4点共面的判定方法
第二课时共线向量与共面向量
问题探究
1．空间一点 O 和不共线的三点 A、B、C，若 P 在 △ ABC 表示的平面内且O→P＝xO→A＋yO→B＋zO→C，那 么 x，y，z 满足什么关系？
提示：x＋y＋z＝1.因为O→P＝O→A＋mA→B＋nA→C＝O→A ＋m(O→B－O→A)＋n(O→C－O→A) ＝(1－m－n)O→A＋mO→B＋nO→C. ∴x＋y＋z＝(1－m－n)＋m＋n＝1.
第二课时 共线向量与共面向量
课前自主学习
课标研读 1．了解共线向量、共面向量的概念；掌握共 线向量定理和共面向量定理；会利用共线向 量定理和共面向量定理解决相关问题． 2．重点是共线向量定理、共面向量定理，难 点是共线向量、共面向量的判定．
温故夯基
1．平面向量a与b共线，即存在非零实数λ，使 得___a_＝__λ_b_(b_≠_0_)___． 2．空间向量的加减法仍可根据__三__角__形__法则 和_平__行__四__边__形__法则进行． 3．空间向量的加法交换律为_a_＋__b_＝__b_＋__a_，加 法结合律为_(_a_＋__b_)＋__c_＝__a_＋__(_b_＋__c_)_，数乘分配 律为__λ_(a_＋__b_)_＝__λ_a_＋__λ_b__.
例2 正方体 ABCD A1B1C1D1 中，E、F 分别为 BB1 和 A1D1 的中点．证明：向量A→1B、B→1C、E→F是 共面向量．
【思路点拨】 解答本题可利用向量共面的充要 条件证明，也可利用向量共面的定义证明．
【证明】 法一：如图①所示． E→F＝E→B＋B→A1＋A→1F＝12B→1B－A→1B＋12A→1D1 ＝12(B→1B＋B→C)－A→1B＝12B→1C－A→1B.
例1 如果点O为平行六面体ABCD—A1B1C1D1 中AC1的中点，求证：B1、O、D三点共线． 【思路点拨】 寻求O→B1与O→D的等式关系． 【证明】 如图所示，连结OB1、OD.
平面向量的共线和共面关系
平面向量的共线和共面关系平面向量是数学中的一个重要概念，它们在几何学、物理学等领域中有着广泛的应用。
在研究平面向量时，我们经常会涉及到共线和共面的关系。
本文将介绍平面向量的共线和共面关系，并探讨它们的性质和应用。
一、共线关系在平面几何中，如果有两个向量的方向相同或相反，且它们的长度也成等比例关系，那么这两个向量就是共线的。
1.1 共线向量的定义设有两个向量→，→，如果存在实数，使得→=→ （≠0），那么→与→是共线的。
此时，我们可以称→是与→共线的，也可以称→是与→共线的。
1.2 共线向量的性质共线向量具有以下性质：（1）共线向量的方向相同或相反；（2）共线向量的长度成等比例关系；（3）共线向量的终点在一条直线上。
1.3 共线向量的判定判断两个向量是否共线，可以通过以下方法：（1）比较两个向量的方向是否相同或相反；（2）比较两个向量的长度是否成等比例关系；（3）验证两个向量的终点是否在同一条直线上。
二、共面关系在三维空间中，如果有三个向量的起点都相同，或者起点都在同一平面上，并且这三个向量所在的平面没有其他向量，那么这三个向量就是共面的。
2.1 共面向量的定义设有三个向量→，→，→，如果存在实数，，，使得→=→+→ （≠0，≠0），那么我们可以称→，→，→为共面向量。
此时，我们可以称→是由→与→共面确定的向量，也可以称→与→共面确定的向量是→。
2.2 共面向量的性质共面向量具有以下性质：（1）共面向量所在的平面上，任意两个向量也是共线的；（2）共面向量的线性组合仍然在同一平面上；（3）共面向量的终点在同一个平面上。
2.3 共面向量的判定判断三个向量是否共面，可以通过以下方法：（1）比较三个向量的起点是否相同或在同一平面上；（2）验证三个向量是否可以表示为一个向量的线性组合；（3）验证三个向量的终点是否在同一平面上。
三、共线和共面关系的应用共线和共面关系在几何学和物理学中有着广泛的应用。
高中数学同步教学课件 共面向量定理
证明：如图，连接 EG，BG. (1)因为―EG→＝―E→B ＋―B→G ＝―E→B ＋12(―B→C ＋―B→D ) ＝―E→B ＋―B→F ＋―E→H ＝―E→F ＋―E→H ， 由向量共面的充要条件知 E，F，G，H 四点共面． (2)因为―EH→＝―A→H －―A→E ＝12―A→D －12―A→B ＝12―B→D ，所以 EH∥BD. 又 EH⊂平面 EFGH，BD⊄平面 EFGH，所以 BD∥平面 EFGH.
