专题对数函数知识点总结及类型题归纳
专题：对数函数知识点总结1.对数函数的定义：一般地，函数x y a log =()叫做对数函数.定义域是 2.对数函数的性质为思考：函数log a y x =与函数xy a =)10(≠>a a 且的定义域、值域之间有什么关系？ ___________________________________________________________________________对数函数的图象与指数函数的图象关于_______________对称。
一般的,函数y=a x 与y=log a x(a>0且a ≠1)互称相对应的反函数,它们的图象关于直线y=x 对称y=f(x)存在反函数,一般将反函数记作y=f -1(x)如:f(x)=2x ,则f -1(x)=log 2x,二者的定义域与值域对调,且图象关于直线y=x 对称函数与其反函数的定义域与值域对调,且它们的图象关于直线y=x 对称专题应用练习一、求下列函数的定义域（1）0.2log (4);y x =-；（2）log 1a y x =-(0,1).a a >≠；（3）2(21)log (23)x y xx -=-++（4）2log (43)y x =-(5)y=lg11-x (6)y=x 3log 1.y=log(5x-1)(7x-2)的定义域是________________2.y=)8lg(2x -的定义域是_______________3.求函数2log (21)y x =+的定义域___________4.函数y=13log (21)x -的定义域是5.函数y ＝log 2(32－4x )的定义域是 ，值域是 .6.函数5log (23)x y x -=-的定义域____________7.求函数2log ()(0,1)a y x x a a =->≠的定义域和值域。
8.求下列函数的定义域、值域：（1）2log (3)y x =+；（2）22log (3)y x =-；（3）2log (47)a y x x =-+（0a >且1a ≠）． 9.函数f （x ）=x1ln （432322+--++-x x x x ）定义域10.设f(x)=lgx x -+22,则f )2()2(xf x +的定义域为 11.函数f(x)=)1(log 1|2|2---x x 的定义域为 12.函数f(x)=229)2(1x x x g --的定义域为；13.函数f （x ）=x1ln （432322+--++-x x x x ）的定义域为14222loglog log y x =的定义域是1.设f (x )＝lg(ax 2－2x ＋a ),(1)如果f (x )的定义域是(－∞,＋∞)，求a 的取值范围； (2)如果f (x )的值域是(－∞,＋∞)，求a 的取值范围． 15.已知函数)32(log )(221+-=ax x x f（1）若函数的定义域为R ，求实数a 的取值范围 （2）若函数的值域为R ，求实数a 的取值范围（3）若函数的定义域为),3()1,(+∞-∞ ，求实数a 的值；（4）若函数的值域为]1,(--∞，求实数a 的值. 16.若函数()2x y f =的定义域为[]1,0-，则函数()2log y f x =的定义域为17.已知函数f(2x ）的定义域是［-1，1］，求f(log 2x)的定义域. 18若函数y=lg(4-a ·2x )的定义域为R ，则实数a 的取值范围为 19已知x 满足不等式06log 7)(log 222≤++x x ，函数=)(x f )2(log )4(log 42x x •的值域是20求函数1log )(log 21221+-=x x y (14)x ≤≤的值域。
21已知函数f(x)=log 211-+x x +log 2(x-1)+log 2(p-x).（1）求f(x)的定义域；（2）求f(x)的值域.解：f(x)有意义时，有⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>->->-+,③0,②01,①011x p x x x由①、②得x ＞1,由③得x ＜p,因为函数的定义域为非空数集，故p ＞1,f(x)的定义域是(1,p). （2）f(x)=log 2［(x+1)(p-x)］=log 2［-（x-21-p ）2+4)1(2+p ］(1＜x ＜p),①当1＜21-p ＜p ，即p ＞3时，0＜-(x-4)1(4)1()21222+≤++-p p p ,∴log 2⎥⎦⎤⎢⎣⎡++---4)1()21(22p p x ≤2log 2(p+1)-2. ②当21-p ≤1，即1＜p ≤3时，∵0＜-(x-),1(24)1()2122-<++-p p p ∴log 2⎥⎦⎤⎢⎣⎡++---4)1()21(22p p x ＜1+log 2(p-1). 综合①②可知：当p ＞3时，f(x)的值域是（-∞,2log 2(p+1)-2］;当1＜p ≤3时，函数f(x)的值域是(-∞,1+log 2(p-1)).二、利用对数函数的性质，比较大小 例1、比较下列各组数中两个数的大小：（1）2log 3.4，2log 3.8； （2）0.5log 1.8，0.5log 2.1； （3）7log 5，6log 7；（4）2log 3，4log 5，321.0.91.1， 1.1log 0.9，0.7log 0.8的大小关系是____________2.已知a 2>b>a>1，则m=log a b ，n=log b a ，p=log b ab的大小关系是____________3.已知log m 5>log n 5,试确定m 和n 的大小关系4.已知0＜a ＜1,b ＞1,ab ＞1，则log a bb bba1log ,log ,1的大小关系是5.已知log 21b ＜log 21a ＜log 21c,比较2b ,2a ,2c 的大小关系.6.设323log ,log 3,log 2a b c π===，则7.()()()221,,log log log log d d d d x d a x b x c x ∈===已知试比较，的大小。
8.()221,1log log d d x d a x b x >>==已知试比较，的大小。
9.设0<x<1，a>0，且a ≠1，试比较|loga （1-x ）|与|loga （1+x ）|的大小。
10.已知函数()lg f x x =，则14f ⎛⎫⎪⎝⎭，13f ⎛⎫⎪⎝⎭，(2)f 的大小关系是______ 三、解指、对数方程：（1）35327x +=（2）2212x =（3）55log (3)log (21)x x =+（4）1lg(1)x x -=-1.已知3a =5b =A,且ba 11+=2，则A 的值是 2.已知log 7［log 3(log 2x)］=0，那么12x -等于3.已知log 7［log 3(log 2x)］=0，那么x 21-等于 4..若x ∈(e -1,1),a=lnx,b=2lnx,c=ln 3x,则 5.若()x f x =10，那么()3f 等于6.已知5()lg f x x =，则(2)f =7.已知22log (4)log (1)log 5log (21)(01)a a a a x y xy a a +++=+->≠，且，求8log yx的值． 四、解不等式：1.55log (3)log (21)x x <+2.lg(1)1x -<3.设,a b 满足01a b <<<，给出下列四个不等式： ①ab aa <，②ab b b <，③a a a b <，④b bb a<，其中正确．．的不等式有4.已知：(1)()log a f x x =在[3,)+∞上恒有|()|1f x >，求实数a 的取值范围。
5.已知函数2()3,()(1)f x x g x a x =+=-，当22x -≤≤时，()()f x g x ≥恒成立，求实数a 的取值范围。
6.求m 的取值范围，使关于x 的方程21(lg )2lg ()04x m x m -+-=有两个大于1的根．（2008·全国）若x ∈(e -1,1),a=lnx,b=2lnx,c=ln 3x,则 7.已知0＜a ＜1,b ＞1,ab ＞1，则log abb b b a 1log ,log ,1的大小关系是 8.已知函数f(x)=log a x(a ＞0,a ≠1)，如果对于任意x ∈［3，+∞）都有|f(x)|≥1成立，试求a 的取值范围 9.已知函数f （x ）=log 2(x 2-ax-a)在区间（-∞,1-3］上是单调递减函数.求实数a 的取值范围.10.若函数22log ()y x ax a =---在区间(,13)-∞-上是增函数，a 的取值范围 11.已知函数)3(log )(22a ax x x f +-=在区间()2 ,1上是增函数，则实数a 的取值范围是12.若函数f(x)=212log ,0,log (),0x x x x >⎧⎪⎨-<⎪⎩,若f(a)>f(-a),则实数a 的取值范围是13.．设函数1211()lg 1x x f x x x -⎧-<=⎨⎩，，，， ≥若0()1f x >，则0x 的取值范围是（ ）14.设a >0且a ≠1，若函数f (x )＝)32(lg2+-x x a 有最大值，试解不等式)75(log 2+-x x a >0五、定点问题1.若函数y=log a (x+b)(a ＞0,且a ≠1)的图象过两点（-1，0）和（0，1），则2.若函数y=log a (x+b)(a ＞0,且a ≠1)的图象过两点（-1，0）和（0，1），则3.函数)10(1)1(log )(≠>+-=a a x x f a 且恒过定点.六、求对数的底数范围问题1.（1）若4log 15a<(0a >且1)a ≠，求a 的取值范围 2.（2）若(23)log (14)2a a +->，求a 的取值范围 3..若2log 13a<(0a >且1)a ≠，则a 的取值范围________ 4.函数()log (1)a f x x =+的定义域和值域都是[0,1]，则a 的值为 . 5.若函数()log ()a f x a x =-在[2,3]上单调递减，则a 的取值范围是6.函数y=log0.5(ax+a-1)在x ≥2上单调减，求实数a 的范围7..已知y=a log (2-xa )在［0，1］上是x 的减函数，求a 的取值范围.8.已知函数y=log 2a (x 2-2ax-3)在(-∞,-2)上是增函数，求a 的取值范围.9.已知函数f(x)=log a x(a ＞0,a ≠1)，如果对于任意x ∈［3，+∞）都有|f(x)|≥1成立， 试求a 的取值范围.10.若函数log (1)a y x =-在[0,1)上是增函数，a 的取值范围是 11.使121log >a成立的a 的取值范围是 12.若定义在(－1，0)内的函数f (x )＝log 2a (x ＋1)满足f (x )＞0，则a 的取值范围是七、最值问题1.函数y ＝log a x 在[2,10]上的最大值与最小值的差为1，则常数a ＝ .2.求函数21144log log 5[2,4]y x x x =-+∈的最小值 ,最大值 .。
专题06 对数与对数函数及其复合函数题型归纳
专题06 对数与对数函数及其复合函数综合问题重难点一 对数的概念如果a x ＝N (a >0，且a ≠1)，那么x 叫做以a 为底N 的对数，记作Nx a log =，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数.重难点二 对数的性质、换底公式与运算性质(1)对数的性质：①a log a N ＝N ；②log a a b ＝b (a >0，且a ≠1). (2)对数的运算法则；如果a >0且a ≠1，M >0，N >0，那么①N M MN a a a log log )(log +=； ②N M N Ma a a log log log -=； ③M n M a n a log log =(n ∈R)； ④b nm b a ma n log log =.(3)换底公式：abb c c a log log log =(a ，b 均大于零且不等于1). 重难点三 对数函数及其性质(1)概念：y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)叫做对数函数，其中x 是自变量，定义域是(0，＋∞). (2)一、重难点题型突破重难点1 对数与对数式的化简求值 如果a >0，且a ≠1，M >0，N >0，那么：(1)log a (MN )＝log a M ＋log a N ；(2)log a MN＝log a M －log a N ；(3)log a M n ＝n log a M (n ∈R )．例1-1．（1）（2017·全国高一课时练习）已知lg 9=a,10b =5，则用a ，b 表示log 3645为 ．【解析】由已知得lg5b =，则36lg 45lg 5lg 9log 45lg 36lg 4lg 92lg 2b aa++===++， 因为10lg 2lg 1lg515b ==-=-，所以2lg 22(1)22b a a b a b a b a a b +++==+-+-+，即36log 4522a ba b +=-+.（2）（四川省绵阳市南山中学2018-2019学年高一上期中）若3a =5b =225，则+=（ ）A.B.C. 1D. 2【解析】则，故选：A ． 例1-2．（1）（2020·成都市·成都实外高一月考）()()()4839log 3log 3log 2log 2lg100+⋅+⋅【解析】()4839(log 3log 3)(log 2log 2l 10)g 0+⋅+⋅2233111(log 3log 3)(log 2log 2)2232=++⨯23532log 3log 262=⨯⋅5lg 3lg 25lg 2322lg =⨯⨯= （2）（2019·四川省成都市郫都区第四中学高一期中）332922log log log 3log 4.39--⋅【解析】原式()33222log 21log 22log 302log 3=----⋅=．【变式训练】（1）()281lg500lglg 64lg 2lg552+-++ 【详解】由对数的运算性质，可得原式=12lg 5lg100lg8lg 5lg 641++--+ =lg100lg8lg81+-+=2lg101213+=+=.（2）（2019·成都七中实验学校高一期中）计算：22log 5log 10+lg2-log 483log 23+．1a 1b121435225a b ==35log 225,log 225a b ∴==225225225111log 3log 5log 152a b +=+==【详解】22log 5log 10+lg2－log 483log 23+=lg5+lg2－32+2=1－322+=32． （3）（2020·四川成都市·成都七中高一月考）已知323,18.ab log ==（1）求()2a b -的值；（2）求214ba -+⨯的值.【解析】()1由23a =得，2log 3a =.所以()()()232332log 32log 18log 3log 9log 18a b -=⋅-=⋅-()23323log 3log 18log 9log 3log 21=-⋅-=-=-；()2由3log 18b =得318b =，所以()221442ba a -+⨯=⋅24336=⨯==【变式训练2】（1）已知2log (2)log log a a a M N M N -=+，则MN的值为（ ） A ．14B ．4C ．1D ．4或1【解析】因为2log (2)log log a a a M N M N -=+，所以2log (2)log a a M N MN -=（），2(2)M N MN -=， 2540M MN N-+=（）, 解得=1（舍去），=4，故选B.（2）（2020·四川师范大学附属中学高一期中）设25a b m ==，且112a b+=，则m =（ ）AB ．10C ．20D ．100【解析】因为25a b m ==，所以25log ,log a m b m ==，所以11log 2log 5log 102m m m a b+=+==，210m ∴=，0m >，∴m =A （3）（2019·四川成都市·双流中学高一期中）若2312a b ==，则21a b+=________．【解析】由题意得23log 12,log 12a b ==，则121211log 2,log 3a b==， 所以()2121212212log 2log 3log 231a b+=+=⨯=. 重难点2 对数函数图像例2.（1）（2018·四川省新津中学高一开学考试）当1a >时， 在同一坐标系中，函数x y a -= 与log a y x =-的图像是（ ）A ．B ．C ．D ．【解析】由于1a >，所以1xxa y a -=⎛⎫= ⎪⎝⎭为R 上的递减函数，且过()0,1；log a y x =-为()0,∞+上的单调递减函数，且过()1,0，故只有D 选项符合.故选：D.（2）已知函数log ()a y x c =+（,a c 为常数，其中0,1a a >≠）的图象如图，则下列结论成立的是（ ）A ．0,1a c >>B ．1,01a c ><<C ．01,1a c <<>D ．01,01a c <<<< 【解析】由图象可知01a <<，当0x =时，log ()log 0a a x c c +=>，得01c << （3）（恒过定点问题）（2020·四川高一期中）函数log (3)1a y x =-+(0a >且1a ≠)的图像恒过定点P ,则点P 的坐标是( )A ．(4,1)B ．(3,1)C ．(4,0)D ．(3,0)【解析】函数log (3)1a y x =-+,(0a >且1a ≠).∴令31x -=,解得4x =当4x =,1y =，∴ 函数log (3)1a y x =-+(0a >且1a ≠)的图像恒过定点(4,1)P . 故选:A ．【变式训练】（1）（2020·绵阳·三台中学实验学校高一期末）函数()2log 21xf x =-的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【详解】()()()222log 12,0log 21log 21,0x x xx f x x ⎧-<⎪=-=⎨->⎪⎩，由复合函数的单调性可知，函数()y f x =的单调递减区间为(),0-∞，单调递增区间为()0,+∞，排除B 、C 选项.当0x <时，021x <<，则0121x <-<，此时()()2log 120x f x =-<，排除D 选项.故选：A.（2）（2019·四川遂宁市·高一期末）已知函数(0x y a a =>且1a ≠）是增函数，那么函数1()log 1af x x =-的图象大致是（ ） A ．B ．C ． D ．【详解】由题意，函数(0x y a a =>且1a ≠）是增函数，可得1a >，又由函数1()log 1af x x =-满足101x >-，解得1x >，排除C 、D 项， 又由函数1()log log (1)1aa f x x x ==---， 根据复合函数的单调性，可得函数()f x 为单调递减函数.故选：B .（3）（2019·四川成都市·成都外国语学校高一期中）函数log (25)1a y x =--恒过定点的坐标为__________.【解析】函数log (25)1a y x =--，当3x =时, log (235)11a y =⨯--=-，所以定点坐标为()3,1-，故答案为: ()3,1-重难点3 对数函数定义域例3.（1）（2019·四川泸州市·高一期中）函数()()21log 2f x x =-的定义域为_____________【解析】由()2log 2020x x ⎧-≠⎨->⎩得23x x >≠且，所以函数()()21log 2f x x =-的定义域为{}|23x x x >≠且.（2）（2020·四川绵阳市·高二期末（文））已知函数()f x =()f x 的定义域为______. 【解析】21log 0x x x >⎧⇒≥⎨≥⎩，所以函数()f x 的定义域为[)1,+∞.故答案为：[)1,+∞（3）（2019·四川高一期末（文））已知函数()2()lg 3f x mx mx m =--+的定义域为R ，则实数m 的取值范围为_____．【解析】函数()2()lg 3f x mx mx m =--+的定义域为R 等价于对于任意的实数R x ∈，230mx mx m --+>恒成立，当0m =时成立当0m ≠时，等价于20120()4(3)05m m m m m >⎧⇒<<⎨∆=---+<⎩，综上可得120,5⎡⎫⎪⎢⎣⎭ 【变式训练】（1）（2019·四川成都市·川大附中分校高一期中）函数()1lg 3y x =-的定义域是______．【解析】要使函数有意义，需满足()103030x x lg x ⎧-≥⎪->⎨⎪-≠⎩，解得12x ≤<或23x <<，故答案为[)()1,22,3⋃（2）（2020·四川眉山市·仁寿一中高一期中）函数y =）A ．（0，1]B ．45⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，C ．415⎛⎤ ⎥⎝⎦，D ．415⎛⎫ ⎪⎝⎭，【解析】由函数y =0541x <-≤，解得415x <≤.故选：C（3）2020·四川成都市·成都七中高一期中）函数()ln f x x = ） A ．[0,2]B ．(0,2]C ．(0,)+∞D ．(2,)+∞【解析】由题意得，函数的定义域需满足020x x >⎧⎨-≥⎩，解得：02x <≤所以函数的定义域是(]0,2.故选:B.（4）函数()2()lg 2f x x x a =++，若它的定义域为R ，则a ____．【解析】函数()2()lg 2f x x x a =++的定义域为R ，则220x x a ++>恒成立，故440a ∆=-<，即1a >；重难点4 对数函数单调性例4.（1）（2020·四川成都市·成都实外高一月考）已知函数()f x =该函数的单调递减区间是（ ） A ．RB ．30,4⎛⎫⎪⎝⎭C ．3,14⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．3,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【解析】要使函数()f x =则()0.5431log 430430430x x x x -≤⎧-≥⎧⇒⎨⎨->->⎩⎩，解得314x <≤，即函数的定义域为3,14⎛⎤⎥⎝⎦，因为43t x =-在3,14⎛⎤⎥⎝⎦上递增，0.5log u t =在()0,∞+递减，y =[)0,+∞递增，所以()f x =3,14⎛⎤⎥⎝⎦上递减，故选：C. （2）（2020·四川成都市·成都七中高一期中）若函数()213()log 45f x x x =-++，则()f x 的单调递增区间为（ ） A ．()2,5B ．()1,2-C ．()2,+∞D ．(),2-∞【解析】令245t x x =-++，则13log y t =，由真数0t >得15x -<<，∵抛物线245t x x =-++的开口向下，对称轴2x =，∵245t x x =-++在区间()1,2-上单调递增，在区间()2,5上单调递减， 又∵13log y t =在定义域上单调递减，由复合函数的单调性可得：()213()log 45f x x x =-++的单调递增区间为()2,5.故选：A.（3）（2019·四川省泸州高级中学校高一月考）已知函数log (1)a y ax =-在()1,2上是增函数，则a 的取值范围是（ ） A ．()1,2B ．[]1,2C ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦【详解】∵log (1)a y ax =-在()1,2上是增函数，∵0a >，∵函数1t ax =-在()1,2上是减函数，∵01a <<．再根据0112010a a a <<⎧⎪-≥⎨⎪-≥⎩，求得102a <≤，故选：D ．（4）（2020·四川成都市·树德中学高一月考）若函数()()22log 3f x x ax a =--在区间(],2-∞-上是减函数，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(),4-∞B ．(]4,4-C ．[)4,4-D ．()[),42,-∞--+∞【解析】函数()()22log 3f x x ax a =--在区间(],2-∞-上是减函数，则内函数23x a a u x --=区间(],2-∞-上是减函数，且0>u 在区间(],2-∞-上恒成立，所以24224(2)230a a a a a ⎧≥-≥-⎧⎪⇒⎨⎨<⎩⎪-+->⎩，所以实数a 的取值范围是[)4,4-.选：C. （5）（2020·四川省绵阳南山中学高一期中）已知函数()()233,1log ,1a a x a x f x x x ⎧--+<=⎨≥⎩满足12x x ≠时恒有1212()()0f x f x x x ->-成立，那么实数a 的取值范围是（ ）A ．()1,2B ．51,4⎛⎤⎥⎝⎦ C ．()1,+∞ D ．5,24⎡⎫⎪⎢⎣⎭【解析】因为函数()f x 满足12x x ≠时恒有1212()()0f x f x x x ->-成立，所以函数()()233,1log ,1a a x a x f x x x ⎧--+<=⎨≥⎩在R 上单调递增，所以()201233log 1a a a a a ⎧->⎪>⎨⎪--+≤⎩，解得5,24a ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭.