云南省昆明市第一中学2020届高三考前第九次适应性训练数学(文)试题与答案详解
2020届昆一中高三联考卷第九期数学（文科）参考答案及评分标准命题、审题组教师杨昆华张宇甜顾先成李春宣王海泉莫利琴蔺书琴张远雄崔锦杨耕耘
一、选择题题号123456789101112答案DACCBCDABDCB1.解析：由图可得，在复平面内，2,1A，1,1B，则12iz，21iz，所以
122i1i13izz，所以22121310zz.选D.
2.解析：由210x得11x，所以11Axx，函数12xy的值域0Byy，所以0,1ABI，选A.
3.解析：由题意，某小区小型超市今年一月份到五月份的营业额和支出数据的折线图，可得：1月份的利润为32.50.5万元；2月份的利润为3.52.80.7万元；3月份的利润为3.830.8万元；4月份的利润为43.50.5万元；5月份的利润为541万元，所以该超市这五个月的利润一直在增长是不正确的，选C．4.解析：因为32c
a，2a，所以3c，所以1b，选C．
5.解析：圆锥的表面积222412S，选B．6.解析：因为fx为奇函数，所以010fa，所以1a，故eexxfx
，故
eexxfx，由导数的几何意义知fx在点0,0处的切线斜率02kf，则fx在点
0,0处的切线方程为2yx，故选.C
7.解析：1111222223BEBABDBABC
1115
()
2336BAACABACAB
，选D.
8.解析：因为()sin(2)cos(2)2sin(2)2cos2
442fxxxxx
，
所以()yfx的最大值为2，在(0,)2上单调递增，选A．9.解析：由俯视图可知侧视图是宽为23，高为2的矩形，所以侧视图面积为423，选B．
10.解析：因为2222146ABBCCCR，由已知1ABBC，所以12CC，1DAD
为异面直线1AD与BC所成角，111225sin55DDDADAD，选D．11.解析：sin2costan=sinA2cossin2sinsinsin21cosBBAAABACB,所以242bacb，，所以周长+=6acb，所以选C.12.解析：由题意对任意10,2x（），存在21,2x，使12()fxgx，则12minmin
()fxgx
所以2(1)(3)4xxfxx，可得1min
12fx，
222=2+4=()+4,1,2gxxbxxbbx，若
2b，min=2=84gxgb，所以1842b，即178b满足，若12b，2min==4gxgbb，
所以2132324,
222bbb，即
，不满足舍去，若1b，
min=1=52gxgb，所以
11152
24bb，即，不满足舍去，所以选B.
二、填空题13.解析：当1a时，由22log(1)3a，得3a，当1a时，由233a，得0a.所以0a或3a.14.解析：作出不等式组对应的平面区域如图：由图象知当直线3yxz
经过点21A，时，直线的截距最大，此时z最小，最小值为7.15.解析：直线0xay过定点(0,0)A，直线220axya过定点(2,2)B，且两条直线相互垂
直，故点M在以AB为直径的圆上运动，所以222||||||||422ABMAMBMAMB，当且仅当||||2MAMB时取“=”，所以||||MAMB的最大值为4．16.解析：由题意可知，+=sin++cos(+)=(sin+cos)cos(cossin)sinfxaxxaxax()为偶函数，所以cossin=0a，即tan=(0)aa，所以22sincos2tansin2=2sincos=0
11+tan
，所以
112sin2+=2sin2+tantanaa22sin24
sin2
，当且仅当sin21取得最值.即
+4k
时取得最小值.
三、解答题：（一）必考题：17.解析：（1）由1
11(1)11nnnnaanannn，得11
1nn
aa
nn
所以nan是等差数列，首项为3，公差为1.
（2）由（1）得3(1)12nannn，所以22
nann
2111111()
2(2)22nn
bannnnnn
12111111111()()()
21322422nnSbbb
nn
、
11111323()
2121242(1)(2)
n
nnnn
18.（1）证明：因为DCGH为矩形，所以CGCD，又CGAD，所以CG平面ADC，故CGAC，
因为AEFBCD为正六边形，所以120ADCDCB，故30DCA，所以90ACB，即ACCB，又因为CGCBC,所以AC平面BCG，因为AC平面ACG，所以平面ACG平面BCG.………5分
(2)解；因为DC∥HG，所以点D到平面AHG的距离与点C到平面ABHG的距离相等，由（1）知ACCG，ACCB，CBCG，故三棱锥CABG的体积1183
32VCGACCB
，
因为225BGBCCG，2257AGACCG，所以
2222
cos
25
ABBGAGABG
ABBG
，
所以21sin
5ABG，所以三角形ABG的面积1sin4212SABBGABG，
所以点C到平面ABG的距离3677VhS，所以点D到平面AHG的距离为677.………12分
19.解析：（1）由数学成绩为二等奖的考生有12人，可得1250
10.40.260.1
，所以语文成绩为
一等奖的考生5010.3820.164人．（2）两科均为一等奖共有3人，仅数学一等奖有2人，仅语文一等奖有1人．设两科成绩都是一等奖的3人分别为123,,AAA，只有数学一科为一等奖的2人分别是12
,BB，只有语文一科为一等奖的1人是C，则随机抽取两人的基本事件空间为121311121232122{,,,,,,,,AAAAABABACAAABAB23132312,,,,,ACABABACBB12,}BCBC，共有15
个，而两人两科成绩均为一等奖的基本事件1121323,,AAAAAA共3个，所以两人的两科成绩均为一等奖的概率31155P．
20.（1）直线l：0(0)kxykk过定点(1,0)N
由条件可得||||QNQP，又||||4QMQP
所以||||4QMQN
根据椭圆定义：动点Q的轨迹是椭圆
且24a，2a，1c，3b，故C的方程为：22143xy.…......4分
（2）直线l：(1)(0)ykxk，代入22143xy得2222(34)84120kxkxk
，
设1122
()()AxyBxy，、，，
则2122834kxxk，①2122
41234k
xx
k
.②………6分
因为D为AE的中点，且22
()Dxy，，
因为1202()yy，12
2yy，
所以1212
(1)2(1)23kxkxxx，③………9分
①、③联立得22122249493434kkxxkk，，代入②得22212222
4949412343434kkk
xx
kkk
，
2
55
42kk，，
所以直线l的方程为5(1)
2yx
.………12分
云南省昆明市第一中学2020届高三第八次考前适应性训练文科数学答案
B 12020届昆一中高三联考卷第八期联考文科数学参考答案及评分标准一、选择题1. 解析：依题意i31e cosisin332z πππ==+=+，则1i i 2z ，选C. 2. 解析：{}{}{}3,33,0,1,2A x x x x x x =<∈=-<<∈=N N ，易知图中阴影部分对应的集合为A B I ，{}0,1,2A B =I ，选B.3. 解析：函数()=e sin x f x x ⋅为非奇非偶函数，排除B ，C 选项；当0x =时，()00f =，所以选A.4. 解析：由已知：a r 与b r 共线，可得83x =-，所以b r 在a r 方向上的投影为：cos =a b b a b a ⋅=r r r r r r ，，选D.5. 解析：不超过16的素数有2,3,5,7,11,13，随机选取两个不同的数基本事件为(2,3)， (2,5)，(2,7)，(2,11)，(2,13)，(3,5)，(3,7)，(3,11)，(3,13)，(5,7)，(5,11)，(5,13)，(7,11)，(7,13)，(11,13)，其和等于16的事件有(3,13)和(5,11)，所以概率为215，选A ． 6. 解析：因为ba-= 所以2c e a ===，选A ． 7. 解析：由正弦定理得：22sin sin sin cos 2sin A B B A A +=，所以22sin (sin cos )2sin B A A A ⋅+=，即：sin 2sin B A =，所以sin 2sin b Ba A==，选D ． 8. 解析：1,0i S ==；1,22S i ==；2113,3242S i =+==；3317,4482S i =+==；47115,58162S i =+==，此时输出，结合选项，选C.9．解析：设2AB =，BC 的中点为D ，则AD ⊥平面1BC ，连结1B D ， 则1AB D ∠是直线1AB 与平面1BC 所成角，在Rt △1ADB 中， 11315tan 5AD AB D B D ∠===，选B ． 10. 解析：因为0ω>，由已知得：24πππω-≤，所以4ω≤，所以()44424x πωππωππω-∈--，，所以4423242ωπππωπππ⎧-≥⎪⎪⎨⎪-≤⎪⎩，解得732ω≤≤，选C ．11. 解析：()()()=2=f x f x f x --，可推出()f x 为周期为2的函数，所以1111116=2224f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，选A. 12. 解析：有题意可知，127cos 25F BF ∠=，所以24cos 5bOBF a ∠==，令5,40a t b t t ==>，(),则3c t =，所以43BD k =-,所以2222216=25D D D BD CD D D D y b y b y b b k k x x x a -+-===--g ，所以1225BD k =，选B二、填空题13. 解析：因为()e e ln xx f x x x'=+⋅，由导数的几何意义知()1e k f '==，故曲线()e ln x f x x =⋅在点()1,0处的切线方程为()e 1y x =-.14. 解析：直线0kx y k -+=过定点()10-，， 不等式组表示的区域如图： 可知k 的取值范围是：117⎡⎤⎢⎥⎣⎦，. 15. 解析：由()42ππθ∈，得2()2πθπ∈，，所以27cos21sin 29θθ=--=-，所以1cos 21cos 23θθ+==． 16. 解析：由题意可得，△ABD ≅△ACD ,所以AC CD ⊥,所以AD 为三棱锥A BCD -的外接球的直径，设=AB x ，则4BD x =-，所以2222(4)(4)82x x AD x x +-=+-≥=，所以三棱锥A BCD -的外接球的半径min R ，所以三棱锥A BCD -三、解答题： （一）必考题：17. 解析：（1）1n =时，11a =2n ≥时，由1123(1)2422n n n n a a a a -++++⋅⋅⋅+=…① 可得21231(1)2422n n n na a a a ---+++⋅⋅⋅+=…② ①-②，12n n a n -=，11()2n n a n -=⋅因为1a 适合11()2n n a n -=⋅，所以{}n a 的通项公式为11()2n n a n -=⋅. ………6分（2）011121111()2()()222n n n S a a a n -=++⋅⋅⋅+=⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯， …③1211111()2()()2222n n S n =⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯，…④ ③-④得01111111()()()()22222n n n S n -=++⋅⋅⋅+-⨯11()112()12212nn n S n -=-⨯-，114(2)()2n nS n -=-+⋅. ………12分 18. 解：（1）由已知，优等品的质量与尺寸的比在区间e e ,97⎛⎫⎪⎝⎭内，即()0.302,0.388y x ∈，则随机抽取的6件合格产品中，有3件为优等品记为,,a b c ，3件为非优等品记为,,d e f ，现从抽取的6件合格产品中再任选2件，基本事件为(),a b ，(),a c ，(),a d ，(),a e ，(),a f ，(),b c ，(),b d ，(),b e ，(),b f ，(),c d ，(),c e ，(),c f ，(),d e ，(),d f ，(),e f ，选中的2件均为优等品的事件为(),a b ，(),a c ，(),b c ，所求概率为15． ………6分 （2）解：对b y c x =⋅（,0b c >）两边取自然对数得ln ln ln y c b x =+，令ln ,ln i i i i v x u y ==，得u b v a =⋅+，且ln a c =，根据所给统计量及最小二乘估计公式有，1222175.324.618.360.2710.542101.424.66ni i i ni i v u nvu b v nv ∧==--⨯÷====-÷-∑∑， 118.324.6612a u b v ∧∧⎛⎫=-=-⨯÷= ⎪⎝⎭，得ln 1ˆˆa c ==，故ˆe c=， 所求y 关于x 的回归方程为0.5e y x =． ………12分19.（1）证明：连接CG 并延长交AB 于M ，由已知得1A G ⊥平面ABC ，且CM AB ⊥， 所以1A G ⊥AB ，因为1CM A G G =I ， 所以AB ⊥平面1A MC ，所以AB ⊥1A C ， 因为四边形11A ACC 是平行四边形，且1AA AC =， 所以四边形11A ACC 是菱形，所以11A C AC ⊥，因为1AB AC A =I ，所以1A C ⊥平面1ABC ， 因为1A C ⊂平面11A B C ，所以平面1ABC ⊥平面11A B C . ………5分（2）解：由已知得1A G ⊥平面ABC ，所以侧棱1A A与底面所成的角正切值为1tan A AG ∠=因为2AG =，所以1A G =11A A C C ==因为1A 在底面ABC 上的射影是ABC ∆的重心G ， 所以等边三角形ABC的边长为11BC A C ==同理1Rt A GB ∆中，1A B =因为1A 在底面ABC 上的射影是ABC ∆的重心G ，所以AG BC ⊥，且1AG BC ⊥，因为1AG A G G =I ，所以BC ⊥平面1A AG ， 所以1BC A A ⊥，因为1A A ∥1C C ，所以1C C BC ⊥，故1Rt BCC ∆中，1BC =因为2221111A C A B BC +=，所以11A BC ∆为直角三角形， 设点1B 到平面11A BC 的距离为h ，由111111B A B C B A BC V V --=得1111111133A B C A BC S AG S h ∆∆⋅=⋅，所以h = 即点1B 到平面11A BC的距离为………12分20. 解：(1)由条件可知GE GF =，即点G 到l 的距离等于点G 到点F 的距离， 所以点G 的轨迹是以l 为准线，F 为焦点的抛物线， 其方程为：24x y =.………5分（2）设线段AB 的垂直平分线与AB 交于点M ，分别过点,A B 作11,AA l BB l ⊥⊥，垂足为11,A B ，再过点A 作1AC BB ⊥，垂足为C ，因为,PFM ABC PMF ACB ∠=∠∠=∠， 所以PFM ∆∽ABC ∆，所以FP FM ABBC=，设AF m =，BF n =(不妨设n m >)，由抛物线定义得1AF AA m ==， 1BF BB n ==，所以BC n m =-， 而22m n n mFM AM AF m +-=-=-=， 所以122n mFP FM AB BC n m -===-.………12分21. 解：（1）当0a =时，()ln sin f x x x =+，()0,x ∈+∞，若01x <≤，因为()1cos 0f x x x'=+>，所以()f x 在(]0,1上单调递增，又()1sin10f =>，且111sin 0e e f ⎛⎫⎛⎫=-+< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，结合零点存在性定理可知()f x 在(]0,1上有且仅有一个零点；若1x π<≤，则ln 0x >且sin 0x ≥，所以()0f x >； 若x π≥，因为ln ln 1sin x x π>>≥-，所以()0f x >；综上，()f x 在()0,+∞有且仅有一个零点. ……… 5分 （2）当1a ≥时，ax x ≥,ax x -≤-,且sin 1x ≤，故()ln 1f x x x ≤+-， 构造函数()ln 1g x x x =+-，()0,x ∈+∞，则()1xg x x-'=， 若01x <<，则()0g x '>，故()g x 在()0,1上单调递增， 若1x >，则()0g x '<，故()g x 在()1,+∞上单调递减，故()()max 10g x g ==，即()0g x ≤对任意()0,x ∈+∞恒成立，当且仅当1x =时取得等号， 当1x =时，sin 1x <，故()0f x <对任意()0,x ∈+∞恒成立. ……… 12分（二）选考题：第22、23题中任选一题做答。
昆明市官渡区第一中学2020届高三数学上学期开学考试试题文
.
当 时， 的最大值为 。由题设得 ,所以 ；
当 时, 的最大值为 .由题设得 ，所以 。
综上， 或 。
所以 ,可得 ，
所以 。
22。在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为 （θ为参数），直线l的参数方程为
．
(1)若 ，求C与l的交点坐标;
(2）若C上的点到l的距离的最大值为 ,求 ．
【答案】
试题解析：（1）曲线 的普通方程为 .
当 时，直线 的普通方程为 .
由 解得 或 。
从而 与 交点坐标为 ， .
