新课标人教a版高中数学必修1教案完整版[1]
高中数学函数的表示法教案 新课标 人教版 必修1(A)
函数的表示法教学目的：（1）明确函数的三种表示方法；（2）在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数；（3）通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用；（4）纠正认为“y=f(x)”就是函数的解析式的片面错误认识．教学重点：函数的三种表示方法，分段函数的概念．教学难点：根据不同的需要选择恰当的方法表示函数，什么才算“恰当”？分段函数的表示及其图象．教学过程：一、引入课题1.复习：函数的概念；2.常用的函数表示法及各自的优点：（1）解析法；（2）图象法；（3）列表法．二、新课教学（一）典型例题例1．某种笔记本的单价是5元，买x (x∈{1，2，3，4，5})个笔记本需要y元．试用三种表示法表示函数y=f(x) ．分析：注意本例的设问，此处“y=f(x)”有三种含义，它可以是解析表达式，可以是图象，也可以是对应值表．解：（略）注意：○1函数图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等等，注意判断一个图形是否是函数图象的依据；○2解析法：必须注明函数的定义域；○3图象法：是否连线；○4列表法：选取的自变量要有代表性，应能反映定义域的特征．巩固练习：课本P27练习第1题例2．下表是某校高一（1）班三位同学在高一学年度几次数学测试的成绩及班级及班级平均分表：第一次第二次第三次第四次第五次第六次王伟98 87 91 92 88 95张城90 76 88 75 86 80赵磊68 65 73 72 75 82班平均分88．2 78．3 85．4 80．3 75．7 82．6 请你对这三们同学在高一学年度的数学学习情况做一个分析．分析：本例应引导学生分析题目要求，做学情分析，具体要分析什么？怎么分析？借助什么工具？解：（略）注意：○1本例为了研究学生的学习情况，将离散的点用虚线连接，这样更便于研究成绩的变化特点；○2本例能否用解析法？为什么？巩固练习：课本P27练习第2题例3．画出函数y = | x | ． 解：（略）巩固练习：课本P 27练习第3题 拓展练习：任意画一个函数y=f(x)的图象，然后作出y=|f(x)| 和 y=f (|x|) 的图象，并尝试简要说明三者（图象）之间的关系． 课本P 27练习第3题例4．某市郊空调公共汽车的票价按下列规则制定： （1） 乘坐汽车5公里以内，票价2元；（2） 5公里以上，每增加5公里，票价增加1元（不足5公里按5公里计算）．已知两个相邻的公共汽车站间相距约为1公里，如果沿途（包括起点站和终点站）设20个汽车站，请根据题意，写出票价与里程之间的函数解析式，并画出函数的图象．分析：本例是一个实际问题，有具体的实际意义．根据实际情况公共汽车到站才能停车，所以行车里程只能取整数值．解：设票价为y 元，里程为x 公里，同根据题意，如果某空调汽车运行路线中设20个汽车站（包括起点站和终点站），那么汽车行驶的里程约为19公里，所以自变量x 的取值范围是{x ∈N *| x ≤19}．由空调汽车票价制定的规定，可得到以下函数解析式：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=5432y 1915151010550≤<≤<≤<≤<x x x x (*N x ∈)根据这个函数解析式，可画出函数图象，如下图所示：注意：○1 本例具有实际背景，所以解题时应考虑其实际意义； ○2 本题可否用列表法表示函数，如果可以，应怎样列表？ 实践与拓展：请你设计一张乘车价目表，让售票员和乘客非常容易地知道任意两站之间的票价．（可以实地考查一下某公交车线路）说明：象上面两例中的函数，称为分段函数．注意：分段函数的解析式不能写成几个不同的方程，而就写函数值几种不同的表达式并用一个左大括号括起来，并分别注明各部分的自变量的取值情况．三、归纳小结，强化思想理解函数的三种表示方法，在具体的实际问题中能够选用恰当的表示法来表示函数，注意分段函数的表示方法及其图象的画法．四、作业布置课本P28习题1．2（A组）第8—12题（B组）第2、3题。
高中数学 1.1.3集合的基本运算教案 新人教A版必修1
1.1.3 集合的基本运算学习目标：（1）理解交集与并集的概念；（2）掌握两个较简单集合的交集、并集的求法；（3）通过对交集、并集概念的讲解，培养学生观察、比较、分析、概括、等能力，使学生认识由具体到抽象的思维过程；（4）通过对集合符号语言的学习，培养学生符号表达能力，培养严谨的学习作风，养成良好的学习习惯。
教学重点：交集和并集的概念教学难点：交集和并集的概念、符号之间的区别与联系合作探究展示：一、问题衔接我们知道两个实数除了可以比较大小外，还可以进行加法运算，类比实数的加法运算，两个集合是否也可以“相加”呢？思考（P8思考题），引入并集概念。
二、新课教学1.并集一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，称为集合A与B的并集（Union）记作：A∪B 读作：“A并B”即： A∪B={x|x∈A，或x∈B}Venn图表示：说明：B的所有元素组成的集合（重复元素只看成一个元素）。
