广东省中山市一中2020-2021学年度高一上学期第一次段考数学试卷(含答案)
第1页（共9页） 中山一中2020-2021学年度高一上学期第一次段考 数学科试卷 满分：150分 考试用时：120分钟 一、单项选择题（本道题共8小题，每道题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 已知21{}|,MyyxxR=+＝，2|{1},NyyxxR=−+＝，则MN＝（ ） A. {1} B．{0,1} C. {(0,1)} D. 1 2. 与||yx=为同一函数的是（ ） A. 2()yx= B．2yx= C. ,(0),(0)xxyxx=− D. yx= 3.设a，b是实数，则“a＋b＞0”是“ab＞0”的（ ） A. 充分不必要条件 B． 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
4. 若全集UR＝，[1,3]A＝，22{}|0Bxxx−＝，则()UAB＝（ ）
A. [1,2] B． (－∞,0)∪(2,3] C. [0,1) D. (2,3] 5. 已知正数x，y满足x＋y＝1，则1x＋41y+的最小值为（ ） A. 5 B. 143 C. 92 D. 2 6. 设2|1|2,||1()1,||11xxfxxx−−=+，则1[()]2ff＝（ ） A. 12 B． 95− C. 413 D. 2541 7. 设2()4()fxxxxR=−，则()0fx的一个必要不充分条件是（ ） A. 0x B．0x或4x C. |1|1x− D. |2|3x− 8. 《几何原本》卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有如图所示图形，点F在半圆O上，点C在直径AB上，且OF⊥AB，设AC＝a，BC＝b，则该图形 第2页（共9页）
可以完成的无字证明为（ ） A.(0)2ababab+ B．222(0)ababab+
C. 2(0)abababab+ D.22(0)22ababab++ 二、多项选择题（本大题共4小题，每道题5分，共20分，每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分） 9. 已知x∈{1，2，x2}，则有（ ）
A．1x= B．2x= C．0x= D．2x= 10. 如果a，b，c满足c＜b＜a，且ac＜0，那么下列不等式中一定成立的是（ ） A．ab＞ac B．c(b－a)＞0 C．cb2＜ab2 D．ac(a－c)＜0 11. 下列命题中，真命题为（ ） A．空集是任何一个非空集合的真子集 B．∀x∈R，4x2＞2x－1＋3x2 C．∃x∈{－2,－1,0,1,2}，|x－2|＜2 D．∀a，b∈R，方程ax＋b＝0恰有一解 12. 已知a＞0，b＞0，且a＋b＝1，则（ ）
A．2212ab+ B．4abab+ C．14ab D．2ab+
第II卷（非选择题） 三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分） 13．函数1yxx=−+的定义域为 ． 14．函数266yxx=−+，x∈(－1,5]的值域为 ． 15．已知集合|||2{}Axx=＝，1{}|Bxmx=−＝，若B⊆A，则m值的集合为 ． 16．不等式22(23)(3)10mmxmx−−−−−对任意x∈R恒成立，则实数m的取值范围为 ． 四、解答题（本大题共6小题，共70分） 17．（本题10分） 已知全集U＝R，2{|120}Axxpx=++=，2{|50}Bxxxq=−+=， (UA)∩B＝{2}，(UB)∩A＝{4}． 求AB． 第3页（共9页）
18.（本题12分） 若不等式ax2＋bx＋c≤0的解集为{|34}xxx−或，求不等式bx2＋2ax－c－3b≥0的解集．
19．（本题12分） 已知集合A＝{x|212xx−}，集合B＝{x|22(21)0xmxmm−+++}． （1）求集合A，B； （2）若B⊆A，求实数m的取值范围．
20．（本题12分） 若正数x，y满足x＋3y＝5xy，求： （1）3x＋4y的最小值； （2）求xy的最小值.
21．（本题12分） 实数a，b满足a2＋b2＋2a－4b＋5＝0. 若不等式ax2＋bx＋c＜0的解为一切实数为真命题，求实数c的取值范围.
22．（本题12分） 某个体户计划经销A、B两种商品，据调查统计，当投资额为x（x≥0）万元时，经销A、B商品中所
获得的收益分别为f（x）万元与g（x）万元．其中f（x）＝x＋1；g（x）＝2101(03)1912(35xxxxxx++−+−）．如果该个体户准备投入5万元经营这两种商品，请你帮他制定一个资金投入方案，使他能获得最大收益，并求出其最大收益． 第4页（共9页）
中山一中2020-2021学年度高一上学期第一次段考 数学科试卷答案 满分：150分 考试用时：120分钟 第I卷（选择题） 一、单项选择题（本道题共8小题，每道题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 已知21{}|,MyyxxR=+＝，2|{1},NyyxxR=−+＝，则MN＝（ A ） A. {1} B．{0,1} C. {(0,1)} D. 1 2. 与||yx=为同一函数的是（ B ） A. 2()yx= B．2yx= C. ,(0),(0)xxyxx=− D. yx= 3.设a，b是实数，则“a＋b＞0”是“ab＞0”的（ D ） A. 充分不必要条件 B． 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 若全集UR＝，[1,3]A＝，22{}|0Bxxx−＝，则()UAB＝（ D ） A. [1,2] B． (－∞,0)∪(2,3] C. [0,1) D. (2,3] 5. 已知正数x，y满足x＋y＝1，则1x＋41y+的最小值为（ C ） A. 5 B. 143 C. 92 D. 2 6. 设2|1|2,||1()1,||11xxfxxx−−=+，则1[()]2ff＝（ C ） A. 12 B． 95− C. 413 D. 2541 7. 设2()4()fxxxxR=−，则()0fx的一个必要不充分条件是（ C ） A. 0x B．0x或4x C. |1|1x− D. |2|3x− 第5页（共9页）
8. 《几何原本》卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有如图所示图形，点F在半圆O上，点C在直径AB上，且OF⊥AB，设AC＝a，BC＝b，则该图形可以完成的无字证明为（ D ） A.(0)2ababab+ B．222(0)ababab+
C. 2(0)abababab+ D.22(0)22ababab++ 二、多项选择题（本大题共4小题，每道题5分，共20分，每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分） 9. 已知x∈{1，2，x2}，则有（ BC ）
A．1x= B．2x= C．0x= D．2x= 10. 如果a，b，c满足c＜b＜a，且ac＜0，那么下列不等式中一定成立的是（ ABD ）
A．ab＞ac B．c(b－a)＞0 C．cb2＜ab2 D．ac(a－c)＜0 11. 下列命题中，真命题为（ AC ） A．空集是任何一个非空集合的真子集 B．∀x∈R，4x2＞2x－1＋3x2 C．∃x∈{－2,－1,0,1,2}，|x－2|＜2 D．∀a，b∈R，方程ax＋b＝0恰有一解 12. 已知a＞0，b＞0，且a＋b＝1，则（ AD ）
A．2212ab+ B．4abab+ C．14ab D．2ab+
第II卷（非选择题） 三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13．函数1yxx=−+的定义域为 ．{x|0≤x≤1} 14．函数266yxx=−+，x∈(－1,5]的值域为 ．{x|－3≤x≤13} 15．已知集合|||2{}Axx=＝，1{}|Bxmx=−＝，若B⊆A，则m值的集合为 ．{－12,0,12} 16．不等式22(23)(3)10mmxmx−−−−−对任意x∈R恒成立，则实数m的取值范围为 ． {x|－15≤m≤3} 四、解答题（本大题共6小题，共70分）
17．（本题10分） 第6页（共9页）
已知全集U＝R，2{|120}Axxpx=++=，2{|50}Bxxxq=−+=， (UA)∩B＝{2}，(UB)∩A＝{4}． 求AB． 【解答】解：∵(UA)∩B＝{2}，(UB)∩A＝{4}， ∴2∈B，4∈A， 把x＝4代入集合A得，42＋4p＋12＝0，解得p＝－7， 把x＝2代入集合B得，22－5×2＋q＝0，解得q＝6， ∴A＝2{|120}xxpx++=＝2{|7120}xxx−+=＝{3,4}， B＝2{|50}xxxq−+=＝2{|560}xxx−+=＝{2,3}， ∴A∪B＝{2,3,4}．
18.（本题12分） 若不等式ax2＋bx＋c≤0的解集为{|34}xxx−或，求不等式bx2＋2ax－c－3b≥0的解集． 【解答】解：∵不等式ax2＋bx＋c≤0的解集为{|34}xxx−或，
∴03434abaca−+=−−=，解得：b＝－a，c＝－12a，或 ∴不等式bx2＋2ax－c－3b≥0即为－ax2＋2ax＋15a≥0， ∵a＜0，∴x2－2x－15≥0，解得：x≤－3或x≥5， ∴不等式bx2＋2ax－c－3b≥0的解集为{x|x≤－3或x≥5}．
2020-2021学年广东省中山市纪念中学高一上学期10月月考数学试题(解析版)
2020-2021学年广东省中山市纪念中学高一上学期10月月考数学试题一、单选题1．已知全集{}0,1,2,3,4,5,6,7,8,9U =，集合{}0,1,3,5,8A =，集合{}2,4,5,6,8B =，则()()U U C A C B ⋂=（ ） A ．{}5,8 B ．{}7,9 C ．{}0,1,3 D ．{}2,4,6【答案】B【解析】试题分析：{}2,4,6,7,9UA =,{}0,1,3,7,9UB =,所以()(){}7,9UU A B ⋂=，故选B.【考点】集合的运算.2．命题：“2,10x x x ∀∈++>R ”的否定是（ ） A ．不存在x ∈R ，x 2＋x ＋1＞0 B ．∃x 0∈R ，x 02＋x 0＋1＞0 C ．∃x 0∈R ，x 02＋x 0＋1≤0 D ．∀x ∈R ，x 2＋x ＋1≤0【答案】C【分析】根据全称命题的否定是特称命题解答即可.【详解】由题意，命题“2,10x x x ∀∈++>R ”是全称命题，故它的否定是：∃x 0∈R ，x 02＋x 0＋1≤0. 故选：C.【点睛】本题考查了含有一个量词的命题的否定，属于基础题. 3．已知函数()212f x x =+，则f (x )的值域是（ ） A ．1{|}2y y ≤ B ．1{|}2y y ≥C ．1{|0}2y y <≤ D ．{|0}y y >【答案】C【分析】根据不等式的性质求得函数的值域. 【详解】由于220,22x x ≥+≥，故211022x <≤+，故函数的值域为1|02y y ⎧⎫<≤⎨⎬⎩⎭.故选：C【点睛】本题考查函数值域的求法，属于基础题. 4．已知R a ∈，则“1a >”是“11a<”的（ ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件 D ．既非充分又非必要条件【答案】A【分析】“a ＞1”⇒“11a＜”，“11a ＜”⇒“a ＞1或a ＜0”，由此能求出结果． 【详解】a ∈R ，则“a ＞1”⇒“11a＜”， “11a＜”⇒“a ＞1或a ＜0”， ∴“a ＞1”是“11a＜”的充分非必要条件．故选A ．【点睛】充分、必要条件的三种判断方法．1．定义法：直接判断“若p 则q ”、“若q 则p ”的真假．并注意和图示相结合，例如“p ⇒q ”为真，则p 是q 的充分条件．2．等价法：利用p ⇒q 与非q ⇒非p ，q ⇒p 与非p ⇒非q ，p ⇔q 与非q ⇔非p 的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．3．集合法：若A ⊆B ，则A 是B 的充分条件或B 是A 的必要条件；若A ＝B ，则A 是B 的充要条件．5．已知函数f (x )的定义域是[0，2]，则函数g (x )＝(2)1f x x -的定义域是（ ） A ．[0，1] B ．[0，1) C ．[0，1)∪(1，4] D ．(0，1)【答案】B【分析】利用2[0,2]x ∈且分母不为0可得． 【详解】由f (x )的定义域是[0，2]知，()g x 定义域需满足02210x x ≤≤⎧⎨-≠⎩，解得0≤x <1，所以g (x )＝(2)1f x x -的定义域为[0，1)． 故选：B ．【点睛】本题考查求抽象函数的定义域，求出使函数式有意义的自变量的取值范围即可．6．已知不等式250ax x b -+>的解集为{|32}x x -<<,则不等式250bx x a -+>的解集为( )A ．1{|3x x <-或1}2x > B ．11{|}32x x -<< C ．{|32}x x -<< D ．{|3x x <-或2}x >【答案】A【分析】由不等式250ax x b -+>的解集为{}|32x x -<<,可得250ax x b -+=的根为3,2-，，由韦达定理可得,a b 的值，代入不等式250bx x a -+>解出其解集即可. 【详解】250ax x b -+>的解集为{}|32x x -<<,250ax x b ∴-+=的根为3,2-，即532a -+=，32ba-⨯=， 解得5,30a b =-=，则不等式250bx x a -+>可化为230550x x -->， 即为2610x x -->，解得{1|3x x <-或12x ⎫>⎬⎭，故选A. 【点睛】本题考查的知识点是—元二次不等式的解法，及一元二次不等式的解集与一元二次方程的根之间的关系，其中利用韦达定理求出,a b 的值，是解答本题的关键. 7．设集合{}1,2,4A =，{}240B x x x m =-+=．若{}1A B ⋂=，则B =( ) A ．{}1,3- B ．{}1,0C ．{}1,3D ．{}1,5【答案】C 【解析】∵ 集合{}124A =，，，{}2|40B x x x m =-+=，{}1A B =∴1x =是方程240x x m -+=的解，即140m -+= ∴3m =∴{}{}{}22|40|43013B x x x m x x x =-+==-+==，，故选C8．设f (x )＝12(1),1x x x <<-⎪⎩，若f (a )＝f (a ＋1)，则1f a ⎛⎫⎪⎝⎭＝（ ） A ．2 B ．4C ．6D ．8【答案】C【分析】观察可知分段函数在两个区间内都是单调增函数，故可知01a <<，11a +≥，分别代入解析式求解即可.【详解】由察可知分段函数在两个区间内都是单调增函数，得0<a <1，则f (a )， f (a ＋1)＝2a ，2a ， 解得a ＝14或a ＝0(舍去)， 所以1f a ⎛⎫ ⎪⎝⎭＝f (4)＝2(4－1)＝6. 故选：C.【分析】本题主要考查了分段函数求值的问题.属于较易题.二、多选题9．下列各组函数中，两个函数是同一函数的有（ ）A ．()||f x x =与()g x =B ．()1f x x =+与21()1x g x x -=-C ．||()x f x x =与1,0()1,0x g x x >⎧=⎨-<⎩D ．()f x =()g x =【答案】AC【分析】逐一判断每个选项中两函数的定义域和对应关系是否相同即可.【详解】对A ， ()g x x ==，故A 正确，对B ， ()1f x x =+定义域为R ，21()1x g x x -=-定义域为{}|1x x ≠，故B 错误，对C ， 1,0()1,0x xf x x x >⎧==⎨-<⎩，故C 正确，对D ， ()f x =定义域为210x -≥，解得1x ≤-或1≥x .()g x =1010x x +≥⎧⎨-≥⎩，即1≥x ，故D 错误， 故选：AC【点睛】本题考查的是同一函数的判断，属于基础题.10．函数()f x 是定义在R 上的奇函数，下列说法正确的是（ ） A ．()00f =B ．若()f x 在[0,)+∞上有最小值1-，则()f x 在(–],0∞上有最大值1C ．若()f x 在[1,)+∞上单调递增，则()f x 在(,1]-∞-上单调递减D ．若0x >时，2()2f x x x =-，则0x <时，2()2f x x x =-- 【答案】ABD【分析】根据奇函数定义判断A 正确；根据奇函数对称性判断B 正确；根据奇函数单调性判断C 不正确；根据奇函数定义求解析式，即得D 正确，【详解】因为函数是定义在R 上的奇函数，所以()()()0000f f f =-⇒=，所以A 正确；奇函数关于原点对称，所以由()f x 在[0,)+∞上有最小值1-，得()f x 在(,0]-∞上有最大值1，所以B 正确；奇函数在对称区间的单调性相同，所以由()f x 在[)1,+∞上为增函数得()f x 在(],1-∞-上为增函数；所以C 不正确；当0x <时，0x ->，根据奇函数的性质()()()()2222f x f x x x x x ⎡⎤=--=----=--⎣⎦，所以D 正确. 故选:ABD.【点睛】本题考查奇函数定义、对称性、单调性以及解析式，考查基本分析判断与求解能力，属中档题.11．对于实数a 、b 、c ，下列命题中正确的是（ ） A ．若a b >，则ac bc <； B ．若0a b <<，则22a ab b >> C ．若0c a b >>>，则a bc a c b >-- D ．若a b >，11a b>，则0a >，0b < 【答案】BCD【分析】由不等式的性质判断．【详解】若0c >，则由a b >得ac bc >，A 错；若0a b <<，则2a ab >，2ab b > 22a ab b >>，B 正确； 若0c a b >>>，则0c b c a ->->，∴110c a c b>>--，∴a b c a c b >--，C 正确；若a b >，且,a b 同号时，则有11a b <，因此由11,a b a b>>得0,0a b ><，D 正确． 故选BCD ．【点睛】本题考查不等式的性质，不等式的性质中特别要注意性质：“不等式两边同乘以或除以一个正数，不等号方向不变，同乘以或除以一个负数，不等号方向改变”，这里一定要注意所乘数一定要分正负，否则易出错． 12．下列求最值的运算中，运算方法错误的有（ ）A ．当0x <时，11()2x x x x ⎡⎤+=--+≤-=-⎢⎥-⎣⎦，故0x <时，的最大值是2-.B ．当1x >时，21x x +≥-，当且仅当21x x =-取等，解得1x =-或2， 又由1x >，所以取2x =，故1x >时，的最小值为22421+=-C ．由于222299442444x x x x +=+-≥=+++， 故2294x x ++的最小值是2D ．