴上，还是在y 轴上，还是两个坐标轴都有可能；②设方程：根据上述判断设方程()222210x y a b a b +=>>或22221x y b a+=()0a b >>；③找关系：根据已知条件，建立关于a 、b 、c 的方程组；④得方程：解方程组，将解代入所设方程，即为所求.21.已知函数()ln xf x ae x x =-，其中a R ∈，e 是自然对数的底数.（1）若()f x 是()0,∞+上的增函数，求实数a 的取值范围；（2）若22a e >，证明：()0f x >. 【答案】（1）1a e≥（2）见解析【解析】 【分析】（1）由()f x 是()0,∞+上的增函数等价于()0f x '≥恒成立，得1ln x x a e +≥，求()()1ln 0xxg x x e +=>的最大值，即可得到本题答案；（2）由()e 0ln 0x a f x x x >⇔->，证明当22a e ≥时，()()e ln 0xa F x x x x=->的最小值大于0，即可得到本题答案.【详解】解：（1）()()1ln x f x ae x '=-+，()f x 是()0,∞+上的增函数等价于()0f x '≥恒成立. 令()0f x '≥，得1ln x x a e +≥，令()()1ln 0xxg x x e+=>.以下只需求()g x 的最大值. 求导得()11ln xg x ex x -⎛⎫'=-- ⎪⎝⎭，令()11ln h x x x =--，()2110h x x x '=--<， ()h x 是()0,∞+上的减函数，又()10h =，故1是()h x 的唯一零点，当()0,1x ∈，()0h x >，()0g x '>，()g x 递增； 当()1,x ∈+∞，()0h x <，()0g x '<，()g x 递减； 故当1x =时，()g x 取得极大值且为最大值()11g e=，所以1a e ≥.（2）()e 0ln 0x a f x x x >⇔->，令()()e ln 0xa F x x x x=->，以下证明当22a e ≥时，()F x 的最小值大于0. 求导得()()()221e 111e x xa x F x a x x x x x -'⎡⎤=-=--⎣⎦. ①当01x <≤时，()0F x '<，()()10F x F ae ≥=>；②当1x >时，()()()211x a x x F x e x a x ⎡⎤-'=-⎢⎥-⎣⎦，令()()1xx G x e a x =--. 则()()2101x G x e a x '=+>-，又()222220ae G e a a-=-=≥，取()1,2m ∈且使()21m e a m >-，即2211ae m ae <<-，则()()2201m m G m e e e a m =-<-=-， 因为()()20G m G <，故()G x 存在唯一零点()01,2x ∈，即()F x 有唯一的极值点且为极小值点()01,2x ∈，又()0000ln x ae F x x x =-，且()()000001x x G x e a x =-=-，即()0001x x e a x =-，故()0001ln 1F x x x =--，因为()()0201101F x x x '=--<-，故()0F x 是()1,2上的减函数. 所以()()021ln 20F x F >=->，所以()0F x >. 综上，当22a e ≥时，总有()0f x >. 【点睛】本题主要考查已知函数在某区间的单调性求参数的取值范围以及导数与不等式的综合问题.（二）选考题：共10分.请考生从第22、23题中任选一题作答，并用2B 铅笔在答题卡相应题号处填涂，如果多做，则按所做的第一题计分.22.以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l 的极坐标方程为2sin 306πρθ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，曲线C 的参数方程是2cos 2sin x y ϕϕ=⎧⎨=⎩（ϕ为参数）．（1）求直线l 和曲线C 的普通方程；（2）直线l 与x 轴交于点P ，与曲线C 交于A ，B 两点，求PA PB +． 【答案】（1）30x +-=，224x y +=；（2）【解析】试题分析：（1）根据极直互化的公式得到直线方程，根据参普互化的公式得到曲线C 的普通方程；（2）联立直线的参数方程和曲线得到关于t 的二次，12PA PB t t +=+12t t =+=解析：（Ⅰ）2sin 306πρθ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，化sin cos 30θρθ+-=，即l的普通方程为30x +-=，22x cos y sin ϕϕ=⎧⎨=⎩消去ϕ，得C的普通方程为224x y +=. （Ⅱ）在30x +-=中令0y =得()3,0P ，∵k =，∴倾斜角56πα=， ∴l 的参数方程可设为536506x tcos y tsin ππ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩即312x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 代入224x y +=得250t -+=，70∆=>，∴方程有两解，12t t +=1250t t =>，∴1t ，2t 同号，12PA PB t t +=+ 12t t =+=23.已知()12019f x x =-+. （1）解关于x 的不等式()2019f x x >+；（2）若()()()24341f a f a -+>-+，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）12x x ⎧⎫<⎨⎬⎩⎭（2）()2,6 【解析】【分析】 （1）把不等式1x x ->等价转化为()221x x ->，即可求得本题答案；（2）函数()12019f x x =-+在[)1,+∞上单调递增及()()()24341fa f a -+>-+，得()24341a a -+>-+，即()()41420a a -+⋅--<，解不等式即可得到本题答案.【详解】解：（1）()2019f x x >+可化为1x x ->，所以()221x x ->，所以12x <， 所以所求不等式的解集为12x x ⎧⎫<⎨⎬⎩⎭；（2）因为函数()12019f x x =-+在[)1,+∞上单调递增， 由431a -+>，()2411a -+≥及()()()24341f a fa -+>-+， 可知()24341a a -+>-+，即()()41420a a -+⋅--<， 所以42a -<，解得26a <<，即实数的取值范围是()2,6.【点睛】本题主要考查绝对值不等式的求法.。
2018-2019学年重庆市南开中学高一(上)期中数学试卷(解析版)
