2018-2019学年高中数学 第3章 1第1课时 导数与函数的单调性课时作业 北师大版选修2-2
2018学年高中数学选修1-1课件：3.3.1 函数的单调性与导数 精品
5.与参数有关的函数单调性问题 [典例] 已知函数 f(x)＝x3－ax－1.讨论 f(x)的单调性．
[解] f′(x)＝3x2－a. ①当 a≤0 时，f′(x)≥0， 所以 f(x)在(－∞，＋∞)上为增函数． ②当 a＞0 时，令 3x2－a＝0 得 x＝± 33a； 当 x＞ 33a或 x＜－ 33a时，f′(x)＞0； 当－ 33a＜x＜ 33a时，f′(x)＜0.
同理，令 f′(x)<0，得23π<x<43π. ∴该函数的单调递增区间为0，23π，43π，2π； 单调递减区间为23π，43π. (2)函数的定义域为(0，＋∞)， 其导函数为 f′(x)＝2－1x. 令 2－1x>0，解得 x>12；令 2－1x<0，解得 0<x<12， ∴该函数的单调递增区间为12，＋∞，单调递减区间为0，12.
求函数的单调区间
[例 3] 求下列函数的单调区间： (1)f(x)＝12x＋sin x，x∈(0,2π)； (2)f(x)＝2x－ln x.
[解] (1)∵f′(x)＝12＋cos x， ∴令 f′(x)>0，得12＋cos x>0， 即 cos x>－12. 又∵x∈(0,2π)，∴0<x<23π 或43π<x<2π.
课时跟踪检测见课时达标检测(十六)
解析：令 f′(x)＝1－2cos x＞0， 则 cos x＜12，又 x∈(0，π)， 解得π3＜x＜π， 所以函数的单调递增区间为π3，π. 答案：π3，π
5．讨论下列函数的单调性： (1)y＝x3－x； (2)y＝ex＋e－x(x∈[0，＋∞))． 解：(1)y＝x3－x， y′＝3x2－1＝3x＋ 33x－ 33. ∵当 x＜－ 33或 x＞ 33时，y′＞0，
2018-2019版高中数学人教版A版选修1-1课件：3.3.1 函数的单调性与导数
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题型探究
重点突破
题型一 利用导数判断函数的单调性
例1
证明
π sin x 证明：函数 f(x)＝ x 在区间2，π上单调递减.
π xcos x－sin x ， π f′(x)＝ ，又 x ∈ 2 ， 2 x
则cos x<0，∴xcos x－sin x<0，
上是单调递增的，求 a 的取值范围.
反思与感悟
解析答案
跟踪训练3 取值范围. 解
若函数f(x)＝x3＋x2＋mx＋1是R上的单调函数.求实数m的
f′(x)＝3x2＋2x＋m.
因为f(x)是R上的单调函数， 所以f′(x)≥0恒成立或f′(x)≤0恒成立. 因为二次项系数3＞0，所以只能有f′(x)≥0恒成立. 1 因此 Δ＝4－12m≤0，故 m≥3. 1 1 当 m＝3时，使 f′(x)＝0 的点只有一个 x＝－3，也符合题意. 1 故实数 m 的取值范围是3，＋∞ .
a（x－1） (2) 当 x∈(1 ，＋∞) 时，f(x)>0 等价于 ln x－ >0 ，设 g(x) ＝ln x － x＋1 a（x－1） ，则 x＋1
2 x ＋2（1－a）x＋1 1 2a g′(x)＝x － ，g(1)＝0. 2＝ 2 （x＋1） x（x＋1）
解后反思 解析答案 返回
(ⅰ)当a≤2，x∈(1，＋∞)时，x2＋2(1－a)x＋1≥x2－2x＋1>0，故g′(x)>0， g(x)在(1，＋∞)单调递增， 因此g(x)>0； (ⅱ)当a>2时，令g′(x)＝0得，
由 f′(x)＜0 解得－ t＜x＜ t.
函数 f(x)的增区间是(－∞，－ t)和( t，＋∞)，减区间是(－ t， t).
高中数学第三章导数及其应用3_3第1课时函数的单调性与导数课件新人教A版选修1-1
③在区间(－∞，＋∞)内，y′(x)＝3x2≥0，y(x)是增函数； ④在区间(－∞，0)，(0，＋∞)内，y′(x)＝－x12<0，y(x) 是 减函数．
(3)观察教材 P93 图 3.3－7，函数 f(x)在(0，a)和(a，＋∞) 上都是单调递增的，但在(0，a)内的图象“陡峭”，在(a，＋ ∞)内的图象“平缓”，试比较 f(x)在(0，a)和(a，＋∞)内导 数的大小有什么关系？
x .
由于 0<x<2，所以 ln x<ln 2<1，
故 f′(x)＝1－xl2n x>0，
即函数 f(x)＝lnxx在区间(0，2)上是单调递增函数．
[思考] f′(x)>0 或 f′(x)<0 的解集与函数 f(x)的单调区间有 什么关系？
名师指津： f′(x)>0 的解集对应函数 f(x)的单调递增区间； f′(x)<0 的解集对应函数 f(x)的单调递减区间 .
1．本节课的重点是函数的单调性与其导数正负的关系、 函数图象的变化趋势与导数绝对值大小的关系．难点是与参数 有关的函数单调性问题．
2．本节课要重点掌握的规律方法 (1)函数与导函数图象间关系的应用，见讲 1； (2)判断(证明)函数单调性的方法，见讲 2；
又 x∈(0，＋∞)，所以函数 f(x)的单调递减区间为0， 22.
