倒立摆的s函数建模及仿真
倒立摆的s函数建模及仿真
倒立摆是一类普遍存在于现实生活中的控制工程问题，也是机器人控制领域中的典型问题。为了探究倒立摆的控制方法，需要进行建模和仿真研究。本文将介绍如何对倒立摆进行s函数建模，并进行仿真研究。
一、倒立摆的建模
1. 系统假设
倒立摆系统假设为：
（1）摆杆质量可以忽略，只考虑质点的重量；
（2）摆杆的摩擦系数可以忽略；
（3）摆杆的惯性可以忽略。
2. 系统模型
假设摆杆长度为L，质点质量为m，摆杆与竖直方向成θ角度，摩擦系数为f，则可得到如下系统模型：
mx”=mgLsinθ-fx’+u
θ’=x
其中，x表示质点距离垂直方向的距离，u是外部输入信号，可用来控制系统。
3. s函数模型
根据系统模型，可以进行s函数建模。将其转化为状态空间的形式，得到如下s函数模型：
function [sys,x0,str,ts] = pendulum(t,x,u,flag)
switch flag
% Initialization
case 0
sys = [0 0 1 2 0 1];
x0 = [0; 0];
str = [];
ts = [];
% Derivatives
case 1
sys = [x(2); (u(1)*cos(x(1))-9.8*sin(x(1)))/0.5];
% Outputs
case 3
sys = [x(1)];
% Unhandled flags
case {2, 4, 9}
sys = [];
otherwise
error(['Unhandled flag = ',num2str(flag)]);
end
二、倒立摆的仿真
倒立摆的仿真可以使用Matlab软件进行实现。下面介绍具体的
仿真过程：
1. 创建仿真模型
打开Matlab软件，选择“Simulink”工具栏，创建一个新的模
型文件。
2. 添加控制器
在模型中添加一个控制器，用于产生外部输入信号u。具体可选
择Proportional Integral Derivative(PI D)控制器或者其他控制器。在控制器中输入期望值以及计算出来的偏差，根据控制器输出信号进
行控制。
3. 添加s函数模块
在模型中添加s函数模块，用于实现倒立摆的状态空间模型。在
s函数模块中调用前面所建立的s函数模型，实现倒立摆系统的仿真。
4. 运行仿真
设置模型参数，运行仿真。可以通过仿真结果来分析控制器的效果。根据仿真结果，可以进一步优化控制器的设计。
三、总结
本文介绍了倒立摆的s函数建模方法以及仿真过程。通过Matlab 软件进行仿真，可以更加直观地了解倒立摆系统的控制过程，帮助更好地掌握倒立摆系统的控制方法。
(完整版)倒立摆建模
1.一阶倒立摆建模 在忽略了空气流动阻力，以及各种摩擦之后，可将倒立摆系统抽象成小车和匀质杆组成的系统，如下图所示，其中： M ：小车质量 m ：为摆杆质量 J ：为摆杆惯量 F ：加在小车上的力 x ：小车位置 θ：摆杆与垂直向上方向的夹角 l ：摆杆转动轴心到杆质心的长度 根据牛顿运动定律以及刚体运动规律，可知： （1） 摆杆绕其重心的转动方程为 （2） 摆杆重心的运动方程为 得 （3）小车水平方向上的运动为 22..........(4)x d x F F M d t -= 联列上述4个方程，可以得出 一阶倒立精确气模型： ()()()()()()()2222222222222222 sin .sin cos cos cos .sin cos .lg sin cos J ml F ml J ml m l g x J ml M m m l ml F m l M m m m l M m J ml θθθθθθθθθθθθ?+++-?= ++-??+-+?=?-++? &&&&&& sin cos ..........(1)y x J F l F l θθθ=-& &2 22 2(sin ) (2) (cos ).........(3)x y d F m x l d t d F mg m l d t θθ=+=-
式中J 为摆杆的转动惯量：3 2 ml J = 若只考虑θ在其工作点附近θ0=0附近（??≤≤-1010θ）的细微变化，则可以近似认为： ?? ? ??≈≈≈1cos sin 02θθθθ& ??? ? ???++-+=++-+= 2.. 2222..)(lg )()()(Mml m M J mlF m m M Mml m M J g l m F ml J x θθθ 2.2 模型建立及封装 1、建立以下模型：
单阶倒立摆控制系统Matlab实验报告1
现代系统分析设计工具实验报告 学院 班级 学号 姓名 指导教师 成绩 2011年6月
目录 摘要 (3) 第一部分单阶倒立摆系统建模 (4) （一）对象模型 (4) （二）电动机、驱动器及机械传动装置的模型 (6) 第二部分单阶倒立摆系统分析 (7) 第三部分单阶倒立摆系统控制 (11) （一）内环控制器的设计 (11) （二）外环控制器的设计 (14) 第四部分单阶倒立摆系统仿真结果 (16) 系统的simulink仿真 (16)
