(北师大版教案)2011年高考数学二轮考点专题突破：两个原理、二项式定理
(全国通用)高考数学 二轮 专题十 计数原理 理
专题十 计数原理
1．六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端
不能排甲，则不同的排法共有( B )
A．192 种
B．216 种
C．240 种
D．288 种
解析：第一类：甲在最左端，有 A55＝5×4×3×2×1＝120(种) 方法； 第二类：乙在最左端，有 4A44＝4×4×3×2×1＝96(种)方法． 所以共有 120＋96＝216(种)方法．
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专题十 计数原理
[名师点评] (1)高考对排列组合知识点的考查一般涉及数 字、人或物的排列、组合，代表或样品的选取，集合的子集 个数等．具体类型有：某些元素不能排在或必须排在某些位 置问题，相邻问题，不相邻问题，几何组合或与数字有关的 组合问题，排列、组合混合问题等． (2)解题策略． 分步则乘分类加，欲邻需捆欲隔插， 有序则排无序组，正难则反排除它， 元素重复连乘法，特元特位你先拿， 平均分组阶乘除，多元少位我当家．
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考点三 二项式定理
专题十 计数原理
(2015·高考全国卷Ⅱ，5 分)(a＋x)(1＋x)4 的展开式中 x 的奇数次幂项的系数之和为 32，则 a＝____3____．
[解析] 法一：设(a＋x)(1＋x)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4 ＋a5x5. 令 x＝1，得(a＋1)×24＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5.① 令 x＝－1，得 0＝a0－a1＋a2－a3＋a4－a5.② ①－②，得 16(a＋1)＝2(a1＋a3＋a5)＝2×32， ∴ a＝3.
专题十 计数原理
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专题十 计数原理
1．必记概念与定理 (1)分类加法计数原理和分步乘法计数原理 如果每种方法都能将规定的事件完成，则要用分类加法计数原理 将方法种数相加；如果需要通过若干步才能将规定的事件完成， 则要用分步乘法计数原理将各步的方法种数相乘． (2)二项式定理 ①定理：(a＋b)n＝C0nanb0＋C1nan－1b＋C2nan－2b2＋…＋Crnan－rbr ＋…＋Cnna0bn(r＝0，1，2，…，n)． ②二项展开式的通项 Tr＋1＝Crnan－rbr，r＝0，1，2，…，n，其中 Crn叫做二项式系数．
北师版高考总复习一轮理科数精品课件 第11章 计数原理 第3节 二项式定理
系数的绝对值最大的项为
.
,
答案:-8 064
-15 360x4
解析:由题意知,22n-2n=992,即(2n-32)(2n+31)=0,故 2n=32,解得 n=5.
由二项式系数的性质知,
1 10
2的展开式中第
故二项式系数最大的项为
5
(3) 1 −
1 3
的展开式的通项为
则(2-mx) 1 −
Tr+1=C3
·1
1 3
的展开式中的常数项为
由题知 2+3m=8,则 m=2.
3-r
1 r
− =C3
·(-1)rx-r,
2× C30 +(-m)× C31 ×(-1)1=2+3m,
突破技巧求因式之积的特定项或相关的量的方法
分析特定项可由(a+b)m与(c+d)n的展开式中的哪些项相乘得到,把相乘后
4 8-4
T5=C8 x (- )
= C84 a4x2=70a4x2,所以 70a4=5 670,又 a>0,所以 a=3.
方法总结二项式系数最大项的确定方法
2
(1)若 n 是偶数,则中间一项 +1 的二项式系数C 最大;
2
-1
2
+1
2
(2)若 n 是奇数,则中间两项 +1 与 +1+1 的二项式系数C 与C 相等并且
从第一项起,次数由0逐项增1直到n.
2.二项式系数C 的性质
微点拨二项式系数与项的系数的区别
二项式系数是指C0 , C1 ,…,C ,它只与各项的项数有关,而与 a,b 的值无关;而
高考数学二轮复习计数原理与概率
6
x
3 2
k
，k≤6，k∈N，
由 6－32k＝0，解得k＝4，
则 T5＝(－1)4×32×C46＝135，
√A.144种
C.672种
B.336种 D.1 008种
选取的 3 个名称中含有祝融的共有 C29种不同的情况. 分析选取的 3 个名称的不同情况有 A33种， 其中祝融是第 3 个被分析的情况有 A22种， 故祝融不是第 3 个被分析的情况有 C29(A33－A22)＝144(种).
(2)(2022·广东联考)现要安排甲、乙、丙、丁四名志愿者去国家高山滑雪
√D.P(A|C)＝P(B|C)
由题知，从 10 个数中随机地抽取 3 个数，共有 C310＝120(种)可能情况， 对于A选项，“恰好抽的是2,4,6”和“恰好抽取的是6,7,8”为互斥事 件，则P(AB)＝0，而P(A)P(B)≠0，故A选项错误； 对于 B 选项，P(C)＝CC31290＝13260＝130，故 B 选项错误； 对于 C 选项，P(AB)＝0，P(C)＝130，故 C 选项错误； 对于 D 选项，由于 P(AC)＝P(BC)＝C129＝316，故由条件概率公式得 P(A|C) ＝P(B|C)，故 D 选项正确.
跟踪演练2 (1)(2022·淄博模拟)若(1－x)8＝a0＋a1(1＋x)＋a2(1＋x)2＋…＋
a8(1＋x)8，则a6等于
A.－448
B.－112
√C.112
D.448
(1－x)8＝(x－1)8＝[(1＋x)－2]8 ＝a0＋a1(1＋x)＋a2(1＋x)2＋…＋a8(1＋x)8， a6＝C28×(－2)2＝112.