例题（P8-9例4、例5）说明：连续的（用不等式表示的）实数集合可以用数轴上的一段封闭曲线来表示。
问题：在上图中我们除了研究集合A与B的并集外，它们的公共部分（即问号部分）还应是我们所关心的，我们称其为集合A与B的交集。
2.交集一般地，由属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合，叫做集合A与B的交集（intersection）。
记作：A∩B 读作：“A交B”即： A∩B={x|∈A，且x∈B}交集的Venn图表示说明：两个集合求交集，结果还是一个集合，是由集合A 与B 的公共元素组成的集合。
例题（P 9-10例6、例7）拓展：求下列各图中集合A 与B 的并集与交集当两个集合没有公共元素时，两个集合的交集是空集，集3. 探索研究A ∩B ⊆A ，A ∩B ⊆B ，A ∩A=A ，A ∩∅=∅,A ∩B=B ∩AA ⊆A ∪B ，B ⊆A ∪B ，A ∪A=A ，A ∪∅=A,A ∪B=B ∪A三、归纳小结（略）四、作业布置书面作业：P 12习题1.1，第6-8题拓展提高：题型一 已知集合的交集、并集求参数问题例1 已知集合{}{}22,1,3,3,21,1A a a B a a a =+-=--+，若{}3A B =-，求实数a 的值解：∵{}3A B =-，∴3B -∈，而213a +≠-，∴当{}{}33,0,0,1,3,3,1,1a a A B -=-==-=--，这样{}3,1A B =-与{}3A B =-矛盾；当213,1,a a -=-=-符合{}3AB =- ∴1a =-练习1已知集合{}{},9,1,5,,1a 2,42a a B a A --=--=若{},9=⋂B A 求a 的值 答案 a=-3例 2.已知{}{},51,32>-<=+≤≤=x x x B a x a x A 或若,φ=⋂B A 求a 的取值范围.解（1）若,,φφ=⋂=B A A 由此时332>∴+>a a a A（2）若221325312,,≤≤-⎪⎩⎪⎨⎧+≤≤+-≥∴=⋂≠a a a a a B A A 解得由φφ 综上所述，a 的取值范围是.3221⎭⎬⎫⎩⎨⎧>≤≤-a a a 或 练习2上题中若的取值范围求a R B A ,=⋃。
高中数学二次函数与一元二次方程教案新课标人教版必修1（A）
⾼中数学⼆次函数与⼀元⼆次⽅程教案新课标⼈教版必修1（A）⼆次函数与⼀元⼆次⽅程（2）三维⽬标⼀、知识与技能1.会⽤函数图象的交点解释⽅程的根的意义.2.继续了解函数的零点与对应⽅程根的联系.3.理解在函数的零点两侧函数值乘积⼩于0这⼀结论的实质.⼆、过程与⽅法1.体验并理解函数与⽅程的相互转化的数学思想⽅法.2.通过探究、思考，培养学⽣理性思维能⼒以及分析问题、解决问题的能⼒.三、情感态度与价值观通过现代信息技术的合理应⽤，转变学⽣对数学学习的态度，加强学⽣对数形结合、分类讨论等数学思想的进⼀步认识.教学重点“在函数的零点两侧函数值乘积⼩于0”的理解.教学难点“在函数的零点两侧函数值乘积⼩于0”的理解.教具准备多媒体课件、投影仪.教学过程⼀、创设情景，引⼊新课师：观察⼆次函数f（x）=x2－2x－3的图象（如下图），我们发现函数f（x）=x2－2x－3在区间［－2，1］上有零点.计算f（－2）与f（1）的乘积，你能发现这个乘积有什么特点?在区间［2，4］上是否也具有这种特点呢?引导学⽣探究，可以发现，在区间［－2，1］的端点上，f（－2）＞0，f（1）＜0，即f（－2）·f （1）＜0，函数f（x）=x2－2x－3在区间（－2，1）内有零点x=－1，它是⽅程x2－2x－3=0的⼀个根.同样，在区间［2，4］的端点上，f（2）＜0，f（4）＞0，即f（2）·f（4）＜0，函数f（x）=x2－2x－3在（2，4）内有零点x=3，它是⽅程x2－2x－3=0的另⼀个根.我们能从⼆次函数的图象看到零点的性质：1.⼆次函数的图象是连续的，当它通过零点时（不是⼆重零点），函数值变号.例如，函数y=x2－x－6的图象在零点－2的左边时，函数值取正号，当它通过第⼀个零点－2时，函数值由正变负，再通过第⼆个零点3时，函数值⼜由负变正.2.相邻两个零点之间的所有函数值保持同号.师：对任意函数，结论也成⽴吗?同学们可以任意画⼏个函数图象，观察图象，看看是否得出同样的结论.⼆、讲解新课1.零点的性质如果函数y=f（x）在区间［a，b］上的图象是连续不断的⼀条曲线，并且有f（a）·f （b ）＜0，那么，函数y =f （x ）在区间（a ，b ）内有零点，即存在c ∈（a ，b ），使得f （c ）=0，这个c 也就是⽅程f （x ）=0的根.求⽅程f （x ）=0的实数根，就是确定函数y =f （x ）的零点.⼀般地，对于不能⽤公式法求根的⽅程f （x ）=0来说，我们可以将它与函数y =f （x ）联系起来，利⽤函数的性质找出零点，从⽽求出⽅程的根.2.应⽤举例【例1】教科书P 102例1.本例是考查函数零点的个数.通过它要让学⽣认识到函数的图象及其基本性质（特别是单调性）在确定函数零点中的重要作⽤.（1）函数f （x ）=ln x +2x －6的图象可以让学⽣利⽤计算器或计算机画出.通过观察教科书上的图3.1－3，发现函数的图象与x 轴有⼀个交点，从⽽对函数有⼀个零点形成直观的认识.