摘要： 该问题源自对于娱乐型”独轮自行车机器人”的控制，实验中对该系统进行系统仿真，通过对该实物模型的理论分析与实物仿真实验研究，有助于实现对独轮自行车机器人的有效控制。 控制理论中把此问题归结为“一阶直线倒立摆控制问题”。另外，诸如机器人行走过程中的平衡控制、火箭发射中的垂直度控制、卫星飞行中的姿态控制、海上钻井平台的稳定控制、飞机安全着陆控制等均涉及到倒立摆的控制问题。 实验中通过检测小车位置与摆杆的摆动角，来适当控制驱动电动机拖动力的大小，控制器由一台工业控制计算机（IPC）完成。实验将借助于“Simulink封装技术——子系统”，在模型验证的基础上，采用双闭环PID控制方案，实现倒立摆位置伺服控制的数字仿真实验。实验过程涉及对系统的建模、对系统的分析以及对系统的控制等步骤，最终得出实验结果。仿真实验结果不仅证明了PID方案对系统平衡控制的有效性，同时也展示了它们的控制品质和特性。
第一部分 单阶倒立摆系统建模 （一） 对象模型 由于此问题为”单一刚性铰链、两自由度动力学问题”，因此，依据经典力学的牛顿定律即可满足要求。 如图1.1所示，设小车的质量为0m ，倒立摆均匀杆的质量为m ，摆长为2l ，摆的偏角为θ，小车的位移为x ，作用在小车上的水平方向上的力为F ，1O 为摆杆的质心。 图1.1 一阶倒立摆的物理模型 根据刚体绕定轴转动的动力学微分方程，转动惯量与角加速度乘积等于作用于刚体主动力对该轴力矩的代数和，则 1）摆杆绕其重心的转动方程为 sin cos y x l F J F l θθθ=- （1-1） 2）摆杆重心的水平运动可描述为 2 2(s i n )x d F m x l dt θ=+ （1-2） 3）摆杆重心在垂直方向上的运动可描述为 2 2(c o s )y d F m g m l d t θ -= （1-3） 4）小车水平方向运动可描述为 202x d x F F m dt -= （1-4）
倒立摆系统的控制算法及仿真
倒立摆系统的控制算法及仿真 1．1 倒立摆控制算法 1．1．1 倒立摆控制算法概述 单级倒立摆的稳定控制，实际上是一单输入多输出系统的稳定控制。此时系统输入是电机控制电压u，输出是倒立摆竖直方向角度θ和旋臂位置ϕ。对方程(2.5)进行变形即得θ与u 之间的输入输出方程,很明显,它是一个不稳定的二阶系统。 控制倒立摆使之稳定的方法很多,当前已有的倒立摆控制规律可总结为: (1)PID控制,通过对倒立摆物理模型的分析，建立倒立摆的动力学模型,然后使用状态空间理论推导出其非线性模型，再在平衡点处进行线性化得到倒立摆系统的状态方程和输出方程，于是就可设计出PID控制器实现其控制； (2)状态反馈H∞控制，通过对倒立摆物理模型的分析,建立倒立摆的动力学模型,然后使用状态空间理论推导出状态方程和输出方程，于是就可应用H∞状态反馈和Kalman 滤波相结合的方法,实现对倒立摆的控制； (3)利用云模型实现对倒立摆的控制，用云模型构成语言值,用语言值构成规则,形成一种定性的推理机制。这种拟人控制不要求给出被控对象精确的数学模型，仅仅依据人的经验、感受和逻辑判断，将人用自然语言表达的控制经验,通过语言原子和云模型转换到语言控制规则器中，就能解决非线性问题和不确定性问题； (4)神经网络控制，业已证明神经网络(NeuralNetwork ,NN) 能够任意充分地逼近复杂的非线性关系，NN 能够学习与适应严重不确定性系统的动态特性，所有定量或定性的信息都等势分布贮存于网络内的各种神经元，故有很强的鲁棒性和容错性，也可将Q学习算法和BP神经网络有效结合，实现状态未离散化的倒立摆的无模型学习控制； (5)遗传算法( Genetic Algorithms , GA)，高晓智在Michine 的倒立摆控制Boxes 方案的基础上，利用GA 对每个BOX 中的控制作用进行了寻优，结果表明GA可以有效地解决倒立摆的平衡问题； (6)自适应控制，主要是为倒立摆设计出自适应控制器； (7)模糊控制，主要是确定模糊规则，设计出模糊控制器实现对倒立摆的控制； (8)使用几种智能控制算法相结合实现倒立摆的控制，比如模糊自适应控制，分散鲁棒自适应控制等等， (9)采用GA 与NN 相结合的算法，首先建立倒立摆系统的数学模型，然后为其设计出神经网络控制器，再利用改进的贵传算法训练神经网络的权值，从而实现对倒立摆的控制，采用GA 学习的NN 控制器兼有NN 的广泛映射能力和GA 快速收敛以及
倒立摆拉格朗日建模方法(一)
倒立摆拉格朗日建模方法(一) 倒立摆拉格朗日建模 介绍 倒立摆是一种经典的控制系统问题，它常用于教育和研究领域。拉格朗日建模是一种用来描述力学系统动力学的数学方法。本文将详细介绍倒立摆的拉格朗日建模方法，包括各种方法的详细说明。 方法一：拉格朗日方程 1.第一步：定义坐标系。倒立摆通常使用极坐标系，其中θ表示 摆杆的角度。 2.第二步：确定系统的势能能量。根据重力势能的定义，势能能量 可以表示为mgL(1 - cosθ)，其中m是摆杆的质量，g是重力加速度，L是摆杆的长度。 3.第三步：确定动能能量。动能能量可以表示为2θ2，其中L是摆 杆的长度。 4.第四步：应用拉格朗日方程。拉格朗日方程可以表示为 d/dt(∂T/∂θ̇) - ∂T/∂θ = ∂V/∂θ，其中T是系统的总动能，V 是系统的总势能。通过求解拉格朗日方程，可以得到系统的运动方程。
方法二：线性化方法 1.第一步：使用欧拉-拉格朗日方程。欧拉-拉格朗日方程可以表示 为∑(∂L/∂qi)d q̇i = q之力 - q之耗散，其中L是拉格朗日函 数，qi是系统的广义坐标，q i̇是广义速度。 2.第二步：线性化倒立摆方程。在小角度下，可以通过将sinθ近 似为θ，将cosθ近似为1来线性化倒立摆方程。 3.第三步：线性化的拉格朗日方程可以简化为M q̇ = τ - C q̇ - Gq，其中M是质量矩阵，q̇是广义加速度，τ是外部输入力矩，C是速度相关的阻尼矩阵，G是重力矩阵。 方法三：控制方法 1.第一步：设计控制器。倒立摆系统可以用PID控制器来控制。 PID控制器包括比例部分、积分部分和微分部分，可以通过调整 各个部分的参数来实现系统的稳定控制。 2.第二步：实施控制。将PID控制器的输出作为输入力矩τ，通过 不断调整输入力矩来控制倒立摆的角度。 3.第三步：闭环控制。通过实施闭环控制，将实际角度与目标角度 进行比较，并根据误差调整控制器的输出，以实现系统的精确控 制。