故选：D.【变式训练】（1）（2020·四川攀枝花市·攀枝花七中高三月考（理））函数f （x ）=ln （223x x --）的递增区间为（ ） A ．(,1)-∞-B ．(1,)+∞C ．(3,)+∞D ．(1,3)【解析】求得函数的定义域为(,1)(3,)-∞-+∞，设内函数223,t x x =--(,1)(3,)x ∈-∞-⋃+∞，外函数为ln y t =，外函数在(0,)∞单调递增，内函数在(3,)x ∈+∞单调递增，根据复合函数单调性“同增异减”，所以函数f(x)在区间(3,)x ∈+∞上单调递增，选C.（2）（2019·四川绵阳市·三台中学实验学校高一月考）函数()log (3)a f x ax =-在[]13，上单调递增，则a 的取值范围是（ ）A ．()1+∞， B ．()01，C ．103⎛⎫ ⎪⎝⎭，D ．()3+∞， 【解析】()log (3)a f x ax =-在[]13，上单调递增，而函数()3t x ax =-在[]13，上单调递增，复合函数的单调性得1a >，且30a ->，解得3a >，即()3a ∈+∞，，故选：D ．（3）（2020·四川成都市·成都外国语学校高一期中）函数2log (2)a y x ax =-+在区间(],1-∞上是减函数，则a 的取值范围是（ ）A ．(0,1)B ．[2，)+∞C ．[2，3)D ．(1,3)【解析】若01a <<，则22t x ax =-+在区间(],1-∞上为增函数，不可能，舍去；若1a >，则22t x ax =-+在区间(],1-∞上为减函数，且0t >,12120aa ⎧≥⎪∴⎨⎪-+>⎩23a ∴≤<即a 的取值范围是[)2,3.故选：C.（4）（2020·四川绵阳市·高一期末）已知0a >，且1a ≠，若函数()()2log 21a f x ax x =-+在1,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数，则实数a 的取值范围为（ ）A ．10,3⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．[)3,+∞ C ．(]10,1,33⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．[)10,3,3⎛⎤+∞ ⎥⎝⎦【解析】令2()21t g x ax x ==-+（0a >，且1a ≠），则()0>g x 在1,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恒成立，11321093a a ⎧≤⎪⎪∴⎨⎪-+>⎪⎩或139610a a ⎧≥⎪⎨⎪-+>⎩或11331210a a a ⎧<<⎪⎪⎨⎪-+>⎪⎩，解得：1a >，所以外层函数log a f xt 在定义域内是单调增函数，若函数()()2log 21a f x ax x =-+在1,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数，则内层函数221t ax x =-+在1,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数，113a ∴≤，且1a >，解得3a ≥，实数a 的取值范围为[)3,+∞，故选：B ． （5）（2019·四川省南充高级中学高一月考）已知函数()()()21,2log 1,12a a x a x f x x x ⎧-+≥⎪=⎨-<<⎪⎩是()1,+∞上的减函数，则实数a 的取值范围是（ ）A ．21,52⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．20,5⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．10,5⎛⎤ ⎥⎝⎦【解析】因为函数()()()21,2log 1,12a a x a x f x x x ⎧-+≥⎪=⎨-<<⎪⎩是()1,+∞上的减函数，所以21001log 12(21)aa a a a -<⎧⎪<<⎨⎪≥-+⎩，即120l 25a a a ⎧<⎪⎪<<⎨⎪⎪≤⎩，解得205a <≤，故选：B重难点5 对数函数值域例5.（1）（2011·四川攀枝花市·高二月考（理））函数212()log (32)f x x x =--的值域为 （ ）A ．[2,)-+∞B ．[)1-+∞， C ．(0,)+∞ D ．[1,0)-【解析】由2032x x -->得31x -<<或1x >，所以函数212()log (32)f x x x =--的定义域为()3,1-， 当()3,1x ∈-， (]2232(1)40,4y x x x =---∈=++又12log y x =在()0,∞+上单调递减，min 12log 42y ==-， 所以函数212()log (32)f x x x =--在()3,1-上的取值范围是[)2,-+∞.故选A. （2）（2019·四川成都市·树德中学高一月考）已知()2()lg 2f x ax x a =-+的值域为R ，则实数a 的取值范围为（ ） A ．(,1)(1,)-∞-+∞ B ．()1,+∞ C ．[1,1]-D ．[0,1]【解析】因为()2()lg 2f x ax x a =-+的值域为R ，所以函数22y ax x a =-+可以取到任意的正实数，若0a =，该式为2x ，符合题意，若0a ≠，则2440a a >⎧⎨∆=-≥⎩， 解得01a <≤，所以实数a 的取值范围是[0,1]，故选：D. 【变式训练】（1）（2018·成都市·成都外国语学校高一月考）若函数22()log (1)f x ax ax =++的值域为R 的函数，则a 的取值范围是（ ）A ．(4,)+∞B ．(,4)-∞C ．[4,)+∞D ．(,4]-∞【详解】设y=ax 2+ax+1，根据题意（0，+∞）∵{y|y=ax 2+ax+1}；∵2040a a a ⎧⎨=-≥⎩＞；解得a≥4；∵实数a 的取值范围为[4，+∞）．故选C ． （2）函数()2()lg 2f x x x a =++，若它的值域为R ，则a _______．【解析】函数()2()lg 2f x x x a =++为R ，则()0,∞+是函数22y x x a =++值域的子集，则440a ∆=-≥，即1a ≤.故答案为：1≤. 重难点6 对数函数最值例6.（1）（2020·四川宜宾市·高一期末）若函数()log a f x x =（0a >，且1a ≠）在区间[]2,4上的最小值为2，则实数a 的值为（ ）A．2BC ．2D或2【解析】由题：函数()log a f x x =（0a >，且1a ≠）在区间[]2,4上的最小值为2， 当1a >时，()log a f x x =在[]2,4单调递增，所以最小值()2log 22a f ==，解得a =01a <<时，()log a f x x =在[]2,4单调递减，所以最小值()4log 42a f ==，解得2a =，不合题意，所以a =故选：B（2）（2020·南昌市第三中学高一期中）已知03x <≤，求函数1122()log log 4x f x x =⋅的最小值为________． 【详解】函数11111112222222()log log log log log 4log log 4032,xf x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫=⋅=-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭<≤， 令1122log log 3,t x ⎡⎫=∈+∞⎪⎢⎣⎭，则()()()212211,log 3,h t t t t t ⎡⎫=+=+-∈+∞⎪⎢⎣⎭，所以当1t =-即2x =时，函数()h t 的最小值为1-，即()f x 的最小值为1-，答案为：1-.【变式训练】（1）（2020·眉山市·仁寿一中高一期中）已知函数()122()log 238f x x x =-+.求函数()f x 在1[,2]2上的值域；【解析】()f x 的定义域为1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦.因为2238y x x =-+的最小值为242835588⨯⨯-=. 最大值为22232810⨯-⨯+=，故函数()f x 在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为114455log 10,log 8⎡⎤⎢⎥⎣⎦；（2）（2019·四川遂宁市·高一期中）设函数22()log (4)log (2)f x x x =⋅,1416x ≤≤． （1）若2log t x =,求t 取值范围； （2）求()f x 的最值，并给出最值时对应的x 的值. 解析：（1）[]214,log 4,162x t x ≤≤∴=∈-. （2）由（1）可得()()()()()2222log 4log 22log 1log f x x x x x =⋅=++223132+24t t t ⎛⎫=++=- ⎪⎝⎭，32t ∴=-，可得23log 2x =-，解得322x -=时，()min 14f x =-，当2t =即4x =时，()max 12f x =.重难点7 比较大小例7-1.图中曲线是对数函数log ay x =的图象，已知a 43，35，110四个值，则相应于1C ，2C ，3C ，4C 的a 值依次为( )A 43，35，110B 43，110，35B ．C ．4335，110D ．43110，35 【解析】由已知中曲线是对数函数log ay x =的图象，由对数函数的图象和性质，可得1C ，2C ，3C ，4C 的a 值从小到大依次为：4C ，3C ，2C ，1C ，由a 43，35，110四个值，故1C ，2C ，3C ，4C 的a 43，35，110，故选：A ．例7-2．（1）（2021·四川遂宁市·高一期末）已知3412a b ，log a c b =，则,,a b c 的大小关系为（ ）A ．a b c <<B ．c b a <<C ．b a c <<D ．c a b << 【解析】因为3412ab ，所以3332log 9log 12log 273a =<=<=，4441log 4log 12log 162b =<=<=，所以23a <<，12b <<，所以log log 1a a c b a =<=，所以c b a <<.故选：B（2）（2020·四川成都市·成都实外高一月考）已知2log 0.8a =，3log b π=，7log 6c =，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A ．a b c <<B ．b a c <<C ．a c b <<D ．c a b <<【详解】22log 0.8log 10a =<=，即0a <；33log log 31b π=>=，即1b >；7770log 1log 6log 71<=<=，即01c <<，所以a c b <<.故选：C【变式训练】（1）（2020·四川成都市·成都外国语学校高一期中）已知3log 5a =，23log 2b =，0.25c -=，则,,a b c 的大小关系为（ ）A ．a c b >>B ．a b c >>C ．c b a >>D ．c a b >>【解析】因为33log 5log 31a =>=，2233log 2log 10b =<=，0.200551c -<=<=，所以a c b >>，故选：A（2）（2020·四川成都市·成都七中高一期中）已知3log 0.3a =，0.13=b ，30.1=c ，则（ ） A ．a b c <<B ．c a b <<C ．a c b <<D ．b c a <<【详解】由函数3log y x =在()0,∞+上单调递增，0.31<，∵33log 0.3log 10a =<=； 由函数3xy =在R 上单调递增，0.10>，∵0.10331b =>=；由指数函数0.1xy =在R 上单调递减，30>，∵3000.10.11c <=<=； ∵01a c b .故选：C.例7-3.（2021·四川省成都市玉林中学高一期末）已知奇函数()f x 在R 上是减函数.若()2log 4.6a f =，22log 9b f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()0.92c f =--，则a ､b ､c 的大小关系为（ ） A ．a b c >> B ．c b a >> C ．b a c >> D ．c a b >>【解析】因为奇函数()f x 在R 上是减函数. 若()2log 4.6a f =，222229log log log 992b f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()()0.90.922c f f =--=，∵0.9229log 4.6log 222>>>，∵()()0.9229log 4.6log 22f f f ⎛⎫<< ⎪⎝⎭，即c b a >>.故选：B. 【变式训练】（1）（2018·四川成都市·双流中学（理））若定义在(),-∞+∞上的偶函数()f x 在区间(],0-∞上单调递减，设()4log 7a f =，12log 3b f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()1.62c f =，则,,a b c 的大小关系是（ ）A ．c a b <<B ．c b a <<C ．b c a <<D ．a b c <<【解析】()f x 是定义在(),-∞+∞上的偶函数，()()1222log 3log 3log 3b f f f ⎛⎫∴==-= ⎪⎝⎭，4421log 7log 9log 32,<<=< 1.622>， 1.6442log 9log 7∴>>,偶函数()f x 在[)0,+∞上为减函数，∴()f x 在(],0-∞上是增函数， 所以()4log 7f <12log 3f ⎛⎫ ⎪⎝⎭<()1.62f ，即a b c <<，故选D.（2）（蓉城名校联盟2020年高一期中联考）设)(x f 是定义域为R 的偶函数，且在)0(∞+，单调递减，则 ( )A ．)31(log )3()3(24334f f f >>--B ．)3()3()31(log 34432-->>f f fC ．)3()3()31(log 43342-->>f f fD ．)31(log )3()3(23443f f f >>--【解析】∵)(x f 是定义域为R 的偶函数，∴)3(log )3log ()31(log 222f f f =-=，又xy 3=是R 上的增函数，∴3log 13324334<<<--，因为)(x f 在)0(∞+，单调递减，所以)31(log )3()3(24334f f f >>--；选A.重难点8 对数型复合函数的应用例8．已知，函数.（1）求的定义域；（2）当时，求不等式的解集.【解析】（1）由题意得：，解得 因为，所以；故的定义域为（2）因为，所以，，因为，所以，即2a >()()()44log 2log f x x a x =---()f x 4a =()()253f x f -≤200x a x ->⎧⎨->⎩2x x a >⎧⎨<⎩2a >2x a <<()f x ()2,a 4a =()()()4425log 27log 92f x x x -=---()443log 1log 10f =-=()()253f x f -≤()()44log 27log 920x x ---≤，从而，解得故不等式的解集为. 【变式训练】已知函数（，且）在上的最大值为2.（1）求的值；（2）若，求使得成立的的取值范围. 【解析】（1）由题意，当时，函数在上单调递增，因此，解得时，函数在上单调递减，因此， 解得.综上可知：. （2）由不等式，即，又，根据对数函数的性质，可得，即，解得.二、课堂定时训练（45分钟）1.（2020·四川成都市·高一期中）设2log 3a =，则6log 12可表示为（ ）A ．12aa++ B ．21aa++ C ．12aa+ D ．21aa+ 【解析】2 log 3a =，∴2226222log 12log 3log 42log 12log 6log 2log 31a a ++===++.故选B.2．如果,0log log 2121<<y x 那么( )A ．1y x <<B ．1x y <<C ．1x y <<D ．1y x <<【解析】根据对数函数的性质得1x y >>．3.在同一直角坐标系中，函数，(a >0，且a ≠1)的图象可能是( ) ()()44log 27log 92x x -≤-2709202792x x x x->⎧⎪->⎨⎪-≤-⎩742x <≤()()253f x f -≤7,42⎛⎤⎥⎝⎦()log a f x x =0a >1a ≠1,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦a 01a <<(()2)0f f x ->x 1a >()log a f x x =1,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦max ()(2)log 22a f x f ===a =01a <<()log a f x x =1,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦14max 1()()log 24a f x f ===12a =a =12a =(()2)0f f x ->log (()2)log 1a a f x ->01a <<0()21f x <-<122log 3x <<1184x <<1x y a =1(2log )ay x =+【解析】当时，函数的图象过定点且单调递减，则函数的图象过定点且单调递增，函数的图象过定点且单调递减，D 选项符合；当时，函数的图象过定点且单调递增，则函数的图象过定点且单调递减，函数的图象过定点且单调递增，各选项均不符合.综上，选D.4．（2013·雅安市·高三月考（文））1(0,)2x ∈时，4log xa x <恒成立，则a 取值范围是_______【解析】当10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，函数4xy =的图象如下图所示：因为对于任意10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，总有4log x a x <恒成立，则y log a x =的图象恒在4x y =的上方，因为y log a x =与4xy =的图象相交于1,22⎛⎫⎪⎝⎭时代入对数函数，求得2a =所以此时a的取值范围为,12⎫⎪⎪⎣⎭01a <<xy a =(0,1)1xy a =(0,1)1log 2a y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭1(,0)21a >xy a =(0,1)1xy a =(0,1)1log 2a y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭1(,02）5．（2020·四川成都市·成都七中高一月考）设0.30.20.3log 0.2,0.2,0.3a b c ===，则,,a b c 的大小关系为（ ） A ．c b a <<B ．b c a <<C ．a b c <<D ．a c b <<【解析】0.30.3log 0.2log 0.31a =>=，0.300.20.21b =<=，0.200.30.31c =<=，0.20.30.30.30.30.2c =>>.b c a ∴<<.故选：B.6．已知定义在R 上的函数()21x mf x -=- （m 为实数）为偶函数，记0.5log 3a =，()2log 5b f =，()2c f m =则,,a b c 的大小关系为( )A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c a b <<D ．c b a << 【解析】因为函数()21x mf x -=-为偶函数，所以0m =，即()21xf x =-，所以221log log 330.521(log 3)log 21213123a f f ⎛⎫===-=-=-= ⎪⎝⎭，()2log 5b f =2log 5214=-=， ()02(0)210c f m f ===-=，所以c a b <<，故选C ．7．（2020·四川省江油市第一中学高一期中）设()f x 是R 上的偶函数，且在[)0+∞，上是单调递增，若(2)0f =，则使12(log )0f x <成立的x 的取值范围是（ ）A．4⎫⎪⎪⎝⎭B ．104⎛⎫⎪⎝⎭，C．14⎛ ⎝⎭D ．1,44⎛⎫⎪⎝⎭【详解】因为()f x 是R 上的偶函数，且在[)0+∞，上是单调递增函数，且(2)0f =， 所以()f x 在()0∞-,上是单调递减函数，(2)0f -=， 由12(log )0f x <，得122log 2x x -<<⎧⎪⎨⎪>⎩解得144x <<.故选：D8．2019·四川遂宁市·高一期中）已知函数()213()log f x x ax a =--在1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭上是增函数，则a 的取值范围为（ ）A ．[)1-+∞，B ．(]，-1-∞C ．112⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，D ．112⎡⎫-⎪⎢⎣⎭，【详解】已知函数()213()log f x x ax a =--在1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭上是增函数，13log y t =单调递减，则t ＝x 2﹣ax -a 在,2a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭单调递减，又t ＝x 2﹣ax -a>0在1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭恒成立，故1221042aa a ⎧≥-⎪⎪⎨⎪+-≥⎪⎩ 解得112a -≤≤ ，故选：C 9.（2019·四川成都市·成都外国语学校高一期中）设x 、y 、z 为正数，且235x y z ==，则 A ．2x <3y <5z B ．5z <2x <3y C ．3y <5z <2xD ．3y <2x <5z【解析】令235(1)x y zk k ===>，则2log x k =，3log =y k ，5log =z k∵22lg lg 3lg 913lg 23lg lg8x k y k =⋅=>，则23x y >， 22lg lg5lg 2515lg 25lg lg32x k z k =⋅=<，则25x z <，故选D 10.（2020·四川师范大学附属中学高一期中）若函数22()log (23)f x x ax =-++在区间内单调递减，则a 的取值范围是____________．【解析】函数开口向下，对称轴是直线x=a,所以要使函数22()log (23)f x x ax =-++在区间内单调递减，需有且,解得．11．（2020·河北省沧州市高三一模）已知函数()1ln 1x f x ax-=-为奇函数，则a =______. 【解析】由于函数()1ln1x f x ax-=-为奇函数，则()()f x f x -=-，即111ln ln ln 111x x ax ax ax x ----=-=+--，1111x ax ax x ---∴=+-，整理得22211x a x -=-，解得1a =±。
对数与对数函数知识梳理及练习
对数与对数函数知识梳理及练习一、学习目标1、理解对数的概念及其运算性质，会用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；理解对数在简化运算中的作用。
2、掌握对数函数的概念，理解对数函数的单调性，掌握对数函数图象通过的特殊点。
3、知道对数函数是一类重要的函数模型。
4、了解指数函数y＝ax与对数函数y＝logax互为反函数(a>0，且a≠1)。
二、知识回顾1、对数及对数的运算性质(1)对数的概念一般地，对于指数式ab＝N，我们把“以a为底N的对数b”记作logaN，即b＝______(a>0，且a≠1)。
其中，数___叫做对数的底数，____叫做真数，读作“b等于以a为底N的对数”。
(2)对数的性质与运算法则①对数的运算法则如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么A．log a(MN)＝___________；B．log a MN＝___________；C．log a M n＝_________(n∈R)；D．log am M n＝___________。