当,0x y >，且42x y +=时，由于24x y =+≥=，12≤，又112412x y +≥=≥=，故当,0x y >，且42x y +=时，11x y+的最小值为4【答案】BCD【分析】利用基本不等式使用条件，取等号的条件和利用基本不等式求最值的方法，逐项判定，即可求解.【详解】对于A 中，根据基本不等式，可判定是正确的；对于B 中，当1x >时，211111x x -++≥=-， 当且仅当211x x -=-取等，即1x =时，最小值为1，所以B 不正确； 对于C中，由于222299442444x x x x +=+-≥=+++， 当且仅当22944x x =++，即243x +=时，此时不成立，所以C 项不正确； 对于D 中，两次基本不等式的等号成立条件不相同，第一次是x=4y ，第二次是x=y ，所以不正确. 故选BCD.【点睛】本题主要考查了基本不等式的应用，其中解答中熟记基本不等式的使用条件和等号成立的条件，以及基本不等式求最值的方法是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.三、填空题13．设函数21,2()1(2),2x x f x f x x ≥=⎨⎪+<⎪⎩，则(3)f -=________.【答案】0【分析】先根据函数的局部周期性可得(3)(1)f f -=，在根据12x ≥上的解析式可求得(1)f 的值.【详解】21,2()1(2),2x x f x f x x ≥=⎨⎪+<⎪⎩∴当12x <时，()(2)f x f x =+132-<∴(3)(1)(1)f f f -=-=又112≥∴2(1)10f ==故答案为：0.【点睛】本题考查分段函数的函数值的计算，注意根据函数的局部周期性把所求的值转化为函数在12x ≥上某点的函数值，考查了分析能力和计算能力，属于中档题. 14．函数2245()(1)1x x f x x x -+=>-的最小值是__________.【答案】26【分析】函数式变形后用基本不等式求得最小值． 【详解】由于1x >，故10x ->，故()()()33212212611f x x x x x =-+≥-⋅=--，当且仅当()3211x x -=-，即61x =+时，函数取得最小值为26. 故答案为：26.【点睛】本题考查用基本不等式求最值，解题关键是把函数式变形，凑出积为定值，则和可得最小值，但要注意等号成立的条件．15．表示一位骑自行车和一位骑摩托车的旅行者在相距80 km 的甲、乙两城间从甲城到乙城所行驶的路程与时间之间的函数关系，有人根据函数图象，提出了关于这两个旅行者的如下信息：①骑自行车者比骑摩托车者早出发3 h ，晚到1 h ； ②骑自行车者是变速运动，骑摩托车者是匀速运动； ③骑摩托车者在出发1.5 h 后追上了骑自行车者； ④骑摩托车者在出发1.5 h 后与骑自行车者速度一样． 其中，正确信息的序号是________． 【答案】①②③ 【解析】看时间轴易知①正确；骑摩托车者行驶的路程与时间的函数图象是直线，所以是匀速运动，而骑自行车者行驶的路程与时间的函数图象是折线，所以是变速运动，因此②正确；两条曲线的交点的横坐标对应着4.5，故③正确，④错误．故答案为①②③.点睛：研究函数问题离不开函数图象，函数图象反映了函数的所有性质，在研究函数问题时要时时刻刻想到函数的图象，学会从函数图象上去分析问题、寻找解决问题的方法．16．若函数2(2),0()(21)1,0x a x x f x a x a x ⎧-+-≤=⎨-+->⎩在R 上为增函数，则a 取值范围为_____.【答案】[]1,2 【解析】函数2(2),0()(21)1,0x a x x f x a x a x ⎧-+-≤=⎨-+->⎩在R 上为增函数，则需202210(0)1a a f a -⎧≥⎪⎪->⎨⎪≤-⎪⎩，解得12a ≤≤，故填[]1,2.四、解答题17．已知全集U =R ，集合{}2|2150A x x x =--<，集合()(){}2|210B x x a x a =-+-<.（1）若1a =，求UA 和B ；（2）若A B A ⋃=，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）UA ={x ∣x ≤−3或x ≥5}；B =∅；（2）−1≤a【分析】（1）利用一元二次不等式的解法化简集合A 、B ,利用集合的基本运算即可算出结果；（2）因为A B A ⋃=，所以B A ⊆，对集合B 分等于空集和不等于空集两种情况讨论，求出a 的取值范围．【详解】（1）若1a =，则集合2{|2150}{|35}A x x x x x =--<=-<<， {|3U A x x ∴=-或5}x ，若1a =，则集合22{|(21)()0}{|(1)0}B x x a x a x x =-+-<=-<=∅， （2）因为A B A ⋃=，所以B A ⊆， ①当B =∅时，221a a =-，解1a =，②当B ≠∅时，即1a ≠时，2{|21}B x a x a =-<<，又由（1）可知集合{|35}A x x =-<<，∴22135a a --⎧⎨⎩，解得15a -，且1a ≠，综上所求，实数a 的取值范围为：15a-．【点睛】本题主要考查了集合的基本运算，考查了一元二次不等式的解法，是基础题． 18．某企业采用新工艺，把企业生产中排放的二氧化碳转化为一种可利用的化工产品.已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本y （元）与月处理量x （吨）之间的函数关系可近似地表示为21200800002y x x =-+，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元.（1）该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？（2）该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则国家至少需要补贴多少元才能使该单位不亏损？【答案】（1）400吨；（2）不获利，补40000元. 【分析】（1）求得每吨二氧化碳的平均处理成本为1800002002y x x x=+-，利用基本不等式求得yx的最小值，利用等号成立的条件求得x 的值，由此可得出结论； （2）令()2211100200800003008000022f x x x x x x ⎛⎫=--+=-+-⎪⎝⎭，求得该函数在区间[]400,600的最大值，进而可得出结论.【详解】（1）由题意可知，月处理成本y （元）与月处理量x （吨）之间的函数关系可近似地表示为()21200800004006002y x x x =-+≤≤， 所以，每吨二氧化碳的平均处理成本为1800002002y x x x=+-，由基本不等式可得200200y x ≥=（元）， 当且仅当1800002x x=时，即当400x =时，等号成立， 因此，该单位每月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低； （2）令()()222111100200800003008000030035000222f x x x x x x x ⎛⎫=--+=-+-=--- ⎪⎝⎭，400600x ≤≤，函数()f x 在区间[]400,600上单调递减，当400x =时，函数()f x 取得最大值，即()()max 40040000f x f ==-. 所以，该单位每月不能获利，国家至少需要补贴40000元才能使该单位不亏损. 【点睛】本题考查基本不等式和二次函数的实际应用，考查计算能力，属于中等题. 19．已知函数2()1ax bf x x +=+是定义在(1,1)-上的奇函数，且1225f ⎛⎫= ⎪⎝⎭． （1）求函数()f x 的解析式；（2）判断函数()f x 在(1,1)-上的单调性，并用定义证明；（3）解关于t 的不等式，11022f t f t ⎛⎫⎛⎫++-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 【答案】（1）2()1xf x x=+；（2）()f x 在(1,1)-上是增函数，证明见解析；（3）102t -<<． 【分析】（1）利用(0)0f =和1225f ⎛⎫=⎪⎝⎭求出函数的解析式； （2）任取1211x x -<<<，对()()12,f x f x 作差，判断出大小关系，可得函数的单调性；（3）利用函数的奇偶性和单调性，列出不等式组解出t 的范围． 【详解】（1）(0)00f b =⇒=，2121()251x f a f x x ⎛⎫=⇒=⇒= ⎪+⎝⎭； （2）任取1211x x -<<<，()()()()()()()()1212121222121011x x x x f x f x f x f x x x ---=<⇒<++所以函数()f x 在(1,1)-上是增函数；（3）11112222f t f t f t f t ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+<--⇒+<- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭110221311110222211311222t t t t t t t t ⎧⎧+<-⎪⎪<⎪⎪⎪⎪-<+<⇒-<<⇒-<<⎨⎨⎪⎪⎪⎪-<-<-<<⎪⎪⎩⎩t ∴的范围是1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭【点睛】本题考查函数的性质，考查奇偶性和单调性的应用，属于中档题． 20．函数()f x 的定义域为R ,且对任意,x y R ∈,有()()()f x y f x f y +=+,且当0x >时()()0,12f x f <=-.（1）证明:()f x 是奇函数; （2）证明:()f x 在R 上是减函数;（3）求()f x 在区间[]3,3-上的最大值和最小值.【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3) 最大值是6,最小值是-6.【分析】（1）令x ＝y ＝0，则可得f （0）＝0；y ＝﹣x ，即可证明f （x ）是奇函数， （2）设x 1＞x 2，由已知可得f （x 1﹣x 2）＜0，再利用f （x +y ）＝f （x ）+f （y ），及减函数的定义即可证明．（3）由（2）的结论可知f （﹣3）、f （3）分别是函数y ＝f （x ）在[﹣3、3]上的最大值与最小值，故求出f （﹣3）与f （3）就可得所求值域．【详解】（1）因为()f x 的定义域为R ,且()()()f x y f x f y +=+, 令y x =-得()()()f x x f x f x +-=+-⎡⎤⎣⎦,所以()()()0f x f x f +-=; 令0x y ==,则()()()0000f f f +=+,所以()00f =,从而有()()0f x f x +-=,所以()()f x f x -=-,所以()f x 是奇函数. （2）任取,x y R ∈,且12x x <,则()()()()121121f x f x f x f x x x -=-+-⎡⎤⎣⎦()()()()112121f x f x f x x f x x =-+-=--⎡⎤⎣⎦,因为12x x <,所以210x x ->,所以()210f x x -<,所以()210f x x -->, 所以()()12f x f x >,从而()f x 在R 上是减函数.（3）由于()f x 在R 上是减函数,故()f x 在区间[]3,3-上的最大值是()3f -,最小值是()3f , 由于12f ,所以()()()()()()()31212111f f f f f f f =+=+=++()()31326f ==⨯-=-,由于()f x 为奇函数知， ()()3-36f f -==, 从而()f x 在区间[]3,3-上的最大值是6,最小值是-6.【点睛】本题考查了抽象函数的奇偶性和单调性，深刻理解函数奇偶性和单调性的定义及充分利用已知条件是解决问题的关键． 21．已知()2f x ax x a =+-，a R ∈．()1若a 1=，解不等式()f x 1≥；()2若不等式()2f x 2x 3x 12a >--+-对一切实数x 恒成立，求实数a 的取值范围； ()3若a 0<，解不等式()f x 1>．【答案】（1）解集为{x |x 2≤-，或x 1}≥；（2）a 的范围为()2,+∞；（3）见解析. 【解析】分析: （1）当a=1，不等式即（x+2）（x ﹣1）≥0，解此一元二次不等式求得它的解集;（2）由题意可得（a+2）x 2+4x+a ﹣1＞0恒成立，当a=﹣2 时，显然不满足条件，故有()()a 20164a 2a 10+>⎧=-+-<⎨⎩，由此求得a 的范围;（3）若a ＜0，不等式为 ax 2+x ﹣a ﹣1＞0，即()a 1x 1x 0,a +⎛⎫-+< ⎪⎝⎭再根据1和﹣a 1a+的大小关系，求得此不等式的解集． 详解：()1当a 1=，不等式()f x 1≥即2x x 11+-≥，即()()x 2x 10+-≥，解得x 2≤-，或x 1≥，故不等式的解集为{x |x 2≤-，或x 1}≥．()2由题意可得()2a 2x 4x a 10+++->恒成立，当a 2=-时，显然不满足条件，()()a 20164a 2a 10+>⎧∴=-+-<⎨⎩．解得a 2>，故a 的范围为()2,∞+．()3若a 0<，不等式为2ax x a 10+-->，即()a 1x 1x 0a +⎛⎫-+< ⎪⎝⎭． a 12a 11a a ++⎛⎫--=⎪⎝⎭， ∴当1a 02-<<时，a 11a +<-，不等式的解集为a 1{x |1x }a +<<-； 当1a 2=-时，a 11a +=-，不等式即2(x 1)0-<，它的解集为；当1a 2<-时，a 11a +>-，不等式的解集为a 1{x |x 1}a+-<<． 点睛：本题主要考查一元二次不等式的解法，函数的恒成立问题，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．对于含参的二次不等式问题，先判断二次项系数是否含参，接着讨论参数等于0，不等于0，再看式子能否因式分解，若能够因式分解则进行分解，再比较两根大小,结合图像得到不等式的解集. 22．已知幂函数()()23122233p p f x p p x--=-+满足()()24f f <.（1）求函数()f x 的解析式； （2）若函数()()()2g x fx mf x =+，[]1,9x ∈是否存在实数m 使得()g x 的最小值为0？若存在，求出m 的值；若不存在，说明理由；（3）若函数()()3h x n f x =-+，是否存在实数(),a b a b <，使函数()h x 在[],a b 上的值域为[],a b ？若存在，求出实数n 的取值范围；若不存在，说明理由. 【答案】（1）()f x =（2）存在，1m =-；（3）存在，9,24n ⎛⎤∈--⎥⎝⎦.【分析】（1）利用幂函数的定义和已知条件即可得到答案. （2）首先得到()g x x =+t =得到()2k t t mt =+，[]1,3t ∈，再利用二次函数是的性质分类讨论即可得到答案.（3）首先得到()h x n=，根据题意得到()()h a n b h b n a ⎧==⎪⎨==⎪⎩①②，从而得到1n a a =+=+.【详解】（1）因为()()23122233p p f x p p x--=-+是幂函数，所以2331p p -+=，解得1p =或2p =.当1p =时，()1f x x=，在()0,∞+为减函数，不满足()()24f f <. 当2p =时，()f x =()0,∞+为增函数，满足()()24f f <.所以()f x =（2）()()()2g x f x mf x x =+=+，令t =，因为[]1,9x ∈，所以[]1,3t ∈，则令()2k t t mt =+，[]1,3t ∈，对称轴为2m t =-. ①当12m-≤，即2m ≥-时，函数()k t 在[]1,3为增函数， ()()min 110k t k m ==+=，解得1m =-.②当132m <-<，即62m -<<-时，()2min 024m m k t k ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭， 解得0m =，不符合题意，舍去. 当32m-≥，即6m ≤-时，函数()k t 在[]1,3为减函数，()()min 3930k t k m ==+=，解得3m =-.不符合题意，舍去.综上所述：存在1m =-使得()g x 的最小值为0.（3）()()3h x n f x n =-+=，则()h x 在定义域范围内为减函数， 若存在实数(),a b a b <，使函数()h x 在[],a b 上的值域为[],a b ，则()()h a n b h b n a ⎧==⎪⎨=-=⎪⎩①②，②-()()33a b a b =-=+-+，=，1=③.将③代入②得：1n a a =+=+-令t =a b <，所以10,2t ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭.所以2219224n t t t ⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭，在区间10,2t ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭单调递减， 所以924n -<≤-. 故存在实数(),a b a b <，使函数()h x 在[],a b 上的值域为[],a b ，实数n 的取值范围且为9,24⎛⎤-- ⎥⎝⎦.【点睛】本题主要考查函数的值域问题，同时考查了幂函数的解析式和分类讨论的思想，属于难题.。
佛山市第一中学2020-2021学年高一数学上学期第一次段考卷附答案解析