设直线 的方程为 ．
由 消去 ,得 ，
所以设 ， ,则 , ．
所以 ．
所以 ．①
因为直线 和圆 相切,所以圆心到直线 的距离 ，
整理，得 ， ②
将②代入①，得 ，显然以 为直径的圆经过定点 ，
综上可知,以 为直径的圆过定点 ．
21。
【详解】解：（1)当 时， , ，
所以函数 的图象经过定点 。
（2）当 时， ，
A B。 C。 D。
12.关于 的方程 在区间 上仅有一个实根，则 的取值范围为（ )
A. B。 C。 D.
二、填空题：（20分）
13。函数 的部分图象如左图所示，则将 的图象向右平移 个单位后，得到的图象对应的函数解析式为________.
14。已知a〉0，b>0，并且 成等差数列,则 的最小值为_________。
9。【详解】解:可得圆心（0，0）到直线 的距离 ,
由直线与圆相交可得， ，可得d=1，
即 =1，可得 ,可得直线方程： ，
故斜率为 ，
故选D.
10。【详解】解：
2022届云南省昆明市第一中学高三第八次考前适应性训练数学(文)试题(解析版)
2022届云南省昆明市第一中学高三第八次考前适应性训练数学（文）试题一、单选题1．在复平面内，若复数3i()2im z m -=∈+R 所对应的点落在直线y x =上，其中i 为虚数单位，则m =（ ） A ．3- B ．1- C ．9 D ．12【答案】B【分析】由复数的运算先化简复数z ，得到复数z 所对应的点坐标，结合条件建立关于m 的方程，从而得到答案. 【详解】3i 236i 2i 55m m m z --+==-+，则复数z 所对应的点为236,55m m -+⎛⎫- ⎪⎝⎭ 由题意23655m m -+=-，得1m =-， 故选：B2．设集合{}{}1,2,20A B x ax ==-=，若B A ⊆，则由实数a 组成的集合为（ ） A ．{1} B ．{2} C ．{1,2} D ．{0,1,2}【答案】D【分析】由题设可知集合B 是集合A 的子集，集合B 可能为空集，故需分类讨论 【详解】解析：由题意，当=B ∅时，a 的值为0； 当{}=1B 时，a 的值为2； 当{}=2B 时，a 的值为1， 故选：D3．已知0.33a =，0.413b -⎛⎫= ⎪⎝⎭，4log 0.3c =，则（ ）A ．b a c >>B ．a c b >>C ．c b a >>D ．c a b >>【答案】A【分析】根据指对数函数的性质判断a 、b 、c 的大小. 【详解】由0.40.0.4434log 0.3log 131303a c b -=<=<<=⎛⎫== ⎪⎝⎭，所以b a c >>. 故选：A4．在“绿水青山就是金山银山”发展理念的指导下，治沙防沙的科技实力不断提升，并为沙漠治理提供了有力的资金和技术支持.现在要调查某地区沙漠经过治理后的植物覆盖面积和某野生动物的数量，将该地区分成面积相近的150个地块，用简单随机抽样的方法抽出15个作为样区，调查得到样本数据()i i ,(1,2,3,15i ,)x y =，其中i x 和i y 分别表示第i 个样区的植物覆盖面积（单位：公顷）和这种野生动物的数量，经统计得1515ii 1160,1200i i xy ====∑∑，则该地区的植物覆盖面积和这种野生动物数量的估计值分别为（ ） A ．600，1200 B ．600，12000 C ．60，1200 D ．60，12000【答案】B【分析】根据样区的数据，可得到该地区的的植物覆盖面积和这种野生动物的数量的平均数估计值，从而可得答案.【详解】该地区的的植物覆盖面积的平均数估计值为60415=公顷 所以该地区的的植物覆盖面积估计值为1504⨯=600，这种野生动物数量的估计值为15111501200015i i y =⨯=∑，故选：B5．函数()()41931xx f x x -=+的部分图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【分析】先利用奇偶性排除部分选项，再由()10f <函数值的符号判断排除可得选项.【详解】解：因为函数()f x 的定义域为R ，且()()()()4419913131x x x x f x f x x x -----===-⎡⎤+-+⎣⎦， 所以函数()f x 是奇函数，故排除C 、D ，又()()4194103311f -==-<+，故排除B 选项. 故选：A.6．在一次羽毛球男子单打比赛中，运动员甲､乙进入了决赛.比赛规则是三局两胜制.根据以往战绩，每局比赛甲获胜概率为0.4，乙获胜概率为0.6.利用计算机模拟实验，产生[]1,5内的整数随机数，当出现随机数1或2时，表示一局比赛甲获胜，现计算机产生15组随机数为：423，231，344，114，534，123，354，535，425，232，233，351，122，153，533，据此估计甲获得冠军的概率为（ ） A ．1425B ．44125 C ．13D ．25【答案】C【分析】根据题意，由随机数组来确定胜负情况，根据15组数据中满足条件的数组个数，除以总数即可得解.【详解】由计算机产生的15组数据中，甲获得冠军的数据有231，114，123，232，122，共5组， 据此估计甲获得冠军的概率为51153=， 故选：C.7．已知23,,2sin 3sin 2124ππααα⎛⎫∈+= ⎪⎝⎭，则cos 26πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ）A ．1-B ．32- C ．12- D ．1【答案】A【分析】由二倍角公式化简从而求解tan2α，根据角的范围求得22cos ,sin αα，结合余弦两角差公式即可求解结果．【详解】由22sin 3sin 21αα+=，得1cos23sin 21αα-+=，3tan 23α=，3π2(π,)2α∈，所以3cos 22α=-，1sin 22α=-，πππcos(2)cos2cos sin 2sin 1666ααα-=+=-，故选：A .8．已知O 为ABC ∆所在平面上一点，若OA OB OB OC OC OA ⋅=⋅=⋅,则O 为ABC ∆的 A ．内心 B ．外心C ．垂心D ．重心【答案】C【详解】试题分析：，所以，同理：，所以为的垂心．【解析】1．向量垂直的充要条件；2．向量与平面几何． 9．已知圆周率π满足等式1111111143579111315π=-+-+-+-+，如图是计算π的近似值的程序框图，图中空白框中应填入（ ）A ．(1)21kS S k -=+-B ．(1)21kS S k -=++C ．(1)21kS S k -=--D ．(1)21kS S k -=-+【答案】C【分析】观察选项模拟程序运行，即可得出答案.【详解】模拟程序的运行过程知，1k =，0S =，满足条件k N <；1(1)01211S -=-=⋅-，2k =，满足条件k N <；2(1)1122113S -=---=⋅，3k =，满足条件k N <； ……(1)11111111213579111315k S S k -=-=-+-+-+-+-，根据以上分析判断空白处应填写(1)21kS S k -=--，故选：C.10．已知12,F F 分别是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左､右焦点，过点2F 且倾斜角为150︒的直线交y 轴于点A ，交双曲线的左支于点B ，若20AB AF +=，则C 的渐近线方程为（ ） A ．33y x =±B ．3y x =±C ．22y x =±D ．2y x =±【答案】D【分析】由题可得12=90BF F ∠︒，进而可得223230c ac a --=，222b a =，即得. 【详解】由题意，点A 为2BF 的中点，又O 为12F F 的中点，则OA 为△12BF F 的中位线， 所以12=90BF F ∠︒，令x c =-，代入22221x y a b-=，可得2by a =±，在Rt △12BF F 中，21=30BF F ∠︒，21123tan 302b BF a F F c ︒===223230c ac a -=， 得3c a=3c a =，则222b a=， 得C 的渐近线方程为2y x =±, 故选：D.11．已知三角形ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知30A =︒，且2sin sin sin 2cos22B C B B ++=，则bc 的值为（ ）A 43-B 43- C 3D 3【答案】B【分析】由条件可得2sin sin sin sin 2sin 0B C A B B +-=，然后可得20c a b +-=，然后结合余弦定理可得答案.【详解】因为2sin sin sin 2cos22B C B B ++=，所以得1sin sin sin cos2102B C B B ++-=， 又因为30A =，所以1sin 2A =，进而有2sin sin sin sin 2sin 0B C A B B +-=， 因为sin 0B ≠，所以sin sin 2sin 0C A B +-=，由正弦定理得20c a b +-=，又2222cos30a b c bc =+-，消a ，可得()343b c =-，所以433b c-=，故选：B .12．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左､右焦点分别为12,F F ，过点1F 的直线与椭圆交于A ，B 两点，123,0AB AF BA BF =⋅=，则椭圆的离心率为（ ） A ．22B ．56C ．53D ．63【答案】C【分析】设1AF x =，然后可得12BF x =，22AF a x =-，222BF a x =-，然后在2BAF 中由勾股定理可得3ax =，然后在12BF F △中由勾股定理可得答案. 【详解】设1AF x =，因为13AB AF =，所以12BF x =， 由椭圆的定义可得22AF a x =-，222BF a x =-，因为20BA BF ⋅=，所以在2BAF 中由勾股定理可得()()2229222x a x a x +-=-，解得3a x =所以123a BF =，243aBF = 所以在12BF F △中由勾股定理可得222941649a a c +=，从而可得5e =故选：C 二、填空题13．已知曲线()()e x f x ax b =+在点(0,2)处的切线方程为20x y +-=，则=a ___________.【答案】3-【分析】首先求出函数的导函数，再根据(0)2(0)1f f =⎧⎨=-'⎩得到方程组，解得,a b ，即可得解；【详解】因为()()e x f x ax b =+，所以()()e x f x ax a b ++'=，所以(0)2(0)1f b f a b ==⎧⎨=+='-⎩所以3a =-.故答案为：3-14．已知等比数列{}n a 的公比为q ，且||1q >，数列{}n a 中有连续四项是集合{48,12,24,48,96}M =--中的元素，则q =___________.【答案】2-【分析】由题意根据等比数列中项的特点，观察得出{}n a 中连续四项，从而得到答案. 【详解】集合{48,12,24,48,96}--中有两个负数，三个正数， 由题意等比数列{}n a 中连续四项为2个正数和2个负数，由||1q >，所以{}n a 中连续四项为12,244896--，，，所以2q =-. 故答案为：2-15．函数()2sin()0,||2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的部分图象如图中实线所示，A ，C 为()f x 图象与x 轴交点，且1,012A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，M ，N 是()f x 的图象与圆C （虚线所示）的交点，且点M 在y 轴上，56N x =，则圆C 的面积为___________.【答案】169144π【分析】根据图像由()f x 的图象与圆C 均关于点C 成中心对称，得出点C 坐标，从而求出函数的解析式，求出点M 的坐标，得出圆C 的半径，求出圆C 的面积.【详解】M ，N 是()f x 的图象与圆C 的交点，由()f x 的图象与圆C 均关于点C 成中心对称所以,M N 关于点C 对称，由56N x =，点M 在y 轴上，则5,012C ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 则()f x 的周期为512211212AC ⎡⎤⎛⎫=⨯--= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，即21,T πω==即2ωπ= 由12sin 0126f πϕ⎛⎫⎛⎫-=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则,6k k Z πϕπ-+=∈，即,6k k Z πϕπ=+∈，由2πϕ<，则6π=ϕ，所以()2sin 26f x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，()02sin 16f π==，则()130,1,12M CM =，即圆C 的半径为1312所以圆C 面积为169144π. 故答案为：169144π16．在三棱锥P ABC -中，8,3,8,60PC AC BC ACB ===∠=︒，点P 到三角形ABC 三边的距离相等，且点P 在平面ABC 上的射影落在三角形ABC 内，则CP 与平面ABC 所成角的正切值为___________.【分析】设点P 在平面ABC 上的射影为点O ，通过证明得到PCO ∠为CP 与平面ABC 所成的角，在PCO △中计算即可得到PCO ∠的正弦值.【详解】设点P 在平面ABC 内的射影为O 点，因为点P 到三角形ABC 三边的距离相等，且点P 在平面ABC 上的射影落在三角形ABC 内，则点O 到三角形ABC 三边的距离相等，所以点O 为三角形ABC 的内心，设三角形ABC 的内切圆的半径为r ，三角形ABC 的内切圆与边BC 切于点D ，因为3AC =，8BC =，60ACB ∠=，所以7AB =，又()11sin 6022ABCSAC BC AC BC AB r =⋅⋅=++⋅，所以r = 在直角三角形OCD 中，90CDO ∠=，30OCD ∠=，所以CO =因为PO ⊥平面ABC ，所以PCO ∠为CP 与平面ABC 所成的角， 因为8PC =，所以PO所以CP 与平面ABC 所成角的正切值为POCO故答案为：11三、解答题17．已知数列{}n a 的前n 项和()3n n S n *=∈N .(1)判断数列{}n a 是否为等比数列，说明理由； (2)若n n b na =，求数列{}n b 的前n 项和n T . 【答案】(1){}n a 不是等比数列，证明见解析 (2)13()322=-⋅+n n T n【分析】（1）先求1a ，由1n n n a S S -=-得出n a ，从而可得到答案. （2）由错位相减法求和即可得到答案.【详解】(1)当1n =时，113a S ==，因为1113323n n n n n n a S S ---=-=-=⨯(2)n ≥，所以数列{}n a 的通项公式：()()131232n n n a n -⎧=⎪=⎨⨯≥⎪⎩，所以26a =，318a =，所以3221aaa a ≠，所以{}n a 不是等比数列.(2)由（1）得：()()131232n n n a n -⎧=⎪=⎨⨯≥⎪⎩，所以()()131232n n n b n n -⎧=⎪=⎨⋅≥⎪⎩，当1n =时，113T b ==当2n ≥时，21132(23333)-=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⋅n n T n ，①23392(23333)=+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⋅n n T n ，②由①-②得： 222123(13)262(333)=6+23(12)3313n n nn n n T n n n --⨯⨯--=++⋅⋅⋅+-⋅-⋅=-⋅--，所以13()322=-⋅+n n T n ，当1n =时，也满足 所以13()322=-⋅+n n T n18．某科技公司为制订下一年的研发投入计划，需了解年研发资金投入量x （单位：亿元）对年销售额y （单位：亿元）的影响，对近10年研发资金投入量i x 和销售额i (i 1,2,,10)y =数据作了初步处理，得到下面的散点图.(1)根据散点图判断，y a bx =+与e c dx y +=哪一个适宜作为年销售额y 关于年研发资金投入量x 的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）(2)①根据（1）的选择及表中数据，建立y 关于x 的回归方程（精确到0.001）； ②若下一年销售额y 需达到90亿元，预测下一年的研发资金投入量x 约为多少亿元？ 附：对于一组数据()()()1122,,,,,,n n v v v μμμ，其回归直线v αβμ=+的斜率和截距的最小二乘估计分别为：()()()ii i 12i i 1ˆˆˆ,nnv v v μμβαβμμμ==--==--∑∑.参考数据：其中ln ,ln90 4.50w y =≈.x yw()102i i 1x x =-∑ ()102i i 1y y =-∑ ()102i i 1w w =-∑ ()()10i i i 1x x y y =--∑ ()()10i ii 1x x w w =--∑20 303.2900 300 3.78 1600 58.21【答案】(1)e c dx y += (2)①0.065 1.9ˆe x y+=；②40亿元【分析】（1）根据散点图可得答案；（2）根据所给数据和公式计算即可.【详解】(1)e c dx y +=适宜作为年销售量额y 关于年研发资金投入量x 的回归方程类型.(2)①由e c dx y +=，得ln y dx c =+，即w dx c =+ ()()()121122158.21900.0065i ii i i x x w w d x x ==--==≈-∑∑， 3.20.06520 1.9c w d x =-=-⨯= 则w 关于x 的回归方程为0.065 1.9w x =+所以0.0651ln .9ˆx y=+，即0.065 1.9ˆe x y += ②若下一年销售额需达到90亿元，则由0.065 1.9e 90x y +==，得0.065 1.9ln90 4.5x +=≈， 4.5 1.9400.065x -≈=，所以预测下一年的研发资金投入量约为40亿元. 19．如图所示，直三棱柱111ABC A B C -的所有棱长均相等，点D 为1B C 的中点，点E 为11A C 的中点.(1)求证：DE ∥平面11AA B B ；(2)若三棱锥B CDE -3. 【答案】(1)证明见解析(2)28π3【分析】（1）连结1A B ，证明DE1A B 即可； （2）设AB a ，由11122B CDE E BCD A BCD A BCD V V V V ----===可求出a ，然后求出外接球的半径即可.【详解】(1)证明：连结1A B ，因为侧面11BB C C 为矩形，所以点D 为1BC 的中点，又因为点E 为11A C 的中点，所以DE 1A B ，因为1A B ⊂平面11AA B B ，DE ⊄平面11AA B B ，所以，DE 平面11AA B B .(2)设AB a ，因为11122B CDE E BCD A BCD A BCD V V V V ----===， 又因为直三棱柱111ABC A B C -的所有棱长均相等所以，点A 到平面BCD 的距离为32a ，211224BCD a S a a =⨯⨯=， 所以，2111133=223426B CDE A BCD V V a a --=⋅⋅⋅=，解得：2a =， 因为等边三角形ABC 的外接圆半径为233r =，三棱柱的高2h =， 所以，三棱柱的外接球半径22723h R r ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭ 所以，三棱柱的外接球表面积2284ππ3S R ==.20．