〉 通性通法
证明共面问题的基本方法 (1)证明两个空间向量共面时，可以利用共面向量的充要条件，也可直接利用共 面向量的定义，通过线面平行、直线在平面内等进行证明；
〉 通性通法 (2)证明空间四点 P，M，A，B 共面时，可以通过以下几种条件进行证明； ①―M→P ＝x―M→A ＋y―M→B ； ②对于空间任意一点 O，―O→P ＝―OM→＋x―M→A ＋y―M→B ； ③对于空间任意一点 O，―O→P ＝x―OM→＋y―O→A ＋z―O→B (x＋y＋z＝1)； ④―PM→∥―A→B (或―P→ A ∥―M→B 或―P→B ∥―AM→)．
随堂检测
1．下列命题中正确的是( ) A．若 a 与 b 共线，b 与 c 共线，则 a 与 c 共线 B．向量 a，b，c 共面，即它们所在的直线共面 C．若两个非零空间向量―A→B 与―C→D 满足―A→B ＋―C→D ＝0，则―A→B ∥―C→D D．若 a∥b，则存在唯一的实数 λ，使 a＝λb
解析： A 中，若 b＝0，则 a 与 c 不一定共线； B 中，共面向量的定义是平行于同一平面的向量，表示这些向量的有向线段所在的 直线不一定共面； C 中，∵―A→B ＋―C→D ＝0，∴―A→B ＝－―C→D ，∴―A→B 与―C→D 共线，故―A→B ∥―C→D 正确； D 中，若 b＝0，a≠0，则不存在 λ，使 a＝λb. 答案：C
空间向量的共面与垂直判定
空间向量的共面与垂直判定在三维空间中，向量与平面的关系非常重要。
判断向量是否在同一平面上或者垂直于某个平面对于解决几何问题和物理问题都具有重要意义。
本文将介绍空间向量的共面与垂直判定方法。
一、共面判定1. 向量叉乘法向量叉乘法是判断向量是否共面的基本方法之一。
假设有三个向量A、B和C，我们可以使用向量叉乘法来判断它们是否在同一平面上。
具体的步骤如下：1) 对向量A和B进行叉乘，得到一个新的向量D。
2) 计算D与向量C的点积，如果结果为零，表示向量A、B和C共面；如果结果不为零，则表示向量A、B和C不共面。
2. 线性方程组法除了向量叉乘法外，还可以利用线性方程组来判断向量是否共面。
假设有三个向量A、B和C，我们可以将它们表示为以下形式：A = (a1, a2, a3)B = (b1, b2, b3)C = (c1, c2, c3)然后可以得到以下线性方程组：| a1 a2 a3 || b1 b2 b3 | = 0| c1 c2 c3 |解这个线性方程组，如果方程组有非零解，表示向量A、B和C共面；如果方程组只有零解，表示向量A、B和C不共面。
二、垂直判定如果我们想判断一个向量是否垂直于某个平面，可以使用以下方法。
1. 点积法假设有一个向量A和一个平面，平面可以由平面上的一点P和法向量n来表示。
我们可以使用点积法来判断向量A是否垂直于该平面。
具体的步骤如下：1) 计算向量A与平面的法向量n的点积，如果结果为零，表示向量A垂直于该平面；如果结果不为零，则表示向量A不垂直于该平面。
2. 投影法另一种判断向量是否垂直于平面的方法是使用投影。
假设有一个向量A和一个平面，平面可以由平面上的一点P和法向量n来表示。
我们可以使用向量的投影来判断向量A是否垂直于该平面。
具体的步骤如下：1) 将向量A投影到平面上得到向量B。
2) 计算向量A与向量B的点积，如果结果为零，表示向量A垂直于该平面；如果结果不为零，则表示向量A不垂直于该平面。
青岛市青大附中必修第二册第三单元《立体几何初步》测试题(包含答案解析)
平面 ， 平面 ， 平面 ，同理可证 平面 ，
， 平面 平面 ， 平面 ， 平面 .
