高中数学选修4—5 不等式选讲绝对值不等式
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2-1 已知x,y∈R,且|x+y|≤ ,|x-y|≤ ,求证:|x+5y|≤1.
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证明 因为|x+5y|=|3(x+y)-2(x-y)|,
所以|x+5y|=|3(x+y)-2(x-y)|≤|3(x+y)|+|2(x-y)|=3|x+y|+2|x-y|≤3× +2× =1, 即|x+5y|≤1.
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=1时取等号). (2)f(x)+f(2x)=|x-a|+|2x-a|,a<0. 当x≤a时, f(x)+f(2x)=a-x+a-2x=2a-3x,则f(x)+f(2x)≥-a;
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当a<x< 时, f(x)+f(2x)=x-a+a-2x=-x,则- <f(x)+f(2x)<-a;
当2<x<5时,-3<2x-7<3, 所以-3≤f(x)≤3. (2)由(1)可知, 当x≤2时, f(x)≥x2-8x+15的解集为空集; 当2<x<5时, f(x)≥x2-8x+15的解集为{x|5- 3 ≤x<5};
当x≥5时, f(x)≥x2-8x+15的解集为{x|5≤x≤6}.
综上,不等式f(x)≥x2-8x+15的解集为{x|5- 3 ≤x≤6}.
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当x≥ 时,由f(x)<2得2x<2,解得x<1,∴ ≤x<1.
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所以f(x)<2的解集M={x|-1<x<1}.
(2)证明:由(1)知,当a,b∈M时,-1<a<1,-1<b<1,从而(a+b)2-(1+ab)2=a2+b2-a2 b2-1=(a2-1)(1-b2)<0, 因此|a+b|<|1+ab|.
因为f(x)在[2 016,+∞)上单调递增,所以f(x)在[2 016,+∞)上的值域为 [2 016,+∞), f(x)在(-∞,2 016)上的值域为{2 016},所以f(x)的值域为 [2 016,+∞). (2)由g(x)=|x+1|,不等式g(x)-2>x-f(x)恒成立,知|x+1|+|x-a|>2恒成立,
值符号的普通不等式;
(3)利用绝对值的几何意义,数形结合求解.
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1-1 (2016课标全国Ⅰ,24,10分)已知函数f(x)=|x+1|-|2x-3|. (1)画出y=f(x)的图象; (2)求不等式|f(x)|>1的解集.
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解析
x 4, x 1, 3 3 x 2, 1 x , (1)f(x)= 2 3 x 4, x , 2
2 2
1 a 1 b
=
| a b || a b |
,
所以
|ab|
2 2
1 a 1 b
<1.
因为a≠b,所以|a-b|>0.
所以|f(a)-f(b)|<|a-b|.
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方法技巧 含绝对值不等式的证明题主要分两类:一类是比较简单的不等式,往往 可通过平方法、换元法去掉绝对值符号转化为常见的不等式证明题,或 利用绝对值三角不等式定理;另一类是综合性较强的函数型含绝对值的 不等式,往往可利用一般情况成立则特殊情况也成立的思想,或利用一 元二次方程根的分布等方法来证明.
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1-2 已知函数f(x)=|x-2|-|x-5|. (1)证明:-3≤f(x)≤3; (2)求不等式f(x)≥x2-8x+15的解集. 解析
3, x 2, (1)证明:f(x)=|x-2|-|x-5|= 2 x 7, 2 x 5, 3, x 5.
当x≤2时,由f(x)≥3得-2x+5≥3,解得x≤1; 当2<x<3时, f(x)≥3无解;
当x≥3时,由f(x)≥3得2x-5≥3,解得x≥4.
所以f(x)≥3的解集为{x|x≤1或x≥4}. (2)f(x)≤|x-4|⇔|x-4|-|x-2|≥|x+a|.
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当x∈[1,2]时,|x-4|-|x-2|≥|x+a|⇔4-x-(2-x)≥|x+a|⇔-2-a≤x≤2-a. 由条件得-2-a≤1且2-a≥2,即-3≤a≤0. 故满足条件的a的取值范围为[-3,0]. 方法技巧 解绝对值不等式的基本方法: (1)利用绝对值的定义,通过分类讨论转化为解不含绝对值符号的普通 不等式; (2)当不等式两端均非负时,可通过两边平方的方法,转化为解不含绝对
∴a+b=8,故选C.
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3.不等式|x-1|+|x+2|<5的解集为 答案 {x|-3<x<2}
x 2, 解析 原不等式等价于 ( x 1) ( x 2) 5 2 x 1, 或 ( x 1) ( x 2) 5
.
或 即
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绝对值不等式
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1.(2015山东,5,5分)不等式|x-1|-|x-5|<2的解集是 ( A.(-∞,4) B.(-∞,1) C.(1,4) D.(1,5)
)
答案 A ①当x<1时,原不等式等价于1-x-(5-x)<2,即-4<2,其恒成立,∴x
<1.
②当1≤x≤5时,原不等式等价于x-1-(5-x)<2,即x<4, ∴1≤x<4. ③当x>5时,原不等式等价于x-1-(x-5)<2,即4<2,无解. 综合①②③知原不等式的解为(-∞,4).
常用的思想方法.
(2)f(x)<a恒成立⇔f(x)max<a. f(x)>a恒成立⇔f(x)min>a.
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3-1 (2016河北保定模拟)设函数f(x)=|x-1|+|x-a|(a∈R). (1)当a=4时,求不等式f(x)≥5的解集; (2)若f(x)≥4对x∈R恒成立,求a的取值范围. 解析 (1)当a=4时,不等式即为|x-1|+|x-4|≥5,等价于
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4.不等式x+|2x+3|≥2的解集为 答案 (-∞,-5]∪ ,
3 3 x , x , 解析 原不等式可化为 2 或 2 x 3 2 3x 3 2. 1 解得x≤-5或x≥- . 3 1 所以原不等式的解集是 x | x 5或x . 3
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x + x ,M为不等式 2-2 (2016课标全国Ⅱ,24,10分)已知函数f(x)=
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f(x)<2的解集.
(1)求M; (2)证明:当a,b∈M时,|a+b|<|1+ab|.
1 2 x , x , 2 1 1 解析 (1)f(x)= 1, x , 2 2 1 2 x , x . 2 1 时,由f(x)<2得-2x<2,解得x>-1,∴-1<x≤- 1; 当x≤- 2 2 1 <x < 1 时, f(x)<2恒成立; 当- 2 2
y=f(x)的图象如图所示.
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(2)由f(x)的表达式及图象,当f(x)=1时,可得x=1或x=3; 当f(x)=-1时,可得x= 或x=5,
x | x 或 x 5 故f(x)>1的解集为{x|1<x<3};f(x)<-1的解集为 . 1 x | x 或 1 x 3 或 x 5 所以|f(x)|>1的解集为 . 3 1 3
1 1 a 则f(x)+f =| x a |+ x x 1 1 1 1 1 a ≥ ( x a ) a = x =|x|+ ≥2 | x | =|x-a|+ =2(当且仅当|x| |x| |x| x x x 1 x
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考点三 绝对值不等式的综合问题 典例3 已知函数f(x)=x+|x-a|. (1)当a=2 016时,求函数f(x)的值域; (2)若g(x)=|x+1|,求不等式g(x)-2>x-f(x)恒成立时a的取值范围. 解析 (1)当a=2 016时, f(x)=
2 x 2 016, x 2 016, 2 016, x 2 016,
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考点二 绝对值不等式的证明
1 x 2 ,a≠b,求证:|f(a)-f(b)|<|a-b|. 典例2 已知f(x)= 1 a 2 - 1 b2 | 证明 因为|f(a)-f(b)|=| = | a 2 Nhomakorabea b2 |
2 2
1 a 1 b 又|a+b|≤|a|+|b|= a 2 + b 2 < 1 a 2 + 1 b2 ,
1 x 4, 或 x 4, 3 5 2 x 5 5,
x 1, 或 2 x 5 5
解得x≤0或x≥5,故不等式f(x)≥5的解集为{x|x≤0或x≥5}. (2)因为f(x)=|x-1|+|x-a|≥|(x-1)-(x-a)|=|a-1|,
x 1, x 1 x 2 5,
x 2, 2 x 1, x 1, 或 或 x 3 3 5 x 2,
亦即-3<x<-2或-2≤x≤1或1<x<2.
