相似三角形证明的方法与技巧
相似三角形的判定和应用
一、判定相似三角形的基本思路:
1.找准对应关系：两个三角形的三个对应顶点、三个对应角、三条对应边不能随便写，一般
说来，相等的角所对的边是对应边，对应边所对的角是对应角。
2.记住五个判定定理：判定相似三角形依据是五个定理，即预备定理、判定定理一、判定定
理二、判定定理三、直角三角形相似的判定定理。
二、相似形的应用：
1.证比例式；
2.证等积式；
3.证直线平行；
4.证直线垂直；
5.证面积相等；
三、经典例题：
例1.如图，在ΔABC中，D是BC的中点，E是AC延长线上任意一点，连接DE与AB交
于F，与过A平行于BC的直线交于G。
求证：CEAEBFAF.
变式1：如图，在ΔABC中，A与B互余，CDAB，DE//BC，交AC于点E，求证：
AD:AC=CE:BD.
例2：如图：已知梯形ABCD中，AD//BC，90ABC，且BDCD于D。
求证：①DCBABD~ ；②BCADBD•2
例3.如图，在ΔABC中，90BAC，M是BC的中点，DMBC交BA的延长线于D，
交AC于E。
求证：MEMDMA•2
例4.已知：在ΔABC中，AD是BAC的平分线，点E在AD上，点F在AD的延长线上，
且ACABDFED
求证：BE//FC。
例5.如图，在正方形ABCD中，E，F分别为AB、
AC上一点，切BE=BF，BPCE，垂足为P。
求证：PDPF.
例6.在ΔABC的中线AD,BE相交于G。
求证：ΔAGB的面积等于四边形CEGD。
四．课堂练习：
1.如图，在ABC△中，ACBC，D是AC边上一点，连接BD．
（1）要使CBDCAB△∽△，还需要补充一个条件是 （只要求填一个）
（2）若CBDCAB△∽△，且2AD，3BC，求CD的长．
2. 如图，在平行四边形ABCD中，R在BC的延长线上，AR交CD于Q，若DQ∶CQ＝4∶3，求
AQ∶QR的值。
3.如图，梯形ABCD中，ABCD∥，且2ABCD，E，F分别是AB，BC的中点，
EF
与BD相交于点M．
（1）求证：EDMFBM△∽△；
（2）若9DB，求BM．
4.如图，△ABC中AB=BD，AD为中线，点E是BD的中点。
A
B
C
D
D
M
F
C
E
B
A
Q
R
P
D
C
B
A
求证：（1） △ABE∽CBE； （2）求证：AC=2AE
5. 如图，点D，E分别在ABC△的边BC，BA上，四边形CDEF是等腰梯形，
EFCD∥．EF与AC交于点G
，且BDEA∠∠．
（1）试问：ABFGCFCA成立吗？说明理由；
（2）若BDFC，求证：ABC△是等腰三角形．
6、已知：如图，AD是△ABC的角平分线，AD的垂直平分线EF交CB的延长
线于点F,求证：FCFBFD•2
7、已知：如图，四边形ABCD中，∠A=∠BCD=900,过C作对角线BD的垂线
交BD、AD于点E、F。
求证：
2
DCDFDA•
8、如图，四边形ABCD是平行四边形，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F.
(1)ΔABE与ΔADF相似吗？说明理由.
(2)ΔAEF与ΔABC相似吗？说说你的理由.