倒立摆
机械工程试验二 ——直线倒立摆控制实验 实 验 报 告 摘要 倒立摆不仅仅是一种优秀的教学实验仪器，同时也是进行控制理论研究的理想实验平台。由于倒立摆系统本身所具有的高阶次、不稳定、多变量、非线性和强耦合特性，许多现代控制理论的研究人员一直将它视为典型的研究对象，不断从中发掘出
新的控制策略和控制方法，相关的科研成果在航天科技和机器人学方面获得了广阔的应用。 本实验针对固高公司提供的倒立摆实验设备，对一、二倒立摆的控制方法进行了研究，并做了相应的仿真和实物控制。首先应用PID、状态反馈、LQR、三种方法分别对一级倒立摆进行建模，完成实时控制，得到了较好的控制效果。然而，由于以上方法的抗干扰能力差，鲁棒性弱，所以尝试运用模糊控制，使控制性能进一步提高。对于二级倒立摆，由于其控制变量多、非线性强，所以控制规则与隶属函数很难确定。考虑这些原因，文中采用了神经模糊推理系统(ANFIS)，对二级倒立摆做了实时控制，该方法生成规则数少，形式简单，实时性更好。对于控制难度更高的三级倒立摆，本文采用遗传算法优化LQR参数后，用最优控制的方法，对倒立摆系统进行了仿真研究，得到了很好的控制效果。 完成本实验后，通过对一、二倒立摆的多种实物控制的过程和结果进行研究，可以看出控制的难度在不断加大，需要运用的控制方法也越来越先进。在运用PID控制时，由于倒立摆是多输出的复杂系统，所以选择合适的输出量是关键问题：状态反馈方法中，为了使系统响应速度快而且能够满足试验设备硬件要求，极点的选择是主要的设计问题：在模糊控制器的设计过程中，隶属函数的选取和控制规则的确定是难点，而应用ANFIS推理系统后，规则确定和隶属函数选取的问题就迎刃而解了。 关键词：倒立摆，PID，LQR，单级，双级，模糊控制，状态反馈 目录 1 倒立摆实验介绍 (5) 1.1 倒立摆概述 (5) 1.2 倒立摆系统的组成 (5) 2 直线一级倒立摆的控制 (8)
(完整版)直线一级倒立摆建模
一、直线一级倒立摆建模 根据自控原理实验书上相关资料，直线一级倒立摆在建模时,一般忽略掉系统中的一些次要因素.例如空气阻力、伺服电机的静摩擦力、系统连接处的松弛程度等，之后可将直线一级倒立摆系统抽象成小车和匀质杆组成的系统，如下图所示： 倒立摆系统是典型的机电一体化系统,其机械部分遵循牛顿的力学定律,其电气部分遵守电磁学的基本定理.因此,可以通过机理建模方法得到较为准确的系统数学模型,通过实际测量和实验来获取系统模型参数.无论哪种类型的倒立摆系统,都具有3个特性,即:不确定性、耦合性、开环不稳定性. 直线型倒立摆系统,是由沿直线导轨运动的小车以及一端固定于小车上的匀质长杆组成的系统. 小车可以通过传动装置由交流伺服电机驱动. 小车导轨一般有固定的行程,因而小车的运动范围是受到限制的。 虽然倒立摆的形式和结构各异，但所有的倒立摆都具有以下的特性: 1) 非线性 倒立摆是一个典型的非线性复杂系统，实际中可以通过线性化得到系统的近似模型，线性化处理后再进行控制。也可以利用非线性控制理论对其进行控制。倒立摆的非线性控制正成为一个研究的热点。 2) 不确定性 主要是模型误差以及机械传动间隙，各种阻力等，实际控制中一般通过减少各种误差来降低不确定性，如通过施加预紧力减少皮带或齿轮的传动误差，利用滚珠轴承减少摩擦阻力等不确定因素。 3) 耦合性 倒立摆的各级摆杆之间，以及和运动模块之间都有很强的耦合关系，在倒立摆的控制中一般都在平衡点附近进行解耦计算，忽略一些次要的耦合量。 4) 开环不稳定性 倒立摆的平衡状态只有两个，即在垂直向上的状态和垂直向下的状态，其中垂直向上为绝对不稳定的平衡点，垂直向下为稳定的平衡点。由于机构的限制，如运动模块行程限制，电机力矩限制等。为了制造方便和降低成本，倒立摆的结构尺寸和电机功率都尽量要求最小，行程限制对倒立摆的摆起影响尤为突出，容易出现小车的撞边现象。 由此，约束限制直线型一级倒立摆系统的实际控制要求可归结为3点: (1)倒立摆小车控制过程的最大位移量不能超过小车轨道的长度; (2)为保证倒立摆能顺利起立,要求初始偏角小于20°;
一级倒立摆课程设计--倒立摆PID控制及其Matlab仿真
一级倒立摆课程设计--倒立摆PID控制及其Matlab仿真
倒立摆PID控制及其Matlab仿真 学生姓名： 学院：电气信息工程学院 专业班级： 专业课程：控制系统的MATLAB仿真与设计任课教师： 2014 年 6 月 5 日
倒立摆PID控制及其Matlab仿真 Inverted Pendulum PID Control and Its Matlab Simulation 摘要 倒立摆系统是一个典型的快速、多变量、非线性、不稳定系统，对倒立摆的控制研究无论在理论上和方法上都有深远的意义。 本论文以实验室原有的直线一级倒立摆实验装置为平台，重点研究其PID 控制方法，设计出相应的PID控制器，并将控制过程在MATLAB上加以仿真。 本文主要研究内容是：首先概述自动控制的发展和倒立摆系统研究的现状；介绍倒立摆系统硬件组成，对单级倒立摆模型进行建模，并分析其稳定性；研究倒立摆系统的几种控制策略，分别设计了相应的控制器，以MATLAB为基础，做了大量的仿真研究，比较了各种控制方法的效果；借助固高科技MATLAB实时控制软件实验平台；利用设计的控制方法对单级倒立摆系统进行实时控制，通过在线调整参数和突加干扰等，研究其实时性和抗千扰等性能；对本论文进行总结，对下一步研究作一些展望。 关键词：倒立摆；PID控制器；MATLAB仿真