③P(B)＝12；④B 与 A1 相互独立.
A1，A2，A3中任何两个事件都不可能同时发生，因此它们两两互斥，
2011届高三数学二轮复习专题一第四讲转化与化归思想北师大版(精)
第四讲转化与化归思想思想方法解读转化与化归思想方法，就是在研究和解决有关数学问题时采用某种手段将问题通过变换使之转化，进而得到解决的一种方法．一般总是将复杂的问题通过变换转化为简单的问题，将难解的问题通过变换转化为容易求解的问题，将未解决的问题通过变换转化为已解决的问题．转化与化归思想在高考中占有十分重要的地位，数学问题的解决，总离不开转化与化归，如未知向已知的转化、新知识向旧知识的转化、复杂问题向简单问题的转化、不同数学问题之间的互相转化、实际问题向数学问题转化等．各种变换、具体解题方法都是转化的手段，转化的思想方法渗透到所有的数学教学内容和解题过程中．1．转化与化归的原则(1)熟悉化原则：将陌生的问题转化为熟悉的问题，以利于我们运用熟知的知识、经验来解决．(2)简单化原则：将复杂问题化归为简单问题，通过对简单问题的解决，达到解决复杂问题的目的，或获得某种解题的启示和依据．(3)直观化原则：将比较抽象的问题化为比较直观的问题来解决．(4)正难则反原则：当问题正面讨论遇到困难时，可考虑问题的反面，设法从问题的反面去探讨，使问题获解．2．常见的转化与化归的方法转化与化归思想方法用在研究、解决数学问题时，思维受阻或寻求简单方法或从一种状况转化到另一种情形，也就是转化到另一种情境使问题得到解决，这种转化是解决问题的有效策略，同时也是成功的思维方式．常见的转化方法有：(1)直接转化法：把原问题直接转化为基本定理、基本公式或基本图形问题．(2)换元法：运用“换元”把式子转化为有理式或使整式降幂等，把较复杂的函数、方程、不等式问题转化为易于解决的基本问题．(3)数形结合法：研究原问题中数量关系(解析式)与空间形式(图形)关系，通过互相变换获得转化途径．(4)等价转化法：把原问题转化为一个易于解决的等价命题，达到化归的目的．(5)特殊化方法：把原问题的形式向特殊化形式转化，并证明特殊化后的问题、结论适合原问题．(6)构造法：“构造”一个合适的数学模型，把问题变为易于解决的问题．(7)坐标法：以坐标系为工具，用计算方法解决几何问题是转化方法的一个重要途径．(8)类比法：运用类比推理，猜测问题的结论，易于确定．(9)参数法：引进参数，使原问题转化为熟悉的形式进行解决．(10)补集法：如果正面解决原问题有困难，可把原问题的结果看做集合A，而把包含该问题的整体问题的结果类比为全集U，通过解决全集U及补集∁U A获得原问题的解决，体现了正难则反的原则．方法应用示例考点一一般与特殊的转化一般与特殊的转化．特殊问题的解决往往是比较容易的，可以利用特殊中内含的本质联系，通过归纳思维，来引出一般问题的解决．如抽象函数、抽象数列等问题，可借助熟悉的特殊函数、数列等知识，探寻一般问题的规律，找到解决问题的突破口和方法．例1 (2010·临沂模拟)已知等差数列{a n }的公差d ≠0，且a 1、a 3、a 9成等比数列，则 1392410a a a a a a ++++的值是________．【独立解答】 由题意知，只要满足a 1、a 3、a 9成等比数列的条件，{a n }取何种等差数列与所求代数式的值是没有关系的．因此，可把抽象数列化归为具体数列．比如，可选取数列a n ＝n (n ∈N *)，则139241013913241016a a a a a a ++++==++++. 【答案】1316变式训练1．过抛物线2y ax =(a ＞0)的焦点F 作一直线交抛物线于P 、Q 两点，若线段PF 与FQ 的长分别是p 、q ，则11p q+等于 A ．2a B.12a C ．4a D. 4a【解析】 取图形的特殊位置．如图，弦的特殊位置是抛物线的通径，抛物线x 2＝1y a的焦点为F 1(0,)4a. 由2114x y a y a ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 得x 2＝214a ， ∴x ＝±12a， ∴得特殊值p ＝q ＝12a ， ∴11p q+＝4a . 【答案】 C考点二 正向思维与逆向思维的转化逆向思维能力是指从正向思维序列到逆向思维序列的转换能力．如果经常注意对问题的逆向思考，不仅可以加深对可逆知识的理解，而且可以提高思维的灵活性．一般地，我们在解题时，若正面情形较为复杂，就可以先考虑其反面，再利用其补集求得其解，这就是“补集思想”．例2 已知集合A ＝{y |y 2－(a 2＋a ＋1)y ＋a (a 2＋1)＞0}，B ＝{y |y 2－6y ＋8≤0}，若A ∩B ≠∅，则实数a 的取值范围为________．【独立解答】 由题意得A ＝{y |y ＞a 2＋1或y ＜a }，B ＝{y |2≤y ≤4}，我们不妨先考虑当 A ∩B ＝∅时a 的取值范围．如图：由2214a a ≤⎧⎨+≥⎩得2a a a ≤⎧⎪⎨≤⎪⎩a ∴≤2.a ≤≤ 即AB =∅时，a的取值范围为a ≤2.a ≤ A B ≠∅时，a 的取值范围显然是其补集，从而所求范围为{|2a a ≥或a 考点三 函数与方程、不等式之间的转化函数与方程、不等式就像“一胞三兄弟”，解决方程、不等式的问题需要函数帮助，解决函数的问题需要方程，不等式的帮助，因此借助于函数与方程、不等式进行转化与化归可以将问题化繁为简，一般可将不等关系转化为最值(值域)问题，从而求出参变量的范围． 例3 (2010·开封模拟)已知函数f (x )＝2x ＋2x ＋a ln x ．若函数f (x )在区间(0,1]上为单调增函数，求实数a 的取值范围．【解析】 ()f x '＝2x ＋2＋a x,∵f (x )在(0,1]上单调递增． ∴()f x '≥0在(0,1]上恒成立．即2x 2＋2x ＋a ≥0在(0,1]上恒成立．