高中数学第二章平面解析几何初步2.1直线与方程2.1.3两条直线的平行与垂直课件1苏教版必修2
问题情境、学生活动
探究：两条直线垂直，即倾斜角的差为 直角，那么他们的斜率之间的关系如何 ？ 不妨设直线l1，l2（斜率存在）所对应 的倾斜角分别为α1，α2，对应的斜率 分别为k1，k2.
问题情境、学生活动
因为两条直线相互垂直，不妨设 α1−α2=90. 根 据倾斜角与斜率的关系， 我们知道当倾斜角不是直角 时，斜率存在，从而有 k1=tanα1，k2=tanα2，于是根据 诱导公式有
A1 A2 B1 B2 0
3 例1 已知直线l1的斜率k1= ，直线l2经过点 4 A(3a，−2), B(0，a2+1), 且l1⊥l2，求实数a
的值． 例2 已知四点A（5，3），B（10，6）， C（3，−4），D（−6，11）.求证：AB⊥CD； 例3 已知三角形的顶点为A（2，4）， B（1，−2），C（−2，3），求BC边上 的高 AD所在的直线.
数学运用
数学运用
例4 在路边安装路灯，路宽23m， 灯杆长2.5m，且与灯柱成120º 角. 路灯采用锥形灯罩，灯罩轴线与灯 杆垂直. 当灯柱高h为多少米时， 灯罩轴线正好通过道路路面的中线2. 直线x+my+6=0与直线 (m−2)x+3y+m=0相交，则 m= ；
1 ， tan 2
即k1 k2= −1. 因此，若两直线垂直，则两直 线的斜率乘积为−1. 反之，如果两直线（斜率存在）的互为负 倒数，即 k1 k2= −1，根据倾斜角和斜率的 关系以及正切函数的单调性可知倾斜角的 差等于直角，从而说明它们互相垂直.
数学理论、数学运用
一般地，设直线l1，l2（斜率存在）所对应的 斜率分别为k1，k2，则 l1 l2 k1k 2 1 说明： （ 1 ） 如果直线 l1 ， l2 中有一条直线的斜率 不存在，则另一条直线的斜率为0； （2）设直线l1：A1x+B1y+C1=0， l2：A2x+B2y+C2=0， 那么两条直线垂直的等价条件为：
1 ， k1 tan1 tan(90 2 ) tan 2
问题情境、学生活动
因为两条直线相互垂直，不妨设 α1−α2=90. 根据倾斜角与斜率的关系，我们知道 当倾斜角不是直角时，斜率存在，从而有 k1=tanα1，k2=tanα2，于是根据诱导公式有
k1 tan1 tan(90 2)
3. 直线mx+y−n=0和直线mx+y+1=0 平行的条是 。
回顾反思
两条直线垂直的等价条件 是什么？
——斜率互为负倒数．
课后作业
课本P84练习 1．（2）； 2．； 7．； 10．（2）
高中数学2.1直线与方程2.1.3两条直线的平行与垂直第一课时两条直线的平行课件苏教版必修2
[小试身手]
1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1) 不 重 合 的 两 条 直 线 的 倾 斜 角 相 等 ， 则 它 们 一 定 互 相 平
行．
(√ )
(2) 如 果 两 条 直 线 互 相 平 行 ， 那 么 它 们 的 斜 率 一 定 相 等 ．
(×)
(3)直线 l1：ax＋y＋2a＝0 与 l2：x＋ay＋2＝0 互相平行，则
[活学活用] 1．若直线 l1：ax＋y＋2a＝0 与 l2：x两直线平行，所以 a2－1＝0，解得 a＝±1.
答案：±1
2．直线 l1 经过 A(3,4)，B(5,8)，直线 l2 经过点 M(1，－2)，N(0， b)，且 l1∥l2，则实数 b＝________. 解析：∵k1＝85－ －43＝2，k2＝b－＋12＝－(b＋2)， 又∵l1∥l2，∴k1＝k2， 即－b－2＝2，∴b＝－4. 答案：－4
应用两直线平行求参数值
[典例] 已知直线 l1：mx＋y－(m＋1)＝0，l2：x＋my－2m ＝0，当 m 为何值时，
(1)直线 l1 与 l2 互相平行？ (2)直线 l1 与 l2 重合？ [解] (1)若 l1∥l2，需满足
m2－1＝0， －2m2＋m＋1≠0，
解得 m＝－1.
[解] (1)k1＝1，k2＝33－ －11＝1，k1＝k2， ∴l1 与 l2 重合或 l1∥l2. (2)l1 与 l2 都与 x 轴垂直，通过数形结合知 l1∥l2. (3)k1＝01－ －10＝－1，k2＝2－0－－31＝－1，k1＝k2，数形结合 知 l1∥l2.