选修4-5 第一节 绝对值不等式
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[基本能力]
一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)
(1)不等式|x|＜a 的解集为{x|－a＜x＜a}．
()
(2)|x－a|＋|x－b|的几何意义是表示数轴上的点 x 到点 a，b 的
距离之和．
()
(3)不等式|2x－3|≤5 的解集为{x|－1≤x≤4}．
()
答案：(1)× (2)√ (3)√
或x2＞x＋1，1－2x－1＞0.
解得 x＞14，所以原不等式的解集为x|x＞14.
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(2)|x＋3|－|2x－1|＜x2＋1. [解] ①当 x＜－3 时， 原不等式化为－(x＋3)－(1－2x)＜x2＋1， 解得 x＜10，∴x＜－3. ②当－3≤x≤12时，原不等式化为(x＋3)－(1－2x)＜x2＋1， 解得 x＜－25，∴－3≤x＜－25. ③当 x＞12时，原不等式化为(x＋3)－(2x－1)＜x2＋1， 解得 x＞2，∴x＞2. 综上可知，原不等式的解集为x|x＜－25或x＞2.
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2．(2018·全国卷Ⅰ)已知 f(x)＝|x＋1|－|ax－1|. (1)当 a＝1 时，求不等式 f(x)＞1 的解集； 解：当 a＝1 时，f(x)＝|x＋1|－|x－1|， 即 f(x)＝－ 2x，2，－x≤1＜－x＜1，1， 2，x≥1. 故不等式 f(x)＞1 的解集为xx＞12 .
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(2)若存在实数 x，y，使 f(x)＋g(y)≤0，求实数 a 的取值范围． 解：∵g(x)＝(x－1)2＋x－4 12－5≥ 2 x－12·x－4 12－5＝－1，显然可取等号， ∴g(x)min＝－1. 于是，若存在实数 x，y，使 f(x)＋g(y)≤0，只需 f(x)min≤1. 又 f(x)＝|x＋1－2a|＋|x－a2|≥|(x＋1－2a)－(x－a2)|＝(a－1)2， ∴(a－1)2≤1，∴－1≤a－1≤1，∴0≤a≤2， 即实数 a 的取值范围为[0,2]．
选修4-5不等式选讲近十年高考真题(带解析)
选修4-5不等式选讲近十年高考真题（带解析）一、解答题1．2021年全国高考乙卷数学（文）试题已知函数()3f x x a x =-++．（1）当1a =时，求不等式()6f x ≥的解集;（2）若()f x a >-，求a 的取值范围．2．2021年全国高考甲卷数学（理）试题已知函数()2,()2321f x x g x x x =-=+--．（1）画出()y f x =和()y g x =的图像；（2）若()()f x a g x +≥，求a 的取值范围．3，2020年全国统一高考数学试卷（新课标Ⅰ）已知函数()|31|2|1|f x x x =+--．（1）画出()y f x =的图像；（2）求不等式()(1)f x f x >+的解集．4．2020年全国统一高考数学试卷（新课标Ⅱ） 已知函数2()|21|f x x a x a =-+-+.（1）当2a =时，求不等式()4f x ≥的解集；（2）若()4f x ≥，求a 的取值范围.5．2019年全国统一高考数学试卷（新课标Ⅰ）已知a ，b ，c 为正数，且满足abc =1．证明：（1）222111a b c a b c++≤++； （2）333()()()24a b b c c a +++≥++．6．2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅱ）已知()|||2|().f x x a x x x a =-+--（1）当1a =时，求不等式()0f x <的解集；（2）若(,1)x ∈-∞时，()0f x <，求a 的取值范围.7．2018年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标I 卷）已知()11f x x ax =+--.（1）当1a =时，求不等式()1f x >的解集；（2）若()0,1x ∈时不等式()f x x >成立，求a 的取值范围.8．2018年全国普通高等学校招生统一考试理数（全国卷II ） 设函数()52f x x a x =-+--.（1）当1a =时，求不等式()0f x ≥的解集；（2）若()1f x ≤恒成立，求a 的取值范围.9．2017年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标1卷）已知函数2()4f x x ax =-++，()|1||1|g x x x =++-．（1）当1a =时，求不等式()()f x g x ≥的解集；（2）若不等式()()f x g x ≥的解集包含[–1，1]，求a 的取值范围．10．2017年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标2卷）已知0a >，0b >，332a b +=，证明：(1)()()554a b a b ++≥；(2)2a b +≤.11．2016年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标1卷） 已知函数. （Ⅰ）画出的图象； （Ⅱ）求不等式的解集．12．2016年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标2卷） 已知函数11()22f x x x =-++，M 为不等式()2f x <的解集. （Ⅰ）求M ；（Ⅱ）证明：当a ，b M ∈时，1a b ab +<+.13．2015年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标Ⅰ）已知函数()|1|2||,0f x x x a a =+-->.（1）当1a =时，求不等式()1f x >的解集；（2）若()f x 的图象与x 轴围成的三角形面积大于6，求a 的取值范围.14．2015年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标Ⅱ）设a b c d ,,,均为正数，且a b c d +=+，证明：（Ⅰ）若ab cd >，则a b c d +>+；（Ⅱ）a b c d +>+是a b c d -<-的充要条件．15．2014年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标Ⅰ）若且（I ）求的最小值；（II ）是否存在，使得？并说明理由.16．2014年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（全国Ⅱ卷） 设函数1()|(0)f x x x a a a=++- （1）证明：()2f x ≥；（2）若(3)5f <，求a 的取值范围．17．2013年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标1） 已知函数()212f x x x a =-++，()3g x x =+，（Ⅰ）当2a =-时，解不等式：()()f x g x <；（Ⅱ）若1a >-，且当1,22a x ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭时，()()f x g x ≤，求a 的取值范围． 18．2013年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标2卷）设a ，b ，c 均为正数，且a+b+c=1，证明：（Ⅰ）ab+bc+ac ≤13；（Ⅱ）2221a b c b c a++≥. 19．2012年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（课标卷）已知函数()f x =2x a x ++-.(Ⅰ)当3a =-时，求不等式()f x ≥3的解集；(Ⅱ) 若()f x ≤4x -的解集包含[1,2]，求a 的取值范围.（命题意图）本题主要考查含绝对值不等式的解法，是简单题.20．2012年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（大纲卷）已知抛物线C ：2(1)y x =+与圆2221:(1)()(0)2M x y r r -+-=>有一个公共点A ，且在A 处两曲线的切线与同一直线l（I ） 求r ；（II ） 设m 、n 是异于l 且与C 及M 都相切的两条直线，m 、n 的交点为D ，求D 到l 的距离．参考答案1．（1）(][),42,-∞-+∞.（2）3,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭. 【分析】（1）利用绝对值的几何意义求得不等式的解集.（2）利用绝对值不等式化简()f x a >-，由此求得a 的取值范围.【详解】（1）当1a =时，()13f x x x =-++，13x x -++表示数轴上的点到1和3-的距离之和，则()6f x ≥表示数轴上的点到1和3-的距离之和不小于6， 当4x =-或2x =时所对应的数轴上的点到13-，所对应的点距离之和等于6， ∴数轴上到13-，所对应的点距离之和等于大于等于6得到所对应的坐标的范围是4x ≤-或2x ≥，所以()6f x ≥的解集为(][),42,-∞-+∞.（2）依题意()f x a >-，即3a x a x -+>-+恒成立，333x a x x a a x -++-+=≥++，当且仅当()()30a x x -+≥时取等号，()3min f x a ∴=+,故3a a +>-，所以3a a +>-或3a a +<，解得32a >-. 所以a 的取值范围是3,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭. 【点睛】 解绝对值不等式的方法有零点分段法、几何意义法．解含有两个绝对值，且其中的x 的系数相等时，可以考虑利用数轴上绝对值的几何意义求解；利用绝对值三角不等式求最值也是常见的问题，注意表述取等号的条件.2．