勾股定理经典例题详解A

136760086.doc第 1 页 共 11 页 勾股定理经典例题详解 熟悉下列勾股数，对解题是会有帮助的： ①3、4、5②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25；⑤10、24、26；⑥9、40、41． 类型二：勾股定理的构造应用 1、如图，已知：在中，，，. 求：BC的长.

2.如图，已知：，，于P. 求证：.

3.已知：如图，∠B=∠D=90°，∠A=60°，AB=4，CD=2。求：四边形ABCD的面积。 类型三：勾股定理的实际应用 （一）用勾股定理求两点之间的距离问题

4、如图所示，在一次夏令营活动中，小明从营地A点出发，沿北偏东60°方向走了到达B点，然后再沿北偏西30°方向走了500m到达目的地C点。 （1）求A、C两点之间的距离。 （2）确定目的地C在营地A的什么方向。 136760086.doc第 2 页 共 11 页 5、如图，公路MN和公路PQ在点P处交汇，且∠QPN＝30°，点A处有一所中学，AP＝160m。假设拖拉机行驶时，周围100m以内会受到噪音的影响，那么拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时，学校是否会受到噪声影响？请说明理由，如果受影响，已知拖拉机的速度为18km/h，那么学校受影响的时间为多少秒？

（二）用勾股定理求最短问题 6、国家电力总公司为了改善农村用电电费过高的现状，目前正在全国各地农村进行电网改造，某地有四个村庄A、B、C、D，且正好位于一个正方形的四个顶点，现计划在四个村庄联合架设一条线路，他们设计了四种架设方案，如图实线部分．请你帮助计算一下，哪种架设方案最省电线．

7.如图，一圆柱体的底面周长为20cm，高ＡＢ为4cm，ＢＣ是上底面的直径．一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C，试求出爬行的最短路程． 136760086.doc第 3 页 共 11 页 类型四：利用勾股定理作长为的线段 8、作长为、、’ 的线段。

9、如果ΔABC的三边分别为a、b、c，且满足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，判断ΔABC的形状。 10.四边形ABCD中，∠B=90°，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求四边形ABCD的面积。 11.已知:△ABC的三边分别为m2－n2 , 2mn ,m2+n2(m,n为正整数,且m＞n),判断△ABC是否为直角三角形. 136760086.doc第 4 页 共 11 页 12.如图正方形ABCD，E为BC中点，F为AB上一点，且ABBF

4

1。请问FE与DE是否垂直?请说

明。

13、如图所示，△ABC是等腰直角三角形，AB=AC，D是斜边BC的中点，E、F分别是AB、AC边上的点，且DE⊥DF，若BE=12，CF=5．求线段EF的长。

14、如图所示，已知△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，，求、、的值。 15.如图所示，折叠矩形的一边AD，使点D落在BC边的点F处，已知AB=8cm，BC=10cm，求EF的长。 136760086.doc第 5 页 共 11 页 GA'B

DC

AEF

C'FEBDA

C

16、矩形ABCD中，AB=6，BC=8，先把它对折，折痕为EF，展开后再沿BG折叠，使A落在EF上的A1，求第二次折痕BG的长。

17、在矩形纸片ABCD中，AD=4cm，AB=10cm，按图所示方式折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，求（1）DE的长；（2）EF的长。

18.如图RtABC，90C3,4ACBC,分别以各边为直径作半圆，求阴影部分面积 BA

C

19.如图（8），水池中离岸边D点1.5米的C处，直立长着一根芦苇，出水部分BC的长是0.5米， 把芦苇拉到岸边，它的顶端B恰好落到D点，并求水池的深度AC. 136760086.doc第 6 页 共 11 页 EDB

A

C

20、一架方梯长25米，如图，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7米，（1）这个梯子的顶端距地面有多高？（2）如果梯子的顶端下滑了4米，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？

21、如图，一块直角三角形的纸片，两直角边AC=6㎝，BC=8㎝。现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，求CD的长．

22、如图所示，已知在ABC中，AB=AC，BAC=90，D是BC上任一点，求证：BD2222ADCD。

A A′

BB′ O第18题图 136760086.doc第 7 页 共 11 页 答案:

1. 思路点拨：由条件，想到构造含角的直角三角形，为此作于D，则有 ，，再由勾股定理计算出AD、DC的长，进而求出BC的长. 解析：作于D，则因， ∴（的两个锐角互余）

∴（在中，如果一个锐角等于， 那么它所对的直角边等于斜边的一半）.

根据勾股定理，在中，

. 根据勾股定理，在中，

. ∴ . 总结升华：利用勾股定理计算线段的长，是勾股定理的一个重要应用. 当题目中没有垂直条件时，也经常作垂线构造直角三角形以便应用勾股定理.

2. 思路点拨: 图中已有两个直角三角形，但是还没有以BP为边的直角三角形. 因此，我们考虑构造一个以BP为一边的直角三角形. 所以连结BM. 这样，实际上就得到了4个直角三角形. 那么根据勾股定理，可证明这几条线段的平方之间的关系.