设()ln a f x x x x=+，32()3g x x x =--. （1）如果存在12,[0,2]x x ∈使得12()()g x g x M -≥成立，求满足上述条件的最大值M ；（2）如果对于任意的1,[,2]2s t ∈，都有()()f s g t ≥成立，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）11227M =；（2）[1,)+∞.【分析】（1）根据题意转化为12max [()()]g x g x M -≥，利用导数求得函数()g x 的单调性与最值，即可求解；（2）根据题意转化为在区间1[,2]2上，min max ()()f x g x ≥，由（1）得到max ()(2)1g x g ==，把()ln 1a f x x x x =+≥恒成立转化为2ln a x x x ≥-恒成立，令21()ln ,[,2]2h x x x x x =-∈，利用导数求得函数()h x 的单调性与最大值，即可求解.【详解】（1）由题意，存在12,[0,2]x x ∈使12()()g x g x M -≥成立，等价于12max [()()]g x g x M -≥，因为函数32()3g x x x =--，可得22()323()3g x x x x x '=-=-. 令()0g x '>，解得0x <或23x >；令()0g x '<，解得203x <<， 又因为[0,2]x ∈，所以()g x 在区间2[0,]3上单调递减，在区间2[,2]3上单调递增， 所以min 285()()327g x g ==-， 又由(0)3g =-，所以max ()(2)1g x g ==， 所以12max max min 112[()()]()()27g x g x g x g x M -=-=≥，即M 的最大值为11227M =. （2）对于任意的1,[,2]2s t ∈，都有()()f s g t ≥成立， 等价于在区间1[,2]2上，min max ()()f x g x ≥， 由（1）知在区间1[,2]2上max ()(2)1g x g ==， 在区间1[,2]2上，()ln 1a f x x x x =+≥恒成立等价于2ln a x x x ≥-恒成立， 设21()ln ,[,2]2h x x x x x =-∈，可得()12ln ,h x x x x ='-- 可知()h x '在区间1[,2]2上是减函数， 又由(1)0h '=，所以当1(,1)2x ∈时，()0h x '>，()h x 单调递增； 当(1,2)x ∈时，()0h x '<，()h x 单调递减；所以max ()(1)1h x h ==，所以1a ≥，即a 的取值范围是[1,)+∞.【点睛】对于利用导数研究不等式的恒成立问题的求解策略：1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．3、根据恒成求解参数的取值时，一般涉及分类参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，通常要设出导数的零点，难度较大. 21．设O 为坐标原点，以曲线Γ上任意一点M 为圆心作圆M ，圆M 与y 轴交于C ，D 两点，若圆M 过点(2,0)N 时，||4CD =.(1)求曲线Γ的方程；(2)若圆M 与直线:2l x =-相切，设圆M 与圆22:4O x y +=相交于A ，B 两点，若4NA NB NP +=，求||||MA MP -的值.【答案】(1)24y x =(2)1【分析】（1）设点M 的坐标为(),x y ，设线段CD 的中点为H ，连接MH ，MD ，MN ，由垂径定理和勾股定理结合条件可得答案.（2）设圆心M 的坐标为(),a b ，由题意得其半径2r a =+，得到其圆的方程，与圆O ：224x y +=联立，得出直线AB 的方程，从而得到直线OM ⊥直线AB ，由圆的性质结合抛物线的定义可得答案. 【详解】(1)设点M 的坐标为(),x y ，设线段CD 的中点为H ，连接MH ，MD ，MN ， 由垂径定理可知，MH CD ⊥，由勾股定理可知222MD HM HD =+，又122HD CD ==，且HM x =，因为MN MD =，所以2222MN MD HM HD ==+， 则()222222x y x -+=+，化简得：24y x =；(2)设圆心M 的坐标为(),a b ，半径为r ，因为圆M 与直线l ：2x =-相切，所以2r a =+，又点M 在曲线Γ：24y x =上，所以24b a =，故圆M 方程为()()()2222x a y b a -+-=+， 因为圆M 与圆O ：224x y +=相交于A ，B 两点，联立()()()2222224x a y b a x y ⎧-+-=+⎪⎨+=⎪⎩①②由②-①得：222224ax a by b a a -+-=--，故直线AB 的方程为0ax by +=， 则直线AB 过原点O ，又因为直线OM 的方程为0bx ay -=，所以直线OM ⊥直线AB ，由垂径定理知线段AB 的中点为点O ，所以24NA NB NO NP +==，故为P 为线段ON 中点，则点P 的坐标为()1,0，故点P 为抛物线Γ的焦点，设抛物线Γ的准线m ：1x =-，设圆M 与直线l ：2x =-相切于点T ，设点P 到直线m 的距离为d ， 则1MT d =+，由抛物线的定义知MP d =， 故1MT MP =+，又因为点A 在圆M 上，所以MA MT =，故1MA MP =+，所以1MA MP -=.22．在直角坐标系xOy 中，曲线E 的参数方程为2224,111t x t t y t ⎧=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩（t 为参数），过点(3,0)F 的两条直线分别交E 于A ，B 两点和C ，D 两点，且满足||||||||FA FB FC FD ⋅=⋅.(1)求E 的普通方程；(2)求直线AB 的斜率与直线CD 的斜率之和，【答案】(1)2214x y +=(11)y -<≤ (2)0【分析】（1）先确定y 的范围，再根据x,y 的表达式特点，消去参数，得普通方程； （2）设直线的参数方程，联立方程组，根据参数的几何意义分别得到||||,||||FA FB FC FD ⋅⋅的表达式，结合三角函数知识，可得两直线的倾斜角的关系，即得答案.【详解】(1)因为2211t y t -=+2211t =-++，所以11y -<≤， 因为2222222224(1)14(1)(1)x t t y t t -+=+=++， 所以E 的普通方程为2214x y +=(11)y -<≤. (2)由题意可知，直线AB 的斜率与直线CD 的斜率存在,设直线AB 的参数方程为x tcos y tsin αα⎧⎪⎨=⎪⎩，t 为参数，α即为直线AB 的倾斜角，代入E 的方程并化简得22(13sin )cos 10t αα++-=，所以122113sin t t α-=+， =FA FB ⋅122113sin t t α=+， 设直线CD 的倾斜角为β，同理可得2113sin FC FD β⋅=+， 因为FA FB FC FD ⋅=⋅，所以2211=13sin 13sin αβ++， 由0,αβπ<< ，所以sin sin αβ=，因为αβ≠，所以+παβ=，所以直线AB 的斜率与直线CD 的斜率之和为0. 23．已知a ，b ，c 为正数.(1)求24a a +的最小值； (2)求证：bc ac ab a b c a b c ++≥++. 【答案】(1)3(2)证明见解析【分析】（1）24a a +24=22a a a ++，然后利用均值不等式可得答案；（2）由2bc ac c a b +≥=， 2ac ab a b c +≥，2bc ab b a c +≥可证明.【详解】(1)因为24a a +24=322a a a ++≥，当且仅当“2a =”时等号成立， 所以当2a =时，24a a+的最小值为3.(2)因为2bc ac c a b +≥，同理2ac ab a b c +≥，2bc ab b a c +≥， 所以三式相加得22()bc ac ab a b c a b c ⎛⎫++≥++ ⎪⎝⎭， 所以bc ac ab a b c a b c ++≥++，当且仅当“a b c ==”时等号成立。
专题5.5 三角恒等变换(解析版)
专题5.5 三角恒等变换1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式（1）()C αβ-：cos()αβ-=cos cos sin sin αβαβ+ （2）()C αβ+：cos()cos cos sin sin αβαβαβ+=- （3）()S αβ+：sin()αβ+=sin cos cos sin αβαβ+ （4）()S αβ-：sin()αβ-=sin cos cos sin αβαβ-（5）()T αβ+：tan()αβ+=tan tan π(,,π,)1tan tan 2k k αβαβαβαβ++≠+∈-Z（6）()T αβ-：tan()αβ-=tan tan π(,,π,)1tan tan 2k k αβαβαβαβ--≠+∈+Z 2．二倍角公式（1）2S α：sin2α=2sin cos αα（2）2C α：cos2α=2222cos sin 12sin 2cos 1αααα-=-=- （3）2T α：tan 2α=22tan πππ(π,)1tan 224k k k αααα≠+≠+∈-Z 且3．公式的常用变形（1）tan tan tan()(1tan tan )αβαβαβ±=±；tan tan tan tan tan tan 11tan()tan()αβαβαβαβαβ+-=-=-+-（2）降幂公式：21cos 2sin 2αα-=；21cos 2cos 2αα+=；1sin cos sin 22ααα=（3）升幂公式：21cos 22cos αα+=；21cos 22sin αα-=；21sin 2(sin cos )ααα+=+；21sin 2(sin cos )ααα-=-（4）辅助角公式：sin cos a x b x +)x ϕ=+， 其中cos ϕϕ==tan baϕ=.4．半角公式：（1）sin2α=（2）cos 2α=，（3）tan2α=sin 1cos 1cos sin αααα-==+.5．公式的常见变形（和差化积、积化和差公式） （1）积化和差公式：1cos cos [cos()cos()]2αβαβαβ=++-； 1sin sin [cos()cos()]2αβαβαβ=-+--；1sin cos [sin()sin()]2αβαβαβ=++-；1cos sin [sin()sin()]2αβαβαβ=+--.（2）和差化积公式：sin sin 2sincos22αβαβαβ+-+=；sin sin 2cossin22αβαβαβ+--=； cos cos 2coscos22αβαβαβ+-+=； cos cos 2sinsin22αβαβαβ+--=-.5．三角函数式的化简（1）化简原则：①一看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，正确使用公式；②二看函数名称之间的差异，确定使用的公式，常见的有“切化弦”；③三看结构特征，找到变形的方向，常见的有“遇到分式要通分”，“遇到根式一般要升幂”等．（2）化简要求：①使三角函数式的项数最少、次数最低、角与函数名称的种类最少；②式子中的分母尽量不含根号.（3）化简方法：①切化弦，②异名化同名，③异角化同角，④降幂或升幂． 6．三角函数式的求值（1）给角求值：给角求值中一般所给出的角都是非特殊角，从表面上来看是很难的，但仔细观察会发现非特殊角与特殊角之间总有一定的关系．解题时，要利用观察得到的关系，结合公式将非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数，从而得解. （2）给值求值：已知三角函数值，求其他三角函数式的值的一般思路： ①先化简所求式子．②观察已知条件与所求式子之间的联系(从三角函数名及角入手)． ③将已知条件代入所求式子，化简求值．（3）给值求角：通过求角的某种三角函数值来求角，在选取函数时，有以下原则： ①已知正切函数值，则选正切函数．②已知正、余弦函数值，则选正弦或余弦函数．若角的范围是π(0,)2，则选正、余弦皆可；若角的范围是(0，π)，则选余弦较好；若角的范围为ππ(,)22-，则选正弦较好. （4）常见的角的变换：①已知角表示未知角，例如：()()ααββββα=+-=--，()()()()2,2ααβαββαβαβ=++-=+--，(2)αβαβα+=++，(2)αβαβα-=-+，22αβαβα+-=+，22αβαββ+-=-.②互余与互补关系，例如：π3π()()π44αα++-=，πππ()()362αα++-=. ③非特殊角转化为特殊角，例如：15°=45°−30°，75°=45°＋30°.一、单选题1．已知sin 2cos 0αα-=，则tan 4πα⎛-⎫⎪⎝⎭=A ．-4B ．4C ．1-3D ．13【试题来源】云南省昆明市第八中学2020-2021学年高一特色班下学期第一次月考 【答案】C【分析】已知sin 2cos 0αα-=，可得tan 2α=，根据两角差的正切公式计算即可得出结果． 【解析】已知sin 2cos 0αα-=，则tan 2α=，∴ tantan 1tan 1214tan ===41tan 1231tan tan 4παπααπαα---⎛⎫-=- ⎪++⎝⎭+．故选C ．2．422cos sin 1212ππ=A ．1B ．12 C ．14D ．12-【试题来源】广西桂林市第十八中学2021-2022学年高二上学期期中考试 【答案】C【分析】本题利用二倍角公式和特殊角三角函数值，即可得到答案． 【解析】222214cossin (2cossin)(sin )1212121462πππππ===．故选C ． 3．已知1sin 63πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则cos 23πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭A ．79-B ．23-C ．23D ．79【试题来源】四川省绵阳东辰国际学校2020-2021学年高三下学期三诊 【答案】D【分析】利用倍角公式2cos 212sin 36ππαα⎛⎫⎛⎫-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，将条件代入计算即可．【解析】217cos 212sin 123699ππαα⎛⎫⎛⎫-=--=-⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选D ．4．已知tan 2α=，则22cos 2sin cos sin 2αααα--的值为A ．13-B ．13C ．73-D ．73【试题来源】山东省菏泽市一中系列学校2021-2022学年高三上学期期中考试数学（A ） 【答案】D【分析】利用倍角公式及同角的商的关系将式子转化为用tan α表示，然后带值计算即可．【解析】222222cos 2sin cos 2sin 12tan 1247cos sin 2cos 2sin cos 12tan 1223ααααααααααα----⨯====----⨯．故选D ． 5．22sin 36sin 54sin15cos15++=A B ．1C ．97100D ．54【试题来源】四川省遂宁市2021-2022学年高三上学期零诊考试 【答案】D【分析】根据诱导公式、同角三角函数的基本关系，以及降幂公式即可求得答案． 【解析】原式=22115cos 54sin 54sin 301244++=+=．故选D ．6．关于函数sin (sin cos )y x x x =+描述正确的是 A．最小正周期是2π B C ．一条对称轴是4x π=D ．一个对称中心是1,82π⎛⎫⎪⎝⎭【试题来源】北京市第三十五中学2022届高三上学期期中考试 【答案】D【分析】利用三角恒等变换化简y 得解析式，再利用正弦型函数的图象和性质得出结论． 【解析】由题意得sin (sin cos )y x x x =+21sin sin 22x x =+1cos 21sin 222x x -=+1)42x π=-+， 选项A ：函数的最小正周期为min 222T πππω===，故A 错误；选项B ：由于sin(241)1x π≤-≤-12，故B 错误；选项C ：函数的对称轴满足242x k πππ-=+，328k x ππ=+， 当4x π=时，14k Z =-∉，故C 错误；选项D ：令8x π=，代入函数的11())828422f πππ=⨯-+=， 故1,82π⎛⎫⎪⎝⎭为函数的一个对称中心，故D 正确；故选D7．已知函数2()sin cos f x x x x =，则下列说法正确的是 A ．()f x 的最小正周期为2π B ．()f x 的最大值为2 C ．()f x 在5,36ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增 D ．()f x 的图象关于直线6x π=-对称【试题来源】重庆市江津中学校2021-2022学年高二上学期开学考试 【答案】D【分析】化简函数的解析式()1sin(2)62f x x π=-+，结合三角函数的图象与性质，逐项判定，即可求解．【解析】由题意，函数21cos 2()sin cos 22x f x x x x x -==1112cos 2sin(2)2262x x x π=-+=-+， 由函数()f x 的最小正周期，可得22T ππ==，所以A 错误； 由函数()f x 的最大值为()max 13122f x =+=，所以B 错误； 因为5,36x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，可得32,622x πππ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭， 所以函数()f x 在5,36ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，所以C 错误；由()1sin(2)62f x x π=-+，令2,62x k k Z πππ-=+∈，解得,32k x k Z ππ=+∈， 当1k =-时，可得6x π=-，所以()f x 的图象关于直线6x π=-对称，所以D 正确．故选D ．8．已知角α的终边经过点(-，则sin 22πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭A ．B ．19-C ．19D 【试题来源】四川省攀枝花市2021-2022学年高三第一次统一考试 【答案】B【分析】由角终边上的点可得sin α=，根据诱导公式、二倍角余弦公式有2sin 212sin 2παα⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，即可求值．【解析】由题设，sin α=，21sin 2cos 212sin 29πααα⎛⎫-==-=- ⎪⎝⎭．故选B9．已知角α的终边经过点(-，则cos2=αA ．B ．19-C ．19D 【试题来源】四川省攀枝花市2021-2022学年高三第一次统一考试 【答案】B【分析】根据三角函数的定义求出cos α，再利用二倍角公式计算可得；【解析】因为角α的终边经过点(-，所以2222cos 325α，所以2221cos 22cos 12139αα⎛⎫=-=⨯--=- ⎪⎝⎭，故选B10．已知函数()cos sin f x x x =+，则()f x 的最大值为A ．2B ．1 CD ．