（1）图像见解析；（2）112 a≥【分析】（1）分段去绝对值即可画出图像；（2）根据函数图像数形结和可得需将()y f x=向左平移可满足同角，求得()y f x a=+过1,42A⎛⎫⎪⎝⎭时a的值可求.【详解】（1）可得2,2()22,2x xf x xx x-<⎧=-=⎨-≥⎩，画出图像如下：34,231()232142,2214,2xg x x x x xx⎧-<-⎪⎪⎪=+--=+-≤<⎨⎪⎪≥⎪⎩，画出函数图像如下：（2）()|2|f x a x a +=+-，如图，在同一个坐标系里画出()(),f x g x 图像，()y f x a =+是()y f x =平移了a 个单位得到， 则要使()()f x a g x +≥，需将()y f x =向左平移，即0a >，当()y f x a =+过1,42A ⎛⎫ ⎪⎝⎭时，1|2|42a +-=，解得112a =或52-（舍去）， 则数形结合可得需至少将()y f x =向左平移112个单位，112a ∴≥.【点睛】关键点睛：本题考查绝对值不等式的恒成立问题，解题的关键是根据函数图像数形结合求解. 3．（1）详解解析；（2）7,6⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭.【分析】（1）根据分段讨论法，即可写出函数()f x的解析式，作出图象；（2）作出函数()1f x+的图象，根据图象即可解出．【详解】（1）因为()3,1151,1313,3x xf x x xx x⎧⎪+≥⎪⎪=--<<⎨⎪⎪--≤-⎪⎩，作出图象，如图所示：（2）将函数()f x的图象向左平移1个单位，可得函数()1f x+的图象，如图所示：由()3511x x--=+-，解得76x=-．所以不等式()(1)f x f x>+的解集为7,6⎛⎫-∞-⎪⎝⎭．【点睛】本题主要考查画分段函数的图象，以及利用图象解不等式，意在考查学生的数形结合能力，属于基础题．4．（1）32x x ⎧≤⎨⎩或112x ⎫≥⎬⎭；（2）(][),13,-∞-+∞. 【分析】（1）分别在3x ≤、34x <<和4x ≥三种情况下解不等式求得结果；（2）利用绝对值三角不等式可得到()()21f x a ≥-，由此构造不等式求得结果.【详解】（1）当2a =时，()43f x x x =-+-.当3x ≤时，()43724f x x x x =-+-=-≥，解得：32x ≤； 当34x <<时，()4314f x x x =-+-=≥，无解；当4x ≥时，()43274f x x x x =-+-=-≥，解得：112x ≥； 综上所述：()4f x ≥的解集为32x x ⎧≤⎨⎩或112x ⎫≥⎬⎭. （2）()()()()22222121211f x x a x a x ax a a a a =-+-+≥---+=-+-=-（当且仅当221a x a -≤≤时取等号）， ()214a ∴-≥，解得：1a ≤-或3a ≥，a ∴的取值范围为(][),13,-∞-+∞. 【点睛】本题考查绝对值不等式的求解、利用绝对值三角不等式求解最值的问题，属于常考题型. 5．（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）利用1abc =将所证不等式可变为证明：222a b c bc ac ab ++≥++，利用基本不等式可证得()2222222a b c ab bc ac ++≥++，从而得到结论；（2）利用基本不等式可得()()()()()()3333a b b c c a a b b c c a +++++≥+++，再次利用基本不等式可将式转化为()()()333a b b c c a +++++≥.【详解】（1）1abc = 111111abc bc ac ab a b c a b c ⎛⎫∴++=++⋅=++ ⎪⎝⎭()()()()2222222222222a b c a b b c c a ab bc ac ++=+++++≥++当且仅当a b c ==时取等号 ()22211122a b c a b c ⎛⎫∴++≥++ ⎪⎝⎭，即：222111a b c a b c ++++≥ （2）()()()()()()3333a b b c c a a b b c c a +++++≥+++，当且仅当a b c ==时取等号又a b +≥b c +≥a c +≥a b c ==时等号同时成立）()()()3333a b b c c a ∴+++++≥⨯=又1abc = ()()()33324a b b c c a ∴+++++≥【点睛】 本题考查利用基本不等式进行不等式的证明问题，考查学生对于基本不等式的变形和应用能力，需要注意的是在利用基本不等式时需注意取等条件能否成立.6．（1）(,1)-∞；（2）[1,)+∞【分析】（1）根据1a =，将原不等式化为|1||2|(1)0x x x x -+--<，分别讨论1x <，12x ≤<，2x ≥三种情况，即可求出结果；（2）分别讨论1a ≥和1a <两种情况，即可得出结果.【详解】（1）当1a =时，原不等式可化为|1||2|(1)0x x x x -+--<；当1x <时，原不等式可化为(1)(2)(1)0x x x x -+--<，即2(1)0x ->，显然成立， 此时解集为(,1)-∞；当12x ≤<时，原不等式可化为(1)(2)(1)0x x x x -+--<，解得1x <，此时解集为空集；当2x ≥时，原不等式可化为(1)(2)(1)0x x x x -+--<，即2(10)x -<，显然不成立；此时解集为空集；综上，原不等式的解集为(,1)-∞；（2）当1a ≥时，因为(,1)x ∈-∞，所以由()0f x <可得()(2)()0a x x x x a -+--<， 即()(1)0x a x -->，显然恒成立；所以1a ≥满足题意；当1a <时，2(),1()2()(1),x a a x f x x a x x a-≤<⎧=⎨--<⎩，因为1a x ≤<时， ()0f x <显然不能成立，所以1a <不满足题意； 综上，a 的取值范围是[1,)+∞. 【点睛】本题主要考查含绝对值的不等式，熟记分类讨论的方法求解即可，属于常考题型. 7．（1）12x x ⎧⎫>⎨⎬⎩⎭；（2）(]0,2 【详解】分析：(1)将1a =代入函数解析式，求得()11f x x x =+--，利用零点分段将解析式化为()2,1,2,11,2, 1.x f x x x x -≤-⎧⎪=-<<⎨⎪≥⎩，然后利用分段函数，分情况讨论求得不等式()1f x >的解集为12x x ⎧⎫⎨⎬⎩⎭；(2)根据题中所给的()0,1x ∈，其中一个绝对值符号可以去掉，不等式()f x x >可以化为()0,1x ∈时11ax -<，分情况讨论即可求得结果.详解：（1）当1a =时，()11f x x x =+--，即()2,1,2,11,2, 1.x f x x x x -≤-⎧⎪=-<<⎨⎪≥⎩故不等式()1f x >的解集为12x x⎧⎫⎨⎬⎩⎭． （2）当()0,1x ∈时11x ax x +-->成立等价于当()0,1x ∈时11ax -<成立． 若0a ≤，则当()0,1x ∈时11ax -≥；若0a >，11ax -<的解集为20x a <<，所以21a≥，故02a <≤． 综上，a 的取值范围为(]0,2．点睛：该题考查的是有关绝对值不等式的解法，以及含参的绝对值的式子在某个区间上恒成立求参数的取值范围的问题，在解题的过程中，需要会用零点分段法将其化为分段函数，从而将不等式转化为多个不等式组来解决，关于第二问求参数的取值范围时，可以应用题中所给的自变量的范围，去掉一个绝对值符号，之后进行分类讨论，求得结果. 8．(1)[2,3]-；(2) ][(),62,-∞-⋃+∞. 【详解】分析：（1）先根据绝对值几何意义将不等式化为三个不等式组，分别求解，最后求并集，（2）先化简不等式为|||2|4x a x ++-≥，再根据绝对值三角不等式得|||2|x a x ++-最小值，最后解不等式|2|4a +≥得a 的取值范围． 详解：（1）当1a =时，()24,1,2,12,26, 2.x x f x x x x +≤-⎧⎪=-<≤⎨⎪-+>⎩可得()0f x ≥的解集为{|23}x x -≤≤． （2）()1f x ≤等价于24x a x ++-≥．而22x a x a ++-≥+，且当2x =时等号成立．故()1f x ≤等价于24a +≥． 由24a +≥可得6a ≤-或2a ≥，所以a 的取值范围是][(),62,-∞-⋃+∞．点睛：含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解．法一是运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用，这是命题的新动向． 9．（1）1{|1}2x x --≤≤；（2）[1,1]-． 【详解】试题分析：（1）分1x <-，11x -≤≤，1x >三种情况解不等式()()f x g x ≥；（2）()()f x g x ≥的解集包含[1,1]-，等价于当[1,1]x ∈-时()2f x ≥，所以(1)2f -≥且(1)2f ≥，从而可得11a -≤≤．试题解析：（1）当1a =时，不等式()()f x g x ≥等价于21140x x x x -+++--≤.①当1x <-时，①式化为2340x x --≤，无解；当11x -≤≤时，①式化为220x x --≤，从而11x -≤≤；当1x >时，①式化为240x x +-≤，从而1x <≤.所以()()f x g x ≥的解集为{|1x x -≤≤. （2）当[]1,1x ∈-时，()2g x =.所以()()f x g x ≥的解集包含[]1,1-，等价于当[]1,1x ∈-时()2f x ≥.又()f x 在[]1,1-的最小值必为()1f -与()1f 之一，所以()12f -≥且()12f ≥，得11a -≤≤.所以a 的取值范围为[]1,1-.点睛:形如||||x a x b c -+-≥(或c ≤)型的不等式主要有两种解法：(1)分段讨论法：利用绝对值号内式子对应方程的根，将数轴分为(,]a -∞，(,]a b ，(,)b +∞ (此处设a b <)三个部分，将每部分去掉绝对值号并分别列出对应的不等式求解，然后取各个不等式解集的并集．(2)图像法：作出函数1||||y x a x b =-+-和2y c =的图像，结合图像求解． 10．