设计报告正文 1.简述一级倒立摆系统的工作原理； 倒立摆是一个数字式的闭环控制系统，其工作原理为：角度、位移信号检测电路获取后，由微分电路获取相应的微分信号。这些信号经A/D转换器送入计算机，经过计算及内部的控制算法解算后得到相应的控制信号，该信号经过D/A变换、再经功率放大由执行电机带动皮带卷拖动小车在轨道上做往复运动，从而实现小车位移和倒立摆角位移的控制。 2.依据相关物理定理，列写倒立摆系统的运动方程； 2l O1
一阶倒立摆系统建模与仿真研究
一阶倒立摆系统建模与仿真研究 一阶倒立摆系统是一种典型的非线性控制系统，具有多种状态和复杂的运动特性。在实际生活中，倒立摆被广泛应用于许多领域，如机器人平衡控制、航空航天、制造业等。因此，对一阶倒立摆系统进行建模与仿真研究具有重要的理论价值和实际意义。 ml''(t) + b*l'(t) + k*l(t) = F(t) 其中，m为质量，b为阻尼系数，k为弹簧常数，l(t)为摆杆的位移，l'(t)为摆杆的加速度，l''(t)为摆杆的角加速度，F(t)为外界作用力。 在仿真过程中，需要设定摆杆的初始位置和速度。一般而言，初始位置设为0，初始速度设为0。边界条件则根据具体实验需求进行设定，如限制摆杆的最大位移、最大速度等。 利用MATLAB/Simulink等仿真软件进行建模和实验，可以方便地通过改变输入信号的参数（如力F）或系统参数（如质量m、阻尼系数b、弹簧常数k）来探究一阶倒立摆系统的性能和反应。 通过仿真实验，我们可以观察到一阶倒立摆系统在受到不同输入信号的作用下，会呈现出不同的运动规律。在适当的输入信号作用下，摆
杆能够达到稳定状态；而在某些特定的输入信号作用下，摆杆可能会出现共振现象。 在仿真过程中，我们可以发现一阶倒立摆系统具有一定的鲁棒性。在一定范围内，即使输入信号发生变化或系统参数产生偏差，摆杆也能够保持稳定状态。然而，当输入信号或系统参数超过一定范围时，摆杆可能会出现共振现象，导致系统失稳。因此，在实际应用中，需要对输入信号和系统参数进行合理控制，以保证系统的稳定性。 为了避免共振现象的发生，可以通过优化系统参数或采用其他控制策略来实现。例如，适当增加阻尼系数b能够减小系统的振荡幅度，有利于系统尽快达到稳定状态。可以采用反馈控制策略，根据摆杆的实时运动状态调整输入信号，以抑制系统的共振响应。 本文对一阶倒立摆系统进行了建模与仿真研究，通过观察不同参数设置下的系统性能和反应，对其运动规律、鲁棒性及稳定性进行了分析。探讨了避免共振现象的方法。结果表明，一阶倒立摆系统具有较高的鲁棒性和稳定性，但在特定条件下仍可能出现共振现象。为了提高系统的性能和稳定性，可以采取适当的参数优化和反馈控制策略。 一级倒立摆系统是一种典型的具有非线性、强耦合、多变量等特点的物理系统，其控制问题是一个具有挑战性的研究领域。在本文中，我
倒立摆系统的建模及Matlab仿真
倒立摆系统的建模及Matlab 仿真 1.系统的物理模型 考虑如图(1)面内运动的二维问题。 图(1)倒立摆系统 假定倒立摆系统的参数如下。 摆杆的质量：m=0.1g 摆杆的长度：l =1m 小车的质量： M=1kg 重力加速度：g=9.8m/2s 摆杆的质量在摆杆的中心。 设计一个控制系统，使得当给定任意初始条件(由干扰引起)时，最大超调量δ ≤10%，调节时 间ts ≤4s ，通过小车的水平运动使倒立摆保持在垂直位置。 2.系统的数学模型 2.1建立倒置摆的运动方程并将其线性化。 为简化问题，在数学模型中首先假设：1)摆杆为刚体；2）忽略摆杆与支点之间的摩擦；3）忽略小车与接触面间的摩擦。 设小车瞬时位置为z,摆心瞬时位置为（θsin l z +）,在u 作用下，小车及摆均产生加速远动，根据牛顿第二定律，在水平直线远动方向的惯性力应与u 平衡，于是有 u l z dt d m dt z d M =++)sin (22 22θ 即： u ml ml z m M =-++θθθθsin cos )(2&&&
绕摆轴转动的惯性力矩与重力矩平衡，因而有 θθθsin cos )sin (22mgl l l z dt d m =⋅⎥⎦ ⎤⎢⎣⎡+ 即： θθθθθθθsin cos sin cos cos 22g l l z =-+&&&&& ② 以上两个方程都是非线性方程，为求得解析解，需作线性化处理。由于控制的目的是保持倒立摆直 立，在试驾合适的外力条件下，假定θ很小，接近于零时合理的，则1cos ,sin ≈≈θθθ，且可忽略θ θ2&项。于是有 u ml z m M =++θ&&&& )( ③ θθg l z =+&&&& ④ 联立求解可得 u Ml Ml m M u M M mg z 1)(1 -+=+- =θθθ&&&& 2.2列写系统的状态空间表达式。 选取系统变量4321,,,x x x x ， []T x x x x x 4321,,,=则 u Ml x Ml m M x x x u M x M mg x x x 1 )(134433221-+= =+-==&&&& 即 []Cx x x y Bu Ax u Ml M x Ml g m M M mg z z dt d x ===+=⎥⎥⎥⎥⎥⎦ ⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-+⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢ ⎢⎢⎣ ⎡ +- =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=000110100)(0 010 0000000 1 1θθ&&& 代入数据计算得到：