9、已知：∠A=60°，BD、CE是△ABC的高。
（1）△ADE与△ABC相似吗？说明理由。
（2）图中共有几对相似三角形？
思考：去掉∠A=60°条件以上结论还成立吗？
10.M为线段AB的中点，AE与BD交于C，∠DME=∠A=∠B=，且DM交AC于F，
ME交BC于G。（1）写出图中相似三角形；
（2）连接FG，若=45°，AB=42，AF=3，求FG的长。
E
D
CB
A
G
F
E
M
D
C
B
A
证明三角形相似的判定方法
证明三角形相似的判定方法
证明三角形相似的判定方法如下：
1.平行于三角形一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形
与原三角形相似。
2.三边成比例的两个三角形相似。
3.两边成
比例且夹角相等的两个三角形相似。
4.两角分别相等的两个三
角形相似。
5.斜边和一条直角边成比例的两个直角三角形相似。
相似三角形判定定理
判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个
角对应相等，那么这两个三角形相似。
（简叙为：两角对应相等，两个三角形相似。
）（AA）
判定定理2：如果两个三角形的两组对应边成比例，并且对应
的夹角相等，那么这两个三角形相似。
（简叙为：两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似。
）（SAS）
判定定理3：如果两个三角形的三组对应边成比例，那么这两
个三角形相似。
（简叙为：三边对应成比例，两个三角形相似。
）（SSS）
判定定理4：两三角形三边对应平行，则两三角形相似。
（简
叙为：三边对应平行，两个三角形相似。
）
判定定理5：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一
个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直
角三角形相似。
（简叙为：斜边与直角边对应成比例，两个直角三角形相似。
）（HL）
判定定理6：如果两个三角形全等，那么这两个三角形相似（相似比为1：1）（简叙为：全等三角形相似）。
相似的判定定理与全等三角形基本相等，因为全等三角形是特殊的相似三角形。
九下 相似三角形4种判定方法 知识点+模型+例题+练习 (非常好 分类全面)
①定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例，如图：l 1∥l 2∥l 3。
则，，，…AB BC DE EF AB AC DE DF BC AC EFDF===②推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例。
③定理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。
○4推论：如果一条直线平行于三角形的一条边，截其它两边(或其延长线)，那么所截得的三角形与原三角形相似．推论○4的基本图形有三种情况，如图其符号语言：∵DE ∥BC ，∴△ABC ∽△ADE ；知识点二、相似三角形的判定判定定理1：两角对应相等，两三角形相似．符号语言：拓展延伸： （1）有一组锐角对应相等的两个直角三角形相似。
（2）顶角或底角对应相等的两个等腰三角形相似。
例题1．如图，直线DE 分别与△ABC 的边AB 、AC 的反向延长线相交于D 、E ，由ED ∥BC 可以推出AD AEBD CE=吗？请说明理由。
（用两种方法说明）例题2．（射影定理）已知：如图，在△ABC 中，∠BAC=90°，AD ⊥BC 于D.求证：（1）2AB BD BC =⋅；（2）2AD BD CD =⋅；（3）CB CD AC ⋅=2例题3．如图，AD 是Rt ΔABC 斜边BC 上的高，DE ⊥DF ，且DE 和DF 分别交AB 、AC 于E 、F.则BDBEAD AF =例题精讲AEDBCABCD吗？说说你的理由.例题4．如图，在平行四边形ABCD 中，已知过点B 作BE ⊥CD 于E,连接AE ，F 为AE 上一点，且∠BFE=∠C（1） 求证：△ABF ∽△EAD ；（2）若AB=4，∠BAE=30°，求AE 的长；3分之8倍根号3 （3）在（1）（2）条件下，若AD=3，求BF 的长。
2分之3倍根号3 随练： 一、选择题1．如图，△ABC 经平移得到△DEF ，AC 、DE 交于点G ，则图中共有相似三角形（ ）D A ． 3对 B ． 4对 C ． 5对 D ． 6对2．如图，已知DE ∥BC ，EF ∥AB ，则下列比例式中错误的是（ ）CADCBEF G F E DCBA。
相似三角形判定与性质定理
(1)相似三角形的对应角相等.
(2)相似三角形的对应边成比例.
(3)相似三角形的对应高线的比,对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比.
(4)相似三角形的周长比等于相似比.
(5)相似三角形的面积比等于相似比的平方.
