2019年高等数学基础期末考试复习试题及答案
2019最新高等数学(上册)期末考试试题(含答案)AFG
2019最新高等数学期末考试试题（含答案）一、解答题1．根据下面所给的值，求函数21y x =+的,d y y ∆及d y y ∆-：⑴ 当1,0.1x x =∆=时；解： 2222()1(1)2210.10.10.21d 2210.10.2d 0.210.20.01.y x x x x x x y x x y y ∆=+∆+-+=∆+∆=⨯⨯+==⋅∆=⨯⨯=∆-=-=. ⑵ 当1,0.01x x =∆=时.解：222210.010.010.0201d 2210.010.02d 0.02010.020.0001.y x x x y x x y y ∆=∆+∆=⨯⨯+==⋅∆=⨯⨯=∆-=-=2．将()2132f x x x =++展开成(x +4)的幂级数． 解：21113212x x x x =-++++ 而 ()()()010********31314413334713n n n n n x x x x x x x ∞=∞+==+-++=-⋅+-+⎛+⎫⎛⎫=-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+=--<<∑∑ 又()()()010********21214412224622n n n n n x x x x x x x ∞=∞+==+-++=-+-+⎛+⎫⎛⎫=-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+=--<<-∑∑所以()()()()()2110011013244321146223n nn n n n nn n n f x x x x x x x ∞∞++==∞++==++++=-+⎛⎫=-+-<<- ⎪⎝⎭∑∑∑3．某父母打算连续存钱为孩子攒学费，设建行连续复利为5%（每年），若打算10年后攒够5万元，问每年应以均匀流方式存入多少钱？解：设每年以均匀流方式存入x 万元，则5= 10(10)0.050e d t x t -⎰即 5=20x (e 0.5-1) 0.514(e 1)x =-≈0.385386万元=3853.86元．习题六4．求对数螺线a r e θ=相应θ=0到θ=φ的一段弧长． 解：l =⎠⎛0φr 2+r ′2d θ =⎠⎛0φe 2a θ+a 2e 2a θd θ =1+a 2a ()e a φ-1．5． 设有一截锥体，其高为h ，上、下底均为椭圆，椭圆的轴长分别为2a ，2b 和2A ，2B ，求这截锥体的体积。
2019最新高等数学(上册)期末考试试题(含答案)VE
2019最新高等数学期末考试试题（含答案）一、解答题1．利用洛必达法则求下列极限：⑴ πsin 3lim tan 5x x x →; ⑵ 3π2ln sin lim (2)x x x π→-; ⑶ 0e 1lim (e 1)x x x x x →---; ⑷ sin sin lim x a x a x a→--; ⑸ lim m mn n x a x a x a →--; ⑹ 1ln(1)lim cot x x arc x→+∞+; ⑺ 0ln lim cot x x x +→; ⑻ 0lim sin ln x x x +→; ⑼ 0e 1lim()e 1x x x x →--; ⑽ 01lim(ln )x x x+→; ⑾ 2lim (arctan )πx x x →+∞⋅; ⑿ 10lim(1sin )x x x →+; ⒀ 0lim[ln ln(1)]x x x +→⋅+; ⒁lim )x x →+∞; ⒂ sin 0e e lim sin x x x x x →--; ⒃ 210sin lim()x x x x→; ⒄ 1101lim[(1)]e x x x x →+.解：⑴ 原式=2π3cos33lim 5sec 55x x x →=-. ⑵ 原式=2ππ221cot 1csc 1lim lim 4π-2428x x x x x →→--=-=--. ⑶ 原式=000e 1e 11lim lim lim e 1e 2e e 22x x x x x x x x x x x x →→→-===-+++. ⑷ 原式=cos lim cos 1x a x a →=. ⑸ 原式=11lim m m n n x a mx m a nx n---→=. ⑹ 原式=22221()11lim lim 111x x x x x x x x x →+∞→+∞⋅-++==+-+.⑺ 原式=22001sin lim lim 0csc x x x x x x++→→=-=-. ⑻ 原式=001ln lim lim 0csc csc cot x x x x x x x++→→==-⋅. ⑼ 原式22200e e e e lim =lim (e 1)x x x x x x x x x x x →→----=-202e e 1=lim 2x x x x→-- 204e e 3=lim 22x x x →-=. ⑽ 原式=0lim(1ln )xx x +→- 令(1ln )xy x =- 00020011()ln(1ln )1ln lim ln lim lim 111 lim lim 011ln x x x x x x x x y x xx x x+++++→→→→→⋅---==-===-- ∴原式=00lim e 1x y +→==. ⑾ 令2(arctan )πx y x =⋅，则 2222211lnln arctan πarctan 1lim ln lim lim 1112 lim arctan 1πx x x x x x x y x xx x x →+∞→+∞→+∞→+∞+⋅+==-=-⋅=-+ ∴原式=2πe -.⑿ 令1(1sin )x y x =+，则000cos ln(1sin )1sin limln lim lim 11x x x xx x y x →→→++=== ∴原式=e =e '.⒀ 原式00ln lim(ln )lim 1x x x x x x ++→→=⋅=0021=lim =lim()01x x x x x++→→-=-⒁原式lim x x→+∞= 2234232311111=lim (1)(23)=33x x x x x x x x ----→+∞+++⋅++⋅ ⒂ 原式sin sin 0e (e 1)lim sin x x x x x x -→-=-sin 00e (sin )=lim =e =1sin x x x x x x→⋅-- ⒃ 令12sin ()x x y x =，则 200023002220011cos ln sin ln sin lim ln lim lim 2cos sin cos sin lim lim 2sin 2cos sin cos 1 lim lim .666x x x x x x x x x x xx y x xx x x x x x x x x x x x x x x x →→→→→→→--==--==---===- ∴原式=16e -.⒄ 令111[(1)]e x x y x =+，则11ln [ln(1)1]x y x x=+- 2000011ln(1)1lim ln lim lim 2111 lim .212x x x x x x xy x x x →→→→-+-+===-=-+2．将下列函数f (x )展开为傅里叶级数：(1)()()πππ42x f x x =--<<(2)()()sin 02πf x xx =≤≤ 解：(1) ()ππ0-ππ11ππcos d d ππ422x a f x nx x x -⎛⎫==-= ⎪⎝⎭⎰⎰ []()ππππ-π-πππ1π11cos d cos d x cos d π4242π1sin 001,2,4n x a nx x nx x nx x nx n n--⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭=-==⎰⎰⎰()ππππ-π-π1π11sin d sin d xsin d π4242π11n n x b nx x nx x nx x n-⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭=-⋅⎰⎰⎰故()()1πsin 14n n nx f x n∞==+-∑ (-π<x <π) (2)所给函数拓广为周期函数时处处连续， 因此其傅里叶级数在[0,2π]上收敛于f (x )，注意到f (x )为偶函数，有b n =0,()ππ0πππ011cos0d sin d ππ24sin d ππa f x x x x x x x --====⎰⎰⎰ ()()()()()()ππ0ππ02222cos d sin cos d ππ1sin 1sin 1d π211π10,1,3,5,4,2,4,6,π1n n a f x nx x x nx x n x n x x n n n n -===+--⎡⎤⎣⎦-⎡⎤=+-⎣⎦-=⎧⎪-=⎨=⎪-⎩⎰⎰⎰所以 ()()2124cos2ππ41n nx f x n ∞=-=+-∑ (0≤x ≤2π)3．利用柯西审敛原理判别下列级数的敛散性：(1) ()111n n n +∞=-∑； (2) 1cos 2n n nx ∞=∑； (3) 1111313233n n n n ∞=⎛⎫+- ⎪+++⎝⎭∑． 解：(1)当P 为偶数时，()()()()2341111112311111231111112112311n n n n p n n n n p n n n n p n p n p n n pn n n +++++----=++++++++-+--=++++⎛⎫⎛⎫-=----- ⎪ ⎪+-+-++++⎝⎭⎝⎭<+ 当P 为奇数时， ()()()()1223411111123111112311111112311n n n pn n n n p U U U n n n n p n n n n p n p n p n n n n +++++++++++----=++++++++-+-+=++++⎛⎫⎛⎫-=---- ⎪ ⎪+-++++⎝⎭⎝⎭<+ 因而，对于任何自然数P ，都有12111n n n p U U U n n ++++++<<+， ∀ε>0，取11N ε⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦，则当n >N 时，对任何自然数P 恒有12n n n p U U U ε++++++<成立，由柯西审敛原理知，级数()111n n n +∞=-∑收敛． (2)对于任意自然数P ，都有()()()12121cos cos cos 12222111222111221121112212n n n p n n n p n p n p n xn p x x n n ++++++++++=+++≤+++⎛⎫- ⎪⎝⎭=-⎛⎫=- ⎪⎝⎭< 于是， ∀ε>0(0<ε<1)，∃N =21log ε⎡⎤⎢⎥⎣⎦，当n >N 时，对任意的自然数P 都有12n n n p U U U ε++++++<成立，由柯西审敛原理知，该级数收敛．(3)取P =n ，则 ()()()()()121111113113123133213223231131132161112n n n p U U U n n n n nn n n n n ++++++⎛⎫=+-+++- ⎪++++++⋅+⋅+⋅+⎝⎭≥++++⋅+≥+> 从而取0112ε=，则对任意的n ∈N ，都存在P =n 所得120n n n p U U U ε++++++>，由柯西审敛原理知，原级数发散．4．写出下列级数的一般项：(1)1111357++++；2242468x x ++⋅⋅⋅⋅；(3)35793579a a a a -+-+； 解：(1)121n U n =-；(2)()2!!2nn x U n =；(3)()211121n n n a U n ++=-+； 5．有一等腰梯形闸门，它的两条底边各长10m 和6m ，高为20m ，较长的底边与水面相齐，计算闸门的一侧所受的水压力． 解：如图20，建立坐标系，直线AB 的方程为 y =-x 10+5． 压力元素为 d F =x ·2y d x =2x ⎝⎛⎭⎫-x 10+5d x所求压力为F =⎠⎛0202x ⎝⎛⎭⎫-x 10+5d x =⎣⎡⎦⎤5x 2-115x 3200 =1467(吨) =14388(KN)6． 求下列曲线段的弧长：a) y 2=2x ，0≤x ≤2；解：见图18，2yy ′=2． y ′=1y∴1+y ′2=1+1y 2．从而 (18)l =2⎠⎛021+y ′2d x =2⎠⎛021+1y 2d x =2⎠⎛021y 1+y 2d y 22 =2⎠⎛021+y 2d y =y 1+y 2+ln ()y +1+y 2⎪⎪20=25+ln(2+5) b) y =ln x ，3≤x ≤8；解：l =⎠⎛381+y ′2d x =⎠⎛381+1x 2d x =⎠⎛381+x 2x d x =⎣⎡⎦⎤1+x 2-ln 1+1+x 2x 83=1+12ln 32． c) y =⎠⎜⎛−π2x cos t d t , −π2≤t ≤π2； （20）解：l =⎠⎜⎜⎛−π2π21+y ′2d x =⎠⎜⎜⎛−π2π21+cos x d x =⎠⎜⎜⎛−π2π22cos x 2d x =42⎠⎜⎛0π2cos x 2d x 2 =42sin x 2⎪⎪⎪π20=4.7．求下列旋转体的体积： （1） 由y =x 2与y 2=x 3围成的平面图形绕x 轴旋转； 解： 求两曲线交点⎩⎨⎧y =x 2y 2=x 3得(0，0)，(1，1) V =π⎠⎛01()x 3-x 4d x =π⎣⎡⎦⎤14x 4-15x 510=π20． （14） （2）由y =x 3，x =2，y =0所围图形分别绕x 轴及y 轴旋转；解：见图14，V x =π⎠⎛02x 6d x =1287π V y =π⎠⎛08⎝⎛⎭⎫22-y 23d y =645π． （2）星形线x 2/3+y 2/3=a 2/3绕x 轴旋转； 解：见图15，该曲线的参数方程是： ⎩⎨⎧x =a cos 3t y =a sin 3t0≤t ≤2π ， 由曲线关于x 轴及y 轴的对称性，所求体积可表示为V x =2π⎠⎛0ay 2d x=2π⎠⎜⎛π20()a sin 3t 2d ()a cos 3t =6πa 3⎠⎜⎛0π2sin 7t cos 2t d t =32105πa 3 (15)8．求由参数式2020sin d cos d t t x u u y u u ⎧=⎪⎨⎪=⎩⎰⎰所确定的函数y 对x 的导数d d y x . 解：222d d cos d cot .d d sin d yy t t t x x tt===9．利用定义计算下列定积分：（1） d ();ba x x ab <⎰解：将区间[a , b ]n 等分，分点为(), 1,2,,1;i i b a x a i n n -=+=-记每个小区间1[,]i i x x -长度为,i b a x n-∆=取, 1,2,,,i i x i n ξ== 则得和式 211()2(1)()[()]()2n n i i i i i b a b a n n f x a b a a b a n n n ξ==--+∆=+-⋅=-+∑∑ 由定积分定义得 220122()(1) d lim ()lim[()]21 ().2n bi i a n i b a n n x x f x a b a nb a λξ→→∞=-+=∆=-+=-∑⎰ (2) 10e d .x x ⎰解：将区间[0, 1] n 等分，分点为 (1,2,,1),i i x i n n ==-记每个小区间长度1,i x n ∆=取 (1,2,,),i i x i n ξ==则和式111()in n n i i i i f x e nξ==∆=∑∑ 12101111111e d lim e lim (e e e )1e (1e )1e (e 1)limlim 1e e 11e (e 1)1lim e 1.1i n nxn n n n n n i n n n n n n n n n x n n n n n n n →∞→∞=→∞→∞→∞==+++--==---==-∑⎰10．利用函数的图形的凹凸性，证明下列不等式：()1(1) (0,0,,1)22nn n x y x y x y n x y +⎛⎫>>>≠>+ ⎪⎝⎭; 证明：令 ()n f x x = 12(),()(1)0n n f x nx f x n n x --'''==-> ， 则曲线y =f (x )是凹的，因此,x y R +∀∈， ()()22f x f y x y f ++⎛⎫< ⎪⎝⎭, 即 1()22nn n x y x y +⎛⎫<+ ⎪⎝⎭. 2e e (2)e ()2x y x yx y ++>≠ ; 证明：令f (x )=e x()e ,()e 0x x f x f x '''==> .