2018-2019学年重庆市南开中学高一（上）期中数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个备选项中，只有一个是符合题目要求的．1．（5分）设集合A＝{﹣1，1，2}，集合B＝{x|x∈A且2﹣x∉A}，则B＝（）A．{﹣1}B．{2}C．{﹣1，2}D．{1，2}2．（5分）函数y＝+的定义域为（）A．[0，3]B．[1，3]C．[3，+∞]D．（1，3]3．（5分）下列各组的两个函数为相等函数的是（）A．f（x）＝，g（x）＝B．f（x）＝（）2，g（x）＝2x﹣5C．f（x）＝，g（x）＝D．f（x）＝，g（t）＝（）24．（5分）已知函数f（x﹣1）＝2x﹣1，且f（a）＝5，则a＝（）A．﹣B．C．2D．15．（5分）函数y＝的图象为（）A．B．C．D．6．（5分）已知函数f（x）是R上的奇函数，当x＞0时，f（x）＝4﹣x+x，则f（﹣）＝（）A．﹣1B．0C．1D．7．（5分）函数f（x）＝2x﹣3，x∈（﹣，3）的值域为（）A．[﹣2，0）B．（﹣3，0）C．[﹣，0）D．[﹣，0）8．（5分）已知f（x）是奇函数且在R上的单调递减，若方程f（x2+1）+f（m﹣x）＝0只有一个实数解，则实数m的值是（）A．﹣B．﹣C．D．9．（5分）已知开口向上的二次函数f（x）对任意x∈R都满足f（3﹣x）＝f（x），若f（x）在区间（a，2a﹣1）上单调递减，则实数a的取值范围为（）A．（﹣∞，]B．（1，]C．[﹣，+∞）D．（﹣∞，2] 10．（5分）已知f（x）是定义在（﹣∞，+∞）上的偶函数，若f（x）对任意的x1，x2∈[0，+∞）（x1≠x2）都满足＞0，则不等式f（x+1）﹣f（2x﹣1）＜0的解集为（）A．（0，2）B．（﹣2，+∞）C．（﹣∞，0）∪（2，+∞）D．（﹣∞，﹣2）11．（5分）已知函数f（x）＝2x2+（4﹣m）x+4﹣m，g（x）＝mx若存在实数x，使得f（x）与g（x）均不是正数，则实数m的取值范围是（）A．m≥4B．﹣2≤m≤4C．m≥2D．﹣3≤m≤﹣1 12．（5分）已知函数f（x）＝，若关于x的不等式[f（x）]2+af（x）﹣b2＜0恰有一个整数解，则实数a的最大值为（）A．2B．4C．6D．8二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填写在答题卡相应位置上13．（5分）已知f（x）＝，则f（f（））＝14．（5分）函数f（x）＝x|x﹣2|的单调减区间为．15．（5分）设函数f（x）是定义在R上的奇函数，f（﹣2）＝0，若f（x）在（0，+∞）单调递减，则不等式（x+1）f（x﹣1）＞0的解集为．16．（5分）已知函数f（x）对任意的实数x，y都满足f（x+y）+f（x﹣y）＝2f（x）f（y）且f（1）＝，则f（2）+f（﹣2）的值为．三．解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．（10分）已知集合A＝{x||x﹣1|≤2}，B＝{x|＞0}，C＝{x|2m﹣1≤x≤m+1}，其中m∈R．（1）设全集为R，求A∩（∁R B）；（2）若A∪B∪C＝R，求实数m的取值范围．18．（12分）（1）计算：+（3﹣2）0﹣（）﹣0.5+．（2）设a＞0，化简：；（3）若+＝，求的值．19．（12分）已知函数f（x）＝是定义在[﹣2，2]上的奇函数，且f（）＝．（1）求f（x）的解析式；（2）求函数y＝f（x）+的值域．20．（12分）已知集合A＝{x|x2+（2a﹣2）x﹣3a+4＝0，a∈R}，B＝{x|x2﹣3x+2＝0}，C＝{x|x2+x﹣6＜0}．（1）若A∩B≠∅，求实数a的取值集合；（2）若A⊆C，求实数a的取值范围．21．（12分）定义在（0，+∞）上的函数f（x）满足f（xy）＝f（x）+f（y）对所有的正数x、y都成立，f（2）＝﹣1且当x＞1，f（x）＜0．（1）求f（1）的值（2）判断并证明函数f（x）在（0，+∞）上的单调性（3）若关于x的不等式f（kx）﹣f（x2﹣kx+1）≥1在（0，+∞）上恒成立，求实数k 的取值范围22．（12分）已知a≥3，函数F（x）＝min{2|x﹣1|，x2﹣2ax+4a﹣2}，其中min（p，q）＝（Ⅰ）求使得等式F（x）＝x2﹣2ax+4a﹣2成立的x的取值范围（Ⅱ）（i）求F（x）的最小值m（a）（ii）求F（x）在[0，6]上的最大值M（a）2018-2019学年重庆市南开中学高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个备选项中，只有一个是符合题目要求的．1．【解答】解：集合B＝{x|x∈A且2﹣x∉A}，集合A＝{﹣1，1，2}，当x＝﹣1时，可得2﹣（﹣1）＝3∉A；当x＝1时，可得2﹣1＝1∈A；当x＝2时，可得2﹣2＝0∉A；∴B＝{﹣1，2}；故选：C．2．【解答】解：由题意得：，解得：1＜x≤3，故选：D．3．【解答】解：A.的定义域为{x|x≥1}，的定义域为{x|x≤﹣1，或x≥1}，定义域不同，两函数不相等；B.的定义域为，g（x）＝2x﹣5的定义域为R，定义域不同，不相等；C.，解析式不同，不相等；D.的定义域为（0，+∞），g（t）＝（）2＝t的定义域为（0，+∞），定义域和解析式都相同，相等．故选：D．4．【解答】解：根据题意，函数f（x﹣1）＝2x﹣1，令t＝x﹣1，则x＝2（t+1），则f（t）＝4（t+1）﹣1＝4t+3，若f（a）＝5，即4a+3＝5，解可得a＝；故选：B．5．【解答】解：函数y＝＝＝+；可得x，∵≠0，∴y又x＝3时，y＝0结合反比例函数的图象，可得x时，函数图象单调性递减；故选：C．6．【解答】解：根据题意，当x＞0时，f（x）＝4﹣x+x，则f（）＝+＝1，又由函数为奇函数，则f（﹣）＝﹣f（）＝﹣1；故选：A．7．【解答】解：令；∵；∴；∴x＝t2﹣1；∴；∴时，f（x）取最小值；t＝2时，f（x）取最大值0；∴f（x）的值域为：．故选：C．8．【解答】解：∵f（x）是奇函数，∴由f（x2+1）+f（m﹣x）＝0，得f（x2+1）＝﹣f（m﹣x）＝f（x﹣m），又f（x）在R上的单调递减，∴x2+1＝x﹣m，即x2﹣x+m+1＝0．则△＝（﹣1）2﹣4（m+1）＝0，解得m＝﹣．故选：B．9．【解答】解：由题意函数的对称轴是x＝，图象开口向上，若f（x）在区间（a，2a﹣1）上单调递减，则只需≥2a﹣1，解得：a≤，而a＜2a﹣1，解得：a＞1，故选：B．10．【解答】解：根据题意，f（x）是定义在（﹣∞，+∞）上的偶函数，则f（x+1）﹣f（2x﹣1）＜0⇒f（|x+1|）＜f（|2x﹣1|），若f（x）对任意的x1，x2∈[0，+∞）（x1≠x2）都满足＞0，则函数f（x）在[0，+∞）上为增函数，则f（|x+1|）＜f（|2x﹣1|）⇒|x+1|＜|2x﹣1|，变形可得：（x+1）2＜（2x﹣1）2，解可得：x＜0或x＞2，即不等式的解集为（﹣∞，0）∪（2，+∞）；故选：C．11．【解答】解：分3类讨论①m＝0 时，对于任意x．g（x）＝0 而f（x）＝2（x+1）2+2值恒正，不满足题意．②m＜0 时，对于x＞0 时，g（x）＜0 成立，只需考虑x≥0时的情况，由于函数f（x）＝2x2+（4﹣m）x+4﹣m，当﹣4＜m＜4时，△＜0．故﹣4＜m＜0，不满足，m＜﹣4时，由于对称轴在y轴左侧，故只需满足f（0）＜0即可，即m＞4，不满足题意．③当m＞0 时，g（x）＜0 在x＜0 时成立，，解得，m＞4，当m＝4时，f（x）＝2x2，g（x）＝4x，存在x＝0满足条件，综上所述m取值范围为m≥4．故选：A．12．【解答】解：函数f（x）＝，如图所示，①当b＝0时，[f（x）]2+af（x）﹣b2＜0化为[f（x）]2+af（x）＜0，当a＞0时，﹣a＜f（x）＜0，由于关于x的不等式[f（x）]2+af（x）＜0恰有1个整数解，因此其整数解为2，又f（2）＝﹣4+2＝﹣2，∴﹣a＜﹣2＜0，﹣a≥f（3）＝﹣6，则6≥a＞2，a≤0不必考虑．②当b≠0时，对于[f（x）]2+af（x）﹣b2＜0，△＝a2+4b2＞0，解得：＜f（x）＜，只考虑a＞0，则＜0＜，由于f（x）＝0时，不等式的解集中含有多于一个整数解（例如，0，1），舍去．综上可得：a的最大值为6．故选：C．二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填写在答题卡相应位置上13．【解答】解：根据题意，f（x）＝，则f（）＝﹣＝﹣，则f（﹣）＝＝﹣；故答案为：﹣14．