判定方法
证两个相似三角形应该把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。
如果是文字语言的“△ABC与△DEF相似”，那么就说明这两个三角形的对应顶点没有写在对应的位置上，而如果是符号语言的“△ABC∽△DEF”，那么就说明这两个三角形的对应顶点写在了对应的位置上。
方法一（预备定理）
平行于三角形一边的直线截其它两边所在的直线，截得的三角形与原三角形相似。
（这是相似三角形判定的定理，是以下判定方法证明的基础。
这个引理的证明方法需要平行线分线段成比例的证明）
方法二
如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等, 那么这两个三角形相似。
(AA')
方法三
如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等, 那么这两个三角形相似（SAS）
方法四
如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似(SSS)
方法五（定义）
对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。
三角形相似(含方法步骤)
.相似三角形及相似条件1.【基础知识】1-1三角对应相等，三边对应成比例的三角形，叫相似三角形 1-2判定定理：定理1.两个角对应相等的两个三角形相似 定理2.三边对应成比例的两个三角形相似定理3.两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似1-3相似性质：相似三角形对应高的比，对应角的角平分线的比对应边的比周长比都等于相似比，面积比等于相似比的平方2. 【知识应用】题目要直接证明相似，边成比例或求边的比值，周长，面积的比值 方法：2-1.从问题中找出要证明的两个三角形，若没有则需作辅助线构造三角形2-2.若条件中出现角相等或平行线，垂线的，优先考虑用定理1 2-3.若条件中出现边长或边的比，则考虑定理2和定理32-4再根据所选定的定理，看还差什么条件，到已知中去找或者到图形中去找隐含条件，如对顶角，公共角，直角，公共边等从而证明出相似注意：1.写对应边比例式时，要遵循“横纵一致原则”即，横向看所有处在分子位置的边必须是属于同一个三角形，处在分母位置的边亦然，纵向看分子分母必须是一组对应边 2.在证明边成比例时，如果按步骤2-1仍然无法找到符合的三角形，则一般情况考虑用两组相似三角形，找出一个比例中间量，利用中间量证明边成比例 3.【综合应用】题目问边长3-1.看已知边和要求边同时出现在哪些三角形中，从而确定出相似的两个三角形 3-2.根据【知识应用】的方法，证明相似3-3利用对应边的比例关系，列出等式，解出所求注意：列比例关系时，一定要是对应边，再者等式两边比的先后顺序也要一致 【基础训练】1. 对应角___________，对应边_____________的三角形，叫做相似三角形.2. 如果~'''A B C A B C ∆∆，对应边6,''3,AB cm A B cm ==那么A B C ∆与'''A B C ∆的相似比为________；'''A B C ∆与A B C ∆的相似比为__________________3. A B C ∆的各边长之比为2：5：6，与其相似的另一个'''A B C ∆的最大边为18,cm 那么它的最小边为___________.4. 两个相似三角形的面积比为4：3，则相似比为_____________.5. ~''',ABC A B C ∆∆A B C ∆的三边长分别为3、4、5，'''A B C ∆的最大边长为15，则'''A B C S ∆=________.6. 下列说法正确的个数是（ ） ① 相似三角形的对应角相等，对应边相等. ② 三角形全等是相似的特殊情况；③ 全等三角形是相似比等于1的相似三角形..0A .1B .2C .3D7. A B C ∆的三边长为3：4：5，与它相似的'''A B C ∆的最短边长为6，则'''A B C ∆的周长是（ ）.12A .18B .24C .36D8.两个相似多边形的相似比是2：3，它们的面积之差是302,cm 那么它们的面积之和为（ ）2.74A cm 2.76B c m 2.78C c m 2.80D c m9.