②对数的性质A．a log a N＝___；B．log a a N＝___(a>0，且a≠1)2．对数函数的图象与性质a >1 0<a <1 图象性质 ①定义域：___________②值域：____③过定点____，即x ＝___时，y ＝___④当x >1时，_____；当0<x <1时，______⑤当x >1时，_____；当0<x <1时，_____ ⑥在(0，＋∞)上是_______ ⑦在(0，＋∞)上是________指数函数y ＝ax 与对数函数y ＝logax 互为反函数，它们的图象关于直线________对称。
三、命题类型1、 对数的运算已知函数f (x )＝⎩⎨⎧ log 2x ，x >0，3－x ＋1，x ≤0，则f (f (1))＋f ⎝⎛⎭⎫log 312的值是( ) A ．5 B ．3 C ．－1 D ．72解：因为f(1)＝log21＝0，所以f(f(1))＝f(0)＝2。
高一 对数与对数函数知识点+例题+练习 含答案
1．对数的概念一般地，如果a (a >0，a ≠1)的b 次幂等于N ，即a b ＝N ，那么就称b 是以a 为底N 的对数，记作log a N ＝b ，N 叫做真数． 2．对数的性质与运算法则 (1)对数的运算法则如果a >0且a ≠1，M >0，N >0，那么 ①log a (MN )＝log a M ＋log a N ； ②log a MN ＝log a M －log a N ；③log a M n ＝n log a M (n ∈R )；④log am M n ＝nm log a M (m ，n ∈R ，且m ≠0)．(2)对数的性质①a log a N ＝__N __；②log a a N ＝__N __(a >0且a ≠1)． (3)对数的重要公式①换底公式：log b N ＝log a Nlog a b (a ，b 均大于零且不等于1)；②log a b ＝1log b a，推广log a b ·log b c ·log c d ＝log a d . 3．对数函数的图象与性质a >10<a <1图象性 质(1)定义域：(0，＋∞)(2)值域：R(3)过定点(1,0)，即x ＝1时，y ＝0当0<x <1时，y <0 (4)当x >1时，y >0 当0<x <1时，y >0 (6)在(0，＋∞)上是增函数(7)在(0，＋∞)上是减函数4.反函数指数函数y ＝a x 与对数函数y ＝log a x 互为反函数，它们的图象关于直线__y ＝x __对称． 【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)若MN >0，则log a (MN )＝log a M ＋log a N .( × ) (2)log a x ·log a y ＝log a (x ＋y )．( × )(3)函数y ＝log 2x 及y ＝log 133x 都是对数函数．( × )(4)对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)在(0，＋∞)上是增函数．( × ) (5)函数y ＝ln 1＋x 1－x与y ＝ln(1＋x )－ln(1－x )的定义域相同．( √ )(6)对数函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)的图象过定点(1,0)，且过点(a,1)，⎝⎛⎭⎫1a ，－1，函数图象只在第一、四象限．( √ )1．(2015·湖南改编)设函数f (x )＝ln(1＋x )－ln(1－x )，则有关f (x )的性质判断正确的是________(填序号)．①奇函数，且在(0,1)上是增函数； ②奇函数，且在(0,1)上是减函数； ③偶函数，且在(0,1)上是增函数； ④偶函数，且在(0,1)上是减函数． 答案 ①解析 易知函数定义域为(－1，1)，f (－x )＝ln(1－x )－ln(1＋x )＝－f (x )，故函数f (x )为奇函数，又f (x )＝ln 1＋x 1－x＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1－2x －1，由复合函数单调性判断方法知，f (x )在(0,1)上是增函数．2．设a ＝log 1312，b ＝log 1323，c ＝log 343，则a ，b ，c 的大小关系是________．答案 c <b <a解析 ∵a ＝log 1312＝log 32，b ＝log 1323＝log 332，c ＝log 343.log 3x 是定义域上的增函数，2>32>43，∴c <b <a .3．函数f (x )＝lg(|x |－1)的大致图象是________．(填图象序号)答案 ②解析 由函数f (x )＝lg(|x |－1)的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)，值域为R .又当x >1时，函数单调递增，所以只有②正确．4．(2015·浙江)若a ＝log 43，则2a ＋2－a ＝________. 答案4 33解析 2a＋2－a ＝4log 32＋4log 32－＝3log log 322＋＝3＋33＝4 33. 5．(教材改编)若log a 34<1(a >0，且a ≠1)，则实数a 的取值范围是________________．答案 ⎝⎛⎭⎫0，34∪(1，＋∞) 解析 当0<a <1时，log a 34<log a a ＝1，∴0<a <34；当a >1时，log a 34<log a a ＝1，∴a >1.∴实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫0，34∪(1，＋∞).题型一 对数式的运算例1 (1)设2a ＝5b ＝m ，且1a ＋1b ＝2，则m ＝________.(2)lg 5＋lg 20的值是________． 答案 (1)10 (2)1解析 (1)∵2a ＝5b ＝m ，∴a ＝log 2m ，b ＝log 5m ， ∴1a ＋1b ＝1log 2m ＋1log 5m ＝log m 2＋log m 5＝log m 10＝2. ∴m ＝10.(2)原式＝lg 100＝lg 10＝1.思维升华 在对数运算中，要熟练掌握对数的定义，灵活使用对数的运算性质、换底公式和对数恒等式对式子进行恒等变形，多个对数式要尽量先化成同底的形式再进行运算．(1)计算：(1－log 63)2＋log 62·log 618log 64＝________.(2)已知log a 2＝m ，log a 3＝n ，则a 2m ＋n ＝________. 答案 (1)1 (2)12 解析 (1)原式＝1－2log 63＋(log 63)2＋log 663·log 6(6×3)log 64＝1－2log 63＋(log 63)2＋(1－log 63)(1＋log 63)log 64＝1－2log 63＋(log 63)2＋1－(log 63)2log 64＝2(1－log 63)2log 62＝log 66－log 63log 62＝log 62log 62＝1.(2)∵log a 2＝m ，log a 3＝n ，∴a m ＝2，a n ＝3， ∴a 2m ＋n ＝(a m )2·a n ＝22×3＝12.题型二 对数函数的图象及应用例2 (1)函数y ＝2log 4(1－x )的图象大致是________．(填序号)(2)当0<x ≤12时，4x <log a x ，则a 的取值范围是____________．答案 (1)③ (2)(22，1) 解析 (1)函数y ＝2log 4(1－x )的定义域为(－∞，1)，排除①、②； 又函数y ＝2log 4(1－x )在定义域内单调递减，排除④.故③正确．(2)构造函数f (x )＝4x 和g (x )＝log a x ，当a >1时不满足条件，当0<a <1时，画出两个函数在⎝⎛⎦⎤0，12上的图象， 可知f ⎝⎛⎭⎫12<g ⎝⎛⎭⎫12， 即2<log a 12，则a >22，所以a 的取值范围为⎝⎛⎭⎫22，1. 思维升华 应用对数型函数的图象可求解的问题(1)对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数，在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时，常利用数形结合思想．(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．(1)已知lg a ＋lg b ＝0，则函数f (x )＝a x 与函数g (x )＝－log b x 的图象可能是________．(2)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|lg x |，0<x ≤10，－12x ＋6，x >10，若a ，b ，c 互不相等，且f (a )＝f (b )＝f (c )，则abc 的取值范围是____________． 答案 (1)② (2)(10,12)解析 (1)∵lg a ＋lg b ＝0，∴ab ＝1，∵g (x )＝－log b x 的定义域是(0，＋∞)，故排除①. 若a >1，则0<b <1，此时f (x )＝a x 是增函数，g (x )＝－log b x 是增函数，②符合，排除④.若0<a <1，则b >1，g (x )＝－log b x 是减函数，排除③，故填②.(2)作出f (x )的大致图象(图略)．由图象知，要使f (a )＝f (b )＝f (c )，不妨设a <b <c ，则－lg a ＝lg b ＝－12c ＋6，∴lg a ＋lg b ＝0，∴ab ＝1，∴abc ＝c .由图知10<c <12，∴abc ∈(10,12)．题型三 对数函数的性质及应用命题点1 比较对数值的大小例3 设a ＝log 36，b ＝log 510，c ＝log 714，则a ，b ，c 的大小关系为__________． 答案 a >b >c解析 由对数运算法则得a ＝log 36＝1＋log 32，b ＝1＋log 52，c ＝1＋log 72，由对数函数图象得log 32>log 52>log 72，所以a >b >c . 命题点2 解对数不等式例4 若log a (a 2＋1)<log a 2a <0，则a 的取值范围是__________． 答案 (12，1)解析 由题意得a >0，故必有a 2＋1>2a ， 又log a (a 2＋1)<log a 2a <0，所以0<a <1， 同时2a >1，所以a >12.综上，a ∈(12，1)．命题点3 和对数函数有关的复合函数 例5 已知函数f (x )＝log a (3－ax )．(1)当x ∈[0,2]时，函数f (x )恒有意义，求实数a 的取值范围；(2)是否存在这样的实数a ，使得函数f (x )在区间[1,2]上为减函数，并且最大值为1？如果存在，试求出a 的值；如果不存在，请说明理由． 解 (1)∵a >0且a ≠1，设t (x )＝3－ax ， 则t (x )＝3－ax 为减函数，x ∈[0,2]时，t (x )的最小值为3－2a ， 当x ∈[0,2]时，f (x )恒有意义， 即x ∈[0,2]时，3－ax >0恒成立． ∴3－2a >0.∴a <32.又a >0且a ≠1，∴a ∈(0,1)∪⎝⎛⎭⎫1，32. (2)t (x )＝3－ax ，∵a >0，∴函数t (x )为减函数． ∵f (x )在区间[1,2]上为减函数，∴y ＝log a t 为增函数，∴a >1，x ∈[1,2]时，t (x )最小值为3－2a ，f (x )最大值为f (1)＝log a (3－a )，∴⎩⎪⎨⎪⎧3－2a >0，log a (3－a )＝1，即⎩⎨⎧a <32，a ＝32.故不存在这样的实数a ，使得函数f (x )在区间[1,2]上为减函数，并且最大值为1.思维升华 在解决与对数函数相关的比较大小或解不等式问题时，要优先考虑利用对数函数的单调性来求解．在利用单调性时，一定要明确底数a 的取值对函数增减性的影响，及真数必须为正的限制条件．(1)设a ＝log 32，b ＝log 52，c ＝log 23，则a ，b ，c 的大小关系为____________．(2)若f (x )＝lg(x 2－2ax ＋1＋a )在区间(－∞，1]上递减，则a 的取值范围为__________． (3)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，log 12(－x )，x <0，若f (a )>f (－a )，则实数a 的取值范围是__________________．答案 (1)c >a >b (2)[1,2) (3)(－1,0)∪(1，＋∞) 解析 (1)∵3<2<3,1<2<5，3>2，∴log 33<log 32<log 33，log 51<log 52<log 55，log 23>log 22， ∴12<a <1,0<b <12，c >1，∴c >a >b . (2)令函数g (x )＝x 2－2ax ＋1＋a ＝(x －a )2＋1＋a －a 2，对称轴为x ＝a ，要使函数在(－∞，1]上递减，则有⎩⎪⎨⎪⎧ g (1)>0，a ≥1，即⎩⎪⎨⎪⎧2－a >0，a ≥1，解得1≤a <2，即a ∈[1,2)．(3)由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧a >0，log 2a >log 12a或⎩⎪⎨⎪⎧a <0，log 12(－a )>log 2(－a )，解得a >1或－1<a <0.2．比较指数式、对数式的大小典例 (1)设a ＝0.50.5，b ＝0.30.5，c ＝log 0.30.2，则a ，b ，c 的大小关系是__________． (2)设a ＝log 2π，b ＝log 12π，c ＝π－2，则a ，b ，c 的大小关系为____________．(3)已知324log 0.3log 3.4log 3.6155()5，＝，＝，＝a b c 则a ，b ，c 大小关系为__________．思维点拨 (1)可根据幂函数y ＝x 0.5的单调性或比商法确定a ，b 的大小关系，然后利用中间值比较a ，c 大小．(2)a ，b 均为对数式，可化为同底，再利用中间变量和c 比较．(3)化为同底的指数式．解析 (1)根据幂函数y ＝x 0.5的单调性， 可得0.30.5<0.50.5<10.5＝1，即b <a <1；根据对数函数y ＝log 0.3x 的单调性，可得log 0.30.2>log 0.30.3＝1，即c >1.所以b <a <c . (2)∵a ＝log 2π>log 22＝1，b ＝log 12π＝log 21π<log 21＝0,0<c ＝1π2<1，∴b <c <a .(3)c ＝(15)3log 0.3＝53log 0.3－＝5310log 3.方法一 在同一坐标系中分别作出函数y ＝log 2x ，y ＝log 3x ，y ＝log 4x 的图象，如图所示．由图象知：log 23.4>log 3103>log 43.6.方法二 ∵log 3103>log 33＝1，且103<3.4，∴log 3103<log 33.4<log 23.4.∵log 43.6<log 44＝1，log 3103>1，∴log 43.6<log 3103.∴log 23.4>log 3103>log 43.6.由于y ＝5x 为增函数， ∴52log 3.4>5310log 3>54log 3.6.即52log 3.4>(15)3log 0.3 >54log 3.6，故a >c >b . 答案 (1)b <a <c (2)a >c >b (3)a >c >b温馨提醒 (1)比较指数式和对数式的大小，可以利用函数的单调性，引入中间量；有时也可用数形结合的方法．(2)解题时要根据实际情况来构造相应的函数，利用函数单调性进行比较，如果指数相同，而底数不同则构造幂函数，若底数相同而指数不同则构造指数函数，若引入中间量，一般选0或1.[方法与技巧]1．对数值取正、负值的规律当a >1且b >1或0<a <1且0<b <1时，log a b >0； 当a >1且0<b <1或0<a <1且b >1时，log a b <0. 2．对数函数的定义域及单调性在对数式中，真数必须是大于0的，所以对数函数y ＝log a x 的定义域应为(0，＋∞)．对数函数的单调性和a 的值有关，因而，在研究对数函数的单调性时，要按0<a <1和a >1进行分类讨论．3．比较幂、对数大小有两种常用方法：(1)数形结合；(2)找中间量结合函数单调性． 4．多个对数函数图象比较底数大小的问题，可通过比较图象与直线y ＝1交点的横坐标进行判定． [失误与防范]1．在运算性质log a M α＝αlog a M 中，要特别注意条件，在无M ＞0的条件下应为log a M α＝αlog a |M |(α∈N *，且α为偶数)．2．解决与对数函数有关的问题时需注意两点：(1)务必先研究函数的定义域；(2)注意对数底数的取值范围．A 组 专项基础训练 (时间：40分钟)1．已知log 7[log 3(log 2x )]＝0，那么x 12-＝________.答案24解析 由条件知，log 3(log 2x )＝1，∴log 2x ＝3， ∴x ＝8，∴x12-＝24. 2．已知x ＝ln π，y ＝log 52，z ＝e 12-，则x ，y ，z 的大小关系为____________．答案 y <z <x解析 ∵x ＝ln π>ln e ，∴x >1. ∵y ＝log 52<log 55，∴0<y <12.∵z ＝e12-＝1e >14＝12，∴12<z <1.综上可得，y <z <x .3．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋1， x ≤0，log 2x ， x >0，则使函数f (x )的图象位于直线y ＝1上方的x 的取值范围是__________．答案 (－1,0]∪(2，＋∞)解析 当x ≤0时，3x ＋1>1⇒x ＋1>0，∴－1<x ≤0；当x >0时，log 2x >1⇒x >2，综上所述：－1<x ≤0或x >2.4．设f (x )＝lg ⎝⎛⎭⎫21－x ＋a 是奇函数，则使f (x )<0的x 的取值范围是__________． 答案 (－1,0)解析 由f (x )是奇函数可得a ＝－1，∴f (x )＝lg 1＋x 1－x，定义域为(－1,1)． 由f (x )<0，可得0<1＋x 1－x<1，∴－1<x <0. 5．定义在R 上的函数f (x )满足f (－x )＝－f (x )，f (x －2)＝f (x ＋2)，且x ∈(－1,0)时，f (x )＝2x ＋15，则f (log 220)＝________.答案 －1解析 由f (x －2)＝f (x ＋2)，得f (x )＝f (x ＋4)，因为4＜log 220＜5，所以f (log 220)＝f (log 220－4)＝－f (4－log 220)＝－f (log 245)＝－(224log 5＋15)＝－1. 6．(2015·安徽)lg 52＋2lg 2－⎝⎛⎭⎫12－1＝________. 答案 －1解析 lg 52＋2lg 2－⎝⎛⎭⎫12－1＝lg 52＋lg 22－2 ＝lg ⎝⎛⎭⎫52×4－2＝1－2＝－1.7．设函数f (x )满足f (x )＝1＋f (12)log 2x ，则f (2)＝_____________________. 答案 32解析 由已知得f (12)＝1－f (12)·log 22，则f (12)＝12，则f (x )＝1＋12·log 2x ，故f (2)＝1＋12·log 22＝32.8．(2015·福建)若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －x ＋6，x ≤2，3＋log a x ，x ＞2(a ＞0，且a ≠1)的值域是[4，＋∞)，则实数a 的取值范围是_____________________________________．答案 (1,2]解析 由题意f (x )的图象如右图，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＞1，3＋log a 2≥4，∴1＜a ≤2. 9．已知函数y ＝log 12(x 2－ax ＋a )在区间(－∞，2)上是增函数，求a 的取值范围．解 函数y ＝log 12(x 2－ax ＋a )是由函数y ＝log 12t 和t ＝x 2－ax ＋a 复合而成．因为函数y ＝log 12t 在区间(0，＋∞)上单调递减，而函数t ＝x 2－ax ＋a 在区间(－∞，a 2)上单调递减，又因为函数y ＝log 12(x 2－ax ＋a )在区间(－∞，2)上是增函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 2≤a 2，(2)2－2a ＋a ≥0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ≥22，a ≤2(2＋1)，即22≤a ≤2(2＋1)．10．设f (x )＝log a (1＋x )＋log a (3－x )(a >0，a ≠1)，且f (1)＝2.(1)求a 的值及f (x )的定义域；(2)求f (x )在区间[0，32]上的最大值．解 (1)∵f (1)＝2，∴log a 4＝2(a >0，a ≠1)，∴a ＝2.由⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋x >0，3－x >0，得x ∈(－1,3)， ∴函数f (x )的定义域为(－1,3)．(2)f (x )＝log 2(1＋x )＋log 2(3－x )＝log 2(1＋x )(3－x )＝log 2[－(x －1)2＋4]，∴当x ∈(－1,1]时，f (x )是增函数；当x ∈(1,3)时，f (x )是减函数，故函数f (x )在[0，32]上的最大值是f (1)＝log 24＝2. B 组 专项能力提升(时间：20分钟)11．(2015·陕西改编)设f (x )＝ln x,0＜a ＜b ，若p ＝f (ab )，q ＝f ⎝⎛⎭⎫a ＋b 2，r ＝12(f (a )＋f (b ))，则p 、q 、r 的大小关系是____________．答案 p ＝r <q解析 ∵0＜a ＜b ，∴a ＋b 2＞ab ， 又∵f (x )＝ln x 在(0，＋∞)上为增函数，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2＞f (ab )，即q ＞p . 又r ＝12(f (a )＋f (b ))＝12(ln a ＋ln b )＝ln ab ＝p ， 故p ＝r ＜q .12．设函数f (x )定义在实数集上，f (2－x )＝f (x )，且当x ≥1时，f (x )＝ln x ，则f ⎝⎛⎭⎫13，f ⎝⎛⎭⎫12，f (2)的大小关系是______________．答案 f (12)<f (13)<f (2) 解析 由f (2－x )＝f (x )知f (x )的图象关于直线x ＝2－x ＋x 2＝1对称，又当x ≥1时，f (x )＝ln x ，所以离对称轴x ＝1距离大的x 的函数值大，∵|2－1|>|13－1|>|12－1|， ∴f (12)<f (13)<f (2)． 13．若函数f (x )＝lg(－x 2＋8x －7)在区间(m ，m ＋1)上是增函数，则m 的取值范围是__________． 答案 [1,3]解析 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≤4，－m 2＋8m －7≥0，解得1≤m ≤3， 所以答案应填[1,3]．14．已知函数f (x )＝ln x 1－x，若f (a )＋f (b )＝0，且0<a <b <1，则ab 的取值范围是________． 答案 ⎝⎛⎭⎫0，14 解析 由题意可知ln a 1－a ＋ln b 1－b ＝0， 即ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－a ×b 1－b ＝0，从而a 1－a ×b 1－b＝1，化简得a ＋b ＝1，故ab ＝a (1－a )＝－a 2＋a ＝－⎝⎛⎭⎫a －122＋14， 又0<a <b <1，∴0<a <12，故0<－⎝⎛⎭⎫a －122＋14<14. 15．设x ∈[2,8]时，函数f (x )＝12log a (ax )·log a (a 2x )(a >0，且a ≠1)的最大值是1，最小值是－18，求a 的值．解 由题意知f (x )＝12(log a x ＋1)(log a x ＋2) ＝12(log 2a x ＋3log a x ＋2)＝12(log a x ＋32)2－18. 当f (x )取最小值－18时，log a x ＝－32. 又∵x ∈[2,8]，∴a ∈(0,1)．∵f (x )是关于log a x 的二次函数，∴函数f (x )的最大值必在x ＝2或x ＝8时取得．若12(log a 2＋32)2－18＝1，则a ＝2－13， 此时f (x )取得最小值时，x ＝1332(2)＝--2∉[2,8]，舍去．若12(log a 8＋32)2－18＝1，则a ＝12，此时f(x)取得最小值时，x＝(12)32＝22∈[2,8]，符合题意，∴a＝12.。
对数函数常用知识点汇总
对数函数是高中数学中的重要内容，它在数学和科学中有着广泛的应用。
本文将从基础定义、性质、常见变形以及实际应用等方面，进行对数函数常用知识点的汇总介绍。