佛山市第一中学2020-2021学年高一数学上学期第一次段考卷一、单选题1．下列四组函数中，表示同一个函数的一组是（ ）A ．()1f x =，()0g x x = B ．()f x x =，()g t =C ．()211x f x x -=-，()1g x x =+ D ．()f x =()g t =2．若函数()y f x =的定义域为M ＝{x |－2≤x ≤2}，值域为N ＝{y |0≤y ≤2}，则函数()y f x =的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．3．已知a ，b R ∈且0a b <<，则下列不等式中一定成立的是（ ） A ．11a b< B ．b a a b< C ．22a b < D ．2ab b <4．若集合{}11A =-，，{|1}B x ax ==，且B A ⊆，则实数a 取值的集合为（ ）A ．{}1- B ．{}1C ．{}11-，D ．{}110-，，5．若a R ∈，则“21a -≥”是“0a ≤”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 6．已知0x >，0y >，且31155x y+=，则34x y +的最小值是（ ） A ．5 B ．6C ．285D ．2457．已知二次函数221y x ax =-+在区间(2，3)内是单调函数，则实数a 的取值范围是（ ） A ．2a ≤或3a ≥B ．23a ≤≤C ．3a ≤-或2a ≥-D ．32a --≤≤8．已知关于x 的一元二次不等式210kx x -+<的解集为(),a b ，则2a b +的最小值是（ ）A ．6B ．5+C ．3+D ．3二、多选题9．下列各结论正确的是（ ）A ．“xy>0”是“xy>0”的充要条件B的最小值为2C ．命题“∀x>1，x 2-x>0”的否定是“∀x ≤1，x 2-x ≤0”D ．“一元二次函数y=ax 2+bx+c 的图象过点(1，0)”是“a+b+c=0”的充要条件 10．关于函数y = ）A ．在区间()11-，上单调递减 B ．单调减区间为()1，-+∞ C ．最大值为2D ．无最小值11．下列各函数中，最小值为2的是（ ）A ．1y x x =+B ．2610y x x =-+ C．2y = D．3y x =- 12．已知函数()()2f x x mx n m n R =++∈，，关于x 的不等式()x f x <的解集为()()11-∞+∞，，，则（ ）A ．11m n =-=，B ．设()()f x g x x=，则()g x 的最小值一定为11g =（）C ．不等式()()()f x f f x <的解集为()()()0011∞∞-+，，，D ．若()()314212x h x f x x ⎧≤⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩，，，且()()22hx h x <+，则x 的取值范围是34∞⎛⎫-+ ⎪⎝⎭， 三、填空题 13．不等式2131x x +<-的解集是________. 14．已知函数()()()()210,103,x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨-<<⎪⎩若()14f x =，则x 的值是________.. 15．已知函数()()2311x f x x x +=<-，则()f x 的最大值是______________.16．已知()29f x x tx =-+，若对任意[]1,5x ∈，不等式()0f x ≥恒成立，则实数t 的最大值为______.四、解答题17．已知集合A ={x |a -1<x <2a +1}，B ={x |x 2-x <0} （I ）若a =1，求A B ，()R AB ； （II ）若A B =∅，求实数a 的取值范围18．已知定义在（1，+∞）上的函数f （x ）=1mxx -． （1）当m ≠0时，判断函数f （x ）的单调性，并证明你的结论； （2）当m =32时，求解关于x 的不等式f （x 2-1）＞f （3x -3）．19．根据市场调查，某种商品在最近的40天内的售价P (单位：百元/kg)与销售天数t 满足关系1110202412040t t t N P t t t N ⎧+≤<∈⎪=⎨⎪-+≤≤∈⎩，，，，，日销售量Q (单位：kg/日)与销售天数t 满足关系()143040.33Q t t t N =-+≤≤∈，求这种商品的日销售获利金额的最大值.20．已知函数2()21f x x ax a =-++-， （1）若2a =，求()f x 在区间[0,3]上的最小值； （2）若()f x 在区间[0,1]上有最大值3，求实数a 的值.21．设函数()()()2212f x mx m x m R =+++∈.（1）求不等式()0f x ≤的解集；（2）设()()()()()21412gx f x m x m x m m R =+--++-∈，设1x ，2x 为方程()0g x =的两根，且11<x ，22x >，试求实数m 的取值范围.22．对于定义域为D 的函数()y f x =，若同时满足下列条件： ∀()f x 在D 内单调递增或单调递减； ∀存在区间[],a b D ⊆，使()f x 在[],a b 上的值域为[],a b ；那么把()()y f x x D =∈叫闭函数． （1）求闭函数3y x =-符合条件∀的区间[],a b ；（2）判断函数()1xf x x =+是否为闭函数？并说明理由； (3)若y k =+是闭函数，求实数k 的范围．解析佛山市第一中学2020-2021学年高一数学上学期第一次段考卷一、单选题1．下列四组函数中，表示同一个函数的一组是（ ）A ．()1f x =，()0g x x = B ．()f x x =，()g t =C ．()211x f x x -=-，()1g x x =+ D ．()f x =()g t =【答案】B【分析】根据相等函数的判定方法，逐项判断，即可得出结果. 【详解】A 选项，因为()1f x =的定义域为R ，()0g x x =的定义域为()(),00,-∞⋃+∞，定义域不同，不是同一函数，故A 错；B 选项，因为()f x x =的定义域为R ，()g t =的定义域也为R ，且()g t t ==与()f x x =对应关系一致，是同一函数，故B 正确；C 选项，因为()211x f x x -=-的定义域为()(),11,-∞+∞，()1g x x =+的定义域为R ，定义域不同，不是同一函数，故C 错；D 选项， 因为()f x =[)1,+∞，()g t =的定义域为(][),11,-∞-⋃+∞，定义域不同，不是同一函数，故D 错. 故选：B.2．若函数()y f x =的定义域为M ＝{x |－2≤x ≤2}，值域为N ＝{y |0≤y ≤2}，则函数()y f x =的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【分析】根据函数的概念逐一判断即可.【详解】对于A ，定义域{}20M x x =-≤≤，值域为N ＝{y |0≤y ≤2}，故A 不选； 对于B ，定义域为M ＝{x |－2≤x ≤2}，值域为N ＝{y |0≤y ≤2}，故B 选； 对于C ，一个x 值对应两个y 值，不符合函数的定义，故C 不选；对于D ，定义域为M ＝{x |－2≤x ≤2}，值域是集合{y |0≤y ≤2}的子集，故D 不选； 故选：B【点睛】本题考查了函数的概念、函数的定义域、值域，考查了基本知识的掌握情况，属于基础题. 3．已知a ，b R ∈且0a b <<，则下列不等式中一定成立的是（ ）A ．11a b< B ．b a a b< C ．22a b < D ．2ab b <【答案】B【分析】根据0a b <<，利用不等式的性质和取特殊值可得正确选项. 【详解】由0a b <<，可令2,1a b =-=-， 对于A ：11a b>不成立； 对于B ：122b aa b=<=成立； 对于C ：22a b >不成立； 对于D ：222ab b =<=不成立. 故选：B .【点睛】本题考查了不等式的基本性质，考查逻辑思维能力和分析能力，属于基础题. 4．若集合{}11A =-，，{|1}B x ax ==，且B A ⊆，则实数a 取值的集合为（ ）A ．{}1- B ．{}1C ．{}11-，D ．{}110-，，【答案】D 【分析】根据B A ⊆，分别讨论B =∅和B ≠∅两种情况，即可得出结果.【详解】因为{}11A =-，，{|1}B x ax ==，B A ⊆，若B =∅，则方程1ax =无解，所以0a =满足题意； 若B ≠∅，则1{|1}B x ax xx a ⎧⎫====⎨⎬⎩⎭，因为B A ⊆，所以11a=±，则满足题意1a =±； 故实数a 取值的集合为{}110-，，.故选：D. 5．若a R ∈，则“21a -≥”是“0a ≤”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】B【分析】先解绝对值不等式21a -≥，设解集为A ，{}|0B a a =≤，再利用集合之间的关系即可求解.【详解】由21a -≥可得：21a -≥或21a -≤-，即3a ≥或1a ≤，设{|1A x a =≤或}3a ≥，{}|0B a a =≤，因为B A ， 所以“21a -≥”是“0a ≤”的必要不充分条件，故选：B【点睛】结论点睛：本题考查充分不必要条件的判断，一般可根据如下规则判断： （1）若p 是q 的必要不充分条件，则q 对应集合是p 对应集合的真子集； （2）p 是q 的充分不必要条件， 则p 对应集合是q 对应集合的真子集； （3）p 是q 的充分必要条件，则p 对应集合与q 对应集合相等； （4）p 是q 的既不充分又不必要条件， q 对的集合与p 对应集合互不包含．6．已知0x >，0y >，且31155x y+=，则34x y +的最小值是（ ） A ．5 B ．6C ．285D ．245【答案】A【分析】由()31343455x y x y x y ⎛⎫+=++⎪⎝⎭展开后，利用基本不等式，即可求出结果. 【详解】因为0x >，0y >，且31155x y+=， 则()31131213434941355555x y x y x y x y y x ⎛⎛⎫⎛⎫+=++=+++≥+= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝， 当且仅当312x y y x =，即112x y =⎧⎪⎨=⎪⎩时，等号成立. 故选：A.【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.7．已知二次函数221y x ax =-+在区间(2，3)内是单调函数，则实数a 的取值范围是（ ）A ．2a ≤或3a ≥B ．23a ≤≤C ．3a ≤-或2a ≥-D ．32a --≤≤【答案】A【分析】根据开口方向和对称轴及二次函数f （x ）=x 2-2ax +1的单调区间求参数的取值范围即可.【详解】根据题意二次函数f （x ）=x 2-2ax +1开口向上，单调递增区间为(,)a +∞，单调减区间(,)a -∞，因此当二次函数f （x ）=x 2-2ax +1在区间（2，3）内为单调增函数时a ≤2， 当二次函数f （x ）=x 2-2ax +1在区间（2，3）内为单调减函数时a ≥3， 综上可得a ≤2或a ≥3. 故选：A.8．已知关于x 的一元二次不等式210kx x -+<的解集为(),a b ，则2a b +的最小值是（ ）A ．6 B．5+C．3+D ．3【答案】C【分析】根据关于x 的一元二次不等式210kx x -+<的解集为(),a b ，得到a ，b 是方程210kx x -+=的两根，则有11a b kab k ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，进而得到111a b +=，然后利用“1”的代换转化2a b +，再利用基本不等式求解.【详解】因为关于x 的一元二次不等式210kx x -+<的解集为(),a b ，所以a ，b 是方程210kx x -+=的两根，所以11a b k ab k ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以111a b ab a b+=+=， 所以()1122233b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=++≥+⎪⎝⎭当且仅当2b aa b=时，取等号， 故选：C【点睛】本题主要考查一元二次不等式的解法的应用以及基本不等式的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.二、多选题9．下列各结论正确的是（ ）A ．“xy>0”是“xy >0”的充要条件B的最小值为2C ．命题“∀x>1，x 2-x>0”的否定是“∀x ≤1，x 2-x ≤0”D ．“一元二次函数y=ax 2+bx+c 的图象过点(1，0)”是“a+b+c=0”的充要条件 【答案】AD【分析】根据符号规律可判断A;根据基本不等式成立条件以及利用单调性求最值可判断B;根据全称命题否定形式可判断C;结合二次函数图象与性质可判断D. 【详解】xy>0⇔xy >0，故A 正确;令，则y=t+1t，且在区间[3，+∞)上，函数值y 随自变量x 的增大而增大，最小值为3+11033=，故B 错误;命题“⇔x>1，x 2-x>0”的否定是“⇔x>1，x 2-x ≤0”，故C 错误;一元二次函数y=ax 2+bx+c 的图象过点(1，0)显然有a+b+c=0，反之亦可，故D 正确. 故选：AD【点睛】本题考查充要条件判断、全称命题否定、函数最值求法，考查综合分析判断能力，属中档题.10．关于函数y = ）A ．在区间()11-，上单调递减 B ．单调减区间为()1，-+∞ C ．最大值为2 D ．无最小值【答案】AC【分析】先求出函数定义域，令232t x x =--，根据二次函数的性质，由已知解析式，逐项判断，即可得出结果.【详解】由2320x x --≥得31x -≤≤，即函数定义域为[]3,1-；令232t x x =--，则232t x x =--是开口向下，对称轴为1x =-的二次函数， 所以函数232t x x =--在[]3,1--上单调递增，在[]1,1-上单调递减，又y =所以y =[]3,1--上单调递增，在[]1,1-上单调递减，故A 正确，B 错；所以max 3214t =+-=，min 3210t =--=，即[]0,4t ∈；因此[]0,2y =，故C 正确，D 错.故选：AC.11．下列各函数中，最小值为2的是（ ）A ．1y x x =+B ．2610y x x =-+C．2y =D．3y x =-【答案】CD【分析】由基本不等式及二次函数的性质逐项判断即可得解. 【详解】当0x <时，10y x x=+<，故A 错误； 因为22610(3)11y x x x =-+=-+≥，故最小值为1，故B 错误；设1t=≥，则212y t t ===+≥=，当且仅当1t =，即0x =时等号成立，故C 正确；)212y =+0≥，当1x =时取最小值2，故D 正确.故选：CD.【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方 12．已知函数()()2f x x mx n m n R =++∈，，关于x 的不等式()x f x <的解集为()()11-∞+∞，，，则（ ）A ．11m n =-=，B ．设()()f x g x x=，则()g x 的最小值一定为11g =（）C ．不等式()()()f x f f x <的解集为()()()0011∞∞-+，，，D ．若()()314212x h x f x x ⎧≤⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩，，，且()()22hx h x <+，则x 的取值范围是34∞⎛⎫-+ ⎪⎝⎭， 【答案】ACD【分析】由已知不等式的解集求出.m n ，再求解各选项中的问题，作出判断．【详解】由题意2()(1)f x x x -=-，即2()1f x x x =-+，⇔1,1m n =-=，A 正确；()1()1f x g x x x x==+-，但当0x <时，()3f x ≤-，B 错； (())()f f x f x >，由已知()1f x ≠，即211x x -+≠，0x ≠且1x ≠，C 正确；由题意知()h x 在1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上是增函数，在1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦上是常函数，因此由()(22)h x h x <+得1222x x ≤<+或121222x x ⎧<⎪⎪⎨⎪+>⎪⎩，解得12x ≥或3142x -<<，综上，34x >-．D 正确． 故选：ACD ．【点睛】关键点点睛：本题考查求二次函数的解析式，考查二次函数的性质，二次函数在对称轴的两边单调性相反，顶点处取得最大值或最小值．二次函数的图象与一元二次不等式的解集、一元二次方程的解之间的关系必须能熟练掌握，灵活运用． 三、填空题 13．不等式2131x x +<-的解集是________. 【答案】()()14-∞+∞，，； 【分析】先移项再通分整理成整式不等式即可求解. 【详解】由2131x x +<-可得：()213101x x x +--<-，即401x x -<-， 所以()()140x x -->，解得：4x >或1x <，所以不等式的解集为：()()14-∞+∞，，， 故答案为：()()14-∞+∞，， 14．已知函数()()()()210,103,x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨-<<⎪⎩若()14f x =，则x 的值是________.. 【答案】34-或32或12【分析】直接分段解()114f x x =+=和()()2114f x x =-=，再根据对应的范围可得答案. 【详解】若0x ≤，则()114f x x =+=，解得34x =-若03x <<，则()()2114f x x =-=，解得12x =或32x =故答案为：34-或32或1215．已知函数()()2311x f x x x +=<-，则()f x 的最大值是______________. 【答案】2-；【分析】将()f x 化简得()2311411x f x x x x +⎛⎫==--++ ⎪--⎝⎭，利用基本不等式即可求最值. 【详解】()()()()22121434412121111x x x f x x x x x x x -+-++⎡⎤===-++=--++⎢⎥----⎣⎦， 因为1x <，所以10x -<，所以10x ->，所以4141x x -+≥=-，当且仅当411x x -=-即1x =-时等号成立， 所以()()1144221f x x x ⎡⎤=--++≤-+=-⎢⎥-⎣⎦，故答案为：2- 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方16．已知()29f x x tx =-+，若对任意[]1,5x ∈，不等式()0f x ≥恒成立，则实数t 的最大值为______.【答案】6【分析】参变分离可得9t x x ≤+,再根据基本不等式求9x x+在区间[]1,5x ∈上的最小值即可.【详解】因为()0f x ≥恒成立,即2990xtx t x x -+≥⇒≤+,又[]1,5x ∈,故96x x +≥= 当且仅当9x x=,即3x =时等号成立.故6t ≤,所以实数t 的最大值为6. 