利用导数求函数单调区间的步骤 (1)求函数的定义域； (2)求 f′(x)，解不等式 f′(x)>0(或 f′(x)<0)； (3)利用不等式的解集与定义域求交集得单调区间． 注意事项： ①求函数的单调区间，必须在函数的定义域内进行． ②如果函数的单调区间有多个时，单调区间不能用“∪” 符号连接，只能用“，”或“和”隔开． ③导数法求得的单调区间一般用开区间表示．
高中数学第3章导数应用1.1导数与函数的单调性课件
数学D 选修2-2
第三章 导数应用
课前预习学案
课堂互动讲义
课后演练提升
[规范解答] (1)f′(x)＝6x2－12x.
令f′(x)＞0，即6x2－12x＞0，解得x＜0或x＞2，
令f′(x)＜0，即6x2－12x＜0，解得0＜x＜2.
所以，该函数的递增区间是(－∞，0)和(2，＋∞)，递减
数学D 选修2-2
第三章 导数应用
课前预习学案
课堂互动讲义
课后演练提升
课堂互动讲义
数学D 选修2-2
第三章 导数应用
课前预习学案
课堂互动讲义
课后演练提升
利用导数判断或证明函数的单调性
证明函数f(x)＝x＋1x在(0,1]上为减函数．
[思路导引]
求f′x
―→
推导在0，1] 上f′x≤0
―→
得结论
[边听边记] 证明：∵f′(x)＝1－x12＝x2x－2 1，
答案： A
数学D 选修2-2
第三章 导数应用
课前预习学案
课堂互动讲义
课后演练提升
2．若三次函数f(x)＝ax3－x在区间(－∞，＋∞)内是减函
数，则( )
A．a≤0
B．a≤1
C．a＝2
D．a＝13
解析： ∵f′(x)＝3ax2－1，若f(x)在(－∞，＋∞)上是减
函数，∴f′(x)≤0在(－∞，＋∞)上恒成立，即3ax2－1≤0恒
课前预习学案
课堂互动讲义
课后演练提升
(1)判断函数单调性时，f′(x)＞0 能推出f(x)为增函数，但反之不一定．如函数f(x)＝x3在(－∞， ＋∞)上增加，但f′(x)≥0，∴f′(x)＞0是f(x)为增函数的充分不必 要条件．当函数在某个区间内恒有f′(x)＝0，则f(x)为常数函数 ，不具单调性．所以f′(x)≥0是f(x)为增函数的必要不充分条件 ．
人教A版必修1高一数学18导数与函数的单调性【课件】
C
A. B. C. D.
【解析】由，得或①函数在上单调递减， ;在上单调递增，，所以.②若函数 为常数函数，则.综合①②得 .故选C.
3.［人B选必三P114复习题C组第2题变式］已知是定义在上的函数，其导函数是，且当 时总有 ，则下列表述正确的是( )
求解含参函数的单调性的技巧对于含参数的函数的单调性问题，一般要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论.如果一阶导数的正负不好判断，那么需要对一阶导函数进行求导，判断二阶导数的正负.分类讨论主要是：①讨论 是否有根；②讨论 的根是否在定义域内；③讨论根的大小关系.
注意 （1）讨论含参数的函数的单调性时优先考虑导数是否恒大于0或恒小于0，再考虑可能大于0或小于0的情况；（2）个别导数为0的点不影响所在区间的单调性,如 , （ 在 时取到）， 在 上是增函数.
变式4 在区间上单调已知函数，若函数在上单调递减，则实数 的取值范围为__________.
【解析】 解法一 因为在上单调递减，所以在上恒成立.所以 即 解得,即实数的取值范围为 .解法二 由题意知在上恒成立，所以在 上恒成立.记,当时，,（由对勾函数的单调性可得）所以,即实数 的取值范围为 .
【解析】 由变式4知在上单调递减时，的取值范围是.若在 上单调递增，则在上恒成立，又在上的值域为,所以实数 的取值范围是,所以函数在上单调时，实数的取值范围是,故 在上不单调时，实数的取值范围是 （补集思想的应用）
变式7 递增和递减区间同时存在如果函数在区间 上单调递减，在区间上单调递增，则实数 的取值范围是( )
2.确定单调区间端点值的两个依据：（1）导函数等于0的点；（2）函数不连续的点.
导数与函数的单调性课件
.
)
2.若函数f(x)= 1 x2-2x-3ln x,则函数f(x)的单调递减区间为(
2
A.(-∞,-1)∪[3,+∞)
B.[-1,3] C.[0,3]
1 2
解析:函数 f(x)=2x -2x-3ln x 的定义域为{x|x>0},
3
2 -2-3
(-3)(+1)
因为 f'(x)=x-2- = =
人教2019 B版 选择性必修三
第六章 导数及其应用
6.2.1 导数与函数的单调性
学习目标
1.通过具体函数图象，发现函数的单调性与导数的正负之间的关系，
体会数形结合思想，发展直观想象素养。
2.能根据函数导数的正负判断函数的单调性，体会算法思想，发展数
学运算素养。
导语
导数是函数的瞬时变化率，因此导数必然与函数的增减性以及增减的快与慢等
f ′(x)的正负
f (x)的单调性
f ′(x)＞0
单调递____
增
f ′(x)＜0
单调递____
减
小试牛刀
1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)函数 f (x)在区间(a，b)上都有 f ′(x)＜0，则函数 f (x)在这个区间上单调递
减． (
)
(2)函数在某一点的导数越大，函数在该点处的切线越“陡峭”． (
＋∞)．]
当堂达标
1.函数f(x)=-x3-x2+x的单调递增区间是(
A.
C.
1
-1, 3
1
-1,- 3
B.
D.