下列说法错误的是（ ）.A 两个全等的三角形一定相似 .B 两个直角三角形一定相似.C 两个相似三角形的对应角相等，对应边成比例 .D 相似的两个三角形不一定全等10. ~''',ABC A B C ∆∆如果0055,100,A B ∠=∠=则'C ∠的度数等于（ ）.A 055 .B 0100 .C 025 .D 030【典型例题】例1.①已知~,ABC ACD ∆∆且5,4,AD BD ==则A C D ∆与A B C ∆的相似比是________. ②在R t A B C ∆中，D 是A C 的中点，D E 垂直于斜边,AB 点E 为垂足，则~,ABC ADE ∆∆若10,4,AB AE ==则AD =___________.1题图 2题图 3题图 4题图③如图所示，G 为A B C ∆的重心，作//D G A C 交B C 于,D 作//E G A B 交B C 于,E 则G D E ∆的面积与A C B ∆的面积比为___________.④ 如图所示，在A B C ∆中，//,DE BC 且分A B C ∆为面积相等的两个部分，则:D E B C =_. ⑤如果111~,ABC A B C ∆∆且相似比为2,3111222~A B C A B C ∆∆且相似比为5,4则A B C ∆与222A B C ∆的相似比是（ ） 5.6A 6.5B 5.6C 或658.15D例2.如图所示，已知~,4,2,ACP ABC AC AP ∆∆==求A B 的长.例3、①一个三角形的三边长分别为5，12和13，与其相似的三角形的最大边长为39，那么较大三角形的周长是多少？两个三角形的周长比是多少？②已知一个三角形框架，其边长分别为4，5，6，现在要做一个与其相似的三角形框架，已知现有一根长为2的木条，则其他两根木条应取多长？例4.已知，边长为2的正三角形,//,:1:4,BC D ABC ABC D E BC S S ∆∆=求C E 的长.例5.如图，在A B C ∆中，,AB AC =B D 为腰A C 上的高.求证：212C D C A B C ⋅=例 6.①如图，梯形A B C D 中，0//,90,A B D C B E ∠=为B C 上一点，且,A E E D ⊥若12,BC =7,:1:2,DC BE EC ==求A B 的长.②已知如图，在梯形A B C D 中，0//,90,7,2,3,AD BC A AB AD BC ∠====在线段A B 上是否存在点P ，使得以,,P A D 为顶点的三角形与以,,P B C 为顶点的三角形相似？若不存在，说明理由；若存在，求出这样的P 点有几个，并计算出A P 的长度.例7.如图所示，在A B C ∆中，090,6C AC ∠==厘米，8B C =厘米，斜边10A B =厘米，点P 从点B 出发，沿B C 向点C 以2厘米秒的速度移动，点Q 从点C 出发，沿C A 向点A以1厘米秒的速度移动，如果,P Q 分别从,B C 同时出发.（1）经过多少秒时，~;CPQ CBA ∆∆（2）经过多少秒时，以,,C P Q 为顶点的三角形与A B C ∆相似.例8.如图，一个边长为3厘米、4厘米、5厘米的直角三角形的一个顶点与正方形顶点B 重合，另两个顶点分别在正方形的两条边,AD DC 上，那么这个正方形的面积是___平方厘米.【课堂练习】1、如果~,ABC FDE ∆∆则A ∠=_________,C ∠=_______，A B B C=___________.2、如图，~,10,13,8,ABC DCA AB BC AC ∆∆===则AD =_____,D C =______.3、如图A D 是A B C ∆的角平分线，,,12,20,BE AD CF AD CF BE ⊥⊥==64,AB AC +=则A B =_______.2题 3题4、直角三角形斜边上的高分斜边为3:2两段，斜边上的高为6,cm 则斜边上的中线长为____.5、已知~''',ABC A B C ∆∆且:''1:1,AB A B =则A B C ∆和'''A B C ∆的关系是________.6、已知~,ABC DEF ∆∆且3,2A B D E=则这两个三角形对应中线之比为________，面积之比为__________.7、在A B C ∆中，12,8,AB cm AC cm ==点,D E 分别在,AB AC 上，如果AD E ∆与A B C ∆能够相似，且4A D cm =时，则A E =______________cm .8、E 是平行四边形A B C D 的B C 边上一点，A E 交B D 于,F 且:4:5,BE EC =求B F F D和A F F E的值.9、在锐角A B C ∆中，F 是A C 上一点，且1,2A F G F C=是B F 中点，连结A G 并延长，交B C与.E （1）求B E E C的值。