亦即：a ≥－(2x 2＋2x )在(0,1]上恒成立，又－(2x 2＋2x )＝2112()22x -++在(0,1]上单调递减， ∴－(2x 2＋2x )＜0，∴当a ≥0时f (x )在(0,1]上为单调递增函数．22214 2., 2.a a a a a a a A B a a A B a ≤≤⎧⎧⎪⎨⎨+≥≥≤⎪⎩⎩∴≤≤≤⋂=∅≤≤≤⋂≠∅≥≤≤由得即时的取值范围为a 而时,a 的取值范围显然是其补集,从而所求范围为{a|a 2或2．若不等式x 2＋ax ＋1≥0对于一切x ∈10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦成立，则a 的最小值为 A ．0 B ．－2C ．52-D ．－3【解析】 解法一 原不等式可转化为ax ≥－x 2－1，其中x ∈10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦，则又可化为a ≥1.x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭ 由函数的单调性可得max 115222x x ⎛⎫--=--=- ⎪⎝⎭， 因此52a ≥-，故选C. 解法二 设f (x )＝x 2＋ax ＋1，则对称轴为2a x =-. 若2a -12≥，即a ≤－1时， 可知f (x )在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上是减函数， 应有1()2f ≥0⇒52-≤a ≤－1； 若2a -≤0， 即a ≥0时，可知f (x )在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上是增函数， 应有f (0)＝1＞0恒成立，故a ≥0；若0＜2a -＜12，即－1＜a ＜0时， 则应有222()1102424a a a a f -=-+=-≥恒成立， 故－1＜a ＜0. 综上，有52a ≥-，故选C. 【答案】 C考点四 命题与等价命题的转化有的命题若直接考虑，则显得无从下手，若把命题化归为它的等价命题，往往柳暗花明．解题时要注意命题与等价命题的转化，尤其是原命题与逆否命题的转化．常见的有：1．在三角函数中，涉及到三角式的变形，一般通过转化与化归将复杂的三角问题转化为已知或易解的三角问题，以起到化暗为明的作用，主要的方法有公式的“三用”(顺用、逆用、变形用)、角度的转化、函数的转化等．2．换元法：是将一个复杂的或陌生的函数、方程、不等式转化为简单的或熟悉的函数、方程、不等式的一种重要方法．3．在解决平面向量与三角函数、平面几何、解析几何等知识的交汇题目时，常将平面向量语言与三角函数，平面几何、解析几何语言进行转化．4．在解决数列问题时，常将一般数列转化为等差数列或等比数列求解．5．在利用导数研究函数问题时，常将函数的单调性、极值(最值)、切线问题，转化为其导函数()f x '构成的方程、不等式问题求解．6．在解决解析几何、立体几何问题时，常常在数与形之间进行转化．7．实际问题与数学模型之间的转化．例4 (12分)已知f (x )为定义在实数集R 上的奇函数，且f (x )在[0，＋∞)上是增函数．当0≤θ≤2π时，是否存在这样的实数m ，使f (cos 23θ-)＋f (42cos m m θ-)＞f (0)对所有的0,2πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦均成立？若存在，求出所有适合条件的实数m ；若不存在，请说明理由． 【标准解答】 由f (x )是R 上的奇函数可得f (0)＝0.又在[0,＋∞)上是增函数，故f (x )在R 上为增函数．(2分)由题设条件可得f (cos 2θ－3)＋f (4m －2m cos θ)＞0.又由f (x )为奇函数，可得f (cos 2θ－3)＞f (2m cos θ－4m )．(4分)∵f (x )是R 上的增函数，∴cos 2θ－3＞2m cos θ－4m ，即2cos θ－m cos θ＋2m －2＞0.(6分)令cos θ＝t ，∵0≤θ≤2π， ∴0≤t ≤1.于是问题转化为对一切0≤t ≤1，不等式2t －mt ＋2m －2＞0恒成立．(8分) ∴2t －2＞m (t －2)，即m ＞222t t --恒成立．又∵222t t --＝(t －2)＋21t ++4≤4－(10分)∴m ＞4－分)∴存在实数m 满足题设的条件，m ＞4－分)3．(2010·德州模拟)设g (x )＝px －q x －2f (x )，其中f (x )＝ln x ，且g (e )＝qe －p e－2(e 为自然对数的底数)．(1)求p 与q 的关系；(2)若g (x )在其定义域内为增函数，求p 的取值范围；【解析】 (1)由题意g (x )＝px －qx －2ln x ，∴g (e)＝p e －pe －2，∴p e －p e －2＝q e －pe －2，∴(p －q )e ＋(p －q ) 1e ＝0，∴(p －q )1e e ⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝0， 而1e e +≠0，∴p ＝q .2)由(1)知：g (x )＝px －px －2ln x ，()g x '＝p ＋22p x x -222px x px -+=令h (x )＝2px －2x ＋p .要使g (x )在(0,＋∞)上为增函数，只需h (x )在(0,＋∞)上满足h (x )≥0恒成立即可，即px 2－2x ＋p ≥0，p ≥221x +在(0，＋∞)上恒成立，又∵0＜ 221x+21x x =≤+1(x ＞0)，∴p ≥1.【答案】 (1)p ＝q (2)p ≥1。
北师大版高中数学选择性必修1第5章4.1二项式定理课件
二项式系数
项的系数
2+1 = 52 (2)3 2 = 80 2 3
+1 = − ( = 0,1,2, … )
例
例3
3.求3
1 4
x＋ 的展开式.