则曲线y =f (x )是凹的，,,x y R x y ∀∈≠ 则 ()()22f x f y x y f ++⎛⎫< ⎪⎝⎭即 2e e e 2x yx y++<. (3) ln ln ()ln (0,0,)2x y x x y y x y x y x y ++>+>>≠ 证明：令 f (x )=x ln x (x >0) 1()ln 1,()0(0)f x x f x x x '''=+=>> 则曲线()y f x =是凹的，,x y R +∀∈，x ≠y ，有 ()()22f x f y x y f ++⎛⎫< ⎪⎝⎭即 1ln (ln ln )222x y x y x x y y ++<+， 即 ln ln ()ln2x y x x y y x y ++>+.11．求下列函数图形的拐点及凹或凸的区间：32(1) 535y x x x =-++；解：23103y x x '=-+ 610y x ''=-，令0y ''=可得53x =.当53x <时，0y ''<，故曲线在5(,)3-∞内是凸弧； 当53x >时，0y ''>，故曲线在5[,)3+∞内是凹弧. 因此520,327⎛⎫⎪⎝⎭是曲线的唯一拐点.(2) e xy x -=；解：(1)e , e (2)xxy x y x --'''=-=- 令0y ''=，得x =2当x >2时，0y ''>，即曲线在[2,)+∞内是凹的； 当x <2时，0y ''<，即曲线在(,2]-∞内是凸的. 因此(2，2e －2)为唯一的拐点.4(3) (1)e x y x =++；解：324(1)e , e 12(1)0xxy x y x '''=++=++> 故函数的图形在(,)-∞+∞内是凹的，没有拐点. (4) y =ln (x 2+1)；解：222222(1), 1(1)x x y y x x -'''==++ 令0y ''=得x =－1或x =1.当－1<x <1时，0y ''>，即曲线在[－1，1]内是凹的.当x >1或x <－1时，0y ''<，即在(,1],[1,)-∞-+∞内曲线是凸的. 因此拐点为(－1，ln2)，(1，ln2).arctan (5) e x y =；解：arctan arctan 222112e ,e 1(1)x xx y y x x -'''==++ 令0y ''=得12x =. 当12x >时，0y ''<，即曲线在1[,)2+∞内是凸的； 当12x <时，0y ''>，即曲线在1(,]2-∞内是凹的， 故有唯一拐点1arctan 21(,e)2. (6) y =x 4(12ln x －7).解：函数y 的定义域为(0，+∞)且在定义域内二阶可导.324(12ln 4),144ln .y x x y x x '''=-=令0y ''=，在(0，+∞)，得x =1.当x >1时，0y ''>，即曲线在[1,)+∞内是凹的; 当0<x <1时，0y ''<，即曲线在(0，1]内是凸的， 故有唯一拐点(1，－7).12．在半径为r 的球中内接一正圆柱体，使其体积为最大，求此圆柱体的高.解：设圆柱体的高为h ,，223πππ4V h r h h =⋅=-令0V '=,得.h =时，其体积为最大.13．已知a >0，试证：11()11f x x x a =+++-的最大值为21aa++. 证明： 11,01111(),01111,11x x x a f x x a x x a x a x x a⎧+<⎪--+⎪⎪=+≤≤⎨+-+⎪⎪+>⎪++-⎩当x <0时，()()2211()011f x x x a '=+>--+;当0<x <a 时，()()2211()11f x x x a '=-++-+;此时令()0f x '=，得驻点2ax =，且422a f a⎛⎫= ⎪+⎝⎭， 当x >a 时，()()2211()011f x x x a '=--<++-,又lim ()0x f x →∞=，且2(0)()1af f a a+==+. 而()f x 的最大值只可能在驻点，分界点，及无穷远点处取得 故 {}max 242(),,0121a af x a a a++==+++.14．求如图所示的三角形脉冲函数的频谱函数.解：()202202E T E t t T f t E T E t t T ⎧+-≤≤⎪⎪=⎨⎪-<≤⎪⎩()()02022e d 22e d e d 41cos 2i t Ti t i t T F f tt E E t t E t E t T T E T T ωωωωωω+∞--∞---=⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫=- ⎪⎝⎭⎰⎰⎰15．求下列极限问题中，能使用洛必达法则的有（ ）.⑴ 201sinlimsin x x x x →； ⑵ lim (1)x x k x→+∞+； ⑶ sin lim sin x x xx x→∞-+； ⑷ e e lim .e e x x xx x --→+∞-+ 解：⑴ ∵200111sin2sin coslimlim sin cos x x x x x x x x x→→-=不存在,（因1sin x ，1cos x 为有界函数） 又2001sin1limlim sin 0sin x x x x x x x→→==, 故不能使用洛必达法则. ⑶ ∵sin 1cos limlimsin 1cos x x x x xx x x→∞→∞--=++不存在, 而sin 1sin lim lim 1.sin sin 1x x x x x x xx x x→∞→∞--==++故不能使用洛必达法则.⑷ ∵e e e e e e lim lim lim e e e e e ex x x x x xxx x x x x x x x ------→+∞→+∞→+∞-+-==+-+利用洛必达法则无法求得其极限.而22e e1elim lim1e e1ex x xx x xx x----→+∞→+∞--==++.故答案选（2）. 16．证明:11(1)arcsin h ln( (2)arctan h ln,1121xx x x xx+==-<<-证: (1)由e esinh2x xy x--==得2e2e10x xy--=解方程2e2e10x xy--=得e x y=因为e0x>,所以e x y=ln(x y=所以sinhy x=的反函数是arcsin h ln(().y x x x==+-∞<<+∞(2)由e etanhe ex xx xy x---==+得21e1xyy+=-,得1112ln,ln121y yx xy y++==--;又由11yy+>-得11y-<<,所以函数tanhy x=的反函数为11arctan h ln (11).21xy x xx+==-<<-17．设()f x在[,]a b上有(1)n-阶连续导数，在(,)a b内有n阶导数，且(1)()()()()0.nf b f a f a f a-'=====试证：在(,)a b内至少存在一点ξ，使()()0nfξ=.证明：首先，对()f x在[,]a b上应用罗尔定理，有1(,)a a b∈，即1a a b<<，使得1()0f a'=；其次，对()f x'在[,]a b上应用罗尔定理，有21(,)a a b∈，即12a a a b<<<，使得2()0;,f a''=一般地，设在(,)a b内已找到1n-个点121,,,,na a a-其中121,na a a a b-<<<<<使得(1)1()0nnf a--=，则对(1)()0nf x-=在1[,]na b-上应用罗尔定理有1(,)(,),na b a bξ-∈⊂使得()()0nfξ=.18．球的半径以速率v改变，球的体积与表面积以怎样的速率改变？解：324dπ,π,.3drV r A r vt===2d d d 4πd d d d d d 8πd d d V V rr v t r tA A r r v t r t =⋅=⋅=⋅=⋅19．利用微分求下列各数的近似值： ⑴⑵ ln 0.99； ⑶ arctan1.02.解：⑴113x ≈+，有112(1) 2.0083380==≈⋅+⨯=. ⑵ 利用近似公式ln(1)x x +≈，有ln 0.99ln(10.01)0.0100.=-≈-⑶ 取()arctan f x x =，令01,0.02x x ==， 而21()1f x x'=+，则 21arctan1.02arctan10.0211=0.7954.≈+⨯+20．求由下列参数方程所确定函数的二阶导数22d d yx：⑴ (sin ),(1cos ),x a t t y a t =-⎧⎨=-⎩ (a 为常数)；⑵ (),()(),x f t y tf t f t '=⎧⎨'=-⎩设()f t ''存在且不为零.解：⑴ d d sin sin d d d (1cos )1cos d y y a t tt x x a t tt===-- 2222d d sin d sin 1()()d d d 1cos d 1cos d cos (1-cos )-sin sin 1=(1-cos )(1cos )1=.(1cos )y t t xx x t t t tt t t t t a t a t ==⋅--⋅⋅---⑵ d d ()()()d d d ()d y y f t tf t f t t t x x f t t''''+-==='' 22d d d 111()()1d d d d ()()d y t t x x x t f t f t t==⋅=⋅=''''.21．已知()f x ''存在，求22d d yx：⑴ 2()y f x =； ⑵ ln ()y f x =. 解：⑴ 22()y xf x ''=222222()22() 2()4()y f x x xf x f x x f x '''''=+⋅'''=+⑵ ()()f x y f x ''=22()()[()]()f x f x f x y f x '''-''=22．试求曲线exy -=在点（0，1）及点（－1，0）处的切线方程和法线方程.解：231e e (1)3xxy x ---'=-⋅+12. 3x x y y ==-''=-=∞故在点（0，1）处的切线方程为：21(0)3y x -=--，即2330x y +-=法线方程为：21(0)3y x -=-，即3220x y -+= 在点（－1，0）处的切线方程为：1x =- 法线方程为：0y =23．证明：双曲线2xy a =上任一点处的切线与两坐标轴构成的三角形的面积都等于22a .证明：在双曲线上任取一点00(,),M x y则222220, , x a a a y y y x xx =''==-=-，则过M 点的切线方程为：20020()a y y x x x -=--令220000002202x y x a y x x x x a a=⇒=+=+=得切线与x 轴的交点为0(2,0)x ，令2000000002x y a x y y y y x x =⇒=+=+=得切线与y 轴的交点为0(0,2)y ， 故 2000012222.2S x y x y a ===24．设()()f x x a x ϕ=-,其中a 为常数，()x ϕ为连续函数，讨论()f x 在x a =处的可导性. 解：()()()()()lim lim ()()()()()()lim lim ()x a x a x a x a f x f a x a x f a a x a x af x f a a x x f a a x a x aϕϕϕϕ++--+→→-→→--'===----'===---.故当()0a ϕ=时，()f x 在x a =处可导，且()0f a '= 当()0a ϕ≠时，()f x在x a =处不可导.25．求下列函数的导数: (1) y =解：y '=(2) y =解：5323yx -'=-(3) 2y =解：2512326y x x +-==561.6y x -'=26．求下列函数在0x 处的左、右导数，从而证明函数在0x 处不可导.(1) 03sin ,0,0;,0,x x y x x x ≥⎧==⎨<⎩证明：00()(0)sin (0)lim lim 1,0x x f x f xf x x+++→→-'===- 300()(0)(0)lim lim 0,0x x f x f x f x x---→→-'===- 因(0)(0)f f +-''≠，故函数在00x =处不可导.(2) 10,0,0;1e 0,0,xx x y x x ⎧≠⎪==+⎨⎪=⎩证明：100()(0)1(0)lim lim 0,01e xx x f x f f x +++→→-'===-+ 100()(0)1(0)lim lim 1,01e xx x f x f f x ---→→-'===-+ 因(0)(0)f f +-''≠，故函数在00x =处不可导.(3) 021,1.,1,x y x x x ≥==<⎪⎩证明：11()(1)1(1)lim lim ,12x x f x f f x +++→→-'===- 211()(1)1(1)lim lim 2,11x x f x f x f x x ---→→--'===-- 因(1)(1)f f +-''≠，故函数在01x =处不可导.27．设函数2,1,(),1.x x f x ax b x ⎧≤=⎨+>⎩ 为了使函数()f x 在1x =点处连续且可导，,a b 应取什么值？解：因211lim ()lim 1(1)x x f x x f --→→=== 11lim ()lim()x x f x ax b a b ++→→=+=+ 要使()f x 在1x =处连续，则有1,a b +=又211()(1)1(1)lim lim 2,11x x f x f x f x x ---→→--'===-- 111(1)lim lim ,11x x ax b ax af a x x +++→→+--'===-- 要使()f x 在1x =处可导，则必须(1)(1)f f -+''=， 即 2.a =故当2,1a b ==-时，()f x 在1x =处连续且可导.28．设()f x 在[0,2]a 上连续，且(0)(2)f f a =,证明：方程()()f x f x a =+在[0，a ]内至少有一根.证：令()()()F x f x f x a =-+,由()f x 在[0,2]a 上连续知，()F x 在[0,]a 上连续，且(0)(0)(),()()(2)()(0)F f f a F a f a f a f a f =-=-=-若(0)()(2),f f a f a ==则0,x x a ==都是方程()()f x f x a =+的根，若(0)()f f a ≠，则(0)()0F F a <，由零点定理知，至少(0,)a ξ∃∈,使()0F ξ=, 即()()f f a ξξ=+，即ξ是方程()()f x f x a =+的根， 综上所述，方程()()f x f x a =+在[0,]a 内至少有一根.29．当0x →时，22x x -与23x x -相比，哪个是高阶无穷小量？解：232200limlim 022x x x x x x x x x→→--==-- ∴当0x →时，23x x -是比22x x -高阶的无穷小量.30．试问a 为何值时，函数1()sin sin 33f x a x x =+在π3x =处取得极值？它是极大值还是极小值？并求此极值. 解：f (x )为可导函数，故在π3x =处取得极值，必有 π3π0()(coscos3)3x f a x x ='==+，得a =2. 又 π3π0()(2sin 3sin 3)3x f xx =''=<=--，所以π3x =是极大值点，极大值为π()3f =【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、解答题 1．无 2．无3．无4．无5．无6．无7．无8．无9．无10．无11．无12．无13．无14．无15．无16．无17．无18．无19．无20．无21．无22．无23．无24．无25．无26．无27．无28．无29．无30．无。
2019最新高等数学(上册)期末考试试题(含答案)AKN
