第十三章第十一节：13.3.2等边三角形的性质与判定 人教版教案

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13.3.2等边三角形的性质与判定
教
学
目
标

知识与技能: 熟识等边三角形的性质及判定．通过例题教学，帮助学生总结代数法求几何角度，线段长度的
方法。

过程与方法：通过探究，培养学生的类比、转化、分类讨论等数学思想，进一步发展学生的概括能力. 通过
探究活动，激发学生的学习兴趣，渗透类比、分类、转化思想，学会用数学思想和方法研究数学问题．

情感、态度与价值观：积极参与数学学习活动，增强对数学有好奇心和求知欲.
教学重点：等边三角形的概念、性质和判定.
教学难点：等边三角形判定定理的探究与证明，并灵活的运用等边三角形的性质与判定方法解决相关问题.
教学方法：操作、演示、讲解。
课时安排：1
教学设计 二次备课
一、 课前复习 1．叙述等腰三角形的性质，它是怎么得到的? 等腰三角形的两个底角相等，也可以简称“等边对等角”。把等腰三角形对折，折叠两部分是互相重合的，即AB与AC重合，点B与点 C重合，线段BD与CD也重合，所以∠B＝∠C。 等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线和底边上的高线互相重合，简称“三线合一”。由于AD为等腰三角形的对称轴，所以BD＝ CD，AD为底边上的中线；∠BAD＝∠CAD，AD为顶角平分线，∠ADB＝∠ADC＝90°，AD又为底边上的高，因此“三线合一”。 2．若等腰三角形的两边长为3和4，则其周长为多少? 二、引入新课 在等腰三角形中，有一种特殊的情况，就是底边与腰相等，这时，三角形三边都相等。我们把三条边都相等的三角形叫做等边三角形。 等边三角形具有什么性质呢? 1．请同学们画一个等边三角形，用量角器量出各个内角的度数，并提出猜想。 2．你能否用已知的知识，通过推理得到你的猜想是正确的? 等边三角形是特殊的等腰三角形，由等腰三角形等边对等角的性质得到∠A＝∠B＝C，又由∠A＋∠B＋∠C＝180°，从而推出∠A＝∠B＝∠C＝60°。 3．上面的条件和结论如何叙述? 等边三角形的性质：等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°。 等边三角形是轴对称图形吗?如果是，有几条对称轴? 等边三角形也称为正三角形。 等边三角形的判定： （1）三个角都相等的三角形是等边三角形． （2）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形． 三、例题分析 1、如图，在等边△ABC的边AB、AC上分别截取AD∥AE，那么△ADE是等边三角形吗？为什么？ BACDE
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2、（变式练习）如图，在等边△ABC的边AB、AC上分别截取AD=AE，那么△ADE是等
边三角形吗？为什么？
四、练习巩固
探究点一：等边三角形的性质
【类型一】 利用等边三角形的性质求角度
1.如图，△ABC是等边三角形，E是AC上一点，D是BC延长线上一点，连接
BE，DE，若∠ABE＝40°，BE＝DE，求∠CED
的度数．

解析：因为△ABC三个内角为60°，∠ABE＝40°，求出∠EBC的度数，因为
BE
＝DE，所以得到∠EBC＝∠D，求出∠D的度数，利用外角性质即可求出∠CED的度数．
解：∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60°.∵∠ABE＝40°，∴∠
EBC
＝∠ABC－∠ABE＝60°－40°＝20°.∵BE＝DE，∴∠D＝∠EBC＝20°，∴∠CED＝
∠ACB－∠D＝40°.
方法总结：等边三角形是特殊的三角形，它的三个内角都是60°，这个性质常
常应用在求三角形角度的问题上，所以必须熟练掌握．
【类型二】 利用等边三角形的性质证明线段相等
2. 如图：已知等边△ABC中，D是AC的中点，E是BC延长线上的一点，且
CE
＝CD，DM⊥BC，垂足为M，求证：BM＝EM.