x
解：方法一
3
字母按降幂排列，字母按照升幂排列，二者指数之和是二项
式指数；
（4）二项式系数是多少？
（5）通项 − ( = 0,1, … )是展开式的第几项？ 第 + 1项
思考7：小组讨论，尝试写出( − ) 的展开式。
( + ) = 0 +1 −1 + ⋯ − + ⋯ + , ( ∈ ∗ )
+53 × 22 × 3 +54 × 21 × 4 +55 × 20 × 5
= 32 + 80 + 80 2 + 40 3 + 10 4 + 5
例2. 求 (2 + )6 的展开式的第三项、二项式系数、项的系数。
变式：求 (2 + )5 的展开式的第三项、二项式系数、项的系数。
= 3 +32 + 3 2 + 3
3 3−
思考4: 通过刚才的推导方式，对于 = 4是否适用，若适用，请尝
试写出各项?
( + )4 = 40 4 +41 3 + 42 2 2 + 43 3 + 44 0 4
思考5：请按照上述的方法与规律，写出( + ) ∈ ∗ 的展开式。
新教材适用高考数学二轮总复习第3篇方法技巧引领必考小题练透第7讲计数原理二项式定理pptx课件
5×12＝60 种选法．故选 B.
3. (2023·全国乙卷理科)甲乙两位同学从6种课外读物中各自选读2
种，则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有( C )
A．30种
B．60种
C．120种
D．240种
【解析】 根据题意可得满足题意的选法种数为：C16·A2)甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参 加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同的排列方式共有
第三篇
方法技巧引领、必考小题练透
第7讲 计数原理、二项式定理
分析考情·明方向 真题研究·悟高考
解题技法
分析考情·明方向
高频考点 分类加法计数原理、分步乘法 计数原理
排列、组合
二项式定理
高考预测 主要是考查两个原理以及排列、组合 的应用，有时也与概率问题相结合的 形式出现；二项展开式项的系数、特 定的项，通过对通项公式的化简和运 算确定特定项，利用赋值法求的展开 式的各项系数和.
C．C34000·C32000种
D．C44000·C22000种
【解析】 ∵初中部和高中部分别有 400 和 200 名学生，∴人数比
例为 400∶200＝2∶1，则需要从初中部抽取 40 人，高中部取 20 人即可，
则有 C44000·C22000种．故选 D.
2. (2023·全国甲卷理科)有五名志愿者参加社区服务，共服务星期
六、星期天两天，每天从中任选两人参加服务，则两天中恰有1人连续
参加两天服务的选择种数为( B )
A．120
B．60
C．40
D．30
【解析】 先从 5 人中选 1 人连续两天参加服务，共有 C15＝5 种选
法，然后从剩下 4 人中选 1 人参加星期六服务，剩下 3 人中选取 1 人参
高考数学二轮复习考点十八《二项式定理》课件
Tr
＋
1
＝
C
r 12
(2
＋
x )12 －
r·－2x0202212 rቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ必须满足 r＝0，T1＝(2＋ x)12，x5 的系数为 22C1102＝264.故选
B.
二、选择题(在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求)
17．(2021·湖南第三次模拟)在3x－
1xn的展开式中，各项系数和与二项
式系数和之和为 128，则( )
三、填空题 19．(2021·北京高考)x3－1x4 展开式中常数项为________．
答案 －4 解析 x3－1x4 的展开式的通项公式为 Tr＋1＝C4r(x3)4－r－1xr＝(－1)rCr4x12 －4r，令 12－4r＝0，得 r＝3，则常数项为 T4＝(－1)3C34＝－4.
20．(2021·山东青岛一中模拟)(x2＋2)x－1x10的展开式中，x6 的系数为 ________．
6．(2021·湖南长沙一中模拟)(1－ x)10 的二项展开式中，x 的系数与 x4 的系数之差为( )
A．－220 B．－90 C．90 D．0
答案 D
r
解析 因为(1－ x)10 的二项展开式中，通项公式为 Tr＋1＝C1r0·(－1)r·x2， 故 x 的系数与 x4 的系数之差为 C210－C810＝0.故选 D.
数为 C16×－23×25＝－128.故选 D.
3．(2021·福建福州高三 5 月调研)在(x＋y＋z)6 的展开式中，xyz4 的系数 是( )
A．15 B．30 C．36 D．60 答案 B
解析 (x＋y＋z)6 相当于 6 个(x＋y＋z)相乘，由二项式定理的原理可知 xyz4 的系数是 C16C15C44＝6×5×1＝30.故选 B.