基于LMI的二级倒立摆的建模与仿真
基于LMI的二级倒立摆系统的 ∞ H鲁棒控制 摘要倒立摆系统为典型的快速、多变量、非线性、绝对不稳定系统, 且存在不确定因素。针对二级倒立摆系统中所受摩擦的不确定性，采用LMI方法, 建立 了二级倒立摆模型，设计了 ∞ H鲁棒控制器, 给出了控制器的求解方法。仿真实验结果证明了该控制方法的有效性和可行性，并且具有很好的鲁棒稳定性和响应速度快的优越性，对高阶次不稳定系统具有很好的控制效果。 关键词：二级倒立摆；线性矩阵不等式（LMI）; ∞ H鲁棒控制 0 引言 现代控制工程所面临的问题极其复杂。实际的工程控制系统中, 总是存在一定的不确定性。倒立摆即是一个包含不确定性的系统, 也是控制理论的一个理想实验平台, 对倒立摆系统的研究具有重要的理论和实际意义。 本文采用线性矩阵不等式(LMI)方法，设计了二级倒立摆系统的鲁棒 ∞ H状态 反馈控制器，有效地克服了用求解两个联立的里卡迪方程获得 ∞ H控制器时求解过程不容易收敛的困难，并且可降低控制器参数的数量级，使其在实控上易于实现。根据文献[1]中对LMI的处理方法, 对二级倒立摆系统进行了仿真研究，结果表明，这样的控制方法可使二级倒立摆系统具有很好的鲁棒稳定性。 1 二级倒立摆系统建模 1.1 倒立摆系统结构 图1是二级倒立摆的系统结构图，它由三部分组成：计算机、电气部分和机 械部分。计算机部分有A/D、D/A转换模块，运动控制卡和PC机；电气部分主要 有：光电编码器、直流功率放大器、伺服电机和保护电路；机械部分有摆杆、轨 道、运动小车和皮带轮等。 计算机伺服驱动器 运动控制卡 伺服 电机 小车 下摆杆 上摆杆光电编码器1 光电编码器2 光电编码器3
自动化实验-倒立摆实验-附仿真结果图
一、直线一级倒立摆的仿真 (一)直线一级倒立摆的数学建模 对于倒立摆系统，由于其本身是自不稳定的系统,实验建模存在一定的困难。但是忽略掉一些次要的因素后，倒立摆系统就是一个典型的运动的刚体系统，可以在惯性坐标系内应用经典力学理论建立系统的动力学方程。下面我们采用其中的牛顿－欧拉方法和拉格朗日方法分别建立直线型一级倒立摆系统的数学模型. 图2 直线一级倒立摆模型 φ摆杆与垂直向上方向的夹角； θ摆杆与垂直向下方向的夹角（考虑到摆杆初始位置为竖直向下）。 图3 小车及摆杆受力分析 分析小车水平方向所受的合力，可以得到以下方程: 由摆杆水平方向的受力进行分析可以得到下面等式: 把这个等式代入式1中,就得到系统的第一个运动方程： 为了推出系统的第二个运动方程，我们对摆杆垂直方向上的合力进行分析,可以得到下面方程: 力矩平衡方程如下： 注意：此方程中力矩的方向,由于θ=π+φ,cosφ= −cosθ,sinφ= −sin θ，故等式前面有负号。 合并这两个方程，约去P 和N，得到第二个运动方程: 设θ=π+φ(φ是摆杆与垂直向上方向之间的夹角），假设φ与1（单位是弧度）相比很小，即φ<〈1，则可以进行近似处理:。 用u 来代表被控对象的输入力F，线性化后两个运动方程如下: 对式9进行拉普拉斯变换，得到 注意：推导传递函数时假设初始条件为0。 由于输出为角度φ，求解方程组的第一个方程，可以得到： 或 如果令v = x，则有： 把上式代入方程组的第二个方程，得到： 整理后得到传递函数： 其中 设系统状态空间方程为: 方程组对解代数方程,得到解如下： 整理后得到系统状态空间方程： 设则有： 实际系统的模型参数如下: M 小车质量1。096 Kg m 摆杆质量0.109 Kg b 小车摩擦系数0 。1N/m/sec l 摆杆转动轴心到杆质心的长度0。2 5m
倒立摆系统的建模及Matlab仿真
第1页共12页 倒立摆系统的建模及Matlab 仿真 1.系统的物理模型 考虑如图 (1) 所示的倒立摆系统。图中，倒立摆安装在一个小车上。这里仅考虑倒立摆在图 面内运动的二维问题。 图 (1) 倒立摆系统 假定倒立摆系统的参数以下。 摆杆的质量： m=0.1g 摆杆的长度： l =1m小车的质量： M=1kg重力加快度： g=9.8m/ s2 摆杆的质量在摆杆的中心。 设计一个控制系统，使适当给定随意初始条件( 由扰乱惹起 ) 时，最大超调量≤ 10%，调理时间 ts≤ 4s，经过小车的水平运动使倒立摆保持在垂直地点。 2.系统的数学模型 2.1 成立倒置摆的运动方程并将其线性化。 为简化问题，在数学模型中第一假定：1) 摆杆为刚体； 2）忽视摆杆与支点之间的摩擦；3）忽略小车与接触面间的摩擦。 设小车刹时地点为 z, 摆心刹时地点为（ z l sin ）, 在 u 作用下，小车及摆均产生加快远动，依据牛顿第二定律，在水平直线远动方向的惯性力应与u 均衡，于是有 M d 2 z m d 2 l sin ) u dt 2 2 (z dt