2019最新高等数学期末考试试题（含答案）一、解答题1．国民收入的年增长率为7.1%，若人口的增长率为1.2%，则人均收入年增长率为多少？ 解：人均收入年增长率=国民收入的年增长率－人口增长率=7.1%－1.2%=5.9%.习题三2．判定下列级数是否收敛？若收敛，是绝对收敛还是条件收敛？(1)1+； (2)()()1111ln 1n n n ∞-=-+∑；(3) 2341111111153535353⋅-⋅+⋅-⋅+；(4)()21121!n n n n ∞-=-∑； (5)()()1111n n R n αα∞-=∈-∑；(6) ()11111123nnn n ∞=⎛⎫-++++ ⎪⎝⎭∑． 解：(1)()11n n U -=-，级数1n nU ∞=∑>，0n =，由莱布尼茨判别法级数收敛，又11121nn n Un∞∞===∑∑是P <1的P 级数，所以1nn U∞=∑发散，故原级数条件收敛． (2)()()111ln 1n n U n -=-+，()()1111ln 1n n n ∞---+∑为交错级数，且()()11ln ln 12n n >++，()1lim0ln 1n n →∞=+，由莱布尼茨判别法知原级数收敛，但由于()11ln 11n U n n =≥++ 所以，1nn U∞=∑发散，所以原级数条件收敛．(3)()11153n n n U -=-⋅民，显然1111115353n n n n n n U ∞∞∞=====⋅∑∑∑，而113nn ∞=∑是收敛的等比级数，故1nn U∞=∑收敛，所以原级数绝对收敛．(4)因为2112lim lim 1n n n n nU U n ++→∞→∞==+∞+．故可得1n n U U +>，得lim 0n n U →∞≠，∴lim 0n n U →∞≠，原级数发散．(5)当α>1时，由级数11n n α∞=∑收敛得原级数绝对收敛． 当0<α≤1时，交错级数()1111n n n α∞-=-∑满足条件：()111n n αα>+；1lim 0n nα→∞=，由莱布尼茨判别法知级数收敛，但这时()111111n n n n n αα∞∞-===-∑∑发散，所以原级数条件收敛． 当α≤0时，lim 0n n U →∞≠，所以原级数发散．(6)由于11111123n nn ⎛⎫⋅>++++ ⎪⎝⎭ 而11n n ∞=∑发散，由此较审敛法知级数 ()11111123nn nn ∞=⎛⎫-⋅++++ ⎪⎝⎭∑发散． 记1111123n U nn ⎛⎫=⋅++++ ⎪⎝⎭，则 ()()()()()()1222111111123111111112311111111231110n n U U n n n n n n n n n n n n n n +⎛⎫⎛⎫-=-++++- ⎪⎪+⎝⎭⎝⎭+⎛⎫=-++++ ⎪⎝⎭++⎛⎫⎛⎫-=++++ ⎪ ⎪⎝⎭+++⎝⎭>即1n n U U +> 又01111lim lim12311d n n n n U n n x n x→∞→∞⎛⎫=++++ ⎪⎝⎭=⎰ 由0111lim d lim 01t t t t x t x →+∞→+∞==⎰ 知lim 0n n U →∞=，由莱布尼茨判别法，原级数()11111123nn nn ∞=⎛⎫-⋅++++ ⎪⎝⎭∑收敛，而且是条件收敛．3．用比值判别法判别下列级数的敛散性：(1) 213n n n ∞=∑；(2)1!31nn n ∞=+∑； (3)232333331222322n n n +++++⋅⋅⋅⋅；(4) 12!n nn n n ∞=⋅∑ 解：(1) 23n n n U =，()2112311lim lim 133n n n n n nU n U n ++→∞→∞+=⋅=<，由比值审敛法知，级数收敛．(2) ()()111!311lim lim 31!31lim 131n n n n n nn n n U n U n n ++→∞→∞+→∞++=⋅++=⋅++=+∞所以原级数发散．(3) ()()11132lim lim 2313lim 21312n nn n n n n nn U n U n n n +++→∞→∞→∞⋅=⋅⋅+=+=> 所以原级数发散．(4) ()()1112!1lim lim 2!1lim 21122lim 1e 11n nn n nn n nnn n n U n n U n n n n n +++→∞→∞→∞→∞⋅+=⋅⋅+⎛⎫= ⎪+⎝⎭==<⎛⎫+ ⎪⎝⎭故原级数收敛．4．设某工厂生产某种产品的固定成本为零，生产x （百台）的边际成本为C ′(x )（万元/百台），边际收入为R ′(x )=7－2x （万元/百台）． (1) 求生产量为多少时总利润最大？(2) 在总利润最大的基础上再生产100台，总利润减少多少？解：(1) 当C ′(x )=R ′(x )时总利润最大． 即2=7－2x ，x=5/2(百台)(2) L ′(x )=R ′(x )－C ′(x )=5－2x ．在总利润最大的基础上再多生产100台时，利润的增量为 ΔL (x )=772255222(52)d 51x x x x-=-=-⎰．即此时总利润减少1万元.5． 把长为10m ，宽为6m ，高为5m 的储水池内盛满的水全部抽出，需做多少功？解：如图19，区间[x ，x +d x ]上的一个薄层水，有微体积d V =10·6·dx(19)设水的比重为1，，则将这薄水层吸出池面所作的微功为 d w =x ·60g d x =60gx d x ． 于是将水全部抽出所作功为 w =⎠⎛0560gx d x=60g 2x 2⎪⎪50 =750g (KJ) ．6． 求下列旋转体的体积：（1）由y =x 2与y 2=x 3围成的平面图形绕x 轴旋转；解： 求两曲线交点⎩⎨⎧y =x2y 2=x3得(0，0)，(1，1)V =π⎠⎛01()x 3-x 4d x =π⎣⎡⎦⎤14x 4-15x 510 =π20． （14） （2）由y =x 3，x =2，y =0所围图形分别绕x 轴及y 轴旋转；解：见图14，V x =π⎠⎛02x 6d x =1287πV y =π⎠⎛08⎝⎛⎭⎫22-y 23d y=645π． （2）星形线x 2/3+y 2/3=a 2/3绕x 轴旋转；解：见图15，该曲线的参数方程是：⎩⎨⎧x =a cos 3t y =a sin 3t0≤t ≤2π ， 由曲线关于x 轴及y 轴的对称性，所求体积可表示为V x =2π⎠⎛0ay 2d x=2π⎠⎜⎛π20()a sin 3t 2d ()a cos 3t=6πa 3⎠⎜⎛0π2sin 7t cos 2t d t=32105πa 3(15)7．已知sin πd 2x x x +∞=⎰，求： 0sin cos (1)d ;x xx x+∞⎰解：(1)原式=001sin(2)1sin πd(2)d .2224x t x t x t +∞+∞==⎰⎰22sin (2) d .x x x+∞⎰解：222002200200020000sin 1cos 2d d 21cos 2d d 22111d cos 2d 2211111d cos 2dcos2222111sin 2cos 2d2222ππ0.22x x x x x xx x x x x x x x xx x x x x xx x xx x x +∞+∞+∞+∞+∞+∞+∞+∞+∞+∞+∞-==-=+=+⋅-⎡⎤=-+⋅+⎢⎥⎣⎦=+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰8．求不定积分max(1,)d x x ⎰.解： ,1max(1,)1,11,1x x x x x x -<-⎧⎪=-≤≤⎨⎪>⎩故原式=212231,12,111,12x c x x c x x c x ⎧-+<-⎪⎪+-≤≤⎨⎪⎪+>⎩又由函数的连续性，可知：213111,1,2c c c c c c =+=+= 所以 221,121max(1,)d ,11211,12x c x x x c x x x c x ⎧-+<-⎪⎪⎪=++-≤≤⎨⎪⎪++>⎪⎩⎰9．求下列不定积分：221(1)d (1)(1)x x x x ++-⎰; 解：原式=2111111d ln ln 1122122(1)(1)(1)x c x x x x x x ⎛⎫ ⎪-=++++-++ ⎪+++-⎝⎭⎰ 211ln .112c x x =++-+ 33d (2)1x x +⎰;解：原式=22211112d ln ln d 1122111x x x x x x x x x x x -+⎛⎫=-+++-+⎪-++-+⎝⎭⎰⎰3c =++. 5438(3)d x x x x x+--⎰; 解：原式=2843d 111x x x x x x ⎛⎫+++-- ⎪+-⎝⎭⎰ 32118ln 4ln 3ln .1132x x x c x x x =+++--++-26(4)d 1x x x +⎰;解：原式=33321d()1arctan .31()3x x c x =++⎰ sin (5)d 1sin xx x+⎰;解：原式=222sin 1d tan d (sec 1)d sec tan .cos cos x x x x x x x x x c x x -=--=-++⎰⎰⎰ cot (6)d sin cos 1xx x x ++⎰;解：原式22tan 222222212d 1111111d d d 22(1)22211111x t t t t t t t t t t t t t t t t t t =-⋅-++==-+⎛⎫-++⎪+++⎝⎭⎰⎰⎰⎰令1111ln ln tan .tan 222222x x t c c t =-+=-+(7)x ;解：原式=2.c =+(8)x ;解：原式=2d 2ln 21x x x x x ⎛=+-+ ⎝⎰ 又2x2221d 44d 11t t t t t t =+--⎰⎰142ln1t t c c t -''=++=++故原式=1)x c -+.10．利用定积分概念求下列极限：111(1)lim 122n n n n →+∞⎛⎫+++⎪++⎝⎭解：原式110011111lim d ln 2.ln(1)121111n x x n n x nn n →+∞⎛⎫+++⎪=⋅===++++ ⎪+⎝⎭⎰221(2)lim).n n n →+∞+解：原式1320122lim ..33n n x x n n →+∞⎫====+⎪⎭⎰11．利用定义计算下列定积分： （1）d ();bax x a b <⎰解：将区间[a , b ]n 等分，分点为(), 1,2,,1;i i b a x a i n n-=+=- 记每个小区间1[,]i i x x -长度为,i b ax n-∆=取, 1,2,,,i i x i n ξ==则得和式211()2(1)()[()]()2nni i i i i b a b a n n f x a b a a b a n n n ξ==--+∆=+-⋅=-+∑∑ 由定积分定义得22122()(1) d lim ()lim[()]21().2nbi i an i b a n n x x f x a b a n b a λξ→→∞=-+=∆=-+=-∑⎰(2)1e d .xx ⎰解：将区间[0, 1] n 等分，分点为 (1,2,,1),i ix i n n==-记每个小区间长度1,i x n∆=取 (1,2,,),i i x i n ξ==则和式111()i nnni i i i f x enξ==∆=∑∑ 12101111111e d lim e lim (e e e )1e (1e )1e (e 1)lim lim 1e e 11e (e 1)1lim e 1.1i n nxn n n nn n i n nnnn n n n n x n n n nn n n →∞→∞=→∞→∞→∞==+++--==---==-∑⎰12．甲、乙两用户共用一台变压器(如13题图所示)，问变压器设在输电干线AB 的何处时，所需电线最短？解：所需电线为()(03)()L x x L x =<<'=13题图在0<x <3得唯一驻点x =1.2(km)，即变压器设在输电干线离A 处1.2km 时，所需电线最短.13．试证明：如果函数32y ax bx cx d =+++满足条件230b ac -<，那么这函数没有极值.证明：232y ax bx c '=++，令0y '=，得方程2320ax bx c ++=，由于 22(2)4(3)4(3)0b a c b ac ∆=-=-<，那么0y '=无实数根，不满足必要条件，从而y 无极值.14．将()2132f x x x =++展开成(x +4)的幂级数． 解：21113212x x x x =-++++ 而()()()011113411431314413334713nn nn n x x x x x x x ∞=∞+==+-++=-⋅+-+⎛+⎫⎛⎫=-< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭+=--<<∑∑又()()()0101122411421214412224622nn nn n x x x x x x x ∞=∞+==+-++=-+-+⎛+⎫⎛⎫=-< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭+=--<<-∑∑所以()()()()()2110011013244321146223n nn n n n nn n n f x x x x x x x ∞∞++==∞++==++++=-+⎛⎫=-+-<<- ⎪⎝⎭∑∑∑15．下列函数在指定区间上是否满足罗尔定理的三个条件？有没有满足定理结论中的ξ？⑴ 2, 01,() [0,1] 0, 1,x x f x x ⎧≤<=⎨=⎩； ⑵ ()1, [0,2] f x x =-； ⑶ sin , 0π,() [0,π] . 1, 0,x x f x x <≤⎧=⎨=⎩解：⑴ ()f x 在[0,1]上不连续，不满足罗尔定理的条件.而()2(01)f x x x '=<<，即在（0，1）内不存在ξ，使()0f ξ'=.罗尔定理的结论不成立. ⑵ 1, 12,()1, 0 1.x x f x x x -≤<⎧=⎨-<<⎩(1)f '不存在，即()f x 在区间(0,2) 内不可导，不满足罗尔定理的条件.而1, 12,()1, 0 1.x f x x <<⎧'=⎨-<<⎩即在（0，2）内不存在ξ，使()0f ξ'=.罗尔定理的结论不成立.⑶ 因(0)1(π)=0f f =≠,且()f x 在区间[0,π] 上不连续，不满足罗尔定理的条件. 而()cos (0π)f x x x '=<<,取π2ξ=，使()0f ξ'=.有满足罗尔定理结论的π2ξ=. 故罗尔定理的三个条件是使结论成立的充分而非必要条件.16．求下列函数的反函数及其定义域:2531(1); (2)ln(2)1;1(3)3; (4)1cos ,[0,π].x xy y x xy y x x +-==+++==+∈ 解: (1)由11xy x-=+解得11y x y -=+,所以函数11x y x -=+的反函数为1(1)1xy x x-=≠-+. (2)由ln(2)1y x =++得1e 2y x -=-, 所以,函数ln(2)1y x =++的反函数为1e 2()x y x -=-∈ R .(3)由253x y +=解得31(log 5)2x y =- 所以,函数253x y +=的反函数为31(log 5)(0)2y x x =-> . (4)由31cos y x =+得cos x =,又[0,π]x ∈,故x =又由1cos 1x -≤≤得301cos 2x ≤+≤,即02y ≤≤,故可得反函数的定义域为[0,2],所以,函数31cos ,[0,π]y x x =+∈的反函数为(02)y x =≤≤.17．计算抛物线y =4x －x 2在它的顶点处的曲率. 解：y =－(x －2)2+4，故抛物线顶点为(2，4) 当x =2时， 0,2y y '''==- ， 故 23/22.(1)y k y ''=='+18．利用泰勒公式求下列极限：⑴ 30sin lim ;x x x x →- ⑵ tan 0e 1lim ;x x x →- (3) 21lim[ln(1)].x x x x →∞-+ 解：⑴ 34sin 0()3!x x x x =-+ 343300[0()]sin 13!lim lim 6x x x x x x x x x x →→--+-∴== ⑵tan 2e 1tan 0(tan )x x x =++tan 200e 11tan 0(tan )1lim lim 1x x x x x x x→→-++-∴== (3) 令1x t=,当x →∞时，0t →，2222022011111lim[2ln(1)]lim[ln(1)]lim{[()]}21()1lim().22x t t t t x x t t o t x t t t t o t t →∞→∞→→-+=-+=--+=-=19．根据下面所给的值，求函数21y x =+的,d y y ∆及d y y ∆-： ⑴ 当1,0.1x x =∆=时； 解：2222()1(1)2210.10.10.21d 2210.10.2d 0.210.20.01.y x x x x x x y x x y y ∆=+∆+-+=∆+∆=⨯⨯+==⋅∆=⨯⨯=∆-=-=. ⑵ 当1,0.01x x =∆=时. 解：222210.010.010.0201d 2210.010.02d 0.02010.020.0001.y x x x y x x y y ∆=∆+∆=⨯⨯+==⋅∆=⨯⨯=∆-=-=20．