第五节 Nyquist稳定判据
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奈奎斯特稳定判据
这里需要解决两个问题：
1、如何构造一个能够包围整个s右半平面的封闭曲线，并且它是
满足柯西幅角条件的？
2、如何确定相应的映射F(s)对原点的包围次数N，并将它和开环 频率特性Gk(j)相联系？
第1个问题：先假设F(s)在虚轴上没有零、极点。按顺时针方向 做一条曲线CS包围整个s右半平面，这条封闭曲线称为奈奎斯特
奈奎斯特路径的第Ⅰ部分的映射是Gk(j)曲线向右移1； 第Ⅱ部分的映射，一般在Gk(s)中，分母阶数比分子阶数高， 所以当s=∞·ej 时， Gk(s)→0，即F(s)=1。若分母阶数=分子 阶数，则Gk(s)→K(零极点形式的开环增益)，即F(s)=1+K。
第Ⅲ部分的映射是第Ⅰ部分的映射关于实轴的对称。
(0，-j1)到(-1，-j0) ，相角的变化为：
F (s) F (s2 ) F (s1)
(s2 zi ) (s2 p j ) (s1 zi ) (s1 p j )
0 180 (45 135) 90
现考虑S平面上既不经过零点也不经过极点的一条封闭曲线CS 。 当变点s沿CS顺时针方向绕行一周，连续取值时，则在F(s)平面 上也映射出一条封闭曲线CF 。在S平面上，用阴影线表示的区域， 称为CS的内域。由于我们规定沿顺时针方向绕行，所以内域始终 处于行进方向的右侧。在F(s)平面上，由于CS映射而得到的封闭 曲线CF的形状及位置，严格地决定于CS 。
1
0.5
0
D
-0.5
E G A
-1
C
-1.5
ห้องสมุดไป่ตู้
-2 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2
同理，当围线CS的内域包含Z个零点时(但不包含极点)， CF应顺
chapter5-3+Nyquist稳定性判据及稳定裕度1[1]
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s为复变量，以s复平面上的s=δ+jω来表示。F(s)为复变函数， 以F (s)复平面上的F (s)= u+j v表示。点映射关系，如图1所示。 s平面与F(s)平面的曲线映射关系，如图2所示。
图1
点映射关系
图2 s平面与F(s)平面的映射关系
如果在s平面上任取一条封闭曲线Cs， 且要求Cs曲线满足：曲线Cs包围F(s) 的Z个零点和P个极点。s平面上的封 闭曲线Cs如图3所示。
Im
1 GH平面
2
2
， R 得第二部分的映射；令 从 0 ，
Im
GH平面
Re 01 1 G( j)H ( j)
1
1 G( j)H( j)
0
Re
G( j)H ( j)
Im
1 GH平面
Im
GH平面
01 1 G( j)H ( j)
Re
1
1 G( j)H( j)
度由
得第三部分的映射。 得到映射曲线后，就可由柯西幅角定理计算 R P Z ，式中： P, Z 是F(s)在s右半平面的零点数和极点数。确定了R，可求出 Z P R 。当 Z 0 时,系统稳定；否则不稳定。
第2个问题：辅助方程与开环频率特性的关系。我们所构造的辅 助方程为 F (s) 1 G(s)H s 因此，有以下结论是明显的：
结论： (s z1 ) 2 (s zk ) 0 (k 2,3)
(s p j ) 0 ( j 1, 2,3)
F (s) [(s z1 ) (s z2 ) (s z3 )] [(s p1 ) (s p2 ) (s p3 )]
顺时针围绕 (-1,j0)点的圈
图1
点映射关系
图2 s平面与F(s)平面的映射关系
如果在s平面上任取一条封闭曲线Cs， 且要求Cs曲线满足：曲线Cs包围F(s) 的Z个零点和P个极点。s平面上的封 闭曲线Cs如图3所示。
Im
1 GH平面
2
2
， R 得第二部分的映射；令 从 0 ，