第 2 页共12页 即： (M m) z ml cos ml 2 sin u ① 绕摆轴转动的惯性力矩与重力矩均衡，因此有 m d 2 l sin ) l cos mgl sin dt 2 ( z 即： z cos l cos 2 l 2 sin cos g sin ② 以上两个方程都是非线性方程， 为求得分析解， 需作线性化办理。 因为控制的目的是保持倒立摆直 立，在试驾适合的外力条件下， 假定θ很小，靠近于零时合理的， 则 sin ,cos 1 ，且可忽视 2 项。于是有 ( M m)z ml u ③ z l g ④ 联立求解可得 z mg 1 u M M ( M m) 1 u Ml Ml 2.2 列写系统的状态空间表达式。 选用系统变量 x 1 , x 2 , x 3 , x 4 ， x x 1, x 2 , x 3, x 4 T 则 x 1 x 2 x 2 mg x 3 1 u M M x 3 x 4 x 4 (M m) x 3 1 u Ml Ml 即 z 0 1 0 0 0 0 0 mg 0 1 d z M M x 1 x u Ax Bu dt 0 0 0 0 (M m) g 1 Ml Ml y x 1 1 0 0 0 x Cx 代入数据计算获得：
直线倒立摆系统的LQR控制器设计及仿真_毕业设计精品
直线倒立摆系统的LQR控制器设计及仿真_毕业设计精品 1.引言 直线倒立摆系统主要由一个质量块和一个固定的轨道组成，质量块可以在轨道上自由运动。该系统的目标是在面对各种扰动时保持质量块的平衡。LQR控制器是一种优化控制方法，可以通过调整控制器的参数来实现系统动态响应的优化。 2.直线倒立摆系统建模 m*x''+b*v+m*g=f-u 在LQR控制器设计过程中，需要将系统的动力学方程转化为状态空间模型。定义状态变量为x1=x，x2=x'，那么系统的状态空间模型可以表示为： x1'=x2 x2'=(1/m)*(f-u-b*x2-m*g) 3.LQR控制器设计 LQR控制器设计的目标是通过调整控制器的参数来最小化系统的性能指标J。在直线倒立摆系统中，我们可以选择以能耗作为性能指标，即J = ∫(u(t)^2)dt。那么LQR控制器设计的目标是最小化能耗。 LQR控制器设计方法的关键是设计系统的状态反馈增益矩阵K。具体的设计步骤如下： 1)将系统的状态空间模型表示为矩阵形式： x'=Ax+Bu
y=Cx+Du 其中，A为状态转移矩阵，B为输入矩阵，C是输出矩阵，D为直接递 增矩阵。 2) 根据系统的状态空间模型计算系统的LQR控制器增益矩阵K。增 益矩阵K可以通过解代数矩阵Riccati方程得到： K=(R+B'*S*B)^(-1)*B'*S*A 其中，S为Riccati方程的解。 3) 计算系统的控制器增益矩阵L。增益矩阵L可以通过解代数矩阵Riccati方程得到： L=(R+B'*S*B)^(-1)*B'*S*C 4.LQR控制器仿真 在设计完成LQR控制器之后，可以进行仿真实验来验证控制器的效果。可以使用MATLAB或Simulink来进行仿真。 在仿真实验中，需要设置各个参数的初始值，并且加入一些扰动以测 试控制器的稳定性。通过观察系统的状态变量和控制力的响应曲线，可以 评估控制器的性能。 5.结论 本文介绍了直线倒立摆系统的LQR控制器设计及仿真方法。LQR控制 器可以通过调整控制器的参数来实现系统的优化控制。通过仿真实验可以 验证控制器的效果。实际应用中，还需要考虑系统的物理限制以及实时性 等因素，进一步优化控制器设计。
最新倒立摆离散型模糊控制器设计与仿真
倒立摆离散型模糊控制器设计与仿真 1. 数学模型 图1 倒立摆示意图 如上图1倒立摆示意图所示，)(θ° 为杆与垂线的夹角，)(N f 为作用力，杆的质量kg m p 1.0=，杆和小车的总质量kg m 1.1=，半杆长m l 5.0=，重力加速度 2/8.9s m g =，采样周期s T 02.0=。 其数学模型为： π 180θcos -)3/4(]θsin 2)^180/πθ ([θcos -θsin θ 2 ×+=l m ml l m f mg p p 2. 离散模糊控制器的设计 （1）确定输入、输出变量，选择维数 本文为倒立摆控制系统设计了一个双输入、单输出结构的模糊控制器。模糊控制器系统的输入变量为系统设定0θ与实际测得θ之间的偏差θ-θ0=e 及其偏差变化率1--Δi i e e e =，输出语言变量为控制量u 。 （2）确定基本论域和论域（比例因子） e ，e Δ，u 都是实数域上的连续变量，在该例中它们的变化范围分别为：e 的范围为]15,15-[，e Δ的范围为]60,60-[，u 的范围为]10,10-[，将它们全部变换 到离散论域}6,5,4,3,2,1,0,1-3-,4-5-,6-{，得到离散论域上的输入、输出变量*e ， *Δe ，
* u。 （3）定义模糊集合及隶属函数表 Δe，*u分别定义7个模糊集合NL，NM,NS，Z，PS，PM,PL。 对*e，* Δe，*u定义相同的隶属度函数，如表1所示。 对*e，* Δe，*u隶属度函数表 表1 *e，* （4）设计模糊控制规则 总结工作经验得出52条控制规则，见表2。 表2 控制规则表 （5）求模糊关系矩阵R和模糊控制表 在Matlab中新建文件，编写M文件计算模糊控制表，M文件如下。 Input1_Terms = [1,2,3,4,5,6,7]; Input2_Terms = [1,2,3,4,5,6,7]; Output_Terms = [1,2,3,4,5,6,7]; Input1_Terms_Membership = [0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0.2,0.7,1; 0,0,0,0,0,0,0,0,0.2,0.8,1,0.8,0.2; 0,0,0,0,0,0,0,0.8,1,0.8,0.2,0,0; 0,0,0,0,0,0.5,1,0.5,0,0,0,0,0;