（2）教科书上的表3－1，可以让学⽣⽤计算器或计算机得出，使学⽣通过动⼿实践获得对表3－1的认同感.通过观察表3－1，结合图象3.1－3，不难得出函数的⼀个零点在区间（2，3）内.（3）要说明函数仅有⼀个零点，除上述理由外，还必须说明函数在其定义域内是单调的.可以由增（减）函数的定义证明函数在（0，+∞）上是增函数，也可以由g （x ）=ln x 、h （x ）=2x －6在（0，+∞）上是增函数，说明函数f （x ）=g （x ）+h （x ）在（0，+∞）上是增函数.【例2】已知函数f （x ）=ax 2+bx +1具有以下性质：①对任意实数x 1≠x 2，且f （x 1）=f （x 2）时，满⾜x 1+x 2=2；②对任意x 1、x 2∈（1，+∞），总有f （221x x +）＞2)()(21x f x f +. 则⽅程ax 2+bx +1=0根的情况是A.⽆实数根B.有两个不等正根C.有两个异号实根D.有两个相等正根⽅法探究：（1）本题由条件①，知函数f （x ）的对称轴为x =1；由条件②，知函数f （x ）是凸函数，即a ＜0；再由函数f （x ）的表达式，知f （x ）的图象过点（0，1）.根据这三点，可画出函数f （x ）的草图，如下图，发现函数f （x ）与x 轴交点的位置，可知f （x ）=0有两个异号实根，故应选C.（2）由条件②，知函数f （x ）的图象开⼝向下，即a ＜0.⼜由x 1x 2=a1＜0，可知 f （x ）=0有两个异号实根，故应选C.⽅法技巧：解析（2）的求解过程明显⽐解析（1）简捷，但却不如解析（1）直观，⽤数形结合思想解题可以使问题变得直观清晰，便于理解.但不难发现，如果解析（1）中的三个函数语⾔之中有1个没有转化（或错误地转化）为图形语⾔，那么本题就可能会错选.⽤数形结合思想解题，要注意由数到形，由形到数转化过程的等价性.【例3】研究⽅程|x 2－2x －3|=a （a ≥0）的不同实根的个数.⽅法探究：纯粹从解⽅程⾓度来考虑，必须研究两个⽅程，讨论相当⿇烦.从函数图象⾓度分析，只需研究函数y =|x 2－2x －3|与y =a 的图象的交点的个数.解：设y =|x 2－2x －3|和y =a ，利⽤Excel 、图形计算器或其他画图软件，分别作出这两个函数的图象，它们的交点的个数，即为所给⽅程实根的个数.如下图，当a =0或a ＞4时，有两个实根；当a =4时，有三个实根；当0＜a ＜4时，有四个实根.⽅法技巧：有关实根个数的题⽬，通常都采⽤数形结合思想.做这类题⽬，必须遵循两个步骤：⼀是构造两个熟悉的函数，⼆是画出图象，关键点画图要准确.【例4】设⼆次函数f （x ）=ax 2+bx +c （a ＞0），⽅程f （x ）－x =0的两个根x 1，x 2满⾜0＜x 1＜x 2＜a 1. （1）当x ∈（0，x 1）时，求证：x ＜f （x ）＜x 1；（2）设函数f （x ）的图象关于直线x =x 0对称，求证：x 0＜21x . ⽅法探究：由于已知⼆次⽅程f （x ）－x =0的两个根，因此新出现的⼆次函数f （x ）－x 应有双根式、⼀般式两种表现形式.故本题⼀定是在此进⾏问题设置，解题的关键就是恰当地把握好两种形式的转化.证明：（1）∵x 1，x 2是⽅程f （x ）－x =0的两根，且f （x ）=ax 2+bx +c （a ＞0），∴f （x ）－x =a （x －x 1）（x －x 2）=a （x 1－x ）（x 2－x ）.∵0＜x 1＜x 2，且x 1＜x 2＜a1，a ＞0，∴a （x 1－x ）（x 2－x ）＞0，即f （x ）－x ＞0，a （x 1－x ）（x 2－x ）＜a ·a 1（x 1－x ）=x 1－x ，即f （x ）－x ＜x 1－x .故0＜f （x ）－x ＜x 1－x ，即x ＜f （x ）＜x 1.（2）∵f （x ）－x =ax 2+（b －1）x +c ，且f （x ）－x =0的两根为x 1，x 2，∴⼆次函数f （x ）－x =0的对称轴为x =221x x +=－a b 21-. ∴21x =－a b 2+a21－22x . ⼜由已知，得x 0=－a b 2，∴21x =x 0+a21－22x . ⼜∵x 2＜a 1，∴a 21－22x ＞0. 故21x =x 0+a21－22x ＞x 0，即x 0＜21x . ⽅法技巧：函数与⽅程思想的恰当转化，是解决本题的关键，这种思想⽅法的转化往往是多次的.三、课堂练习教科书P 103练习题1.（1）（2），2.（1）（2）.解答：1.（1）令f（x）=－x2+3x+5，作出函数f（x）的图象，它与x轴有两个交点，所以⽅程－x2+3x+5=0有两个不相等的实数根.（2）2x（x－2）=－3可化为2x2－4x+3=0，令f（x）=2x2－4x+3，作出函数f（x）的图象，它与x轴没有交点，所以⽅程2x（x－2）=－3⽆实根.2.（1）作出函数图象，因为f（1）=1＞0，f（1.5）=－2.875＜0，所以f（x）=－x3－3x+5在区间（1，1.5）上有⼀个零点.⼜因为f（x）是（－∞，+∞）上的减函数，所以f（x）=－x3－3x+5在区间（1，1.5）上有且只有⼀个零点.（2）作出函数图象，因为f（3）＜0，f（4）＞0，所以f（x）=2x·ln（x－2）－3在区间（3，4）上有⼀个零点.⼜因为f（x）=2x·ln（x－2）－3在（2，+∞）上是增函数，所以f（x）在（2，+∞）上有且仅有⼀个（3，4）上的零点.