一、基础定义1.对数的定义：对于任意正数a和正数b，如果a^x = b，则称x为以a为底b的对数，记作log_a(b) = x。
2.常用对数和自然对数：当底数a为10时，称为常用对数，记作log(b)；当底数a为自然常数e时，称为自然对数，记作ln(b)。
3.对数函数的定义：对于任意正数a（a≠1），对数函数y = log_a(x)表示一个数x的以a为底的对数。
二、性质总结1.对数函数的定义域：对数函数的定义域为正实数集(0,+∞)。
2.对数函数的值域：对数函数的值域为实数集R。
3.对数函数的图像特点：当底数a>1时，对数函数的图像上升；当0<a<1时，对数函数的图像下降；对数函数的图像经过点(1,0)。
4.对数函数与指数函数的关系：对数函数y = log_a(x)与指数函数y =a^x是互为反函数的关系。
三、常见变形1.对数函数的平移：对数函数y = log_a(x)的图像向左平移h个单位，可表示为y = log_a(x-h)；向右平移h个单位，可表示为y = log_a(x+h)。
2.对数函数的伸缩：对数函数y = log_a(x)的图像纵向伸缩k倍，可表示为y = log_a(kx)；横向伸缩k倍，可表示为y = log_a(x/k)。
3.对数函数的反转：对数函数y = log_a(x)的图像关于y = x对称。
四、实际应用对数函数在实际生活和科学研究中有着广泛的应用，以下是一些常见的实际应用场景：1.音乐和声音的测量：声音的强度通常使用分贝（dB）来表示，而分贝就是以对数函数为基础进行计算的。
2.化学中的pH值：pH值是衡量溶液酸碱性的指标，它是以对数函数为基础计算的。
3.经济学中的财富分配：洛伦兹曲线和基尼系数中，对数函数被用来度量收入和财富的不平等程度。
专题十三 对数函数(解析版)
专题十三 对数函数考点一 对数函数图象辨析 【基本知识】 1．对数函数的概念函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)． 2．对数函数的图象在y 轴右侧，过定点(1，0)3．指数函数与对数函数的关系指数函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y ＝x 对称．【常用结论】(1)对数函数图象的画法画对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，0)，(a ，1)，⎝⎛⎭⎫1a ，－1和一条渐近线x ＝0．(2)底数a 与1的大小关系决定了对数函数图象的“升降”：当a >1时，对数函数的图象“上升”；当0<a <1时，对数函数的图象“下降”．(3)函数y ＝log a x 与y ＝log 1ax (a >0，且a ≠1)的图象关于x 轴对称．(4)对数函数的图象与底数大小的比较如图是对数函数(1)y ＝log a x ，(2)y ＝log b x ，(3)y ＝log c x ，(4)y ＝log d x 的图象，底数a ，b ，c ，d 与1之间的大小关系为c ＞d ＞1＞a ＞b ＞0．由此我们可得到以下规律：在第一象限内，对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的图象越右，底数越大．简称“底大图右”．【方法总结】有关对数函数图象辨析的解题思路(1)已知函数解析式判断其图象，一般是取特殊点，判断选项中的图象是否过这些点，若不满足则排除． (2)对于有关对数型函数的图象问题，一般是从最基本的对数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换而得到．特别地，当底数a 与1的大小关系不确定时应注意分类讨论．(3)根据对数函数图象判断底数大小的问题，可以通过底大图右进行判断． 【例题选讲】[例1] (1) 函数y ＝lg|x －1|的图象是( )答案 A 解析 因为y ＝lg|x －1|＝⎩⎪⎨⎪⎧lg(x －1)，x >1，lg(1－x )，x <1.当x ＝1时，函数无意义，故排除B 、D ．又当x ＝2或0时，y ＝0，所以A 项符合题意．(2) 函数f (x )＝|log a (x ＋1)|(a >0，且a ≠1)的大致图象是( )答案 C 解析 函数f (x )＝|log a (x ＋1)|的定义域为{x |x >－1}，且对任意的x ，均有f (x )≥0，结合对数函数的图象可知选C ．(3) 函数y ＝log a x 与y ＝－x ＋a 在同一坐标系中的图象可能是( )答案 A 解析 当a ＞1时，函数y ＝log a x 的图象为选项B 、D 中过点(1，0)的曲线，此时函数y ＝－x ＋a 的图象与y 轴的交点的纵坐标a 应满足a ＞1，选项B 、D 中的图象都不符合要求；当0＜a ＜1时，函数y ＝log a x 的图象为选项A 、C 中过点(1，0)的曲线，此时函数y ＝－x ＋a 的图象与y 轴的交点的纵坐标a 应满足0＜a ＜1，选项A 中的图象符合要求，选项C 中的图象不符合要求．(4) 在同一直角坐标系中，函数f (x )＝x a (x ≥0)，g (x )＝log a x (a >0且a ≠1)的图象可能是( )答案 D 解析 当a >1时，函数f (x )＝x a (x ≥0)单调递增，函数g (x )＝log a x 单调递增，且过点(1，0)，由幂函数的图象性质可知C 错；当0<a <1时，函数f (x )＝x a (x ≥0)单调递增，且过点(1，1)，函数g (x )＝log a x单调递减，且过点(1，0)，排除A ，又由幂函数的图象性质可知B 错．故选D ．(5) (2019·浙江)在同一直角坐标系中，函数 y ＝1ax ，y ＝log a ⎝⎛⎭⎫x ＋12(a >0，且a ≠1)的图象可能是( )答案 D 解析 对于函数y ＝log a ⎝⎛⎭⎫x ＋12，当y ＝0时，有x ＋12＝1，得x ＝12，即y ＝log a ⎝⎛⎭⎫x ＋12的图象恒过定点⎝⎛⎭⎫12，0，排除选项A 、C ；函数y ＝1a x 与y ＝log a ⎝⎛⎭⎫x ＋12在各自定义域上单调性相反，排除选项B ，故选D ．【对点训练】1．函数f (x )＝2log 4(1－x )，则函数f (x )的大致图象是( )1．答案 C 解析 函数f (x )＝2log 4(1－x )的定义域为(－∞，1)，排除A 、B ；函数f (x )＝2log 4(1－x )在定 义域上单调递减，排除D ．故选C ． 2．函数y ＝ln(2－|x |)的大致图象为( )2．答案 A 解析 令f (x )＝ln(2－|x |)，易知函数f (x )的定义域为{x |－2＜x ＜2}，且f (－x )＝ln(2－|－x |)＝ ln(2－|x |)＝f (x )，所以函数f (x )为偶函数，排除选项C 、D ．由对数函数的单调性及函数y ＝2－|x |的单调性知A 正确．3．函数f (x )＝lg 1|x ＋1|的大致图象是( )3．答案 D 解析 f (x )＝lg1|x ＋1|＝－lg|x ＋1|的图象可由偶函数y ＝－lg|x |的图象左移1个单位得到．由y ＝－lg|x |的图象可知D 项正确．4．已知lg a ＋lg b ＝0(a ＞0，且a ≠1，b ＞0，且b ≠1)，则函数f (x )＝a x 与g (x )＝－log b x 的图象可能是( )4．答案 B 解析 因为lg a ＋lg b ＝0，所以lg (ab )＝0，所以ab ＝1，即b ＝1a ，故g (x )＝－logb x ＝－log 1ax ＝log a x ，则f (x )与g (x )互为反函数，其图象关于直线y ＝x 对称，结合图象知B 项正确．故选B ． 5．若函数y ＝a |x |(a >0，且a ≠1)的值域为{y |y ≥1}，则函数y ＝log a |x |的图象大致是( )5．答案 B 解析 若函数y ＝a |x |(a >0，且a ≠1)的值域为{y |y ≥1}，则a >1，故函数y ＝log a |x |的大致图象如 选项B 中图所示．考点二 对数函数图象的应用 【方法总结】一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解． 【例题选讲】[例2] (1) 已知当0<x ≤14时，有x <log a x ，则实数a 的取值范围为________．答案 ⎝⎛⎭⎫116，1 解析 若x <log a x 在x ∈⎝⎛⎦⎤0，14时成立，则0<a <1，且y ＝x 的图象在y ＝log a x 图象的下方，作出图象如图所示．由图象知 14<log a 14，所以⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1，a 12>14，解得116<a <1．即实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫116，1．(2) 当0＜x ≤12时，4x ＜log a x ，则a 的取值范围是( )A ．⎝⎛⎭⎫0，22 B ．⎝⎛⎭⎫22，1 C ．(1，2) D ．(2，2) 答案 B 解析 易知0＜a ＜1，函数y ＝4x 与y ＝log a x 的大致图象如图，则由题意可知只需满足log a12＞412，解得a ＞22，∴22＜a ＜1，故选B ．(3) 设方程10x ＝|lg(－x )|的两个根分别为x 1，x 2，则( )A ．x 1x 2＜0B ．x 1x 2＝0C ．x 1x 2＞1D ．0＜x 1x 2＜1答案 D 解析 作出y ＝10x 与y ＝|lg(－x )|的大致图象，如图．显然x 1＜0，x 2＜0．不妨令x 1＜x 2，则x 1＜－1＜x 2＜0，所以10x 1＝lg(－x 1)，10x 2＝－lg(－x 2)，此时10x 1＜10x 2，即lg(－x 1)＜－lg(－x 2)，由此得lg(x 1x 2)＜0，所以0＜x 1x 2＜1，故选D ．(4) 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，3x ，x ≤0，关于x 的方程f (x )＋x －a ＝0有且只有一个实根，则实数a 的取值范围是__________．答案 a >1 解析 问题等价于函数y ＝f (x )与y ＝－x ＋a 的图象有且只有一个交点，结合函数图象可知a >1．(5) (2018·全国Ⅲ)下列函数中，其图象与函数y ＝ln x 的图象关于直线x ＝1对称的是( ) A ．y ＝ln(1－x ) B ．y ＝ln(2－x ) C ．y ＝ln(1＋x ) D ．y ＝ln(2＋x )答案 B 解析 易知y ＝ln x 与y ＝ln(－x )的图象关于y 轴对称．而y ＝ln(2－x )＝ln[－(x －2)]，由此可知y ＝ln(2－x )的图象只需将y ＝ln(－x )的图象向右平移2个单位即可得到．因此y ＝ln x 与y ＝ln(2－x )的图象关于直线x ＝1对称．【对点训练】6．已知函数f (x )＝ln x ，g (x )＝lg x ，h (x )＝log 3x ，直线y ＝a (a <0)与这三个函数图象的交点的横坐标分别是x 1，x 2，x 3，则x 1，x 2，x 3的大小关系是( )A ．x 2<x 3<x 1B ．x 1<x 3<x 2C ．x 1<x 2<x 3D ．x 3<x 2<x 1 6．答案 A 解析 分别作出三个函数的图象，如图所示，由图可知x 2<x 3<x 1．7．已知函数f (x )＝log a 2x ＋b －1(a >0，a ≠1)的图象如图所示，则a ，b 满足的关系是( )A ．0<a －1<b <1 B ．0<b <a －1<1 C ．0<b －1<a <1 D ．0<a －1<b －1<17．答案 A 解析 由函数图象可知，f (x )在R 上单调递增，故a >1．函数图象与y 轴的交点坐标为(0，loga b )，由函数图象可知－1<log a b <0，解得1a <b <1．综上有0<1a<b <1． 8．不等式x 2<log a x (a >0，且a ≠1)对x ∈⎝⎛⎭⎫0，12恒成立，求实数a 的取值范围． 8．答案 ⎣⎡⎭⎫116，1 解析 设f 1(x )＝x 2，f 2(x )＝log a x ，要使x ∈⎝⎛⎭⎫0，12时，不等式x 2<log a x 恒成立，只需f 1(x ) ＝x 2在⎝⎛⎭⎫0，12上的图象在f 2(x )＝log a x 图象的下方即可．当a >1时，显然不成立；当0<a <1时，如图所示，要使x 2<log a x 在x ∈⎝⎛⎭⎫0，12上恒成立，需f 1⎝⎛⎭⎫12≤f 2⎝⎛⎭⎫12，所以有⎝⎛⎭⎫122≤log a 12，解得a ≥116，所以116≤a <1．即实数a 的取值范围是⎣⎡⎭⎫116，1． 9．设f (x )＝|ln(x ＋1)|，已知f (a )＝f (b )(a <b )，则( )A ．a ＋b >0B ．a ＋b >1C ．2a ＋b >0D ．2a ＋b >1 9．答案 A 解析 作出函数f (x )＝|ln(x ＋1)|的图象如图所示，由f (a )＝f (b )，得－ln(a ＋1)＝ln(b ＋1)，即ab ＋a ＋b ＝0．所以0＝ab ＋a ＋b <(a ＋b )24＋a ＋b ，即(a ＋b )(a＋b ＋4)>0，显然－1<a <0，b >0，∴a ＋b ＋4>0．∴a ＋b >0．故选A ． 10．若f (x )＝lg x ，g (x )＝f (|x |)，则g (lg x )>g (1)时，x 的取值范围是( )A ．⎝⎛⎭⎫0，110∪(10，＋∞)B ．[1，2)C ．⎝⎛⎦⎤0，110∪[10，＋∞) D ．(10，＋∞) 10．答案 A 解析 作出g (x )的图象如图所示，若使g (lg x )>g (1)，则lg x >1或lg x <－1，解得x >10或0<x <110．11．已知函数f (x )＝|lg x |．若0<a <b ，且f (a )＝f (b )，则a ＋2b 的取值范围是( ) A ．(22，＋∞) B ．[22，＋∞) C ．(3，＋∞) D ．[3，＋∞)11．答案 C 解析 f (x )＝|lg x |的图象如图所示，由题知f (a )＝f (b )，则有0<a <1<b ，∴f (a )＝|lg a |＝－lg a ，f (b )＝|lg b |＝lg b ，即－lg a ＝lg b ，则a ＝1b ，∴a ＋2b ＝2b ＋1b ．令g (b )＝2b ＋1b ，g ′(b )＝2－1b 2，显然当b ∈(1，＋∞)时，g ′(b )>0，∴g (b )在(1，＋∞)上为增函数，∴g (b )＝2b ＋1b>3，故选C ．12．设平行于y 轴的直线分别与函数y 1＝log 2x 及函数y 2＝log 2x ＋2的图象交于B ，C 两点，点A (m ，n )位于函数y 2＝log 2x ＋2的图象上，如图，若△ABC 为正三角形，则m ·2n ＝________．12．答案 12 解析 由题意知，n ＝log 2m ＋2，所以m ＝2n －2．又BC ＝y 2－y 1＝2，且△ABC 为正三角形，所以可知B (m ＋3，n －1)在y 1＝log 2x 的图象上，所以n －1＝log 2(m ＋3)，即m ＝2n －1－3，所以2n ＝43，所以m ＝3，所以m ·2n ＝3×43＝12． 考点三 对数函数的性质及应用 【基本知识】 对数函数的性质考向1 比较对数式的大小 【方法总结】对数函数值大小比较的方法单调性法：在同底的情况下直接得到大小关系，若不同底，先化为同底．中间量过渡法：寻找中间数联系要比较的两个数，一般是用“0”，“1”或其他特殊值进行“比较传递”图象法：根据图象观察得出大小关系 【例题选讲】[例3] (1) 设a ＝log 32，b ＝log 52，c ＝log 23，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．a >c >b B ．b >c >a C ．c >b >a D ．c >a >b答案 D 解析 ∵log 33<log 32<log 33，log 51<log 52<log 55，log 23>log 22，∴12<a <1，0<b <12，c >1，∴c >a >b ．(2) (2013·全国Ⅲ)设a ＝log 36，b ＝log 510，c ＝log 714，则( )A ．c ＞b ＞aB ．b ＞c ＞aC ．a ＞c ＞bD ．a ＞b ＞c答案 D 解析 a ＝log 36＝1＋log 32，b ＝log 510＝1＋log 52，c ＝log 714＝1＋log 72，则只要比较log 32，log 52，log 72的大小即可，在同一坐标系中作出函数y ＝log 3x ，y ＝log 5x ，y ＝log 7x 的图象，由三个图象的相对位置关系，可知a ＞b ＞c ，故选D ．(3) (2018·天津)已知a ＝log 372，b ＝⎝⎛⎭⎫1413 ，c ＝log 1315，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a >b >cB ．b >a >cC ．c >b >aD ．c >a >b答案 D 解析 因为c ＝log 1315＝log 35>log 372>log 33＝1，所以c >a ，又b ＝⎝⎛⎭⎫1413 <1，所以b <a <c ．故选D(4) 设a ＝0.36，b ＝log 36，c ＝log 510，则( )A ．c >b >aB ．a >c >bC ．b >c >aD ．a >b >c答案 C 解析 由a ＝0.36<1，b ＝lg 6lg 3＝1＋lg 2lg 3，c ＝1＋lg 2lg 5，又lg 5>lg 3>lg 2，则0<lg 2lg 5<lg 2lg 3，则b >c >1．故b >c >a ．故选C ．(5) (2016·全国Ⅲ)若a >b >1，0<c <1，则( )A ．a c <b cB ．ab c <ba cC ．a log b c <b log a cD ．log a c <log b c答案 C 解析 ∵y ＝x α，α∈(0，1)在(0，＋∞)上是增函数，∴当a >b >1，0<c <1时，a c >b c ，选项A 不正确．∵y ＝x α，α∈(－1，0)在(0，＋∞)上是减函数，∴当a >b >1，0<c <1，即－1<c －1<0时，a c －1<b c －1，即ab c >ba c ，选项B 不正确．∵a >b >1，∴lg a >lg b >0，∴a lg a >b lg b >0，∴a lg b >blg a ．又∵0<c <1，∴lg c <0．∴a lg c lgb <b lg clg a，∴a log b c <b log a c ，选项C 正确．同理可证log a c >log b c ，选项D 不正确． 考向2 与对数有关的不等式问题 【方法总结】简单对数不等式问题的求解策略(1)解决简单的对数不等式，应先利用对数的运算性质化为同底数的对数值，再利用对数函数的单调性转化为一般不等式求解．(2)对数函数的单调性和底数a 的值有关，在研究对数函数的单调性时，要按0<a <1和a >1进行分类讨论．(3)某些对数不等式可转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．【例题选讲】[例4] (1) 设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，log 12(－x )，x <0，若f (a )>f (－a )，则实数a 的取值范围是( )A ．(－1，0)∪(0，1)B ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C ．(－1，0)∪(1，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(0，1)答案 C 解析 由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，log 2a >log 12a ⇒a >1或⎩⎪⎨⎪⎧a <0，log 12(－a )>log 2(－a )⇒－1<a <0．故选C ．(2) 已知不等式log x (2x 2＋1)<log x (3x )<0成立，则实数x 的取值范围是________．答案 ⎝⎛⎭⎫13，12 解析 原不等式⇔⎩⎪⎨⎪⎧0<x <1，2x 2＋1>3x >1或⎩⎪⎨⎪⎧x >1，2x 2＋1<3x <1，解得13<x <12，所以实数x 的取值范围为⎝⎛⎭⎫13，12．(3) 已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且在[0，＋∞)上单调递增，若f (lg 2·lg 50＋(lg 5)2)＋f (lg x －2)<0，则x 的取值范围为________．答案 (0，10) 解析 ∵lg 2·lg 50＋(lg 5)2＝(1－lg 5)(1＋lg 5)＋(lg 5)2＝1，∴f (lg 2·lg 50＋(lg 5)2)＋f (lg x －2)<0可化为f (1)＋f (lg x －2)<0，即f (lg x －2)<－f (1)．∵函数f (x )是定义在R 上的奇函数，∴f (lg x －2)<f (－1)．又函数f (x )在[0，＋∞)上单调递增，∴函数f (x )在R 上也单调递增，∴lg x －2<－1，∴lg x <1，∴0<x <10．(4) 已知函数f (x )＝log a (8－ax )(a >0，且a ≠1)，若f (x )>1在区间[1，2]上恒成立，则实数a 的取值范围为__________．答案 ⎝⎛⎭⎫1，83 解析 当a >1时，f (x )＝log a (8－ax )在[1，2]上是减函数，因为f (x )>1在[1，2]上恒成立，则f (x )min ＝log a (8－2a )>1，解得1<a <83；当0<a <1时，f (x )在[1，2]上是增函数，因为f (x )>1在[1，2]上恒成立，则f (x )min ＝log a (8－a )>1，即a ＞4，故不存在实数a 满足题意．综上可知，实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫1，83． (5) 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x ≤0，ln x ＋1，x >0，若|f (x )|≥ax ，则a 的取值范围是__________．答案 [－2，0] 解析 因为|f (x )|＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x ≤0，ln x ＋1，x >0，所以由|f (x )|≥ax ，分两种情况：①由⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，x 2－2x ≥ax 恒成立，可得a ≥x －2恒成立，则a ≥(x －2)max ，即a ≥－2；②由⎩⎪⎨⎪⎧x >0，ln x ＋1≥ax恒成立，并根据函数图象可知a ≤0．综上，得－2≤a ≤0．考向3 与对数有关的复合函数性质应用问题 【方法总结】与对数有关的单调性问题的解题策略(1)求出函数的定义域．(2)判断对数函数的底数与1的关系，当底数是含字母的代数式(包含单独一个字母)时，要考查其单调性，就必须对底数进行分类讨论．(3)判断内层函数和外层函数的单调性，运用复合函数“同增异减”原则判断函数的单调性． 【例题选讲】[例5] (1) 函数y ＝log 4(7＋6x －x 2)的单调递增区间是__________．答案 (－1，3] 解析 设y ＝log 4u ，u ＝g (x )＝7＋6x －x 2＝－(x －3)2＋16，则对于二次函数u ＝g (x )，当x ≤3时为增函数，当x ≥3时为减函数．又y ＝log 4u 是增函数，且由7＋6x －x 2＞0得函数的定义域为(－1，7)，于是函数f (x )的单调递增区间为(－1，3]．(2) 函数f (x )＝log a (ax －3)(a >0，且a ≠1)在[1，3]上单调递增，则a 的取值范围是( ) A ．(1，＋∞) B ．(0，1) C ．⎝⎛⎭⎫0，13 D ．(3，＋∞) 答案 D 解析 由于a >0，且a ≠1，∴u ＝ax －3为增函数，∴若函数f (x )为增函数，则f (x )＝log a u 必为增函数，因此a >1．又u ＝ax －3在[1，3]上恒为正，∴a －3>0，即a >3．(3) 若函数f (x )＝log a (x 2－ax ＋5)(a >0且a ≠1)满足对任意的x 1，x 2，当x 1<x 2≤a2时，f (x 2)－f (x 1)<0，则实数a 的取值范围为________．答案 (1，25) 解析 当x 1<x 2≤a2时，f (x 2)－f (x 1)<0，即函数f (x )在区间⎝⎛⎦⎤－∞，a 2上为减函数，设g (x )＝x 2－ax ＋5，则⎩⎪⎨⎪⎧a >1，g ⎝⎛⎭⎫a 2>0，解得1<a <25．(4) 设函数f (x )＝|log a x |(0<a <1)的定义域为[m ，n ](m <n )，值域为[0，1]，若n －m 的最小值为13，则实数a 的值为( )A ．14B ．14或23C ．23D ．