设()f x 具有二阶连续导数，且(0)0f =，试证：(), 0,()(0), 0,f x xg x xf x ⎧≠⎪=⎨⎪'=⎩ 可导，且导函数连续.证明：因()f x 具有二阶连续导数，故0x ≠时，()g x 可导,又002000()(0)()(0)(0)lim lim 0()(0)()(0)lim lim2()(0)lim ,22x x x x x f x f g x g xg x xf x f x f x f x xf x f →→→→→'--'==-'''-⋅-==''''== 故 ()g x 是可导的，且导函数为 2()(), 0,()(0), 0, 2xf x f x x xg x f x '-⎧≠⎪⎪'=⎨''⎪=⎪⎩又因2()()lim ()limx x xf x f x g x x→→'-'=000()()()lim2()(0)lim lim (0) 22x x x f x xf x f x xf x fg →→→''''+-='''''===故()g x 的导函数是连续的.21．求由下列参数方程所确定函数的二阶导数22d d yx：⑴ (sin ),(1cos ),x a t t y a t =-⎧⎨=-⎩ (a 为常数)；⑵ (),()(),x f t y tf t f t '=⎧⎨'=-⎩设()f t ''存在且不为零.解：⑴ d d sin sin d d d (1cos )1cos d y y a t tt x x a t t t===-- 2222d d sin d sin 1()()d d d 1cos d 1cos d cos (1-cos )-sin sin 1=(1-cos )(1cos )1=.(1cos )y t t xx x t t t tt t t t t a t a t ==⋅--⋅⋅--- ⑵ d d ()()()d d d ()d y y f t tf t f t t t x x f t t''''+-==='' 22d d d 111()()1d d d d ()()d y t t x x x t f t f t t==⋅=⋅=''''.22．若π1()1,(arccos )3f y f x '==，求2d d x y x=.解：22d 11(arccos )(()d d π11(d 344x y f x x xy f x ='=⋅-'===23．证明：双曲线2xy a =上任一点处的切线与两坐标轴构成的三角形的面积都等于22a . 证明：在双曲线上任取一点00(,),M x y则222220, , x a a a y y y x xx =''==-=-，则过M 点的切线方程为：20020()a y y x x x -=--令220000002202x y x a y x x x x a a=⇒=+=+=得切线与x 轴的交点为0(2,0)x ，令2000000002x y a x y y y y x x =⇒=+=+=得切线与y 轴的交点为0(0,2)y ， 故 2000012222.2S x y x y a ===24．求下列函数的导数:(1) y =解：y '=(2)y =解：5323y x -'=-(3) 2y =解：2512326y x x +-==561.6y x -'=25．试证：方程sin x a x b =+至少有一个不超过a b +的正根，其中0,0a b >>. 证：令()sin f x x a x b =--，则()f x 在[0,]a b +上连续， 且 (0)0,()(1sin )0f b f a b a x =-<+=-≥, 若()0f a b +=，则a b +就是方程sin x a x b =+的根. 若()0f a b +>，则由零点定理得.(0,)a b ξ∃∈+,使()0f ξ=即sin 0a b ξξ--=即sin a b ξξ=+，即ξ是方程sin x a x b =+的根，综上所述，方程sin x a x b =+至少有一个不超过a b +的正根.26．下列函数在指定点处间断，说明它们属于哪一类间断点，如果是可去间断点，则补充或改变函数的定义，使它连续：2221(1),1,2;32π(2),π,π,0,1,2,;tan 21(3)cos ,0;x y x x x x x y x k x k k x y x x-===-+===+=±±==1,1,(4) 1.3,1,x x y x x x -≤⎧==⎨->⎩解：22111(1)(1)(1)lim lim 232(1)(2)x x x x x x x x x →→--+==--+-- 2221lim 32x x x x →-=∞-+ 1x ∴=是函数的可去间断点.因为函数在x =1处无定义，若补充定义(1)2f =-，则函数在x =1处连续；x =2是无穷间断点.π0π2(2)lim1,lim 0tan tan x x k x x x x →→+==当0k ≠时，πlimtan x k xx→=∞.π0,π,0,1,2,2x x k k ∴==+=±±为可去间断点，分别补充定义f (0)=1,π(π)02f k +=，可使函数在x =0,及ππ2x k =+处连续.(0,1,2,k =±±);π,0,1,2,x k k k =≠=±±为无穷间断点(3)∵当0x →时，21cosx呈振荡无极限， ∴x =0是函数的振荡间断点.(第二类间断点). (4)11lim lim(3) 2.x x y x ++→→=-= 11lim lim(1)0x x y x --→→=-= ∴x =1是函数的跳跃间断点.(第一类间断点.)27．通过恒等变形求下列极限：2222214123(1)11(1)lim; (2)lim;1222168(3)lim; (4)lim ;154n nn x x n n xx x x x x x →∞→∞→→++++-⎛⎫+++⎪⎝⎭-+-+--+32233π5422(5)lim ; 1cot lim ;2cot cot (9)lim(1)(1)(1)(1);(10)nx x x x x xxx x x x x x →+∞→→→→∞---+++< 12231100)(1)113(11)lim ; (12)lim ;(1)11log (1)1(13)lim ; (14)lim n x x x x a x x x x x x x x x a x x→→→→→--+⎛⎫- ⎪---⎝⎭+-3sin 00;sin (15)lim(12); (16)lim ln .x x x xx x→→+解：22123(1)(1)111(1)lim lim lim .1222n n n n n n n n n →∞→∞→∞++++--⎛⎫===- ⎪⎝⎭ 1221112244411112(2)lim lim 2.11221221(1)(3)lim lim lim(1)0.1168(2)(4)22(4)lim lim lim .54(1)(4)13n n nn x x x x xx x x x xx x x x x xx x x x x x +→∞→∞→→→→→→⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭==+++ ⎪⎝⎭--+-==-=---+---===-+---32222000(5)lim limlim2.(1lim lim(1 2.x x x x x x xx x →+∞→→→===+==-=--5555x x x x →→→→=====3333ππ4422π422π41cot 1cot (8)lim lim 2cot cot (1cot )(1cot )(1cot )(1cot cot )lim (1cot )(11cot cot )1cot cot 3lim .2cot cot 4x x x x x xx x x x x x x x x x x x x x →→→→--=---+--++=-+++++==++122222(9)lim(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)lim 111lim .11nnn x x x x x x x x x x x x x x x+→∞→∞→∞+++<-+++=--==--11211211)(1))(1))(1)11.234!n x n n n n x n n n n x n x x x x x x x n n →--→-→-=++++=++++==⨯⨯⨯⨯ 22223111221113213(11)lim lim lim (1)(1)(1)(1)11(1)(2)(2)lim lim 1.(1)(1)1x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x →→→→→++-+-⎛⎫==- ⎪-++-++--⎝⎭-+-+===--++++2212211221lim(1)(1)(12)lim01lim(1)1lim .(1)x x x x x x x x x x x x x →→→→--==-+-+-+∴=∞-1log (1)(13)log (1)a x a x x x+=+ 而10lim(1).xx x e →+= 而1limlog log ln a a u eu e a→==0log (1)1lim.ln a x x x a→+∴=(14)令1,xu a =-则log (1),a x u =+当0x →时，0u →.所以00011limlim ln log (1)log (1)lim x x u aa u a u a u x u u→→→-===++(利用(13)题的结果). 1122000336ln(12)ln(12)sin sin 2sin 0lim 6ln(12)6lim limln(12)sin sin 61ln e 6(15)lim(12)lim elim eeee e .x x x x x xx x xxx xx x x xxx x xx x →→→++→→→⋅⋅+⋅⋅+⨯⨯+======(16)令sin x u x =， 则00sin lim lim 1x x xu x→→==而1limln 0u u →= 所以0sin limln0.x xx→=28．对下列数列求lim n n a x →∞=,并对给定的ε确定正整数()N ε,使对所有()n N ε>,有n x a ε-<:1π(1)sin ,0.001; (2)0.0001.2n n n x x n εε====解: (1)lim 0n n a x →∞==,0ε∀>,要使11π0sin2n n x n n ε-=<<,只须1n ε>.取1N ε⎡⎤=⎢⎥⎣⎦,则当n N >时,必有0n x ε-<.当0.001ε=时,110000.001N ⎡⎤==⎢⎥⎣⎦或大于1000的整数. (2)lim 0n n a x →∞==,0ε∀>,要使0n x ε-==<=<1ε>即21n ε>即可.取21N ε⎡⎤=⎢⎥⎣⎦,则当n N >时,有0n x ε-<. 当0.0001ε=时, 821100.0001N ⎡⎤==⎢⎥⎣⎦或大于108的整数.29．设()f x 定义在(-∞,+∞)上,证明:(1) ()()f x f x +-为偶函数; (2)()()f x f x --为奇函数. 证: (1)设()()()F x f x f x =+-,则(,)x ∀∈-∞+∞, 有()()()()F x f x f x F x -=-+= 故()()f x f x +-为偶函数.(2)设()()(),G x f x f x =--则(,)x ∀∈-∞+∞,有()()()[()()]()G x f x f x f x f x G x -=---=---=- 故()()f x f x --为奇函数.30．证明恒等式：222arctan arcsinπ (1).1xx x x +=≥+ 证明：令22()2arctan arcsin 1xf x x x =++,22222222(1)22()1(1)2211x x xf x x x x x +-⋅'=++=-=++ 故()f x C ≡，又因(1)πf =,所以()πf x =,即222arctan arcsinπ.1xx x +=+【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、解答题 1．无 2．无 3．无 4．无 5．无 6．无 7．无 8．无 9．无10．无11．无12．无13．无14．无15．无16．无17．无18．无19．无20．无21．无22．无23．无24．无25．无26．无27．无28．无29．无30．无。
2019最新高等数学(下册)期末考试试题(含答案)MD
2019最新高等数学（下册）期末考试试题（含答案）一、解答题1．设(),,()yz xy xF u u F u x=+=为可导函数，证明： .z z xy z xy x y∂∂+=+∂∂ 证明:2()()()()z y y y xF u F u F u y F u x x x ∂⎛⎫''=+⋅+=+-- ⎪∂⎝⎭1()().z x xF u x F u y x∂''=+⋅=+∂ 故[]()()()()()()().z z F u y xy x y x F u F u y x y x xF u xy yF u xy yF u xy xF u xy z xy '∂∂⎡⎤'+=+++-⎢⎥∂∂⎣⎦''=+-++=++=+2．求下列各微分方程的通解：(1)sin y x x ''=+;解：方程两边连续积分两次得213121cos 21sin 6y x x c y x x c x c '=-+=-++(2)e x y x '''=;解：积分得 1e d e e x x x y x x x c ''==-+⎰112212123(e e )d e 2e 1(e 2e )d (3)e 2x x x x xxxy x c x x c x c y x c x c x x c x c x c '=-+=-++=-++=--++⎰⎰ (3)y y x '''=+;解：令p y '=,则原方程变为d d 11,,e e 1e d xx x p p x p p x p c x x x c -⎰⎡⎤⎰''=+-===--+⎣⎦故 21121(e 1)d e 2x x y c x x c x x c =--=--+⎰. 3(4)()y y y ''''=+;解：设y p '=， 则d d p y p y''= 原方程可化为 3d d ppp p y=+ 即 2d (1)0d p p p y ⎡⎤-+=⎢⎥⎣⎦由p =0知y =c ，这是原方程的一个解. 当0p ≠时，22d d 1d d 1p pp y y p=+⇒=+ 1121arctan d ln sin()tan()p y c yx y c c y c ⇒=-'⇒==---⎰2212arcsin(e )(e )c x y c c c '∴=+=1(5);y x ''=解：11d ln y x c x x''==+⎰ 1121211(ln )d ln ln ((1))y c x x x c x c x x x c x c c c x ''=+=-++'=++=-+⎰(6)y ''=;解：1arcsin y x x c '==+112(arcsin )d arcsin .y x c x x x c x c =+=++⎰ (7)0xy y '''+=;解：令y p '=,则得1d d 00p xp p x p x'+=⇒+= 1ln ln ln p x c ⇒+=得 1c p x= 故 112d ln c y x c c x x ==+⎰.3(8)10y y ''-=.解：令p y '=，则d d p y p y''=. 原方程可化为 33d 10,d d d py pp p y y y--==22221112221211211222d d 221().c p y p y c x xc x c c x c c y c x c --⇒=-+⇒=-+⇒=⇒±=⇒±=+⇒=+⇒-=+⎰3．设在半平面x >0中有力()3k F xi yj r=-+构成力场，其中k为常数，r ，证明：在此力场中场力所做的功与所取的路径无关． 证：场力沿路径L 所作的功为． 33d d Lk k W x x y y r r =--⎰ 其中3kx P r =-，3kyQ r=-，则P 、Q 在单连通区域x >0内具有一阶连续偏导数，并且 53(0)P kxy Q x y r x∂∂==>∂∂ 因此以上积分与路径无关，即力场中场力所做的功与路径无关．4．计算对坐标的曲线积分：(1)d Lxyz z ⎰，Γ为x 2+y 2+z 2=1与y =z 相交的圆，方向按曲线依次经过第Ⅰ、Ⅱ、Ⅶ、Ⅷ封限；(2)()()()222222d d d Ly z x z x y x y z -+-+-⎰，Γ为x 2+y 2+z 2=1在第Ⅰ封限部分的边界曲线，方向按曲线依次经过xOy 平面部分，yOz 平面部分和zOx 平面部分． 