2【试题来源】陕西省咸阳市泾阳县2021-2022学年高三上学期期中 【答案】C【分析】利用辅助角公式化简后求最值．【解析】因为()cos sin 4f x x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，定义域为R ，所以()f x C 11．cos80cos50sin80sin50︒︒+︒︒=A ．BC ．12-D ．12【试题来源】陕西省咸阳市泾阳县2021-2022学年高三上学期期中 【答案】B【分析】根据两角差的余弦公式计算即可．【解析】cos80cos50sin 80sin 50cos(8050)cos30︒︒+︒︒=︒-︒=︒=，故选B 12．若tan α，tan β是方程2670x x -+=的两个根，则()tan αβ+= A ．-1 B ．1 C ．-2D ．2【试题来源】福建省长乐第七中学2022届高三上学期期中考试 【答案】A【分析】结合一元二次方程根与系数的关系、两角和的正切公式计算即可． 【解析】由于tan α，tan β是方程2670x x -+=的两个根， 所以tan tan 6,tan tan 7αβαβ+=⋅=，所以()tan tan 6tan 11tan tan 6αβαβαβ++===--⋅-．故选A13．在平面直角坐标系中，点P 在射线()403y x x =>上，点Q 在过原点且倾斜角为θ（θ为锐角）的直线上．若4POQ π∠=，则sin 2θ的值为A ．2425- B ．2425C ．725-D ．725【试题来源】江苏省南通市海门中学、泗阳中学2021-2022学年高三上学期第二次诊断测试 【答案】D 【分析】设射线()403y x x =>的倾斜角为1θ，从而可得14πθθ=-，且14tan 3θ=，再利用两角差的正切公式以及二倍角正弦公式即可求解． 【解析】设射线()403y x x =>的倾斜角为1θ，且142ππθ<<，14tan 3θ=， 由题意可得14πθθ=-，所以111tan 11tan tan 41tan 7θπθθθ-⎛⎫=-== ⎪+⎝⎭， 2222sin cos 2tan 7sin 22sin cos sin cos tan 125θθθθθθθθθ====++．故选D14．已知1sin()sin()25ππαα-+-=，且(0,)απ∈，则tan()4πα+=A ．17-B ．17C ．7D ．17-【试题来源】广东省江门市新会陈瑞祺中学2022届高三上学期10月月考 【答案】A【分析】由题意化简得1sin cos 5αα+=，平方求得242sin cos 25αα=-，进而求得7sin cos 5αα-=，联立方程组，求得sin ,cos αα，得到4tan 3α=-，结合两角和的正切公式，即可求解．【解析】由1sin()sin()25ππαα-+-=，可得1sin cos 5αα+=，两边平方得112sin cos 25αα+=，可得242sin cos 025αα=-<， 因为(0,)απ∈，所以sin 0,cos 0αα><，所以sin cos 0αα->，所以22449(sin cos )1()2525αα-=--=，所以7sin cos 5αα-=， 联立方程组，可得43sin ,cos 55αα==-，所以sin tan s 43co ααα==-，所以41tan tan134tan()4471tan tan 143παπαπα-++===--+-．故选A ． 15．已知()1cos 3αβ-=，3cos 4β=，0,2παβ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，0,2πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则．A ．0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭B ．,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭C ．()0,απ∈D ．0,2πα⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭【答案】B【分析】由已知得()0,απ∈，再利用同角之间的关系及两角差的余弦公式计算cos 0α<，即可得解． 【解析】()1cos 3αβ-=，0,2παβ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，()sin αβ∴-=3cos 4β=，0,2πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，sin β∴=，()0,απ∴∈， 又cos cos()cos()cos sin()sin ααββαββαββ=-+=---13034=⨯=，,2παπ⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭，故选B16．若tan 24πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，则cos2=αA ．35B ．45-C ．45D ．35【试题来源】河北省石家庄市藁城新冀明中学2021届高三上学期10月月考 【答案】B【分析】根据两角和的正切公式展开得到tan α，同时根据两角和的余弦公式展开并进行齐次化，将弦转化为切，最后计算即可．【解析】由tan tantan 14tan 241tan 1tan tan 4παπααπαα++⎛⎫+===- ⎪-⎝⎭-⋅，得到tan 3α=， 又22222222cos sin 1tan cos 2cos sin cos sin 1tan ααααααααα--=-==++，所以22221tan 134cos 21tan 135ααα--===-++，故选B17．将函数()sin cos f x x x =+的图象向左平移4π个单位，得函数()y g x =的图象，则34g π⎛⎫= ⎪⎝⎭A ．12 B ．1C ．D ．1-【试题来源】陕西省西安市八所重点中学2021-2022学年高三上学期联考 （一） 【答案】D【分析】先对()f x 变形，然后通过三角函数图象变换规律求出()g x 的解析式，从而可求出34g π⎛⎫ ⎪⎝⎭的值．【解析】()sin cos 4f x x x x π⎛⎫=+=+⎪⎝⎭，则将()f x 的图象向左平移4π个单位后得，()442g x x x x πππ⎛⎫⎛⎫=++=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以33144g ππ⎛⎛⎫===-⎪ ⎝⎭⎝⎭，故选D18．若sin 4πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭sin2α=A ．B ．89-CD ．89【试题来源】黑龙江省哈尔滨市第三中学2021-2022学年高三上学期第三次验收考试 【答案】B【分析】根据整体换元法结合二倍角公式即可求出．【解析】设4παθ+=，则4παθ=-，sin θ=218cos 22sin 1214189sin 2sin 2πθθθα⎛⎫-=-=-=-=- ⎪⎝⎭=⨯．故选B ．19．已知()()212sin 02f x x παα⎛⎫=-+<< ⎪⎝⎭在0,6π⎛⎫ ⎪⎝⎭内有零点，且在,66ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，则α的取值范围是 A ．,124ππ⎛⎫⎪⎝⎭B ．,126ππ⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．,64ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．,63ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭【试题来源】云南省昆明市第一中学2022届高三上学期第四期联考 【答案】C【分析】利用余弦二倍角公式可得()()cos 22f x x α=+，再由正弦函数的中心对称点以及单调性即可求解．【解析】()()()212sin cos 22f x x x αα=-+=+，由()0f x =得22π+()2x k k Z πα+=∈，解得()π+24k x k Z πα=-∈， 因为()f x 在π06⎛⎫⎪⎝⎭，内有零点，所以ππ046α⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，，解得ππ124α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，又2222,k x k k Z παππ≤+≤+∈，解得,2k x k k Z ππαπα-≤≤+-∈由()f x 在ππ66⎛⎫- ⎪⎝⎭，上单调递减，所以266ππαπα⎧-≥⎪⎪⎨⎪-≤-⎪⎩，解得63ππα≤≤，即ππ63α⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，， 所以ππ64α⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，，故选C ．20．已知1tan 3α=，则sin2α=A ．45B ．35C ．310D ．110【试题来源】江苏省南京市金陵中学2021-2022学年高三上学期12月月考 【答案】B【分析】根据正切值求得正弦、余弦值，从而求得二倍角的正弦值． 【解析】由1tan 3α=知，sin α=cos α=或sin α=，cos α=则3sin 22sin cos 25ααα===，故选B 21．函数22()sin 2sin cos 3cos f x x x x x =++在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上的一个对称中心是(,)m n ，则m n +的值为A ．8π B ．38π C ．28π+D ．328π+ 【试题来源】河南省部分重点高中2021-2022学年高三上学期12月适应性检测【答案】D【分析】根据三角恒等变换化简函数解析式，再根据图象性质求参数值． 【解析】由题得1cos 21cos 2()sin 23sin 2cos 2222x xf x x x x -+=++⋅=++224x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，令24x k ππ+=，则28k x ππ=-，当1k =时，38m π=，2n =，故m n +的值为328π+．故选D ． 22．已知3sin 45πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，且344ππα<<，则cos α=A ．10-B ．10C ．D 【试题来源】黑龙江省哈尔滨市呼兰区第一中学校2021-2022学年高三上学期第二次校内检测 【答案】A【解析】3,4424ππππααπ<<∴<+<，4cos 45πα⎛⎫∴+=- ⎪⎝⎭， sin 44444cos cos cos cos sin 4ππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫α+-=α++α+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎝⎭∴⎭α=4355=-=A 23．函数()()44cos tan 1f x x x =+在()0,π上的一个递增区间为A ．0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．0,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．3,44ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．3,4ππ⎛⎫⎪⎝⎭【试题来源】河南省重点中学2021-2022学年高三上学期模拟调研（一） 【答案】D【分析】化简函数解析式为()31cos 444f x x =+，然后利用余弦型函数的单调性可求得结果． 【解析】()()444422cos tan 1sin cos 12sin cos f x x x x x x x =+=+=-=211cos 4311sin 21cos 42444x x x --=-=+，令242k x k πππ-<<，k Z ∈，得11242k x k πππ-<<，取1k =得递增区间,42ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭，取2k =，得递增区间3,4ππ⎛⎫⎪⎝⎭，故选D ．24．将函数()2ππ2cos 36f x x x ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的图象向右平移()0ϕϕ>个单位长度，得到函数()g x 的图象关于π6x =对称，则ϕ的最小值为 A ．π6B ．π4C ．π3D ．5π6【试题来源】“超级全能生”2022届高三全国卷地区11月联考试题（甲卷） 【答案】A【分析】先利用余弦的二倍角公式和辅助角公式化简()f x ，再由图象的平移可得()g x 的图象，由()g x 的图象的对称轴列方程结合0ϕ>即可求得ϕ的最小值．【解析】()2πππ1π2cos 21cos 236323f x x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦π1π1ππ12cos 2sin 23232362x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++=+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ππ11sin 2cos 23622x x ⎛⎫=+++=+ ⎪⎝⎭，所以()()()11cos 2cos 2222x x g x ϕϕ=-+=-+，因为函数()g x 的图象关于π6x =对称，所以()π22πZ 6k k ϕ⨯-=∈， 所以()ππZ 62k k ϕ=-∈，因为0ϕ>，所以0k =时，π6ϕ=最小，故选A ． 25．已知角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴非负半轴重合，终边上有一点37tan ,46M ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则1cos 2sin 22αα++的值为 A ．12-或710B ．710C ．2110D ．12-【试题来源】山东省青岛市4区市2021-2022学年高三上学期期中考试 【答案】B【分析】根据特殊角的三角函数值可得点(1,3)M --，再根据三角函数的定义和三角恒等变换，即可得到答案；【解析】(1,3)M --，∴sin α=cos α=，∴214cos 22cos 121105αα=-=⋅-=-，3sin 22sin cos 25ααα⎛⎛=⋅=⋅⋅= ⎝⎝， 411cos 2375sin 222510αα-+∴+=+=，故选B 26．将函数()cos2sin 222x x x f x ωωω⎛⎫=- ⎪⎝⎭，(0)>ω的图象向左平移3ωπ个单位，得到函数()y g x =的图象，若()y g x =在0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π上为增函数，则ω的最大值为A ．1B ．2C ．3D ．4【试题来源】2022年高考数学一轮复习小题多维练（新高考版） 【答案】B【分析】先把函数化为()sin y A x B ωϕ=++的形式，利用图象变换规律，得到g (x )的解析式，再利用正弦函数的单调性，得出结论． 【解析】()cos 2sin 222x x x f x ωωω⎛⎫=- ⎪⎝⎭22cossin222xxxωωω=-sin x x ωω=2sin 3x πω⎛⎫=- ⎪⎝⎭，向左平移3ωπ个单位，得到函数()2sin y g x x ω==的图象，由()y g x =在0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π上为增函数，则42ππω≤，所以2ω≤，故ω的最大值为2．故选B27．已知1sin 24α=-，则2πsin 4α⎛⎫+= ⎪⎝⎭A ．18B ．38CD ．58【试题来源】山东省潍坊市2021-2022学年高三上学期期中 【答案】B【分析】利用二倍角降幂公式和诱导公式可求得2sin 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值．【解析】由二倍角的降幂公式可得211cos 211sin 2324sin 42228παπαα⎛⎫-+-⎪+⎛⎫⎝⎭+==== ⎪⎝⎭．故选B ．28．若α，β均为锐角，sin α=3sin()5αβ+=，则cos β=A BCD ． 【试题来源】吉林省东北师范大学附属中学2021-2022学年高三上学期第二次摸底考试 【答案】B【分析】根据角度范围得到cos α=，()4cos 5αβ+=-，再根据和差公式展开得到答案．【解析】α，β均为锐角，sin α=cos α==，sin sin()ααβ>+，故αβ+为钝角，()4cos 5αβ+==-．()()()cos cos cos cos sin sin βαβααβααβα=+-=+++4355==B29．已知函数()()2πsin πsin 2f x x x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，则下列正确的是A ．()f x 最小正周期为2πB ．π,06⎛⎫⎪⎝⎭是()f x 的一个对称中心C ．将()f x 图象向右平移π2个单位长度后得到()g x 的图象，此时()5πsin 26g x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭D ．ππ,63⎡⎤-⎢⎥⎣⎦是()f x 的一个减区间【试题来源】“四省八校”2021-2022学年高三上学期期中质量检测考试 【答案】B【分析】应用三角恒等变换可得()sin 23πx f x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，结合正弦函数的性质判断各选项的正误．【解析】())21sin cos 2cos 1sin 22sin 22π3x x x x x x f x ⎛⎫=-⋅-=-=-- ⎪⎝⎭， 所以最小正周期22T ππ==，A 错误；π06f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则π,06⎛⎫⎪⎝⎭是()f x 的一个对称中心，B 正确；()π4()sin(2)sin(2)233g x f x x x ππ=-=--=-，C 错误；令π222232k x k ππππ--+≤≤可得1212k x k π5ππ-≤≤π+，()f x 在5[,]1212k k ππππ-+上递减，显然ππ,63⎡⎤-⎢⎥⎣⎦不是子区间，故D 错误．故选B30．已知点P 在圆O ：2214x y +=上，从1,02A ⎛⎫⎪⎝⎭出发，沿圆周逆时针方向运动了弧长x （0πx <<）到达B 点，且1tan 2x =，又B 点在角π4β+终边上，则cos 2β=A ．2425-B ．45-C ．45D ．2425【试题来源】“四省八校”2021-2022学年高三上学期期中质量检测考试 【答案】D 【分析】易知212xAOB x ∠==，由1tan 2x =，进而得到4tan 3π4β⎛⎫+= ⎪⎝⎭，解得1tan 7β=求解．【解析】因为212xAOB x∠==，22tan 4tan tan 21tan 3x AOB x x ∴∠===-，4tan 43πβ⎛⎫∴+= ⎪⎝⎭，1tan 7β∴=，222222cos sin 1tan 24cos 2cos sin 1tan 25βββββββ--===++．