23或34答案 C 解析 作出y ＝|log a x |(0<a <1)的大致图象如图，令|log a x |＝1，得x ＝a 或x ＝1a ，又1－a －⎝⎛⎭⎫1a －1＝1－a －1－a a ＝(1－a )(a －1)a <0，故1－a <1a －1，所以n －m 的最小值为1－a ＝13，即a ＝23．(5) 已知函数f (x )＝ln(x ＋x 2＋1)，g (x )＝f (x )＋2 017，下列命题： ①f (x )的定义域为(－∞，＋∞)； ②f (x )是奇函数；③f (x )在(－∞，＋∞)上单调递增；④若实数a ，b 满足f (a )＋f (b －1)＝0，则a ＋b ＝1；⑤设函数g (x )在[－2 017，2 017]上的最大值为M ，最小值为m ，则M ＋m ＝2 017． 其中真命题的序号是________．(写出所有真命题的序号)答案 ①②③④ 解析 对于①，∵x 2＋1>x 2＝|x |≥－x ，∴x 2＋1＋x >0， ∴f (x )的定义域为R ，∴①正确．对于②，f (x )＋f (－x )＝ln(x ＋x 2＋1)＋ln(－x ＋(－x )2＋1)＝ln[(x 2＋1)－x 2]＝ln 1＝0．∴f (x )是奇函数，∴②正确．对于③，令u (x )＝x ＋x 2＋1，则u (x )在[0，＋∞)上单调递增．当x ∈(－∞，0]时，u (x )＝x ＋x 2＋1＝1x 2＋1－x ，而y ＝x 2＋1－x 在(－∞，0]上单调递减，且x 2＋1－x >0．∴u (x )＝1x 2＋1－x在(－∞，0]上单调递增，又u (0)＝1，∴u (x )在R 上单调递增，∴f (x )＝ln (x ＋x 2＋1)在R 上单调递增，∴③正确．对于④，∵f (x )是奇函数，而f (a )＋f (b －1)＝0，∴a ＋(b －1)＝0，∴a ＋b ＝1，∴④正确．对于⑤，f (x )＝g (x )－2 017是奇函数，当x ∈[－2 017，2 017]时，f (x )max ＝M －2 017，f (x )min ＝m －2 017，∴(M －2 017)＋(m －2 017)＝0，∴M ＋m ＝4 034，∴⑤不正确．【对点题组】13．设a ＝60.4，b ＝log 0.40.5，c ＝log 80.4，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a <b <cB ．c <b <aC ．c <a <bD ．b <c <a13．答案 B 解析 ∵a ＝60.4>1，b ＝log 0.40.5∈(0，1)，c ＝log 80.4<0，∴a >b >c ．故选B ．14．已知a ＝121log 3，b ＝131log 2，c ＝log 213，则( )A ．a >b >cB ．b >c >aC ．c >b >aD ．b >a >c 14．答案 A 解析 ∵a ＝121log 3>1，0<b ＝131log 2＝log 32<1，c ＝log 2 13＝－log 23<0，∴a >b >c ．15．已知a ＝log 23＋log 23，b ＝log 29－log 23，c ＝log 32，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a ＝b <cB ．a ＝b >cC ．a <b <cD ．a >b >c15．答案 B 解析 因为a ＝log 23＋log 23＝log 233＝32log 23>1，b ＝log 29－log 23＝log 233＝a ，c ＝log 32<log 33＝1，所以a ＝b >c ．16．(2019·天津)已知a ＝log 52，b ＝log 0.50.2，c ＝0.50.2，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a <c <bB ．a <b <cC ．b <c <aD ．c <a <b16．答案 A 解析 因为y ＝log 5x 是增函数，所以a ＝log 52<log 55＝0.5．因为y ＝log 0.5x 是减函数，所以b ＝log 0.50.2>log 0.50.5＝1．因为y ＝0.5x 是减函数，所以0.5＝0.51<c ＝0.50.2<0.50＝1，即0.5<c <1．所以a <c <b ．故选A ．17．函数f (x )＝4－|x |＋lg x 2－5x ＋6x －3的定义域为( )A ．(2，3)B ．(2，4]C ．(2，3)∪(3，4]D ．(－1，3)∪(3，6] 17．答案 C 解析 由⎩⎪⎨⎪⎧4－|x |≥0，x 2－5x ＋6x －3>0，得⎩⎪⎨⎪⎧－4≤x ≤4，x >2且x ≠3，故函数定义域为(2，3)∪(3，4]，故选C ．18．若log a 23<1(a >0，且a ≠1)，则实数a 的取值范围是( )A ．⎝⎛⎭⎫0，23B ．(1，＋∞)C ．⎝⎛⎭⎫0，23∪(1，＋∞)D ．⎝⎛⎭⎫23，1 18．答案 C 解析 当0<a <1时，log a 23<log a a ＝1，∴0<a <23；当a >1时，log a 23<log a a ＝1，∴a >1．∴实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫0，23∪(1，＋∞)． 19．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧41－x，x ≤1，1－log 14x ，x ＞1，则满足不等式f (x )≤2的实数x 的取值集合为__________．19．答案 {x ⎪⎪⎭⎬⎫12≤x ≤4 解析 原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧x ≤1，41－x ≤2或⎩⎪⎨⎪⎧x >1，1－log 14x ≤2，解得12≤x ≤1或1<x ≤4，即实数x 的取值集合为{x ⎪⎪⎭⎬⎫12≤x ≤4． 20．若f (x )＝lg(x 2－2ax ＋1＋a )在区间(－∞，1]上单调递减，则a 的取值范围为( )A ．[1，2)B ．[1，2]C ．[1，＋∞)D ．[2，＋∞)20．答案 A 解析 令函数g (x )＝x 2－2ax ＋1＋a ＝(x －a )2＋1＋a －a 2，其图象的对称轴为x ＝a ，要使函数f (x )在(－∞，1]上单调递减，则⎩⎪⎨⎪⎧ g (1)>0，a ≥1，即⎩⎪⎨⎪⎧2－a >0，a ≥1，解得1≤a <2，即a ∈[1，2)，故选A ． 21．若函数y ＝log a x 在区间[2，＋∞)上总有|y |＞1，则实数a 的取值范围是( )A ．⎝⎛⎭⎫0，12∪(1，2)B ．⎝⎛⎭⎫12，1∪(1，2)C ．(1，2)D ．⎝⎛⎭⎫0，12∪(2，＋∞) 21．答案 B 解析 因为函数y ＝log a x 在[2，＋∞)上总有|y |＞1，当0＜a ＜1时，y ＝log a x 在[2，＋∞)上总有y ＜－1，则a ＞12，即12＜a ＜1；当a ＞1时，y ＝log a x 在[2，＋∞)上总有y ＞1，则a ＜2，即1＜a＜2，综上，实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫12，1∪(1，2)．故选B ．22．已知函数f (x )＝|log 3x |，实数m ，n 满足0<m <n ，且f (m )＝f (n )，若f (x )在[m 2，n ]上的最大值为2，则n m＝________．22．答案 9 解析 ∵f (x )＝|log 3x |，正实数m ，n 满足m <n ，且f (m )＝f (n )，∴－log 3m ＝log 3n ，∴mn ＝1．∵f (x )在区间[m 2，n ]上的最大值为2，函数f (x )在[m 2，1)上是减函数，在(1，n ]上是增函数，∴－log 3m 2＝2或log 3n ＝2．若－log 3m 2＝2，得m ＝13，则n ＝3，此时log 3n ＝1，满足题意．那么n m ＝3÷13＝9．同理，若log 3n ＝2，得n ＝9，则m ＝19，此时－log 3m 2＝4>2，不满足题意．综上可得nm＝9．23．设x ∈[2，8]时，函数f (x )＝12log a (ax )·log a (a 2x )(a >0，且a ≠1)的最大值是1，最小值是－18，求实数a 的值．23．解 f (x )＝12(log a x ＋1)(log a x ＋2)＝12[(log a x )2＋3log a x ＋2]＝12⎝⎛⎭⎫log a x ＋322－18． 当f (x )取最小值－18时，log a x ＝－32．∵x ∈[2，8]，∴a ∈(0，1)．∵f (x )是关于log a x 的二次函数，∴f (x )的最大值必在x ＝2或x ＝8处取得．若12⎝⎛⎭⎫log a 2＋322－18＝1，则a ＝2-13，此时f (x )取得最小值时，x ＝(2-13)-23＝2∉[2，8]，舍去；若12⎝⎛⎭⎫log a 8＋322－18＝1，则a ＝12，此时f (x )取得最小值时，x ＝⎝⎛⎭⎫12－32＝22∈[2，8]，符合题意．∴a ＝12．24．已知函数f (x )＝log a x ＋m (a >0且a ≠1)的图象过点(8，2)，点P (3，－1)关于直线x ＝2的对称点Q 在f (x )的图象上．(1)求函数f (x )的解析式；(2)令g (x )＝2f (x )－f (x －1)，求g (x )的最小值及取得最小值时x 的值． 24．解 (1)点P (3，－1)关于直线x ＝2的对称点Q 的坐标为(1，－1)．由⎩⎪⎨⎪⎧ f (8)＝2，f (1)＝－1，得⎩⎪⎨⎪⎧m ＋log a 8＝2，m ＋log a 1＝－1，解得m ＝－1，a ＝2， 故函数f (x )的解析式为f (x )＝－1＋log 2x ．(2)g (x )＝2f (x )－f (x －1)＝2(－1＋log 2x )－[－1＋log 2(x －1)]＝log 2x 2x －1－1(x >1)，∵x 2x －1＝(x －1)2＋2(x －1)＋1x －1＝(x －1)＋1x －1＋2≥2 (x －1)·1x －1＋2＝4，当且仅当x －1＝1x －1，即x ＝2时，“＝”成立，而函数y ＝log 2x 在(0，＋∞)上单调递增，则log 2x 2x －1－1≥log 24－1＝1，故当x ＝2时，函数g (x )取得最小值1．。
对数与对数函数知识点与题型归纳(供参考)
●高考明方向1.明白得对数的概念及其运算性质，明白用换底公式能将一样对数转化成自然对数或经常使用对数；了解对数在简化运算中的作用．2.明白得对数函数的概念，明白得对数函数的单调性，把握对数函数图象通过的特殊点．3.明白对数函数是一类重要的函数模型．4.了解指数函数y＝a x与对数函数y＝logax互为反函数(a>0，且a≠1)．★备考知考情通过对近几年高考试题的统计分析能够看出，本节内容在高考中属于必考内容，且占有重要的分量，要紧以选择题的形式命题，也有填空题和解答题．要紧考查对数运算、换底公式等．及对数函数的图象和性质．对数函数与幂、指数函数结合考查，利用单调性比较大小、解不等式是高考的热点.一、知识梳理《名师一号》P27注意：知识点一对数及对数的运算性质1.对数的概念一样地，关于指数式a b＝N，咱们把“以a为底N的对数b”记作loga N，即b＝logaN(a>0，且a≠1)．其中，数a叫做对数的底数，N叫做真数，读作“b等于以a为底N的对数”．注意：(补充)关注概念---指对互化的依据2．对数的性质与运算法那么(1)对数的运算法那么若是a>0且a≠1，M>0，N>0，那么①loga (MN)＝logaM＋logaN；②loga MN＝logaM－logaN；③log a M n＝nlog a M(n∈R)；④log a m M n＝nm log a M.(2)对数的性质①a logaN ＝N ；②log a a N ＝N (a>0，且a≠1)．(3)对数的重要公式①换底公式：log b N ＝log a N log ab (a ，b 均大于零且不等于1)； ②log a b ＝1log ba ，推行log a b·logb c·logcd ＝log a d. 注意：(补充)特殊结论:log 10,log 1a a a ==知识点二 对数函数的图象与性质1.对数函数的图象与性质（注意概念域!）a>1 0<a<1 图象2.反函数指数函数y ＝a x 与对数函数y ＝log a x 互为反函数，它们的图象关于直线y ＝x 对称．(补充)设y ＝f(x)存在反函数，并记作y ＝f －1(x)，1) 函数y＝f(x)与其反函数y＝f－1(x)的图象关于直线y x对称．2) 若是点P(x0，y0)在函数y＝f(x)的图象上，那么必有f－1(y0)＝x0，反函数的概念域、值域别离为原先函数的值域、概念域．3) 函数y＝f(x)与其反函数y＝f－1(x)的单调性相同．二、例题分析：（一）对数式的运算例1.(1)《名师一号》P27 对点自测1(2013·陕西文3)设a，b，c均为不等于1的正实数，那么以劣等式中恒成立的是() A．log a b·log c b＝log c aB．log a b·log c a＝log c bC．log a(bc)＝log a b·log a cD．log a(b＋c)＝log a b＋log a c解析由对数的运算性质：log a(bc)＝log a b＋log a c，可判定选项C，D错误；选项A，由对数的换底公式知，log a b·log c b＝log c a⇒lgblga·lgblgc＝lgalgc⇒lg2b＝lg2a，此式不恒成立，故错误；对选项B，由对数的换底公式知，log a b·log c a＝lgblga·lgalgc＝lgblgc＝log c b，故恒成立．答案 B例1.(2) (补充) 计算以下各式的值 (1) 2lg 2lg3111lg0.36lg823+=++ (2) 温故知新P22 第8题()22log 3lg 5lg 2lg 504+⋅+= (3) 235111log log log 2589⋅⋅=答案：(1) 1 (2)10 (3)-12注意： 准确熟练经历对数运算性质多练lg2lg51+=《名师一号》P28 高频考点 例1【规律方式】 在对数运算中，要熟练把握对数式的概念，灵活利用对数的运算性质、换底公式和对数恒等式对式子进行恒等变形，多个对数式要尽可能化成同底的形式．例2.(1)《名师一号》P27 对点自测2(2021·陕西卷)已知4a ＝2，lgx ＝a ，那么x ＝________.解析 ∵4a ＝2，∴a ＝log 42＝12.由lgx ＝12，得x ＝10 12 ＝10.例2.（2）《名师一号》P28 高频考点 例1(1)假设x ＝log 43，那么(2x －2－x )2等于( )A.94B.54C.103D.43解析:由x ＝log 43，得4x ＝3，即2x ＝3，2－x ＝33，因此(2x －2－x )2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2332＝43. 注意：指数与对数的互化a b ＝N ⇔b ＝log a N (a>0，a ≠1，N>0)．练习:(补充)已知1135,2a b k a b==+=求k答案: k =例3.《名师一号》P28 高频考点 例1(2)已知函数f(x)＝⎩⎨⎧ log 2x ，x>0，3－x ＋1，x≤0，那么f(f(1))＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 312的值 是( )A ．5B ．3C ．－1 D.72因为f(1)＝log 21＝0，因此f(f(1))＝f(0)＝2.因为log 312<0，因此f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 312＝3－log 312 ＋1＝3log 32＋1＝2＋1＝3.因此f(f(1))＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 312＝2＋3＝5.二、对数函数的图象及性质的应用例1. (补充)求以下函数的概念域．(1)y ＝log 0.5(4x －3).(2)y ＝log (x ＋1)(16－4x )．解析：(1)由函数概念知：⎩⎨⎧ log 0.5(4x －3)≥04x －3>0∴⎩⎨⎧4x －3≤14x －3>0，即34<x≤1. 故原函数的概念域是{x|34<x≤1}． (2)由函数成心义知⎩⎨⎧ x ＋1>0x ＋1≠116－4x >0∴⎩⎨⎧ x>－1x≠0x<2即－1<x<2，且x≠0. 故原函数的概念域为{x|－1<x<0，或0<x<2}．练习： 已知集合(){}22log x y x ax aR =--=求实数a 的取值范围．解析：设f(x)＝x 2－ax －a ，那么y ＝log 2f(x)，依题意，f(x)>0恒成立，∴Δ＝a 2＋4a<0∴－4<a<0，即a 的范围为(－4,0)例2.《名师一号》P27 对点自测5(2021·重庆卷)函数f(x)＝log 2x·log2 (2x)的最小值为________．解析 依照对数运算性质，f(x)＝log 2x·log 2 (2x)＝12log 2x·[2log 2(2x)]＝log 2x(1＋log 2x)＝(log 2x)2＋log 2x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫log 2x ＋122－14，当x ＝22时，函数取得最小值－14.注意：换元后“新元”的取值范围．练习：一、求以下函数的值域（1）y ＝log 15(－x 2＋2x ＋4)[答案] [－1，＋∞)（2）f(x)＝log 22x －3log 2x 2＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫12≤x≤2 [解析] 令t ＝log 2x ，∵12≤x≤2∴－1≤t≤1.∴函数化为y ＝t 2－6t ＋2＝(t －3)2－7∵－1≤t≤1.∴当t ＝－1，即x ＝12时，y max ＝9.当t ＝1，即x ＝2时，y min ＝－3，∴函数的值域为[－3,9].二、已知集合(){}22log y y x ax aR =--=求实数a 的取值范围．[分析]当且仅当f(x)＝x 2－ax －a 的值能够取遍一切正实数时，y ＝log 2(x 2－ax －a)的值域才为R. 而当Δ<0时，f(x)>0恒成立，仅仅说明函数概念域为R ，而f(x)不必然能取遍一切正实数(一个不漏)．要使f(x)能取遍一切正实数，作为二次函数，f(x)图像应与x 轴有交点(但现在概念域再也不为R)[正解] 要使函数y ＝log 2(x 2－ax －a)的值域为R ，应使f(x)＝x 2－ax －a 能取遍一切正数，要使f(x)＝x 2－ax －a 能取遍一切正实数，应有Δ＝a 2＋4a ≥0，∴a ≥0或a ≤－4，∴所求a 的取值范围为(－∞，－4]∪[0，＋∞)例3. （1）《名师一号》P27 对点自测4已知a ＞0且a≠1，那么函数y ＝log a (x ＋2 015)＋2的图象恒过定点________．解析 令x ＋2 015＝1，即x ＝－2 014时，y ＝2，故其图象恒过定点(－2 014,2)．练习:不管a 取何正数(a≠1)，函数()33log a y x =-+恒过定点【答案】()43,注意：对数函数()01log ,a y x a a =>≠且图象都通过定点(1, 0)例3. （2） (补充)如右以下图是对数函数①y ＝log a x ，②y ＝log b x ，③y ＝log c x ，④y ＝log d x 的图象，那么a 、b 、c 、d与1的大小关系是 ( )A ．a>b>1>c>dB ．b>a>1>d>cC ．1>a>b>c>dD ．a>b>1>d>c【答案】B在上图中画出直线y ＝1，别离与①、②、③、④交于A(a,1)、B(b,1)、C(c,1)、D(d,1)，由图可知c<d<1<a<b.注意：(补充)两个单调性相同的对数函数，它们的图象在位于直线x ＝1右边的部份是“底大图低”.利用1log a a =，图象都通过()1,a 点，作直线1y =，那么该直线与图象的交点的横坐标即为底数a 。
对数及对数函数-知识点及题型归纳
●高考明方向1.理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用．2.理解对数函数的概念，理解对数函数的单调性，掌握对数函数图象通过的特殊点．3.知道对数函数是一类重要的函数模型．4.了解指数函数y＝a x与对数函数y＝log a x互为反函数(a>0，且a≠1)．★备考知考情通过对近几年高考试题的统计分析可以看出，本节内容. 资料. .. .在高考中属于必考内容，且占有重要的分量，主要以选择题的形式命题，也有填空题和解答题．主要考查对数运算、换底公式等．及对数函数的图象和性质．对数函数与幂、指数函数结合考查，利用单调性比较大小、解不等式是高考的热点.一、知识梳理《名师一号》P27注意：知识点一对数及对数的运算性质1.对数的概念一般地，对于指数式a b＝N，我们把“以a为底N的对数b”记作log a N，即b＝log a N(a>0，且a≠1)．其中，数a叫做对数的底数，N叫做真数，读作“b等于以a为底N的对数”．. 资料. .. .. 资料. .. .注意：(补充)关注定义---指对互化的依据2．对数的性质与运算法则(1)对数的运算法则如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么①log a (MN)＝log a M ＋log a N ；②log a M N＝log a M －log a N ； ③log a M n ＝nlog a M(n ∈R)；④log a m M n＝n m log a M.(2)对数的性质①a logaN ＝N ；②log a a N ＝N (a>0，且a≠1)．. 资料. .. .(3)对数的重要公式①换底公式：log b N ＝log a N log a b(a ，b 均大于零且不等于1)； ②log a b ＝1log b a，推广log a b·log b c·log c d ＝log a d. 注意：(补充)特殊结论:log 10,log 1a a a ==知识点二 对数函数的图象与性质1.对数函数的图象与性质（注意定义域!）a>1 0<a<12.反函数指数函数y＝a x与对数函数y＝log a x互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称．(补充)设y＝f(x)存在反函数，并记作y＝f－1(x)，1) 函数y＝f(x)与其反函数y＝f－1(x)的图象. 资料. .. .. 资料. .. .关于直线y x 对称．2) 如果点P(x 0，y 0)在函数y ＝f(x)的图象上，则必有f －1(y 0)＝x 0 ，反函数的定义域、值域分别为原来函数的值域、定义域．3) 函数y ＝f(x)与其反函数y ＝f －1(x)的单调性相同．二、例题分析：（一）对数式的运算 例1.(1)《名师一号》P27 对点自测1(2013·陕西文3)设a ，b ，c 均为不等于1的正实数，则下列等式中恒成立的是( )A ．log a b·log c b ＝log c aB ．log a b·log c a ＝log c b. 资料. .. .C ．log a (bc)＝log a b·log a cD ．log a (b ＋c)＝log a b ＋log a c解析 由对数的运算性质：log a (bc)＝log a b ＋log a c ， 可判断选项C ，D 错误；选项A ，由对数的换底公式知，log a b·log c b ＝log c a ⇒lgb lga ·lgb lgc ＝lga lgc⇒lg 2b ＝lg 2a ，此式不恒成立，故错误；对选项B ，由对数的换底公式知，log a b·log c a ＝lgb lga ·lga lgc ＝lgb lgc＝log c b ，故恒成立． 答案 B. 资料. .. .例1.(2) (补充) 计算下列各式的值 (1) 2lg 2lg 3111lg 0.36lg823+=++ (2) 温故知新P22 第8题()22log 3lg5lg 2lg504+⋅+= (3) 235111log log log 2589⋅⋅=答案：(1) 1 (2)10 (3)-12注意： 准确熟练记忆对数运算性质多练. 资料. .. .lg 2lg51+=《名师一号》P28 高频考点 例1【规律方法】 在对数运算中，要熟练掌握对数式的定义，灵活使用对数的运算性质、换底公式和对数恒等式对式子进行恒等变形，多个对数式要尽量化成同底的形式．例2.(1)《名师一号》P27 对点自测2(2014·陕西卷)已知4a ＝2，lgx ＝a ，则x ＝________.解析 ∵4a ＝2，∴a ＝log 42＝12.由lgx ＝12， 得x ＝10 12 ＝10.. 资料. .. .例2.（2）《名师一号》P28 高频考点 例1(1)若x ＝log 43，则(2x －2－x )2等于( )A.94B.54C.103D.43解析:由x ＝log 43，得4x ＝3，即2x ＝3，2－x ＝33， 所以(2x －2－x )2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2332＝43. 注意：指数与对数的互化a b ＝N ⇔b ＝log a N (a>0，a ≠1，N>0)．. 资料. .. .练习:(补充)已知1135,2a bk a b ==+=求k答案: k =例3.