解:(1)Γ：2221x y z y z ⎧++=⎨=⎩ 即2221x z y z ⎧+=⎨=⎩其参数方程为：cos 2x ty tz t =⎧⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩ t ：0→2π 故：2π2π2202π202π0d cos d sin cos d sin 2d 1cos 4d 216xyz z t t t t t t t t t t ttΓ===-==⎰⎰(2)如图11-3所示．图11-3Γ=Γ1+Γ2+Γ3．Γ1：cos sin 0x ty t z =⎧⎪=⎨⎪=⎩t ：0→π2，故()()()()()1222222π2220π3320π320d d d sin sin cos cos d sincos d 2sin d 24233y z x z x y x y zt t t t t t t tt t Γ-+-+-⎡⎤=--⋅⎣⎦=-+=-=-⋅=-⎰⎰⎰⎰又根据轮换对称性知()()()()()()1222222222222d d d 3d d d 4334y z x z x y x y z y z x z x y x y zΓΓ-+-+-=-+-+-⎛⎫=⨯- ⎪⎝⎭=-⎰⎰5．计算()()d d Lx y x y x y ++-⎰，其中L 是(1)抛物线y 2=x 上从点(1,1)到点(4,2)的一段弧； (2)从点(1,1)到点(4,2)的直线段；(3)先沿直线从(1,1)到点(1,2)，然后再沿直线到点(4,2)的折线；(4)曲线x = 2t 2+t +1, y = t 2+1上从点(1,1)到点(4,2)的一段弧． 解：(1)L ：2x y y y ⎧=⎨=⎩，y ：1→2，故()()()()()2221232124321d d 21d 2d 111232343L x y x y x yy y y y y yy y y yy y y ++-⎡⎤=+⋅+-⋅⎣⎦=++⎡⎤=++⎢⎥⎣⎦=⎰⎰⎰ (2)从(1,1)到(4,2)的直线段方程为x =3y -2，y ：1→2 故()()()()()2121221d d 32332d 104d 5411L x y x y x yy y y y y y yy y ++-=-+⋅+-+⎡⎤⎣⎦=-⎡⎤=-⎣⎦=⎰⎰⎰ (3)设从点(1,1) 到点(1,2)的线段为L 1，从点(1,2)到(4,2)的线段为L 2，则L =L 1+L 2．且 L 1：1x y y =⎧⎨=⎩，y ：1→2；L 2：2x x y =⎧⎨=⎩，x ：1→4；故()()()()()12122211d d 101d 1d 212L x y x y x yy y y y y y y ++-=+⋅+-⎡⎤⎣⎦⎡⎤=-=-⎢⎥⎣⎦=⎰⎰⎰()()()()()()24144211d d 220d 12d 22272L x y x y x yx x x x x x ++-=++-⋅⎡⎤⎣⎦⎡⎤=+=+⎢⎥⎣⎦=⎰⎰⎰从而()()()()()12d d d d 1271422LL L x y x y x yx y x y x y++-=+++-=+=⎰⎰⎰(4)易得起点(1,1)对应的参数t 1=0，终点(4,2)对应的参数t 2=1，故()()()()()()122132014320d d 32412d 10592d 10592432323L x y x y x y t t t tt t tt t t tt t t t ++-⎡⎤=++++--⋅⎣⎦=+++⎡⎤=+++⎢⎥⎣⎦=⎰⎰⎰6．设L 为xOy 面内直线x =a 上的一段，证明：(),d 0LP x y x =⎰其中P (x , y )在L 上连续．证：设L 是直线x =a 上由(a ,b 1)到(a ,b 2)这一段，则 L ：12x ab t b y t =⎧≤≤⎨=⎩，始点参数为t =b 1，终点参数为t =b 2故 ()()()221d ,d d 0d 0d b b L b b a P x y x P a,t t P a,t t t ⎛⎫=⋅=⋅= ⎪⎝⎭⎰⎰⎰7．从下列各题中的曲线族里，找出满足所给的初始条件的曲线：220(1),5;x x y C y =-==解：当0x =时，y =5.故C =-25 故所求曲线为：2225y x -=21200(2)()e ,0, 1.x x x y C C x y y =='=+==解： 2212(22)e xy C C C x '=++当x =0时，y =0故有10C =. 又当x =0时，1y '=.故有21C =. 故所求曲线为：2e xy x =.8．计算下列对面积的曲面积分： （1）4d 23s z x y ∑⎛⎫++ ⎪⎝⎭⎰⎰，其中∑为平面1234x y z ++=在第I 卦限中的部分； （2）()2d 22s xy xx z ∑--+⎰⎰，其中∑为平面2x +2y +z =6在第I 卦限中的部分；(3)()d s x y z ∑++⎰⎰,其中∑为球面x 2+y 2+z 2=a 2上z ≥h (0<h <a )的部分； (4)()d s xy yz zx ∑++⎰⎰，其中∑为锥面z =被柱面x 2+y 2=2ax 所截得的有限部分； (5)()222d s R x y ∑--⎰⎰，其中∑为上半球面z =解：（1）4:423z x y ∑=--(如图10-69所示)图10-69d d d s x y x y ==故4d 4d d d d 23331232xy xy D D s x y x y z x y ∑⎛⎫=⋅=++ ⎪⎝⎭=⨯⨯=⎰⎰⎰⎰⎰⎰(2)∑:z =6-2x -2y (如图10-70所示)。
2019最新高等数学(上册)期末考试试题(含答案)HK
2019最新高等数学期末考试试题（含答案）一、解答题1．求下列初等函数的边际函数、弹性和增长率： (1) y =ax +b ；(其中a ，b ∈R ，a ≠0) 解：y ′=a 即为边际函数. 弹性为：1Ey axa x Ex axb ax b=⋅⋅=++, 增长率为： y aax bγ=+. (2) y =a e bx ；解：边际函数为：y ′=ab e bx 弹性为：1e ebx bx Ey ab x bx Ex a =⋅⋅=, 增长率为： e ebxy bxab b a γ==. (3) y =x a解：边际函数为：y ′=ax a －1.弹性为：11a a Ey ax x a Ex x-=⋅⋅=, 增长率为： 1.a y a ax ax xγ-==2．将()2132f x x x =++展开成(x +4)的幂级数．解：21113212x x x x =-++++ 而()()()011113411431314413334713nn nn n x x x x x x x ∞=∞+==+-++=-⋅+-+⎛+⎫⎛⎫=-< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭+=--<<∑∑()()()0101122411421214412224622nn nn n x x x x x x x ∞=∞+==+-++=-+-+⎛+⎫⎛⎫=-< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭+=--<<-∑∑所以()()()()()2110011013244321146223n nn n n n nn n n f x x x x x x x ∞∞++==∞++==++++=-+⎛⎫=-+-<<- ⎪⎝⎭∑∑∑3．判定下列级数的敛散性：(1) 1n ∞=∑；(2)()()11111661111165451n n +++++⋅⋅⋅-+；(3) ()23133222213333nn n --+-++-；(4)155n +++++；解：(1)(11n S n =++++=从而lim n n S →∞=+∞，故级数发散．(2) 1111111115661111165451111551n S n n n ⎛⎫=-+-+-++- ⎪-+⎝⎭⎛⎫=- ⎪+⎝⎭从而1lim 5n n S →∞=，故原级数收敛，其和为15． (3)此级数为23q =-的等比级数，且|q |<1，故级数收敛．(4)∵n U =lim 10n n U →∞=≠，故级数发散．4．设某工厂生产某种产品的固定成本为零，生产x （百台）的边际成本为C ′(x )（万元/百台），边际收入为R ′(x )=7－2x （万元/百台）． (1) 求生产量为多少时总利润最大？(2) 在总利润最大的基础上再生产100台，总利润减少多少？ 解：(1) 当C ′(x )=R ′(x )时总利润最大． 即2=7－2x ，x=5/2(百台)(2) L ′(x )=R ′(x )－C ′(x )=5－2x ．在总利润最大的基础上再多生产100台时，利润的增量为 ΔL (x )=772255222(52)d 51x x x x-=-=-⎰．即此时总利润减少1万元.5．设某企业固定成本为50，边际成本和边际收入分别为 C ′(x )=x 2－14x +111，R ′(x )=100－2x ． 试求最大利润． 解： 设利润函数L (x )． 则L (x )=R (x )－C (x )－50由于L ′(x )=R ′(x )－C (x )=(100－2x )－(x 2－14x +111)=－x 2+12x －11 令L ′(x )=0得x =1，x =11．又当x =1时，L ″(x )=－2x+12>0．当x =11时L ″(x )<0，故当x =11时利润取得最大值．且最大利润为 L (11)=1120(1211)d 50x x x -+--⎰311013341[611]50111.333x x x =-+--==6．已知电压u (t )=3sin2t ，求 (1) u (t )在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的平均值；解： π2026()3sin 2d .ππu t t t ==⎰(2) 电压的均方根值.解：均方根公式为 ()f x =故()u t =====7．求正弦交流电0i I sin t ω=经过半波整流后得到电流0πsin ,0π2π0,I t t i t ωωωω⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪≤≤⎪⎩的平均值和有效值。
2019最新高等数学(上册)期末考试试题(含答案)YF
2019最新高等数学期末考试试题（含答案）一、解答题1．求数列的最大的项.解：令y =y '===令0y '=得x =1000.因为在(0，1000)上0y '>，在(1000,)+∞上0y '<, 所以x =1000为函数y的极大值点，也是最大值点，max (1000)2000y y ==.故数列1000n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的最大项为1000a =.2．将()2132f x x x =++展开成(x +4)的幂级数． 解：21113212x x x x =-++++ 而()()()011113411431314413334713nn nn n x x x x x x x ∞=∞+==+-++=-⋅+-+⎛+⎫⎛⎫=-< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭+=--<<∑∑又()()()0101122411421214412224622nn nn n x x x x x x x ∞=∞+==+-++=-+-+⎛+⎫⎛⎫=-< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭+=--<<-∑∑所以()()()()()2110011013244321146223n nn n n n nn n n f x x x x x x x ∞∞++==∞++==++++=-+⎛⎫=-+-<<- ⎪⎝⎭∑∑∑3．将下列函数展开成x 的幂级数，并求展开式成立的区间： (1)f (x ) = ln(2+x )； (2)f (x ) = cos 2x ； (3)f (x )=(1+x )ln(1+x )； (4)()2f x =；(5)()23xf x x =+； (6)()()1e e 2x xf x -=-； 解：(1)()()ln ln 2ln 2ln 11222x x f x x ⎛⎫⎛⎫===++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭由于()()0ln 111nnn x x n ∞==+-+∑，(-1<x ≤1)故()()110ln 11221n nn n x x n +∞+=⎛⎫=+- ⎪⎝⎭+∑，(-2≤x ≤2)因此()()()11ln ln 22121n nn n x x n +∞+==++-+∑，(-2≤x ≤2) (2)()21cos 2cos 2x f x x +==由()()20cos 1!2nnn x x n ∞==-∑，(-∞<x <+∞)得()()()()()220042cos 211!!22n n n nn n n x x x n n ∞∞==⋅==--∑∑ 所以()()22011()cos cos 222114122!2n nn n f x x x x n ∞===+⋅=+-∑，(-∞<x <+∞) (3)f (x ) = (1+x )ln(1+x ) 由()()()1ln 111n nn x x n +∞==+-+∑，(-1≤x ≤1)所以()()()()()()()()()()()()()1120111111111111111111111111111n nn n n nn n n n n nn n n n n n n n n n x f x x n x x n n x x x n n n n x xn n x xn n +∞=++∞∞==++∞∞+==+∞+=-∞+==+-+=+--++=++--+++--=+⋅+-=++∑∑∑∑∑∑∑ (-1≤x ≤1)(4)()22f x x ==()()()21!!2111!!2nnn n x n ∞=-=+-∑ (-1≤x ≤1)故()()()()221!!2111!!2n n n n x f x x n ∞=⎛⎫-+=- ⎪⎝⎭∑ ()()()()2211!!211!!2n n n n x x n ∞+=-=+-∑ (-1≤x ≤1)(5)()()()(220211131313313nn n n nn n x f x x x x x x ∞=+∞+==⋅+⎛⎫=⋅- ⎪⎝⎭=-<∑∑(6)由0e !nxn x n ∞==∑，x ∈(-∞,+∞)得()01e!n nxn x n ∞-=⋅-=∑，x ∈(-∞,+∞)所以()()()()()()0002101e e 2112!!1112!,!21x x n n n n n n n n n n f x x x n n x n x x n -∞∞==∞=+∞==-⎛⎫-=- ⎪⎝⎭=⋅⎡⎤--⎣⎦=∈-∞+∞+∑∑∑∑4．证明，若21n n U ∞=∑收敛，则1nn U n∞=∑绝对收敛． 证：∵222211111222n n n nU U n U U n n n+=⋅≤=+⋅而由21nn U∞=∑收敛，211n n∞=∑收敛，知22111122n n U n ∞=⎛⎫+⋅ ⎪⎝⎭∑收敛，故1n n U n ∞=∑收敛， 因而1nn U n ∞=∑绝对收敛．5．解：1211111R ()()(1)!2(1)!2n n n n n +++=++++=12111111()[1()](1)!222(2)(3)2n n n n n ++++++++122111111()[1()](1)!212(1)2n n n n +<++++++1111()1(1)!212(1)n n n +=+-+11()!(21)2n n n =+从而 111()!(21)2n n R n n +<+6．求下列函数在[－a ，a ]上的平均值：(1)()f x =解：200111π1.arcsin 2422aa a a x y x x a a a a -⎡====+⎢⎣⎰⎰ (2) 2().f x x =解：2223001111d d .233aa a a a y x x x x x a a a -⎡⎤====⎢⎥⎣⎦⎰⎰7．证明：无穷积分敛散性的比较判别法的极限形式，即节第六节定理2. 证明：如果|()|lim0()x f x g x ρ→+∞=≠，那么对于ε(使0ρε->),存在x 0，当0x x ≥时|()|0()f xg x ρερε<-<<+ 即 ()()|()|()()g x f x g x ρερε-<<+ 成立，显然()d ag x x +∞⎰与|()|d af x x +∞⎰同进收敛或发散.如果0ρ=，则有|()|()f x g x ε<, 显然()d ag x x +∞⎰收敛, 则|()|d af x x +∞⎰亦收敛.