求异面直线距离
求异面直线距离的常用方法
求异面直线距离的常用方法
1、辅助平面法
（1）线面垂直法，用于两条异面直线互相垂直情况。
若已知两条异面直线互相垂直，那么可以寻找一个辅助平面，使它过其中一条直线且垂直于另一条直线，在辅助平面上，过垂足引前一条直线的垂线，就得到这两条异面直线的公垂线，并求其长度。
（2）线面平行法，用于一般情况。
其用法为：过其中一条直线作与另一条直线平行的平面，这样可把求异面直线间的距离转化为求点到面的距离
（3）面面平行法，求两异面直线的距离，除了上面（2）介绍的转化为线面的距离外，还可以转化为面面的距离，即作两平行的辅助平面，分别过其中的一条，两平行平面间的距离就为此两异面直线的距离。
2、等积法
在一般情况下，求异面直线间的距离可转化为
（1）一异面直线与过另一异面直线且平行于第一条异面直线的平面之间的距离。
（2）分别过两异面直线的两个平行平面之间的距离。
上述两种距离总是通过直线上（或平面上）一点到另一平面之间的距离求出，除直接求出外，一般都要通过等面积计算再求高的办法来求得的。
异面直线间的距离（高中全部8种方法详细例题）
异面直线间的距离求异面直线之间距离的常用策略：求异面直线之间的距离是立体几何重、难点之一。
常有利用图形性质，直接找出该公垂线，然后求解；或者通过空间图形性质，将异面直线距离转化为直线与其平行平面间的距离，或转化为分别过两异面直线的平行平面间的距离，或转为求一元二次函数的最值问题，或用等体积变换的方法来解。
常用方法有：1、 定义法2、 垂直平面法（转化为线面距）3、 转化为面面距4、 代数求极值法5、 公式法6、 射影法7、 向量法8、 等积法1 定义法就是先作出这两条异面直线的公垂线，然后求出公垂线的长，即异面直线之间的距离。
例1 已知：边长a 为的两个正方形ABCD 和CDEF 成1200的二面角，求异面直线CD 与AE 间的距离。
思路分析：由四边形ABCD 和CDEF 是正方形，得 CD ⊥AD ，CD ⊥DE ，即CD ⊥平面ADE ，过D 作DH ⊥AE 于H ，可得DH ⊥AE ，DH ⊥CD ，所以DH 是异面直线AE 、CD 的公垂线。
在⊿ADE 中，∠ADE=1200，AD=DE=a ，DH=2a。
即异面直线CD 与AE 间的距离为2a 。
2 垂直平面法：转化为线面距离，若a 、b 是两条异面直线，过b 上一点A 作a 的平行线a /，记a /与b 确定的平面α。
从而，异面直线a 、b 间的距离等于线面a 、α间的距离。
例1 如图，BF 、AE 两条异面直线分别在直二面角P-AB-Q 的两个面内，和棱分别成α、β角，又它们和棱的交点间的距离为d ，求两条异面直线BF 、AE 间的距离。
思路分析：BF 、AE 两条异面直线分别在直二面角P-AB-Q 的两个面内，∠EAB=EAB=αα，∠FAB=FAB=ββ，AB=d ，在平面Q 内，过B 作BH BH‖‖AE ，将异面直线BF 、AE 间的距离转化为AE 与平面BCD 间的距离，即为A 到平面BCD 间的距离，又因二面角P-AB-Q 是直二面角，过A 作AC ⊥AB 交BF 于C ，即AC ⊥平面ABD ，过A 作AD ⊥BD 交于D ，连结CD 。
异面直线的距离
存在性： 直线AB就是异面 直线a,b的公垂线
唯一性：
β
A’
a
A
Q
c
B
a’
M α
P B’ b
假如还有直线A’B’也是a,b的公垂线，则
A’B’⊥a A’B’⊥b a’//a A’B’⊥a’ 所以 A’B’⊥平面α 又AB ⊥平面α AB//A’B’ 则 a,b共面 矛盾！
定理二：两条异面直线的公垂线段长是分别连
结两条异面直线上两点的线段中最短的一条。
练习：证明定理二
A
Ca
B Db
两条异面直线的公垂线段的长度，叫做 两条异面直线的距离
例1：课本P50 例2
Ea
A’
m
d
l
a’
A
n F
θ b
d l 2 m2 n2 2mncos
求异面直线的距离的常用方法：
（1） 找出（或作出）公垂线，计算公垂线段的长度。
a
（2） 转化为求线面间的距离。
a//平面α b
α
b
（3） 转化为求平行平面间的距离。
a//平面β , b//平面α
a b
a α
β
b
（2），（3）可进一步转化为点到平面的距离。
（4）用模型公式 d l 2 m2 n2 2mncos