1
- 3 ,1
1
,1
3
解析:f'(x)=-3x2-2x+1,
2018高中数学选修1-1课件：3-3-1 函数的单调性与导数
如图所示，函数y＝f(x)在(0，b)或 (a,0) 内导数的绝对值较大，图象 “陡峭”，在(b，＋∞)或(－∞， a) 内 导 数 的 绝 对 值 较 小 ， 图 象 “平缓”.
梳理
一般地，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么 函数在这个范围内变化得快，这时，函数的图象就比较“陡 峭”(向上或向下)；反之，函数的图象就“平缓”一些.
答案 解析
命题角度2 由导函数图象确定原函数图象
例2
已知y ＝f′(x) 的图象如图所示，则y ＝ f(x) 的
图象最有可能是如图所示的 答案 解析
反思与感 悟
通过观察导函数图象，确定导数值正负所在区间，也就确定
了原函数的增减区间；根据导函数图象的变化，可确定原函 数的增减快慢.
跟踪训练 2
已知 y ＝ xf′(x) 的图象如图所
题型探究
类型一 原函数和导函数图象之间的关系
命题角度1 根据原函数图象确定导函数图象
例1 已知函数y＝f(x)的图象如图所示，则函数y＝f′(x)的
图象可能是图中的答案
解析
反思与感 悟
对于原函数图象，要看其在哪个区间内单调递增，则在此区 间内导数值大于零.在哪个区间内单调递减，则在此区间内导 数值小于零.根据导数值的正负可判定导函数图象.
引申探究 试求函数f(x)＝kx－ln x的单调区间 解答.
f(x)＝kx－ln x 的定义域为(0，＋∞)， 1 f′(x)＝k－x， 当 k≤0 时，函数的单调递减区间为(0，＋∞)； 1 1 当 k>0 时，函数的单调递增区间为(k，＋∞)，单调递减区间为(0，k).
反思与感 悟
(1) 讨论含有参数的函数的单调性，通常归结为求含参数不等 式的解集的问题，而对含有参数的不等式要针对具体情况进行 讨论，但始终注意定义域对单调性的影响以及分类讨论的标准. (2)利用导数法解决取值范围问题的两个基本思路
江苏2018版高考数学复习导数的应用第1课时导数与函数的单调性教师用书文苏教版
3.2 导数的应用第1课时导数与函数的单调性1.函数的单调性在某个区间(a，b)内，如果f′(x)>0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递增；如果f′(x)<0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递减.2.函数的极值(1)求函数y＝f(x)的极值的方法一般地，当函数f(x)在点x0处连续时，①如果在x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么f(x0)是极大值；②如果在x0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，那么f(x0)是极小值.(2)求可导函数极值的步骤：①求f′(x)；②求方程f′(x)＝0的根；③考察f′(x)在方程f′(x)＝0的根附近的左右两侧导数值的符号.如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值.3.函数的最值(1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值.(2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值.(3)设函数f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，求f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤如下：第一步求f(x)在区间(a，b)上的极值；第二步将第一步中求得的极值与f(a)，f(b)比较，得到f(x)在区间[a，b]上的最大值与最小值.【知识拓展】1.在某区间内f′(x)>0(f′(x)<0)是函数f(x)在此区间上为增(减)函数的充分不必要条件.2.可导函数f (x )在(a ，b )上是增(减)函数的充要条件是对∀x ∈(a ，b )，都有f ′(x )≥0(f ′(x )≤0)且f ′(x )在(a ，b )上的任何子区间内都不恒为零.3.对于可导函数f (x )，f ′(x 0)＝0是函数f (x )在x ＝x 0处有极值的必要不充分条件. 【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若函数f (x )在(a ，b )内单调递增，那么一定有f ′(x )>0.( × )(2)如果函数f (x )在某个区间内恒有f ′(x )＝0，则f (x )在此区间内没有单调性.( √ ) (3)函数的极大值不一定比极小值大.( √ )(4)对可导函数f (x )，f ′(x 0)＝0是x 0点为极值点的充要条件.( × ) (5)函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定是极小值.( √ ) (6)三次函数在R 上必有极大值和极小值.( × )1.(教材改编)f (x )＝x 3－6x 2的单调递减区间为 . 答案 (0,4)解析 f ′(x )＝3x 2－12x ＝3x (x －4)， 由f ′(x )<0，得0<x <4， ∴单调递减区间为(0,4).2.(教材改编)函数f (x )＝x －2sin x 在(0，π)上的单调递增区间为 . 答案 (π3，π)解析 令f ′(x )＝1－2cos x >0，得cos x <12，又x ∈(0，π)，所以π3<x <π.3.(教材改编)函数y ＝3x 3－9x ＋5的极大值为 . 答案 11解析 y ′＝9x 2－9.令y ′＝0，得x ＝±1. 当x 变化时，y ′，y 的变化情况如下表：从上表可以看出，当x ＝－1时，函数y 有极大值， 3×(－1)3－9×(－1)＋5＝11.4.(2016·苏中八校联考)函数f (x )＝x －ln x 的单调递减区间为 . 