(1) 见解析(2) 见解析 【分析】（1）由柯西不等式即可证明，（2）由a 3+b 3＝2转化为()()323a b a b +-=+ab，再由均值不等式可得：()()323a b a b +-=+ab ≤2()2a b +，即可得到14（a +b ）3≤2，问题得以证明．【详解】证明：（1）由柯西不等式得：553324a b a b a b ++≥+（）（）（）＝，当且仅当ab 5＝ba 5，即a ＝b ＝1时取等号； （2）∵a 3+b 3＝2，∴（a +b ）（a 2﹣ab +b 2）＝2， ∴（a +b ）[（a +b ）2﹣3ab ]＝2， ∴（a +b ）3﹣3ab （a +b ）＝2，∴()()323a b a b +-=+ab ，由均值不等式可得：()()323a b a b +-=+ab ≤2()2a b +∴（a +b ）3﹣2()334a b +≤，∴14（a +b ）3≤2， ∴a +b ≤2，当且仅当a ＝b ＝1时等号成立． 【点睛】本题考查了不等式的证明，掌握柯西不等式和均值不等式是关键，属于中档题．11．（1）见解析（2）【解析】试题分析：（Ⅰ）化为分段函数作图；（Ⅱ）用零点分区间法求解.试题解析：（Ⅰ）的图像如图所示.（Ⅱ）由的表达式及图像，当时，可得或；当时，可得或，故的解集为；的解集为，所以的解集为.【考点】分段函数的图像，绝对值不等式的解法【名师点睛】不等式选讲多以绝对值不等式为载体命制试题,主要涉及图像、解不等式、由不等式恒成立求参数范围等.解决此类问题通常转换为分段函数求解,注意不等式的解集一定要写成集合的形式.12．（Ⅰ）{|11}M x x =-<<；（Ⅱ）详见解析. 【详解】试题分析：（I ）先去掉绝对值，再分12x ≤-，1122x -<<和12x ≥三种情况解不等式，即可得M ；（II ）采用平方作差法，再进行因式分解，进而可证当a ，b ∈M 时，1a b ab +<+． 试题解析：（I ）12,,211(){1,,2212,.2x x f x x x x -≤-=-<<≥当12x ≤-时，由()2f x <得22,x -<解得1x >-； 当1122x -<<时，()2f x <；当12x ≥时，由()2f x <得22,x <解得1x <.所以()2f x <的解集{|11}M x x =-<<.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当,a b M ∈时，11,11a b -<<-<<，从而22222222()(1)1(1)(1)0a b ab a b a b a b +-+=+--=--<，因此1.a b ab +<+【考点】绝对值不等式，不等式的证明.【名师点睛】形如x a x b c -+-≥（或c ≤）型的不等式主要有两种解法：（1）分段讨论法：利用绝对值号内式子对应的方程的根，将数轴分为(,]a -∞，(,]a b ，(,)b +∞ （此处设a b <）三个部分，在每个部分去掉绝对值号并分别列出对应的不等式进行求解，然后取各个不等式解集的并集．（2）图象法：作出函数1y x a x b =-+-和2y c =的图象，结合图象求解． 13．（Ⅰ）2{|2}3x x <<（Ⅱ）（2，+∞） 【解析】 试题分析：(Ⅰ)由题意零点分段即可确定不等式的解集为223x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭； (Ⅱ)由题意可得面积函数为为()2213a +，求解不等式()22163a +>可得实数a 的取值范围为()2,+∞ 试题解析：（I ）当1a =时，()1f x >化为12110x x +--->， 当1x ≤-时，不等式化为40x ->，无解； 当11x -<<时，不等式化为320x ->，解得213x <<；当1x ≥时，不等式化为20x -+>，解得12x ≤<． 所以()1f x >的解集为223xx ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭． （II ）由题设可得，()12,1,312,1,12,,x a x f x x a x a x a x a --<-⎧⎪=+--≤≤⎨⎪-++>⎩所以函数()f x 的图像与x 轴围成的三角形的三个顶点分别为21,03a A -⎛⎫⎪⎝⎭，()21,0B a +，(),1C a a +，ABC ∆的面积为()2213a +． 由题设得()22163a +>，故2a >． 所以a 的取值范围为()2,+∞14．（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）详见解析． 【解析】（Ⅰ）因为2a b =++2c d =++a b c d +=+，ab cd >，得22>>．（Ⅱ）（ⅰ）若a b c d -<-，则22()()a b c d -<-．即22()4()4a b ab c d cd +-<+-．因为a b c d +=+，所以ab cd >，由（Ⅰ>． （ⅱ>，则22>，即a b ++>c d ++a b c d +=+，所以ab cd >，于是22()()4a b a b ab -=+-2()4c d cd <+-2()c d =-．因此a b c d -<-，综上，>是a b c d -<-的充要条件．考点：推理证明．15．（1）最小值为（2）不存在a ，b ，使得236a b +=. 【解析】试题分析：（111a b =+≥，得2ab ≥，且当a b ==33a b +≥≥a b ==成立.所以33a b +的最小值为（2）由（1）知，23a b +≥≥上6>，从而不存在a ，b ，使得236a b +=.试题解析：（111a b =+≥，得2ab ≥，且当a b ==.故33a b +≥≥a b ==.所以33a b +的最小值为（2）由（1）知，23a b +≥由于6>，从而不存在a ，b ，使得236a b +=. 考点：1.基本不等式的应用;2.代数式的处理16．（1）详见解析；（2）15(22+． 【详解】试题分析：本题第（1）问，可由绝对值不等式的几何意义得出min ()2f x =，从而得出结论；对第（2）问，由0a >去掉一个绝对值号，然后去掉另一个绝对值号，解出a 的取值范围. 试题解析：（1）证明：由绝对值不等式的几何意义可知：min ()f x =12a a+≥，当且仅当1a =时，取等号，所以()2f x ≥.（2）因为(3)5f <，所以1335a a ++-<⇔1335a a ++-<⇔132a a-<-⇔11232a a a -<-<-52a <<. 【易错点】在应用均值不等式时,注意等号成立的条件:一正二定三相等.考点：本小题主要考查不等式的证明、绝对值不等式的几何意义、绝对值不等式的解法、求参数范围等不等式知识，熟练基础知识是解答好本类题目的关键.17．（Ⅰ）{}|02x x <<（Ⅱ）4(1,]3a ∈- 【解析】试题分析：（I ）当a =-2时，不等式()f x ＜()g x 化为212230x x x -+---<，设函数y =21223x x x -+---，y =15,? 21{2,? 1236,? 1x x x x x x -<--≤≤->，其图像如图所示，从图像可知，当且仅当(0,2)x ∈时，y ＜0，∴原不等式解集是{|02}x x <<.（Ⅱ）当x ∈[2a -，12)时，()f x =1a +，不等式()f x ≤()g x 化为13a x +≤+， ∴2x a ≥-对x ∈[2a -，12)都成立，故2a-≥2a -，即a ≤43，∴a 的取值范围为（-1，43].考点：绝对值不等式解法，不等式恒成立问题．点评：中档题，绝对值不等式解法，通常以“去绝对值符号”为出发点．有“平方法”，“分类讨论法”，“几何意义法”，不等式性质法等等．不等式恒成立问题，通常利用“分离参数法”，建立不等式，确定参数的范围．18．（Ⅰ）证明见解析；（II ）证明见解析. 【详解】（Ⅰ）由222a b ab +≥，222c b bc +≥，222a c ac +≥得：222a b c ab bc ca ++≥++，由题设得，即2222221a b c ab bc ca +++++=， 所以3()1ab bc ca ++≤，即13ab bc ca ++≤. （Ⅱ）因为22a b a b +≥，22b c b c +≥，22c a c a +≥，所以222()2()a b c a b c a b c b c a+++++≥++，即222a b c a b c b c a++≥++，所以2221a b c b c a++≥.本题第（Ⅰ）（Ⅱ）两问，都可以由均值不等式,相加即得到.在应用均值不等式时,注意等号成立的条件:“一正二定三相等”. 【考点定位】本小题主要考查不等式的证明,熟练基础知识是解答好本类题目的关键.19．1．{x |x ≤1或x ≥4} 2．[－3,0] 【详解】(Ⅰ)当3a=-时，()f x =25,2{1,?2325,3x x x x x -+≤<<-≥，当x ≤2时，由()f x ≥3得253x -+≥，解得x ≤1； 当2＜x ＜3时，()f x ≥3，无解；当x ≥3时，由()f x ≥3得25x -≥3，解得x ≥4， ∴()f x ≥3的解集为{x |x ≤1或x ≥4}； (Ⅱ)()f x ≤4x -⇔42x x x a ---≥+，当x ∈[1,2]时，42x a x x +≤---=42x x -+-=2，∴22a x a --≤≤-，有条件得21a --≤且22a -≥，即30a -≤≤，故满足条件的a的取值范围为[－3,0]20．(1)2r （【详解】【命题意图】本试题考查了抛物线与圆的方程，以及两个曲线的公共点处的切线的运用，并在此基础上求解点到直线的距离．【点评】该试题出题的角度不同于平常，因为涉及的是两个二次曲线的交点问题，并且要研究两曲线在公共点出的切线，把解析几何和导数的工具性结合起来，是该试题的创新处．另外对于在第二问中更是难度加大了，出现了另外的两条公共的切线，这样的问题对于我们以后的学习也是一个需要练习的方向．。
高中数学新人教A版选修4-5 绝对值三角不等式
(1)利用绝对值不等式求函数最值，要注意利用绝对 值的性质进行转化，构造绝对值不等式的形式． (2)求最值时要注意等号成立的条件，它也是解题的 关键．
3． 若 a， b∈R， 且|a|≤3， |b|≤2， 则|a＋b|的最大值是________， 最小值是________．
解析：∵|a|－|b|≤|a＋b|≤|a|＋|b|， ∴1＝3－2≤|a＋b|≤3＋2＝5.