《名师一号》P28 高频考点 例1(2)已知函数f(x)＝⎩⎨⎧log 2x ，x>0，3－x ＋1，x≤0，则f(f(1))＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 312的值 是( )A ．5B ．3C ．－1 D.72. 资料. .. .因为f(1)＝log 21＝0，所以f(f(1))＝f(0)＝2.因为log 312<0，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 312＝3－log 312 ＋1 ＝3log 32 ＋1＝2＋1＝3.所以f(f(1))＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 312＝2＋3＝5.二、对数函数的图象及性质的应用例1. (补充)求下列函数的定义域．(1)y ＝log 0.5(4x －3).(2)y ＝log (x ＋1)(16－4x )．. 资料. .. .解析：(1)由函数定义知：⎩⎨⎧ log 0.5(4x －3)≥04x －3>0 ∴⎩⎨⎧ 4x －3≤14x －3>0，即34<x≤1. 故原函数的定义域是{x|34<x≤1}． (2)由函数有意义知⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1>0x ＋1≠116－4x >0∴⎩⎪⎨⎪⎧ x>－1x≠0x<2即－1<x<2，且x≠0.. 资料. .. . 故原函数的定义域为{x|－1<x<0，或0<x<2}．练习：已知集合(){}22log x y x ax a R =--=求实数a 的取值范围．解析：设f(x)＝x 2－ax －a ，则y ＝log 2f(x)，依题意，f(x)>0恒成立，∴Δ＝a 2＋4a<0∴－4<a<0，即a 的范围为(－4,0)例2.《名师一号》P27 对点自测5(2014·重庆卷)函数f(x)＝log 2x ·log 2(2x)的最小值为________．. 资料. .. .解析 根据对数运算性质，f(x)＝log 2x ·log 2 (2x)＝12log 2x·[2log 2(2x)]＝log 2x(1＋log 2x)＝(log 2x)2＋log 2x ＝⎝⎛⎭⎪⎫log 2x ＋122－14，当x ＝22时，函数取得最小值－14.注意：换元后“新元”的取值范围．. 资料. .. .练习：1、求下列函数的值域（1）y ＝log 15(－x 2＋2x ＋4)[答案] [－1，＋∞)（2）f(x)＝log 22x －3log 2x 2＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫12≤x≤2 [解析] 令t ＝log 2x ，∵12≤x≤2∴－1≤t≤1. ∴函数化为y ＝t 2－6t ＋2＝(t －3)2－7∵－1≤t≤1.∴当t ＝－1，即x ＝12时，y max ＝9. 当t ＝1，即x ＝2时，y min ＝－3，. 资料. .. . ∴函数的值域为[－3,9].2、已知集合(){}22log y y x ax aR =--=求实数a 的取值范围．[分析]当且仅当f(x)＝x 2－ax －a 的值能够取遍一切正实数时，y ＝log 2(x 2－ax －a)的值域才为R.而当Δ<0时，f(x)>0恒成立，仅仅说明函数定义域为R ，而f(x)不一定能取遍一切正实数(一个不漏)．要使f(x)能取遍一切正实数，作为二次函数，f(x)图像应与x 轴有交点(但此时定义域不再为R)[正解] 要使函数y ＝log 2(x 2－ax －a)的值域为R ，应使f(x)＝x 2－ax －a 能取遍一切正数，要使f(x)＝x 2－ax －a能取遍一切正实数，应有Δ＝a2＋4a≥0，∴a≥0或a≤－4，∴所求a的取值范围为(－∞，－4]∪[0，＋∞)例3. （1）《名师一号》P27 对点自测4已知a＞0且a≠1，则函数y＝log a(x＋2 015)＋2的图象恒过定点________．解析令x＋2 015＝1，即x＝－2 014时，y＝2，故其图象恒过定点(－2 014,2)．. 资料. .. .. 资料. .. .练习:无论a 取何正数(a≠1)，函数()33log a y x =-+恒过定点【答案】()43,注意：对数函数()01log ,a y x a a =>≠且图象都经过定点(1, 0)例3. （2） (补充)如右下图是对数函数①y ＝log a x ，②y ＝log b x ，③y ＝log c x ，④y ＝log d x 的图象，则a 、b 、c 、d 与1的大小关系是 ( )A．a>b>1>c>dB．b>a>1>d>cC．1>a>b>c>dD．a>b>1>d>c【答案】B在上图中画出直线y＝1，分别与①、②、③、④交于A(a,1)、B(b,1)、C(c,1)、D(d,1)，由图可知c<d<1<a<b.注意：(补充)两个单调性相同的对数函数，. 资料. .. .. 资料. .. .它们的图象在位于直线x＝1右侧的部分是“底大图低”.利用1logaa=，图象都经过()1,a点，作直线1y=，则该直线与图象的交点的横坐标即为底数a。
最实用的对数函数复习资料(经典+精练)
对数与对数函数专题复习【知识点梳理】 一、对数的概念 1、对数的定义：如果(01)xa N a a =>≠且，那么数x 叫做以a 为底，N 的对数，记作N x a log =，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数． 2、几种常见对数：3、对数的性质与运算法则（1）对数的性质（0,1a a >≠且）：①log a 1=0， ②log a a =1， ③log a Na =N ， ④N a Na =log ．（2）对数的重要公式：①换底公式：bNN a a b log log log =（b a ,均为大于0且不等于1，0>N ）；②ab b a log 1log =，推广：d d c b a c b a log log log log =⋅⋅．（3）对数的运算法则：如果0,1a a >≠且，0,0M N >>那么 ①M a (log ·=)N M a log ＋N a log ； ②=NMalog M a log －N a log ； ③na M log n =M a log )(R n ∈；M mM a a m log 1log =④b mnb a n a m log log =． 二、对数函数1、对数函数的定义：一般地，我们把函数log a y x =（a ＞0且a ≠1）叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是（0，+∞）．2、对数函数y =log a x (a >0且a ≠1)的图象与性质：图象1a > 01a <<性质定义域：（0,+∞）． 值域：R ．过定点：（1，0），即当x =1时，y =0．当01x <<时，(,0)y ∈-∞； 当1x >时，(0,)y ∈+∞． 当1x >时，(,0)y ∈-∞；当01x <<时，(0,)y ∈+∞． 在（0,+∞）上为增函数．在（0,+∞）上为减函数．3（1）反函数：一般地，对于函数()x f y =，设它的定义域为D ，值域为A ．如果对A 中任意一个值y ，在D 中总是唯一确定的x 值与它对应，且满足()x f y =，这样得到的x 关于y 的函数叫做()x f y =的反函数，记作()x fy 1-=．（2）反函数的求法：①反解x ；②x 与y 对调；③求定义域． （3）反函数的性质：①原函数的定义域是反函数的值域，原函数的值域是反函数的定义域； ②若函数()y f x =的图象经过点(,)a b ，则其反函数的图象经过点(,)b a ； ③互为反函数的两个函数的图象关于直线y ＝x 对称；(对称性) ④一个函数与它的反函数在相应区间上单调性一致．（单调性） （4）同底的指数函数和对数函数互为反函数．【典型例题】 题型一、对数运算 例题1：计算下列各式的值：（1）245lg 8lg 344932lg21+-； （2）22)2(lg 20lg 5lg 8lg 325lg +⋅++．【解析】（1）方法一：原式=2122325)57lg(2lg 34)7lg 2(lg 21⨯+--=5lg 217lg 2lg 27lg 2lg 25++--=5lg 212lg 21+=21)5lg 2(lg 21=+． 方法二：原式=57lg 4lg 724lg+-=475724lg⨯⨯=21)52lg(=⨯． （2）原式=2lg5 + 2lg2 + lg5 (2lg2 + lg5) + (lg2)2=2lg10 + (lg5 + lg2)2 = 2 + (lg10)2 = 2 + 1 = 3．【点评】这类问题一般有两种处理方法：一种是将式中真数的积、商、方根运用对数的运算法则将它们化为对数的和、差、积、商，然后化简求值；另一种方法是将式中的对数的和、差、积、商运用对数的运算法则将它们化为真数的积、商、幂、方根，然后化简求值．（计算对数的值时常用到lg2 + lg5 = lg10 = 1）变式1：计算：(2lg 5lg8000lg 11lg 600lg 0.036lg 0.122⋅+--．【解析】分子=(()22lg5lg8000lg =lg5(3+3lg2)+3lg 23lg53lg 2(lg5lg 2)3⋅+=++=，分母= 116lg 600lg 0.036lg 0.1=2+lg 62+lg 6lg 422100---=-=； 所以，原式=34． 题型二、对数函数的性质例题2：求函数)416(log )1(xx y -=+的定义域．【解析】由⎪⎩⎪⎨⎧≠+>+>-11010416x x x ，得⎪⎩⎪⎨⎧≠-><012x x x ． ∴所求函数定义域为{x | –1＜x ＜0或0＜x ＜2}．【点评】求与对数函数有关的定义域问题，首先要考虑真数大于零，底数大于零且不等于1． 例题3：判断函数f （x ）=ln(21x +－x )的奇偶性．【解析】∵12+x ＞x 恒成立，故（x ）的定义域为（－∞，+∞），又∵f (－x )=ln(21x ++x )=－lnxx ++211=－ln2222)1(1x x x x -+-+=－ln(21x +－x )=－f (x )，∴f (x )为奇函数．【点评】在根据函数的单调性的定义判断函数单调性的时候，首先应该根据函数的解析式确定函数的定义域，当所给函数的定义域关于原点对称时，再判断f （x ）和f （－x ）之间的关系．f （x ）为奇函数⇔f （－x ）=－f （x ）⇔f （x ）+f （－x ）=0⇔)()(x f x f -=－1〔f （x ）≠0〕； f （x ）为偶函数⇔f （－x ）=f （x ）⇔f （－x ）－f （x ）=0⇔)()(x f x f -=1〔f （x ）≠0〕． 在解决具体问题时，可以根据函数解析式的具体特点选择不同的方式来判断． 例题4：比较下列各组数的大小：（1）log 0.7 1.3和log 0.71.8； （2）log 35和log 64； （3）(lg n )1.7和(lg n )2 (n ＞1) ． 【解析】（1）对数函数y = log 0.7x 在(0, +∞)内是减函数．因为1.3＜1.8，所以log 0.71.3＞log 0.71.8．（2）log 35和log 64的底数和真数都不相同，需找出中间量“搭桥”，再利用对数函数的单调性即可求解． 因为log 35＞log 33 = 1 = log 66＞log 64，所以log 35＞log 64．（3）把lg n 看作指数函数的底，本题归为比较两个指数函数的函数值的大小，故需对底数lg n 讨论． 若1＞lg n ＞0，即1＜n ＜10时，y = (lg n )x 在R 上是减函数，所以(lg n )1.7＞(lg n )2； 若lg n ＞1，即n ＞10时，y = (lg n )x 在R 上是增函数，所以(lg n )1.7＜(lg n )2． 若lg n = 1，即n = 10时，(lg n )1.7 = (lg n )2．【点评】两个值比较大小，如果是同一函数的函数值，则可以利用函数的单调性来比较．在比较时，一定要注意底数所在范围对单调性的影响，即a ＞1时是增函数，0＜a ＜1时是减函数，如果不是同一个函数的函数值，就可以对所涉及的值进行变换，尽量化为可比较的形式，必要时还可以“搭桥”——找一个与二者有关联的第三量，以二者与第三量（一般是–1、0、1）的关系，来判断二者的关系，另外，还可利用函数图象直观判断，比较大小方法灵活多样，是对数学能力的极好训练． 变式2：（2010重庆四月模拟）函数1lg(2)y x =+-的定义域是（ ）A 、()12，B 、[]14，C 、[)12，D 、(]12，【解析】由题意得：()1020lg 20x x x ⎧-≥⎪->⎨⎪-≠⎩，解得：12x <<，选A ．变式3：设a ＝log 0.70.8，b ＝log 1.10.9，c ＝1.10.9，则a 、b 、c 的大小顺序是（ ）A 、a <b <cB 、b <c <aC 、b <a <cD 、c <b <a【解析】因为0<a ＝log 0.70.8<log 0.70.7＝1，b ＝log 1.10.9<log 1.11＝0，c ＝1.10.9>1.10＝1，所以选C ． 变式4：求函数y = log 4 (7 + 6 x – x 2)的单调区间和值域．【分析】考虑函数的定义域，依据单调性的定义确定函数的单调区间，同时利用二次函数的基本理论求得函数的值域．【解析】由7 + 6 x – x 2＞0，得(x – 7) (x + 1)＜0，解得–1＜x ＜7．∴函数的定义域为{x |–1＜x ＜7}．设g (x ) = 7 + 6x – x 2 = – (x – 3)2 + 16. 可知，x ＜3时g (x )为增函数，x ＞3时，g (x )为减函数. 因此，若–1＜x 1＜x 2＜3. 则g (x 1)＜g (x 2)，即7 + 6x 1 – x 12＜7 + 6x 2 – x 22， 而y = log 4x 为增函数，∴log 4 (7 + 6 x 1 – x 12)＜log 4 (7 + 6x 2 – x 22)，即y 1＜y 2． 故函数y = log 4 (7 + 6x – x 2)的单调增区间为(–1, 3)， 同理可知函数y = log 4 (7 + 6x – x 2)的单调减区间为(3, 7)． 又g (x ) = – (x – 3)2 + 16在(–1, 7)上的值域为(0, 16]． 所以函数y = log 4(7 + 6x – x 2)的值域为 (–∞, 2]．【点评】函数的单调区间必须使函数有意义，因此求函数的单调区间时，必先求其定义域，然后在定义域内划分单调区间．求函数最值与求函数的值域方法是相同的，应用函数的单调性是常用方法之一． 例题5：根据对数函数图象判断底数,,,a b c d 的大小关系： 【解析】∵log 1a a =∴直线1y =与各函数图象交点的横坐标为底数值， 故c d a b >>>．【点评】利用log 1a a =，可以有效的解决对数函数底数大小的比较问题；由上述结果可知，对数函数底数越小，图象在第一象限越靠近y 轴． 题型三、反函数例题6 ：（2009广东）若函数()y f x =是函数1xy a a a =>≠（0，且）的反函数，且(2)1f =，则()f x =（ ） A 、x 2log B 、x21 C 、x 21log D 、22-x 【解析】函数1xy a a a =>≠（0，且）的反函数是()log a f x x =，又(2)1f =，即log 21a =，所以2a =，故2()log f x x =，选A ．【点评】利用同底的指数函数与对数函数互为反函数． 题型四、对数方程与不等式例题7：22log (1)2log (1)x x -=-+的解为 ．【解析】原方程变形为2)1(log )1(log )1(log 2222=-=++-x x x ，即412=-x ，得5±=x ，∵⎩⎨⎧>+>-0101x x ∴1>x ， ∴x =5．【点评】考察对数运算，注意验根，使对数式有意义．变式5：解关于x 的不等式：)1,0(,2log )12(log )34(log 2≠>>---+a a x x x a a a ． 【解析】原不等式可化为)12(2log )34(log 2->-+x x x a a ，当a >1时，有221234121)12(23403401222<<⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<<-<<->⇒⎪⎩⎪⎨⎧->-+>-+>-x x x x x x x x x x ；当0<a <1时，有42234121)12(23403401222<<⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-<<<->⇒⎪⎩⎪⎨⎧-<-+>-+>-x x x x x x x x x x x 或．∴当a >1时不等式的解集为221<<x ；当0<a <1时不等式的解集为42<<x ．【点评】利用对数函数单调性解不等式，注意定义域和底数的讨论． 题型五、对数函数图象和性质综合问题例题8：已知函数y =log a （1－a x ），（a ＞0，a ≠1）．（1）求函数的定义域与值域；（2）求函数的单调区间；（3）证明函数图象关于y =x 对称． 【解析】（1）1－a x ＞0，即a x ＜1，∴a ＞1时，定义域为（－∞，0）；0＜a ＜1时，定义域为（0，+∞）． 令t =1－a x ，则0＜t ＜1，而y =log a （1－a x ）=log a t ．∴a ＞1时，值域为（－∞，0）；0＜a ＜1时，值域为（0，+∞）．（2）∵a ＞1时，t =1－a x 在（－∞，0）上单调递减，y =log a t 关于t 单调递增， ∴y =log a （1－a x ）在（－∞，0）上单调递减．∵0＜a ＜1时，t =1－a x 在（0，+∞）上单调递增，而y =log a t 关于t 单调递减，∴y =log a （1－a x ）在（0，+∞）上单调递减． （3）∵y =log a （1－a x ）， ∴a y =1－a x ．∴a x =1－a y ，x =log a （1－a y ）．∴反函数为y =log a （1－a x ），即原函数的反函数就是自身． ∴函数图象关于y =x 对称．【点评】有关于对数函数的定义域要注意真数大于0；函数的值域取决于1－a x 的范围，可应用换元法，令t =1－a x 以减小思维难度；运用复合函数单调性的判定法求单调区间；函数图象关于y =x 对称等价于原函数的反函数就是自身，本题要注意对字母参数a 的范围讨论．【方法与技巧总结】1、对数运算法则的综合运用，应掌握变形技巧：（1）各部分变形要化到最简形式，同时注意分子、分母的联系；（2）要避免错用对数运算性质．2、求对数函数的定义域、值域、单调区间、及奇偶性的判定都依赖于定义法、数形结合及函数本身的性质，应熟练掌握对数函数的相关性质．3、对数式方程和不等式常用解法：（1）形如()()log log (0,1)a a f x g x a a =>≠，转化为()()()()0f x g x f x g x >⎧⎪>⎨⎪=⎩；（2）对于()()log log (0,1)a a f x g x a a >>≠，则当1a >时，得()()()()00f x g x f x g x >⎧⎪>⎨⎪>⎩， 当10<<a 时，得()()()()00f x g x f x g x >⎧⎪>⎨⎪<⎩；（3）形如(log )0a F x =或(log )0((log )0)a a F x F x ><的方程或不等式，一般用换元法求解； （4）形如()()log f x g x c =的方程化为()()=cf xg x 求解，对于()()log f x g x c >的形式可以考虑利用对数函数的单调性来解决．※ 题库题目仅供选择使用【巩固练习】1．（2012肇庆高三上学期期末）函数1()ln(1)21xf x x =+--的定义域是（ ）A 、(0,)+∞B 、(1,)+∞C 、(0,1)D 、(0,1)(1,)+∞2．已知y x m y x 22log log ,10+=<<<，则有 （ ）A 、0<mB 、10<<mC 、21<<mD 、2>m3．（2010北京海淀区第二学期期中）在同一坐标系中画出函数log ,,x a y x y a y x a ===+的图像，可能正确的是（ ）4．（2010辽宁）设25abm ==，且112a b+=，则m =（ ） A 10 B 、10 C 、20 D 、100 5．函数2ln(45)y x x =-++的单调递减区间为 ． 6．（1）已知lg2 = 0.3010，lg3 = 0.4771，求lg 45； （2）设log a x = m ，log a y = n ，用m 、n 表示][log 344yxa a ⋅；（3）已知lg x = 2lg a + 3lg b – 5lg c ，求x ．7．求函数y = log 2|x |的定义域，并画出它的图象．8．比较下列各组数中两个值的大小：（1）log 23.4，log 23.8； （2）log 0.51.8，log 0.52.1； （3）log a 5.1，log a 5.9； （4）log 75，log 67．9．设A 、B 是函数y = log 2x 图象上两点，其横坐标分别为a 和a +4，直线l ：x =a +2与函数y = log 2x 图象交于点C ，与直线AB 交于点D ．（1）求点D 的坐标；（2）当△ABC 的面积大于1时，求实数a 的取值范围．10．已知函数]1)1()1lg[()(22+++-=x a x a x f ．（1）若)(x f 的定义域为R ，求实数a 的取值范围； （2）若)(x f 的值域为R ，求实数a 的取值范围．【课后作业】1．已知函数⎩⎨⎧>≤=)0(log )0(3)(2x x x x f x ，那么)]41([f f 的值为 （ ）A 、9B 、91 C 、9- D 、91- 2．已知0<x<y<a<1，则有（ ）A 、log a (xy )<0B 、0< log a (xy )<1C 、1< log a (xy )<2D 、log a (xy )>23．若定义在（－1，0）内的函数0)1(log )(2>+=x x f a ，则a 的取值范围是 （ ）A 、)21,0(B 、]21,0(C 、),21(+∞ D 、),0(+∞4．若函数xa y )(log 21=在R 上为增函数，则a 的取值范围是 （ ）A 、)21,0(B 、)1,21(C 、),21(+∞ D 、),1(+∞ 5．已知0.1 1.32log 0.3,2,0.2ab c ===，则,,a b c 的大小关系是（ ）A 、a b c <<B 、c a b <<C 、a c b <<D 、b c a <<6．若13(1)ln 2ln ln x e a x b x c x -∈===，，，，，则（ ） A 、a<b<c B 、c<a<b C 、b<a<c D 、b<c<a 7．（2010北京西城一模）若0m n <<，则下列结论正确的是（ ）A 、22mn> B 、1122m n⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ C 、22log log m n > D 、1122log log m n >8．若指数函数y ＝a x 的反函数的图象经过点(2，－1)，则a 等于（ ）A 、12 B 、2 C 、3 D 、109．（2011重庆）设11333124log ,log ,log ,,,233a b c a b c ===则的大小关系是（ ） A 、a b c << B 、c b a <<C 、b a c <<D 、b c a <<10．若2log 13a<，则a 的取值范围是（ ） A 、2,13⎛⎫ ⎪⎝⎭ B 、2,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ C 、()20,1,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D 、220,,33⎛⎫⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11．（2012江门市一模）已知函数||lg )(x x f =，R x ∈且0≠x ，则)(x f 是（ ）A 、奇函数且在) , 0(∞+上单调递增B 、偶函数且在) , 0(∞+上单调递增C 、奇函数且在) , 0(∞+上单调递减D 、偶函数且在) , 0(∞+上单调递减12．（2010青岛市二模）已知函数()log xa f x a x =+(0a >且1)a ≠在[1,2]上的最大值与最小值之和为log 26a +，则a 的值为（ ）A 、12 B 、14C 、2D 、4 13．（2010北京丰台一模）设集合[)1{|(),0,}2xM y y x ==∈+∞，(]2{|log ,0,1}N y y x x ==∈，则集合M N 是（ ）A 、[)(,0)1,-∞+∞ B 、[)0,+∞ C 、(],1-∞ D 、(,0)(0,1)-∞14．若f (10x )= x , 则f (5) = ．15．（2010上海市奉贤区4月质量调研）函数2)1(log +-=x y a )1,0(≠>a a 的图像恒过一定点是． 16．（2010上海市普陀区二模）函数y =的定义域是 ．17．已知log 189 = a ，18b = 5，求log 3645．