如果ρ=+∞，则有|()|()()f x g x ρε>-，显然()d ag x x +∞⎰发散，则|()|d af x x +∞⎰亦发散.习题五8．用定义判断下列广义积分的敛散性，若收敛，则求其值：22π11(1)sin d x x x+∞⎰; 解：原式=22ππ1111lim sin d lim cos lim cos1.b bb b b x bx x →+∞→+∞→+∞⎛⎫-=== ⎪⎝⎭⎰ 2d (2);22xx x +∞-∞++⎰解：原式=02200d(1)d(1)arctan(1)arctan(1)(1)1(1)1x x x x x x +∞+∞-∞-∞+++=+++++++⎰⎰πππππ.4242⎛⎫=-+-=- ⎪⎝⎭(3)e d n x x x +∞-⎰(n 为正整数)解：原式=10e d deen x n xn xn x x x x +∞+∞+∞----+-=-⎰⎰100e d !e d !n x x n x x n x n +∞+∞---=+===⎰⎰(4)(0)a a >⎰;解：原式=00000πlim lim arcsin lim arcsin .12a a xa a εεεεεε+++--→→→⎛⎫===- ⎪⎝⎭⎰e1(5)⎰;解：原式=()e e 0110πlim arcsin(ln )lim lim arcsin .ln(e )2x εεεεεε+++--→→→===-⎰1(6)⎰.解：原式=110+⎰2121221111202lim 2lim πππlim lim 2222π.424εεεεεε++-→→→→=+⎛⎫=+=⋅+=- ⎪⎝⎭⎰⎰9．已知201(2),(2)0,()d 12f f f x x '===⎰, 求120(2)d x f x x ''⎰.解：原式=11122000111d (2)2(2)d (2)222x f x xf x x x f x ''='-⎰⎰11100012001111(2)d (2)0(2)d (2)22221111(2)(2)d(2)1()d 1402444f x f x f x x xf x f f x x f t t '=-=-+=-+=-+=-+⨯=⎰⎰⎰⎰10．证明下列等式：2321(1)()d ()d 2aa x f x x xf x x =⎰⎰ (a 为正常数)；证明：左222222000111()d()()d ()d 222a a a x t x f x x tf t t xf x x ====⎰⎰⎰ 令右所以，等式成立. (2)若()[,]f x C a b ∈，则ππ220(sin )d (cos )d f x x f x x =⎰⎰.证明：左πππ0222π02(cos )(d )(cos )d (cos )d x tf t t f t t f x x =--==⎰⎰⎰令.所以，等式成立.11．求下列不定积分：221(1)d (1)(1)x x x x ++-⎰; 解：原式=2111111d ln ln 1122122(1)(1)(1)x c x x x x x x ⎛⎫ ⎪-=++++-++ ⎪+++-⎝⎭⎰ 211ln .112c x x =++-+ 33d (2)1x x +⎰;解：原式=22211112d ln ln d 1122111x x x x x x x x x x x -+⎛⎫=-+++-+⎪-++-+⎝⎭⎰⎰c =+. 5438(3)d x x x x x+--⎰; 解：原式=2843d 111x x x x x x ⎛⎫+++-- ⎪+-⎝⎭⎰ 32118ln 4ln 3ln .1132x x x c x x x =+++--++- 26(4)d 1x x x +⎰;解：原式=33321d()1arctan .31()3x x c x =++⎰ sin (5)d 1sin xx x+⎰;解：原式=222sin 1d tan d (sec 1)d sec tan .cos cos x x x x x x x x x c x x -=--=-++⎰⎰⎰ cot (6)d sin cos 1xx x x ++⎰;解：原式22tan 222222212d 1111111d d d 22(1)22211111x t t t t t t t t t t t t t t t t t t =-⋅-++==-+⎛⎫-++⎪+++⎝⎭⎰⎰⎰⎰令1111ln ln tan .tan 222222x x t c c t =-+=-+(7)x ;解：原式=2.c =+(8)x ;解：原式=2d 2ln 21x x x x x ⎛=+-+ ⎝⎰ 又2x2221d 44d 11t t t t t t =+--⎰⎰142ln1t t c c t -''=++=++故原式=1)x c -+.12．用分部积分法求下列不定积分：2(1)sin d x x x ⎰;解：原式=222dcos cos 2cos d cos 2dsin x x x x x x x x x x x -=-+⋅=-+⎰⎰⎰2cos 2sin 2cos .x x x x x c =-+++(2)e d x x x -⎰;解：原式=de e e d e e .x x x x x x x x x c ------=-+=--+⎰⎰(3)ln d x x x ⎰;解：原式=222211111ln d ln d ln 22224x x x x x x x x x c ⋅=-=-+⎰⎰. 2(4)arctan d x x x ⎰;解：原式=3332111arctan d arctan d 3331x x x x x x x =-+⎰⎰ 322111arctan ln(1).366x x x x c =-+++(5)arccos d x x ⎰;解：原式=arccos arccos x x x x x c +=.2(6)tan d x x x ⎰;解：原式=22211(sec 1)d d tan tan tan d 22x x x x x x x x x x x -=-=--⎰⎰⎰ 21tan ln .cos 2x x x c x =+-+(7)e cos d x x x -⎰;解：e cos d e dsin e sin e sin d x x x x x x x x x x ----==⋅+⎰⎰⎰e sin e dcos e sin e cos e cos d x x x x x x x x x x x -----=-=--⎰⎰∴原式=1e (sin cos ).2xx x c --+ (8)sin cos d x x x x ⎰;解：原式=1111sin 2d d cos 2cos 2cos 2d 2444x x x x x x x x x =-=-+⎰⎰⎰11cos 2sin 248x x x c =-++.32(ln )(9)d x x x ⎰;解：原式=332111(ln )d (ln )3(ln )d x x x x x x ⎛⎫⎛⎫-=--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰ 32131(ln )(ln )6ln d x x x x x x ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭⎰321366(ln )(ln )ln .x x x c x x x x=----+(10)x .解：原式tan 23sec d .x a ta t t =⎰又 32sec d sec (tan 1)d tan d(sec )sec d t t t t t t t t t =+=+⎰⎰⎰⎰3tan sec sec d ln sec tan t t t t t t =⋅-++⎰所以 311sec d tan sec ln sec tan 22t t t t c t t '=+++⎰故11ln .22x c x =+13．用定积分的几何意义求下列积分值:1(1)2 d x x ⎰；解:由几何意义可知,该定积分的值等于由x 轴、直线x =1、y =2x 所围成的三角形的面积，故原式=1.(2)(0)x R >⎰.解：由几何意义可知，该定积分的值等于以原点为圆心，半径为R 的圆在第一象限内的面积，故原式=21π4R .14．将函数()0arctan d xtF t x t=⎰展开成x 的幂级数． 解：由于()21arctan 121n nn t t n +∞==-+∑所以()()()()()20002212000arctan d d 121d 112121n xx nn n n xnnn n t t F t tx t n t x t n n ∞=+∞∞====-+==--++∑⎰⎰∑∑⎰（|x |≤1）15．在半径为r 的球中内接一正圆柱体，使其体积为最大，求此圆柱体的高.解：设圆柱体的高为h ,，223πππ4V h r h h =⋅=-令0V '=,得.3h =时，其体积为最大.16．已知水渠的横断面为等腰梯形,斜角ϕ=40°,如图所示.当过水断面ABCD 的面积为定值S 0时,求湿周L (L =AB +BC +CD )与水深h 之间的函数关系式,并指明其定义域.图1-1解:011()(2cot )(cot )22S h AD BC h h BC BC h BC h ϕϕ=+=++=+ 从而 0cot S BC h hϕ=-. 000()22cot sin sin 2cos 2cos 40sin sin 40L AB BC CD AB CD S h hBC h h S S h h h h ϕϕϕϕϕ=++==+=+---=+=+由00,cot 0S h BC h hϕ>=->得定义域为.17．设总收入和总成本分别由以下两式给出：2()50.003,()300 1.1R q q q C q q =-=+其中q 为产量，0≤q ≤1000，求：(1)边际成本；(2)获得最大利润时的产量；(3)怎样的生产量能使盈亏平衡？ 解：(1) 边际成本为：()(300 1.1) 1.1.C q q ''=+=(2) 利润函数为2()()() 3.90.003300() 3.90.006L q R q C q q q L q q=-=--'=-令()0L q '=,得650q = 即为获得最大利润时的产量. (3) 盈亏平衡时： R (q )=C (q ) 即 3.9q －0.003q 2－300=0 q 2－1300q +100000=0 解得q =1218(舍去)，q =82.18．曲线弧y =sin x (0<x <π)上哪一点处的曲率半径最小？求出该点的曲率半径. 解：cos ,sin y x y x '''==- .23/223/2(1cos )1sin ,sin (1cos )x x R k x R x +===+ 显然R 最小就是k 最大， 225/22cos (1sin )(1cos )x x k x +'=+令0k '=，得π2x =为唯一驻点. 在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭内，0k '>，在π,π2⎛⎫ ⎪⎝⎭内，0k '<.所以π2x =为k 的极大值点，从而也是最大值点，此时最小曲率半径为 23/2π2(1cos )1sin x x R x=+==.19．计算抛物线y =4x －x 2在它的顶点处的曲率. 解：y =－(x －2)2+4，故抛物线顶点为(2，4) 当x =2时， 0,2y y '''==- ， 故 23/22.(1)y k y ''=='+20．根据下面所给的值，求函数21y x =+的,d y y ∆及d y y ∆-： ⑴ 当1,0.1x x =∆=时； 解：2222()1(1)2210.10.10.21d 2210.10.2d 0.210.20.01.y x x x x x x y x x y y ∆=+∆+-+=∆+∆=⨯⨯+==⋅∆=⨯⨯=∆-=-=. ⑵ 当1,0.01x x =∆=时. 解：222210.010.010.0201d 2210.010.02d 0.02010.020.0001.y x x x y x x y y ∆=∆+∆=⨯⨯+==⋅∆=⨯⨯=∆-=-=21．已知()f x ''存在，求22d d yx：⑴ 2()y f x =； ⑵ ln ()y f x =. 解：⑴ 22()y xf x ''=222222()22() 2()4()y f x x xf x f x x f x '''''=+⋅'''=+⑵ ()()f x y f x ''=22()()[()]()f x f x f x y f x '''-''=22．求下列函数在指定点的高阶导数：⑴()f x =求(0)f ''；⑵ 21()e,x f x -=求(0)f ''，(0)f '''；⑶ 6()(10),f x x =+求(5)(0)f ，(6)(0)f .解： ⑴322()(1)f x x -'==- 5223()(1)22f x x x -''=--⋅故(0)0f ''=.⑵ 21()2ex f x -'=2121()4e ()8e x x f x f x --''='''=故4(0)e f ''=，8(0)ef '''=. ⑶ 5()6(10)f x x '=+43(4)2(5)(6)()30(10)()120(10)()360(10)()720(10)()720f x x f x x f x x f x x f x ''=+'''=+=+=+= 故(5)(0)720107200f=⨯=，(6)(0)720f =23．若11()e x x f x+=，求()f x '.解：令1t x=，则 1()e t tf t +=,即1()ex xf x +=121()e(1)x xf x x +'=-24．如果()f x 为偶函数，且(0)f '存在，证明：(0)0.f '= 证明：000()(0)()(0)(0)limlim()(0)lim (0),x x x f x f f x f f x xf x f f x∆→∆→∆→∆--∆-'==∆∆-∆-'=-=--∆故(0)0.f '=25．若()f x 在[,]a b 上连续，12n a x x x b <<<<<,证明:在1[,]n x x 中必有ξ，使12()()()()n f x f x f x f nξ+++=.证: 由题设知()f x 在1[,]n x x 上连续，则()f x 在1[,]n x x 上有最大值M 和最小值m ，于是12()()()n f x f x f x m M n+++≤≤,由介值定理知，必有1[,]n x x ξ∈，使12()()()()n f x f x f x f nξ+++=.习题二26．试证：方程21x x ⋅=至少有一个小于1的正根.证：令()21xf x x =⋅-，则()f x 在[0,1]上连续，且(0)10,(1)10f f =-<=>,由零点定理，(0,1)ξ∃∈使()0f ξ=即210ξξ⋅-= 即方程21x x ⋅=有一个小于1的正根.27．利用重要极限10lim(1)e uu u →+=，求下列极限：2221232cot 00113(1)lim ;(2)lim ;12(3)lim(13tan );(4)lim(cos 2);1(5)lim [ln(2)ln ];(6)lim.ln xx x x xx x x x x x x x x x xx x x x+→∞→∞→→→∞→+⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭+-+-解：1112222111(1)lim lim e 1lim 11x xxx x x x x x →∞→∞→∞⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫====+++ ⎪⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦1022121553555(2)lim lim lim 1112222x x x x x x x x x x x -++→∞→∞→∞⎡⎤+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⋅++⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪+ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥-⎝⎭⎣⎦102551051055lim e 1e .1lim 122x x x x x -→∞→∞⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫=⋅=⋅=+⎢⎥ ⎪+⎢⎥ ⎪-⎝⎭⎣⎦⎢⎥-⎝⎭⎣⎦ 22233112cot323tan 23tan 000(3)lim(13tan )lim e .lim(13tan )(13tan )xx x x x x x x x →→→⎡⎤⎡⎤+===+⎢⎥+⎢⎥⎣⎦⎣⎦[][][]cos 211cos 212221cos 2121cos 2120220333ln ln cos21(cos21)03(cos21)ln 1(cos21)0cos213limlim ln 1(cos21)2sin 3limln lim (4)lim(cos 2)lim e lim elim ee e x x x x x x x x xx x x xx x x x x x x x x x x x x ----→→→→⎧⎫⎪⎪⎨⎬+-⎪⎪⎩⎭→→→-+-→-⋅+--⋅=====[]1cos 212201(cos21)sin 6ln e lim 6116eee .x x x x x -→⎧⎫⎪⎪⎨⎬+-⎪⎪⎩⎭⎛⎫-⋅⋅ ⎪-⨯⨯-⎝⎭===22222(5)lim [ln(2)ln ]lim 2ln lim 2ln 12222lim ln 2ln 1lim 12ln e 2.x x x x xxx x x x x x x x x x x →∞→∞→∞→∞→∞+⎛⎫+-=⋅⋅=+ ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⋅+ ⎪ ⎪+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭== (6)令1x t =+，则当1x →时，0t →.1110001111limlim 1.ln ln(1)ln eln lim ln(1)lim(1)x t tt t t x tx t t t →→→→-=-=-=-=-=-+⎡⎤++⎢⎥⎣⎦28．