解：∵a<|x＋1|－|x－2|对任意实数恒成立， ∴a<(|x＋1|－|x－2|)min. ∵||x＋1|－|x－2||≤|(x＋1)－(x－2)|＝3， ∴－3≤|x＋1|－|x－2|≤3. ∴(|x＋1|－|x－2|)min＝－3. ∴a<－3.即 a 的取值范围为(－∞，－3)．
“应用创新演练”见“课时跟踪检测（四）” (单击进入电子文档)
|A|＋|B| 2 1 2 2 ＝ (| A | ＋ | B | ＋2|A||B|) 4 2
|A|＋|B| 1 ≥ (2|A||B|＋2|A||B|)＝|A||B|，∴2lg ≥lg|A||B|. 4 2 |A|＋|B| 1 ∴lg ≥ (lg|A|＋lg|B|)，④正确． 2 2 答案：A
解析：∵|a＋b|＝|(b－a)＋2a|≤|b－a|＋2|a| ＝|a－b|＋2|a|，∴|a＋b|－2|a|≤|a－b|，①正确； ∵1>|a－b|≥|a|－|b|，∴|a|<|b|＋1，②正确； 1 1 |x| 2 ∵|y|>3，∴ < .又∵|x|<2，∴ < ，③正确； |y| 3 |y| 3
②若|a|<|b|， 左边>0，右边<0，∴原不等式显然成立． ③若|a|＝|b|，原不等式显然成立． 综上可知原不等式成立.
最新人教版高中数学选修4-5绝对值的不等式的解法
例2
解不等式：|2x+5|>7．
分析： “2x+5”看作|x|>a中“x”， 其中a=7即可． 解：由原不等式可得 2x+5>7或2x+5<-7， 整理：x>1或x<-6. 所以，原不等式的解集是：
{x| x>1或x<-6}.
解下列不等式： （1） x 5 2 （2） 2x 1 5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
结合数轴表示可知：|x|<2表示数轴上到原点距离小于2的点， 在数轴上表示出来. 因而不等式 |x|<2 等价于 -2<x<2 结合数轴表示可知：|x|>2表示数轴上到原点距离大于2的点的集合， 在数轴上表示出来． 就是 |x|>2 等价于 x<-2或x>2 ．
两个等价关系
一般地， |x|<a (a>0) |x|>a (a>0)
-a<x<a
x>a或x<-a
依然符合：大鱼在两边，小鱼在中间
这一规则
例1
解不等式|x-50
由不等式性质，各加上500得
495≤x≤505. 所以原不等式的解集是 {x|495≤x≤505}．
（1）从代数角度知道： a, a 0 a 0, a 0 a, a 0 （2）从几何角度看，|a|的意义是表示数a的 点与原点距离．
a x -2 -1 0 1 2 3 4 5
-5
-4
-3
1.问题提出
按商品质量规定，商店出售的标明500g的袋装食盐，其 实际数与所标数相差不能超过5g，设实际 数是x g，那么x应满足：
最新人教版高中数学选修4-5《绝对值的三角不等式》知识讲解
数学人教B选修4-5第一章1.4 绝对值的三角不等式1．理解绝对值的几何意义，并能利用含绝对值的不等式的几何意义证明不等式．2．会用绝对值三角不等式的两个性质定理证明简单的含绝对值的不等式以及解决含绝对值的不等式的最值问题．1．定理1(绝对值的三角不等式)及推论(1)若a，b为实数，则|a＋b|____|a|＋|b|，当且仅当______时，等号成立．(2)推论1：______≤|a＋b|.推论2：______≤|a－b|.(1)定理1还可以变形为|a－b|≤|a|＋|b|，等号成立的充要条件是ab≤0.(2)这个定理是含有绝对值的不等式中一个非常重要的不等式，证明的最重要依据是对于一切实数a，b，都有|a|≤|b|a2≤b2|a|2≤|b|2.(3)注意等号成立的条件是ab≥0，与以前学习过的不等式有所不同．(4)根据定理及推论易得：||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|.【做一做1－1】已知实数a，b满足ab＜0，那么有()A．|a－b|＜|a|＋|b| B．|a＋b|＞|a|－|b|C．|a＋b|＜|a－b| D．|a－b|＜||a|－|b||【做一做1－2】若|a－c|＜b，则下列不等式不成立的是()A．|a|＜|b|＋|c| B．|c|＜|a|＋|b|C．b＞||c|－|a|| D．b＜|a|－|c|2．定理2(三个实数的绝对值的三角不等式)设a，b，c为实数，则|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，等号成立______，即b落在a，c之间．(1)在应用定理1证明定理2时，用到了a－c＝(a－b)＋(b－c)这一条件，这种处理问题的方法在解决不等式问题时常用到，在处理实际问题时应特别注意．(2)应用定理时应特别注意条件、适用范围及等号成立的条件．【做一做2】函数y＝|x－1|＋|x＋3|的最小值为__________．答案：1．(1)≤ab≥0(2)||a|－|b||||a|－|b||【做一做1－1】C∵ab＜0，∴a，b异号，∴|a－b|＞|a＋b|成立．【做一做1－2】D由|a－c|＜b，可知b＞0，∴b＝|b|.∵|a|－|c|≤|a－c|，∴|a|－|c|＜b，则|a|＜b＋|c|＝|b|＋|c|，故选项A成立．同理，由|c|－|a|≤|a－c|，得|c|－|a|＜b，∴|c|＜|a|＋b＝|a|＋|b|.故选项B成立．而由选项A成立，得|c|－|a|＞－|b|，由选项B成立，得|c|－|a|＜|b|，∴－|b|＜|c|－|a|＜|b|，即||c|－|a||＜|b|＝b.故选项C成立．由选项A成立知选项D不成立．故选D.2．(a－b)(b－c)≥0【做一做2】4y＝|x－1|＋|x＋3|＝|1－x|＋|x＋3|≥|1－x＋x＋3|＝4，当且仅当(1－x)(x＋3)≥0，即－3≤x≤1时，等号成立，∴当－3≤x ≤1时，函数取得最小值4.如何理解绝对值的三角不等式的几何意义？剖析：用向量a ，b 替换实数a ，b 时，问题就从一维扩展到二维，当向量a ，b 不共线时，a ＋b ，a ，b 构成三角形，有|a ＋b|＜|a|＋|b|.当向量a ，b 共线时，a ，b 同向(相当于ab ≥0)时，|a ＋b|＝|a|＋|b|；a ，b 异向(相当于ab ＜0)时，|a ＋b|＜|a|＋|b|，这些都是利用了三角形的性质定理，如两边之和大于第三边等，这样处理，可以形象地描绘绝对值三角不等式，更易于记忆定理，并利于定理的应用．绝对值三角不等式体现了“放缩法”的一种形式，但放缩的“尺度”还要仔细把握，如下面的式子：|a |－|b |≤||a |－|b ||≤|a ＋b |≤|a |＋|b |.我们较为常用的形式是|a |－|b |≤|a ＋b |≤|a |＋|b |，但有些同学就会误认为只能如此，而实质上，|a ＋b |是不小于||a |－|b ||的，|a |－|b |不一定是正数，当然，这需对绝对值不等式有更深的理解，从而使放缩的“尺度”更为准确．题型一 利用绝对值不等式证明不等式【例题1】设m 等于|a |，|b |和1中最大的一个，当|x |＞m 时，求证：|a x ＋b x 2|＜2. 分析：本题的关键是对题设条件的理解和运用．|a |，|b |和1这三个数中哪一个最大？如果两两比较大小，将十分复杂，但我们可以得到一个重要的信息：m ≥|a |，m ≥|b |，m ≥1.