18．求证：函数f (x ) =xx-1log 2在(0, 1)上是增函数．19、已知5100=m ，210=n， （1）求n m +2的值；（2）x 1，x 2，…，x 2010均为正实数，若函数f (x )＝log a x (a ＞0且a ≠1)且f (x 1x 2…x 2010)＝n m +2，求f (21x )＋f (22x )＋…＋f (22010x )的值．20、已知函数()log (1)log (1)a a f x x x =+--，其中)10(≠>a a 且．（1）求函数()f x 的定义域；（2）判断()f x 的奇偶性，并说明理由；（3）若3()25f =，求使()0f x >成立的x 的集合．【拓展训练】1．函数y =log a x 在[)+∞∈,2x 上总有|y |>1，则a 的取值范围是（ ）A 、210<<a 或21<<a B 、121<<a 或21<<a C 、21<<a D 、210<<a 或2>a2．（2010山东）函数()()2log 31x f x =+的值域为（ ）A 、()0,+∞B 、)0,+∞⎡⎣C 、()1,+∞D 、)1,+∞⎡⎣ 3．已知0>a 且1≠a ，下列四组函数中表示相等函数的是（ ）A 、1)(log log -==a y x y x a 与 B 、x y ay xa ==与logC 、xa ay x y 2log 2==与 D 、x y x y a a log 2log 2==与4．（2011高州三中高三上期末）已知⎩⎨⎧≥<+-=)1(,log )1(,4)12()(x x x a x a x f a是),(+∞-∞上的减函数，那么a 的取值范围是（ ）A 、)1,0(B 、1(0,)2 C 、11[,)62 D 、1[,1)65．函数1log 2log 221221+-⎪⎪⎭⎫⎝⎛=x x y 的单调递增区间是（ ）A 、⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,22B 、⎥⎦⎤ ⎝⎛∞-22, C 、⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,41 D 、⎥⎦⎤ ⎝⎛∞-41,6．已知定义在R 上的偶函数在[)+∞,0上是增函数，且031=⎪⎭⎫⎝⎛f ，则满足0log 81>⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛x f 的x 的取值范围是（ ）A 、()+∞,0B 、()+∞⋃⎪⎭⎫ ⎝⎛,221,0 C 、⎪⎭⎫⎝⎛⋃⎪⎭⎫ ⎝⎛2,2181,0 D 、⎪⎭⎫ ⎝⎛21,0 7．（2012重庆）设函数2()43,()32,xf x x xg x =-+=-集合{|(())0},M x R f g x =∈>{|()2},N x R g x =∈<则MN 为（ ）A 、(1,)+∞B 、(0,1)C 、(-1,1)D 、(,1)-∞8．（2012江苏）函数x x f 6log 21)(-=的定义域为 ．9．（2008山东）已知2(3)4log 3233xf x =+，则8(2)(4)(8)(2)f f f f ++++的值等于 ．10．已知f （log a x ）=)1()1(22--a x x a ，其中a ＞0，且a ≠1．（1）求)(x f ；（2）求证：)(x f 是奇函数； （3）求证：)(x f 在R 上为增函数．11．已知函数()lg(),10xxf x a b a b =->>>．（1）求()f x 的定义域；（2）在函数()f x 的图象上是否存在不同的两点,使过这两点的直线平行于x 轴； （3）当,a b 满足什么条件时,()f x 在()1,+∞上恒取正值．12．现有两个函数)3(log )(1a x x f a -=与ax x f a-=1log )(2，其中1,0≠>a a ． （1）求函数)()(1x f x F =)(2x f -的表达式与定义域；（2）给出如下定义：“对于在区间[]n m ,上有意义的两个函数)(x f 与)(x g ，如果对任意[]n m x ,∈，有1)()(≤-x g x f ，则称)(x f 与)(x g 在区间[]n m ,上是接近的，否则称)(x f 与)(x g 在区间[]n m ,上是非接近的.” 若10<<a ，试讨论)(1x f 与)(2x f 在给定区间[]3,2++a a 上是否是接近的．【参考答案】1、巩固练习答案1、选B ．由10110210xx x x x ->>⎧⎧⇒⇒>⎨⎨>->⎩⎩． 2、A ．3、选D ．依题意，a >0且a ≠1，对于A ，D 图，由对数及指数函数图像知，a >1，此时直线y =x +a 在y 轴上的截距大于1，因此A 错，D 对，选择D ．4、选A ．211log 2log 5log 102,10,m m m m a b+=+==∴=又0,m m >∴= 5、[2,5)．注意定义域．6、【解析】（1）1190lg 45lg222==1[lg 9lg10lg 2]2=+-1[2lg31lg 2]2=+-=-+=2lg 21213lg 0.4771+0.5 – 0.1505= 0.8266．（2）log a 1113412log log log a a a a x y =+-.1213141log 121log 3141m n y x a a -+=-+=（3）由已知得：532532lg lg lg lg lg cb ac b a x =-+=，∴532cb a x =.7、【解析】函数的定义域为{x |x ≠0，x ∈R }．函数解析式可化为y =⎪⎩⎪⎨⎧<->)0()(log )0(log 22x x x x，其图象如图所示（其特征是关于y 轴对称）．8、【解析】（1）对数函数y =log 2x 在（0，+∞）上是增函数，且3.4＜3.8，于是log 23.4＜log 23.8．（2）对数函数y =log 0.5x 在（0，+∞）上是减函数，且1.8＜2.1，于是log 0.51.8＞log 0.52.1． （3）当a ＞1时，对数函数y =log a x 在（0，+∞）上是增函数，于是log a 5.1＜log a 5.9；当0＜a ＜1时，对数函数y =log a x 在（0，+∞）上是减函数，于是log a 5.1＞log a 5.9． （4）因为函数y =log 7x 和函数y =log 6x 都是定义域上的增函数，所以log 75＜log 77=1=log 66＜log 67，所以log 75＜log 67．9、【解析】（1）易知D 为线段AB 的中点，因A(a , log 2a )，B(a +4, log 2(a +4))，所以由中点公式得D(a +2, log 2)4(+a a ) ．（2）S △ABC =S 梯形AA′CC′+S 梯形CC′B′B - S 梯形AA′B′B =…= log 2)4()2(2++a a a ，其中A′,B′,C′为A,B,C 在x 轴上的射影，由S △ABC = log 2)4()2(2++a a a >1，得0< a <22－2．10、【解析】（1）1-≤a 或35>a ；（2）351≤≤a ． 依题意01)1()1(22>+++-x a x a 对一切R x ∈恒成立当012≠-a 时，必须有⎪⎩⎪⎨⎧<--+=∆>-0)1(4)1(01222a a a ，即1-<a 或35>a 当012=-a 时，1±=a ，当1-=a 时，0)(=x f 满足题意，当1=a 时不合题意 故1-≤a 或35>a ； 依题意，只要1)1()1(22+++-=x a x a t 能取到),0(+∞的任何值，则)(x f 的值域为R ，故有⎪⎩⎪⎨⎧≥--+=∆>-0)1(4)1(01222a a a ，即351≤<a ； 当012=-a 时，1±=a ，当1=a 时，12+=x t 符合题意，当1-=a 时，不合题意x故351≤≤a ．2、课后作业答案 1、选B ．∵ 913)2()]41([241log )41(22==-=∴-==-f f f f2、选D ．∵0<x<y<a<1 ∴1log log ,1log log =>=>a y a x a a a a ，∴2log log )(log a >+=y x xy a a ．3、选A ．当∈x （－1，0）时，)1,0(1∈+x ，而函数0)1(log )(2>+=x x f a ，故120<<a ，即210<<a ． 4、选A ．∵xa y )(log 21=在R 上为增函数， ∴210,1log 21<<∴>a a ． 5、选C ．由于01log 3.0log 22=<=a ，12201.0=>=b ，)1,0(2.03.1∈=c ．6、选C ．由11<<-x e得0ln 1<<-x ，从而a x x b =<=ln ln 2，a x x c =>=ln ln 3．7、选D ．由指数函数与对数函数的单调性知D 正确．8、选A ．运用原函数与反函数图象关于y ＝x 对称，则函数y ＝a x 过点(－1,2)，故选A ． 9、选B ． 10、选C ． 11、选B ．12、选C ．函数()log xa f x a x =+(0a >且1)a ≠在[1,2]上具有单调性，因此a +a 2+log a 2=log 26a +，解得a =2，选择C ．13、选C ．(]0,1M =，(],0N =-∞，因此(],1MN =-∞．14、lg5．由题意10x = 5，故x = lg5，即 f(5)= lg5．15、（2，2）．当x =2时，函数2)1(log +-=x y a )1,0(≠>a a 值为2，所以其图像恒过定点（2,2）． 16、2(,1]3．13log (32)0x -≥，0321x <-≤，解得x ∈2(,1]3.17、【解析】方法一：∵log 189 = a ，18b = 5，∴log 185 = b ，于是)218(log )59(log 36log 45log 45log 1818181836⨯⨯===2log 15log 9log 181818++=aba b a -+=++2918log 118. 方法二：∵log 189 = a ，18b = 5，∴lg9 = a lg18，lg5 = b lg8， ∴9lg 18lg 25lg 9lg 918lg)59lg(36lg 45lg 45log 236-+=⨯===a b a a b a -+=-+218lg 18lg 218lg 18lg .18、【解析】设0＜x 1＜x 2＜1，则f (x 2) – f (x 1) = 212221log log 11x x x x ---21221(1)log (1)x x x x -=-=.11log 21122x x x x --⋅∵0＜x 1＜x 2＜1，∴12x x ＞1，2111x x --＞1. 则2112211log x x x x --⋅＞0，∴f (x 2)＞f (x 1). 故函数f (x )在(0, 1)上是增函数. 19、【解析】（1）方法一：5101002==mm ， 1010101022==⋅∴+n m n m ， 12=+∴n m ．方法二：5lg 2,5100=∴=m m， 2lg ,210=∴=n n ， 110lg 2lg 5lg 2==+=+∴n m ．（2）由（1）可知f (x 1x 2…x 2010)＝f (x 1)＋f (x 2)＋…＋f (2010)＝1， ∴f (21x )＋f (22x )＋…＋f (22010x )＝2[f (x 1)＋f (x 2)＋…＋f (x 2010)] ＝2×1＝2．（3）由382()log log log 42555aa a f =-==，得2=a . ∴22()log (1)log (1)f x x x =+--，由()0f x >得0)1(log )1(log 22>--+x x ，∴22log (1)log (1)x x +>-得011>->+x x ，解得10<<x . ∴使()0f x >成立的x 的集合是}10|{<<x x ．3、拓展训练答案1、选B ．∵函数y =log a x 在[)+∞∈,2x 上总有|y |>1．① 当0<a <1 时 ，函数y =log a x 在[)+∞∈,2x 上总有y < -1，即2112log >∴-<a a ． ② 当1>a 时，函数y =log a x 在[)+∞∈,2x 上总有y >1，即212log <∴>a a ． 由①②可得21121<<<<a a 或． 2、选A ．20、【解析】3、选C ．定义域均为R ，x a xa 2log 2=．4、选C ．5、选A ．6、选B ．7、选D ．由(())0f g x >得2()4()30g x g x -+>则()1g x <或()3g x >即321x -<或323x ->，所以1x <或3log 5x >;由()2g x <得322x -<即34x <所以3log 4x <故(,1)MN =-∞ ．8、(0 6⎤⎦，．由12660006112log 0log 6=620<x >x >x >x x x x ≤-≥≤≤⎧⎧⎧⎪⎪⇒⇒⇒⎨⎨⎨⎩⎪⎪⎩⎩． 9、2008．22(3)4log 32334log 3233,x x f x =+=+2()4log 233,f x x ⇒=+8(2)(4)(8)(2)f f f f ∴++++==1864+144=200810、【解析】利用换元法，可令t =log a x ，求出f （x ），从而求出f （x ）.证明奇函数及增函数可运用定义．（1）解：设t =log a x ，则t ∈R ，∴x =a t（x ＞0），则f （t ）=)1()1(22--a a a a t t =12-a a （a t －a －t ）．（2）证明：∵f （－x ）=12-a a （a －x －a x ）=－12-a a （a x －a －x ）=－f （x ），∴f （x ）为奇函数．（3）证明：设x 1、x 2∈R ，且x 1＜x 2， 则f （x 2）－f （x 1）=12-a a[（a 2x －a－2x ）－（a 1x －a－1x ）］=12-a a [（a 2x －a 1x ）+a －1x a －2x （a 2x －a 1x ）］ =12-a a （a 2x －a 1x ）（1+a －1x a －2x ）． 若0＜a ＜1，则a 2－1＜0，a 1x ＞a 2x ，∴f （x 2）＞f （x 1）.∴y =f （x ）在R 上为增函数； 若a ＞1，则a 2－1＞0，a 1x ＜a 2x ，∴f （x 2）＞f （x 1）.∴y =f （x ）在R 上为增函数． 综上，a ＞0，且a ≠1时，y =f （x ）是增函数．11、【解析】（1）由0x xa b ->得 01x a a b b ⎛⎫⎛⎫>= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由于1a b ⎛⎫> ⎪⎝⎭所以0x >，即()f x 的定义域为()0,+∞．（2）任取12,(0,)x x ∈+∞,且12x x < 112212()lg(),()lg()xxxxf x a b f x a b =-=-11221221()()()()x x x x x x x xa b a b a a b b ---=-+-10,x a b y a >>>∴=在R 上为增函数,x y b =在R 上为减函数,12210,0x x x x a a b b ∴-<-< 1122()()0x x x x a b a b ∴---<即1122()()x x x x a b a b -<-又lg y x =在(0,)+∞上为增函数, 12()()f x f x ∴< ()f x ∴在(0,)+∞上为增函数.所以任取12x x ≠则必有12y y ≠，故函数()f x 的图象L 不存在不同的两点使过两点的直线平行于x 轴． （3）因为()f x 是增函数，所以当()1,x ∈+∞时，()()1f x f >，这样只需()()1lg 0f a b =-≥， 即当1a b -≥时，()f x 在()1,+∞上恒取正值． 12、【解析】（1）)()(1x f x F =)(2x f -)3(log a x a -=ax a--1log ))(3(log a x a x a --=. 由⎪⎩⎪⎨⎧>->-0103ax a x 得⎩⎨⎧>>a x a x 3，又1,0≠>a a ，∴)(x F 的定义域为{}a x x 3|>.（2）)(1x f 与)(2x f 在给定区间[]3,2++a a 上是接近的⇒1)()(21≤-x f x f ， 即1))(3(log ≤--a x a x a ，1))(3(log 1≤--≤-∴a x a x a ，a a x a x aa a alog ))(3(log 1log ≤--≤∴， 10<<a ，aa x a x a 1))(3(≤--≤∴， 因此aa a x a 1)2(22≤--≤对于任意[]3,2++∈a a x 恒成立． 令22)2()(a a x x h --=，[]3,2++∈a a x ，开口向上且对称轴a x 2=在区间[]3,2++a a 的左边.⎪⎩⎪⎨⎧≥≤∴max min )(1)(x h a x h a ⎪⎩⎪⎨⎧+≥+≤⇒)3(1)2(a h a a h a ⎪⎩⎪⎨⎧-≥-≤⇒a a a a 69144⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≤⇒0196542a a a ， 又10<<a ，125790-≤<∴a ， 故当125790-≤<a 时，)(1x f 与)(2x f 在给定区间[]3,2++a a 上是接近的； 当112579<<-a 时，)(1x f 与)(2x f 在给定区间[]3,2++a a 上是非接近的．21/21。
高一对数函数知识点总复习
对数与对数函数 一、 知识要点 1、 对数的概念 （1）、对数的概念：
一般地，如果 1,0aaa的b次幂等于N, 就是 Nab，那么数 b叫做 以a为底 N
的对数，记作 bNalog，a叫做对数的底数，N叫做真数
（2）、对数的运算性质： 如果 a > 0，a 1，M > 0， N > 0 有：
)()()(3R)M(nnlogMlog2NlogMlogNMlog1NlogMlog(MN)loganaaaaaaa
（3）、重要的公式 ①、负数与零没有对数； ②、01loga，1logaa ③、对数恒等式
NaNalog （4）、对数的换底公式：
aNNmmalogloglog ( a > 0 ,a 1 ，m > 0 ,m 1,N>0)
2、 对数函数 （1）、对数函数的定义
函数xyalog)10(aa且叫做对数函数；
它是指数函数xay )10(aa且的反函数 对数函数xyalog )10(aa且的定义域为),0(，值域为),( （2）、对数函数的图像与性质 log(01)ayxaa且的图象和性质 题型一：对数的运算 【例题1】、将下列指数式写成对数式：
（1）45=625 （2）62=641 （3）a3=27 (4) m）（31=5.73
【练习1】、将下列对数式写成指数式： （1）416log21； （2）2log128=7； （3）lg0.01=-2； （4）ln10=2.303
【例题2】、（1）5log25， （2）4.0log1， （3）2log（74×52）， （4）lg5100
【练习2】、求下列各式的值： （１）2log６－2log３ （３）5log３＋5log31 （４）3log５－3log１５ 【例题3】、已知 2log3 = a， 3log7 = b, 用 a, b 表示42log 56
2023年高三数学《对数函数》知识梳理与题型战法
2023年高三数学《对数函数》知识梳理与题型战法第二章 函数2.5.1对数函数（题型战法）知识梳理一 对数的概念1.（1）；（2） （3）2.. .二 对数的运算法则（1）积 （2）商 （3）幂 （4）换底公式：， 推论:. 三对数函数的图像与性质 （1）定义域是()0+∞，，因此函数图象一定在y 轴的右边. （2）值域是实数集R .（3）函数图象一定过点()1,0.（4）当a >1时，log a y x =是增函数；当0<a <1时，log a y x =是减函数. （5）对数函数的图象（6）对数函数log a y x =和1log ay x =的图象关于x 轴对称. log 10a =log 1a a =log log a b N a a Na N Nb ⎫=⇒=⎬=⎭N N lg log 10简记作log ln e N N 简记作()log log log a a a MN M N =+log log log a a a M M N N=−log log a a M M αα=)1,0(log log log ≠>=c c aM M c c a )1,0,1,0(log 1log ≠>≠>=b b a a ab b a题型战法题型战法一 对数与对数的运算典例1．计算： (1)7lg142lg lg 7lg183−+−；(2)求x 的值：5log (lg )1x =.【答案】(1)0；(2)510.【解析】【分析】（1）根据对数的运算法则计算即可；（2）根据对数的概念将对数式改为指数式即可求解.(1)原式()()()2lg 272lg7lg3lg7lg 32=⨯−−+−⨯ lg2lg72lg72lg3lg72lg3lg2=+−++−−=0；(2)55log (lg )1lg 510x x x =⇒=⇒=.变式1-1．计算求值 (1)()3620189−⎛⎫−−− ⎪⎝⎭；(2)221lg lg2log 24log log 32+++；(3)已知623a b ==，求11a b−的值．【答案】(1)44 (2)92(3)1【解析】【分析】（1）由指数的运算法则计算（2）由对数的运算法则计算（3）将指数式转化为对数式后计算(1)()33622023218323172271449−⨯⎛⎫−−−=⨯−−=−−= ⎪⎝⎭；(2)221lg lg 2log 24log log 32+++()32232lg 2lg 2log 38log 3log 3=−++⨯+−2239log 33log 322=++−=； (3)6log 3a =，2log 3b =， 则31log 6a =，31log 2b =； 所以33311log 6log 2log 31a b−=−==．变式1-2．计算：13341log 2log 278⎛⎫−⨯+ ⎪⎝⎭． 【答案】12−.【解析】【分析】根据指数与对数的运算性质即可求解.【详解】 原式213321132231log 2log lg 2lg532⎡⎤⎛⎫=−⨯+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎢⎥⎣⎭⎦()3213log 2lo 132g lg 2lg522+⨯=−⨯⨯+ ()3213log 2l 13og 102lg 22+⨯=−⨯⨯ 132122=−+ =12−． 变式1-3．计算： (1)ln 2ln 3ln 36+； (2)22lg 2lg 52lg 2lg5++；(3)23log 9log 4⋅；(4)414log 28log 56+； (5)154311lg log 9log 125log 10032+−−；(6)81log 32+(8)235111log log log 2589⋅⋅． 【答案】(1)12(2)1(3)4 (4)12− (5)92−(6)1−(7)ln3e(8)12−【解析】【分析】根据指数幂的运算性质及换底公式逐一计算即可.(1)解：ln 2ln 3ln 61ln 362ln 62+==； (2)解：()222lg 2lg 52lg 2lg5lg 2lg51++=+=；(3)解：()2323log 9log 42log 32log 24⋅=⋅=；(4)解：2141444224111log 28log 56log 28log 56log log 2log 2222−+=−===−=−； (5)解：154311lg log 9log 125log 10032+−− 2223515231lg10log log 5log 23−−−⎛⎫=+−− ⎪⎝⎭52232=−−−+ 92=−；(6)解：81log 32+32532log 2lg10−=+52133=−+=−； (7)1ln3ln3e =+=；(8)解：235111log log log 2589⋅⋅ 232235log 5log 2log 3−−−=⋅⋅23512log 5log 2log 312=−⋅⋅=−. 变式1-4．计算：(1)230223482e lg 2lg5log 4log 927−−−⎛⎫−+++⨯ ⎪⎝⎭；(2)若3log 21x =，求22x x −+的值．【答案】(1)14(2)103 【解析】【分析】（1）根据分数指数幂、对数的运算法则及换底公式计算可得；（2）根据换底公式的性质得到2log 3x =，再根据指数对数恒等式得到2x ，即可得解；(1)解：230223482e lg 2lg5log 4log 927−−−⎛⎫−+++⨯ ⎪⎝⎭222322322lg 22lg5log 2log 2783⎛⎫=−−−+⨯ ⎪⎝⎭ ()2333239122lg2lg52log 2log 3222442⎡⎤⎛⎫⎢⎥ ⎪=−−+⎢+⋅=−−⎝⎥+⎣=⎭⎦ (2)解：3log 21x =，∴231log 3log 2x ==， ∴2o 3l g 223x ==，11022333x x −∴+=+=．题型战法二 对数函数的概念典例2．已知函数①4x y =；②log 2x y =；③3log y x =−；④0.2log y =⑤3log 1y x =+；⑥()2log 1y x =+.