判断两条直线平行的方法 (1)①若两条直线 l1，l2 的斜率都存在，将它们的方程都化成 斜截式．如：l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2； 则kb11＝ ≠kb22， ⇒l1∥l2. ②若两条直线 l1，l2 的斜率都不存在，将方程化成 l1：x＝x1， l2：x＝x2，则 x1≠x2⇒l1∥l2. (2)若直线 l1：A1x＋B1y＋C1＝0(A1，B1 不全为 0)，l2：A2x＋ B2y＋C2＝0(A2，B2 不全为 0)，由 A1B2－A2B1＝0 得到 l1∥l2 或 l1， l2 重合；排除两直线重合，就能判定两直线平行．
2021年高中数学第2章平面解析几何初步2.1.3两条直线的平行与垂直课件11苏教版必修2
2 -1
2 - 1
.当 x1=x2 时,直线 P1P2 没有斜率.
(3)斜率的作用:用实数反映了平面直角坐标系内的直线的倾斜程
度.
思考
1.能根据两条直线的斜率判定两条直线是否平行或垂直.
2.能根据两条直线的平行或垂直关系确定两条直线斜率的关系.
1
2
1.两条不重合的直线平行与斜率之间的关系
0
2
k
k
1
2
3
3
3
Y
Y
1
(1)
2
X
(2)
2
X
1
(3)
2
X
1
2
L1⊥ L2 k1k2= -1
1
2
【做一做 2】 已知直线 l1,l2 的斜率分别为 k1,k2,且
k1=5,l1⊥l2,则 k2=
.
解析:∵l1⊥l2,∴k1k2=-1.
1
∵k1=5,∴5k2=-1,∴k2=− 5.
题型一
题型二
【变式训练1】 顺次连接A(-4,3),B(2,5),C(6,3),D(-3,0)四点所组
成的图形是(
)
A.平行四边形
B.直角梯形
C.等腰梯形 D.以上都不对
5-3
1
0-3
1
解析:因为 kAB= 2-(-4) = 3 , = -3-6 = 3,
所以 AB∥CD.
0-3
3-5
1
又 kAD= -3-(-4) = −3, = 6-2 = − 2,
2-1
= 0.
题型一
题型二
反思判断两条直线l1与l2平行还是垂直时,当它们的斜率都存在时,
2018-2019学年高中数学 第2章 平面解析几何初步 2.1 直线与方程 2.1.3 两条直
2.1.3 两条直线的平行与垂直[学业水平训练]1．直线l 1，l 2的斜率k 1，k 2是关于k 的方程2k 2－3k －b ＝0的两根，若l 1⊥l 2，则b ＝________；若l 1∥l 2，则b ＝________.解析：l 1⊥l 2时，k 1k 2＝－1，由一元二次方程根与系数的关系得k 1k 2＝－b 2，∴－b 2＝－1，得b ＝2.l 1∥l 2时，k 1＝k 2，即关于k 的二次方程2k 2－3k －b ＝0有两个相等的实根，∴Δ＝(－3)2－4×2·(－b )＝0，即b ＝－98. 答案：2 －982．设a ∈R ，如果直线l 1：ax ＋2y －1＝0与直线l 2：x ＋(a ＋1)y ＋4＝0平行，那么a ＝________.解析：当a ＝0时，l 1：y ＝12，l 2：x ＋y ＋4＝0，这两条直线不平行；当a ＝－1时，l 1：x －2y ＋1＝0，l 2：x ＋4＝0，这两条直线不平行；当a ≠0且a ≠－1时，l 1：y ＝－a 2x ＋12，l 2：y ＝－1a ＋1x －4a ＋1，由l 1∥l 2得－a 2＝－1a ＋1且12≠－4a ＋1，解得a ＝－2或a ＝1. 答案：－2或13.如图，已知△ABC 的三个顶点坐标分别为A (－1,1)，B (1,5)，C (－3,2)，则△ABC 的形状为________．解析：因为k AB ＝1－5－1－1＝－4－2＝2，k AC ＝1－2－1－－＝－12，所以k AB ·k AC ＝－1，且A 、B 、C 、D 4点不共点，所以AB ⊥AC ，即∠BAC ＝90°.所以△ABC 是直角三角形．答案：直角三角形4．已知A (－4,2)，B (6，－4)，C (12,6)，D (2,12)，则下面四个结论：①AB ∥CD ；②AB ⊥CD ；③AC ∥BD ；④AC ⊥BD ，其中正确的序号为________．