（5）向量方法：先求两异面直线的公共法向量，再求两 异面直线上两点的连结线段在公共法向量上的射影长
D1 C1
A1
B1
D O
A
P
C
Q B
例4：
已知二面角α -l-β且AB⊥l,CD⊥l，AB=CD=a, AC=2a,
求（1）BD的长；
（2）BD和AC所成角的余弦值；
向量法求异面直线距离
向量法求异面直线距离异面直线的距离可以用向量法计算。
具体步骤如下：1. 以一条直线为基准，设其上有一点Q，再设另一条直线上一点P，连接PQ。
2. 计算PQ向量的模长，即为所求异面直线的距离。
PQ向量可以用以下公式计算：PQ = QP1 - QP2其中QP1和QP2分别为点Q到两条直线的向量。
向量的计算公式为：QP1 = PQ1 = (x1, y1, z1) - QQP2 = PQ2 = (x2, y2, z2) - Q其中Q为第一条直线上任意一点，(x1, y1, z1)和(x2, y2, z2)分别为第一条直线和第二条直线上与点Q最近的点的坐标。
将向量QP1和QP2带入PQ向量公式，即可得到异面直线的距离。
示例：设有两条直线L1和L2，分别由以下点确定：L1：A(1, 2, 3)、B(4, 5, 6)L2：C(7, 8, 9)、D(10, 11, 12)求L1和L2的距离。
首先，取L1上一点Q为A，计算向量QP1：QP1 = (x1, y1, z1) - Q = (4, 5, 6) - (1, 2, 3) = (3, 3, 3)再计算向量QP2：QP2 = (x2, y2, z2) - Q = (10, 11, 12) - (1, 2, 3) = (9, 9, 9)将向量QP1和QP2代入PQ向量公式，即可得到异面直线的距离：PQ = QP1 - QP2 = (3, 3, 3) - (9, 9, 9) = (-6, -6, -6)|PQ| = √((-6)² + (-6)² + (-6)²) = √(108) ≈ 10.39因此，L1和L2的距离约为10.39。
高中数学：求异面直线的距离的若干方法
高中数学：求异面直线的距离的若干方法在解某些求异面直线距离的问题时，可从不同的角度对题目进行分析研究，从而得到若干不同的解法，再从中选出某些巧妙的解法，即可简便快捷的将题目解出。
已知正方体ABCD的棱长为1，求异面直线与AC的距离。
一、直接利用定义求解如图1，取AD中点M，连、MB分别交、AC 于E、F，连，由平面几何知识，易证，，，则。
由，得⊥平面，则，同理AC⊥，所以，EF⊥，EF⊥AC，即EF为异面直线与AC的距离，故有EF=。
此法的关键是作出异面直线的公垂线段。
二、转化为线面距离求解如图2，连、，则AC∥平面。
设AC、BD 交于O，、交于，连，作OE⊥于E，由⊥平面知，故OE⊥平面。
所以OE为异面直线与AC的距离。
在△中，，则。
所以异面直线与AC的距离为。
此法是将线线距离问题转化为线面距离问题来解，合理、恰当地转化是解决问题的关键。
三、转化为面面距离求解如图3，连、、、、，易知平面，则异面直线与AC的距离就是平面与平面的距离，易证⊥、⊥平面，且被平面和平面三等分，又。
所以异面直线与AC的距离为。
此法是将线线距离问题转化为面面距离问题来解，巧妙的转化常能收到事半功倍的奇特效果。
四、构造函数求解如图4，在上任取一点E，作EM⊥AD于M，再作MF⊥AC于F，连EF，则∠EMF=。
设MD=，则ME=，AM，在中，∠FAM=，则所以，当且仅当时，EF取最小值。
所以异面直线与AC的距离为。
选取恰当的自变量构造函数，即可利用函数的最小值求得异面直线间的距离。
五、利用体积变换求解如图5，连、、，则∥平面，设异面直线与AC的距离为，则D到平面的距离也为。
易知，。
由，得。
所以，则。
所以异面直线与AC的距离为。
此法是将异面直线的距离转化为锥体的高，然后利用体积公式求之。
六、利用向量求解如图6，AB为异面直线、的公垂线段，为直线AB 的方向向量，E、F分别为直线、上的任意一点，则。
证明：显然=，，。
所以，所以，所以，即，所以。
异面直线间的距离(全部方法详细例题)e
异面直线间的距离求异面直线之间的距离是立体几何重、难点之一。