故答案为：6【点睛】本题主要考查了函数恒成立中求解参数最值的问题,需要参变分离用基本不等式求解.属于基础题.四、解答题17．已知集合A ={x |a -1<x <2a +1}，B ={x |x 2-x <0} （I ）若a =1，求A B ，()R A B ；（II ）若A B =∅，求实数a 的取值范围 【答案】（I ）(0,3),A B =()[1,3)R A B =；（II ）12a ≤-或2a ≥【分析】（I ）先解不等式得集合B ，再根据并集、补集、交集定义求结果；（II ）根据A =∅与A ≠∅分类讨论，列对应条件，解得结果.【详解】（I ）2{|0}(0,1)B x x x =-<=a =1，A ={x |0<x <3}，所以(0,3),AB = (,0][1,)()[1,3)R R B A B =-∞+∞∴=；（II ）因为AB =∅， 所以当A =∅时，1212a a a -≥+∴≤-，满足题意；当A ≠∅时，须212112*********a a a a a a a a >-⎧-<+⎧⎪∴∴-<≤-⎨⎨+≤-≥≤-≥⎩⎪⎩或或或2a ≥ 综上，12a ≤-或2a ≥ 【点睛】本题考查集合交并补运算、根据并集结果求参数，考查基本分析求解能力，属中档题. 18．已知定义在（1，+∞）上的函数f （x ）=1mx x -． （1）当m ≠0时，判断函数f （x ）的单调性，并证明你的结论；（2）当m =32时，求解关于x 的不等式f （x 2-1）＞f （3x -3）． 【答案】（1）见解析；（2）（，2）【分析】(1)利用函数单调性的定义进行证明即可;(2)利用函数的单调性写出满足的不等式组,从而可得不等式的解集.【详解】（1）根据题意，设1＜x 1＜x 2，则f （x 1）-f （x 2）=111mx x --221mx x -=m ×()()211211x x x x ---，又由1＜x 1＜x 2，则（x 2-x 1）＞0，（x 2-1）＞0，（x 1-1）＞0，当m ＞0时，f （x 1）＞f （x 2），f （x ）在（1，+∞）上递减；当m ＜0时，f （x 1）＜f （x 2），f （x ）在（1，+∞）上递增；（2）当m =32时，f （x ）为减函数，则f （x 2-1）＞f （3x -3）⇔2211331133x x x x ⎧-⎪-⎨⎪--⎩＞＞＜，＜x ＜2，，2）【点睛】本题考查函数的单调性的判定以及应用，注意讨论m 的取值范围，属于基础题．19．根据市场调查，某种商品在最近的40天内的售价P (单位：百元/kg)与销售天数t 满足关系1110202412040t t t N P t t t N ⎧+≤<∈⎪=⎨⎪-+≤≤∈⎩，，，，，日销售量Q (单位：kg/日)与销售天数t 满足关系()143040.33Q t t t N =-+≤≤∈，求这种商品的日销售获利金额的最大值. 【答案】176(百元).【分析】由题意可得()11431102023314341204033t t t t N P t t t t N ⎧⎛⎫⎛⎫+-+≤<∈ ⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭=⎨⎛⎫⎪-+-+≤≤∈ ⎪⎪⎝⎭⎩，，，，，根据分段函数的解析式，分类讨论，分别求得日销售额的最大值，即可求解，得到答案.【详解】设日销售获利金额为y (百元)，则()11431102023314341204033t t t t N P t t t t N ⎧⎛⎫⎛⎫+-+≤<∈ ⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭=⎨⎛⎫⎪-+-+≤≤∈ ⎪⎪⎝⎭⎩，，，， 当020t ≤<，t N ∈时，21143121114311233663y t t t t ⨯⎛⎫⎛⎫=+-+=-++⎪⎪⎝⎭⎝⎭ 则对称轴为22432122t-+==， 故当10t =或11时，max 176y =.当2040t ≤≤时，t N ∈时，()2143414341283333t y t t t ⨯⎛⎫=-+-+=-+ ⎪⎝⎭- 则对称轴为4143422t+== 故当20t =时，max 161y =.综上，当10t =或11时，日销售获利金额最大值为176(百元).【点睛】关键点睛：本题考查利用分段函数模型解决实际问题，解答本题的关键是由条件得出()11431102023314341204033t t t t N P t t t t N ⎧⎛⎫⎛⎫+-+≤<∈ ⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭=⎨⎛⎫⎪-+-+≤≤∈ ⎪⎪⎝⎭⎩，，，，，然后再分段求最值，属于中档题. 20．已知函数2()21f x x ax a =-++-，（1）若2a =，求()f x 在区间[0,3]上的最小值；（2）若()f x 在区间[0,1]上有最大值3，求实数a 的值.【答案】（1）min ()(0)1f x f ==-；（2）2a =-或3a =.【解析】试题分析：（1）先求函数对称轴，再根据对称轴与定义区间位置关系确定最小值取法（2）根据对称轴与定义区间位置关系三种情况分类讨论最大值取法，再根据最大值为3，解方程求出实数a 的值试题解析：解：（1）若2a =，则()()224123f x x x x =-+-=--+函数图像开口向下，对称轴为2x =，所以函数()f x 在区间[]0,2上是单调递增的，在区间[]2,3上是单调递减的，有又()01f =-，()32f =()()min 01f x f ∴==-（2）对称轴为x a = 当0a ≤时，函数在()f x 在区间[]0,1上是单调递减的，则 ()()max 013f x f a ==-=，即2a =-；当01a <<时，函数()f x 在区间[]0,a 上是单调递增的，在区间[],1a 上是单调递减的，则()()2max 13f x f a a a ==-+=，解得21a =-或，不符合；当1a ≥时，函数()f x 在区间[]0,1上是单调递增的，则()()max 11213f x f a a ==-++-=，解得3a =；综上所述，2a =-或3a =点睛：(1)已知函数的奇偶性求参数，一般采用待定系数法求解，根据()()0f x f x ±-=得到关于待求参数的恒等式，由系数的对等性得参数的值或方程(组)，进而得出参数的值；(2)已知函数的奇偶性求函数值或解析式，首先抓住奇偶性讨论函数在各个区间上的解析式，或充分利用奇偶性得出关于()f x 的方程，从而可得()f x 的值或解析式.21．设函数()()()2212f x mx m x m R =+++∈.（1）求不等式()0f x ≤的解集； （2）设()()()()()21412g x f x m x m x m m R =+--++-∈，设1x ，2x 为方程()0g x =的两根，且11<x ，22x >，试求实数m 的取值范围.【答案】（1）见解析；（2）43m >. 【分析】（1）讨论0m =，0m <，102m <<，12m =，12m >，分别求解不等式，即可求出结果； （2）先化简函数解析式，得到()()22gx x mx m m R =-+∈，根据方程根的分别情况，列出不等式求解，即可得出结果.【详解】（1）若0m =时，()20f x x =+≤得：2x -≤， 若0m ≠时，由()0f x =得：11x m=-，22x =-， 当0m <时，解不等式()0f x ≤可得1x m ≥-或2x -≤； 当102m <<，解不等式()0f x ≤可得12x m-≤≤-； 当12m =时，解不等式()0f x ≤可得2x =-； 当12m >时，解不等式()0f x ≤可得12x m -≤≤-； 综上，当0m =时，原不等式的解集为{}|2x x ≤-；当0m <时，原不等式的解集为1x x m ⎧≥-⎨⎩或}2x ≤-； 当102m <<，原不等式的解集为1|2x x m ⎧⎫-≤≤-⎨⎬⎩⎭当12m =时，原不等式的解集为{}2-；当12m >时，原不等式的解集为1|2x x m ⎧⎫-≤≤-⎨⎬⎩⎭； （2）由题意可得()()22g x x mx m m R =-+∈因为1x ，2x 为()0g x =的两根，且11<x ，22x >，所以()()1102430g m g m ⎧=-<⎪⎨=-<⎪⎩， 解得143m m >⎧⎪⎨>⎪⎩，所以43m >. 【点睛】思路点睛：由一元二次方程根（二次函数零点）的分布情况求参数时，一般需要由三个二次之间的关系，根据对应的二次函数的性质，结合二次函数的图象列出不等求解.22．对于定义域为D 的函数()y f x =，若同时满足下列条件：∀()f x 在D 内单调递增或单调递减；∀存在区间[],a b D ⊆，使()f x 在[],a b 上的值域为[],a b ；那么把()()y f x x D =∈叫闭函数． （1）求闭函数3y x =-符合条件∀的区间[],a b ；（2）判断函数()1x f x x =+是否为闭函数？并说明理由； (3)若y k =+是闭函数，求实数k 的范围．【答案】（1）[]1,1-；（2）见解析；（3）9,24⎛⎤-- ⎥⎝⎦【分析】（1）根据函数的单调性得到关于,a b 的方程组，解出即可；（2）将()f x 变形，得到()f x 的单调区间，根据闭函数的定义，判定即可得到答案；（3）根据闭函数的定义得到方程()()2221202,x k x k x x k -++-=≥-≥由两个不等的实根，通过讨论k ，得到关于k 的不等式组，即可求解.【详解】（1）由题意，3y x =- 在[],a b 上递减，则33b a a b b a ⎧=-⎪=-⎨⎪>⎩，解得11a b =-⎧⎨=⎩， 所以，所求的区间为[]1,1-. （2）()1111x f x x x ==-++在(),1-∞- 上单调递增，在()1,-+∞上单调递增， 所以，函数在定义域上不单调递增或单调递减，从而该函数不是闭函数（3）若y k =+ 是闭函数，则存在区间[],a b ，在区间[],a b 上，函数()f x 的值域为[],a b即a k b k ⎧=+⎪⎨=+⎪⎩ ， 所以,a b为方程x k = 即方程()()2221202,x k x k x x k -++-=≥-≥有两个不等的实根当2k ≤-时，有()020212f k k ⎧⎪∆>⎪-≥⎨⎪+⎪>⎩，解得924k -<≤- 当2k >- 时，有()00212f k k k ⎧⎪∆>⎪≥⎨⎪+⎪>⎩，此不等式组无解． 综上所述，9,24k ⎛⎤∈-- ⎥⎝⎦ . 【点睛】本题主要考查了函数的新定义的应用，以及函数的单调性的应用，其中解答中准确把握函数的新定义，合理分类讨论，列出相应的不等式（组）是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及转化思想的应用，属于中档试题.。
广东省署山市第一中学2020_2021学年度高一上学期第一次段考试题 数学【含答案】
广东省署山市第一中学2020_2021学年度高一上学期第一次段考试题数学【含答案】（试题总分：150 分考试时间：120分钟）一、选择题（本大题共8小题,每小题5分,共40分,每小题只有一个正确答案）1.下列四组函数中，表示同一个函数的一组是A. ，B. ，C. ，D. ，2.若函数的定义域为，值域为，则函数的图像可能是A. B.C. D.3.已知a，且，则下列不等式中一定成立的是A. 11a b< B. 22a b< C.b aa b< D. 2ab b<4.若集合，，且，则实数a取值的集合为( )A. B. C. D.5. 若，则“”是“”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件 6. 已知00x y >>，，且,则的最小值是 A. 5 B. 6 C.285 D.2457.已知二次函数在区间内是单调函数，则实数a 的取值范围是 A.B. C. 或 D. 或8.已知关于x 的一元二次不等式的解集为,则的最小值是A. 6B.C.D. 3二、多项选择题（本大题共4小题,共20分,每小题有多个正确答案,全部选对得5分,部分选对得3分,有选错得0分） 9.下列各结论中正确的是A. “”是“”的充要条件 B. “”的最小值为2C. 命题“，”的否定是“，” D. “函数的图象过点”是“”的充要条件10.关于函数，下列说法正确的是 A. 在区间上单调递减B. 单调减区间为C. 最大值为2D. 无最小值11.下列各函数中，最小值为2的是A. B. C.D.12.已知函数,关于的不等式的解集为，则A. B. 设，则的最小值一定为C. 不等式的解集为D. 若，且，则x 的取值范围是三、填空题（本大题共4小题,每小题5分,共20分）13.不等式2131x x +<-的解集是________． 14.已知函数()()()()210,103,x x f x x x +≤⎧⎪=⎨-<<⎪⎩若()14f x =，则x 的值是 . 15.已知函数()()2311x f x x x +=<-，则()f x 的最大值是______________16.已知，若对任意，不等式恒成立，则实数t 的最大值为______．四、解答题（本大题共6小题，共60分） 17.（本小题满分10分）已知集合，．若，求，；若，求实数a 的取值范围．18.（本小题满分12分）已知定义在上的函数．当时，判断函数的单调性，并证明你的结论；当时，求解关于x的不等式．19. （本小题满分12分）根据市场调查,某种商品在最近的40天内的售价(单位:百元/kg)与销售天数满足关系,日销售量(单位:kg/日)与销售天数t满足关系求这种商品的日销售获利金额的最大值.20.（本小题满分12分）已知函数.若，求在区间上的最小值；若在区间上有最大值3，求实数a的值．21.（本小题满分12分）设函数.(1)求不等式的解集；(2)设, 设 , 为方程的两根,且，,试求实数的取值范围．22.（本小题满分12分）对于定义域为D的函数，若同时满足下列两个条件：在D内单调递增或单调递减；存在区间，使在上的值域为；那么就把叫闭函数．求闭函数符合条件的区间；判断函数是否为闭函数并说明理由；若是闭函数，求实数k的范围．参考答案一.选择题1.B2. B3. C4. D5. B6. A7. D8. C二.多项选择题9.AD 10. AC 11. CD 12. ACD三.填空题- ; 16. 613. ; 14. ; 15. 2四.解答题17.解：因为，所以，，------2分所以 ---------3分因为 ----------4分所以， -----------5分(2)当时，时必有 --------6分当时，则有，----------7分又，则有或，解得：或 -------8分或． --------------------------9分综上实数a的取值范围为或 ---------------------------10分18.解：根据题意，设，--------------1分则， ----------------2分又由，则，，， ----------4分当时，，在上单调递减； -----------------5分当时，，在上单调递增； -----------------6分当时，由结论可知为减函数， ---------------------------7分则， -----------------------10分解可得：，不等式的解集为．--------------------12分19.设日销售获利金额为(百元)当，时----------------------------------------1分则对称轴为, ---------------------------------------3分故当时，．------------------------------------5分(说明:1分段写成等也算正确;3分段—5分段只要指出对称轴或者含有其他能直接或间接反映单调性的信息的文字都得满分)当时，时-------------------------------------------------------------6分则对称轴为 -----------------------------------------8分故当时，． ----------------------------------------10分(说明:6分段写成，等也算正确;8分段—10分段只要指出对称轴或者含有其他能直接或间接反映单调性的信息的文字都得满分)综合知,当时,日销售获利金额最大值为176(百元)．------12分20. 解：若，则所以函数在区间上递增，在区间上递减---------------------1分∵， ----------------------------------------------2分， ----------------------------------------------3分(说明:1分段只要有反映出二次函数单调性的信息(如对称轴)也得分,若最小值结果正确，2分段可省略) 对称轴为 ------------------------------------------------4分当时,函数在在区间上递减, ----5分即；---------------------------------------------------------6分当时,函数在区间上递增,在区间上递减则 ----------------------------7分所以或(舍去) -----------------------------------------9分当时，函数在区间上递增,则 -----------------------10分解得；--------------------------------------------------11分综上所述，或．------------------------------------12分21.当时，得：， --------------1分当时，由得：，， -----------------2分当时原不等式的解集为 ----------------3分当，原不等式的解集为 ---------------4分当时，原不等式的解集为 ---------------------------5分当时，原不等式的解集为 -----------------6分(本题由于参数分类中并无可合并的结果,所以不进行综述也不扣分，若结果正确但没写成集合或者区间形式则在本题最后总得分中扣1分瑕疵分)(2) 由题意可得 ---------------------7分因为，为的两根，且，，所以 -----------------------------------------9分解得 -----------------------------------------------11分所以； -------------------------------------------------12分解法2:由可得 -----------7分显然不是上述方程的根，则 -------------------------8分令,则,则 ---------------------9分所以 ------------------------------------------10分因为，为的两根，且，所以有两根且， -----------------11分结合,所以 -------------12分解法3：由可得， -------------------------7分所以 --------------------------------------8分解得 ----------------------------------------11分所以 --------------------------------------------12分22.解：由题意，在上递减-------------------------1分则， -------------------------------------------------2分解得，所以所求的区间为； ---------------------3分， --------------------------------------4分则f(x)在上单调递增，在上单调递增即f(x)在定义域上不单调递增或单调递减，故该函数不是闭函数.------5分(本问通过如果通过取特殊值得出函数不单调也可得满分，若没有4分段的式子变形或者没有取值依据，但直接正确指出了单调性只给1分)在上单调递增 --------------------------6分若是闭函数，则存在区间，在区间上，函数的值域为，即，b为方程的两个不等实数根---------------------7分即方程有两个不等的实根当时，有 -------------------------------------8分解得， -------------------------------------------------9分当时，有 --------------------------------------------10分该不等式组无解------------------------------------------------------11分综上所述，． ------------------------------------------12分解法2:至7分段和解法1相同，以下为不同部分:∴函数与的图象在上有两个不同交点 ---------8分当直线与曲线相切时,由得即 ----------------------------------------9分由得,即 ------------10分当直线过时, -----------------------------------11分结合图可知:当,即时直线与曲线有两个交点.所以 ----------12分。