【解答】解：当x＞2时，f（x）＝x2﹣2x，当x≤2时，f（x）＝﹣x2+2x，这样就得到一个分段函数f（x）＝．f（x）＝x2﹣2x的对称轴为：x＝1，开口向上，x＞2时是增函数；f（x）＝﹣x2+2x，开口向下，对称轴为x＝1，则x＜1时函数是增函数，1＜x＜2时函数是减函数．即有函数的单调减区间是[1，2]．故答案为：[1，2]．15．【解答】解：根据题意，函数f（x）是定义在R上的奇函数，且在（0，+∞）单调递减，又由f（﹣2）＝0，则f（2）＝﹣f（﹣2）＝0，则在区间（0，2）上，f（x）＞0，则（2，+∞）上，f（x）＜0，又由f（x）为R上的奇函数，则在区间（﹣∞，﹣2）上，f（x）＞0，则（﹣2，0）上，f（x）＜0，则在区间（0，2）或（﹣∞，﹣2）上，f（x）＞0；在（2，+∞）或（﹣2，0）上，f（x）＜0，（x+1）f（x﹣1）＞0⇒或，解可得：1＜x＜3，即x的取值范围为（1，3）；故答案为：（1，3）．16．【解答】解：对任意的实数x，y都满足f（x+y）+f（x﹣y）＝2f（x）f（y）且f（1）＝，令x＝y＝0，可得f（0）+f（0）＝2f（0）f（0），可得f（0）＝0或f（0）＝1，若f（0）＝0，可令y＝0，则f（x）+f（x）＝2f（x）f（0）＝0，即f（x）＝0，这与f （1）＝矛盾，则f（0）＝0不成立，则f（0）＝1，令x＝y＝1，可得f（2）+f（0）＝2f（1）f（1），可得f（2）＝2×﹣1＝﹣，令x＝0，y＝1可得f（1）+f（﹣1）＝2f（0）f（1），即有f（﹣1）＝2×1×﹣＝，令x＝y＝﹣1可得f（﹣2）+f（0）＝2f（﹣1）f（﹣1），即有f（﹣2）＝2×﹣1＝﹣，则f（2）+f（﹣2）＝﹣1．故答案为：﹣1．三．解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．【解答】解：由集合A＝{x||x﹣1|≤2}＝{x|﹣1≤x≤3}B＝{x|＞0}＝{x＜﹣3或x＞1}，（1）那么∁R B＝{x|﹣3≤x≤1}∴A∩（∁R B）＝{x|﹣1≤x≤1}（2）由C其中m∈R．∴A∪B＝{x＜﹣3或x＞﹣1}，由A∪B∪C＝R，即{x|2m﹣1≤x≤m+1}∪{x＜﹣3或x＞﹣1}＝R∴，解得：﹣2≤m≤﹣1故得实数m的取值范围是[﹣2，﹣1]．18．【解答】解：（1）原式＝+1+1﹣+π﹣＝π+；（2）原式＝＝；（3）若+＝，则x+x﹣1＝4，x2+x﹣2＝14，故＝＝．19．【解答】解（1）由已知得f（0）＝0，即b＝0，∴f（x）＝，再由f（）＝，得＝，解得a＝2，∴f（x）＝，（2）∵y＝f（x）+＝+，∴y•x2﹣2x+y﹣4＝0，当y＝0时，x＝﹣2；当y≠0时，一元二次方程y•x2﹣2x+y﹣4＝0对x有解，所以△＝（﹣2）2﹣4y（y﹣4）≥0，解得2﹣≤y且y≠0，综上所述：所求函数的值域为[2﹣，2+]20．【解答】解：（1）B＝{1，2}若A∩B≠∅，则①1∈A，a＝3，此时A＝{1，﹣5}，②2∈A，a＝﹣4，此时A＝{2，﹣8}，∴实数a的取值集合为{3，﹣4}；（2）C＝（﹣3，2），设f（x）＝x2+（2a﹣2）x﹣3a+4，若A⊆C，则①A＝∅，（2a﹣2）2﹣4（﹣3a+4）＜0，∴a2+a﹣3＜0，∴＜a＜，②A≠∅，∴，∴≤a＜4，综上可知，实数a的取值范围为[，4）．21．【解答】解：（1）∵f（xy）＝f（x）+f（y），取x＝1，y＝1得：f（1）＝f（1）+f（1）；∴f（1）＝0；（2）设x1＞x2＞0则f（x1）﹣f（x2）＝f（x2•）﹣f（x2）＝f（），∵x1＞x2＞0；∴；又x＞1时，f（x）＜0；∴；∴f（x1）﹣f（x2）＜0；∴f（x1）＜f（x2）；∴f（x）在（0，+∞）上单调递减；（3）∵f（2）＝﹣1，f（xy）＝f（x）+f（y）；由f（kx）﹣f（x2﹣kx+1）≥1得f（2kx）≥f（x2﹣kx+1）又f（x）在（0，+∞）上单调递减，∴∴∴∴0＜k≤．22．【解答】解：（Ⅰ）由a≥3，故x≤1时，x2﹣2ax+4a﹣2﹣2|x﹣1|＝x2+2（a﹣1）（2﹣x）＞0；当x＞1时，x2﹣2ax+4a﹣2﹣2|x﹣1|＝x2﹣（2+2a）x+4a＝（x﹣2）（x﹣2a），则等式F（x）＝x2﹣2ax+4a﹣2成立的x的取值范围是（2，2a）；（Ⅱ）（i）设f（x）＝2|x﹣1|，g（x）＝x2﹣2ax+4a﹣2，则f（x）min＝f（1）＝0，g（x）min＝g（a）＝﹣a2+4a﹣2．由﹣a2+4a﹣2＝0，解得a1＝2+，a2＝2﹣（负的舍去），由F（x）的定义可得m（a）＝min{f（1），g（a）}，即m（a）＝；（ii）当0≤x≤2时，F（x）≤f（x）≤max{f（0），f（2）}＝2＝F（2）；当2＜x≤6时，f（x）≤g（x）≤max{g（2），g（6）}＝max{2，34﹣8a}＝max{f（2），f（6）}．则M（a）＝．。
天津市南开区南开中学2019_2020学年高一数学上学期期中试题(含解析)
天津市南开区南开中学2019-2020学年高一数学上学期期中试题（含解析）一.选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（每小题3分，共30分.）1.已知R 是实数集，集合{}3|12,|02A x x B x x ⎧⎫=<<=<<⎨⎬⎩⎭，则阴影部分表示的集合是（ ）A. []0,1B. (0,1]C. [0,1)D. (0,1)【答案】B 【解析】 【分析】阴影部分对应的集合为R C A ∩B ，利用集合的基本运算即可得到结论． 【详解】由题可知阴影部分对应的集合为R C A ∩B ， ∵R C A ＝{x |x 1≤或x 2≥}，B ＝{x |0＜x 32＜}，∴R C A ∩B ＝{x |0＜x 1≤}=(0，1]， 故选B ．【点睛】本题主要考查集合的基本运算，利用集合关系确定阴影部分的集合是解决本题的关键．2.命题“存在0x R ∈，020x ≤”的否定是（ ）A. 不存在0x R ∈，020x >B. 存在0x R ∈，020x ≥C. 对任意的x ∈R ，020x ≤D. 对任意的x ∈R ，020x >【答案】D 【解析】 【分析】利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可． 【详解】特称命题的否定是全称命题.∴命题“存在0x R ∈，020x ≤”的否定是：“对任意的x ∈R ，020x >”.故选：D.【点睛】本题主要考查命题的否定，注意量词的变化，基本知识的考查，属于容易题．3.若函数()f x 是偶函数，且在[0,2]上是增函数，在[2)+∞，上是减函数，则（ ） A. (2)(3)(4)f f f --＜＜ B. (3)(2)(4)f f f --＜＜ C. (4)(3)(2)f f f --＜＜ D. (3)(4)(2)f f f --＜＜【答案】C 【解析】 【分析】根据函数奇偶性和单调性的性质进行转化判断即可．【详解】解：∵f （x ）是偶函数，且函数f （x ）在[2，+∞）上是减函数， ∴f （4）＜f （3）＜f （2），即f （﹣4）＜f （3）＜f （﹣2）， 故选：C ．【点睛】本题主要考查函数值的大小比较，结合函数奇偶性和单调性的性质进行转化是解决本题的关键．4.设{}1,1,2,3a ∈-，则使函数a y x =的值域为R 且为奇函数的所有a 值为（ ） A. 1，3 B. 1-，1C. 1-，3D. 1-，1，3【答案】A 【解析】【分析】根据幂函数的性质，分别判断幂函数的值域和奇偶性是否满足条件即可． 【详解】当1a =-时，11y xx-==，为奇函数，但值域为{}0x x ≠，不满足条件. 