答案 (0,1)解析 函数的定义域是(0，＋∞)，f ′(x )＝1－1x ＝x －1x，令f ′(x )<0，得0<x <1，所以单调递减区间是(0,1).5.设a ∈R ，若函数y ＝e x＋ax 有大于零的极值点，则实数a 的取值范围是 . 答案 (－∞，－1)解析 ∵y ＝e x＋ax ，∴y ′＝e x＋a . ∵函数y ＝e x ＋ax 有大于零的极值点， 则方程y ′＝e x ＋a ＝0有大于零的解， ∵当x >0时，－e x <－1， ∴a ＝－e x<－1.第1课时 导数与函数的单调性题型一 不含参数的函数的单调性例1 (1)函数y ＝12x 2－ln x 的单调递减区间为 .(2)已知定义在区间(－π，π)上的函数f (x )＝x sin x ＋cos x ，则f (x )的单调递增区间是 .答案 (1)(0,1) (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫－π，－π2和⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2 解析 (1)y ＝12x 2－ln x ，y ′＝x －1x ＝x 2－1x＝x －x ＋x(x >0).令y ′<0，得0<x <1，∴单调递减区间为(0,1). (2)f ′(x )＝sin x ＋x cos x －sin x ＝x cos x . 令f ′(x )＝x cos x >0，则其在区间(－π，π)上的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－π，－π2和⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2， 即f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－π，－π2和⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2.思维升华 确定函数单调区间的步骤 (1)确定函数f (x )的定义域； (2)求f ′(x )；(3)解不等式f ′(x )>0，解集在定义域内的部分为单调递增区间； (4)解不等式f ′(x )<0，解集在定义域内的部分为单调递减区间.(1)函数y ＝4x 2＋1x的单调增区间为 .(2)已知函数f (x )＝x ln x ，则下面关于函数f (x )单调性的判断正确的是 . ①在(0，＋∞)上递增； ②在(0，＋∞)上递减； ③在(0，1e)上递增；④在(0，1e)上递减.答案 (1)⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ (2)④ 解析 (1)由y ＝4x 2＋1x ，得y ′＝8x －1x2，令y ′>0，即8x －1x 2>0，解得x >12，∴函数y ＝4x 2＋1x 的单调增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞.(2)因为函数f (x )＝x ln x ，定义域为(0，＋∞)， 所以f ′(x )＝ln x ＋1(x >0)， 当f ′(x )>0时，解得x >1e，即函数的单调递增区间为(1e ，＋∞)；当f ′(x )<0时，解得0<x <1e ，即函数的单调递减区间为(0，1e ).题型二 含参数的函数的单调性例2 (2016·江苏新海中学月考改编)已知函数f (x )＝2x 3＋32tx 2－3t 2x ＋t －12(t ≠0)，求f (x )的单调区间.解 f ′(x )＝6x 2＋3tx －3t 2＝3(2x －t )(x ＋t ). 令f ′(x )＝0，得x ＝－t 或x ＝t2.∵t ≠0，以下分两种情况进行讨论： ①若t <0，则t2<－t .由f ′(x )>0，得x <t2或x >－t ；由f ′(x )<0，得t2<x <－t .②若t >0，则t2>－t .由f ′(x )>0，得x <－t 或x >t2；由f ′(x )<0，得－t <x <t2.∴当t <0时，f (x )的单调递增区间为(－∞，t 2)，(－t ，＋∞)，单调递减区间为(t2，－t )；当t >0时，f (x )的单调递增区间为(－∞，－t )，(t 2，＋∞)，单调递减区间为(－t ，t2).思维升华 (1)研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论. (2)划分函数的单调区间时，要在函数定义域内讨论，还要确定导数为0的点和函数的间断点. (3)个别导数为0的点不影响所在区间的单调性，如f (x )＝x 3，f ′(x )＝3x 2≥0(f ′(x )＝0在x ＝0时取到)，f (x )在R 上是增函数.讨论函数f (x )＝(a －1)ln x ＋ax 2＋1的单调性.解 f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝a －1x ＋2ax ＝2ax 2＋a －1x.①当a ≥1时，f ′(x )>0，故f (x )在(0，＋∞)上单调递增； ②当a ≤0时，f ′(x )<0，故f (x )在(0，＋∞)上单调递减； ③当0<a <1时，令f ′(x )＝0，解得x ＝1－a2a，则当x ∈(0, 1－a2a)时，f ′(x )<0；当x ∈(1－a2a ，＋∞)时，f ′(x )>0，故f (x )在(0, 1－a2a)上单调递减，在( 1－a2a，＋∞)上单调递增.题型三 已知函数单调性求参数例3 (2016·南通模拟)已知函数f (x )＝ln x ，g (x )＝12ax 2＋2x (a ≠0).(1)若函数h (x )＝f (x )－g (x )存在单调递减区间，求a 的取值范围； (2)若函数h (x )＝f (x )－g (x )在[1,4]上单调递减，求a 的取值范围. 解 (1)h (x )＝ln x －12ax 2－2x ，x ∈(0，＋∞)，所以h ′(x )＝1x－ax －2，由于h (x )在(0，＋∞)上存在单调递减区间，所以当x ∈(0，＋∞)时，1x－ax －2<0有解，即a >1x 2－2x有解.