根据数列极限的定义证明:21313(1)lim0;(2)lim ;212(3)1;(4)lim 0.999 1.n n n n n n n n →∞→∞→∞→∞-==+== 个证: (1)0ε∀>,要使22110n n ε=<-,只要n >.取N =,则当n>N 时,恒有210nε<-.故21lim 0n n →∞=. (2) 0ε∀>,要使555313,2(21)4212n n n n n ε-=<<<-++只要5n ε>,取5N ε⎡⎤=⎢⎥⎣⎦,则当n>N 时,恒有313212n n ε-<-+.故313lim212n n n →∞-=+.(3) 0ε∀>,要使2221a n ε=<<,只要n >取n =,则当n>N 时,1ε<-,从而lim 1n n →∞=. (4)因为对于所有的正整数n ,有10.99991n <-个,故0ε∀>,不防设1ε<,要使1,0.999110n n ε=<-个只要ln ,ln10n ε->取ln ,ln10N ε-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦则当n N >时,恒有,0.9991n ε<-个故lim 0.9991n n →∞=个.29．下列函数是由哪些基本初等函数复合而成的?5122412(1)(1);(2)sin (12);1(3)(110);(4).1arcsin 2xy x y x y y x-=+=+=+=+解: (1)124(1)y x =+是由124,1y u u x ==+复合而成.(2)2sin (12)y x =+是由2,sin ,12y u u v v x ===+复合而成. (3)512(110)x y -=+是由152,1,10,w y u u v v w x ==+==-复合而成.(4)11arcsin 2y x=+是由1,1,arcsin ,2y u u v v w w x -==+==复合而成.30．试决定曲线y =ax 3+bx 2+cx +d 中的a ，b ，c ，d ，使得x =－2处曲线有水平切线，(1，－10)为拐点，且点(－2，44)在曲线上. 解：令f (x )= ax 3+bx 2+cx +d联立f (－2)=44，f ′(－2)=0，f (1)=－10，f ″(1)=0 可解得a =1，b =－3，c =－24，d =16.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、解答题 1．无 2．无3．无4．无5．无6．无7．无8．无9．无10．无11．无12．无13．无14．无15．无16．无17．无18．无19．无20．无21．无22．无23．无24．无25．无26．无27．无28．无29．无30．无。
2019年高等数学基础期末考试复习试题及答案
1
D.
e 4
1 A. e x dx de x B sin xdx d (cos x) C. dx d x
2x
D.
ln
xdx
d
(
1 x
)
1
下列等式中正确的是（B
）．A.
d
( 1
x2
)
arctan xdx
1 dx
B.
d( )
x
x2
C. d (2 x ln 2) 2 x dx D. d (tan x) cot xdx
D. 单调上升
A 先单调下降再单调上升 B 单调下降 C 先单调上升再单调下降 D 单调上升
. 函数 y x 2 2x 6 在区间 (2 , 5) 内满足（D ）．
A. 先单调下降再单调上升
B. 单调下降 C. 先单调上升再单调下降 D. 单调上升
5-1
若
f
(x)
的一个原函数是
1 x
，则
f
( x)
函数 f (x) 10 x 10x 的图形关于 y 轴 对称。
二、填空题
⒈函数 f ( x) x 2 9 ln(1 x) 的定义域是 （3，+∞）
．
x3
函数
y
x ln(x
2)
4 x 的定义域是
（2，3） ∪ （3，4 ]
函数 f (x) ln(x 5) 1 的定义域是 2x
（－5，2）
1-⒉设函数 f (x) 的定义域为 (,) ，则函数 f (x) f (x) 的图形关于（C ）对称．
A. 坐标原点
B. x 轴
C. y 轴 D. y x
设函数 f (x) 的定义域为 (,) ，则函数 f (x) f (x) 的图形关于（D ）对称．
2019最新高等数学(上册)期末考试试题(含答案)FX
2019最新高等数学期末考试试题（含答案）一、解答题1．设()()()f a f c f b ==，且a c b <<,()f x ''在[a ，b ]内存在，证明：在（a ，b ）内至少有一点ξ，使()0f ξ''=.证明：()f x ''在[a ，b ]内存在，故()f x 在[a ，b ]上连续，在（a ，b ）内可导，且()()()f a f c f b ==，故由罗尔定理知，1(,)a c ξ∃∈，使得1()0f ξ'=，2(,)c b ξ∃∈，使得2()0f ξ'=，又()f x '在12[,]ξξ上连续，在12(,)ξξ内可导，由罗尔定理知，12(,)ξξξ∃∈，使()0f ξ''=，即在（a ，b ）内至少有一点ξ，使()0f ξ''=.2．设f (x )是周期为2的周期函数，它在[-1,1]上的表达式为f (x )=e -x，试将f (x )展成傅里叶级数的复数形式.解：函数f (x )在x ≠2k +1，k =0,±1,±2处连续.()()()[]()()()π1π111π11211e d e e d 221e 21πe e 1121π1πsinh111πn i x l x in x l n l x n i n n c f x x x l n i n in i n ------+--===-+-=⋅⋅-+-=⋅⋅-+⎰⎰ 故f (x )的傅里叶级数的复数形式为()()()()π21π1sinh1e 1πn in x n in f x n ∞=-∞⋅--=+∑ (x ≠2k +1，k =0,±1,±2,…)3．将函数f (x ) = x -1(0≤x ≤2)展开成周期为4的余弦级数.解：将f (x )作偶延拓，作周期延拓后函数在(-∞,+∞)上连续,则有b n =0 (n =1,2,3,…)()()220201d 1d 02a f x x x x -==-=⎰⎰ ()()()222022221ππcos d 1cos d 2224[11]π0,2,4,6,8,1,3,5,πn n n x n x a f x x x x n n n n -==-=--=⎧⎪=⎨-=⎪⎩⎰⎰故()()()22121π81cos π221n n x f x n ∞=-=-⋅-∑ (0≤x ≤2)4．设f (x ) = x +1(0≤x ≤π)，试分别将f (x )展开为正弦级数和余弦级数.解：将f (x )作奇延拓，则有a n =0 (n =0,1,2,…)()()()()ππ0022sin d 1sin d ππ111π2πn n b f x nx x x nx x n==+--+=⋅⎰⎰ 从而()()()1111π2sin πn n f x nx n∞=--+=∑ (0<x <π) 若将f (x )作偶延拓，则有b n =0 (n =1,2,…)()()ππ00222cos d 1cos d ππ0,2,4,64,1,3,5,πn a f x nx x x nx x n n n ==+=⎧⎪=-⎨=⎪⎩⎰⎰ ()()ππ0π012d 1d π2ππa f x x x x -==+=+⎰⎰ 从而()()()21cos 21π242π21n n x f x n ∞=-+=--∑ (0≤x ≤π)5．将下列函数f (x )展开为傅里叶级数：(1)()()πππ42x f x x =--<<(2)()()sin 02πf x xx =≤≤ 解：(1) ()ππ0-ππ11ππcos d d ππ422x a f x nx x x -⎛⎫==-= ⎪⎝⎭⎰⎰ []()ππππ-π-πππ1π11cos d cos d x cos d π4242π1sin 001,2,4n x a nx x nx x nx x nx n n--⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭=-==⎰⎰⎰ ()ππππ-π-π1π11sin d sin d xsin d π4242π11n n x b nx x nx x nx x n-⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭=-⋅⎰⎰⎰故()()1πsin 14n n nx f x n∞==+-∑ (-π<x <π) (2)所给函数拓广为周期函数时处处连续， 因此其傅里叶级数在[0,2π]上收敛于f (x )，注意到f (x )为偶函数，有b n =0,()ππ0πππ011cos0d sin d ππ24sin d ππa f x x x x x x x --====⎰⎰⎰ ()()()()()()ππ0ππ02222cos d sin cos d ππ1sin 1sin 1d π211π10,1,3,5,4,2,4,6,π1n n a f x nx x x nx x n x n x x n n n n -===+--⎡⎤⎣⎦-⎡⎤=+-⎣⎦-=⎧⎪-=⎨=⎪-⎩⎰⎰⎰所以 ()()2124cos2ππ41n nx f x n ∞=-=+-∑ (0≤x ≤2π)6．将函数()0arctan d x t F t x t=⎰展开成x 的幂级数． 解：由于()210arctan 121n n n t t n +∞==-+∑ 所以()()()()()20002212000arctan d d 121d 112121n xx n n n n x n n n n t t F t t x t n t x t n n ∞=+∞∞====-+==--++∑⎰⎰∑∑⎰（|x |≤1）7．证明，若21n n U ∞=∑收敛，则1n n U n ∞=∑绝对收敛． 证：∵222211111222n n n n U U n U U n n n +=⋅≤=+⋅ 而由21n n U ∞=∑收敛，211n n ∞=∑收敛，知22111122n n U n ∞=⎛⎫+⋅ ⎪⎝⎭∑收敛，故1n n U n ∞=∑收敛， 因而1n n U n ∞=∑绝对收敛．8．设某工厂生产某种产品的固定成本为零，生产x （百台）的边际成本为C ′(x )（万元/百台），边际收入为R ′(x )=7－2x （万元/百台）．(1) 求生产量为多少时总利润最大？(2) 在总利润最大的基础上再生产100台，总利润减少多少？解：(1) 当C ′(x )=R ′(x )时总利润最大．即2=7－2x ，x=5/2(百台)(2) L ′(x )=R ′(x )－C ′(x )=5－2x ．在总利润最大的基础上再多生产100台时，利润的增量为ΔL (x )= 772255222(52)d 51x x x x -=-=-⎰．即此时总利润减少1万元.9．设有一半径为R ，中心角为φ的圆弧形细棒，其线密度为常数ρ，在圆心处有一质量为m 的质点，试求细棒对该质点的引力。
2019最新高等数学(下册)期末考试试题(含答案)ABC
2019最新高等数学（下册）期末考试试题（含答案）一、解答题1．将函数(,)x f x y y =在(1,1)点展到泰勒公式的二次项.解：(1,1)1,f =(1,1)(1,1)1(1,1)(1,1)ln 0,1,x x x y f y y f xy-====2(1,1)(1,1)1(1,1)(1,1)2(1,1)(1,1)2(ln )0,1ln 1,(1)0,(,)1(1)(1)(1)0().xxx x x xy x yyx f y y xy y y f y f xy x f x y y y x y ρ--==⎛⎫+⋅== ⎪⎝⎭=-===+-+--+2．求下列欧拉方程的通解：2(1)0x y xy y '''+-=解：作变换e t x =，即t =ln x ,原方程变为 (1)0D D y Dy y -+-=即 22d 0d yy t-=特征方程为 210r -=121,1r r =-=故 12121e e t ty c c c c x x-=+=+. 23(2)4x y xy y x '''+-=.解：设e tx =，则原方程化为3(1)4e t D D y Dy y -+-=232d 4e d ty y t-= ① 特征方程为 240r -=122,2r r =-=故①所对应齐次方程的通解为2212e e t t y c c -=+又设*3e t y A =为①的特解，代入①化简得941A A -= 15A =, *31e 5t y = 故 223223121211ee e .55tt t y c c c x c x x --=++=++3．求下列线性微分方程满足所给初始条件的特解：πd 11(1)sin ,1d x y y x y x x x=+== ; 解： 11d d 11sin e sin d [cos ]e d x x x x x y x x c c x x c x x x -⎡⎤⎰⎰⎡⎤==+=-+⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎰⎰ 以π,1x y ==代入上式得π1c =-， 故所求特解为 1(π1cos )y x x=--. 2311(2)(23)1,0x y x y y x='+-== . 解：22323d 3ln x x x x c x--=--+⎰ 22223323d 23+3ln d 3ln ee e d e d x xx x x x x xxxy x c x c -------⎰⎡⎤⎰⎡⎤∴==++⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎰⎰ 2223311e .e e 22x x x x x c c ----⎛⎫⎛⎫=⋅=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭以x =1,y =0代入上式，得12ec =-. 故所求特解为 2311e 22e x y x -⎛⎫=-⎪⎝⎭.4．计算下列对坐标的曲面积分：(1)22d d x y z x y ∑⎰⎰，其中Σ是球面x 2+y 2+z 2=R 2的下半部分的下侧；(2)d d d d d d z x y x y z y z x ∑++⎰⎰，其中Σ是柱面x 2+y 2=1被平面z =0及z =3所截得的在第Ⅰ封限内的部分的前侧；(3)()()()d d 2d d d d ,,,,,,f x y z f y z x f z x y x y z x y z x y z ∑+++++⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎰⎰，其中f (x , y , z )为连续函数，Σ是平面x -y +z =1在第Ⅳ封限部分的上侧； (4)d d d d d d xz x y xy y z yz z x ∑++⎰⎰，其中Σ是平面x =0, y =0, z =0, x +y +z =1所围成的空间区域的整个边界曲面的外侧；(5)()()()d d d d d d y z z x x y y z x y z x ∑++---⎰⎰，其中Σ为曲面z =z = h (h >0)所围成的立体的整个边界曲面，取外侧为正向；(6)()()22d d d d d d +++-⎰⎰y y z x z x x y y xz x z ∑，其中Σ为x =y =z =0，x =y =z =a 所围成的正方体表面，取外侧为正向；解：(1)Σ：z =Σ在xOy 面上的投影区域D xy 为：x 2+y 2≤R 2．