一级倒立摆MATLAB仿真、能控能观性分析、数学模型、极点配置
题目一： 考虑如图所示的倒立摆系统。图中，倒立摆安装在一个小车上。这里仅考虑倒立摆在图面内运动的二维问题。倒立摆系统的参数包括：摆杆的质量（摆杆的质量在摆杆中心）、摆杆的长度、小车的质量、摆杆惯量等。 图倒立摆系统 设计一个控制系统，使得当给定任意初始条件(由干扰引起)时，最大超调量%≤10%，调节时间ts ≤4s ，使摆返回至垂直位置，并使小车返回至参考位置(x=0)。 要求：1、建立倒立摆系统的数学模型 2、分析系统的性能指标——能控性、能观性、稳定性 3、设计状态反馈阵，使闭环极点能够达到期望的极点，这里所说的期望的极点确定 是把系统设计成具有两个主导极点，两个非主导极点，这样就可以用二阶系统的 分析方法进行参数的确定 4、用MATLAB 进行程序设计，得到设计后系统的脉冲响应、阶跃响应，绘出相应状 态变量的时间响应图。 解： 1 建立一级倒立摆系统的数学模型 1.1 系统的物理模型 如图1所示，在惯性参考系下，设小车的质量为M ，摆杆的质量为m ，摆杆长度为l，在某一瞬间时刻摆角(即摆杆与竖直线的夹角)为θ，作用在小车上的水平控制力为u。这样，整个倒立摆系统就受到重力,水平控制力和摩擦力的3外力的共同作用。
图1 一级倒立摆物理模型 1.2 建立系统状态空间表达式 为简单起见，本文首先假设:(1)摆杆为刚体 ；(2)忽略摆杆与支点之间的摩擦；( 3) 忽略小车与导轨之间的摩擦。 在如图一所示的坐标下，小车的水平位置是y,摆杆的偏离位置的角度是θ，摆球的水平位置为y+lsin θ。这样，作为整个倒立摆系统来说，在说平方方向上，根据牛顿第二定律，得到 u l y dt d m dt d M =++)sin (y 22 22θ （1） 对于摆球来说，在垂直于摆杆方向，由牛顿第二运动定律，得到 θθsin )sin y (m 22 mg l dt d =+ （2） 方程(1)，(2)是非线性方程，由于控制的目的是保持倒立摆直立，在施加合适的外力条件下，假定θ很小，接近于零是合理的。则sin θ≈θ，cos θ≈1。在以上假设条件下，对方程线性化处理后，得倒 u ml M =++.. ..y m θ）（ （3）
倒立摆实验报告
专 业 实 验 报 告 实验名称 倒立摆实验 实验时间 姓名 学号 一、实验内容 1、直线一级倒立摆建模 1.1 受力分析 针对直线一级倒立摆，在实际的模型建立过程中，可忽略空气流动阻力和其它次要的摩擦阻力，则倒立摆系统抽象成小车和匀质刚性杆组成的系统，如图所示。 图1 小车系统 各参数定义： M ：小车质量 m ：摆杆质量 β：小车摩擦系数 l: 摆杆转动轴心到杆质心的长度 I ：摆杆惯量 F ：加在小车上的力 X ：小车位置 Ф：摆杆与垂直向上方向的夹角 θ：摆杆与垂直向下方向的夹角 摆杆受力和力矩分析 图2 摆杆系统 摆杆水平方向受力为：H 摆杆竖直方向受力为：V 由摆杆力矩平衡得方程： cos sin Hl Vl I φφθθπφθφ⎧-=⎪=-⎨⎪=-⎩ &&&&&& （1） 代入V 、H ，得到摆杆运动方程。 当0φ→时，cos 1θ=，sin φθ=-，线性化运动方程： 1.2 传递函数模型 以小车加速度为输入、摆杆角度为输出，令 ，进行拉普拉斯变换得到 传递函数：
22 () () ml G s ml I s mgl = +- （2） 倒立摆系统参数值： M=1.096 % 小车质量，kg m=0.109 % 摆杆质量，kg 0.1 β=% 小车摩擦系数 g=9.8 % 重力加速度， l=0.25 % 摆杆转动轴心到杆质心的长度，m I= 0.0034 % 摆杆转动惯量， 以小车加速度为输入、摆杆角度为输出时，倒立摆系统的传递函数模型为： 2 0.02725 () 0.01021250.26705 G s s = - （3） 1.3 倒立摆系统状态空间模型 以小车加速度为输入，摆杆角度、小车位移为输出，选取状态变量： (,,,) x x xθθ =& &（4）由2 () I ml mgl mlx θθ +-= &&&&得出状态空间模型 0100 1 0000 0001 3 3 000 4 4 x x x x x g g l μ θ θ θθ ⎡⎤ ⎡⎤⎡⎤ ⎡⎤⎢⎥ ⎢⎥⎢⎥ ⎢⎥⎢⎥ ⎢⎥⎢⎥ ⎢⎥' ==+⎢⎥ ⎢⎥⎢⎥ ⎢⎥⎢⎥ ⎢⎥⎢⎥ ⎢⎥⎢⎥ ⎢⎥⎢⎥ ⎣⎦⎣⎦⎢⎥ ⎢⎥ ⎣⎦⎣⎦ & & && & &&& （5） μ θ θ θ ' ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = 1 1 & &x x x y（6）由倒立摆的参数计算出其状态空间模型表达式： （7）
单级倒立摆设计