设G (x )＝1x 2－2x，所以只要a >G (x )min 即可.而G (x )＝(1x－1)2－1，所以G (x )min ＝－1.所以a >－1，即a 的取值范围为(－1，＋∞). (2)由h (x )在[1,4]上单调递减得，当x ∈[1,4]时，h ′(x )＝1x－ax －2≤0恒成立，即a ≥1x 2－2x恒成立.所以a ≥G (x )max ，而G (x )＝(1x－1)2－1，因为x ∈[1,4]，所以1x ∈[14，1]，所以G (x )max ＝－716(此时x ＝4)，所以a ≥－716，即a 的取值范围是[－716，＋∞).引申探究1.本题(2)中，若函数h (x )＝f (x )－g (x )在[1,4]上单调递增，求a 的取值范围. 解 由h (x )在[1,4]上单调递增得， 当x ∈[1,4]时，h ′(x )≥0恒成立， 即当x ∈[1,4]时，a ≤1x 2－2x恒成立，又当x ∈[1,4]时，(1x 2－2x)min ＝－1(此时x ＝1)，∴a ≤－1，即a 的取值范围是(－∞，－1].2.本题(2)中，若h (x )在[1,4]上存在单调递减区间，求a 的取值范围. 解 h (x )在[1,4]上存在单调递减区间， 则h ′(x )<0在[1,4]上有解， 即当x ∈[1,4]时，a >1x 2－2x有解，又当x ∈[1,4]时，(1x 2－2x)min ＝－1，∴a >－1，即a 的取值范围是(－1，＋∞). 思维升华 根据函数单调性求参数的一般思路(1)利用集合间的包含关系处理：y ＝f (x )在(a ，b )上单调，则区间(a ，b )是相应单调区间的子集.(2)f (x )为增函数的充要条件是对任意的x ∈(a ，b )都有f ′(x )≥0且在(a ，b )内的任一非空子区间上f ′(x )不恒为零，应注意此时式子中的等号不能省略，否则漏解. (3)函数在某个区间存在单调区间可转化为不等式有解问题.已知函数f (x )＝e xln x －a e x(a ∈R ).(1)若f (x )在点(1，f (1))处的切线与直线y ＝1e x ＋1垂直，求a 的值；(2)若f (x )在(0，＋∞)上是单调函数，求实数a 的取值范围. 解 (1)f ′(x )＝e x ln x ＋e x ·1x －a e x ＝(1x－a ＋ln x )e x，f ′(1)＝(1－a )e ，由(1－a )e·1e＝－1，得a ＝2.(2)由(1)知f ′(x )＝(1x－a ＋ln x )e x，若f (x )为单调递减函数，则f ′(x )≤0在x >0时恒成立. 即1x－a ＋ln x ≤0在x >0时恒成立.所以a ≥1x＋ln x 在x >0时恒成立.令g (x )＝1x＋ln x (x >0)，则g ′(x )＝－1x 2＋1x ＝x －1x2(x >0)，由g ′(x )>0，得x >1； 由g ′(x )<0，得0<x <1.故g (x )在(0,1)上为单调递减函数，在(1，＋∞)上为单调递增函数，此时g (x )的最小值为g (1)＝1，但g (x )无最大值(且无趋近值).故f (x )不可能是单调递减函数. 若f (x )为单调递增函数，则f ′(x )≥0在x >0时恒成立，即1x－a ＋ln x ≥0在x >0时恒成立，所以a ≤1x＋ln x 在x >0时恒成立，由上述推理可知此时a ≤1.故实数a 的取值范围是(－∞，1].5.用分类讨论思想研究函数的单调性典例 (16分)已知函数f (x )＝ln x ，g (x )＝f (x )＋ax 2＋bx ，其中函数g (x )的图象在点(1，g (1))处的切线平行于x 轴.(1)确定a 与b 的关系；(2)若a ≥0，试讨论函数g (x )的单调性.思想方法指导 含参数的函数的单调性问题一般要分类讨论，常见的分类讨论标准有以下几种可能：(1)方程f ′(x )＝0是否有根；(2)若f ′(x )＝0有根，求出根后判断其是否在定义域内；(3)若根在定义域内且有两个，比较根的大小是常见的分类方法. 规范解答解 (1)依题意得g (x )＝ln x ＋ax 2＋bx ， 则g ′(x )＝1x＋2ax ＋b .[2分]由函数g (x )的图象在点(1，g (1))处的切线平行于x 轴， 得g ′(1)＝1＋2a ＋b ＝0， ∴b ＝－2a －1.[4分](2)由(1)得g ′(x )＝2ax 2－a ＋x ＋1x＝ax －x －x.∵函数g (x )的定义域为(0，＋∞)，∴当a ＝0时，g ′(x )＝－x －1x. 由g ′(x )>0，得0<x <1； 由g ′(x )<0，得x >1.[8分] 当a >0时，令g ′(x )＝0，得x ＝1或x ＝12a ，[9分]若12a <1，即a >12， 由g ′(x )>0，得x >1或0<x <12a ，由g ′(x )<0，得12a <x <1；[11分]若12a >1，即0<a <12， 由g ′(x )>0，得x >12a 或0<x <1，由g ′(x )<0，得1<x <12a；若12a ＝1，即a ＝12，在(0，＋∞)上恒有g ′(x )≥0. [14分]综上可得：当a ＝0时，函数g (x )在(0,1)上单调递增， 在(1，＋∞)上单调递减；当0<a <12时，函数g (x )在(0,1)上单调递增，在(1，12a )上单调递减，在(12a ，＋∞)上单调递增；当a ＝12时，函数g (x )在(0，＋∞)上单调递增；当a >12时，函数g (x )在(0，12a )上单调递增，在(12a，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增.[16分]1.(2015·课标全国Ⅱ改编)设函数f ′(x )是奇函数f (x )(x ∈R )的导函数，f (－1)＝0，当x >0时，xf ′(x )－f (x )＜0，则使得f (x )>0成立的x 的取值范围是 . 答案 (－∞，－1)∪(0,1)解析 因为f (x )(x ∈R )为奇函数，f (－1)＝0，所以f (1)＝－f (－1)＝0. 当x ≠0时，令g (x )＝f xx， 则g (x )为偶函数，g (1)＝g (－1)＝0. 