当1a =时，y x =，为奇函数，值域为R ，满足条件. 当2a =时，2yx 为偶函数，值域为{}0x x ≥，不满足条件.当3a =时，3y x =为奇函数，值域为R ，满足条件. 故选：A.【点睛】本题主要考查幂函数的图象和性质，属于容易题． 5.设函数()f x 满足1()11xf x x-=++，则()f x 的表达式为（ ） A. 2211x x-+ B.221x+ C.21x+ D.11xx-+ 【答案】C 【解析】 试题分析：设11x t x -=+，则11t x t -=+，所以12()111t f t t t-=+=++，所以2()1f x x =+，故选C ．考点：求函数解析式．6.若不等式20ax bx c ++>的解集是()4,1-，则不等式()()2130b x a x c -+++>的解为（ ） A. 413,⎛-⎫⎪⎝⎭B. (),3,41-∞+⎪∞⎛⎫⎝⎭C. ()1,4-D.()()–21,∞-+∞，【答案】A 【解析】 【分析】根据不等式20ax bx c ++>的解集求出b 、a 和c 的关系，再化简不等式2(1)(3)0b x a x c -+++>，从而求出所求不等式的解集．【详解】根据题意，若不等式20ax bx c ++>的解集是()4,1-， 则4-与1是方程20ax bx c ++=的根，且0a <，则有()()4141b a c a ⎧-+=-⎪⎪⎨⎪-⨯=⎪⎩，解得3b a =﹐4c a =-﹐且0a <；∴不等式()()2130b x a x c -+++>化为：()()231340x x -++-<，整理得2340x x +-<﹐ 即()()3410x x +-<﹐ 解可得413x -<<， 即不等式()()2130b x a x c -+++>的解为4,13⎛⎫- ⎪⎝⎭； 故选：A.【点睛】本题考查一元二次不等式的解法，关键是掌握一元二次不等式的解集与相应的一元二次方程的实数根的关系和根与系数的关系，属于中档题．7.已知函数f （x ）的定义域为（﹣1，1），则函数()()22x g x f f x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭的定义域为（ ） A. （0，2） B. （1，2）C. （2，3）D. （﹣1，1）【答案】B 【解析】 【分析】由题意可得112121x x ⎧-<<⎪⎨⎪-<-<⎩，由此求得x 的范围，即为所求.【详解】由题意，函数()f x 的定义域为()1,1-，则对于函数()()22x g x f f x ⎛⎫=+-⎪⎝⎭， 应有112121x x ⎧-<<⎪⎨⎪-<-<⎩，解得12x <<，故()g x 的定义域为()1,2. 故选：B.【点睛】本题主要考查函数的定义域的定义，求函数的定义域，属于基础题． 8.已知a ，∈b R ，则>a b 是>a a b b 的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】 【分析】根据不等式的关系，结合充分条件和必要条件的定义，进行判断，即可得到答案. 【详解】由题意，若ab >，则0a b >≥，则a b >，所以2a a a =，则a ab b 成立，当1,2a b ==-时，满足a a b b ，但a b >不一定成立，所以a b >是a ab b 的充分不必要条件，故选A.【点睛】本题主要考查了充分条件和必要条件的判定问题，其中解答中结合不等式的关系和不等式的性质求解是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题.9.设()()121,1x f x x x <<=-≥⎪⎩,若()()1f a f a =+,则1f a ⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ） A. 2 B. 4C. 6D. 8【答案】C 【解析】由1x ≥时()()21f x x =-是增函数可知,若1a ≥,则()()1f a f a ≠+,所以01a <<,由()(+1)f a f a =2(11)a =+-,解得14a =,则1(4)2(41)6f f a ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭,故选C. 【名师点睛】求分段函数的函数值,首先要确定自变量的范围,然后选定相应关系式，代入求解；当给出函数值或函数值的取值范围求自变量的值或自变量的取值范围时,应根据每一段解析式分别求解,但要注意检验所求自变量的值或取值范围是否符合相应段的自变量的值或取值范围．10.定义在R 上的偶函数()f x 满足：对任意的()()1212,,0x x x x ∈-∞≠，有()()21210f x f x x x -<-，且()20f =，则不等式()()205f x f x x+-<解集是（ ）A. ()(),22-∞-+∞B. ()(),20,2-∞-C. ()()2,02-+∞D. ()()2,00,2-【答案】B 【解析】 【分析】由题意可知偶函数()f x 在(),0-∞上是减函数，故在(0,)+∞上是增函数，且(2)(2)0f f =-=，原不等式可化为()305f x x<，即()f x 与x 异号，结合零点及单调性即可求解.【详解】因为对任意的()()1212,,0x x x x ∈-∞≠，有()()21210f x f x x x -<-，所以偶函数()f x 在(),0-∞上是减函数， 因为()f x 图象关于y 轴对称， 所以()f x 在(0,)+∞上是增函数， 且(2)(2)0f f =-=， 因为()f x 是偶函数，所以原不等式可化为()305f x x<，即()f x 与x 异号， 所以不等式的解为{|2x x <-或02}x <<，故选B.【点睛】本题主要考查了偶函数的性质，偶函数的单调区间，不等式求解，属于中档题.二.不定项选择题：本大题共2小题，每题4分，共8分；在每小题给出的四个选项中，都有至少一项是符合题目要求的，全部选对的得4分，选对但不全的得2分，选错或不答的得0分11.已知实数a 、b ，判断下列不等式中哪些一定是正确的（ ）A.2a b+≥ B. 12a a+≥C. ||2a bb a+≥ D.()()2222a b a b +≥+【答案】CD 【解析】 【分析】 当0a <，0b <时，2a b ab +不成立；当0a <，时，12a a+不成立；由||||||a b b ab a a b +=+利用基本不等式即可判断；由2222222()()2()0a b a b a b ab a b +-+=+-=-，可判断．【详解】当0a <，0b <时，2a b+≥不成立； 当0a <时，12a a+≥不成立；2a b b ab a a b+=+≥； ()()()222222220a b a b a b ab a b +-+=+-=-≥，故()()2222a b a b +≥+，故选：CD.点睛】本题主要考查了基本不等式的应用条件的判断，属于中档题． 12.下列判断中哪些是不正确的（ ）A. ()(1f x x =-B. ()()()2200x x x f x x x x ⎧+<⎪=⎨-+>⎪⎩是奇函数C. ()f x =D. ()f x =是非奇非偶函数【答案】AD 【解析】 【分析】根据奇函数和偶函数的定义，判断每个选项函数的奇偶性即可． 【详解】A.()f x 的定义域为(]1,1-，定义域不关于原点对称，()f x ∴不是偶函数，∴该判断错误；B.设0x >，0x -<，则()()()22f x x x x x f x -=-=--+=-，同理设0x <，也有()()f x f x -=-成立，()f x ∴是奇函数，∴该判断正确；C.