Im
GH平面
Re 01 1 G( j)H ( j)
1
1 G( j)H( j)
0
Re
G( j)H ( j)
Im
1 GH平面
Im
GH平面
01 1 G( j)H ( j)
Re
1
1 G( j)H( j)
度由
得第三部分的映射。 得到映射曲线后，就可由柯西幅角定理计算 R P Z ，式中： P, Z 是F(s)在s右半平面的零点数和极点数。确定了R，可求出 Z P R 。当 Z 0 时,系统稳定；否则不稳定。
第2个问题：辅助方程与开环频率特性的关系。我们所构造的辅 助方程为 F (s) 1 G(s)H s 因此，有以下结论是明显的：
结论： (s z1 ) 2 (s zk ) 0 (k 2,3)
(s p j ) 0 ( j 1, 2,3)
F (s) [(s z1 ) (s z2 ) (s z3 )] [(s p1 ) (s p2 ) (s p3 )]
顺时针围绕 (-1,j0)点的圈
5-3 Nyquist稳定判据
由于G(s)H(s)曲线的对称性，因此可以用系统的开环频率 特性曲线G(j)H(j)对(-1,j0)的包围情况来判断。
设特性曲线G(j)H(j)对(-1,j0)的逆时针包围次数为N 则R=2N（注意补充积分环节Nyquist围线上小1/4圆的象） 也可用G(j)H(j)曲线对(-∞, -1)实轴段的穿越计算N
3
5.3.1 预备知识
1. 幅角原理
s：复变量; F(s)：复变量s的有理函数
对于s平面上一条不通过F(s)任何奇点的连续封闭曲 线Γ，在F(s)平面必存在一条封闭曲线ΓF与之对应j
F
F(s)平面
F (s )
F
映射关系
4
( s z1 )( s z2 ) 设 F ( s) ( s p1 )( s p2 )
终点
A() 0
() 270
20
与实轴交点
52(10 4 2 ) j52 (9 2 ) G( j ) (4 2 ) (5 2 ) 2 4 2
(9 2 ) 0 0, 3
52(10 4 2 ) G(3 j ) (4 2 ) (5 2 ) 2 4 2
5
Im[F(s)] [F(s)]
F
F(s)
s沿Γ顺时针运动一周时
(s z1 ) (s p1 ) 2
(s z2 ) (s p2 ) 0
即ΓF不包围F(s)平面上的原点
F ( s) 0
6
幅角原理：设s平面闭合曲线Γ包围F(s)的Z个零点和 P个极点，当s沿Γ顺时针运动一周时，在F(s)平面 上，对应的闭合曲线ΓF逆时针包围原点的圈数
《自动控制原理》第五章 第3讲
例3: 某系统G(jω)H(jω)轨迹如下，已知有2个开环 极点分布在s的右半平面，试判别系统的稳定性。 解：系统有2个开环极点分布在s的右半平面(P=2)， G(jω)H(jω)轨迹在点(-1, j0)以左的负实轴有2次正穿越， N+ − N− = 2 −1 1次负穿越，因为：N= ,= 1 求得：Z=P-2N=2-2=0 所以系统是稳定系统。 .
Im
Im
(－1，j0)
+
0
Re
(－1，j0)
_
0
Re
正穿越
负穿越
Im
G ( jω ) H ( jω )
＋
＋ － (−1, j 0)
ω= ∞ 0
Re
ω
N +＝2
N −＝1
若G(jω)H(jω)轨迹起始或终止于 (-1, j0)以左的 负轴上，则穿越次数为半次，且同样有+ 1/2 次穿越和 -1/2次穿越。
5-3 频域稳定判据
奈魁斯特稳定判据是用开环频率特性判 别闭环系统的稳定性。不仅能判断系统的绝 对稳定性，而且可根据相对稳定的概念，讨 论闭环系统的瞬态性能，指出改善系统性能 的途径。
一、奈氏判据的数学基础
R( s)
−
G (s) H (s)
C (s)
如图，n阶系统的开环传递函数为：
Gk ( s ) = G ( s ) H ( s )
Im
P=0
ω = 0+
Im
P =1
ω =0
+
ω= ∞
0
R
∞
Re
R
∞
−K
ω= ∞
0
Re