其中是对数函数的是（ ）A ．①②③B ．③④⑤C ．③④D ．②④⑥【答案】C【解析】【分析】依据对数函数的定义即可判断.【详解】根据对数函数的定义，只有符合log a y x =（0a >且1a ≠）形式的函数才是对数函数，其中x 是自变量，a 是常数.易知，①是指数函数；②中的自变量在对数的底数的位置，不是对数函数；③中313log log y x x =−=，是对数函数；④中0.20.04log log y x =，是对数函数；⑤⑥中函数显然不是对数函数，由此可知只有③④是对数函数. 故选：C .变式2-1．给出下列函数： ①223log y x =；②3log (1)y x =−；③(1)log x y x +=；④log e y x =. 其中是对数函数的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】A【解析】【分析】根据对数函数的特征判断即可得答案.【详解】①②不是对数函数，因为对数的真数不是仅有自变量x ；③不是对数函数，因为对数的底数不是常数；④是对数函数．故选:A.变式2-2．下列函数是对数函数的是（ ）A ．y ＝ln xB ．y ＝ln(x ＋1)C ．y ＝log xeD ．y ＝log xx【答案】A【解析】【分析】根据对数函数的定义判断．【详解】 A 是对数函数，B 中真数是1x +，不是x ，不是对数函数，C 中底数不是常数，不是对数函数，D 中底数不是常数，不是对数函数．故选：A ．变式2-3．函数()()25log a f x a a x =+− 为对数函数，则18f ⎛⎫ ⎪⎝⎭等于（ ） A ．3B ． 3−C ．3log 6−D ．3log 8−【答案】B【解析】【分析】 可以先根据对数函数的性质来确定a 的取值范围，再带入18得出结果．【详解】因为函数()f x 为对数函数，所以函数()f x 系数为1，即251a −=，即2a =或3−，因为对数函数底数大于0，所以2a =，()2log f x x =， 所以138f ⎛⎫=− ⎪⎝⎭． 【点睛】对数函数的系数等于一、真数大于0、底数大于0且不等于1．变式2-4．对数函数的图像过点M (125，3)，则此对数函数的解析式为（ ） A ．y ＝log 5xB ．y ＝15log xC ．y ＝13log xD ．y ＝log 3x【答案】A【解析】【分析】设对数函数y ＝log ax (a >0，且a ≠1)，将点代入即可求解.【详解】设函数解析式为y ＝log ax (a >0，且a ≠1)．由于对数函数的图像过点M (125，3)，所以3＝log a 125，得a ＝5.所以对数函数的解析式为y ＝log 5x .故选：A.题型战法三 对数函数的图像典例3．在同一坐标系中，函数2x y =与2log y x =的大致图象是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】【分析】根据题意，结合对数函数与指数函数的性质，即可得出结果.【详解】由指数函数与对数函数的单调性知： 2x y =在R 上单调递增，2log y x =在()0+∞，上单调递增，只有B 满足.故选：B.变式3-1．函数()x f x a −=与()log a g x x =−在同一坐标系中的图像可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】分别讨论1a >和01a <<时函数()x f x a −=与()log a g x x =−在的单调性和所过定点，利用排除法即可求解.【详解】由对数和指数函数的性质可得0a >且1a ≠，当1a >时，()x f x a −=过点()0,1在R 上单调递减，()log a g x x =−过点()1,0在()0,∞+单调递减，所以排除选项C ，当01a <<时，()x f x a −=过点()0,1在R 上单调递增，()log a g x x =−过点()1,0在()0,∞+单调递增，所以排除选项AD ，故选：B.变式3-2．如图是三个对数函数的图象，则a 、b 、c 的大小关系是（ ）A ．a ＞b ＞cB ．c ＞b ＞aC ．c ＞a ＞bD ．a ＞c ＞b【答案】D【解析】【分析】 根据对数函数的图象与单调性确定大小．【详解】y ＝log ax 的图象在（0，＋∞）上是上升的，所以底数a ＞1，函数y ＝log bx ，y ＝log cx 的图象在（0，＋∞）上都是下降的，因此b ，c ∈（0，1），又易知c ＞b ，故a ＞c ＞b .故选：D ．变式3-3．已知函数()log 31a y x =++(0a >且1)a ≠，则函数恒过定点（ ） A ．()1,0B ．()2,0−C ．()0,1D ．()2,1−【答案】D【解析】【分析】利用对数函数过定点求解.【详解】令31+=x ，解得2x =−，1y =，所以函数恒过定点()2,1−，故选：D变式3-4．函数()log 231a y x =−+的图象恒过定点P ，则点P 的坐标是（ ） A ．()2,1 B ．()2,0 C ．()2,1− D ．()1,1【答案】A 【解析】 【分析】令真数为1，求出x 的值，再代入函数解析式可得定点P 的坐标. 【详解】令231x −=，可得2x =，此时log 111a y =+=，故点P 的坐标为()2,1. 故选：A.题型战法四 对数函数的定义域典例4．函数()()ln 2f x x =−的定义域为（ ） A ．[)0,2 B ．(),2−∞ C ．[)0,∞+ D ．()0,2【答案】A 【解析】 【分析】由对数函数的性质和二次根式的性质求解． 【详解】由题意020x x ≥⎧⎨−>⎩，解得02x ≤<．故选：A ．变式4-1．使式子(31)log (3)x x −−有意义的x 的取值范围是（ ） A ．3x > B ．3x < C ．133x <<D ．133x <<且23x ≠【答案】D 【解析】 【分析】对数函数中，底数大于0且不等于1，真数大于0，列出不等式，求出x 的取值范围. 【详解】由题意得：31031130x x x −>⎧⎪−≠⎨⎪−>⎩，解得：133x <<且23x ≠.故选：D变式4-2．函数y = ）A ．[2,)+∞B ．(,2]−∞C ．[1,2]D ．(1,2]【答案】D 【解析】 【分析】根据根式、对数函数的性质有011x <−≤，即可得定义域. 【详解】由题设，12log (1)0x −≥，即011x <−≤，可得12x <≤. 所以函数定义域为(1,2]. 故选：D变式4-3．函数()()ln e 2xf x =−+）A ．()1,2B ．()ln 2,2C ．()()ln 2,11,2⋃D ．[)(]ln 2,11,2⋃【答案】C 【解析】 【分析】根据使函数有意义得到不等式组，解得即可； 【详解】解：因为()()ln e2xf x =−， 所以e 201020x x x ⎧−>⎪−≠⎨⎪−>⎩，解得ln 22x <<且1x ≠，所以函数的定义域为()()ln 2,11,2⋃； 故选：C变式4-4．已知函数()21log xf x x−=，()1f x +的定义域为M ，()2f x 的定义域为N ，则（ ） A ．M N = B ．M N ⋂=∅C ．M ⊆ND ．N ⊆M【答案】B【解析】 【分析】分别求出()1f x +的定义域为M 和()2f x 的定义域为N 即可求解. 【详解】()21log 1xf x x −+=+，则{}10M x x =−<<， ()2122log 2xf x x −=，则102N x x ⎧⎫=<<⎨⎬⎩⎭，所以M N ⋂=∅，故选：B ．题型战法五 对数函数的值域典例5．函数ln(2)1y x =−+的值域为（ ） A ．R B ．(1,)+∞ C ．[1,)+∞ D ．(2,)+∞【答案】A 【解析】 【分析】由ln y x =的值域为R 可得ln(2)1y x =−+的值域为R . 【详解】由对数函数ln y x =的值域为R 2个单位得函数1ln(2)y x =−的值域为R ， 则ln(2)1y x =−+的值域为R ， 故选：A.变式5-1．函数()2log 21xy =+的值域是（ ）A ．[1,)+∞B ．(0,1)C ．(,0)−∞D ．(0,)+∞【答案】D 【解析】 【分析】利用指数函数的性质可求原函数的值域. 【详解】设21x t =+，则211x t =+>，故()2log 210x+>， 故()2log 21xy =+的值域为(0,)+∞，故选：D.变式5-2．函数()()1lg 4211x x f x +=−+的最小值是（ ）．A ．10B ．1C ．11D ．lg11【答案】B 【解析】 【分析】利用换元法，令14211x x t +=−+，则lg y t =，先求出t 的范围，从而可求出函数的最小值 【详解】设14211x x t +=−+，则lg y t =，因为()()221421122211211010x x x x x t +=−+=−⋅+=−+≥，所以lg lg101y t =≥=，所以()()1lg 4211x x f x +=−+的最小值为1，故选：B变式5-3．若函数()()2ln ,0,2,03x a x f x x x x ⎧−−≤<=⎨−+≤≤⎩的值域为[)3,∞−+，则a 的取值范围是（ ）A ．)3e ,0⎡−⎣B ．31e ,e ⎡⎫−−⎪⎢⎣⎭C ．31e ,e ⎡⎤−−⎢⎥⎣⎦D ．31e ,e⎛⎫−− ⎪⎝⎭【答案】C 【解析】 【分析】求出当03x ≤≤和0a x ≤<时的取值范围，结合值域关系建立不等式进行求解即可 【详解】当03x ≤≤ 时，22()2(1)1[3,1]f x x x x =−+=−−+∈− 当0a x ≤< 时，()ln()[ln(),)f x x a =−−∈−−+∞ 要使()f x 的值域为[)3,∞−+则3ln()1a −≤−−≤ ，31e ea ∴−≤≤−故选：C变式5-4．已知函数()23log y x m =+的值域为[2,)+∞，则实数m 的值为（ ）A ．2B ．3C ．9D ．27【答案】C 【解析】根据对数型复合函数的性质计算可得； 【详解】解：因为函数()23log y x m =+的值域为[2,)+∞，所以2y x m =+的最小值为9，所以9m =；故选：C题型战法六 对数函数的单调性典例6．函数213log (2)y x x =−的单调减区间为（ ） A ．(0,1] B ．(0,2) C ．(1,2) D ．[0,2]【答案】A 【解析】 【分析】先求得函数的定义域，利用二次函数的性质求得函数的单调区间，结合复合函数单调性的判定方法，即可求解. 【详解】由不等式220x x −>，即22(2)0x x x x −=−<，解得02x <<， 即函数()f x 的定义域为()0,2，令()22g x x x =−，可得其图象开口向下，对称轴的方程为1x =，当(0,1]x ∈时，函数()g x 单调递增，又由函数13log y x=在定义域上为单调递减函数， 结合复合函数的单调性的判定方法，可得函数213log (2)y x x =−的单调减区间为(0,1].故选：A.变式6-1．函数()()212log 6f x x x =−++的单调递增区间是（ ） A ．1,32⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．12,2⎛⎫− ⎪⎝⎭C ．1,2⎛⎫−∞ ⎪⎝⎭D ．1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【答案】A 【解析】 【分析】先求出函数的定义域，进而根据“同增异减”求得答案.由题意，()2260602,3x x x x x −++>⇒−−<⇒∈−，()212125log 24f x x ⎡⎤⎛⎫=−−+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，按照“同增异减”的原则可知，函数的单调递增区间是1,32⎛⎫ ⎪⎝⎭.故选：A.变式6-2．已知函数()()22log 45f x x x =−−在(),a +∞上单调递增，则a 的取值范围是（ ） A ．(],1−∞− B ．(],2−∞ C ．[)2,+∞ D ．[)5,+∞【答案】D 【解析】 【分析】复合函数单调性问题，第一步确定定义域，第二步同增异减，即可得到答案. 【详解】由2450x x −−>，得1x <−或5x >，即函数()f x 的定义域为(,1)(5+)−∞−∞，， 令245t x x =−−，则()229t x =−−，所以函数t 在(),1−∞−上单调递减，在(5+)∞，上单调递增，又函数lg y t =在()0,+∞上单调递增， 从而函数()f x +)∞，，由题意知(+)(5+)a ∞⊆∞，，，∴5a ≥ . 故选：D.变式6-3．已知函数()log (3)a f x ax =−在[]0,1上是减函数，则a 的取值范围是（ ） A ．()0,1 B ．()1,3 C ．()0,3 D ．()1,+∞【答案】B 【解析】 【分析】根据复合函数的单调性同增异减求得a 的取值范围. 【详解】由于0a >且1a ≠，所以3y ax =−为减函数， 根据复合函数的单调性同增异减可知1a >.所以310131a a a −⨯>⎧⇒<<⎨>⎩.故选：B变式6-4．已知()()()2213,2log 23,2a x a x a x f x x x ⎧−−+≤⎪=⎨−−>⎪⎩是(),−∞+∞上的减函数，那么a 的取值范围是（ ） A ．5,62⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．5,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．[]1,6D ．51,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】A 【解析】 【分析】根据()f x 的单调性列不等式组，由此求得a 的取值范围. 【详解】因为()()()2213,2log 23,2a x a x a x f x x x ⎧−−+≤⎪=⎨−−>⎪⎩是(),−∞+∞上的减函数，所以()21221422130a a a a −⎧≥⎪⎪>⎨⎪−−+≥⎪⎩，解得562a ≤≤．故选：A题型战法七 比较大小与解不等式典例7．若13π212log 3,log 3a b c ===，，则（ ） A ．c b a << B ．c a b << C ．b a c << D ．a b c <<【答案】A 【解析】 【分析】根据对数函数和指数函数的单调性进行判断可. 【详解】因为103πππ221221,0log 1log 3log π=1,log log 103>==<<<=， 所以c b a <<，故选：A变式7-1．设2log 0.3a =，122log 5b =，0.30.4c =，则（ ）A ．a b c >>B ．b c a >>C ．a c b >>D ．b a c >>【答案】B 【解析】 【分析】根据指数函数和对数函数的单调性进行求解判断即可. 【详解】因为22log 0.3log 10a =<=，122225log log log 2152b ==>=，0.3000.40.41c <=<=， 所以有b c a >>， 故选：B变式7-2．若0.80.60.80.6log log 0.2a b c ===，8，，则（ ）A ．a b c >>B ．a c b >>C ．b a c >>D ．c a b >>【答案】D 【解析】 【分析】根据对数函数与指数函数的性质判断． 【详解】由对数函数和指数函数性质得：0.6log 80<，0.80.8log 0.2log 0.81>=，0.800.61<<，所以b a c <<． 故选：D ．变式7-3．不等式()2log 311x +<成立的一个充分不必要条件是（ ） A ．1133x −<< B ．0x < C ．113x −<< D ．103x <<【答案】D 【解析】 【分析】先利用对数函数单调性解不等式，再判断出充分不必要条件. 【详解】由()211log 31133x x +<⇔−<<，由于1110333x x <<⇒−<<，而1133x −<<⇒103x <<，故不等式()2log 311x +<成立的一个充分不必要条件是103x <<，A 选项是充要条件，B 选项是既不充分也不必要条件，C 选项是必要不充分条件. 故选：D.变式7-4．设函数()133,12log ,1x x f x x x −⎧≤=⎨−>⎩，则满足()3f x ≤的x 的取值范围是（ ）A ．[)0,+∞B ．[)1,+∞C ．(),0−∞D ．[)0,1【答案】A 【解析】 【分析】分1x ≤和1x >两种情况解不等式即可 【详解】当1x ≤时，由()3f x ≤，得133x −≤，得11x −≤，解得01x ≤≤， 当1x >时，由()3f x ≤，得32log 3x −≤，得13x ≥，所以1x >， 综上，0x ≥， 故选：A题型战法八 对数函数的应用典例8．人们常用里氏震级e M 表示地震的强度，S E 表示地震释放出的能量，其关系式可以简单地表示为2lg 4.83e s M E =−，2021年1月4日四川省乐山市犍为县发生里氏4.2级地震，2021年9月16日四川省泸州市泸县发生里氏6.0级地震，则后者释放的能量大约为前者的（ ）倍．(参考数据：0.30.710~2.00,10 5.01=) A ．180 B ．270 C ．500 D ．720【答案】C 【解析】 【分析】设前者、后者的里氏震级分别为e e M M '''、，前者、后者释放出的能量分别为E '、E ''，根据已知关系式列式相减，利用对数运算法则可得． 【详解】设前者、后者的里氏震级分别为e e M M '''、，前者、后者释放出的能量分别为E '、E ''，则其满足关系2lg 4.83e s M E ''=−和2 4.83e s M lgE ''''=−，两式作差可以得到22lg lg ,33e e s s M M E E ''''''−=−，即 2.710s sE E '''=，所以 2.730.3101010500s s E E '''==÷≈，故选：C ．变式8-1．中国的5G 技术领先世界，5G 技术极大地提高了数据传输速率，最大数据传输速率C 取决于信道带宽W ，经科学研究表明：C 与W 满足2log (1)SC W N=+，其中S 是信道内信号的平均功率，N 是信道内部的高斯噪声功率，SN为信噪比.当信噪比比较大时，上式中真数中的1可以忽略不计.若不改变带宽W ，而将信噪比S N从1000提升至4000，则C 大约增加了（ ）(附：lg 20.3010≈) A ．10% B ．20%C ．30%D ．40%【答案】B 【解析】 【分析】 先计算1000S N=和4000SN =时的最大数据传输速率1C 和2C ，再计算增大的百分比211C C C −即可. 【详解】 当1000SN=时，122log 1001log 1000C W W =≈； 当4000SN=时，222log 4001log 4000C W W =≈. 所以增大的百分比为：2122112log 4000lg 4000lg 4lg10001111log 1000lg1000lg1000C C C W CC W −+=−=−=−=−lg 42lg 220.30100.220%lg100033⨯==≈≈=. 故选：B.变式8-2．中国的5G 技术世界领先，其数学原理之一便是著名的香农公式：2log 1S C W N ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速率C （单位：bit/s ）取决于信道宽度W （单位：HZ ）､信道内信号的平均功率S （单位：dB ）、信道内部的高斯噪声功率N （单位：dB ）的大小，其中SN叫做信噪比，按照香农公式，若信道宽度W 变为原来2倍，而将信噪比SN从1000提升至4000，则C 大约增加了（ ）（附：lg 20.3≈） A ．110% B ．120% C ．130% D ．140%【答案】D 【解析】 【分析】利用对数减法与换底公式可求得结果. 【详解】 当1000SN=时，2log 1001C W =； 当40000SN=时，信道宽度W 变为原来2倍，22log 4001C W =. 因为222210002222log 4001log 10012log 400142log 10004114log 21lg 21 1.4log 1001log 1001log 10003W W W −+=−≈−=+=+≈.故选：D.变式8-3．声音的等级()f x （单位：dB ）与声音强度x （单位：2W /m ）满足12()10lg110x f x −=⨯⨯. 喷气式飞机起飞时，声音的等级约为140dB ；一般说话时，声音的等级约为60dB ，那么喷气式飞机起飞时声音强度约为一般说话时声音强度的（ ） A ．105倍 B ．108倍 C ．1010倍 D ．1012倍【答案】B 【解析】首先设喷气式飞机起飞时声音强度和一般说话时声音强度分别为12,x x ，根据题意得出()1140f x =，()260f x =，计算求12x x 的值. 【详解】设喷气式飞机起飞时声音强度和一般说话时声音强度分别为12,x x ，()111210lg 140110x f x −=⨯=⨯，2110x =， ()221210lg60110x f x −=⨯=⨯，6210x −=，所以81210x x =， 因此，喷气式飞机起飞时声音强度约为一般说话时声音强度的810倍. 故选：B变式8-4．某工厂2015年生产某产品2万件，计划从2016年开始每年比上一年增产20%，从哪一年开始这家工厂生产这种产品的年产量超过6万件（已知lg20.3010=，1g30.4771=）（ ）A ．2019年B ．2020年C ．2021年D ．2022年【答案】D 【解析】 【分析】根据2016年开始每年比上一年增产20%，由()21206n+%>求解即可. 【详解】2015年为初始值，再过1年，即2016年，产品的年产量为()2120%+， 再过n 年（n N ∈），这家工厂生产这种产品的年产量为()2120%n+， 由()21206n+%>得，1.23n >， 两边取对数得，lg1.2lg3n >， 即lg3lg3lg30.47716.2lg1.2lg1212lg 2lg310.60300.47711n >===≈−+−+−， 而n N ∈，故7n =，即2022年开始这家工厂生产这种产品的年产量超过6万件. 故选：D. 【点睛】 关键点点睛：本题的解题关键在于读懂函数模型，熟练掌握对数的运算，才能根据实际情况突破难点.题型战法九 反函数典例9．已知函数()2log f x x =，其反函数为（ ）A ．()12xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭B ．()21log f x x=C ．()f xD ．()2xf x =【答案】D 【解析】 【分析】利用反函数定义求解. 【详解】()2log f x x =的反函数为2log x y =，即2x y =，故其反函数为()2x f x =.故选：D变式9-1．函数21()1(2)2f x x x =+<−的反函数是（ ）A ．3)y x =≤<B ．3)y x >C ．3)y x =≤<D ．3)y x =>【答案】D 【解析】 【分析】设211(2)2y x x =+<−，反解后可得反函数.【详解】设211(2)2y x x =+<−，则3y >，且3)x y =>，故原函数的反函数为3)y x ==>， 故选：D.变式9-2．设函数()x f x a b =+（0a >，且1a ≠）的图象过点()0,1，其反函数的图象过点()2,1，则a b +等于（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5【答案】A 【解析】 【分析】反函数过点(),m n ，则原函数过点(),n m 【详解】()f x 反函数的图象过点(2,1),则()f x 的图象过点(1,2)所以0112a b a b ⎧+=⎨+=⎩,解得20a b =⎧⎨=⎩,所以2a b += 故选 ：A变式9-3．已知函数()3log f x x =与()g x 的图像关于y x =对称，则()1g −=（ ） A ．3 B ．13C ．1D ．1−【答案】B 【解析】 【分析】根据同底的指数函数和对数函数互为反函数可解. 【详解】由题知()g x 是()3log f x x =的反函数，所以()3x g x =，所以()11133g −−==.故选：B.变式9-4．与函数14xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭的图象关于直线y x =对称的函数是（ ）A ．4x y =B ．4x y −=C ．14log y x =D ．4log y x =【答案】C 【解析】 【分析】利用函数x y a =与log a y x =（0a >且1a ≠）互为反函数可得出结果. 【详解】因为函数x y a =与log a y x =（0a >且1a ≠）互为反函数，且这两个函数的图象关于直线y x =对称，因此，与函数14xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭的图象关于直线y x =对称的函数是14log y x=. 故选：C.。