解析：k AB ＝－4－26－－＝－35，k CD ＝12－62－12＝－35，且A 、B 、C 、D 4点不共线，所以AB ∥CD ，k AC ＝6－212－－＝14，k BD ＝12－－2－6＝－4， k BD ·k AC ＝－1，所以AC ⊥BD .答案：①④5．已知P (－2，m )，Q (m,4)，M (m ＋2,3)，N (1,1)，若直线PQ ∥直线MN ，则m ＝________. 解析：当m ＝－2时，直线PQ 的斜率不存在，而直线MN 的斜率存在，MN 与PQ 不平行，不合题意；当m ＝－1时，直线MN 的斜率不存在，而直线PQ 的斜率存在，MN 与PQ 不平行，不合题意；当m ≠－2且m ≠－1时，k PQ ＝4－m m －－＝4－m m ＋2， k MN ＝3－1m ＋2－1＝2m ＋1，因为直线PQ ∥直线MN ， 所以k PQ ＝k MN ，即4－m m ＋2＝2m ＋1，解得m ＝0或m ＝1.经检验m ＝0或m ＝1时直线MN ，PQ 都不重合．综上，m 的值为0或1.答案：0或16．已知两条直线ax ＋4y －2＝0与直线2x －5y ＋c ＝0互相垂直，垂足为(1，b )，则a ＋c －b ＝________.解析：∵k 1k 2＝－1，∴a ＝10.∵垂足(1，b )在直线10x ＋4y －2＝0上，∴b ＝－2.将(1，－2)代入2x －5y ＋c ＝0得c ＝－12，故a ＋c －b ＝0.答案：07．(1)求与直线y ＝－2x ＋10平行，且在x 轴、y 轴上的截距之和为12的直线的方程；(2)求过点A (1，－4)且与直线2x ＋3y ＋5＝0平行的直线的方程．解：(1)设所求直线的方程为y ＝－2x ＋λ，则它在y 轴上的截距为λ，在x 轴上的截距为12λ，则有λ＋12λ＝12， ∴λ＝8.故所求直线的方程为y ＝－2x ＋8，即2x ＋y －8＝0.(2)法一：由直线方程2x ＋3y ＋5＝0得直线的斜率是－23， ∵所求直线与已知直线平行，∴所求直线的斜率也是－23. 根据点斜式，得所求直线的方程是y ＋4＝－23(x －1)， 即2x ＋3y ＋10＝0.法二：设所求直线的方程为2x ＋3y ＋b ＝0，∵直线过点A (1，－4)，∴2×1＋3×(－4)＋b ＝0，解得b ＝10.故所求直线的方程是2x ＋3y ＋10＝0.8．已知在▱ABCD 中，A (1,2)，B (5,0)，C (3,4)．(1)求点D 的坐标；(2)试判断▱ABCD 是否为菱形？解：(1)设D (a ，b )，由▱ABCD ，得k AB ＝k CD ，k AD ＝k BC ，即⎩⎪⎨⎪⎧ 0－25－1＝b －4a －3，b －2a －1＝4－03－5，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－1，b ＝6，∴D (－1,6)．(2)∵k AC ＝4－23－1＝1，k BD ＝6－0－1－5＝－1， ∴k AC ·k BD ＝－1，∴AC ⊥BD .∴▱ABCD 为菱形．[高考水平训练]1．已知A (1，－1)，B (2,2)，C (3,0)三点，若存在点D ，使CD ⊥AB ，且BC ∥AD ，则点D 的坐标为________．解析：设点D 的坐标为(x ，y )．因为k AB ＝2－－2－1＝3，k CD ＝y x －3， 且CD ⊥AB ，所以k AB ·k CD ＝－1，即3×yx －3＝－1. ①因为k BC ＝2－02－3＝－2，k AD ＝y ＋1x －1， 且BC ∥AD ，所以k BC ＝k AD ，即－2＝y ＋1x －1， ② 由①②得x ＝0，y ＝1，所以点D 的坐标为(0,1)．答案：(0,1)2．△ABC 的顶点A (5，－1)，B (1,1)，C (2，m )，若△ABC 为直角三角形，则m 的值为________．解析：若∠A 为直角，则AC ⊥AB ，所以k AC ·k AB ＝－1，即m ＋12－5·1＋11－5＝－1，得m ＝－7； 若∠B 为直角，则AB ⊥BC ，所以k AB ·k BC ＝－1，即1＋11－5·m －12－1＝－1，得m ＝3； 若∠C 为直角，则AC ⊥BC ，所以k AC ·k BC ＝－1，即m ＋12－5·m －12－1＝－1，得m ＝±2. 