高考高中数学二项式定理[优质ppt]
(ab)n的展开 T k 1C 式 k nan kbk的 通
①项数：共n+1项,是关于a与b的齐次多项式
②指数:a的指数从n逐项递减到0,是降幂排列；
b的指数从0逐项递增到n，是升幂排列。
畅想网络
Imagination Network
(ab)3, (ab)4 的展开式？
猜想： (ab)n ____?____
没有大胆的猜想，就不能有伟大的发现和发明。 ------牛顿
(ab) C C n
C 0an 1an1b
n
n
2an2b2
n
C k n a n k b k C n n b n
该公式所表示的定理叫做二项式定理，
右边的多项式叫做的 (a b)n 展开式，其中
的系数 C k k 0 ,1 ,2 , ,n 叫做二项式系数。 n
T 式中
Ca b k nk k n
的叫做二项式通项，用
k 1
表示，即通项为展开式的第 k1项。
1.写出1（q） 7的展开式
(1q)7 17q21q235q3
（ a南+b宋）末的年平钱方塘，人（，a是+当b）时的有三名次的方数…学…家
（和a教+育b）家的，n杨次辉方一的生乘编法写展的开数式学的书规很律多，， 法但国散数佚学严家重帕。斯卡在17世纪发现了它，国外 把这一规律称为帕斯卡三角。其实，我国数学
杨辉生活在浙江杭州一带，曾当过地方官， 家杨辉早在1261年在他的《详解九章算法》 中到就过有苏了州相、应台的州图等表地。，他每到一处都会有人 慕名前来 请教数学问题。
3 5q4 2 1q5 7q6 q7
高考数学总复习考点知识专题讲解9 二项式定理
高考数学总复习考点知识专题讲解专题9 二项式定理知识点一 二项式定理(a ＋b )n ＝C 0n a n ＋C 1n a n －1b ＋C 2n a n －2b 2＋…＋C k n a n －k b k ＋…＋C n n b n (n ∈N *)．(1)这个公式叫做二项式定理．(2)展开式：等号右边的多项式叫做(a ＋b )n 的二项展开式，展开式中一共有n ＋1项． (3)二项式系数：各项的系数C kn (k ∈{0,1,2，…，n })叫做二项式系数． 知识点二 二项展开式的通项(a ＋b )n 展开式的第k ＋1项叫做二项展开式的通项，记作T k ＋1＝C k n an －k b k . 【例1】（2023•上海）设423401234(12)x a a x a x a x a x -=++++，则04a a +=．【例2】（2022•上海）二项式(3)n x +的展开式中，2x 项的系数是常数项的5倍，则n =．【例3】（2021•浙江）已知多项式344321234(1)(1)x x x a x a x a x a -++=++++，则1a =；234a a a ++=．知识点三二项展开式的通项 求二项展开式的特定项的常用方法(1)对于常数项，隐含条件是字母的指数为0(即0次项)．(2)对于有理项，一般是先写出通项公式，求其所有的字母的指数恰好都是整数的项．解这类问题必须合并通项公式中同一字母的指数，根据具体要求，令其属于整数集，再根据数的整除性来求解．(3)对于二项展开式中的整式项，其通项公式中同一字母的指数应是非负整数，求解方式与求有理项一致．【例4】（2022•新高考Ⅰ）8(1)()y x y x-+的展开式中26x y 的系数为（用数字作答）．【例5】（2022•天津）523)x 的展开式中的常数项为．【例6】（2023•驻马店期末）若7102910012910(2)(1)(1)(1)(1)x x a a x a x a x a x +-=+-+-+⋯⋯+-+-，则5a =．【例7】（2023•海淀区模拟）已知5()x a +的展开式为5432543210p x p x p x p x p x p +++++，若3415p p -=，则a =．知识点四余数和整除的问题利用二项式定理可以解决求余数和整除的问题，通常需将底数化成两数的和与差的形式，且这种转化形式与除数有密切的关系．【例8】（2022秋•杨浦区校级期末）504除以17的余数为．【例9】（2023•沈阳模拟）若20232023012023(1)x a a x a x +=++⋯+，则0242022a a a a +++⋯+被5除的余数是．【例10】（2022•多选•庆阳期末）下列命题为真命题的是() A ．61()x x -展开式的常数项为20B ．1008被7除余1 C ．61()x x-展开式的第二项为46x -D ．1008被63除余1知识点五 二项式系数的性质1.对称性：在(a ＋b )n 的展开式中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即C m n ＝C n －mn2.增减性与最大值 增减性：当k <n ＋12时，二项式系数是逐渐增大的；当k >n ＋12时，二项式系数是逐渐减小的． 最大值：（1）当n 为偶数时，中间一项的二项式系数2C n n最大；当n 为奇数时，中间两项的二项式系数12C n n-，12C n n+相等，且同时取得最大值（2）求二项式系数最大的项，根据二项式系数的性质对(a ＋b )n 中的n 进行讨论． ①当n 为奇数时，中间两项的二项式系数最大； ②当n 为偶数时，中间一项的二项式系数最大． (3)展开式中系数的最大项的求法求展开式中系数的最大项与求二项式系数最大项是不同的，需要根据各项系数的正、负变化情况进行分析．如求(a ＋bx )n (a ，b ∈R )的展开式中系数的最大项，一般采用待定系数法．设展开式中各项系数分别为A 0，A 1，A 2，…，A n ，且第k ＋1项最大，应用⎩⎨⎧A k ≥A k －1，A k ≥A k ＋1，解出k ，即得出系数的最大项． 3.各二项式系数的和(1)C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C n n ＝2n ；(2)C 0n ＋C 2n ＋C 4n ＋…＝C 1n ＋C 3n ＋C 5n ＋…＝2n －14.