故选D 31．若53,42ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭A ．cos sin αα-B ．cos sin αα--C ．cos sin αα+D ．cos sin αα-+【试题来源】山东省临沂市2021-2022学年高三上学期期中 【答案】D【分析】再结合α的范围确定cos α和sin α的符号即可求解．【解析】由二倍角公式可知，221cos 2cos αα+=，21cos 22sin αα-=，|cos ||sin |αα-，因为53,42ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以cos 0α<，sin 0α<，cos sin αα-+．故选D ． 32．已知函数()()211sin sin 0222xf x x ωωω=+->在区间()π,2π内没有零点，则ω的取值范围是A ．1150,,848⎛⎤⎡⎤⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦⋃B ．1170,,868⎛⎤⎡⎤⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦⋃C ．1150,,8612⎛⎤⎡⎤ ⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦⋃D ．1150,,12612⎛⎤⎡⎤ ⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦⋃【试题来源】天津市南开中学2021-2022学年高三上学期第二次月考 【答案】A【分析】先将()f x 解析式化为同名函数，再根据()f x 在区间()π,2π内没有零点则22Tππ-≤；假设()f x 在区间()π,2π内有零点，解出ω的表达式；从而推导()f x 在区间()π,2π内没有零点时ω的取值范围．【解析】()()211sin sin 0222x f x x ωωω=+->，()()111111cos sin sin cos 222224f x x x x x x πωωωωω⎛⎫∴=-+-=-=- ⎪⎝⎭， ()f x 在区间()π,2π内没有零点，22Tππ∴-≤即2T π≥， 2=2T ππω≥，且0>ω，01ω∴<≤，当()f x 在区间()π,2π内有零点时，则,4x k k z πωπ-=∈，即4,k x k z ππω+=∈，42,k x k z ππππω+∴<=<∈，11,824k k k z ω∴+<<+∈，又01ω<≤，1184ω∴<<或518ω<≤，()f x 在区间()π,2π内没有零点，ω∴的取值范围是1150,,848⎛⎤⎡⎤⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦⋃．故选A33．一列波沿x轴正方向传播，其波函数的表达式为()()111111()cos 0,0,0,02f x A x A x ωϕωπϕ=+>>>>≤≤，511,1212是函数f （x ）相邻的两个零点；另一列波沿x 轴负方向传播，其波函数的表达式为()sin 2(02)3g x x x ππ⎛⎫=+≤≤ ⎪⎝⎭；在某一时刻，两列波的图象如图所示；函数()()()h x g x f x =+表示两列波叠加之后的波函数（叠加后的波函数为原来两个波函数的和），则下列说法正确的有①12ωπ=；②13x =是函数()g x 的一个零点；③函数h （x ）的最小正周期是12；④函数h（x ）的振幅为1；⑤函数h （xA ．①②④B ．①②⑤C ．②③④D ．③④⑤【试题来源】云南省师范大学附属中学2022届高三高考适应性月考卷（五） 【答案】B【分析】根据()f x 相邻的两个零点求得T ，进而求得1ω，从而判断①的正确性．由13g ⎛⎫⎪⎝⎭来判断②的正确性．结合三角恒等变换化简()h x ，由此求得()h x 的最小正周期、振幅，从而判断③④⑤的正确性． 【解析】因为5111212，是函数()f x 的两个相邻的零点，设()f x 的最小正周期为T ， 所以1151212122T =-=，则1T =，所以12π2πT ω==，故①正确； 12ππsin 0333g ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以②正确； 由图知，11A =，512是函数()f x 单调增区间上的一个零点， 所以153π2π2π()122k k ϕ+=+∈Z ，由于1π0ϕ>>，所以12π3ϕ=，则2π()cos 2π3f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，2π()()()cos 2π3h x g x f x x ⎛⎫=+=++ ⎪⎝⎭πsin 2π2π2π3x x x ⎛⎫+=⎪⎝⎭π2π4x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，故函数()h x 的最小正周期是1，函数()h x 的振幅为A = 所以③④错误，⑤正确．故选B 34．已知1sin 3α=，sin3α=A ．2027B ．2227C ．2327D ．2527【试题来源】中学生标准学术能力诊断性测试2021-2022学年高三上学期11月测试 【答案】C【分析】首先利用两角和的正弦公式和二倍角公式求得2sin 3sin cos 22sin cos ααααα=+，然后结合已知条件求cos2α和2cos α，进而得到答案． 【解析】由两角和的正弦公式和二倍角公式可知，2sin 3sin(2)sin cos 2sin 2cos sin cos 22sin cos ααααααααααα=+=+=+，因为1sin 3α=，所以2cos21279sin αα=-=，228cos 1sin 9αα=-=，从而171823sin 32393927α=⨯+⨯⨯=．故选C ．35．哥特式建筑是1140年左右产生于法国的欧洲建筑风格，它的特点是尖塔高耸、尖形拱门、大窗户及绘有故事的花窗玻璃，如图所示的几何图形，在哥特式建筑的尖形拱门与大窗户中较为常见，它是由线段AB 和两个圆弧弧AB ，弧BC 围成，其中一个圆弧的圆心为A ，另一个圆弧的圆心为B ，圆O 与线段AB 及两个圆弧均相切，则tan ∠AOB 的值是A ．247-B ．724-C ．43-D ．34-【试题来源】江苏省扬州大学附属中学2021-2022学年高二上学期期中 【答案】A【分析】根据题意，结合勾股定理，以及正切的二倍角公式，即可求解． 【解析】如图所示，过点O 作⊥OD AB ，交AB 于点D ，设AB a ，圆O 的半径为r ，由题意知OD r =，OA a r =-，2a AD =，因为222OA OD AD =+，得()2222a a r r ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，解得38a r =， 因此42tan 3aAD AOD OA r ∠===， 故2422tan 243tan tan 2161tan 719AOD AOB AOD AOD ⨯∠∠=∠===--∠-．故选A ． 36．若tan 2tan10α=，则()()cos 80sin 10αα-=- A ．1 B ．2 C ．3D ．4【试题来源】湖南师范大学附属中学2021-2022学年高三上学期11月第三次月考 【答案】C【分析】利用诱导公式、两角和公式可得()()cos 80sin 10αα-=-sin cos10cos sin10sin cos10cos sin10αααα+-，再利用弦化切即得．【解析】因为tan 2tan10α=，所以()()()()cos 80cos 1090sin 10sin 10αααα-+-=--()()sin 10sin 10αα+=-sin cos10cos sin10sin cos10cos sin10αααα+=-tan tan10tan tan10αα+=-3tan103.tan10==故选C ．37．设α为锐角，若cos ()6a π+＝－35，则sin 26α⎛⎫- ⎪⎝⎭π的值为A ．－725B ．1625C ．－15D ．725【试题来源】海南省华侨中学2022届高三11月第三次月考 【答案】D【分析】由二倍角公式可得cos 23πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭，再由诱导公式即可得解．【解析】因为3cos 65πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，所以27cos 22cos 13625ππαα⎛⎫⎛⎫+=+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以7sin 2sin 2cos 2632325ππππααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-=-+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．故选D ．38．函数π()cos(3π))2f x x x =--的单调增区间为A ．52,2,66k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦B ．22,2,33k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦C ．22,2,33ππk πk πk Z ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦，D ．52,2,66k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦【试题来源】山西大学附属中学2022届高三上学期11月期中 【答案】C【分析】利用三角恒等变换得到π()2sin 6f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，再计算单调区间得到答案．【解析】()ππ()cos 3πcos π2sin 26f x x x x x ⎛⎫⎛⎫=--=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，取πππ2π2π262k x k -+≤-≤+，k Z ∈，解得π2π2π2π33k x k -+≤≤+，k Z ∈．故选C ．39．已知α，β为锐角，且1tan 7α=，()cos αβ+=cos2β= A ．35B ．25C ．45D 【试题来源】宁夏中卫市第一中学2022届高三上学期第三次月考 【答案】C【分析】首先根据同角三角函数的基本关系求出sin α，()sin αβ+再利用两角差的余弦公式求出cos β，最后利用二倍角公式解得．【解析】依题意，α为锐角，tan 17α=，sin α∴=，又α，β为锐角，得0αβπ<+<，()cos αβ+=()sin αβ∴+=；()()()cos cos cos cos sin sin βαβααβααβα⎡⎤∴=+-=+++⎣⎦，得cos β===因此，294cos22cos 121105ββ=-=⨯-=，故选C ． 40．函数的()π2sin cos 6x x x f ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭所有零点为A ．π,Z 2k x k =∈ B ．ππ,Z 2x k k =+∈C ．π,Z x k k =∈D ．2π,Z x k k =∈【试题来源】华大新高考联盟（全国版）2021-2022学年高三上学期11月教学质量测评 【答案】C【分析】根据两角和的正弦公式化简()f x ，再令()0f x =即可求解． 【解析】由题可知()π2sin cos 6x x x f ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭2sin cos cos sin c πos π66x x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭cos cos x x x x =-+=，令()0f x x ==，可得π,Z x k k =∈，所以()f x 零点为π,Z x k k =∈，故选C ． 二、多选题1．下列式子正确的是 A．sin15cos15+︒︒=B．cos 75︒=C．2tan 151︒+︒= D ．tan12tan33tan12tan331︒+︒+︒︒=【试题来源】山东省济南市实验中学2021-2022学年高三上学期10月月考 【答案】ACD【分析】对于A ，利用两角差的正弦余弦公式求出sin15,cos15︒︒的值即可，对于B ，利用两角和的余弦公式求解，对于C ，求出tan15︒的值代入化简即可，对于D ，利用两角和的正切公式求解【解析】对于A，因为sin15sin(4530)sin45cos30cos45sin30︒=︒-︒=︒︒-︒︒=cos15cos(4530)cos45cos30sin45sin30︒=︒-︒=︒︒+︒︒=，所以sin15cos15+︒︒=A 正确， 对于B，因为cos75cos(4530)cos45cos30sin45sin30︒=︒+︒=︒︒-︒︒=，所以B 错误，对于C，因为11tan 30tan15tan(4530)21tan 30-︒︒=︒-︒===+︒，所以((22tan 15221︒+︒=+=，所以C 正确，对于D ，因为()tan 33tan12tan 45tan 331211tan 33tan12︒+︒︒=︒+︒==-︒︒，所以tan33tan121tan33tan12︒+︒=-︒︒，所以tan12tan33tan12tan331︒+︒+︒︒=，所以D 正确，故选ACD2．已知sin 3cos 3cos sin αααα+=-5，下列计算结果正确的是A ．1tan 2α=B ．tan α=2C ．213cos sin225αα+=D ．26sin cos25αα-=【试题来源】广东省湛江市第二十一中学2022届高三上学期9月第2次月考 【答案】BC【分析】将条件变形为用tan α表示的形式，进而可求出tan α，则可判断选项AB ，再将选项CD 变形，用tan α表示，代入tan α的值即可判断． 【解析】由sin 3cos 53cos sin αααα+=-得tan 353tan αα+=-，解得tan 2α=，故A 错误，B 正确； 222221cos sin cos 1tan 123cos sin22sin cos tan 1415ααααααααα++++====+++，故C 正确；22222222sin cos 2tan 17sin cos2s ta in cos 15n αααααααα---===++，故D 错误．故选BC ．3．达芬奇是意大利著名的画家、数学家、物理学家和机械工程师．悬链线问题（固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，那么项链所形成的曲线是什么？）起源于他的画作《抱银貂的女人》（如图所示），他苦苦思索，去世时仍没找到问题的答案．随着后人深入的研究，得出了悬链线的函数解析式为()e e 2ax axf x a-+=，其中a 为悬链线系数．当1a =时，()e e 2x x f x -+=称为双曲余弦函数，记为e e ch 2x x x -+=．类似的双曲正弦函数e e sh 2x xx --=，若直线x t =与ch x 和sh x 的图象分别交于点A ，B ，则下列结论中正确的是A ．()sh sh ch ch sh x y x y y x +=⋅+⋅B ．()ch ch ch sh sh x y x y x y +=⋅-⋅C ．线段AB 的长度随着t 的增大而变短D ．ch sh y x ⋅是偶函数 【答案】AC【分析】根据函数的新定义，结合两角和与差的正弦、余弦函数的公式，逐项运算，即可求解．【解析】由()sh 2x y x ye e x y ++-+=，可得sh ch ch sh 22222x x y y x x y y x y x ye e e e e e e e e e x y x y ----+---++--⋅+⋅=⋅+⋅=， 所以A 正确；由()ch 2x y x ye e x y +--++=，可得()ch ch sh sh ch 22222x x y y x x y y x y y xe e e e e e e e e e x y x y x y ------++--+⋅-⋅=⋅-⋅=≠+，所以B 错误；由线段AB 的长度为ch sh 22t t t tt e e e e t t e ---+--=-=，且随着t 的增大，t e -越来越小，所以C 正确；因为()ch ch 2x x e e x x -+-==，()sh h 2x xe e x s x ---==-，所以chx 是偶函数，shx 是奇函数，所以ch sh x x ⋅是奇函数，所以D 错误．故选AC ． 4．已知函数f (x )＝2 cos 2x －cos (2x －θ)(0)2πθ<<的图象经过点3(0,)2，则A ．点(,1)12π是函数f (x )的图象的一个对称中心B ．函数f (x )的最大值为2C ．函数f (x )的最小正周期是2πD ．直线x ＝3π是y ＝f (x )图象的一条对称轴 【试题来源】海南省华侨中学2022届高三11月第三次月考 【答案】ABD【分析】根据题意求出函数 ()f x 的解析式 ， 再结合函数的定义与性质判断选项中的命题是否正确．【解析】因为函数 2()2cos cos(2),02f x x x θπθ=--<<，()f x 的图象经过点3(0,)2， 所以32cos(2θ=--），解得1cos 2θ=，因为02πθ<<，所以3πθ=，21()2cos cos(2)1cos 2cos 22221cos(2)1323f x x x x x x cos x x ππ=--=+-=+=++因为y cosx =图象的对称中心是点(,0)()2k k Z ππ+∈，所以令2,3210x k k Z y πππ⎧+=+∈⎪⎨⎪-=⎩得,1221k x k Z y ππ⎧=+∈⎪⎨⎪=⎩当0k = 时，12x π=所以点(,1)12π是函数()f x 图象的一个对称中心，所以A 正确；因为1cos(2)13x π-+，所以()f x 的最大值为2，所以B 正确；因为函数 ()f x 的最小正周期22T ππ==，所以C 错误； 因为y cosx = 图象的对称轴方程是,,x k k Z π=∈ 所以令2,3x k k Z ππ+=∈，得,26k x k Z ππ=-∈， 当1k =时，3x π=，所以直线3x π=是函数()f x 图象的一条对称轴，所以D 正确．故选ABD5A B ．22cos sin 1212ππ-C ．cos15 sin 45 sin15cos45︒︒-︒︒D ．2tan151tan 15︒-︒【试题来源】湖南省长沙市雅礼教育集团2021-2022学年高二上学期期中联考 【答案】AB【分析】结合二倍角公式和正弦的差角公式依次讨论各选项即可得答案．【解析】选项A sin 60==︒=选项B ：22cos sin cos12126πππ-==选项C ：()1cos15sin 45sin15cos 45sin 4515sin 302︒︒-︒︒=︒-︒=︒=；选项D ：22tan1512tan1511tan 301tan 1521tan 1522︒︒=⨯=︒==-︒-︒AB ．6．已知函数()2sin 2x x f x =+ A ．()f x 的最小正周期为π B ．()f x 在,03π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增C ．曲线()f x 关于,03π⎛⎫⎪⎝⎭对称D ．