综上可知，m ＝－7或m ＝3或m ＝±2.答案：－7或±2或33．已知A (－m －3,2)，B (－2m －4,4)，C (－m ，m )，D (3,3m ＋2)，若直线AB ⊥CD ，求m 的值． 解：因为A ，B 两点纵坐标不等，所以AB 与x 轴不平行．因为AB ⊥CD ，所以CD 与x 轴不垂直，故m ≠－3.当AB 与x 轴垂直时，－m －3＝－2m －4，解得m ＝－1，而m ＝－1时，C ，D 纵坐标均为－1，所以CD ∥x 轴，此时AB ⊥CD ，满足题意．当AB 与x 轴不垂直时，由斜率公式得k AB ＝4－2－2m －4－－m －＝2－m ＋， k CD ＝3m ＋2－m 3－－m ＝m ＋m ＋3. 因为AB ⊥CD ，所以k AB ·k CD ＝－1，解得m ＝1.综上，m 的值为1或－1.4．在平面直角坐标系中，四边形OPQR 的顶点按逆时针顺序依次为O (0,0)，P (1，t )，Q (1－2t,2＋t )，R (－2t,2)，其中t ＞0.试判断四边形OPQR 的形状．解：如图所示，由已知两个点的坐标得：k OP ＝t －01－0＝t ， k RQ ＝＋t －2－2t －－2t＝t ， k OR ＝2－0－2t －0＝－1t. k PQ ＝t －＋t 1－－2t ＝－1t， 所以k OP ＝k RQ ，k OR ＝k PQ ，所以OP ∥RQ ，OR ∥PQ ，所以四边形OPQR 是平行四边形；又k OP ·k OR ＝t ·(－1t)＝－1， 所以OP ⊥OR ，∠POR 是直角， 所以四边形OPQR 是矩形；过点P 作PA ⊥x 轴，垂足为A ， RB ⊥x 轴，垂足为B ，那么由勾股定理得： OP 2＝OA 2＋AP 2＝1＋t 2.∴OP ＝1＋t 2，OR 2＝OB 2＋BR 2＝(－2t )2＋22＝4(1＋t 2)，∴OR ＝21＋t 2.∴OP ≠OR ，所以四边形OPQR 不是正方形， 综上可知，四边形OPQR 是矩形．。
2018年高中数学 第2章 平面解析几何初步 2.1.3 两条直线的平行与垂直课件12 苏教版必修2
43 4 2
1 6
C
3
●
所以 kAB kCD ，从而 AB CD，
o -4
2
5x
又因为
kBC
3 ( 7) 2
25
13 6
,
kDA
3 4 2 (4)
7 6
-3
●
A
●B
所以 kBC kDA ，从而 BC与 DA 不平行，
因此四边形 ABCD 是梯形.
跟踪练习
根据下列各点的坐标，分别判断各组中直线 AB与 CD 是否平行：
l1 l2 k1 k2 (k1, k2均存在)
（2）当两条直线的斜率都不存在时，那么 它们都与x轴垂直，故两条直线互相平行.
例1
求证：顺次连结 A(2, 3), B(5, 7),C(2,3), D(4, 4)
2
四点所得到的四边形是梯形.
y
证明：因为
D●
k AB
7 (3) 2 52
1 6
, kCD
(1) A(1, 2), B(2,1),C(3, 4), D(1, 1).
kAB 1
kCD
5 4
(2) A(2,3), B(2, 1), C(1, 4), D(1,1);
kAB , kCD 均不存在
(3) A(3, 1), B(1,1),C(3,5), D(5,1); 检验两条直线
1 kAB 2
4x y 11 0
求过点 A(2, 3)且与直线l : x 5 0平行的直线 l1方程.
x20
求过点 A(2, 3)且与直线l : y 6 0 平行的直线 l1方程.
y30
思考：所求的直线方程与已知直线方程形式上 有什么关系？
高中数学第2章平面解析几何初步2.1直线与方程2.1.3两条直线的平行与垂直高一数学
第二十七页，共三十九页。
[解] 以点 B 为原点，BC、BA 所在直线 分别为 x 轴，y 轴建立如图所示直角坐标 系． 由 AD＝5，AB＝3 可得 C(5,0)，D(5，3)，A(0,3)． 法一：直线 AC 的方程为x5＋3y＝1， 即 3x＋5y－15＝0.