广东中山第一中学高一上学期第二次段考数学试题 含答案
中山市第一中学2019—2020学年度第一学期高一级 第二次段考 数学试题满分150分，时间120分钟 命题人： 审题人：第Ⅰ卷（共52分）一、选择题（共10个小题,每小题4分，共40分．每题只有一项是符合题目要求．） 1．若集合2{|20},{|21}x M x x x N y y =-<==+，则MN =（ ）A.(0,2)B.(1,2)C.(0,1)D. ∅2．下列说法正确的是（ ）A ．在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；B ．底面为正多边形，且有相邻两个侧面与底面垂直的棱柱是正棱柱；C ．棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等．D ．以直角三角形的一边所在直线为轴旋转所得的旋转体是圆锥． 3．平行于同一平面的两条直线的位置关系是（ ）A ． 平行B ． 相交C ．异面D ．平行、相交或异面 4．若()f x 对于任意实数x 都有12()()21f x f x x+=+，则(2)f =（ ）A.0B.1C.83D.45．函数()f x =）A ．(],5-∞-B ．(],2-∞-C ．[)2,-+∞D ．[)1,+∞ 6．函数()()20622x x f x x -=<≤-的图象大致形状为（ ）A B C D7．若 1.21()3a -=，523b =，0.5log 0.6c =，则（ ）A ．c a b <<B ．b a c <<C ．b c a <<D ．a b c <<8．已知函数()f x 的图像是连续不断的，有如下x ，()f x 对应值表：函数()f x 在区间[1,6]上有零点至少有（ ）A ． 2个 B. 3个 C .4个 D. 5个 9．下列说法不正确的是 ( )A ．三角形一定是平面图形B ．若四边形的两对角线相交于一点，则该四边形是平面图形C ．圆心和圆上两点可确定一个平面D ．三条平行线最多可确定三个平面10．若直角坐标平面内的两点,P Q 满足条件：①,P Q 都在函数()y f x =的图象上；②,P Q 关于原点对称．则称点对(,)P Q 是函数()y f x =的一对“友好点对”，(点对(,)P Q 与(,)Q P 看作同一对“友好点对”)．已知函数()log ,03,40a x x f x x x >⎧=⎨+-≤<⎩()01a a >≠且，若此函数的“友好点对”有且只有一对，则a 的取值范围是（ ）A ． 114⎛⎫⎪⎝⎭，B ．()114⎛⎫ ⎪⎝⎭,1,4 C ．()111+4，，⎛⎫∞⎪⎝⎭D ．()11+4⎛⎫∞ ⎪⎝⎭，4，二、选择题（共3个小题,每小题4分，共12分．每题有多个选项是符合题目要求．全对得4分，有错选的得0分，部分选对的得2分）11．用一个平面去截一个正方体，所得的截面可能是（ ）A ．三角形B ．四边形C ．五边形D ．六边形12．一几何体的平面展开图如图所示，其中四边形ABCD 为正方形，E 、F 分别为PB 、PC 的中点，在此几何体中，给出的下面结论中正确的有（ ） A ．直线AE 与直线BF 异面 B ．直线AE 与直线DF 异面 C ．直线EF ∥平面PAD D ．直线EF ∥平面ABCD13．对于定义域为D 的函数()f x ，若存在区间[],m n D ⊆，同时满足下列条件：①()f x 在[],m n 上是单调的；②当定义域是[],m n 时，()f x 的值域也是[],m n ，则称[],m n 为该函数的“和谐区间”.下列函数存在“和谐区间”的是（ ）A ．()2f x x =B ．()23f x x=-C ．()22f x x x =- D ．()ln 2f x x =+第Ⅱ卷（共98分）三、填空题（每小题4分，满分16分.）14．幂函数()f x x α=的图像经过点12（，则()16f =_____． 15．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 分别是1AA 、AB 的中点，则异面直线EF 与11A C 所成角的大小是______．16．定义在R 上的偶函数()f x 对任意的12,(,0]x x ∈-∞,且12x x ≠，都有2121()()0f x f x x x -<-，且(1)0f =，则不等式()02f x x <+解集是____________________． 17．如图，圆形纸片的圆心为O ，半径为12cm ，该纸片上的正方形ABCD 的中心为,,,,O E F G H 为圆O 上的点，ABE ∆，BCF ∆，CDG ∆，ADH ∆分别是以,,,AB BC CD DA 为底边的等腰三角形.沿虚线剪开后，分别以,,,AB BC CD DA 为折痕折起ABE ∆，BCF ∆，CDG ∆，ADH ∆使得,,,E F G H 重合，得到一个四棱锥.当该四棱锥的侧面积是底面积的2倍时，该四棱锥的外接球的表面积为__________．四、解答题 （本大题共6小题，共82分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 18．（12分）设全集R U =，集合1|2432x A x ⎧⎫=≤≤⎨⎬⎩⎭，B ={|13}x x -<< （1）求()U C AB ；（2）若{}|121C x m x m =-<<+．若A C A =，求m 的取值范围．19.（14分）（1）计算：7log 223lg 25lg 47log 3log 4+++⋅；（2）已知11223m m -+=(1m > ) ，求22m m --的值.20．（14分）已知函数()()1f x x R x αα=-∈，且()1522f =-. （1）判断()f x 的奇偶性并证明；（2）判断()f x 在(),0-∞上的单调性，并给予证明．21.（14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，DC AB //，AB CD 2=，E 为棱PD 的中点.（1）求证：AE //平面PBC ；（2）试判断PB 与平面AEC 是否平行？并说明理由.C22．（14分）某公司计划在报刊与网络媒体上共投放30万元的广告费，根据计划，报刊与网络媒体至少要投资4万元．根据市场前期调研可知，在报刊上投放广告的收益P 与广告费x 满足4P =，在网络媒体上投放广告的收益Q 与广告费x 满足122Q x =+，设在报刊上投放的广告费为x (单位：万元)，总收益为()f x (单位：万元).(1)当在报刊上投放的广告费是18万元时，求此时公司总收益；(2)试问如何安排报刊、网络媒体的广告投资费，才能使总收益最大?23．（14分）已知函数()f x 对于任意的,x y ∈R ，都有()()()f x y f x f y +=+，当0x >时，()0f x <，且1(1)2f =-．（1）求(0)f ，(1)f -的值；（2）当34x -≤≤时，求函数()f x 的最大值和最小值；（3）设函数2()()3()g x f x m f x =--，判断函数g (x ) 最多有几个零点，并求出此时实数m 的取值范围．中山市第一中学2019—2020学年度第一学期高一级 第二次段考 数学参考答案一、选择题三、填空题（每小题4分，满分16分.） 14．4 15．60 16．(,2)(1,1)-∞-- 17．4003π四、解答题 （本大题共6小题，共82分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 18．【解析】（1）{}1|24|5232x A x x x ⎧⎫=≤≤=-≤≤⎨⎬⎩⎭，…………… 2分 所以{}|12AB x x =-<≤，…………… 4分所以()U C AB {|12}x x x =≤->或.…………… 6分（2）因为A C A =⇒C A ⊆，…………… 7分①当121m m -≥+，即2m ≤-时，C A =∅⊆，…………… 9分②当C ≠∅，即2m >-时，有15212m m -≥-⎧⎨+≤⎩解得：122m -<≤…………… 11分 综上可知，满足条件的m 的取值范围为12m ≤．…………… 12分 19.解析：（1）原式lg3lg 4lg10022226lg 2lg3=++⋅=++=. ………7分 （2）1122122()37m m m m --+=∴+=………9分12222()747m m m m --+=∴+= 1222()245m m m m ---=+-= ,1m 1m m -∴-=> ………12分2211()()m m m m m m ---∴-=+-= ………14分20．【解析】（1）由()1522f =-得115222α-=-， 解得3α=；………3分 由（1）得()31f x x x=-，定义域为()(),00,-∞+∞关于原点对称，………4分()()3311f x x x f x x x ⎛⎫-=-+=--=- ⎪⎝⎭，………6分∴()f x 为奇函数；………7分 （2）函数()31f x x x=-在(),0-∞上是单调减函数，证明如下：………8分 设()12,,0x x ∈-∞，且12x x < ………9分()()3312121211f x f x x x x x ⎛⎫⎛⎫-=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()33121211x x x x ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭()()212212112212()x x x x x x x x x x -=--++()22211122121()x x x x x x x x=-+++………12分因为120x x <<，所以21120,0x x x x ->>，1210x x >，2222112212213()024x x x x x x x ++=++> ∴ ()()120f x f x ->，即()()12f x f x > ，………13分 所以()31f x x x=-在(),0-∞上是单调减函数. ………14分 21.证明：（1）取PC 的中点F ，连接EF ，BF ，………1分 则EF //DC ，且12EF DC =， 又因为DC AB //，AB CD 2=， 所以EF //AB ，且EF AB =， 所以四边形EFBA 为平行四边形， 则AE //BF ， ………4分 又因为AE ⊄平面PBC ，BF ⊂平面PBC ， 所以AE //平面PBC . …………7分C（2）PB 与平面AEC 不平行. ………8分 假设PB //面AEC ， 设BDAC O =，连结OE ，则平面EAC平面PDB OE =，又PB ⊂平面PDB ， 所以//PB OE . 所以，在PDB ∆中有OB OD =PEED， 由E 为PD 的中点可得1OB PEOD ED==，即OB OD =.………11分 因为//AB DC ，所以12AB OB CD OD ==，这与OB OD =矛盾，………13分 所以假设错误，PB 与平面AEC 不平行. …………14分22．【解析】(1)当18x =时，此时在网络媒体上的投资为12万元，………1分 所以总收益()1184122162f =+⨯+= (万元). ………5分 (2)由题知，在报刊上投放的广告费为x 万元，则在网络媒体上投放广告费为()30x -万元，依题意得4304x x ≥⎧⎨-≥⎩，解得426x ≤≤，………6分所以()()143022f xx =+-+=1213x -+，426x ≤≤………8分 令t =，则[]2,4t ∈，所以21123yt =-++=21(172t--+.………10分当t =，即8x =万元时，y 的最大值为17万元．………12分所以，当在报刊上投放的8万元广告费，在网络媒体上投放22万元广告费时，总收益最大，且最大总收益为17万元．………14分23．【解析】（1）令0x y ==得()()()000f f f =+，得()00f =. ………2分 令1x =，1y =-，得(0)(1)(1)f f f =+-，解得1(1)2f -=．………4分 (2)任取12,,x x R ∈且12x x <，则210x x ->，………5分因为()()()f x y f x f y +-=，即()()()()f x y f x f x y x f y ⎡⎤+-=+-=⎣⎦，令 21 x x y x x =+=，，则()()()2121f x f x f x x -=-.由已知0x >时，()0f x <且210x x ->，则()210f x x -<， 所以 ()()210f x f x -<，()()21f x f x <， 所以函数()f x 在R 上是减函数，………7分 故 ()f x 在[]3,4-单调递减.所以()()()()max min 3,4f x f f x f =-=，因为(4)(22)(2)(2)2(2)4(1)2f f f f f f =+=+===-，3(3)(21)(2)(1)3(1)2f f f f f -=--=-+-=-=， 故()max 32f x =，()min 2f x =-. ………9分 (3) 令,y x =-代入()()()f x y f x f y +=+， 得()()()00f x f x f +-==，所以()()f x f x -=-，故()f x 为奇函数. ………10分 ∴()()()23g x f x m fx =-- =()()23f x m f x -+-=()()()()2f x m f x f x f x -+-+-+-()23f x x m =-- ，令()0g x =，即()2300f x x m f --==（），因为函数()f x 在R 上是减函数，所以230x x m --=，即23m x x =-，………13分 所以当9,04m ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，函数()g x 最多有4个零点. ………14分。
2022-2023学年广东省中山市第一中学高一上学期第二次段考数学试题(解析版)