相似三角形证明方法
相似三角形证明方法
相似三角形证明方法有以下几种：
1. AA相似性：如果两个三角形的两个角分别相等，则这两个三角形相似。
2. SSS相似性：如果两个三角形的对应的三边之比相等，则这两个三角形相似。
3. SAS相似性：如果两个三角形的两个角分别相等，且两个角夹着的边的比相等，则这两个三角形相似。
4. 相似比定理：如果两个三角形的两个角分别相等，则它们的对应边长之比相等。
5. 弦切线相似定理：如果一个三角形的两个角的正弦值相等，则这个三角形与另一个与这两个角相对的弦的切线所形成的三角形相似。
以上是一些常用的相似三角形证明方法，根据具体情况选择合适的方法进行证明。
三角形的相似与全等的判定
三角形的相似与全等的判定在几何学中，三角形是研究的重要对象之一。
在学习三角形的性质和相关问题时，我们经常需要判断两个三角形是否相似或全等。
相似和全等是两个重要的几何关系，对于解决实际问题和理论证明都具有重要意义。
本文将介绍三角形相似与全等的判定原理和应用。
一、三角形的相似判定相似是指两个图形的形状和角度都相等，但尺寸不同。
下面是判断两个三角形相似的几种方法：1. AAA相似判定法如果两个三角形的三个角分别对应相等，那么它们就是相似的。
即对于三角形ABC和三角形DEF来说，如果∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F，那么三角形ABC∽三角形DEF。
2. AA相似判定法如果两个三角形中的两个角分别对应相等，并且它们的对边成比例，那么它们就是相似的。
即对于三角形ABC和三角形DEF来说，如果∠A=∠D，∠B=∠E，并且AB/DE=BC/EF=AC/DF，那么三角形ABC∽三角形DEF。
3. SAS相似判定法如果两个三角形中有一对对应边成比例，并且这对对应边夹角相等，那么它们就是相似的。
即对于三角形ABC和三角形DEF来说，如果AB/DE=BC/EF，并且∠B=∠E，那么三角形ABC∽三角形DEF。
4. SSS相似判定法如果两个三角形的对应边成比例，那么它们就是相似的。
即对于三角形ABC和三角形DEF来说，如果AB/DE=BC/EF=AC/DF，那么三角形ABC∽三角形DEF。
二、三角形的全等判定全等是指两个图形的形状和大小完全相等。
下面是判断两个三角形全等的几种方法：1. SSS全等判定法如果两个三角形的三对对应边分别相等，那么它们就是全等的。
即对于三角形ABC和三角形DEF来说，如果AB=DE，BC=EF，AC=DF，那么三角形ABC≌三角形DEF。
2. SAS全等判定法如果两个三角形中有一对对应边相等，并且这对对应边夹角相等，那么它们就是全等的。
即对于三角形ABC和三角形DEF来说，如果AB=DE，BC=EF，并且∠B=∠E，那么三角形ABC≌三角形DEF。
三角形的相似性质及其证明方法
三角形的相似性质及其证明方法三角形是几何学中常见的形状，其具有许多特性和性质。
其中一个重要的概念是相似三角形，指的是具有相似形状但大小不同的三角形。
在本文中，我们将探讨三角形的相似性质以及如何证明相似三角形的方法。
一、相似三角形的定义相似三角形是指具有相等的对应角度，并且各边之间成比例的三角形。
如果三角形ABC与三角形DEF相似，则表示为∆ABC ~ ∆DEF。
二、相似三角形的性质1. 对应角相等：相似三角形的对应角度相等，即∠A = ∠D，∠B = ∠E，∠C = ∠F。
2. 对应边成比例：相似三角形的对应边成比例，即AB/DE = AC/DF = BC/EF。
3. 相似三角形的比值：相似三角形的边长之比等于任意两边的对应边的比值。
三、相似三角形的证明方法在几何证明中，证明两个三角形相似常常需要运用一些相似性质和定理。
下面介绍一些常用的证明方法。
1. AA相似定理如果两个三角形的两个对应角度相等，则这两个三角形相似。
例如，在三角形ABC和三角形DEF中，如果∠A = ∠D，且∠B = ∠E，则可以得出∆ABC ~ ∆DEF。
证明方法：通过给出的角度条件，结合三角形的内角和为180°，可以推导出对应边成比例，从而证明两个三角形相似。