四、课堂⼩结1.本节学习的数学知识：零点的性质：在函数的零点两侧函数值乘积⼩于0；零点的确定.2.本节学习的数学⽅法：归纳的思想、函数与⽅程思想、数形结合思想.五、布置作业补充题：1.定义在区间［－c，c］上的奇函数f（x）的图象如下图所⽰，令g（x）=af（x）+b，则下列关于函数g（x）的叙述正确的是A.若a＜0，则函数g（x）的图象关于原点对称B.若a=－1，－2＜b＜0，则函数g（x）有⼤于2的零点C.若a≠0，b=2，则函数g（x）有两个零点D.若a≥1，b＜2，则函数g（x）有三个零点2.⽅程x2－2mx+m2－1=0的两根都在（－2，4）内，则实数m的取值范围为________.3.已知⼆次函数f（x）=x2+2（p－2）x+3p，若在区间［0，1］内⾄少存在⼀个实数c，使得f（c）＞0，则实数p的取值范围是________.板书设计3.1.1⽅程的根与函数的零点（2）⼆次函数零点的性质零点的性质例1例2例3例4课堂练习课堂⼩结。
新教材高中数学第1章集合与常用逻辑术语1.3集合的基本运算第1课时并集与交集教学案新人教A版必修第一册
第1课时并集与交集(教师独具内容) 课程标准：1.理解两个集合并集与交集的含义，能求两个集合的并集与交集.2.能使用Venn图直观地表达两个集合的并集与交集，体会图形对理解抽象概念的作用．教学重点：1.并集与交集的含义(自然语言、符号语言、图形语言).2.求两个集合的并集与交集．教学难点：1.并集中“或”、交集中“且”的正确理解.2.准确地找出并集、交集中的元素，并能恰当地加以表示.【知识导学】知识点一并集自然语言符号语言Venn图表示一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}A∪B＝□01B∪□02A，A⊆A∪B，A∪A＝□03A，A∪∅＝□04A，A∪B＝B⇔□05A⊆□06B.知识点二交集自然语言符号语言Venn图表示一般地，由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}A∩B＝□01B∩□02A，A∩B⊆A，A∩A＝□03A，A∩∅＝□04∅，A∩B＝A⇔□05A⊆□06B.【新知拓展】集合的交、并运算中的注意事项(1)对于元素个数有限的集合，可直接根据集合的“交”“并”定义求解，但要注意集合元素的互异性．(2)对于元素个数无限的集合，进行交、并运算时，可借助数轴，利用数轴分析法求解，但要注意端点值取到与否．1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若A∩B＝∅，则A，B至少有一个是∅.( )(2)若A∪B＝∅，则A，B都是∅.( )(3)对于任意集合A，B，下列式子总成立：A∩B⊆A⊆A∪B.( )(4)对于任意集合A，B，下列式子总成立：A∪B＝B⇔A⊆B⇔A∩B＝A.( )(5)对于两个非空的有限集合A，B，A∪B中的元素一定多于A中的元素．( )答案(1)×(2)√(3)√(4)√(5)×2．做一做(1)已知集合A＝{x|x＝3n＋2，n∈N}，B＝{6,8,10,12,14}，则集合A∩B中元素的个数为( )A．5 B．4C．3 D．2(2)已知集合A＝{x|－1<x<2}，B＝{x|0<x<3}，则A∪B＝( )A．{x|－1<x<3} B．{x|－1<x<0}C．{x|0<x<2} D．{x|2<x<3}(3)已知集合A＝{1,2，x2}，B＝{2，x}，若A∪B＝A，则x＝________.答案(1)D (2)A (3)0题型一求两个集合的交集与并集例1 已知集合A＝{x|－1<x≤2}，B＝{x|－2≤x<1}，求A∩B，A∪B.[解] 把集合A与B在数轴上表示出来，如图所示．由上图可得，A∩B＝{x|－1<x<1}，A∪B＝{x|－2≤x≤2}．金版点睛集合A与B的“交”“并”运算，实质上就是对集合A与B中元素的“求同”“合并”：(1)A∩B中的元素是“所有”属于集合A且属于集合B的元素，而不是部分，特别地，当集合A和集合B没有公共元素时，不能说A与B没有交集，而是A∩B＝∅.(2)对于并集，要注意其中“或”的意义，“或”与通常所说的“非此即彼”有原则性的区别，它们是“相容”的.“x ∈A 或x ∈B ”这一条件，包括下列三种情况：x ∈A 但x ∉B ；x ∈B 但x ∉A ；x ∈A 且x ∈B .因此，A ∪B 是由所有至少属于A ，B 两者之一的元素组成的集合.[跟踪训练1] 已知集合A ＝{y |y ＝x 2－1}，B ＝{x |－2≤x <0}，求A ∩B ，A ∪B . 解 A ∩B ＝{x |－1≤x <0}，A ∪B ＝{x |x ≥－2}.题型二 简单的含参问题例2 已知集合A ＝{0,1}，B ＝{x |(x －1)(x －a )＝0}．求A ∩B ，A ∪B .[解] 集合B 是方程(x －1)(x －a )＝0的解集，它可能只有一个元素1(a ＝1)，也可能有两个元素1，a (a ≠1)．(1)当a ＝1时，A ∩B ＝{1}，A ∪B ＝{0,1}； (2)当a ＝0时，A ∩B ＝{0,1}，A ∪B ＝{0,1}； (3)当a ≠0且a ≠1时，A ∩B ＝{1}，A ∪B ＝{0,1，a }． 