2022-2023学年广东省中山市第一中学高一上学期第二次段考数学试题一、单选题1．已知集合{}{}1,1,0,2,3A x x B =≤=-，则()R A B =（ ） A ．{}2 B ．{}2,3 C ．{}0,1,2D ．{}1x x >-【答案】B【分析】先求得{}1R A x x =>，然后利用集合的交集运算求解即可.【详解】因为{}1A x x =≤，所以{}1R A x x =>，又因为{}1,0,2,3B =-，所以(){}2,3R B A ⋂=. 故选：B.2．命题“关于x 的方程220ax x --=在()0,∞+上有解”的否定是（ ）A ．()20,,20x ax x ∃∈+∞--≠B ．()2–,0,20x ax x ∃∈∞--=C ．()20,,20x ax x ∀∈+∞--≠ D ．()20,,20x ax x ∀∈+∞--=【答案】C【分析】利用含有一个量词的命题的否定的定义判断.【详解】因为原命题即为“()0,x ∃∈+∞，220ax x --=”是存在量词命题， 所以其否定为全称量词命题，即为“()0,x ∀∈+∞，220ax x --≠”， 故选：C3．函数()lg(31)f x x =+的定义域是（ ） A ．113⎛⎤- ⎥⎝⎦， B ．113⎛⎫- ⎪⎝⎭， C ．()1-∞，D ．13⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭， 【答案】A【分析】利用函数有意义列出不等式组求解即可.【详解】解：()lg(31)f x x +有意义，则10310x x -≥⎧⎨+>⎩得113x ≤-<，故选：A.4．青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，小数记录法的数据V 和五分记录法的数据L 满足510L V -=，已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据约为（ ）（注： 1.25） A ．0.6 B ．0.8 C ．1.2 D ．1.5【答案】B【分析】当 4.9L =时50.10.11101010L V --===，即可得到答案. 【详解】由题意可得当 4.9L =时50.10.11110100.810 1.25L V --===≈= 故选：B5．若0.5a e =，ln 2b =，2log 0.2c =，则有（ ） A ．a b c >> B ．b a c >> C ．c a b >> D ．b c a >>【答案】A【解析】利用指数函数和对数函数的单调性比较a 、b 、c 三个数与0、1的大小关系，从而可得出这三个数的大小关系.【详解】指数函数x y e =为增函数，则0.501a e e =>=； 对数函数ln y x =为增函数，则ln1ln 2ln e <<，即01b <<； 对数函数2log y x =为增函数，则22log 0.2log 10c =<=. 因此，a b c >>. 故选：A.【点睛】本题考查指数式与对数式的大小比较，一般利用指数函数和对数函数的单调性得出各数与中间值0、1的大小关系，考查推理能力，属于基础题. 6．函数21()log f x x x=-的零点所在的区间为（ ） A ．()0,1 B ．()1,2 C ．()2,3 D ．()3,4【答案】B【解析】判断函数的单调性，结合函数零点存在性定理，判断选项. 【详解】()10110f =-=-<，()1121022f =-=>， 且函数()21log f x x x=-的定义域是()0,∞+，定义域内2log y x =是增函数，1y x =-也是增函数，所以()f x 是增函数，且()()120f f <， 所以函数21()log f x x x=-的零点所在的区间为()1,2. 故选：B【点睛】方法点睛：一般函数零点所在区间的判断方法是：1.利用函数零点存在性定理判断，判断区间端点值所对应函数值的正负；2.画出函数的图象，通过观察图象与x 轴在给定区间上是否有交点来判断，或是转化为两个函数的图象交点判断.7．已知函数()228,11,1x ax x f x x a x x ⎧-+≤⎪=⎨++>⎪⎩的最小值为()1f ，则实数a 的值不可能是（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5【答案】A【分析】首先分析函数性质，得出最小值出现在228y x ax =-+上，再结合二次函数求最小值问题，以及分段函数最值，得出a 的范围，从而可以求解.【详解】因为1y x a x=++在()1,∞+上单调递增，无最小值，所以根据题意可知，()f x 的最小值必出现在228,1y x ax x =-+≤上.根据分段函数性质，228,1y x ax x =-+≤在1x =处取值小于或等于1y x a x =++在1x =处的取值，则1282a a -+≤+,解得73a ≥. 228y x ax =-+在1x =处取得最小值，由二次函数性质可得对称轴x a =在1x =的右边，即1a ≥.综上7,3a ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭，故A 不符合题意.故选：A8．已知函数212()log (4)f x x ax a =-+在区间[2,)+∞上单调递减,则实数a 的取值范围为（ ）A ．(2,4]-B ．[2,4]-C ．(,4]-∞D ．[4,)+∞【答案】A【分析】由题意根据复合函数的单调性，结合对数函数的性质，可得t ＝x 2﹣ax +4a ＞0区间[2，+∞）上恒成立，且是增函数，故有224240a a a ⎧≤⎪⎨⎪-+⎩＞，由此解得a 的范围．【详解】∵函数212()log (4)f x x ax a =-+在区间[2，+∞）上是减函数，又12log y t =是减函数， ∴t ＝x 2﹣ax +4a ＞0区间[2，+∞）上恒成立，且是增函数， ∴224240aa a ⎧≤⎪⎨⎪-+⎩＞，解得﹣2＜a ≤4， 故选A ．【点睛】本题主要考查复合函数的单调性，二次函数、对数函数的性质，属于中档题．二、多选题9．已知条件p ：2{|60}x x x +-=，条件q ：{|10}x xm +=，且p 是q 的必要条件，则m 的值可以是（ ） A ．12B ．13C ．-12D ．0【答案】BCD【分析】根据必要条件转化为集合的包含关系，求解即可. 【详解】设2{|60}{3,2}A x x x =+-==-，{|10}B x xm =+=, 因为p 是q 的必要条件，所以B A ⊆，当B =∅时，由10+=mx 无解可得0m =，符合题意；当B ≠∅时，{2}B =或{3}B =-，当{2}B =时，由210m +=解得12m =-，当{3}B =-时，由310m -+=解得13m =. 综上，m 的取值为0，12-，13.故选：BCD10．下列各结论正确的是（ ）A ．“0xy >”是“0xy>”的充要条件 B 2C ．若不等式220ax x c ++>的解集为{}|12x x -<<，则2a c +=D ．若,a b c d >>，则()()ln ln ab cd > 【答案】AC【分析】根据充要条件、基本不等式、一元二次不等式的解、对数比较大小等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】A 选项，由于00x xy y >⇔>，所以“0xy >”是“0xy>”的充要条件，A 选项正确.B2≥，=B 选项错误.C 选项，由于不等式220ax x c ++>的解集为{}|12x x -<<， 所以1-是一元二次方程220ax x c ++=的根， 则20,2a c a c -+=+=，所以C 选项正确.D 选项，4,1,3,2,,,4,6a b c d a b c d ab cd ====>>==，此时()()ln ln ab cd <，所以D 选项错误. 故选：AC11．已知函数()y f x =在[)1,+∞上单调递增，且()f x 关于1x =对称，则（ ） A ．()()13f f -< B ．()()211xf f +<C ．()1f x +为偶函数D ．任意R x ∈且0x ≠，都有()()23x xf f <【答案】CD【分析】由函数()f x 在[)1,+∞单调递增，且关于1x =对称，可知函数在(],1-∞上单调递减，结合指数函数的性质判断选项正误.【详解】对于A ，因为函数()y f x =图象关于1x =对称，所以(1)(3)f f -=，A 错误； 对于B ，因为20x >，所以211x +>，又因为函数()f x 在[)1,+∞单调递增， 所以(21)(1)x f f +>，B 错误；对于C ，因为()f x 的图象向左平移一个单位即(1)f x +的图象，函数()y f x =图象关于1x =对称，则(1)f x +的图象关于y 轴对称，是偶函数，C 正确；对于D ，函数()f x 在[)1,+∞单调递增，且关于1x =对称，函数在(],1-∞上单调递减， 当0x <时，321x x <<，所以(2)(3)x x f f <， 当0x >时，123x x <<，所以(2)(3)x x f f <， 综上，R x ∀∈且0x ≠，都有(2)(3)x x f f <，D 正确. 故选：CD.12．已知函数()12ax a f x x -+=+，则下列说法正确的是（ ） A ．()f x 的定义域为()(),22,-∞-⋃-+∞B ．当函数()f x 的图象关于点()2,3-成中心对称时，32a = C ．当13a <时，()f x 在()2,+∞上单调递减D ．设定义域为R 的函数()g x 关于(2,2)-中心对称，若2a =，且()f x 与()g x 的图象共有2022个交点，记为(),i i i A x y （1i =，2，…，2022），则()()1122x y x y ++++()20222022x y ++的值为0【答案】ACD【分析】对A ：由20x +≠即可判断；对B ：由13()2af x a x -=++，可得()f x 的图象关于点(2,)a -成中心对称，从而即可判断；对C ：13()2af x a x -=++，且130a ->，即可判断；对D ：由函数()f x 和()g x 图象关于(2,2)-对称，则()f x 与()g x 图象的交点成对出现，且每一对均关于(2,2)-对称，从而即可求解判断.【详解】解：对A ：要使函数1()2ax a f x x -+=+有意义，则20x +≠，即2x ≠-，∴()f x 的定义域为(,2)(2,)-∞-⋃-+∞，所以选项A 正确； 对B ：∵1(2)21()22ax a a x a a f x x x -++--+==++132aa x -=++，∴()f x 的图象关于点(2,)a -成中心对称，∴当函数()f x 的图象关于点(2,3)-成中心对称时，3a =，所以选项B 不正确； 对C ：由选项B 知13()2a f x a x -=++，当13a <时，130a ->，∴13()2af x a x -=++在(2,)-+∞单调递减，所以选项C 正确； 对D ：∵2a =，135()222a f x a x x --=+=+++， ∴()f x 的图象关于(2,2)-对称，又函数()g x 的图象关于(2,2)-对称， ∴()f x 与()g x 图象的交点成对出现，且每一对均关于(2,2)-对称，()()()112220222022x y x y x y ∴++++++()()()1220221220222022220222x x x y y y =++++++=⨯-+⨯404440440=-+=，所以选项D 正确.故选：ACD.三、填空题13．已知幂函数f （x ）=xa 的图象经过点（8，2），则f （27）的值为____________． 【答案】3【分析】根据幂函数f （x ）=xa 的图象经过点（8，2）求出a 的值，再求f （27）的值.【详解】幂函数f （x ）=xa 的图象经过点（8，2），则8α=2，∴α=13，∴f （x ）=13x ，∴f （27）=1327=3．故答案为3．【点睛】本题主要考查幂函数的概念和解析式的求法，考查幂函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.14．设a b 23x ==，且111a b+=，则x 的值为______．【答案】6【分析】由2a=3b=x ，根据对数的定义，分别表示出a 与b ，代入111a b+=中，利用对数的运算法则即可求出x 的值．【详解】由a b 23x ==，得到x2a log =，x3b log =，代入111a b+=中得：x x 23111log log +=，即lg2lg3lg61lgx lgx lgx +==， 得到lgx lg6=，即x 6=． 故答案为6【点睛】此题考查学生掌握对数的定义及运算法则，是一道基础题．15．函数(),y f x x R =∈，且()(1)f x f x =-+，当(0,1]x ∈时，()3x f x =，则(2)f =_______． 【答案】3-【分析】根据所给函数的性质可推出(2)()f x f x +=，利用此性质结合(0,1]x ∈上函数的解析式即可求解.【详解】因为()(1)f x f x =-+，即(1)()f x f x +=-， 所以()(2)(1)()()f x f x f x f x +=-+=--=， 故(2)(3)(32)(1)3f f f f =-=--=-=-， 故答案为：3-16．设{},? ,max ,,? .a a b a b b a b ≥⎧=⎨<⎩函数(){}1max 2,42xf x x -=--，若关于x 的方程()f x t =有三个不相等的实数解，则实数t 的取值范围是______． 【答案】24t <<【分析】根据函数新定义求出函数()f x 解析式，画出函数()f x 的图象，利用转化的思想将方程的根转化为函数图象的交点，根据数形结合的思想即可得出t 的范围. 【详解】由题意知，令1242xx -=--，解得20x x x ==，，根据{}max a a b a b b a b ≥⎧=⎨<⎩，，，，得121220()4202x x x f x x x x x x--⎧≤⎪=--<<⎨⎪≥⎩，，，， 作出函数()f x 的图象如图所示，由方程()0f x t -=有3个不等的根，得函数()y f x =图象与直线y t =有3个不同的交点，由图象可得，当24t <<时函数()y f x =图象与直线y t =有3个不同的交点， 所以t 的取值范围为24t <<. 故答案为：24t <<四、解答题 17．计算：(1))320431682181-⎛⎫+-⎪⎝⎭；(2)9log 26619log 8log 33++． 【答案】(1)518(2)3【分析】（1）根据指数幂运算法则运算求解即可； （2）根据对数运算法则运算求解即可.【详解】（1）解：)())33224340043331622821221181343---⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢⎥+-+-- ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=⎝=⎭+⎢⎥⎣⎦32751328833⎛⎫=+= ⎪⎝=+⎭（2）解：91log 2366666619log 8log 32log 8log 32log 2log 333++=++=++= 18．已知集合()(){}(){}2340,30||1xA x x xB y y x =+-≥==+>．(1)求集合(),A B A B ⋂⋃R ；(2)若集合{}|22C x m x m =-≤≤且()A C C ⋂=R ，求m 的取值范围． 【答案】(1)[)4,A B =+∞，()3,2A B ∞⎛⎫⋃=-+ ⎪⎝⎭R(2)1(,2)(,2)2m ∈-∞-【分析】(1)利用一元二次不等式的解法以及指数函数的性质结合集合的交并补运算即可求解；(2)根据集合的包含关系分类讨论即可求解.【详解】（1）由()()2340x x +-≥解得32x ≤-或4x ≥，所以[)3,4,2A ⎛⎤=-∞-+∞ ⎥⎝⎦,因为0x >，所以31x >，所以312x y =+>， 所以()2,B =+∞. 所以[)4,A B =+∞，3,4,2A ⎛⎫=- ⎪⎝⎭R所以()3,2A B ∞⎛⎫⋃=-+ ⎪⎝⎭R（2）因为()A C C ⋂=R ，所以RC A ⊆，(i)若22m m ->，即2m <-，C =∅满足题意， （ii ）若22m m -≤，即2m ≥-，因为R C A ⊆，所以32224m m ⎧->-⎪⎨⎪<⎩，解得122m <<. 综上1(,2)(,2)2m ∈-∞-19．设函数()223y ax b x =+-+．(1)若1x =时，3,0,0y a b =>>，求14a b+的最小值；(2)若=-b a ，求不等式1y ≤的解集． 【答案】(1)92(2)见解析【分析】（1）乘1法解决即可；（2）分0a =，0a ≠种情况讨论即可.【详解】（1）当1x =时，3,0,0y a b =>>, 所以2a b +=，所以122a b+=，所以141412529222222222a b b a b a a b a b a b a b ⎛⎫⎛⎫+=++=+++≥+⨯= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 当且仅当22b aa b=，即2b a =， 因为2a b +=，所以24,33a b ==时，取等号，所以14a b +的最小值为92.（2）若=-b a ，则()223y ax a x =-++，因为不等式1y ≤， 所以2(2)20ax a x -++≤，①当0a =时，不等式化为220x -+≤，解得1x ≥，不等式的解集为{}|1,x x x ≥∈R ， ②当0a ≠时，不等式化为(1)(2)0x ax --≤，令2(2)20ax a x -++=，解得1221,x x a==， 所以 当0a >时，若2a =，不等式解得1x =；若2a >，因为21a <，不等式解得21x a ≤≤，不等式解集为2,1a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，若02a <<，因为21a <，不等式解得21x a ≤≤，不等式解集为21,a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，当a<0时，显然21a <，不等式解得2x a ≤或1x ≥，不等式的解集为[)2,1,a ∞∞⎛⎤-⋃+ ⎥⎝⎦.20．某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的年收益()f x 与投资额x 成正比，其关系如图1：投资股票等风险型产品的年收益()g x 与投资额x 的算术平方根成正比，其关系如图2．(1)分别写出两种产品的年收益()f x 和()g x 的函数关系式；(2)该家庭现有20万元资金，全部用于理财投资，问：怎么分配资金能使投资获得最大年收益，其最大年收益是多少万元?【答案】(1)()0.125,()f x x g x ==(2)当投资稳健型产品的资金为16万元，风险型产品的资金为4万元时年收益最大，最大值为3万元.【分析】（1）根据待定系数法可得；（2）设用于投资稳健型产品的资金为x ，写出年收益的解析式，利用换元法可得.【详解】（1）由题意可设(),()f x mx g x ==由图知，函数()f x 和()g x 的图象分别过点(1,0.125)和(1,0.5)，代入解析式可得0.125,0.5m n ==，所以()0.125,()f x x g x ==（2）设用于投资稳健型产品的资金为x ，用于投资风险型产品的资金为20x -，年收益为y ，则10.125(8y x x =+=+，[0,20]x ∈令t =2211(420)[(2)24]88y t t t =---=---，[0,t ∈ 当2t =，即16x =时，max 3y =，所以当投资稳健型产品的资金为16万元，风险型产品的资金为4万元时年收益最大，最大值为3万元.21．已知函数()2121x x a f x ⋅-=+是定义在R 上的奇函数. (1)求实数a 的值；(2)解关于x 的不等式()()223130f x x f x +-+-<；(3)是否存在实数k ，使得函数()f x 在区间[],m n 上的取值范围是,22m n k k ⎡⎤⎢⎥⎣⎦？若存在，求出实数k 的取值范围；若不存在，请说明理由.【答案】(1)1 (2){}12x x -<<(3)存在，()3-+【分析】（1）根据()00f =求解并检验即可；（2）先证明函数单调性得()f x 在R 上为增函数，再根据奇偶性与单调性解不等式即可； （3）根据题意，将问题方程()()22120x x k k -+-=有两个不相等的实数根，再利用换元法，结合二次方程根的关系求解即可.【详解】（1）解：因为()f x 是定义在R 上的奇函数，所以()00f =，即102a -=，得1a =. 此时()2121x x f x -=+，()()21221112x xx x f x f x ----===-++-，满足. 