则当x ＞0时，g ′(x )＝[f xx]′ ＝xfx －f xx 2＜0，故g (x )在(0，＋∞)上为减函数，在(－∞，0)上为增函数. 所以在(0，＋∞)上，当0＜x ＜1时，g (x )＞g (1)＝0 ⇔f x x ＞0⇔f (x )＞0；在(－∞，0)上，当x ＜－1时，g (x )＜g (－1)＝0⇔f xx＜0⇔f (x )＞0.综上，知使得f (x )＞0成立的x 的取值范围是(－∞，－1)∪(0,1).2.已知函数f (x )＝12x 3＋ax ＋4，则“a >0”是“f (x )在R 上单调递增”的 条件.答案 充分不必要解析 f ′(x )＝32x 2＋a ，当a ≥0时，f ′(x )≥0恒成立，故“a >0”是“f (x )在R 上单调递增”的充分不必要条件. 3.在区间(－1,1)内不是增函数的函数是 . ①y ＝e x＋x ； ②y ＝sin x ；③y ＝x 3－6x 2＋9x ＋2； ④y ＝x 2＋x ＋1. 答案 ④解析 ①y ＝e x ＋x ，y ′＝e x＋1>0，在区间(－1,1)内是增函数； ②y ＝sin x ，y ′＝cos x ，在区间(－1,1)内是增函数；③y ＝x 3－6x 2＋9x ＋2，y ′＝3x 2－12x ＋9＝3(x －2)2－3，在区间(－1,1)内是增函数； ④y ＝x 2＋x ＋1，y ′＝2x ＋1，在区间(－12，1)内y ′>0，在区间(－1，－12)内y ′<0，在区间(－1,1)内不单调.4.已知函数y ＝f (x )在定义域[－4,6]内可导，其图象如图，记y ＝f (x )的导函数为y ＝f ′(x )，则不等式f ′(x )≤0的解集为 .答案 [－43，1]∪[113，6]解析 不等式f ′(x )≤0的解集即函数y ＝f (x )的减区间，由题图知y ＝f (x )的减区间为[－43，1]，[113，6]，故f ′(x )≤0的解集为[－43，1]∪[113，6].5.(2017·江苏扬州中学月考)若函数f (x )＝mx 2＋ln x －2x 在定义域内是增函数，则实数m 的取值范围是 . 答案 [12，＋∞)解析 f ′(x )＝2mx ＋1x －2，由题意知，f ′(x )≥0在(0，＋∞)上恒成立，即2m ≥－1x 2＋2x在(0，＋∞)上恒成立，令t ＝1x>0，则2m ≥－t 2＋2t ，又∵(－t 2＋2t )max ＝1，∴2m ≥1，∴m ≥12.6.定义在R 上的函数f (x )满足：f ′(x )>f (x )恒成立，若x 1<x 2，则12e ()x f x 与21e ()x f x 的大小关系为 . 答案 1221e ()e ()x x f x f x ＞ 解析 设g (x )＝f xe，则g ′(x )＝f xx－f xx＝f x －f xe，由题意得g ′(x )>0，所以g (x )单调递增，当x 1<x 2时，g (x 1)<g (x 2)，即1212()()e ex x f x f x ＜， 所以1221e ()e ()x x f x f x ＞.7.(2016·苏州模拟)若函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋d 的单调减区间为(－1,3)，则b ＋c ＝ . 答案 －12解析 f ′(x )＝3x 2＋2bx ＋c ，由题意知－1<x <3是不等式3x 2＋2bx ＋c <0的解集， ∴－1,3是f ′(x )＝0的两个根， ∴b ＝－3，c ＝－9，b ＋c ＝－12.8.(2016·无锡模拟)已知定义在R 上的函数f (x )，其导函数f ′(x )的大致图象如图所示，则下列叙述正确的是 .①f (b )>f (c )>f (d ) ②f (b )>f (a )>f (e ) ③f (c )>f (b )>f (a ) ④f (c )>f (e )>f (d ) 答案 ③解析 依题意得，当x ∈(－∞，c )时，f ′(x )>0， 所以函数f (x )在(－∞，c )上是增函数， 因为a <b <c ，所以f (c )>f (b )>f (a )，因此③正确.9.若函数f (x )＝－13x 3＋12x 2＋2ax 在[23，＋∞)上存在单调递增区间，则a 的取值范围是 . 答案 (－19，＋∞)解析 对f (x )求导，得f ′(x )＝－x 2＋x ＋2a ＝－(x －12)2＋14＋2a .当x ∈[23，＋∞)时，f ′(x )的最大值为f ′(23)＝29＋2a .令29＋2a >0，解得a >－19， 所以a 的取值范围是(－19，＋∞).10.(2016·全国甲卷改编)若函数f (x )＝x －13sin 2x ＋a sin x 在(－∞，＋∞)单调递增，则a 的取值范围是 .答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13，13 解析 ∵函数f (x )＝x －13sin 2x ＋a sin x 在(－∞，＋∞)单调递增，∴f ′(x )＝1－23cos 2x ＋a cos x＝1－23(2cos 2x －1)＋a cos x＝－43cos 2x ＋a cos x ＋53≥0，即a cos x ≥43cos 2x －53在(－∞，＋∞)恒成立.当cos x ＝0时，恒有0≥－53，得a ∈R ；当0<cos x ≤1时，得a ≥43cos x －53cos x ，令t ＝cos x ，f (t )＝43t －53t 在(0,1]上为增函数，得a ≥f (1)＝－13；当－1≤cos x <0时，得a ≤43cos x －53cos x ，令t ＝cos x ，f (t )＝43t －53t 在[－1,0)上为增函数，得a ≤f (－1)＝13.综上，可得a 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13，13. 11.(2016·江苏南京十三中月考)函数f (x )＝ax 3＋3x 2＋3x (a ≠0). (1)讨论f (x )的单调性；(2)若函数f (x )在区间(1,2)上是增函数，求a 的取值范围. 