12/8/2021
第二十八页，共三十九页。
第2章 平面(píngmiàn)解析几何初
步
2．1.3 两条直线(zhíxiàn)的平行与垂直
12/8/2021
第一页，共三十九页。
学习(xuéxí)导航
第2章 平面(píngmiàn)解析几何初 步
1.了解两条直线平行与垂直的几何表示．
学习 目标
2.理解两条直线平行与垂直的判定条件及其推导 过程．(难点) 3.掌握用斜率判定两条直线平行和垂直的方法．
第二十页，共三十九页。
平行与垂直的综合(zōnghé)应用
已 知 A(0,3) ， B( － 1,0) ， C(3,0) ， 求 D 点 的 坐 标 ， 使 四 边 形 ABCD为直角梯形(A、B、C、D按逆时针方向(fāngxiàng)排列)． (链接教材P93练习T2)
12/8/2021
第二十一页，共三十九页。
3．与直线 3x＋4y－7＝0 垂直，并且在 x 轴上的截距为－2 的 直线方程是_____4_x_－__3_y_＋_8_＝__0______． 解析：∵与直线 3x＋4y－7＝0 垂直，∴所求直线斜率为43，并 且在 x 轴上的截距为－2，∴直线过点(－2,0)．由点斜式得方 程为 y－0＝43(x＋2)，即 4x－3y＋8＝0
(重点)
学法 指导
通过把两条直线的平行与垂直问题，转化为研究 两条直线的斜率的关系问题，培养运用已有知识 解决新问题的能力，以及数形结合，共三十九页。
高中数学第2章平面解析几何初步2.1.3两条直线的平行与垂直课件4苏教版必修2
例2．已知两条直线：l1:x+ay+3=0与 l2: ax+4y+6=0，a为何值时，两直线平行?
练习：直线l1：2x＋(m＋1)y＋4＝0与l2：mx ＋3y－2＝0平行，求m的值．
例3.求过点A(1,-4),且与直线2x+3y+5=0 平行的直线方程.
注意：与直线Ax By C 0平行的直线可设为:
小结：
1．利用两直线的斜率关系判断两直线的平行关系． ①斜率存在， l1∥l2 k1＝k2，且截距不等； ②斜率都不存在． 注：若用斜率判断，须对斜率的存在性加以分类讨论．
2．利用两直线的一般式方程判断两直线的平行关系． l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，则 l1∥l2 A1B2－B1A2＝0，且A1C2－C1A2≠0或B1C2－B2C1≠0 ．
两直线的位置关系
---两直线平行
课首自学:
1.你知道用什么来刻画直线的倾斜
程度吗?
2.那能否用倾斜角,斜率来刻画两 条直线的位置关系呢?
课中共学：
y
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱb2
O
b1
l2
l1
l2 y
l1
b1
O
x
b2
l2 y
l1
x a2 O
a1 x
结论:
已知直线l1∥l2， ①若l1，l2的斜率存在，
设l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2 则k1＝k2，且b1≠b2；
-4
o
2
5x
kCD
43 4 2
1 6
-3
●
A
●B
3 4
7
高中数学第2章平面解析几何初步2.1.3两条直线的平行与垂直高一数学
12/12/2021
第十九页，共四十六页。
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[解] (1)由题意知k1＝－5－3－12＝－45， k2＝－7－8（－－3 3）＝－45. 因为k1＝k2，且A，B，C，D四点不共线，所以l1∥l2. (2)由题意知k1＝tan 60°＝ 3，k2＝－3－32－ －23 3＝ 3. 因为k1＝k2，所以l1∥l2或l1与l2重合．
12/12/2021
第二十九页，共四十六页。
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【例3】 已知点A(2，2)和直线l：3x＋4y－20＝0，求： (1)过点A和直线l平行的直线方程； (2)过点A和直线l垂直的直线方程． 思路探究：利用两直线平行和垂直的条件求解或利用与已知直 线平行与垂直的直线系方程求解．
12/12/2021
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3．本节课的易错点是利用斜率判断含字母参数的两直线平行或 垂直时，对字母分类讨论．
12/12/2021
第三十八页，共四十六页。
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当堂达标 固双基
12/12/2021
第三十九页，共四十六页。
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1．下列说法正确的有( ) A．若两直线斜率相等，则两直线平行 B．若l1∥l2，则k1＝k2 C．若两直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率 存在，则两直线相交 D．若两直线斜率都不存在，则两直线平行
第三十页，共四十六页。
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[解] 法一：∵3x＋4y－20＝0，∴kl＝－34. (1)设过点A与l平行的直线为l1. ∵kl1＝kl＝－34，∴l1的方程为y－2＝－34(x－2)， 即3x＋4y－14＝0.
12/12/2021
第三十一页，共四十六页。
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(2)设过点A与l垂直的直线为l2. ∵klkl2＝－1，∴－34×kl2＝－1，∴kl2＝43. ∴l2的方程为y－2＝43(x－2)，即4x－3y－2＝0.