−1 −1 −1
N =0 不穿过(-1,j0)点，
5.4.4nyquist图稳定判据及其相对稳定性
第五章线性系统的频域分析法5.4 线性系统稳定性分析穿越穿越：开环Nyquist 曲线在(－1，j0)点以左穿过负实轴正穿越N +：开环Nyquist 曲线（随ω的增加）自上而下的穿越(－1，j0)点以左，相位增加负穿越N -：开环Nyquist 曲线（随ω的增加）自下而上的穿越(－1，j0)点以左，相位减小当G(j ω)H(j ω)起始或终止于负实轴时，穿越次数算1/2次Im Re 0(－1，j0)+Im Re 0ω=ω=∞(1,0)j -ω()()G j H j ωω0＋ImRe 0ω=ω=∞ω0_()()G j H j ωω(1,0)j -ImRe0(－1，j0)_稳定判据三（穿越判据）闭环系统稳定的充要条件当ω从0→+∞时,增补后的开环幅相频率特性曲线在(-1,j0)点左方正负穿越次数之差为P/2。
其中，P是开环传递函数正实部极点的个数。
即N+-N-=P/2ωωG j H j ()()-++ω0=∞ω=ω0ReIm-j (1,0)例: 某系统G(jω)H(jω)轨迹如下，已知有2个开环极点分布在s 的右半平面，试判别系统的稳定性。
N N +--=-=211P =2系统是稳定系统。
有缘学习更多＋谓ｙｇｄ３０７６考证资料或关注桃报：奉献教育（店铺）Nyquist 判据的几种表述和判断方法：2. 若系统开环稳定，则闭环稳定的充要条件是：增补完整的Nyquist 曲线逆时针包围(-1,j0)点的圈数为1. 因为P 是正实部开环极点个数，不能为负，所以，若增补完整的Nyquist 曲线只是顺时针包围(-1,j0)点，即N>0,则闭环系统一定不稳定！N=0有缘学习更多＋谓ｙｇｄ３０７６考证资料或关注桃报：奉献教育（店铺）。
5-4 奈奎斯特
G( j ) H ( j ) 与复变函数 F ( s) 1 G( s) H ( s) 位于S平面右半部的零、 极点数目联系起来的一种判据。奈氏判据是一种图解法，它依 据的是系统的开环频率特性。由于系统的开环特性可用解析法 或实验法获得，因此，应用奈氏判据分析系统的稳定性兼有方 便和实用的优点。奈氏判据还有助于建立相对稳定性的概念。
bm s m bm 1 s m 1 b1 s b0 G( s) H ( s) ( s p1 )( s p 2 ) ( s p n )
k ( s z1 )( s z 2 ) ( s z n ) ( s p1 )( s p 2 ) ( s p n )
6
前面我们已经指出， (s ) 的极点数等于开环传递函数 G(s) H (s) 的极点数，因 F 此当我们从 F (s ) 平面上确定了封闭曲线F 的旋转周数N以后，则在 S 平面上 封闭曲线s 包含的零点数Z（即系统的闭环极点数）便可简单地由下式计算出 来
Z=P-N
（5-109）
封闭曲线s和F 的形状是无关紧要的，因为它不影响上述结论。 关于幅角定理的数学证明请读者参考有关书籍，这里仅从几何图形上简单 说明。 设有辅助函数为
前面已经指出，辅助函数 F (s) 的极点等于系统的 开环极点， (s)的零点等于系统的闭环极点。因此，如 F 果奈氏轨迹中包围F (s)的零点数Z=0，系统是稳定的，
此时由F (s)映射到 F (s)平面上的封闭曲线F 逆时针绕 平面坐标原点的周数应为 N=P （5-114）( s) 2 ( P Z ) 2N N=P-Z
（5-112） （5-113）
Im
j
p1
0
F s
F (s1 )
bm s m bm 1 s m 1 b1 s b0 G( s) H ( s) ( s p1 )( s p 2 ) ( s p n )
k ( s z1 )( s z 2 ) ( s z n ) ( s p1 )( s p 2 ) ( s p n )
6