曲线()f x 关于6x π=对称【试题来源】福建省宁德市部分达标中学2022届高三上学期期中联合考试 【答案】ABC【分析】化简得到()π2sin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，计算函数周期得到A 正确，将BCD 选项带入函数判断函数单调性和对称性得到答案．【解析】())2sin 2sin 21cos2sin 2x x x x f x x x =++=π2sin 23x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．()f x 的最小正周期为2ππ2T ==，A 正确；,03x π⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，π2,333x ππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，函数单调递增，B 正确；π2ππ2sin 0333f ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()f x 关于,03π⎛⎫⎪⎝⎭对称，C 正确； πππ2sin 2633f ⎛⎫⎛⎫=+=≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，D 错误．故选ABC ． 7．关于函数()sin cos ()f x x x x =+∈R ，则下列说法中正确的是 A．()f x B ．()f x 的最小正周期为π C ．()f x 的图象关于直线4x π=对称D ．()f x 在2,23ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增【试题来源】山东省济宁市嘉祥县第一中学2021-2022学年高三上学期期中考试 【答案】ACD【分析】计算()π()2f x f x +=得到π2是()f x 的一个周期，B 错误，0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()4f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，计算最值得到A 正确，()π()2f x f x -=得到C 正确，计算单调性得到D 正确，得到答案．【解析】因为()πππ()sin cos cos sin 222f x x x x x f x ⎛⎫⎛⎫+=+++=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以π2是()f x 的一个周期，故B 错误；当π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()πsin cos 4f x x x x ⎫⎛=+=+ ⎪⎝⎭，所以当π4x =时，()max f x A 正确；因为()πππ()sin cos cos sin 222f x x x x x f x ⎛⎫⎛⎫-=-+-=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以()f x 的图象关于直线π4x =对称，故C 正确；当2,23x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()sin cos 4f x x x x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，因为5,4412x πππ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，所以()f x 在2,23ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，故D 正确．故选ACD ． 8．下列函数的周期为π的是 A ．sin y x =B ．sin y x =C ．2sin 23cos y x x =+D ．tan cot y x x =-【试题来源】山东省临沂市重点高中2021-2022学年高三上学期第一次月考 【答案】BC【分析】根据三角函数的周期公式依次计算每个选项的周期得到答案． 【解析】sin y x =，2πT =，A 不满足；sin y x =的图象如图所示：根据图象知周期为π，B 满足；21cos 233sin 23cos sin 23sin 2cos 2222x y x x x x x +=+=+=++()322x ϕ=++，其中3tan 2ϕ=，2ππ2T ==，C 满足；22sin cos sin cos cos 22tan cot 1cos sin sin cos tan 2sin 22x x x x x y x x x x x x x --=-=-===-，π2T =， D 不满足．故选BC ．9．已知tan 4α=，1tan 4β=-，则A ．tan()tan 1αβ-=B ．α为锐角C ．3tan()45πβ+=D ．tan 2tan 2αβ=【试题来源】河北省保定市部分学校2022届高三上学期期中 【答案】ACD【分析】由诱导公式可判断A ，由正切函数的定义可判断B ，由正切函数的两角和公式可判断C ，由二倍角公式可判断D ．【解析】对于A ，因为tan 4α=，1tan 4β=-，所以tan()tan tan tan 1αβαβ-=-=，故A正确；对于B ，因为tan 40α=>，所以α为第一象限角或第三象限角，故B 错误；对于C ，因为1tan 4β=-，所以1tan 3tan()41tan 5πβββ++==-，故C 正确； 对于D ，因为tan 4α=，1tan 4β=-，所以222122tan 24884tan 2,tan 21tan 141515114ααβα⎛⎫⨯- ⎪⨯⎝⎭===-==---⎛⎫-- ⎪⎝⎭， 故D 正确．故选ACD10．对于函数()sin f x x x =，给出下列选项其中正确的是 A ．()f x 的图象关于点π,06⎛⎫⎪⎝⎭对称B ．()f x 的最小正周期为πC ．()f x 在区间5ππ,66⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递增 D ．π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()f x 的值域为[1,2]【试题来源】浙江省绍兴市诸暨中学2021-2022学年高一（实验班）上学期期中 【答案】CD【分析】由辅助角公式化简()f x ，利用正弦函数的对称中心可判断A ；由正弦函数的周期公式可判断B ；利用正弦函数的单调性可判断C ；利用正弦函数的性质可判断D ，进而可得正确选项．【解析】()πsin 2sin 3f x x x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，对于A ：令()πππZ 63k k +=∈，可得1Z 2k =∉，故选项A 不正确； 对于B ：()f x 的最小正周期为2π=2π1，故选项B 不正确； 对于C ：若5ππ66x -<<，则πππ232x -<+<， 所以()f x 在区间5ππ,66⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递增，故选项C 正确； 对于D ：当π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，ππ5π336x ≤+≤，所以1πsin 123x ⎛⎫≤+≤ ⎪⎝⎭，所以π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()f x 的值域为[1,2]，故选项D 正确；故选CD ．三、填空题 1．若2sin 3α=，则cos2=α____________． 【试题来源】河南省焦作市温县第一高级中学2021-2022学年高三上学期11月月考【答案】19【分析】利用余弦的二倍角公式即可求解﹒【解析】2221cos 212sin 1239αα⎛⎫=-=-⨯= ⎪⎝⎭，故答案为192．已知角θ的终边过点P （1，2），则tan 4πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭____________．【试题来源】沪教版（2020） 必修第二册 堂堂清 阶段测试二 【答案】3-【分析】先利用任意角的三角函数的定义求出tan θ的值，再利用两角和的正切公式求解即可【解析】因为角θ的终边过点P （1，2），所以tan 2θ=，所以tan tan214tan 34121tan tan 4πθπθπθ++⎛⎫+===- ⎪-⎝⎭-，故答案为3- 3．已知α____________．【答案】tan α-【分析】利用余弦的二倍角公式及同角之间的关系，即可得解．tan α==， 因为α为钝角，则tan 0α<，所以原式tan α=-，故答案为tan α-. 4．已知1tan 3α=，则5tan 4πα⎛⎫+=⎪⎝⎭____________． 【试题来源】天津市部分区2021-2022学年高三上学期期中 【答案】2【分析】利用诱导公式和两角和的正切公式可求得结果．【解析】1151tan 3tan tan tan 214441tan 13πππααπααα++⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=+=== ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭-．故答案为2． 5．已知tan 3πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭tan 2θ=____________．【试题来源】2022年全国著名重点中学领航高考冲刺试卷（七）【分析】由两角和的正切公式可得tan θ=，再利用二倍角公式即求．【解析】由题意得tan 3πθ⎛⎫+== ⎪⎝⎭7tan θ=tan θ=，则2222tan 7tan 21tan 1θθθ===--⎝⎭6．若4cos 65πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则sin 26πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭____________．【试题来源】广东省八校2022届高三上学期第二次联考 【答案】725-【分析】依题意sin 2sin 2662πππαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦利用诱导公式及二倍角公式计算可得；【解析】因为4cos 65πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以sin 2sin 2662πππαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦2247cos 22cos 12166525ππαα⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=-+-=-⨯-=-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎢⎥⎣⎦．故答案为725-．7．已知sin 0,2πθθ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，则tan 24πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭____________．【试题来源】四川省宜宾市普通高中2022届高三上学期第一次诊断测试 【答案】7【分析】根据已知条件求出cos θ，再求出tan θ和tan2θ，用正切的差角公式将tan 24πθ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开，代入数值计算即可﹒【解析】sin sin 0cos tan 22cos πθθθθθθ⎛⎫∈⇒ ⎪⎝⎭，＝＝， 所以22tan 44tan 21tan 143θθθ---＝＝＝，所以41tan2tantan2134tan 27441tan21tan2tan 143πθπθθπθθ----⎛⎫- ⎪⎝⎭-＝＝＝＝＋＋﹒故答案为7﹒ 8．若()4cos 5πα-=，α为第三象限角，则sin 4πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭____________．【试题来源】海南热带海洋学院附属中学2021届高三10月份月考。
云南省昆明市第一中学高三第八次考前适应性训练数学(文)试题 Word版含答案
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1.已知集合{|31,}P x x n n N ==-∈，{|10,}Q x x x N =<∈，则集合P Q 中元素的个数为（ ）A ．5B ．4C ．3D ．22.设||1,||2a b ==，且向量a 与向量b 的夹角为23π，则|2|a b -=（ ）A ．2B ．C ．4D ．123.设复数z 满足121zi z+=+，则z =（ ） A ．122i -- B ．122i -+ C ．122i - D ．122i +4.从500件产品中随机抽取20件进行抽样，利用随机数表法抽取样本时，先将这500件产品按001,002,003，…，500进行编号，如果从随机数表的第1行第6列开始，从左往右依次选取三个数字，则选出来的第4个个体编号为（ ） 1622 7794 3949 5443 5482 1737 9323 7887 3520 9643 8626 3491 6484 4217 5331 5724 5506 8877 0474 4767 A ．435 B ．482 C ．173 D ．2375.已知椭圆:E 22221(0)x y a b a b+=>>的左、右两个焦点和上下两个顶点都在圆M 上，则椭圆E 的离心率为（ ）A B C D 6.已知{}n a 为等比数列，若2312a a a =，且4a 与72a 的等差中项为54，则7a =（ ） A ．1 B ．12 C ．13 D ．147.已知函数22,1()log ,1x a x f x x x +≤⎧=⎨>⎩，若1(())42f f =，则a =（ ）A ．16B ．15C ．2D ．238.已知ABC ∆是一个圆锥的底面圆的内接三角形，03,60AB ACB =∠=，母线与底面所成角的余弦值为35，则该圆锥的体积为（ ） A．3B． C ．5π D ．8π 9.函数tan sin |tan sin |y x x x x =+--在区间3(,)22ππ内的图象是（ ）10.执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（ ） A ．29 B ．30 C ．31 D ．3211.若某空间几何体的三视图如图所示，根据图中数据，可得该几何体的表面积是（ ）A．24+ B．48+ C．48+ D．84+12.给出定义：设'()f x 是函数()y f x =的导函数，''()f x 是函数'()f x 的导函数，若方程''()0f x =有实数解0x ，则称00(,())x f x 为函数()y f x =的“拐点”，经探究发现，任意一个三次函数32()(0)f x ax bx cx d a =+++≠都有“拐点”，且该“拐点”也是该函数的对称中心，若32()232f x x x x =-++，则1232015()()()()2016201620162016f f f f ++++=（ ） A ．4032 B ．4030 C ．2016 D ．2015第Ⅱ卷二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.数列{}n a 是等差数列，n S 是它的前n 项和，已知315S =，9153S =，则6S = . 14.已知函数()1()af x x a R =+∈的图象在点(1,(1))f 处的切线经过点(2,5)，则a = .15.已知点P 是不等式组310301x y x y x -+≤⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，所表示的平面区域内的一个动点，点(2,1)Q -，O为坐标原点，则||OP OQ -的最大值是 .16.已知点F 是抛物线2:4C y x =的焦点，点B 在抛物线C 上，(5,4)A ，当ABF ∆周长最小时，该三角形的面积为 .三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. （本小题满分12分）已知函数2()2cos 2f x x x =+.（1）求函数()f x 的单调递增区间；（2）在ABC ∆中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边，1a =且()3f A =，求ABC ∆面积S 的最大值.18. （本小题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是梯形，//AB CD ，060BAD ∠=，2AB AD =，AP BD ⊥.（1）证明：平面ABD ⊥平面PAD ；（2）若PA 与平面ABCD 所成的角为60，2,AD PA PD ==，求点C 到平面PAB 的距离.19. （本小题满分12分）对某校900名学生每周的运动时间进行调查，其中男生有540名，女生有360名，根据性别利用分层抽样的方法，从这900名学生中选取60名学生进行分析，统计数据如下表（运动时间单位：小时） 男生运动时间统计：女生运动时间统计：（1）计算,x y 的值；（2）若每周运动时间不低于6小时的同学称为“运动爱好者”，每周运动时间低于6小时的同学称为“非运动爱好者”，根据以上统计数据填写下面的22⨯列联表，能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为“‘运动爱好者’ 与性别有关”？20. （本小题满分12分）已知双曲线:E 22221x y a b-=(0,0)a b >>的一条渐近线方程为0x -=，焦距为（1）求双曲线E 的方程；（2）若直线:(0)l y kx k =>与双曲线E 交于,A B 两点，且点A 在第一象限，过点A 作x 轴的垂线，交x 轴于点C ，交双曲线E 于另一点1A ，连结BC 交双曲线E 于点D ，求证：1AD OA ⊥.21. （本小题满分12分） 已知函数()ln 2x mf x ex -=-.（1）若1m =，求函数()f x 的极小值； （2）设2m ≤，证明：()ln 20f x +>.请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，已知直线PA 与半圆O 切于点A ，PO 交半圆于,B C 两点，AD PO ⊥于点D . （1）求证：PAB BAD ∠=∠； （2）求证：PB CD PC BD ∙=∙.23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为x ty =-⎧⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），当1t =时，直线l 上对应的点为A ，当1t =-时，直线l 上对应的点为B ，以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立坐标系，并在两种坐标系中取相同的长度单位，曲线C的极坐标方程为ρ=（1）分别求,A B 两点的极坐标(0,02)ρθπ>≤<； （2）设点P 为曲线C 上的动点，求PAB ∆面积的最大值. 24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数()|1|f x x =+. （1）求不等式()|4|xf x x >+；（2）若x R ∀∈，不等式()||1f x x a --≥-恒成立，求实数a 的取值范围.昆明市第一中学第八期月考 参考答案（文科数学）命题、审题组教师 丁茵、顾先成、杨仕华、鲁开红、张兴虎、张波、李建民、张宇甜、彭力 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