高中数学 第二章 平面解析几何初步 2.1 直线与方程 2.1.3 两条直线的平行与垂直课件2 苏教版必修2
l1 // l2
A1 B1
A2 B2
C1 C2
即：l1 // l2 A1B2 A2B1且A1C2 A2C1
l1 l2 A1A2 B1B2 0
判断两直线的关系
l1 : 2x 3y 5 0 l2 : 4x 6 y 7 0
235 467
（其中A，B不同时为0） 一般式
P108 探究
Ax By C 0
y
y y0 0
y0
l l与x轴平行 A 0,C 0 x l与x轴重合 A 0,C 0
y
x x0 0
l
l与y轴平行 B 0,C 0
O x0 x l与y轴重合 B 0,C 0
l1 : A一1x般 B式1 y方程C1 0
一般式方程 Ax By C 0
问：所有二元一次方程都表示直线吗？
①当B≠0时
y AxC
BB
是以- A 为斜率， C 为截距的直线
B
B
②当Bx=0时 C
A
y
l
是垂直于x轴的一条直线 O C
x
A
一般式方程
所有的直线都可以用二元一次方程表示 所有二元一次方程都表示直线
Ax By C 0
解析几何
两条直线的平行与垂直
点斜式方程
y
l
①倾斜角α≠90°
x y
y0
l
x
y
l
O x0
x
y y0 k(x x0 )
②倾斜角α=0°
y y0 0或y y0
③倾斜角α=90°
x x0 0或x x0
【主体自学】 看书P107～109 完成P110页练习1～3
【排忧解惑】
新教材高中数学第2章平面解析几何初步：两条直线平行与垂直的判定pptx课件湘教版选择性必修第一册
(4)已知平行四边形ABCD的三个顶点的坐标分别为A(0，1)，B(1，0)， C(4，3)，求顶点D的坐标．
解析： 设D(m，n)，因为四边形ABCD为平行四边形，可得AB∥DC，AD∥BC， 0−1 = 3−n
所以kAB＝kDC，kAD＝kBC，可得൞1n−−01 =43−−m0，解得m＝3，n＝4，所以顶点D的坐标
m−0 4−1
为(3，4)．
方法归纳 (1)判断两直线是否平行的方法
(2)与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线方程可设为Ax＋By＋λ＝0，这是 常用的解题技巧．
巩固训练1 (1)(多选)下列各组直线平行的有( ) A．y＝－3x＋2与x＋3y－1＝0 B．y＝x＋2与x－y－2＝0 C．4x－2y＋3＝0与x＋2y－1＝0 D．2x + y3＝1与3x＋2y－2＝0
批注❶ 两条直线平行时，不要忘记它们的斜率有可能不存在的情 况．
批注❷ 两条直线垂直时，不要忘记一条直线的斜率不存在，另一 条直线的斜率为零的情况．
基础自测 1.判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)若直线l1与l2倾斜角相等，则l1∥l2.( × ) (2)若直线l1⊥l2，则k1k2＝－1.( × ) (3)若直线的斜率不存在，则这条直线一定平行于y轴．( × ) (4)若两条直线的斜率不相等，则两直线不平行．( √ )
a−1
= =
b−4
a−3 4−0
3−5
，，解得ቊab==−61，，
所以D(－1，6)． (2)因为kAC＝43−−21＝1，kBD＝−61−−05＝－1， 所以kAC·kBD＝－1，所以AC⊥BD，所以▱ABCD为菱形．
高中数学第2章平面解析几何初步2.1.3两条直线的平行与垂直讲义苏教版必修2
2.1.3 两直线的平行与垂直1．两条直线平行(1)若直线l1：y＝k1x＋b1，直线l2：y＝k2x＋b2，则l1∥l2⇔k1＝k2且b1≠b2(k1，k2均存在)．(2)设l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，则l1∥l2⇔A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1≠0(或A1C2－A2C1≠0)思考：两平行直线的斜率是否一定相等．提示：只要斜率存在，则斜率一定相等．2．两条直线垂直(1)如图①，如果两条直线都有斜率且它们互相垂直，那么它们的斜率之积等于－1；反之，如果它们的斜率之积等于－1，那么它们互相垂直．即l1⊥l2⇔k1k2＝－1(k1，k2均存在)．(2)如图②，若l1与l2中的一条斜率不存在，另一条斜率为零，则l1与l2的位置关系是垂直．①②思考：两直线垂直，则两直线斜率乘积是否一定为－1?提示：两直线斜率存在的前提下，斜率乘积为－1.1.思考辨析(1)若直线l1与l2斜率相等，则l1∥l2. ( )(2)若直线l1∥l2(两条直线的斜率存在，分别为k1，k2)，则k1＝k2.( )(3)若两条直线的斜率不相等，则两直线不平行．