解230x -=得，x =()f x ∴的定义域关于原点对称，且()0f x =，()f x ∴是偶函数，∴该判断正确；D.解210330x x ⎧-≥⎪⎨+-≠⎪⎩得，10x -≤<，或01x <≤，()33f x x x∴==+-， ()=()f x f x --()f x ∴是奇函数，∴该判断错误.故选：AD.【点睛】本题考查了奇函数、偶函数的定义及判断，考查了推理和计算能力，属于中档题． 三.填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分13.函数y x =-________. 【答案】12. 【解析】 【分析】由根式内部的代数式大于等于0求得函数定义域，再由函数在定义域内单调递增求解． 【详解】由120x -≥，得12x ≤.∴函数y x =-12,⎛-∞⎤ ⎥⎝⎦，函数y x =在12,⎛-∞⎤ ⎥⎝⎦上为增函数，函数y =12,⎛-∞⎤ ⎥⎝⎦上为增函数，∴函数y x =-12,⎛-∞⎤ ⎥⎝⎦上为增函数，∴当12x =时，函数y x =12.故答案为：12.【点睛】本题考查函数的值域及其求法，训练了利用函数的单调性求函数的值域，属于中档题．14.已知函数()f x 满足()1221,0f x f x x x ⎛⎫-=-≠ ⎪⎝⎭，则()f x 的解析式为________ 【答案】()24133f x x x=--+ 【解析】 【分析】 由已知可得f （1x ）-2f （x ）21x =-，联立两式消去f （1x），解方程组可得． 【详解】∵()1221,f x f x x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭∴f（1x ）-2f （x ）21x=-， 联立两式消去f （1x），可得f （x ）=24133x x--+ 故答案为f （x ）=24133x x--+ 【点睛】本题考查函数解析式的求解，考查整体换元，属于基础题．15.已知()2y f x x =+是奇函数，且()13f =，若()()2g x f x =+，则()1g -=________.【答案】–3. 【解析】 【分析】由已知可知，22()()f x x f x x -+=--，然后结合f （1）3=，可求(1)f -，然后代入即可求解(1)g -． 【详解】()2y f x x =+是奇函数，()()22f x x f x x ∴-+=--，()()22x f x f x -+=-∴， ()13f =，()15f ∴-=-， ()()2g x f x =+，则()()1123g f -=-+=-. 故答案为：–3【点睛】本题主要考查了利用函数的奇偶性求解函数值，解题的关键是奇函数定义的灵活应用，属于容易题．16.已知函数()224f x x kx =--在区间[]2,4-上具有单调性，则k 的取值范围是________.【答案】(][),816,-∞-+∞.【解析】 【分析】函数2()24f x x kx =--对称轴为：4k x =，函数()f x 在区间[2-，4]上有单调性，由44k 或24k -，解得k 即可． 【详解】函数()224f x x kx =--对称轴4k x =， 又函数()f x 在区间[]2,4-上有单调性， 44k ∴≤或24k -≥， 16k ∴≥或8k ≤-，故答案为：(][),816,-∞-+∞.【点睛】此题主要考查二次函数的图象及其性质，利用对称轴在区间上移动得出，()f x 在其区间上具有单调性的条件，属于容易题.17.已知()()2240()40x x x f x x x x ⎧+≥⎪=⎨-<⎪⎩，若()2(2)f a f a ->，则实数a 的取值范围是____________.【答案】(2,1)-【解析】【分析】判断函数()f x 的单调性，利用单调性()2(2)f a f a ->转化为自变量的不等式，即可求解.【详解】()f x 在区间(,0],(0,)-∞+∞都是增函数，并且在0x =处函数连续，所以()f x 在R 上是增函数，()2(2)f a f a ->等价于222,20a a a a >+-<-，解得21a -<<.故答案为:(2,1)-【点睛】本题考查函数的单调性，并利用单调性解不等式，属于中档题.18.设0,0,25x y x y >>+=______.【答案】【解析】【分析】把分子展开化为26xy +，再利用基本不等式求最值．【详解】xy = 0,0,25,0,x y x y xy >>+=>∴≥= 当且仅当3xy =，即3,1x y ==时成立，故所求的最小值为【点睛】使用基本不等式求最值时一定要验证等号是否能够成立．四、解答题：本大题共5小题，共38分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤19.已知全集U =R ，集合2{|3180}A x x x =--≥，5{|0}14x B x x +=≤-. （1）求()U C B A ⋂.（2）若集合{|21}C x a x a =<<+，且B C C =，求实数a 的取值范围.【答案】（1）(){|14U C B A x x ⋂=≥或5}x <-（2）52a ≥-【解析】试题分析：（1）解不等式求得A,B 及U C B ，根据交集的定义求解；（2）将问题转化为C B ⊆求解，分C =∅和C ≠∅两种情况进行讨论．试题解析 ：（1）由题意得{|3A x x =≤-或6}x ≥，{|514}B x x =-≤<，∴{|5U B x x =<-或14}≥，∴(){|14U C B A x x ⋂=≥或5}x <-．（2）∵B C C ⋂=∴C B ⊆，①当C =∅时，则有21a a ≥+，解得1a ≥．②当C ≠∅时，则有2111425a a a a <+⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，解得512a -≤<．综上可得52a ≥-． 实数a 的取值范围为5[)2-+∞，． 20.已知幂函数()a f x x =的图象经过点(. （1）求幂函数()f x 的解析式；（2）试求满足()()13f a f a +>-的实数a 的取值范围.【答案】（1）())0f x x =≥；（2）(]1,3. 【解析】【分析】（1）把点的坐标代入函数解析式求出a 的值，即可写出()f x 的解析式；（2）根据()f x 在定义域上的单调性，把不等式(1)(3)f a f a +>-化为关于a 的不等式组，求出解集即可．【详解】（1）幂函数()a f x x =的图象经过点(，2a ∴= 解得12a =， ∴幂函数())120x x f x ==≥；（2）由（1）知()f x 在定义域[)0,+∞上单调递增，则不等式()()13f a f a +>-可化为103013a a a a +≥⎧⎪-≥⎨⎪+>-⎩解得13a ，∴实数a 的取值范围是(]1,3.【点睛】本题考查了幂函数的定义与应用问题，属于容易题．21.已知函数()211x f x x -=+． (Ⅰ)证明：函数()f x 在区间()0,+∞上是增函数；(Ⅱ)求函数()f x 在区间[]1,17上的最大值和最小值．【答案】(Ⅰ)见解析；(Ⅱ)见解析【解析】【分析】(Ⅰ)先分离常数得出()321f x x =-+，然后根据增函数的定义，设任意的120x x >>，然后作差，通分，得出()()()()()121212311x x f x f x x x --=++，只需证明()()12f x f x >即可得出()f x 在()0,+∞上是增函数；(Ⅱ)根据()f x 在()0,+∞上是增函数，即可得出()f x 在区间[]1,17上的最大值为()17f ，最小值为()1f ，从而求出()17f ，()1f 即可．