2. SSS相似定理如果两个三角形的对应边成比例，则这两个三角形相似。
例如，在三角形ABC和三角形DEF中，如果AB/DE = AC/DF = BC/EF，则可以得出∆ABC ~ ∆DEF。
证明方法：根据给出的边长比值，运用三角形的边长比例定理，可以推导出对应角度相等，从而证明两个三角形相似。
3. SAS相似定理如果两个三角形的两个对应边成比例，并且夹角的对应边成比例，则这两个三角形相似。
例如，在三角形ABC和三角形DEF中，如果AB/DE = AC/DF，且∠A = ∠D，则可以得出∆ABC ~ ∆DEF。
证明方法：根据给出的边长比值和对应角度条件，可以运用三角形的边长比例定理，推导出对应边成比例，从而证明两个三角形相似。
三角形相似的判定方法
三角形相似的判定方法一1、定义法：三个对应角相等，三条对应边成比例的两个三角形相似．2、平行法：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似．3、判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．简述为：两角对应相等，两三角形相似．4、判定定理2：如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似． 5、判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这 两个三角形相似．简述为：三边对应成比例，两三角形相似． 特殊、判定直角三角形相似的方法：(1)以上各种判定均适用．(2)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．(3)直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似． 注：射影定理：在直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。
每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。
如图，Rt △ABC 中，∠BAC=90°，AD 是斜边BC 上的高， 则AD 2=BD ·DC ，AB 2=BD ·BC ，AC 2=CD ·BC 。
二 相似三角形常见的图形三、1，下面我们来看一看相似三角形的几种基本图形：（1） 如图：称为“平行线型”的相似三角形（有“A 型”与“X 型”图）(2) 如图：其中∠1=∠2，则△ADE ∽△ABC 称为“斜交型”的相似三角形。
（有“反A 共角型”、“反A 共角共边型”、 “蝶型”）ACD E 12AADDEE12412DBCEAD(3)BCAE (2)CB（3） 如图：称为“垂直型”（有“双垂直共角型”、“双垂直共角共边型（也称“射影定理型”）”“三垂直型”）(4)如图：∠1=∠2，∠B=∠D ，则△ADE ∽△ABC ，称为“旋转型”的相似三角形。
相似形的判断方法4种
相似三角形相似的判定方法朱波判定三角形相似的方法有五种：一、由定义判定：三个角对应相等，三边对应成比例的两三角形相似. 二、三角形相似的基本判定方法1、判定定理：平行于三角形的一边的直线和其它两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似.推理形式：如图1所示，∵DE ∥BC ，∴△ADE ∽△ABC. 2、涉及的基本图形（如图1所示）.说明：⑴在运用基本方法判定两个三角形相似时，只需DE ∥BC 这一条件就能确定△ADE ∽△ABC ，不必再用定义进行判定；⑵上面的图形是判定方法所涉及的几种基本类型，在应用时要善于从图中抽象出这些基本模型.例1:(06南通)如图2，DE 与△ABC 的边AB ，AC 分别相交于D ，E 两点，且DE ∥BC ．若DE ＝2㎝，BC ＝3㎝，EC ＝32㎝，则AC ＝________㎝．解析:由DE ∥BC 可知△ADE ∽△ABC,由相似三角形的对应边的比相等,有,BCDEAC AE =从而,BC DEAC EC AC =-把DE ＝2㎝，BC ＝3㎝，EC ＝32㎝代入得,3232=-AC AC 求AC=2, 故添2. 三、由三边的比判定三角形相似1、判定定理：如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似.