( )[答案](1)×(2)√(3)√2．已知A(2，0)，B(3，3)，直线l∥AB，则直线l的斜率k＝________．3 [k AB ＝3－03－2＝3，k l ＝k AB ＝3.]3．与直线x ＋2y ＋7＝0垂直的一条直线的斜率k ＝______．2 [直线x ＋2y ＋7＝0的斜率k ＝－12，故与其垂直的一条直线的斜率k ＝2.]4．过点(0，1)且与直线2x －y ＝0垂直的直线的一般式方程是________．x ＋2y －2＝0 [直线2x －y ＝0的斜率是k ＝2，故所求直线的方程是y ＝－12x ＋1，即x＋2y －2＝0.]12(1)l 1的斜率为1，l 2经过点P (1，1)，Q (3，3)；(2)l 1经过点A (－3，2)，B (－3，10)，l 2经过点C (5，－2)，D (5，5)； (3)l 1经过点A (0，1)，B (1，0)，l 2经过点C (－1，3)，D (2，0)； (4)l 1：x －3y ＋2＝0，l 2：4x －12y ＋1＝0.思路探究：依据斜率公式，求出斜率，利用l 1∥l 2或l 1，l 2重合⇔k 1＝k 2或k 1，k 2不存在判断．[解] (1)k 1＝1，k 2＝3－13－1＝1，k 1＝k 2，∴l 1与l 2重合或l 1∥l 2.(2)l 1与l 2都与x 轴垂直，通过数形结合知l 1∥l 2.(3)k 1＝0－11－0＝－1，k 2＝0－32－（－1）＝－1，k 1＝k 2，数形结合知l 1∥l 2.(4)l 1的方程可变形为y ＝13x ＋23；l 2的方程可变形为y ＝13x ＋112.∵k ＝13，b 1＝23，k 2＝13，b 2＝112，∵k 1＝k 2且b 1≠b 2，∴l 1∥l 2.判断两条直线平行的方法1．根据下列给定的条件，判断直线l 1与直线l 2的位置关系． (1)l 1经过点A (2，1)，B (－3，5)，l 2经过点C (3，－3)，D (8，－7)；(2)l 1的倾斜角为60°，l 2经过点M (3，23)，N (－2，－33)． [解] (1)由题意知k 1＝5－1－3－2＝－45，k 2＝－7－（－3）8－3＝－45.因为k 1＝k 2，且A ，B ，C ，D 四点不共线，所以l 1∥l 2. (2)由题意知k 1＝tan 60°＝3，k 2＝－33－23－2－3＝ 3.因为k 1＝k 2，所以l 1∥l 2或l 1与l 2重合．12(1)直线l 1：2x －4y ＋7＝0，直线l 2：2x ＋y －5＝0； (2)直线l 1：y －2＝0，直线l 2：x －ay ＋1＝0；(3)直线l 1经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫0，54，⎝ ⎛⎭⎪⎫53，0，l 2经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－78，⎝ ⎛⎭⎪⎫76，0. 思路探究：利用两直线垂直的斜率关系判定． [解] (1)k 1＝12，k 2＝－2，∵k 1·k 2＝12×(－2)＝－1，∴l 1与l 2垂直．(2)当a ＝0时，直线l 2方程为x ＝－1，即l 2斜率不存在，又直线l 1的斜率为0，故两直线垂直．当a ≠0时，直线l 2的斜率为1a，又直线l 1的斜率为0，故两直线相交但不垂直．(3)k 1＝0－5453－0＝－34，k 2＝0－⎝ ⎛⎭⎪⎫－7876－0＝34.∵k 1·k 2≠－1，∴两条直线不垂直．1.判断两直线是否垂直的依据是：当这两条直线都有斜率的前提下，只需看它们的斜率之积是否等于－1即可，但应注意有一条直线与x 轴垂直，另一条直线与x 轴平行时，两直线也垂直．2.直接使用A 1A 2＋B 1B 2＝0判断两条直线是否垂直更有优势．2．判断下列各组中的直线l 1与l 2是否垂直：(1)l 1经过点A (－1，－2)，B (1，2)，l 2经过点M (－2，－1)，N (2，1)； (2)l 1的斜率为－10，l 2经过点A (10，2)，B (20，3)；(3)l 1经过点A (3，4)，B (3，100)，l 2经过点M (－10，40)，N (10，40)．[解] (1)直线l 1的斜率k 1＝2－（－2）1－（－1）＝2，直线l 2的斜率k 2＝1－（－1）2－（－2）＝12，k 1k 2＝1，故l 1与l 2不垂直．(2)直线l 1的斜率k 1＝－10，直线l 2的斜率k 2＝3－220－10＝110，k 1k 2＝－1，故l 1⊥l 2.(3)l 1的倾斜角为90°，则l 1⊥x 轴． 直线l 2的斜率k 2＝40－4010－（－10）＝0，则l 2∥x 轴．故l 1⊥l 2.1．如图，设直线l 1与l 2的倾斜角分别为α1与α2，且α1<α2，斜率分别为k 1，k 2，若l 1⊥l 2，α1与α2之间有什么关系？