云南省昆明市第一中学2020届高三上学期期中考试 数学文
昆明一中2020届高三年级上学期期中考试文科数学 试卷注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考号填涂在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
一、选择题：本题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.设集合11{|}22M x x =-<<， 2{|}N x x x =≤，则M N ⋂= A. 10,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭ B. 1,12⎛⎤-⎥⎝⎦ C. 11,2⎡⎫-⎪⎢⎣⎭ D. 1,02⎛⎤- ⎥⎝⎦2.若x ，y 满足约束条件42y x x y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，则2z x y =+的最大值是A. 8B. 4C. 2D. 63.在ABC ∆中,若A a B c C b sin cos cos =+,则角A 的值为 A.3π B.6π C.2πD.32π4.已知定义域为]22,4[--a a 的奇函数)(x f 满足2sin 2020)(3++-=b x x x f 则=+)()(b f a fA.0B.1C.2D.不能确定 5.设m ,n 为空间两条不同的直线, α,β为空间两个不同的平面,给出下列命题: ①若α⊥m ,β//m ,则βα⊥; ②若α⊂m ,α⊂n ,β//m ,β//n ,则βα//; ③若α//m ,α//n ,则n m //; ④若α⊥m ,β//n ,βα//,则n m ⊥. 其中所有正确命题的序号是 A.①② B.②③C.①③D.①④6.从总体中抽取的样本数据的频率分布直方图如图1所示,若总体中85%的数据不超过b ,则b 的估计值为 A.25B.24C.914D.7037.设sin 2a =,0.3log b π=,0.54c =,则A.c a b <<B.a b c <<C.b a c <<D.b c a << 8.已知2cos()63πα-=,则2cos(2)3πα+= A.19- B.19C.45D.45-9.如图2,在区域224x y +≤内任取一点,则该点恰好取自阴影部分（阴影部分为“224x y +≤”与“()()2112x y -+-≤ ”在第一、第二象限的公共部分）的概率为 A.1122π- B.3184π- C.31+84π D.3810.公元前5世纪,古希腊哲学家芝诺发表了著名的阿基里斯悖论:他提出让乌龟在阿基里斯前面0100米处开始与阿基里斯赛跑,并且假定阿基里斯的速度是乌龟的10倍.当比赛开始后,若阿基里斯跑了0100米,此时乌龟便领先他100米;当阿基里斯跑完下一个100米时,乌龟仍然领先他10米.当阿基里斯跑完下一个10米时,乌龟仍然领先他1米……,所以阿基里斯永远追不上乌龟.按照这样的规律,若乌龟恰好领先阿基里斯210-米时,乌龟爬行的总距离为A.901104-B.9001104-C.901105-D.9001105-11.在ABC ∆中, 1=CA ,2=CB ,32π=∠ACB ,点M 满足CA CB CM 2+=,则=⋅MB MAA.0B.2C.32D.4图2图112.已知1F ,2F 分别为椭圆12222=+by a x )0(>>b a 的左、右焦点,点P 是椭圆上位于第一象限内的点,延长2PF 交椭圆于点Q ,若PQ PF ⊥1,且PQ PF =1,则椭圆的离心率为 A.22-B.23-C.12-D.36-二、填空题：本题共4个小题,每小题5分,共20分.13.已知向量)2,1(=a ρ,)2,2(-=b ρ,),1(λ=c ρ,若)2//(b a c ρρρ+,则=λ ．14.已知数列}{n a 满足11=a ,nn a a +-=+111,*∈N n ,则=2019a ． 15.设,a b R ∈,2234a b +=,则a 的最小值是 ．16.已知函数2()f x x ax =-(1x e e≤≤,e 为自然对数的底数)与()x g x e =的图像上存在关于直线y x =对称的点,则实数a 的取值范围是 ．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (一)必考题：共60分.第17-21题为必考题,每个试题考生都必须作答.17.(本小题满分12分)设等差数列}{n a 的前n 项和为n S ,522-=+S a ,155-=S . （1）求数列}{n a 的通项公式; （2）求13221111++++n n a a a a a a Λ. 18.(本小题满分12分)已知向量)sin ,cos 2(x x a =ρ,)cos 32,(cos x x b -=ρ,且1)(-⋅=b a x f ρρ.（1）求)(x f 的单调递增区间;（2）先将函数)(x f y =的图象上所有点的横坐标缩小到原来的21倍（纵坐标不变）,再将所得图象向左平移12π个单位,得到函数)(x g y =的图象，求方程图3图5E (P )1)(=x g 在区间]2,0[π∈x 上所有根之和.19. (本小题满分12分)已知三棱锥ABC P -（如图3）的展开图如图4,其中四边形ABCD 为边长等于2的正方形, ABE∆和BCF ∆均为正三角形.（1）证明:平面PAC ⊥平面ABC ;（2）若M 是PC 的中点,点N 在线段PA 上，且满足2PN NA =,求直线MN 与平面PAB 所成角的正弦值.20.(本小题满分12分)如图5,在ABC ∆中,角A ,B ,C的对边分別a ,b ,c ,43cos =A ,A B 2=,3=b . （1）求a ;（2）如图5，点M 在边BC 上,且AM 平分BAC ∠,求ABM ∆的面积. 21.(本小题满分12分)已知函数)ln 1()(x x x f +=, )1()(-=x k x g )(Z k ∈. （1）求函数)(x f 的极值;（2）对任意的),1(+∞∈x ,不等式)()(x g x f >都成立,求整数k 的最大值.(二)选考题:共10分.请考生在22,23题中任选一题作答.作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目题号后的方框涂黑.如果多做，则按所做的第一题计分. 22.(本小题满分10分) 选修4-4:坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为222)1()3(r y x =-+-（0>r ）,以坐标原点O 为极点, x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,直线l 的极坐标方程为1)3sin(=-πθρ,且直线l 与圆C 相切.（1）求实数r 的值;（2）在圆C 上取两点M ,N ,使得6π=∠MON ,点M ,N 与直角坐标原点O 构成图4COMN ∆,求OMN ∆面积的最大值.23.（本小题满分10分）选修4-5:不等式选讲已知函数112)(-+-=x a x x f .（1）当2=a 时,b x f ≤)(有解,求实数b 的取值范围; （2）若2)(-≥x x f 的解集包含]2,21[,求实数a 的取值范围.2019—2020学年上学期高三年级期中考试文科数学 参考答案二、填空题：13. 52-14. 2- 15.- 16. 11,e e ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦三、解答题：17.解：（1）设等差数列}{n a 的公差设为d ,Θ522-=+S a ,155-=S ,∴5231-=+d a ,151051-=+d a ,解得11-==d a . ………………4分 ∴n n a n -=---=)1(1,*∈N n . ………………6分（2）111)1(111+-=+=+n n n n a a n n Θ………………8分13221111++++∴n n a a a a a a Λ )1(1321211+⨯++⨯+⨯=n n Λ1113121211+-++-+-=n n Λ 1n+=n …………………12分 18.解:（1）函数1cos sin 32cos 2)(2-⋅-=x x x x f)62sin(2π--=x …………………4分令πππππk x k 2236222+≤-≤+,Z k ∈ 即ππππk x k +≤≤+653,Z k ∈, ∴函数的单调增区间为]65,3[ππππk k ++,Z k ∈. …………6分（2）由题意知)62sin(4x 6)12(4sin 2)(πππ+-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-=x x g , ………8分 由1)(=x g ,得21)6sin(4x -=+π,Θ]2,0[π∈x ,∴]613,6[64x πππ∈+ ∴6764x ππ=+或61164x ππ=+, ∴4x π=或125x π=,故所有根之和为321254πππ=+. ………………12分 19.解:（1）证明:如图取AC 的中点O ,连结BO PO .Θ 2===PC PB PA ,∴1=PO ,1===CO BO AO , Θ在PAC ∆中,PC PA =,O 为AC 的中点, ∴AC PO ⊥.Θ在POB ∆中,1=PO , 1=OB ,2=PB ,∴222PB OB PO =+,∴OB PO ⊥.ΘO OB AC =⋂,AC ,OB ⊂平面ABC ,∴⊥PO 平面ABC ,Θ⊂PO 平面PAC ,∴平面PAC ⊥平面ABC ． ……………5分（2）解: Θ M PC 为中点∴点M 到平面PAB 的距离为点C 到平面PAB 距离的一半.假设C 到平面PAB 距离为d ,则113311423C PAB P ABCPAB ABC V V S d S PO d d --=∴⋅=⋅⨯=⨯∴=V V∴M 到平面PAB的距离为=d ' ………………9分 Rt MPN ∆ 中,6MN == ………………10分设θ为直线MN 与平面PAB 所成角，则sin =56d MN θ'== ………………12分 20.解:(1)由正弦定理知B b A a sin sin =，∴AA a 2sin 3sin =, ∴24323cos 23=⨯==Aa . ………………………4分（2）Θ43cos =A ,∴47sin =A ,∴811cos 22cos cos 2=-==A A B ,∴873sin =B ,∴1675sin cos cos sin )sin(sin =+=+=B A B A B A C , …………7分C由正弦定理知A a C c sin sin =,∴25sin sin ==A C a c…………9分 ΘAM 平分BAC ∠,∴ 56===c b AB AC BM CM ,∴11102115115=⨯==BC BM ,…………11分∴17677587325111021sin 21=⨯⨯⨯=⨯⨯⨯=∆B AB BM S ABM . ……12分 21.解:（1）Θ)ln 1()(x x x f +=,0>x ,∴x x f ln 2)(+=', …………1分当210e x <<时,0)(<'x f ,当21e x >时, 0)(>'x f , …………3分 ∴当21e x =时, )(x f 取得极小值，极小值为22221)1ln 1(1)1(ee e ef -=+=,)(x f 无极大值． ………………………5分（2）Θ对任意的),1(+∞∈x ,不等式)()(x g x f >都成立,∴)1()ln 1(->+x k x x 在),1(+∞∈x 上恒成立，即0)1()ln 1(>--+x k x x 在),1(+∞∈x 上恒成立，令)1()ln 1()(--+=x k x x x h , 1>x ∴x k x h ln 2)(+-=', ………6分 ①当02≥-k 时,即2≤k 时, 0)(>'x h 在),1(+∞∈x 上恒成立，∴)(x h 在),1(+∞上单调递增，∴1)1()(=>h x h∴2≤k 都符合题意,此时整数k 的最大值为2. ……………8分②当2>k 时,令0)(='x h ,解得2-=k ex ,∴当21-<<k e x 时, 0)(<'x h ,当2->k e x 时, 0)(>'x h ,k e e h x h k k +-==--22min )()(,则02>+--k e k , ……………10分令k ek p k +-=-2)(∴1)(2+-='-k e k p ,)2(>k ,Θ0)(<'k p 在),2(+∞∈k 上恒成立,∴k e k p k +-=-2)(在),2(+∞上单调递减，又04)4(2<+-=e p ,03)3(>+-=e p ,∴存在)4,3(0∈k 使得0)(0=k p ,故此时整数k 的最大值为3.综上所述: 整数k 的最大值为3. …………………12分22.解:（1）直线l 的极坐标方程为1)3sin(=-πθρ,转化为直角坐标方程为023=+-y x . ………………2分Θ直线l 与圆C 相切, ∴圆心)1,3(到直线023=+-y x 的距离d 满足r d =++-⨯=132133，解得2=r . …………………4分（2）由（1）得圆的方程为4)1()3(22=-+-y x .转化为极坐标方程为)3sin(4πθρ+=．设),(1θρM ,)6,(2πθρ+N , … 5分6sin 2121πρρ=∆MON S )2sin()3sin(4πθπθ++=3)32sin(2++=πθ …………8分故当12πθ=时, OMN ∆的面积取到最大值为32+. …………10分23.解:（1）当2=a 时,1221222121212)(=---≥-+-=-+-=）（）（x x x x x x x f当且仅当0)22(12(≤--x x ）, 即121≤≤x 时取等号, …………2分 ∴1)(min =x f ,Θb x f ≤)(有解, ∴只需1)(min =≥x f b ,∴实数b 的取值范围为),1[+∞. ……………………4分（2）当]2,21[∈x 时, 012≥-x ,02≤-x ,Θ2)(-≥x x f 的解集包含]2,21[∴x x a 331-≥-对]2,21[∈x 恒成立, ……………7分当1=x 时, R a ∈, 当121<≤x 时, x x a 33)1(-≥-, 即3≥a ,当21≤<x 时, x x a 33)1(-≥-, 即3-≥a , ……………9分 综上所述: 实数a 的取值范围为),3[+∞. …………10分。
云南省昆明市第一中学2021届高三第八次考前适应性训练数学(文)答案
云南省昆明市第一中学2021届高三第八次考前适应性训练数学（文）试题参考答案1．B 【思路点拨】首先求出UA ，然后可得答案.【解析】因为{}1,0,4,5UA =-，所以(){}1,0,4U A B =-，故选：B2．D 【思路点拨】根据复数的除法和乘方运算计算．【解析】解：因为21i (1i)2ii 1i (1i)(1i)2z ---====-++-，所以()33i i z =-=， 故选：D.3．C 【思路点拨】先由题意确定箭头出现的规律，进而可求出结果. 【解析】由题意：观察题中自然数的排列规律，从0开始，以4个数为1个周期，箭头方向重复出现， 又201850442=⨯+，202050450=⨯+，所以从2018到2019的箭头，与从2到3的箭头一致； 从2019到2020，与从3到4的箭头一致； 故选C【名师指导】本题主要考查归纳推理，灵活掌握归纳的方法即可，属于常考题型. 4．C 【思路点拨】由题意可知，能为B 型血病人输血的有O 型和B 型，由互斥事件的概率公式求解.【解析】由题意可知，能为B 型血病人输血的有O 型和B 型， 因此，在该地区任选一人，能为病人输血的概率为49%+25%=74%. 故选：C5．A 【思路点拨】根据平面向量数量积的定义和运算性质，结合向量数乘的性质进行判断即可.【解析】①：由平面向量数量积的运算性质可知：()2222a b a a b b -=-⋅+，故本命题是真命题；②：因为平面向量数量积的结果是数量，所以()a b c ⋅⋅的结果与a 是共线向量，而()a b c⋅⋅的结果与c 是共线向量，显然()()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅不恒成立，故本命题是假命题； ③：由0cos ,0a b a b a b ⋅=⇒⋅⋅〈〉=，当0a ≠且0b ≠时，当cos ,0a b 〈〉=时，也满足0a b ⋅=，故本命题是假命题；④：由()0a b c b b a c ⋅=⋅⇒⋅-=，显然当a c ≠时，当cos ,0b a c 〈-〉=时，也满足a b c b ⋅=⋅，故本命题是假命题；⑤：因为()2222cos ,a b a b a b ⋅⋅=〉⋅〈，所以()222a ba b ⋅=⋅不恒成立，故本命题是假命题， 故选：A6．D 【思路点拨】根据等差数列的下标性质，结合等差数列的前n 项和公式进行求解即可. 【解析】解析：由等差数列的性质可得3542a a a +=，又34518a a a ++=， 所以4318a =，46a =， 而()1747477274222a a a S a +⋅====， 故选：D7．B 【思路点拨】模拟程序运行，判断循环条件，可得输出结果．【解析】解：1n =，122a ==，414b =⨯=，否；2n =，224a ==，428b =⨯=，否；3n =，328a ==，4312b =⨯=，否；4n =，4216a ==，4416b =⨯=，是，所以()22log 1616log 325T =+==，所以输出5， 故选：B.8．A 【思路点拨】根据直线l 是否存在斜率，结合圆的垂径定理、点到直线距离公式分类讨论求解即可.【解析】当直线l 的斜率不存在时，直线4x =与圆相交于)(4,3，)(4,3-两点，所以弦长为6，满足题意；当直线l 的斜率存在时，设直线方程为)(14y k x +=-，圆的半径为=5r ，圆心到直线l 的距离d =，由垂径定理可知：2223d r +=可得4d =，4=，所以158k =，直线l 的方程为158680x y --=，故选：A ．9．C 【思路点拨】已知直线斜率与渐近线斜率比较，建立基本量的不等关系即可. 【解析】因为双曲线的一条渐近线为by x a=-，直线30x y +=可化为3y x =-， 由题意可得3b a -≥-，即3ba≤；又因为22222213b b c a e a a a-===-≤，所以110e <≤ 故选:C ．10．A 【思路点拨】根据函数的奇偶性的定义，判断函数的奇偶性，运用导数判断函数的单调性，最后运用函数的奇偶性、单调性进行求解即可. 【解析】因为函数()f x 的定义域为R ，()()55)10()sin()10s (in )(x x x x x x f x f x +-+--=-=+=--+，所以()f x 为奇函数；又因为()4510cos 0f x x x '=++>，所以函数()f x 在R 上单调递增；又因为()()130f t f t +-<，所以()()()1331f t f t f t <--=-，31t t ->，即12t >， 故选：A11．D 【思路点拨】设正三棱锥S ABC -的侧棱长为a ，根据已知条件列等式求出a 的值，进而可求得正三棱锥S ABC -的表面积.