所以1a =（2）解：由（1）知，()2121x x f x -=+， 12,x x ∀∈R 且12x x <，则()()12121221212121x x x x f x f x ---=-++ ()()()()()()()()()21212121122121212122221212121x x x x x x x x x x -+--+-==++++. ∵12x x <，∴12220x x -<，1210x +>，2210x +> ∴()()120f x f x -<，即()()12f x f x <，故()f x 在R 上为增函数∴原不等式可化为()()22313f x x f x +-<--，即()()22331f x x f x +-<-∴22331x x x +-<-，∴220x x --<∴12x -<<，∴原不等式的解集为{}12x x -<<（3）解：设存在实数k ，使得函数()f x 在区间[],m n 上的取值范围是,22m n k k ⎡⎤⎢⎥⎣⎦， 则()()22mn k f m k f n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即()()22m n f m k f n k ⎧=⎪⎨=⎪⎩， ∴方程()2x f x k =，即21221x x x k -=+有两个不相等的实数根 ∴方程()()22120x x k k -+-=有两个不相等的实数根令2x t =，则0t >，故方程()210t k t k -+-=有两个不相等的正根故()2140100k k k k ⎧++>⎪+>⎨⎪->⎩，解得30k -+< ∴存在实数k ，使得函数()f x 在区间[],m n 上的取值范围是,22m n k k ⎡⎤⎢⎥⎣⎦， 其中k的取值范围为()3-+.22．布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔，简单地讲就是对于满足一定条件的连续实函数()f x ，存在一个点0x ，使得()00f x x =，那么我们称该函数为“不动点"函数，而称0x 为该函数的一个不动点． 现新定义： 若0x 满足()00f x x =-，则称0x 为()f x 的次不动点．(1)判断函数22f x x 是否是“不动点”函数，若是，求出其不动点； 若不是，请说明理由 (2)已知函数()112g x x =+，若a 是()g x 的次不动点，求实数a 的值： (3)若函数()()12log 42x x h x b =-⋅在[]0,1上仅有一个不动点和一个次不动点，求实数b 的取值范围．【答案】(1)是“不动点”函数，不动点是2和1-； (2)23a =-； (3)[]0,1.【分析】(1)根据不动点定义列出方程，求解方程即可作答.(2)根据次不动点定义列出方程，求解方程即可作答.(3)设出不动点和次不动点，建立函数关系，求出函数最值推理作答.【详解】（1）依题意，设0x 为()f x 的不动点，即()00f x x =，于是得2002x x -=，解得02x =或01x =-，所以22f x x 是“不动点” 函数，不动点是2和1-.（2）因()112g x x =+是“次不动点”函数，依题意有()g a a =-，即112a a +=-，显然0a ≤，解得23a =-， 所以实数a 的值是23-. （3）设,m n 分别是函数()()12log 42x x h x b =-⋅在0,1上的不动点和次不动点，且,m n 唯一，由()h m m =得：()12log 42m m b m -⋅=，即142()2m m m b -⋅=，整理得：124m m b =-，令()124m m m ϕ=-，显然函数()m ϕ在0,1上单调递增，则()min (0)0m ϕϕ==，()max 7(1)4m ϕϕ==，则704b ≤≤， 由()h n n =-得：()12log 42n n b n -⋅=-，即422n n n b -⋅=，整理得：21n b =-，令()21n u n =-，显然函数()u n 在0,1上单调递增，min ()(0)0u n u ==，max ()(1)1u n u ==，则01b ≤≤，综上得：01b ≤≤，所以实数b 的取值范围0,1.【点睛】思路点睛：涉及函数新定义问题，理解新定义，找出数量关系，联想与题意有关的数学知识和方法，再转化、抽象为相应的数学问题作答.。
广东省中山市龙山中学2024-2025学年高一上学期段考(二)数学试卷
广东省中山市龙山中学2024-2025学年高一上学期段考（二）数学试卷一、单选题1．设全集U =R ，集合{}14A x x =<<，集合{}220B x x x =->，则集合()U A B ⋃=ð（）A ．(]1,2B ．()1,2C ．()0,4D ．[)0,42．函数()12x f x x -=-的定义域为（）A ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．()2,+∞C ．()1,22,2⎡⎫⋃+∞⎪⎢⎣⎭D ．()()1,11,22,2∞⎡⎫⋃⋃+⎪⎢⎣⎭3．下列函数中，在定义域内既是奇函数又是减函数的为（）A ．1y x=B ．3y x =-C ．2y x =D ．1y x=-4．已知函数()223f x x x a +=-+，且()53f =，则a =（）A ．3B ．3-C ．17D ．17-5．若函数()()215mf x m m x -=--为幂函数，且在区间()0,∞+上单调递增，则m =（）A ．2-B ．3C ．2-或3D ．2或3-6．设函数()2263f x x x =-+，[]1,4x ∈，则()f x 的最小值和最大值为（）A ．32，11B ．1-，3C ．32-，4D ．32-，117．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，若()f x 在区间()0,∞+上单调递增，且()20f =，则满足()0xf x <的x 的取值范围是（）A ．()(),20,2-∞- B ．()(),22,∞∞--⋃+C ．()()2,00,2-⋃D ．()()2,02,-+∞ 8．已知关于x 的不等式2230ax x a -+<在(]0,2上有解，则实数a 的取值范围是（）A ．4,7⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B ．3⎛⎫-∞ ⎪ ⎪⎝⎭C ．(],0-∞D ．(),0-∞二、多选题9．下列命题中正确的是（）A ．若,a b c d <<，则ac bd <B ．当1x >时，11x x +-的最小值是3C ．当010x <<5D ．若正数,x y 满足213x y+=，则2x y +的最小值为310．下列命题中正确的是（）A ．“1a >”是“11a<”的充分不必要条件B ．命题：“20,0x x ∀≥≥”的否定是“20,0x x ∃<<”C ．若函数()f x 的定义域为0,2，则函数()2f x 的定义域为0,4D ．若函数)1fx =-，则()()221f x x x x =--≥-11．对任意两个实数,a b ，定义{},,min ,,a ab a b b a b ≤⎧=⎨>⎩，若()22f x x =-，()2g x x =，下列关于函数()()(){}min ,F x f x g x =的说法正确的是（）A ．函数()F x 是偶函数B ．方程()0F x =有三个解C ．函数()F x 在区间[1,1]-上单调递增D ．函数()F x 有4个单调区间三、填空题12．设函数()24,24,2x x f x x x ⎧+≤=⎨>⎩，则()1f f -=⎡⎤⎣⎦.13．不等式212xx ≤-的解集为.14．已知函数29,1(),1x ax x f x a x x⎧---≤⎪=⎨>⎪⎩在R 上单调递增，则实数a 的取值范围为.四、解答题15．设集合{}22190A x x ax a =-+-=，{}2560B x x x =-+=，{}2230C x x x =--=.(1)若A B A B = ，求实数a 的值；(2)若A B ≠∅ 且A C ⋂=∅，求实数a 的值.16．已知定义在R 上的奇函数()f x ，当0x >时，()()4f x x x =-．(1)求函数()f x 在R 上的解析式；(2)在坐标系中作出函数()f x 的图象，并根据图象写出函数的单调区间；(3)若函数()f x 在区间[],2t t +上是单调函数，求实数t 的取值范围．17．已知函数24()x f x x+=．(1)判断()f x 的奇偶性，并说明理由；(2)判断()f x 在()2,+∞上的单调性，并用定义证明；(3)求()f x 在[]4,2--上的值域．18．随着我国经济发展、医疗消费需求增长、人们健康观念转变以及人口老龄化进程加快等因素的影响，医疗器械市场近年来一直保持了持续增长的趋势.某医疗器械公司为了进一步增加市场竞争力，计划改进技术生产某产品.已知生产该产品的年固定成本为300万元，最大产能为100台.每生产x 台，需另投入成本()G x 万元，且()2260,040256001812100,40100100x x x G x x x x ⎧+<≤⎪=⎨+-<≤⎪+⎩，由市场调研知，该产品每台的售价为180万元，且全年内生产的该产品当年能全部销售完.(1)写出年利润()W x 万元关于年产量x 台的函数解析式（利润=销售收入-成本）；(2)当该产品的年产量为多少时，公司所获年利润()W x 最大？最大利润是多少？19．我们知道，函数()y f x =的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数()y f x =为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数()y f x =的图象关于点(,)P a b 成中心对称图形的充要条件是函数()y f x a b =+-为奇函数.给定函数4()1f x x x c=-++.(1)写出函数()f x 图象的对称中心（只写出结论即可，不需证明）;(2)当2c =时，①判断函数()f x 在区间(2,)-+∞上的单调性，并用定义证明;②已知函数g(1)1x +-是奇函数，且当[0,1]x ∈时，2()22g x x mx m =-+，若对任意1[0,2]x ∈，总存在2[0,2]x ∈，使得()()12g x f x =，求实数m 的取值范围.。
广东省中山市第一中学2019-2020学年高二上学期第一次段考数学试题 Word版含答案
姓名，年级：时间：中山市第一中学2019—2020学年度第一学期高二级第一次段考数学试题（满分150分，考试用时120分钟）命题人：审题人：一、选择题（本大题共12小题，每小题5分,共60分.1-11题是单选题,第12题是多选题）1．已知在△ABC中,c=6,a=4，B=120°，则b等于()。
A。
76 B.2．下列结论正确的是（）A。
若ac〉bc，则a〉b B. 若a8〉b8，则a>bC. 若a>b,c<0，则ac<bcD.a〉b3．等差数列｛a n｝的前n项和为S n,若a2+a7+a12=30,则S13的值是()A. 130 B。
65 C. 70 D。
754．若数列{a n}的前n项和S n=2n2-3n（n∈N＊），则a4等于().A。
11 B. 15 C。
17 D. 205．若△ABC的三个内角满足sin A∶sin B∶sin C=5∶11∶13, 则△ABC （）。
A。
一定是锐角三角形 B。
一定是直角三角形C. 一定是钝角三角形 D。
可能是锐角三角形,也可能是钝角三角形6．设△ABC的内角A,B，C所对的边分别为a，b，c，若a，b，c成等比数列，且c=2a,则cos B等于()A7．若在△ABC中，a=4,b=A=30°,则角B的度数等于（）A.30°B。
30°或150° C。
60°D。
60°或120°8．设数列{a n}满足a1=1,且a n+1-a n=n+1(n∈N＊），则数A9．已知锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b,c，若23cos2A+cos2A=,a =7,c =6,则b等于（）A 。
10B.9C.8D.510．已知数列{a n }前n 项和为S n ＝1－5＋9－13＋17－21＋…＋（－1）n －1(4n－3）,则S 15＋S 22－S 31的值是 ( )A ．13B ．－76C ．46D ．7611．已知△ABC 的重心为G ，角A 、B 、C 所对的边分别为c a b 、、，若2GA+3GB+3GC=0a b c ,则sinA ：sinB ：sinC=（ )A 。
佛山一中2020级高一上学期第一次段考数学科试题答案(终稿)
佛山一中2021级高一上学期第一次段考数学科试题参考答案一.选择题1.B2. B3. C4. D5. B6. A7. D8. C二.多项选择题9.AD10. AC11. CD12. ACD三.填空题13.(−∞,1)∪(4,+∞); 14. −34或32或12; 15.2-; 16. 6 四.解答题17.解：(1)因为a=1，所以A={x|0<x<3}，B={x|0<x<1}，------2分所以A∪B={x|0<x<3} ---------3分因为∁R B={x|x≤0或x≥1}----------4分所以A∩(∁R B)={x|1≤x<3}，-----------5分(2)当A=∅时， 2a+1≤a−1，即a≤−2时必有A∩B=∅ --------6分当A≠∅时，那么有2a+1>a− 1，得a>−2，----------7分又∵A∩B=⌀，那么有2a+1≤0或a−1≥1，解得：a≤−12或a≥2 -------8分∴−2<a≤−12或a≥2． --------------------------9分综上实数a的取值范围为a≤−12或a≥2.---------------------------10分18.解：(1)根据题意，设1<x1<x2，--------------1分那么f(x1)−f(x2)=mx1x1−1−mx2x2−1=m(x2−x1)(x1−1)(x2−1)， ----------------2分又由1<x1<x2，那么(x2−x1)>0，(x2−1)>0，(x1−1)>0， ----------4分当m>0时，f(x1)>f(x2)，f(x)在(1,+∞)上单调递减； -----------------5分当m<0时，f(x1)<f(x2)，f(x)在(1,+∞)上单调递增； -----------------6分(2)当m=32时，由(1)结论可知f(x)为减函数，---------------------------7分那么f(x2−1)>f(3x−3)⇒{x2−1>13x−3>1x2−1<3x−3，-----------------------10分解可得：√2<x<2，∴不等式的解集为(√2,2)．--------------------12分19.设日销售获利金额为y(百元)①当0≤t<20，t∈N时y=(12t+11)(−13t+433) ----------------------------------------1分那么对称轴为t=−22+432=212, ---------------------------------------3分故当t=10或11时，y max=176．------------------------------------5分(说明:1分段写成y=−16(t−212)2+16(4414+946)=−16(t−212)2+42256y=−t2+21t+9466等也算正确;3分段—5分段只要指出对称轴或者含有其他能直接或间接反映单调性的信息的文字都得总分值)②当20≤t≤40时，t∈N时y=(−t+41)(−13t+433)-------------------------------------------------------------6分那么对称轴为t=41+432=42-----------------------------------------8分故当t=20时，y max=161． ----------------------------------------10分(说明:6分段写成y=(t−42)2−13，y=t2−84t+17633等也算正确;8分段—10分段只要指出对称轴或者含有其他能直接或间接反映单调性的信息的文字都得总分值)综合①②知,当t=10或11时,日销售获利金额最大值为176(百元)．------12分20. 解：(1)假设a=2，那么f(x)=−x2+4x−1=−(x−2)2+3所以函数f(x)在区间[0,2]上递增，在区间[2,3]上递减---------------------1分∵f(0)=−1，f(3)=2----------------------------------------------2分∴f(x)min=f(0)=−1， ----------------------------------------------3分(说明:1分段只要有反映出二次函数单调性的信息(如对称轴)也得分,假设最小值结果正确，2分段可省略)(2)对称轴为x=a------------------------------------------------4分当a≤0时,函数在f(x)在区间[0,1]上递减,f(x)max=f(0)=1−a=3----5分即a=−2；---------------------------------------------------------6分当0<a<1时,函数f(x)在区间[0,a]上递增,在区间[a,1]上递减那么f(x)max=f(a)=a2−a+1=3 ----------------------------7分所以a =2或−1(舍去) -----------------------------------------9分当a ≥1时，函数f(x)在区间[0,1]上递增,那么f(x)max =f(1)=−1+2a +1−a =3-----------------------10分解得a =3；--------------------------------------------------11分综上所述，a =−2或a =3．