前面我们已经指出， (s ) 的极点数等于开环传递函数 G(s) H (s) 的极点数，因 F 此当我们从 F (s ) 平面上确定了封闭曲线F 的旋转周数N以后，则在 S 平面上 封闭曲线s 包含的零点数Z（即系统的闭环极点数）便可简单地由下式计算出 来
Z=P-N
（5-109）
封闭曲线s和F 的形状是无关紧要的，因为它不影响上述结论。 关于幅角定理的数学证明请读者参考有关书籍，这里仅从几何图形上简单 说明。 设有辅助函数为
前面已经指出，辅助函数 F (s) 的极点等于系统的 开环极点， (s)的零点等于系统的闭环极点。因此，如 F 果奈氏轨迹中包围F (s)的零点数Z=0，系统是稳定的，
此时由F (s)映射到 F (s)平面上的封闭曲线F 逆时针绕 平面坐标原点的周数应为 N=P （5-114）( s) 2 ( P Z ) 2N N=P-Z
（5-112） （5-113）
Im
j
p1
0
F s
F (s1 )
奈奎斯特稳定判据
幅角原理：如果封闭曲线内有Z个F(s)的零点， P个
F(s)的极点 ，则s 沿封闭曲线s 顺时针方向转一圈时，在
F(s)平面上，曲线F(s)绕其原点逆时针转过的圈数。
+
5. 4 . 3 奈氏判据
（1）0型系统
0
s为包围虚轴和整个右半平面。
s平面s 映射 F(s)
解：① 由开环传递函数知 P = 1 。 ② 作系统的开环对数频率特性曲线。
() = 90 + arctanT2 (180 arctanT1 )
270
arctan
(T1 1
T2 ) 2T1 T2
当() = 180时，g =(1/T1T2)1/2 ，A(g)=kT2
③ 稳定性判别。 G(s)H(s)有一个积分环节N =1 ，故
开环极坐标图如图
j
01
19
k(0.1s 1) Gk (s) s(s 1)
=0
Im
增补线
1 0.1k
Re 0
(3) 稳定性判别: 因为是1型系统，需作增补线如图
当 0.1k < 1 ，k > 10时， R =1/2，z = p 2R = 0
闭环系统是稳定的。
20
5.4.4 伯德图上的稳定性判据
Im
() 1
(+)
0
由图可知，幅相曲线 不 包 围 (1 ， j0) 点 。 此 结
Re 果也可以根据 增加时幅
相曲线自下向上(幅角减 小)和自上向下(幅角增加) 穿越实轴区间(，1)的 次数决定。
R = N N
自实轴区间（，1）开始向下的穿越称为半次正穿越，自实轴
区间（，1）开始向上的穿越为半次负穿越。
奈奎斯特稳定性判据-精华篇
GB s
零点 极点 相同
零点
极点
零点 相同
极点
2. 幅角定理
N=Z－P
Z---包围在 s内的F(S)零点 若N>0，逆时针包围原点N圈； 个数； 若N<0，顺时针包围原点N圈； P---包围在 s内的F(S)极点 若N=0，不包围原点； 个数。
3. [S]平面上的奈氏轨迹
s 内的PB=0. 若系统稳定，则：
i 1 n
系统特征方程的所有根（闭环极点）都具有负 实部（位于S平面的左半部）。
Im 不稳定
临界稳定
稳 定 区
Re
主要内容
一、系统稳定性的定义和条件 二、Nyquist（奈奎斯特）稳定判据的推导 三、结论与举例 四、小结
二、奈奎斯特稳定判据的推导
GB s GK j
1. 函数 F s 1 G s H s 与开环、闭环零、 极点的关系； 2. 辅角原理
奈奎斯特稳定性判据
主要内容
一、系统稳定性的定义和条件 二、Nyquist（奈奎斯特）稳定判据的推导 三、结论与举例 四、小结
一、什么是稳定系统？
所谓稳定性就是指扰动消失后，系统由初始 状态恢复到原来平衡状态的性能。
(a)
(b)
稳定系统
不稳定系统
稳定条件
时间响应： y t Ai e sit B t Re si 0
3. 奈奎斯特判据
1. 函数、开环闭环零极点的关系
闭环传递函数： G s B
开环传递函数：
1 G s H s
G s
GK s G s H s
特征方程： F s 1 G s H s