解析：要证BM＝EM，根据等腰三角形的性质，证明△BDE为等腰三角形即可．
证明：连接BD，∵在等边△ABC中，D是AC的中点， ∴∠DBC＝12∠ABC＝12×60°
＝30°，∠ACB＝60°.∵CE＝CD，∴∠CDE＝∠E.∵∠ACB＝∠CDE＋∠E，∴∠E＝
30°，∴∠DBC＝∠E＝30°，∴BD＝ED，△BDE为等腰三角形．又∵DM⊥BC，∴
BM
＝EM.
方法总结：本题综合考查了等腰和等边三角形的性质，其中“三线合一”的性
质是证明线段相等、角相等和线段垂直关系的重要方法．
【类型三】 等边三角形的性质与全等三角形的综合运用
3.△ABC为正三角形，点M是BC边上任意一点，点N是CA边上任意一点，且
BM＝CN，BN与AM相交于Q点，∠BQM
等于多少度？

解析：先根据已知条件利用SAS判定△ABM≌△BCN，再根据全等三角形的性质
求得∠BQM＝∠ABC＝60°.
解：∵△ABC为正三角形，∴∠ABC＝∠C＝∠BAC＝60°，AB＝BC.在△AMB和△
BNC

中，∵AB＝BC，∠ABC＝∠C，BM＝CN，∴△AMB≌△BNC(SAS)，∴∠BAM＝∠CBN，∴∠BQM＝∠ABQ＋
∠BAM＝∠ABQ＋∠CBN＝∠ABC＝60°.
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方法总结：等边三角形与全等三角形的综合运用，一般是利用等边三角形的性
质探究三角形全等．
探究点二：等边三角形的判定
【类型一】 等边三角形的判定
4. 等边△ABC中，点P在△ABC内，点Q在△ABC外，且∠ABP＝∠ACQ，BP＝CQ，
问△APQ是什么形状的三角形？试说明你的结论．

解析：先证△ABP≌△ACQ得AP＝AQ，再证∠PAQ＝60°，从而得出△APQ是等边
三角形．
解：△APQ为等边三角形．证明：∵△ABC为等边三角形，∴AB＝AC.在△
ABP

与△ACQ中，∵AB＝AC，∠ABP＝∠ACQ，BP＝CQ，∴△ABP≌△ACQ(SAS)，∴AP＝AQ，∠BAP＝∠CAQ.
∵∠BAC＝∠BAP＋∠PAC＝60°，∴∠PAQ＝∠CAQ＋∠PAC＝60°，∴△APQ是等边三
角形．
方法总结：判定一个三角形是等边三角形有两种方法：一是证明三角形三个内
角相等；二是先证明三角形是等腰三角形，再证明有一个内角等于60°.
【类型二】 等边三角形的性质和判定的综合运用
5. 图①、图②中，点C为线段AB上一点，△ACM与△CBN都是等边三角形．
(1)如图①，线段AN与线段BM是否相等？请说明理由；
(2)如图②，AN与MC交于点E，BM与CN交于点F，探究△CEF的形状，并证明
你的结论．

解析：(1)由等边三角形的性质可以得出△ACN，△MCB两边及其夹角分别对应相
等，两个三角形全等，得出线段AN与线段BM相等．(2)先求∠MCN＝60°，通过证
明△ACE≌△MCF得出CE＝CF，根据等边三角形的判定得出△CEF的形状．
解：(1)AN＝BM.理由：∵△ACM与△CBN都是等边三角形，∴AC＝MC，CN＝CB，
∠ACM＝∠BCN＝60°.∴∠MCN＝60°，∠ACN＝∠MCB.在△ACN和△MCB中，∵






AC＝MC
，

∠ACN＝∠MCB，
NC＝BC
，

∴△ACN≌△MCB(SAS)．∴AN＝BM.

(2)△CEF是等边三角形．证明：∵△ACN≌△MCB，∴∠CAE＝∠CMB.在△ACE和
△MCF中，∵∠CAE＝∠CMF，AC＝MC，∠ACE＝∠FCM，∴△ACE≌△MCF(ASA)，∴CE＝CF.∴△CEF是等边三
角形．
方法总结：等边三角形是一个非常特殊的几何图形，它的角的特殊性给有关角
的计算奠定了基础，它的边角性质为证明线段、角相等提供了便利条件．同是等边
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三角形又是特殊的等腰三角形，同样具备三线合一的性质，解题时要善于挖掘图形
中的隐含条件．
五、板书设计
等边三角形的性质和判定
1．等边三角形的定义；
2．等边三角形的性质；
3．等边三角形的判定方法．
六、课堂小结
由等腰三角形的性质可以推出等边三角形的各角相等，且都为60°。“三线合一”
性质在实际应用中，只要推出其中一个结论成立，其他两个结论一样成立，所以关
键是寻找其中一个结论成立的条件。

作业
设计

必做 习题13.3 12题

选做 习题13.3 14题
教学 反思