二项展开式中系数和的求法(1)对形如(ax ＋b )n ，(ax 2＋bx ＋c )m (a ，b ，c ∈R ，m ，n ∈N *)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x ＝1即可，对(ax ＋by )n (a ，b ∈R ，n ∈N *)的式子求其展开式的各项系数之和，只需令x ＝y ＝1即可．(2)一般地，若f (x )＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，则f (x )展开式中各项系数之和为f (1)， 奇数项系数之和为a 0＋a 2＋a 4＋…＝f (1)＋f (－1)2，偶数项系数之和为a 1＋a 3＋a 5＋…＝f (1)－f (－1)2.【例11】（2022•北京）若443243210(21)x a x a x a x a x a -=++++，则024(a a a ++=) A ．40B ．41C ．40-D ．41-【例12】（2023•新乡开学）若二项式*(2()n x n N∈的展开式中只有第5项的二项式系数最大，则展开式中2x 项的系数为() A ．1120-B ．1792-C ．1792D ．1120【例13】（2023•慈溪市期末）若二项式*(12)()n x n N +∈的展开式中第6项与第7项的系数相等，则此展开式中二项式系数最大的项是() A ．3448x B ．41120x C ．51792x D ．61792x【例14】（2022秋•葫芦岛期末）设n ∈N +，化简=+++-12321666n n n n n n C C C C （ ）A ．7nB ．C ．7n ﹣1D ．6n ﹣1【例15】已知(2x －1)5＝a 0x 5＋a 1x 4＋a 2x 3＋a 3x 2＋a 4x ＋a 5.求下列各式的值：(1)a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 5；(2)|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 5|；(3)a 1＋a 3＋a 5.(4)a 0＋a 2＋a 4；(5)a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5； (6)5a 0＋4a 1＋3a 2＋2a 3＋a 4.【例16】（2023•泰州期末）若6652360136()x y a y a xy a x y a x +=++⋯++⋯+，则220246135()()a a a a a a a +++-++的值为()A ．0B ．32C ．64D ．128【例17】（2023•静安区期末）在23(3)nx x -+的二项展开式中，533r n r n rnC x--称为二项展开式的第1r +项，其中0r =，1，2，3，⋯，n ．下列关于23(3)nx x -+的命题中，不正确的一项是()A ．若8n =，则二项展开式中系数最大的项是1426383C xB ．已知0x >，若9n =，则二项展开式中第2项不大于第3项的实数x 的取值范围是3540()3x <…C ．若10n =，则二项展开式中的常数项是44103C D ．若27n =，则二项展开式中x 的幂指数是负数的项一共有12项 【例18】（2023秋•泰兴市月考）设*n N ∈，0101(1)(1)(2)(2)n n n n n x a a x a x b b x b x =+-++-=+-++-，则()A ．001132n n n n b a b a b a -+-++-=-B ．0101012()nn nb b b a a a a a a +++=+++ C ．0101111()211n n a a a a a a n n +++=+++++D ．21201(1)4()4n n n n b b n b a a a ++++=+++【例19】（2023•江宁区期末）二项式定理是产生组合恒等式的一个重要源泉，由二项式定理可得：0122*1111(1)(,),1n nn m mn n n n n n C C x C x C x x n N x R C C m n -+++++=+∈∈=+等，则012111231nn n n n C C C C n ++++=+．【例20】（2022•玄武区期末）在231(1)(1)(1)n x x x +++++⋯++的展开式中，含2x 的系数是n a ，8a =；若对任意的*n N ∈，*n N ∈，20n n a λ⋅-…恒成立，则实数λ的最小值是．【例21】（2019•江苏）设2012(1)n n n x a a x a x a x +=+++⋯+，4n …，*n N ∈．已知23242a a a =．（1）求n 的值；（2）设(1n a =+a ，*b N ∈，求223a b -的值．同步训练1.（2021•上海）已知二项式5()x a +展开式中，2x 的系数为80，则a =．2.（2021•上海）已知(1)n x +的展开式中，唯有3x 的系数最大，则(1)n x +的系数和为．3．（2020•浙江）二项展开式52345012345(12)x a a x a x a x a x a x +=+++++，则4a =，135a a a ++=．4．（2020•新课标Ⅲ）262()x x+的展开式中常数项是（用数字作答）．5．（2020•天津）在522()x x+的展开式中，2x 的系数是．6.（2023•郫都区模拟）已知921001210(1)(1)x x a a x a x a x --=+++⋯+，则8a =45-．7.（2020•新课标Ⅰ）25()()y x x y x++的展开式中33x y 的系数为()A ．5B ．10C ．15D ．208.（2023•湖北模拟）51(1)(12)x x+-的展开式中，常数项是() A ．9-B ．10-C ．9D ．109.（2023•曲靖模拟）已知4520222023(1)(12)(12023)(12022)x x x x -++++-展开式中x 的系数为q ，空间有q 个点，其中任何四点不共面，这q 个点可以确定的直线条数为m ，以这q 个点中的某些点为顶点可以确定的三角形个数为n ，以这q 个点中的某些点为顶点可以确定的四面体个数为p ，则(m n p ++=) A ．