2第3、4、5、6节奈魁斯特稳定判据
系统闭环稳定
Monday, June 15, 2020
系统闭环不稳定 18
[例]系统开环传递函数：G(s)H s K s 1， s并2Ts 1
给出 T 和时T 的 开环极坐标图，判断闭环系统的稳定性。
[解]开环传递函数无正实部极点，P=0。
系统闭环稳定
Monday, June 15, 2020
奈奎斯特稳定判据的表述3： 闭环系统稳定的充要条件是，当 由 0 0时，开环奈 奎斯特图应当按逆时针方向包围点(-1,j0)P/2周，P是 开环传递函数正实部极点的个数。
Monday, June 15, 2020
11
● 开环稳定系统（P=0）的奈奎斯特稳定判据： 若开环稳定，闭环稳定的充要条件是，当 由 变化时，增补完整的开环频率特性极坐标图不包围点 (-1,j0)。
Monday, June 15, 2020
16
GsH起s始 于负实轴上，或终止于负实轴时，穿越次
数定义为1/2次。
若开环极坐标图在点(-1,j0)左方负穿越负实轴的次数 大于正穿越的次数，则闭环系统一定不稳定。
[例]如图所示系统开环极坐标图，系统开环传递函数有 2个正实部极点，闭环系统是否稳定？
Monday, June 15, 2020
在使用奈奎斯特稳定判据时，由 0 0简称为 由0 。
Monday, June 15, 2020
12
[例]开环传递函数为： G(s) ，k 用奈奎斯特
(T1s 1)(T2s 1)
稳定判据判断闭环系统的稳定性。
[解]：开环系统的奈 奎斯特图如右。在s 右半平面的极点数为 0，绕(-1,j0)点的圈 数P=0，故闭环系统 是稳定的。
20
正实部开环极点个数 P=1。由图中看出：
5.4.1nyquist图稳定判据及其相对稳定性
第五章线性系统的频域分析法5.4 线性系统稳定性分析对数幅相图——Nichols图纵坐标为20lg|G(jω)| ，单位为dB，线性分度。
横坐标为∠G(jω)，单位为度, 线性分度。
Nichols图的绘制过程：先绘制出Bode图，再由其绘制Nichols图。
多用于控制系统校正。
)1)(10(100)(++=s s s s G )1)(11.0(100)(++=s s s s G 例：已知系统开环传递函数为解:(1) 首先将系统开环传递函数写成典型环节串联的形式，即试绘制该系统的开环对数频率特性曲线。
5.4 Nyquist稳定判据和相对稳定性稳定判据：代数判据—Routh判据判断工程实用的图解法判据—Nyquist稳定性判据和Bode图稳定性判据判别系统的稳定性，实际上就是判别系统在S平面右半平面有否闭环极点。
幅角定理设F(S)是复变量S的单值连续解析函数（除S平面上的有限个奇点外）。
S平面上的某一封闭曲线D的内部包含了F(S)的P个极点和Z个零点（包含重根点），且曲线D不通过F(S)任何一个零点和极点。
当S按顺时针方向沿封闭曲线D连续的变化一周时，曲线F(S)在复平面上也按顺时针方向包围原点N=Z-P圈此处定义N为顺时针圈数，即顺时针圈数为正数，逆时针圈数为负数，总圈数为顺时针圈数与逆时针圈数的代数和。
由于系统闭环稳定性与S 平面右半平面中的闭环特征根的数量有关。
故如果选取a)s 平面封闭曲线D 为顺时针包含整个S 平面右半平面的曲线b)F(S)选为F(S)=1+G(s)H(s)()()11()B s F s G(s)H(s)A s =+=+F (s )的极点为开环系统的极点，F (s )的零点为闭环极点则有：有缘学习更多＋谓ｙｇｄ３０７６考证资料或关注桃报：奉献教育（店铺）假设S平面右半平面包含了F(S)的P个极点和Z个零点，即封闭曲线D包围了F(S)在S右半平面的P个极点和Z个零点根据幅角定理，系统稳定⇒F(S)在S右半平面的零点数Z=0⇒F(S)顺时针包围原点的次数满足N=Z-P=-P。
