人教A版高中必修4数学第二章《平面向量》章末复习课课件
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高中数学 第二章 平面向量 2.3.1 平面向量基本定理课件 新人教A版必修4
1.若向量 a，b 不共线，则 c＝2a－b，d＝3a－2b， 试判断 c，d 能否作为基底． 解：设存在实数 λ，使 c＝λd， 则 2a－b＝λ(3a－2b)， 即(2－3λ)a＋(2λ－1)b＝0， 由于向量 a，b 不共线， 所以 2－3λ＝2λ－1＝0，这样的 λ 是不存在的， 从而 c，d 不共线，c，d 能作为基底．
探究点二 用基底表示平面向量
如图所示，在▱ABCD 中，点 E，F
分别为 BC，DC 边上的中点，DE 与 BF 交 于点 G，若A→B＝a，A→D＝b，试用 a，b 表 示向量D→E，B→F.
[解] D→E＝D→A＋A→B＋B→E ＝－A→D＋A→B＋12B→C
＝－A→D＋A→B＋12A→D＝a－12b．
4．若 a，b 不共线，且 la＋mb＝0(l，m∈R)，则 l＝________， m＝________． 答案：0 0 5.若A→D是△ABC 的中线，已知A→B＝a，A→C＝b，若 a，b 为基底，则A→D＝________． 答案：12(a＋b)
探究点一 对基底的理解
设 O 是平行四边形 ABCD 两对角线的交点，给出下列向
解：D→E＝D→C＋C→E＝2F→C＋C→E＝－2C→F＋C→E＝－2b＋a．
B→F＝B→C＋C→F＝2E→C＋C→F
＝－2C→E＋C→F＝－2a＋b．
用基底表示向量的两种方法 (1基底表示为止． (2)通过列向量方程或方程组的形式，利用基底表示向量的唯一 性求解.
对基底的理解 (1)两个向量能否作为一组基底，关键是看这两个向量是否共 线．若共线，则不能作基底，反之，则可作基底． (2)一个平面的基底若确定，那么平面上任意一个向量都可以由 这组基底唯一线性表示出来，设向量 a 与 b 是平面内两个不共 线的向量，若 x1a＋y1b＝x2a＋y2b，则xy11＝＝yx22.，
高中数学第二章平面向量章末归纳整合课件a必修4a高一必修4数学课件
∴31x＝ －1x＝－53y， y，
解得 x＝12，y＝65.
∴O→R＝16a＋12b.∴λ＝61，μ＝12.
12/13/2021
【点评】考查向量的加法运算，共线向量定理，平面向量 基本定理，用两种方式表示O→R是求解本题的关键．
12/13/2021
已知两点 A(1,0)，B(1， 3)，O 为坐标原点，
【解析】∵B→R和B→P共线，∴存在实数 x 使B→R＝xB→P. 同样，存在实数 y 使A→R＝yA→Q. O→R＝O→B＋B→R＝O→B＋xB→P＝b＋x13a－b＝3xa＋(1－x)b，
12/13/2021
O→R＝O→A＋A→R＝O→A＋yA→Q＝a＋y35b－a＝(1－y)a＋35yb， ∴3xa＋(1－x)b＝(1－y)a＋35yb. ∵a，b 不共线，
A．a⊥b
B．|a|＝|b|
C．a∥b
D．|a|＞|b|
【答案】A
【解析】∵非零向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|，∴(a＋b)2
＝(a－b)2，解得a·b＝0.∴a⊥b.故选A．
12/13/2021
2．(2018 年新课标Ⅰ)在△ABC 中，AD 为 BC 边上的中线，
E 为 AD 的中点，则E→B＝( )
(1)用 a，b 表示向量O→C，D→C； (2)若O→E＝λO→A，求实数 λ 的值．
12/13/2021
【思路点拨】(1)利用向量的三角形法则和数乘运算来表示 O→C，D→C.