【详解】解：(Ⅰ)证明：()213211x f x x x -==-++； 设120x x >>，则：()()()()()121221123331111x x f x f x x x x x --=-=++++； 120x x >>；120x x ∴->，110x +>，210x +>；()()()12123011x x x x -∴>++；()()12f x f x ∴>；()f x ∴在区间()0,+∞上是增函数；(Ⅱ())f x 在()0,+∞上是增函数；()f x ∴在区间[]1,17上的最小值为()112f =，最大值为()11176f =． 【点睛】考查分离常数法的运用，反比例函数的单调性，增函数的定义，根据增函数的定义证明一个函数是增函数的方法，根据函数单调性求函数在闭区间上的最值的方法．22.已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x ≤时，()22f x x x =--. （1）求函数()()f x x R ∈的解析式；（2）写出函数()()f x x R ∈的增区间（不需要证明）；（3）若函数()()[]()2212g x f x ax x =-+∈，求函数()g x 的最小值. 【答案】（1）()222,02,0x x x f x x x x ⎧--≤=⎨->⎩；（2）函数()f x 的增区间：(),1-∞-，()1+∞，，减区间：()1,1-，；（3）当1a ≥时，()min 24g x a =-，当0a ≤时，()min 12g x a =-，当01a <<时，2()min 21g x a a =--+.【解析】【分析】（1）根据奇函数定义和当0x 时，2()2f x x x =--，并写出函数在0x >时的解析式；（2）由（1）解析式得出函数的单调区间；（3）通过分类讨论研究二次函数在区间上的最小值，得到本题结论．【详解】（1）函数()f x 是定义在R 上的奇函数， ∴当0x >时，此时0x -<，()()f x f x ∴=--， 又当0x ≤时，()22f x x x =--， ()()()()22][22f f x x x x x x =--=----=-∴-，∴函数()()f x x R ∈的解析式为：()222,02,0x x x f x x x x ⎧--≤=⎨->⎩. （2）函数()f x 的增区间：(),1-∞-，()1,+∞﹒减区间：()1,1-.（3）函数()()()[]()22222222221,2g x f x ax x x ax x a x x =-+=--+=-++∈， 二次函数对称轴为：1x a =+，当21a ≤+时，即1a ≥时，()()min 224g x g a ==-，当11a ≥+时，即0a ≤时，()()min 112g x g a ==-，当112a <+<时，即01a <<时，2()min (1)21g x g a a a =+=--+综上，当1a ≥时，()min 24g x a =-，当0a ≤时，()min 12g x a =-，当01a <<时，2()min 21g x a a =--+【点睛】本题考查了函数的奇偶性、函数解析式、二次函数在区间上的最值，本题难度不大，属于中档题．23.函数f(x)的定义域为D ＝{x|x≠0}，且满足对任意x 1，x 2∈D，有f(x 1·x 2)＝f(x 1)＋f(x 2)．(1)求f(1)的值；(2)判断f(x)的奇偶性并证明你的结论；(3)如果f(4)＝1，f(x －1)<2，且f(x)在(0，＋∞)上是增函数，求x 的取值范围． 【答案】（1）0；（2）见解析；（3）()(15,1)1,17⋃－【解析】试题分析：（1）抽象函数求具体指，用赋值法；（2）根据定义求证函数的奇偶性找f (－x )和f (x )的关系；（3）先利用f (4×4)＝f (4)＋f (4)＝2得到f (x －1)<2⇔f (|x －1|)<f (16).再根据单调性列出不等式求解即可.(1)∵对于任意x 1，x 2∈D ，有f (x 1·x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)，∴令x 1＝x 2＝1，得f (1)＝2f (1)，∴f (1)＝0.(2)令x 1＝x 2＝－1，有f (1)＝f (－1)＋f (－1)，∴f (－1)＝f (1)＝0.令x 1＝－1，x 2＝x 有f (－x )＝f (－1)＋f (x )，∴f (－x )＝f (x )，∴f (x )为偶函数．(3)依题设有f (4×4)＝f (4)＋f (4)＝2，由(2)知，f (x )是偶函数，∴f (x －1)<2⇔f (|x －1|)<f (16)．又f (x )在(0，＋∞)上是增函数．∴0<|x －1|<16，解之得－15<x <17且x ≠1.∴x 的取值范围是{x |－15<x <17且x ≠1}．。
2019-2020年天津市南开区高一上册期末数学试卷(有答案)【最新版】
天津市南开区高一（上）期末数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．（3分）设集合U={n|n∈N*且n≤9}，A={2，5}，B={1，2，4，5}，则∁U（A∪B）中元素个数为（）A．4 B．5 C．6 D．72．（3分）与α=+2π（∈）终边相同的角是（）A．345°B．375° C．﹣πD．π3．（3分）sin80°cos70°+sin10°sin70°=（）A．﹣B．﹣ C．D．4．（3分）下列函数中是奇函数的是（）A．y=+sin B．y=||﹣cos C．y=sin D．y=||cos5．（3分）已知cosθ＞0，tan（θ+）=，则θ在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限6．（3分）函数f（）=log2+﹣4的零点在区间为（）A．（0，1）B．（1，2） C．（2，3） D．（3，4）7．（3分）若偶函数f（）在[0，+∞）上单调递减，设a=f（1），b=f（log0.53），c=f （log23﹣1），则（）A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b8．（3分）如图，正方形ABCD边长为1，从某时刻起，将线段AB，BC，CD，DA分别绕点A，B，C，D顺时针旋转相同角度α（0＜α＜），若旋转后的四条线段所围成的封闭图形面积为，则α=（）A．或B．或C．或D．或9．（3分）函数f（）=Asin（ω+φ）的单调递减区间为[π﹣，π+]（∈），则下列说法错误的是（）A．函数f（﹣）的最小正周期为πB．函数f（﹣）图象的对称轴方程为=+（∈）C．函数f（﹣）图象的对称中心为（+，0）（∈）D．函数f（﹣）的单调递减区间为[π+，π+]（∈）10．（3分）设函数f（）=，则下列说法正确的是（）①若a≤0，则f（f（a））=﹣a；②若f（f（a））=﹣a，则a≤0；③若a≥1，则f（f（a））=；④若f（f（a））=，则a≥1．A．①③B．②④C．①②③D．①③④二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分）.11．（4分）函数f（）=的定义域为．12．（4分）函数f（）=2cos2•tan+cos2的最小正周期为；最大值为．13．（4分）如果将函数f（）=sin2图象向左平移φ（φ＞0）个单位，函数g（）=cos（2﹣）图象向右平移φ个长度单位后，二者能够完全重合，则φ的最小值为．14．（4分）如图所示，已知A，B是单位圆上两点且|AB|=，设AB与轴正半轴交于点C，α=∠AOC，β=∠OCB，则sinαsinβ+cosαcosβ=．15．（4分）设函数f（）=，若关于的方程f（）﹣a=0有三个不等实根1，2，3，且1+2+3=﹣，则a=．