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幅角原理：设S平面上不通过F(S)任何零极点的某条封闭曲线Γ，它包围了F(S)在S 平面的Z个零点和P个极点。当S以顺时针方向沿封闭曲线Γ移动一周时，则在F平面上 对应于封闭曲线Γ的像ΓF 将以顺时针的方向围绕原点旋转R圈。R与Z、P的关系为：
R PZ
R＜0和R＞0分别表示ΓF顺时针包围和逆时针包围F(s)平面的原点，R＝0表示不包围 F(S)平面的原点。
图5-43 s平面上的 Nyquist轨迹
Nyquist轨迹Γ由两部分组成，一部分沿 虚轴由下而上移动，试验点s=jω在整个虚 轴上的移动，在F 平面上的映射就是曲线 F(jω) (ω由－∞→+∞)，如图5-44所示。
F(jω)=1+G(jω)H(jω) Nyquist轨迹Γ的另一部分为s平面上半径 为∞的右半圆，映射到F 平面上为 F (∞)=1+G (∞)H (∞)
（2）、复变函数F(S)的选择
图5-41 控制系统结构图
如图5-41所示结构图，其开环传递函数为
G(s)H (s) B(s) A(s)
则
(s)
1
G(s) G(s)H
(s)
G(s) 1 B(s)
A(s)
B(s)
B(s)H
(s)
A(s)
B(S)+A(S)和A(S)分别为闭环和开环的特征多项式。引入辅助函数
闭环系统稳定的条件为系统的闭环极点均在s平面的左半平面，即 Z=0 或 R=P。
例：分析下图映射关系
（3）、S平面闭合曲线Γ的选择 系统的闭环稳定性取决于系统闭环传递函数F（S）零点的位置，因此当选择S平面
闭合曲线Γ 包围S平面的右半部分时，Z＝0系统稳定。考虑到闭合曲线不通过F(S)任一 零极点的条件， Γ可取两种形式。见P194
5-4 频率域稳定判据
控制系统的闭环稳定性是系统分析和设计所需解决的首要问题，奈奎斯特 稳定判据和对数频率稳定判据是常用的两种频域稳定判据。频域稳定判据的 特点是根据开环系统频率特性曲线判定闭环系统的稳定性，使用方便，易于 推广。
Nyquist稳定判据既可以判断系统是否稳定（绝对稳定性），也可以确定 系统的稳定程度（相对稳定性），还可以用于分析系统的瞬态性能以及指出 改善系统性能指标的途径。
图5-39 s平面与F(S)平面的映射关系
对于S平面内的任意一点d，都可以通过F(S)的映射关系在F平面上找到一个相应的点 d′（ d′是d的像 ）；对于S平面上任意一条不通过F(S)任何零点极点的闭合曲线Γ，也可
以通过映射关系在F(S)平面上找到一条与它相对应的曲线ΓF。
设复变量S沿着闭合曲线Γ运动一周，研究F(S)相角的变化情况。
1、奈氏判据的数学基础
复变函数理论中的幅角原理是奈氏判据的数学基础，幅角原理用于控制系统稳定性 的判定还需选择辅助函数和闭合曲线。
（1）、幅角原理
设S为复数变量，F(S)为S的有理分式函数。对于S平面上任意一点S，通过复变函数 F(S)的映射关系，在F(S)平面上可以确定关于S的象。在S平面上任选一条闭合曲线Γ 且不通过F(S)的任何零点与极点，S从闭合曲线Γ上任一一点A起，顺时针沿Γ运动一 周，再回到A点，那么相应 F(S)平面上也从点F(A)起，到F(A)点止形成一条闭合曲线 ΓF。若F(S)在S平面上指定区域内是非奇异的，则有如图5-39所示的映射关系。
图5-44 F 平面上的Nyquist曲线
根据映射定理可得，s平面上的Nyquist轨迹在F平面上的映射F(jω)(ω从－∞→＋∞) 包围坐标原点的次数R为 R=P－Z
式中，Z——位于F (s)平面右半部分的零点数，即闭环右极点个数； P——位于F(s)平面右半部分的极点数，即开环右极点个数； R——Nyquist曲线包围坐标原点的次数。
i 1
iZ 1
j 1
j P 1
Z (2 ) P(2 ) (P Z )2
图5-40 映射关系
式中，P和Z分别是被闭合曲线Γ包围的特征方程函数F (s)的极点数和零点数。它表
明，当s平面上的试验点s1沿闭合曲线Γ顺时针方向绕行一圈时，F(s)平面上对应的闭