2022B ．2023C ．40D ．5010.（2023•徐汇区期末）1002被9除所得的余数为() A ．1B ．3C ．5D ．711.已知f (x )＝(3x 2＋3x 2)n 的展开式中各项的系数和比各项的二项式系数和大992. (1)求展开式中二项式系数最大的项； (2)求展开式中系数最大的项．12（2023•河源期末）5(21)x y --的展开式中含22x y 的项的系数为() A ．120-B ．60C ．60-D ．3013.（2023•怀化期末）已知10111012n n C C =，设2012(23)(1)(1)(1)n n n x a a x a x a x -=+-+-+⋯+-，下列说法：①2023n =，②20233n a =-，③0121n a a a a +++⋯+=，④展开式中所有项的二项式系数和为1．其中正确的个数有() A ．0B ．1C ．2D ．314（2023•青原区期末）若28(1)(1)ax x x -+-的展开式中含2x 的项的系数为21，则(a =) A ．3-B ．2-C ．1-D ．115.（2023•常熟市月考）今天是星期五，经过7天后还是星期五，那么经过1008天后是()A ．星期三B ．星期四C ．星期五D ．星期六16.（2023•南海区月考）已知012233222281n n n nn n n C C C C C +++++=，则123nn n n n C C C C ++++等于()A ．15B ．16C ．7D ．817.（2022•浙江）已知多项式42345012345(2)(1)x x a a x a x a x a x a x +-=+++++，则2a =，12345a a a a a ++++=．。
【步步高】高考数学 二轮专题复习 专题6第1讲 排列与组合、二项式定理课件
合混合问题先选后排法；④相邻问题捆绑法；⑤不相邻问 题插空法；⑥定序问题倍缩法；⑦多排问题一排法；⑧“小 集团”问题先整体后局部法；⑨构造模型法；⑩正难则反、 等价转化法． 2．二项式定理是一个恒等式，对待恒等式通常有两种思路： 一是利用恒等定理(两个多项式恒等，则对应项系数相等)； 二是赋值．这两种思路相结合可以使得二项展开式的系数 问题迎刃而解． 另外，通项公式主要用于求二项式的指数，求满足条件的 项或系数，求展开式的某一项或系数，在运用公式时要注 意以下几点：
重要方法，是处理组合数问题、系数问题的经典方法．
变式训练 3 (2011·课标全国改编)(x＋ax)(2x－1x)5 的展开式中 各项系数的和为 2，则该展开式中常数项为__4_0___．
解析 令 x＝1 得(1＋a)(2－1)5＝1＋a＝2，所以 a＝1.
因此(x＋1x)(2x－1x)5 展开式中的常数项即为(2x－1x)5 展开式
解 (1)先将 3 人(用×表示)与 4 张空椅子(用□表示)排列如图 (×□□×□□×)，这时共占据了 7 张椅子，还有 2 张空椅子， 一是分开插入，如图中箭头所示(↓×□↓□×□↓□×↓)， 从 4 个空当中选 2 个插入，有 C42种插法；二是 2 张同时插入， 有 C41种插法，再考虑 3 人可交换有 A33种方法．所以，共有 A33(C42＋C14)＝60(种)； (2)可先让 4 人坐在 4 个位置上，有 A44种排法，再让 2 个“元 素”(一个是两个作为一个整体的空位，另一个是单独的空位) 插入 4 个人形成的 5 个“空当”之间，有 A25种插法，所以所 求的坐法数为 A44·A25＝480.
中1的系数与 x
x
的系数的和．(2x－1x)5
展开式的通项为
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专题六 概率与统计
第一讲 两个原理、二项式定理
一、选择题
1．从单词“equation”中选取5个不同的字母排成一排，含有“qu”(其中“qu”相连且顺序不
变)的不同排列共有 ( )
A．120个 B．480个 C．720个 D．840个
解析：qu相连且顺序不变，看作一个整体，所以C36·A44＝480(种)．
答案：B
2．(2010·湖北)现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加上海世博会志愿者服务活动，
每人从事翻译、导游、礼仪、司机四项工作之一，每项工作至少有一人参加．甲、
乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜任四项工作，则不同安排方
案的种数是 ( )
A．54 B．90 C．126 D．152
解析：由于五个人从事四项工作，而每项工作至少一人，那么每项工作至多两人，
因为甲、乙不会开车，所以只能先安排司机，分两类：
(1)先从丙、丁、戊三人中任选一人开车；再从其余四人中任选两人作为一个元素同
其他两人从事其他三项工作，共有C13C24A33种．(2)先从丙、丁、戊三人中任选两人开
车；其余三人从事其他三项工作，共有C23A33种．所以，不同安排方案的种数是C13C24
A33＋C23A33＝126(种)．故选C.
答案：C
3．(2010·重庆)某单位安排7位员工在10月1日至7日值班，每天安排1人，每人值班
1天．若7位员工中的甲、乙排在相邻两天，丙不排在10月1日，丁不排在10月7
日，则不同的安排方案共有 ( )
A．504种 B．960种
C．1 008种 D．1 108种
解析：①甲、乙排在相邻两天的情况有A22A66种；
②甲、乙排在相邻两天，且丙排在10月1日的情况有A22A55种
③甲、乙排在相邻两天，且丁排在10月7日的情况有A22A55种；
④甲、乙排在相邻两天，且丙排在10月1日，丁排在10月7日的情况有A22A44种．
所以甲、乙排在相邻两天，且丙不排在10月1日，丁不排在10月7日的情况有A22
A66－A22A55－A22A55＋A22A44＝1 008(种)．故选C.