------------------------------------12分21. (1)当m =0时，fx)=x +2≤0得：x ≤−2， --------------1分当m ≠0时，由f(x)=0得：x 1=−1m ，x 2=−2， -----------------2分当m <0时原不等式的解集为{x|−2≤x ≤−1m };----------------3分 当0<m <12，原不等式的解集为{x|−1m ≤x ≤−2};---------------4分 当m =12时，原不等式的解集为{−2};---------------------------5分当m >12时，原不等式的解集为{x|−2≤x ≤−1m }-----------------6分(此题由于参数分类中并无可合并的结果,所以不进行综述也不扣分，假设结果正确但没写成集合或者区间形式那么在此题最后总得分中扣1分瑕疵分)(2) 由题意可得g (x )=x 2−2mx +m (m ∈R )---------------------7分因为x 1，x 2为g(x)=0的两根，且x 1<1，x 2>2，所以{g (1)=1−m <0g (2)=4−3m <0-----------------------------------------9分 解得{m >1m >43-----------------------------------------------11分所以m >43；-------------------------------------------------12分 解法2:由 g (x )=x 2−2mx +m =0可得m (2x −1)=x 2 -----------7分显然x =12不是上述方程的根，那么m =x 22x−1 -------------------------8分令2x −1=t ,那么x =t+12,那么m =(t+1)24t =t 2+2t+14t ---------------------9分 所以4m −2=t +1t ------------------------------------------10分因为x 1，x 2为g(x)=0的两根，且x 1<1，x 2>2所以4m −2=t +1t 有两根t 1,t 2且t 1<1，t 2>3-----------------11分结合y =t +1t 的图象得4m −2>103,所以m >43-------------12分 解法3：由 g (x )=x 2−2mx +m =0可得x 1=m −√m 2−m ，x 2=m +√m 2−m -------------------------7分所以{m 2−m >0m −√m 2−m <1m +√m 2−m >2--------------------------------------8分解得{ m <0或m >1m <0或m >1m >43----------------------------------------11分 所以m >43 --------------------------------------------12分 22.解：(1)由题意，y =−x 3在[a,b]上递减-------------------------1分那么{b =−a 3a =−b 3b >a，-------------------------------------------------2分解得{a =−1b =1，所以所求的区间为[−1,1]；---------------------3分(2)f(x)=x x+1=1−1x+1，--------------------------------------4分那么f (x )在(−∞,−1)上单调递增，在(−1,+∞)上单调递增即f (x )在定义域上不单调递增或单调递减，故该函数不是闭函数.------5分(本问通过如果通过取特殊值得出函数不单调也可得总分值，假设没有4分段的式子变形或者没有取值依据，但直接正确指出了单调性只给1分)(3)y =k +√x +2在[−2,+∞)上单调递增--------------------------6分假设y =k +√x +2是闭函数，那么存在区间[a,b]，在区间[a,b]上，函数f(x)的值域为[a,b]，即{a =k +√a +2b =k +√b +2∴a ，b 为方程x =k +√x +2的两个不等实数根---------------------7分即方程x 2−(2k +1)x +k 2−2=0(x ≥−2且x ≥k)有两个不等的实根当k ≤−2时，有{Δ>0f(−2)≥02k+12>−2-------------------------------------8分 解得−94<k ≤−2，-------------------------------------------------9分当k >−2时，有{Δ>0f(k)≥02k+12>k --------------------------------------------10分 该不等式组无解------------------------------------------------------11分综上所述，k ∈(−94,−2]．------------------------------------------12分解法2:至7分段和解法1相同，以下为不同局部:∴函数y =x −k 与y =√x +2的图象在x ∈[−2,+∞)上有两个不同交点 ---------8分当直线与曲线相切时,由x −k =√x +2得(x −k)2=x +2即x 2−(2k +1)x +k 2−2=0----------------------------------------9分 由∆=(2k +1)2−4(k 2−2)=4k +9=0得k =−94,即−k =94------------10分 当直线y =x −k 过(−2,0)时,k =−2-----------------------------------11分结合图可知:当−2≤−k <−94,即−94<k ≤−2时直线与曲线有两个交点.所以k ∈(−94,−2]----------12分。
广东省中山市纪念中学2020-2021学年高一上学期10月份月考数学试卷 Word版含答案
中山纪念中学高一年级2020-2021学年度上学期10月份月考数学科试卷满分：150分 考试用时：120分钟第I 卷（选择题）一、单选题（只有一个选项正确，每题5分，共40分）1. 已知全集0,1,2,3,4,5,6,7,{}8,9U ＝，集合0,1,3,8{}5,A ＝，集合2,4,5,8{}6,B ＝，则()()U U A B ＝ （ ）A. {5,8}B. {7,9}C. {0,1,3}D. {2,4,6}2. 命题：“∀x ∈R ，x 2＋x ＋1＞0”的否定是 （ ）A. 不存在x ∈R ，x 2＋x ＋1＞0B. ∃x 0∈R ，x 02＋x 0＋1＞0C. ∃x 0∈R ，x 02＋x 0＋1≤0D. ∀x ∈R ，x 2＋x ＋1≤03. 已知函数21()2f x x =+，则()f x 的值域是 （ ） A. 1{|}2y y ≤ B. 1{|}2y y ≥ C. 1{|0}2y y <≤ D. {|0}y y > 4. 已知a ∈R ，则“a ＞1”是“1a ＜1”的 （ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分又非必要条件5.若函数y ＝f (x )的定义域为[0,2]，则函数g (x )＝(2)1f x x -的定义域是 （ ） A. [0,1] B. [0,1) C.[0,1)∪(1,4] D. (0,1) 6. 已知不等式250ax x b -+>的解集为2{|}3x x -<<，则不等式250bx x a -+>的解集为 （ ） A. 11|3{}2x x x <->或 B. 11|3}2{x x -<< C. 2{|}3x x -<< D. |3{}2x x x <->或7. 设集合1,{}2,4A＝，24{}|0B x x x m -+=＝. 若A ∩B ＝{1}，则B ＝ （ ） A. {1,}3- B. {1,0} C. {1,5} D. {1,3}8. 设1()2(1),1x f x x x <<=-≥⎪⎩，若()(1)f a f a =+，则1()f a = （ ） A.2 B.4 C.6 D.8二、多选题（至少有2个选项正确，多选，错选不得分，漏选得3分，每题5分，共20分） 9. 下列各组函数中，两个函数是同一函数的有（ ）A ．()||f x x =与()g xB ．()1f x x =+与21()1x g x x -=-C ．||()x f x x =与1,0()1,0x g x x ⎧>=⎨-<⎩ D ．()f x =与()g x = 10. 函数()f x 是定义在R 上奇函数，下列说法正确的是（ ）A ．(0)0f =B ．若()f x 在[0,＋∞)上有最小值－1，则()f x 在(－∞,0]上有最大值1C ．若()f x 在[1,＋∞)上为增函数，则()f x 在(－∞,－1]上为减函数D ．若x ＞0时，2()2f x x x =-，则x ＜0时，2()2f x x x =--11. 对于实数a 、b 、c ，下列命题中正确的是（ ）A ．若a b >，则ac bc <B ．若0a b <<，则22a ab b >>C ．若0c a b >>>，则a b c a c b >--D ．若a b >，11a b>，则0a >，0b < 12. 下列求最值的运算中，运算方法错误的有（ ）A ．若0x <，11()2x x x x ⎡⎤+=--+≤-=-⎢⎥-⎣⎦， 故0x <时，1x x+的最大值是－2．B ．当1x >时，21x x +≥-21x x =-取等，解得x =－1或2． 又由1x >，所以取x =2，故1x >时，原式的最小值为22421+=-．C ．由于222299444244x x x x +=++-≥=++， 故2294x x ++的最小值为2．D ．当,0x y >，且42x y +=时，由于24x y =+≥=12≤，又112412x y +≥=≥=，故当,0x y >，且42x y +=时，11x y +的最小值为4． 第II 卷（非选择题）三、填空题（每题5分，共20分）13．设函数21 21,2()1(2),2x x xf xf x x⎧--≥⎪⎪=⎨⎪+<⎪⎩，则f(－3)＝．14．函数f(x)＝2245(1)1x xxx-+>-的最小值是．15．下图表示一位骑自行车和一位骑摩托车的旅行者在相距80km的甲、乙两城间从甲城到乙城所行驶的路程与时间之间的函数关系，有人根据函数图象，提出了关于这两个旅行者的如下信息：①骑自行车者比骑摩托车者早出发3h，晚到1h；②骑自行车者是变速运动，骑摩托车者是匀速运动；③骑摩托车者在出发1.5h后追上了骑自行车者；④骑摩托车者在出发1.5h后与骑自行车者速度一样．其中，正确信息的序号是_______________．16．若函数f(x)＝2(2),0(21)1,0x a x xa x a x⎧-+-≤⎨-+->⎩在R上为增函数，则a的取值范围为_________．四、解答题（17题10分，18，19，20，21，22每题12分，共70分）17．已知全集U＝R，集合2{|2150}A x x x=--<，集合2{|(21)()0}B x x a x a=-+-<．（1）若a＝1，求UA和B；（2）若A B＝A，求实数a的取值范围．18.某企业采用新工艺，把企业生产中排放的二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本y（元）与月处理量x（吨）之间的函数关系可近似的表示为：y＝12x2－200x＋80000，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元．（1）该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？（2）该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则国家至少需要补贴多少元才能使该单位不亏损？19．已知函数f (x )＝21ax b x ++是定义在(－1,1)上的奇函数，且f (12)＝25． （1）求函数f (x )的解析式；（2）判断函数f (x )在(－1,1)上的单调性，并用定义证明；（3）解关于t 的不等式，f (t ＋12)＋f (t －12)＜0．20．函数f (x )的定义域为R ，且对任意x ，y ∈R ，有f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )，且当x ＞0时f (x )＜0，f (1)＝－2.（1）证明：f (x )是奇函数；（2）证明：f (x )在R 上是减函数；（3）求f (x )在区间[－3，3]上的最大值和最小值.21．已知f (x )＝ax 2＋x －a ，a ∈R.（1）若a ＝1，解不等式f (x )≥1；（2）若不等式f (x )＞－2x 2－3x ＋1－2a 对一切实数x 恒成立，求实数a 的取值范围；（3）若a ＜0，解不等式f (x )＞1.22．已知幂函数f (x )＝23122233)(p p p xp ---+满足f (2)＜f (4)．（1）求函数f (x )的解析式；（2）若函数g (x )＝f 2(x )＋mf (x )，x ∈[1,9]，是否存在实数m 使得g (x )的最小值为0？若存在，求出m 的值；若不存在，说明理由；（3）若函数h (x )＝n －f (x ＋3)，是否存在实数a ，b (a ＜b )，使函数h (x )在[a ,b ]上的值域为[a ,b ]？若存在，求出实数n 的取值范围；若不存在，说明理由．参考答案一、选择题：1.B2. C3. C4. A5. B6.A7. D8.C二、多项选择题：9. AC 10. ABD 11. BCD 12. BCD三、填空题：13.0 6 15．①，②，③ 16.[1,2]四、解答题：17．解：（1）若a ＝1，则集合A ＝{x |x 2﹣2x ﹣15＜0}＝{x |﹣3＜x ＜5}，∴∁U A ＝{x |x ≤﹣3或x ≥5}，若a ＝1，则集合B ＝{x |（x ﹣2a ＋1）（x ﹣a 2）＜0}＝{x |（x ﹣1）2＜0}＝∅，（2）因为A ∪B ＝A ，所以B ⊆A ，①当B ＝∅时，a 2＝2a ﹣1，解a ＝1，②当B ≠∅时，即a ≠1时，B ＝{x |2a ﹣1＜x ＜a 2}，又由（1）可知集合A ＝{x |﹣3＜x ＜5}，∴22135a a -≥-⎧⎨≤⎩，解得﹣1≤a 5a ≠1，综上所求，实数a 的取值范围为：﹣1≤a 518．解：（1）由题意可知， 二氧化碳的每吨平均处理成本为：y x ＝12x ＋80000x﹣200≥1800002x x ⋅﹣200＝200， 当且仅当12x ＝80000x，即x ＝400时， 才能使每吨的平均处理成本最低，最低成本为200元．（2）设该单位每月获利为S ，则S ＝100x ﹣y ，＝100x ﹣(12x 2﹣200x ＋800000)＝﹣12x 2＋300x ＋800000＝﹣12(x ﹣300)2﹣35000， 因为400≤x ≤600，所以当x ＝400时，S 有最大值﹣40000．故该单位不获利，需要国家每月至少补贴40000元，才能不亏损．19．解：（1）由奇函数的性质可知，f （0）＝0，∴b ＝0，f （x ）＝21ax x +， ∵f （12）＝12114a +＝25． ∴a ＝1，f （x ）＝21x x +； （2）函数f （x ）在（﹣1，1）上是增函数．证明：任取﹣1＜x 1＜x 2＜1，则f （x 1）﹣f （x 2）＝12122212()(1)(1)(1)x x x x x x --++＜0，⇒f （x 1）＜f （x 2）， 所以函数f （x ）在（﹣1，1）上是增函数；（3）由f （t ＋12）＜﹣f （t ﹣12）⇒f （t ＋12）＜f （12﹣t ）， ∴112211121112t t t t ⎧+<-⎪⎪⎪-<+<⎨⎪⎪-<-<⎪⎩⇒031221322t t t ⎧⎪<⎪⎪-<<⎨⎪⎪-<<⎪⎩⇒﹣12＜t ＜0， 故不等式的解集为（﹣12，0）． 20．解：（1）证明：令x ＝y ＝0，∴f （0）＝f （0）＋f （0），可得f （0）＝0f （x ＋y ）＝f （x ）＋f （y ），得f （x ﹣x ）＝f （x ）＋f （﹣x ）即f （x ）＋f （﹣x ）＝f （0）＝0∴f （﹣x ）＝﹣f （x ），即函数y ＝f （x ）是奇函数，（2）设x 1＞x 2，则x 1﹣x 2＞0，∴f （x 1﹣x 2）＜0，而f （x ＋y ）＝f （x ）＋f （y ），∴f （x 1）＝f （x 1﹣x 2＋x 2）＝f （x 1﹣x 2）＋f （x 2）＜f （x 2）∴函数y ＝f （x ）是R 上的减函数；（3）由函数y ＝f （x ）是R 上的单调减函数，∴y＝f（x）在[﹣3，3]上也为单调减函数．∴y＝f（x）在[﹣3，3]上的最大值为f（﹣3），最小值为f（3）．∴f（3）＝（1＋2）＝f（1）＋f（2）＝f（1）＋f（1）＋f（1）＝3f（1）＝﹣6，同理，f（﹣3）＝﹣3f（1）＝6，因此，函数y＝f（x）在[﹣3，3上的值域为[﹣6，6]．21．解：（1）当a＝1，不等式f（x）≥1即x2＋x﹣1≥1，即（x＋2）（x﹣1）≥0，解得x≤﹣2，或x≥1，故不等式的解集为{x|x≤﹣2，或x≥1}．（2）由题意可得（a＋2）x2＋4x＋a﹣1＞0恒成立，当a＝﹣2 时，显然不满足条件，∴20164(2)(1)0 aa a+>⎧⎨∆=-+-<⎩．解得a＞2，故a的范围为（2，＋∞）．（3）若a＜0，不等式为ax2＋x﹣a﹣1＞0，即（x﹣1）（x＋1aa+）＜0．∵1﹣（﹣1aa+）＝21aa+，∴当﹣12＜a＜0时，1＜﹣1aa+，不等式的解集为{x|1＜x＜﹣1aa+}；当a＝﹣12时，1＝﹣1aa+，不等式即（x﹣1）2＜0，它的解集为∅；当a＜﹣12时，1＞﹣1aa+，不等式的解集为{x|﹣1aa+＜x＜1}．22．解：（1）∵f（x）是幂函数，∴得p2﹣3p＋3＝1，解得：p＝1或p＝2当p＝1时，f（x）＝1x，不满足f（2）＜f（4）．当p＝2时，f（x f（2）＜f（4）．∴故得p＝2，函数f（x）的解析式为f（x（2）由函数g（x）＝f 2（x）＋mf（x），即g（x）＝2＋令t，∵x ∈[1，9]，∴t ∈[1，3]，记k （x ）＝t 2＋mt ，其对称轴在t ＝﹣2m ， ①当﹣2m ≤1，即m ≥﹣2时，则k （x ）min ＝k （1）＝1＋m ＝0，解得：m ＝﹣1； ②当1＜﹣2m ＜3时，即﹣6＜m ＜﹣2，则k （x ）min ＝k （﹣2m ）＝﹣24m ＝0，解得：m ＝0，不满足，舍去；③当﹣2m ≥3时，即m ≤﹣6时，则k （x ）min ＝k （3）＝3m ＋9＝0，解得：m ＝﹣3，不满足，舍去； 综上所述，存在m ＝﹣1使得g （x ）的最小值为0；（3）由函数h （x ）＝n ﹣f （x ＋3）＝n若存在实数存在实数a ，b （a ＜b ），使函数h （x ）在[a ，b ]上的值域为[a ，b ]则h （x）＝(1)(2)n b n a ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩＝a ﹣b ＝（a ＋3）﹣（b ＋3）．＝1③将③代入②得，n ＝a＝a ＋1令t，∵a ＜b ，∴0≤t ＜12， 得：n ＝t 2﹣t ﹣2＝（t ﹣12）2﹣94， 故得实数n 的取值范围（﹣94，﹣2]．。