金版点睛由于参数a 的变化，集合B 中的元素也在变化，即集合B 是变化的集合，因此需要分类讨论；特别注意，不能把集合B 写成{1，a }(因为当a ＝1时，不满足元素的互异性)；对于两集合的“交”“并”运算，应当首先弄清两集合中的元素是什么，之后再根据集合“交”“并”运算的概念求解．[跟踪训练2] 已知集合A ＝{x |2a －2<x <a }，B ＝{x |x ≤1或x ≥2}，且A ∩B ＝A ，求a 的取值范围．解 ∵A ∩B ＝A ，∴A ⊆B ， ∴分A ＝∅和A ≠∅两种情况讨论． ①若A ＝∅，此时有2a －2≥a ，∴a ≥2. ②若A ≠∅，则有⎩⎪⎨⎪⎧2a －2<a ，a ≤1或⎩⎪⎨⎪⎧2a －2<a ，2a －2≥2.∴a ≤1.综上所述，a ≤1或a ≥2.题型三 类似于“交”“并”运算的一些新定义型问题例3 设M ，P 是两个非空集合，规定M －P ＝{x |x ∈M ，且x ∉P }，根据这一规定，M －(M－P)等于( )A．M B．PC．M∪P D．M∩P[解析] 当M∩P≠∅时，由图可知M－P为图中的阴影部分，则M－(M－P)显然是M∩P；当M∩P＝∅时，M－P＝M，此时M－(M－P)＝M－M＝{x|x∈M，且x∉M}＝∅＝M∩P，故选D.[答案] D金版点睛题目给出了两个集合的一种运算“M－P”，其运算法则是：M－P是由所有属于M且不属于P的元素组成的集合，弄清法则便可以进行运算，特别是借助Venn图，使问题简捷明了.[跟踪训练3]设A，B是两个非空集合，规定A*B＝{x|x∈A∪B，且x∉A∩B}．若A＝{0,1,2,4}，B＝{1,2,3}，求A*B.解∵A∪B＝{0,1,2,3,4}，A∩B＝{1,2}，∴A*B＝{0,3,4}．1．已知集合A＝{x|x是不大于8的正奇数}，B＝{x|x是9的正因数}，则A∩B＝________，A∪B＝________.答案{1,3} {1,3,5,7,9}解析由题意，知A＝{1,3,5,7}，B＝{1,3,9}，所以A∩B＝{1,3}，A∪B＝{1,3,5,7,9}．2．已知集合A＝{x|x是菱形}，B＝{x|x是矩形}，则A∩B＝________.答案{x|x是正方形}解析菱形的四条边相等，矩形的四个角均为90°，四条边相等并且四个角均为90°的四边形为正方形，所以A∩B＝{x|x既是菱形，又是矩形}＝{x|x是正方形}．3．已知集合A ＝{(x ，y )|x ＋y ＝4}，B ＝{(x ，y )|x －y ＝2}，则A ∩B ＝________. 答案 {(3,1)}解析 由题意，知A ∩B ＝{(x ，y )|x ＋y ＝4且x －y ＝2}＝{|(x ，y )⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝4，x －y ＝2，解⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝4，x －y ＝2，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝1，故A ∩B ＝{(3,1)}．4．已知A ＝{x |－4<x ≤2}，B ＝{x |－2≤x ≤3}，则A ∩B ＝________，A ∪B ＝________. 答案 {x |－2≤x ≤2} {x |－4<x ≤3}解析 把集合A 与B 在数轴上表示出来，如图所示．由上图可知，A ∩B ＝{x |－2≤x ≤2}，A ∪B ＝{x |－4<x ≤3}．5．已知A ＝{x |x >a }，B ＝{x |－1≤x ≤1}，若A ∪B ＝A ，则a 的取值范围是________． 答案 a <－1解析 A ∪B ＝A ⇔B ⊆A ，则a <－1，故a 的取值范围是a <－1.。
高中数学2.1.2指数函数及其性质教案新人教A版必修1
指数函数及其性质一、【教学目标】1.知识与技能：理解指数函数的概念，画出具体指数函数图象，能经过观察图象得出两类指数函数图象的地位关系；在理解函数概念的基础上，能运用所学知识解决简单的数学成绩；2.过程与方法：在教学过程中，利用画板作图加深对指数函数的认识，让先生在数学活动中感受数学思想方法之美、领会数学思想方法之重要；3.情感、态度、价值观：经过本节课自主探求研讨式教学，使先生获得研讨函数的规律和方法；培养先生自动学习、合作交流的认识。
二、【学情分析】指数函数式在先生零碎学习了函数概念，基本掌握函数性质的基础上进行研讨的，是先生对函数概念及其性质的第一次运用．教材在之前的学习中给出链各个理论的例子（GDP的增长成绩和碳14的衰减成绩），曾经让先生感遭到了指数函数的理论背景，但这两个例子的背景对于先生来说有些陌生．本节课先设计两个看似简单的成绩，但能经过得到超出想象的结果来激发先生学习新知的兴味和愿望。
三、【教材分析】本节课是《普通高中课程标准实验教科书·数学1》（人教A版）第二章第一节第二课【（2．1．2）《指数函数及其性质》．根据理论情况，将《指数函数及其性质》划分为三节课指数函数及其性质、指数函数及其性质的运用（1）、指数函数及其性质的运用（2）】，这是第一节“指数函数及其性质”．指数函数是重要的基本初等函数之一，作为常见函数，它不仅是今后学习对数函数和幂函数的基础，同时在生活及消费理论中有着广泛的运用，所以指数函数应重点研讨。