三、解答题：本大题共5小题，共50分．解答写出文字说明、证明过程或演算过程．16．（8分）已知集合A={|2﹣6≤2﹣2≤1}，B={|∈A∩N}，C={|a≤≤a+1}．（Ⅰ）写出集合B的所有子集；（Ⅱ）若A∩C=C，求实数a的取值范围．17．（10分）已知函数f（）=cos（﹣）﹣sin（﹣）．（Ⅰ）判断函数f（）的奇偶性，并给出证明；（Ⅱ）若θ为第一象限角，且f（θ+）=，求cos（2θ+）的值．18．（10分）设函数f（）为R上的奇函数，已知当＞0时，f（）=﹣（+1）2．（Ⅰ）求函数f（）的解析式；（Ⅱ）若f（m2+2m）+f（m）＞0，求m的取值范围．19．（10分）设某等腰三角形的底角为α，顶角为β，且cosβ=．（Ⅰ）求sinα的值；（Ⅱ）若函数f（）=tan在[﹣，α]上的值域与函数g（）=2sin（2﹣）在[0，m]上的值域相同，求m的取值范围．20．（12分）函数f（）=4sinω•cos（ω+）+1（ω＞0），其图象上有两点A（s，t），B（s+2π，t），其中﹣2＜t＜2，线段AB与函数图象有五个交点．（Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）若函数f（）在[1，2]和[3，4]上单调递增，在[2，3]上单调递减，且满足等式﹣3=2﹣1=（3﹣2），求1、4所有可能取值．4天津市南开区高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．（3分）设集合U={n|n∈N*且n≤9}，A={2，5}，B={1，2，4，5}，则∁U（A∪B）中元素个数为（）A．4 B．5 C．6 D．7【解答】解：∵A={2，5}，B={1，2，4，5}，∴A∪B={1，2，4，5}，又∵集合U={n|n∈N*且n≤9}={1，2，3，4，5，6，7，8，9}，∴∁U（A∪B）={3，6，7，8，9}，故∁U（A∪B）共有5个元素，故选：B．2．（3分）与α=+2π（∈）终边相同的角是（）A．345°B．375° C．﹣πD．π【解答】解：由α=+2π（∈），得与角α终边相同的角是：，360°+15°=375°．故选：B．3．（3分）sin80°cos70°+sin10°sin70°=（）A．﹣B．﹣ C．D．【解答】解：sin80°cos70°+sin10°sin70°=cos10°cos70°+sin10°sin70°=．故选：C．4．（3分）下列函数中是奇函数的是（）A．y=+sin B．y=||﹣cos C．y=sin D．y=||cos【解答】解：A，y=+sin，有f（﹣）=﹣﹣sin=﹣f（），为奇函数；B，y=||﹣cos，f（﹣）=|﹣|﹣cos（﹣）=f（），为偶函数；C，y=sin，f（﹣）=（﹣）sin（﹣）=sin=f（），为偶函数；D，y=||cos，f（﹣）=|﹣|cos（﹣）=f（），为偶函数．故选：A．5．（3分）已知cosθ＞0，tan（θ+）=，则θ在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：由题意得，tan（θ+）=，所以=，即，解得tanθ=＜0，则θ在第二或四象限，由cosθ＞0得，θ在第一或四象限，所以θ在第四象限，故选：D．6．（3分）函数f（）=log2+﹣4的零点在区间为（）A．（0，1）B．（1，2） C．（2，3） D．（3，4）【解答】解：f（）=log2+﹣4，在（0，+∞）上单调递增．∵f（2）=1+2﹣4=﹣1＜0，f（3）=log23﹣1＞0∴根据函数的零点存在性定理得出：f（）的零点在（2，3）区间内∴函数f（）=log2+﹣4的零点所在的区间为（2，3），故选：C．7．（3分）若偶函数f（）在[0，+∞）上单调递减，设a=f（1），b=f（log0.53），c=f （log23﹣1），则（）A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b【解答】解：∵偶函数f（）在[0，+∞）上单调递减，∴f（）在（﹣∞，0]上单调递增，∵log0.53=＜=﹣1，log23﹣1=log21.5∈（0，1），a=f（1），b=f（log0.53），c=f（log23﹣1），∴b＜a＜c．故选：B．8．（3分）如图，正方形ABCD边长为1，从某时刻起，将线段AB，BC，CD，DA分别绕点A，B，C，D顺时针旋转相同角度α（0＜α＜），若旋转后的四条线段所围成的封闭图形面积为，则α=（）A．或B．或C．或D．或【解答】解：如图所示，旋转后的四条线段所围成的封闭图形为正方形，边长为cosα﹣sinα，由题意可得：（cosα﹣sinα）2=，可得：cosα﹣sinα=±①，2sinαcosα=又0＜α＜，可得：cosα+sinα==，②所以：由①②可得：cosα=．故α=或．故选：A．9．（3分）函数f（）=Asin（ω+φ）的单调递减区间为[π﹣，π+]（∈），则下列说法错误的是（）A．函数f（﹣）的最小正周期为πB．函数f（﹣）图象的对称轴方程为=+（∈）C．函数f（﹣）图象的对称中心为（+，0）（∈）D．函数f（﹣）的单调递减区间为[π+，π+]（∈）【解答】解：由题意，ω=2，函数f（）=Asin（ω+φ）的周期为π，φ=，f（﹣）=Asin（﹣2+），=+，﹣2+=π+，f（﹣）=Asin（﹣2+）≠0，故选C．10．（3分）设函数f（）=，则下列说法正确的是（）①若a≤0，则f（f（a））=﹣a；②若f（f（a））=﹣a，则a≤0；③若a≥1，则f（f（a））=；④若f（f（a））=，则a≥1．A．①③B．②④C．①②③D．①③④【解答】解：当a≤0时，则f（f（a））==﹣a，故①正确；当a≥1时，f（f（a））==，故③正确；当0＜a＜1，f（f（a））=log0.5（log0.5a）∈R，故此时存在0＜a＜1，使得f（f（a））=﹣a也存在0＜a＜1，使得f（f（a））=，故②④错误；故选：A二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分）.11．（4分）函数f（）=的定义域为（﹣1，0）∪（0，+∞）．【解答】解：由题意得：，解得：＞﹣1且≠0，故函数的定义域是（﹣1，0）∪（0，+∞），故答案为：（﹣1，0）∪（0，+∞）．12．（4分）函数f（）=2cos2•tan+cos2的最小正周期为π；最大值为．【解答】解：函数f（）=2cos2•tan+cos2=2sincos+cos2=sin2+cos2=sin（2+）的最小正周期为=π，最大值为，故答案为：π，13．（4分）如果将函数f（）=sin2图象向左平移φ（φ＞0）个单位，函数g（）=cos（2﹣）图象向右平移φ个长度单位后，二者能够完全重合，则φ的最小值为．【解答】解：将函数y=sin2的图象向左平移φ（φ＞0）个单位得到：y=sin[2（+φ）]=sin （2+2φ）的图象，将函数g（）=cos（2﹣）图象向右平移φ个长度单位后，可得函数y=cos[2（﹣φ）﹣]=cos（2﹣2φ﹣）=sin[﹣（2﹣2φ﹣）]=sin（﹣2+2φ）=sin（2﹣2φ+）的图象，二者能够完全重合，由题意可得，即：2+2φ=2﹣2φ++2π，∈，解得：φ=π+，（∈）当=0时，φmin=．故答案为：．14．（4分）如图所示，已知A，B是单位圆上两点且|AB|=，设AB与轴正半轴交于点C，α=∠AOC，β=∠OCB，则sinαsinβ+cosαcosβ=．【解答】解：由题意，∠OAC=β﹣α，∵A，B是单位圆上两点且|AB|=，∴sinαsinβ+cosαcosβ=cos（β﹣α）=cos∠OAC==，故答案为．15．（4分）设函数f（）=，若关于的方程f（）﹣a=0有三个不等实根1，2，3，且1+2+3=﹣，则a=．