答案：C
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4．已知2x2＋1x3n(n∈N*)的展开式中含有常数项，则n的最小值是 ( )
A．4 B．5 C．9 D．10
解析：Tr＋1＝Crn(2x2)n－r·x－3r＝2n－r·Crn·x2n－5r，则2n－5r＝0，∴n的最小值是5.
答案：B
5．(2010·浙江舟山)x＋2x2n展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式的常数
项是 ( )
A．360 B．180 C．90 D．45
解析：二项式系数为Crn，只有第六项最大，即C5n最大，则n＝10.
Tr＋1＝Cr10(x)10－r2x2r＝Cr102rx5－5r2，5－52r＝0⇒r＝2，
故常数项为T3＝C21022＝180.故选B.
答案：B
二、填空题
6．(2010·江西)将6位志愿者分成4组，其中两个组各2人，另两个组各1人，分赴世
博会的四个不同场馆服务，不同的分配方案有________种(用数字作答)．
解析：6位志愿者分成四组有C26C24C12A22·A22＝45种方法，四组分赴四个不同场馆有A44＝24
种方法，因此不同的分配方案有C26C24C12A22·A22·A44＝1 080种方法．
答案：1 080
7．(2010·浙江)有4位同学在同一天的上、下午参加“身高与体重”、“立定跳远”、
“肺活量”、“握力”、“台阶”五个项目的测试，每位同学上、下午各测试一个
项目，且不重复．若上午不测“握力”项目，下午不测“台阶”项目，其余项目上、
下午都各测试一人．则不同的安排方式共有________种(用数字作答)．
解析：上午测试安排有A44种方法，下午测试分为：(1)若上午测试“台阶”的同学下
午测试“握力”，其余三位同学有2种方法测试；(2)若上午测试“台阶”的同学下
午不测试“握力”，则有C13种方法选择，其余三位同学选1人测试“握力”有C13种
方法，其余两位只有一种方法，则共有C13·C13＝9(种)，因此测试方法共有A44·(2＋9)
＝264(种)．
答案：264
8．(2010·全国Ⅱ)若x－ax9的展开式中x3的系数是－84，则a＝________.
解析：由Tr＋1＝Cr9·x9－r·－axr＝(－a)rCr9x9－2r，令9－2r＝3，r＝3，有(－a)3C39＝－84，
解得a＝1.
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答案：1
9．(2010·安徽)xy－yx6的展开式中，x3的系数等于________．
解析：∵原式＝[xy－12＋(－1)yx－12]6
∴Tr＋1＝Cr6x6－ry6－r－2(－1)ryrx－r2
＝(－1)rCr6x6－32ry32r－3.
又∵6－32r＝3，r＝2，
∴x3系数为(－1)2C26＝15.
答案：15
三、解答题
10．用数字0,1,2,3,4,5,6组成没有重复数字的四位数，其中个位、十位、百位上数字之
和为偶数的四位数共有多少个？
解：个位、十位、百位上数字之和为偶数有两种情况：第一种：三个偶数，第二种：
一个偶数，两个奇数．
第一种：三个偶数时．
(1)三个偶数中包括“0”，则选法C23，后三位排法有A33种，千位可从其余4数中选
一数即C14，故有C23A33·C14＝72(种)．
(2)三个偶数中不包括“0”，则选法C33，后三位排法有A33种，千位可从其余3数中
选一数即C13，故有C33A33·C13＝18(种)．
第二种：一个偶数，两个奇数
(1)这个偶数为“0”则两个奇数选法C23；后三位排法A33种，千位选法C14种，故有
C23·A33·C14＝72(种)．
(2)偶数不为“0”，则选法有C13·C23，后三位排法A33，千位选法C13，故有C13C23·A33·C13＝
162(种)故共有72＋18＋72＋162＝324(种)．
11．有4个不同的球，4个不同的盒子，现在要把球全部放入盒内．
(1)共有几种放法？
(2)恰有一个盒不放球，共有几种放法？
(3)恰有一个盒放两个球，共有几种放法？
(4)恰有两个盒不放球，共有几种放法
解：(1)44＝256(种)
(2)C14·C14C13C222·A33＝4×4×32×6＝144(种)．
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(3)C14C24·A23＝4×6×6＝144(种)．
(4)C24·(C14C33·A22＋C24C22)＝84(种)．
12．已知12＋2xn.
(1)若展开式中第5项，第6项与第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二
项式系数的最大项的系数；
(2)若展开式前三项的二项式系数和等于79，求展开式中系数最大的项．
解：(1)∵C4n＋C6n＝2C5n，
∴n2－21n＋98＝0.
∵n＝7或n＝14，
当n＝7时，展开式中二项式系数最大的项是T4和T5.
∴T4的系数＝C3712423＝352，
T5的系数＝C4712324＝70，
当n＝14时，展开式中二项式系数的最大的项是T8.
∴T8的系数＝C71412727＝3 432.
(2)由题意，得C0n＋C1n＋C2n＝79，
即：n2＋n－156＝0
解得n＝12(n＝－13舍去)
设Tk＋1项的系数最大．
∵12＋2x12＝1212(1＋4x)12，
∴ Ck124k≥Ck－1124k－1，Ck124k≥Ck＋1124k＋1.∴9.4
T11＝11212C1012410x10＝16 896x10