解 (1)函数f (x )＝ax 3＋3x 2＋3x (a ≠0)， ∴f ′(x )＝3ax 2＋6x ＋3，令f ′(x )＝0，即3ax 2＋6x ＋3＝0，则Δ＝36(1－a ). ①当a ≥1时，Δ≤0，f ′(x )≥0，∴f (x )在R 上是增函数； ②当a <1且a ≠0时，Δ>0，f ′(x )＝0有两个根，x 1＝－1＋1－aa，x 2＝－1－1－aa.(ⅰ)当0<a <1时，易知当x ∈(－∞，x 2)或x ∈(x 1，＋∞)时，f ′(x )>0，当x ∈(x 2，x 1)时，f ′(x )<0，故函数f (x )在(－∞，x 2)，(x 1，＋∞)上是增函数，在(x 2，x 1)上是减函数；(ⅱ)当a <0时，易知当x ∈(－∞，x 1)或x ∈(x 2，＋∞)时，f ′(x )<0，当x ∈(x 1，x 2)时，f ′(x )>0， 故函数f (x )在(－∞，x 1)，(x 2，＋∞)上是减函数， 在(x 1，x 2)上是增函数.(2)当a >0时，f ′(x )＝3ax 2＋6x ＋3>0(x ∈(1,2))， 故a >0时，f (x )在区间(1,2)上是增函数， 当a <0时，由f (x )在区间(1,2)上是增函数，可得⎩⎪⎨⎪⎧f，f ，即⎩⎪⎨⎪⎧3a ＋9≥0，12a ＋15≥0，解得a ≥－54，所以－54≤a <0.综上，a 的取值范围是[－54，0)∪(0，＋∞).12.已知函数f (x )＝x 4＋a x －ln x －32，其中a ∈R ，且曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线垂直于直线y ＝12x .(1)求a 的值；(2)求函数f (x )的单调区间.解 (1)对f (x )求导得f ′(x )＝14－a x 2－1x(x >0)，由f (x )在点(1，f (1))处的切线垂直于直线y ＝12x ，知f ′(1)＝－34－a ＝－2，解得a ＝54.(2)由(1)知f (x )＝x 4＋54x －ln x －32，则f ′(x )＝x 2－4x －54x2(x >0). 令f ′(x )＝0，解得x ＝－1或x ＝5.因为x ＝－1不在f (x )的定义域(0，＋∞)内，故舍去. 当x ∈(0,5)时，f ′(x )<0， 故f (x )在(0,5)内为减函数； 当x ∈(5，＋∞)时，f ′(x )>0， 故f (x )在(5，＋∞)内为增函数.综上，f (x )的单调增区间为(5，＋∞)，单调减区间为(0,5). 13.已知函数f (x )＝13x 3－a 2x 2.(1)求函数f (x )的单调区间；(2)设函数g (x )＝f (x )＋2x ，且g (x )在区间(－2，－1)上存在单调递减区间，求实数a 的取值范围.解 (1)f ′(x )＝x 2－ax ＝x (x －a ). ①当a ＝0时，f ′(x )＝x 2≥0恒成立， ∴f (x )在R 上单调递增.②当a >0时，当x ∈(－∞，0)时，f ′(x )>0；当x ∈(0，a )时，f ′(x )<0；当x ∈(a ，＋∞)时，f ′(x )>0， ∴f (x )的增区间为(－∞，0)，(a ，＋∞)，减区间为(0，a ).③当a <0时，当x ∈(－∞，a )时，f ′(x )>0；当x ∈(a,0)时，f ′(x )<0；当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )>0， ∴f (x )的增区间为(－∞，a )，(0，＋∞)，减区间为(a,0). (2)∵g (x )＝13x 3－a 2x 2＋2x ，∴g ′(x )＝x 2－ax ＋2，依题意，存在x ∈(－2，－1)， 使不等式g ′(x )＝x 2－ax ＋2<0成立，即当x ∈(－2，－1)时，a <(x ＋2x)max ＝－22即可.所以满足要求的a 的取值范围是(－∞，－22).。
高中数学人教A版选修1-1课件3-3-1函数的单调性与导数1
(2)导数与函数图象的关系
函数值增加得越来越快 函数值增加得越来越慢 f′x＞0且越来越大 f′x＞0且越来越小
函数值减少得越来越快 函数值减少得越来越慢
f′x＜0且越来越小 f′x＜0且越来越大
绝对值越来越大
绝对值越来越小
变式训练
已知函数 y＝xf′(x)的图象如图 3－3－2 所示(其中 f′(x) 是函数 f(x)的导函数，下列四个图象中，y＝f(x)的图象大致是
【解析】 由 y＝4x2＋1x，得 y′＝8x－x12.
令 8x－x12＞0，得 x＞12.
【答案】 C
3．函数 y＝2－3x2 在区间(－1,1)上的增减性为( )
A．增函数
B．减函数
C．先增后减
D．先减后增
【解析】 y′＝－6x，故当 x∈(－1,0)时，y′＞0；当 x ∈(0,1)时，y′＜0，所以原函数在区间(－1,1)上先增后减．
教学重难点
重点：利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多 项式函数的单调区间．
难点：利用导数信息绘制函数的大致图象． 采用多媒体课件等辅助手段以加大课堂容量，通过数形结 合，图、表并用，使抽象的知识直观化，形象化，以促进学生 的理解，以达到突破重点、难点的目的．
为使学生积极参与课堂学习，宜采取以下学习方法： 1．合作学习：引导学生分组讨论，合作交流，共同探讨问 题； 2．自主学习：引导学生通过亲身经历，动口、动脑、动手 参与数学活动； 3．探究学习：引导学生发挥主观能动性，主动探索新知．
(2)此函数的定义域为 R. y′＝3x2－4x＋1， 令 3x2－4x＋1＞0，解得 x＞1 或 x＜13. 因此 y＝x3－2x2＋x 的单调递增区间为(1，＋∞)，(－∞，13)． 再令 3x2－4x＋1＜0，解得13＜x＜1. 因此 y＝x3－2x2＋x 的单调递减区间为(13，1)．
2018_2019高中数学第3章导数及其应用3.3.1单调性课件苏教版选修1_1
跟踪训练 1
ex 求函数 f(x)＝ 的单调区间. x－2
解 函数f(x)的定义域为(－∞，2)∪(2，＋∞).
exx－2－ex exx－3 f′(x)＝ ＝ 2 2. x－2 x－2
因为x∈(－∞，2)∪(2，＋∞)，所以ex>0，(x－2)2>0.