四、【教学重难点】1.教学重点：指数函数的概念、底数互为倒数的指数函数的图象关于y轴对称。
2.教学难点:底数a的范围讨论，自变量的取值范围和由函数的图象归纳指数函数的性质。
五、【教学方法】自主预习、合作探求、体验践行。
六、 【教学装备】多媒体装备。
七、 【课时安排】第一课时(新知课)。
八、 【教学过程】(一) 创设情境，引出成绩（约3分钟）师：观察图片，你能说出这是甚么吗？生：国际象棋师：这盘象棋隐含了这么一个故事？生：．．．．师：国王为了奖励发明者达依尔特许愿满足他提的任意一个请求，那么达伊尔提出如下要求在棋盘第一格放2粒大米，第二格放4粒大米，第三格放8粒大米，…按这个规律．最初一格棋盘上的大米数就是我要的．请问：最初一格的大米数是多少呢？生：642师：那么国王能否满足他的要求呢？【学情预设】先生会说能．也有说不能的．教师公布数据领会指数函数的爆炸增长，642粒大米是每年全世界粮食产量的1000多倍，明显国王是满足不了他的请求．师：请写出米粒数与棋盘格数的函数关系式．生：{}2,1,2,,64x y x =∈师： “一尺之棰，日取其半，万世不竭．”这句话来自著名的《庄子·天下篇》，哪位同学能用数学言语来表述它的含义？生：。
高中必修1数学a版教案设计
高中必修1数学a版教案设计
教学内容：平面向量
教学目标：学生能够理解和掌握平面向量的概念、运算规则和性质。
教学重点：平面向量的定义、加法、减法、数量积和平行四边形法则。
教学难点：向量的线性运算和向量的性质证明。
教学方法：讲授、示范、实践。
教学过程：
一、导入（5分钟）
教师通过讲解实际生活中的例子引入平面向量的概念，让学生了解向量的作用和重要性。
二、讲解平面向量的定义和基本性质（15分钟）
教师讲解平面向量的定义、零向量和单位向量的概念，介绍向量的加法和减法规则，并讲解向量的数量积和平行四边形法则。
三、练习与巩固（20分钟）
让学生进行练习，进行向量的加法、减法和数量积计算，巩固所学内容。
四、拓展与应用（15分钟）
引入实际生活中的问题，让学生通过向量的概念和运算规则解决问题，培养学生的应用能力和创新思维。
五、总结与反思（5分钟）
让学生总结本节课所学内容，并检查自己的学习情况，有针对性地进行巩固和提高。
教学过程中，教师要注重激发学生的学习兴趣和主动性，引导学生通过思考和实践提高自己的数学能力。
同时，要根据学生的不同水平和特点，采用灵活多样的教学方式，确保每个学生都能够达到预设的教学目标。
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第一章集合与函数概念一. 课标要求：本章将集合作为一种语言来学习，使学生感受用集合表示数学内容时的简洁性、准确性，帮助学生学会用集合语言描述数学对象，发展学生运用数学语言进行交流的能力.函数是高中数学的核心概念，本章把函数作为描述客观世界变化规律的重要数学模型来学习，强调结合实际问题，使学生感受运用函数概念建立模型的过程与方法，从而发展学生对变量数学的认识.1. 了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系，掌握某些数集的专用符号.2. 理解集合的表示法，能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用.3、理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集，培养学生分析、比较、归纳的逻辑思维能力.4、能在具体情境中，了解全集与空集的含义.5、理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的交集与并集, 培养学生从具体到抽象的思维能力.6. 理解在给定集合中，一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集.7. 能使用Venn 图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用.8. 学会用集合与对应的语言来刻画函数，理解函数符号y=f（x）的含义；了解函数构成的三要素，了解映射的概念；体会函数是一种刻画变量之间关系的重要数学模型，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；会求一些简单函数的定义域和值域，并熟练使用区间表示法.9. 了解函数的一些基本表示法（列表法、图象法、分析法），并能在实际情境中，恰当地进行选择；会用描点法画一些简单函数的图象.10. 通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用.11. 结合熟悉的具体函数，理解函数的单调性、最大（小）值及其几何意义，了解奇偶性和周期性的含义，通过具体函数的图象，初步了解中心对称图形和轴对称图形.12. 学会运用函数的图象理解和研究函数的性质，体会数形结合的数学方法.13. 通过实习作业，使学生初步了解对数学发展有过重大影响的重大历史事件和重要人物,了解生活中的函数实例二. 编写意图与教学建议1. 教材不涉及集合论理论，只将集合作为一种语言来学习，要求学生能够使用最基本的集合语言表示有关的数学对象，从而体会集合语言的简洁性和准确性，发展运用数学语言进行交流的能力. 教材力求紧密结合学生的生活经验和已有数学知识，通过列举丰富的实例，使学生了解集合的含义，理解并掌握集合间的基本关系及集合的基本运算.教材突出了函数概念的背景教学，强调从实例出发，让学生对函数概念有充分的感性基础，再用集合与对应语言抽象出函数概念，这样比较符合学生的认识规律，同时有利于培养学生的抽象概括的能力，增强学生应用数学的意识，教学中要高度重视数学概念的背景教学.2. 教材尽量创设使学生运用集合语言进行表达和交流的情境和机会，并注意运用Venn 图表达集合的关系及运算，帮助学生借助直观图示认识抽象概念. 教学中，要充分体现这种直观的数学思想，发挥图形在子集以及集合运算教学中的直观作用。