反思：分析题目时，题目中的语言文字是我们解题的信息的重要来源与依据，而解题时的数学符号语言也往往需要从文字语言“翻译”转化而来，那么准确理解题目中的文字语言，适时准确地进行转化也就成了解题的关键，如本题中题设条件中的文字语言“m 等于|a |，|b |,1中最大的一个”转化为符号语言“m ≥|a |，|m |≥|b |，m ≥1”是证明本题的关键．题型二 利用绝对值的三角不等式求函数的最值【例题2】求函数y ＝|x －3|－|x ＋1|的最大值和最小值．分析：若把x －3，x ＋1看作两个实数，则所给的代数式符合两个数绝对值的差的形式，因而可以联想到两个数和(差)的绝对值与两个数绝对值的和(差)之间的关系，进而可转化求解．另一种思路是：含有这种绝对值函数式表示的是分段函数，所以也可以视为是分段函数求最值．反思：对于含有两个绝对值以上的代数式，通常利用分段讨论的方法转化为分段函数，进而利用分段函数的性质解决相应的问题．利用含绝对值不等式的性质定理进行“放缩”，有时也能产生比较好的效果，但这需要准确地处理“数”的差或和，以达到所需要的结果．题型三 绝对值不等式的综合应用【例题3】两个施工队分别被安排在公路沿线的两个地点施工，这两个地点分别位于公路路牌的第10 km 和第20 km 处，现要在公路沿线建两个施工队的共同临时生活区，每个施工队每天在生活区和施工地点之间往返一次．要使两个施工队每天往返的路程之和最小，生活区应该建于何处？分析：如果生活区建于公路路碑的第x km 处，两个施工队每天往返的路程之和为s (x ) km ，那么s (x )＝2(|x －10|＋|x －20|)．于是，上面的问题就转化为数学问题：当x 取何值时，函数s (x )＝2(|x －10|＋|x －20|)取得最小值．这个问题可以应用绝对值不等式的性质来解．根据定理：若a ，b ，c 为实数，则|a －c |≤|a －b |＋|b －c |可以逆用，有|a －b |＋|b －c |≥|(a －b )＋(b －c )|＝|a －b ＋b －c |＝|a －c |，即|a －b |＋|b －c |≥|a －c |，当且仅当(a －b )(b －c )≥0时，等号成立．答案：【例题1】证明：∵|x |＞m ≥|a |，⎭⎪⎬⎪⎫|x |>m ≥|b ||x |>m ≥1|x |2＞|b |，∴|a x ＋b x 2|≤|a x |＋|b x 2|＝|a ||x |＋|b ||x |2＜|x ||x |＋|x |2|x |2＝2. 故所证不等式成立．【例题2】解：解法一：||x －3|－|x ＋1||≤|(x －3)－(x ＋1)|＝4，∴－4≤|x －3|－|x ＋1|≤4. ∴y max ＝4，y min ＝－4.解法二：把函数看作分段函数．y ＝|x －3|－|x ＋1|＝⎩⎪⎨⎪⎧ 4，x <－1，2－2x ，－1≤x ≤3，－4，x >3.∴－4≤y ≤4.∴y max ＝4，y min ＝－4.【例题3】解：设生活区应该建于公路路碑的第x km 处，两个施工队每天往返的路程之和为s (x )km ，则s (x )＝2(|x －10|＋|x －20|)．因为|x －10|＋|x －20|＝|x －10|＋|20－x |≥|(x －10)＋(20－x )|＝10，当且仅当(x －10)(20－x )≥0时取等号．解不等式(x －10)(20－x )≥0，得10≤x ≤20.所以，当10≤x ≤20时，函数s (x )＝2(|x －10|＋|x －20|)取最小值20.于是，生活区建于两个施工地点之间的任何一个位置时，都能使两个施工队每天往返的路程之和最小．1若|x －a |＜h ，|y －a |＜k ，则下列不等式一定成立的是( )A ．|x －y |＜2hB ．|x －y |＜2kC ．|x －y |＜h ＋kD ．|x －y |＜|h －k |2已知h ＞0，a ，b ∈R ，命题甲：|a －b |＜2h ；命题乙：|a －1|＜h ，且|b －1|＜h ，则甲是乙的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件3已知a ，b ，c ∈R ，且a ＞b ＞c ，则有( )A ．|a |＞|b |＞|c |B ．|ab |＞|bc |C ．|a ＋b |＞|b ＋c |D ．|a －c |＞|a －b |4设|a |＜1，|b |＜1，则|a ＋b |＋|a －b |与2的大小关系是____________．5已知|x －a |＜1，求证：|a |－1＜|x |＜|a |＋1.答案：1．C |x －y |＝|(x －a )＋(a －y )|≤|x －a |＋|y －a |＜h ＋k .2．B 显然a 与b 的距离可以很近，满足|a －b |＜2h ，但此时a ，b 与1的距离可以很大，因此甲不能推出乙．另一方面，若|a －1|＜h ，|b －1|＜h ，则|a －b |＝|a －1＋1－b |≤|a －1|＋|b －1|＜2h ，即乙可以推出甲．因此甲是乙的必要不充分条件．3．D ∵a ，b ，c ∈R ，且a ＞b ＞c ，令a ＝2，b ＝1，c ＝－6.∴|a |＝2，|b |＝1，|c |＝6，∴|b |＜|a |＜|c |，故排除选项A.又|ab |＝2，|bc |＝6，∴|ab |＜|bc |，故排除选项B.又|a ＋b |＝3，|b ＋c |＝5，∴|a ＋b |＜|b ＋c |，故排除选项C.故选D.4．|a ＋b |＋|a －b |＜2 当a ＋b 与a －b 同号时，|a ＋b |＋|a －b |＝|(a ＋b )＋(a －b )|＝2|a |＜2.当a ＋b 与a －b 异号时，|a ＋b |＋|a －b |＝|(a ＋b )－(a －b )|＝2|b |＜2.综上，可知|a ＋b |＋|a －b |＜2.5．证明：∵|x －a |＝|a －x |，根据绝对值不等式定理可得||x |－|a ||≤|x －a |，∴|x |－|a |≤|x －a |＜1或|a |－|x |≤|x －a |＜1，∴|x |＜|a |＋1或|a |－1＜|x |.∴|a |－1＜|x |＜|a |＋1.1不等式||1||||a b a b +≤+成立的充要条件为( ) A ．a ，b 都不为零 B ．ab ＞0C ．a ，b 为非负数D ．a ，b 中至少有一个不为零答案：B2若|a ＋b |＜－c ，则不等式：①a ＜－b －c ；②a ＋b ＜c ；③a ＋c ＜b ；④|a |＋c ＜|b |；⑤|a |＋|b |＜－c 中，一定成立的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4答案：B 由|a ＋b |＜－c ，得c ＜a ＋b ＜－c ，∴a ＜－b －c ，故①正确；由|a |－|b |≤|a ＋b |＜－c ，得|a |＋c ＜|b |，故④正确．故选B.3若实数a ，b 满足ab ＞0，则不等式：①|a ＋b |＞|a |；②|a ＋b |＜|b |；③|a ＋b |＜|a －b |；④|a ＋b |＞|a －b |中，正确的是( )A ．①和②B ．①和③C ．①和④D ．②和④答案：C ∵ab ＞0，∴a ，b 同号，∴|a ＋b |＞|a |，|a ＋b |＞|b |，|a ＋b |＞|a －b |.故①④正确．4如果a ，b 都是非零实数，则下列不等式中不成立的是( )A ．|a ＋b |＞a －bB ．|+|a b ≤(ab ＞0)C ．|a ＋b |≤|a |＋|b |D ．2b a a b+≥ 答案：A 当a ＞0，b ＜0时，|a ＋b |＜a －b .5若a ，b ∈R ，则以下命题正确的是( )A ．