【解答】解：如图所示，画出函数f（）的图象，不妨设1＜2＜3，则1+2=2×=﹣3，又1+2+3=﹣，∴3=．∴a==．故答案为：．三、解答题：本大题共5小题，共50分．解答写出文字说明、证明过程或演算过程．16．（8分）已知集合A={|2﹣6≤2﹣2≤1}，B={|∈A∩N}，C={|a≤≤a+1}．（Ⅰ）写出集合B的所有子集；（Ⅱ）若A∩C=C，求实数a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）对于集合A，因为2﹣6≤2﹣2≤1，则﹣6≤﹣2≤0，解可得：0≤≤2．即A={|0≤≤2}，又由B={|∈A∩N}，则B={0，1，2}；故B的子集有∅、{0}、{1}、{2}、{0，1}、{0，2}、{1，2}、{0，1，2}；（Ⅱ）若A∩C=C，则C是A的子集，则必有：，解可得：0≤a≤1，即a的取值范围是：[0，1]．17．（10分）已知函数f（）=cos（﹣）﹣sin（﹣）．（Ⅰ）判断函数f（）的奇偶性，并给出证明；（Ⅱ）若θ为第一象限角，且f（θ+）=，求cos（2θ+）的值．【解答】解：（Ⅰ）结论：函数f（）为定义在R上的偶函数．证明：函数f（）的定义域为R，关于原点对称，f（）=cos（﹣）﹣sin（﹣）=f（﹣）=．因此，函数f（）为定义在R上的偶函数；（Ⅱ）∵f（θ+）=，∴．由于θ为第一象限角，故，∴cos（2θ+）===．18．（10分）设函数f（）为R上的奇函数，已知当＞0时，f（）=﹣（+1）2．（Ⅰ）求函数f（）的解析式；（Ⅱ）若f（m2+2m）+f（m）＞0，求m的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）∵函数f（）为R上的奇函数，∴f（0）=0，若＜0，则﹣＞0，∵当＞0时，f（）=﹣（+1）2．∴当﹣＞0时，f（﹣）=﹣（﹣+1）2=﹣（﹣1）2．∵f（）是奇函数，∴f（﹣）=﹣（﹣1）2=﹣f（），则f（）=（﹣1）2，＜0，则函数f（）的解析式f（）=；（Ⅱ）若f（m2+2m）+f（m）＞0，则f（m2+2m）＞﹣f（m）=f（﹣m），当＞0时，f（）=﹣（+1）2为减函数，且f（）＜﹣1＜f（0），当＜0时，f（）=（﹣1）2为减函数，且f（）＞1＞f（0），则函数f（）在R上是减函数，则m2+2m＜﹣m，即m2+3m＜0，则﹣3＜m＜0，即m的取值范围是（﹣3，0）．19．（10分）设某等腰三角形的底角为α，顶角为β，且cosβ=．（Ⅰ）求sinα的值；（Ⅱ）若函数f（）=tan在[﹣，α]上的值域与函数g（）=2sin（2﹣）在[0，m]上的值域相同，求m的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由题意，β=π﹣2α，∴cosβ==﹣cos2α=2sin2α﹣1∵α∈（0，），∴sinα=；（Ⅱ）由题意，函数f（）=tan在[﹣，α]上单调递增，∵α∈（0，），sinα=，∴cosα=，∴tanα=2，∴函数f（）=tan在[﹣，α]上的值域为[﹣，2]，∴函数g（）=2sin（2﹣）在[0，m]上的值域为[﹣，2]，∴y=sin在[﹣，2m﹣]上的取值范围是[﹣，1]，∴≤2m﹣≤，∴≤m≤．20．（12分）函数f（）=4sinω•cos（ω+）+1（ω＞0），其图象上有两点A（s，t），B（s+2π，t），其中﹣2＜t＜2，线段AB与函数图象有五个交点．（Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）若函数f（）在[1，2]和[3，4]上单调递增，在[2，3]上单调递减，且满足等式﹣3=2﹣1=（3﹣2），求1、4所有可能取值．4【解答】解：（Ⅰ）f（）=4sinω•cos（ω+）+1====，由于|AB|=2π，且线段AB与函数f（）图象有五个交点，因此，故ω=1；（Ⅱ）由（Ⅰ）得，函数f（）=，由题意知，因此4﹣3=2﹣1=（3﹣2）=．即，．∵函数f（）在[1，2]上单调递增，在[2，3]上单调递减，∴f（）在2处取得最大值，即=2．，即．∴=．=．。
2019年重庆南开中学高一数学理月考试卷含解析
2019年重庆南开中学高一数学理月考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 函数的图象是（）参考答案：A略2. 已知函数，则的值为A. B. C. D.参考答案：D3. 已知sin(－α)=，0＜α＜，则sin(+α)=（）A．B． C．D．参考答案：C【考点】三角函数的化简求值．【分析】利用诱导公式化简，根据同角三角函数关系式可得答案．【解答】解：∵，∴cos[]=即cos（）=∵，∴＜．∴sin（）=．故选：C．4. 若，，，则（）A．B． C．D．参考答案：D略5. 若|，且（）⊥，则与的夹角是（）wA． B． C． D．参考答案：B略6. 已知等差数列{a n}，{b n}的前n项和分别为S n，T n，且，则=（）A．B．C．D．参考答案：A【考点】85：等差数列的前n项和．【分析】根据等差数列的性质和前n项和公式即可得出结论．【解答】解： =====，故选：A【点评】本题考查等差数列的性质，考查学生的计算能力，比较基础．7. 已知指数函数f（x）=a x﹣16+7（a＞0且a≠1）的图象恒过定点P，若定点P在幂函数g （x）的图象上，则幂函数g（x）的图象是（）A．B．C．D．参考答案：A【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域．【分析】求出定点P，然后求解幂函数的解析式，即可得出结论．【解答】解：指数函数f（x）=a x﹣16+7（a＞0且a≠1）的图象恒过定点P，令x﹣16=0，解得x=16，且f（16）=1+7=8，所以f（x）的图象恒过定点P（16，8）；设幂函数g（x）=x a，P在幂函数g（x）的图象上，可得：16a=8，解得a=；所以g（x）=，幂函数g（x）的图象是A．故选：A．【点评】本题考查了指数函数与幂函数的性质与应用问题，也考查了计算能力的问题，是基础题．8. 函数和都是减函数的区间是（）A．B．C. D．参考答案：A9. （5分）直线x﹣2y﹣3=0与圆（x﹣2）2+（y+3）2=9交于E，F两点，则△EOF（O是原点）的面积为（）A．B．C．D．参考答案：D考点：直线与圆相交的性质．专题：计算题．分析：先求出圆心坐标，再由点到直线的距离公式和勾股定理求出弦长|EF|，再由原点到直线之间的距离求出三角形的高，进而根据三角形的面积公式求得答案．解答：圆（x﹣2）2+（y+3）2=9的圆心为（2，﹣3）∴（2，﹣3）到直线x﹣2y﹣3=0的距离d==弦长|EF|=原点到直线的距离d=∴△EOF的面积为故选D．点评：本题主要考查点到直线的距离公式和直线与圆的位置关系．考查基础知识的综合运用和灵活运用能力．10. 函数是定义在上的奇函数，当时，得图象如图所示，那么不等式的解集是（）A.∪(0,1)B. ∪(0, 1)C. (1,3)∪D. ∪参考答案：A略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 在数列{a n}中,若则的值为______.参考答案：∵a n+1=，a1=，∴a2=2×﹣=，a3=﹣1=，a4=2×=，a5=2×=，…，∴a n+4=a n．则=a5×4=．12. 设m>0，则直线(x＋y)＋1＋m＝0与圆x2＋y2＝m的位置关系为________．参考答案：答案：相切或相离解析：圆心到直线的距离为d＝，圆的半径为r＝，∵d－r＝－＝(m－2＋1)＝(－1)2≥0，∴直线与圆的位置关系是相切或相离．13. 设函数的x的取值范围为_________。