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第一章 集合与函数概念§1.1.1集合的含义与表示一. 教学目标：l.知识与技能(1)通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系；(2)知道常用数集及其专用记号；(3)了解集合中元素的确定性.互异性.无序性；(4)会用集合语言表示有关数学对象；(5)培养学生抽象概括的能力.2. 过程与方法(1)让学生经历从集合实例中抽象概括出集合共同特征的过程，感知集合的含义.(2)让学生归纳整理本节所学知识.3. 情感.态度与价值观使学生感受到学习集合的必要性，增强学习的积极性.二. 教学重点.难点重点：集合的含义与表示方法.难点：表示法的恰当选择.三. 学法与教学用具1. 学法：学生通过阅读教材，自主学习.思考.交流.讨论和概括，从而更好地完成本节课的教学目标.2. 教学用具：投影仪.四. 教学思路(一)创设情景，揭示课题1．教师首先提出问题：在初中，我们已经接触过一些集合，你能举出一些集合的例子吗?引导学生回忆.举例和互相交流. 与此同时，教师对学生的活动给予评价.2.接着教师指出：那么，集合的含义是什么呢?这就是我们这一堂课所要学习的内容.（二）研探新知1．教师利用多媒体设备向学生投影出下面9个实例：(1)1—20以内的所有质数；(2)我国古代的四大发明；(3)所有的安理会常任理事国；(4)所有的正方形；(5)海南省在2004年9月之前建成的所有立交桥；(6)到一个角的两边距离相等的所有的点；(7)方程2560x x -+=的所有实数根；(8)不等式30x ->的所有解；(9)国兴中学2004年9月入学的高一学生的全体.2．教师组织学生分组讨论：这9个实例的共同特征是什么?3.每个小组选出——位同学发表本组的讨论结果，在此基础上，师生共同概括出9个实例的特征，并给出集合的含义.一般地，指定的某些对象的全体称为集合(简称为集).集合中的每个对象叫作这个集合的元素.4.教师指出：集合常用大写字母A ，B ，C ，D ，…表示，元素常用小写字母,,,a b c d …表示.(三)质疑答辩，排难解惑，发展思维1．教师引导学生阅读教材中的相关内容，思考：集合中元素有什么特点?并注意个别辅导，解答学生疑难.使学生明确集合元素的三大特性，即:确定性.互异性和无序性.只要构成两个集合的元素是一样的,我们就称这两个集合相等.2．教师组织引导学生思考以下问题：判断以下元素的全体是否组成集合，并说明理由：(1)大于3小于11的偶数；(2)我国的小河流.让学生充分发表自己的建解.3. 让学生自己举出一些能够构成集合的例子以及不能构成集合的例子，并说明理由.教师对学生的学习活动给予及时的评价.4.教师提出问题，让学生思考(1)如果用A 表示高—(3)班全体学生组成的集合，用a 表示高一(3)班的一位同学，b 是高一(4)班的一位同学，那么,a b 与集合A 分别有什么关系?由此引导学生得出元素与集合的关系有两种：属于和不属于.如果a 是集合A 的元素，就说a 属于集合A ，记作a A ∈.如果a 不是集合A 的元素，就说a 不属于集合A ，记作a A ∉.(2)如果用A 表示“所有的安理会常任理事国”组成的集合，则中国.日本与集合A 的关系分别是什么?请用数学符号分别表示．(3)让学生完成教材第6页练习第1题.5.教师引导学生回忆数集扩充过程，然后阅读教材中的相交内容，写出常用数集的记号.并让学生完成习题1.1A 组第1题.6.教师引导学生阅读教材中的相关内容，并思考.讨论下列问题：(1)要表示一个集合共有几种方式?(2)试比较自然语言.列举法和描述法在表示集合时，各自有什么特点?适用的对象是什么?(3)如何根据问题选择适当的集合表示法?使学生弄清楚三种表示方式的优缺点和体会它们存在的必要性和适用对象。
高中数学幂函数教案 新课标 人教版 必修1(A)