简单地说三边对应成比例的两个三角形相似.2、推理形式：如图3所示，在△ABC 和△C B A '''中，如果A C CAC B BC B A AB '=''='',那么△ABC ∽△C B A '''.类比拓展：由三边的比判定三角形相似的方法与判定三角形全等的“SSS ”方法类似，只是把三边对应相等，改为三组对应边成比例即可.E D CBA 图2EC B ED A D C B AB ED A C“A ”型“A ”型 “X ”型 图1AB CC ' 图3B ' A '例2：(05山东菏泽)如图4,小正方形的边长均为1,则下图中的三角形(阴影部分)与△ABC 相似的为( )解析:由于正方形边长均为1,在△ABC 中,AC=2,BC=2,AB=10;图A 中三角形三边长为1,,22,5而与△ABC 三边的比分别为,521022,25,21=显然它们不相等;图B 中三角形三边长为1,,5,2与△ABC 的三边的比分别为,22105,22,2221==故对应边的比相等;同样的道理可以得出在图C 和图D 中的两个三角形三边分别与△ABC 三边的比不相等.故选B.四、由两边和夹角判定三角形相似1、判定方法：如果两个三角形的两组对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形形似.简单说成,两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似.2、推理形式：如图3，在△ABC 和△C B A '''中，如果,,A A A C CAB A AB '∠=∠'=''那么△ABC ∽△C B A '''.例3：（06云南双柏）如图5，在4×4的正方格中，△ABC 和△DEF 的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上. ⑴填空：∠ABC=_____,BC=_____;⑵判断△ABC 与△DEF 是否相似，并证明你的结论.解析：⑴利用正方形对角线平分一组对角的性质可得∠ABC=00013545180=-,由勾股定理得BC=222222=+;⑵△DEF 中，∠DEF=0135,分别计算△ABC 的边AB 、BC 和△DEF 的边DE 、EF ，AB=2，BC=22；EF=2，DE=2.∵,2222,222====EF BC DE AB ∴ EFBC DE AB =且∠ABC=∠DEF=0135,∴△ABC ∽△DEF. 技巧点拨：本题是网格中的形似问题，首先要用正方形的性质和勾股定理求出相等的角和边长.再利用两组对边的比相等，夹角相等的两个三角形相似来判断，本题的另一种方法就是利用三边的比对应相等的两个三角形相似来判断，本题的易错点是不少同学认为：因为,,2222,122DE BCEF AB DE BC EF AB ≠====，故这两个三角形不相似.网格中的数学问题是近图5FED CBA B A 图 4 AC B C D几年中考的热点题型，预计这类问题在今后的中考中有所加强. 五、由两角判定三角形相似1、判定方法：如果一个三角形的两个角与另一三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似，简单地说：两角对应相等，两个三角形相似。
证明相似三角形的方法
证明相似三角形的方法
要证明相似三角形的方法如下：
1. 角-角-角相似定理（AAA相似定理）：如果两个三角形的
三个角分别相等，那么这两个三角形相似。
证明方法：假设∠A₁=∠A₂, ∠B₁=∠B₂, ∠C₁=∠C₂。
通
过角分割，可以得到相似三角形ABC与A'B'C'。
根据角-角-
角相似定理，可以得出ABC∽A'B'C'。
2. 边-角-边相似定理（SAS相似定理）：如果两个三角形的一
对对应边成比例且夹角相等，则这两个三角形相似。
证明方法：假设AB/A'B' = BC/B'C'，且∠B=∠B'。
通过边分割，可以得到相似三角形ABC与A'B'C'。
根据边-角-边相似
定理，可以得出ABC∽A'B'C'。
3. 边-边-边相似定理（SSS相似定理）：如果两个三角形的三
对对应边成比例，则这两个三角形相似。
证明方法：假设AB/A'B' = BC/B'C' = AC/A'C'。
通过边分割，
可以得到相似三角形ABC与A'B'C'。
根据边-边-边相似定理，可以得出ABC∽A'B'C'。
这些是证明相似三角形常用的定理和方法，可以根据具体情况选择合适的方法进行证明。