((()()()()()()22222π422002π2222222002π2200354*******d d d d d cos sin d 1sin 2d 81d d 1cos421612422π1635xyD RR R xy z x y x y x yr r rR R r r R R R R r R R R r R r ∑θθθθθθθ=-=-=-⎡⎤+--⎣⎦⎡=---⎣=-⋅-+--⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰()72220772π105RR r R ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦=(2)Σ如图11-8所示，Σ在xOy 面的投影为一段弧，图11-8故d d 0z x y ∑=⎰⎰，Σ在yOz 面上的投影D yz ={(y ,z )|0≤y ≤1，0≤z ≤3}，此时Σ可表示为：x =(y ,z )∈D yz，故30d d d d 3yzD x y z y z z y y∑===⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰Σ在xOz 面上的投影为D xz ={(x ,z )|0≤x ≤1，0≤z ≤3}，此时Σ可表示为： y =(x ,z )∈D xz，故3d d d d 3xzD y z x z x z x x∑===⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰因此：d d d d d d 236π643π2z x y x y z y z x x x∑++⎡⎤=⎢⎥⎣⎦==⋅=⎰⎰⎰⎰(3)Σ如图11-9所示，平面x -y +z =1上侧的法向量为 n ={1,-1,1}，n 的方向余弦为cos α=，cos β=cos γ=图11-9由两类曲面积分之间的联系可得：()()()()()()()()()d d 2d d d d ,,,,,,cos d (2)cos d ()d d cos cos d d (2)d d ()d d cos cos (2)()d d d d 1d d xyD f x y z f y z x f z x y x y z x y z x y z s f y s f z x yf x x y f y x y f z x y f x f y f z x y f x x yx y z x yx y x y ∑∑∑∑∑αβαβγγ+++++⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦=+++++=+++++=-+++⎡⎤+⎣⎦=-+=+-⎡⎤--⎣⎦⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰d d 111212xyD x y==⨯⨯=⎰⎰⎰⎰(4)如图11-10所示：图11-10Σ=Σ1+Σ2+Σ3+Σ4．其方程分别为Σ1：z =0，Σ2：x =0，Σ3：y =0，Σ4：x +y +z =1， 故()()12344110d d 000d d d d 11d d 124xyD xxz x yxz x yx x yx y x x y x y ∑∑∑∑∑∑-=+++=+++=--==--⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰由积分变元的轮换对称性可知．1d d dzd 24xy y z yz x ∑∑==⎰⎰⎰⎰ 因此．d d dyd d d 113248xz x y xy z yz z x ∑++=⨯=⎰⎰(5)记Σ所围成的立体为Ω，由高斯公式有：()()()()()()d d d d d d d d d 0d d d 0y z z x x yy z x y z x y z x y z x x y z x y z x y z ∑ΩΩ++---∂∂⎛⎫--∂-=++ ⎪∂∂∂⎝⎭==⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰(6)记Σ所围的立方体为Ω， P =y (x -z )，Q =x 2，R =y 2+xz ． 由高斯公式有()()()()()220200204d d d d d d d d d d d d d d d d d d 2d 2a aaaaaaay y z x z x x yy xz x z P Q R x y z x y z x y zx y x y z x y x a yx y y a x xy a a x ax a ∑ΩΩ+++-∂∂∂⎛⎫++= ⎪∂∂∂⎝⎭=+=+=+⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰5．求下列齐次方程的通解：(1)0xy y'-=;解：d d y y x x =令 d d d d y y u u u x x x x=⇒=+ 原方程变为d xx=两端积分得ln(ln ln u x c =+u cxy cx x +==即通解为：2y cx =d (2)ln d y yxy x x =; 解：d ln d y y y x x x= 令y u x =， 则d d d d y uu x x x=+原方程变为d d (ln 1)u xu u x=-积分得 ln(ln 1)ln ln u x c -=+ln 1ln 1u cxycx x-=-= 即方程通解为 1ecx y x +=22(3)()d d 0x y x xy x +-=解：2221d d y y x y x y x xyx⎛⎫+ ⎪+⎝⎭==令y u x =， 则d d d d y uu x x x=+原方程变为 2d 1d u u u x x u++= 即 d 1d ,d d u x xu u x u x == 积分得211ln ln 2u x c =+ 2122ln 2ln y x c x=+故方程通解为 22221ln()()y x cx c c ==332(4)()d 3d 0x y x xy y +-=; 解： 333221d d 33y y x y x x xy y x ⎛⎫+ ⎪+⎝⎭==⎛⎫ ⎪⎝⎭令y u x =, 则d d d d y uu x x x=+原方程变为 32d 1d 3u u u x x u ++= 即 233d d 12u x u u x=- 积分得 311ln(21)ln ln 2u x c --=+ 以yx代替u ，并整理得方程通解为 332y x cx -=. d (5)d y x y x x y+=-; 解：1d d 1yy x yx x +=- 令y u x =， 则d d d d y uu x x x=+原方程变为 d 1d 1u uu x x u++=- 分离变量,得211d d 1u u x u x-=+ 积分得 211arctan ln(1)ln ln 2u u x c -+=+ 以y x 代替u ，并整理得方程通解为到 2arctan 22211e .()yxx y c c c +==(6)y '=解：d d y yx=即d d x x y y =令x v y =， 则d d ,d d x v x yv v y y y ==+, 原方程可变为d d vv yv y+=+即d d vyy=分离变量，得d y y= 积分得ln(ln ln v y c +=-.即y v c+=2222121y v v c y yv c c⎛⎫=+- ⎪⎝⎭-= 以yv x =代入上式，得 222c y c x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭即方程通解为 222y cx c =+.6．从下列各题中的曲线族里，找出满足所给的初始条件的曲线：220(1),5;x x y C y =-==解：当0x =时，y =5.故C =-25 故所求曲线为：2225y x -=21200(2)()e ,0, 1.x x x y C C x y y =='=+==解： 2212(22)e x y C C C x '=++ 当x =0时，y =0故有10C =. 又当x =0时，1y '=.故有21C =. 故所求曲线为：2e xy x =.7．利用斯托克斯公式，计算下列曲线积分： (1)d d d y x z y x z Γ++⎰，其中Γ为圆周x 2+y 2+z 2= a 2，x +y +z = 0，若从x 轴的正向看去，这圆周是取逆时针的方向；(2)()()()222222d d d x y z y z x y z x Γ++---⎰，其中Γ是用平面32x y z ++=截立方体：0≤x ≤1，0≤y ≤1，0≤z ≤1的表面所得的截痕，若从Ox 轴的正向看去，取逆时针方向； (3)23d d d y x xz y yz z Γ++⎰，其中Γ是圆周x 2+y 2 = 2z ，z =2，若从z 轴正向看去，这圆周是取逆时针方向； (4)22d 3d d +-⎰y x x y z z Γ，其中Γ是圆周x 2+y 2+z 2 = 9，z =0，若从z 轴正向看去，这圆周是取逆时针方向．解：(1)取Σ为平面x +y +z =0被Γ所围成部分的上侧，Σ的面积为πa 2（大圆面积），Σ的单位法向量为{}cos ,cos ,cos n αβγ==． 由斯托克斯公式22d d d cos cos cos d d πy x z y x zR Q Q P P R s y z x y z x ss a a Γ∑∑∑αβγ++⎡∂∂∂∂⎤⎛⎫⎛⎫∂∂⎛⎫--=++- ⎪⎢⎥ ⎪ ⎪∂∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦====⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ (2)记为Σ为平面32x y z ++=被Γ所围成部分的上侧，可求得Σ（是一个边长为2的正六边形）； Σ的单位法向量为{}cos ,cos ,cos αβγ==n ． 由斯托克斯公式()()()(((()222222d d d2222d22d3d232492x y zy z x yz xy z x y sz xsx y zsΓ∑∑∑++---⎡++----=--⎢⎣=++==⋅=-⎰⎰⎰⎰⎰(3)取Σ：z=2，D xy：x2+y2≤4的上侧，由斯托克斯公式得：()()()2223d d dd d0d d d d3d d35d d5π220π-+=++--+=-+=-=-⨯⨯=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰xyDy x xz y yz zy z z x x yzz xx yzx yΓ∑∑(4)圆周x2+y2+z2=9，z=0实际就是xOy面上的圆x2+y2=9，z=0，取Σ：z=0，D xy：x2+y2≤9由斯托克斯公式得：()()()222d3d dd d d d d d000032d dd dπ39π+-=++---===⋅=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰xyDy x x y z zy z z x x yx yx yΓ∑∑8．设均匀薄片（面密度为常数1）所占闭区域D如下，求指定的转动惯量：(1)D:22221x ya b+≤，求I y;(2)D由抛物线292y x=与直线x=2所围成，求I x和I y；(3)D为矩形闭区域：0≤x≤a, 0≤y≤b,求I x和I y.解：（1）令x=arcosθ ,y=br sinθ,则在此变换下D ：22221x y a b+≤变化为D '：r ≤1,即 0≤r ≤1, 0≤θ≤2π, 且(,)(,)x y abr r θ∂=∂, 所以2π12222323032π30d d cos d d cos d d 1(1cos 2)d π.84y DD I x x y a r abr r a b r ra b a b θθθθθθ'====+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰(2) 闭区域D 如图10-35所示图10-353222220005222220272d d 2d d d ;3596d d 2d d .7x Dy DI y x y x y y x x I x x y x x y x x ========⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰(3)32220d d d d d ,3a bbx Dab I y x y x y y a y y ====⎰⎰⎰⎰⎰322200d d d d d .3abay Da bI x x y x x y bx x ====⎰⎰⎰⎰⎰9．求锥面z被柱面z 2 = 2x 所割下部分的曲面面积。
2019最新高等数学(上册)期末考试试题(含答案)ALH
2019最新高等数学期末考试试题（含答案）一、解答题1．设()()()f a f c f b ==，且a c b <<,()f x ''在[a ，b ]内存在，证明：在（a ，b ）内至少有一点ξ，使()0f ξ''=.证明：()f x ''在[a ，b ]内存在，故()f x 在[a ，b ]上连续，在（a ，b ）内可导，且()()()f a f c f b ==，故由罗尔定理知，1(,)a c ξ∃∈，使得1()0f ξ'=，2(,)c b ξ∃∈，使得2()0f ξ'=，又()f x '在12[,]ξξ上连续，在12(,)ξξ内可导，由罗尔定理知，12(,)ξξξ∃∈，使()0f ξ''=，即在（a ，b ）内至少有一点ξ，使()0f ξ''=.2．将下列函数f (x )展开为傅里叶级数：(1)()()πππ42x f x x =--<<(2)()()sin 02πf x xx =≤≤ 解：(1) ()ππ0-ππ11ππcos d d ππ422x a f x nx x x -⎛⎫==-= ⎪⎝⎭⎰⎰ []()ππππ-π-πππ1π11cos d cos d x cos d π4242π1sin 001,2,4n x a nx x nx x nx x nx n n--⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭=-==⎰⎰⎰ ()ππππ-π-π1π11sin d sin d xsin d π4242π11n n x b nx x nx x nx x n-⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭=-⋅⎰⎰⎰故()()1πsin 14n n nx f x n∞==+-∑ (-π<x <π) (2)所给函数拓广为周期函数时处处连续， 因此其傅里叶级数在[0,2π]上收敛于f (x )，注意到f (x )为偶函数，有b n =0,()ππ0πππ011cos0d sin d ππ24sin d ππa f x x x x x x x --====⎰⎰⎰()()()()()()ππ0ππ02222cos d sin cos d ππ1sin 1sin 1d π211π10,1,3,5,4,2,4,6,π1n n a f x nx x x nx x n x n x x n n n n -===+--⎡⎤⎣⎦-⎡⎤=+-⎣⎦-=⎧⎪-=⎨=⎪-⎩⎰⎰⎰所以 ()()2124cos2ππ41n nx f x n ∞=-=+-∑ (0≤x ≤2π)3． 有一等腰梯形闸门，它的两条底边各长10m 和6m ，高为20m ，较长的底边与水面相齐，计算闸门的一侧所受的水压力．解：如图20，建立坐标系，直线AB 的方程为y =-x 10+5． 压力元素为 d F =x ·2y d x =2x ⎝⎛⎭⎫-x 10+5d x 所求压力为F =⎠⎛0202x ⎝⎛⎭⎫-x 10+5d x =⎣⎡⎦⎤5x 2-115x 3200 =1467(吨) =14388(KN)4．把长为10m ，宽为6m ，高为5m 的储水池内盛满的水全部抽出，需做多少功？解：如图19，区间[x ，x +d x ]上的一个薄层水，有微体积d V =10·6·dx(19)设水的比重为1，，则将这薄水层吸出池面所作的微功为d w =x ·60g d x =60gx d x ．于是将水全部抽出所作功为w =⎠⎛0560gx d x（20）。