幂函数一．教学目标： 1．知识技能（1）理解幂函数的概念；（2）通过具体实例了解幂函数的图象和性质，并能进行初步的应用. 2．过程与方法类比研究一般函数，指数函数、对数函数的过程与方法，后研幂函数的图象和性质.3．情感、态度、价值观（1）进一步渗透数形结合与类比的思想方法； （2）体会幂函数的变化规律及蕴含其中的对称性. 二．重点、难点重点：从五个具体的幂函数中认识的概念和性质 难点：从幂函数的图象中概括其性质 5．学法与教具（1）学法：通过类比、思考、交流、讨论，理解幂函数的定义和性质 ; （2）教学用具：多媒体 三．教学过程： 引入新知阅读教材P 90的具体实例（1）~（5），思考下列问题. （1）它们的对应法则分别是什么？ （2）以上问题中的函数有什么共同特征？让学生独立思考后交流，引导学生概括出结论答：1、（1）乘以1 （2）求平方 （3）求立方（4）求算术平方根 （5）求－1次方2、上述的问题涉及到的函数，都是形如：y x α=，其中x 是自变量，α是常数.探究新知1．幂函数的定义一般地，形如y x α=（x ∈R ）的函数称为幂孙函数，其中x 是自变量，α是常数. 如11234,,y x y x y x -===等都是幂函数，幂函数与指数函数，对数函数一样，都是基本初等函数.2．研究函数的图像（1）y x = （2）12y x = （3）2y x = （4）1y x -= （5）3y x =一．提问：如何画出以上五个函数图像引导学生用列表描点法，应用函数的性质，如奇偶性，定义域等，画出函数图像，最后，教师利用电脑软件画出以上五个数数的图像.2y x =3．幂函数性质（1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义，并且图象都过点（1，1）（原因：11x=）；（2）x ＞0时，幂函数的图象都通过原点，并且在[0，+∞]上，是增函数（从左往右看，函数图象逐渐上升）.特别地，当x ＞1，x ＞1时，x ∈（0，1），2y x =的图象都在y x =图象的下方，形状向下凸越大，下凸的程度越大（你能找出原因吗？）当∠α＜1时，x ∈（0，1），2y x =的图象都在y x =的图象上方，形状向上凸，α越小，上凸的程度越大（你能说出原因吗？）（3）α＜0时，幂函数的图象在区间（0，+∞）上是减函数.在第一家限内，当x 向原点靠近时，图象在y 轴的右方无限逼近y 轴正半轴，当x 慢慢地变大时，图象在x 轴上方并无限逼近x 轴的正半轴. 例题：1．证明幂函数()[0,]f x =+∞上是增函数证：任取121,[0,),x x x ∈+∞且＜2x 则12()()f x f x -=因12x x -＜0所以12()()f x f x <，即()[0,]f x =+∞上是增函数.思考：我们知道，若12()()0,1()f x y f x f x =><若得12()()f x f x <，你能否用这种作比的方法来证明()[0,]f x =+∞上是增函数，利用这种方法需要注意些什么？2．利用函数的性质 ，判断下列两个值的大小 （1）11662,3 （2）3322(1),(0)x xx +> （3）22244(4),4a --+分析：利用幂函数的单调性来比较大小.5．课堂练习画出23y x =的大致图象，并求出其定义域、奇偶性，并判断和证明其单调性. 6．归纳小结：提问方式（1）我们今天学习了哪一类基本函数，它们定义是怎样描述的？ （2）你能根据函数图象说出有关幂函数的性质吗？ 作业：P 92 习题 2.3 第2、3 题。
高中数学指数教案(第三课时)新课标 人教版 必修1(A)
指数一．教学目标1．知识与技能：（1）掌握根式与分数指数幂互化；（2）能熟练地运用有理指数幂运算性质进行化简，求值.2．过程与方法：通过训练点评，让学生更能熟练指数幂运算性质.3．情感、态度、价值观（1）培养学生观察、分析问题的能力；（2）培养学生严谨的思维和科学正确的计算能力.二．重点、难点：1．重点：运用有理指数幂性质进行化简，求值.2．难点：有理指数幂性质的灵活应用.三．学法与教具：1．学法：讲授法、讨论法.2．教具：投影仪四．教学设想：1．复习分数指数幂的概念与其性质2．例题讲解例1．（P60，例4）计算下列各式（式中字母都是正数）（1）211511336622(2)(6)(3)a b a b a b-÷-（2）31884 () m n-（先由学生观察以上两个式子的特征，然后分析、提问、解答）分析：四则运算的顺序是先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号的.整数幂的运算性质及运算规律扩充到分数指数幂后，其运算顺序仍符合我们以前的四则运算顺序.我们看到（1）小题是单项式的乘除运算；（2）小题是乘方形式的运算，它们应让如何计算呢？其实，第（1）小题是单项式的乘除法，可以用单项式的运算顺序进行.第（2）小题是乘方运算，可先按积的乘方计算，再按幂的乘方进行计算.解：（1）原式=211115326236 [2(6)(3)]a b+-+-⨯-÷-=04ab =4a（2）原式=318884()() m n-=23m n-例2．（P61例5）计算下列各式（1）（22(a＞0）分析：在第（1）小题中，只含有根式，且不是同类根式，比较难计算，但把根式先化为分数指数幂再计算，这样就简便多了，同样，第（2）小题也是先把根式转化为分数指数幂后再由运算法则计算.解：（1）原式=111324 (25125)25-÷=231322 (55)5-÷=2131 3222 55---=1655-5（2）原式=125222362132aa aa a--===⋅小结：运算的结果不强求统一用哪一种形式表示，但不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母，又含有负指数.课堂练习：化简：（1）2932-（2（3）归纳小结：1．熟练掌握有理指数幂的运算法则，化简的基础.2．含有根式的式子化简，一般要先把根式转化为分数指数幂后再计算.作业：P65习题2.1A组第4题B组第2题。