常有利用图形性质，直接找出该公垂线，然后求解；或者通过空间图形性质，将异面直线距离转化为直线与其平行平面间的距离，或转化为分别过两异面直线的平行平面间的距离，或转为求一元二次函数的最值问题，或用等体积变换的方法来解。
常用方法有： 1、 定义法2、 垂直平面法〔转化为线面距〕3、 转化为面面距4、 代数求极值法5、 公式法6、 射影法7、 向量法8、 等积法1 定义法 就是先作出这两条异面直线的公垂线，然后求出公垂线的长，即异面直线之间的距离。
例1 ：边长a 为的两个正方形ABCD 和CDEF 成1200的二面角，求异面直线CD 与AE 间的距离。
思路分析：由四边形ABCD 和CDEF 是正方形，得CD ⊥AD ，CD ⊥DE ，即CD ⊥平面ADE ，过D 作DH ⊥AE 于H ，可得DH ⊥AE ，DH ⊥CD ，所以DH 是异面直线AE 、CD 的公垂线。
在⊿ADE 中，∠ADE=1200，AD=DE=a ，DH=2a 。
即异面直线CD 与AE 间的距离为2a 。
2 垂直平面法：转化为线面距离，假设a 、b 是两条异面直线，过b 上一点A 作a 的平行线a /，记a /与b 确定的平面α。
从而，异面直线a 、b 间的距离等于线面a 、α间的距离。
例1 如图，BF 、AE 两条异面直线分别在直二面角P-AB-Q 的两个面内，和棱分别成α、β角，又它们和棱的交点间的距离为d ，求两条异面直线BF 、AE 间的距离。
思路分析：BF 、AE 两条异面直线分别在直二面角P-AB-Q 的两个面内，∠EAB=α，∠FAB=β，AB=d ，在平面Q 内，过B 作BH ‖AE ，将异面直线BF 、AE 间的距离转化为AE 与平面BCD 间的距离，即为A 到平面BCD 间的距离，又因二面角P-AB-Q 是直二面角，过A 作AC ⊥AB 交BF 于C ，即AC ⊥平面ABD ，过A 作AD ⊥BD 交于D ，连结CD 。
向量法求异面直线的距离公式
向量法求异面直线的距离公式
异面直线之间的距离公式可以通过向量法来求解。
假设有两条异面直线，它们的方向向量分别为a和a，直线上的一点分别为a和a。
则异面直线的距离可以通过以下步骤来计算：
1.首先，我们计算两条直线上的一点，记为aa和aa，它们为两条直线的最近点。
2.然后，我们计算直线上的向量，记为a=aa−aa，它表示从一条直线上的点到另一条直线上的点的向量。
3.最后，我们计算异面直线的距离，记为a，它等于向量a在两条直线的法向量上的投影长度。
根据以上步骤，异面直线的距离公式可以表示为：
a=|a⋅(a×a)|/|a×a|
其中，⋅表示向量的内积，×表示向量的叉积，|a⋅(a×a)|表示向量a在向量(a×a)上的投影长度，|a×a|表示向量(a×a)的模长。
需要注意的是，如果向量a和a不垂直，则上述公式给出的结果为两条直线之间的最短距离。
如果向量a和a垂直，则它们之间的夹角为a/2，此时两条直线之间的距离为0。
这就是使用向量法求解异面直线的距离公式。
通过计算两条直线之间的最短距离，我们可以更好地理解两条异面直线之间的关系。
求异面直线的距离的若干方法
求异面直线的距离的若干方法本文将通过一道例题的多种解法向大家介绍求异面直线的距离的若干方法，希望对同学们的学习能够有所帮助。
例1 已知正方体ABCD 1111A B C D -的棱长为1，求异面直线1A D 与AC 的距离。
一、直接利用定义求解如图1，取AD 中点M ，连1MD 、MB 分别交1A D 、AC 于E 、F ，连1BD ，由平面几何知识，易证1ME MD =，13MF MB =，1MD MB =，则1BD EF 。
由11A D AD =，1A D AB ⊥得1A D ⊥平面1ABD ，则11A D BD ⊥，同理AC ⊥1BD ，所以，EF ⊥1A D ，EF ⊥AC ，即EF 为异面直线与AC 的距离，故有EF=1133BD =。
评注：此法的关键是作出异面直线的公垂线段。
二、转化为线面距离求解如图2，连11A C 、1C D ，则AC ∥平面11AC D 。
设AC 、BD 交于O ，11A C 、11B D 交于1O ，连1O D ，作OE ⊥1O D 于E ，由11A C ⊥平面11BB D D 知11A C OE ⊥，故OE ⊥平面11AC D 。
所以OE 为异面直线1A D 与AC 的距离。
在△中，，则。
所以异面直线与AC 的距离为。