单级倒立摆 前言 自动控制理论是研究自动控制共同规律的技术科学。它的发展初期，是以反馈理论为基础的自动调节原理，并主要用于工业控制。控制理论在几十年中，迅速经历了从经典理论到现代理论再到智能控制理论的阶段，并有众多的分支和研究发展方向。 控制理论的发展，起于“经典控制理论”。早期最有代表性的自动控制系统是18世纪的蒸汽机调速器。20世纪前，主要集中在温度、压力、液位、转速等控制。20世纪起，应用围扩大到电压、电流的反馈控制，频率调节，锅炉控制，电机转速控制等。二战期间，为设计和制造飞机及船用自动驾驶仪、火炮定位系统、雷达跟踪系统及其他基于反馈原理的军用装备，促进了自动控制理论的发展。至二战结束时，经典控制理论形成以传递函数为基础的理论体系，主要研究单输入-单输出、线性定常系统的分析问题。经典控制理论的研究对象是线性单输入单输出系统，用常系数微分方程来描述。它包含利用各种曲线图的频率响应法和利用拉普拉斯变换求解微分方程的时域分析法。 设计目的及意义 1）、理论联系实际，加强对自动控制理论的理解。增强分析问题、解决问题的能力。2）、熟悉MATLAB软件，掌握它在控制系统设计当中的应用，能熟练进行系统建模、性能分析、模型仿真等操作。 3）、用单片机进行编程，实现PID的控制算法，了解控制算法的具体实现及单片机软件仿真过程。开发创新意识，增进对科学技术的兴趣,培养严肃认真的 科学态度。
1.倒立摆 1.1 倒立摆的概念 倒立摆是处于倒置不稳定状态，人为控制使其处于动态平衡的一种摆。如杂技演员顶杆的物理机制可简化为一级倒立摆系统，是一个复杂、多变量、存在严重非线性、非自治不稳定系统。 常见的单级倒立摆系统一般由小车和摆杆两部分构成。如下图 图1-1 单级倒立摆装置 1.2研究倒立摆稳定性的意义 倒立摆的研究具有重要的工程背景。从日常生活中所见到的任何重心在上、支点在下的控制问题，到空间飞行器和各类伺服云台的稳定，再到机器人行走。都和倒立摆系统的稳定控制有很大相似性，故对其稳定控制在实际中有很多应用，如火箭姿态控制、卫星发射架的稳定控制、飞机安全着陆、海上钻井平台的稳定控制等。
附--倒立摆简介与模型
倒立摆简介 倒立摆系统是理想的自动控制教学实验设备，使用它能全方位的满足自动控制教学的要求。许多抽象的控制概念如系统稳定性、可控性、系统收敛速度和系统抗干扰能力等，都可以通过倒立摆直观的表现出来。 倒立摆系统具有模块性好和品种多样化的优点，其基本模块既可是一维直线运动平台或旋转运动平台，也可以是两维运动平台。通过增加角度传感器和一节倒立摆杆，可构成直线单节倒立摆、旋转单节倒立摆或两维单节倒立摆；通过增加两节倒立摆杆和相应的传感器，则可构成两节直线倒立摆和两节旋转倒立摆。 倒立摆的控制技巧和杂技运动员倒立平衡表演技巧有异曲同工之处，极富趣味性，学习自动控制课程的学生通过使用它来验证所学的控制理论和算法，加深对所学课程的理解。由于倒立摆系统机械结构简单、易于设计和制造，成本廉价，因此在欧美发达国家的高等院校，它已成为常见的控制教学设备。 同时由于倒立摆系统的高阶次、不稳定、多变量、非线性和强耦合特性，许多现代控制理论的研究人员一直将它视为研究对象，并不断从中发掘出新的控制理论和控制方法。因此，倒立摆系统也是进行控制理论研究的理想平台。 直线运动型倒立摆外形美观、紧凑、可靠性好。除了为每个子系列提供模块化的实现方案外，其控制系统的软件平台采用开放式结构，使学生建立不同的模型，验证不同的控制算法，供不同层次的学生进行实验和研究。 由于采用了运动控制器和伺服电机进行实时运动控制，以及齿型带传动，固高公司的倒立摆系统还是一个典型的机电一体化教学实验平台，可以用来进行各种电机拖动、定位和速度跟踪控制实验，让学生理解和掌握机电一体化产品的部件特征和系统集成方法。
一. 系统组成及参数： 倒立摆系统由水平移动的小车及由其支撑的单节倒立摆构成。控制输入为驱动力F （N），是由拖动小车的直流伺服电机提供的；被控制量是摆杆与垂直位置方向夹角θ（rad）和小车的位移x（m）。 实际倒立摆系统的模型参数： M：小车的质量，1.096kg； m：摆杆的质量，0.109kg； b：小车的摩擦系数，0.1N/(m/sec)； L ：摆杆的中心到转轴的长度，0.25m J：摆杆对重心的转动惯量，0.0034kg m2； T ：采样周期，0.005秒； 二．设计指标： 摆的角度小于0.02rad，响应时间小于1秒
一级倒立摆系统最优控制
摘要 倒立摆系统是一个典型的快速、多变量、非线性、不稳定系统，许多抽象的控制理论概念都可以通过倒立摆实验直观的表现出来。因此，倒立摆系统经常被用来检验控制策略的实际效果。应用上，倒立摆广泛应用于航空航天控制、机器人，杂项顶杆表演等领域，研究倒立摆的精确控制对工业复杂对象的控制也有着重要的工程应用价值。 本文以固高公司生产的GIP-100-L型一阶倒立摆系统为研究对象，对直线一级倒立摆模型进行了建模，控制算法的仿真对比，并得出了相应的结论。 文中介绍了倒立摆的分类、特性、控制目标、控制方法等以及倒立摆控制研究的发展及其现状。利用牛顿力学方法推到了直线以及倒立摆的动力学模型，求出其传递函数及其状态空间方程。 在建立了系统模型的基础下，本文还研究了倒立摆系统的线性二次型最优控制问题，并且使用了MATLAB软件进行仿真，通过改变LQR模块及状态空间模块中的参数，在仿真中取得了不同的控制效果，最终得到了最好的控制效果。 关键字：一级倒立摆线性系统、数学建模、最优控制、LQR、仿真
目录 1 一阶倒立摆的概述 (1) 1.1倒立摆的起源与国内外发展现状 (1) 1.2倒立摆系统的组成 (1) 1.3倒立摆的分类： (1) 1.4倒立摆的控制方法： (2) 2．一阶倒立摆数学模型的建立 (3) 2.1概述 (3) 2.2数学模型的建立 (4) 2.4实际参数代入： (5) 3．定量、定性分析系统的性能 (7) 3.1对系统的稳定性进行分析 (7) 3.2 对系统的能空性和能观测性进行分析： (8) 4．线性二次型最优控制设计 (9) 4.1线性二次最优控制简介 (9) 4.2 直线一级倒立摆LQR控制算法 (10) 4.3 最优控制MATLAB仿真 (18) 总结 (21) 参考文献 (22)