由f′(x)>0，得x>3，所以函数f(x)的单调递增区间为(3，＋∞)；
1
2
3
4
5
解答
规律与方法
1.导数的符号反映了函数在某个区间上的单调性，导数绝对值的大小反映
了函数在某个区间或某点附近变化的快慢程度.
2.利用导数求函数f(x)的单调区间的一般步骤
(1)确定函数f(x)的定义域；
(2)求导数f′(x)；
(3)在函数f(x)的定义域内解不等式f′(x)>0和f′(x)<0；
Байду номын сангаас
1
2
3
4
5
解析
答案
3.函数f(x)＝ln
1 0 ， a x－ax(a>0)的单调递增区间为________.
解析 f(x)的定义域为{x|x>0}，
1 1 由 f′(x)＝x －a>0，得 0<x<a.
1
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解析
答案
4. 若 函 数 y ＝ x3 － ax2 ＋ 4 在 (0,2) 上 单 调 递 减 ， 则 实 数 a 的 取 值 范 围 为 [3，＋∞) __________. 解析 y′＝3x2－2ax＝x(3x－2a)， 由题意知x∈(0,2)，y′≤0，
由f′(x)<0，得x<3.
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【成才之路】2018-2019学年高中数学 第3章 1第1课时 导数与函数的单调性
课时作业 北师大版选修2-2
一、选择题
1．函数y ＝x ln x ＋m 的单调递增区间是( )
A ．(1e
，＋∞) B ．(0，e) C ．(0，1e
) D ．(1e ，e) [答案] A
[解析] 定义域为{x |x >0}，
由y ′＝ln x ＋1>0，得x >1e
. 2．函数f (x )＝2x －sin x 在(－∞，＋∞)上( )
A ．是增函数
B ．是减函数
C ．在(0，＋∞)上增，在(－∞，0)上增
D ．在(0，＋∞)上减，在(－∞，0)上增
[答案] A
[解析] f ′(x )＝2－cos x >0在(－∞，＋∞)上恒成立．
3．函数f (x )＝(x －3)e x 的单调递增区间是( )
A ．(－∞，2)
B ．(0,3)
C ．(1,4)
D ．(2，＋∞)
[答案] D
[解析] f ′(x )＝(x －3)′e x ＋(x －3)(e x )′＝(x －2)e x ，当x 变化时，f ′(x )与f (x )的变化情况如下表：
由此得，函数f (x ) D.
4．函数f (x )＝(x ＋3)e －x 的单调递增区间是( )
A ．(－∞，－2)
B ．(0,3)
C ．(1,4)
D ．(2，＋∞)
[答案] A
[解析] ∵f (x )＝(x ＋3)e －x ，
∴f ′(x )＝e －x －(x ＋3)e －x ＝e －x (－x －2)，
由f ′(x )>0得x <－2，∴选A ．
5．(2014·新课标Ⅱ文，11)若函数f (x )＝kx －ln x 在区间(1，＋∞)单调递增，则k 的取值范围是( )
A ．(－∞，－2]
B ．(－∞，－1]
C ．[2，＋∞)
D ．[1，＋∞) [答案] D
[解析] 由条件知f ′(x )＝k －1x
≥0在(1，＋∞)上恒成立，∴k ≥1. 把函数的单调性转化为恒成立问题是解决问题的关键．
二、填空题
6．函数f (x )＝x 3－15x 2－33x ＋6的单调减区间为________．
[答案] (－1,11)
[解析] f ′(x )＝3x 2－30x －33＝3(x －11)(x ＋1)，令(x －11)(x ＋1)<0，解得－1<x <11.所以单调减区间为(－1,11)．
7．函数f (x )＝x 3－mx 2＋m －2的单调递减区间为(0,3)，则m ＝____________.
[答案] 92
[解析] 令f ′(x )＝3x 2－2mx ＝0，解得x ＝0或x ＝23m ，所以23m ＝3，m ＝92
. 8．(2014·扬州检测)若函数f (x )＝x 3＋x 2＋mx ＋1是R 上的单调函数，则m 的取值范围是________．
[答案] [13
，＋∞) [解析] 因为f (x )＝x 3＋x 2＋mx ＋1是R 上的单调函数，f ′(x )＝3x 2＋2x ＋m ，由题意可知f (x )在R 上只
能递增，所以Δ＝4－12m ≤0，所以m ≥13
. 三、解答题
9．求函数y ＝2x 3－3x 的单调区间．
[解析] 由题意得y ′＝6x 2－3.令y ′＝6x 2－3>0，解得x <－
22或x >22. 当x ∈(－∞，－
22)时，函数为增函数；当x ∈(22，＋∞)时，函数也为增函数． 令y ′＝6x 2－3<0，解得－22<x <22，当x ∈(－22，22
)时，函数为减函数． 故函数的递增区间为(－∞，－
22)和(22，＋∞)，递减区间为(－22，22)． 10.
若函数f (x )＝13x 3－12
ax 2＋(a －1)x ＋1在区间(1,4)内单调递减，在(6，＋∞)上单调递增，试求a 的范围． [解析] 解法一：(区间法)
f ′(x )＝x 2－ax ＋a －1，令f ′(x )＝0，所以x ＝1或x ＝a －1.
当a －1≤1，即a ≤2时，函数f (x )在(1，＋∞)内单调递增，不合题意．。