(2)先用 a，b 将C→E，C→D表示出来，再利用C→E和C→D共线列 出方程，最后求 λ 的值．
12/13/2021
12/13/2021
向量作为一种工具，在解决平面几何、解析几何以及许 多物理问题中，都显示了其操作简单、运算方便、形象直观的 优越性，从近三年的高考试题来看，考查的热点在两个方面： 一是对向量的基本概念、基本运算的考查，二是突出考查向量 的工具作用，即运用向量知识解决平面几何、立体几何、三 角、代数中的综合问题．
高中数学第二章平面向量2.3.1平面向量基本定理课件新人教A版必修4
[自主学习]
1．下面三种说法：①一个平面内只有一对不共线的向量可作为表示该平面内
所有向量的基底；②一个平面内有无数对不共线的向量可作为表示该平面内所有
向量的基底；③零向量不可以作为基底中的向量．其中正确的说法是( )
A．①②
B.②③
C．①③
D.①②③
解析： 平面内的一对向量只要不共线均可作为表示这个平面内所有向量的 基底，基底本身也可以用这组基底表示，故①错；②对；由于零向量与平面内的 任一向量共线，故③正确．
知识点二 向量的夹角 1．两向量夹角的概念：已知两个非零向量 a 和 b，作O→A＝a，O→B＝b，则 __∠_A_O__B___＝θ，叫作向量 a 与 b 的夹角． (1)范围：向量 a 与 b 的夹角 θ 的范围是 0°≤θ≤180°. (2)当 θ＝0°时，a 与 b__同__向__． (3)当 θ＝180°时，a 与 b_反__向___． 2．垂直：如果 a 与 b 的夹角是__9_0_°_，我们说 a 与 b 垂直，记作_a_⊥__b__.
解析： (1)由平面几何知识知 BG＝23BF， 故A→G＝A→B＋B→G＝A→B＋23BF＝a＋23b－12a ＝a＋23b－13a＝23a＋23b. (2)D→E＝D→C＋C→E＝2F→C＋C→E＝－2C→F＋C→E＝－2b＋a. B→F＝B→C＋C→F＝2E→C＋C→F ＝－2C→E＋C→F＝－2a＋b.
[规律方法] 用基底表示向量的两种方法
(1)运用向量的线性运算法则对待求向量不断进行转化，直至用基底表示为 止．
(2)通过列向量方程或方程组的形式，利用基底表示向量的唯一性求解.
◎ 变式训练 1．(1)本例条件不变，试用基底 a，b 表示A→G； (2)若本例中的基向量“A→B，A→D”换为“C→E，C→F”，即若C→E＝a，C→F＝b， 试用 a，b 表示向量D→E，B→F.
数学：2.3.2《平面向量的正交分解及坐标表示》课件(新人教a版必修4)
1 5、若 a ( ,sin ) 为单位向量，则符合 2
题意的角 的取值集合为 ；
则m的长度为 2
(2)两个向量相等的充要条 件是它们的 对应坐标相等。
设a ( x1 , y1 ), b ( x2 , y2 ) x1 x2 则a b y1 y2
例题1、已知向量a (2 x y 1, x y 2), b (2, 2).x, y为何值时， a与b共线？
例题2、已知 a 10, b (3, 4)且a // b， 求向量a.
解：设a ( x, y),则a x y 10
2 2
又 b (3,4), a // b
x y 10 x 6 x 6 解得： 或 4 x 3 y 0 y 8 y 8
解 (2 x y 1) (2) ( x y 2) 2 0 2 x y 1 ( x y 2)
1 x 解得： 3 y R
1 x 3 (2)解得： y 1 3
又问：x, y为何值时， a与b相等？
20 5 5 2 5 20 5 5 2 5 d ( , )或( , ) 5 5 5 5
向量坐标定义
在平面直角坐标系内，我们分别取与X轴、Y 轴方向相同的单位向量 i , j作为基底，任作一向量 a，由平面向量基本定理知，有且仅有一对实数 x , y ,使得 a=x i+y j. 1 、把 a=x i+y j 称为向量基底形式. 2 、把(x , y)叫做向量a的（直角）坐标, 记为：a=(x , y) , 称其为向量的坐标形式. 3、 a=x i+y j =( x , y)
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题意的角 的取值集合为 ；
则m的长度为 2
(2)两个向量相等的充要条 件是它们的 对应坐标相等。
设a ( x1 , y1 ), b ( x2 , y2 ) x1 x2 则a b y1 y2
例题1、已知向量a (2 x y 1, x y 2), b (2, 2).x, y为何值时， a与b共线？
例题2、已知 a 10, b (3, 4)且a // b， 求向量a.