三、转化为面面距离求解如图3，连1AB 、1CB 、11A C 、1DC 、1BD ，易知平面11//A C D 平面ACB ，则异面直线1A D 与AC 的距离就是平面11//A C D 与平面1ACB 的距离，易证1BD ⊥平面1ACB 、1BD ⊥平面11AC D ，且1BD 被平面1ACB 和平面11AC D 三等分，又1BD。
所以异面直线1A D 与AC的距离为3。
四、构造函数求解如图4，在1A D 上任取一点E ，作EM ⊥AD 于M ，再作MF ⊥AC 于F ，连EF ，则∠EMF=。
设MD=，则ME=，AM，在中，∠FAM=，则)MF x =-所以EF ==3=，当且仅当13x =时，EF所以异面直线1A D 与AC的距离为3。
异面直线距离的求法
异面直线距离的求法“哎呀，这异面直线距离可真是个让人头疼的问题啊！”异面直线距离的求法呢，主要有这么几种常见的方法。
一种是直接法，就是找出或作出异面直线的公垂线段，然后计算其长度。
比如说，在一个正方体中，面对角线和体对角线就是异面直线，我们可以通过一些几何关系找到它们的公垂线段。
再比如，看这个例子，有一个三棱锥，其中两条异面直线，我们可以通过仔细观察和分析，找到与这两条异面直线都垂直的线段，这就是公垂线段啦，然后利用一些已知条件去算出它的长度。
还有定义法，根据异面直线距离的定义，转化成求两平行平面之间的距离。
就好像有两个平行的平面，异面直线分别在这两个平面上，那这两个平面之间的距离就是异面直线的距离。
另外，还有一种叫转化法。
可以把异面直线的距离问题转化为线面距离或面面距离问题来求解。
比如把异面直线中的一条放到一个平面内，另一条直线和这个平面平行，那就把求异面直线距离转化成了求线面距离。
向量法也是常用的。
通过建立空间直角坐标系，利用向量的方法来求异面直线的距离。
这个方法对于一些复杂的图形很有效。
总之呢，求异面直线距离的方法要根据具体的题目情况来选择，灵活运用这些方法，多做一些题目，就能更好地掌握啦。
“嘿，小王啊，你看这个图形，用哪种方法求异面直线距离比较好呢？”“我觉得可以用直接法先试试。
”“对，先观察一下，看看能不能找到公垂线段。
”在实际解题过程中，一定要认真分析图形的特点和条件，选择最合适的方法来求解异面直线距离，这样才能又快又准确地得出答案。
就像上次给学生们讲的那道题，乍一看好像挺复杂，但仔细分析后，发现用定义法就能很轻松地解决。
所以啊，遇到问题不要慌，静下心来好好分析，肯定能找到解决办法的。
希望这些解释能让你对异面直线距离的求法有更清楚的认识和理解，以后遇到这类问题就不会再犯难啦！。
异面直线的距离公式推导过程
异面直线的距离公式推导过程是根据向量积的值等于一向量在另一向量上的投影值来确定的。
在异面直线上各取两点,则此两点构成两个向量,则其有一条直线垂直且穿过此两条直线,其向量与两条直线向量的向量积为零,因而可求得此重直向量的值。
然后根据两直线两点间的连线所构成向量与垂线向量的向量积除以模就是异面空间距离公式。
两异面直线的距离公式是d=【AB*n】/【n】（AB表示异面直线任意2点的连线，n表示法向量）。
异面直线的距离，确定和计算两条异面直线间的距离,关键在于实现两个转化：一是转化为一条异面直线和另一条异面直线所在而与它平行的平面之间的距离。
二是转化为两条异面直线分别所在的两个平行平面之间的距离。
用于两条异面直线互相垂直情况，若已知两条异面直线互相垂直，可以寻找一个辅助平面，使它过其中一条直线且垂直于另一条直线，在辅助平面上，过垂足引前一条直线的垂线，就得到这两条异面直线的公垂线，并求其长度。
距离：异面直线的距离：l1、l2为异面直线，l1，l2公垂直线的方向向量为n、C、D 为l1、l2上任意一点，l1到l2的距离为|AB|=|CD*n|/|n|。
点到平面的距离：设PA为平面的一条斜线，O是P点在a内的射影，PA和a 所成的角为b，n为a的法向量。
|PO|=|PA|sinb=|PA|*|cos|=|PA|*(|PA*n|/|PA||n|)=|PA*n|/|PA|。
直线到平面的距离为在直线上一点到平面的距离。
点到直线的距离：A∈l,O是P点在l上的射影，PA和l所成的角为b，s为l 的方向向量。
异面直线是既不相交，又不平行的直线。
因为两条直线如果相交或平行，则它们必在同一平面上。