合曲线将按逆时针方向包围坐标原点（P-Z）圈。
S平面上的闭合曲线Γ如图5-40所示。复变函数F (s)右零点极点如图所示。当闭合曲 线Γ上任一点S1沿顺时针方向转动一圈时，其矢量总的相角增量
n
n
F (s) (s zi ) (s pi )
i 1
j 1
Z
n
P j )
Nyquist轨迹及其映射 为将映射定理与控制系统稳定性的分
析联系起来，适当选择s平面的封闭曲线Γ。 如图5-43所示，它是由整个虚轴和半径为∞ 的右半圆组成，试验点按顺时针方向移动一 圈，该闭合曲线称为Nyquist轨迹。
Nyquist轨迹在F(s)平面上的映射也是一 条封闭曲线，称为Nyquist曲线。
F (s) 1 G(s)H (s) 1 B(s) A(s) B(s)
A(s)
A(s)
辅助函数也可以表示成零极点的形式
F (s)
(s z1)(s (s p1)(s
z2)(s p2 )(s
zn ) pn )
因此，我们可以看出，辅助函数具有如下特征：
1）辅助函数F(S)是闭环特征多项式与开环特征多项式之比，故其零点和极点分别为 闭环极点和开环极点。
（4）、G(S)H(S)曲线的绘制 已知S平面闭合曲线Γ关于实轴对称，故闭合曲线ΓGH也关于实轴对称，因此只需画
出正虚轴部分的曲线，得GH的半闭合曲线，仍计为ΓGH。
G(S)H(S)右虚轴上极点和 无虚轴上极点时的特性曲线绘制方法见P195。
（5）、闭合曲线Γ包围原点圈数R的计算
根据半闭合曲线ΓGH可得ΓF包围原点的圈数R。设N为ΓGH穿越（－1，j0）点左侧 负实轴的次数，N＋表示正穿越的次数（从上往下穿越），N－表示负穿越的次数（从 下往上穿越），则
2）因为开环传递函数分母多项式的阶次一般大于或等于分子多项式的阶次，故F(S) 零点、极点的个数相同，均为n个。
3）F(S)与开环传递函数G(S)H(S)之间只差常量1。 F(S)=1+G(S)H(S)的几何意义为： F平面上的坐标原点就是GH平面上的（－1，j0）点，如图5-42所示。
图5-42 F平面与GH平面的关系图
R PZ
R＜0和R＞0分别表示ΓF顺时针包围和逆时针包围F(s)平面的原点，R＝0表示不包围 F(S)平面的原点。
图5-43 s平面上的 Nyquist轨迹
Nyquist轨迹Γ由两部分组成，一部分沿 虚轴由下而上移动，试验点s=jω在整个虚 轴上的移动，在F 平面上的映射就是曲线 F(jω) (ω由－∞→+∞)，如图5-44所示。
F(jω)=1+G(jω)H(jω) Nyquist轨迹Γ的另一部分为s平面上半径 为∞的右半圆，映射到F 平面上为 F (∞)=1+G (∞)H (∞)
（2）、复变函数F(S)的选择
图5-41 控制系统结构图
如图5-41所示结构图，其开环传递函数为
G(s)H (s) B(s) A(s)
则
(s)
1
G(s) G(s)H
(s)
G(s) 1 B(s)
A(s)
B(s)
B(s)H
(s)
A(s)
B(S)+A(S)和A(S)分别为闭环和开环的特征多项式。引入辅助函数
闭环系统稳定的条件为系统的闭环极点均在s平面的左半平面，即 Z=0 或 R=P。
例：分析下图映射关系
（3）、S平面闭合曲线Γ的选择 系统的闭环稳定性取决于系统闭环传递函数F（S）零点的位置，因此当选择S平面
闭合曲线Γ 包围S平面的右半部分时，Z＝0系统稳定。考虑到闭合曲线不通过F(S)任一 零极点的条件， Γ可取两种形式。见P194
5-4 频率域稳定判据
控制系统的闭环稳定性是系统分析和设计所需解决的首要问题，奈奎斯特 稳定判据和对数频率稳定判据是常用的两种频域稳定判据。频域稳定判据的 特点是根据开环系统频率特性曲线判定闭环系统的稳定性，使用方便，易于 推广。
Nyquist稳定判据既可以判断系统是否稳定（绝对稳定性），也可以确定 系统的稳定程度（相对稳定性），还可以用于分析系统的瞬态性能以及指出 改善系统性能指标的途径。