解：设a ( x, y),则a x y 10
2 2
又 b (3,4), a // b
x y 10 x 6 x 6 解得： 或 4 x 3 y 0 y 8 y 8
解 (2 x y 1) (2) ( x y 2) 2 0 2 x y 1 ( x y 2)
1 x 解得： 3 y R
1 x 3 (2)解得： y 1 3
又问：x, y为何值时， a与b相等？
20 5 5 2 5 20 5 5 2 5 d ( , )或( , ) 5 5 5 5
向量坐标定义
在平面直角坐标系内，我们分别取与X轴、Y 轴方向相同的单位向量 i , j作为基底，任作一向量 a，由平面向量基本定理知，有且仅有一对实数 x , y ,使得 a=x i+y j. 1 、把 a=x i+y j 称为向量基底形式. 2 、把(x , y)叫做向量a的（直角）坐标, 记为：a=(x , y) , 称其为向量的坐标形式. 3、 a=x i+y j =( x , y)
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新课标高中数学人教A版必修四全册课件第二章平面向量复习(一)
一、知识要点：
1. 实数与向量的积的运算律：
(1) (a) ( )a (2) ( )a a a (3) (a b) a b
2. 平面向量数量积的运算律:
第四页，编辑于星期日：十三点 十九分。
一、知识要点：
1. 实数与向量的积的运算律：
(1) (a) ( )a (2) ( )a a a (3) (a b) a b
2. 平面向 量 数量 积 的运算律:
(1) a b b a
(2)
(a)
b
(a
b
)
a
(b
)
(3) (a b) c a c b c
第五页，编辑于星期日：十三点 十九分。
一、知识要点：
3. 向量运算及平行与垂直的判定:
设a ( x1 , y1 ), b ( x2 , y2 ),(b 0).
第二章复习(一)
第一页，编辑于星期日：十三点 十九分。
一、知识要点：
1. 实数与向量的积的运算律：
第二页，编辑于星期日：十三点 十九分。
一、知识要点：
1. 实数与向 量的积的 运算律：
(1) (a) ( )a (2) ( )a a a (3) (a b) a b
第三页，编辑于星期日：十三点 十九分。
第十二页，编辑于星期日：十三点 十九分。
一、知识要点：
4. 两点间的距离:
| AB | ( x1 x2 )2 ( y1 y2 )2
第十三页，编辑于星期日：十三点 十九分。
一、知识要点：
4. 两点间的距离:
| AB | ( x1 x2 )2 ( y1 y2 )2
5. 夹角公式:
第十四页，编辑于星期日：十三点 十九分。
人教A版高中数学必修四第二章平面向量小结复习课
4.投影：
二.基本运算
1.向量减法的三角形法则 共起点
a b AB AD DB
注: AB a, AD b
(1) a b ,则四边形是什么图形?
(2) a b a b ,则四边形是什么图形?
二.基本运算
2.数乘运算：实数与向量的积 a 仍是向量
a是一个与a共线的向量
二.基本运算
夹角为等于__3_0__
3)非零向量a, b a , c (cos , sin ),则b与c
a
C 一定满足（ ）
A、b c, B、b • c 0, C、（b+c）(b c),D、b c 0
五.典例讲解 考查向量共线、垂直
例1.已知AB=a=(1,2),BC=b=(-3,2),CD=(6,4) （1）证明：A、B、D三点共线. （2）k为何值时，①向量ka+b与a-3b平行
4 17 17
五.典例讲解 向量与三角函数综合题
例3：已知向量a (sin ,1),b (1, cos ), ( , )
22
1)若a b,求的值
2）求 a b 的最小值
要注意的范围
3）求函数y f ( ) a • b的单调增区间
The End
作业：完成巩固练习
►Suffering is the most powerful teacher of life. 苦难是人生最伟大的老师。 ►For man is man and master of his fate. 人就是人，是自己命运的主人。 ►A man can't ride your back unless it is bent. 你的腰不弯，别人就不能骑在你的背上。
►1Our destiny offers not the cup of despair, but the chalice of opportunity. ►So let us seize it, not in fear, but in gladness. · 命运给予我们的不是失望之酒，而是机会之杯。 因此，让我们毫无畏惧，满心愉悦地把握命运
二.基本运算
1.向量减法的三角形法则 共起点
a b AB AD DB
注: AB a, AD b
(1) a b ,则四边形是什么图形?
(2) a b a b ,则四边形是什么图形?