|a |－|b |≤|a ＋b |≤|a |＋|b |B ．|a |－|b |＜|a －b |＜|a |＋|b |C ．当且仅当ab ＞0时，|a ＋b |＝|a |＋|b |D ．当且仅当ab ≤0时，|a －b |＝|a |－|b |答案：A 由定理“两个数的和的绝对值小于或等于它们绝对值的和，大于或等于它们绝对值的差”可知选项A 正确；在选项A 中，以－b 代b ，可得|a |－|b |≤|a －b |≤|a |＋|b |，所以选项B 不正确；当且仅当a ，b 同号或a ，b 中至少有一个为零，即ab ≥0时，|a ＋b |＝|a |＋|b |，所以选项C 不正确；当ab ≤0，且|a |≥|b |时，|a －b |＝|a |－|b |，所以选项D 不正确．故选A.6若a ，b ∈R ，且|a |≤3，|b |≤2，则|a ＋b |的最大值是__________，最小值是__________． 答案：5 1 由||a |－|b ||≤|a ＋b |≤|a |＋|b |，易得|a ＋b |的最大值是5，最小值是1.7若不等式|x －a |＋|x －2|≤1对任意的实数x 均成立，则实数a 的取值范围为__________． 答案：[1,3] ∵|x －a |＋|x －2|≥|(x －a )－(x －2)|＝|2－a |，∴|2－a |≤1，解得1≤a ≤3.8若x ＜5，n ∈N *，有下列不等式： ①lg<5lg 11n n x n n ++；②||lg <5lg 11n n x n n ++；③lg <5lg 11n n x n n++；④||lg <5lg 11n n x n n ++.其中能够成立的是__________． 答案：④ 因为0＜1n n +＜1，所以lg 1n n +＜0. 由x ＜5，并不能确定|x |与5的大小关系，也不能确定x 与0的大小关系，所以①②③不成立． 而lg <01n x n +，5lg >01n n +，故④成立． 9已知：||<2x a M ε-，0<||<2||y b a ε-，y ∈(0，M )．求证：|xy －ab |＜ε.答案：证明：∵|xy －ab |＝|xy －ya ＋ya －ab |＝|y (x －a )＋a (y －b )|≤|y ||x －a |＋|a ||y －b | ＜+||=22||22M a M a εεεεε⋅⋅=+， ∴|xy －ab |＜ε.10关于x 的实系数二次方程x 2＋ax ＋b ＝0的两实根分别为α，β.若|a |＋|b |＜1，求证：|α|＜1，且|β|＜1.答案：证明：∵α，β是x 2＋ax ＋b ＝0的两实根，∴α＋β＝－a ，αβ＝b .又∵|a |＋|b |＜1，∴|α＋β|＋|αβ|＜1.而|α|－|β|≤|α＋β|，|αβ|＝|α||β|，∴|α|－|β|＋|α||β|＜1，即(|α|－1)(|β|＋1)＜0.∵|β|＋1＞0，∴|α|－1＜0，即|α|＜1，同理可证|β|＜1.。
高三数学一轮复习课件之选修4-5(1)绝对值不等式
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课后限时 集训
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复习成功的关键在于
01 抓思维训练 02 勤于方法总结 03 善于提炼观点
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1.狠抓基础，在主干内容上下足功夫，重概念的生成 2.重点突出，在知识交叉点上着重训练，重视试卷分析 3.精准指导，在图形使用上反复强调，重结构式结论
(4)当 ab≥0 时，|a＋b|＝|a|＋|b|成立．
()
[答案] (1)√ (2)× (3)√ (4)√
9
2．设 a，b 为满足 ab＜0 的实数，那么( )
A．|a＋b|＞|a－b|
B．|a＋b|＜|a－b|
C．|a－b|＜||a|－|b||
D．|a－b|＜|a|＋|b|
B [∵ab＜0，∴|a－b|＝|a|＋|b|＞|a＋b|.]
－2，x≤－1，
2x，－1＜x＜1， 2，x≥1.
故不等式 f(x)＞1 的解集为xx＞21
.
解析答案
30
(2)当 x∈(0,1)时|x＋1|－|ax－1|＞x 成立等价于当 x∈(0,1)时，|ax －1|＜1 成立．
若 a≤0，则当 x∈(0,1)时|ax－1|≥1； 若 a＞0，|ax－1|＜1 的解集为 0＜x＜2a，所以2a≥1，故 0＜a≤2. 综上，a 的取值范围为(0,2]．
16
x－4，x≤－1， [解] (1)由题意得 f(x)＝3x－2，－1＜x≤23，
－x＋4，x＞32，
故 y＝f(x)的图象如图所示．
17
(2)由 f(x)的函数表达式及图象可知，
当 f(x)＝1 时，可得 x＝1 或 x＝3；
人教版-高中数学选修4-5绝对值不等式的解法-PPT课件
2 x 3 3 ， 或 2 x 3 3 Evaluation only. | 2x 3| 3 ted with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2 5 2 x 3 5 | 2 x 3 | 5 Copyright 2019-2019 Aspose Pty Ltd.
3 x 4 ， 或 1 x 0 .
原不等式的解集是 { x | 1 x 0 ， 或 3 x 4 }.
三、例题讲解 例1 解不等式 3<|3-2x|≤5 .
解法 3 ： 3 | 3 2 x | 5 3 |2 x 3 | 5
Evaluation only. 3 2 x 3 5 ， 或 5 2 x 3 3
此 时 ,{ 得 x | x 1 } { x | x 0 } { x | x 1 } .
解：原不等式变形为| X +1| + |X －3| > 2 + X. 若| X +1| = 0,X =-1;若| X －3| = 0,X=3.
原 不 等 式 变 形 为 ( x 1 ) ( x 3 ) 2 x , 即 x 0 .
， 或 x 0 x 3 即 1 x 4
-1 0 3 4
原不等式的解集是 { x | 1 x 0 ， 或 3 x 4 }.
三、例题讲解 例1 解不等式 3<|3-2x|≤5 .
3 |2 x 3 | 5 解法 2 ： 3 | 3 2 x | 5 2 x30 2x 3 0 ， 或 Evaluation only. 3 (2 x3 )5 3 2x 3 5 ted with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2 3 3 x Copyright Aspose Pty Ltd. x 2019-2019 ， 2 ， 或 2 3 x 4 1 x 0 ຫໍສະໝຸດ -1034
人教版高中数学选修4-5《绝对值不等式的解法》
3 1 如图，我们将 B 向右移动 单位至点 B1 2 ，此时 2 B1 与 A 及 B 距离之和增加 1 个单位，同理我们将 A 点 5 1 － 向左移动 个单位到 A1 2 ，这时 A1 与 A 及 B 距离之和 2 也增加一个单位．从数轴上可以看到 A1 与 B1 之间的任何 点(包括点 A1 和 B1)到 A，B 的距离之和均小于等于 4，而 5 3 当 x＜－ 或 x＞ 时，x 与 A，B 两点的距离之和都大于 4. 2 2 5 3 － 因而原不等式的解集为 2，2 .
（3）从函数的观点，利用函数图象求不等式的解集.