D选项正确.
故选：D.
【点睛】
本题考查空间中直线与直线、直线与平面位置关系的判断，考查推理能力，属于中等题.
9．A
解析：A
【分析】
画出所截得的封闭图形，根据正方体的性质可求.
【详解】
如图所示，经过点 的平面截正方体所得的封闭图形为四边形 .
【详解】
如图，取 的中点 ， 的中点 ， 的中点 ，连接 ， ， ， ，
则 ， ，从而四边形 是平行四边形，则 ，
且 .
因为 是 的中点， 是 的中点，
所以 为 的中位线，所以 ，则 是异面直线 与 所成的角.由题意可得 ， .
在 中，由余弦定理可得 ，
则 ，即 .
在 中，由余弦定理可得 .
故选：D
A．25︰1B．1︰25C．1︰5D．5︰1
4．已知 ， 是不重合的直线， ， 是不重合的平面，则下列说法中正确的是（）
A．若 ， ，则
B．若 ， ，则
C．若 ， ，则 且
D．若 ， ，则
5．设l是直线，α，β是两个不同的平面，则正确的结论是（）
A．若l∥α，l∥β，则α∥βB．若l∥α，l⊥β，则α⊥β
故选：B.
【点睛】
本题主要考查球的内接体与球的关系、球的半径和球的表面积的求解，考查运算求解能力，属于基础题型.
8．D
解析：D
【分析】
取 为 的中点可判断A、B、C选项的正误；证明平面 平面 ，可判断D选项的正误.
【详解】
如下图所示：
对于A选项，当点 为 的中点时， 平面 ，则直线 与 相交，A选项错误；
判断有机物共面的方法
判断有机物共面的方法
1.通过分子结构判断：如果有机分子中有多个键的平面处于同一平面上，那么它们就是共面的。
这种方法适用于简单的有机分子，但对于复杂的有机分子则不够准确。
2. 通过光谱分析判断：紫外光谱和红外光谱能够提供有机分子中键的振动信息，如果两个键的振动在同一平面上，则可以判断它们是共面的。
3. 通过NMR谱图判断：核磁共振谱图（NMR）提供有机分子中氢和碳的位置信息，从而可以确定分子的三维结构。
如果分子中的两个键处于同一平面上，则它们的化学位移将非常相似。
总之，判断有机物共面的方法需要综合使用多种技术手段，才能得到准确的结果。
- 1 -。
高中数学 3.1.1+2 空间向量及其线性运算 共面向量定理
课 堂 互 动 探 究
过例题，体现向量法证明线线平行、线面平行的方法与步骤，
教 师
备
从而突破教学难点．
课 资
源
菜单
SJ ·数学 选修2-1
教
学
易
教错ຫໍສະໝຸດ 法易分误
析
●教学建议
辨 析
教 学
本节内容是第三章《空间向量与立体几何》的第一节， 当
方
堂
案 设
由于是起始节，所以这节课中也包含了章引言的内容．章引
双 基
课 时 作 业
教 师 备 课 资 源
SJ ·数学 选修2-1
教
学
易
教
错
法
易
分
误
析
辨
1.了解空间向量与平面向量的联系与区别，
析
教 学 方
理解空间向量的线性运算及其性质，理解
共线向量定理．(重点)
当 堂
案 设 计
课
课标 解读
2．体会共面向量定理的推导过程，掌握 共面向量定理，会用共面向量定理判定向 量共面，会用共面向量定理，证明线面平
课 时 作 业
教 师 备 课 资 源
教 学 教 法 分 析
教 学 方 案 设 计