二.基本运算
2.数乘运算：实数与向量的积 a 仍是向量
a是一个与a共线的向量
二.基本运算
夹角为等于__3_0__
3)非零向量a, b a , c (cos , sin ),则b与c
a
C 一定满足（ ）
A、b c, B、b • c 0, C、（b+c）(b c),D、b c 0
五.典例讲解 考查向量共线、垂直
例1.已知AB=a=(1,2),BC=b=(-3,2),CD=(6,4) （1）证明：A、B、D三点共线. （2）k为何值时，①向量ka+b与a-3b平行
4 17 17
五.典例讲解 向量与三角函数综合题
例3：已知向量a (sin ,1),b (1, cos ), ( , )
22
1)若a b,求的值
2）求 a b 的最小值
要注意的范围
3）求函数y f ( ) a • b的单调增区间
The End
作业：完成巩固练习
►Suffering is the most powerful teacher of life. 苦难是人生最伟大的老师。 ►For man is man and master of his fate. 人就是人，是自己命运的主人。 ►A man can't ride your back unless it is bent. 你的腰不弯，别人就不能骑在你的背上。
►1Our destiny offers not the cup of despair, but the chalice of opportunity. ►So let us seize it, not in fear, but in gladness. · 命运给予我们的不是失望之酒，而是机会之杯。 因此，让我们毫无畏惧，满心愉悦地把握命运
人教A版高中数学必修4第二章 平面向量2.1 平面向量的实际背景及基本概念课件
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1.若非零向量AB//CD ，那么AB//CD吗？
2.若a//b ,则a与b的方向一定相同或相反吗？ （2）相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。
记作：a = b
D
C
规定：0 = 0
A
B
A
B
D
a b
.
o
相等向量一定是平行向量吗?
向量相等 平行向量一定是相等向量精品吗PP?T
C
向量平行
1.把平行于直线L的所有单位向量的起点平移 到L上的点P
2.把所有单位向量的起点平行移动到同一点P；
3.把平行于直线L的一切向量的起点平移到L上 的点P 解:（1）是直线L上与点P的距离为1的两个点；
（2）是以P点为圆心，以1个单位长为半径的圆；
(3)直线 L
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教学目标： 1. 知识与技能：
零向量与单位向量都只规定了大小，方向是任意的. （2）向量的平行同与直线的平行； （3）向量之间只有相等关系，没有 大小之分； （1）平行向量的定义只规定了非零向量；
精品PPT
判断下列命题是否正确,若不正确,请简述理由. 1、任一向量与它的相反向量不相等； 2、共线的向量，若起点不同，则终点一定不同. 3、①平行向量是否一定方向相同？
二.向量的表示
有向线段与向量 是两个不同的概念
1.几何法:用有向线段表示 向量是自由的
有向线段: 规定了起点、方向、长度的 线段
A
B
2. 代数法:用字母表示
a
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AB,
或a
向量与有向线段的区别：
（1）向量是自由向量，只有大小和方向两个 要素；只要大小和方向相同，则这两个向量 就是相同的向量；
1.若非零向量AB//CD ，那么AB//CD吗？
2.若a//b ,则a与b的方向一定相同或相反吗？ （2）相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。
记作：a = b
D
C
规定：0 = 0
A
B
A
B
D
a b
.
o
相等向量一定是平行向量吗?
向量相等 平行向量一定是相等向量精品吗PP?T
C
向量平行
1.把平行于直线L的所有单位向量的起点平移 到L上的点P
2.把所有单位向量的起点平行移动到同一点P；
3.把平行于直线L的一切向量的起点平移到L上 的点P 解:（1）是直线L上与点P的距离为1的两个点；
（2）是以P点为圆心，以1个单位长为半径的圆；
(3)直线 L
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教学目标： 1. 知识与技能：
零向量与单位向量都只规定了大小，方向是任意的. （2）向量的平行同与直线的平行； （3）向量之间只有相等关系，没有 大小之分； （1）平行向量的定义只规定了非零向量；
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判断下列命题是否正确,若不正确,请简述理由. 1、任一向量与它的相反向量不相等； 2、共线的向量，若起点不同，则终点一定不同. 3、①平行向量是否一定方向相同？
二.向量的表示
有向线段与向量 是两个不同的概念
1.几何法:用有向线段表示 向量是自由的
有向线段: 规定了起点、方向、长度的 线段
A
B
2. 代数法:用字母表示
a
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AB,
或a
向量与有向线段的区别：
（1）向量是自由向量，只有大小和方向两个 要素；只要大小和方向相同，则这两个向量 就是相同的向量；