零点分段 法的步骤： 找零点
分段
讨论
综合
解法二（几何法）x为不等式|x+2|+|x-1|≤4的解x是与数轴上的 点A（-2）及B（1）两点距离之和小于等于4的点. A，B两点的距离为3，因此线段AB上任何一点到A，B距离 之和都等于3，因此都是原不等式的解.但我们需要找到原不 等式解的全体，于是关键在于找到A，B距离之和为4的点.
1 －x－5，x≤－ ， 2
作出函数 y＝|2x＋1|－|x－4|的图象， 作出函数 y＝|2x＋1|－|x－4|的图象， 5 ，2 5 它与直线 y＝2 的交点为(－7,2)和 . 3 ，2 . 它与直线 y＝2 的交点为(－7,2)和 3 所以|2x＋1|－|x－4|＞2 的解集为 所以|2x＋1|－|x－4|＞2 的解集为 5 ，＋∞ 5 (－∞，－7)∪ . 3 (－∞，－7)∪ 3，＋∞ . ＋1|－|x (2)由函数 y＝|2x －4|的图象可知， (2)由函数 1 y＝|2x＋1|－|x－4|的图象可知， 9 当 x＝－ 1 时，y＝|2x＋1|－|x－4|取得最小值－ 9 . 2 2 当 x＝－ 时，y＝|2x＋1|－|x－4|取得最小值－ . 2 2
高中数学选修4-5-绝对值不等式
绝对值不等式知识集结知识元绝对值不等式知识讲解1．绝对值三角不等式【知识点的认识】绝对值三角不等式1．定理1：如果a，b是实数，则|a+b|≤|a|+|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立．2．定理2：如果a，b，c是实数，那么|a﹣c|≤|a﹣b|+|b﹣c|，当且仅当（a﹣b）（b﹣c）≥0时，等号成立．2．绝对值不等式的解法【知识点的认识】绝对值不等式的解法1、绝对值不等式|x|＞a与|x|＜a的解集不等式a＞0 a＝0 a＜0|x|＜a{x|﹣a＜x＜a} ∅∅|x|＞a{x|x＞a，或x＜﹣a} {x|x≠0} R（1）|ax+b|≤c⇔﹣c≤ax+b≤c；（2）|ax+b|≥c⇔ax+b≥c或ax+b≤﹣c；（3）|x﹣a|+|x﹣b|≥c（c＞0）和|x﹣a|+|x﹣b|≤c（c＞0）型不等式的解法：方法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想．方法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；方法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．【解题方法点拨】1、解绝对值不等式的基本方法：（1）利用绝对值的定义，通过分类讨论转化为解不含绝对值符号的普通不等式；（2）当不等式两端均为正号时，可通过两边平方的方法，转化为解不含绝对值符号的普通不等式；（3）利用绝对值的几何意义，数形结合求解．2．解绝对值不等式主要是通过同解变形去掉绝对值符号转化为一元一次和一元二次不等式（组）进行求解．含有多个绝对值符号的不等式，一般可用零点分段法求解，对于形如|x﹣a|+|x﹣b|＞m或|x﹣a|+|x﹣b|＜m（m为正常数），利用实数绝对值的几何意义求解较简便．3．不等式|x﹣a|+|x﹣b|≥c的解就是数轴上到A（a），B（b）两点的距离之和不小于c的点所对应的实数，只要在数轴上确定出具有上述特点的点的位置，就可以得出不等式的解．4．不等式|a|﹣|b|≤|a+b|≤|a|+|b|，右侧“＝”成立的条件是ab≥0，左侧“＝”成立的条件是ab≤0且|a|≥|b|；不等式|a|﹣|b|≤|a﹣b|≤|a|+|b|，右侧“＝”成立的条件是ab≤0，左侧“＝”成立的条件是ab≥0且|a|≥|b|．例题精讲绝对值不等式例1.不等式|1-2x|<1的解集为（）A．{x|-1<x<0}B．{x|0<x<1}C．{x|x>1或x<0}D．R例2.不等式|2x-3|<x的解集为（）A．{x|x<1或x>3}B．{x|x<1}C．{x|1<x<3}D．{x|x>3}例3.不等式|x+2|>3的解集是（）A．{x|x<-5或x>1}B．{x|-5<x<l}C．{x|x<-1或x>5}D．{x|-1<x<5}当堂练习解答题练习1.'已知f（x）=|2x+3|+|2x-1|．（1）求不等式f（x）<10的解集；（2）若对任意x∈R，f（x）≥|a-1|恒成立，求实数a的取值范围．'练习2.'已知f（x）=|x-2|-|x-a|（1）当a=-4时，解不等式f（x）<1；（2）当a=4时，求直线y=x-2与函数f（x）的图象围成的平面图形的面积．'练习3.'解不等式x2+2|x-1|<6'练习4.'已知函数f（x）=|2x|+|2x+3|-2．求不等式f（x）≤3的解集．'练习5.'设函数f（x）=|2x-1|．（1）解不等式f（x）>3；（2）设g（x）=f（x）+2|x+|，∃x0∈R，使得g（x0）+2m2<8m成立，求实数m的取值范围．'练习6.'已知函数f（x）=|x-3|+|x-5|．（1）解关于x的不等式f（x）≥4；（2）若函数f（x）的图象与直线y=t围成的封闭图形面积等于6，试求t的值．'练习7.'设函数f（x）=|2x-1|+|x+1|的最小值为m．（1）求m的值；（2）若a，b，c∈R，a2+b2+c2=m，求ab+bc的取值范围．'练习8.'已知函数f（x）=|x+1|+|x-2|．（1）求不等式f（x）>7的解集；（2）若对于任意x∈R，不等式f（x）≥m恒成立，求m的取值范围．'练习9.'已知函数f（x）=|3x+2|．（Ⅰ）解不等式f（x）<4-|x-1|；（Ⅱ）已知m>0，n>0，m+n=1，若对任意的x∈R，m>0，n>0不等式|x-a|-f（x）≤（a>0）恒成立，求正数a的取值范围．'练习10.'已知f（x）=x2+|2x-4|+a．（1）当a=-3时，求不等式f（x）>x2+|x|的解集；（2）若不等式f（x）≥0的解集为实数集R，求实数a的取值范围．'练习11.'已知：a≥2，x∈R．求证：|x-1+a|+|x-a|≥3．'练习12.'已知函数f（x）=|2x+1|，g（x）=|x|+a（Ⅰ）当a=0时，解不等式f（x）≥g（x）；（Ⅱ）若存在x∈R，使得f（x）≤g（x）成立，求实数a的取值范围．'。
选修4-5 绝对值不等式
选修4－5 ⎪⎪⎪ 不等式选讲第一节绝对值不等式 一、基础知识批注——理解深一点 1．绝对值三角不等式定理1：如果a ，b 是实数，则|a ＋b |≤|a |＋|b |，当且仅当ab ≥0时，等号成立．定理2：如果a ，b ，c 是实数，那么|a －c |≤|a －b |＋|b －c |，当且仅当(a －b )(b －c )≥0时，等号成立． ↓|a |－|b |≤|a －b |≤|a |＋|b |，当且仅当|a |≥|b |且ab ≥0时，左边等号成立，当且仅当ab ≤0时，右边等号成立.2．绝对值不等式的解法 ―→(1)|x |<a 与|x |>a 型不等式的解法不等式a >0 a ＝0 a <0 |x |<a{}x |－a <x <a ∅ ∅ |x |>a{x |x >a 或x <－a }{x |x ∈R 且x ≠0} R(2)|ax ＋b |≤c (c ＞0)和|ax ＋b |≥c (c >0)型不等式的解法：①|ax ＋b |≤c ⇔－c ≤ax ＋b ≤c ；②|ax ＋b |≥c ⇔ax ＋b ≥c 或ax ＋b ≤－c .|x －a |＋|x －b |≥c 和|x －a |＋|x －b |≤c 型不等式的解法及体现数学思想①利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；②利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；③通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想.二、基础小题强化(二)填一填1．不等式|5－4x |>9的解集为________．2．若不等式|kx －4|≤2的解集为{x |1≤x ≤3}，则实数k ＝________.解绝对值不等式的关键是去掉绝对值符号．3．函数y＝|x－4|＋|x＋4|的最小值为________．4．不等式|x＋1|－|x－2|≥1的解集是________．2．已知函数f(x)＝|x－a|＋3x，其中a∈R.(1)当a＝1时，求不等式f(x)≥3x＋|2x＋1|的解集；(2)若不等式f(x)≤0的解集为{x|x≤－1}，求a的值．。