解析：连结BM，根据勾股定理，在中， . 而在中，则根据勾股定理有 . ∴ 又∵ （已知）， ∴. 在中，根据勾股定理有 ， ∴. 3. 分析：如何构造直角三角形是解本题的关键，可以连结AC，或延长AB、DC交于F，或延长AD、BC交于点E，根据本题给定的角应选后两种，进一步根据本题给定的边选第三种较为简单。 解析：延长AD、BC交于E。 ∵∠A=∠60°，∠B=90°，∴∠E=30°。 ∴AE=2AB=8，CE=2CD=4，

∴BE2=AE2-AB2=82-42

=48，BE==。

∵DE2= CE2-CD2=42-22

=12，∴DE==。

∴S四边形ABCD=S△ABE-S△CDE=AB·BE-CD·DE= 136760086.doc第 8 页 共 11 页 4.思路点拨：把实际问题中的角度转化为图形中的角度，利用勾股定理求解。 解析：（1）过B点作BE//AD ∴∠DAB=∠ABE=60° ∵30°+∠CBA+∠ABE=180° ∴∠CBA=90° 即△ABC为直角三角形

由已知可得：BC=500m，AB= 由勾股定理可得：

所以 （2）在Rt△ABC中， ∵BC=500m，AC=1000m ∴∠CAB=30° ∵∠DAB=60° ∴∠DAC=30° 即点C在点A的北偏东30°的方向 总结升华：本题是一道实际问题，从已知条件出发判断出△ABC是直角三角形是解决问题的关键。本题涉及平行线的性质和勾股定理等知识。 5.思路点拨：（1）要判断拖拉机的噪音是否影响学校A，实质上是看A到公路的距离是否小于100m, 小于100m则受影响，大于100m则不受影响，故作垂线段AB并计算其长度。（2）要求出学校受影响的时间，实质是要求拖拉机对学校A的影响所行驶的路程。因此必须找到拖拉机行至哪一点开始影响学校，行至哪一点后结束影响学校。 解析：作AB⊥MN，垂足为B。 在 RtΔABP中，∵∠ABP＝90°，∠APB＝30°， AP＝160，

∴ AB＝AP＝80。 （在直角三角形中，30°所对的直角边等于斜边的一半） ∵点 A到直线MN的距离小于100m, ∴这所中学会受到噪声的影响。 如图，假设拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶到点C处学校开始受到影响，那么AC＝100(m)， 由勾股定理得： BC2＝1002-802＝3600,∴ BC＝60。

同理，拖拉机行驶到点D处学校开始脱离影响，那么，AD＝100(m)，BD＝60(m), ∴CD＝120(m)。 拖拉机行驶的速度为 : 18km/h＝5m/s t＝120m÷5m/s＝24s。 答：拖拉机在公路 MN上沿PN方向行驶时，学校会受到噪声影响，学校受影响的时间为24秒。 6.思路点拨：解答本题的思路是：最省电线就是线路长最短，通过利用勾股定理计算线路长，然后进行比较，得出结论． 解析：设正方形的边长为1，则图（1）、图（2）中的总线路长分别为 AB+BC+CD＝3，AB+BC+CD＝3 图（3）中，在Rt△ABC中

同理 136760086.doc第 9 页 共 11 页 ∴图（3）中的路线长为 图（4）中，延长EF交BC于H，则FH⊥BC，BH＝CH

由∠FBH＝ 及勾股定理得： EA＝ED＝FB＝FC＝ ∴EF＝1－2FH＝1－ ∴此图中总线路的长为4EA+EF＝ 3＞2.828>2.732 ∴图（4）的连接线路最短，即图（4）的架设方案最省电线． 总结升华：在实际生产工作中，往往工程设计的方案比较多，需要运用所学的数学知识进行计算，比较从中选出最优设计．本题利用勾股定理、等腰三角形的判定、全等三角形的性质． 7. 解：

如图，在Rt△ＡＢＣ中，ＢＣ＝底面周长的一半＝１０cm， 根据勾股定理得 （提问：勾股定理）

∴ AC＝＝ ＝≈１０．７７（cm）（勾股定理）． 答：最短路程约为１０．７７cm．

8. 思路点拨：由勾股定理得，直角边为1的等腰直角三角形，斜边长就等于，直角边为和1的直角三角形斜边长就是，类似地可作。 作法：如图所示

（1）作直角边为1（单位长）的等腰直角△ACB，使AB为斜边； （2）以AB为一条直角边，作另一直角边为1的直角。斜边为； （3）顺次这样做下去，最后做到直角三角形，这样斜边、、、的长度就是

、、、。 总结升华：（1）以上作法根据勾股定理均可证明是正确的；（2）取单位长时可自定。一般习惯用国际标准的单位，如1cm、1m等，我们作图时只要取定一个长为单位即可。

举一反三 【变式】在数轴上表示的点。 解析：可以把看作是直角三角形的斜边，， 为了有利于画图让其他两边的长为整数， 而10又是9和1这两个完全平方数的和，得另外两边分别是3和1。