课 前 自 主 导 学
课 堂 互 动 探 究
菜单
SJ ·数学 选修2-1
易 错 易 误 辨 析
当 堂 双 基 达 标
课 时 作 业
教 师 备 课 资 源
教 学 教 法 分 析
教 学 方 案 设 计
课 前 自 主 导 学
计
达
课 言中提到了本章的主要内容和研究方法，即类比平面向量来 标
前
自 研究空间向量的概念和运算．向量是既有大小又有方向的量， 课
直线与平面、平面与平面平行的判定(附答案)
直线与平面、平面与平面平行的判定[学习目标]1。
理解直线与平面平行、平面与平面平行判定定理的含义.2.会用图形语言、文字语言、符号语言准确描述直线与平面平行、平面与平面平行的判定定理，并知道其地位和作用。
3.能运用直线与平面平行的判定定理、平面与平面平行的判定定理证明一些空间线面关系的简单问题。
知识点一直线与平面平行的判定定理语言叙述符号表示图形表示平面外一条直线与此平面内的一条直线平错误!⇒a∥α行，则该直线与此平面平行思考若一条直线平行于一个平面内的一条直线，则这条直线和这个平面平行吗？答根据直线与平面平行的判定定理可知该结论错误.知识点二平面与平面平行的判定定理语言叙述符号表示图形表示一个平面内的两条相交直线与另一个平错误!⇒α∥β面平行，则这两个平面平行思考如果一条直线与两个平行平面中的一个平行，那么这条直线与另一个平面也平行吗？答不一定.这条直线与另一个平面平行或在另一个平面内。
题型一直线与平面平行的判定定理的应用例1如图，空间四边形ABCD中,E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点。
求证：(1)EH∥平面BCD;（2)BD∥平面EFGH。
证明（1）∵EH为△ABD的中位线，∴EH∥BD。
∵EH⊄平面BCD,BD⊂平面BCD，∴EH∥平面BCD.(2）∵BD∥EH,BD⊄平面EFGH，EH⊂平面EFGH,∴BD∥平面EFGH.跟踪训练1在四面体A－BCD中，M，N分别是△ABD和△BCD的重心，求证:MN∥平面ADC。
证明如图所示，连接BM,BN并延长，分别交AD，DC于P，Q两点,连接PQ。
因为M，N分别是△ABD和△BCD的重心，所以BM∶MP＝BN∶NQ＝2∶1。
所以MN∥PQ.又因为MN⊄平面ADC，PQ⊂平面ADC，所以MN∥平面ADC。
题型二面面平行判定定理的应用例2如图所示,在三棱柱ABC－A1B1C1中，点D,E分别是BC与B1C1的中点.求证：平面A1EB∥平面ADC1。
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4点共面的判定方法
一、概念
4点共面，又称为4边共面，是一种特殊的多边形，由4个角组
成，并且共线或共面。
二、判定方法
1、矩阵法：首先计算4点的坐标，然后建立一个4阶的矩阵，
把4点坐标按照一定的顺序放进矩阵中，最后进行矩阵的计算，如果
矩阵的行列式为0，则该4点共面；
2、数学法：4点共面的条件是这4个点的向量夹角之和必须为
180°，因此只需将4点的向量都计算出来，将它们向量夹角之和进
行累加，如果累加结果为180°，则说明这4点共面。