《实变函数与泛函分析》教学大纲-数学专业

实变函数与泛函分析

教学大纲

应用数学与信息计算等专业使用

修订单位：山东财政学院统计与数理学院

修订时间：2009年8月修订

课程中文名称：实变函数与泛函分析

课程英文名称：Real Analysis and functional Analysis 课程号：30001001

学时数：68

学分数：4

先修课程：数学分析、线性代数

适用专业：应用数学与信息计算等专业。

一、课程的性质和任务

1. 课程性质

《实变函数与泛函分析》是数学专业的一门专业基础课程。《实变函数》课程结合抽象测度与积分理论, 介绍Lebesgue测度与Lebesgue积分的理论。通过本课程的学习, 应使学生掌握测度论和实变函数论的基本理论和方法, 并且应用所学知识, 解决一些相关的理论和应用问题, 解决一些具有一定难度的习题。同时, 通过本课程的学习, 要加深学生对数学分析课程中知识的理解, 培养学生严密的逻辑思维能力。《泛函分析》课程是现代教学中的一门较新的数学分支，它综合地运用分析的，代数和几何的观点，方法研究分析数学中的许多问题，由它把具体的分析问题，由于它把具体的分析问题抽象到一种更加纯粹的代数拓扑结构的形式中进行研究，因此逐步形成了综合运用代数，几何平段处理问题的新方法，正因为这种纯粹形式的代数，拓扑结构是跟植于肥沃的经典分析和数学物理土壤之中的，所以由此发展起来的基本概念，定理和方法也就显的更为广泛，更为深刻，现在泛函分析已成为一门内容丰富，方法系统，体系完备，应用广泛的独立分支，通过该课程的学习，学生不仅能学到泛函分析的基本理论和方法，而且对学习其他数学分支以及把他应用到数理经济，现代控制论，量子场论，统计物理，工程技术等领域有很大帮助。

学生通过学习本课程，既能从较高的观点总结一、二年级学过的分析、代

数中的有关概念、理论和方法，又能获得抽象思维和逻辑论证的进一步训练，为今后深入学习拓扑、微分方程、随机过程、最优化等现代数学各个学科提供基础。

2. 课程任务

通过各个教学环节逐步培养学生的抽象思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力和自学能力，还要特别注意培养学生的熟练运算能力和综合运用所学知识去分析解决问题的能力。

从内容上，通过这门课程的教学应使学生熟练掌握本课程的基本概念、基本理论及其推导过程。系统掌握Lebesgue测度和Lebesgue 积分理论，距离空间的一些基本概念，赋范线性空间与内积空间基本概念，有界线性算子的概念，共轭空间以及Banach空间一系列重要基本定理，线性算子性质，泛函表示定理，共轭算子，自共轭算子概念等，使学生了解和掌握逐步深入地分析问题和解决问题的方法，提高分析问题和解决问题的能力，培养抽象的思维能力，为进一步钻研现代数学数学理论打下基础。

从能力方面，加强学生抽象思维能力、逻辑推理能力、自学能力与科学创新能力培养。

从教学方法上，坚持“学生是‘学’主体、教师是‘教’关键”的人性化教育的指导思想。努力启发学生的学习积极性、主动性, 指导学生学习数学的思维方法, 掌握数学的基本理论与技巧。课堂教学采取启发式、互动式。作业布置精心挑选, 各种方法、各种题型都能得到练习, 举一反三。注重基本概念的实际背景和概念的形成过程。

二、课程教学内容

第一章集合

教学目的与要求：

要求理解与掌握的基本内容：集的运算及其运算规律，映射以及与映射有

关的一些概念。集的等势，可数集概念及其基本性质，实数集的不可数性。

教学重点与难点：

集的对等，Cantor三分集具有完备性，稀疏性。

教学内容：

1、集与集的运算：集的概念，集的运算，De Morgan公式

2、映射与集的对等：映射的概念，Bernstein定理

3、可数集与基数：集的对等，集的基数，可数集与不可数集，可数集的性质及其例子

第二章点集

教学目的与要求：

本章介绍实变函数论必需的直线上的点集的概念和知识。度量空间·n维欧氏空间,聚点·内点·界点, 开集·闭集·完备集，直线上的开集、闭集及完备集的构造。要求掌握直线上的开集与闭集，内点，聚点，导集，闭包，完备集等概念，理解开集的构造定理及Cantor三分集的完备性，稀疏性。理解Bernstein 定理，了解序集概念以及Zorn引理，Zermelo选择公理。

教学重点与难点：

开集的构造定理以及由一个集的所有子集构成的集的势。Cantor三分集具有完备性，稀疏性。

教学内容：

1、度量空间，n维欧氏空间：度量空间的定义，n维欧氏空间、欧几里得距离的概念，邻城及基本性质，非空点集间的距离等。

2、聚点、内点、边界点、Bolzano-Weierstrass定理。

3、开集、闭集及其性质、Heine-Bore（有限覆盖定理）

4、直线上的开集、闭集及完备集的构造

第三章测度

教学目的与要求：

掌握直线上的开集与闭集的测度以及直线上有界集的内外测度以及Lebesgue测度以及可测集的概念，理解可测集对可列并，及余的封闭性，理解Lebesgue测度的完全可加性以及可测集的Caratheodory条件。

教学重点与难点：

直线上的有界可测集的概念与此同时性质，Lebesgue测度的完全可加性，可测集的Caratheodory条件。

教学内容：

1、有界点集的外、内测度，可测集：直线上有界开集，闭集的测度及基本性质，直线上有界集的外，内测度，Lebesgue可测集及测度。

2、可测集的性质：直线上有界集可测的充要条件，可测集的补集是可测的，可测集关于集合的并、交运算是封闭的，测度的单调性，可测集关于集合的可列并，可列交运算是封闭的测度的完全可加性，可测集的Caratheodory条件，渐张可测集列以及渐缩可测集列的测度性质。

第四章可测函数

教学目的与要求：

了解可测度函数类并讨论它的性质，为下面学习Lebesgue积分做准备。理解可测函数的基本性质，可测函数的几个等价条件，几乎处处的概念，可测函数