图5-39 s平面与F(S)平面的映射关系
对于S平面内的任意一点d，都可以通过F(S)的映射关系在F平面上找到一个相应的点 d′（ d′是d的像 ）；对于S平面上任意一条不通过F(S)任何零点极点的闭合曲线Γ，也可
以通过映射关系在F(S)平面上找到一条与它相对应的曲线ΓF。
设复变量S沿着闭合曲线Γ运动一周，研究F(S)相角的变化情况。
1、奈氏判据的数学基础
复变函数理论中的幅角原理是奈氏判据的数学基础，幅角原理用于控制系统稳定性 的判定还需选择辅助函数和闭合曲线。
（1）、幅角原理
设S为复数变量，F(S)为S的有理分式函数。对于S平面上任意一点S，通过复变函数 F(S)的映射关系，在F(S)平面上可以确定关于S的象。在S平面上任选一条闭合曲线Γ 且不通过F(S)的任何零点与极点，S从闭合曲线Γ上任一一点A起，顺时针沿Γ运动一 周，再回到A点，那么相应 F(S)平面上也从点F(A)起，到F(A)点止形成一条闭合曲线 ΓF。若F(S)在S平面上指定区域内是非奇异的，则有如图5-39所示的映射关系。
图5-44 F 平面上的Nyquist曲线
根据映射定理可得，s平面上的Nyquist轨迹在F平面上的映射F(jω)(ω从－∞→＋∞) 包围坐标原点的次数R为 R=P－Z
式中，Z——位于F (s)平面右半部分的零点数，即闭环右极点个数； P——位于F(s)平面右半部分的极点数，即开环右极点个数； R——Nyquist曲线包围坐标原点的次数。
i 1
iZ 1
j 1
j P 1
Z (2 ) P(2 ) (P Z )2
图5-40 映射关系
式中，P和Z分别是被闭合曲线Γ包围的特征方程函数F (s)的极点数和零点数。它表
明，当s平面上的试验点s1沿闭合曲线Γ顺时针方向绕行一圈时，F(s)平面上对应的闭
合曲线将按逆时针方向包围坐标原点（P-Z）圈。
S平面上的闭合曲线Γ如图5-40所示。复变函数F (s)右零点极点如图所示。当闭合曲 线Γ上任一点S1沿顺时针方向转动一圈时，其矢量总的相角增量
n
n
F (s) (s zi ) (s pi )
i 1
j 1
Z
n
P j )
Nyquist轨迹及其映射 为将映射定理与控制系统稳定性的分
析联系起来，适当选择s平面的封闭曲线Γ。 如图5-43所示，它是由整个虚轴和半径为∞ 的右半圆组成，试验点按顺时针方向移动一 圈，该闭合曲线称为Nyquist轨迹。
Nyquist轨迹在F(s)平面上的映射也是一 条封闭曲线，称为Nyquist曲线。
F (s) 1 G(s)H (s) 1 B(s) A(s) B(s)
A(s)
A(s)
辅助函数也可以表示成零极点的形式
F (s)
(s z1)(s (s p1)(s
z2)(s p2 )(s
zn ) pn )
因此，我们可以看出，辅助函数具有如下特征：
1）辅助函数F(S)是闭环特征多项式与开环特征多项式之比，故其零点和极点分别为 闭环极点和开环极点。
（4）、G(S)H(S)曲线的绘制 已知S平面闭合曲线Γ关于实轴对称，故闭合曲线ΓGH也关于实轴对称，因此只需画
出正虚轴部分的曲线，得GH的半闭合曲线，仍计为ΓGH。
G(S)H(S)右虚轴上极点和 无虚轴上极点时的特性曲线绘制方法见P195。
（5）、闭合曲线Γ包围原点圈数R的计算
根据半闭合曲线ΓGH可得ΓF包围原点的圈数R。设N为ΓGH穿越（－1，j0）点左侧 负实轴的次数，N＋表示正穿越的次数（从上往下穿越），N－表示负穿越的次数（从 下往上穿越），则
2）因为开环传递函数分母多项式的阶次一般大于或等于分子多项式的阶次，故F(S) 零点、极点的个数相同，均为n个。
3）F(S)与开环传递函数G(S)H(S)之间只差常量1。 F(S)=1+G(S)H(S)的几何意义为： F平面上的坐标原点就是GH平面上的（－1，j0）点，如图5-42所示。
图5-42 F平面与GH平面的关系图