若无特别的说明，所说的空间直线，都是指异面直线。
[1] 不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线。
空间两条直线的位置关系有三种，即相交和平行，这两种情况的两条直线在同一平面内。
另外一种情况就是不相交也不平行称为异面直线。
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1
★求异面直线距离
⒈公垂线法：找出或作出两异面直线的公垂线，再计算公垂线段
的长度。
⒉向量法：设1l ，2l 是两条异面直线，n 是
1l ，2l 的公垂线段AB 的方向向量，C ，D 分
别是1l ，2l 上的任意一点，则||||n n CD AB =;
★点面距离的求法：线面距离→点面距离←面面距离
⒈直接作垂线法：即直接由点作垂线，求垂线段的长。
这种方法通常要考虑垂足的位置。
找垂足的位置时可以利用以下结论：
①两个平面垂直的性质定理：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直与另一个平面。
②如果一个角所在平面外一点到这个角两边的距离相等，那么这个点在平面内的射影在这个角的平分线上。
③如果一个三棱锥的一个顶点到底面三条边的距离相等，那么它的顶点在底面上的射影是底面三角形内切圆的圆心。
④如果一个三棱锥的三条侧棱相等，那么其顶点在底面上的射影是底面三角形的外心。
⑤如果一个三棱锥的三对对棱都异面垂直，那么它的顶点在底面上的射影是底面三角形的垂心。
⒉分点转化法：
如果平面的一条斜线段被这个平面平分，那么由全等三角形知识可知，这条斜线段的两个端点到这个平面的距离相等。
（推广）如果平面的一条斜线段上各分点到斜足的距离对应成比例，那么由相似可知，这些分点到该平面的距离也对应成比例。
利用这个结论可以快速地将点面距离转化为求斜线上的另一个分点到这个平面的距离。
⒊转化为求平面的平行直线与平面之间的距离
⒋体积法：※
利用三棱锥的体积公式求点到平面的距离，大致分为以下几步：
①把点到平面的距离看作一个三棱锥的高； ②求与此高对应的底面的面积； ③转换顶点或用割补法求此三棱锥的体积；
④利用三棱锥体积的自等性，列出方程求高；
⒌转化为两平行平面之间的距离
⒍向量法※
设n 是平面α的法向量，AB 是平面α的一条斜
线，则点B 到平面α的距离为||n d =
1.已知正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为1.求异面直线DA1与AC的距离．2．在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，G为AA1的中点，则直线BD与平面GB1D1的距离为()
A.
3
3 B.
26
3 C.
6
3 D.
23
3
3.如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，O是底面A1B1C1D1的中心，则点O到平面ABC1D1的距离为()
A.1
2 B.
2
4 C.
2
2 D.
3
2
4.如图，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，所有棱长均为1，则点B1到平面ABC1的距离为________．
5．在正三棱柱ABC－A1B1C1中，若AB＝2，AA1＝1，则点A到平面A1BC的距离为
()
A.
3
4 B.
3
2 C.
33
4 D. 3
6.已知正三棱柱ABC－A1B1C1的底面边长为a，侧棱长为a，求AC1与侧面ABB1A1所成的角．
7.如图所示，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，底面
边长为a，侧棱长为
2
2a，D是棱A1C1的中
(1)求证：BC1∥平面AB1D；
(2)求二面角A1－AB1－D的大小；
(3)求点C1到平面AB1D的距离．
8.在如图所示的几何体中，四边形ABCD为平行四边形，∠ACB=90 ，ＥＡ⊥平面ＡＢＣＤ，EF∥ＡＢ，ＦＧ∥ＢＣ，ＥＧ∥ＡＣ.ＡＢ=２ＥＦ. （Ⅰ)若Ｍ是线段ＡＤ上的中点，求证：ＧＭ∥平面ＡＢＦＥ;
（Ⅱ）若ＡＣ＝ＢＣ=２ＡＥ,求平面角ＡＢＦＣ的大小．
2。