为什么？[提示] α2＝90°＋α1.因为三角形任意一外角等于不相邻两内角之和．2．已知A (－4，3)，B (2，5)，C (6，3)，D (－3，0)四点，若顺次连接A ，B ，C ，D 四点，试判定四边形ABCD 的形状．[提示] 四边形ABCD 为直角梯形，理由如下： 如图，由斜率公式得k AB ＝5－32－（－4）＝13，k CD ＝0－3－3－6＝13， k AD ＝0－3－3－（－4）＝－3，k BC ＝3－56－2＝－12， ∵k AB ＝k CD ，AB 与CD 不重合．∴AB ∥CD ，又k AD ≠k BC ，∴AD 与BC 不平行． 又∵k AB ·k AD ＝13×(－3)＝－1，∴AB ⊥AD ，故四边形ABCD 为直角梯形．【例3】 已知点A (2，2)和直线l ：3x ＋4y －20＝0，求： (1)过点A 和直线l 平行的直线方程； (2)过点A 和直线l 垂直的直线方程．思路探究：利用两直线平行和垂直的条件求解或利用与已知直线平行与垂直的直线系方程求解．[解] 法一：∵3x ＋4y －20＝0，∴k l ＝－34.(1)设过点A 与l 平行的直线为l 1.∵kl 1＝k l ＝－34，∴l 1的方程为y －2＝－34(x －2)，即3x ＋4y －14＝0.(2)设过点A 与l 垂直的直线为l 2.∵k l kl 2＝－1，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫－34×kl 2＝－1，∴kl 2＝43.∴l 2的方程为y －2＝43(x －2)，即4x －3y －2＝0.法二：(1)设与直线l 平行的直线方程为3x ＋4y ＋m ＝0， 则6＋8＋m ＝0，∴m ＝－14，∴3x ＋4y －14＝0为所求．(2)设与直线l 垂直的直线方程为4x －3y ＋n ＝0， 则8－6＋n ＝0，∴n ＝－2， ∴4x －3y －2＝0为所求．两直线平行或垂直的应用(1)求与已知直线平行或垂直的直线．此类问题有两种处理方法：一是利用平行与垂直的条件求斜率，进而求方程；二是利用直线系方程求解，与已知直线Ax ＋By ＋C ＝0平行的直线系方程为Ax ＋By ＋D ＝0(C ≠D )，垂直的直线系方程为Bx －Ay ＋D ＝0.(2)由直线平行或垂直求参数的值，此类问题直接利用平行和垂直的条件，列关于参数的方程求解即可．3．(1)已知四点A (5，3)，B (10，6)，C (3，－4)，D (－6，11)，求证：AB ⊥CD ； (2)已知直线l 1的斜率k 1＝34，直线l 2经过点A (3a ，－2)，B (0，a 2＋1)，且l 1⊥l 2，求实数a 的值．[解] (1)证明：由斜率公式得：k AB ＝6－310－5＝35， k CD ＝11－（－4）－6－3＝－53，则k AB ·k CD ＝－1，∴AB ⊥CD . (2)∵l 1⊥l 2，∴k 1·k 2＝－1， 即34×a 2＋1－（－2）0－3a ＝－1， 解得a ＝1或a ＝3.1．本节课的重点是理解两条直线平行或垂直的判定条件，会利用斜率判断两条直线平行或垂直，难点是利用斜率判断两条直线平行或垂直．2．本节课要重点掌握的规律方法 (1)判断两条直线平行的步骤．(2)利用斜率公式判断两条直线垂直的方法． (3)判断图形形状的方法步骤．3．本节课的易错点是利用斜率判断含字母参数的两直线平行或垂直时，对字母分类讨论．1．下列说法正确的有( ) A ．若两直线斜率相等，则两直线平行 B ．若l 1∥l 2，则k 1＝k 2C ．若两直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存在，则两直线相交D ．若两直线斜率都不存在，则两直线平行C [A 中，当k 1＝k 2时，l 1与l 2平行或重合，错误；B 中，若l 1∥l 2，则k 1＝k 2或两直线的斜率都不存在，错误；D 中两直线可能重合．]2．过点(3，6)，(0，3)的直线与过点(6，2)，(2，0)的直线的位置关系为________． 垂直 [过点(3，6)，(0，3)的直线的斜率k 1＝6－33－0＝2－3；过点(6，2)，(2，0)的直线的斜率k2＝2－06－2＝3＋ 2.因为k1·k2＝－1，所以两条直线垂直．]3．已知直线(a－1)x＋y－1＝0与直线2x＋ay＋1＝0平行，则实数a＝________．2[由已知，得(a－1)a－2＝0，解得a＝－1或a＝2，当a＝－1时，两直线重合，故a ＝2.]4．已知直线l1：ax＋3y＝3，l2：x＋2ay＝5，若l1⊥l2，求a的值．[解]直线l1：ax＋3y－3＝0，直线l2：x＋2ay－5＝0.∵l1⊥l2，∴a×1＋3×2a＝0，即a＝0.。