【解析】设正三棱锥S ABC -的侧棱长为a ，设点S 在底面ABC 的射影为点O ，则O 为等边ABC 的中心，因为SA 、SB 、SC 两两垂直，且SA SB SC a ===，所以，2AB AC BC a ===，等边ABC的外接圆半径为62sin 603OC r a ===，由勾股定理可得222SO OC SC +=，即22233a a +=，解得3a =，所以，正三棱锥S ABC -的表面积为((22931133222⨯⨯+⨯=. 故选：D.【名师指导】关键点点睛：本题考查正三棱锥表面积的计算，解题的关键在于根据正三棱锥的高、底面外接圆的半径以及侧棱长满足勾股定理列等式求解侧棱长，再结合三角形的面积公式求解.12．B 【思路点拨】根据函数的对称性，函数的单调性进行求解即可.【解析】当1x e ≤≤时，()ln 11ln f x x x =-=-，此时函数单调递减，而函数图象关于直线1x =对称，因此函数在[]2,1e -上单调递增，而13()=()22f f ，又因为11221323e -<<<<，所以112()()()323f f f <<，所以132()()()323f f f <<，故选：B 13．45【思路点拨】根据诱导公式，结合同角的三角函数关系中的平方和关系进行求解即可.【解析】因为3cos(π)5α+=-，所以3cos 5α-=-，可得3cos 5α=，因为3π2π2α<<，所以4sin 5α===-，所以4sin(2π)sin 5αα-=-=， 故答案为：4514．15【思路点拨】根据对数的运算性质，结合等比数列下标的性质进行求解即可. 【解析】解析：因为等比数列{}n a 的各项均为正数，且327a =， 所以3132333435log log log log log a a a a a ++++()()()()55153123453333log log log 27log 315a a a a a a =⋅⋅⋅⋅====，故答案为：1515．5-【思路点拨】作出可行域，作出目标函数对应的直线，平移该直线可得最优解． 【解析】解：作出可行域，如图阴影部分，作直线20x y -=，由2z x y =-得1122y x z =-，知直线向上平移时，z 减小，平移直线20x y -=，如图所示，它过()3,4A 时z 取得最小值，z 的最小值是5-. 故答案为：5-．16．①②④【思路点拨】命题1p ：构造函数，利用导数、结合任意的定义进行判断本命题的真假，命题2p ：利用特殊值法，结合存在的定义进行判断本命题的真假， 命题3p ：利用一元二次方程根的判别式进行判断本命题的真假， 命题4p ：利用特殊值法进行判断本命题的真假.然后利用或、且、非命题的真假命题的判断方法进行判断即可.【解析】1p ：()1x f x e x =--，()1=0x f x e '=-，=0x ，当0x >时，()0,()f x f x '>单调递增，当0x <时，()0,()f x f x '<单调递减， 所以min ()(0)0f x f ==，所以1p 为真． 2p ：当01x =时成立，所以2p 为真．3p ：()22=24(3)4120a a ∆---=+>，方程有两个不相等实根，所以3p 为真．4p ：当sin 1x =-时，()1sin 0sin f x x x=+<，所以4p 为假． 所以12p p ∧，14p p ∧⌝，34p p ⌝∨⌝为真， 故答案为：①②④．【名师指导】关键点睛：本题的关键一是构造函数利用导数判断命题1p 的真假；二是正确掌握且、或、非命题的真假判断方法.17．【思路点拨】（1）切化弦通分后应用两角和的正弦公式和诱导公式化简，然后由正弦定理化角为边即证得结论成立；（2）由正弦定理化角为边得2b c =，结合（1）的结论，可以用a 表示出,b c ，然后由余弦定理求得cos A ．【解析】解：（1）因为1tan tan tan tan ()2cos cos B CB C C B+=+， sin sin 1sin sin ()cos cos 2cos cos cos cos B C B CB C C B C B+=+， 所以sin cos sin cos sin()1sin sin ()cos cos cos cos 2cos cos cos cos B C C B C B B CB C B C C B C B++==+，所以sin 1sin sin ()cos cos 2cos cos cos cos A B CB C C B C B=+，所以2sin sin sin A B C =+，由正弦定理得：2b c a +=， 所以a 是b ，c 的等差中项.（2）由正弦定理sin sin a bA B=及sin 2sin a B c A =得：2b c =， 又因为2b c a +=，所以43b a =，23c a =，由余弦定理得：22222242()+()+c 1133cos 42216233a a ab a A a a bc --===⋅⋅. 【名师指导】关键点点睛：本题考查同角间的三角函数关系，两角和与差正弦公式和诱导公式，考查正弦定理和余弦定理．解题关键是用正弦定理化角为边，然后由余弦定理求解． 18．【思路点拨】（1）根据分层抽样中的抽样比公式进行求解即可； （2）用列举法，结合古典概型计算公式求解即可； （3）根据题中所给的公式，对照表中数据进行判断即可.【解析】解：（1）甲､乙､丙､丁四个公园中幸运之星的人数分别为：4510=3150⨯，6010=4150⨯，30102150⨯=，15101150⨯=. （2）设乙公园的幸运之星为A ，B ，C ，D ，丙公园的幸运之星为a ，b ，则从中任选2人的所有基本结果为(),A B ，(),A C ，(),A D ，(),A a ，(),A b ，(),B C ，(),B D ，(),B a ，(),B b ，(),C D ，(),C a ，(),C b ，(),D a ，(),D b ，(),a b 共15种，其中这两人均来自乙公园的基本结果为(),A B ，(),A C ，(),A D ，(),B C ，(),B D ，(),C D 共6种，所以其概率为62155P ==. （3）由表中数据得2K 的观测值()226025151557.5 6.63540203030K ⨯⨯⨯-⨯==>⨯⨯⨯.据此判断，能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为有兴趣参与研究“滇金丝猴”物种保与性别有关.19．【思路点拨】（1）先证明AD ⊥平面PDC ，然后由线线平行证明//AD 平面PBC ，再得线线平行，//AD m ，从而证得线面垂直；（2）设PD x =，求出三棱锥P ABD -体积，由基本不等式得最大值，然后计算PBC ∠的正弦值即可，【解析】解：（1）因为四边形ABCD 是矩形，所以AD CD ⊥. 因为点D 在以AP 为直径的圆上，所以AD DP ⊥，CD DP D =，,CD DP ⊂平面PDC ，所以AD ⊥平面PDC .因为//AD BC ，AD ⊄平面PBC ，BC ⊂平面PBC ，所以//AD 平面PBC . 因为平面PBC平面PAD m =，AD ⊂平面PAD ，所以//AD m ，所以直线m ⊥平面PDC .（2）设PD x =，所以AD 02x <<)，12PAD S x ∆=⋅因为平面PAD ⊥平面ABCD ，交线为AD ，且AB AD ⊥，AB 平面ABCD ，所以AB ⊥平面PAD ，而PA ⊂平面PAD ，所以AB PA ⊥.在直角△PAB 中，PB =2PA =，有AB =因为P ABD B PAD V V --=，所以221432P ABD B PADPAD x x V V S AB --∆+-==⋅⋅=≤=，当且仅当224x x =-，即x =PD AD ==PC . 由（1）AD ⊥平面PDC .PC ⊂平面PDC ，所以AD PC ⊥，因为////m AD BC ，BC PC ⊥，所以sin sin PC PBC PB θ=∠==. 【名师指导】关键点点睛：本题考查证明线面垂直，考查三棱锥的体积．掌握线面垂直与线线垂直间的相互转化是解题关键．对三棱锥的体积问题，关键是引入参数PD x =，然后由体积公式得出体积，利用基本不等式求得最大值是常用方法．20．【思路点拨】（1）根据等式MA =求出M 的坐标，再结合椭圆的定义、离心率公式进行求解即可；（2）根据圆的垂径定理，利用勾股定理进行求解即可.【解析】解：（1）设(),(0,0)M x y x y >>，因为F 点为抛物线D ：22x py =的焦点，点A 是该抛物线的对称轴与准线的交点，所以0,2p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，0,2p A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，因为MA =2p y ⎫+⎪⎭，2p y ⎫=+⎪⎭，整理得2204p y py -+=：解得：2p y =， 因此220,2px p x p x x p =⋅⋅⇒=±∴>∴=，所以MA =，MF p =，因为M 在以A ，F 为焦点的椭圆C 上，所以2c AF p ==，)21a MA MF p =+=，所以椭圆C 的离心率212c c e a a ====． （2）设()11,B x y ，则圆心114,22x y Q +⎛⎫⎪⎝⎭，所以该圆的半径为r =114,22x y Q +⎛⎫ ⎪⎝⎭到直线3y =的距离为1432y d +=-，因为2p =，则211=4x y ，则GH =====所以弦GH 的长为定值【名师指导】关键点睛：本题的关键是应用椭圆的定义和圆的垂径定理以及熟练的数学运算能力.21．【思路点拨】（1）求出()f x ，然后解出不等式()0f x '≤即可；（2）首先可得当1x >时，1()(1)2f x f <=-，然后分1k =、1k >、1k <三种情况讨论，当1k <时，求出()f x 的单调性即可.【解析】（1）函数2()ln 2x f x x =-的定义域为()0,∞+，令211()0x f x x x x-'=-=≤，解得1≥x . 所以函数()f x 的单调递减区间为[)1,+∞.（2）由（1）可知，当1x >时，1()(1)2f x f <=-，所以当1k =时，11()()122f xg x .即不存在01x >满足题意； 当1k >时，由1()()2f xg x +>，得1()(1)2f x k x k >--+，对于1x >，有111(1)(1)(1)222k x k k x --+=--->-，所以不存在01x >满足题意； 当1k <时，令2()()()ln (1)2x F x f x g x x k x k =+=-+-+(1)x >则21(1)1()1x k x F x x k x x-+-+'=-+-=，令()0F x '=，得1=<x ，21=>x当()21,x x ∈时，()0F x '>，所以()F x 在()21,x 内单调递增， 此时1()(1)2F x F >=，即1()()2f xg x +>， 所以存在01x >满足题意综上，实数k 的取值范围是(),1-∞【名师指导】方法点睛：对于函数的不等式问题，常利用导数研究其单调性解决. 22．【思路点拨】（1）根据伸缩变换的公式，结合两角和的正弦公式、直角坐标方程与极坐标方程互化公式进行求解即可；（2）根据参数方程，利用点到直线距离公式，结合辅助角公式进行求解即可. 【解析】解：（1）由题意，曲线1C 的参数方程为cos ,sin ,x y αα=⎧⎨=⎩()α为参数，经过伸缩变换2,x x y y ''=⎧⎨=⎩后，曲线2C 的参数方程为2cos ,sin ,x y αα=⎧⎨=⎩()α为参数，由πsin 4ρθ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭22ρθθ⎫+=-⎪⎪⎝⎭， 化为直角坐标方程为40x y ++=，所以，曲线2C 的参数方程为2cos ,sin ,x y αα=⎧⎨=⎩()α为参数， 直线l 的直角坐标方程为40x y ++=． （2）设(2cos ,sin )P αα，点P 到直线l 的距离为d =（其中，sin 5ϕ=cos 5ϕ=）， 当sin()1αϕ+=-时，即π2π2k αϕ+=-，k Z ∈时，点P 到直线l 的距离d 取到最小值2，此时，πcos cos 2πsin 2k αϕϕ⎛⎫=--=-= ⎪⎝⎭，k Z ∈，πsin sin 2πcos 2k αϕϕ⎛⎫=--=-= ⎪⎝⎭k Z ∈， 所以，点P的坐标为⎛ ⎝⎭． 23．【思路点拨】（1）利用零点分段法，去绝对值，解不等式即可得解；（2）要证明3333()f x a b c abc≤+++,对任意的x ∈R ，(),,0,a b c ∈+∞恒成立，只需证明333max min 3()f x a b c abc ⎛⎫≤+++⎪⎝⎭，由绝对值不等式求得()f x 的最大值，利用基本不等式求得3333a b c abc+++的最小值即可. 【解析】解：（1）由不等式()1f x >可得：()241f x x x =--+>，可化为：4,241x x x <-⎧⎨-+++>⎩或42,241x x x -≤≤⎧⎨-+-->⎩或2,241x x x >⎧⎨--->⎩， 解得：4x <-或342x -≤<-或x ∈∅， 所以，不等式的解集为3,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭． （2）因为()24(2)(4)6f x x x x x =--+≤--+=，当且仅当4x ≤-时，等号成立， 另一方面，因为a ，b ，,()0c ∈+∞，33333336a b c abc abc abc abc+++≥=+≥， 当且仅当1a b c ===时，等号成立， 所以，3333()f x a b c abc ≤+++．。
云南省昆明市第一中学2020届高三考前第九次适应性训练英语试题含答案
昆明第一中学2020届高中新课标高三第九次考前适应性训练英语试卷本试卷共四个部分。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
满分150分，考试用时120分钟。
第一部分：听力（共两节，满分30分）第一节（共5小题：每小题1.5分，满分7. 5分）听下面5段对话。
每段对话后有一个小题，从题中所给的A、B、C三个选项中选出最佳选项，并标在试卷的相应位置。
听完每段对话后，你都有10秒钟的时间来回答有关小题和阅读下一小题。
每段对话仅读一遍。
1.What’s the relationship between the two speakers?A.Father and daughter.B. Teacher and student.C. Sister and brother.2.Why does the woman complain to the man?A. The dog is trapped.B. The dog scares her.C. The dog barks all day.3.How does the man find the T-shirt?A. The color is bright.B. It is too large.C. The design is modern.4.What does the man suggest?A. Reading a detailed map.B. Asking for directions.C. Keeping driving to the river.5.What are the speakers discussing?A. A French conversation.B. A speech in French class.C. An experiment they just took.第二节（共15小题；每小题1.5分，满分22. 5分）听下面5段对话。
云南省昆明市第八中学2025届高三一诊考试数学试卷含解析
云南省昆明市第八中学2025届高三一诊考试数学试卷注意事项：1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知定义在R 上函数()f x 的图象关于原点对称，且()()120f x f x ++-=，若()11f =，则()1(2)(3)(2020)f f f f ++++=（ ）A ．0B ．1C ．673D ．6742．在ABC ∆中，60BAC ∠=︒，3AB =，4AC =，点M 满足2B M M C =，则AB AM ⋅等于（ ） A ．10B ．9C ．8D ．73．已知命题p ：若1a >，1b c >>，则log log b c a a <；命题q ：()00,x ∃+∞，使得0302log x x <”，则以下命题为真命题的是（ ） A ．p q ∧B ．()p q ∧⌝C ．()p q ⌝∧D ．()()p q ⌝∧⌝4．直线1y kx =+与抛物线C ：24x y =交于A ，B 两点，直线//l AB ，且l 与C 相切，切点为P ，记PAB 的面积为S ，则S AB -的最小值为( ) A ．94-B ．274-C ．3227-D ．6427-5．设()y f x =是定义域为R 的偶函数，且在[)0,+∞单调递增，0.22log 0.3,log 0.3a b ==，则（ ） A ．()()(0)f a b f ab f +>> B ．()(0)()f a b f f ab +>> C ．()()(0)f ab f a b f >+> D ．()(0)()f ab f f a b >>+6．把函数sin()6y x π=+图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，再将图象向右平移3π个单位，那么所得图象的一个对称中心为（ ） A ．(,0)3πB ．(,0)4πC ．(,0)12πD ．(0,0)7．一个陶瓷圆盘的半径为10cm ，中间有一个边长为4cm 的正方形花纹，向盘中投入1000粒米后，发现落在正方形花纹上的米共有51粒，据此估计圆周率π的值为（精确到0.001）（ ） A ．3.132B ．3.137C ．3.142D ．3.1478．下边程序框图的算法源于我国古代的中国剩余定理.把运算“正整数N 除以正整数m 所得的余数是n ”记为“(mod )N n m ≡”，例如71(mod 2)≡.执行该程序框图，则输出的n 等于（ ）A ．16B ．17C ．18D ．199．设()f x 是定义在实数集R 上的函数，满足条件()1y f x =+是偶函数，且当1x ≥时，()112xf x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则()3log 2a f =，312b f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()3c f =的大小关系是（ ） A ．a b c >>B ．b c a >>C ．b a c >>D ．c b a >>10．点O 在ABC ∆所在的平面内，OA OB OC ==，2AB =，1AC =，AO AB ACλμ=+(),R λμ∈，且()420λμμ-=≠，则BC =（ ）A ．73B ．72C ．7D 711．若函数()sin()f x A x ωϕ=+（其中0A >，||)2πϕ<图象的一个对称中心为(3π，0)，其相邻一条对称轴方程为712x π=，该对称轴处所对应的函数值为1-，为了得到()cos2g x x =的图象，则只要将()f x 的图象( ) A ．向右平移6π个单位长度 B ．向左平移12π个单位长度 C ．向左平移6π个单位长度 D ．向右平移12π个单位长度12．将一张边长为12cm 的纸片按如图(1)所示阴影部分裁去四个全等的等腰三角形，将余下部分沿虚线折叠并拼成一个有底的正四棱锥模型，如图(2)放置，如果正四棱锥的主视图是正三角形，如图(3)所示，则正四棱锥的体积是( )A 33263cm B 36463cm C 33223cm D 36423cm 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。